Matematica- Metodica Predarii Matematicii

Didactica matematicii în învăţământul primar

1

Cuprins 1 Formarea conceptului de număr natural 1.1 Elemente pregătitoare pentru înţelegerea unor concepte matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Metodologia 2.1 Predarea 2.2 Predarea 2.3 Predarea

predării numerelor naturale numerelor naturale de la 0 la 10 . . . . . . . . . . . . numerelor naturale de la 0 la 100 . . . . . . . . . . . numerelor naturale mai mari decât 100 . . . . . . . .

5 5 7 8

3 Metodologia predării adunării numerelor naturale 3.1 Adunarea numerelor naturale în concentrul 0 − 10 . . . . . . . 3.2 Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0 − 100 3.2.1 Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0 − 100 fără trecere peste ordin . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0 − 100 cu trecere peste ordin . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 .

9 9 11

14 17

4 Metodologia predării operaţiilor de înmulţire şi împărţire 4.1 Operaţia de înmulţire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tabla înmulţirii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Înmulţirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000 . . 4.4 Operaţia de împărţire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Împărţirea cu rest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ordinea efectuării operaţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

18 18 18 20 22 24 26

. . . .

27 27 29 31 32

. . . . .

33 33 34 35 36 37

5 Metodologia predării fracţiilor 5.1 Unitate fracţionară. Fracţii . . . . 5.2 Compararea fracţiilor . . . . . . . 5.3 Operaţii cu fracţii . . . . . . . . . 5.4 Aflarea unei fracţii dintr-un întreg 6 Măsurare şi unităţi de măsură 6.1 Mărime şi măsurare . . . . . . 6.2 Măsurarea lungimilor . . . . . 6.3 Măsurarea capacităţii vaselor 6.4 Măsurarea masei . . . . . . . 6.5 Măsurarea timpului . . . . . . 7 Monede şi bancnote

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

3

11

39 2

1 1.1

Formarea conceptului de număr natural Elemente pregătitoare pentru înţelegerea unor concepte matematice

Procesul de formare a reprezentărilor matematice în învăţământul primar trebuie conceput ca o succesiune de activităţi ce solicită: - observare; - intuire; - concretizare; - abstractizare. Deoarece există diferenţe între competenţele matematice ale copiilor, chiar dacă au frecventat sau nu grădiniţa, este necesară o perioadă pregătitoare pentru înţelegerea conceptelor matematice ce urmează a fi introduse pe parcursul învăţământului primar. Proiectată, în special ca timp şi conţinuturi, în urma unei evaluări predictive şi utilizând activităţi diferenţiate sau chiar individualizate, această perioadă trebuie să reprezinte o modalitate de egalizare a şanselor, să asigure tuturor copiilor o bază comună de pornire. Înţelegerea unor concepte matematice, începând cu conceptul de număr natural, de către elevul din învăţământul primar, este condiţionată de cunoştiinţe legate de: 1. Orientare spaţială şi localizări în spaţiu. Începând cu activităţi de observare a obiectelor din clasă şi continuând cu exerciţii-joc, elevii trebuie: - să recunoască şi să numească poziţia unui obiect faţă de alt obiect (stânga-dreapta, sus-jos, faţă-spate, interior-exterior, etc.); - să poziţioneze diverse obiecte în poziţii relative indicate (stânga-dreapta, deasupra-sub, faţă-spate, interior-exterior, etc.); - să apecieze distanţa dintre obiecte sau de la un reper la anumite obiecte (aproape-departe, mai aproape, cel mai îndepărtat, etc.). 2. Grupare de obiecte si formare de multimi dupa criterii date sau identificate. Prin activităţi concrete, elevii vor fi dirijaţi spre formarea unor mulţimi de obiecte având una sau mai multe proprietăţi caracteristice date (încercuieşte grupa florilor, încercuieşte ceea ce se poate mânca, etc.). Sesizare apartenenţei sau neapartenenţei unui element la o mulţime dată conduce la recunoaşterea proprietăţii caracteristice a mulţimii date. Descoperirea regulii de formare a unor modele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere şi continuarea construcţiei este un exemplu de activitate de învăţare poate mai dificilă dar absolut necesară.

3

3. Sortarea si clasificarea obiectelor sau a multimilor dupa criterii variate. Se recomandă activităţi de sortare şi clasificare a unor obiecte date după criterii date sau identificate prin observare, selectarea unor figuri geometrice desenate după criterii date şi decuparea lor precum şi precizarea criteriilor utilizate (am ales obiectele de aceiaşi culoare, am ales cercurile, etc.). Fără a utiliza terminologia specifică, trebuie cultivată capacitatea elevilor de vârstă şcolară mică de a utiliza propoziţia logică şi operatorii logici (iniţial negaţia, conjuncţia, disjuncţia ) prin activităţi concrete de tipul: - sortarea obiectelor care nu au o anumită proprietate dată (nu sunt roşii, nu sunt pătrate, etc.); - sortarea obiectelor care posedă două proprietăţi simultan (roşu şi triunghi, verde şi pătrat, etc.); - sortarea obiectelor care au cel puţin o proprietate dată (roşu sau verde, trunghi sau pătrat, etc.). 4. Aprecierea globala, compararea numarului de elemente a doua multimi prin procedee variate, inclusiv punere în corespondenta. La vârsta de şase-şapte ani copiii sunt capabili să stabilească relaţii între elementele a două mulţimi care să conducă la compararea cantitativă a lor şi exprimarea rezultatului comparaţiei prin sintagme de tipul: mai mult, mai puţin, tot atâtea. Acest lucru permite ordonarea crescătoare sau descrescătoare a două sau mai multe mulţimi. De asemenea, permite familiarizare elevilor cu corespondenţa unu la unu (funcţia bijectivă) şi cu clasa de echivalenţă a mulţimilor cu tot atâtea elemente, noţiuni absolut necesare în introducerea conceptului de număr natural. Activităţile de punere în corespondenţă nu se rezumă la formarea de perechi între elementele a două mulţimi ci pot fi şi de construire a unor mulţimi echivalente cu o mulţime dată. În jurul vârstei de şase ani apar şi reprezentările despre invarianţa cantităţii. În clasa pregătitoare elevul poate înţelege că o mulţime rămâne cu tot atâtea elemente indiferent de forma elementelor, poziţia lor spaţială, mărimea elementelor, culoare ori distanţa dintre ele. Se recomandă exerciţii de identificare a elementelor unei mulţimi, când se ştie regula de corespondenţă dintre elementele respectivei mulţimi şi elementele altei mulţimi date, exerciţii de identificare a regulii de corespondenţă dintre grupuri de obiecte, desene sau numere ordonate.

4

2

Metodologia predării numerelor naturale

2.1

Predarea numerelor naturale de la 0 la 10

Primele zece numere naturale constituie fundamentul pe care se dezvoltă întregul edificiu al gândirii matematice a copilului şi de aceea trebuie să i se acorde o atenţie deosebită. În practica didactică a şcolii româneşti introducerea numărului natural se realizează pe baza corespondenţei între mulţimi finite. Activităţile de stabilire a corespondenţei element cu element a două sau mai multe mulţimi urmăresc să dezvolte la elevi înţelegerea conceptului de număr natural ca o clasă de echivalenţă a mulţimilor echipotente cu o mulţime dată. Numărarea mecanică sau reproducerea denumirii unui număr nu înseamnă însuşirea conceptului de număr natural. Conform literaturii de specialitate, însuşirea conştientă de către elevi a numărului natural presupune: • înţelegerea aspectului cardinal al numărului natural (proprietate comună a mulţimilor cu tot atâtea elemente); • înţelegerea aspectului ordinal al numărului natural (locul fiecărui număr în şirul numerelor naturale); • înţelegerea relaţiei de ordine pe mulţimea numerelor naturale şi a terminologiei specifice (relaţiile mai mic, mai mare dintre numere ce corespund relaţiilor mai puţin, respectiv mai mult dintre mulţimile ce reprezintă numerele date); • cunoaşterea cifrelor corespunzătoare numerelor; • citirea şi scrierea cifrelor corespunzătoare numerelor. În formarea conceptului de numar natural se recomandă parcurgerea următoarelor etape (J. Bruner): • etapa acţională - acţiuni cu mulţimi de obiecte concrete; • etapa iconică - schematizarea acţiunii şi reprezentarea grafică a mulţimilor; • etapa abstractă - traducerea simbolică a acţiunilor. Astfel, dacă la început predomină activităţile cu obiecte, pe parcursul evoluţiei de la concret la abstract, de la intuitiv la logic se vor utiliza tot mai mult reprezentările grafice. Cel mai utilizat model metodologic pentru introducerea numărului natural, să luăm spre exemplu numărul 7, parcurge următoarele etape: 5

