Fundamentos De Algebra Lineal - Ruben Sanchez

Fundamentos de álgebra lineal Rubén E. Sánchez C. Profesor Escuda Colombiana de Ingeniería

\.,EDITORIAL

IJf-JmiLLAS

Dirección editorial Edición Diseño y diagramación Carátula

Alfonso López F. Luz Rodríguez A. O. Giovanny Méndez O. Giovanny Méndez

Prohibido reproducir este libro, total o parcialmente, sin autorización escrita del Editor. Todos los derechos reservados. Copyright © 2005 Editorial Tri !las de Colombia Ltda. ISBN: 958-33-7224-2 Cra. 15 No. 33A-35 Tels. (91)232 7367- 285 7187 Fax: (91 )285 8905 Bogotá D.C. Colombia Impreso en Colombia Impreso por: ULTRACOLOR ARTES GRAFICAS LTDA.

Printed in Colombia

DEDICATORIA A mis adorados hijos Rubén Daría y Millán Andrés, hoy colegas de trabajo en la Escuela Colombiana de Ingeniería. A la memoria de mi inolvidable padre Rubén Sánchez Figueroa.

Prólogo

Dirigido a profesores y estudiantes que deséan encontrar un libro de álgebra lineal que enseñe los fundamentos de manera clara y sencilla.

En la actualidad existen muchos programas que se instalan en el computador, los cuales ~rmiten comprender y avanzar en una extensa variedad de tópicos de esta asignatura y .:-esolver gran cantidad de problemas casi inmediatamente, que de otra forma consumiría :nucho tiempo y posiblemente nos conduciría a errores.

El alumno interesado en c6mo resolver temas y problemas de álgebra lineal con la ayuda del computador, puede consultar programas como MatLab®, Mupad®, Maple®, \1athCad®,Mathematic®, Derive®, TI Interactive® y muchos otros que ojalá se encuenmm en las respectivas universidades para que los estudiantes tengan acceso a ellos. Este libro no enseña a manejar los programas anteriores, sino que proporciona las herramientas y conocimientos de esta asignatura que necesita todo estudiante de ciencias, mgenieria, economía, administración y de otras caiTeras para su formación. Cuando se adquieren los conceptos básicos de esta materia es muy sencillo y motivante llllpliar los conocimientos estudiando cualquier otro texto más avanzado. Recomiendo consultar las siguientes páginas en la web: www.math.fsu.edu/Virtual/index.php www.indiana.edu/statmath/math/index.html www.mathworld.wolfram.com www.debianlinux.net/scíence.html .-\quí se encuentran temas muy interesantes de matemáticas y de otras ciencias.

El autor

Acerca del autor Rubén E. Sánchez C.

Licenciado en Ciencias de la Educación con especialización en Matemáticas y Física de la Universidad Nacional de Colombia, en 1967. En 1973 se graduó como matemático de la Universidad Nacional de Colombia. Profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia (1968- 1996). Cuando se retiró ocupaba el cargo de profesor asociado de dedicación exclusiva. Fue distinguido como docente excepcional de la Universidad Nacional de Colombia en los años 1993 y 1994. Con su colega, el doctor Antonio Velasco Muñoz escribió varias ediciones del libro Curso básico de álgebra lineal, publicadas por Editorial Trillas. Ha trabajado también como profesor en la t:niversidad del Rosario, Pontificia Universidad Javeriana, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, de la Salle, Universidad Libre y Universidad La Gran Colombia. En la actualidad se desempeña como profesor en la Escuela Colombiana de Ingeniería.

Contenido

1.

Matrices......................................................................................................

1

Noción de una matriz y álgebra de matrices ... .. ... .. .... ... .... .. ... .. ... ..... .. ..........

1

Polinomio de matrices··········:.... ···············.......................................................

11

Algunos tipos especiales de matrices .... ................................................... .. ..

14

Sistemas de ecuaciones lineales ..............................................................

23

Nociones fundamentales................... ............................................................

23

Resolución de un sistema de ecuaciones ... .......... ..... ........ ...... .. .......... ... .. ... .

25

Método de eliminación de Gauss ........................... ... .... .............. .. ........ ..... ...

31

Determinantes............................................................................................

47

Introducción a los determinantes........................................... .......................

47

Propiedades de los determinantes .............. ............. ......... .. ........ ... ..... ..... .....

53

Regla de Cramer........ .. ............ .. ..... ..... ................... .......... ... .. ................ .......

63

4.

Inversa de una matriz ..............................................................................

68

5.

Vectores en R."..................................................................................................................................

75

Álgebra de vectores y producto interno .......... .......... ........ ..... ...... .. ..... ..... ....

75

Bases y dimensiones en R." ................................ ................ ................... ... ..................

89

2.

3.

Proyecciones y producto vectorial ....................................... ..................... ...

100

6.

7.

8.

Método de Gram-Schrnidt ............................................................................

107

Rectas y planos.............................................................................................

113

Espacios vectoriales .................................................................................

119

Noción de espacio vectorial..........................................................................

119

Dependendencia e independencia lineal.......................................................

125

Bases y dimensión ........................................................................................

130

Transformaciones lineales .......................................................................

135

Definición y conceptos básicos .. ...... ................ ... .................... ........... ... .......

135

Matriz asociada a una transformación lineal....................................... .........

145

Cambio de base .. ... ..... ... ... ... .. ... ... .. ..... ...... ......... ... .. ... ...... .. .... .. ... ... ......... ... ...

155

Transformación asociada a una matriz.........................................................

160

Vectores y valores propios............................................................................

160

Formas cuadráticas.......................................................................................

183

Formas cuadráticas y transformación lineal.................................................

183

Rotación de ejes............................................................................................

184

Respuestas a los ejercicios .....................................................................

193

Bibliografia .................................. :.................................................................

209

Índice.............................................................................................................

211

Capítulo l

Matrices

NOCIÓN DE UNA MATRIZ Y ÁLGEBRA DE MATRICES

lJna matriz es una ordenación rectangular de números, por ejemplo:

es una matriz. Se emplean los paréntesis con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad. En general, una matriz frecuentemente se escribe así:

A

=

(aij ) m xn

a tl

at 2

a2t

a 22

ami

am2

=

y se dice que es una matriz de tamaño m

m xn

n, o sea que está compuesta de m filas y n columnas. Por ejemplo, la primera fila A 1.= ( a 11 , a 12, . •• , a 1,J y la segunda columna: ><

2

Capítulo 1 Matrices

En general denotaremos por A¡. la i-ésima fila y por A._¡ la j-ésima columna de una matriz A. El elemento au. de la matriz se encuentra localizado en la intersección de la i-ésima fiJa y de la j -ésima columna.

Columna j

2

Ejemplo:

Sea A =

3

o

-3

- 1

2

Esta matriz es de tamaño 3 x 4, es decir, tiene tres filas y cuatro columnas. Sus filas son:

( - 1' 2, 3, 4) ( 4, O, - 3, 8) ( 9, - 1, 2, 4)

y

sus columnas son:

A.,=

además: a 14 = 4, a 24 = 8, a32 = - 1. a 23 = - 3

u J

~ión

de una matriz y álgebra de matrices

3

Orfinición 1 Una matriz A de tamaño n x n, es decir, cuando el número de filas igual al de las columnas, se denomina matriz cuadrada de orden n.

Definición 2 Dos matrices A = (aij)m xn y B = (bijJmxn (del mismo tamaño) son ,.uales si todos los correspondientes elementos son iguales, esto es, si ~

=bij Vi= 1,2, ·· · ,m y Vj= 1,2, ··· ,n.

Ejemplo: Hallar x, y, z, w, si X+ 2 (z+4

8)

3y+ 5w + 1

y+4 ) w+5

Por la definición anterior, tenemos que: x + 2 =6 y+ 4 = 3y + 8

=> => z + 4 = 3z - 8 => w + 5 = 5w+ 1 =>

x= 4 y= - 2

z = 6 w=

1

Definición 3 Sean A = (aij)m xn y B = (bij)m xn dos matrices del mismo tamaño. Se .:iefine la suma de estas matrices como la matriz C = (cij)m xn donde cij = aij + bij, 'Vi = : .2, · · · m y Vj = 1,2, · · · n. Esto es la suma de dos matrices del mismo tamaño, es la matriz de ese mísmo tamaño obtenida al sumar los correspondientes elementos.

Ejemplo:

(-~ ~ =~ 16 ( -5

l

2 X3

9-6] 6 -9

2X3

+

(~

4

Capítulo 7 Matrices

Ejemplo:

-5 - 2 -1 ) + _ 5 8 2x3

La suma ( _ 9

(48 -3) -9

no está definida porque

2 x2

las matrices son de diferente tamaño.

Definición 4 matriz nula (o

Una matriz que tiene todos sus elementos iguales a O se denomina cero) y se denota por O.

ma~riz

el tamaño de la matriz Oserá evidente dentro del contexto en el cual se use. ~i

A= (a¡)m xn y O= (O)m xn se aprecia claramente que A+ O= A.

Definición 5 Sea e un número (escalar) y A = (aü)m xn una matriz. El producto cA es la matriz B = (bü)m xn donde bü = caiJ. Hemos por tanto, defmido la multiplicación de un escalar e por una matriz A y se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c.

Ejemplo:

43 -5] -5 5 -1

Definición 6 Sean A= (aiJ)m xn y B =(bü\nxn· Se define la diferencia A - B por: A - B = A + ( -1 )B Ejemplo:

Ejemplo:

5 -1 ) 3 -4 -

(

o -1 o

-5

128 -25] ( 1 - 3535

-4) -1

~ de una matriz

h

5

y álgebra de matrices

ema 1 Sean A, B, a. entonces:

e matrices de tamaño m

x

n, e y d escalares y O la matriz

(A + B) + e = A + (B + C) A+B = B + A A + O= A .1

A + (- A) = O

= cA + cB (e + a')A = cA + dA

f 1. e(A + B)

t:

(cd)A

= c(dA)

Demost ració n : Es necesario probar una igualdad de matrices; luego, por la defmición 2) debemos mosuar que el elemento que se encuentra en la posición ij, en la matriz a la izquierda del signo =.es igual al elemento que se encuentra en la posición ij en la matriz a la derecha del=. Se demostrará, el ordinal M2); los demás quedan como ejercicio. El elemento situado en el posición ij en la matriz (e+ a') A es (e+ d)aiJ = caiJ + daiJ. El e emento situado en la posición ij en la matriz cA+ dA es caiJ +da¡_¡- Por tanto, queda demostrado que:

(e + a') A = cA + dA

Definición 7 El producto de una matriz 1 xn (llamada vector fila) por una matriz nx] (llamada vector columna) se define como:

obsérvese que este producto es un número.

6

Ejemplo:

Capítulo 7 Matrices

(3, - 5, 8, 5) [

j J~

(3)(8) + (- 5)(- 9) + (8)(7) + (5)(-5)

~

100

Definición 8 Sean A = (a¡) mxn, B = (b1k)nxp· El producto AB es otra matriz (c;k )m xp donde C¡k = A¡.B.k=

e=

n

=ab + ab + .. ·ab i 1 ik i2 2k in nk =~a L. ij bjk i = [

Luego el elemento que se encuetra en la posición ik de AB se obtiene al multiplicar la fila ideA por la columna k de B. Nótese que la multiplicación de una matriz A con una matriz B solamente se define cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Además el tamaño de la matriz producto es (# de filas de A) x (# de columnas de B) En otros ténuinos tenemos:

[a,

al2

a2L

azz

azn a,"

a,~IL

am2

a:nn

l

bl2

[ bbz¡ ll

bzz

bn l

bnz

m xn

[ A,.B,, Az.B•I

A,.B.z Az.B.2

A,.B.P Az.B.P

Am~B.,

Am.B.z

Am:B.P

l mxp

""oc.ión de una matriz y álgebra de matrices

Ejemplo:

7

Vamos a hallar el producto de:

9 -9 -8 -5 ( -9 5

45 - 4)5

2x3

E producto está definido pues el número de columnas de la primera matriz es igual al -:UIIlero de filas de la segunda matriz. La matriz producto es de tamaño 2 x 4 y la denot3mos por:

nora bien:

~A,.B. 1 ~(~8,4,4) (=i) ;

~A,.B., ~ (-8, 4, 4) (

-140

=n

72

,~A 1 ,B.3 ~(-8,4, 4) ( ; ) ~

12

_~A,.B~~(-8, 4,4) (_!) ~-,

~ A,.B., ~(2,5, -5) (=iJ ·~

4

23

e,_.~ A .B. ~ (2, 5, - 5) ( =n

-

,,~A 2.B.3 ~(2,5, -5) ( .; ) ~

-

2

2

=,~A 2.B~~ (2,5, -5)

(j) ~

68

7

75

8

Capítulo 1 Matrice

Luego

(-8 5 -~) 2

72

( - 140 23

Ejemplo:

o)

4 7 4 7 -8

( 9 -9

4

2

X

-8 - 5 -9 5

3

12

-68 - 7

- 4) 75 2

X

3 x4

4

El producto

u n. 5 -9 - 1 -5 -1

( _~

3 3

3 -9 ) 9 -9 2

X4

no está defmido porque el número de columnas de la primera matriz no es igual al númer· de fi las de la segunda matriz.

Ejemplo:

Sean A

=(

~

y

B=

(-42 - )3) ~

2"2

AB y BA están definidos y

(- 4o

Es decir AB

-::¡:.

-7)

- 11

BA .

Luego el producto de dos matrices, en general, no es conmutativo. Si AB = BA se dice que A y B conmutan.

2x4

\'ación de una matriz y álgebra de matrices

9

Definición 9 Una matriz cuadrada de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a 1 y todos los demás componentes iguales a O se denomina matriz de identidad (o idéntica de orden n) y se denota por In.

1n

Ejemplo:

12 = (

o

o

o

o

o

=

~)

1

1

o o o 1 o o o 1

I, = (

o o mxn

)

I, = [

~]

1 o o o 1 o o o 1 o o o

Si el orden es evidente dentro del contexto, se escribe simplemente l.

Supongamos que A, B, C son de tamaño tal que pueden efectuarse todas las operaciones indicadas a continuación (se dice que las matrices son conformables para las operaciones indicadas) y que e es un escalar; entonces: Teorema 2

i) c(AB)

=

(cA)B

=

A(cB)

ü) A(BC) = (AB)C üi) lA = A y BI = B

iv) A(B + C)

=

AB + AC

v) (A + B)C = AC + BC Demostración:

) Probaremos primero que c(AB) = (cA)B.

Sean A= (a;)m xn Y B

=

(bjp)m xp·

n

El elemento que se encuentra en la posición ik en la matriz c(AB) es e (La;¡ b1k). j =1. 11

El elemento que se encuentra en la posición ik en la matriz (cA) B es

L.

(caif)bJk

=

J =!

n

e (L. aif bJIJ. Luego, por la definición 2) de la igualdad de matrices, se desprende que 1= !

c(AB)

=

(cA)B.

Ahora se debe probar que (cA)B

=

A(cB) o c(AB) = A(cB)

10

Capítulo 7 Matrices

(Ejercicio)

ii) Sean A = (a¡)m xn, B = (bjk)n xp, C = (cks)pxq El elemento que se encuentra en la posición is dt: la matriz A(BC) se obtiene al multiplicar la fila ideA por la columnas de BC, por tanto, es: p

L

blk cks

I

b2kcks

k= i p

k=l

El elemento que se encuentra en la posición is en la matriz A(BC) se obtiene, al multiplicar la fila i de AB por la columna S de e, esto es:

Ip (j=I"i a¡r¡ b~cJ ) cks = j I= l a¡·r¡ ( k=Ipl b~c cks ) J 11

k=l

11

Polinomio de matrices

Luego por la definición 2) se desprende que A(BC)

=

(AB)C

Las otras partes del teorema son mucho más fáciles de probar y se dejan como e,ercicios. Si A es una matriz cuadrada, podemos formar los productos AA, lo que se denota por ~ •• AAA que se denota por A3 y en general AA ... A se denota por An. -

'-----v---'

"veces

Se define Ao= I

o)

Ejemplo: Si A = (-1 _ 3 4

~tonces A2

= ( - 151

o)

16

y A3 =

(-631

POLINOMIO DE MATRICES

St t{x) es el polinomio

x)

= a~" +

a,_ 1 xn-t + · ·· + a 1x + a 0

donde a,, a,,_1, mos la matriz

· ·· ,

(A)= a11A'1 + a11

_

a 1, a0 son escalares y A es una matriz cuadrada; por /(A) designare1An- l

+ ·· · + a 1A + a 0I

donde 1 es la matriz idéntica del mismo orden que A

Ejemplo: Sif(x)

=

2~2 + 3x -7 y A = ( ~ ~)

(6

~)

12

Capítulo 7 Matrices

EJERCICIOS En Jos siguientes ejercicios,

A = (~ ~ =~),

B=

y

( 3 5 - 9. ) 4

D=

Hallar: l.

4A+2B

2.

3C - 4D

3.

AC

4.

BD

5.

AD

6.

(A + B) D

7.

(A - 2B) C

8.

(2A - 3B) D

Calcu lar el producto de las siguientes matrices:

9.

JO

(-1, 0 ,3,- 4)

l~n

(- 1, o, 3,- 4)

ILH -i) 8 8 5

12.

[~l l ( ~:)

C" a, a,, ) (~·) C/21 °22

C/2;

x2

C/31 C/32

C/33

x3

1 -1

uJ=; -!)

13

Polinomio de matrices

13.

1 ~.

(; -~) (-; ~)

(: -:)(~

15. Calcular A2 si A =

16. Calcular A3 si

~)

(~

A~ (

D 1

o 1 o o

¡)

17. Demostrar que si AB = BA, entonces: a)

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

b)

(A - B)2 = A2- 2AB + B2 (A+B)(A - B) = A2 -B2

e)

18. Sif(x) =x2 + 3x + 5 y A=

(~

19. Sif(x) = x2 -5x + 10 y A= ( _;

20. Si f(x)

i}hallarf(A)

; } hallarf(A)

~ 2r'- 3x + 2 y A~ ( ~ ~

!}

hallarf(A)

21. Mostrar que si AB = A y BA = B, entonces A2 =A y B2 = B 22. Hallar dos matrices de tamaño 2 x 2 diferentes de O, de modo que AB = BA = O.

.!3. Si A es una matriz cuadrada tal que A2 = A, demuestre que (1 - A)2 = 1 - A

14

Capítulo 7 Matrices

24. Calcular:

b)

-3) ¡Js) ·(~ ¡-{S

(_~

a)

C+, 1+ i i

25. Sea A =

2 + i 3 +i ) l + 2i l + 3i 2i 3i

-2 + i 2 + 3i + Si

(3

2i)

4i 6i

( cos 8 - sen 8) calcular A2 y A3 sen 8 cos 8

26. Una matriz de Dürer es una matriz n x n (con n 2 3) construida con los enteros 1 a n2 de manera que la suma de cada una de las ti las, de cada Lma de las columnas y de cada una de las diagonales sea igual. Hallar una matriz de Dürer 3 x 3 y otra de tamaño 4 x 4. ALGUNOS TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

Definición 1 Sea A una matriz de tamaño m x n. La matriz A' de tamaño n x m obtenida de A al intercambiar las .filas y las columnas, se denomina la transpuesta de A.

Si A= (a¡)m xn entonces A'= (bij) 11 x 111 donde bij =aij

Las filas de A' son A, 1, A,2, Ejemplo

Si A =

.. · ,

(-1 2) ~ -~

A.0 y las columnas A 1., A.2,

... ,

Am·

,= (-1 _3 2 3

entonces A

Si A y B son matrices conformables para las operaciones indicadas y si e es un escalar, se tiene:

Teorema 1

a) (A)' = A

b) (cA')' = cA' e) (A + B)' = A' + B' d) (AB)' = .8' A'

15

"dgunos tipos especiales de matrices

Demostración: Sean A= (a;)m xn y B = (b;kJnxp· El elemento que se encuentra en la posición ki de ,\8)', es elemento que se encuentra en la posición ik de AB, es esto es, n

A¡.B.k = L aiJbJk j - I

n

11

- elemento que se encuentra en la posición ki de B'A' es, B.k A;. =.I:b1k aiJ = ?, a iJ b;k· J =l

1 ... ¡

x la definición 2) de igualdad de matrices, se concluye que (AB)' = B'A'. Las demos':!'aciones de las otras partes del teorema se dejan como ejercicio.

Nota. Obsérvese el orden en la propiedad d), es análogo a lo que sucede cuando uno se ne las medias y Juego los zapatos; pero en el orden transpuesto se quitan primero los zapatos y Juego las medias.

Definición 2 Una matriz cuadrada A se denomina simétrica si A = A', y tisimétrica si A = - A'. ljemplo

A=

~ ~

(

=;)

es simétrica y

-5 - 7 - 1

4

~

(

-!-~ ~)

Jeorema 2

~ antisiméMca.

Toda matriz cuadrada A puede escribirse como A=B+ C

nde B es simétrica y C es antisimétrica.

Demostración: A=

-I(A + A')+

1

(A - A')

16 Sean B =

Capítulo 7 Matrices

t (A + A') y e = t (A - A') ~

B' = [ t(A + A')]' =

t (A + A')' =

~(A' + (A')')=

t (A' + A) = ~ (A + A') = B

por tanto, B' = B; entonces, B es simétrica.

e' = [ t (A - A')]'= !(A - A')' = t(A' - (A')') = !CA'-A)=- t (A - A') = - C. Es decir, e'

= - e; entonces, e es antisimétrica.

Ejemplo:

A=

( 4 o -1) - 5 5 -7 1 -1 3 5

-2 5

H

-4

= _!_2 (A + A') + _!_(A - A') = 2

n

5

+

H

2 - 1)

o

-3

3

o

Definición 3 Sea A una matriz con elementos complejos. La matriz A obtenida de A al conjungar todos sus elementos se denomina la conjugada de A. Si A = (a;)w
Definición 4 La transpuesta de A, o sea (A)' se denomina la transjugada de A y se denota por A*. Ejemplo: Si A

=

1 - 4i ( - 2i

2 + 3i 4 + 3i

3 ) entonces 1- i

1 + 4i

A* = (A)' =

(

2 - 3i 3

2i )

4 - 3i 1+ i

17

JWgunos tipos especiales de matrices

Jlorema 3 Si A y B son conformables para las operaciones indicadas y si e es . , escalar, se tiene: a) A=A b) cA = cA e) A + B = A + B

d) AB = AB e) (A)'= (A')

Demostración: Sean A = (aij)mxn' B =(bjk)nxp· El elemento que se encuentra en la posición ik de AB, es: n

A;. B.k =

n

L. a ij bjk = L. a ij bjk

j ;J

j; J

11

El elemento que se encuentra en la posición ik de A B esA;. B .k =

L. aij bjk

j =- 1

Por tanto, AB = A B. Las otras partes del teorema se dejan como ejercicio.

Definición 5 Una matriz cuadrada A se denomina hermítica si A* anrihermítica si A* = - A E¡emplo: A= ( 5 ~ i

.. = (_ o+

~

2

3

¡

20

=

A y

5 _; i ) es hermítica y

3i) es antl"hermztzca. ..

Definición 6 En una matriz cuadrada A los elementos a;; se denominan elemenos diagonales. La diagonal principal es el conjunto de todos los elementos diagonales.

18

Capítulo 7 Matrices

Si A = (aiJ)m xn• diag A= (a 11 , a 22 ,

· •· ,

a 11n).

Definición 7 En una matriz cuadrada A la suma de los elementos diagonales se denomina la traza de la matriz A y se denota por TrA.

Ejemplo: Si A =

-1 2 4) 3 - 3 5 , diag A= (-1 , - 3, - 8), y TrA = -12 (- 9 1 -8

Definición 8 Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no se encuentran en la diagonal principal son O.

Ejemplo: (

b ~)

(

1 o o -3 o o

o~ )

son matrices diagonales

Definición 9 Una matriz escalar es una matriz diagonal que tiene todos sus elementos diagonales iguales.

Ejemplo: (;

~) ,

(6

~}

(

3~

o 3

o

-4

o o)

o -4 o

(

o o

-4

son matrices escalares. Definición 1O Una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero, se denomina matriz triangular superior. A = (aiJ)mxn es triangular superior si aiJ = O para i > j.

4) 8 -9 '

-3)

( oo o '

Ejemplo:

8

o o

(

-8 -5 o -9

o o

Definición 11 Una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero, se denomina matriz triangular inferior. A = (aiJ)n xm es triangular inferior si aif = O para i < j.

Ejemplo:

(~

(_~

-8 o -5 -9

( 4

5

o '),. X

~)

19

ALgunos tipos especiales de matrices

Definición 12 ar inferiOI~

Una matriz es triangular si ella es triangular superior, o triangu-

Definición 13 Sea A una matriz cuadrada. a) Si AA'

= A' A = 1

se dice que A es ortogonal

b) Si AA* = A* A = 1

se dice que A es unitaria

e) Si A 2 = A

se dice que A es idempotente

d) Si A2 = 1

se dice que A es involutiva se dice que A es ni/potente de índice der.

Ejemplos:

(~ (o

¿) ¡)

-i

o

1

o

(o o

es ortogonal

1 5

es unitaria

n

o o 1J ( - 11 - o1 -1o

(_~

-D

es idempotente

es involutiva

es nilpolente de índice 2

20

Capítulo 7 Matrices

EJERCICIOS 2 l.

9]

5 -5 O -8 4 7 -9 ' 7 -8 3

-9 4 Sean A =

[

-;

[

5 -9 B _ - 1 -5 -

¡-~]

1 -1 3 3 -9 -6

Hallar A', B', (A+ B)', (3A)', (AB)'

2.

B=

3.

4.

-5]

9 -9 1 -7 1 -4 2 - 5 - 7 2 -3

9 Verificar que A = [ 3 -9

[-7 -2 -7 2 -3 -6

7 -8

6 -8 8 -1

o

-!]

es simétrica y que

es antisimétrica

Demostrar que si una matriz A es antisimétrica, entonces a;; = O y

Escribir la matriz

-28 3o - 51- 36 ] A= [ -4 -6 o8 -5

1

a ij

= -a1;

como la suma de una matriz simétrica

- 1 -5

y una antisimétrica.

5.

Demostrar que si una matriz cuadrada A se expresa como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica, dicha descomposición es única.

6.

Hallar la conjugada de las siguientes matrices:

2 + 3i A = - 3 + 4i (

B= (

4 + 2~

2 - 6i

3 - 2i 2 + Si 7

7 - 8i

1 + 3i

2 - Si

3 - 4i

O 2 - 9i 9+i

3 - 4i

3 + 7i 3 - 6i

J J

21

Mgunos tipos especiales de matrices

Hallar la transjugada de las matrices del ejercicio 6). Con las matrices del ejercicio 6 y con e= 3 - 4i, hallar A + B, cA, cB, cA, AB, A, B,

A B. Verificar que:

A=

[2-i.

-9

3 - 4i S + 3i

B

=[

3 -4i 1 + 7i 4 -2i

2 + 8i 1 - 7i 2 - Si

~

2+i

o

-2 + - 3 - 8i -4 9i - 1 - Si - 2 + Si

3i 25+- Si 2i

J es hermítica y

-9

3 - 8i 4- 9i

- 5i 21 + Si

o

- 3 + S~

l

antihermítica.

3 + Si

. Demostrar que (ABC)' = C'B'A' a) Demostrar que si A es hermítica, entonces sus elementos diagonales son reales.

b) Demostrar que si A es antihermítica, entonces sus elementos diagonales son iguales a cero, o imaginarios puros. 1. Demostrar que cada matriz cuadrada A puede expresarse de manera única como la suma de una matriz hermítica y una antihermítica.

., Expresar la matriz

S+ i - 3 + 4i ( 7 + 7i

8- i

4+ 2i)

8 - 3i - 9 + 2~

como la suma una matriz

hermítica y una antihermítica. 3. Demostrar que toda matriz hermítica A puede expresarse de manera única en la forma A = B + iC, donde B es real y simétrica y C es real y antisimétrica.

22

Capítulo 7 Matrices

14. Si A es una matriz cuadrada cualquiera, demostrar que la matriz B = A'A es simétrica. 15. Demostrar que si A y B son simétricas (o antisimétricas) entonces ABes simétrica sí y solamente sí AB = BA. 16. Hallar TrA, TrB, Tr(A + B), donde A y B son las matrices dadas en ejercicio 2). 17. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño; probar que:

Tr(A + B) Tr(AB)

= TrA + TrB

= 71-(BA).

18. Probar que si A es involutiva, A puede escribirse como la smna de dos matrices idempotentes. Ay uda: A = ~ (A + l) - [ - ~ (A - I)] 19. Probar que si una matriz A tiene dos de las siguientes propiedades, también posee la tercera. a) es real;

b) es ortogonal;

e) es unitaria.

20. Probar que si una matriz A tiene dos de las siguientes propiedades, también posee la tercera. a) es simétrica;

b) es.ottogonal;

e) es involutiva.

Sistemas de ecuaciones lineales NOCIONES FUNDAMENTALES

onsideremos el sistema de ecuaciones lineales:

+ +

a2,~n

b¡ b2

+

a i2x 2

+

+

ait~n

b¡

+

a mr2

+

+

am~n

bm

+ +

a ¡ 1x 1

a m l xl

(*)

=

+ +

a lt~n

a 22X2

a 11 x 1 a 21 x 1

a,2x2

esto es, m ecuaciones con n incógnitas x 1, x2,

··· ,

xw

Recordando la multiplicacion de matrices, podemos escnoir el sistema anterior como:

En forma abreviada escribimos AX = b donde A es la matriz de los coeficientes, X es el vector columna de las incógnitas y b el ~tor columna de los términos libres.

24

Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales

Toda n-tupla ordenada (x 1,x2,- · ·,.xn) que satisface cada una de las ecuaciones del sistema ( *) se llama una solución del sistema. Si miramos el sistema en forma de matrices, escribiremos una solución como el vector columna,

Si un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es inconsistente. El sistema

X¡

3x 1 -X ¡

+ + +

2x2

x3 2x3 4x3

x2

3x2

+

2x4 x4

+

X4

10

= =

-5 3

se puede escribir en forma de matrices, como

(J Una solución del

siste~a

2 1 3

-1 -2 -4

es (1,2,3 ,4) o [

-:) [~~]~HJ

Í],

si considerarnos el sistema en formas de

matrices, pues si x 1 = l, x2 = 2, x3 = 3, x4 =4, se satisfacen las tres ecuaciones anteriores. Si en el sistema(*) b 1 = b2 = ··· = b111 = O, se dice que el sistema es homogéneo.

Definición 1 Dos sistemas de ecuaciones se dicen que son equivalentes, si ellos tienen exactamente las mismas soluciones. Propiedades de los sistemas de ecuaciones Propiedad 1 Si en un sistema de ecuaciones se intercambian dos ecuaciones el sistema resultante es equivalente al primero. Denotaremos con E¡ H Ej para indicar la operación de intercambiar la ecuación i, con la ecuación}.

25 llllliiH>t:fad

2

un sistema de ecuaciones se multiplica una una ecuación por un escalar e diferente el sistema resultante es equivalente al primero. Denotaremos con cE¡ para la operación de multiplicar la ecuación i por el escalar c.

._.,eaii03 un sistema de ecuaciones se multiplica una ecuación por un escalar e y se suma a ecuación, el sistema resultante es equivalente al primero. Denotaremos con CE¡ = Ej ndicar la operación de multiplicar la ecuación i por el escalar e y sumársela a la

-IJ'IerJaa 4 ~ sistemas de ecuaciones son tales que el primero es equivalente al segundo y el • ._Ido es equivalente al tercero, entonces el primer sistema es equivalente al tercero. propiedades se vienen usando desde el colegio y se deja su demostración como

ideremos el sistema de ecuaciones

a)

XI

3x 1

8x2 8x2

+ + +

2x2 x2

+

3x2

XI

3x_1 - 2x 1

+ +

x3 4x3 3x3 3x3

5x3

+ +

2x4 4x4 llx4 + 3x4 2x4

=

6

15 - 21 = 8 8 =

&minemos x 1 de la segunda ecuación en adelante; para ello, se efectúan las siguientes .,ernciones: -3E1 + E2, 2E1 + E 3, - E 1 + E4 , - 3E1 + E5 y nos resulta:

XI

b)

3x2

x2 2x2 5x2 8x2

+ + +

+

x3 x3

5x3 4x3

+

2x4 2x4 7x4

+

x4

2xu--

8x4

= = = = =

6

-3 -9 2 - lO

Eliminemos ahora x2 de la tercera ecuación, en adelante, efectuando las siguientes opeaciones: -2E2 + E3 , -5E2 + E4 , -8E2 + E5 y tenemos:

26

Capítulo 2

3x2 x2

XJ

+ +

x3 x3 3x3 9x3 6x3

2x4 2x4 3x4 + llx4 + 8x4

+

Sistemas de ecuaciones lineales

=

6

=

3 3 17

14

Antes de eliminar x 3 de la cuarta ecuación, en adelante, se efect1Jan las operaciones E3 , y Í E5 a fin de simplificar un poco las ecuaciones

t

3x2 x2

x,

+ +

x3 x3 x3 9x3 3x3

+

2x4 2x4 x4

6

= =

+ llx4 + 4x4

3 17 7

Efectúemos ahora las operaciones 9E3 + E4 , 3E3 + E5 y tendremos:

x,

3x2 X2

+ +

x3

+

x3 X3

2x4 2x4 x4 2x4 x4

6

-3 -1

8

=

4

= = =

-3

t

Efectúemos la operación E4 y nos quedará

x,

3x2 x2

+ +

x3 x3 x3

+

2x4 2x4 x4 x4 x4

6

-1 4 4

Por último eliminemos x 4 de la quinta ecuación por medio de la operación - E4 + E5 y nos resulta el sistema XI

3x2 x2

+ +

x3 x3 x3

+

2x4 2x4 x4 x4

o

6

=

'"1

- .)

-1 4

o

27

aesolución de un sistema de ecuaciones

sustituimos el valor de x 4 en la tercera ecuación, obtenemos el valor de x3 =3 y sustituprimera x 1 = l. La .-:~•ación del sistema es entonces ( 1,2,3,4) y en forma transpuesta

JIDdo en la segunda ecuación obtenemos el valor de x 2 = 2 y en la 1 2

"

XI

x2

o finalmente podemos escribi r

=

2

.)

x3

3

4

X.¡

4

o se observará, todas las operaciones anteriores se hicieron sobre los coeficientes

*las incógn itas, de modo que para ahorrar tiempo no es necesario que las escribamos; SIStema original a) se nos convierte en: 1 3

-2

2

3

-8

4

4

3 - 11 -21 -3 3 8 2 5 8

8 2

..,

6 15

.)

linea vertical es para separar los coeficien'tes de las incógnitas, de los términos libres;

.,ara que no nos queden los números sueltos, se introducen dentro de un paréntesis, es 61tir, se forma la matriz

A=

1 3 -2

"

.)

-3 -8

2

6

4

4

15

8 2

3 -3

- 11

- 1

5

- 21 8 8

3 -2

~ada

matriz ampliada (o aumentada ), debido a que está fo rmada por la matriz de los •eficientes de las incógnitas, j unto con los términos libres. A continuación vimos que el lilrema a) es equivalente al b), el cual en forma de matriz es:

1

o o o o

-3 1

2 5 8

2 6 -2 - 3

1 5

-7

9

-4

1

2

2

- 8 - 10

28

Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones line

Si <= indica equivalencia, tenemos, por tanto: 1

3 -2 1 3

A=

1

o o o o 1

o o o o 1

o o o

o

-3 1 2

1 1

5

5 -4

8

2

-3 -8 8 2

-3

3

-1

5

- 2

2 6 -2 - 3 -7 - 9 1 2 - 8 -10

-3

1

2

1

1 1

-2 -1

o o

-3 1

1 1

2 -2

6 -3

1

-1

-1 4

o

o

2

2 6 4 15 -1 1 -21

1

o o o

-1 8

2 1 - 2 1 - 1 11 -9 -3 4

6 -3 -1

2 -2

6 -3 -1

1

-3

1

o o o o

4

o

-3 1

o o o o

<:

<:

8 8

1

6 -3

o o o o o o

1 4 3

1

o o o

1 1

-1

o o

<:

17 7

<:

4 4

o

y esta última matriz representa el sistema: X¡

3x2 x2

+ +

x3 x3 x3

+

2x4 2x4 x4 x4

o

6 -3 -1 4

o

lo cual como ha podido apreciarse, conduce a la solución

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4. En la resolución de un sistema de ecuaciones lineales se permiten tres tipos de operaciones entre las ecuaciones a saber: que al observar la matriz aumentada equivale a: a) Intercambiar dos filas. b) Multiplicar una fi la por un número diferente a cero. e) Añadir a una fila, e veces una fila diferente.

29

Resolución de un sistema de ecuaciones

Habíamos utilizado E; para referirnos a la i-ésima ecuación, pero cuando utilicemos matrices nos referiremos a la i-ésima fila por tanto las operaciones anteriores se indicarán de la siguiente manera:

aJ F;

H

Fp

e) cF; + F1

b) cF;.

Este tipo de operaciones elementales entre filas de una matriz se denominan operacio-

aes elementales entre m as.

Definición 1 Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. Se dice que A es equivalente a B si B se obtiene de A por un número finito de operaciones elemenrales entre filas. Denotaremos esto por A "" B. i) A"" B ii) Si A "" B ~ B "" A iii) Si A "" B y B ""

e ~ A "" e

Demostración: Queda como ejercicio.

Definición 2 Se dice que una matriz es escalonada si el número de ceros que recede al primer elemento diferente de cero en cada fila, aumenta fila por fila, hasta tener posiblemente filas de sólo ceros.

Ejemplo: Las siguientes matrices son escalonadas:

[~ 3

o

o o o

o

4

-5

-5

8

-5 5

3

-4

o

-9

o o

-9

-9

o o o o

-6 -5

6

-7

-1

o o o

] [

3

9

o

o

4

o o o

-3

o o o o

o

-8

-5

5

7

-8

o o -6 9

o o o

o

o -8 5 -5

o o

-1

o 2 1 4

o

o

4 3 -5

8

~l

9 3

-8

-2

-7

o o

4

o o

Con esta última terminología, tenemos un método para resolver un sistema de ecuaciones,

AX= b

(notacíón matricial)

30

Capítulo 2

Sistemas de ecuaciones lineales

i) Se forma la matiz ampliada. ü) Al efectuar operaciones elementales entre sus filas, debemos conseguir una matriz escalonada. üi) Se halla el sistema de ecuaciones que representa la matriz escalonada.

iv) En este último sistema se halla la solución. A este método lo llamaremos, «método de la matriz escalonada». Debe observarse que se ha empleado este método para resolver el sistema que se trató anteriormente.

Definición 3

Una matriz se llama escalonada reducida, si:

i) Es escalonada.

ü) El primer elemento de cada fila no nula es 1 y éste es el único elemento diferente de cero que se encuentra en la respectiva columna.

Ejemplo:

Las siguientes matrices son escalonadas reducidas.

