Mapa De Karnaugh

DISCIPLINA

Eletrônica Digital Material Adicional (Mapa de Karnaugh)

Tópico Adicional -Simplificação de Expressões Lógicas Diagrama de Veitch-Karnaugh Simplificação de Expressões e Circuitos através do Diagrama (Mapa) de VeitchKarnaugh Este documento aborda a simplificação de expressões por meio de diagramas de VeitchKarnaugh. Após o estudo, iremos observar que chegaremos mais facilmente à expressão mínima utilizando este método. O mapa de Veitch-Karnaugh, ou simplesmente mapa de Karnaugh, é uma tabela montada de forma a facilitar o processo de minimização das expressões lógicas. Os mapas de Karnaugh permitem a simplificação de expressões com duas, três, quatro, cinco ou mais variáveis. Ele é formado por 2n células (n é o número de variáveis de entrada). Portanto, o mapa de Karnaugh tem tantas células quanto o número de linhas de uma tabela-verdade. Num Mapa de Karnaugh, a representação da relação entre as variáveis de entrada e suas saídas correspondentes é feita da seguinte forma: • cada célula corresponde a uma condição de entrada; • as saídas são indicadas dentro das células correspondentes; • a disposição das células entre si é tal que facilite o enlace entre células adjacentes. Os conceitos de adjacência e enlace são de fundamental importância para a compreensão e aplicação do mapa de Karnaugh. Adjacência: duas células são adjacentes entre si quando apenas uma de suas variáveis de entrada muda de valor. Exemplo: A tabela verdade de duas variáveis (porta OR) pode ser representada por quatro células: AB = 00

0

AB = 01

1

AB = 10

1

AB = 11

1

Pode-se afirmar que: as células AB = 00 e AB = 01 são adjacentes (apenas B muda de valor); as células AB = 00 e AB = 10 são adjacentes (apenas A muda de valor); as células AB = 01 e AB = 10 não são adjacentes (A e B mudam de valor) Enlace (região): é o agrupamento de células adjacentes, com saídas iguais, do qual se pode extrair diretamente uma expressão booleana simplificada. Esta simplificação advém da aplicação do teorema da absorção. Assim, num enlace entre duas células adjacentes, pode-se extrair uma expressão booleana simplificada já que a variável que muda de valor desaparece. A expressão de um enlace (agrupamento) depende das saídas consideradas e das variáveis de entrada que não mudam de valor nas células, ou seja: Saídas = 1 • cada enlace é um produto (AND) entre as variáveis que não mudam de valor; • a operação entre enlaces é uma soma (OR). Saídas = 0 • cada enlace é uma soma (OR) entre as variáveis que não mudam de valor; • a operação entre enlaces é um produto (AND). Podemos construir o mapa de Karnaugh para as Saídas = 0 tomando o complemento da função S (Saídas = 1), bastando, apenas, inverter a saída (Teorema de De Morgan). Observações: • A resolução de um mapa pode ser realizada por saídas iguais a 1 ou 0. Ambas as soluções são satisfatórias, podendo-se obter expressões booleanas iguais ou equivalentes. A primeira

2

• • • • • • •

•

solução será a utilizada, predominantemente, nesta disciplina. Normalmente, a resolução por saídas iguais a 0 só é utilizada quando apenas um enlace é formado. Se o mapa possui apenas um enlace, a expressão da saída terá apenas um termo (produto ou soma). O número de células que pode fazer parte de um enlace está também relacionado com a equação 2n ( sabendo que n varia de 0 ao número de variáveis do mapa considerado). Um enlace envolvendo uma única célula não resulta em simplificação. Quando não são possíveis enlaces envolvendo mais de uma célula, significa que a expressão não pode ser simplificada algebricamente. Quanto maior o enlace, menor o termo correspondente e, portanto, mais simplificada fica a expressão booleana do mapa de Karnaugh considerado. Dois enlaces podem ter uma célula em comum. Quanto menor o número de enlaces, menos termos tem a expressão booleana do mapa de Karnaugh considerado e, portanto, mais simplificada ela fica; O uso do irrelevante num enlace pode simplificar ainda mais a expressão booleana final. Assim, sempre que uma ou mais saídas forem irrelevantes, cada uma delas deve ser considerada 0 ou 1 de acordo com a conveniência, ou seja, de forma que os enlaces se tornem maiores para que seus termos correspondentes se tornem menores. A resolução de um mapa de Karnaugh com enlaces menores do que os possíveis ou com um número de enlaces maior do que o necessário, resulta, também, numa expressão booleana correta, porém, não totalmente simplificada.