• se construieşte o mulţime cu tot atâtea elemente cât este ultimul număr cunoscut, în cazul nostru 6; • se construieşte o altă mulţime cu tot atâtea elemente şi se verifică prin punere în corespondenţă şi prin numărare; • se adaugă în a doua mulţime încă un element; • se pune mulţimea obţinută în corespondenţă unu la unu cu mulţimea iniţială şi se constată că noua mulţime are cu un element mai mult decât prima mulţime; • se afirmă de către profesor că noua mulţime are şapte elemente; • se construiesc alte mulţimi cu tot atâtea elemente ca mulţimea cu şapte elemente, formate din alte obiecte pentru a arăta independenţa noţiunii de alegerea reprezentanţilor; • se prezintă cifra (simbolul grafic) corespunzătoare numărului nou introdus; • se recunoaşte cifra în diverse contexte; • se stabileşte relaţia de ordine dintre noul număr şi numerele predate anterior; • se compune noul număr din precedentul şi încă o unitate precum şi din numere diferite; • se descompune noul număr în diferite forme. Sugestii metodologice: • Vor fi concepute şi situaţii de învăţare ce exersează deprinderi de asociere a numărului la cantitate, de asocire a cantităţii la număr şi de estimare a numărului de elemente ale unei mulţimi date. • Literatura de specialitate recomandă ca în predarea-învăţarea numărului natural să fie evitată utilizarea termenului adunare sau a simbolului "+" pentru a desemna mulţimea cu un element în plus sau în cazul descompunerii unui număr natural. În construcţia axiomatică a mulţimii numerelor naturale operaţiile cu numere naturale se introduc, evident, după definirea numerelor naturale deci nu putem defini numărul natural cu ajutorul unei operaţii.

6

2.2

Predarea numerelor naturale de la 0 la 100

Trecerea de la concentrul 0-10 la numere mai mari decât 10 şi mai mici decât 100 reprezintă primul pas spre înţelegerea caracteristicilor sistemului de numeraţie: • zecimal - zece unităţi de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat următor; • poziţional - o cifră poate reprezenta diferite valori, în funcţie de poziţia pe care o ocupă în scrierea unui număr. Esenţial din punct de vedere metodic în tratarea acestei teme este partiţia unei mulţimi în submulţimi de câte 10 elemente şi înţelegerea de către elevi a unei zeci ca unitate de ordin superior. Demersul metodic pentru introducerea numărului 11 este următorul: • se formează o mulţime cu zece elemente; • se formează o mulţime cu un element; • se reunesc cele două mulţimi şi se obţine o mulţime cu 10 elemente şi încă 1 element; • se afirmă de către profesor că această mulţime are unsprezece elemente iar simbolul numărului unsprezece este 11, adică două cifre de 1, prima reprezentând numărul zecilor iar a doua numărul unităţilor. Asemănător se introduc numerele 12, 13, . . . , 19, considerând o mulţime cu 10 elemente şi câte o mulţime cu 2, 3, . . . , 9 elemente. În fine, utilizând reuniunea a două mulţimi cu câte 10 elemente se introduce numărul 20. Activităţile de reunire a mulţimilor formate dintr-un număr de submulţimi disjuncte de câte 10 elemente cu o mulţime formată dintr-un număr mai mic decât 10 elemente ne conduce la construcţia numerelor naturalemai mici decât 100. Spre exemplu, considerând o mulţime cu 20 de elemente şi o mulţime cu 7 elemente (mulţimi disjuncte) reuniunea lor este o mulţime cu douăzeci şi şapte de elemente cu simbolul grafic 27. În particular, reunind o mulţime cu 90 de elemente cu o mulţime cu 10 elemente se introduce o nouă unitate de numeraţie numită suta.

7

2.3

Predarea numerelor naturale mai mari decât 100

Formarea unui număr mai mare decât 100 nu ridică probleme deosebite, urmând algoritmul cunoscut de la formarea numerelor mai mari decât 10. Spre exemplu: 1 sută şi încă 1 unitate formează 101, 1 sută, 3 zeci şi 5 unităţi formează 135, etc. Singura dificultate faţă de concentrele ulterioare este legată de formarea, citirea şi scrierea numerelor ce conţin pe zero, spre exemplu 230, 507 unde cifra 0 arată lipsa unităţilor, respectiv a zecilor. Predarea numerelor naturale mai mari decât 100 presupune introducerea noţiunilor de ordin şi clasă. Până acum au fost introduse trei unităţi de calcul: unitatea (simplă), zecea şi suta. Elevii ştiu deja că 10 unităţi simple formează 1 zece, 10 zeci formează 1 sută şi odată cu introducerea unei noi unităţi mia formată din 10 sute, se conturează ideea că 10 unităţi de un anumit fel formează 1 unitate, evident mai mare. Continuând procedeul se obţine: 10 unităţi (simple) = 1 zece 10 zeci = 1 sută 10 sute = 1 mie 10 mii = 1 zece de mii 10 zeci de mii = 1 sută de mii 10 sute de mii = 1 milion 10 milioane = 1 zece de milioane 10 zeci de milioane = 1 sută de milioane 10 sute de milioane = 1 miliard (bilion) .. . . Fiecărei unităţi de calcul i se ataşează un ordin ce reprezintă numărul de ordine de la dreapta la stânga în scrierea numărului. Astfel: • unităţile (simple) vor fi numite unităţi de ordinul 1; • zecile vor fi numite unităţi de ordinul 2; • sutele vor fi numite unităţi de ordinul 3; • miile vor fi numite unităţi de ordinul 4; • ............ Este uşor de observat de către elevi că grupuri de câte trei ordine consecutive, începând cu primul, se numesc la fel (unităţi, zeci de unităţi, sute de unităţi) ceea ce conduce la definirea unei noi structuri numită clasă. Clasele se numerotează cu cifre romane şi se denumesc după numele unităţilor care intră în componenţa sa. Astfel, avem: 8

• I - clasa unităţilor formată din ordinele1, 2, 3; (unităţi, zeci, sute) • II - clasa miilor formată din ordinele 4, 5, 6; (mii, zeci de mii, sute de mii) • III - clasa milioanelor formată din ordinele 7, 8, 9; (milioane, zeci de milioane, sute de milioane) • ............ În scrierea numerelor cu mai multe cifre evidenţierea claselor se face prin lăsarea unui spaţiu liber între ele (1 234, 352 207, etc.). Pentru citirea numerelor cu mai multe cifre se grupează mai întâi unităţile pe clase, începând cu prima clasă, apoi se citeşte numărul pe clase, cu indicarea unităţilor din care este formată fiecare clasă. Exemplu: • 547975265381; • 547 975 265 381; • 547 miliarde 975 milioane 265 mii 381. După însuşirea ordinelor şi claselor se trece la formarea, scrierea şi citirea numerelor din mai multe cifre, o atenţie deosebită acordându-se numerelor care conţin cifra 0, care semnifică absenţa unităţilor de ordinul corespunzător poziţiei cifrei 0.

3

Metodologia predării adunării numerelor naturale

3.1

Adunarea numerelor naturale în concentrul 0 − 10

Introducerea operaţiei de adunare a numerelor naturale se face utilizând reuniunea a două mulţimi disjuncte. Folosind exemple cu mulţimi diverse, elevii trebuie să înţeleagă că rezultatul adunării a două numere este cardinalul reuniunii a două mulţimi disjuncte, ale căror cardinale sunt numerele ce se adună. Formarea şi însuşirea operaţiei de adunare în concentrul 0 − 10 presupune parcurgerea următoarelor etape: • etapa perceptivă (concretă); • etapa simbolică; 9