[~

o

1

o

1

o o o o

-3

1

1

o o

o o

o o

o

o o

o o

1

o o

1

o o

o

l

'

o

3 -2 1

1

-3

o

o

[~

o 1

o o

-4 8 4 8

o o

o o o

1

o

1

2 -2 9 -7

J] -3

un o 1

o

o

Ejemplo: Hallar la matriz escalonada reducida equivalente a la matriz 1 -1

1 1

1 -1

2

-3

2

-1 1

-1

2 1 -1 -4

-1 2

2

-3

2

-1 1

-1 8 2 3 1 - 1 -1 o -4 10 z

8

3

1 - 1

-1 -4

-1 2 1 -1 -4

-F¡ + F2

- 2F 1 + F3

o

-F¡ + F4

10

-2F1 + F5

-1 3 3

- 5

-5

-1 3 3

-2 -1

o

- 17 - 8

-2

-2

- 6

1

o

o o o

-2

o

8

31

llli!todo de eliminación de Gauss

1 1

1

::::::

F2

1

o o o o

H

-F5

o o o o

o

- 3 - 3 1 2 2 13 13 o 4 4 o 7 7 ::::::

3F3 + F 1 - 2F3 + F2 - F3+ F4 - F3 + Fs

2

o

o

-2

3

3

- 5

3

3

o

1

i3 F3

l

1

o o o

o o

o

o o

o o

1

1

o o

o o

-F2 + Fl 5F2 + F 3 2F2 + F5

2F2+ F4

1

o

t F4 t Fs

::::::

o

1

::::::

4 7 1

2

-5 -2

13

o o o o

-1

8 6 -17 - 8

2 6

o

-1

o o

-3 2 1 1 1

-3 2 1

2 6 1 1 1

5 4 1

o o

tefinición 4 El rango fila de una matriz es el número de filas diferentes de cero, fUe tiene su forma escalonada (o escalonada reducida). Cualquiera sea la forma de escalonamiento de una matriz su rango fila es el mismo; con este supuesto es correcta la definición anterior. Si observamos el ejemplo anterior vemos que la matriz tiene rango 3.

MÉTODO DE EUMINACIÓN DE GAUSS

Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, se procede de la siguiente manera: i) Se f01ma la matriz ampliada B = ( A 1 b ), donde A es la matriz de los coeficientes y b indica la matriz de los términos libres.

u) Al aplicar operaciones elementales entre filas, la matriz B se lleva a una matriz equivalente e, donde e es escalonada reducida. ill) Como la matriz B es equivalente e, entonces el sistema de ecuaciones que representa la matriz B, es equivalente al sistema de ecuaciones que representa la matriz e, y en esa matriz es fácil hallar las soluciones.

32

Sistemas de ecuaciones lineales

Capítulo 2

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema utilizando el método de eliminación de Gauss. XI 3x 1 - 2x 1 XI 3x 1

+ +

-3 .... .)

-2 1 3

1

o o o o o

1

o

1

o o o

o o o

-8 8 2 - 1

8

2

-9

JI

-6

8

o o o o

1

o o o

o o 1

o o

6

4 11 3 2

15 - 21 8 8

2

6

-7 1

o -1 -1

- 3F1 + F 5 3F2 "" + F1 - 2F2 + F 3

- 9

- 5F2 + F 4 -8F2 + Fs

2

o o

o o o

1

o o

1 -2

F4

+ F2

- 1

F4

+ F3

4 4

""

- F4 + Fs

o

1

o o o o

J..2 F-)

1

8

- FI + F4

-8 - lO

o

6

15 - 21 8

"" - 3F1 + F 2 2F1 + F 3

""1 3 F3

1

3F3 + F5

1lx4 3x4

-2 - 3

o o o o

9F3 + F 4

4x4

2x4

2

- 3 - 3 - 3 17 14

- F3 + F2

o

1 4 3 -3 5 -

5 -4

-4F3 + F t

1

+

+

= = = = =

2x4

+ +

X3 4x3 3x3 3x3 5x3

+ +

-3 1 2 5

-4 - 2 - 3

4 1 3

+

3x2 8x2 8x2 2x2 x2

o

1

o o o 1 -2 -1

-1 -1 2

4 1

-9 -3

- 4 - 2 - 1 11 4

- 3 - 3 - 1 17 7

""

t F4

8 4 1

o o o o

o 1

o o o

o o 1

o o

y esta última matriz, que es escalonada reducida, representa el sistema:

o o o l

2 3 4

o

o

33

de eliminación de Causs

.,.. tanto, la solución es (1, 2, 3, 4), o,

l¡emplo: Resolver el sistema 2x 1 - 3x 1

+ + +

X1

-3x 1

3x2 x2

+

2x2 2x2

+ +

[-~

-3

1

(

o o o

2

1

7 -7

o

8

8

2

-2 -5 3 -4

7Fj

-

7~

Véase nota

[

7

+ +

4 -3

-1 1 -24 18

2 2

1

5

-2 - 8 2 o

2 1 -3 2

1 -3 4 5

-2 1 - 188 - 1 -2~ 2

-- 68 - 8 - 24

o o o

J t F4 ""

14 7 -7

14

[

-24 18 = - 8

x4 x4 2x4 2x4

-3

-3

(-i

4x3 3x3 x3 5x3

l

J - 2F + F 1

3

3F1 + F4

2 7 -7

7 - 14

o

=

F 1 HF3

"" 3F1 + F 2

1

o o o

o

- 5 - 566 2 3 - 8 14 - 7 -42

2

l

1

-2 -5

2 2

3

o

-1 :::::

- 2F2 +F1 F2 +F3 -2F2 + F4

-8 6 -8 -6

J

34 7

o o o

(

o

~4]

-4 -5 - 6 - 2 - 14

7

o

7

o o

2 14 :::::

- 14F3 + F4 7

[

o o o

o o o

-5 -1

"'¡

1

7

o o

F2

1

o

-7 4 1

lp

7

7

4

o ::::

o o

o o o

[

;

1

o o

o o 1

o

-4 -5

-- M6

-1

-

14

7

3

- 30

o o o

-1471

:::::

1

i7

F4

68

o

7

1 (

o o o

l l;: [~~ l ( x,

Por tanto la solución es X =

o

o o

- 7

4 + 2 F4 + F 3

o

7

7

-~ l

3 -5 -1 17

-~ ]-JF5F F F

.)

1

o

[~ ..,

o o

7

I F3

3 - 30

- 7F3 + F 1

o

(~

z

l

Sistemas de ecuaciones linea!

Capítulo 2

o o o

o o

7

o o

-~

- .)

4

1

o

l

- 3 1 4 )

=

t

F2 pero esto conduce a trabajar con quebrados. Téngase en cuenta que con un 7 es fáci l eliminar los múltiplos de 7 por ejemplo, 7, l4,2l,etc; por eso se efectuó la operación de multiplicar por 7.

Nota: Aparentemente tocaría

Planteamientos Pensemos en el sistema de ecuaciones

2x 1 a)

-3x 1 - 5x 1

3x2 2x2 l2x2

+

+ +

x3 2x3 8x3

+

- 11 -4

2x4 3x4

+ + 13x4

-34

Este sistema evidentemente es lo mismo que x3 2x3 8x3

3x2 2x2 12x2

+

2x 1

+

3x 1 5x 1

+ + 13x4

2x4 3x4

= =

- 11 - 4

- 34

35

de eliminación de Gauss

que nos sugiere que si pensamos en la matriz ampliada, se pueden intercambiar dos umnas siempre y cuando tengamos presente el orden en que van las incógnitas; por . .110, escribiremos x2

x3

x4

- 3

1

2

-3 - 2 -5 -12

2 8

[ x2

3 - 114 13 - 34

l

[X~

:::

x2

xl

x4

-3

2

2

-2 -12

-3 -5

3 -11 -4 13 -34

l

n poco más adelante resolveremos el sistema a). Al resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, hemos visto que su solución 110ede hallarse fácilmente llevando la matriz ampliada a una escalonada reducida; estudiemos un poco cómo puede ser esta matriz.

i) Si tiene la forma:

o

o o

o o

o o

1

o

o o

o

o o

1

o

o o o o

o

o

o

o o

d sistema tiene solución única

ü) Si tiene la forma: 1

o

o

1

o o

o

o

o

o

o

o

o o

cJ ,J

c l,2

cl,n - r

c2, l

c2,2

c2,n

- 1'

o o

c,.,t

c,.,2

c,.,n- r

o

o

o

o

o

el sistema no tiene solución debido a que la última ecuación conduce a

0= 1

36

Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo:

Resolver el sistema: -3x 1

+ + +

XI

5x 1

[-! [ oo 1

[

1

o o

4 18 2 - 4 3 10

2 - 4 10 7

-30

o

-2 -3 9

1

o

30

l l l

-4 10

2 4 4 - 18 3 10

H

::::;

Fl HF2

[ [

::::;

2 - 4 l - 3 -7 30

1

o o

~F2

::::;

o

1

o o

.!.p 9

-18

4x2 2x2 3x2

3

1

o

2 -3

l l l

"" 3F1+F 2 - 5F1 + F 3

- 2F2 + F 1 7F2 + F3

y el sistema no tiene solución; por tanto, es inconsistente.

Ül) Si la matriz escalonada tiene forma:

1

o o

o o

cl,l cl,2 C2, 1 C2,2

o o

o o

o o

1

o

c,.,J

c,.,2

o

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

di d2

cl,n - ,. c2,n-,.

e,.,, _,. d,.

o

o

o

o

el sistema que representa es: X¡

x2 x3

+ ci,Jx,+l + c1,2x,+2 + c2,lx.+ l + c2,2x,.,.2 + c 3, 1x,.,. 1 + c3,2x.+2

x,. + c,.,1x,..,. 1 + Las variables x,+l• x,+2, ·· · , variables libres, además:

X11 ,

cr,r.+2

+· ··+ +· · · + +· ·· + + ··· +

=

c2,,,_,x" c3,,r-,.x, =

dl d2 d3

=

d,.

C l ,n- I)C/1

cr,n-~11

que no aparecen al comienzo de ecuación, se llaman

37

de eliminación de Gauss

XI x2 x3

di d1 d3

=

x,.

cux,... 1 c2.1xr-1 c3.1xr-l

CI,2Xr-2 c2.2x,-2 c3.2x,.,.2

ci,,,_,Xn c2.n-,x11 c3,n ,.xll

c,., 1x,..,. 1

c,.,2x,..,.2

c,.,"_,.xn

-

d,.

n - r incógnitas después del signo =, a saber x,..,. 1, x,..,.2,

... ,

xw

l.aego si damos a estas n - r incógnitas valores arbitrarios - a 1,

-

~ •••• , - U11_,.

JeSpectivamente tenemos una solución del sistema

XI x2 x3

=

x,.

=

di d2 d3

+ ci,Ia.I + +

c2.1a1 c3.Ia.I

+ c1.2a.2 + + e2.2a2 + +

C3,2a2

+

d,.

+

c,., 1a 1 +

c,.,2a2

+ ... + cr,ll-ra n-r

+ e 1,11-·,.C:J.,,_,. + c2,n ,.a"_,. + c3,11 ,.a.n-r

la cual se puede escribir como:

X=

XI x2 x3

di d2 d3

+ + +

cl,l a l e2.1a1 c3,Ia.I

+ + +

c 1.2~ c2.2~ c3,2~

+ + +

x,. xr+l xr+2

d,.

+

c,.,JaJ

+

e,.,2a2

+

+ e l,n-ra"_,. + c2,,,_,.a"_,. + c3,11-/'a.ll_r

...

.-a~

+ c,·,n-ra.ll-1'

-a2

xn

- an-r

Como los a; son arbitrarios, el sistema tiene infinitas soluciones y X representa todas las .tucíones. Obsérvese que:

di d2 d3 X=

d,.

o o o

cl ,l e2,J e3,I +a l

e,.,l - 1

C1.2 e2.2 e3,2 +a.2

c,.,2

o

c l,n-r e2,n-r c3,n-r +···+an-r

er,n-r

o

- 1

o o

o

o

- 1

38

Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales

donde los a¡ son arbitrarios y X nos da lo que se conoce como solución general; si le damos valores determinados a los a¡ , tendremos soluciones particulares.

Ejemplo:

Resolver el sistema. 3x2 2x2 12x2

2x 1 - 3x 1 - 5x 1 x2 - 3 -3 - 2 - 5 - 12

[ x2

[X!

D

o

-l

o

l

x4 2 3 -- 114 13 - 34

1

2 8

X¡ x2 - 3 2 4 - 7 12 -21

x4

""

x3

+ + +

x4 2 - 11 ] -1 18 -3 54

X¡ -1 2 7

~]o

x2 5 4

o

18

o

+ 2x4 + 3x4 + 13x4

x3

2x3 8x3

""

""

[ X~

=

X¡ 2 -3 -5

x2 - 3 - 2 - 12

[X~

- 11

- 4 -34 x4 2 3 13

- 4 - 34

X¡ x4 2 2 -1 - 7 - 3 - 21

x2 -3 4 -1181 12 54

X¡ o - 12 1 7

x2 5 -4 -1~

x4 ""

-u]

[X!

o

o

o

""

l

~]

Por tanto, la última mattiz representa

- 12x¡ + 7x 1

x3 x4

+

5x2 4x2

25 -18

= =

Luego las variables libres son x 1 y x2, a las cuales les asignaremos valores arbitrarios denotados por - al> - ~. respectivamente. Por consiguiente:

x3 x4 X¡ x2

25 18

= = =

12a1 + 7a 1 a¡

+

5~

4a2 a2

solución que puede escribirse como:

X=

ln

=

l

[-in ~~f] +~ j +a, [

[

39

Método de eliminación de Causs

Si asignamos a o: 1 y a <X:1 los valores de 1 por ejemplo, obtendremos una solución particular del sistema

esto es x 3 = 18, x 4 = -15, x 1 = -1 , x 2 =-l. Si lo hacemos con 0:1 = 2 y <Xz = - 3, obtenemos otra solución, a saber:

Ejemplo:

Resolver el sistema homogéneo

=

o o

Naturalmente, este sistema (como cualquier otro que sea homogéneo) tiene una solución Ramada t rivial, igualando todas las incógnitas a cero, es decir

o

=

El problema consiste en averiguar si el sistema tiene soluciones diferentes de la trivial. Observemos:

(-~

3 4

(-~

4

11

~) ~)

=::

F 1 HF2

""

-F¡

AF2

(-;

(~

4 3

-4

~)

=::

2F1 +F2

n

"" F 4F2 + 1

(~

o 1

~)

concluimos que x 1 = Oy x2 =O; luego el sistema no tiene solución fuera de la trivial. Como se notará no es necesario escribir los términos libres cuando el sistema es homogé.w pues todas las operaciones que se hagan con el número cero darán siempre cero; por 1al razón los omitiremos, pero éstos deben quedar sobreentendidos.

40

Capítulo 2

Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

Resolver el sistema (véase ejemplo de la página 36)

- 3x 1

2x2 l2x2

- 5x 1

[-x32 -

-5

+ +

3x2

2x¡

x2.., .)

D D

4

12

13

xi J -1

2 - 7 -21 X¡

-1

- 12 - 7

o

::::

x2 - 3 - 2 - 12

::::

-3

X¡

2 -3

-5

X¡ x4 2 2 -1 - 7 - 3 - 21

X¡

x4

o

2x4 3x4 + 13x4

X~ l [X~

x3 1 2 8

2 - 12

x2 - 3

+

::::

13

x, l

-3

4

12

X¡

o -12 1 7 o

o

X~ l

D D 1] x4

xn

o o o

+ +

x3 2x3 8x 3

o

y la solución general es:

X= [ Si por ejemplo a 1 = 1 y

~

~~ J aF! J+~ j J =

[

= 2, tenemos

[~¡ l

=

¡~~ r l [j J [~¡ l +2

=

que es una solución particular, diferente de la trivial. Si a 1 = ~ = O, tenemos naturalmente la solución trivial.

::::

41

odo de eliminación de Gauss

Ejemplo:

Resolver los sistemas

-3

a)

b)

-8

Tendríamos que llevar las siguientes matrices a la forma escalonada reducida:

Como la matriz de los coeficientes es la misma podemos reunir las dos matrices en una sola, así:

(

-3

2 5

1 2

(

-8 -3

2 5

1 2

1 1

-8

) )

entonces,

(~

::=

-2F2 + F1

(~

-2F1 + F 2

o1

1

2 1

-3 -2

~1 )

!1)

1 -2

De lo anterior se establece que la so lución del sistema (a) es x 1 = 1, y, x2 = -2 , y del SIStema (b) es y 1 = 3, y, Y2 = -1.

Ejemplo:

A=

(Importante) Dada una matriz

(~ ~ (~ ~ )(XII

) hallar una matriz X

~ (x

11

x 12

X21

X22

)

tal que

AX = I

•)

X 11

4xll XI I

4xtt

X21

+ + + +

2x21 9x21

X22

4x t2

+ +

=

o

X12

1

2x21 9x21

X12 )

=

2x22 9x22

,y,

(o

o

1

1

) (o 1

X 12 4xl2

+ +

) es equivalente a:

o 1 2x22 9x22

) de aqui por .igualdad de matnces se s1gue que: =

o 1

42

Capítulo 2

Sistemas de ecuaciones lineales

Como la matriz de los coeficientes es igual a la de los dos sistemas, procedemos como en el ejemplo anterior.

(!

2 9

(~

o

9

1

-4

n

1

(~

"" F -4F1 + 2

o

-n

2

1

-4

(**)

y de lo anterior concluimos que: X¡¡ X21

y por tanto, X =

=

9 -4

-2 1

xl2 X22

-n

(~

Nota: Si nos detenemos un poco en (**) y observamos (*), establacemos que un método rápido para hallar una matriz X es fonnar una matriz compuesta de la siguiente manera:

i) A la izquierda de la raya 1 van los elementos de matriz conocida y a la derecha, la matriz idéntica.

ü) Efectuar operaciones elementales entre filas, hasta que la matriz idéntica quede a la izquierda de 1. üi) La matriz que queda a la derecha de 1 es la mah"iz pedida.

Ejemplo:

X =

Si A =

(XII

X12

X21

X22

XJI

XJ2

(~

1 2 -1

iJ ,

hallar una matriz

x,. J de modo que AX = l

~=~

.).)

siguiendo las pautas de la nota anterior tenemos:

(~

1 2 -1

1 3 3

1

o o

o 1

o

n

"" F - F1+ 3

(

1

l

o

2 -2

3 2

1

o -1

o 1

o

o o

J

43

odo de eliminación de Causs

u

""

2F1

2

o o

o

-1

2

3

o

5

-1

o

- 1 l

2

"" F F3 + 1 - 3F3 + F2

(l~

u

2

o

o

2

2 ".)

-2

2

- 1

o

2

n o

10

o

o 1

o

l

5F2

5

o o

9

X=

(~

10 1 -5

4 2

iO

1 5

JJ 10 1 5

_l

- ¡o

(J

-4 2 2

o

10

o

-4 2

9 3 -1

1 4

-f] t

-5 5

~J

~F2 F3

1

-iO

iO

3

2

3

ió 1 -5

lO - 5 15 o 5 - 1

1"" lo F 1

iO

Luego la matriz pedida es ió

F2+ F3

(l~

"" 5F1

o o

n

== -F2 + FI

iO - ¡o 1 1 5 5

J

-iJ

Se deja como ejercicio comprobar que con esta matriz X si satisface AX = l .

lesumen: Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas y repasemos los plantemientos tle la página 34 y el concepto de rango fila. Al resolver el sistema por el método de Gauss y si denotamos el rango fila por r, podemos

Gbtener las dos siguientes situaciones si el sistema tiene solución única. i) Si r = n, el sistema tiene solución única. ú) Si r < n, hay n - r variables libres y el sistema tiene infinitas soluciones. •

rema 1 Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas ne soluciones no triviales si n > m

Demostración:

Sea A la matriz ampliada de los coeficientes y términos libres. Esta matriz tiene m filas tpues hay m ecuaciones), y por ende su rango filar , es a lo más m (r ~ m) . Pero sabemos ,or hipótesis que n > m, y como m ~ r, entonces n > r, luego por ii) del resumen anterior sabemos que el sistema tiene infinitas soluciones y por tanto tiene soluciones no triviales.

44

Capítufo 2

Sistemas de ecuaciones lineales

EJERCICIOS l.

¿Qué condiciones deben ser impuestas a a,b,c, para que los sistemas siguientes tengan solución?

a)

X

- 2x 3x b)

2x X

-2x

+ +

+ + +

2y y y 3y 2y y

+ + + +

3z z 2z

a b

z 2z 3z

a b e

e

Resolver los siguientes sistemas: a) por el método de la matriz escalonada; b) por el método de Gauss; e) ¿cuál es el rango fila de la matriz de los coeficientes?; d) ¿cuáles son las variables libres?; e) escribir los sistemas en notación matricial.

2.

3.

4.

XI

+

X1

+

-4xl 5x 1 -4xl

+

5x 1 XI

-3x 1 4x 1 5x 1 5.

+

2x 1 3x 1

X¡

2x 1 3x 1

+ +

+

x2 x2 2x2 3x2

+ + + +

x3 2x3 3x3 x3

2x2

+

2x2 4x 2 2x2

+

4x3 3x3 4x3 4x3 3x3

+

X2

+ + +

2x2 5x2 6x2

+

3x3 6x3 + 10x3 + +

- 4

x3 2x3 4x3

2x2 3x2 x2

1

- 21

+ + +

+

+

10

x4 3x4 x4 2x4 5x4 4x4 5x4 3x4

9 13

-3 5

20

= - 3 5 - 20

x4

+ 6x4 + 14x4 + 21x4

=

9

19 29

45

Método de eliminación de Gauss

6.

7.

8.

9.

10.

11.

3x 1 2x¡ -2x 1

+ +

2x¡ 4x 1 2x¡ X¡

+

-X¡ 3x 1 5x 1 15x1 - 5x 1

+

X¡ 2x 1

+

+

+

2x2 x2 2x2

+ +

3x2 3x2 3x2 x2

+ +

+ +

-X ¡ 2x¡ X¡

+ +

4x 1 -4x¡ - 3x 1 2x¡ 2x 1

+

X3

+ +

x3 2x3 4x3

+

3x3 3x3 3x3 21x3 + 9x3

x2 2x2 4x2 x2

+

+

o

x4 3x4 x4 4x4 2x4 3x4 6x4

5x4 3x4 llx4 + 3x4 7x4

13 15

+ +

3x5 3x5 5x5 + !Ox5

+ 2xs + 5x5 + 12xs + 14x5 xs

x2 4x2 4x2

+ + +

4x3 x3 x3

x2 x2

+

5x3 2x3 3x3

+

=

o o o

=

o

= =

13.

14.

A=

A=

x2 2x2 3x2 5x2 17x2

( (

2 3

5 7

2 4

3 2

1

= =

- 10 15

=

-

=

3 5 7 29 - 11

o

o

4x3 x4 xs + 3x3 + 5x 4 + 4x5 + 4x3 x4 8x 5x5 + x3 4 3x3 8x + + 7x5 4 Para la matriz dada A, hallar una matriz X, tal que AX = 1 12.

5

o o

2"\:2

5x2

X¡ X¡ 2x 1

x3 x3 3x3

J J

o o

o = =

o o

46

Capítulo 2

15.

A=

u l -2 7 1

16.

A=

[1

1 -1 -2 2

Sistemas de ecuaciones lineales

-1

3

-2 .) " -4

-i

l

17. Demostrar que: a) suma de dos soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones también es

solución. b) El producto de un escalar por una solución de un s istema homogéneo de ecuaciones también es solución.

apítulo 3

Determinantes

INTRODUCCIÓN A LOS DETERMINANTES

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales

+ + en dos incógnitas x 1 y x 2• Para hallar el valor de x 1, multiplicamos la primera ecuación por 12 , y al sumar obtenemos

-Q

X1 =

b ,a 22- b2° 12 0

11°22- a 21°12

Despejando a x2 en la misma forma que se usó para x 1 tenemos:

b2a,, - b,a2 , 0 11a22- a 2 1°12

a 22

y la segunda por

48

Capítulo 3

Determinantes

Como el denominador es el mismo para x 1 y x2 , definimos

IAI= llamado determinante (de orden dos) de la matriz

El determinante de orden uno se define por la 11 1= all. Consideremos ahora el sistema de tres ecuaciones lineales con incógnitas x 1hh

+ + +

al2x2

0 22X2 0 32X2

+ + +

a 13x 3 0 23X3 0 33X3

Multipliquemos respectivamente estas ecuaciones por

= a22a33- a23°32 = -(a12a33 - a13a32) c31 = a,2a23- al3a22 C¡¡

C21

Al sumar las ecuaciones resultantes, tenemos que

Si multiplicamos ahora las ecuaciones respectivamente por C12

=-

C22

= 0 11°33 -

(a2,a33- a3ta23) 0 n°3t

C32 = -(a11°23- 0 21°13)

y al sumar las ecuaciones resultantes tenemos:

49

llltroducción a los determinantes

De igual manera si multiplicamos las ecuaciones respectivamente por

= a21°32- ~2°3 1 = -(a ,,a32- 0 21°31) C33 = 0 11°22- 0 12°21

C13

C23

adremos

x~ =

.)

-------------------------------------------------a,,o22o33

+ a2,a32ol3 + a23al2o31-

a3,a22ol3- o2,al2a33- o23a32a,,

omo el denonominador para x 1, x 2, x 3 es el mismo, definimos

IAI=

a,,

o,2

al3

a2l

a22

°23

a31

a 32

a33

0 11a22°33 + 0 21a32°13 + 0 23°12°31 - 0 31°22°13- a21°12°33- 0 23a32°11

ado determinante de orden tres, de la matriz

A=

(

:~: :~~ :~~ ·J

0 31

°32

°33

3x3

e resultado puede recordarse fácilmente por medio de la conocida ley de Sarrus

b)

a)

diagrama a) indica cómo conseguir los tres primeros términos del determinante, en to que el diagrama b) se refiere a los tres últimos. Los términos obtenidos en el grama b) llevan el signo cambiado en el desarrollo del determinante.

mplos: a)

1 -~

4

-5

1

= (8) (- 5) - (-5)(4) = - 20

50

Capítulo 3

5

-3 -2

2

-4

b)

2 1 3

Determinantes

= ( 1)(- 2)(3) + (5)(-4)(2) + (1)(- 3)(2) - (2)(- 2)(2) (5)(- 3)(3)- ( 1)(-4)( 1)

=5

Definición 1 El menor ij de un determinante IA I. denotado por M¡¡ ó IA,11, es el determinante que resulta al suprimir la fila í y la columna j en un determinante.

Así, en A=

y

en !A l=

C/ 12

a21

a22

Ml l

'

all

al:!

al3

a21

a22

a~~

a 31

C/32

a33

=

all

al3

a21

a23

IAnl =

a ,l

a13

a 31

a31

M 32= IA 321

M 22=

a¡¡

-~

,

=

d= la22l = a22

IA 1

M ll= IA, d =

= alla23 -

a22

a2'\

a32

a33

=

a22a33- a32a23

a21al3

= a1 1a33- a 13a 31

Definición 2 El cofactor ij denotado por e¡¡ (o por C;J, sí se desea especificar que es respecto a A), se define por:

Así, en

!A l=

A =

0 11

al2

0 21

C/22

al1

a12

a13

a21

an

a31

a •..,

a23 0 33

~-

'

e33 = (- 1) 3+3 M 3.>• = M 33 =

e L~ = ( -

1) 1t 2 M L.,

= - M L.., = -

a21

0 23

a31

a33

=a21a33 - 0 3la13

51

Introducción a los determinantes

Obsérvese que el signo de los cofactores vienen dados en el siguiente orden:

[~

[j,

+

~J

y en general por

...(-!)'+"] ... (- 1)2+11

+ (-J)n-2

+

Volvamos nuevamente a la definición de determinante de orden tres: a,2

a,3

a22

0 23

a32

a33

0 11a22a33 + a2,a32a13 + a23al2a31 - a31a22°13- 0 2na12a33- a23°32a11

Si factorizamos en el segundo miembro a 11 , - a 12 , a 13 , tenemos:

Al = a 11 (a22a 33 -

a 32a 23) -ada21 a 33 -

a31 a23 ) + a 13 (

a 21 a 32 - a 31 a 22 )

o sea:

Al= all por tanto,

Si factorizamos -a21 ,a22,

-a23 ,

tendríamos:

Factorizando a 31 , - a 32 , a 33 , se tiene·, Factorizando a 11 , -a21 ,

a 31 ,

Factorizando - a 12,

-a32 , se tiene,

a 22 ,

se tiene,

Factorizando a 13 , -a23 , a33 , se tiene,

IAI = IAI = IAI = IAI =

a 31 c31 + a32c32 + a 33c33 a 11 c 11 +

+ a 31 c31 a 12c 12 + a 22c22 + a32 c32 a 13c 13 + a 23c23 + a 33c33 a 21 c21

Esta manera de conseguir el desarrollo de un determinante de orden tres, nos sugiere la Kiea de cómo debe ser definido un determinante de orden cuatro, cinco y superiores.

52

Capíwlo 3

Definición 3 Sea A una matriz cuadrada de tamaño n

Determinantes

n, el determinante de esta matriz denotado por !Al, está dado por la suma de los productos de los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores.

Si IAI=

all

a l2

0 21

a22

alJ a2J

aln a2n

ail

a,¿

a¡¡

a in

anl

a,a

anj

ann

x

, entonces,

IAI = anc11 + a,--zca + ··· + aiJciJ + ··· + a;,,C¡11 (desarrollo por la fila i, i = 1, 2, ·· ·, n)

Ejemplos:

a)

4 -1 -2 (-2)

1

4

-1

b)

5 -1

3

-1 5 -1

-1 -1 3

-4

=~

-4 3

-3 2 -2 2

-3

¡ = 4 1 -~ ¡1- 1-; --: 1+ (- 1)

2 -2 2

= 4 (- 13) +8- (2) (-7) =-52+ 8 + 14 = - 30

4

o

1

3

-5

o

1

-1

= (- 3)

5 -1

2 -2 2

1

-5

+

1

1

-5

= (- 3) (O)+ 3(0) =O

En el ejemplo a) se desarrolló por la primera columna. En el ejemplo b) se desarrolló por la tercera columna pues como hay dos ceros, solamente resultan dos detennjnantes de orden tres.

53

Propiedades de los determinantes PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Propiedad 1 El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta. Demostración: Por introducción sobren. a) Para detem1inantes de orden 1, !Al= la1¡J = a 11 y

IA'I = la 11 1= a 11 . Luego !Al=

IA'I b) Supongamos la propiedad verdadera para n = k, es decir, suponemos válido que !Al = IA'I si A es de tamaño k x k. (Hipótesis de inducción). e) Probemos que la proposición es verdadera para n = k + 1, es decir debemos probar que !Al= IA'I si A es de tamaño (k+ l)(k + 1). Si A es de tamaño (k+ l)(k + 1), entonces desarrollando por la primera fila tenemos:

!Al = aii!Attl - at2 1Ad + ... + (- 1)

l+n

IAtnl

Como las matrices A 1; son de tamaño k x k, aplicando la hipótesis de inducción vemos que lAlil = IA'Iil para i = 1, 2, · · · , n y por consiguiente:

IAI =attiA't d- a12IA'd + '" + (- 1) J+n IA'tnl y el lado derecho de esta expresión es el desarrollo de IA'I por la primera colum-

na de A. Luego

!Al = !Al

Corolario. Toda propiedad de un determinante enunciada en términos de fila, origina .a nueva propiedad enunciada en términos de columna.

hopiedad 2 cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante, es igual a cero, valor del determinante es cero. Se desarrolla el determinante por la fila (o columna) que tiene todos los elementos iguales

hopiedad 3 dos filas (o columnas) de un determinante son intercambiadas, el signo del determinanle queda cambiado.

stración:

a d

b e

g

h

e

f

g d a

h e b

f e

54

Capítulo 3

Determinantes

Demostración: (Por inducción). Sea IAI el determínate original y intercambiando dos filas, probaremos que

IBI el determinante obtenido de IAI,

IBI = -IAI a) Para determinantes de orden dos, se tiene:

IAI= IBI =

O ¡¡ 0 21 0 21 O¡¡

0 12 a22

= 0 11 ° 22- 0 21°12

a 22 0 12

= a l2a 21 -

a ¡¡ a 22

= -IAI

b) Supongamos verdadera la propiedad para determinantes de orden n-l. (Hipótesis de inducción). e) Demostremos la propiedad para determinantes de orden n, suponiendo que es obtenido de IAI intercambiando la fila i y la fila j. Sea k :t; i y k :t; J.

IBI = akl c_R + ak2ck~ + ... + a,mc/o~

IBI

(desarrollando por la k-ésima fila).

por hipótesis de inducción tenemos:

Propiedad 4 Si un determinante tiene dos filas (o columnas) iguales, el determinante vale cero. Ilustración:

a d

b

e

e

f

a

b

e

=O

Demostració n: Supongamos IAI tiene iguales las filas i y j sea IBI el detem1inante obtenido de intercambiando las filas i y j. Naturalmente IBI = IAI Sin embargo por la propiedad anterior

IAI,

55

Propiedades de los determinantes

Bl = - IAI, entonces IAI = - IAI, luego 2 IAI = O y por tanto IAI = O Propiedad 5 Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado por k.

lustración: a

b kd k e a b

e

a

kf = k e

a

b e b

d

e f e

Demostración: Sea IAI el determinante original y IBI, el determinante obtenido de IAI, al multiplicar todos los elementos de la fila i por k. Desan·ollando IBI por la misma i-ésima fila, tenemos:

B = kail CAil + kai'2cA i'2 + ... + kainC inA =

IBI=kiAI Propiedad 6 Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante se expresa como la suma de dos o más términos, el determinante puede expresarse como la suma de dos o más determinantes.

ustración: a b e d+D e +E j+F g h

a b e a b e d e f + D E F g h g h i

Demostración: all 0 21

a l2 a22

a ,j a2j

a,, a2n

an+a',. 1

ai2+a',.2

aiJ+a'iJ

ai,+a'in

a ni

an2

a,j

ann

56

Capítulo 3

all

al2

alj

Determinantes

aln

all

al 2

alj

aln

a2,

a22

a 2j

a2n

/

a il

a' .,

,_

a ' ij

a' in

anl

an2

anj

0 nn

a21

a 22

a2j

a2n

a ¡¡

a,¿

a ij

a in

anl

an2

a,if

ann

+

Propiedad 7 La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) de un determinante por los correspondientes cofactores de la otra fila (o columna), es cero.

Demostración: Sean

IAI=

IBI = O pues tenemos,

a,.

a,2

aln

a 21

a22

a 2n

a¡ ¡

ai2

a in

f-

fila i

ajl

aj2

ajn

f-

fila}

a"'

a,2

a ,,

tiene dos filas iguales. Por otro lado desarrollando

IBI por la i-ésima fila

57

Propiedades de los determinantes

Bl =

9 =o aji Cil8 + aj2Ci28 + ... + ajnCin

Pero

C8 = C~,

C~ = C~ , · · · , C;,~= C;~ y, por tanto,

~; 1 C;1 + aj2C;1 + ·· · +

ajnct

= O, que era lo que queríamos probar.

Reuniendo en una sola propiedad la definición de determinante y la propiedad anterior, tenemos:

Propiedad 8 La suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por los correspondien-

tes cofactores de esa fila (o columna), da el valor del determinante; pero la suma de los elementos de una fila (o columna) por los conespondientes cofactores de otra fila (o columna), da cero.

Propiedad 9 El valor de un determinante no cambia si a los elementos de cualquier fila (o columna) se le suman k veces los correspondientes elementos de cualquier otra fila (o columna).

Demostración: Sean

all

a l2

aln

a2l

a22

a2n

a il

a;2

a in

IAI=

f-

fila i

y aj l

aj 2

ajn

anl

a,2

ann

f-

a¡¡

a¡2

a¡n

a21

a22

a2n

ail+kajl

aj 2+ kaj 2

aj1

aj 2

ajn

anl

an2

a m,

fila}

a;n+kaj n

f-

fila i

f-

fila}

IBI =

58

Capítulo 3

Determinantes

IAI = IBI. Desarrollando IBI por i-ésima fila tenemos: veamos que

como e~

= ~ ' eg = el~ ' ... ' cf,, = e~ ' tenemos:

~ + a11 e1~ + ... + 0;11 e;~) +k (aj 1 e~ + ape~ + ... + ajne;~)

= IAI +O

por la propiedad 8. Por consiguiente, hemos demostrado que

IBI = IAI. Observación: La fila (o columna) cuyos elementos son multiplicados por k quedan invariantes y solamente los elementos en la fila (o columna) aumentada se remplazan por la correspondiente suma algebraica.

a, b, e,

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a, b,

a2

a3 b3 c3

C¡

b2 c2

=

a, b 1 + kc 1 C¡

a2 b2 + kc2 c2

O¡

a2

b 1 + kc 1 kc 1

b2 + kc 2 kc 2

a3 b3 + kc 3 , pero c3 a3 b3 + kc3 kc 3

Propiedad 1O Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces

IABI = IAI IBI Esta propiedad no se probará debido a que su demostración es complicada. Obsérvese que

IABI = IAI IBI = IBI IAI = lB Al;

es decir

IABI = IBAI

Plopiedades de los determinantes

59

Ejemplos: a)

1 -1 -4

o o o -4 4 -1

1~ b)

-4

4

-2

-1 3

1

-3

o

-1

-2 1

o

5

3 - 3 2F +F 2 1 5

4

-5

l

2

-2 3

4 5

- 3 - 3F2 + F1 2F2 + F 3 5 -3F 8 2 + F4

2

IC22 = -4

5

5

o

=

3

-3 2

1 -4

-3 .., -.)

1

= le22=

5

- 35 1 = 20 - 3 = 17

-7

-4

o

4 4 -1

-2

4

8 - 1 - 1

o

o

4 4

7 7

=2

o

-4 5

o o

-1

2

5

-1

17

~

-2

4

2 - 3 8 - 1

1

1 -4

17

=1 1:

2 -3

-1

::::

17

e2 (*) -2e1 + e 3

8 - 1 el +

1 = O , por tener dos filas iguales.

(*) el + e 2, indica sumar la columna 1 a la columna 2. -2 el + e 3, indica multiplicar la columna 1 por - 2 y sumársela a la columna 3

1

e)

X

x2

1

y y2 y-x

= y2 -x2

Propiedad 5

z z2

-el+ e2 - e 1+ e3

z- x z2 - x 2

x2

l = l(y -(v-x)(yx)+ x)

(y - x) (z - x)

= (y- x) (z - x) (z - y)

X

1

(y

!

x)

o

o

y-x z- x y2-x2 z2-x2 (z - x) (z + x)(z - x)

1

60

Determinantes

Capftulo 3

EJERCICIOS l.

Calcular el valor de los siguientes determinantes

a)

-

2.

1

e)

1

-2

5

-3

3

5

-5 -2 2

-6

Utilizando la ley de Sarrus, evaluar

3

a)

o 4

6 3 6

-3

1

b)

-5 -2

1 4

-4 -1 -4

-1 4 6

e)

2 4

3.

Utilizando las propiedades, evaluar los dete1minantes anteriores.

4.

Calcular el valor de:

a)

e)

3 5

2 4

-8

6 -9

2

4

o o o

2

o o

-3

4 6 5 2

-7 -7 1

6 8 -2

b)

3

2 3

2 -7

-5 4

-1 1

5 -6

2

-8

-4

2

-4 1

-3

o

-9 -6 2

5.

Demostrar que si A es una matriz triangular, el determinante de A es el producto de sus elementos diagonales.

6.

Sin desarrollar, demostrar que :

a b e y b t x y z =x as S t U z e u

Z X y

t e a b

U

S

61

Propiedades de los determinantes Comprobar que

1 7.

1 y y3

X

x3

8.

