Irreducibilidad De Polinomios

IRREDUCIBILIDAD EN K[X1 , . . . , Xn ] SAURON

´Indice General 1. DFU y anillos de polinomios 2. Irreducibilidad de polinomios sobre un DFU 3. Algunos ejemplos Referencias

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1. DFU y anillos de polinomios En lo que sigue, todos los anillos se consideran con 1 6= 0. Un dominio de integridad D es un anillo conmutativo en el que a, b 6= 0 ⇒ ab 6= 0. Supondremos familiaridad con el anillo de polinomios sobre un anillo conmutativo y m´as concretamente sobre un dominio de integridad. Sea D un dominio de integridad. Una elemento u ∈ D es unidad si ∃v ∈ D tal que uv = 1. El conjunto U (D) de las unidades de D es un grupo con la multiplicaci´on. Dados a, b ∈ D se dice que a divide a b y se denota a|b si existe c tal que ac = b. Dos elementos a, b ∈ D son asociados si a|b y b|a; se escribe a ∼ b. Notas 1.1. (1) a ∼ 0 ⇐⇒ a = 0. (2) a ∼ 1 ⇐⇒ a ∈ U (D). (3) a ∼ b ⇐⇒ a = ub con u ∈ U (D). Un elemento p de D no nulo ni unidad se dice primo si cumple p|ab ⇒ p|a o p|b con a, b ∈ D. Un elemento q ∈ D no nulo ni unidad se dice irreducible si para todos a, b ∈ D con ab = q se tiene que a es unidad o b es unidad (equivalentemente, si ab ∼ q ⇒ a ∼ q o b ∼ q). Lema 1.2. En un dominio de integridad, todo elemento primo es irreducible. Demostraci´ on. Sea p primo, p ∼ ab con a, b ∈ D. Se tiene ( a|p y b|p ⇒a∼pob∼p p|ab ⇒ p|a o p|b  Definici´ on 1.3. Se llama dominio de factorizaci´ on u ´nica (DFU) a todo dominio de integridad R tal que: (1) Todo a ∈ R no nulo ni unidad se puede poner como producto de irreducibles. (2) Todo elemento irreducible es primo. 1

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Otra definici´ on alternativa de DFU la da la siguiente proposici´on. Proposici´ on 1.4. Un dominio de integridad R es un DFU si y solo si: (1) Todo a ∈ R no nulo ni unidad se puede poner como producto de irreducibles. (2) Dadas dos factorizaciones de a ∈ R no nulo ni unidad como producto de irreducibles a = qi · · · qs a = p 1 · · · pr se tiene que r = s y reordenando si hiciese falta pi ∼ qi . Demostraci´ on. Ver [FRA87] o [DUM91].



Ejemplo 1.5. Los ejemplos de DFU que nos interesan son Z y K[X] en donde K es un cuerpo. Esto se prueba utilizando el algoritmo de la divisi´on, pues Z y K[X] son dominios eucl´ıdeos. (ver [FRA87] o [DUM91]). El siguiente teorema nos permitir´a pasar del anillo K[X] al anillo K[X, Y ]. Teorema 1.6. Si R es un DFU, entonces tambi´en R[X] es un DFU. Demostraci´ on. Ver [FRA87] o [DUM91].



Ejemplo 1.7. Siguiendo con los ejemplos, Z[X] es un DFU por serlo Z y lo mismo sucede con (K[X])[Y ] = K[X, Y ] por ser K[X] un DFU. An´alogamente, R[X1 , . . . , Xn ] es un DFU siempre que R sea DFU. El siguiente teorema se puede usar para llevar un polinomio a otro y aplicar alg´ un criterio de irreducibilidad para obtener informaci´on del polinomio de partida. Teorema 1.8 (de sustituci´ on). Sean R un anillo conmutativo, S un anillo cualquiera y ϕ : R −→ S un homomorfismo. Supongamos que a ∈ S es tal que ϕ(r)a = aϕ(r) ∀r ∈ R. Entonces existe un u ´nico homomorfismo Ea : R[X] −→ S que cumple: (1) Ea ⊇ ϕ, es decir Ea (r) = ϕ(r) ∀r ∈ R. (2) Ea (X) = a. Demostraci´ on. Sea a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ R[X], definimos Ea por: Ea (a0 + a1 X + · · · + an X n ) = ϕ(a0 ) + ϕ(a1 )a + · · · + ϕ(an )an . El resto se comprueba f´ acilmente.



