La Derivada En La Ingenieria Quimica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y METALURGIA Departamento Académico de Ingeniería Química ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA

Análisis Matemático I ASIGNATURA: MA-142 LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES PROFESORA

: Ramirez Carrasco, Mirrell

ALUMNOS:

    

Flores Mucha, Rony Torres Ramos, Sherly Huincho Escalante, Jose Luis Chuquillanqui Perez, Huber Ancco Pampa, Isáurico

AYACUCHO – PERÚ 2018

La derivada Es una rama de la matemática que se encarga del estudio del cálculo diferencial y el cálculo integral así mismo la Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. La derivada de una función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada. La recta tangente a una gráfica de una función y = f (x) es la recta que pasa por el punto (a, f(a)) con pendiente dada por

𝑚

tan= lim

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ

ℎ→0

Siempre que el límite exista, Para muchas funciones suele ser posible obtener una f6rmula general que proporcione el valor de la pendiente de la recta tangente. Esto se lleva a cabo al calcular

lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

(1)

Para cualquier x (para la que existe el límite), Luego sustituimos un valor de x después que se ha encontrado el límite. El límite del cociente de la diferencia en (1) define una funci6n: una funci6n que se deriva de la funci6n original y = f(x), Esta nueva función se denomina función derivada, 0 simplemente la derivada, de f y se denota por f´. La derivada de una funci6n y = f(x) en x está dada por

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥) = lim Siempre que el límite exista.

DEFINICIONES PREVIAS PARA LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA Sea F una función definida en un intervalo I y sean X1 y X2 dos números que están en I; si f(X1) < f(X2) siempre que X1 < X2 entonces se dice que f es creciente en ese intervalo. Si f(X2) < f(X1) siempre que X1 < X2 entonces se dice que f es decreciente en ese intervalo.

A las funciones crecientes o decrecientes se les llama funciones monótonas

Teorema -

Si f(x) es positiva para todo X < C, y negativa para todo X > C, entonces F(C) es un valor maximo relativo de f (X). Si F(X) es negativa para toda X < C , y positiva para todo X > C, entonces f(C) es un minimo relativo de f(X) Si f(X) espositiva para todo X < C y tambien lo es para todo X < C ; o si f(X) es negativa para todo X > C y a su vez para todo, entonces f(C) no es una valor máximo ni un valor mínimo relativo de f(x).

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Supongamos que f escontinua en [ a, b] y derivable en (a,b): -

Si f, (X) > 0 en cada punto de (a, b) entonces f es creciente en [ a, b] f, (X) < 0 en cada punto de (a, b) entonces f es creciente en [ a, b]

Proceso: 1. 2. 3. 4.

A la función se le haya primero la derivada y se hace f, (X) = 0 Los valores encontrados de X son los puntos críticos. Se forman intervalos abiertos con los valores hallados Se toma cualquier valor en los intervalos y se resuelve la ecuación f, (X) para saber el signo que tiene dicho intervalo.

Ejemplo: Hallar los máximos y minimos relativos de la función

Solución: Derivando la función

Hacer f(X) = 0 (para determinar los puntos criticos)

Estos puntos determinan los siguientes intervalos abiertos (−∞; −2), (24; +∞)

Para determinar el signo f, (X) en los intervalos (−∞; −2), (24; +∞) se calcula f, (X) en un punto de prueba convenientemente en ese intervalo.

f, (X) tiene un punto máximo en X= -2 y un punto mínimo relativo en X=4

Situación problema La subsidiaria en México de la compañía Termo-Master fábrica de un termómetro para interiores exteriores. La gerencia estima que la ganancia que puede lograr la compañía por la fabricación y venta de “X” unidades de termómetros por semana es:

Dólares. ¿Qué cantidad de termómetros debe producir la compañía Termo-Master para maximizar sus ganancias? Solución: Derivando la función:

Hacer Hacer P, (X) = 0

Este punto determina los siguientes puntos abiertos (0; 4000), (4000; +∞) La función ganancia P(X) es creciente en (0; 4000) y decreciente en (4000; +∞)

