Ejercicios 34-41

34. Sólo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo, la capacidad de fabricación del fabricante B es limitada, y, por esta razón sólo el 30% de la mercadería le es permitido adquirir del fabricante B, el 70% la adquiere de A. Se inspecciona un embarque que acaba de llegar y se encuentra que es de calidad excepcional, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del fabricante A? Sean: B: mercadería excepcional . A1 :mercadería de A B2 : mercadería de B P( A1 ∨B)=

P ( A 1 ) P ( B∨A 1 ) P(B)

P ( B )=P ( A 1 ) P ( B∨ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B∨ A 2 ) P ( B )=0.7∗0.6+0.3∗0.9 P( B)=0.69 P ( A 1 ) P ( B| A 1) =0.7∗0.6=0.42 P ( A 1|B )=

0.42 =0.6087 0.69

35. En un proceso de producción el porcentaje de objetos no defectuosos fabricados es 70% con probabilidad 0.35, 90% con probabilidad 0.25, y 60% con probabilidad 0.4. Si se selecciona al azar uno de tales objetos y si resulta no defectuoso, calcular la probabilidad de que sea de calidad del 90% no defectuoso. Sean los eventos: A :Calidad del 70 % B:Calidad del60 % C :Calidad del 90 % E :Objetono defectuoso Regla de Probabilidad Total P ( E )=P ( A ) P ( E| A ) + P ( B ) P ( E|B )+ P ( C ) P ( E|C ) P ( E ) ¿ 0.35∗0.7+0.25∗0.9+0.4∗0.76=0.71

P( E)=0.71 Teorema de Bayes P ( B|E )=

P ( B ) P ( E|B ) 0.225 = =0.3169 0.91 P( E)

36. Una población de electores se divide en tres estratos sociales excluyentes: baja, media y alta; de manera que la clase baja o media son el 90% del total, y la clase media o alta el 40% del total. De los primeros sondeos realizados para las próximas elecciones, se afirma que el porcentaje de electores que votarían por el candidato D puede ser: 30% de clase baja, 50% de clase media y 70% de clase alta. Sea: P( A): probabilidad que sea de clase alta . P ( M ) : probabilidad que sea de clase media . P ( B ) : probabilidad que sea de clase baja . P ( D ) : probabilidad de se vote por el candidato D . P ( B U M )=90 % ⟹ P ( A )=10 %

P( M U A)=40 % ⟹ P( B)=60 % P ( M )=30 % P( D∨B)=0.3 , P( D∨M )=0.5 P( D∨ A)=0.7 a) Si se elige un elector al azar y se encuentra que vota por D, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la case alta?

P( A∨D)=(P ( A )∗P (D∨ A))/P ( D) Hallamos P ( D ) por la regla de bayes . P ( D )=P ( A )∗P ( D| A ) + P ( B )∗P ( D|B )+ P ( M )∗P (D∨M ) P ( D )=0.1∗0.7+0.6∗0.3+ 0.3∗0.5 P( D)=0.4 ( A∨D)=

0.1∗0.7 =0.175 0.4

b) Si se escogen dos electores al azar, ¿qué probabilidad hay de que uno de ellos vote por D? C 21 P ( D ) P ( D' )=2∗0.4∗0.6=0.48

El espacio muestral para esta Ω = {D’D’; D’D; DD’; DD}, Siendo D’ la probabilidad de que no se vote por el candidato D.

37. Una máquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina está bien ajustada en un periodo, el 80% de los objetos producidos pasan el control de calidad de otro modo sólo pasan el 60%. Se ha determinado que el 90% de los periodos la máquina está bien ajustada. De los 25 objetos producidos en un solo periodo se escogen 3 al azar y a la vez para el control de calidad. Objetos

Buen Ajuste (0.9)

Mal Ajuste (0.1)

Pasan

25 x 0.8 = 20

25 x 0.6 = 15

No pasan

25 x 0.2 = 5

25 x 0.4 = 10

a) ¿Qué probabilidad hay que sólo 2 pasen el control de calidad? p=

5 15 10 0.9 C 20 960 2 C 1 + 0.1C 2 C 1 = =0.4174 25 2300 C3

b) Si solo dos pasan el control de calidad ¿qué probabilidad se tiene que haya sido producido cuando la máquina trabaja en un periodo de buen ajust B: Pasan 2 objetos el control A : Maquinatrabaja en buen ajuste 5 0.9C 20 P( A ∩B) 2 C1 P ( A|B )= = 20 5 15 10 P( B) 0.9 C2 C1 +0.1 C2 C 1

P ( A|B )=

885 =0.8906 960

38. El departamento de créditos de una tienda comercial afirma que según sus experiencias pasadas la probabilidad de que el 20% de los clientes que compran por más de $50 es igual a 0.3 y que la probabilidad de que el 60% de los clientes compren por más de $50 es igual a 0.7. Sin embargo, al entrevistar a dos clientes al azar se encuentra que los dos compraron por más de $50. En base a este resultado, ¿qué modificación acerca de las probabilidades 0.3 y 0.7 deberá hacer la tienda comercial? Sean los eventos: A :20 % clientes B: 60 % clientes D :2 al azar compran por másde $ 50 P( A)=0.3 P( B)=0.7 Veamos 