Ejemplos 1.9. (1) Sea p ∈ Z un primo y sea Φp (X) = X p−1 +X p−2 +· · · X +1 (se conoce como p-´esimo polinomio ciclot´ omico). Queremos averiguar si Φp es irreducible o no. Para ello consideremos el homomorfismo inclusi´on i : R → R[X], por el teorema de sustituci´on, obtenemos un homomorfismo EX+1 : R[X] → R[X]

Φp (X) 7→ Φp (X + 1).

Este homomorfismo es en realidad un isomorfismo, pues basta aplicar de nuevo el teorema de sustituci´on para obtener el homomorfismo inverso: p −1 EX−1 . Por tanto, Φp (X) = XX−1 (esto tiene sentido en el cuerpo de fracciones de Z[X]) es irreducible si y solo si       (X + 1)p − 1 1 p p p p−1 Φp (X + 1) = = X + X + ··· + X = (X + 1) − 1 X 1 p−1     p p p−1 p−2 =X + X + ··· + 1 p−1

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es irreducible. A este u ´ltimo polinomio le podremos aplicar el criterio de Eisenstein para probar que es irreducible. (2) De manera an´ aloga, podemos cambiar el polinomio f (X, Y ) ∈ K[X, Y ] por otro polinomio, como por ejemplo por f (X + 3, Y − X + X 2 ) aplicando dos veces el teorema de sustituci´on. Hay que asegurarse de poder regresar por el mismo camino, como en el ejemplo anterior, pues esta claro que la irreducibilidad de f (X, Y ) no es equivalente a la irreducibilidad de f (X, 0), por ejemplo. 2. Irreducibilidad de polinomios sobre un DFU Si R es un DFU e I un ideal propio de R, el teorema de sustituci´on nos permite definir un homomorfismo de anillos suprayectivo R[X] → (R/I)[X]

f (X) = an X n + · · · + a0 7→ f (X) = an X n + · · · a0

que se llama reducci´ on de coeficientes m´ odulo I. Si I = (b) es principal, entonces se llama reducci´ on de coeficientes m´ odulo b. Si R es un DFU y f (X) = an X n + · · · + a0 ∈ R[X] no nulo, se llama contenido de f (X) al elemento de R c(f (X)) = mcd(a0 , . . . , an ) que est´ a definido salvo unidades de R. Si c(f (X)) = 1, se dice que f (X) es primitivo. Lema 2.1. Si f (X), g(X) ∈ R[X] son primitivos con R un DFU, entonces f (X)g(X) tambi´en es primitivo Demostraci´ on. Supongamos que f (X)g(X) no fuese primitivo y sea c su contenido. Entonces existe p ∈ R primo tal que p|c. El ideal I = (p) es primo y si reducimos coeficientes m´ odulo p obtenemos 0 = f (X)g(X) = f (X)g(X) en R/I[X] que es dominio de integridad. Por tanto p divide a todos los coeficientes de f (X) o a todos los de g(X), contra la hip´otesis.  Teorema 2.2 (Gauss). Sea R un DFU y F su cuerpo de cocientes. Si f (X) ∈ R[X] es tal que f (X) = f1 (X)f2 (X) con fi ∈ F [X], entonces f (X) = g1 (X)g2 (X) con gi ∈ R[X] y grado(fi ) =grado(gi ) para i = 1, 2. Demostraci´ on. Si f (X) es primitivo, pongamos fi (X) = dcii gi (X) con ci , di ∈ R y gi (X) ∈ R[X] primitivo. Se tiene f (X) = dc11 cd22 g1 (X)g2 (X) y as´ı d1 d2 f (X) = c1 c2 g1 (X)g2 (X). Como f (X) y g1 (X)g2 (X) son primitivos d1 d2 = c(d1 d2 f (X)) = c(c1 c2 g1 (X)g2 (X)) = c1 c2 (en realidad es d1 d2 ∼ c1 c2 ) y as´ı f (X) = g1 (X)g2 (X). Si f (X) no es primitivo, pongamos f (X) = cf0 (X) con c = c(f (X)) y f0 (X) ∈ R[X] primitivo. As´ı f0 (X) = ( 1c f1 (X))f2 (X) y por el p´arrafo anterior, f0 (X) = g1 (X)g2 (X) con gi ∈ R[X] y grado(gi ) =grado(fi ) para i = 1, 2. Ahora f (X) = (cg1 (X))g2 (X) y observemos que los grados se conservan.  El siguiente resultado es esencial para estudiar la irreducibilidad de un polinomio en K[X, Y ].