9.

x-y-z 2y 2z

z

=~ - ~~ -~ ~ - ~~ +y+ ~

z3

2x 2x y-z-x 2y z-x-y 2z

= (x +y+ z)3

a2 a2 (b + c)2 2 b2 b2 = 2abc(a+b+ c)3 (a+c) c2 c2 (a+b) 2 a 2 - (b-e)2 be b2 - (c-a)2 ca c2 - (a- b)2 ab

10.

a2 b2 c2

ll.

(x, +y,) ~~ +z¡) (x 1 + z 1)

(x2 + Y2) ~2 + z2) (x2 + z2)

=

(a- b) (b-e) (e- a) (a + b +e) (a2 + b2 + e2)

(x3 + Y3) ~3 + z3) (x3 + z3)

Resolver los siguientes determinantes:

a

1

a

12.

a y +z 13.

X X

14.

I+a 1 1 1

y x+z y

z z x+y 1

1

1 l +b

1

1

1-a

1 1 1- b

X¡

y,

Z¡

= 2 x2

Y2 Y3

z2 z3

x3

62

Capítulo 3

Determinantes

Resolver: 15.

1

-5 ¡ x+7

X+;

-1 X

16.

-2 A,

17. -1

-1 -2 1

X -1 2

e-\

-2

-1

-1

A--2

o o

18.

2 -2 A- - 1

t..,

3 /..,-3

o

5 2 A--7

19. Sean Ay B matrices cuadradas del mismo tamaño, de modo que AB = l. Demostrar que:

IAI * O y IBI * O l b) IBI = iAi

a)

20. Demostrar que

IA171 = IAI17 , n = 0,1,2, ...

21. Demostrar que si

A es una matriz ortogonal, entonces IAI =

22. Demostrar que si

A es una maniz idempotente, entonces IAI =

±1 1 ó IAI = O

23. Sea A una matriz cuadrada y B una matriz obtenida de A, aplicando una operación elemental entre filas; probar que:

IAI * o ~ IBI * O. 24. Sea A una matriz cuadrada y E su matriz escalonada reducida; probar que:

IAI * O ~ IEI * O.

63

Regla de Cramer REGLA DE C RAMER

Consideremos el sistema de n ecuaciones con n incógnitas. a 11 x 1 a 21 x 1

+ +

a 11 1x 1

+

a 1¡x¡

22x2

+ ···+ + ··· +

a2i X¡

+ +

0 n2x2

+ ··· +

a ni X¡

+ ... +

al 2x2 0

+ +

a¡,fn

= b,

a2¡¡-Xn

=

an¡¡Xn

= bn

b2

Sea

:\=

0

12

a¡¡

a 2,

0

22

a2i

a:"

0 n2

a ni

[al\

a,"

:~:

1

la matriz de los coeficientes.

\amos a hallar el valor de x¡; para ello se multiplica la primera ecuación por C 1;; la ttegUnda por c2i; la tercera por c3i; etc, y la última por cni; y tenemos: O¡¡ C¡¡X¡ 0 21

c2r1

0 nt cnr 1

a22 c2h

+ ··· + + ·· · +

a¡; Ctr; 0 2; C2r;

+ +

+ +

a ln Clrn a2n C2rn

a112 Cnr2

+ ... +

ani Cnri

+ ... +

ann Cnrn

+ +

a12C1h

+

Al sumar estas ecuaciones, obtenemos:

,el 1. +

-

a2,- c2 1. +

... + a 2c171.) x2 + 11

=

b 1C 1¡

= b2C2; = bnCni

64

Capítulo 3

Determinantes

Por la propiedad 8, se desprende que

y de acuerdo con la definición de determipante, tenemos que:

IAi x;=

a ¡¡

al2

a l,i- 1

b¡

al ,í+ l

a ¡,

a 21

a 22

a 2,i-l

b2

a 2,í+ l

a 2,

a,¡

a ,2

an,i- 1

b/1

an.i+ J

...

a,,

Luego si IAI :t: O, se tiene:

a!L

al2

al ,i-1

b¡

al ,i+J

a¡,

a2,i+ l

a 2,

a , ,i+l

a ,,

a21

a 22

a 2, i- l

b2

a,,

a ,2

a n,i- 1

b,

x.= 1

IAI

_ IB~l

-w

para i = 1,2, ... , n

Conclusión: El denominador es el detenninante IAI, obtenido con los coeficientes de las incógnitas. El numerador es el determinante IB;I, obtenido al remplazar en el determinante IAI, la columna de los coeficientes de la variable X ; que se desea despejar, por la columna de los términos libres.

65

&egla de Cramer

.ljemplo: Resolver el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer.

+

- xl XI

+

xl 1 -1

-1

1 1

IAI=

1

-1 IB2I = 1 1

7

3 1

X

1

+ +

x2 x2 x2 1 1 -1

1 1 -1

=

x3 x3 x3

= 4, IB 11=

7 3 1

-1

= 16, IB31 =

7 3 1

1 -1 1

1 -1 1

1

=8

-1

7

3

=20

-1

16 =-8 = 2, x2 = 4 = 4, x3 = ~ = 5 4 4

EJERCICIOS Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la regla de Cramer.

2.

3.

4.

6

+

1.

13

- 15x 1 + - 9x 1 +

11x2

=

-2 2

+ +

x3 4x3 2x3

= =

x3 2r3 3x3

=

13x2

5x 1 2xl 3x 1

+ + +

2x2 3x2 4x2

- 2x 1

+ + +

3x2 x2 2x2

- 3x 1 XI

3 1 8

- 5 - 12 - 1

66

Capítulo 3

3x2

3x 1

+ + + +

- 2xl

+

3x2

XI

5.

6.

4x 1 -xl

x2 5x2 2x2

XI

2x 1

+

x2 x2

2

+ +

x3 2x3 3x3 x3

+ +

2x3 x3

2x4

x3

x4 4x4

+

+

3x4

4

1 -2

X4

+

x4

=

-1 3 2

o

D eterminante

o 3 Determinantes

Capítulo 4

Inversa de una matriz

Definición 1 Sea A una matriz cuadrada de tamaño n x n. Se dice que A es invertible o no singular si existe una matriz cuadrada de tamaño n x n, tal que AX = XA = I · X se denomina una inversa de A.

Teorema 1

Si A tiene inversa, es única.

Demostración: -u pongamos

AX =XA=I AY =YA= 1 - =XI= X(AY)= (XA)Y = IY = Y or consiguiente hablaremos de la inversa de la matriz A y la denotaremos por A- 1 .

Definición 2

Si n es un entero positivo y A es una matriz invertible, se define

A -n

A-l A-t ... A-1 nveces

68

Capítulo 4

Inversa de una ma ·

Definición 3 Sea A una matriz de tamaño n x n. Formemos la matriz con l cofactores de los elementos del determinante de A y tomemos su transpuesta. La matriz así obtenida se llama la adjunta de A. Es decir, elt e12

e2I e22

en! en2

eln

e2n

enn

adj A =

Teorema 2

A (adj A)= (adj A) A =

IAI 1

(*)

Demostración: Por la propiedad 8 de los determinantes, tenemos a¡¡

a¡z

az¡

anl

•BKn-tración:

el! e1z

e2I e22

en]

azz

aln azn

an2

ann

e in

e2n

enn

o

o o

A e inYe

-

en2

A (adj A)=

los: Si A=

IAI

o

IAI

o

o

= IAI 1

l~

adj A= (_

IAI luego si A=

De manera análoga se demuestra que (adj A) A=

Corolario.

Si

IAI

7:-

IAI 1 Hallar la inY

O, la inversa de la matriz A es: A- 1 =

-

1

~

adj A

Demostración: Multiplicando la ecuación (*)por ~ tenemos:

A(~

adjA) =

(~

adjA) A=l,luegoA- 1 =

~~

adjA

-

:: con los uesta. La

Teorema 3

Si A es invertible, entonces,

IAI

::¡:. O

Demostración:

Supongamos que A es invertible, entonces, AX = XA = 1, por consiguiente, entonces IAI lXI = 1, luego IAI ::¡:. O

Si A es invertible, entonces el sistema de ecuaciones lineales

Teorema 4

AX=b

tiene solución única y viene dada por X = A- 1b

Demostración:

Como A es invertible, existe A- 1, luego A- 1(AX) =A-lb==> (A- 1A) X= A- 1b ==>IX= A-! b ==>X= A- 1b

Ejemplos:

a) Si A= (

~ ~)

con

IAI ::¡:.O, tenemos,

ad· A= ( d -b) A- l = -1 ( d -b) lJ -e a y !Al -e a

b) Hallar la inversa de A, si existe

A=

- A

IAXI = 111,

(

1 1 O 2 1 -1

70

Capítulo 4

c 21

= -1-i ~ 1=-4,

~ 1=2,

c23

=- 11

=1 2 ~ 1=1,

c 32

= -1

cl3

=1

c22

=1

c31

~

-i 1=-2,

1

1

-i l= 2

1

~ 1=-3

o

Inversa de una matriz

Además como AX = L

lo que da origen a los .: =

A

Luego la adj A=

9-4 lJ

(-2

3

2 -3 ,y

2 2 IAI =1C¡¡ + 1Cl2 + 1Cl3 =9 + 3-2 =10

Como IAI :t:. O, por el tec~Jil los x!J son únicos y, por_

Por consiguiente, A tiene inversa y A - 1 = _!_

10

9-4 1]

(-2 3

2 -3

2 2

Como se observa, este método es un poco extenso para calcular la inversa de una matriz; especialmente si la matriz es de gran tamaño; por tanto, trataremos de buscar un método rápido que permita calcular A- 1.

Esto nos permite concl · -

Sea A una matriz cuadrada de tamaño n x n. Se dice que A tiene una inversa por la derecha, si existe una matriz cuadrada X de tamaño n x n, tal que

Teorema 6

es única, que lo que de.:>_

Definición 4

Si AX = L

Demostración:

De manera análoga, se define inversa por la izquierda.

A(XA + X - 1) = A (XA IA+I-A=A+I-A=

Teorema 5

La inversa por la derecha es única.

esto es A(XA + X - 1) = l. pero como AX = 1, es d ~­ reorema anterior que,

Demostración:

Como AX = 1, entonces

IAXI =

1, luego

IAI IXI =

1, lo que nos indica que

IAI :t:. O.

XA+X-I=X~XA =I

-o

2

71

Inversa de una matriz

Además como AX = 1, tenemos: a¡¡

at2

aln

X 11

xl2

X In

1

a22

a2n

X21

x22

x2n

o

o

a2t

o o

a ni

an2

ann

X ni

xn2

xnn

o o

1

lo que da origen a los siguientes sistemas de ecuaciones: X¡¡

1

X¡2

X¡n

o

o

x21

x22

1

X2n

o o

xnn

1

A xnl

o

'

A

,···,A xn2

o

Como IAI -:;:. O, por el teorema 4, cada uno de estos sistemas tiene solución única, esto es los X¡¡ son únicos y, por consiguiente, X ¡¡

X1i

Xln

X21

X22

x2n

X=

~ a inversa de una matriz;

-~ ~r de buscar un método

es única, que lo que deseábamos probar. Esto nos permite concluir que si AX=I} AY = I =>X=Y

Se dice que A tiene - X de tamaño n x n, 1.

Teorema 6

Si AX = 1, entonces, XA = l.

Demostración: A(XA + X- 1) = A (XA) + AX- A = (AX) A + AX- A = IA+I-A = A + I-A =I esto es A(XA + X - 1) = 1, lo cual muestra que XA + X - 1 es una inversa a derecha de A; pero como AX = 1, es de.cir, X es también una inversa a derecha de A, se concluye por el teorema anterior que, XA+X-I=X=>XA = I.

72

Capítulo 4

Corolario.

Inversa de una matriz

Si A tiene inversa por la derecha, es invertible.

En

Lo anterior nos enseña que para calcular la inversa de una matriz sólo es necesario hallar la inversa por la derecha.

Ejemplo:

i),

~

1 2 1 -1

Dada la matriz A = (

debemos hollar una matriz X tal que

AX=I Como se observó en la nota al finalizar el capítulo 2, y señalada como importante vimos que la manera de conseguir esta matriz es: Formar una matriz compuesta de la siguiente manera: i) A la izquierda de la raya 1 van los elementos de matriz conocida y a la derecha, la matriz idéntica. ii) Efectuar operaciones elementales entre filas, hasta que la matriz idéntica quede a la izquierda de 1. iii) La matriz que queda a la derecha de 1 es la matriz pedida. Siguiendo estos planteamientos obtuvimos:

[~ [

Luego X =

1 2 -1

10 9 3

10 • 2

iO - -1

iO -1

5

5

o

1

1

3 3

o 1 o o

-n~

10

~J

o o 1 o o 1

u [9-4 lJ :=:

3 -2

2 -3 2 2

Llamaremos este método, método rápido Ejemplo:

Resolver el sistema x1 + 2x 1

2x 3x2

3

-4

9

4

3

2

iO

iO 1

jJ

5

5

5

iO 1

- iD

10 1

nr.y·., ,_,,.,.

73

triz

En notación matricial AX = b, el sistema es: -"---~-- hallar

Por tanto X = A- 1b o sea ar zma matriz X tal que

1

5

(21) ; lo que indica, x _ (_-32 -1) 1

1=

1, y x 2= 2

EJERCICIOS -amo importante vimos - - mpuesta de la siguiente

l.

Demostrar que si A es una matriz invertib1e, A - I es invertib1e y (A- l )- 1 = A

.= :onocida y a la derecha,

2.

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño e invertib1es, demostrar que AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1

3.

Demostrar que lmij Al= IAin-l

4.

Demostrar que si A y B son matrices no singulares del mismo tamaño entonces

...._-.......!:.....:""'-""""

_

~

la matriz idéntica quede

-- Ga.

adj (AB)

-

4 10

2

iO -

1 5

Jj

5.

=

(adj B) (adj A)

Demostrar que si A es no singular adj (adj A)

=

IAin-2 A

10 1

5

Si existe, hallar la inversa de las siguientes matrices, tanto por el método de la adjunta como por el método rápido. 6.

7.

8.

c3 !) (-35 -24)

' 2

(-¡ _¡) -1 1

74

Capítulo 4

Inversa de una matriz

9.

10.

-i _; -~ -~ [ 4 3

5 -6 4 -9

2 1

l

Capítulo

Resolver los sistemas de ecuaciones de los ejercicios de la sección 3 del capítulo 3, por el método de la matriz inversa.

Definición 1 LOS

elementos de 2

Ejemplos:

Definición 2

Sem1 ~ •

~e

Ejemplo: Si (3 - x 1• ~ Je la igualdad entre '

-

Inversa de una matriz

Capítulo 5

Vectores en JRn - .3 del capítulo 3, por el ÁLGEBRA DE VECTORES Y PRODUCTO INTERNO

Definición 1

lR" = {(x 1, x 2,

••• ,

x) 1 x; E JR, i = 1, 2, · · · , n}

os elementos de lR" son llamados puntos o vectores.

Ejemplos:

Definición 2 ue

(2,3,4)

E

JR3

(-3,2,1,5)

E

JR4

(3, -4)

E

JR2

(-2, i, 4)

~

JR3

Sean X= (x 1, x 2 ,

• • • , X 11),

X = Y sí,

Ejemplo:

X¡

Y= (y 1, y 2 ,

••• ,

Yn) elementos de lR". Se dice

=y¡, i = 1, 2, · · · n

Si (3- x 1, 2 + x 2 , 5- x3) = (-3, 4, 8). Hallar el valor de x 1, x 2 , x 3 .

:Je la igualdad entre vectores, se deduce

3 -x¡= - 3::::>x¡

6

2+

X2 =

4 =>

X2

2

5-

X3

=

8 =>

X3

= - 3

76

Capítulo 5 Vectores en IR"

Definición 3 Sean X = (x 1, x 2,

· ··

, X 11 ),

Y= (y 1, y 2 ,

··· ,

Yn) elementos de lR" y e un

Álgebra de vectores

M3. (cd)X = e( _M4. 1X=X

número real (escalar) , se define:

X+ Y= (x 1 + y 1, x 2 + Y2' · · · , xn + Yn) eX= (cx 1, cx2 , · · · , CX11 )

Demostración: A manera de ilustra;:

Naturalmente X+ Y y eX son nuevamente vectores de lR". c(X +Y)

Ejemplo:

Si X = (3, 5, -6), Y= (--4, 8, 5)

X+Y = (-1 13 -1) '

'

'

SX = (1 6 25 -30) ;;¡,

'

'

-3Y = (12 -24 -15) '

'

El vector de lR" que tiene todas sus componentes iguales a cero, se denota por O, O= (0, O, · · · 0), y se denomina el vector cero (o cero vector).

Definición 5

Definición 4 Si X, Y E lR"

-X X-Y

U1:

( - 1)X

Si V= (A, B) es un· respectivamente del · dice que está localiz.!.

X+( -1) Y

Denotaremos V = (-

Portanto,si X= (x¡,X2,··· ,xn), Y=(y¡,y2,···,yn)

-X X-Y

( -X¡ ' -X?_, ··· ' -X n ) X+( -l) Y = (Xt- Yt, X2- Y2, ···, Xn- Yn)

Teorema 1 Para cualesquier vectores X, Y, Z

E

JRn y cualesquier e y d escalares

(números reales), se tiene:

S l. S2.

(X + Y) + Z = X + (Y + Z) X+Y=Y+X

Definición 6 Sea. B-A=D - C

áJ-~ X+O = X

S4.

X+ (-X)= O

.\YU. ,e (X+ Y) = eX+ e~

---=M2.

~e

---';;,-

+ d)X = eX + dX

Ejemplo: Sean U =

.

A=(1,2,3)B=(--4. ~:

C=(2, 1,4)D=(-3. :._

:2:J 'tu/o 5

Vectores en lR"

-ementos de JR" y e un

77

Álgebra de vectores y producto interno

M3. (cd)X

=

e(dX.)

M4. lX=X Demostración:

A manera de ilustración, probaremos la propiedad MI, las demás quedan como ejercicio.

c(X +Y)

c(x 1 + y 1, Xz + yz,

00 •

,

Xn + Yn)

(ex ¡ + cy¡, cxz + cyz, ... , CX n + cyn ) (ex¡ , cxz, c(x¡ , xz,

_::e denota por O,

000 ,

000 ,

cxn) + ( cy¡, cyz, Xn) + c(y¡ , yz,

ooo

000 ,

cyn)

,yn)

eX+ cY

Un vector dirigido es una pareja ordenada de elementos de lR".

Definición 5

Si V = (A, B) es un vector dirigido, los puntos A, y B son llamados punto inicial y final respectivamente del vector V . Además, el vector V, tiene una dirección de A hacia By se dice que está localizado en A. Denotaremos V = (A, B) por V = AB _ __ ... , Yn)

-X

-

Yn ) A

'Squier e y d escalares

Definición 6 Sean U = AB y V= CD . Se dice que U es equivalente a V, si B-A = D-C

Ejemplo: Sean U

= AB y V = CD donde

=

(-4, 3, 2)

e= (2, 1, 4) n =

(- 3, 2, 3)

A= (1, 2, 3) B

78

Capítulo 5

Vectores en lR11

Los vectores U y V son equivalentes puesto que B-A=D - C = (-5 , 1, -1)

Definición 7

Sean U = AB y V = CD.

a) Se dice que U es paralelo a V si existe un número e

7:-

O, tal que

B-A=c (D - C)

b) Si e > O, se dice que los vectores tienen el mismo sentido. e) Si e < O, se dice que los vectores tienen sentido opuesto.

Ejemplo:

Sean U = AB y V = CD donde A = (l, 1)

e= (3 , 1)

B = (3 , 3) D = (5, 3)

Entonces U y V son paralelos y con el mismo sentido pues B- A= 1(D- C)

Si consideramos .·e-_ basta conocer las las coordenadas de: vector X= (1 3 ' ' Definición 8 Sea _ ud de X, denotada

Además son equivalentes.

Ejemplos: a) Si X A

e

=(1,

b) Si X =(2, 3. _

·amos a analizar vector sualizar para el cas~

~.::calar por un

Es claro que si dos vectores son equivalentes, ellos son paralelos y con el mismo sentido. Más adelante, podemos apreciar que ellos tienen la misma longitud.

- anX =(x 1,x2), Y= .

Capítulo 5

Vectores en IR"

79

.i.!gebra de vectores y producto interno

Es de observar que AB es equivalente a O (A - B ), donde O es el punto cuyas componentes son todas iguales a cero.

/

e "# O, tal que sentido. 'Puesto.

Si consideramos vectores localizados en el origen, para determinarlos completamente basta conocer las coordenadas del punto final y, para ello, indicaremos un vector sólo con las coordenadas del punto final; de ahí que los elementos de ~n se llamen vectores. Así el vector X = (1 , 3, 4) es el vector localizado en el origen y punto final en (1, 3, 4).

Definición 8 ud de

Sea X= (x 1, x 2,

••· ,

xn) un vector de lR". Se define la norma o longi-

X, denotada por IIXII como IIXII = ~x~ + x~+ ... + x~

Ejemplos:

a) Si

X =(l,

3, - 4, s)~IIXII=~1 + 9+16 + 25

=JSl

b) Si

X =(2,

3, 4, - s)~ IIXII = ~4+9+16+25

=.J54 =316

Vamos a analizar geométricamente la adición de dos vectores, la multiplicación de un escalar por un vector y la norma de un vector, para el caso de dos dimensiones; se puede Yisualizar para el caso de tres dimensiones y abstraer para dimensiones mayores. :: : ;- on el mismo sentido. d.

Sean

X= (x 1, xJ, Y = (y 1, y2)

dos vectores de 1R 2.

·1

80

Capítulo 5

Vectores en ~

!!'=bra de vectores ~

y proc __

norma de un vector to final X.

;~

1 1 1 1 1 1 1 1

Y=(x21 + Y¡)

1

1

1

1

1 1

1 1 1

Por tanto, la manera como hemos definido la adición de dos vectores coincide con le. conocida ley del paralelogramo.

- análisis geométrico de 12. -

La multiplicación de un escalar e por un vector X consiste en amplificar el vector X, le veces. Si e> O, eX tiene el mismo sentido que X, y si e< O, eX tiene sentido opuesto a X

y

+

y : cX=(cx 1 , cy 1 )

X=(xl , Y¡)

--~-------------------+x XI CX1

X

c>O ~ X= (x 1,

.x¡2) un vector

de~-

5

Vectores en IR"

81

-\lgebra de vectores y producto interno

a norma de un vector indica claramente su longitud, o sea, la distancia del origen al unto final X.

~-- X, --~

= ·ectores coincide

con la

~ ~ amplificar el vector X,

El análisis geométrico de la diferencia de dos vectores X y Y nos conduce a

lcl

_:x_ ·ene sentido opuesto a X.

+'_¡_.

y

+'_¡_.

X=(x 1 , y 1 )

X

c
-ea X= (x 1, .x¡2) un vector de IIR 2 y a el ángulo que forma con el eje X.

82

Capítulo 5

Vectores en lR"

y, ... .. ................. ..... .

Se puede probar (véas _ 23 y e es el ángulo err·~-

Naturalmente se tiene que

M' sen X¡

cosa =

Sean ahora X = (x 1, x 2), Y= (y 1, y 2) dos vectores de Sea e el ángulo entre los dos vectores. Vamos a hallar una fórmula que nos permita conseguir el valor de cose. lR2.

Definición 9 Sean _dtferente de cero y e

=

Definimos co

Probaremos un poco ma:: ::¡ue debemos garantizar

e Definición 1O Sean X Jefine su producto inte

=

Capítulo 5

Vectores en IR"

83

Álgebra de vectores y producto interno

8==a-~

cos e

=

cos(

cose = cos a cos

~

o_ -

~)

+ sen a sen

~

)

Se puede probar (véase ejercicios) que si X= (x 1, x 2 , x3) , Y= (y 1, y 2 , y 3) son vectores de y e es el ángulo entre los dos vectores, entonces

~3

==

1::: - ~ - :_

r-

-ea e el ángulo entre los dos - :::eguir el valor de cos e.

Definición 9 Sean X = (x 1, x 2, ... , xn), Y = (y 1, Yl• ... , Yn) dos vectores de JRn y diferente de cero y e el ángulo entre los dos vectores. Definimos

Probaremos un poco más adelante que este coseno está bien definido en el sentido en que debemos garantizar que

Definición 1O Sean X = (x 1, x 2, · · · , xn), Y = (y 1, y 2, · · · , Yn) dos vectores de define su producto interno o producto escalar denotado por X · Y como

X . Y= X ¡Y¡ + X2Y2 + XJY3 + ... + XrJ!n

]Rn

se

84

Capítulo 5 Vectores en

1~"

Nótese que el producto interno es un escalar de ahí el nombre de producto escalar. Con esta definición podemos, por tanto, escribir X· Y cose = IIX IIIIYII

cos e =

o'

iv) SiX=(x 1•.

Si X= (0, C.

o~e ~n

::...as otras partes qu ~emos definido la c 2

=

2

x 1 + x 2 + ···-

o' ypor tanto X . y = o

Es claro que si X · Y= O entonces cos e

:

luego X· X=

y concluir que si X es perpendicular (ortogonal) a Y (X .l Y) entonces

X ·Y luego IIXIIIIYII =

-4lgebra de vectores ~

Oy, por tanto, e = ~ luego X es perpendicular

aY

2 .:=:scribiremos a veces _

Ejemplo: Si X= (-2, 1, 3, 4) y Y = (1 , 2, -4, 3), entonces X · Y = O, luego X es perpendicular a Y.

Teorema 2

Sean X, Y, Z vectores de JRn y e un escalar, entonces

Teorema 3 •1 tonces

( D es ·e;

i) X·Y=Y·X ü) X·(Y+Z)=X · Y+ ' ·Z üi) (eX)· Y= c(X · Y) y X ·(e Y)= c(X ·Y) iv) Si X

-::f:.

emostración:

O, XX> O, pero si X= O, entonces, X · X= O.

Demostración:

üi) Sean X = (x 1, x 2 ,

··· ,

xn), Y = (y 1, Y2 '

(eX)· Y= (cx 1, cx 2, ···, cxn) · (y 1, y 2 , cx 1y 1 + CX2Y2 + · · · + CXrJln

=

··· , ···

Yn)

...:aciendo X2 =A, 2(X

,yn) =

c(x 1y 1 + X2Y 2 + · · · + X1,Yn)

=

c(X ·Y)

X · (eY)= (x 1, x 2, · · · , xn) · (cy 1 cy2, · · · , cyn) = cx 1y 1 + cx2y 2 + · · · + CXJ!n = c(x 1y 1 + X2Y 2 + · · · + XnYn) =e (X · Y)

_o que nos indica que e . si las tiene, son ~ 5 u~~-"'

--- _ro 5

85

.Vgebra de vectores y producto interno

Vectores en lE."

oducto escalar.

iv) Si X= (x 1, x2,

··· ,

2

xn) 2

:t:.

Oentonces algún X; :t:. O y, por tanto xi >O 2

?

luego X· X = x 1 + x 2 +·· · +X; + · · · + x~ >O Si X= (0, O, . · · · O) entonces X · X= O+ O + · · · +O = O

as otras partes quedan como ejercicio. emos definido la norma de un vector X= (x 1, x 2 ,

x¡¡ = ~ xf + xi + ... + x~

··· ,

xn) como

, pero X · X= xf + xi + .. . + x~ , luego podemos escribir

¡¡x¡¡ = Jx.x

o

iXii2 = X·X

__ =o X es perpendicular

Escribiremos a veces X2 en lugar de X · X y, por tanto,

_· · Y

=

O, luego X es

Teorema 3

.ces

(Desigualdad de eauchy-Schwarz ). Si X y Y son vectores de lR",

ntonces

Demostración:

c(X + Y) · e(X + Y)

~

O

e(X) · e(X) + c(X) · Y + Y · (eX) + Y · Y e 2X 2 + 2e(X · Y) + Y2 ~ O aciendo X 2 =A, 2(X

=

Y) = B, Y2 =e tenemos Ac2 +Be+ e ~ O

X·Y)

- CX_Y2 + · · · + CXJln

X

=

e

o que nos indica que el polinomio de segundo grado Ae2 +Be + no tiene raíces reales . si las tiene, son iguales; luego su discriminante es menor o igual a cero, o sea,

84

Capítulo 5

Vectores en R•

Nótese que el producto interno es un escalar de ahí el nombre de producto escalar.

iv) Si X= (x 1, x2,

Con esta definición podemos, por tanto, escribir

.••

luego X· X= x=-

X ·Y cose= IIXIIIIYII

Si X = (0, O, .· ··

~as

y concluir que si X es perpendicular (ortogonal) a Y (X l_ Y) entonces

otras partes quedan

X· Y cos 8 = O , luego IIXIIIIYII = O , y por tanto X · Y = O

.

n

Es claro que Sl X . y= oentonces cos e= oy, por tanto, 8 = - luego X es perpendicular aY 2

=: -cribiremos a veces x= ,. . . Si X= (-2, 1, 3, 4) y Y = (1, 2, -4, 3), entonces X · Y = O, luego X es perpendicular a Y. Ejemplo:

Teorema 2

Sean X, Y, Z vectores de JRn y e un escalar, entonces

eorema 3

( Desigua

. •1tonces i) X·Y=Y·X ü) X . (Y + Z) =X . y +X . z üi) (eX) · Y

=

c(X · Y) y X ·(eY) = c(X · Y)

Demostración:

iv) Si X* O, XX> O, pero si X = O, entonces, X · X= O.

Demostración:

üi) Sean X= (x 1, x 2,

••• ,

(eX)· Y= (cx 1, cx2,

xn), Y = (y 1, Y2, · · · , Yn)

••• ,

cxn) · (y 1, y 2 ,

cx 1y 1 + CX:z,Y2 + ·· · + CXnYn X · (eY)= (x 1, x 2,

=

••• ,

= _

Yn) =

c(x 1y 1 + X:z,Y 2 + ·· · + XrJ!n)

xn) · (cy 1 CY2, · · · , cyn) c(x 1y 1 + X:z,Y 2 + ··· + XnYn) = e (X· Y) ••• ,

aciendo X2 =A, 2(X x y

=

= c(X ·Y)

cx 1y 1 + cx2y 2 + ··· + CXrJ!n

=

_o que nos indica que el ~-"'""........,___._. _. si las tiene, son iguales: l =

_ ~a 5

Vectores en lR"

ucto escalar.

85

.Í.Igebra de vectores y producto interno

iv) Si X = (x 1, x 2 , luego X · X =

··· ,

xn)

-:F O entonces algún X¡ -:F O y, por tanto

2

x 1 + x 22 +··· + X¡2

xl >O

+ · · · + xn > o 2

/

Si X= (0, O, . · · · O) entonces X · X = O + O+ · · · + O= O

Las otras partes quedan como ejercicio. Hemos definido la norma de un vector X = (x 1, x 2 ,

XJJ=

Jxf + xi + ... + x~

••· ,

xn) como

, pero X · X = xf + xi + ... + x~ , luego podemos escribir

JJxJJ= Jx.x 2

~=G X es perpendicular

JJXJJ

=

o

X·X

Escribiremos a veces X 2 en lugar de X · X y, por tanto,

_- - Y

=

O, luego X es

_es

Teorema 3 m tonces

( Desigualdad de eauchy-Schwarz ). Si X y Y son vectores de

J~Rn,

Jx . YJ ~ JJxJJIJYJJ Demostración:

c(X + Y) · c(X + Y) ~ O c(X) · c(X) + c(X) · Y + Y · (eX) + Y · Y c2X2 + 2c(X · Y) + Y 2 ~ O aciendo X 2 =A, 2(X

= c(X·Y)

X

Y)= B, Y 2 =

e tenemos

Ac2 +Be+

e~

O

_o que nos indica que el polinomio de segundo grado Ac2 +Be + e no tiene raíces reales . si las tiene, son iguales; luego su discriminante es menor o igual a cero, o sea,

86

Capítulo 5

Vectores en IR"

B2 - 4AC sO, entonces B 2 s 4AC

Demostración:

//X- 1

Remplazando nuevamente A, B , C, por sus valores originales, tenemos:

4(X ·Y) s 4X 2Y 2

(x ·Y) s /IXII 2

2

IIYII 2

-

o sea por tanto

IX. Yl S IIXIIIIYII enemos, por tanto, Corolario

Teorema 5

Si e es ,

Demostración:

Por la desigualdad de Cauchy se concluye que

Demostración:

IX·YI por tanto IXII I YIIsl, X·Y 1 1 - S1 /XII YIIS

1/cX: = JlcX: = //eX = Corolario

Teorema 4 (Desigualdad del triángulo). Si X= (x p Xz, ... , xn) y y = (y,, Yz, ... , Yn son vectores de ~", entonces

Demostración:

5

Vectores en JRII

.S.tgebra de vectores y producto interno

87

Demostración:

~

1

(X+ Y) ·(X+ Y) = X·X+X·Y+Y·X+Y·Y X2 +2(X ·Y)+Y 2 IIXII 2 +2IIXIIIIYII +IIYII 2 =( ¡¡x¡¡ +IIYII ) 2

enemos, por tanto,

¡¡x +Yll 2 ::; ( ¡¡x¡¡ +IIYII Y=> ¡¡x +Yll ::; ¡¡x¡¡ +IIYII Teorema 5

Si e es un escalar y X un vector, se tiene:

Demostración:

jjcxjj 2 licXII 2 licXII

(cX)·(cX)=c2 (X·X)=c 2 jxjj2 => c2 jjxr => ici !IXII

Corolario

11- xll=llxll emostración:

11- x¡¡ =1 (- 1) x¡¡=1- liiiXII =¡ x¡¡ 1 Se

está aplicando la desigualdad de Cauchy.

88 Definición 11

Capítulo 5 Vectores en -

Se dice que un vector U es unitario si

IIUII =1 Si X es un vector arbitrario diferente de cero, el vector

-(X, y)= IIX - Yl =

es unitario pues Esta definición no

1

1

1

IUX = ~X = IXII IIXII=IIXIIIIXII =1 11

Ull=o (B,A)= liB- . Vll =o(n,c)=IID-c

1 Además como - - > O Ux y X tienen el mismo sentido

IIXII

o::

or ser B - A = D -

X

Definición 1

Ejemplo: Si X= (1, 2, 3) =>U x

=~~~~~ X= Jh- (1, 2, 3)

Sean _

donde los a.l son esca X2, ... ,Xm

Ejemplo: El vector - .:. Sean X y Y dos puntos de por o(X, Y) se define por Y)= 11 X- Y Definición 12

o(X,

~n. 11-

La distancia entre X y Y denotando

X=(-3, 1,2), Y=(4. .. :

- - lo 5 Vectores en lR"

89

Bases y dimensiones en lR"

En caso de estar X y Y en JR 2 o JR 3, esto coincide con la conocida fórmula de distancia entre dos puntos. En efecto si,

Esta definición nos permite probar que si tienen la misma longitud. En efecto

U = AB

es equivalente a

V= en,

ambos

u¡¡ =o(B,A)=IIB-AII v¡¡ =o(n, e)= liD- e¡¡= IIB - All =o(B, A)= IIDII por ser B - A = D -

e

BASES Y DIMENSIONES EN lR"

Definición 1 Sean X1, X2,

··· ,

Xm vectores de lR", una expresión de la forma

donde los a; son escalares, se denomina una combinación lineal de los vectores X 1, X2,··· ,Xm

Ejemplo:

er,;re X y Y denotando

El vector (-2, 3, 9) es una combinación lineal de los vectores

X= (-3, 1, 2), Y= (4, 1, 5) pues (-2, 3, 9) = 2X +Y.

90

Capítulo 5 Vectores en lR"

3ases

dimensiones er -

Definición 2 Jientes si existen ese

Notación: En lR 2 los vectores (1, 0), y (0, 1) son denotados por i y ] , respectivamente. En JR 3 los vectores (1, O, 0), (0, 1, 0), y (0, O, 1) son denotados por i,], k respectivamente.

y

- i la ecuación anterior:: ~ son linealmente ·

z

Ejemplo: Los vecto .ombinación lineal - _

-

(O,O,l)=k

(1 ,O) = i

_- probemos que

(O ,1, O) = j ;-----:.-----_......;~y

.__-------+X

,o~

a¡(l , O.

O) = i

X

Ejemplo: Todo vector en

JR2

se puede escribir como una combinación lineal de T y ] . En efecto

Análogamente todo vector en JR3 puede escribirse como una combinación lineaJ de ] , k pues

¿Son los

.X = (1, 2, 3, 4), y = 11dependientes?

T, - ,(1, 2, 3, 4) + ~(-4.- -_

X= (x 1, x 2, x 3) = x 1(1, O, O)+ xi1, O, O)+ x3(0 , 1, O)= x1i + x2 ] + x3k Por esta razón, el vector X= (-3, 4, 2) puede escribirse como

-

-

-

X= - 3i+4j+2k

:::sto da origen al siguie -,.

- -~ :::.. 'o 5 Vectores en

~"

~\·amente.