Si se escogen dos clientes de A, la probabilidad de D sería D=0.2∗0.2=0.04



Si se escogen dos clientes de B, la probabilidad de D sería

D=0.6∗0.6=0.36 Pero como es al azar pueden ser de cualquiera inclusive de ambos, así que tenemos: P ( D )=0.3∗0.04+ 0.7∗0.36 P( D)=0.012+0.252=0.264

P ( A|D )=

P ( A ) P ( D| A ) 0. 012 = =0 .045 0. 264 P(D)

P ( B|D )=

P ( B ) P ( D|B ) 0.25 2 = =0.955 0.264 P( D)

39. A un candidato le han indicado que obtendría el 60% de los votos con probabilidad 0.2, el 45% de los votos con probabilidad de 0.3 y el 70% de los votos con probabilidad 0.5. Después de preguntarle a 4 personas se obtiene que 2 de ellas votarían por el candidato. A la luz de este resultado, ¿cuál es la probabilidad de que el candidato obtenga el 60% de los votos? Sean los eventos: A :que tenga el 60 % de los votos B: que tengael 45 % de los votos C :que tengael 70 % de los votos E :2 de 4 personas votarían por este candidato . P( A)=0.2, P(B)=0.3 , P(C)=0.5 De cuantas maneras podemos elegir 2 de 4 personas, eso está contenido en el siguiente número combinatorio. C 24 Estas personas pueden pertenecer A, B o C. Suponemos que si las 4 personas son de A P ( E )=C 42∗0.62∗0.42 P ( E )=0.2 C 42∗0.62∗0.4 2 +0.3 C24∗0.452∗0.552 +0.5 C24∗0.7 2∗0.32 P ( E )=0.3117 P ( A|E )=

4 2 2 P ( A ) P ( E| A ) 0.2 C 2∗0.6 ∗0.4 = =0.2218 P(E) 0.3117

40. Una agencia de publicidad observa que el 2% de los compradores potenciales de un producto ve su propaganda por periódico, el 20% ve dicha propaganda por televisión y el 1%ve los dos tipos de propaganda. Además de cada tres que ven la propaganda uno compra dicho producto y el 7.9% compran y no ven la propaganda. Sean los eventos: V :Vio la propaganda NV : No Vio la propaganda E :Compra el producto A :Ve la propaganga por periodico B:Ve la propaganda por TV a) ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador potencial compre dicho producto? P ( E )=P ( V ) P ( E|V )+ P ( NV ) P ( E|NV ) Para hallar P ( V ) ,usa mos Regla de Adición de Eventos P( AUB)=P( A)+ P(B) – P( A ∩ B) P( AUB)=0.02+0.20 – 0.01 P( AUB)=0.21 P(V )=P( AUB)=0.21 P(V )=0.21 P( NV ) P(NV )=1 – P(V )=1−0.21 P( NV )=0.79 P(E|V) = 1/3, dato del problema Ahora solo nos faltaría calcular P(E|NV). Probabilidad Condicional P ( E|NV )=

P (E ∩ NV ) 0.079 1 = = P ( NV ) 0.79 10

1 1 P ( E )=0.21 + 0.79 =0.149 3 10

b) Si un comprador potencial compra el producto, ¿cuál es la probabilidad de que no haya visto la propaganda? 0.79∗1 P (NV )P ( E|NV ) 10 0.079 P ( E|NV )= = = =0.5302 0.149 0.149 P(E)

41. Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para realizar un negocio. La probabilidad de que lo llamen cualquiera de sus 3 clientes en forma independiente es 0.3. Además, la probabilidad de realizar el negocio es de 0.20 si llama un cliente, es de 0.4 si llaman dos clientes, y es de 0.8 si llaman los 3 clientes. Si ninguno de los 3 le llama no realiza el negocio. Sean los eventos: Ai : Llamani clientes i=0,1,2,3 B: Realiza el negocio . C : Llame cualquiera de lostres clientes Datos del problema P ( B| A O ) =0 P ( B| A 1 )=0.2 P ( B| A 2 )=0.4 P( B∨ A 3)=0.8 P(C)=0.3 a) calcular la probabilidad de que realice el negocio.

P( B)=P( AO ) P(B∨ AO )+ P( A1 )P(B∨A 1 )+ P( A 2) P( B∨ A2 )+ P( A3 ) P( B∨A 3 )

P ( A O ) =C30 ¿

P ( A 1 )=C 31 ¿ P ( A 2 )=C 32 ¿ P ( A 3 ) =C33 ¿ P ( B )=0.343∗0+0.441∗0.2+ 0.189∗0.4+0.027∗0.8 P ( B )=0.1854

b) ¿cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente sabiendo que realizó el negocio?

Tenemos que ver cuál es la probabilidad más alta con respecto a P(B), y esta es P(A1) P(B|A1) /P(B) = 0.0882/0.1854, con un 47%.

Rpta: Sabiendo que realizó el negocio, es más probable que el gerente reciba una llamada.