Ejercicio 2-4

EJERCICIO 1: Calcular la energía especifica cuando circula un caudal de 8.4 m3/s por un canal trapezoidal cuya solera tiene 2.4 m de ancho, las pendientes de las paredes es 1/1 y la profundidad 1.17m.

Datos Q = 8.4 m3/s y = 1.17 m

SOLUCION Para la solución de este problema usaremos la fórmula de energía especifica 𝑉2 𝐸 =𝑦+ 2∗𝑔 1.- Primero hallamos el Área Hidráulica AH Para canales trapezoidales, la fórmula del Área Hidráulica es:

𝐴𝐻 = 1 + 2 + 3 𝐴𝐻 = 𝑧 ∗ 𝑦/2 + 𝐵 ∗ 𝑦 + 𝑧 ∗ 𝑦/2 𝐴𝐻 = 𝑧 ∗ 𝑦 + 𝐵 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ (𝑧 + 𝐵)

𝐴𝐻 = 1.17 ∗ (1.17 + 2.4) = 4.18 𝑚2

2.- Hallamos la velocidad 𝑄 = 𝑉 ∗ 𝐴𝐻

Se sabe que:

𝑉=

𝑄 𝐴𝐻

Reemplazamos los datos: Q = 8.4 m/s3 AH = 4.18 m2 𝑉=

8.4 = 2.01 𝑚/𝑠 4.18

3.- Reemplazamos los datos hallados en la fórmula de Energía Especifica 𝐸 =𝑦+

𝑉2 2∗𝑔

y = 1.17 m V=2.01 m/s g = 9.81 m/s2 2.012 𝐸 = 1.17 + 2 ∗ 9.81 𝐸 = 1.38 𝑚 ∗ 𝑘𝑔/𝑘𝑔

EJERCICIO N. 2 Cuál de los dos canales representados en la fig. (a)-(b) conducirá el mayor caudal si ambos están trazados con la misma pendiente. Si s=0.0004

SOLUCION Se hallará el caudal con los datos de ambas secciones transversales y compararemos resultados. A. PARA CANAL RECTANGULAR CALCULO EL AREA DEL CANAL RECTANGULAR

T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante 𝐴1 = 𝑏 ∗ 𝑦 Reemplazando en la formula con los datos del ejercicio tenemos: 𝐴1 = (6) ∗ (2.7) 𝑨𝟏 = 𝟏𝟔. 𝟐 𝒎𝟐 CALCULO DEL PERIMETRO MOJADO 𝑃 = 𝑏 + 2𝑦1 Reemplazando los datos del ejercicio en la formula tenemos: 𝑃 = (6.00) + 2 ∗ (2.70)

𝑷 = 𝟏𝟏. 𝟒 𝒎 CALCULO DEL RADIO HIDRAULICO 𝑹=

𝑨 𝑷

Reemplazando los datos en la formula tenemos: 𝑅=

16.20 11.40

𝑹 = 𝟏. 𝟒𝟐 𝒎 COMO ES UN CANAL ABIERTO, USAMOS LA FORMULA DE MANNING 𝑉=

𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑛

Reemplazamos los datos en la formula: 2

[1.42] 3 𝑉1 = ∗ (0,0004)1/2 0,0015 𝑽𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟖 𝒎𝟐 /𝒔 CALCULO DEL CAUDAL Hallamos el caudal con la formula ya conocida: Q =A * V Q= Caudal A= Área V= Velocidad

Q= 16.20 * 1.68 Q= 27.21 m3/s 

𝑸 = 𝟐𝟕 𝒎𝟑 /𝒔

B. PARA CANAL TRAPEZOIDAL CALCULO DEL AREA DEL CANAL TRAPEZOIDAL

T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante Z= Talud F= Factor de seguridad

𝐴1 =

( 𝑏 + 𝑏 + 2𝑦𝑡 ) ∗ 𝑦 2

𝐴1 =

( 2𝑏 + 2𝑦𝑡 ) ∗ 𝑦 2

𝐴1 = ( 𝑏 + 𝑦𝑡 ) ∗ 𝑦 Reemplazando en la formula con los datos del ejercicio tenemos: 𝐴1 = ( 6 + 1.8 ∗ 2 ) ∗ 1.8 𝑨𝟏 = 𝟏𝟕. 𝟐𝟖 𝒎𝟐 CALCULO DEL PERIMETRO MOJADO 𝑃 = 𝑏 + 2𝑙 𝑃 = 𝑏 + 2𝑦1 ∗ √𝑡 2 + 1 Reemplazando los datos del ejercicio en la formula tenemos: 𝑃 = 6 + 2 ∗ 1.8 ∗ √22 + 1 𝑷 = 𝟏𝟒. 𝟎𝟓 𝒎

