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INTRODUÇÃO A mecânica clássica pode ser caracterizada como parte da física que estuda a interação entre os corpos as tensões (campo de forças), ou solicitações, a eles submetidas e suas conseqüências: DEFORMAÇÕES / DESLOCAMENTOS / VELOCIDADE / ACELERAÇÃO Problemas mecânicos na engenharia são relacionados ao desempenho de estruturas submetidas a esforços diversos durante sua vida operacional. Na Geomecânica os corpos objeto de estudo são os materiais geológicos (solos e rochas).

FÍSICA

MECÂNICA

GEOMECÂNICA

MECÂNICA DAS ROCHAS

MECÂNICA DOS SOLOS

Uma definição de mecânica de rochas correntemente aceita é aquela proposta pelo Comitê Americano de Mecânica das Rochas. “Mecânica das Rochas é a Ciência (Conjunto de conhecimento) teórica e aplicada do comportamento mecânico de rocha e maciços rochosos; e ou subdivisão da mecânica que estuda a resposta das rochas e maciços rochosos ao campo de forças em seus ambientes físicos”. As estruturas objeto de estudos na mecânica das rochas são resultantes das escavações realizadas nos maciços rochosos:    

Taludes Túneis Realces Etc.

A aplicação dos princípios da mecânica envolvendo os maciços rochosos baseia- se em algumas premissas: 1) Os maciços rochosos podem ser caracterizados/descritos através de suas propriedades mecânicas que podem ser mensuradas por testes padronizados. Alguns exemplos destas propriedades são:    

Módulo de Elasticidade Resistência à compressão uniaxial Razão de Poisson Razão de Fluência

2) As estruturas geradas pelas escavações (aberturas) são passíveis de análise utilizando os princípios da mecânica clássica (Geometria definida) 3) A possibilidade da previsão e do controle do desempenho mecânico destas estruturas podem assegurar melhores resultados econômicos do empreendimento, como por exemplo:   

Aumento da recuperação Aumento da produtividade redução de custos

Considerando a situação de lavra de um realce representada pela figura a baixo,

superfície

prévio

superfície

final

o processo de escavação eqüivaleria, estaticamente, à introdução de um campo de forças de mesma magnitude e de sentido contrário àquele exercido pela porção do maciço escavada. Algumas perturbações mecânicas impostas ao sistema são: 

Deslocamento do maciço em direção à abertura

 Indução de tensões e deformações no maciço (Pilar - concentração de energia) Um dos objetivos finais do estudo geomecânico de uma situação, como a representada acima, é controlar a deformação das estruturas criadas pelas aberturas. Deformações ou alterações podem ser:    

Fraturamento da rocha intacta Deslizamento de fraturas preexistentes (falhas, juntas, etc.) Deflexões excessivas do teto / piso (convergência) Falência / ruptura do sistema

A Geomecânica, e mais especificamente a mecânica de rochas, teve o início num passado recente (aproximadamente 40 anos). Alguns fatores fundamentais contribuíram para o desenvolvimento da mecânica de rochas: 

Aumento das dimensões e do volume de produção das minas subterrâneas (Estabilidade é função da resistência à compressão uniaxial e da dimensão relativa da escavação e estruturas do maciço)



Lavra de recursos minerais em condições desfavoráveis (em particular o aumento da profundidade)

Porque a mecânica de rochas existe como uma ciência particular na engenharia? As análises das estruturas de uma mineração poderiam se pautar na mecânica clássica? A resposta a tais perguntas encontra sustentação na diferença entre o comportamento mecânico dos materiais objetos de estudo da geomecânica: “os materiais geológicos” e os outros materiais utilizados pelas demais indústrias. Isto justifica, portanto, esforços de pesquisa particulares e metodologia específica em aplicações nas construções civis e industria mineral. Alguns aspectos específicos desta área de interesse são: 1) Mecanismo de Fratura das Rochas: O comportamento mecânico clássico trata de fraturas que ocorrem sob um estado de tensão, enquanto os materiais rochosos se encontram, na maioria das situações, sob compressão. Complicações surgem na análise da fricção entre dois planos de micro fraturas, o que causa uma elevada sensibilidade da resistência ao confinamento. 2) Efeito de Escala:

A resposta de uma rocha às condições de carregamento mostram uma pronunciada dependência ao tamanho (volume) da rocha em evidência. Este efeito é relacionado, em parte, pela presença de descontinuidades (estruturas geológicas) no maciço. Comportamento mecânico  Rocha Intacta + Características Geológicas