Figure 1: Reprezentare simbolică a adunării • etapa abstractă. Etapa concretă În prima etapă elevii vor desfăşura activităţi cu mulţimi concrete. Spre exemplu: elevii formează o mulţime cu 2 beţişoare şi o mulţime cu 3 beţişoare. Reunind cele două mulţimi elevii vor obţine o mulţime cu 5 beţişoare. Se repetă acţiunea folosind alte obiecte (creioane, flori, degete, etc.) până când elevii conştientizează că reunind o mulţime cu 2 obiecte cu o mulţime cu 3 obiecte se obţine o mulţime cu 5 obiecte. În această etapă cardinalul reuniunii este rezultatul procesului de numărare sau procesul de compunere a două numere. Etapa simbolică este etapa utilizării reprezentărilor simbolice. Se introduce acum semnul ” + ”, numit plus, prin care exprimăm în scris operaţia de adunare. Spre exemplu, dacă am reunit o mulţime având două elemente cu o mulţime având 3 elemente, atunci pentru numărul elementelor reuniunii vom utiliza scrierea 2 + 3. Deoarece 2 + 3 şi 5 reprezintă numărul de elemente al aceleiaşi mulţmi vom utiliza semnul ” = ”, numit egal şi vom scrie 2 + 3 = 5. În etapa abstractă dispare suportul intuitiv şi se folosesc doar numerele. Cele două numere care se adună se numesc termenii adunării iar rezultatul adunării se numeşte sumă sau total. După o serie de exerciţii, pornind de la operaţii cu mulţimi concrete şi parcurgând cele trei etape se va evidenţia proprietatea de comutativitate a adunării şi simetria relaţiei de egalitate ceea ce exprimă faptul că un număr se poate descompune în suma a două numere (în cazul exemplului nostru: 5 = 2 + 3, 5 = 3 + 2). Prin exerciţii de partiţionare (descompunere) a unei mulţimi cu 5 elemente în două submulţimi disjuncte elevii descoperă că nu doar 2 + 3 = 5 ci sunt şi alte perechi de numere a căror sumă este 5. În particular elevii regăsesc 4 + 1 = 5, ceea ce ştiau sub altă formă de la formarea numărului 5. Odată cu consolidarea operaţiei de adunare a două numere natuarale în concentrul 0 − 10, elevii vor reuşi să adune şi trei numere (în acelaşi 10

Figure 2: Reprezentare simbolică a asociativităţii adunării concentru), putându-se evidenţia asociativitatea adunării - fără utilizarea parantezelor în această etapă. Sugestii metodologice: • Înţelegerea sensului operaţiei de adunare se poate realiza prin "compunerea" şi "rezolvarea" unor situaţii problemă (nu putem vorbi de probleme în această etapă), solicitând elevilor acţiuni practice de mărire a cantităţii cu un număr oarecare de unităţi. • Se pune accent pe legătura dintre exprimarea verbală a acţiunilor efectuate (se adaugă, am mai primit, au mai sosit, a mai pus, mai mult cu, etc.) şi transcrierea simbolică a acţiunilor sub formă de adunare.

3.2 3.2.1

Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0 − 100 Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0 − 100 fără trecere peste ordin

Predarea-învăţarea adunării şi scăderii numerelor naturale mai mici decât 100 se face în două etape: 1. adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mici decât 100 fără trecere peste ordin; 2. adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mici decât 100 cu trecere peste ordin. Predarea-învăţarea adunării numerelor naturale mai mici decât 100 fără trecere peste ordin este recomandabil să parcurgă următoarele etape: 11

1. adunarea a două numere formate numai din zeci. Acest caz nu ridică probleme metodice deosebite. Trebuie insistat pe faptul că zecea este o unitate de numeraţie şi în consecinţă operaţia de adunare se realizează după modelul adunării unităţilor. Astfel, de la 2+3=5 se deduce uşor că 2 zeci + 3 zeci = 5 zeci, adică 20 + 30 = 50. Un caz particular îl reprezintă adunarea numerelor formate numai din zeci a căror sumă este 100 (20 + 80 = 100, 30 + 70 = 100, etc). 2. Adunarea unui număr format numai din zeci cu un număr format numai din unităti. În acest caz elevii redescoperă modul de formare a numerelor mai mari decât 10 şi mai mici decât 100. Spre exemplu, 50 + 7 = 57, deoarece 5 zeci şi 7 unităţi formează numărul 57. 3. adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr format numai din zeci. Efectuarea adunării în acest caz presupune: • descompunerea numărului format din zeci şi unităţi în două numere, unul format numai din zeci şi celălalt format numai din unităţi; • adunarea numărului iniţial format numai din zeci cu numărul format numai din zeci obţinut din descompunerea precedentă; • adunarea la suma anterioară a numărului format numai din unităţi din descopunerea numărului format din zeci şi unităţi. Spre exemplu, avem: 35 + 50

= (30 + 5) + 50 = (30 + 50) + 5 = 80 + 5 = 85. 12

4. adunarea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr format numai din unităţi. Se descompune primul număr în două numere, unul format numai din zeci şi celălalt format numai din unităţi. Se adună unităţile celor două numere iar suma obţinută se adună la numărul format numai din zeci. Spre exemplu: 42 + 6

= (40 + 2) + 6 = 40 + (2 + 6) = 40 + 8 = 48.

5. adunarea a două numere formate din zeci şi unităţi. Acest caz, ca de altfel şi precedentele, se bazează pe descompunere numerelor în zeci şi unităţi şi utilizarea proprietăţilor de asociativitate şi comutativitate ale adunării. Algoritmul operaţiei de adunare în acest caz presupune: - descompunerea celor două numere în zeci şi unităţi; - adunarea zecilor celor două numere; - adunarea unităţilor celor două numere; - adunarea sumelor parţiale obţinute prin adunarea zecilor, respectiv unităţilor. Exemplu: 32 + 64

= (30 + 2) + (60 + 4) = (30 + 60) + (2 + 4) = 90 + 6 = 96.

După însuşirea de către elevi a algoritmului de adunare a numerelor formate din zeci şi unităţi profesorul va prezenta şi posibilitatea scrierii pe vericală a acestei operaţii. Astfel, exemplul precedent se scrie 32 64 96

+

Se va insista pe formarea deprinderilor de a scrie unităţile sub unităţi şi zecile sub zeci. După mai multe exerciţii elevii vor putea concluziona că, indiferent de modul de scriere, rezultatul adunării a două numere formate din zeci şi unităţi (fără trecere peste ordin) este numărul în care cifra zecilor (unităţilor) este egală cu suma cifrelor zecilor (unităţilor) numerelor care se adună. 13

Introducerea operaţiei de scădere a două numere naturale mai mici decât 100 fără trecere peste ordin (evident scăzătorul este mai mic sau egal cu descăzutul) urmează un traseu metodic asemănător celui recomandat în cazul adunării. Etapele recomandate în acest caz sunt: 1. Scăderea a două numere formate numai din zeci Astfel, de la 5 − 3 = 2 se deduce uşor că 5 zeci − 3 zeci = 2 zeci, adică 50 − 30 = 20. 2. Scăderea dintr-un număr format din zeci şi unităţi a unui număr format numai din zeci 3. Scăderea dintr-un număr format din zeci şi unităţi a unui număr format numai din unităţi Scăderea a două numere formate din zeci şi unităţi Algoritmul este ilustrat prin exemplul următor: 75 − 32

= (70 + 5) − (30 + 2) = (70 − 30) + (5 − 2) = 40 + 3 = 43,

sau 75 − 32

3.2.2

= 75 − (30 + 2) = (75 − 30) − 2 = 45 − 2 = 43.

Adunarea şi scăderea numerelor naturale în concentrul 0 − 100 cu trecere peste ordin

Adunarea cu trecere peste ordin este o tehnică ce se înţelege mai greu de către elevi şi de aceia trebuie să i se acorde o atenţie deosebită. Primul pas în însuşire acestui caz de adunare constă în adunarea a două numere formate numai din unităţi dar a căror sumă depăşeşte 1 zece. Algoritmul utilizat în acest caz ste următorul: se descompune cel de-al doilea număr în două componente astfel încât prima componentă adunată cu primul număr să dea 1 zece la care se adaugă apoi cea de-a doua componentă. Avem, spre exemplu: 7+5

= 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12. 14

Sugestie metodologică. Este recomandabil ca în exerciţiile de acest tip să se accentueze de fiecare dată că se utilizează proprietatea de asociativitate a adunării. Utilizând comutativitatea adunării elevii descoperă că se poate descompune şi primul termen în suma a două numere după care se aplică algoritmul menţionat mai sus. Pentru cazul general al adunării a două numere naturale de la 0 la 100 cu trecere peste ordin sunt recomandate două procedee: 1. descompunerea unuia dintre termenii adunării în două numere astfel încât prin adunare să se formeze un termen care să aibă numai zeci. Spre exemplu: 48 + 24

= 48 + (2 + 22) = (48 + 2) + 22 = 50 + 22 = 72.

2. descompunerea numerelor în zeci şi unităţi, efectuarea adunării între unităţile de acelaşi fel şi însumarea rezultatelor parţiale. Exemplu: 56 + 37

= (50 + 6) + (30 + 7) = (50 + 30) + (6 + 7) = 80 + 13 = 93.