-i .1 ,k

respectiva-

Bases y dimensiones en

91

~~~

Definición 2 Un conjunto de vectores X 1, X 2,- · ·, X,. de JRn son linealmente dependientes si existen escalares a. 1, a. 2, . .. , a.,. no todos iguales a cero tal que:

a 1X 1 +

cx.zX2 +

··· +

a,X,. = O(O vector)

i la ecuación anterior sólo se cumple cuando todos los <X¡ son cero, se dice que X 1, X 2, · · · ,

X,. son linealmente independientes.

1,

Ejemplo: Los vectores T , k son linealmente independientes. Formemos una ombinación lineal de ellos, igualada a O.

-

-=O

-

a 1i + a 2 j + a 3 k

_- probemos que necesariamente a. 1 = <Xz = a.3 = O.

a. 1(1, O, O)+ <Xz(O, 1, O)+ a.3 (0, O, 1) =(0, O, 0), entonces (a. 1, <Xz, a.3)

=

(0, O, O)

or la definición de igualdad entre vectores se concluye que

jemplo: ~a. de i y

1 . En efecto

¿Son los vectores

( 1, 2, 3, 4), Y= (-4, - 7, 6, 8), Z dep endientes?

- =

=

(-1, -3, -5, 6) linealmente dependientes o

binación lineal de i , (1, 2, 3, 4) +

<Xz(-4~

-7, 6, 8) + a.3 (-1, - 3, -5, 6) = (0, O, O, O)=>

sto da origen al siguiente sistema de ecuaciones

92

Capítulo 5

a¡

4a 2

2a 1

7a 2

Bases y dimensiones en

'O

o o o o

a3 3a 3 5a 3 =

3a 1 + 6a 2 4a 1 + 8a 2

Vectores en JRr.

+ 6a 3 =

Resolvemos nuevam que resolveremos por el método de Gauss

1 - 4 2

-7

- 1 ,., -.)

3

6

-5

4

8

6

[

1

2

4

1

4

8 - 5 - 31

Los términos libres obviamente están sobreentendidos.

-4

- 1

1 -4

- 1

2 - 7 - 3

o

1

1

3

6 -5

o

18

- 2

4

8

o

24

10

6

1

o

o

1 - 1

-5

o o

8

o o

17

o

- 5

o 1 o o o o

-1

1

y, por tanto, la solución del sistema es a 1 =

~

1 - 4 -1

o o o

1 -1 9 -1 12

5

o o o 1 o o o 1 o o o 1

= a 3 = O, lo que nos permite concluir que

los vectores X, Y, Z son linealmente independientes. ¿Observa alguna particularidad en la matriz de los coeficientes con respecto a los vectores dados X, Y,Z?

Luego el sistema tiene : a = 1 tenemos a 1 = -2. dientes. Obsérvese que no es -onocer el rango fila, pt!~ ·ene infinitas soluciones guiente los vectores son de incógnitas, el sistel112. serían linealmente ·

.............

~

Como se puede obsef\·~ ma de ecuaciones para -alocando los vectores

Determinar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes.

Ejemplo:

Ejemplo:

Determinar

X = (1 , 4, 8), Y = (2, 1, -5), Z = (4, -5, - 31) X = ( 1, 4, -2, 1 ), Y = : mente dependientes o i _

a 1(1 , 4, 8) + ai2, 1, - 5) + a 3 (4, -5 , - 3) = (O, O, O)=>

5 Vectores en lR'

93

Bases y dimensiones en JRn

a 1 + 2a 2

=

4a ¡ + 8a 1

=

=

a2

5a 2

=

o o o

Resolvemos nuevamente por el método de Gauss

1 21 - 45 ] : : : [1 o -

4

[8

-5

- 31

o

4!

72 - 21

- 21

-63

La solución del sistema es por tanto

- 4 -1

(a arbitrario)

-1 ::::::

9 -1 5

L

::::

o o o 1

o o e nos permite concluir que on respecto a los vectores

Luego el sistema tiene soluciones diferentes a la solución trivial. Por ejemplo, haciendo a= 1 tenemos a 1 = - 2, ~ = 3, a 3 = -1 y por tanto los vectores son linealmente independientes. Obsérvese que no es necesario hallar la solución general del sistema; basta solamente conocer el rango fila, pues si el rango fila es menor que el número de incógnitas el sistema tiene infinitas soluciones, esto es, soluciones diferentes de la solución triviál y por consiguiente los vectores son linealmente dependientes; pero si el rango fila es igual al número de incógnitas, el sistema tiene solución única, que es la trivial y, por tanto, los vectores serían linealmente independientes. Esto se sigue del teorema 1 de la página 43. Como se puede observar, en los dos ejemplos anteriores es innecesario plantear el sistema de ecuaciones para hallar la matriz de los coeficientes; ésta se puede conseguir colocando los vectores dados en forma transpuesta, es decir, en forma de columna.

linealmente dependientes o Ejemplo:

Determinar si los vectores

X = (1,4, - 2,1), Y=(2,9,-3,4), Z=(-1, - 3,4,2), W=(3,11,-4,4)sonlineal- "" ~ mente dependientes o independientes. O. O, O)=>

94

Capítulo 5 Vectores en lR"

4

2

-1

".)

9

-3

11

1 2 ~

-2 1

1 ~

"

4 - 4

4

2

-.)

o

o 1 o o o o

4

-3

5 1 -1 3

1

3

dimension es er -

3 -1

2 2

2

jemplo: G = {( .. (x 1, x 2 , x 3) = X¡ l.

3 :_ ,

3

o o o 1 o o o 1 o o o 1

~

1

o o o

-1

.:.ases

14

Ejemplo: ¿G = {(l.

- 4

".)

=~ genera a

JR 2 se de -

o

Como tiene rango tres, el sistema tiene solución diferente de la trivial; luego los vectores son linealmente dependientes.

Teorema 1 Cualquier conjunto de m vectores de JRn, con m > n, es linealmente dependiente.

JUe es un sistema q~e

Demostración: ~ -í,

por ejemplo (3 , .:

Ejemplo: G = {(l. .: ~.y, z) E JR 3 se teruh

Siguiendo la idea del ejemplo anterior tenemos:

a¡¡

a 12

az¡

a22

azm

, que es una matriz de tamaño n x m, y por tanto su rango fila r es

menor o igual a n y como n < m, entonces r < m; es decir su rango fila es menor que el número de incógnitas, y por tanto tiene soluciones fuera de la trivial, lo que permite concluir que los vectores X 1, X 2, ... , Xn, son linealmente dependientes.

Definición 3 Un conjunto G = {X 1, X 2, ... , Xr} de vectores de JRn se dice que genera a JRn si todo elemento de JRn es una combinación lineal de G, es decir, si dado X E JRn, existen escalares a 1, a 2, ... , ar tal que

esolviendo este siste

~ wlo

5 Vectores en

~ 11

Bases y dimensiones en

~ 11

95

G

=

E3 , (x 1, x 2, x 3)

=

{(1 , O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1)} genera a lffi.3,pues dado (x 1, x 2 , x 3 ) x 1(l, O, O)+ x 2(0, 1, O)+ x 3(0 , O, 1)

Ejemplo: ¿G

=

{(1, 1), (1 , -1)} genera a JR 2 ?

Ejemplo:

Si genera a JR 2 se debe cumplir que

(x, y) = a 1(1,

U¡

+

Uz

- ial: luego los vectores

E

1) + az(l, -1), luego X

y

que es un sistema que sí tiene solución, a saber _ > n, es linealmente

x+y

U¡= - -

2

x-y

' Uz = - -

2

_-\sí, por ejemplo (3 , 5) = 4(1, 1)- (1, -1)

Ej emplo: G = {(1, 2, 1), (1, 1, 1)} no genera a JR3, pues si lo hiciera, dado x, y, z) E JR 3 se tendría (x, y , z)

-

~

tanto su rango fila r es

=

a 1(1, 2, 1) + ui1, 1, 1). Por tanto,

U¡

2u 1 U¡

,..,~go

fila es menor que el ::riYial, lo que permite

__ ·o es de JRn se dice que ·de G, es decir, si dado

+ u2 + u2 + u2

X

y Z

esolviendo este sistema por el método de Gauss se tiene

y-x]

2x- y

z-x

96

Capítulo 5

Que tiene solución solamente si z subconjunto

=

Vectores en lR"

x, pero entonces G no genera a todo JR3 sino al

Bases

dimensiones en '::

2.

B

3.

B = {(1 , 1), (1,independiente.

de vectores de lR", entonces B genera a lR".

4.

B

Demostración:

5.

B = {(1 , 2, 1), (1 , '

S= {(X , y , x)

Teorema 2

Si B

=

{X 1, X 2 ,

... ,

1

X

E JR, y E JR }

{X 1, X 2, · · · , Xn, X} consta den + 1 vectores y por teorema 1, es linealmente dependiente, y por tanto ~X 2

{(1 , 0), (0, 1

X J es un conjunto linealmente independiente =

{(1, O, 0), (0, :_

conjunto no genera _

Sea X un vector cualquiera de JRn, entonces el conjunto

a 1X 1 +

=

6.

B = {(1 , 2, 1), (l. linealmente depen _

+ · · · + anXn + a 11 + 1X =O donde no todos los a son iguales a cero.

Si fuera an + 1 = O se seguiría entonces que el conjunto formado por los vectores {X 1, X 2, · · · , X n} sería linealmente dependiente, lo que contradice el supuesto de que B = {X 1, X 2, · · · , Xn} es linealmente independiente. Por tanto se concluye que an + l:;tOy

B = {(1 O O ·· · O ' ' ' ' ... base canónica.

Teorema 3

Dos bases

Demostración: Se aplazará para el capí Por consiguiente B = {X 1, X 2,

··· ,

X n} si genera

a JRn. Definición 5 -ión .

Definición 4 . Un conjunto B = {X 1, X 2,

•· · ,

Xr} de JRn es una base de JRn si:

i) B es un conjunto linealmente independiente.

Como una base de JR2 es 2 - es 2, que abreviamo

ii) B genera a JRn. Ejemplos:

En general la base canóni _

( 1, O, O, · · · , 0), (0, 1, O, -- • l.

Del teorema anterior se concluye que cualquier conjunto de n vectores linealmente independiente de JRn es base de JRn.

La.!Jiwlo 5

Vectores en JRn

era a todo R3 sino al

97

Bases y dimensiones en JRn

2.

B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de JR2.

3.

B = {(1, 1), (1, -1)} es una base de R. 2 , pues se puede probar que es linealmente independiente.

4.

B = {(1, O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1)} es una base de R. 3 .

5.

B = {(1, 2, 1), (1, 1, 1)} no es una base de R. 3 pues como se vio anteriormente este conjunto no genera a JR3.

6.

B = {(1, 2, 1), (1, 1, 1), (2, 3, 2)} no es una base de R. 3 pues este conjunto es linealmente dependiente.

_ nJente independiente

B = {(1, O, O, · · · , 0), (0, 1, O,··· , 0), · · ·, (0, O, O, · · ·, 1)} es una base de J!Rn, llamada base canónica.

-

- rrnado por los vectores ~ ~rradice el supuesto de ;::¡ tanto se concluye que r

Teorema 3

Dos bases cualquiera de J!Rn tienen el mismo número de vectores.

Demostración:

e aplazará para el capítulo siguiente.

Definición 5

El número de elementos que tiene una base lo llamaremos la dimen-

ión. -

_ ww base de J!Rn si:

omo una base de R. 2 es la base canónica {(1, 0), (0, 1)} s.-e-concluye que la dimensión de - es 2, que abreviamos escribiendo dim R. 2 = 2 n general la base canónica de JRn, 1, O, O,··· , 0), (0, 1, O, · · · , 0), · · · , (0, O, O,··· , 1)} tienen vectores luego

e n vectores linealmente dim J!Rn

=

n

98

Capítulo 5

Vectores en lR"

EJERCICIOS l.

Determinar si los vectores U

Bases

dimensiones er.

1O. Sea X un vector la dirección po

= AB

y V

= eD

son equivalentes

a) A = (1, 3), B = (4, 5), e= (1, 1), D = (4, 3) b) A= (1, 2, 4), B = (5, -3, 2), e = (-1, 1, 0), D = (-5, 6, 2)

e) A = (1, -3, 2, 4), B = (-4, 1, 5, 2), e= (- 3, 1, 2, 5), D = (-1, 5, 3, O)

11. Probar que: b) (X -

2.

Determinar si los vectores U = AB y V = eD son paralelos, perpendiculares o ninguna de las dos.

a) A=(1,2,3),B = (4,5, 7),e=(-l, 1,5),D=(l,2,3)

x.::. - _ Y) 2 = x.::. - _

a) (X + Y) 2 =

e) (X+Y)(X 12. Probar que si X -

b) A=(- 1,0, 1,-l),B=(l, 1, 1, l),e=(-1,2, 1,3),D=(3 ,4, 1, 7)

e) A = (1, 4, 3), B = (-1, 3, 2), e= (-3, 1, 4), D = (-3, 2, 3) 3.

Calcular la longitud de los vectores U y V dados en los ejercicios 1 y 2.

4.

Hallar el coseno del ángulo formado por los vectores U y V de los ejercicios 1 y 2.

13. Probar que

donde 5.

Hallar el coseno de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son:

e es el án,:,

Indicar si los pendientes.

sigu:~

a) A = (1, 3, 4), B = (3, 1, -4), e= (-2, 3, 4) b) A= (-3, 5, 1), B = (2, -5, 1), e = (-1, 2, 3) 6.

Hallar el vector unitario para los vectores U y V del ejercicio l.

7.

Probar que IIXII =O si y solamente si X= O.

8.

Probar que

14. X = (1, 2, 3), Y= -

-

15. X= (3, 1, 2, 5), Y= 16. X= (1, 3, 4), Y= 17. X=(-1,2,1,3),Y=

a) 8(X, Y)= 8(Y, X) b) 8(X, Y) ::::; 8(X, Z) + 8(Z, Y) 9.

Demostrar que los vectores T,], k de JR 3 son unitarios y mutuamente perpendiculares.

18. Si X 1, X 2, ••• , • .::. probar que ellos sor 19. Demostrar que todc ~ y por tanto es base ~~ -

Capítulo 5

Vectores en JRn

Bases y dimensiones en JRn

99

1O. Sea X un vector de ~ 3 , denotemos por a, ~'y los ángulos que forma el vector X con la dirección positiva de los ejes coordenadas, probar que entes

cos 2 a + cos 2 ~ + cos 2y = 1

11. Probar que: : o =-1 , 5,3,0)

a) (X+ Y) 2 = X 2 + 2X · Y+ Y 2

b) (X - Y) 2 = X2 - 2X · Y + yz ~--.,

elos, perpendiculares o

e) (X + Y)(X- Y) = xz - yz 12. Probar que si X es perpendicular a Y

D = t3 4, 1, 7) _: - -- -)

:

-

IIX + Yll = IIX- Yll 13. Probar que

_ Y de los ejercicios 1 y 2.

___ ·os vértices son:

donde 8 es el ángulo formado por X y Y. Indicar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes.

14. X = (1, 2, 3), Y = (- 1, 4, 2), Z = (1, 5, -3)

==r::i

io l.

15. X=(3, 1,2,5), Y = (-1,4, 1,'3),Z = (2, 1,-4,3),W = (-3, 1,2,4) 6. X = (1,3,4), Y = (-1,3, l),Z = (-4, 1,5), W=(- 3, 1,5) X=(-1,2, 1,3), Y = (1,3,-1,2),Z=(O, 1, 1, 1), W = (-1, 1, 1,0) Si X 1, X 2, · · · , Xr son vectores diferentes de cero, mutuamente_perpendiculares, probar que ellos son linealmente independientes.

~ :: y mutuamente perpendicu-

9. Demostrar que todo conjunto den vectores linealmente independientes genera a JE.n y por tanto es base de ~n.

100

Capítulo 5

Vectores en JRn

:1royecciones y producto

E-

20. Para cada uno de los ejercicios 14 a 17 determinar si generan o no al respectivo JRn. 21. Para cada uno de los ejercicios 14 a 17 determinar si forman o no base del respectivo JRn. 22. Probar que si X y Y son vectores de JR3 y e es el ángulo entre los dos, entonces ?ara la situación b) teneX ·Y

cose =

IIXII IYII

X· Y

~ose= -cosa= -;:------,~-

I XIIIIY

Ayuda: Aplicar el teorema del coseno.

X·Y

l cYI

- I XIIIIYI = M~ PROYECCIONES Y PRODUCTO VECTORIAL

X

y

~ uego,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

/

y

-<11(--cY

a)

tanto para la situa;::

b)

amado el coeficiente de -:: enotado por PXN es

cY

Consideremos los dos dibujos anteriores: el vector es llamado la proyección del vector X sobre el vector Y. La longitud de este vector se denomina la componente de X a lo largo de Y. Nuestro objetivo es buscar unas fórmulas que nos permitan encontrar fácilmente la proyección y componente de X sobre Y. Para la situación a) tenemos que e> O y X. y e cos =

IIXIII YI

pero por otro lado cose =

lcYII I XII

por tanto

_- la componente de X a le

-

·lo 5 Vectores en IR"

Proyecciones y producto vectorial

o no al respectivo JE.n.

iieYil

X ·Y

IIXII IIYII =

101 X· Y

W ~ IIXIIIIYII

eii YII

y despejando a e tenemos

¡ x¡¡ X· Y

e =-IIYII2 Para la situación b) tenemos que e < Oy

X· Y

eiiYII

cose = -cosa = IIXII IIYII , pero cosa =

X· Y

- IIXIIIIYII =

iieYil

¡¡x¡¡

X· Y

~ - IIXIIIIYII =

¡¡x¡¡ , luego

- eiiYII

lXf Y despejando a e tenemos X·Y

e =-IIYII2 Luego, tanto para la situación a) como para la-b) tenemos

X·Y

e =-IIYII2 y

amado el coeficiente de Fourier de X respecto a Y. El vector proyección de X sobre Y enotado por P XJY es

b

Px¡y =

~acto

la proyección del ...............-'""'"·LUa l a componente de X -:.~e nos permitan encontrar

X ·Y

eY = - -2 Y II Y II

_ la componente de X a lo largo de Y , denotado por C x¡y es

e r

tanto

IX·YI IX·YI ll= iieYii= eiiYII = - I2IYI I = X/Y I YII IIYII

=IIP XJY

102 Ejemplo:

Capítulo 5

Vectores en JRn

Proyecciones y

Calcular PXJY y CXJY si X= (-1, 3, 2), Y= (-3, 4, O)

a) XxY=-Y • b) XxX=O

X· Y

Px¡y

15

= IIYII2y = 25 (-

,., 3 _,,4,0 )=

5(- 3,4,0 )=( -59 '512 ,O)

e) X·(X· Y) = -. d) X

X

(Y + Z) = -

e) (eX) x Y = e_ -

Demostración: Las partes a), b), d), e

Definición 1

Sean

X = ( x1, x 2 , x 3 ) = x1-:1 + x 2-;J + x 3k-

.: ) Por la fórmula (*) ::e X . (X

X

Y) =

X¡X¿)13-

.-\nálogamente Y · (X

dos vectores de JR 3 , el producto vectorial de X por Y es el vector denotado por X x Y y se define como

a parte e) del teorema -

Y.

que abusando de la notación de determinante se puede escribir como k

x2

x3

Y1 Y2

Y3

XxY = x1

Teorema 1

-

j

i

Sean X, Y, Z, vectores de JR 3 y e un escalar entonces

Jemplo:

Si X= (1 , 2, 3

Capítulo 5 Vectores en lE."

103

Proyecciones y producto vectorial

a) XxY = -Y x X

-= . - .O)

b) X x X = O

)

-~ - -- .--.0

e) X· (X· Y)= Oy Y· (X x Y)= O d) X

X

(Y + Z) = X

X

y +X

X

z

e) (eX) x Y = c(X x Y) y X x (eY) = c(X x Y)

Demostración:

Las partes a), b), d), e) se tienen por las propiedades de determinantes. e) Por la fórmula ( *) se tiene:

Análogamente Y · (X x Y) = O

_ el vector denotado por La parte e) del teorema nos indica que el vector X x Y es perpendicular tanto a X como

aY. :r- -k XxY

y

"""~ego

YxX

entonces

mplo:

Si X= (1, 2, 3) y Y = (-4, 1, 2) entonces

104

Capítulo 5

XxY =

i

-j

k

1

2

3

-4

y

Vectores en lR"

Pro

=i-14]+9k=(1,- 14,9)

1 2

X · (X x Y) = Ocomo también Y · (X x Y) = O

Teorema 2

(Identidad de Lagrange) Si X y Y son dos vectores de ~ 3 , entonces

h

-en 8 = I YI/ => h =IIYII se- Demostración:

(Ejercicio) Teorema 3

A = I XIIh = IIXIIIIYI!sen

=

Si X y Y son dos vectores de ~ 3 , entonces Definición 2

es el escalar

IIX x Yll = IIXIIIIYIIsen 8

X. (Y

X

Z)

Teorema 4

donde 8 es el ángulo formado por X y Y

Demostración:

Sean X

Si X

=

(X:-

2 2 2 IIXxYII2 = IIXII IIYII - (X· Y) 2 2 2 IIXxYII2 = IIXII 11Yf - IIXII IIYII cos 28 Demostración:

IIXxYf

IIXfii YII2 ( 1- cosz 8) YxZ=

2 IIXxYII2 = IIXfiiYII sen 28 => IIXxYII

IIXIIIIYIIsen 8

Vamos ahora a calcular el área A de un paralelogramo formado por los vectores y Y.

1~

uego X

X·(Yx Z)=_ -

:=:.:: illlo

5

105

Proyecciones y producto vectorial

Vectores en lR"

s de R3 , entonces

X

h sen8=M=> h =1 YIsen8 => A=

I XIIh = IXI I YIIsen 8= IXxYl = IIY xXII

Definición 2 es el escalar

Sean X, Y, Z tres vectores de R3 , el triple producto e-scalar de X, Y, Z

X · (YxZ)

X . (Y X

Demostración: j

YxZ= y 1 Y2

ego - - do por los vectores X

--~

~

~----•----~

-

-

___....._

-

-

~-

---

x1

x2

x3

z)= YJ

Y2

Y3

106

Capítulo 5

Vectores en JRr.

.fétodo de

Cram-Sch~

Consideremos ahora un paralelepípedo formado por los vectores X , Y, y Z .

X , Y y Z Y x Z

·amos a explicar cór::. trabase B 1 = {Y 1. Y.:: . ndiculares ), es d Analicemos el caso

~

-

y

y

El volumen denotado por V es

V= (Área de la base) · (altura) Como área de la base= IIY x Zll y altura= IIX II 1cos 8 1, entonces

V == IIY x ZIIIIXIIIcos8l

omo se aprecia en el ~

Y1 =X 1 V == IIXIIIIY x Zlllcos8 l

V == IIIX IIIIY x z¡¡cose¡

v == ¡x. (Y x z)

Y-. == -

1

omprobemos que Y 2 _

O sea que el volumen de un paralelepípedo formado por tres vectores es el valor absoluto de su triple producto escalar.

Y2 · Y1 == X -

5

;:;.

Vectores en lR"

:-\.. - X, y' y z.

107

\tfétodo de Gram-Schmidt MÉTODO DE GRAM-SCHMIDT

Vamos a explicar cómo a partir de una base B = {X 1, X 2, · · ·, X11 } de JRn podemos obtener otra base B 1 = {Y 1, Y 2, · · ·, Y 11 } de JRn tal que los Y¡ sean mutuamente ortogonales (perpendiculares), es decir, si i -:t j entonces Y¡ · Y1 =O. Esta base se llama base ortogonal.

z z

Analicemos el caso de JR 2 . Sea B = {X 1, X 2 } una base de IR2 y hallemos B 1 = {Y 1, Y2 }.

y

Xt (=Y d

X

- _=-- n es omo se aprecia en el dibujo anterior, sea - =X¡

mprobemos que Y 2 .l Y 1 - r tres vectores es el valor

108

Capítulo 5

Vectores en JRn

Método de Cra m-Sc-

Por el problema 18 de la sección anterior sabemos que B 1 = {Y 1, Y 2 } es linealmente independiente y por el problema 19 sabemos que B 1 = {Y 1, Y 2 } genera a JR2. Luego B 1 = {Y 1, Y2 } es base de JR 2. Analicemos ahora el caso B 1 = {Y 1, Y 2, Y 3 }.

JR 3 .

Sea B

=

{X 1, X 2, X 3 } una base de

JR3

y hallemos

Siguiendo las mismas ideas como el caso de JR 2, sean

\

X-

X-

Teorema 1 Si B = B 1 = {Y 1, Y2, .. . , y n" -=

5

-

Vectores en R

\1étodo de Cram·Schmidt

109

=Y:_ Y 1

= Y 1, Y 2 } es linealmente

. Y :J genera a R2 . Luego

-., ' as e de R 3 y hallemos

Teorema 1

B1 = {Y 1, Y2,

Si B = {X 1, X 2 , ... , Xn} es base de R 3 , una base ortogonal Yn} se puede conseguir haciendo

... ,

11 o

.1étodo de Cram-Schrr _

Capítulo 5 Vectores en lR"

(- 1, 1, 1) - -'-(- _ _

Y~ =

0

or tanto la base B-

-ean ahora

Demostración:

Z 1= y

Se deja como ejercicio. Si uno vuelve todos los elementos de la base ortogonal

B 1 = {Y 1, Y 2,

·· · ,

Yn} unitarios se obtiene una base conocida como base ortonormal.

Ejemplo: Dada la base B = {1 , 1, 1), (-1, 1, 1), (2, 1, 3)} de ~ 3 obtener una base ortogonal y una ortonormal. Sean X 1 = (1, 1, 1), X 2 = (-1, 1, 1), X 3 = (2, 1, 3), entonces Y 1 = X 1 = (1, 1, 1) _ por consiguiente B. =

~-= una

base ortonorma: ,...,.

Capítulo 5

Vectores en lR"

111

\1étodo de Cram -Schmidt

{ ) (-1, 1, 1}(1, 1,1)( ) { ) 1( ) 2( ) \- 1, 1, 1 2 1, 1, 1 = \- 1, 1, 1 - 3 1, 1, 1 = 3 - 2, 1, 1 11( 1, 1' 1)11

- -Y- =

~ 1)(1, 1, 1)- (2 , 1' 3} i(- 2 ' ;, 1)i(- 2, 1, 1)= (o, -1 , 1) l i (- 2, 1, 1)11 ---

(2, 1, 3) - (2 , 1' 3} (1, 1 111 11( , ' ) 11

= or tanto la base

-

B 1 { (1, 1, 1) ,

i(- 2, 1, 1) (o, -1, 1)}

es una base ortogonal de R 3

. 3 1: de JR3 obtener una bas

es Y 1 = X 1 = (1, 1, 1) r consiguiente B 2 = {

~ (1, 1, 1), ~ (- 2, 1, 1), ~(o, -1, 1)}

una base ortonormal de JR3

112

Capítulo 5 Vectores en JRn

:;:,ectas

EJERCICIOS

RECTAS yp

Hallar la proyección del vector X sobre el vector Y, y la componente de X a lo largo de Y

l.

X= (- 1, 3, 2) Y= (--4, 1, 3)

2.

X=(2, 1,3)

3.

X= (- 3, 1, 2) Y= (-5, - 3, 6)

Definición 1 D -:t O se define

Y=(-1, - 2, 1)

Esta defmición se

4.

Hallar la proyección del vector Y sobre el vector X y la componente de Y a lo largo de X, para cada uno de los problemas anteriores.

X- P = tD o sea 5.

Hallar X x Y para los vectores dados en los problemas 1), 2) y 3).

6.

Hallar el área del paralelogramo, cuyos vértices son:

-. =

P + tD

(- 3, 1, 2), (-6, 3, 0), (1, 2, 3), (-2, 4, 1)

7.

Hallar el área del triángulo, cuyos vértices son: (-1, 3, 2), (2, 5, 6), (-3, 1, 4)

8.

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores X= AB, Y= AC, Z = AD donde A= (- 2, 1, 4) B = (- 3, 1, 5) C = (2, 1, 1) D = (--4, 3, 2)

9.

ora vamos a obt ~ y 0 , z0) en la ~ :ualquiera de la línea. = (x 0 ,

Hallar una base ortogonal B 1 y una ortonormal B 2 de JR 2 a partir de la base B = {(1, 2), (2, 3)}

10. Hallar una base ortogonal B 1 y una ortonormal B 2 de JR 3 a partir de la base B = {(1, 1, 0), (1, -1, 1), (0, 1, - 1)} 11. Hallar una base ortogonal B 1 y una ortonormal B 2 de IR 4 a partir de la base B = {(1, 1, O, 1), (1, -1, 1, 0), (0, 1, -1, 1), (1, O, 1, 1)}

- e es la ecuación

Capítulo 5 Vectores en

~

113

Rectas y planos RECTAS Y PLANOS

Definición 1 Una recta L que pasa por un punto P en la dirección de un vector D :t O se define como L ={X

1

X= P + tD, t

lR }

E

Esta definición se basa en el hecho de que si X es un punto cualquiera de la recta, el ·ector PX =X- p debe ser paralelo a D, es decir, debe existir untE lR tal que _ , zomponente de Y a lo largo

_- - P = tD o sea _- =

P + tD y

ora vamos a obtener la ecuación paramétrica de una recta que pasa por un punto P y 0 , z 0) en la dirección de un vector D = (a, b, e). Sea X = (x, y, z) un punto lquiera de la línea, entonces

= (x 0,

~

::::_: a partir de la base X

=

P + tD se convierte en

(x, y, z) = (x 0 , y 0 , z0) + t(a, b, e) ~

::::_: a partir de la base

x

=

x0

+ ta

Y= Yo+ tb

z = z0 +te ~

::::_- a partir de la base e es la ecuación paramétrica de la recta. spejando a t de cada una de las ecuaciones anteriores e igualando, tenemos

114

Capítulo 5

Vectores en 2.

x - xo = Y -Yo = z - zo a b · e

Rectas

planos

M = {X 1 (X - P) · _- = Esta definición surge -

que se denomina ecuación cartesiana de la recta.

Yector PX = X - p e

Ejemplo: Hallar la ecuación paramétrica y cartesiana de la recta que pasa por e punto P = (2, 3, -4) en la dirección del vector D = (- 2, 4, 5).

IX-P) ·N= O

Hallar un punto adicional de la recta. La ecuación paramétrica es: X=

2 - 2t

y= 3 + 4t z

=

\

-4 + 5t

y la ecuación cartesiana es

x-2 -2

y- 3 4

z+4 5

- - = -- = - -

No olvidar que estas últimas igualdades son equivalentes a t, por tanto si t = 1, tenemos

x- 2 - - = l=>x=O

-2

y-3 - - = l=>y=7 4

Conseguiremos ahora '(A, B.

=0) y tiene a N = X - P) · N

=

O, se co

z+4 - - = l =>z =l 5 Luego un punto adicional de la recta es (0, 7, 1) que se habría podido también obtener d~ las ecuaciones paramétricas, haciendo t = l.

Definición 2 Un plano M que pasa por un punto P y tiene a N como vecto normal (perpendicular) se define como:

Ejemplo: La ecuació wrmal a (4, 5, 6) es,

Capítulo 5

Vectores en -

115

as y planos =

{X 1 (X - P) · N = O}

Esta definición surge del hecho de que si N es normal al plano, N es perpendicular al ·ector PX = X - P esto es

'a recta que pasa por -

X-P) ·N= O

z

y

r tanto si t = 1, tenemili" Conseguiremos ahora la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto P = (x 0 , y 0 , = y tiene a N = (A, B, C) como vector normal.

X - P) · N

=

O, se convierte entonces en:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0)

=

O

e es la ecuación cartesiana del plano. dido también obtener

Ejemplo: La ecuación del plano que pasa por el punto (-2, 3, 7) y tiene por vector arma! a (4, 5, 6) es, Tien e a N como vect

4(x + 2) + 5(y - 3) + 6(z -7) =O 4x + 5y + 6z = 49

116

Capítulo 5

Vectores en lR"

~ectas

y planos

Ejemplo: Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos P 1 = (2, 3, 4), P2 = (3, 4, 5), P3 = (3, 5, 7). Aquí conocemos tres puntos, pero no sabemos el vector normal, que podemos conseguir haciendo el producto vectorial entre los vectores

.

Luego y= y 0 para cua. lano que pasa por y =

EJERCICIOS \

Hallar la ecuació~ , adicional de la r a) P 1 = ( -1 , 2, 3

b) P 1 =(-3,-4.2 Demostrar que las x-l y-3 --=--= 2 3

~

.!

Hallar la ecuación perpendicular a la

~~

x-1 y-3 _ : - - = -- = 2 3 Luego la ecuación del plano es: -.

-{x- 2) + 2(y- 3)- (z- 4)

=

O

-x + 2y -z =O Para terminar, veamos qué indica la ecuación de una recta donde en el vector dirección D =(a, b, e) tiene una o dos componentes iguales al cero. Por ejemplo veamos que indicaría si b = O En este caso tenemos:

Hallar la ecuación

~~

a) ( 1 -1 1) (2 -~ ' ' ' ' b) (2, O, 3), (0, 3. Hallar la ecuación

x-3 y-6 --=--= 2 3 Hallar la ecuación

~

Capítulo 5

Vectores en IR"

117

Rectas y planos

x

=

x 0 + at

Y= Yo+ Ot = Yo z

=

z 0 + ct

LJego y = y 0 para cualquier valor de t lo que representa una línea que se encuentra en el plano que pasa por y = y 0 y paralelo al plano XZ.

EJERCICIOS '\

l.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 y P 2 . Encontrar un punto adicional de la recta. a) P 1 = (-1 , 2, 3)

P 2 = (4, 5, 7)

b) P 1 =(- 3, --4, 2) P 2 = (5, - 3,4)

- - = - 1. ?-, -1)

2.

Demostrar que las dos siguientes líneas son coincidentes.

-'·

Hallar la ecuación de la línea que pasa por el punto (-1, 2, 4 ), la cual interseca y es perpendicular a la línea

x- 1

y-3

2

3

z-5 4

--=--= - -

Hallar la ecuación dei plano que pasa por los siguientes puntos.

a) (1,-1, 1),(2, - 3,4),(-3, 1, 4) b) (2, O, 3), (0, 3, 1), (8, 1, O) Hallar la ecuación del plano que contiene a las líneas

x-3

y- 6 3

z- 9 4 '

--=--=--

2

x-1

y- 3

z-5

3

2

-3

Hallar la ecuación del plano que contiene a las líneas

118

7.

Capítulo 5

x-3

y- 6

2

3

=

z- 9

4 '

x-1 2

y-3 3

Vectores en _,

z-5 4

Hallar la distancia del punto P = (1 , 1, 1) al plano

2x + 3y + 4z

=

5

Ayuda: Averiguar un punto T del plano y calcular la componente del vector PT -a-lo largo de_ vector normal.

Definición 1 Sea \ En V se definen dos : a) '~

Multiplicación de de V.

La suma asigna a cad El producto de un ese V es un espacio vecto donde u, v, w son vec ~ _

-l.

2. - .)-. .

S4.

(u+ v) + w = uu+v=v+u Existe un único y Para cada v e V. e_ que v + (-v) = O

_f l. a (u+ v) = au-

- 12. (a + f3)v

=

av + fJl

- B. ( af3)v = a (f3v) - 14. lv = v

CB.pítulo 5 Vectores en lR"

p~-::te del vector

Espacios vectoriales

PT a lo largo del NOCIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

\

Sea V un conjunto no vacío de objetos, llamados vectores.

Definición 1

En V se definen dos operaciones: a) Suma entre elementos de V. b)

Multiplicación de un escalar (que puede ser real o complejo) por un elemento de V.

La suma asigna a cada par de vectores u, v, un vector denotado por u + v. El producto de un escalar a por un vector v, asigna un vector denotado por av. Y es un espacio vectorial si estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas,

donde u, v, w son vectores arbitrarios y a, f3 son escalares también arbitrarios.

+ v) + w

+ (v + w)

l.

(u

2.

U+ V = V + U

3.

Existe un único vector denotado por O, llamado cero vector, tal que v +O= v

S4.

=

u

Para cada v e V, existe un único vector -v llamado el opuesto o negativo de v, tal que v + (-v) = O

_11. a (u + v) _12. (a+ {J)v _B. (a{J)v _f4. 1V

= V

=

= =

au + av av + f3v

a (f3v)

120

Capítulo 6

Espacios vectoriales

'loción de espacio vec¡ -

f)

Dependiendo si los escalares son los números reales o los números complejos, diremos que V es un espacio vectorial real o un espacio vectorial complejo.

un real x co es un espaci

Ejemplos:

a) V = JE.n con la suma y producto por escalar, definidos de la manera usual, es un espacio vectorial real. b) Como se vio en el Teorema 1, del Capítulo 1, el conjunto de todas las matrices de tamaño m x n, es un espacio vectorial.

i) Ov=O ü)

e) Sea P n el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n.

Sea Y

Teorema 1

ao =o

üi) (- a)v = a (iv) (- l)v = - v

v) Si av = O, ~~~.......--

vi) Si av = ~ v,

=

Se define la suma entre elementos de P n por

( anxn + an_1Xn- 1 + · · · + a 1x + ao) + ( bnx n + bn_¡Xn-! + ·· · + b¡X + bo) = ( an + bn )x n + (an_1 + bn_1 )xn- 1 + · · · + (a 1 + b1) X+ (a 0 + b0 )

Demostración:

i)

Aplicando los :!.TI:rLll• v + Ov ; lue~?c

y la multiplicación de un escalar real

a

por un elemento de Pn por

Oes único, lt.:~= ü) Es similar a 1 üi) Por el axio.li12

Entonces V

=

P n con las operaciones indicadas es un espacio vectorial real.

d) Sea V= {f: lE. --¿ lE.}. Definirnos la suma, y el producto de un escalar (real) por un elemento de V de la manera natural; si f y g E V y a E R

(! + g) (x)= j(x) +g(x) (aj)(x) = af(x)

Entonces se puede probar que V es un espacio vectorial real. e) Sea C[a, b] el conjunto de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo cerrado [a, b]. Definimos la suma, y el producto de un escalar por un elemento de C[a, b], como en el ejemplo anterior. Si V= C[a, b ], se sigue que V es un espacio vectorial real teniendo en cuenta que la suma de dos funciones continuas es continua y el producto de un escalar por una función continua también es continua.