Finalmente, com os conceitos de adjacência e enlace conhecidos, pode-se partir para a construção dos mapas de Karnaugh e sua aplicação na simplificação de expressões booleanas. Mapas de Karnaugh para Duas Variáveis O mapa de Karnaugh para duas variáveis (S = f (A,B)) é formado por quatro células (22 = 4), dispostas de acordo com a figura abaixo. Tabela Verdade A B Minitermos 0 0 m0 = A B 0 1 m1 = A B 1

0

1

1

Mapa de Karnaugh

m1

A m2

m3

A

m 2 =A B m3 = A B

B

B m0

Com duas variáveis é possível formar várias regiões (enlaces), como por exemplo: Região A B = 1

A

A

B

B

m0 m2

m1 m3

Região A = 1

A

A

B

B

m0 m2

m1 m3

Região A B = 1

Região A B = 1

Região A B = 1

B B A m0 m1

B B A m0 m1

B B A m0 m1

A m2 m3

A m2 m3

A m2 m3

Região A = 1

Região B = 1

Região B = 1

B B A m0 m1

B B A m0 m1

B B A m0 m1

A m2 m3

A m2 m3

A m2 m3

Logo, notamos que cada linha da tabela-verdade possui sua região própria no diagrama de Karnaugh. Essas regiões são portanto os locais onde devem ser colocados os valores que a expressão assume nas diferentes possibilidades.

3

Passos para Simplificação: • formar pares; • formar termos isolados; • a expressão simplificada será o somatório das regiões (enlaces) encontradas. Para entendermos melhor o significado desse conceito, observe os exemplos apresentados a seguir para duas variáveis:

B B A 1

A

B B

A

A S= A . B

1

A

A

A

A S= A

A 1

B B

A 1

1 1

A 1

1

S= A

B B A 1 1

B B A 1 1

A 1

A 1

A

1

S=A + B

S= A + B

B B

B B

B B

1

1 1

A

A

A 1

S= B

B B A 1

S=A + B

1

S=A. B

B B A 1

A S=B

B B

A 1

1

S=A.B

B B 1 1

B B A

S= A .B

B B A 1 1

A

B B A

A

A

S= A B + A B ou S=A ⊕ B

1

A

1 1

S=AB + A B ou S=A ⊗ B

1 S= A + B

B B A

A S=“1”

S=“0”

Condição Irrelevante: Sempre que uma ou mais saídas forem irrelevantes, cada uma delas deve ser considerada 0 ou 1 de acordo com a conveniência, ou seja, de forma que os enlaces se tornem maiores para que seus termos correspondentes se tornem menores. Assim, o uso da saída irrelevante (pode assumir qualquer valor , 0 ou 1) em um enlace pode simplificar ainda mais a expressão booleana final.

B B A X

1

A

B B A 1

A X 1 S= A

S=A + B

4

Exercício Resolvido: Dada a tabela-verdade abaixo, obtenha a expressão simplificada utilizando o Diagrama de Veitch-Karnaugh. Tabela-verdade A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 0 1 1 1

Solução: Mapa de Karnaugh:

B

B

1

1 1

A

A

S=A+B

Mapas de Karnaugh para Três Variáveis O mapa de Karnaugh para três variáveis (S = f(A,B,C)) é formado por oito células (23 = 8) dispostas como mostra a figura a seguir: Tabela-Verdade A 0

B 0

C 0

Minitermos m0 = A B C

0

0

1

0

1

0

m1 = A B C m 2 =A B C

0

1

1

m3 = A B C

1

0

0

m 4 =A B C

1

0

1

m 5 =A B C

1

1

0

m 6 =A B C

1

1

1

m7 = A B C

Mapa de Karnaugh

B A

A C

m0 m4

m1 m5

C

B m3 m7

m2 m6

C

5

Com três variáveis é possível formar várias regiões (enlaces), como por exemplo: Região A B C = 1

B

B A

A C

m0 m4

m1 m3 m2 m5 m7 m6

C

C

B

B

A C

m0 m4

m1 m3 m2 m5 m7 m6

C

C

B B A m0 m1 m3 m2

A m4 m5 m7 m6

A m4 m5 m7 m6

A

A C

m0 m4

C

C

Região B C = 1

A m4 m5 m7 m6

A m4 m5 m7 m6

C

C

C

C

Região A = 1

A

A C

B

m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6

C

C

Região B = 1

B

B

C

C

B B A m0 m1 m3 m2

C

m1 m3 m2 m5 m7 m6

C

B B A m0 m1 m3 m2

B

C

C

Região B C = 1

Região A = 1

B

Região A B C = 1

B B A m0 m1 m3 m2 C

Região B C = 1

A

Região A B C = 1

C

A

A C

B

m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6

C

C

Passos para Simplificação: • formar quadras; • formar pares; • formar termos isolados; • a expressão simplificada será o somatório das regiões (enlaces) encontradas. Para entendermos melhor o significado desse conceito, observe os exemplos apresentados a seguir para três variáveis:

B

B

A

1 1

C

C

A

B

B 1

A C

1 1

A C

C

1

1 1

A

A C

C

C

B A

A C

C

1

C

1

C

S= A

A C

1

A C

1

A C

1 1

1 1

C

B 1 1

1 1

C S=“1”

B

1

B A

A C

C

B

C

B X

1 1

C

S=A

1

B

1 1

S= C

A C

A

B

1

C

B 1

S= A . C

A

S= A Condição Irrelevante: 1 X

C

B 1 1

A

A C

1 1

B 1

A C

C

S=B + C

B 1

C

B

B

1 1 C

B 1

1

S= A . C

S=C

A

B

1

A C

B

B

C

A

A C S= B . C

A

B

1

C

S= A . B

C

1 1

C

B

1 X C

S= B

6

Exercício Resolvido: Dada a tabela-verdade abaixo, obtenha a expressão simplificada utilizando o Diagrama de Veitch-Karnaugh. Tabela-verdade A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S 1 1 0 1 0 1 0 1

Solução: Mapa de Karnaugh:

B

B 1

A

1 1

A C

C

1 1 C

S=C+ A . B Mapas de Karnaugh para Quatro Variáveis O mapa de Karnaugh para quatro variáveis (S = f (A,B,C,D)) é formado por dezesseis células (24 = 16) dispostas como mostra a figura a seguir: Tabela-verdade A 0

B 0

C 0

D 0

Minitermos m0 = A B C D

0

0

0

1

0

0

1

0

m1 = A B C D m2 =A B C D

0

0

1

1

m3 = A B C D

0

1

0

0

m4 =A B C D

0

1

0

1

m 5 =A B C D

0

1

1

0

m 6 =A B C D

0

1

1

1

m7 = A B C D

1

0

0

0

m 8 =A B C D

1

0

0

1

m 9 =A B C D

1

0

1

0

m10 =A B C D

1

0

1

1

m 11 = A B C D

1

1

0

0

m12 = A B C D

1

1

0

1

m 13 =A B C D

1

1

1

0

1

1

1

1

m14 = A B C D m15 = A B C D

Mapa de Karnaugh: C

C

7

A

A

m0 m4 m12 m8

D

m1 m5 m13 m9 D

m3 m7 m15 m11

m2 m6 m14 m10

B B

B

D

Com quatro variáveis é possível formar várias regiões (enlaces), como por exemplo:

A

A

A

A

A

A

Região A B C D = 1 C C m0 m1 m3 m2 B m4 m5 m7 m6 B m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 B D D D Região A B C = 1 C C m0 m1 m3 m2 B m4 m5 m7 m6 B m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 B D D D Região A B = 1 C C m0 m1 m3 m2 B m4 m5 m7 m6 B m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 B D D D Região A = 1 C C

A

A

m0 m4 m12 m8

D

A

A

m0 m4 m12 m8

D

A

A

m0 m4 m12 m8

D

Região A B C D= 1 C C m1 m3 m2 B m5 m7 m6 B m13 m15 m14 m9 m11 m10 B D D Região A C D = 1 C C m1 m3 m2 B m5 m7 m6 B m13 m15 m14 m9 m11 m10 B D D Região C D= 1 C C m1 m3 m2 B m5 m7 m6 B m13 m15 m14 m9 m11 m10 B D D Região C = 1 C C

8

A

A

m0 m4 m12 m8

m1 m5 m13 m9 D

D

m3 m7 m15 m11

m2 B m6 B m14 m10 B

A

A

D

m0 m4 m12 m8

D

m1 m3 m5 m7 m13 m15 m9 m11 D

m2 m6 m14 m10

B B

B

D

Passos para Simplificação: formar oitavas; formar quadras; formar pares; formar termos isolados; a expressão simplificada será o somatório das regiões (enlaces) encontradas.