CALCULO DEL RADIO HIDRAULICO 𝑅=

𝐴 𝑃

Reemplazando los datos en la formula tenemos: 𝑅=

17.28 14.05

𝑹 = 𝟏. 𝟐𝟑 𝒎 CALCULO DE LA VELOCIDAD, USAMOS LA FORMULA DE MANNING 𝑉=

𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑛

Reemplazamos los datos en la formula: 2

[1.23] 3 𝑉1 = ∗ (0,0004)1/2 0,0010 𝑽𝟏 = 𝟐. 𝟑𝟎 𝒎𝟐 /𝒔 CALCULO DEL CAUDAL Hallamos el caudal con la formula ya conocida: Q =A * V Q= Caudal A= Área V= Velocidad

Q= 17.28 * 2.30 Q= 39.74 m3/s 

𝑸 = 𝟒𝟎 𝒎𝟑 /𝒔

Comparando los dos resultados, el caudal mayor es el de 40 m3/s, por lo tanto la sección que transporte mayor caudal será el trapezoidal.

PROBLEMA N° 3: En una galería circular de cemento pulido (n=0.013), de 2 m de diámetro y 1.50 m de tirante, debe conducir un caudal de 3 m3/s. calcular la pendiente necesaria para que el flujo sea uniforme.

1.00 m

1.00 m r

DATOS:

2.00 m 1.50 m

𝑛 = 0.013 𝐷 =2𝑚 𝑦 = 1.5 𝑚 3 𝑄 = 3 𝑚 ⁄𝑠

𝑆 = ¿?

RESOLUCION: 1º Para calcular T, es necesario conocer el diámetro interior como se muestra: Para ello se utiliza un triángulo rectángulo, que se encuentra desde el centro de la galería circular hasta el final del radio formando la tangente con un ángulo de 𝜃 = 45° , como se muestra en la figura:

Hallando del valor de A:

A 1.00 m r Se sabe que: sin 𝜃 =

𝐶𝐴 𝐻

sin 45° =

1 𝐴

sin 45° (𝐴) = 1 𝐴=

1 sin 45°

𝐴 = 1.4142 𝑚

Hallando r:

Se halla por método de triángulos notables, como se muestra en la figura:

1.00 m

1.41 m 1.00 m

1.00 m r

r 1.00 m Se sabe que: 𝑟 1 = 1 1.4142 𝑟 = 0.7071 𝑚

Entonces el diámetro menor seria: 𝑑 = 1. 4142 𝑚

2º Calculando T : 𝑇 = 2 √𝑑 (𝐷 − 𝑑 ) 𝑇 = 2 √1.4142 (2 − 1.4142) 𝑇 = 2 √0.8284 𝑇 = 2 (0.9102) 𝑇 = 1.8204 𝑚

3º Calculando 𝛼 : Por propiedad de triangulo isósceles y triangulo rectángulo como se muestra e la figura, se tiene:

T/2

y - R =0.50 m

tan

tan

𝛼 𝐶𝑂 = 2 𝐶𝐴

𝛼 𝑇/2 = 2 𝑦−𝑅

Remplazando: tan

𝛼 1.8204/2 = 2 1.5 − 1

tan

𝛼 = 1.8204 2

α = tan−1(1.8204) 2 α = tan−1(1.8204) 2 α = 61.219° 2 α = 122.437° 4º Calculando el área y el perímetro: Hallando el área hidráulica:

𝐴𝐻 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑢𝑙𝑎𝑟 − 𝐴𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 + 𝐴𝑎𝑏𝑐

𝐴𝐻 =

𝜋𝑑 2 𝜋𝑑 2 𝛼 𝑇 ×ℎ − + ° 4 4 × 360 2

Remplazando los valores: 𝜋(1.4142)2 𝜋(1.4142)2 (122.437° ) 1.8204 × 0.50 𝐴𝐻 = − + 4 4 × 360° 2 𝐴𝐻 = 1.5708 − 0.6285 + 0.4551 𝐴𝐻 = 1.3974 𝑚2 Hallando el perímetro mojado: 𝑃 = 𝜋×𝑑−

𝑃 = 𝜋 (𝑑 −

2𝜋𝑟𝛼 360°

2𝑟𝛼 ) 360°

Remplazando valores: 𝑃 = 𝜋 (1.4142 −

2 × 0.7071 × 122.437° ) 360°

𝑃 = 𝜋(1.4142 − 0.4773) 𝑃 = 𝜋(0.9669) 𝑃 = 3.0376 𝑚

5º Hallamos el radio hidráulico. 𝑅=

𝐴 𝑃

El radio hidráulico es: 𝑅=

1.3973 𝑚2 3.0376 𝑚

𝑅 = 0.46 𝑚

6º Ahora utilizamos la ecuación de Manning. 𝐴 𝑅 2/3 𝑆 1/2 𝑄= 𝑛 Despejando: 𝑄. 𝑛 = 𝐴 . 𝑅 2/3 𝑆 1/2 𝑄. 𝑛 = 𝐴 . 𝑆 1/2 𝑅 2/3 𝑄. 𝑛 = 𝑆 1/2 𝐴 𝑅 2/3 𝑆 1/2 =