Scăderea cu trecere peste ordin a numerelor naturale de la 0 la 100, la fel ca în cazul adunării, se introduce în mai multe etape: 1. scăderea dintr-un număr cuprins între 10 şi 20 a unui număr mai mic decât 10 dar mai mare decât unităţile descăzutului. Este cazul cel mai dificil de înţeles de către elevi datorită transformării 1 zeci a descăzutului în 10 unităţi dar şi cel mai important deoarece înţelegerea acestui caz condiţionează înţelegerea scăderilor în orice concentru numeric. În practica pedagogică s-au impus două procedee. 1.1 Primul procedeu presupune: • descompunerea descăzutului în 1 zece şi unităţi; • descompunerea scăzătorului astfel încât una dintre componente să fie egală cu unităţile descăzutului; • scăderea acestei componente din unităţile descăzutului şi a celeilalte din 1 zece. 15

Exemplu: 12 − 7

= = = = =

(10 + 2) − 7 (10 + 2) − (5 + 2) (10 − 5) + (2 − 2) 5+0 5.

1.2. Al doilea procedeu presupune: • descompunerea descăzutului în 1 zece şi unităţi; • scăderea din 1 zece a unităţilor scăzătorului; • adunarea diferenţei obţinute cu unităţile descăzutului. Exemplu: 12 − 7

= (10 + 2) − 7 = (10 − 7) + 2 = 3+2 = 5.

2. Scăderea dintr-un număr format din zeci şi unităţi a unui număr format din unităţi. Se transformă 1 zece a descăzutului în 10 unităţi care se adună cu unitaţile iniţiale ale descăzutului. Din numărul obţinut (între 10 şi 20) se scade scăzătorul iar rezultatul se adună cu numărul de zeci rămase la descăzut. Exemplu: 61 − 8

= (60 + 1) − 8 = (50 + 10 + 1) − 8 = (50 + 11) − 8 = 50 + (11 − 8) = 50 + 3 = 53.

O altă variantă utilizată este de a descompune scăzătorul în două numere dintre care unul este numărul unităţilor descăzutului, se scad din descăzut unităţile care le conţine şi din diferenţa obţinută se scade şi restul de unităţi ale scăzătorului. Exemplu:

16

61 − 8

= 61 − (1 + 7) = (61 − 1) − 7 = 60 − 7 = 53.

3. Scăderea a două numere formate din zeci şi unităţi. Prin descompunerea celor două numere se ajunge la unul dintre cazurile studiate. Exemplu: 76 − 28

= 76 − (20 + 8) = (76 − 20) − 8 = 56 − 8 = 48,

sau 76 − 28

3.3

= = = = =

(70 + 6) − (20 + 8) (60 + 10 + 6) − (20 + 8) (60 − 20) + (10 − 8) + 6 40 + 2 + 6 48.

Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100

Adunarea şi scăderea numerelor naturale mai mari decât 100 cu şi fără trecere peste ordin, nu ridică probleme metodice deosebite dacă elevii stăpânesc algoritmii pentru adunarea şi scăderea numerelor naturale dintre 0 şi 100. Procedeele aplicabile în aceste cazuri se bazează pe operarea cu unităţi de acelaşi ordin şi pe faptul că 10 unităţi de un anumit ordin formează 1 unitate de ordin superior. Se va începe cu adunări şi scăderi fără trecere peste ordin iar după însuşirea acestora de către elevi se va continua cu cele cu trecere peste ordin. Un caz mai dificil îl reprezintă scăderile în care cifrele de un anumit ordin ale descăzutului sunt 0 (zero). Pentru înţelegerea acestui caz vor fi abordate exerciţii cât mai variate, cuprinzând toate variantele posibile. O atenţie deosebită trebuie acordată scrierii pe verticală, unde se va insista pe scriere unităţilor de un anumit ordin sub unităţile de acelaşi ordin.

17

4 4.1

Metodologia predării operaţiilor de înmulţire şi împărţire Operaţia de înmulţire

Conform programei de matematică în vigoare înmulţirea se introduce în clasa a II-a. În predarea-învăţarea înmulţirii intuiţia nu mai are rolul predominant ca în cazul adunării; După reactualizarea cunoştinţelor despre adunare se va insista pe adunarea mai multor termeni egali. Astfel 2+2+2 se va citi de trei ori doi, 3+3+3+3 se va citi de patru ori trei, etc. Se explică elevilor că pentru adunările repetate se se foloseşte o nouă scriere: 3 × 2 (de trei ori doi ) pentru 2 + 2 + 2, 4 × 3 (de patru ori trei ) pentru 3 + 3 + 3 + 3, iar adunarea repetată se identifică cu o nouă operaţie numită înmulţire. Simbolul operaţiei de înmulţire este ” × ” şi se introduce odată cu scrierea primei operaţii de înmulţire. Numerele care se înmulţesc se numesc factori iar rezultatul înmulţirii se numeşte produs. Comutativitatea operaţiei de înmulţire. Încă de la primele lecţii de predareînvăţare a înmulţirii se scoate în evidenţă faptul că înmulţirea este comutativă, proprietate mult utilizată atunci când se alcătuieşte tabla înmulţirii. Pentru înţelegerea comutativităţii înmulţirii sunt foarte utile reprezentările grafice de tipul celor din figura următoare: unde se observă că de două ori trei şi de trei ori doi reprezintă acelaşi număr.

4.2

Tabla înmulţirii

După înţelegerea semnificaţiei înmulţirii se trece la înmulţirea numerelor naturale din concentrul 0 − 10, alcătuind, cu participarea activă a elevilor, tabla înmulţirii pentru fiecare din ele. Relativ uşor elevii descoperă că înmulţind orice număr cu 0 (zero) obţinem produsul 0 (zero) şi înmulţind orice număr cu 1 produsul este egal cu acel număr (1 este element neutru pentru înmulţire).

18

Pentru tabla înmulţirii cu 2, utilizând definiţia înmulţirii ca adunare repetată a numărului 2, elevii vor descoperi singuri produsele. Se va menţiona că înmulţind un număr cu 2 se obţine un număr de două ori mai mare sau dublul numărului iniţial. Analog se introduce tabla înmulţirii cu 3, sintagmele de trei ori mai mare, triplul unui număr, etc. În general, alcătuirea tablei înmulţirii cu un număr dat presupune parcurgerea următoarelor etape: • repetarea tablei înmulţirii cu numerele precedente; • evidenţiere şi reţinerea înmulţirilor în care apare ca factor numărul dat; • scrierea tablei înmulţirii cu numărul dat şi completarea produselor cunoscute - pe baza comutativităţii înmulţirii; • obţinerea celorlalte produse, utilizând adunarea repetată şi scrierea completă a tablei înmulţirii cu acel număr. Învăţarea tablei înmulţirii decurge din efectuarea repetată a unor înmulţiri, necesitatea memorări ei impunându-se doar din considerente ce vizează timpul necesar prezentării unui răspuns. Memorarea tablei inmulţirii nu trebuie să fie un proces mecanic ci un demers structurat pe un sistem de exerciţii ce presupune: • repetarea tablei înmulţirii în ordine crescătoare a factorului variabil; • repetarea tablei înmulţirii într-o ordine aleatoare; • înmulţiri cu factori lipsă; • relaţia dintre adunare şi înmulţire. Fără utilizarea terminologiei specifice se evidenţiază asociativitatea înmulţirii şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere prin exerciţii diverse însoţite de reprezentări grafice de tipul: • să se scrie ca un produs numărul steluţelor albe: 2 × 3 = 6; • să se scrie ca un produs numărul steluţelor albastre: 2 × 4 = 8; • să se afle numărul total de steluţe: 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4; 19

4.3

Înmulţirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000

După însuşirea acestor proprietăţi se introduc alte cazuri de înmulţiri, recomandabil în ordinea următoare: 1. înmulţirea numerelor naturale mai mici decât 10 cu un număr format numai din zeci. Aceste înmulţiri se bazează pe descompunerea în produs de două numere a numărului format numai din zeci (unul din factori fiind 10) şi asociativitatea înmulţirii. Exemplu: 2 × 40

= 2 × (4 × 10) = (2 × 4) × 10 = 8 × 10 = 80.

2. înmulţirea numerelor naturale mai mici decât 10 cu numere formate din zeci şi unităţi. Efectuarea acestor înmulţiri se bazează pe descompunerea numărului de două cifre în zeci + unităţi şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare. Exemplu: 2 × 41

= 2 × (40 + 1) = (2 × 40) + (2 × 1) = 80 + 2 = 82.

Se introduce "calculul în scris" utilizând comutativitatea înmulţirii şi parcurgând etapele (pentru exemplu precedent): 41 × 2 82 1 × 2 = 2 unităţi 4 × 2 = 8 zeci • înmulţim întâi unităţile cu 2: 1 × 2 = 2 unităţi ; • înmulţim apoi zecile cu 2: 4 × 2 = 8 zeci ; • adunăm produsele parţiale.