[a+(-a )] v =

es único, por -

negativo de a

(-a) v= - (av. De esta mane _

v) Sia v

=

O, y a=

parte ii) tenem :

-

6 Espacios vectoriales

;:ros complejos, diremos

- ::i!

121

Noción de espacio vectorial

f) Si V= lR y definimos la suma de dos reales por medio de x EB y = mín(x, y) donde mín(x, y) denota el mínimo entre x y y, y el producto de un escalar (real) a por un real x como la multiplicación natural entre números reales, ax = a . x; V no es un espacio vectorial real. ¿Cuál sería el vector O?

:a manera usual, es un Teorema 1

- ~ de todas las matrices de

Sea V un espacio vectorial, v un vector y a un escalar, entonces:

i) Ov=O ü) aO=O

wor o igual a n.

1

üi) (-a)v=a(-v)= - (av) iv) (-l)v = -v v) Si av = O, entonces, a= O, o v =O

vi) Si av = ~v, y v

- --· - b1x + b0 )

=

Demostración: i)

- bo)

* 0, entonces, a=~

Aplicando los axiomas M4, M2 tenemos, v = lv =

(1 +O )v = 1v + Ov = v + Ov ::::::> v =

v + Ov ; luego Ov está haciendo el papel dé O, y por el axioma S3 sabemos que el O es único, luego Ov = O

ü) Es similar a la anterior y por tanto se deja como ejercicio.

espacio vectorial real. - ~to de un escalar (real) por

-,_.a E R

üi) Por el axioma M2 y por la parte i) de este teorema, tenemos, av + (-a )v = [a+ (-a )]v = Ov =O~ av +(-a) v = O; luego (-a) v está haciendo el papel de negativo de av, es decir, de -(av) y por el axioma S4, sabemos que el negativo es único, por tanto (- a )v = - (av). Por el axioma M2 y por la parte ii) de este teorema, tenemos, av+a(-v)= a[v+(-v)]=aO=O~av+a(- v)=O; luego a(- v) está haciendo el papel de negativo de av y por el axioma S4, sabemos que el negativo es único, por tanto

(--a) v = -(av). De esta manera queda probado que ( - a) v =a (- v) = -( av). ~:orial

-

real.

uas de valor real definidas i!~ roducto de un escalar por

:ial real teniendo en cuentE _ .,- el producto de un escala:

iv) La demostración se sigue de iii) haciendo a = l. v) Si a v = O, y a

-::F

1

1

a

a

O, entonces - ( av) = - O, entonces por el axioma M3 y por la

parte ii) tenemos: (

.

~ a) v = O~ 1v = O=> v = O.

122

Capítulo 6

Espacios vectoriales

Si av = O, y v ::F O, entonces a= O, pues si a ::F O, tendríamos __!_ ( av) = __!_ O, lo

a

a

i) Sean A.(A+B · es

que implica que v = O, lo que contradice el supuesto original de que v ::F O. vi) Si av = ~v, y v ::F O,=> av- ~v =O=> (a- ~)v =O=> a = ~.por la parte iv) de este teorema.

Definición 2

Sea S un subconjunto no vacío de un espaqio vectorial V, tal que S cumple las siguientes propiedades: i) \fu, v E S, u + v E S.

ü) Si a

E

2... _

Teorema 2 Sea \ Je V. El conjunto -e: n subespacio veciG Demostración:

ii) \fv E S y Va escalar, av E S. ean u, w E G(S), <::J..uu....L.~ . ego, u + w = (a 1 - ~

Se dice entonces que S es un subespacio vectorial de V.

-i 8 es un escalar y : - u =ó(a 1v1 +a v 2 2

Ejemplos: Sea V = IR3 a) S= { (x,y,O)

lx,y E IR} Ses un subespacio vectorial de V.

Luego el conjunto G(S ectorial.

i) Sean u= (xl'yl'O), v = (x 2,y2 ,0) E S=> u+ v = (x 1 + x2 ,y1 + y 2 ,0) E S

ü) Si a E IR y u= (xpypO) E S=> a u= (axpaypO) E S

Definición 3 Se d; ectorial V, genera a . ión lineal de v1, v2, --

b) S= {(x,y,l) lx,y E IR} S no es un subespacio vectorial de V, pues si

u= (xp Yp l),v = (x 2 , y 2 , l)E S::::::} u+ v = (x1 + x 2 , y 1 + y 2 , 2)

~S.

Ejemplo: Las matric e) Sea B un vector fijo de IR 3, S= { X E IR 3 1 X· B = 0}. S es un subespacio vectorial de V. i) Sean Xp X 2

E

r¡a/ de las matrices de

S::::::} X 1.B =O, y, Xi B = 0 =>

(X 1 +X)·B = X 1 ·B+X 2 ·B = 0+0 =O=> (X 1 +X) E S

ü) Si a E IR, y, XE S=> (aX) · B = a(X · B) =a O (pues X·B =0, ya que X

E

S)

=>aX E S

Ejemplo: Los polino d) Sea V el conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño n x n, y S el conjunto de todas las matrices simétricas de tamaño n x n, entonces S es subespacio vectorial de V.

·odas los polinom io_ .:? {x) =a2 x 2 +a 1x +q¡ .

= . ·endríamos _!_ (av) = _!_ O, le a

a

original de que v -:f::. O. =

123

ión de espacio vectorial

Capítulo 6

i) Sean A, y B E S=> A' = A, y, B' = B =>(A+ B)' =A'+ B' =A+ B, luego (A+ B) es simétrica y por tanto (A+ B) E S. ii) SiaE ~,y,A E S::::>(aA)' =aA'=aA,luego(aA)ES.

=>a = ~,por la parte iv) de

_ acio vectorial V, tal que S

leorema 2 Sea V un espacio vectorial y S = { v1 , v2 , • • ·, v n} un conjunto de vectores V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de S denotado por G(S) es subespacio vectorial de V, y se denomina el subespacio generado por S.

n u, w E G(S), entonces, u= a 1v 1 +a 2v 2 + ··· +anvn y, w = ~ 1 v 1 + ~ 2 v 2 + · ·· + ~nvn, ego, u+ w = (a 1 + ~ 1 )v1 + (a 2 + ~ 2 ) v2 + ··· + (a 11 + ~ 11 )V11 E G(S).

·oes un escalar y u EG(S), entonces, u =a 1v 1 +a 2v 2 +···+a

V , por consiguiente, 11 11 =o (a¡V¡ +a2v2 + ... +a nvn ) = (oa¡) V¡+ (oa2) v2 + ... + (oa /1) vn E G(S).

- = x. -x2 ,y1 + y 2 ,0)E S -~ E

S

a. de V, pues si

ego el conjunto G(S) formado por todas las combinaciones lineales de S es un subespacio ectorial.

finición 3 Se dice que un conjunto de vectores v 1, v 2 , · · · , v 11 , de un espacio ctorial V, genera a V, si todo elemento de V se puede escribir como una combina·ón lineal de V¡, V2, ·· · , V 17 •

mplo:

Las matrices [

H

~ ~ ~ ~).[~ ~).[~ ~)

genera al espacio vecto-

S es un subespacio vectorial

1 de las matrices de tamaño 2 x 2, pues dada una matriz [: X -X 2)

E

S

ues X·B =0, ya que X E S)

- de tamaño n x n, y S el año n x n, entonces S es

m0 [ a

~Jse puede escribir

bl = a [ 00 1 O] + b[ O 1] + e [O O] + d [ O O] 00 10 01

cd

Los polinomios p 0 (x)= 1, p 1(x)= x, p 2 (x)= x 2 genera a P 2 (conjunto de dos los polinomio s de grado :::; 2), pues dado un polinomio cualquiera (x) =a2 x 2 +a 1x+a0 , este se puede escribir comop(x)=a 2 p 2 (x)+a 1p 1(x)+a 0 p 0 (x).

124

Capítulo 6

Espacios vectoriale;-

EJERCICIOS l.

11. 3

Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de ~ son subespacios vectoriales de ~ 3 . a) { (xpx 2 ,x 3 ) 1 x 1 =O}

12.

b) { (xpx 2 ,x3 ) 1 x 1 = 3} e) { (xl'x 2 ,x3 ) x 2 = 2x 1} 1

d) { (xl'x 2 ,x3 ) 1 x1 +x 2 +x 3 = O}

13. Si S 1 y S2 son de V?

e) { (xl'x 2 ,x3 ) 1 x 1 + x 2 + x 3 = 3} f) { (xpx 2 ,x3 ) 1 x 1 = x 2 = x 3 }

g) { (xpx 2 , x3 ) 1 x 1 2: O,x 2 2: O,x3 2: O} 2.

Definición 1

Sea

Considere V= P 2 . Determinar si p(x) = x 2 + x pertenece al generado por { x 2 ,2x + x 2 , x + x 2}

3.

Considere V= P 3 . Determinar si p(x) = x 3 + x 2 + x + 5, pertenece al generado po~ {x 3 ,-3x 2 , 2x + x 2 , x + x 2 ,1}

4.

Considere V= P 3 . Determinar si p(x) = x 3 + x 2 + x + 5, pertenece al generado po~ { x 3 -x 2 , x 2 +x, x 3 +x, 1}

5.

ConsidereV=~ 3 .Determinarsi {(3, 1, 1),(2, O, 1) ,( 4, 1, 1),(3, O, 2)} gene-

Definición 2

raa V. 6.

7.

Considere V genera a V.

= ~3 .

Determinar si {( 3, 1, 1) ,(2, O, 1), ( -1, -1, O), (- 4,- 2,- 1

Sea V= { f: ~ ~ ~} y S el conjunto de todas las funciones pares ( f (- x) = f (x) Demostrar que S es un subespacio vectorial de V.

8.

Sea V= { f : ~ ~ ~} y S el conjunto de todas las funciones impares (/ (- x) = - f(x)). Demostrar que S es un subespacio vectorial de V.

9.

Demostrar que el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo Am xnXn x 1 =O e5 un subespacio vectorial de ~n .

10. Sea V el conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño n x n y S el conjunt· de las matrices simétricas. Demostrar que S es un subespacio vectorial de V.

Es obvio que si "todos· Pero puede suceder • "" a¡ = O, en este caso s=- ~ Si la única forma po I- =' dice entonces que { r: . _

Ejemplos: a) Sea V= llV 1". = independiente v2 e igualémo: _

vectoriale.

" - = :on subespacios vectoriale5'

125

Dependencia e independencia lineal

11. Sea V el conjunto de todas las matrices cuadradas de ~amaño n x n y S el conjunto de las matrices triangulares inferiores. Demostrar que S es un subespacio vectorial de V. 12. Demostrar que si S 1 y S 2 son subfspacios de un espacio vectorial V, entonces S1 n S2 es también subespacio de V .

13. Si S 1 y S2 son subespacios de un espacio vectorial V, ¿la unión S1 uS 2 es subespacio de V?

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Definición 1 Sea V un espacio vectorial y, vi' v2 ,- · · ,v n un conjunto finito de vectores. Una combinación lineal de tales vectores es una expresión de la forma, n

a 1v1 +a 2v2 + ··· +anvn = La;v; i= l

_

_ : . pertenece al generado p

_

_ : . pertenece al generado p -

Definición 2 Un conjunto de vectores v" v2 ,- .. , v n de V son linealmente dependientes si existen escalares al' a 2 ,- .. ,a n no todos iguales a cero tal que:

. .f, 1, 1),(3, O, 2)} gene-

• 1

-1, -1, O), (- 4,- 2, - 1

.:iones pares ( f

(- x) = f

(x

Es obvio que si "todos" los a¡ son cero, entonces, a 1v1 +a v2 + · · · +anvn =O (cero vector) . Pero puede suceder que a 1v1 +a v 2 + · · · +anvn =O, sin ser necesariamente "todos" los a;= O, en este caso se dice que el conjunto, {vi' v2 , .. . , vn} es linealmente dependiente . Si la única forma posible para que a 1v1 +a v 2 + .. · +a nvn =O, es que todos los a;= O, se dice entonces que {vi' v2 , ... , vn} es linealment~ independiente.

- :irnciones impares (f (- x) = e Y.

Ejemplos:

.::::- Iamaño n x n y S el conjun - _ :.. -pacio vectorial de V.

a) Sea V= JR 2 , v1 = (1, 2), v2 = (1, 1) . Veamos si el conjunto {vi' v2 } es linealmente independiente o dependiente. Para ello formemos una combinación lineal de v 1 y v2 e igualémosla a cero.

126

Capítulo 6

Espacios vectoriales

a 1Cl, 2)+a/1, 1)=(0 , 0)=> (a, 1 +a 2 , 2a 1 +a 2 ) =(0, O)=>

1 {1OJ ~ (1 11 OJ ~ (1 O 1Ol ~ (1 O1Ol => { a 1 = O (2 1 o) o- 1 o o -1 o) o 1 o) a2 = o Por tanto {vl' v2 } es linealmente independiente. b) Sea V= ~ 2 , v1 = ( 1, 2) , v2 = ( 2, 4) . Analicemos si { vl' v 2} es linealmente independiente o dependiente.

a 1v1 +a 2v2 =O=> a 1(l, 2) +a 2 (2, 4) = (0, 0)=> (a 1 + 2a 2 , 2a 1 + 4a 2) =(0, O)=> a 1 +2a 2 =O

entonces

e=

a 1 =-1

2a 1 +4a 2 =O

G!I~H~ ~~~)=>

Sean -1 veces en el ínter:

Definición 3

(:~)=(~) +~ (-~) Por ende hay soluciones fuera de la trivial, por ejemplo, haciendo~= 1, tenemo_

a 1= 2 { a = -1 2

Jr

=

;luego { v 1' v2 } es linealmente dependiente.

Es un espacio vectorial V, un conjunto de vectores C = { vl' v2 ,. · ·, v, es linealmente dependiente sí y solo sí al menos uno de los vectores del conjunto C se puede escribir como una combinación lineal de los otros.

Teorema 1

Sean ¡; (x . eces en el intervalo [a. =-

Jeorema 2

- W(x) '1:- O en algún pz• . linealmente indep en - _

Demostración:

a) Supongamos que Ces linealmente dependiente, entonces,

a 1v1 +a 2v2 + · · · +a rvr = O

emostración:

- omemos una combinació~

6

Espacios vectoriales

127

pendencia e independencia lineal

donde los ex no son todos iguales a cero. Supongamos que a 1 7:- O; de no ser así reordenemos los vectores para que esto suceda:'entonces,

= = y esto demuestra que por lo menos v 1 es combinación lineal de los otros vectores de C. v 1' v 2} es linealmente

b) Si al menos un vector de e es combinación lineal de los otros, podemos suponer que es v 1, de no serlo los reordenamos para que esto suceda, por tanto

entonces <X¡ = - 1

e

=

{V¡ , v2 ,

···

Vr}es linealmente dependiente pues

<X¡ 7:-

0 ya que

finición 3 Sean f 1(x ),J2(x) ,- ··,Jn(x), funciones de [a,b] _, lR y derivables -1 veces en el intervalo [a, b]. El Wronskiano denotado por W(x) se define como

W(x)=

. haciendo ~ = 1, tenem :

_ ectores C = {VI' V2 ,- · · , L \"ectores del conjunto e

/¡(x)

f 2(x)

f n(x)

/¡'(x)

f 2'(x)

f n'(x)

/¡"(x)

f2"(x)

fn"(x)

/¡(n-!)(x)

f 2(n-!\x)

f n(n-!)(x)

hrema 2

Sean f 1(x),J2(x),---,Jn(x), funciones de [a,b] _, lR y derivables n -l ces en el intervalo [a, b]. W(x) 7:- O en algún punto x E [a,b ], el conjunto de funciones { /¡(x),J2(x),- · · ,J;/x)} linealmente independiente.

mostración: omemos una combinación lineal de f 1(x),J2 (x) , · · ·,Jn(x) igualada a cero

128

Capítulo 6

Espacios vectoriale;.

a 1.[¡(x) +a 2 f 2 (x) + ·· · +anfn(x) =O:::::::> a 1.[¡' (x) +a 2f 2' (x) + · · · +aJn' (x) = O:::::::>

Ejemplo: Las f .ndependientes p·

,

a 1/¡"(x) +a 2 f 2 "(x) + · · · +anfn"(x) =O:::::::> W(x ) =

El determinante de los coeficientes de las variables a¡ es

el cual por hipótesis es diferente de cero. Eso conlleva a que el sistema tiene solamen ~ la solución trivial a 1 = a 2 = ' · · = an =O por tanto el conjunto { .[¡(x),f2 (x),- · ·, f,,(x)} e5 linealmente independiente. Nota:

Téngase en cuenta que en ningún momento el teorema dice que si el Wronskianc es cero el conjunto de funciones es linealmente dependiente. Considere por ejemplo las funciones

Osi -1.::;x.::;O O< <1 _ X_

.[¡(x)= { X Sl·

El Wronskiano de estas funciones es:

1

W(x)= 1

~ ~

~ ~

3.

Sea U = { v1, v~ . V. Determinar :::

a)

Ul=

b)

U2=

e)

U3=

d)

U 4 == { 2

1

=

Osi

- 1 .: :; x .:::;; O

Demostrar que las [0, 1].

1

=

Osi

O.: :; x .:::;; 1

Demostrar que las intervalo [0, 2n].

es decir el Wronskiano es igual a cero, pero estas funciones son linealmente independientes pues ninguna de ellas se puede escribir como múltiplo de la otra.

-

Demostrar que las .:: en el intervalo (- x:.

vectori

pendencia e independencia lineal

129 "-

jemplo: Las funciones J;(x) = 1, j 2(x) = x, j 3(x) = x 2, f 4 (x) = x 3 son linealmente dependientes pues

1

X

x2

o 1 2x o o 2 o o o

W(x)=

x3 3x 2

= 12 ,

que es diferente de cero.

6x 6

EJERCICIOS 'l(x) r'(x ) li

l.

Demostrar que si un subconjunto de vectores contiene al vector cero, entonces el conjunto es linealmente dependiente. Demostrar que cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente, también es independiente.

e el sistema tiene solamente to { J;(x),f2(x),-··,fn(x)} es

;crna dice que si el Wronskiano ,..,c'·-a..~~.~L-- . Considere por ejemplo las _

=

3.

Demostrar que cualquier superconjunto de un conjunto linealmente dependiente, también es dependiente.

4.

Sea U = {vi' v2, v3} un subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V. Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o no

a) 1

-1:s:; x:s:;O

Osi

O:s:;x:s:;1

X

_x:s:;l

-es -on linealmente independiene la otra.

U1

=

{v 1 +v 2,v1 +v 3,v 2 +v 3 }

= {v1 - v2, V¡ - v3,v 2 -v 3} e) u3 = {2v¡ + v2, 2v¡ + v3,2v2 +v3} d) U 4 = {2v 1 - v2, 2v1 - v3,2v 2 - v3 } b) U 2

1

5.

Demostrar que las funciones ex, e2x son linealmente independientes en el intervalo [0, 1].

6.

Demostrar que las funciones sen x, sen 2x son linealmente independientes en el intervalo [0, 27t]. Demostrar que las funciones 1, x + 1, x 2 + 1, x 3 + 1 son linealmente independientes en el intervalo (- co, co ).

130

Capítulo 6

Espacios vectoriales

BASES Y DIMENSIÓN

Definición 1

Bases

dimensión

Reemplazando lo

Se dice que B

{v 1, v2, ·· · ,vn} es una base de V si: i) B es un conjunto linealmente independiente. =

ii) B genera a V

(c1a 11 + c2a 12 + ... _ (c1an 1+c2an 2+ ... _ ~ pero esto es una {v 1, v2, ··· ,vn} es

Teorema 1 Sea B = {v 1, v 2, ··· ,vJ una base de V, entonces todo elemento v eV, puede ser expresado de manera única como una combinación lineal de los elementos de B.

Demostración:

Supongamos que v = a 1v1 +a 2v2 + · · · +anvn y v = ~ 1 v 1 + ~ 2 v2 + · · · + ~nvn entonces a 1v1+ a 2v2 + · · · +anvn = ~ 1 v 1 + ~ 2 v2 + · · · + ~nvn, lo que implica que (a 1- ~ 1) v1 + (a 2- ~ 2) v2 + · · · + (an- ~n)vn = O, y como {v 1, v 2, · · · ,vn} es linealmente independiente por ser base. se sigue que a 1- ~ 1 =O, a 2- ~ 2 =O, ···, an- ~n =O y por consiguiente a 1= ~ 1 , a 2= ~ 2, · · · , a n = ~ n , es decir v se puede escribir como combinación lineal de { v 1, v 2, · · · ,vn}. de manera única.

Teorema 2 Sea B = {v 1, v 2, ··· ,vn} una base de V y U ={u 1, u 2, · · · , um} un conjunto de m vectores de V. Si m > n, entonces, U es linealmente dependiente.

que es un sistema fuera de la trivial por hipótesis m > 11. Recuérdese que (p

=

Corolario. conjunto de m vecr Teorema 3 vectorial V,

Demostración:

Como B = {v 1, v 2, · ·· ,vn} es base de V, entones todo elemento de V, se puede escribir como combinación lineal de {vp v 2, · · · ,vn} en particular los elementos de U, por tanto tenemos: u1 =a 11v1+a 21v2 +· ··+an1vn u2 = al2vl + a22v2 + ... +an2vn

Demostración:

Como {v 1 v2 . . . v ' ' ' n ma anterior que n ~

•

Análogamente como n. (**)

m ~

De (*) y(**) se sigue ~ El teorema anterior no: el mismo número de , ': Como debemos demostrar que U = {u 1, u 2 , . . . ,um} es linealmente dependiente, formemos una combinación lineal de ellos igualada a cero c 1u 1 +c2 u 2 +···+cmum =O

y probemos que no todos los e son cero.

Definición 2 úmero de elementos

irn V = O.

Q¡;ítu/o 6

Espacios vectoriale5

óases y dimensión

131

Reemplazando los valores de u 1, u2 ,

.. • ,

um en esta expresión tenemos

clall + c2al2 + · · · + cma!m) V¡+(cla21+ c2a22 + · · · ~ cma2m)v2 + · · · +

e de V si:

(clanl+c2an2+ · · · + cmanm)vn=O pero esto es una combinación lineal de {v 1, v2 , ... ,vn} igualada a cero y como {v1, v2, .. • ,vJ es una base, y por tanto linealmente independiente, se concluye que

_ - •:ces todo elemento v E V. - ación lineal de los elemen-

clall +c2al2 + ... +cmu!m = 0 cla21 + c2a22 + · · · + cmu2m = 0

- _::. .: - · · · + ~nvn entonces a 1v1 __

~..:e

(a 1-

1 1 + (a 2-

~ )v

~ 2) v2

=--:e independiente por ser base.

- : -onsiguiente a 1 = ~ 1 , a 2 = -- -íón lineal de { v 1, v2, ··· ,vn}.

que es un sistema de n ecuaciones con m incógnitas c 1, c 2 , .. · , cm que tiene solución fuera de la trivial por ser un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones pues por hipótesis m> n. Luego U={ u 1, u2 , .. • , um} si es linealmente dependiente. Recuérdese que (p => q) <:::::>

(q => p) por tanto podemos enunciar el siguiente

Corolario. Sea B = {v 1, v2 , .. • ,vn} una base de V y U = { u 1, u 2, .. . , um} un conjunto de m vectores de V. Si U es linealmente independiente, entonces m ::; n. 1_; ={u 1, u 2 , ... , um} un PJealmente dependiente.

-= :---ento de V, se puede escribir s elementos de U, por tanto

Teorema 3 Si B = {v 1, v 2, ... ,vn} y B 1 ={ u 1, u2, vectorial V, entonces m = n.

um} son bases de un espacio

... ,

Demostración:

Como {v 1, v2, • • · ,vn} es linealmente independiente por ser base, se desprende del teorema anterior que n ::; m. (*) Análogamente como {v 1, v2 , m ::; n. (**)

.. ·

,vn} es linealmente y B =

{

v 1, v2,

.. •

,vn} es base se tiene

De (*) y(**) se sigue que n = m. El teorema anterior nos indica que cualesquier dos bases de un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores, y este número es conocido como la dimensión de V.

• ente dependiente, forme-

Definición 2 Sea V un espacio vectorial, se define la dimensión de V como el número de elementos que tiene una base. Se denota por dim V. Si V = {O} se define dim V= O.

132

Capítulo 6

Espacios vectoriales

V= JR 2 tiene dimensión 2 pues una base de V es {(1, 0), (0, 1)}

Ejemplo:

Teorema 4 Si un espacio vectorial V tiene dimensión n, entonces !ualquier conjunto de n vectores linealmente independiente es base de V .

Bases

dimensión

Repitiendo el argume:::: · tiene n elementos y ··· ,v17 } es base de Y. Definición 3 entonces,

Demostración:

Sea un conjunto B = {v 1, v2, · · · ,v11 } linealmente independiente de V y probemos que B = {v 1, v2, • · • ,v11 } si genera a V. Sea por tanto v un elemento cualquiera de V, entonces el conjunto { v 1, v2, • • · ,v11 , v }es linealmente dependiente por el teorema 2, ya que toda base de V consta de n vectores, luego

Sea B

=

El vector (a i' a ')' · · · . es llamado el vector respecto a la base B =

a 1v1 +a 2v2 + · · · +a 11 V 11 +av =O con a 7:- O, o algún a ; 7:- O. Si a = O, se sigue que tiene que haber algún a; diferente de cero, pero esto indicaría que a 1v1 +a 2v2 + ··· +a 11 v17 =0 con algún a; diferente de cero, lo que implica que {v 1, v2, ••• ,v11 } es linealmente dependiente, contradiciendo el hecho de que B= {v 1, v2, • • • ,v11 } es linealmente independiente. Por consiguiente a 7:- O y despejando v de a 1v1 +a 2v2 +· ··+a 11 v11 +av=O, tenemos

v = ( -:

1

)

v1+ ( - :

2

)

v2 + · · · + (

vE V es generado por {v1, v2,

•••

-:n)

vn lo que demuestra que cualquier elemento

,v17 }; por consiguiente B = {v 1, v2,

••·

Ejemplo: como

Sea B =

entonces (- 1, 2, 3) B = {(l, 2, 1),(-1,

,v11 } es base de V.

EJERCICIOS Ejemplo: B = { (1, 2, 1) ,( - 1, 3, 4) ,(0, 1, -1)} es una base de nealmente independiente.

JR 3

pues B es li-

En cada uno de lo: : _ es base de JR3. En ~ ­ esa base.

a) B={(l,-1,! Teorema 5 Sea V un espacio vectorial de dimensión n y B 0 = {v 1, v2, ··· ,v,.} un conjunto de vectores linealmente independientes con r < n. Entonces se pueden encontrar vectores vr+ 1, vr+2, • · • ,v11 tal que B = { v 1, v2, · · · ,v,., vr+ 1 , vr+2 , • • · ,v11 } sea base de V.

d) B

Demostración:

Cada uno de los sigHallar una base pare :

Como V tiene dimensión n, cualquier base debe tener n elementos. Como B0 no es base. pero es linealmente independiente se concluye que no genera a V, por tanto existe un vector vr+ 1 que no pertenece al generado por B0 , luego {v 1, v2, • • • ,v,., vr+ 1} es linealmente independiente. Si r + 1 < n, podemos repetir el argumento y conseguir un conjunto { v1, v2 , ••• ,v,., v,.¡- 1 , vr+ 2 } linealmente independiente.

b) B

= {(O,- 2,

1

e) B={(3,-4,1.-

= {( 2, -1, l

.

a) { ( 1, 1, 1) , ( 1. • b) { ( -1, 2, 1) ' ( l. e) {(0, 2, 1) ,(3.

d) {(2, 1,-1), (1.

_o 6

133

Espacios vectoriales

l. 0), (0, 1)}

Repitiendo el argumento se llega el momento en que B={v 1, v2, ••• ,vr, vr+ 1 , vr+2, ··· ,vn} ·ene n elementos y por el teorema anterior se sigue que B= {v 1, v2, • • • , v r , v r+ 1 , v r+2 , ·· · ,vn} es base de V. /

enances cualquier con-

Definición 3 Sea B = {v 1, v2,

· ••

,vn} una base de un espacio vectorial V y v EV,

entonces,

=--e de V y probemos que ::ualquiera de V, entonce - - e. teorema 2, ya que toda

.:e ~ero, pero esto indicaría .:e :ero . lo que implica que ::-~o el hecho de que B=

El vector (al' a

2 ,- · · ,an) E

Jlln

es llamado el vector de coordenadas (o simplemente las coordenadas) del vector v, especto a la base B = {v 1, v2 , · · · ,vn} . Sea B = {(1, 2, 1) ,( - 1, 3, 4) ,(0, 1, -1)} una base de !R 3 y v

=

(-3, 7, 4),

omo

(-3, 7, 4) = (-1)(1, 2, 1)+2(- 1, 3, 4) +3(0, 1, - 1) -

-- an vn +av =O, tenemos q e cualquier elemento • 1.·:· · · · ,vn}

entonces (-1, 2, 3) son las coordenadas de v B= {(1, 2, 1) ,(-1, 3, 4),(0, 1, -1)}.

=

(-3 , 7, 4) respecto a la base

es base de V.

EJERCICIOS -

e de

Jll 3

pues B es li-

En cada uno de los siguientes ejercicios V= Jll 3 y v = (1 , 2, 3). Verificar si Bes o no es base de Jll 3 . En caso afirmativo hallar el vector de coordenadas de v respecto a esa base.

a) B ={(1, - 1, 1),(-1, 3, 1) ,(1, 2, - 1)} B = {v 1, v2, ••• ,vr} un < :. Entonces se pueden • . vr+ 1 , vr+ 2 , ··· ,vn} sea

b) B = {(0,-4 1),(-1, O, 1),(3, 2, -1)}

e) B = {(3, - 4, 1) ,(- 1, - 1, 1),(4,-3, O)} d) B = {(2, - 1,1) ,(1, 1, 1),(0,2,-1)} Cada uno de los siguientes conjuntos de vectores genera algún subespacio de Jll 3 . Hallar una base para ese subespacio y calcular su dimensión.

t-''=~~.::os.

Como B0 no es base, Y, por tanto existe un - . \ ·r • v r+ 1} es linealmente _ conseguir un conjunto

_ 3.

_

a) {( 1, 1, 1) ,(1, O, 1) ,(1, 2, 1)} b) { ( -1, 2, 1) '(1, -1, 1) ,(2, 1, o)} e) {(0, 2, 1) ,(3, 1, 2),(-4, 1, 3)} d) { (2, 1,- 1), (1, O, 5) ,( 3, 1, 4)}

134

Capítulo 6

Espacios vectoriales

3.

Demostrar que { 1+ x, 1- x} es una base para P 1 y hallar las coordenadas de p(x) = 4x + 5 respecto a esta base.

4.

Demostrar que {1, x + 1, x 2 + 1, x 3 + 1} es una base para P 3 y hallar las coordenadas de p (x) = 2x 3 - 5x 2 + 4x - 2 respecto a esta base.

5.

El conjunto de soluciones del sistema x1

-

2x 1

-

3x 2 7x 2

+ 2x 3 + 3x 3

Capítulo \

O O

es un subespacio de JR 3 . Encontrar una base para este subespacio. 6.

7.

Sea {( 1, 2, -1) , (O, 1, 2)} un conjunto linealmente independiente de vectores de JR 3 . A partir de este conjunto hallar una base de JR 3 . Sea{(l, 4, 1, 0),(-1, 2, O, 1)} unconjuntolinealmenteindependientedevectores de JR 3 . A partir de este conjunto hallar una base de JR 4 .

Definición 1 Sea:; transformada linea:

a) T(u+v) =T b) T(au)= a T

8.

Calcular la dimensión del espacio de las matrices triangulares superiores de tamaño n x n.

para todo u,

9.

Calcular la dimensión de las matrices simétricas de tamaño n x n.

Nota: Obsérvese T(au+v) = aT(u) -

V E

Vy

r

w _

Teorema 1

Demostración:

T(O)=T(O+O)=T(Oúnico, se concluye que Ejemplo:

T:

E .o

( x,y.:

es una transformación ' mentas de JR 3 y a e un ~

Capítulo 6 Espacios vectori

hallar las coordenada

-

~

para P 3 y hallar las coorde-

apítulo 7

Transformaciones lineales DEFINICIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

Definición 1 Sean V y W espacios vectoriales. Una función T de V en W, es una ansformada lineal si

a) T (u + v) = T( u)+ T(v) b) T (au) = a T( u)

guiares superiores de tamat

ara todo u, v

E

V y para todo escalar a.

Nota: Obsérvese que estas dos propiedades se pueden resumir en una sola, T(au + v) = a T(u) + T(v)

Teorema 1

Sea T una transformación lineal de V en W, entonces T(O) = O

Demostración: T(O) = T(O +O)= T(O) + T(O), entonces T(O) hace el papel de O de W, y como el O es único, se concluye que T(O) = O

Ejemplo:

T: (x,y,z)

H

(x,y)

es una transformación lineal, en efecto, si u= ( x 1, y 1, z 1 ) y v = (x 2 , y 2 , z 2 ) son elementos de JR 3 y a es un escalar tenemos:

136

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Definición y conceptos -

a) T(X+Y) =Ií ( 1, 2, 3) · (x1 -

b) T(au) = T(ax 1,ay1,az1) = (ax 1,ay1) =a(x1,y1) = aT(u)

Ejemplo:

b) T(aX) = T no es una transformación lineal, basta ver que si u = ( x , y) y a es un escalar, entonces T( a u)* a T(u)

( 1, 2, 3) ·(a.

T(au) = T(a.x,ay) =~(ruY + (ay) 2 = ~a 2 x 2 + a 2 /

a[(I, 2, 3) · x

lal

= ~a 2 (x 2 + y 2) =

~x 2 + / = laiT(u) Ejemplo:

es decir tenemos que T(au) = a IT(u) y no T(au) = a T(u) como se esperaría para que fuera transformación lineal. Esto se tendría si a ;: :- O, pero entonces no sería para todo a como dice la definición. 1

Ejemplo:

Sea V

=

{Matrices de tamaño 2 T:

x

2}, W

=

lR y T dada por

lR

V

X

(:

~)

x +y+z

H

Se puede probar muy fácilmente que T es una transformación lineal.

Sea A

=

(1, 2, 3) un vector de JR 3 y T:

JR 3 X

~ H

lR A·X

veamos que T es una transformación lineal. Sea a un escalar y X= (x 1, x 2 , x 3 ) ,

Y =(y¡, Y2, Y3)

y r

-

es una transformació mación nula.

Ejemplo: Rotación ción de rotar un vec

x+y x+y+z+w

Ejemplo:

T:

Analicemos primero e.

=· _

-

Transformaciones lineales

Definición

137

y conceptos básicos

- - :) =

( 1, 2, 3) · (x 1 + y 1, x 2 + y 2 , x 3 + y 3 )

=

=

x1 + y 1 + 2x2 + 2Y2 + 3x3 + 3y 3 =

Tu)

_ a es un escalar, entonces

=

a[(l, 2, 3) ·( x 1,x 2 , x3 )] = a[A · X] = aT(X)

Ejemplo: : mo se esperaría para que es no sería para todo a

T:

V

--7

V

H

W

0

es una transformación lineal. (Ejercicio). Esta transformación lineal se llama la transformación nula.

Ejemplo: Rotación de vectores. Sea T : R2 --7 R. 2 donde T representa la operación de rotar un vector un ángulo e, entonces T es una transformación lineal. Analicemos primero el efecto que tiene rotar un vector un ángulo

e.

y

in ea l.

______________.___

~~----------~x

x2

x1

138

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Definición

Al rotar el vector: X 1 = ( x1 , y 1) un ángulo e obtenemos el vector X 2 = ( x 2 , Y2) pero debe observarse que la longitud del vector no cambia, por tanto // 2 // 1//

X =//X

X¡=

a(x1 cos 8-

/ X1// cosa

y 1 = / X1// sen a Xz =1/Xz // cos(a +e) =1/X¡//(cosa cose - sena sen e)=

//X 1 //cosa cose

- //X

1//

sena sen e= x1 cose- y 1sen8

Definición 2

Sean T

V en un espqs;:io vecrc

multiplicación del ese

y 2 = //X2 // sen( a + 8) = //X 1// (sen a cos 8 + cosa sen 8) = // X 1// sen a cos 8 + / X 1// cosa sen 8 = y 1 cos 8 + x 1 sen 8 = x 1 sen 8 + y 1 cos 8

Luego el efecto de rotar un vector X 1 = ( x1, y 1) es asignarle un nuevo vector dado por X 2 = (x1 cos 8 _Jy 1 sen 8, x1 sen 8 + y 1 cos 8) Por consiguiente T:

emostración:

~2

~

X 1 = (x1 , y 1)

H

!Rz

(x1 cos8

- y 1 sen8, x 1 sen8 + y 1 cos8)

Veamos ahora que T es una transformación lineal. Sean X = ( a 1, b1 ) , Y = ( a 2 , b2 ) do vectores de IR 2 y a un escalar

sigue de la definicióc .,_.._...,_. rmación nula dada en e nición 3 Sea T : la transformación e notaremos el núcleo 4 Sea T : · recorrido) de la tran~ existe un v E V, : T por Ir.

( a 1 cos8 + a 2 cos 8 - b1 sen 8 - b2 sen 8 , a 1 sen 8 + a 2 sen 8 - b1 cos 8 - b2 cos 8) =

( a 1 cos 8 - b1 sen 8, a 1 sen 8 - b1 cos 8) +

Sea T: JR3 _ T(x,y,z) = (x- _. : ~ {(x,y,z) / T(x,y, ~

=

= {(x,y,z) / (x- y,3 ~

-

Transformaciones lineales

:- x~ = (x2 ,J2) pero debe -- ~ =

X¡ll

Definición

139

y conceptos básicos

b) T(aX) = T(aa 1, ab1 ) = (ax1 cose - ay 1 sen e, ax 1 sen e +ay1 cose) =

a(x 1 cose - y 1 sen e , x 1 sen e + y 1 cose) =a T(X)

finición 2 Sean T 1 y T2 dos transformaciones lineales de un espacio vectorial - en un espacio vectorial W y sea a un escalar. Se define la suma de T 1 y T 2 y la ultiplicación del escalar a por la transformación T1 de la manera usual, es decir

=

(T1 +T2)(v) =T1(v)+T2 (v)

/

(a T1) (v) = aT1(v)

~

nuevo vector dado por

El conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio ctorial V en un espacio vectorial W es un espacio vectorial.

emostración: sigue de la definición anterior y observando que la transformación lineal Oes la transnnación nula dada en el ejemplo 4.

finición 3 Sea T : V

-7 W es una transformación lineal. Se define el núcleo la transformación como el conjunto de elementos v E V tales que T(v) = O. notaremos el núcleo de la transformación T por N r·

finición 4 Sea T :V -7 W es una transformación lineal. Se define la imagen recorrido) de la transformación como el conjunto de elementos w E W para los ales existe un v E V, tal que T(v) = w. Denotaremos la imagen de la transforma·ón T por Ir. emplo: Sea T : JR 3

-7

JR 2 donde

T(x,y,z) = (x - y, 3z) {(x,y,z) 1 T(x,y,z) = 0}

-T \ { (x,y,z) 1 (x-y, 3z) =O}

140

Capítulo 7

Transformaciones line

Como w 1, w2 E I r. T (v 1 + v2) = T(v 1) - T w2, por tanto w 1 + 1 : :::

{(x,y ,z) 1Cx - y ,3z ) = (O,O) }

=

Definición

{(x,y,z) lx- y =0, 3z =O }

T(av 1)

=

aT(v1) a' _

{(x,y ,z) lx= y, z=O}

Teorema 4 Sea T _

Ir

=

{ (x,x ,O)}

T es uno a uno, sí_·

{(x-y ,3z)¡x, y,zE JR }

Demostración: Recorcfemos que una

{ x(l,O) +y (-1,0) + z(0,3) 1 x,y, z E lR}

equivalente a afirmar

G {( 1,0) ,(-1,0) , (0,3) } G {(1,0) (0,3)} donde G denota el subespacio generado

Teorema 3 Sea T : V

~

W una transformada lineal de V en W.

a) Supongamo- _ Nr;t {O} im; (con v ;t 0) . .__ ciendo el su _

b) Supongamo- asumamos

a) El núcleo N r es un subespacio vectorial de V. b) La imagen Ir es un subespacio vectorial de W.

Demostración: a) Debemos demostrar que si v 1, v2 E Nr y a un escalar entonces

i) v 1 + v 2

E

ü) av 1

Nr

E

Teorema 5 Sea T : m conjunto linea/m · · · vk} un conjunto _ Entonces {v1, v2, .. .

Nr

Demostración:

Como v 1, v 2 E Nr , entonces T(v 1) = O, T(v 2 ) = O, lu e= T( v1 + v2 ) = T( v1) + T( v2 ) = O+ O= O. Por consiguiente v 1 + v 2 E Nr.

a 1v1 + a 2 v2 + ·· · +ak1

T(av1) = aT(v 1) = a0=0, entonces av 1 E Nr.

_- como {w1, w2, ... ,11·· 'JOr tanto {v 1, v2, • • · , 1·

b) Debemos demostrar que si w 1, w2 E Ir y

i)

w1+ w2 E Ir

ü)

aw1 E Ir

1T(v1)+a 2 T(v2 )+

.. . -

a un escalar entonces Teorema 6 Sea T --r = {0}.

_

-

Transformaciones lineale;

Definición

141

y conceptos básicos

Como w 1, w2 E Ir, existen v 1, v2 E V, tal que T(v 1) = w 1, T(v2) = w2 . Luego T (v 1 + v2) = T(v 1) + T(v2) = w 1 + w2 , lo que en resumen indica que T (v 1 + v2) = w 1 + w2, por tanto w 1 + w2 E Ir T(av 1)

= aT(v 1) aw 1, es decir T(av 1) = av 1 por consiguiente aw 1 E Ir

Teorema 4

Sea T : V

~

W una transformación lineal de V en W.

Tes uno a uno, sí y sólo sí, NT

=

{0}.

Demostración:

Recordemos que una función T es uno a uno si v1 * v 2 ::::::> T( v1) equivalente a afirmar que si

T( v1) = T( v2)

* T{v2)

.

Lo cual es

::::::> v1 = v2

a) Supongamos que Tes uno a uno y probemos que Nr = {0}. Si Tes uno a uno y N T :;t {O} implicaría que en el núcleo existen por lo menos dos elementos O y v (con v :;t 0), esto es T(O) =O y T(v) = O. Luego T no sería uno a uno, contradiciendo el supuesto de que si lo era. b) Supongamos ahora que Nr = {O} y probemos que T es uno a uno. Para ello asumamos que T(v 1) = T(v2), luego T (v 1 - v2) = O, lo que indica que (v 1 - v2) E Nr = {O}; por consiguiente v1 - v2 =O y v 1= v2 . Luego Tes uno a uno.

Sea T: V ~ W una transformación lineal de V en W, {w 1, w2 ••• wk} m conjunto linealmente independiente, contenido en la imagen de T y sed {v;, v2 , .. · · vk} un conjunto de elementos de V, tal que T(v 1) = w1, T(v2) = w2 T(vk) = wk. Entonces {v 1, v2, .. · , vk} es linealmente independiente. '

Teorema 5

Demostración:

O, T(v 2 ) = O, lue::: -iguiente v 1 + v2 E Nr.

a 1v1 +a 2 v2 + .. ·+akvk =0::::::>T(a 1v1 + a 2 v2 + .. · + akvk) = T(O) = O::::::> a 1T(v1)+a 2 T(v 2 )+ ... +a kT(vk)= O::::::> a 1w 1 + a 2 w 2 + .. · +ak wk = O .·como {wp w 2, · · · ,wk} es linealmente independiente, se concluye a 1 = a 2 = · · · ak =O; or tanto {v1, v2 , .. • , vk} es linealmente independiente. Teorema 6 --r = {0}.

Sea T : V

~

W

una transformación lineal de V en W, tal que

142

Transformaciones lineales

Capítulo 7

Si {v 1, v2 , ···, vk} un conjunto linealmente independiente elementos de V, entonces {T(v 1) , T(v2), · · ·, T(vk)} es también linealmente independiente

Luego x 1v1 + x 2 v~ de Nr, es decir de X¡V¡

+ x 2 v 2 +· ··+ X + X 2 v2 + · · · +X

Demostración:

X¡ V¡

a 1T(v 1)+ a 2 T(v 2 )+ ···+a kT(vk) = O::::? T(a 1v1 + a 2 v2 +···+a kvk) = O::::? a 1v1 + a 2 v2 · ·· +akvk E Nr, pero como Nr = {O} se tiene que a 1v1 +a 2 v2 + ··· +akvk = O. Como {v 1, v2 , ···,vd es linealmente independiente se concluye que a 1 = a 2 = ··· =ak = O. Por tanto {T(v 1) , T(v2), ··· ,T(vJ} es linealmente independiente.

pero esto es una co,.-·----=-...v2, ... , vd por tanto

Definición 5 Sea T : V ~ W es una transformación lineal. La dimensión de núcleo se denomina la nulidad de T y la dimensión de la imagen se denomina e~ rango de T.

Si T dim NT + dim Ir.

Teorema 7

V

~

W es una transformación lineal, entonces dim V =

Por tanto { T( v1) , T _ a Ir se deduce que es la dimensión de 1\";- "'En el ejemplo 5 \ :_ transformación 'line V - dim Nr= 3 -: = contenida en JR 2 se Ejemplo:

_

Sea T : - - -

Demostración:

Sea {u 1, u2 , •• ·, uk} una base del núcleo. Por el teorema 5 de la página 132 se pueder; encontrar vectores {v 1, v2, ···,vk} tal que B = { u1,u 2 , ... ,u 1 , v1, v2 , ... , vk} sea base de V. Sea ve V, entonces v = a 1u1 +a 2 u 2 +···+a 1u1 + ~ 1 v1 + ~ 2 v 2 +· ·· +~ kvk~

T(v)=T(a 1u1 +a 2 u2 + ···+a 1u1 + ~ 1 v 1 + ~ 2 v 2 +···+

~kvk) =

a 1T(u 1)+a 2 T(u 2)+···+a1T(u) + ~ 1 T(v 1 ) + ~ 2 T(v 2 ) +···+

~kT(vk)

~r

{(x,y)/T (x.

=

{ (x,y)/ (2x-

a 1O+a 2 0 + · ·· +a1 0 + ~ 1 T(v 1 )+ ~ 2 T(v 2)+ ···+~k T(vk) = 0 + 0+·· ·+0+ ~ 1 T(v 1 )+ ~ 2 T(v 2 )+··· +

{ (x,y) / (2 x -

~ kT(vk)=

~ 1 T(v1 )+ ~ 2 T(v 2)+ ···+~k T(vk)

Hemos demostrado por tanto que T( v) = { T( v1) ,T( v2), ... , T( vk)} genera a Ir .

= {(x,y)/2 x- . ~ 1T( v1) + ~ 2 T( v2 ) + · · · + ~k T( vk),

Veamos ahora que {T(v 1), T(v2), ... , T(vJ} es linealmente independiente.

es decir qu"

=

{(x,y)/x= C.

= =

={ (0,0)}= {0

x1T(v1)+ x 2 T(v 2 )+ ··· + xk T(vk)= O::::? T(x 1v1 + x 2 v 2 + · ·· + xkvk) = O::::? x1v1 +x2 v2 + ··· + xkvk E Nr·

Como Nr = {0}, se dirn V= dim Nr + din: _ transformación no e- _,-"~..,....,_,.

-

Transformaciones lineales

143

Definición y conceptos básicos

Luego x1v1 + x 2 v2 + · · · + xk vk puede expresarse como una combinación lineal de la base de Nr, es decir de { u 1 ,u 2 , ... ,u1 }. x1v1 + x 2 v2 + ... + xkvk = y 1u1 + y 2 u 2 + ... + J:J u1 => x1v1 +x 2 v2 +· ··+xkvk- y 1u1 - y 2u 2 _ , , _ y1 u1 =O, - U· 1'k)=0=>a¡V¡ +a 2 v2 - _ , + ... +a kv k = O. Como - - =a 2 =··· = ak =0. Por

_...........,,~ .rineal. La dimensión de: imagen se denomina e"

·:neal, entonces dim V

=

pero esto es una combinación lineal de los elementos de la base B = { u1, u 2 , .•• , uJ, v1, v2 , ... , vd por tanto x 1 = x 2 = · · · = xk = O, como también lo es y 1 = y 2 = · · · =y¡ = O. Por tanto { T( v1), T( v 2 ), • · ·, T( vk)} es linealmente independiente, y como también genera a Ir se deduce que es base y que tiene dimensión k. Como la dimensión de V es j + k, y la dimensión de N res j, y la dimensión de Ir es k, se sigue que dim V = dim N r + dim Ir. En el ejemplo 5 vimos que si T : JR. 3 ---¿ JR. 2 donde T(x,y,z) = ( x- y,3z) es una transformación lineal, N r = 1, entonces por el teorema anterior sabemos que dim Ir =·Q.im V - dim Nr= 3 - 1 = 2. Luego como la imagen tiene dimensión dos y la imagen está contenida en JR. 2 se concluye que Ir = JR. 2 .

Ejemplo:

Sea T : JR. 2

T(x,y) = (2x + y,x +y, 3x - y)

: "'e la página 132 se pueder. . ":. v2 , ... , vk} sea base de - ~2V2

+ .. ·+ ~kvk ~

JR. 3 donde

---¿

{(x,y)IT(x,y) = O}

{ (x,y) 1 (2x + y, x+ y, 3x- y)= O} { (x,y) 1 (2x +y, x +y, 3x - y)= (0,0,0 )} = { (x, y) l2x +y = O, x +y = O, 3x- y = O}

: _ ... +~k T( vk), es decir que

dependiente. - - .:t l'

= { (x,y)

1

x = O,y = O}

= {(0,0)} = {0}

) =o => Como Nr= {0}, se concluye que la transformación lineal es uno a uno. Además como dim V = dim N r + dim Ir, se tiene que 2 = O + dim Ir, o sea que dim I r= 2, por ende la transformación no es sobreyectiva.

144

Capítulo 7 Transformaciones lineales

Ir= {(2x+y,x+y,3x-y)¡x ,y E !R.}

d) T:

{x(2, 1, 3) + y(l, 1, -1) 1 x,y E IR.} T

M?_x _a

b

(e

d/

=

-

-

G {(2, 1, 3) , (1, 1, -1)} e) T: M 2 x:

donde G denota el subespacio generado.

Teorema 8 Sean V y W espacios vectoriales tales que dim V = dim W y T : V ---7 W es una transformación lineal. T es uno a uno, sí y solamente sí, T es sobreyectiva. Demostración: a) Supongamos que Tes uno a uno, entonces Nr = {O} y por tanto dim Nr = O. Como dim V= dirn Nr+ dim Ir, entonces dim Ir= dirn V, luego dim Ir= dim W. por consiguiente T es sobreyectiva. b) Supongamos ahora que T es sobreyectiva, entonces dim Ir = dim W, luego dim Ir=dim V, pero como dim V = dimNr+ dimir, se concluye que dimNr= O, por consiguiente Nr = {O} lo que indica que Tes uno a uno.

h) T: R. 2 ---7 ::::_:

3.

Demostrar que : sobreyectiva, "'-'""~-"-"!

EJERCICIOS MATRIZ ASOCIADA

l.

Sean F: U ---7 V y G: V transformación compuesta

---7

W transformaciones lineales. Demostrar que la

GoF: U

---7

W

dada por (G o F) (u) = G( F (u)) es una transformación lineal. 2.

Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones T d~finidas a continuación sor: lineales. Para las que son lineales, hallar N r, Ir, dim N r y dim Ir a) T : IR.2 ---7 IR.2 donde T(x,y) = (3x,x +y) b) T : IR.2 ---7 IR.2 donde T(x,y) =(3x,xy)

e) T : IR.3

---7

IR.3 donde T(x,y,z) = (x- y,x + y,y- z)

Entonces, T(v1) T(v2) T(vn)

-

Transformaciones lineales

145

Matriz asociada a una transformación lineal

donde

donde

e dim V = dim W y T : sí y solamente sí, T es f) T:

-=

~,.,..,

y por tanto dim N r = O. Y.luego dimir= dim W.

I r = dim W, luego dÍffi cluye que dim Nr = O, por

3.

Mnxn

~

Mnxn

donde T(A) = ( A+A') 2

g) T:

JR2

~

JR2

donde T(x,y) =(cosx, y)

h) T:

JR2

~

JR2

donde T(x,y)=(2x,lyl)

Demostrar que si T : V ~ W es una transformación lineal uno a uno y sobreyectiva, entonces dim V = dim W

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

aneales. Demostrar que la

ea T : V ~ W es una transformación lineal, Bv = {v 1, v2, w1, w2, ···, wm} base de W. Supongamos que

••• ,

.32nidas a continuación son T (V n) = a nl W¡ +a n2 W2 + ... +a nm W m

_-_ _: dim Ir

Entonces, T(v1)

a

11 w1 +a 12 w2

+···+a 1mwm

T(v 2 ) = a 21 w1 +a 22 w 2 +···+a 2 mwm =>

a nl W¡ +a n2 W2 + · · · +a nm W m

v11 } base de V y Bw =

14 6

Capítulo 7 Transformaciones lineales

a 12

a ¡m

a 21 a 22

a 2m

a nl

a nm

a 11

a n2

a 2m

La matriz A = a nl

2

W¡

tenemos que T

se llama la matriz asociada con la transforma-

a nm

a n2

Matriz asociada

En resumen he

Re-sultado 1

ción lineal respecto a las bases Bv = {v1, v2, ··· , vn} de V y Bw= {w 1, w 2, · ·· , wm de W y la denotaremos como MT Sea v E V :::::} v = x 1v 1 + x 2v 2 + ··· + x nvn :::::} T( v) = x 1T( v1)+ x 2T(v 2 ) + · · · + xn T(vn) =

T(v)

= (x1 , x 2 , .. • •

(1 )

= (y¡, Y2, ···, Y m

au (x¡,X2, ... ,xn) !xn a 2 ! a nl

a !2

a ¡m

W¡

a

a 2m

w2

a nm nxm

wm mxl

22

a n2

nde Es el vector e~ 2> · · · ' V} n de

V

Es la matriz :\1Es el vector e -

Haciendo

(y¡, Y2> . .. ,Ym) = (X¡ , x2, .. . , xn) !xn

a ¡¡

a !2

a¡m

a

a22

a 2m

21

r tanto ( y 1, y 2, ..• a nl

a n2

anm nxm

-

Transformaciones lineales

Matriz asociada a una transformación lineal

y 1w 1 + y 2w 2 + · ·· + YmWm, esto nos indica que (y 1, y 2, •• · , Ym) es el vector de coordenadas de la imagen de v respecto a la base Bw = {w 1, w2 , · ·· , wm} de W. - asociada con la transforma-

En resumen hemos obtenido el siguiente resultado:

Resultado 1 Si

vEV~v = x 1 v 1

+ x 2v 2 +···+xnvn

T(v) = (x 1 , x 2 , .. . , xn)

a¡¡

a 12

a 21

a 22

anl

a n2

~

a¡m

W¡

,.----'---,

(2)

(1)

(3)

W¡

=( y¡, J2, ... , Ym)

w2

donde

( 1) Es el vector de coordenadas en forma de fila de v respecto a la base Bv v2, .. · , vn} de V (2) Es la matriz My, asociada con la transformación lineal (3) Es el vector columna de la base Bw = {w 1, w2,

nxm

.. · ,

wm} de W.

a 11

a 12

a 1m

a 21

a 22

a 2m

a ni

a n2

a nm

= { v 1,

148

Capítulo 7

Transformaciones lineales

es el vector de coordenadas en forma de fila de T(v) respecto a la base Bw = {w1. w 2, · · · , wm} de W .

\tlatriz asociada a una

Ejemplo:

Sea T : -

Si calculamos la transpuesta tenemos:

Resultado 2

T(1, O)= (3, 1) = 3(1. T(O, 1) = (-2, 1)= - :

all

a 12

Luego la matriz asoc· a nm

Si v (4)

(- 3, 4), ento

=

(6)

(5)

~~( xx J=(31

-2

1

Yt = (w¡ , w2, · ··, wtn )

1

2

Y2

J

2y) , que

3x x+y

Ym

COID

~anónica.

donde

(4) Es el vector fila de la base Bw = {w1, w2 ,

••• ,

Ejemplo: Sea la -1,2)}, Bw = {(1,- : .

wm} de W.

(5) Es la transpuesta de la matriz Mr , asociada con la transformación lineal.

(6) Es el vector de coordenadas en forma de columna de v respecto a la base Bv = {v1• v2 , · · · , vn} de V.

Por tanto

T(l, - 1) = (5, O)= T(- 1, 2)

=

a :~

(-5, 1) = a:

Lo que nos conduce a:

Yt

a 11

a21

Y2

a 12

a 22

a" - a"

Ym

a nm

ue al resolverlo nos da: es el vector de coordenadas en forma de columna de T(v) respecto a la base Bw w2, ... ' wm} de w.

=

{w1.

En lo que resta del libro usaremos el resultado 2, tanto para explicaciones respecto a la matriz asociada a una transformación lineal, como para las respuestas a los ejercicios.

Jt t = O,

a ,2

por tanto Mr

= - 5, a2 1 =

=(

0 - ]

-

-

Transformaciones lineales

149

Matriz asociada a una transformación lineal

Sea T : JR 2

Ejemplo:

JR 2 dada por

--7

T(x,y) =(3x- 2y,x + y)

donde Bv= B111 = {(1,0),(0,1)} T(l, O)= (3, 1) = 3(1, O)+ 1(0, 1)

T( O, 1) = (-2, 1) = - 2(1, O)+ 1(0, 1)

=

Luego la matriz asociada con la transformación lineal es Mr = ( _

Si v

~ ~) /

=

(-3, 4), entonces el vector de coordenadas en forma de columna de T(v) es

J=(31

X M~ x~ (

t 3x- 2y) x+y

-2] (-3] 4

1

=

(-17] · 1

y si v = ( x, y), entonces T( v) = (3 -2) 1 1

(X) y =

, que coincide con T(v) = T(x, y) = (3x - 2y, x +y) debido a que Bw es la base

anónica.

Ejemplo: Sea la misma transformación del ejemplo anterior con Bv = {(1,-1), t- 1,2)}, B 111 = {(1,-1 ),(- 1,0)}. Tenemos por tanto , ~

- o rmación lineal. - respecto a la base Bv =

{,.

T( l, -1) = (5, O)= a 11 (1, -1) + a 12(- 1, O) T(-1, 2)

=

(-5, 1) = a 21 (1, - 1) + a 22 (- 1, O)

o que nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

- a¡¡

= 5 o = o

a 12

a¡¡

+

que al resolverlo nos da:

a11 =O, a 12 =-5,a21 = - 1, a 22 =4

- -::. explicaciones respecto a la - re::,-puestas a los ejercicios.

- -=-==-=-

por tanto Mr =

---~ -------=--~~------

..-

--

-

o - 5J (- 1 . 4

az¡ - a 21

a22

+

O

=

-5

=

1

150

Capítulo 7 Transformaciones li

Nuevamente si v

=

(-3, 4), entonces el vector de coordenadas de v respecto a la

B, = { ( 1,- 1) , (- 1, 2)} es (-

bas~

~) luego el vector de coordenadas en forma de columna

Si v = (x, y), debemos primero calcular el vector de coordenadas de v con respecto a la base Bv = { ( 1, -1) , (- 1, 2)} de V.

(x, y)= x 1(1, - 1) + x 2 (-1, 2), entonces, x2

=

X

- x 1 + 2x 2

=

y

X¡

que resolviendo nos da x 1 = 2x +y, x 2 entonces T( v) = M~

[Xzx 1)

= [

=

Sea u

E

U, entonce

=

denadas de u respe coordenadas de T 1( v :-. nadas de ( T 2 o T 1, Wes: M~(M;x)

= (M~M; X=

formacióríÍineal T 2

Definición 1 Sea transformación se /1-

x +y

y) O-1) [2xX++y)y - [--x6x - y 4

- 5

Definición 2 F: W

-7

Sea T V si

Ejemplo: En el ejemplo rotación de vectores de la página 13 7 vimos que el efecto de rotar un vector es una transformación lineal. Se puede observar que la matri::

' lineal es [ cos e asociada a esta transformacion -sen 8

sen cos

e). e

Sean U, V, W espacios vectoriales y Bu = {u 1, u2, .. • , us}, Bv vn} , Bw = {w 1, w2, ... , wm} bases de V, V y W respectivamente.

Teorema 1

v2 ,

.. · ,

donde Iv e Iw den o vectoriales V y W r·orT__.,--

=

{v1•

Ilustración:

Sean T 1: U --7 V , T 2 : V --7 W transformaciones lineales con matrices asociadas M 1 y M 2 respectivamente. Entonces la matriz asociada a la transformación lineal T2 o T 1 es M 1M 2.

Demostración: Tenemos:

u

B 11 ={u 1 ,~,

~ ·· ,U5

}

V Bv={v1 ,v2 , .. ,v11 }

T,

w Bw= {w1 ,w2 ;··,w111 }

Teorema 2 Sea T : ella es única.

-

Transformaciones

lineal ~

151

Matriz asociada a una transformación lineal

X¡

Sea u

E

U, entonces u = x 1u 1 + x 2 u 2 + · · · + xsus , luego X =

x2

es el vector de coor-

denadas de u respecto a la base Bu = { u 1, u 2 ,- • ·, us} luego M~ X es el vector de coordenadas de T 1( v) respecto a la base Bv = { v 1, v2 ,- • · , v n} de V. El vector de coordenadas de (T 2 o T 1 )( v) = T 2 (T 1 ( v )) respecto a la base Bw = { w 1, w 2 ,- · ·, wm} de Wes: M~(M;x) = (M~M;)X =

formación lineal T 2

T1 .

Definición 1 Sea Iv: V -7 V la transformación lineal dada por Iv(v) transformación se llama transformación idéntica sobre V.

-x-y)

'-- x - y

5 ·

o

(M 1M 2 )'X, por tanto M 1M 2 es la matriz asociada a la trans

Definición 2 Sea T : V F: W -7 V si

-7

=

v. Esta

W es una transformación lineal. T tiene una inversa

.a 13 7 vimos que el efec de observar que la ma -

T

o

F = Iw

F

o

T = Iv

donde Iv e Iw denotan las transformaciones lineales idénticas en los espacios ·ectoriales V y W respectivamente.

us}, Bv ectivamente.

_· u2,

••• ,

=

{v;

t"=7Jiones lineales con matrices

Ilustración: T

V

asociada a la transforma-

W

F

V

- - - - Iv __________. W

Teorema 2 Sea T : V ella es única.

F

V

T

---- Iw_________. -7

W

W una transformación lineal. Si T tiene una inversa,

152

Capítulo 7 Transformaciones lineales

Matriz asociada z

Demostración: Supongamos que T tiene dos inversas, F y G, esto quiere decir que

G

=

G

o

lw = G

o

T

o

F = lw

T

o

G = lw

F

o

T

= lv

G

o

T = lv

(T

o

F) =

F

=

G

(

T)

o

o

lv

o

F

=

F

Teorema 4 V

Ilustración:

Bl={vl }v2,- ··,vn}

Como la inversa es única la denotaremos por T- 1 y por consiguiente se tiene

Si Mr es la m r V

Si T : V

---7

T

o

T-

1

T-1 o

= lw

B 2 ={v~ , v;,···,v~}

T = lv

Demostración:

V tiene inversa T- 1, entonces, T

o

T -l

Sea A la matriz --

T - 1 = lv o

T- 1V

que escribiremos simplemente como

T

o

T- 1 = T- 1

o

T

=

1

donde 1 es la matriz idéntica en V.

Teorema 3 Sea 1 : V

---7 V la aplicación linea/idéntica y B = {v1,v2 base de V. La matriz asociada a 1 es: '.

o

o o

o o ...

1 nxn

1

Demostración:

o

v11 } una

~JERCICIOS

l.

Hallar la ma----r.;: general del

a) V= JR2 W= JR2 T(x, y)= -

l(v ¡)= V¡ = 1 V¡ +Ovz + ·· · + Ovn l(vz)= vz=Ov¡ + 1vz +···+ Ovn

b) V=JR2

W = JR2 T(x,y)

=

-

-

Transformaciones lineales

153

\1atriz asociada a una transformación lineal

1

o

o

1

o o

Luego la matriz asociada a 1 es

= 1

o o ... Teorema 4

= F=F

V B 1={v1,v2 ,- ··,vn}

- -iguiente se tiene

Sean B 1 = {v1, v2, .. ·, vn}

~

-{ , V , ... , } B 2 - v1,v2 , ,V11

nxn

B 2 = {v;, v;, .. ·, v~} bases de V y

y

· · lzneal. · una transformaczon

Si Mr es la matriz asociada a T, entonces My! es la matriz asociada a 1 V V B 1={v 1,v2 ,. ··,v,J B2 ={v; ,v; ,···,v;J

Demostración: Sea A la matriz asociada a T- 1. Sabemos por la definición de T- 1 que T

o

T-1 = T-1o T

=

1

y por el Teorema 1 sabemos que la matriz asociado a T 2

A

o

M

T

= M

T o

A

=

o

T 1 es M 1M 2, entonces,

In , por tanto,

A=Mj yB

=

EJERCICIOS

{v1,vz, ... , vn} una l.

Hallar la matriz asociada a la transformación lineal T : V -7 W respecto a las bases dadas. Calcular T(v) para el vector v dado, y hallar T(v) para un vector en general del espacio vectorial V .

a) V= 1R2

Bv = {(0, -1), (-1, 2)}

W=JR2

Bw = {(1, -1), (-1, O)}

T(x,y) =(- y, 2x + y) b) V =JR 2

W = JR2 T(x, y)= (2y, 3x)

v

=

(3, - 1)

Bv = {(1, 2), (-2, 1)} Bw = {(1, - 1), (-1, 3)} v=(3,-l)

154

Capítulo 7

W

= ~2

Transformaciones lineales

Matriz asociada a una tra-

Bv = {(1, O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1)}

Tix, y)= (x + y ._ .

Bw = {(1, 1), (4, 1)}

Tix, y)== (x- y. __ -

T(x, y, z) = (x +y+ z, 2y, 3x)

v = (1, 2, 3)

y las bases para 2: _

Calcular las matri ~ ~ d) V= ~ 3 W

Bv = {(1, 1, 1), (-1, 1, 0), (0, 1, -1)}

= ~3

T(x, y, z)

Bw = {(1, - 1, 2), (2, -1, 1), (1 , 1, 1)}

(x +y, x-y, z- x)

=

v = (-2, 3, 5)

6.

Igual al problema -,B3 = {(1, - 1, 0).

e) V= P3 W=P 2

Bw= {l,x,x2}

T(p( x)) = p' ( x) ==

fx p (x)

v 2.

=

p(x)

=

2 + 3x + 4x2 + 5x3 Con los datos del _ B 2 = {(1, 1), (-1. ·

Hallar T(x, y) y la matriz asociada, si la transformación T : ~ 2 ---7 ~ 2 viene dada por

T(l, 1) = (1, 2) T(-2, 3) = (-3, 5) donde la base de ~ 2 del lado izquierdo es {(1, 1), (-2, 3)} y la del lado derecho es {(1, 1), (-1 , O)} 3.

Sea T: ~ 2 ---7 canónica. Demu~-~ T- 1. Halle T- 1(x. _-

Hallar T(x, y, z) y la matriz asociada, si la transformación T: ~ 3 ---7 ~ 2 viene dada por T(l , O, O) = (1, 2) T(O, 1, O)= (1, - 1)

9.

Sea T : ~3 ---7 ::::es la canónica. D~ de T- 1• Halle T- · _

1O. Con los datos del t"'·"'--'-- ....... B 3 == {(1, O, 1), (C.

l. Sea T : ~ 3 ---7 es invertible.

T(O, O, 1) = (2, -3) donde la base de ~3 es {(1, 1, 1), (-1, 1, 0), (0, 1, -1)} y la de ~ 2 es {(1, 1), (-1 , O)} 4.

5.

Sea Te la transformación lineal que indica rotar un ángulo 8. Demostrar que la matriz asociada con la transformación lineal T a o T ~ es igual a la matriz asociada con la transformación lineal T a + ~Sean T 1: ~ 2 ---7 ~2, T 2 : ~ 2 ---7 ~3, T 3 : ~ 2 ---7 ~ 3 dadas por:

T 1(x, y)= (x +y, x)

CAMBIO DE BASE

V

={vl,v2,- ··~v~~}

~ B2=

El efecto de 1 es enviar ·os de la base B 1 == {v1 • ,.: _ ineal de los elementos e

-

Transformaciones lineales

155

1atriz asociada a una transformación lineal

T 2(x, y)= (x +y, y, x) T 3(x,y) = (x -y, x +y, x) y las bases para JR2 y JR3 son las bases canónicas.

Calcular las matrices asociadas a T 1, T2 , T3 , T2

o

T 1 , T3

o

Igual al problema anterior pero las bases para JR2 y JR 3 son B 2 B 3 = {(1, -1, 0), (0, - 1, 1), (1, O, 1)}

T 1, T 12 = T 1

=

o

T1

{(1, 1), (- 1, ~)}y

Sea T: JR2 ---7 JR 2 dada por T(x, y) = (x +y, 4y - 2x) y la base para JR2 es la canónica. Demuestre que T es invertible y por tanto calcule la matriz asociada de T- 1. Halle T- 1(x, y).

T : ~~2

---7

Con los datos del problema anterior halle matriz asociada a T- 1 si la base de JR2 es B 2 = {(1, 1), (- 1, 1)}.

JR2 viene dada

9.

Sea T : JR3 ---7 JR 3 dada por T(x, y, z) = (x-y + z, y- x, x - z) y la base para JR3 es la canónica. Demuestre que T es invertible y por ende calcule la matriz asociada de T- 1. Halle T- 1(x, y, z).

y la del lado derecho es

T : ]3 ---7 JR2viene dada

10. Con los datos del problema anterior halle la matriz asociada a T- 1 si la base de JR 3 es B 3 = {(1, O, 1), (0, 1, 1), (1 , 1, 0)} . l. Sea T : JR3 ---7 JR 3 dada por T(x, y, z) =(x -y, y - x, x- z). Demuestre que T no es invertible.

CAMBIO DE BASE

de

2

es {(1, 1), (-1, O)} -ean B 1 = {v1, v2 , ··· , vn} y B 2

--= lo

= {v;, ví,- ·· , v~} bases de V

y

8. Demostrar que la ~ :gual a la matriz asociada

V ~ 8,={v,,v2 ,. . .,vJ

:.:- dadas por:

El efecto de 1 es enviar un vector que se escribe como combinación lineal de los elemen:os de la base B 1 = {v1, v2 ,···, vn}, en el mismo vector pero escrito como combinación ineal de los elementos de la base B 2 = { v;, v;, · · ·, v~ }.

8 2

V ., · , · ={v;,v;,. --,v;,} la transformac10n 1dent1ca.

156

Capítulo 7 Transformaciones

lineal ~

Calculemos la matriz asociada a esta transformación lineal.

l(v1) =v1 =a 11 v{ +a12 v;

de la base B 1 a la

+···+a 1 nv~

respecto a la base B.: entonces Mr

=

=

La matriz de cambio (-1, O)} es naturalm

Esta matriz se denomina matriz de cambio de base de la base B 1 = { v1 , v 2 , • · ·, v n} a 1::. base B 2 = { v{, v; , · · ·, v~} y la denotaremos por M: 2

Teorema 1 T respecto a una b

1

X¡

base

Xz Por tanto si

B 2 = {v{,

<·

_

Sea M= MBB,2 la

son las coordenadas de un vector respecto a la base B 1 = { v1, v 2 , · · ·, vn

X¡

Demostración:

nos da las coordenadas del mismo vect

Sea v E V

=:}

v = x1'· X¡

siguiente X

pero respecto a la base B 2 = { v{, v;, · · ·, v~ }. Ejemplo:

Sea T : JR 2

---7

JR 2 con bases B 1

=

{(1, 1), (-1, 0)}, B 2

=

=

x2

{(2, O .

(- 3, 1)}. coordenadas de v respe

Calculemos la matriz de cambio de base respecto a las bases B 1 y B2 .

Como A es la matriz - __ coordenadas de T(v) e-:.

1(1, 1) = (1, 1) = a 11 (2, O)+ a 12(- 3, 1) 1(- 1, O)= (-1, O)= a 21 (2, O)+ a 22 (-3, 1)

2 - 3 1 - 1J ::::; ( 1 o 2 (o 1 1 o o 1 1

_l.J luego la matriz de cambio de base

La matriz M= M:' n .: 1 tanto MZ = W y M - 1" =

2 ,

o

-___ -

--

~

z

--

--

- --

-_ - - - - =-----

-

Transformaciones lineale<:

Matriz asociada a una transformación lineal

157

±

B de la base B 1 a la base B2 = MB~ = (_ 2

El vector de coordenadas de (2, 3) respecto la base B 1 = {(1 , 1), (-1, O)} es(;), por

'(3J1 = (_ 2

B ) · tanto (MB~

son las coordenadas de (2, 3)

1

respecto a la base B 2 = {(2, 0), (-3, 1)} La matriz de cambio de base M: 21, de la base B2 = {(2, 0), (-3, 1)} a la base B 1 = {(1, 1), 1

(-1, O)} es naturalmente (M:~ f = 1

(

_

2 1]_ 0

1

_

(o -2J 1

4

Sea T : V ~ V una transformación lineal. A la matriz asociada a T respecto a una base B 1 = { v1, v 2 ,- · ·, vn} y B la matriz asociada a T respecto a otra base B 2 = {vi, v;,· ··, v~}.

Teorema 1

Sea M = M: 21 la matriz de cambio de base, de la base B1 = { v1 , v 2 , · · ·, vn} a la base B2

= {v~ , v;, ... , v:}.

Entonces

Demostración:

-- :oordenadas del mismo vec X¡

siguiente X = . 1), (-1, 0)}, B 2

=

xz

es el vector de coordenadas de v respecto a la base B 1•

{(2, O Como M es la matriz de cambio de base de B 1 a B 2. entonces Y = MX es el vector de coordenadas de v respecto a la base B2 . Como A es la matriz asociada a T respecto a la base B 1, entonces Z = AX nos da el vector oordenadas de T(v) respecto a la base B 1 Análogamente W = BY nos da el vector de coordenadas de T(v) respecto a la base B2 .

~

-,

bio de base

~-~ --------~--

La matriz M = M: 2 nos permite cambiar de coordenadas de la base B 1 a la base B2, por 1 tantoMZ = WyM- 1W = Z

-

----

158

Capítulo 7 Transformaciones lineales

Veamos ahora que efectivamente M- 1BM =A.

(M- 1BM)

(X)=

Teorema 2

(M- 1B)

(MX) =

M- 1 (BY)

=

M- 1W

Sean B 1 = { v1 , v2 , • · ·, vn} y B 2

= Z = AX ::::}

= { v;, v;, · · · , v~}

M- 1BM

=A

bases ortonormales de B2

un espacio vectorial V. Entonces la matriz de cambio de base MB 1 de la base B 1 a la base B 2 es ortogonal. Demostración:

Sean P =

PJJ P21

PnJ

P12 P22 Pn2

P!n

qll

P2n

qz¡

Pnn

y Q=

qn]

q¡z

q22 qn2

Sea R = (riJ) = P'P. ~-:::e~ (columna j de P) = P Si las columnas de • indica que R

=

1 :::::)

ii) ::::}) Supongamos P'P. Se tiene por·

q]n

=

qzn

riJ

qnn

={

1

=

~

(fila i de P')

o si

*

i j 1 si i = j

lo

·

_,_

las matrices de cambio de base de B 1 a B 2 y de B2 a B 1 respectivamente, entonces,

V¡ = p 11V~ + P12 V~ + · · · + P!nV~

l.

V2 = Pz¡V~ + P22V~ + ··· + Pznv~

V~

2.

=q¡¡V¡ + q¡zVz + ·· · +q¡nvn

V~ = q2¡V¡ + qzzVz + ··· + qznvn

Sea V = ~ 2 , cematriz de cam de la base B a

3. Como B 1 es una base ortonormal V¡ · vj = ( Pn v{ + Pi2 v2 + · · · + Pii vj + · · · + Pin v~) · v' =PiJ. Análogamente como B 2 es una base ortonormal, vj·v¡ =(q 11 v 1 +q 12 v2 +··· q1¡v¡ + · · · + qJn vn)· V¡ =q 1¡, por tanto qJi = piJ, lo que nos indica que Q = P'. Por el teorema 4 de la página 153 se sigue que QP = PQ = 1, luego P'P = PP' = 1 y asi P es ortogonal. (Recuérdese que una matriz A es ortogonal si su inversa es A', esto es A'A=A A'= l .

Una matriz P nxn es ortogonal sí y sólo sí las columnas de P form ar una base ortonormal para ~n.

Teorema 3

Demostración:

i)

~)

Supongamos que las columnas de P forman una base orto normal.

4.

5.

Sea V= R 3, co,... (0, -1, 1), (1, O. : y la matriz de 1), hallar las coc~:c=~:..-1

- -

Transformaciones lineales

159

Ma triz asociada a una transformación lineal

Sea R = (riJ) = P'P, entonces, riJ =(fila i de P') (columna} de P) = (columna i de P) (columna} de P) = (P.¡) (P.) o

Z=_-\_"\:

~

M- 1BM=A

o

bases ortonormales de - e M ! 2 de la base B 1 a la l

Si las columnas de P son ortonormales se tiene entonces riJ

o si = { 1 Sl

i

o

o

l

*j = j

•

,

lo que nos

indica que R = 1 ~ P'P = 1 o sea que P es ortogonal. ii) ~) Supongamos ahora que P es ortogonal, esto es P'P = 1, y nuevamehte sea R = (r iJ) = P'Po Se tiene por tanto que R = 1, o sea

L

riJ = (fila i de P') (columna} de P) =(columna i de P) (columna} de P) = (P.¡) (P.)

o si

= {1 SI o

~

riYamente, entonces,

i

*j

o

l = }

o

. lo que nos indica que las columnas de P son ortonormales

EJERCICIOS l.

Sea V= JR 2, con bases B 1 = {(1, 0), (0, 1)} y B 2 = {(2, 0), (- 3, 1)}0 Calcular la matriz de cambio de base, de la base B 1 a la base B2 y la matriz de cambio de base, de la base B 2 a la base B 1. Dado el vector v = (3, -2), hallar las coordenadas de v respecto a las bases B 1 y respecto a la base B 2

20

Sea V = JR 2 , con bases B 1 = {(1, 1), (0, -3)} y B2 = {(2, 0), (-3, 1)}. Calcular la matriz de cambio de base, de la base B 1 a la base B 2 y la matriz de cambio de base, de la base B2 a la base B 1 Dado el vector v = (3, - 2), hallar las coordenadas de v respecto a la base B 1 y respecto a la base B 2. 0

- __

- ... -'-' P··V'· · v') y lJ J + ... + P mn o

- ·\'; =(qi ¡V¡ + qJ2 v2 + ··o ..:·c:a que Q = P'.