𝑄𝑛 𝐴 𝑅 2/3

Remplazando: 3 (0.013) 1.3973 (0.46)2/3 0.039 𝑆 1/2 = 0.8326

𝑆 1/2 =

0.039 2 ) (√𝑆) = ( 0.8326 2

𝑆 = (0.0468)2 𝑆 = 0.002194

EJERCICIO N. 4 Diseñar el canal trapezoidal óptimo para transportar 17 m3/seg. Emplea n=0.025 y como pendiente de las parcelas 1 vertical sobre 2 horizontal.

SOLUCION HALLAMOS RELACION DE RADIO HIDRAULICO Y TIRANTE

T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante Z= Talud F= Factor de seguridad Sabemos que: 𝐴1 = 𝑏𝑦 + 𝑡𝑦 2 𝑃 = 𝑏 + 2𝑦1 ∗ √𝑡 2 + 1 𝒃 = 𝟐𝒚 (√𝒕𝟐 + 𝟏 − 𝒕) La nueva ecuación de la base reemplazamos en el area 𝐴1 = (2𝑦 (√𝑡 2 + 1 − 𝑡)) ∗ 𝑦 + 𝑡𝑦 2 𝐴1 = 2𝑦 2 (√𝑡 2 + 1 − 𝑡) + 𝑡𝑦 2 𝐴1 = 𝑦 2 (2√𝑡 2 + 1 − 2𝑡 + 𝑡) 𝑨𝟏 = 𝒚𝟐 (𝟐√𝒕𝟐 + 𝟏 − 𝒕) 𝑨

Despejando: 𝒚 = √

𝟐√𝒕𝟐 +𝟏−𝒕)

Reemplazamos en el perimetro 𝑃 = 𝑏 + 2𝑦 ∗ √𝑡 2 + 1 𝑃 = 2𝑦 (√𝑡 2 + 1 − 𝑡) + 2𝑦 ∗ √𝑡 2 + 1 𝑷 = 𝟐𝒚 (𝟐√𝒕𝟐 + 𝟏 − 𝒕) Remplazamos en el radio hidráulico

𝑅=

𝐴 𝑃

𝑅=

𝑦 2 (2√𝑡 2 + 1 − 𝑡) 2𝑦 (2√𝑡 2 + 1 − 𝑡)

𝑹 = 𝒚/𝟐 Lo que indica que en una sección de máxima eficiencia hidráulica de forma trapezoidal o rectangular (para cualquier valor de Z), el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante DESARROLLANDO LA SECCION DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA TENEMOS Los datos que tenemos del problema son: Q = 17 m3/s V = 1 m/s n = 0.025 Z = 2:1 Sabemos que: Q =A * V 𝑄 𝐴= 𝑉 17.00 𝐴= 1.00 𝑨 = 𝟏𝟕 𝒎𝟐 𝐴 𝑦=√ 2√𝑡 2 + 1 − 𝑡) 17 𝑦=√ 2√(2)2 + 1 − 2) 𝒚 = 𝟐. 𝟔𝟑 𝒎 𝑨 = 𝒃𝒚 + 𝒕𝒚𝟐 𝐴 𝑏 = − 𝑡𝑦 𝑦 17 𝑏= − (2)(2.63) 2.63 𝒃 = 𝟏. 𝟐𝟎 𝒎

Por lo tanto las dimensiones de la sección trapezoidal de M.E.H será: b= 1.20 m Y= 2.63 m Z= 2:1 EJERCICIO N. 5 Un depósito alimenta a un canal trapezoidal de ancho de solera 1 m, talud Z = 1, coeficiente de rugosidad 0,014 y pendiente 0,0005. A la entrada, la profundidad de agua en el depósito es de 0,736 m por encima del fondo del canal como se muestra en la figura. Determinar el caudal en el canal con flujo uniforme subcrítico, suponiendo que la perdida a la entrada es 0.25 𝑉1 2 /2𝑔.