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Corolario 2.3. Sean R un DFU y F su cuerpo de fracciones. Sea f (X) ∈ R[X] un polinomio primitivo. Entonces f (X) es irreducible en R[X] si y solo si es irreducible en F [X]. Demostraci´ on. Si f = f1 f2 en R[X], por ser primitivo ninguno de los fi es constante y por lo tanto es tambi´en una factorizaci´on no trivial en F [X]. Si f = f1 f2 en F [X], estos fi tienen grado menor que n y mayor que 0. El teorema anterior nos proporciona una factorizaci´ on no trivial en R[X].  Ahora un polinomio f ∈ K[X, Y ] lo podemos considerar como polinomio en la indeterminada Y con coeficiente en un cuerpo (en concreto en el cuerpo K(X)) y podemos aplicar varios resultado relativos a este tipo de polinomios para pasar despu´es a K[X, Y ] por medio del teorema anterior siempre que f sea primitivo como polinomio en Y. En concreto: (1) Un polinomio de grado 1 es irreducible (ejemplo: g(X, Y ) = X 2 +X 5 +3Y ∈ K[X, Y ] es de grado 1 en Y y adem´as es primitivo; por tanto es irreducible en K[X, Y ]) (2) Un polinomio de grado 2 es irreducible en K(X)[Y ] si y solo si no tiene ra´ıces en K(X). (3) Un polinomio de grado 3 es irreducible en K(X)[Y ] si y solo si no tiene ra´ıces en K(X). (4) Recordemos que las ra´ıces de un polinomio en (K[X])[Y ] deben buscarse entre los elementos de K(X) cuyo numerador divida al t´ermino independiente y cuyo denominador divida al coeficiente director. (Todas estas afirmaciones son f´aciles de probar y seguramente ya se habr´an visto para polinomios en Z[X]). Ejemplo 2.4. Tomemos f (X, Y ) = 1+X +Y 2 +XY 2 ∈ K[X, Y ] y consider´emoslo como polinomio en la indeterminada Y con coeficientes en K[X]. As´ı f (X, Y ) = (1 + X) + (1 + X)Y 2 que tiene contenido (1 + X). Por tanto se puede factorizar como f (X, Y ) = (1 + X)(1 + Y 2 ) (cosa bastante trivial). Consideremos ahora g(X, Y ) = X + Y 2 − X 2 Y 2 . Como polinomio en la indeterminada Y se tiene g(X, Y ) = X + (1 − X 2 )Y 2 . El cuerpo de fracciones de K[X] es el cuerpo de las fracciones racionales K(X). Por el teorema anterior, al tener g contenido 1, basta estudiar la irreducibilidad de g(X, Y ) ∈ (K(X))[Y ] que visto as´ı, tiene grados dos. Por tanto, para estudiar su irreducibilidad, basta ver si tiene soluciones en −X (K(X))[Y ]. Despejando la Y 2 , obtenemos Y 2 = 1−X on 2 . Pero entonces, la soluci´ Y debe ser Y = p2 (X) q 2 (X)

=

X 1−X 2

p(X) q(X)

∈ K(X) con p(X) y q(X) primos entre s´ı. Entonces se tendr´ıa

que es imposible.