20

În cazul trecerii peste ordin se aplică regula că 10 unităţi de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior. 3. înmulţirea unui număr mai mic decât 10 cu 100. Acest caz nu ridică probleme metodice deosebite deoarece suta este privită ca unitate de calcul. Elevii descoperă repede că din punct de vedere tehnic înmulţirea unui număr natural cu 100 se reduce la adăugarea a două zerouri la sfârşitul numărului (3 × 100 = 300, 7 × 100 = 700, etc.). 4. înmulţirea numerelor formate dintr-o cifră cu numere formate numai din sute. Se bazează pe descompunerea în produs a numărului format numai din sute (unul din factori fiind 100) şi asociativitatea înmulţirii. Exemplu: 3 × 200

= 3 × (2 × 100) = (3 × 2) × 100 = 6 × 100 = 600.

5. înmulţirea numerelor de o cifră cu numere formate din sute, zeci şi unităţi. Se bazează pe scrierea în baza 10 a numerelor naturale mai mici decât 1000 şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare. Exemplu: 2 × 123

= 2 × (100 + 20 + 3) = (2 × 100) + (2 × 20) + (2 × 3) = 200 + 40 + 6 = 246.

Deducerea regulii pentru calculul în scris se face asemănător cazului înmulţirii numerelor formate dintr-o singură cifră cu numere formate din două cifre. Spre exemplu, avem: 123 × 2 246 3 × 2 = 6 unităţi 2 × 2 = 4 zeci 1 × 2 = 2 sute În cazul trecerii peste ordin se aplică regula că 10 unităţi de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior. 21

6. înmulţirea a două numere de mai multe cifre. Acest caz are la bază scrierea sistemică a celor două numere şi proprietăţile adunării şi înmulţirii numerelor naturale. În general înmulţirile de acest tip se efectuează în scris. Aşezarea numerelor care se înmulţesc se face ca în cazul adunării: unităţi sub unităţi, zeci sub zeci, sute sub sute, etc. De regulă, pe rândul al doilea se scrie numărul cu mai puţine cifre. Fiecare unitate a numărului cu care se înmulţeşte, începând cu cifra unităţilor, se înmulţeşte succesiv cu toate unităţile numărului pe care îl înmulţim, obţinând în fiecare caz un produs parţial. Scrierea produselor parţiale începe de la dreapta la stânga şi cu ordinul cu care se înmulţeşte. Prin adunarea produselor parţiale se obţine produsul celor două numere. Exemplu: 312 × 23

= 312 × (20 + 3) = (312 × 20) + (312 × 3) = 6240 + 936 = 7176

sau - în scris: 312 × 23 936 ←− 624 ←− 7176

4.4

312 × 3 = 936 unităţi 312 × 2 = 624 zeci = 6240 unităţi

Operaţia de împărţire

Împărţirea numerelor naturale se introduce în clasa a II-a şi se realizează prin două procedee: • împărţirea în părţi egale; • împărţirea prin cuprindere. În ambele cazuri suportul ştiinţific este dat de partiţia unei mulţimi în submulţimi echipotente. În cazul împărţirii în părţi egale se cunoaşte numărul elementelor mulţimii iniţiale şi numărul submulţimilor care se formează iar prin împărţire se află numărul elementelor fiecărei submulţimi. Utilizând material didactic variat (beţişoare, creioane, bomboane, etc.) profesorul stabileşte numărul de obiecte ce trebuie împărţit şi numărul părţilor. Spre exemplu, 10 bomboane se împart în mod egal la 2 elevi. Câte bomboane va primi fiecare elev? Practic, rezolvarea acestei probleme decurge în felul următor: 22

• se dă fiecărui elev câte o bomboană, rămânând de dat 10 − 2 = 8 (bomboane); • din bomboanele rămase se dă câte o bomboană fiecărui elev rămânând de dat 8 − 2 = 6 (bomboane); • se continuă procedeul până nu mai rămâne nici o bomboană (10 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 = 0); • se stabileşte numărul de bomboane date fiecărui elev (5 bomboane). • se concluzionează: împărţind 10 bomboane în mod egal la 2 elevi, fiecare elev primeşte câte 5 bomboane. • Acest lucru se scrie 10 : 2 = 5, unde ":" reprezintă simbolul operaţiei de împărţire. • Numărul care se împarte se numeşte deîmpărţit, numărul la care se împarte se numeşte împărţitor iar rezultatul împărţirii se numeşte cât. • Analizând modul în care s-a efectuat împărţire se constată că operaţia 10 : 2 = 5 se reduce la scăderea repetată a lui 2 din 10, apoi din restul obţinut, ş.a.m.d. (10 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 = 0) iar numărul de scăderi reprezintă câtul împărţiri lui 10 la 2. În cazul împărţirii prin cuprindere se cunoaşte numărul elementelor mulţimii iniţiale şi numărul elementelor fiecărei submulţimi echipotente din partiţie iar prin împărţire se află câte submulţimi se formează. Spre exemplu, 10 bomboane se împart la elevi, un elev primind câte 5 bomboane. Câţi elevi vor primi bomboane? Practic, rezolvarea acestei probleme decurge în felul următor: - se dau 5 bomboane unui elev, rămânând de dat 10 − 5 = 5 (bomboane); - cele 5 bomboane rămase se dau altui elev şi se constată că au mai rămas 5 − 5 = 0 bomboane de dat. Concluzionăm că numărul de elevi care au primit bomboane este 2, deci 10 : 5 = 2, ceea ce se mai citeşte 5 se cuprinde în 10 de 2 ori. Se observă că şi în acest caz împărţirea lui 10 la 5 s-a redus la scăderea repetată a lui 5 din 10 până s-a obţinut rezultatul 0 (10 − 5 − 5 = 0) şi numărul de scăderi repetate a lui 5 din 10 reprezintă câtul împărţirii lui 10 la 5. Scăderea repetată se foloseşte doar la introducerea operaţiei de împărţire, atunci când se pune în evidenţă semnificaţia acestei operaţii cu ajutorul materialelor concrete.

23

După ce elevii şi-au însuşit operaţia de împărţire ca scădere repetată se face legătura operaţiei de împărţire cu operaţia de înmulţire prin seturi de probleme de tipul: 1. Pe fiecare din cele 3 farfurii sunt câte 7 mere. Câte mere sunt pe cele trei farfurii? Răspuns: 3 × 7 = 21 (mere). 2. Pe 3 farfurii se împart în mod egal 21 de mere. Câte mere vor fi pe fiecare farfurie? Răspuns: 21 : 3 = 7 (mere) deoarece 3 × 7 = 21. 3. 21 de mere se aşează câte 7 pe câte o farfurie. Câte farfurii sunt necesare? Răspuns: 21 : 7 = 3 (farfurii) deoarece 3 × 7 = 21. Prin astfel de exerciţii elevii vor fi dirijaţi spre concluzia că împărţirea poate fi privită ca operaţia prin care se poate afla unul dintre factorii unui produs nenul cunoscând produsul şi celălalt factor. Se trece la alcătuirea tablei împărţirii cu 2, 3, . . . , 10, menţionând că împărţind un număr la 2 se obţine un număr de 2 ori mai mic (jumătatea), împărţind un număr la 3 se obţine un număr de 3 ori mai mic, etc. Prin exerciţii corespunzătoare vor fi evidenţiate cazurile speciale de împărţire: împărţirea unui număr natural diferit de 0 la el însuşi, împărţirea unui număr natural la 1 şi împărţirea lui 0 la orice număr natural diferit de 0.

4.5

Împărţirea cu rest

După însuşirea împărţirii fără rest (cu rest 0), se abordează situaţia împărţirii cu rest nenul. Spre exemplu, pornind de la împărţirea a 11 bomboane la 2 elevi, prin orice procedeu s-ar încerca se obţine câtul 5 dar mai rămâne o bomboană disponibilă. Profesorul concluzionează că aceasta este o împărţire cu rest iar rezultatul acestei împărţiri este câtul 5, rest 1. După mai multe exerciţii bine alese elevii vor descoperi relaţia dintre deîmpărţit (d), împărţitor (ˆı), cât (c) şi rest (r) (teorema împărţirii cu rest): d = ˆı × c + r, r < ˆı. Împărţirea unui număr natural mai mic decât 1000 la un număr de o cifră. Înţelegerea şi însuşirea algoritmului de împărţire a unui număr natural mai mic decât 1000 la un număr de o cifră presupune parcurgerea următoarelor etape: 1. Împărţirea numerelor de două cifre formate numai din zeci la numere formate dintr-o singură cifră când restul este 0. Considerând zecea ca unitate în sistemul de numeraţie, acest tip de împărţire se reduce la împărţirea numerelor formate dintr-o singură cifră. Exemplu: 24

80 : 4

= 8 zeci : 4 = 2 zeci = 20.