SOLUCION: hf 0-1 = 0.25 𝑉1 2 /2𝑔.

hf 0-1 = perdida de energía

Y0 = 0,736 + Z Nota: flujo critico, cuando Fr (numero de froude) < 1 A. APLICAMOS LA FORMULA GENERAL DE BERNOULLI

𝑌0 +

𝑃0



+

𝑉2𝑂 𝑃1 𝑉 21 = 𝑌1 + + + ℎ0−1 2𝑔  2𝑔

Reemplazamos los datos del ejercicio en la formula obtenemos:

0,736 +

𝑉 2𝑂 𝑉 21 0,25 𝑉 21 = 𝑌1 + + 2𝑔 2𝑔 2𝑔

𝟎, 𝟕𝟑𝟔 = 𝒀𝟏 +

𝟏, 𝟐𝟓 𝑽𝟐 𝟏 𝟐𝒈

… (𝟏)

B. HALLANDO EL AREA DEL CANAL TRAPEZOIDAL

T= Espejo de agua b= Base de la solera Y= Tirante Z= Talud F= Factor de seguridad

𝐴1 =

( 𝑏 + 𝑏 + 2𝑦𝑡 ) ∗ 𝑦 2

𝐴1 =

( 2𝑏 + 2𝑦𝑡 ) ∗ 𝑦 2

𝐴1 = ( 𝑏 + 𝑦𝑡 ) ∗ 𝑦 Reemplazando en la formula con los datos del ejercicio tenemos: 𝐴1 = ( 1 + 𝑦1 ∗ 1 ) ∗ 𝑦1 𝑨𝟏 = ( 𝟏 + 𝒚𝟏 ) ∗ 𝒚𝟏 C. HALLANDO EL PERIMETRO MOJADO 𝑃 = 𝑏 + 2𝑙 𝑃 = 𝑏 + 2𝑦1 ∗ √𝑡 2 + 1 Reemplazando los datos del ejercicio en la formula tenemos: 𝑷 = 𝟏 + 𝟐𝒚𝟏 ∗ √𝟐 D. HALLANDO RADIO HIDRAULICO

𝑅=

𝐴 𝑃

Reemplazando los datos en la formula tenemos: 𝑹=

( 𝟏 + 𝒚𝟏 ) ∗ 𝒚𝟏 𝟏 + 𝟐𝒚𝟏 ∗ √𝟐

E. COMO ES UN CANAL ABIERTO, USAMOS LA FORMULA DE MANNING 𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑉= 𝑛 Reemplazamos los datos en la formula: 2 3

( 1 + 𝑦1 ) ∗ 𝑦1 ] 1 + 2𝑦1 ∗ √2 𝑉1 = ∗ (0,0005)1/2 0,0014 [

(1+𝑦 )∗𝑦

2/3

𝑉1 = [ 1+2𝑦1 ∗√21 ] 1

1

∗ (0,0005)1/2 ∗ 0,014

𝑽𝟏 = [

(𝟏 + 𝒚𝟏 ) ∗ 𝒚𝟏 𝟏 + 𝟐𝒚𝟏 ∗ √𝟐

𝟐/𝟑

]

∗ 𝟏, 𝟓𝟗𝟕

… (𝟐)

Reemplazamos (2) en (1):

0,736 = 𝑦1 +

1,25 ∗ 𝑉1 2 2𝑔

(1 + 𝑦1 ) ∗ 𝑦1 1,25 0,736 = 𝑦1 + ∗ [( ) 2 ∗ 9,81 1 + 2𝑦1 ∗ √2

2

2/3

∗ 1,597]

(1 + 𝑦1 ) ∗ 𝑦1 1,25 0,736 = 𝑦1 + ∗ 1,5972 ∗ [ ] 2 ∗ 9,81 1 + 2𝑦1 ∗ √2

𝟎, 𝟕𝟑𝟔 = 𝒚𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟔𝟐 ∗ [

4/3

(𝟏 + 𝒚𝟏 ) ∗ 𝒚𝟏 𝟏 + 𝟐𝒚𝟏 ∗ √𝟐

𝟒/𝟑

]

Luego resolvemos o tanteamos el valor, es este caso tantearemos para obtener el valor más rápido, por lo tanto 𝒚𝟏 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟗 0,736 = 0,7358 Reemplazamos el valor de 𝑦1 en la fórmula del área: 𝐴1 = ( 1 + 𝑦1 ) ∗ 𝑦1 𝐴1 = ( 1 + 0,689 ) ∗ (0,689) 𝑨𝟏 = 𝟏, 𝟏𝟔𝟒 𝒎𝟐 Reemplazamos el valor de 𝑦1 en la fórmula de la velocidad:

𝑉1 = [

(1 + 𝑦1 ) ∗ 𝑦1 1 + 2𝑦1 ∗ √2

2/3

]

∗ 1,597

… (2)

2/3

(1 + 0,689) ∗ (0,689) 𝑉1 = [ ] 1 + 2(0,689) ∗ √2

∗ 1,597

𝑽𝟏 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟗 𝒎/𝒔 Por último hallamos el caudal con la formula ya conocida: Q =A * V Q= Caudal A= Área V= Velocidad

Q=1,164 * 0,859 Q=0,999 m3/s 

𝑸 = 𝟏 𝒎𝟑 /𝒔

EJERCICIO N. 7 Un cauce, cuya sección es un triangulo rectangular en C, debe ensancharse de modo que el caudal sea el doble, ver la figura: Hallar el ángulo correspondiente al nuevo talud:

Q2 = 2Q1 SOLUCION: El ejercicio nos pide ensanchar la sección del canal para así nosotros tener un canal que contenga el doble de caudal del canal 1 (Q2 = 2Q1). Al ensanchar la sección nosotros

deducimos que los valores y, n, s permanecen constante al no ser afectados por este cambio, pero el talud es el que se modificara.