Teorema 2.5 (criterio de Eisenstein). Sea R un DFU con cuerpo de fracciones F y sea f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ∈ R[X]. Sea p ∈ R un primo y supongamos que se cumple: (1) p - an . (2) p|ai para i = 0, . . . , n − 1. (3) p2 - a0 . Entonces f es irreducible en F [X]. Demostraci´ on. Podemos suponer que f (X) es primitivo. Supongamos que f no es irreducible en F [X], entonces f no es irreducible en R[X] y por tanto f = gh con

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g, h ∈ R[X] y ( g(X) = br X r + · · · + b0 h(X) = cs X s + · · · + c0

r = grado(g) ≥ 1 s = grado(h) ≥ 1

y r + s = n (los grados son ≥ 1 por ser f primitivo). Reduciendo m´odulo p, obtenemos an X n = (br X r + · · · + b0 )(cs X s + · · · + c0 ) de donde b0 c0 = 0 y por ser R/(p) un dominio, se sigue que b0 = 0 o c0 = 0. Se tiene que b0 c0 = a0 y p|a0 pero p2 - a0 luego p|b0 o p|c0 pero no a ambos. Podemos suponer que p|b0 pero p - c0 . Entonces an X n = (br X r + · · · + b1 X 1 )(cs X s + · · · + c0 ) y considerando el coeficiente de X obtenemos que b1 c0 = 0 y como c0 6= 0 se sigue que b1 = 0. Igualando coeficiente en X 2 obtenemos que b2 = 0. Reiterando el proceso, b0 = b1 = · · · = br = 0 de donde se sigue que an X n = 0 y por lo tanto p|an contra la hip´ otesis.  Proposici´ on 2.6. Sea R un DFU con cuerpo de fracciones F y sea p un elemento primo de R. Sea f (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ∈ R[X] y supongamos que p - an . Si f es irreducible en R/(p)[X], entonces es irreducible en F [X]. Demostraci´ on. Si f = c(f )f1 , entonces p - c(f ) y p no divide al coeficiente director de f1 . Por tanto f y f1 son asociados, luego y como f y f1 son asociados en F [X] basta probarlo para f1 . Por lo anterior, se puede considerar f primitivo y ahora supongamos que f no es irreducible en F [X], entonces no es irreducible en R[X]. Pongamos f = gh con g, h ∈ R[X] y grado(g), grado(h) ≥ 1 por ser f primitivo. Reduciendo m´odulo p, f = gh que contradice la hip´otesis.  3. Algunos ejemplos Los ejemplos que siguen est´an preparados para ilustrar los m´etodos expuestos. Para los casos que aparezcan en la pr´actica, no ser´a dif´ıcil proceder igual siempre que el polinomio tenga dos o tres variable solo y su grado en alguna de ellas se a lo sumo 3. (1) Consideremos el polinomio f (X, Y ) = X 2 + X 3 − X 2 Y 2 . Como tiene menos t´erminos en Y y de grado m´as bajo, lo consideramos en el anillo (K[X])[Y ] y empleamos la notaci´ on fX (Y ) := f (X, Y ) = (X 2 + X 3 ) − X 2 Y 2 para que quede claro que lo consideramos como polinomio en Y . El contenido de este polinomio es X 2 , por lo que ponemos (1)

fX (Y ) = X 2 gX (Y ) = X 2 ((1 + X) − Y 2 ).

Para factorizar gX (Y ), observemos que por ser de grados 2, si no fuese irreducible, tendr´ıa alguna ra´ız. Estas ra´ıces debemos buscarlas entre los divisores de (1 + X) que es irreducible en K[X] por lo tanto sus divisores son (1+X) y −(1+X). Ahora gX (1 + X) = gX (−1 − X) = −X − X 2 6= 0 independientemente de la caracter´ıstica del cuerpo. Por tanto (1) es una factorizaci´ on de f en K[X, Y ].

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Referencias ´ [FRA87] Fraleigh, J. B. Algebra abstracta. Addison-Wesley Iberoamericana, 1987. [DUM91] Dummit, D. S. & Foote, R. D. Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., New Jersey, 1991.