La compañía Termo-Master debe producir 4000 unidades por semana para máximizar sus gananacias. Graficando a la solución

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Se conoce como criterio de la segunda derivada, al principio matemático que permite realizar una prueba de verificación de los máximos y mínimos. Supongamos que existe la segunda derivada de f (f´´(x)) en algún intervalo abierto que contiene a ¨c¨ y sus f´(c)=0 entonces: 1) Si f¨(c) > 0 entonces f(c) es un valor mínimo relativo. 2) Si f¨(c) < 0 entonces f(c) es un valor máximo relativo. 3) Si f(c) = 0 entonces el criterio falla. Ejemplo: f´(x) = 3x2- 8 f´´(x) = 6x – 8 f´´ (0) = -8

máximo relativo

f´´ (8/3) = 6(8/3) = 8 >0 mínimo relativo Y (0,2)

8/3

-

-202/27

X

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN DEFINICIÓN. - Si el punto P = (c, f(c)) es un punto de inflexión de f entonces existe f´´(c) = 0

Punto inflexión

TEOREMA. - Suponiendo f: R →R derivable en el intervalo abierto ˂a,b˃ cumple las siguientes condiciones. 1) Si f es una función tal que f´´(x) ˃ 0 ∀ x ϵ ˂a,b˃ entonces la gráfica es cóncavo hacia arriba sobre ˂a,b˃

2) Si f es una función tal que f´´ (x) ˂ 0 ∀ x ϵ ˂a,b˃ entonces la gráfica es cóncavo hacia abajo sobre ˂a,b˃

f´´ (x) = 0 → 6x – 8 = 0 x=

4 3

Para hallar punto de inflexión f´´ (x) ˃ 0 6 × −8 > 0 ×>

4 3

4/3 f (x) = x3 – 4x2 + 2

y (0,2)

4/3

-202/27

APLICACIÓN DE

2 0 2 / LA 2 7

8/3

DERIVADA EN LA INGENIERÍA QUÍMICA

El cálculo ha estado incluido en la ingeniería química desde sus comienzos inicialmente como un aspecto formativo, en la aplicación de la lógica deductiva y su carácter formal, y posteriormente como una herramienta para el diseño, el análisis y optimización de procesos químicos.

x

OPERACIONES UNITARIAS El estudio de las operaciones unitarias a lo largo de la carrera de ingeniería química; las operaciones unitarias tienen como finalidad modificar las condiciones de una determinada cantidad de materia en forma más útil a nuestros fines.

Ejercicio 11-1 Capitulo 11: Ecuaciones de cambio - Principios de Operaciones Unitarias – Alan Foust. Gradiente de temperatura: Se denomina gradiente térmico o gradiente de temperatura a la variación de temperatura por unidad de distancia. La existencia de un gradiente térmico provoca una transferencia de calor desde el cuerpo más caliente hacia el cuerpo más frío.

Termopar Termopar se denomina a la unión de dos alambres conductores con diferente composición metalúrgica. El termopar genera una fuerza electromotriz (fem) que depende de la diferencia de temperatura de la junta caliente o de medida y la unión fría o de referencia.

Pila termoeléctrica Es un mecanismo que consiste en una pareja de metales diferentes en un circuito eléctrico, la diferencia de potencial generada por el contacto de esta pareja proporciona una medida de la diferencia de temperatura entre ambos metales. También llamado par térmico, termopar Ejercicio: Un líquido que discurre a través de un tubo circular, se calienta de manera que exista un gradiente de temperatura entre los extremos del tubo. Este gradiente se expresa por medio de: 𝑇𝑧 = 250(1 − 𝑒 −0.1𝑧 ) En donde t, es la temperatura en ͦC, en cierto punto z, medida desde la entrada en la dirección del flujo. La velocidad del fluido en la línea central es 0.3 m/s. En un cierto tiempo, la temperatura del fluido aumenta a una velocidad de 3 °C/s, en un punto que se encuentra a 1 m de la entrada. Para medir la temperatura se cuenta con un termopar que puede moverse a lo largo de la línea central.