A. HALLAMOS EL AREA DEL CANAL TRIANGULAR 𝐴1 = 𝑧𝑦 2 Reemplazamos el valor de z=1 en la fórmula del área obtenemos: 𝑨𝟏 = 𝒚𝟐 B. HALLAMOS EL PERIMETRO DEL CANAL TRIANGULAR 𝑃 = 2𝑦√1 + 𝑧 2 Reemplazamos el valor de z=1 en la fórmula del área obtenemos: 𝑷 = 𝟐𝒚√𝟐

C. HALLAMOS EL RADIO HIDRAULICO DEL CANAL TRIANGULAR 𝑅=

𝐴 𝑃

Reemplazamos en la fórmula los valores de área y perímetro obtenemos:

𝑅=

𝑹=

𝑦2 2𝑦√2 𝒚 𝟐√𝟐

D. POR SER UN CANAL ABIERTO USAREMOS LA FORMULA DE MANNING 𝑄=

𝐴 ∗ 𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑛

Reemplazamos en la fórmula los valores de área y radio hidráulico obtenemos: 𝒚 𝟐/𝟑 𝒚𝟐 ∗ ( ) ∗ 𝑺𝟏/𝟐 𝟐√𝟐 𝑸𝟏 = 𝒏 E. AHORA ARMAREMOS LA FORMULA DE MANNING PARA EL CANAL AMPLIADO 𝑨𝟐 = 𝒛𝒚𝟐 𝑷𝟐 = 𝟐𝒚√𝟏 + 𝒛𝟐 𝑅2 =

𝑅2 =

𝐴2 𝑃2 𝑧𝑦 2

2𝑦√1 + 𝑧 2

𝑹𝟐 =

𝒛𝒚 𝟐√𝟏 + 𝒛𝟐

𝐴 ∗ 𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑄= 𝑛 𝟐/𝟑 𝒛𝒚 𝒛𝒚𝟐 ∗ ( ) ∗ 𝑺𝟏/𝟐 𝟐√𝟏 + 𝒛𝟐 𝑸𝟐 = 𝒏

F. AHORA COMO SABEMOS QUE EL Q2 = 2Q1 2

2

1 1 3 𝑧𝑦 𝑦 3 2 2 2 𝑧𝑦 2 ∗ ( ) ∗ 𝑆 2 ∗ 𝑦 ∗ ( ) ∗ 𝑆 2√2 2√1 + 𝑧 2 = 𝑛 𝑛

Simplificando los valores: 2/3 𝑧𝑦 𝑦 2/3 𝑧∗( ) = 2∗( ) 2√2 2√1 + 𝑧 2

𝑧∗𝑧

2/3

𝑧

∗𝑦

5/3

2/3

(

2/3

1 2√1 + 𝑧 2

)

∗( ) 2√1 + 𝑧 2 𝒛𝟓/𝟑 ∗ (

=2∗𝑦

2/3

1

2/3

1

1

2/3

( ) 2√2 2/3

= 2∗( ) 2√2 𝟐/𝟑

𝟏 𝟐√𝟏 + 𝒛𝟐

)

=𝟏

Luego resolvemos la ecuación por tanteo obteniendo z= 1,745 (1,745)5/3

∗(

1 2√1 + (1,745)2

2/3

)

=1

𝟎, 𝟗𝟗𝟗 = 𝟏 0,999 es prácticamente 1 por lo que el valor de z es correcto. G. AHORA POR ULTIMO, HALLAMOS EL ANGULO

1

𝑡𝑎𝑛 = 𝑧

1 𝑧

 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )

1 ) 1,745

 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

 = 𝟐𝟗° 𝟒𝟖´ 𝟓𝟓, 𝟗𝟖" PROBLEMA N° 8: En un canal que conduce un caudal de 9 m3/s; existe una transición de salida que sirve para unir una sección rectangular con una trapezoidal, cuyas dimensiones se muestran en la figura.

2

1

Q = 9 m2/s

3.80 m

5.80 m

Q = 9 m2/s

TALUD 1.5

Z = 1.5

PLANTA

y1 = ??