2. Împărţirea numerelor de două cifre formate din zeci şi unităţi la numere formate dintr-o singură cifră când restul este 0. Procedeul se bazează pe descompunerea numerelor de două cifre în zeci şi unităţi şi pe reducerea împărţirii necunoscute la împărţiri cunoscute. Exemplu:

96 : 3

= (90 + 6) : 3 = (90 : 3) + (6 : 3) = 30 + 2 = 32.

Calculul în scris: 9 6 : 3 = 32 9 =6 6 = 3. Împărţirea unui număr de două cifre la un număr de o cifră când restul este diferit de zero iar numărul zecilor se împarte exact la împărţitor. Acest caz este ilustrat prin exemplul: 86 : 4

= (80 + 6) : 4 = (8 zeci : 4) + (6 : 4) = 2 zeci +1, rest 2 = 21, rest 2.

4. Împărţirea unui număr de două cifre la un număr de o cifră când restul este diferit de zero iar numărul zecilor nu se împarte exact la împărţitor. Acest este ilustrat prin exemplul: 95 : 4

= (90 + 5) : 4 = (80 + 10 + 5) : 4 = 80 : 4 + 15 : 4 = 20 + 3, rest 3 = 23, rest 3.

25

În fiecare etapă este utilă prezentarea calculului în scris care nu este altceva decât exprimarea sintetică a raţionamentului analitic ce fundamentează operaţia de împărţire în fiecare caz în parte. Împărţirea unui număr de trei cifre la un număr deo singură cifră se realizează asemănător, prin parcurgerea etapelor: • împărţirea cu rest 0; • cifra unităţilor nu se împarte cu rest 0; • cifra zecilor nu se împarte cu rest 0; • cifra sutelor nu se împarte cu rest 0; • cifra zecilor este mai mică decât împărţitorul; • cifra zecilor este 0; • cifra sutelor este mai mică decât împărţitorul.

4.6

Ordinea efectuării operaţiilor

Exerciţiile ce se rezolvă în clasa pregătitoare şi în clasa a I-a (adunări şi scăderi) se efectuează în ordinea în care sunt scrise, astfel că până în clasa a II-a elevii nu-şi pun problema existenţei unor reguli privind ordinea efectuării operaţiilor. După învăţarea înmulţirii apar exerciţii de tipul 2 + 3 × 4, în care schimbarea ordinii efectuării operaţiilor conduce la rezultate diferite: adunând 2 cu 3 şi înmulţind rezultatul cu 4 obţinem 20 iar înmulţind 3 cu 4 şi adunând rezultatul la 2 obţinem 14. Acest tip de exerciţii impune stabilirea unor reguli privind ordinea efectuării operaţiilor, reguli ce trebuie deduse de către elevi din rezolvarea unor probleme a căror rezolvare poate fi pusă sub formă de exerciţiu. O astfel de problemă poate fi: La o cofetărie s-au adus 3 cutii cu câte 12 prăjituri şi 5 cutii cu câte 8 prăjituri. Câte prăjituri s-au adus în total? Rezolvarea acestei probleme în etape şi punerea rezolvării sub forma unui exerciţiu cu mai multe operaţii, respectiv 3 × 12 + 5 × 8 = 76,

26

va conduce pe elevi la constatarea că într-un exerciţiu cu adunări şi înmulţiri, înmulţirile se efectuează înaintea adunărilor indiferent de locul unde apar. Adunările şi scăderile sunt numite operaţii de ordinul I iar înmulţirile şi împărţirile sunt operaţii de ordinul al II-lea Exemple similare vor conduce la concluziile: • într-un exerciţiu cu mai multe operaţii de acelaşi ordin, operaţiile se efectuează în ordinea în care sunt scrise; • într-un exerciţiu cu mai multe operaţii (fără paranteze) se efectuează mai întâi înmulţirile şi împărţirile apoi adunările şi scăderile. Pentru formarea la elevi a priceperilor şi deprinderilor de efectuare a exerciţiilor cu mai multe operaţii se recomandă: • introducerea gradată a acestor exerciţii, începând cu exerciţii ce conţin doar două operaţii de ordine diferite; • utilizarea unor numere mici pentru a menţine atenţia elevilor asupra ordinii efectuării operaţiilor şi nu asupra efectuării fiecărei operaţii; • utilizarea unor exerciţii de lungimi rezonabile pentru a evta la elevi oboseala sau neatenţia. Practica impune uneori efectuarea mai întâi a operaţiilor de ordinul întâi şi apoi a celor de ordinul al doilea. În această situaţie acordarea priorităţii efectuării operaţiilor este dată de utilizarea parantezelor mici (rotunde) şi a parantezelor mari (pătrate). Astfel, într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, cu paranteze rotunde şi paranteze pătrate, se efectuează mai întâi operaţiile dintre parantezele rotunde apoi cele dintre parantezele pătrate şi apoi cele din afara parantezelor. În cadrul parantezelor de acelaşi fel se respectă ordinea cunoscută de efectuare a operaţiilor iar odată cu efectuarea operaţiilor dintre parantezele rotunde acestea nu se mai utilizează şi parantezele pătrate (dacă există) se transformă în paranteze rotunde.

5 5.1

Metodologia predării fracţiilor Unitate fracţionară. Fracţii

Introducerea noţiunii de fracţie reprezintă prima extensie a conceptului de număr natural. Familiarizarea elevilor cu noţiunea de parte-întreg începe 27

odată cu introducerea operaţiei de împărţire. În paralel cu împărţirea la 2, respectiv 4, elevii şi-au însuşit noţiunile de jumătate, respectiv sfert, fără a utiliza termenii doime, pătrime şi fără utilizarea scrierii fracţionare. Predarea fracţiilor se începe cu repetarea noţiunilor de jumătate-doime, 1 sfert-pătrime şi introducerea simbolurilor grafice corespunzătoare , respec2 1 tiv . Repetarea faptului că una din cele două părţi de aceiaşi mărime în care 4 a fost împărţit un întreg reprezintă o doime, că una din cele patru părţi de aceiaşi mărime în care a fost împărţit un întreg reprezintă o pătrime uşurează însuşirea de către elevi a noţiunii de parte fracţionară. Partea fracţionară este o parte dintr-un întreg (obiect, figură geometrică, număr) care a fost împărţit în părţi egale (la fel de mari). Astfel se introduce treimea, cincimea, şesimea, etc. şi simbolurile grafice 1 1 1 corespunzătoare , , , etc. 3 5 6 Operând cu întregi diferiţi se evidenţiază faptul că unitatea fracţionară are aceiaşi semnificaţie indiferent de natura întregilor dar are valori diferite în funcţie de mărimea întregilor. Astfel un sfert de măr este diferit ca mărime de un sfert de pepene deşi se scriu la fel sub formă de fracţie. Datorită experienţei matematice reduse a elevilor din învăţământul primar, a capacităţilor de abstractizare şi generalizare încă nematurizate, literatura de specialitate recomandă parcurgerea următoarelor etape în predareaînvăţarea noţiunii de unitate fracţionară: • etapa de fracţionare a unor obiecte concrete şi de partiţie a unor mulţimi de obiecte concrete. Alăturarea părţilor va duce la reconstituirea întregului; • etapa de fracţionare prin îndoirea unor figuri geometrice plane care au axe de simetrie şi deci pot fi fracţionate în părţi egale prin îndoire (pătrate, dreptunghiuri, cercuri).

28

• etapa de fracţionare prin trasarea unor linii pe un desen dat pe care îl împart în părţi egale (împărţire unui segment în mai multe părţi de aceiaţi lungime, trasarea axelor de simetrie ale unui pătrat, etc.); • etapa de fracţionare a numerelor, reprezintă etapa de generalizare şi abstractizare a etapelor precedente. Obţinerea unor unităţi fracţionare: doime, treime, cincime, etc. dintr-un număr se reduce la împărţirea acelui număr la 2, respectiv 3, 5, etc. Se introduce apoi noţiunea de fracţie ca fiind una sau mai multe unităţi fracţionare precum şi simbolul său grafic format din două numere suprapuse 2 1 3 despărţite printr-o linie, numită line de fracţie ( , , , etc.). 3 5 7 Numărul de sub linia de fracţie se numeşte numitor şi ne arată în câte părţi egale a fost împărţit întregul iar numărul de deasupra liniei de fracţie se numeşte numărător şi ne arată câte părţi am luat din numărul de părţi egale în care a fost împărţit întregul. Sugestie metodologică. Sarcinile de învăţare vor fi orientate spre înţelegerea intuitivă a noţiunii de fracţie atât prin scrierea fracţiei corespunzătoare unei acţiuni de împărţire cât şi prin împărţirea care corespunde unei fracţii date. În fiecare dintre cele două acţiuni care corespund unor obiective de referinţă din programă se cere reprezentarea prin desen şi exprimarea acţiunilor într-un limbaj specific.