Calcular la rapidez de aumento de la temperatura con respecto al tiempo, midiendo con una pila termoeléctrica que se encuentra en un punto a 1 m de distancia de la entrada, cuando.

Punto z

0.3 m/s temperatura aumenta 3 °C/s

(a) Una pila termoeléctrica fija mide la derivada parcial con respecto al tiempo dT/dθ que se establece como 3°C/s en el punto en cuestión. 𝑑𝑇 °𝐶 =3 𝑑𝜃 𝑠 (b) La pila termoeléctrica se mueve a una velocidad de 1m/s. independientemente de la velocidad del fluido, por lo que se necesita la derivada parcial con respecto al tiempo. Para la dirección z. La ecuación seria:

𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑧 𝑑𝑇 =( ) + 𝑑𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑇 𝑑𝜃

=3

°𝐶 𝑠

𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 (𝑎) 𝑦

𝑑𝑧 𝑑𝜃

𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 1𝑚/𝑠, 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠.

𝑑𝑇 𝑑 ⌊250(1 − 𝑒 −0.1𝑧 )⌋ = 𝑑𝜃 𝑑𝑧

𝑑𝑇 = 25𝑒 −0.1𝑧 , 𝑧 = 1𝑚 𝑑𝜃

𝑑𝑇 ( ) = 22.62 °𝐶/𝑀 𝑑𝑧 𝑧=1

Por lo tanto: 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑧 𝑑𝑇 =( ) + 𝑑𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑇 = (22.62)(1) + 3 = 25.62 °𝐶/𝑠 𝑑𝜃 (c) Se necesita la derivada sustancial con respecto al tiempo cuando el termopar viaja a la velocidad del fluido. Para w=0.3 m/s si la Ecuación dada es 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑇 = ( )𝑤 + 𝑑𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝜃 Remplazamos: = (22.62)(0.3) + 3

= 9.75 °𝐶/𝑠 ENTROPÍA Tema aplicación: Integral definida ¿Cuál es el valor de la entropía si la temperatura de un mol de gas ideal aumenta de 100 °k 3 2

a 300 °K, siendo 𝐶𝑣 = ( ) 𝑅, ¿Si el volumen es constante? ¿Si la presión es constante? Empleamos la siguiente ecuación expresada para un mol de sustancia:

𝑑𝑆 =

𝐶𝑣 𝑃 𝑑𝑇 + 𝑑𝑉 𝑇 𝑇

Si el volumen es constante, dV = 0 y entonces se reduce la ecuación a:

𝑑𝑆 =

𝐶𝑣 𝑑𝑇 𝑇

Integrando esta expresión de la temperatura T1 a T2. 𝑇2

𝑇2

∫ 𝑑𝑆 = ∫ 𝑇1

𝑇1

𝐶𝑣 𝑑𝑇 𝑇

𝑇2

∆𝑆 = 𝐶𝑣 ∫ 𝑇1

𝑑𝑇 𝑇

𝑇

∆𝑆 = 𝐶𝑣 ln 𝑇𝑇12

∆𝑆 = 𝐶𝑣 ln 𝑇2 − ln 𝑇1

∆𝑆 = 𝐶𝑣 ln

𝑇2 𝑇1

Y sustituyendo los valores, alcanzamos el resultado ∆𝑆 =

3 𝑐𝑎𝑙 300 (1.987 ) ln 2 °𝐾𝑚𝑜𝑙 100

∆𝑆 = 3.274

𝑢. 𝑒. 𝑚𝑜𝑙

Ahora emplearemos la ecuación:

𝑑𝑆 =

𝐶𝑝 𝑉 𝑑𝑇 + 𝑑𝑃 𝑇 𝑇

Esta ecuación también es válida para un mol de solución

Si la presión es constante, dP=0 y podemos integrar entre dos temperaturas T 1 y T2, resultando:

𝑑𝑆 =

𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝑇

𝑇2

∫ 𝑑𝑆 = ∫ 𝑇1

𝑇2 𝐶 𝑝

𝑇

𝑇1

𝑇2

∆𝑆 = 𝐶𝑝 ∫ 𝑇1

𝑑𝑇

𝑑𝑇 𝑇

𝑇

∆𝑆 = 𝐶𝑝 ln 𝑇𝑇12

∆𝑆 = 𝐶𝑝 ln 𝑇2 − ln 𝑇1

∆𝑆 = 𝐶𝑝 ln

𝑇2 𝑇1

Como un gas ideal Cp = Cv + R 3

𝐶𝑝 = 𝑅 + 𝑅 2

5

𝐶𝑝 = 𝑅 2

Sustituyendo esta expresión y las temperaturas del enunciado, obtenemos:

∆𝑆 =

5 𝑐𝑎𝑙 300 (1.987 ) ln 2 °𝐾𝑚𝑜𝑙 100

∆𝑆 = 5.457

𝑢. 𝑒. 𝑚𝑜𝑙

Vapor de agua Tema: Método de Newton-Raphson La presión del vapor de agua en estado líquido a 25 °C es 23.8 mmHg; y a 100°C es 760 mmHg (1atm). Aplicando la ecuación de van der Waals como guía, demostrar que el vapor de agua saturado se asemeja más al comportamiento de gas ideal a 25°C que a 100°C. 1. calcular el volumen molar del vapor de agua en ambas temperaturas: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 Como es volumen molar omitimos n (mol) para que nos quede (l/mol) a 25°C

𝑙 ∗ 𝑎𝑡𝑚 𝑅𝑇 0.082 ( °𝐾𝑚𝑜𝑙 ) ∗ 298°𝐾 𝑉= = = 780.31(𝑙/𝑚𝑜𝑙) 23.8 𝑃 ( 760 ) 𝑎𝑡𝑚 A 100°C 𝑙 ∗ 𝑎𝑡𝑚 𝑅𝑇 0.082 ( °𝐾𝑚𝑜𝑙 ) ∗ 373°𝐾 𝑉= = = 30.586(𝑙/𝑚𝑜𝑙) 760 𝑃 (760) 𝑎𝑡𝑚 2. Aplicamos la ecuación de Van der Waals 𝑃−

𝑅𝑇 𝑎 + 2 𝑉−𝑏 𝑉

Para 25°C 𝑙 ∗ 𝑎𝑡𝑚 0.0082 ( ) ∗ 298°𝐾 5.72 23.8 °𝑘 ∗ 𝑚𝑜𝑙 𝑓(𝑣) = ( ) 𝑎𝑡𝑚 − + 2 760 𝑉 − 0.0319 𝑉

𝑓(𝑣) = 0.03132 −

24.436 5.72 + 2 𝑉 − 0.0319 𝑉

Para 100°C 𝑙 ∗ 𝑎𝑡𝑚 0.0082 ( ) ∗ 373°𝐾 5.72 760 °𝑘 ∗ 𝑚𝑜𝑙 𝑓(𝑣) = ( ) 𝑎𝑡𝑚 − + 2 760 𝑉 − 0.0319 𝑉

𝑓(𝑣) = 1 −

0.0082 ∗ 373 5.72 + 2 𝑉 − 0.0319 𝑉

3. Aplicamos el método numérico de Newton-Raphson para obtener el volumen molar.

Calculamos la derivada de f(v). Para 25°C 𝑓

′ (𝑣)

=

(0.03132)′

(24.436)′ (𝑉 − 0.0319) − (24.436)(𝑉 − 0.0319)′ (5.72)′ (𝑉 2 ) − (5.72)(𝑉 2 )′ − + (𝑉 − 0.0319)2 (𝑉 2 )2

𝑑 𝐶=0 𝑑𝑥 ′ 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) ( ) = 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)2 𝑑 𝑛 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥

𝑓 ′ (𝑣) = 0 −

(0)(𝑉 − 0.0319) − (24.436)(1 − 0) (0)(𝑉 2 ) − (5.72)(2𝑉) + (𝑉 − 0.0319)2 (𝑉 4 )

𝑓 ′ (𝑣) =

(24.436) 11.44 + 2 (𝑉 − 0.0319) (𝑉 3 )

Para 100°C 𝑓 ′ (𝑣) = (1)′ −

(30.586)′ (𝑉 − 0.0319) − (30.586)(𝑉 − 0.0319)′ (5.72)′ (𝑉 2 ) − (5.72)(𝑉 2 )′ + (𝑉 − 0.0319)2 (𝑉 2 )2

𝑑 𝐶=0 𝑑𝑥 ′ 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) ( ) = 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)2

𝑑 𝑛 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥

𝑓 ′ (𝑣) = 0 −

(0)(𝑉 − 0.0319) − (30.586)(1 − 0) (0)(𝑉 2 ) − (5.72)(2𝑉) + (𝑉 − 0.0319)2 (𝑉 4 )

𝑓 ′ (𝑣) =

(30.586) 11.44 − 2 (𝑉 − 0.0319) (𝑉 3 )

4. Posteriormente empleamos el método de Newton-Raphson Para 25°C Vo= 780.31 (l/mol) n Vo f(vo) f ‘ (vo) f (vo)/ f ‘ (vo) Vo- f (vo)/ f ‘(vo) -5 -5 1 780.31 1.235*10 4.011*10 0.3066 780.003356 -8 2 780 5*10 Podemos observar que el acercamiento esta suficientemente cerca del cero para considerar a 7810 como raíz. Para 100°C Vo= 30.586(l/mol) n Vo f(vo) f ‘ (vo) f (vo)/ f ‘ (vo) Vo- f (vo)/ f ‘(vo) -3 1 30.586 5.07*10 0.03236 0.15666 30.429 2 30.429 -3.6796*10-5 Podemos observar que el acercamiento está suficientemente cerca del cero para considerar a 30.429 como raíz. 5. Porcentaje de diferencia de volumen molar 𝐸 = 100 ∗

𝑉𝑓 − 𝑉𝑜 𝑉𝑜

Para 25°C 780 − 780.31 𝐸1 = 100 ∗ | | = 0.0397 % 780.31 Para 100°C 30.429 − 30.586 𝐸2 = 100 ∗ | | = 0.513 % 30.586

6. Conclusión E2 > E1 El vapor de agua se acercara más al comportamiento ideal de 25°C que al de 100°C Termoquímica Tema aplicación: integral definida Tres moles de un gas ideal se expanden isotérmicamente y reversiblemente desde 20 a 60 litros. Calcula el trabajo de expansión Datos n= 3moles T= 27°C → 300°K Vi = 20 L Vf = 60 L W = ¿? Como la expansión es isotérmica, ∆E=0 y ∆H=0. Como la expansión es irreversible, se usa la siguiente expresión 𝑣𝑓

𝑤 = ∫ 𝑝𝑑𝑣 𝑣𝑜

Como gas ideal 𝑝=

𝑛𝑅𝑇 𝑉

Reemplazando en la expresión anterior 𝑣𝑓

𝑤=∫ 𝑣𝑜

𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑣 𝑉

𝑣𝑓

𝑤 = 𝑛𝑅𝑇 ∫ 𝑣𝑜

𝑑𝑣 𝑣

𝑣𝑓

𝑤 = 𝑛𝑅𝑇 ln 𝑣𝑣𝑜

𝑤 = 𝑛𝑅𝑇 ln 𝑣𝑓 − ln 𝑣0

𝑤 = 𝑛𝑅𝑇 ln

𝑤 = 3𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 ∗ 0.082

𝑣𝑓 𝑣𝑜

𝐿 ∗ 𝑎𝑡𝑚 60 ∗ 300°𝐾 ln °𝐾 ∗ 𝑚𝑜𝑙 20

𝑤 = 81.076 𝐿 ∗ 𝑎𝑡𝑚