1.30 m h = 20 m

PERFIL LONGITUDINAL DATOS: 3 𝑄 = 9 𝑚 ⁄𝑠

Sección rectangular (1):

𝑏1 = 3.80 𝑚 y

b1 = 3.80 m

Sección trapezoidal (2):

𝑦2 = 1.30 𝑚 𝑏2 = 3.80 𝑚 𝑍 = 1.5

1.30 m

1 1.5

5. 80 m

Condición: 𝑣12 𝑣22 ∆ ℎ𝑓 1−2 = 0.3 [ − ] 2𝑔 2𝑔

RESOLUCIÓN: 1º Calculando los parámetros en las secciones (1) y (2), necesarios para reemplazarlos en la ecuación de energía: 

Sección (1): Para esta sección es necesario conocer los valores del área y velocidad: Hallando el área: 𝐴1 = 𝑏 × 𝑦1 𝐴1 = 3.80 𝑦1 Hallando la velocidad: 𝑉1 =

𝑄 𝐴1

3 9 𝑚 ⁄𝑠 𝑉1 = 𝐴1

Remplazando los valores del área:



Sección (2):

𝑉1 =

9 3.80 𝑦

𝑉1 =

2.3684 𝑦

Para esta sección es necesario conocer los valores del área y La velocidad: -

Hallando del área: 𝐴2 = 2(𝑏 + 𝑥)

𝑦 2

𝐴2 = (𝑏 + 𝑥) 𝑦 … (𝐼) o 𝐴2 = [𝑏 + 𝑍(𝑦)] 𝑦 … (𝐼𝐼)

Hallando el área por la ecuación (I): Primero se debe hallar el valor x, para ello calcularemos el ángulo del talud: Se sabe que el talud esta en relación 1.5:1

1 tan 𝜃 =

𝐶𝑂 𝐶𝐴

1.5 tan 𝜃 = tan−1 (

1 1.5

1 )= 𝜃 1.5

θ = 33.69∘

Ahora que tenemos el ángulo, se podrá calcular el valor de x:

x

1.30 m

1 1.5

5. 80 m

tan 𝜃 =

𝐶𝑂 𝐶𝐴

tan 𝜃 =

𝑦 𝑥

Remplazando: tan 33.69∘ =

1.3 𝑥

tan 33.69∘ (𝑥) = 1.3 𝑥=

1.3 tan 33.69∘

𝑥 = 1.95 𝑚 Reemplazando en la ecuación (I): 𝐴2 = (𝑏 + 𝑥) 𝑦 … (𝐼) 𝐴2 = ( 5.80 + 1.95 ) × 1.3 𝐴2 = 10.075 𝑚

Hallando el área por la ecuación (II): 𝐴2 = [ 𝑏 + 𝑍(𝑦) ] 𝑦 … (𝐼𝐼) 𝐴2 = [ 5.80 + 1.5(1.30) ] × 1.30 𝐴2 = 10.0750 𝑚

-

Hallando la velocidad: 𝑉1 =

𝑄 𝐴1 3

9 𝑚 ⁄𝑠 𝑉1 = 10. 075 𝑚 2 𝑉1 = 0.893 𝑚 ⁄𝑠

2º Aplicando la ecuación de energía entre los puntos (1) y (2) se tiene:

∆ ℎ + 𝑦1 +

𝑣12 𝑣22 = 𝑦2 + + ∆ ℎ𝑓 1−2 2𝑔 2𝑔

Remplazando ∆ ℎ y ∆ ℎ𝑓 1−2 :

0.20 + 𝑦1 +

𝑣12 𝑣22 𝑣12 𝑣22 = 𝑦2 + + 0.3 [ − ] 2𝑔 2𝑔 2𝑔 2𝑔

0.20 + 𝑦1 + 0.70

𝑣12 𝑣22 = 𝑦2 + 0.70 2𝑔 2𝑔

Sustituyendo los valores que se tiene: 2.3684 2 ( 0.893 )2 𝑦1 ) 0.20 + 𝑦1 + 0.70 = 1.30 + 0.70 2 ( 9.81 ) 2 ( 9.81 ) (

𝑦1 +

0.2001 = 1.1285 𝑦1 2

𝑦1 (𝑦1 2 ) + 0.2001 = 1.1285 (𝑦1 2 ) 𝑦1 3 − 0.2001 = 1.1285 𝑦1 2 𝑦1 3 − 1.1285 𝑦1 2 = − 0.2001 (𝑦1 − 1.1285 )𝑦1 2 = − 0.2001 (𝑦1 − 1.1285 )𝑦1 2 = − 0.2742 × 0.7298 Resolviendo por tanteos, se tiene: 0.7298 = 𝑦1 2

−0.2742 = ( 𝑦1 − 1.1285)

√0.7298 = √𝑦1 2

𝑦1 = − 0.2742 + 1.1285

0.8543 𝑚 = 𝑦1

𝑦 1 = 0.8543 𝑚

Entonces el valor de 𝑦1 : 𝑦 1 = 0.8543 3º Reemplazando 𝑦 1 en 𝑉1 (1):

𝑉1 =

2.3684 𝑦

3

2.3684 𝑚 ⁄𝑠 𝑉1 = 0.8543 𝑚 𝑉1 = 2.7723 𝑚2 /𝑠

EJERCICIO N° 9: SE TIENE UN TUNEL CON UNA SECCION TRANSVERSAL COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA. SE PIDE DETERMINAR A, p ,R, T:

0.7 0.5

1m Figura 1: sección transversal del túnel

SE PIDE HALLAR A, p, R, T : DONDE: A= Área del túnel P=Perímetro del túnel R=Radio del túnel T=Espejo de agua Y=Tirante de agua d=diámetro

SOLUCION: 1-° DESCOMPONEMOS LA SECCION TRANSVERSAL EN 2 AREAS.