5.2

Compararea fracţiilor

Două fracţii sunt egale dacă reprezintă părţi la fel de mari din acelaşi întreg sau din întregi diferiţi dar de aceiaşi mărime. Spre exemplu: 2 3 1 = = . 2 4 6 29

Prin diverse aplicaţii practice, bine dirijate, elevii pot descoperi două modalităţi de obţinere a unor fracţii egale cu o fracţie dată: • înmulţirea atât a numitorului cât şi a numărătorului fracţiei cu un număr diferit de zero (amplificare); • împărţirea, atunci când este posibil, atât a numitorului cât şi a numărătorului fracţiei cu un număr diferit de zero (simplificare). Dacă două fracţii nu sunt egale atunci apare în mod natural întrebarea: care dintre cele două fracţii este mai mică (sau mai mare)?. Programa pentru clasa a IV-a prevede doar compararea fracţiilor care au acelaşi numitor şi a celor care au acelaşi numărător. Dacă fracţiile au acelaşi numitor (unităţile fracţionare sunt la fel de mari), atunci va fi mai mare fracţia cu numărătorul mai mare deoarece se iau mai multe unităţi fracţionare. Spre exemplu, avem 3 2 < , deoarece 2 < 3. 5 5 Compararea fracţiilor care au acelaşi numărător este o temă mai dificilă pentru elevii din clasa a IV-a. Pentru a uşura înţelegerea comparării acestor fracţii elevii trebuie să înţeleagă în primul rând că împărţind un întreg în mai multe părţi egale, părţile vor fi mai mici. După o serie de aplicaţii se va concluziona că dintre două unităţi fracţionare diferite va fi mai mare cea cu numitorul mai mic adică, avem: 1 1 1 1 > > > > ··· 2 3 4 5 Cunoscând faptul că, spre exemplu, o cincime este mai mare decât o optime, elevii pot înţelege cu uşurinţă că un număr oarecare de cincimi este 3 3 4 4 mai mare decât acelaşi număr de optimi ( > , > , etc.). 5 8 5 8 După câteva astfel de exerciţii se poate concluziona: dintre două fracţii care au acelaşi numărător este mai mare fracţia care are numitorul mai mic. 30

Fracţii echiunitare. Un caz particular de fracţie îl reprezintă fracţia care are numărătorul egal cu numitorul. În acest caz am luat în considerare toate unităţile fracţionare ale întregului, deci tot întrgul. Astfel de fracţii, numite fracţii echiunitare sau egale cu întregul, sunt 1 2 3 4 = = = = · · · = 1. 1 2 3 4 Fracţii subunitare. Fracţiile care au numărătorul mai mic decât numi2 3 5 torul se numesc fracţii subunitare ( , , , . . . ). Evident fracţiile sub3 5 9 unitare sunt mai mici decât întregul, deoarece am luat mai puţine unităţi fracţionare decât are întregul. Fracţii supraunitare. Fracţiile care au numărătorul mai mare decât 3 5 numitorul se numesc fracţii supraunitare ( , , etc.). Evident fracţiile 2 3 supraunitare reprezintă mai mult decât un întreg. Obţinerea unei fracţii supraunitare se poate realiza prin împărţirea a doi sau mai mulţi întregi identici în acelaşi număr de părţi egale şi luarea unui număr de părţi mai mare decât a numărul în care a fost împărţit fiecare întreg. Compararea unei fracţii cu un întreg se mai poate face scriind întregul ca o fracţie având atât numitorul cât şi numărătorul egal cu numitorul fracţiei date şi apoi compararea fracţiilor care au acelaşi numitor.

5.3

Operaţii cu fracţii

Programa de matematică prevede pentru clasa a IV-a doar adunarea şi scăderea fracţiilor care au acelaşi numitor. Introducerea acestor operaţii nu ridică probleme metodice deosebite. Elevii înţeleg că aşa cum 2 mere + 3 mere = 5 mere, tot aşa 2 optimi + 3 optimi = 5 optimi, adică 5 2 3 + = . 8 8 8 Deci, suma a două fracţii care au acelaşi numitor este o fracţie având acelaşi numitor iar numărătorul sumei este egal cu suma numărătorilor fracţilor ce se adună.

31

Scăderea a două fracţii păstrează terminologia cunoscută: descăzut, scăzător, rest sau diferenţă. Rezultatul scăderii a două fracţii care au acelaşi numitor este o fracţie având acelaşi numitor iar numărătorul este diferenţa dintre numărătorul descăzututlui şi numărătorul scăzătorului. După însuşirea de către elevi a operaţiilor de adunare şi scădere a fracţiilor se recomandă efectuarea probelor adunării şi scăderii precum şi exerciţii în care să apară ambele operaţii. O atenţie deosebită trebuie acordată scrierii corecte a fracţiilor în cadrul exerciţiilor, în special alinierii semnelor operaţiilor cu liniile de fracţie.

5.4

Aflarea unei fracţii dintr-un întreg

Aflarea unei fracţii dintr-un întreg se realizează în două etape: • aflarea unei unităţi fracţionare din întreg; • aflarea unei fracţii (mai multe unităţi fracţionare) dintr-un întreg. Prin mai multe exerciţii, utilizând figuri geometrice, lungimi, mase şi în final numere, se stabileşte faptul că aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un întreg se reduce la împărţire acestuia în atâtea părţi egale cât arată numitorul unităţii fracţionare. Se recomandă scrierea: 1 din 24 m este 24 m : 3 = 8 m; 3 1 din 20 kg este 20 kg : 5 = 4 kg; 5 1 din 35 l este 35 l : 7 = 5 l. 7 Aflarea unei fracţii dintr-un întreg presupune iniţial aflarea unei unităţi fracţionare de tipul celei pe care o indică numitorul fracţiei şi apoi aflarea fracţiei din întreg prin înmulţirea unităţii fracţionare cu numărul unităţilor fracţionare indicate de numărătorul fracţiei. După rezolvarea mai multor exerciţii se stabileşte, cu ajutorul elevilor, regula de aflare a unei fracţii dintr-un întreg (număr): se împarte întregul (numărul) la numitorul fracţiei iar rezultatul se înmulţeşte cu numărătorul. Dacă la început cele două operaţii se scriu separat, după ce elevii şi-au însuşit procedeul se poate trece la scrierea într-o singură expresie, scoţând astfel în evidenţă caracterul unitar al celor două operaţii: 3 din 45 este 45 : 5 · 3 = 27. 5

32

O eventuală extindere a unităţii de învăţare poate aborda tema obţinerii de fracţii egale cu o fracţie dată cu aplicabilitate la compararea fracţiilor sau operaţii cu fracţii ce nu au acelaşi numitor.

6 6.1

Măsurare şi unităţi de măsură Mărime şi măsurare

Studiul mărimilor şi a unităţilor de măsură în învăţământul primar reprezintă unul dintre exemple edificatoare privind legătura directă dintre matematică şi viaţa cotidiană. Pe lângă cunoştinţele de bază legate de mărimi şi unităţi de măsură de largă utilitate tema formează şi dezvoltă la elevi interesul şi motivaţia pentru aplicarea matematicii în contexte variate. Noţiunea de mărime este o noţiune primară care nu se defineşte. Mărimea poate fi privită ca o proprietate a corpurilor şi a fenomenelor în baza căreia acestea pot fi comparate (dimensiune, cantitate, durată, valoare, etc.). A măsura o mărime oarecare înseamnă a compara această mărime cu o alta considerată ca unitate de măsură. În Sistemul Internaţional, utilizat în peste 125 de ţări, şapte mărimi fizice sunt considerate mărimi fundamentale: lungimea, masa, timpul, temperatura, intensitatea curentului electric, cantitatea de substanţă şi intensitatea lunminoasă. Corespunzător mărimilor fizice fundamentale s-au definit unităţile de măsură fundamentale, respectiv: metrul, kilogramul, secunda, kelvinul, amperul, molul şi candela. Mărimile fizice ce pot fi definite cu ajutorul mărimilor fundamentale se numesc mărimi derivate (arie, volum, viteză, etc. ). În învăţământul primar, programa de matematică prevede studierea unităţilor de măsură pentru lungime, capacitate, masă, timp, precum şi studiul monedelor şi bancnotelor - inclusiv cele europene. Introducerea noţiunii de mărime, pentru fiecare caz în parte, se face pe bază de exemple. Elevii sunt conduşi apoi spre necesitatea comparării mărimilor şi introducerea unor unităţi de măsură. Este recomandabil ca iniţial să se utilizeze unităţi de măsură nestandard iar necesitatea comparării mărimilor să ducă la introducerea unităţilor standard. Ca argumente pot fi utilizate date istorice legate de istoria măsurătorilor sau necesitatea unificării unor unităţi de măsură impusă de intensificarea schimburilor economice sau de dezvoltarea ştiinţelor. 33

Pe parcursul învăţământului primar, în predarea-învăţarea unităţilor de măsură, pentru diverse mărimi, sugerăm parcurgerea următoarelor secvenţe: • introducerea mărimii, pornind de la cotidian, de la realitatea înconjurătoare; • evidenţierea necesităţii măsurării acestei mărimi; • prezentarea şi utilizarea unităţilor nestandard; • sublinierea necesităţii unei mărimi standard; • introducerea unităţii standard şi a notaţiei corespunzătoare; • acţiuni practice de măsurare cu consemnarea rezultatelor: • introducerea multiplilor şi a submultiplilor unităţii de măsură; • operaţii cu unităţi de măsură; • compuneri şi rezolvări de probleme conţinând unitatea de măsură respectivă; • estimări ale măsurilor unor mărimi din realitatea înconjurătoare (clasă, curtea şcolii, etc.); • organizarea, sortarea, interpretarea datelor rezultate din măsurări; • abordare interdisciplinară (recunoaşterea şi utilizarea mărimii şi a unităţii de măsură în alte domenii).