L luego P'P = PP' = 1 y as - -i su inversa es A', esto es:

30 Sea V= JR 3 , con bases B 1 = {(1, O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1)} y B2 = { {(1, - 1, 0), (0, -1, 1), (1, O, 1}} . Calcular la matriz de cambio de base, de la base B 1 a la base B 2 y la matriz de cambio de base, de la base B2 a la base B 1 Dado el vector v = (3, -2, 1), hallar las coordenadas de v respecto a la base B 1 y respecto a la base B 2 0

40

=

Sea V= R3, con base B 1 = {(1, 1, 1), (- 1, 1, 0), (0, 1, -1)} y B 2 = { {(1, -1, 0), (0, -1, 1), (1, O, 1)}} Calcular la matriz de cambio de base, de la base B 1 a la base B 2 y la matriz de cambio de base, de la base B 2 a la base B 1. Dado el vector v = (3, - 2, 1), hallar las coordenadas de v respecto a la base B 1 y respecto a la base B 2 o

0

- as columnas de P form ar.

50

}J (1, 1, 1), ~ (- 2, 1, 1), ~(o, - 1, 1)} y B = { ~ (1, 1, 0), )J (1, - 1, 1), ~ (1, - 1, - 2)} bases ortonormales de JR Sean B 1 = {

2

car que la matriz de cambio de base de B 1 a B 2 es ortogonal.

3

0

Verifi-

160

Capítulo 7 Transformaciones lineales

TRANSFORMACIÓN LINEAL ASOCIADA A UNA MATRIZ

Sea A una matriz de tamaño n x m y consideremos la aplicación: T : JE.m -7 JE.n dada por T(X) = AX donde X es un vector columna de tamaño m x 1, entonces AX es un vector columna de tamaño n x l.

de A si existe AX = A-IX, deb .; La ecuación A.X =

La aplicación dada por T(X) = AX es una transformación lineal.

Teorema 1

Demostración: Sean X y Y vectores columnas de tamaño m x 1, y

a un escalar, entonces

a) T(X +Y) = A(X +Y) = AX +AY= T(X) + T(Y) b) T(aX) = A(aX) = a(AX) = aT(X)

Como conclusión, podemos trasladar muchas propiedades de las transformaciones lineales a matrices y viceversa, trasladar varias propiedades de matrices a transformaciones lineales, pues a cada transformación lineal le corresponde una matriz, su matriz asociada y a cada matriz le podemos asociar una transformación lineal.

Veamos qué rela propios de la ma-=

VECTORES Y_VALORES PROPIOS

X-

X-

Sea T : V -7 V una transformación lineal. Se dice que v es un vector propio de T si existe A E R tal que Definición 1

E

V, v

;t

O

entonces X= X

T(v) ='Av

En otras palabras un vector v *O es un vector propio de T si T(v) es un múltiplo de v. También se emplean los términos valores y vectores característicos en lugar de vectores y valores propios. Además si v

;t

O, entonces 'A está determinado de manera única, pues si

V}

T(v)= A¡ T(v)= A2 v

:::::> A¡ v = Az v :::::> (A 1 - Az ) v = O y como v

* O :::::> A = A 1

2

Si T(v) ='Av, el escalar A se llama valor propio de T correspondiente al vector propio v.

Teorema 1

:ransformación ?ropio de T sí y s

-

Transformaciones lineales

a de tamaño m

x

161

Transformación lineal asociada a una matriz

1,

Si A es una matriz cuadrada podemos asociar esta matriz con una aplicación lineal. T : JRn -7 JRn dada por T(X) = AX por tanto podemos decir que X -:f::. O es un vector propio de A si existe un A E R tal que AX = AX. Esta última ecuación se puede escribir como AX = AIX, debido a que IX = X , pues 1 es la matriz idéntica. La ecuación AX = AIX implica (A- Al) X = O. Por tanto A es un valor propio sí y sólo sí la ecuación (A- AI)X = Otiene una solución no trivial, lo que nos lleva a afirmar que la matriz A- Al no tiene inversa, pues si tuviera una inversa multiplicando a ambos lados de la ecuación (A - AI)X = O por esta inversa nos llevaría a afirmar que X = O, lo que contradice el hecho de que X es un vector propio. El hecho de que A - Al no tiene inversa se puede expresar diciendo que el determinante de A- Al es cero.

epzsforma ción lineal.

En resumen tenemos que A es un valor propio de A, si

.a.:; transformaciones linea- :rices a transformaciones triz, su matriz asociada

Se dice que v

E

V, v

-:f::.

O

_ T v) es un múltiplo de v.

racterísticos en lugar de

lA - le~ = O.

Además, como (A- AI)X =O, implica que X está en el núcleo de A- Al, podemos afirmar que A es un valor propio si el núcleo de A - Al -:f::. {O} Veamos qué relación existe entre los valores propios de una transformación y los valores propios de la matriz asociada a la transformación lineal. Sea A la matriz asociada a T respecto a una base B = {v 1 , v2 , ···, vn} Si vE V => v = x 1v1 + x 2 v2 + ··· + xnvn,

entonces X =

es el vector de coordenadas de v respecto a la base B,

por consiguiente como T(v) =Av, el vector de coordenadas de T(v) tiene que ser igual al vector de coordenadas de Av, pero el vector de coordenadas de T(v) es AX y el vector de oordenadas Av es AX, por tanto T(v) =Av nos conduce a AX = AX. Análogamente si tenemos AX = AX, podemos ver a X como las coordenadas de un vector v y por tanto AX son las coordenadas de T(v); y si las coordenadas son iguales, los vectores que representan tienen que ser iguales, luego T(v) = Av. Todo lo anterior nos lleva a enunciar el siguiente teorema:

Teorema 1

Sea T : V -7 V una transformación lineal y A la matriz asociada a la

transformación lineal respecto a alguna base B = {v 1 , v2 , · ··, vn}. A es un valor vropio de T sí y sólo sí A es un valor propio de la matriz asociada A .

162

Capítulo 7

Transformaciones lineales

u¡

Si se expande el determinante lAse obtiene un polinomio de grado n en la variable A, que denotaremos por p(A), el cual se denomina polinomio característico y la ecuaciór: lA- AI I= O se denomina ecuación característica de la matriz A.

Teorema 2 T~_ = { v E VI T(v) = A-v} es un subespacio de V y es llamado e subespacio propio de T correspondiente al valor propio A.

Vectores

De forma similar (A+I)X= O=>

el subespacio pro

Ejemplo: Hallar

""

Demostración: Seanv1 ,v 2

ET~_

=> T(v 1 ) = A-v 1 yT(v2 )=A-v 2 =>

l l

A= 3 a) T(v 1 + v2 ) = T(v 2 )+ T(v 2 ) = A-v 1 + A-v 2 = A-(v 1 + v2 ) => (v 1 + v2 ) E T~_ b) Sea

a un escalar, entonces, T( av 1) = aT( v1) =a (A-v 1) =A( av 1) => ( av1) E T~_

3 O

1 -3

Hemos demostrado por tanto que el conjunto de todos los vectores propios correspondientes a un valor propio forman subespacio vectorial.

Ejemplo: Hallar los valores y vectores propios de la matriz A= [

3 -4)

- 2

1.

(A - 01) X= O=>A~ =

- 4¡ = O entonces, . , caractenstlca ' . es ¡3-AL a ecuacwn -2 1-A, A,

2

-

4A- - 5 =o=> (A-+ 1)(A-- 5) =o=> A, = 5, A, = - 1

Hallemos los vectores propios correspondientes al valor propio A= 5, para esto debem : hallar el núcleo de (A - 51), es decir, hallar X tal que Para A = 2, tenem : (A - 51) X = O=> [

=~ =:) [:~)

=

[~)que al resolver el método de Gauss, nos condu-

/

(A - 21) X= O=> ce a [

~ ~ ~) , luego la solución es [ ;~) = a [ _ ~) y por consiguiente una base para e

núcleo es [ _

~)

l por consiguiente una

-

Transformaciones lineal

~.:.\---'.....,-o

de grado n en la variab aracterístico y la ecuaci

- ..z A .

De forma similar para A = -1, hallemos el núcleo de (A + 1),

(A + 1) X= O::¿ ( _ ;

de V y es llamado

163

Vectores y valores propios

-;)

el subespacio propio es (

(;~) = ( ~ J, cuya solución es (;~) = a (=~) y una base para

~) , haciendo a

=

-1

Ejemplo: Hallar los valores y vectores propios de la matriz ·

A =(~ ~ :

=> IV¡

1 -3

+v 2 ) E TA

= A. ( av 1) ::¿ ( av 1)

31)

-

E

T"

- ·ectores propios correspo

1- A. La ecuación característica es 3

3 - A,

1

-3

- 1 3 =

o , entonces,

3-A.

2

4A? -4A.- A. 3 = 0::¿-fiv(A.-2) =0::¿fiv = O, A- =2 Hallemos los vectores propios correspondientes al valor propio A= O 1

3

(A - 01) X= O::¿ AX = O::¿ 3

O

(

1 -3

-~ J(:: J=( ~J,cuya solución general es

j

(:: J=a ( Jy por ~to una b~e p~a este subesp~io propio es (

j]

io A= 5, para esto debem : Para A = 2, tenemos

- 1

:l'..étodo de Gauss, nos condu-

(A - 21) X= O::¿

(

~

- ;:onsiguiente una base para e

por consiguiente una base pan1 este subespacio propio es ( _

~). ,

164

Capítulo 7 Transformaciones lineales

Ejemplo: Sea V = C"' =

T : C"' Si y

=

f

---7

lf : lR

C"' dada por: T(f)

=

---7

lR

1

f

Vectores y valores

tiene derivadas de todos los órdenes} y

contradicción, lueg ;:-=:=::::::;iiJI

df dx

{ V¡' V2' ... ' V n}

(x) es un vector propio de T entonces T(y)

=

A.y, implica ddy =A-y => dy y

X

es ~~-"-~.......,

=

A.dx => ln y = !ex+ e=> y = eA.x+c = ce A.x; en consecuencia, todo número real A es un

Teorema 4

Sea T :

tiene a lo más n ,.

valor propio de T y los vectores propios conespondientes son de la forma ceA.x para e :;t: O. Demostración: Teorema 3 Sean A- 1, A-2 , .. · , An valores propios todos diferentes entre sí, correspondientes a los vectores propios v 1, v 2 , · · · , vn, entonces { x 1 , x 2 , · · ·, xn} es linealmente independiente.

Si T tuviera n + 1 ' propios serían linea:.::: _ ó a el hecho de que ' ·

Demostración:

Supongamos que el subespacio generado por{ v1 , v2 , asu~amos

.. ·,

vn} tiene dimensión k( k< n) y

por tanto que una base para este subespacio es { v 1, v 2 , • · · , v k } (si es del caso

se reordenan para que esto suceda); por ende { v1 , v 2 , ... , v k} es linealmente independiente. Por el Teorema 2 de la página 130 sabemos que { v1 , v 2 ,

.. ·,

vk, vk+l} es linealmente

Teorema 5

Si un

dependiente,luego,a 1v1 +a 2 v2 + .. ·+akvk +ak+lvk+l = 0,conalgúna¡ 1 O. Demostración :

Si a k+I = O, tendríamos a 1v1 +a 2 v2 + · · · +a kv k = O, con algún a; :;t: O, lo que nos indicaría que { v1 , v2 , ... , v k} es linealmente dependiente, contradiciendo el hecho de que { v1 , v2 , .. · , vd es linealmente independiente; por consiguiente a k+l

:;t:

Oy

Como A es similar a

PAP-' =B.

Si hacemos p-1 = Q. ----~r similar a A.

a 1v1 + a 2 v2 + ... +akvk +ak+lv k+l = O con ak+I *O, entonces

De acuerdo con este

:·~~,..-:.--,

a 1T(v 1 )+a 2 T(v 2 )+ .. . +a kT(vk )+ak+1T(vk+i ) = O=> a 1A- 1v1 +a 2 A- 2 v2 + ... + akA-kvk +a k+ IA-k+lvk+l = O

Teorema 6

Si a la última de estas ecuaciones le restamos la primera multiplicada por lk+J , tenemos: a 1(A- 1 - A-k+i ) v 1 +a 2 (A- 2

-

A-k+I) v 2 + .. ·+a k (A-k - A-k+l ) vk =O. Como cada (A¡

- Ak+l )

*O, debido a que todos los A son diferentes entre sí, esto nos indicaría que { v1, v2 , • • · , vk } es linealmente dependiente, contradiciendo el supuesto inicial.

Demostración:

Como A es similar a B det(P) = det(p- 1). de- P

-

Transformaciones lineales

165

ectores y valores propios

1

Luego el supuesto de que la dimensión de { v1 , v 2 , · · · , v n} es k (k< n ), nos conduce a una

_ :odos los órdenes} y

ontradicción, luego dimensión de { v 1 , v 2 , · · · , v n} tiene que ser n, y esto no lleva a que v1 , v 2 ,

··· ,

v n} es linealmente independiente.

. . l. dy 1 -->.. dy = .' . rmp 1ca -= AY_,.-= ·

dx

y

_ ::.... i:odo número real A es un

Teorema 4

Sea T : V

-7

V una transformación lineal, con dim V = n, entonces T

Iiene a lo más n valores propios diferentes.

=.--·::s -on de la forma ce'Ax para

Demostración: ·erentes entre sí, correspon.r . X::' · • • , X n } es linealmente

Si T tuviera n + 1 valores propios diferentes, entonces los respectivos n + 1 vectores~ propios serían linealmente independientes, por el teorema anterior, pero esto contradeciría el hecho de que la dim V

tiene dimensión k(k< n) y .. '" - , · · ·, vk} (si es del caso

n, luego T tiene a lo más n valores propios diferentes.

Definición 2 Una matriz cuadrada AnX n se dice que es similar a una matriz Bnx, si existe una matriz P no singular (invertible) tal que

es linealmente indepen-

• . ,. , v k+i} es linealmente

=

A = P- 1BP

Teorema 5 Si una matriz A es similar a B, entonces B es similar a A.

_ = -. on algún a¡ 1 O.

Demostración: gún a; :f:- O, lo que nos indicatradiciendo el hecho de onsigu iente a

k+i :f:-

OY

Como A es similar a B existe una matriz no singular P tal que A= p-'BP

~

PA = BP

~

PAP-' = B. Si hacemos p-t = Q, entonces P = Q- 1, por tanto B = Q- 1AQ, lo que implica que B es similar a A.

es

De acuerdo con este teorema podemos hablar de matrices similares.

=

Teorema 6

Si A y B son matrices similares, entonces, det A = det B

tiplicada por lk+l , tenemos: = O. Como cada (A¡

- Ak+!)

-_:indicaría que { v1 , v 2 , · · ·, vk }

Demostración: Como A es similar a B, A = p-LBP, entonces det A= det (P- 1BP) = det(P- 1). det B. det(P) = det(P- 1). det(P). det B = det(p- 1.P). det B = det(l). det B = det B

166

Capítulo 7 Transformaciones lineales

Vectores y valores

Teorema 7 Si A y B son matrices similares, ellas tienen el mismo polinomio característico y en consecuencia los mismos valores propios.

Demostración:

T(v1 )= /c 1v1 = /c 1v1 T(v 2 )= /c 2 v2 = Ov 1 -

Demostración:

--_

Sean p A (le) y p B (~e) los polinomios característicos de A y B respectivamente. Como A es similar a B, existe una matriz no singular P tal que A= p- 1BP, por tanto, pA(A) = det(A- /el)= det(p- 1BP- /el)= det(p- 1BP- p- 1P/cl) = det(p- 1BP- p- 1/ciP)

=

det(P- 1(B - /ci)P) = det P- 1 • det(B - Al). det P = dét(B - /el). det P- 1 • det P

=

luego la matriz aso _

det(B- Al). det(p- 1.P) = det(B- Al) . det 1 = det(B- Al)= p 8 (A)

La recíproca del teorema anterior es falsa, ya que si A = [

~ ~) y B = 1

=[

~ ~) y

entonces p}A) = PiA) =(A- 1)2, pero A y B no son similares pues p- 1BP = P- 11P = I y por tanto es imposible que p- 1BP sea igual a A.

l"eorema 9 Sea T : asociada a T respeL.

Por el Teorema 1 de la página 157 podemos afirmar que si T : V --7 V una transformación lineal y A es la matriz asociada a T respecto a una base B 1, y B la matriz asociada a T respecto a otra base B2, entonces las matrices A y B son similares. Definición 3

Una transformación lineal T : V

--7

V se dice que es diagonalizable

si existe una base B = { v 1 , v 2 , · · · , v n} tal que la matriz asociada a T respecto a esta

Demostración:

base es una matriz diagonal. v1 =lv 1 +Ov2 +· ·· -
Sea T : V

--7

V una transformación lineal y B = { v1, v2 , · • • , v n} una

base de V, que consta de vectores propios de T, con valores propios \A2, • • • , A. respectivamente. Entonces la matriz asociada a T con respecto a esta base es la

v2 = Ov 1 + lv 2 + · · ·-

v n = Ov 1 + Ov 2 + · · · -

matriz diagonal 1

por tanto X 1 =

o

. X- =

o)

o o

v1, v 2 , . .. , vn respect

-

Transformaciones lineales

- mo polinomio carac-

167

Vectores y valores propios Demostración:

T(v1 ) = A. 1v1 = A. 1v1 + Ov 2 + ·· · + Ovn T(v 2 )= A. 2v2 = Ov1 + A. 2v2 +···+Ovn

ctivamente. Como A

et(p- 1BP- p- 1/...JP) =

luego la matriz asociada a T respecto a la base B = { v1, v2 , .•• , vn } es

y B=I

=(~ ~)y

_ es p- 1BP = p- 1JP = 1

-

-

\

T

o o Sea T : V ----7 V una transformación lineal con dim V asociada a T respecto a alguna base

Teorema 9

=

n. Si la matriz

o o o o "-2 o o

A¡

una transformaciór: B = { v1, v2 , ... , v n} es

o o

entonces esta base está formada por n vectores propios. "-n

que es diagonalizable

1-~..~::..~...o.-ru

a T respecto a esta

Demostración:

V¡ = 1V¡ + Ov2 + ... + Ov n v2 = Ov¡ + 1v2 + ... + Ov n

B = { v1 , v2 , · · ·, vn} una p ropios /..), 2, • • • , 'A . a esta base es la

~,..,,- ro

vn = Ov 1 + Ov 2 + · · · + 1vn

o

1

por tanto X 1 =

o o

,X2=

'···,Xn =

o

o o

son los vectores de coordenadas de

o

v1, v2 , ... , v n respecto a la base B = { v1, v 2 , . .. , v n }.

168

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Vectores

A¡ Como el vector de coordenadas de T(v 1) es M 7 X 1 =

P11 (A-)

o

, entonces T(v)

=

P21

B = P12 (A-)

\v 1,

P 22 '-

o análogamente tenemos que el vector de coordenadas de T (v2) es

B=BoA-n-1 + B,I.n-:no dependen de A.

o M7 X 2 =

A-2

Recordemos que i _ , entonces T(v 2 )= A- 2 v2

o

lo cual aplicado a r:

y el de T(v11 ) es M 7 X 11 =

o o

, por tanto T(v11 )= A11 V 11 •

det(A - Al) 1 = (e ·_

Lo ·que nos indica que {v1, v2 , ... , v n} son los vectores propios correspondientes a lo_ valores propios A- 1 , A- 2 , · · · , A11 (Cayley-Hamilton). Sea A una matriz cuadrada de tamaño n x n p(A.) su polinomio característico, entonces, Teorema 10

_1

1

en"-

n¡ +cn-l "-1 n-1¡ -

·

-

p(A) =O Demostración:

Seap(A-) = det(A- A-1) =c 11 A11 + C11 _¡A11 -l + · ·· + c 1A- + c 0 el polinomio característico de la matriz A, B la adjunta de la matriz (A - Al) a 11 -A,

a ,2

aln

a2i

a22 - A.

a2n

an2

ann - A.

=

, por tanto B =

B0 A- B 1 = c 11 _ 11 C¡¡

c21

en!

cl2

c22

cn2

B1A- B 11 _ 2 , la matriz de Bn-2A -

an!

c ,n

c2n

= c 11 _ 2 1

cnm

Bn- 1

=

c,I

B 11 _ 1A = c 0 I

los cofactores en forma transpuesta. Multiplicando la prim _ Cada CiJ es un polinomio en A, de grado a lo más n- 1, que se denotará por piJ('J...), luego

A 11- 2 , etc., la penúltima-

-

Transformaciones lineales

169

Vectores y valores propios

P11(/t.)

P21(/t.)

B = P12 (A-)

P22 (A-)

que se puede escribir como, P1n (/..)

P2n (/..)

Pnn (/..)

B=BoA-n-1 +B 1A,n- 2 +···+Bn_ 2A,n +Bn_1 , donde las matrices B 0, B 1, no dependen de A.

- es

... ,

Bn _ 2, Bn_ 1

Recordemos que si X es una matriz cuadrada se tiene:

(adj X) X

=

det(X)I

lo cual aplicado a nuestro caso con X = (A - Al) se tiene : ( BoA-n-1 + B1/t.n-2 + ... + Bn-2/t., + Bn-1) (A - U) = det(A- U) 1 = ( CnAn + cn- 1/t.,n-1 + ... + C1A + co) 1 ~

~ ~ 0-

correspondientes a los

ada de tamaño n

X

ny

· omio característico de la

- B 0 = cnl

B 0 A - B 1 = cn_ 11 B 1A - Bn_ 2 = cn_ 2 1 , la matriz de

cnm _ ~:::¡:denotará por p;/'A), luego.

Bn_ 2 A - Bn_ 1 = c 11

Bn_1A = c 0 1 Multiplicando la primera de estas ecuaciones por An, la segunda por An- 1, la tercera por An-2 , etc., la penúltima por A, y la última por 1 tenemos:

170

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Vectores

nos conduce a:

B OAn - B1An- 1An-1 - Cn- 1 B A n-1 - B 1

n- 2

A n-2 = e

n-2

A n-2

Este método de ca~ ~ tador para calcular __ .___.,..

EJERCICIOS

o= e nA n +en_¡ A n-! + c n-2 A n- 2 + ... + C¡A + Col.

Sumando estas ecuaciones tenemos: de donde tenemos:

Hallar el polinomi _ correspondiente. l.

p(A) =O

Con la ayuda del Teorema de Cayley-Hamilton se puede obtener la inversa de una matriz A.

2.

p(A) = 0=> e nA

n

Cn A

n

+en- ! +en-!

An- 1

A n-1

+cn- 2 +cn- 2

A( en A n-1 +cn- 1An- 2

A n-2

+···+C¡ A + Co 1 = O =:>

A n- 2

+ ·· ·+C¡ A = -Co 1 =:>

+cn-2

A n-3

+ ···+C¡

1) = 1=:>

- co A-l = cn A

n- 1

+en-!

3.

.f.

An- 2

+cn-2

A n-3

+···+e¡

1

- co Ejemplo:

Calcular con la ayuda del Teorema de Cayley-Hamilton la inversa de

3

4 1

A=[~ -~ ~) n-1

oo

oo2 1 ooo2

El polinomio característico es p(A) A-1 = en A

ooo

= A3

An-2 An-3 + cn-1 +cn-2

- co

-

6 A2 + 13 A - 1O, por tanto

+ ···+e¡

I

6.

Demostrar que Demostrar que " Demostrar que _-__ de la matriz A-1

-

Transformaciones lineal es

1 71

'ectores y valores propios

nos conduce a:

A _1 = lA 2 - 6A 1 + 131 = 2_ [ 10 10

.

9 3

-2

Este método de calcular la inversa de una matriz es muy útil si se dispone de un computador para calcular fácilmente las potencias de A.

EJERCICIOS - c~ _ 2

~

A n-2 +···+c 1A + c0

Hallar el polinomio característico, los valores propios y una base para el espacio propio ·orrespondiente. "-

obtener la inversa de una

2.

- 1=0=>

3.

2-2]

o

1 - 1

2

[1 ~ 2 -l.

2 2 [

_ -Ham ilton la inversa de

5.

3

1 41]

3

-1 -1 - 2

3 4

ooo 1 oo

oo2

1

ooo2 - O. por tanto

6.

Demostrar que las matrices A y A' tienen los mismos valores característicos

7.

Demostrar que los valores característicos de una matriz ortogonal son ±l.

8.

Demostrar que si A es un valor propio de la matriz A, entonces A,- 1 es un valor propio de la matriz A - 1

172

9.

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Vectores

Conociendo los valores propios de la matriz A, hallar los valores propios de la matriz A2

10. Utilizando el Teorema de Cayley-Hamilton calcular la inversa de

Por tanto tenemo::

¡- ~ -~ ll

~]

1- 1

11. Utilizando el Teorema de Cayley-Hamilton calcular la inversa de

Por otro lado, con:

Teorema 11 Si A es una matriz real y simétrica (A'= A), sus valores propios sor.

reales . . Demostración:

por ende tenemo X¡

Si X =

x2

*O

es un vector propio correspondiente al valor propio A, se tiene: ComoX'AX

AX=AX AX =AX AX=A.X AX = A.X pues A es una matriz real y por tanto

A = A , entonces

De (* *) y (*) se

X'(AX) = X'(XX) =

x¡ X'(X'X)= X'(x 1 , x 2 ,

... ,

xn)

X'2 n

Como

I

i=l

/x¡/

2

>e=

-

Transformaciones lineales

Vectores y valores propios

: yalores propios de la matriz Yersa de

173

_ n

_ n

7

"-L>;Xi = A.~]xJ ya que z2 = 1zl 2 i=l

i=l

Por tanto tenemos: n

X'(AX) = ?:::II X¡ 12

(*)

i= l

Por otro lado, como inversa de

AX = A.X , entonces X' (AX) = X' (A.X) X¡

= A.X'X = A.(:X t, :X2, ... , :X n) = A 1. sus valores propios so n

=

"-Lx;x¡ i=l

por ende tenemos X'(AX)

(* *)

or propio A, se tiene: Como X'AX es de tamaño 1 x 1, es simétrica, luego.

(X'AX) = X'AX X'A'X = X'AX X'AX = X'AX pues A es simétrica. ~

= A , entonces

De (* *) y (*) se sigue que: n

n

2

2 AIlx;l =1. I lx;l , entonces, i=l

i=l n

(A.- D

L lx¡ l2 =O i=l

n

Como

L lx¡l 2 >O ~(A. - ?:::) = O~ A = ?:::~ A es real. i=l

174

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Vectores

Teorema 12 Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes

Demostración:

de una matriz simétrica A son ortogonales.

Por inducción sobre

Demostración: Sean A,>" A.z dos valores propios diferentes y Y, Z vectores propios correspondientes a A.y y A.z respectivamente. Probemos que

Sin=1 ,A = (a n ).E es diagonal y pode:::;

(n- 1) x (n- 1).

Yl_Z (1)

AY = A-yY

Sea \ un valor pr

(2)

AZ = A- 2 Z

unitario correspon ·

Y!

(1)

(2)

Z'AY = A-y(Z'Y)= A-y(z 1, z 2 , ... , z 11 ) Y2

Y'AZ= "-z(Y'Z)= A-(y¡, Y2, ... , Yn)

= A-y(Z· Y)

Yn

Sea B = {X 1, v 2 . .. Schmidt se puede ccc;Jsc_;::.JE!

Z¡

Sea P 1 la matriz d matriz cuyas col

z2

= "-z(Y · Z)

Por el teorema 2 e

1a columna de P ;. 1

(Z'AY) = Y'A'Z = Y'AZ=> Z' AY = Y'AZ pues Z' AY es de tamaño 1 x 1 y por tanto es simétrica. Entonces, =

Como ( A. y- A.z) =t Odebido a que

Ay

=

=t A.z se concluye que Y· Z = O

y por consiguiente,

Yl_Z

Teorema 13 Sea Anxn una matriz real simétrica. Entonces existe una matriz ortogonal P(r- 1 = P') tal que P'AP

=

D

es diagonal, con los valores propios de A como elementos de la diagonal.

Como (P¡'AP1)'

=

P-A

PiAP1 es (A-1 , O, ....

-

Transformaciones lineales

ores propios diferentes

Vectores y valores propios

175

Demostración: Por inducción sobre n. Sin= 1, A= (a 11 ) . El valor propio de A es a 11 y se verifica el teorema pues A = (a 1¡) ya es diagonal y podemos tomar P = (1 ), la matriz formada por el número l.

"'·os correspondientes a Ay

Supongamos el teorema verdadero para matrices de tamaño

(n- 1) x (n- 1). Sea A1 un valor propio de A, que es real por el teorema anterior y sea X1 un vector propio unitario correspondiente al valor propio \, esto es, \

z Sea B = {X1 , v 2 , · · · , vn} una base de lil". Por el método de ortogonalización de GramSchmidt se puede conseguir a partir de esta base una base B 1 = {u 1 , u 2 , . . . ,un} ortonormal. Sea P 1 la matriz de cambio de base, de la base B 1 a la base canónica; es decir P 1 es la matriz cuyas columnas son los vectores u 1, u 2 ,. ··,un· Por el teorema 2 de la página 15 8 la matriz P 1 es ortogonal.

z

1ª columna de

P{AP 1 = (P{A) Oª columna de P 1) = (P{A) X 1 =

P{(AX 1) = P{(A- 1X 1 )

= (A- 1P{)X 1

P¡) = A- 1 [ P; Oª columna de P¡)] = A, 1 [1 ª columna de P{ P]

= (A- 1P{) (1ª columna de

=

:::, :onces existe una matri.:

e

1

[1ª columna de 1] =

o Como (P{ AP1)' = P{ N p1 = P{AP (pues A es simétrica) se concluye que la primera fila de

de la diagonal.

P{AP1 es (A-1 , O, · · · , O).

176

Capítulo 7 Transformaciones lineales

Vectores

Tenemos por tanto que

A¡ P{AP1 =

o

o

Q

o A¡

o

es decir, Q Q' = Q Sea P = P 1Q, ento

donde A 1 es de tamaño (n- 1) (n- 1), además real y simétrica, pues P{AP1 lo es. El polinomio característico de P{AP1 es (A-\). (Polinomio característico de A 1), luego los valores propios de A 1 son valores propios de P{ AP1y por tanto de A, ya que P{ AP1 y A son similares. Véase Teorema 7 de la página 166. Supongamos que los valores propios propios de A 1 son A2, 'A3 ,

..•

A¡ Q'

Por hipótesis de inducción existe una matriz ortogonal Q 1 tal que

o

o

=

A¡

o

, \ que son reales pues

A 1 es simétrica.

o

~

l-;

o

1

Q;A1Q 1 =D 1

1

es diagonal con los valores propios de A 1 como elementos de la diagonal, es decir,

o o

o 1

o

o

o

o o

o Corolario.

SeaQ=

~,

~~

0

0

entoncesQ'=

:

,

Q¡

QQ' =

o

o

o Q¡Q;

o

1 =

o

= In In-1

o

Demostración:

P'AP = D =

o

o

y

Sabemos que existe -

o

1

base ortonormal de -

A¡

O

o

1.-

o

o

entonces AP = PD p Sean X 1, X 2, ···,~ las_.,___.,........,

-

Transformaciones lineal~

177

Vectores y valores propios

1

o

o

o

Q'Q=

~-::ica,

pues P[ AP1 lo es.

;:aracterístico de A 1), lueg - - to de A, ya que P{ AP1 y A

-

o

Q¡Q¡

=In In-1

o

I , luego Q es ortogonal.

=

Sea P = P 1Q, entonces P es ortogonal ya que P 1 y Q lo son, además se tiene: P{AP1 = (Q'P{)A(P1Q)=Q'(P{AP1 )Q=

A¡ Q'

o

o

o

Q=

A¡

\

o

_ · ... .,A que son reales pue5 -

o

o

o es decir, Q Q' = Q' Q

1

n

r.

o ... o

A¡

o A¡

1

.::e :a diagonal, es decir,

o

o

o

o

(1 o o

l~

r. 1

o

o A2

o o

o o

An

A¡

Q¡A¡Q¡

Las columnas de P son vectores propios de A y por tanto forman una base ortonormal de JRn.

Corolario.

o y

Demostración:

Sabemos que existe una matriz ortogonal P tal que

A¡ P'AP=D=

o =In

o

o

o A2 o o

entonces AP = PD pues p-I = P' Sean X 1, X 2, ···,~las coh,trnnas de P, entonces

178

Capítulo 7 Transformaciones lineal

AP = (AX 1, AX2, ..., AXn) PD

=

Vectores y valores p·

Es de anotar que : :. A2 = 3, lo cual era .:._

(A 1X 1, A2X2, .. ., A0 ~)

Escojamos ahora y de esto se concluye que cernas los vectores AX 1 =A 1X 1

AX2 = A2X2

es decir las columnas de P (son ortonormales pues Pes ortogonal, véase Teorema 3 de página 158 son vectores propios de A por tanto forman una base ortonormal de JRn.

Ejemplo: Si A = (

p(A )=det(A -

~ ~) hallar una matriz ortogonal P tal que P' AP = D

Al)=

1

2- A

1

1

2-'A

1

=

'A

2

-

Además P' AP =

-

Ejemplo: Si A =

-

4'A + 3 = ('A - 1) ('A - 3)

Por tanto los valores propios son A1 = 1 y A2 = 3 Hallemos los vectores propios correspondientes al valor propio A= 1, para esto debemos hallar el núcleo de (A - 1), es decir, hallar X tal que

(A - I)X=O=>G conduce a (

~)

(;J

=

(~)

p('A) = det (A - ·.

que al resolver por el método de Gauss, no:

~ ~ ~) , luego la solución es ( ;~)

=

a (_

~) y por consiguiente una has"

Por consiguiente •~ _

para el núcleo es{(_:)}.

(A - 41) X=O = De manera similar se tiene para A,

~ 2 que una base para el núcleo es {(:)}

-~----

~-- ~

--

-~~- ~~~

-

Transformaciones lineales

179

Vectores y valores propios

Es de anotar que los vectores propios correspondientes a A1 = 1 son ortogonales a los de A2 = 3, lo cual era de esperar por el teorema 12. Escojamos ahora una base ortonormal formada por vectores propios, para esto normalicemos los vectores X 1 = [ _

~)

y

- =anal, véase Teorema 3 de la e ortonormal de JRn.

X2 =[

P =[ _

~)

y de esta manera conseguimos

f fJ F2F2

Además P'AP = [

f -~~ [2 1)[ ~ ~] 1

12

F2

F2

1

1

=

[1 o) 03

- F2 F2

~ ~ 2 2]

Ejemplo: s; A [

O 2 , hallar una matriz ortogonal P tal que P' AP

2 ~

o A. = 1, para esto debemo:

p(A) =det(A - AI) =

o

- A

2

2

- A

2

2 3

2 =-A +12A+16 = (4-A)(A + 2)

2 -A

Por consiguiente los valores propios son A1 = 4 y A2 = 2 y por consiguiente una bas

Hallemos los vectores propios correspondientes al valor propio A = 4

- 4

(A-41) X = O=

· núcleo es{(:)}

[

~

2

=

D

180

· Capítulo 7 Transformaciones lineales

Por consiguiente y uw base es B 1 = {[:]}

Y una base para los vectores propios correspondientes al valor 'A = -2 es

Por el teorema 12 sabemos que los vectores de B 1 son ortogonales con los de B 0. Pero los vectores de B 1 no son ortogonales entre sí; por tanto debemos ortogonalizar esta base por el método de ortogorialización de Gram-Schmidt, para esto sea,

Además

P'AP

SeaY1 = X 1

{~J

=

,portanto

EJERCICIO Dada las siguien-""'dientes a valores que P' AP = D -=-

l.

A=(; ~~

- Transformaciones lineales

181

Vectores y valores propios

Por consiguiente una base ortonormal para ~ 3 es

orA, = -2 es

- gonales con los de B0 . Pero os ortogonalizar esta ba¡e _so sea,

1

F6

1

-fi o

6

F6

-J3

1

F6

-fi

6

1

-J3

3

1

-J3

Además

1

o

-fi P'AP =

F6 F6

1

1

-fi

-fi

F6

6 1

3 1

6 1

-J3

-J3

-J3

F6

1

6 -J3 1 F6 o 3 -J3 1 F6 1 6 -fi -J3

EJERCICIOS Dada las siguientes matrices simétricas comprobar que los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son ortogonales y hallar una matriz ortogonal P tal que P' AP = D sea diagonal

l.

A=G ~)

2. A=(86 136)

182

Capítulo 7 Transformaciones lineales

Recordemos breverr.~ en su forma estánda:

4.

5.

6.

A=[~ ~ ~] A=H ~: -:] A=[ : : - ~] - 2 2

8

Completando cuadrE2

(x - 2) +(y - 3) -= ~ (x-2) 2

4 7.

(y - 3)-+ = 9

Demostrar que si B ={ v 1 , v 2 , ... , v n} una base ortonormal de V y P"x" es una matriz ortogonal, entonces la nueva base B 1 ={ u 1 , u 2 , ••• , un } dada por:

el cual nuestra ec forma estándar y

es una base ortonormal.

-

183

Transformaciones lineales FORMAS CUADRÁTICAS

Recordemos brevemente que las gráficas de las cónicas son fáciles de trazar si ellas están en su forma estándar o canónica, esto es,

x 2 + y 2 = r 2 Circunferencia y

= ax2' o, 2

x2

= by2

2

X 2 +y= 1 E 1'1pse. a b2

Si (a 2 > b2 ) , tiene los focos en el eje X Si (a 2 < b2) , tiene los focos en el eje Y 2

2

.;- -

a

~ = 1 Hipérbola con focos b

