Guia 4 - Ejercicios Ecuaciones Diferenciales

Universidad de Tarapacá Facultad de Ciencias Dpto. de Matemática

GU´IA 4 DE EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Trayectoria ortogonales 1. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas cuya pendiente es constante igual a m. 2. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas que pasan por el punto (2, 1). 3. Hallar la trayectoria ortogonal, que pasa por el punto (1, 2), a la familia x2 + 3y 2 = Cy. 4. Hallar las trayectoria ortogonales a las siguientes familias de curvas: a) y = axn b) x2 +

y2 = a2 2

y2 = a2 3 d ) x2 − xy + y 2 = c c) x2 −

5. Encontrar las trayectoria ortogonales de la familia de elipses con centro en (0, 0) y v´ertices en (1, 0) y (−1, 0). 6. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por los puntos P (0, −3) y Q(0, 0). 7. Hallar la familia de trayectorias ortogonales a las circunferencias que pasan por el origen y cuyo centro est´a ubicado en la recta y = x. 8. Hallar el valor de m de modo que las funciones xm + y m + 25 = kx sean las trayectorias ortogonales a las circunferencias x2 + y 2 − 2cy = 25

Problemas geom´ etricos. 1. Determinar la curva cuya longitud de la normal sea siempre constante igual a b. 2. Determinar la curva tal que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une ese punto con el origen. 3. La recta normal en el punto P (x, y) de una curva, corta el eje x en M y al eje y en N . Hallar la ecuaci´on de las curvas para las cuales P es el punto medio del segmento M N . 4. El eje x, la recta tangente y la ordenada en cada punto de una curva forman un tri´angulo de ´area constante k. Hallar la ecuaci´on de la curva, suponiendo que pasa por los puntos (0, 4) y (1, 2). 5. La parte de la recta normal comprendida entre el punto P (x, y) de una curva y el eje x tiene una longitud constante igual a k. Hallar la ecuaci´on de la curva. 6. La recta normal en el punto P (x, y) de una curva corta el eje x en M y al eje y en N . Hallar la ecuaci´on de las curvas, para las cuales N es el punto medio del segmento P M 7. Las rectas normales en todo punto de una curva pasan por un punto fijo (h, k). Hallar la ecuaci´on de la curva. 8. Determinar la curva que pasa por el punto (1, 1) de tal manera que la pendiente de la recta tangente en cada punto sea proporcional al cuadrado de la ordenada en ese punto.

Profesor: Lautaro V´asquez

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