6.2

Măsurarea lungimilor

În predarea-învăţarea unităţilor de măsură pentru lungime sugerăm parcurgerea următoarelor secvenţe: • măsurarea lungimii, lăţimii, grosimii, înălţimii cu unităţi nestandard: mâna, cotul, creionul, pasul, guma etc.; • apariţia noţiunilor antagonice: mare-mic, lung-lat, gros-subţire, înaltscund, stabilite prin comparare; • sublinierea necesităţii apariţiei şi folosirii unităţii de măsură standard - metrul, notaţia folosită - m;

34

• utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea lungimii: rigla, metrul de croitorie, metrul liniar, metrul tâmplarului, ruleta; • exersarea capacităţii de măsurare pornind de la obiectele din clasă, acasă şi afara şcolii (în practică profesorul alege acele lungimi ce pot fi exprimabile în numerele naturale pe care elevii le cunosc); • conştientizarea necesităţii introducerii multiplilor şi submultiplilor metrului pentru exprimarea mai comodă a lungimilor mai mari/mai mici, notaţii folosite; • asocierea multiplilor cu mărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori şi a submultiplilor cu micşorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scării”); • formarea deprinderilor de efectuare rapidă şi precisă a măsurătorilor utilizând multipli şi submultipli ai metrului; • transformări dintr-o unitate de măsură în altă unitate de măsură; • rezolvări de probleme .

6.3

Măsurarea capacităţii vaselor

În predarea-învăţarea unităţilor de măsură pentru capacitatea vaselor sugerăm parcurgerea următoarelor secvenţe: • compararea şi sortarea vaselor prin măsurare directă; • compararea vaselor de aceeaşi capacitate şi formă diferită; • diferenţierea: mult-puţin; • măsurarea capacităţii unui vas cu unităţi nestandard; • sublinierea necesităţii introducerii unităţii standard pentru capacitatea vaselor - litrul, notatia folosita - l; • conştientizarea necesităţii introducerii multiplilor şi submultiplilor litrului pentru exprimarea mai comodă a capacităţii vaselor mai mari/mai mici, notaţii folosite; • asocierea multiplilor cu mărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori şi a submultiplilor cu micşorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scării”); 35

• utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea capacităţii întâlnite în practică; • formarea deprinderilor de efectuare rapidă şi precisă a măsurătorilor utilizând multipli şi submultipli ai litrului; • transformări dintr-o unitate de măsură în altă unitate de măsură; • rezolvări de probleme.

6.4

Măsurarea masei

În predarea-învăţarea unităţilor de măsură pentru masa corpurilor sugerăm parcurgerea următoarelor secvenţe: • compararea prin mânuire directă, apariţia noţiunilor: mai uşor-mai greu, tot atât de greu; • folosirea balanţei cu braţe egale în stabilirea relaţiei dintre masele obiectelor; • compararea, sortarea şi gruparea obiectelor cu aceeaşi masă; • conservarea masei, folosind un obiect care poate fi descompus în părti; • utilizarea unităţilor de măsură nestandard în măsurarea masei unor corpuri; • sublinierea necesităţii introducerii unităţii principale pentru masă kilogramul, notaţia folosită (kg); • utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea masei: cântarul de bucătărie, de baie, de la piaţă, balanţa, etc.; • exerciţii practice de măsurare a masei unor obiecte; • conştientizarea necesităţii introducerii multiplilor şi submultiplilor kilogramului , notatii folosite; • asocierea multiplilor cu mărirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori şi a submultiplilor cu micşorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scării”); • formarea deprinderilor de efectuare rapidă şi precisă a măsurătorilor utilizând multipli şi submultipli ai kilogramului; 36

• transformări dintr-o unitate de măsura în altă unitate de măsură; • rezolvări de probleme.

6.5

Măsurarea timpului

În predarea-învăţarea unităţilor de măsură pentru timp sugerăm parcurgerea următoarelor secvenţe: • predarea-învăţarea mărimii “timp” şi a unităţilor de măsură se face în strânsă legatură cu acţiunile, fenomenele şi evenimentele periodice cunoscute de elevi; • se începe cu cele mai cunoscute de elev: ora, ziua, săptămâna ,luna, anul, măsurate cu ceasul şi calendarul; • timpul este ciclic şi se întelege studiind programul de activităţi zilnice ale elevului, ora la care face acea acţiune; • săptămâna se conştientizează prin activităţile şcolare şi de acasă; • luna ca unitate mai mare decât ziua şi săptămâna, se prezintă printr-un proces comparativ de apreciere a activităţilor desfăşurate într-o săptămână şi într-o lună; • denumirea fiecărei luni (şi anotimp) se asociază cu ordinea în an, din data scrisă zilnic pe tablă; • noţiunea de an - ca intervalul dintre zilele aniversare, dintre o primăvară şi alta; • zilele lunilor (30/31/29/28) se pot învăţa folosind proeminenţele pumnilor; • deceniul, secolul, mileniul; • unitatea de măsură standard - secunda, notatia folosita - s; • multipli şi submultipli, notaţii folosite; • utilizarea unor instrumente de măsură potrivite pentru măsurarea timpului: calendarul, ceasul de mână, de perete, pendula, orologiul, cronometrul, ceasul electronic, clepsidra, etc.; • transformări dintr-o unitate de măsură în altă unitate de măsură; 37

• rezolvări de probleme. Activităţi de învăţare recomandate: • confecţionarea unui cadran de ceas; • întocmirea calendarului pe o săptămână care să cuprindă denumirile zilelor şi datele respective, pe o lună sau pe mai multe luni; • întocmirea calendarului pe un an sub forma de bandă a timpului; • notarea cu consecvenţă a datei; • cunoaşterea, notarea de către elevi a propriilor date de naştere, precum şi a datelor de naştere ale fraţilor, părinţilor; • exprimarea vârstei lor, a prietenilor, a părinţilor, etc.; • măsurarea şi exprimarea în unităţi corespunzătoare a timpului necesar pentru a parcurge anumite distanţe: de acasă la şcoală, de acasă până la cel mai apropiat magazin alimentar etc.; • cunoaşterea vârstei pe care o pot atinge unele animale (sălbatice, domestice); • durata vieţii copacilor şi pomilor fructiferi etc.; • ţinerea evidenţei în unităţi de timp a activităţii pe care o desfăşoara elevul într-o anumită perioadă: ora deşteptării, ora plecării la şcoală, timpul petrecut la şcoală etc.; • stabilirea unui regim raţional de muncă şi odihnă cu precizarea în unităţi de timp a activităţilor programate; • realizarea interdisciplinarităţii matematică-comunicare (notarea în unităţi de timp a datelor biografice ale unor scriitori etc.); • realizarea interdisciplinarităţii matematică-istorie; • evidenţierea unor evenimente petrecute în viaţa colectivului; • formularea şi rezolvarea unor probleme aplicative legate de începutul, durata sau sfârşitul unui eveniment în cadrul unei ore etc.

38

7

Monede şi bancnote

Pentru a aprecia corect valoarea mărfurilor şi pentru a le putea cumpăra, oamenii folosesc banii. Unitatea monetară în ţara noastră (leul) şi alte ţări europene (euro); Activităţi de învăţare. • recunoaşterea valorii monedelor şi a bancnotelor; • efectuarea de schimburi echivalente cu monede şi bancnote; • efectuarea de schimburi echivalente cu sume de bani; • compararea sumelor de bani.

39