• • • • •

Para entendermos melhor o significado desse conceito, observe os exemplos apresentados a seguir para quatro variáveis:

C

C 1 1

A

C

C

1 1

B B

A

B A

A

1

1

1

1

B D

D

B

D

D

D

S= A .D

A

1 1

B B

A

A

B D

C

C

1 1

A D

D

S=A . B

C

C 1 1

D

1 1 1 1

1 1 1 1 D

D

A

A D

A

A

D

C 1 1 1 1 D

B

1

A 1

B

B B

A

D

1 D

D

B

D

S= B . D

C 1 1

S= A + C Condição Irrelevante:

B

C

C 1

B

S=D

1 1 1 1

B

S= D

C 1 1 1 1

B

D

S= A .D + A .C C 1 1 1 1 D

B

1 1

B

1

B

A

B

A 1

B D

C

C 1

B

D

1 D

B D

S= B .D

9

X

A

A D

C

C 1 X X 1 D

1 1 1 1

X

B

C

C 1

1

X

A

B

A X

B D

B B

1

1 D

D

S=D

X

B

D

S= B

Exercício Resolvido: Dada a tabela-verdade abaixo, obtenha a expressão simplificada utilizando o Diagrama de Veitch-Karnaugh. Tabela-verdade A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

Solução: Mapa de Karnaugh:

C

C

A

A

1 1

D

1 1 1 1

1 1 1 1 D

1

B B

B D

S = D + A. C + A . B .C Mapas de Karnaugh acima de 4 variáveis Como visto os mapas de Karnaugh possuem estruturas e aplicações bastante simples. Porém para número de variáveis acima de quatro, faz-se necessário a construção de múltiplos mapas de quatro variáveis (MK4) e o uso (ou abstração) de ilhas (ou vizinhanças) também entre MK4’s. A seguir, são apresentados exemplos de M.K. de cinco variáveis. Mapas de Karnaugh para 5 variáveis O mapa de Karnaugh para cinco variáveis (S = f (A,B,C,D,E)) é formado por trinta e duas células (25 = 32) dispostas como mostra a figura a seguir. Tabela Verdade A B C D E Minitermos

10

0

0

0

0

0

m0 = A B C D E

0

0

0

0

1

m1 = A B C D E

0

0

0

1

0

m2 =A B C D E

0

0

0

1

1

m3 = A B C D E

0

0

1

0

0

m4 =A B C D E

0

0

1

0

1

m 5 =A B C D E

0

0

1

1

0

m 6 =A B C D E

0

0

1

1

1

m7 = A B C D E

0

1

0

0

0

m8 =A B C D E

0

1

0

0

1

m 9 =A B C D E

0

1

0

1

0

m 10 =A B C D E

0

1

0

1

1

m 11 = A B C D E

0

1

1

0

0

m 12 = A B C D E

0

1

1

0

1

m 13 = A B C D E

0

1

1

1

0

m 14 = A B C D E

0

1

1

1

1

m15 = A B C D E

1

0

0

0

0

m 16 = A B C D E

1

0

0

0

1

m 17 = A B C D E

1

0

0

1

0

m 18 =A B C D E

1

0

0

1

1

m 19 = A B C D E

1

0

1

0

0

m 20 =A B C D E

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

m 21 =A B C D E m 22 =A B C D E

1

0

1

1

1

m 23 = A B C D E

1

1

0

0

0

m 24 = A B C D E

1

1

0

0

1

m 25 =A B C D E

1

1

0

1

0

m 26 =A B C D E

1

1

0

1

1

m 27 =A B C D E

1

1

1

0

0

m 28 =A B C D E

1

1

1

0

1

m 29 =A B C D E

1

1

1

1

0

m 30 =A B C D E

1

1

1

1

1

m 31 = A B C D E

Mapa de Karnaugh

D B

B

m0 m4 m12 m8

m1 m5 m13 m9

D m3 m7 m15 m11

E

A A m2 m6 m14 m10

D

C

B

C

B

C

E

m16 m20 m28 m24

m17 m21 m29 m25

D m19 m23 m31 m27

E

m18 m22 m30 m26

C

C C

E

E E exemplo: Com cinco variáveis é possível formar várias regiões (enlaces), como por