1m

0.2

2 1m 1

0.5

1m 2°- CALCULAMOS EL ÁREA 1 Y PERÍMETRO 1:

AREA 1 A1= L x a A1= 1 x 0.5 A1=0.5 m² PERIMETRO 1 P1= L + 2 x a P1= 1 + 2 x 0.5 P1= 2 m

3°-CALCULAMOS EL AREA 2 Y PERIMETRO 2:

0.2m

2 y= 0.7m

d=1 m

DE LA FIGURA SE OBSERVA QUE:

A2 = A

– A

………………………………………………………………(1)

4°-CALCULO DEL A

PARA y = 0.7, d = 1, se tiene: 𝑦 𝑑

=

0.7 1

=0.7

PARA ESTA RELACION, SE UTILIZARA LA TABLA 1.3 DEL MANUAL DE DISEÑO DE CANALES: y/d

A/d2

P/d

0.70

0.5872

1.9823

𝑨 𝒅²

= 0.5872, Despejando el área.

A

= d2 x 0.5872

A

= 12 x 0.5872

A

= 0.5872 m2…...(2)

𝒑 𝒅

= 1.9823, Despejando el perímetro.

P

= d x 1.9823

P

= 1 x 1.9823

P

=1.9823 m………. (3)

5°-CALCULO DE A :

1

A

= 𝜋 r2

A

=

A

= 0.3927 m²……..(4)

2 1 2

𝜋 (0.5) 2

6°-SUSTITUYENDO (2) Y (4), EN (1) SE TIENE :

A2 = A

– A

A2= 0.5872 – 0.3927 A2= 0.1945 m2

7°-CALCULO DE P2 P2 = P – P ……(5) 1

𝑥𝜋𝑥𝑟

P

=

P

=

P

= 0.4115 m…………..(6)

2 1 2

𝑥 𝜋 𝑥 0.5

6°-LUEGO SUSTITUYENDO (3) Y (6) EN (5) , SE TIENE : 7°- CALCULO DE P2 P2= P

–P

…….(5)

P2= 1.9823 – 1.5708 P2= 0.4115 m 8°- CÁLCULO DE A total:

A =A1 + A2 A =0.5 + 0.1945 A=0.6945 m2 9° CÁLCULO DE p total: p = p1 + p2 p = 2 + 0.4115 p = 2.4115

10°-CALCULO DE R : R= R=

𝐴 𝑝 0.6945 2.4115

R =0.2880 𝑚

11°- CALCULO DE T: REEMPLAZANDO LA ECUACION: T = 2√𝑦(𝐷 − 𝑦)

d=1 y =0.7

TENIENDO COMO DATO y ,d, REEMPLAZAREMOS EN LA ECUACION DE T:

T = 2√𝑦(𝐷 − 𝑦)

T= 2√0.7(1 − 0.7) T= 0.9165 m

11°-RESULTADOS DEL EJERCICIO A= 0.6945 m2 p = 2.4115 m R = 0.2880 m T = 0.9165 M

10. Un túnel de concreto bien acabado (n=0.013) tiene la forma mostrada en la figura 8, con pendiente S=0.5% y diámetro D=1.6 m. Determinar la velocidad media y el caudal que transporta a tubo lleno.

Datos: 𝑛 = 0.013 𝑆 = 0.0005 𝐷 = 1.6𝑚

A. DESCOMPONIENDO LA SECCIÓN TRANSVERSAL EN 3 ÁREAS PARCIALES, SE TIENE:

1. Sección Semicircular a. Cálculo de Área y Perímetro Mojados 1 𝐴1 = 𝜋𝑟 2 2 1 𝐴1 = 𝜋0.82 2 𝐴1 = 1.0053 𝑚2 1 𝑝1 = 2𝜋𝑟 2 = 𝜋𝑟 2 𝑝1 = 𝜋 ∗ 0.8 𝑝1 = 2.5133 𝑚 2. Sección Rectangular b. Cálculo de Área y Perímetro Mojados 𝐴2 = 𝑏 ∗ ℎ 𝐴2 = 1.6 ∗ 0.4 𝐴2 = 0.64 𝑚2 𝑝2 = 𝑏 + 2𝑦 (no se considera b por no ser parte del perímetro) 𝑝2 = 2 ∗ 0.4 𝑝2 = 0.8 𝑚 3. Sección Triangular Cálculo de Z:

𝑍 0.8 = 1 0.4

𝑍=2 c. Cálculo de Área y Perímetro Mojados 𝐴3 = 𝑍𝑦 2 𝐴3 = 2 ∗ 0.42 𝐴3 = 0.32 𝑚2 𝑝3 = 2𝑦√1 + 𝑍 2 𝑝3 = 2 ∗ 0.4√1 + 22 𝑝3 = 1.7889 𝑚 B. ENTONCES: d. Cálculo de Área y Perímetro Total 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 𝐴 = 1.0053 + 0.64 + 0.32 𝐴 = 1.9653 𝑚2 𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 𝑝 = 2.5133 + 0.8 + 1.7889 𝑝 = 5.1022 𝑚 e. Cálculo del Radio Hidráulico 𝐴 𝑅= 𝑝 1.9653 𝑅= 5.1002 𝑅 = 0.3852 𝑚 C. FINALMENTE: f. Cálculo de Velocidad Media (V) De la Ecuación de Manning, se tiene: 1

2

1

𝑉 = 𝑛 ∗ 𝑅3 ∗ 𝑆 2

; Donde: 𝑛 es el coeficiente de Concreto Simple, según la Tabla de “Valores Típicos de Rugosidad” de Manning.

1 0.013 𝑽 = 𝟎. 𝟗𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔 𝑉=

2 ∗ 0.38523

1 ∗ 0.00052

g. Cálculo de Caudal (Q) De la ecuación de la Continuidad, se tiene: 𝑄 =𝐴∗𝑉 𝑄 = 0.9106 ∗ 1.9653 𝑸 = 𝟏. 𝟕𝟖𝟗𝟔 𝒎𝟑 /𝒔 Rpta: ∴ 𝑽 = 𝟎. 𝟗𝟏𝟎𝟔

𝒎 𝒔

;

𝑸 = 𝟏. 𝟕𝟖𝟗𝟔 𝒎𝟑 /𝒔

EJERCICIO N° 12: UN CANAL DE SECCION CIRCULAR DE DIAMETRO 5 m , CONDUCE UN CAUDAL DE 17 m3 /s, CON UNA VELOCIDAD DE 1.5 m/s .INDICAR CUAL ES EL TIRANTE. Datos D =5m Q=17 m3/s

5 𝜃

V=1.5m/s Se pide y:

SOLUCION: 1°-CALCULO DEL AREA: DE LA ECUACION DE CONTINUIDAD, SE TIENE: Q =V x A A= A=

Q V 17 1.5

A= 11.3333 m 2

2°- CALCULO DE 𝛉 : DE LA FÓRMULA DEL ÁREA SE TIENE: 1

A = (𝜃 – SEN ) D 2 8

𝜃 – SEN 𝜃 =

8A D²

(𝜃 en radianes)

PARA TRABAJAR EN GRADOS, SE MULTIPLICA 𝜽 POR EL FACTOR 0.0175,LUEGO SE TIENE QUE: 0.0175 𝜃 – SEN 𝜃 =

8A (𝜃 en radianes) D²

0.0175 𝜃 – SEN 𝜃 =

8 x 11.3333 25

f ( 𝜃 ) 0.0175 𝜃 – SEN 𝜃 = 3.6267 ESTE TIPO DE ECUACION SE RESUELVE POR TANTEO PARA ESTO SE DAN VALORES A 𝜽 HASTA QUE EL RESULTADO DE F ( 𝜽 ) SEA IGUAL O MUY APROXIMADO, AL SEGUNDO MIEMBRO, EN ESTE CASO A 3.6267.

Q

f(𝜽)

300

6.1160

270

5.7250

200

3.8420

190

3.4986

195

3.6713

193

3.6025

194

3.6369

193.5

3.6197

193.6

3.6231

193.7

3.6266

193.71

3.6269

𝜽 = 𝟏𝟗𝟑. 𝟕 °

x

∝

193.7 °

y 2.5

3°- DE LA FIGURA, SE TIENE: Y= 2.5 + X ……………………………….(1) DONDE: COS ∝ =

𝐗 𝟐.𝟓

……., despejando x

X= 2.5 x COS ∝…………………………(2) ADEMÁS:

∝=

𝟑𝟔𝟎−𝟏𝟗𝟑.𝟕 𝟐

∝ = 83.15 ° 4°-SUSTITUYENDO EN (2) , SE TIENE : X = 2.5 x cos (83.15 °) X = 2.5 x 0.1193 X= 0.2982 m

5°-LUEGO, EN (1) ,SE TIENE : Y= 2.5 + X Y= 2.5 + ( 0.2982) Y= 2.7982