2

en el eje X

2

~ - .;- = 1 Hipérbola con focos en el eje Y b

a

Ejemplo:

Identificar la cónica x2 - 6y - 4x + y 2 - 23

=

O

Completando cuadrados tenemos: (x2 - 4x + 4) + (y2 - 6y +9)- 4-9-23 =O

(x - 2) 2 +(y -3) 2 = 36 2

2

(X- 2) + (y - 3) = l 4 9 Y si trasladamos los ejes al punto (2, 3), tenemos un nuevo sistema de coordenadas x'y' en

t-==~~ de V y P nxn es una matriz

2

2

el cual nuestra ecuación anterior se convierte en: (x') + (y') = 1, que se encuentra en su

dada por:

4

9

forma estándar y por tanto es muy fácil identificarla; es una elipse con focos en el eje Y'. FORMAS CUADRÁTICAS Y TRANSFORMACIONES LINEALES

y

P= (x, y) = (x', y')

Y'

~

. '. ~

:

~

X'

:·

, a.·

:\·'

.... . 8

~~-L------------~X

o

--------

---------'1-

---

184

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Formas cuadráUcas

y de aquí concluim -

ROTACIÓN DE EJES

Si uno rota el sistema cartesiano XY un ángulo e se obtiene un nuevo sistema cartesiano X'Y'. Luego un punto P tiene ahora doble sistema de coordenadas, las coordenadas (x, y) respecto al sistema XY y las coordenadas (x', y') respecto al sistema X'Y'.

Veamos cómo están relacionadas estas coordenadas. S1"hacemos r

x'

=-

cos a

r

--7 = OP,

:::::;>

sen e

x' = r cos a Ejemplo: Rotar términos cruzado

r

X

COS (a + e) = r X

cose

tenemos:

= l.' :::::;> y' = r sen a

sen a

La matriz (

:::::;> X=

r COS (a+ e) = r COS a COS e - r sen a sen e =

COS e -y' Sen e

sen (a + e) =

l. r

:::::;>

y = r sen (a+ e) = r cos a sen e + r sen a cos e

X = X

1

COS e - )"' =~

y=

1

Sen e + )"'

X

8(x'cose- y'se""'- -_ Por tanto

X =

x' cos e - y' sen e

y

x' sen e +y' sen e

=

5(x' sen e + y' co:

=

=--

4(cos e sen e )Cl

4(sen e)x'y' + ... ~ 2

que se puede escribir como

x) = (cose - sen e) (y sen e cose

(x)y

luego para que no · _ _ igual a cero, por -~-

- 3(2cose sen8 -y despejando(::) tenemos:

- 3 sen 2 e - 4 co-.::-:- =

(x) (x) ( = (

y'

y' -

cos e - sen e sene cose

cose -sen e

)-t(x)

- 3 sen 2 e = 4 CO

~

H

-

y 4 tan2e = - 3

sen e) (x) cose y

De aquí concluimos ~ fórmulas cos 2 e

= =- -

-

-

Transformaciones lineales

185

Formas cuadráticas

y de aquí concluimos que

x' nuevo sistema cartesiano las coordenadas (x, y -istema X'Y'.

llil

=

x' cos e + y' sen e

y'= -x'sen e+ y' cose

cos e - sen e ) La matriz ( es conocida como la matriz de rotación. sen e cose

Ejemplo: Rotar los ejes de modo que la ecuación 8x2 - 4.xy + 5y2 = 36 no tenga términos cruzados .xy y de esta manera identifique la cónica respectiva. -

:"' . a sen e

=

Aplicando la anterior tenemos: X= X

-

:~ - a cose

1

COSe- y' sen 8

y = x' sen e +y' cose 8(x' cose - y' sen e) 2 - 4(x' cose -y' sen e) (x' sen e +y' cose)+ 2

5(x' sen e +y' cos e) = 36 => 4( cose sen e)(y') 2 - 4(cos 8 sen e)(x') 2 - 6 (cose sen e)x'y'- 4( cos 2 e) x'y' + 2

2

2

2

4(sen 2 e) x'y' + 8(cos 2 e)(x') + 5(cos 2 e) (y') + 5 (sen 2 e )(x') + 8(sen 2 e) (y') = 36 luego para que no tenga términos cruzados- 6cos e sen e - 4cos 2 e+ 4sen 2 8 debe ser igual a cero, por tanto, 2

- 6cos8sene -4cos 2 e +4sen 8 = 0=> - 3(2cos e sen e)- 4(cos 2 e - sen 2 e)= o=> - 3 sen 2 e - 4 cos 2 e = o => - 3sen2e = 4cos2e =O=>

4 tan2e = - 3

3 De aquí concluimos que 2 e está en el segundo cuadrante, cos 2 e = - - y utilizando las 5 fórmulascos2e = 2cos 2 e - l,y cos2e = 1 - 2sen2 e tenemos:

186

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Formas cuadrátiGS

Si hacemos a, =-

1

1

2

1

x =- x --y=

X

J51 J5

1 -

2y

1

J5

y teniendo en -~ 2 Q= a 11 x 1

y sustituyendo en la ecuación original 8x2 - 4.xy + 5y2 = 36, tenemos: 8 2 4 2 -(x'- 2y')- - (x' - 2y') (2x'- 2y') +(2x' +y') = 36 =::> 5 5

4(x') 2 + 9(y') 2 .::f 36 =::> (x')z (y')2 --+--=1

9

4

que es una elipse con focos en el eje X

1

Definición 1 Una forma cuadrática Q en n variable x 1, x 2, . .. , xn es una expresión de la forma

n

n

Ejemplo:

Q= ~ -

Puede escribirse

~

Q= LLc!ixixJ i=l j=l es decir; Q

=

L~=l clJx 1x J + L~=l c21 x2x J + L~=I c31 x3x J + · · · + L~=I cnJxnx J = C¡¡X¡X¡ +c 12 x 1x 2 + ···+C¡nX!Xn +

Ejemplo: Q = .=x.:. --

c2lx2xl + c22x2x2 + ... + c2nx2xn +

C¡¡X¡ +(c 12 +c 21 )x 1x 2 +· · ·+(c 1n +cn 1)X¡Xn +

C22xi + ( C23 + C32) X2X3 + · · · + (c2n + cn2)x2xn + Es de anotar que se convierte en:

-

Transformaciones lineales

Formas cuadráticas

Si hacemos aiJ

187

= t (ciJ +e1¡), es decir A = t (C + C') tenemos:

a¡¡

= e¡¡ y aiJ =

aJi y la

forma cuadrática nos queda:

Q = a 11 x 12 + 2a 12 x 1x 2 + · · · + 2 a 111 X¡X 11 + a 22 x 22 + 2a 23 x 2 x 3 + ··· + 2a 211 x 2x 11 + ·· · + a 1111 X112 y teniendo en cuenta que x¡xi =X_¡X¡ podemos escribir:

+

Q=

que eri forma matricial nos queda:

Q=(x 1,x 2 , ... ,xJ

a ¡¡

a12

a21

a22

Ejemplo:

X¡

a2n

X2 , o sea, Q = X' AX, donde A es simétrica.

.. an!

. .r:· ···, X11 es una expresión de

aln

an2

ann

Q = 5x~ + 2x 1x 2 + 6xi

Puede escribirse como

Q = (x 1,x 2 ,x 3 ,xJ

5

2

4

X¡

2

1 5 6

x2

3

5

2

7

x3

4

6

7

3

Xn

3

Es de anotar que si la matriz A en Q = X'AX es diagonal, entonces, la forma cuadrática se convierte en:

188

Capítulo 7

a 11

O Q = ( x 1 ,x 2 , ••• ,xn ) :

o

O

0

X¡

a22

O

X2

Transformaciones lineales

Formas cuadrá ticcs

pero por otro lad 2

2

2

= a 11 x 1 +a 22 x 2 +· .. +annxn

( cose -sen e

o P'

lo que nos indica que no contiene términos en x¡xl' i 7:- j. Como A es simétrica sabemos por el teorema 13 de la sección anterior que existe una matriz ortogonal P tal que

P' AP = D es diagonal.

sen

e

cos e

( cose -sen e

ser:.:: e os

P (cose -se • . . , sen e cosO sea que Pes

De aquí se sigue que A= PDP'

Defi11ición 2 la forma

y como

Q = X' AX tenemos: Q = X'(PDP' )X

La ecuación am

x{ ( X'P) D ( P'X). Haciendo P 'X = Y =

x2

tenemos

Ejemplo: 5y2 = 36 =

Y'DY

Tenemos Q = 8.:r:: - -

[A, = (x¡,x;,. ·,x;)

~

o

"-2 o

oln r, ~;

Q=(- 28 -2 ) 5 p(A.) = det(A- i.: Por consiguiente • :: puede escribirse o-

Todo lo anterior nos indica que si hacemos el cambio de coordenadas P'X = Y la formz. cuadrática Q no contendrá términos cruzados x;xj, lo cual nos permite fácilmente identificar la forma cuadrática.

Q = 4(x') 2 + 9( y'::

Como P'X =Y tenemos que:

Luego 4(x')2

Q = A-1 (x') 2 +A.

+ 9( ,:: = -

Si queremos saber ;: cruzados, necesi

ormaciones lineales

189

Formas cuadráticas

pero por otro lado sabemos (veáse página 184) que: cose ( -sen e

sen e ) cose

cose

P' ( - sen e ~•erior

que existe

Ull2.

(x) (x)

y = y ' =>

sen e)=> cose

p ( cos e -sen e )

sen e

cose

O sea que P es la matriz de rotación.

Definición 2

Una ecuación cuadrática en dos variables x y es una ecuación de

la forma ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = O

La ecuación anterior puede escribirse en la forma 1

X¡

=Y =x2

tenemos Ejemplo: 5y2 = 36

Identificar en el plano xy, la figura definida por la ecuación 8x2

-

4xy +

Tenemos Q = 8x2 - 4xy + 5y2, entonces,

x, X~] X~

Q=(- ~ - ~) p(A.) = det(A - A-1) =

8 1

-2¡

=(A. -4)(A. - 9) - A -2 5-A.

Por consiguiente los valores propios son A- 1 = 4, ~ = 9, y por tanto la forma cuadrática puede escribirse como:

Q = A-1 (x')l + A- 2 (y') 2, que para nuestro caso es: Q = 4(x') 2 + 9(y')1

= 36 ~ ( x')l + (y') = 1 y por tanto la figura es una elipse. 2

Luego 4(x')1 + 9(y')1

9

4

Si queremos saber el ángulo de rotación que se ha hecho para que no haya términos cruzados, necesitamos saber la matriz P, para lo cual requerimos de los vectores propios.

190

Capítulo 7

Transformaciones lineales

Una base para los vectores propios correspondientes al valor A valor propio A= 4 es {-

=

4 es {

~}

Formas cuadrátiC2S

(x

y para el

~}. (x'

Normalizando estos vectores tenemos:

cose -sene ) 1 y como esta es la matriz de rotación ( concluimos que cose = ¡;: ; sen e cos e v5 ---2 sen e = J5 y tan e = 2 y nos permite concluir que para que no haya términos cruzados

~ X

-

en la ecuación 8x2 - 4.ry + 5y2 = 36 debemos rotar los ejes un ángulo de 8 = arctan 2 Véase ejemplo de la página 183, sección formas cuadráticas. - .r

Ejemplo: Identificar en el plano xy, la figura definida por la ecuación X

.f

X

-

El término xy se elimina de la misma forma que en el ejemplo anterior, mediante el uso de la matriz de rotación,

P=(4J5 como P'X = Y = .'

x' y'

~

2

X

= PY ~ 2

x y

y nuestra ecuac10n 8x + 4 xy + 5y -

= P

(x' .::

x'

y si trasladamos lo:

y'

72 36 J5 x + J5 y = 36

~- ~

se convierte en,

~1

--~~

-

---

---

---

-

-

------~~---

-

Transformaciones lineales

r i.

=

4 es {

~}

191

Formas cuadráticas

y para el

luimos que cose =

+9(y') +(-E, ~) (Js J5 J5 2

1

JS: 4(x')

2

2

J5 ángulo de e

=

arctan 2 2

2

4(.x') + 9(y') + (o' 36) (;:) == 36

2

4(x') 2 + 9(y') + 36y' == 36 2

2

4((x') + 2x') +9((y') + 4y') == 36

X) == 3 r

2

2

4((x') + 2x' + 1) + 9((y') + 4y' + 4) == 36 + 36 == 72 2

2

4(x') + 9(y' + 2) == 72 (x')2

(y'+ 2)2

18

8

-- +

== 1

y si trasladamos los ejes al punto (0, -2) tenemos un nuevo sistema de coordenadas xn_yn

(X ")2 (y")2 ' . ., . . y esta ultima ecuac10n se conv1erte en - - + - - == 1 que es una ehpse. :~conv ierte

en,

18

8

192

Capítulo 7

Transformaciones lineales

EJERCICIOS En cada uno de los siguientes ejercicios identificar en el plano xy la figura definida por la ecuación:

l.

2x2 + 3xy - 2y2

2.

x2

+ 2xy + y 2 - 8x + 8y = O

3.

xy

=

4.

17x2 - 12xy + 8y2

5.

x 2 + xy + y 2 - 3y- 6 = O

6.

3x2 - 2xy + 3y2 - 2x - 1Oy + 9 = O

7.

16x2 - 24xy + 9y2 -60x- 80y + 100 = O

=

25

8 =

80

Respuestas a -

')

l.

(22 28

.)

3G

3.

( - 54 L.: - 56 l1 c:

-

5.

( 45 53 - 6 -

-

7.

( 40 - 1 -- 8

9.

38

11. X: -

~-~=-=--

-

-

-

-=----=-=----""-

~-

-

Transformaciones lineales

--=-

la figura definida por la

Respuestas a los ejercicios Respuestas a los ejercicios de la página 11

l.

-51 -3

51 5

-1 - 21] 52 13

(22 38 -54) 28 30 -34

2.

3.

(-5412282-2) -56 118 69 2

4.

36 14 - 68 -68) ( 37 - 31 -29 14

5.

(45 7. - 87 -64) 53 -6 -90 -49

6.

81 21 -1 55-132) ( 90-37 -1 19 -35

7.

( 40 - 100 - 64 16) - 8 54 97 -6

8.

-18 -28 30 76) ( - 5 81 -93 -140

9.

38

[

13 - 11 -26 - 27

5

o 1o

2

10.

9

5x + 8x + 4x 3 ] - 3x 1 + 8x 2 - 9x 3 1

11. [

o -15

20

-6

8

-3

4

o -27

36

2

7x 1 + 5x 2

a 11 X 1 +

12.

[

a2,x, + a3Ixi +

G 12 X 2 a22X2 a32x2

+ + +

G 13 X 3 ] a23X3 a33X3

194

Respuestas a los ejercicios

13.

¡-8-3) -1 23

14.

[! ~l

15.

[~ ~l

16.

[~ ~ ~~

18.

[~ l~l

19.

[~ ~l

20.

[ZA'

-~A +2

25.

26.

2A.

4/c2- 3

3/c + 2

-

2A. 2

(AB)'=

-

]

3/c + 2

2 +25i -12+28i] - 22 + lli

l

6.

- 19 + 20i - 28 + 12i

24b.

A2 = [ cos 28 - sen 28 sen 28 cos 28

~]

o o lj

[

[-~ -:)

[! ;

(

4/c- 3 2

o 24a.

Respuestas a los E::

A3 = [ cos 38 - sen 38 sen 38 cos 38

- 28

l

- [1-3

B=

9- La suma de las filas o columnas es 34.

7.

Respuestas a los ejercicios de la página 20

l.

A' =

2 - 9 -5

5

5

4

4

7

- 5

o

7 - 8

9 - 8 -9

3

- 4 (A+ B)' = -1

1

_

3

-9-5-13 4

5

0 - 7 7 - 10 - 4

.) -

4 - .=.

5 - 1

B'=

*- [:-=-

A -

1- 2

3 - 9

B*

=

8 - 6

2 - .: -

[ .., ) - -.

8

- 1 3 10 5 10 -17

9 - 15 -1 -3

.,....,,.,,

~ ~~----

-

---

-

- - - - - ~~- - - - -

15 - 15

6 (3A)'=

- 27

12

-15

12

(AB)'=

-12 +28iJ - 28+12i

-+ 25i - 19 + 20i - _2 + lli

6.

37

-63

56 102

38)

- ¡

4

82 - 131

7

4-2¡] - ¡

7 + 8i

+ Si -B = [1 -3iO 22+9i 33 -+4i: 7i

7.

- - 1 1 - --1

20

2+6i

19

- 9 - 63

[ 2 -3i 3+2i A = - 3 - 4i 2 - Si

9- i

-

9

-28

:os 38

-~

24

21 - 27

-11 - 129

- ~en

o-

27 -73 - 49

o -o

_-......

27

21 - 24

15

'1

195

Respuestas a los ejercicios

Respuestas a los ejercicios

3 + 4i 3 +6i

[2-3i A* = 3 + 2i

-3 - 4i

4 - 2i

- i

2 - Si

2+6~] 7 + 8i

3

[1-3i B* = 2 +Si

3 3 - 9

o

3 +4i 3 - 7i

8 - 6

8.

A + B=

9-iJ

2 + 9i 3 +4i

[-~=:~

3 + 6i

5 + 7i 4+4i

7 + 2i] 3 - 8i

11 +Si 10+4i 10 + 14i

--

·--

--

--~------

- --

-~---

"""""'~-

-

-

-~ -~----

Respuestas a los ejercicios

197

Respuestas a los ejercicios

Respuestas a los ejercicios de la página 44 l.

2.

X1

= -2, x 2 = 1, x 3 = 4,

3.

X1

= 1, x 2 = 3, x3 = 2, x 4 = 4

4.

X¡

= - 2, x 2 = 3, x 3 = 4, x 4 = -1

5.

6.

7.

8.

-

-3+9iJ - 9 +3i o

a) a-7b-5c=O, b) a, b, e arbitrarios

-7

X¡

1

Xz

1

x3 x4

2

X¡

-7

Xz

16

x3 x4

11

X¡

1

1

x2 x3 x4

2

1

+a

o

2 3 -1 20

+a

- 34

-9

o

- 1

3 +a¡

2

+a 2

-1

o

Xs

o o

o

-1

X¡

3

- 3

5

-2

x2 x3 x4

4

- 6

18

-11

o +a¡ o o

- 1 +az

Xs

o o

9.

X1

= 0, x 2 = O

10.

X1

=0, x 2 =O, x3 = O

=-· ... ·- -.. - •2..._-=-~-

o +a2 -1

o o

o

-1

----

198

11.

12.

Respuestas a los ejercicios

[:}{;] 2.

X1

- 1

3.

X1 =

-9 +az - 6 -3 o

4.

X1

= 3, X:=

5.

x1

= --.

6.

X1

= 2, X:

X¡

-10

- 7

Xz

-1

xJ

= a¡

x4

o

Xs

13.

15.

-3

(-~ -~) ~

[ 22 - 17 -31

14.

7 -5 - 10

-:]

16.

l8_ (- 24 - ~) -2

- 6

18

16

1

4

- 6

o

4

18

7

3

-9

-1 1

11

15

- 27

- 25

-

1, X: =

=

- 2.

X_

r_

=

=

=-

Respuestas a los ejercicios de la página 60 l.

a) 13

b) -15

e) 34

2.

a) -60

b) -70

e) 24

54 - 52

10. 3.

a) -8

12.

(a+ 2)(a - 1)

13.

4xyz

14.

azbz

l.

a) Sí

15.

X = 2, x=3

2.

a) Ninguna

16.

X= 1

3.

la. IID I = '

=

17.

A = - 1, A = 1, A= 2

2a. IID I = '

= --

18.

A =2, A= 3, A= 7

3a. liD ~ = 3:-

b) -63

e) -16

8

- 4 10

2

--

~

--

--

-~-

- --

-

.

=

-

-

-

-- -------

199

Respuestas a los ejercicios

Respuestas a los ejerci ·

Respuestas a los ejercicios de la página 65

4

-

-~)

- 2 - 6

18

16

-6

o

4

".)

-9

- 11

15

-27

- 25

4

11

l.

X1

= 3,

X2

=1

2.

X1

=

1,

X2

=

3.

x 1 = - 2, x 2 = 5, x 3 = - 3

4.

x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = 2

5.

x 1 = - 2, x 2 =1, x 3 = - 1, x 3 = 3

6.

x 1 = 2, x 2 = -1, x 3 = 3, x 3 = 1

1

Respuestas a los ejercicios de la página 73 1 [ 4 14 - 2

6.

8.

10.

~r:

- 1) - 3

7

.

1~ G;)

1

o 1

9.

iJ

54

81

-36

45

1 - 52 8 - 4

-74

42

-46

-5

6

-7

10

8

-6

4

_1 [ 40

1~ -5

-

Respuestas a los ejercicios de la página 98 l.

a) Sí

b)No

e) No

2.

a) Ninguna

b) Paralelos

e) Perpendiculares

3.

la. ¡¡u = ¡ v¡¡ = -53 11

2a. ¡u = ¡v ¡ = 3-J5 11

3a. ¡ u ¡¡= 3-16, ¡¡v ¡ = -[46

-

-

-

--=-----==--

-

-~"-..l

-

~~---

200

4.

Respuestas a los ejercicios

2a .

IIU =-134' IIVII =3

2b.

IIUII =3, IIVII =6

2e.

IIUII =-16, IVII =-fi

11

la. 1

1 2a. 102

lb. -1

2b. 1

le .

4.

l.

p\

5.

l.

c. -

- -134

..l2__J69

2e. O

414

5

Respuestas a

2.

a. _ }_ -fi . _!2_ Jl86 . _2_ J93 6 ' 186 ' 93 b.

3.

~J85 · 22._J31o · - ~ J1054 85

le.

' 310

IIUull=

'

6.

9-E.

7.

J86

8.

2

9.

B,-

1054

1 rrC- 5,4,3, -2) ; 3"6

ltuvll=

1 ,-;-;:-(2,4, 1, -5) "46

( .::..

10.

Respuestas a los ejercicios de la página 111

l.

2.

3.

p

~y = (- 2, ~' %)

pXI Y

p

=

(~, ~' - ~)

-(-.!3. _36

X/Y -

7 '

11.

72)

35' 35

CX/ Y

12 ¡-;::;;; = -'V7Ü 35

,-

B -

=

201

Respuestas a los ejercicios

Respuestas a los ejercicios

p

l.

4.

Y/ X

.!2)

- (_13 39 14' 14' 7

2.

5.

- (- 36 12 24) 7 ' 7 ' 7

3.

p

l.

(7,-5,11)

2.

(7, - 5,-3)

3.

(12, 8, 14)

Y/X

6.

9.fi

7.

J86

8.

2

10.

B1

13 14

¡-:;-;;

CY/ X

= - v'14

CY/ X

=-1M

Cy1x

= -7 v'14 .

14

12

¡-:;-;;

={o, 1, O) ,(1, -1, 1) ,~ (1, -1, - 2)}

B, ~ {~ (1, 1, O), ~ (1, -1, 1), ~ (1, -1,- 2)} 11. . B 1

={o, 1, O, 1) ,0, - 1, 1, O) ,l(O, - 1, - 1, 1) ,l(- 1, O, 1, 1)}

1 1 1 1 } B 2 = { .J3(1, 1, O, 1), .J30' -1, 1, 0), .J3(0, - 1, - 1, 1), .J3(- 1, O, 1, 1)

-

~.

--

-~-

202

Respuestas a los ejercicios

Respuestas a los ejercicios de la página 117

5.

{(5, 1, - 1

x+1 = y - 2 = z - 5 - - (9, 8, 13) 5 3 4 '

8.

n(n+1 ) 2

l.

3. 4.

a)

-

b)

-

x+3 y+4 z - 2 - = -- = - (5, - 3, 4) 1 2 ' 8

x+1 y - 2 z-4 - - = - - = -36 4 -15

g) No

12x + 15 y + 6z = 3

b)

7x + 18y + 20z = 74

17x-18y+5z = -12

6.

x - 2y + z=O

7.

d) Sí, dirn _--=

a)

5.

a) Sí, dirn _-- =

2.

1 a. Mr= (

4

1

o: 1.::

J29

b . Mr=

[

G

Respuestas a los ejercicios de la página 124 l.

a)Sí

2.

Sí

b)No 3. Sí

c)Sí

4. No

d)Sí 5. Sí

e)No

6. No

f)Sí

g)No

7

c. MT=

13.No

3

Respuestas a los ejercicios de la página 129 4.

a)Sí

b)No

c)Sí

.

d)Sí

-r

Respuestas a los ejercicios de la página 133

~ _!_)

b)

(%, 4, %)

e) No es base

l.

a) ( 2

2

a. Dimensión= 2

b. Dimensión = 3

c. Dimensión= 3

d. Dimensión = 2

3.

'5' 5

(~,l)

4.

d. Mr= d) (- 1, 3, -1)

T(x, y, z)

=

(1, 4, - 5,- 2)

---~-

~

-

-

---

--

~~---==----

Respuestas a los ejercicios

203

Respuestas a los ejercicios

5.

{(5,1, - 1)} n(n + 1) 2

8.

n(n + 1) 2

9.

Respuestas a los ejercicios de la página 144 2.

a) Sí, dim Nr= O

b) No

e) Sí, dim Nr = O

d) Sí, dim Nr= O

e) No

f) Sí, N T = {Matrices antisimétricas}

g) No

h)No

Respuestas a los ejercicios de la página 153 1 a. Mr=

(~ ~)

(2 15

b. Mr=

7

2)

c. Mr=

d. Mr= d) (-1,3, - 1)

1

o

4 5

-

5

24 5

-

-1 - -3

3

-X

-

-

- -

--

5 7 5

--

-

-1 y 5

4 + - y

3 + - z 5

-

5

-

5

--~--~-

6

T(v) =

5

5 4 -x 5

-2 y 5

2 5

- z

1 + -z 5

--

---=---~ ~"'-~

]

2

2 5

6x -T(x, y, z) =

- x+ y

-

5

6

[3~

T(v)~ UJ T(x,y,z)~

6

-

-2x

- x+3y

T(x, y)=

2

-,., .) 3 7 - -1 3 3 1 1 - 3 3

4 5

[~3:

(-2x-y)

T(x,y)=

-

- -1

- o

-6

-

T(v) =

O - 2

~

(-5)

T(v)=

-~-

n::tJ

204

Respuestas a los ejercicios

o o o 1 o o o 2 o o o 3

d. Mr=

T(v)

T(p(x))

=

T( v)

=

~ [¡;]

[:;]

~)

2.

3.

Respuestas a

Mr=

(-~ -~] -3 -5

(1 o1 o1)

5.

6.

Mr

MT2 = 1

Mr, =

M

M

31(51

-I)

- 2

T3oT,

- -1 ( -4 - 2 1

3

l.

MB,

= -

2.

M B, B1

-

3.

MB, = _!_ -

4.

M BlB, = ...,. -

B,

-

-

-

=(- 11 B,

-

(o -1 2)

Mr2 = O -2

1

Respuestas a I : ej!Klilil•

- ~) -2 -1 ~)

- 1 - -1 ( - 3 2 -3 1

T3 -

Respuestas a

(o - 11 ~)

M T oT - O 2 1 -

M r¡2

=~ (~ ~)

?.

MT_,

=l(-~ ~) r-I =(lx -ly,

8.

MT_,

=

l.

'A = 2, B =

2.

'A= 1, B = -

3.

'A = O, B = -

4.

'A= - 1, B =

5.

'A= 1, B =

-

ix+ly)

~ ( _ ~ ~)

-

- --- ~ ~---~--

------~-

Respuestas a los ejerd

205

Respuestas a los ejercicios

9.

Mr-'

=

10.

Mr-'

=

11 21 11] T [1 1 o

1

= (x+y +z, x+2 y + z, x + y)

l[~ ~ 1~~

3 9 9j

Respuestas a los ejercicios de la página 159

[

~~- ~ -~ -~] -3

=

- 1

- 5

l.

e~)

1

-

M B1 - [

2.

M::{~ - ~]

3.

M'' B¡

~) 4.

1[ 6 2) B, - 3 - 9 -4

M B1

-11] -1 1 ~ 1_[-: 2 -1

-

B, =

MB 1

-

[o1-1

1 1

[-1 -1o 3:o

MB' = __!__ - 2 B, 2

o

o) 1

2 B, - - 3

M' B - -1 B 2 3

-2

o

-1

o

1

MB 1

B,

= __!__ 3

:]

loo -Jo -~] 2

-1

- 1

Respuestas a los ejercicios de la página 171 1.

A = 2, B = {(1, 1)} A = 3, B = {(2, 1)}

2.

A = 1, B = {(- 1, 1)} A = 3, B = {(1, O)}

3.

A=O,B={(-1,1,1)} A=1,B = {(-2,0,1),(2,1, 0)}

4.

A = - 1,B = {(0,-1,1)} A=1,B={(- 1,1,0)} A = 3,B={(- 2,3, 1)}

5.

A=1,B={(O,l,O,O)} A = 2,B = {(0,0,1,0)}

A=3,B={(~,1,0,0)}

206

Respuestas a los ejercicios

9.

Son los cuadrados de los valores propios de A

10.

~[ 1 o

o

1 1] 1

1 11. 40

o

1 1

[

3 2 -11] - 3

19 -1 4 - 5 10

Respuestas a los -

6.

P=

5

Respuestas a los ejercicios de la página 181 Respuestas a l.

-

(x'f - _

2.

3.

1

4.

P=

1

J5 5.

p

=

1

J2 o J2 1 1 o J2 J2 o o

o 2

J5

3.

(x')z - -

4.

(x')z - - - -16

=

5.

(x") z -- --6

=

6.

(x") z +:: -

=

7.

(y ")2 =-

=

~

Respuestas a los ejercicios

207

Respuestas a los ejercicios

6.

1

J2

2

J2

6

3

J2

1

P=

6 J2 2J2 o

2 - -

3

3

1

-

3

Respuestas a los ejercicios de la página 192 2

1O

(x')

2.

(x') 2

3.

(x')

4.

- - +-- = 1

5.

-

(y')

2

l.

=

= -4-fiy' = O

2

2

-

(y') = 16

(x')z

(y')z

16

4

(x")z

(y")z

6

18

-

- +-

-

hipérbola parábola hipérbola

elipse

= 1

elipse

6.

(x") + 2(y") = 1

elipse

7.

(y") = 4x"

2

2

2

parábola

Fe de erratas Página

141

Corrección

Errata 1

1

(cA') =cA' (AB)

(cA) =cA' (AB)

el sistema tiene solución única

el sistema tiene solución

1

1

20 t 43

t

521

54

t

-1

3

5

-2

-1

2

3

5 =

Como Cf1 = -ak 1C~ ,

crz = -ak2c:z' . . .

2

1 =

-1

2

1

,c.::, = -a,Olc;,.

, e;;~ = -e;;~ , ... ,

e:,= -e~

x+2

-5

x+2

-5

4

x+7

4

x- 7

-2

A.- 1

2

-1

IB31 =

A.- 1 -2

2 =O

-1

A.

-2

A.- 1

-1

-1

A.- 1

-1

1

7

1

-1

3

1

1

1

-1

1

7

1

-1

3

1

=O

-2

-1

-1

-1

721

3 -1

e~~ = -e~

4

E n los ejercicios 15, 16, 17,18 falta = O en cada uno

62 t

65 t

-3

1

62 t

62 t

4

-1

=20

IB31 =

1 -1

= 20

+ xz = 3

XI

+

2x = 3

XI

2x 1

-

3x2 = -4

2x 1 - 3x2 = -4

-Ir 3J

(" J~-}_[5 --32 -TJ -1 2

(X¡ J=-}_(-3 5 - 2

Resolver los sistemas de ecuaciones de los ejercicios de la sección 3 del capítulo 3, por el método de la matriz inversa

Resolver los sistemas de los ejercicios de la sección Regla de Cramer del capítul o 3, por el método de la matriz inversa

79 t

Sean X = (x 1 , xz), Y =6\, Y 2) dos vectores de R 2

Sean X= (x 1 , Y 1), Y =(x2 , Y 2) dos vectores de R 2

80 t

y= (xz+y ¡) X+Y = (x 1+yl' x1+y2)

Y= (xz, Yz) X+Y = (x1+x2 , y 1+y2)

73t

74 t

x2

x2

1 - 4

Página

X = ~x~ +x~

81 i

Página

Corrección

Errata

IIXII

= ~x~ + x;

150 !

82

t

sena = lfi[

__: Y1 sena- ¡¡x¡¡

85

t

c(X + Y) . c(X + Y) :2: O

(eX+ Y). (eX+ Y) :2: O

2(XxY)

2(X ·Y)

cos a = cjJ Y II IIXII

cosa= JJcYjj

101 j_

eX/Y = IIPX/YII = llcYII = ciiY IJ...

eX/Y =IIPX/YII = llcv¡¡ = icliiYII ...

103 i

c)X.(X.Y) = O

e) X .(X x Y)= O

112!

X=AB, Y=Ae, Z = AD

121 i

x - 1 = y-3 = z - 5 2 3 4 .. . v un vector y a un escalar .. .

X=AB Y=Aé Z=AD ' ' x-1 = y - 2 = z-3 2 3 4 . . . v un vector y a, f3 escalares .. .

126 j_

Es un espacio vectorial V . . .

En un espacio vectorial V ...

c!a 11 + c2a!2 + ... + cmu!m =O el a 2! + c2a22 + . .. + cmu2m =O

el a 11 + c2al2 + . . . + cma!m =O c!a 21 + c2a22 + . .. + cma2m =O

Xz

t 153 t 151

85 j_ 101 i

118i

153 j_

IIXII

157!

Z= A..: 157

131 i

ca 1

nl

+ca +···+cu =O 2 n2 m nm

134!

7. Sea . . . R 3

136i

T : R 2-7R 2

136!

149

t

ni

7. Sea . . . R 4 T: R 2-7R Sea V= {Matrices de tamaño 2 x 2},

W=RyT dada por T : V ---7 R

yT dada por T:V ---7 R 4

T(- 1,2) = (-5,1)

T(- 1,2) = (- 7,1)

-a2J +

a22 = - 5

o

=

.. . a2I - a21 +

1

á22 = -7

o

=

... ' a22 = 4

... ' ¿¡22 = 6

- 1

M,~(

-:] 2

O-:]

-1

158

i

161

J-

164

i

165

t

1

que al resolverlo nos da:

Mr =

W= B

MZ=

161 j_

que al resolverlo nos da:

o

J-

+ca 2 n2 +·· · +ca m nm =O

Sea V= {Matrices de tamaño 2 X 2},

. . . az1 149 j_

ca 1

i

154

166 j_

AX

Página

Corrección

Errata

Se puede observar que la matriz aso- Se puede observar que la matriz aso1501 ciada a esta transformación lineal ciada a esta transformación lineal es··· respecto a la base canónica es · · ·

t 153 t 151

cX + Y)2=:0

· · ·dada por lv(v)=v

· · · dada por 1/v)=v

AoM T =M oA=I n . T

AM T =M~=I . n

... Calcular T(v) para el vector v dado, y hallar T(v) para un vector 153 1. en general del espacio vectorial V. 154

i

T(x, y, z) = (x +y+ z, 2y + 3x)

T(x, y, z) = (x +y+ z, 2y, 3x)

1561. T : R 2 ----.¿ R 2 157

i

. . . Calcular las coordenadas de T(v) para el vector v dado, y las de T(v) para un vector en general del espacio vectorial V.

1 : R 2 ----.¿ R 2

La matriz de cambio de base M!'

La matriz de cambio de base M!' .

1

1571 M- BM =A 1

-

-:

+···+ca =O m 2m

- --_: ~ an1

+· ··+ca =O m nm

Y = M'X

Z=AX

Z=A'X

1571. W =BY

W =B'Y

MZ = W

M'Z=W

1

158

-

-7

a 22

- o

_I;- =

1

O

-1

-5) 6

MBM- =A

Y=MX

a L +·· · +ca =O m 1m

rr ._- :--n.

-

i

l

1

M- W = Z

(M'tW=Z

(M-1BM)(X)= (M-1B )(MX)=

(MBM- 1 ) X = (M-1 ) B'M'X =

M-1 (BY)= M - 1W = Z = AX ~

(M- 1 ) B'Y = (M- 1 ) W = (M't W =

M-1BM = A

Z ~ (MBM-1 )x = A'X ~

MBM-1 = A A'X 1611- AX · · · es un valor propio de la matriz · · · es un valor propio de la 1611. asociada A matriz A' · · ·, entonces {v1, v2, . . • , V0 } es · · · , entonces {x 1, x2, . . • , xJ es 164 i linealmente independiente linealmente independiente

t 164 t 165 t

, con algún a/0

, con algún ai * O

multiplicada por 1k+ l

multiplicada por

1661.

AlA2, · · · ,An

164

Ak+l

cambiar Ann x y Bnn x por Anxn y Bn:xn \,A2, . . . , An

3

Página

Corrección

Errata

cambiar M;x 1 ,M;x2 y M;xn por

1681 171-l-

M~X 1 , M~X2, y M~X n

· · · es un valor propio de la matriz · ··es un valor propio de la matriz invertible A, entonces A.- 1-·· A, entonces A-- 1••• --

172-1-

AX

--

-

= A X pues A es una

una matriz real ...

175-l- e¡ 178-l- se tiene para A.2= 2 179-l- A. 1 =4yA.2 =2 1801 B 0 • Pero los vectores de B 1

184

t

1851

--

A X = A X pues A es

matriz real.. .

180-1- NonnffiizaOOo la base B,

~

B2 • Pero los vectores de B 2 Normalizando esta base tenemos

{[:]}

y= x'sene +y'sen e

y = x'sene +y'cose

x' = x' cose+ y'sen e

X =X cose+ y sen e

y' =-x'sen8+ y'cose

y' = x sen8+ y cose

204

1

1901 · · · y para el valor propio A. = 4 es

· · · y para el valor propio A. = 9 es

. .. = 3 ... = 3

.. . = 36 ... = 36

(l

1

comoP'X=Y 190-1X=PY~

191 1

191

t

X

X y

T =

A. 1 = 4 y A.2 = -2

+ 14x3x 4 + 3x4

t

203!

A-¡ se tiene para A.2= 3

187-l- +14x3x 4 3x4

190

c.

' . X como P X = Y y' ~

,~

1

X =P ' y y

X=PY

~ (: J=P(::J

y nuestra ecuación 8x2 + 4xy + ...

y nuestra ecuación 8r - 4xy + ...

. . . =3 ... = 3

... = 36 .. . = 36

4 ((x'J + 2x )+9 ((y'J +4y')=36

4 (x'J + ~ (y'J + 4 y')= 36

4 ((xJ +u+ 1)+9 (cY'J +4f +4)=36 4 (x'J + 9 ((y'J + 4 y'+ 4 )= 36 199 í 6. x 1 =2,x2=-1,x3 =3,x3 =1

6. x 1 =2,x2=-1,x3 = 3,x4 =4 4

Página

Corrección

_LX: , M~ 2 y M~n por

1 3

1 3 1 -3 1

--

-X-. y M~Xn - ~or propio de la matriz entonces A- 1 ••·

Corrección

Errata

-

7

-

c. Mr =

'

3 1 -3

2 3 1 -3 1

11 3 7

--

--

Mr =

-

3.~

-

3 1 -3

-

3/

!J

203!

T(v)=[_

T(v)=[!J

--X

T(x,y,z){tx - x 3

204

.·=t l =

i

[ 11

T(x,y,z)= - ix . _

: l:J

T(x,y)=(~x +~y,-x+2y)

T(x

=>

:J=p(;,j

5

- -~~

-~-

· ----

+

,y

~ y - zJ - y+z 3

)=(6x-y 9y+x) 5 ' 5

Bibliografía

ANTON H. Introducción al álgebra lineal, 3a. ed., Editorial Limusa, 2003 ACHER, J. Algebra lineal y programación lineal, Montaner y Simón S.A. Editores, Barcelona, 1967 APOSTOL, Tom M. Calculus vol. 1 y JI, 2da. ed., Editorial Reverté, S.A., 1972 AYRES, Frank. Theory and Problems of Matrices, Schaum Publishing Co., Nueva York, 1962 GROSSMAN, S. Algebra lineal, Editorial McGraw-Hill, 5a. ed., México, 1996 HALMOS, Paul R. Espacios vectoriales finitos dimensionales, 2da. ed., Compañía Editorial Continental S.A., México, 1965 KOLMAN, B. Algebra lineal con aplicaciones, 6a. ed., Pearson Educación, 1999 KUROSCH, A. G. Curso de álgebra superior, Editorial MIR, Moscú, 1968 MALTSEV, A.I. Fundamentos de álgebra lineal, Primera edición en español, Siglo XXI Editores S.A., México, 1970 MOSTOW-SAMPSON, Meyer. Fundamental Structures of Algebra, McGraw-Hill Book Company, 1963 PAIGE, Lowell J. y SWIFT, J. Dean, Elements of Linear Algebra, B1aisdell Publishing Company, 1961

,

lndice

Ángulo entre vectores, 82

Forma cuadrática, 183

Base, 96

Independencia lineal, 125

Base canónica, 97

Inversa de una matriz 2x2, 41

Base de un espacio vectorial, 129

Método de la matriz escalonada, 30

Combinación lineal, 125

Método de Gauss, 31

Dependencia lineal, 125

Matrices

Determinantes, 4 7

Diagonal principal, 17

2

X

2, 48

Diferencia, 4

3

X

3, 49

Igualdad, 3

Cofactor ij, 50

Inversa por la derecha, 70

Ley de Sarrus, 49

Inversa por la izquierda, 70

Menorij, 50

Método rápido, 72

Propiedades, 53

Multiplicación, 6

Dimensión, 97, 131 Distancia entre dos puntos, 88

Multiplicación de un escalar por una matriz, 4

Ecuación característica, 162

Surna,3

Ecuación cartesiana de la recta, 114

Matriz

Ecuación cartesina del plano, 115

Adjunta, 68

Ecuación paramétrica de una recta, 113

Ampliada, 27

Espacios vectoriales, 119

Antihermítica, 17

Subespacio generado, 123

Antisimétrica, 15

Subespacios, 122

Conjugada, 16

212

Capítulo 7 Matrices

Cuadrada, 3

Solución general, 38

Parale

Dürer, 14

Solución trivial, 39

Pro

Diagonal, 18

Soluciones particulares, 38

Escalar, 18

Subespacio propio, 162

Fila por columna, 6

Transformación diagonalizable, 166

Hermítica, 17

Transformación lineal

Idéntica, 9 Idempotente, 19

.

Defmición, 135

Involuntiva, 19

Transformación lineal asociada a una matriz, 160

Nilpotente, 19

Transformaciones lineales

Nula,4

Imagen, 139

Ortogonal, 19

Inversa de una transformación, 151

Simétrica, 15

Núcleo, 139

Transjugada, 16

Nulidad y rango, 142

Transpuesta, 14

Suma y multiplicación por escalar, 139

,Traza, 18 Triangular, 19 Triangular inferior, 19 Triangular superior, 19 Unitaria, 19 Matriz de cambio de base, 156 Matriz invertible, 67 Operaciones elementales entre filas, 29 Ortogonalización de Gram-Schmidt, 107 Polinomio característico, 162 Polinomio de matrices, 11 Regla de Cramer, 63 Rotación de ejes, 184 Rotación de vectores, 13 7 Sistema homogéneo, 24 Sistema inconsistente, 24 Sistemas equivalentes, 24

Transformación idéntica, 151 Variables libres, 36 Vector de coordenadas, 133 Vectores, 7 5 Base ortogonal, 107 Base ortonormal, 109 Combinación lineal, 89 Componente, 100 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 85 Desigualdad del triángulo, 86 Equivalentes, 78 Identidad de Lagrange, 104 Igualdad, 75 Linealmente dependientes, 93 Linealmente independientes, 93 Norma, 79

~r-...,.,..;;.;..,

213

Capítulo 7 Matrices

lineal asociada a una triz, 160

Paralelos, 78

Triple producto escalar, 105

Producto interno, 83

Unitario, 88

Producto vectorial, 102

Vector dirigido, 77

Propiedades del producto intemo,83

Vectores y valores propios, 160

Proyección, 100

Volúmen de un paralelepípedo, 106

Suma y producto por escalar,76

Wronskiano, 128