D B

m0 m4

m1 m5

Região A B C D E = 1

D m3 m7

A A

m2 m6

D

C C

B

m16 m20

m17 m21

D m19 m23

m18 m22

C C

11

B

m12 m8

E

m13 m9 E

D B

B

m0 m4 m12 m8

E

m1 m5 m13 m9 E

D B

B

m0 m4 m12 m8

E

m1 m5 m13 m9 E

D B

B

m0 m4 m12 m8

E

m1 m5 m13 m9 E

m15 m11

m14 m10

B C

E

A A

m2 m6 m14 m10

B

C

B

C

m17 m21 m29 m25

Região A C E = 1

A A

m2 m6 m14 m10

C

B

C

B

C

E

m17 m21 m29 m25

Região C E = 1

A A

m2 m6 m14 m10

B

C

B

C

E

m16 m20 m28 m24

m17 m21 m29 m25

m19 m23 m31 m27

C C

m18 m22 m30 m26

C C C

E

m19 m23 m31 m27

E

E

C

D

D

C

m18 m22 m30 m26

E

E

E

D

m19 m23 m31 m27

D

D m16 m20 m28 m24

C

E

E

E

D

m3 m7 m15 m11

m16 m20 m28 m24

m30 m26

D

D

C

m31 m27

E

E

E

m3 m7 m15 m11

m29 m25

Região B C D E = 1

D m3 m7 m15 m11

m28 m24

m18 m22 m30 m26

C

C C

E

Região A = 1

D B

B

m0 m4 m12 m8

E

m1 m5 m13 m9 E

D m3 m7 m15 m11

A A m2 m6 m14 m10

B

C

D

D

C

B

C

E

m16 m20 m28 m24

m17 m21 m29 m25

m19 m23 m31 m27

E

E

m18 m22 m30 m26

C C C

E

Passos para Simplificação: • formar hexas; • formar oitavas; • formar quadras; • formar pares; • formar termos isolados; • a expressão simplificada será o somatório das regiões (enlaces) encontradas. Para entendermos melhor o significado desse conceito, observe os exemplos apresentados a seguir para cinco variáveis:

D B

B

D 1 1

A A

D

D

C C

C

B

B

1

1

1

1

C

12

C E

E

C

E

E

E

E

S = A . B .D.E + A.B.C

D

D

A A

D

D

C 1 1

B

B

C 1 1

B

C

B

C

C

E

E

C

E

E

E

E

S = C. D .E Exercício Resolvido: Dada a tabela-verdade abaixo, obtenha a expressão simplificada utilizando o Diagrama de Veitch-Karnaugh. Tabela-verdade A B C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Solução:

D 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

E 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

S 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Mapa de Karnaugh:

D

D B

1 1

1

1 1

A A

D

D

C

C

C

B

1

1

C

13

B

1 1

1

E

E

B

1 1

1

1

1

1

C

C

E

E

E

E

S =C DE + ABC + A B D E + AB C D + ABD E + A B DE + ACD E

Quadro Resumo: Diagramas (Mapas) de Karnaugh 2 variáveis

B

B

A

A 3 variáveis

B

B A

A C

C

C

4 variáveis

C

C

B A

B

A

B D

D

D

5 variáveis

D

D

A A

D

D

C

B

C

B

C

B

C

B

C

E

E

E

C

E

E

E

Observações: •

É importante notar que uma oitava agrupada representa maior simplificação que uma quadra e uma quadra agrupada maior simplificação que um par e este maior simplificação que um termo isolado. Portanto, deve-se preferir agrupar em oitava, e se não for possível em quadras e se também não for possível, em pares, mesmo que alguns elementos já tenham sido considerados

14

em outros agrupamentos, lembrando sempre, que devemos ter o menor número de agrupamentos possíveis. •

É fácil perceber que para mais de cinco variáveis, o processo de minimização utilizando Mapas de Karnaugh fica difícil de ser executado, pois, a montagem do mapa é trabalhosa e a visualização das adjacências é um pouco mais complicada. Para estas situações, utilizam-se outros métodos ou, então, outros dispositivos eletrônicos que são capazes de implementar circuitos lógicos sem a necessidade de minimização da expressão booleana correspondente.

•

Casos que não admitem simplificação: as funções Ou Exclusivo e Coincidência. Exemplos:

B B

S=A⊕B

1

A

A 1 B

B 1

A

A

1

1

C

C

S=A⊕B⊕C

1 C

•

Para um número par de variáveis: função OU Exclusivo complementar à função Coincidência e para um número ímpar de variáveis: função OU Exclusivo igual à função Coincidência.

•

Como dito anteriormente, podemos utilizar o Mapa de Karnaugh considerando os casos em que a expressão é nula (os zeros do mapa). Desta forma, podemos tomar o complemento da função S, bastando, apenas, inverter a saída. Isso nada mais é do que utilizarmos o Teorema de De Morgan, como mostra o exemplo a seguir: Exemplo:

B B A 0

A 1

1 1

S =A B S =A B S =A +B

•

Existem outras formas de elaboração do Mapa de Karnaugh, como por exemplo: Mapa de Karnaugh para 4 variáveis (S=f(A,B,C,D)) CD 00 AB

01

11

10

00 01 11 10

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