Situações na mineração que exemplificam a escala do problema estudado poderiam ser: Perfuração  Rocha Intacta Túnel  Formação de Blocos 3) Resistência à Tração: Os materiais rochosos se diferenciam dos outros materiais utilizados em outras industrias (exceto o concreto) por apresentarem baixa resistência à tração (uma ordem de grandeza menor que a resistência à compressão). Na prática, os materiais rochosos são considerados “não-tracionáveis”. Locais de tensão em escavações podem, potencialmente, resultar em instabilidade (locais ou gerais). 4) Efeito da Água Subterrânea: 

A água, sob pressão, presente nos poros e fraturas dos maciços rochosos resulta na redução da tensão normal efetiva que mobiliza a fricção. Esta situação assume grande importância na análise da estabilidade de taludes.



Efeito nocivo da água nas propriedades mecânicas dos minerais e das rochas. Redução da resistência e aumento da deformabilidade das argilas, por exemplo.

5) Alteração Modificações químicas e físicas (ciclos térmicos, intemperismo, reações com gases ou soluções hidrotermais). das rochas ou de alguma de suas porções - processo análogo à corrosão em outros materiais

TENSÃO

O principal interesse da engenharia na solução dos problemas resultantes das escavações em maciços rochosos é a determinação do campo de deslocamento/deformação no entorno das escavações. Para tanto, são necessários conhecimentos quanto a: 

(Re)Distribuição de tensões no maciço -



gravitacional tectônico

características do comportamento do maciço

Alguns problemas envolvendo maciços fraturados em condições de distribuição de tensão não elevados podem ser analisados como modelo de blocos e simples estática (análise de equilíbrio limite). Entretanto, na maioria dos ambientes de lavra subterrânea, os maciços se comportam, pelo menos inicialmente, como um meio contínuo. Torna-se então necessário o conhecimento das noções de força, tensão, vetores de tração, deslocamento e deformação. Já foi mostrado que a introdução de uma escavação em um maciço rochoso é estatisticamente equivalente à introdução (indução) de um campo de força e conseqüentes deslocamentos (deformação). FORÇA E TENSÃO O conceito de tensão é utilizado para descrever a intensidade de forças internas resultantes em um corpo sob a influência de forças aplicadas em sua superfície.

Se em uma superfície qualquer a força resultante para manter o equilíbrio do corpo é dada por R, então, a magnitude da tensão resultante em um ponto O é definida por: R 

lim R A  0 A

onde A representa um elemento infinitesimal de área. Analisando-se os componentes tangencial e normal de R (a um plano de referência), N e S, definem-se então tensão normal e tangencial, respectivamente, por:

N 

lim N A  0 A



lim S A  0 A

Definem-se, ainda, como vetores de tração tx, ty, tz a resolução do vetor de tensão R nos seus componentes segundo as orientações x, y, z dos eixos coordenados, em particular, se o plano de referência é ortogonal ao sistema de coordenadas: xx=tx;

xy=ty;

xz=tz

(analogamente para os outros dois planos coordenados) Por conveniência, os nove componentes do estado de tensão definidos acima são apresentados em forma de uma matriz [] definida por:

  xx    yx   zx

 xy  yy  zy

 xz    yz   zz 

Entretanto, considerando as condições de equilíbrio de um corpo livre, pode-se demonstrar que:

xy=yx;

yz=zy;

xz=zx

syy

syx sxx

sxy

sxx

y

sxy syx

x

syy

E, portanto, o tensor tensão possui, então, seis componentes de tensão independentes:

 xx    xy   xz 

 xy  yy  yz

 xz    yz   zz 

TRANSFORMAÇÃO (ROTAÇÃO) DA MATRIZ DE TENSÃO A escolha da orientação dos eixos coordenados (eixos de referência) é completamente arbitrária. Em algumas situações torna-se conveniente a orientação desta matriz utilizando-se um sistema de coordenadas diferente daquele Definido-se anteriormente definindo-se o tensor este novo sistema de coordenadas como:   ll

 lm

lm

 mm

  ln

 mn

   *

 ln   mn   nn 

a relação entre a matriz tensão original e a transformada é dada pelos cossenos diretores do novo sistema de coordenadas 1, 2, 3. Relembrando:

    a  a1 i  a 2 j  a 3k

z

    a(cos 1 i  cos  2 j  cos  3 k)     a (1 i   2 j   3 k )

a3

y

a2

1  12   2 2   3 2

a1 x

a  a 12  a 2 2  a 3 2

a  a 12  a 2 2  a 3 2

Os vetores de tração, referidos em qualquer plano de orientação, podem ser definidos utilizando-se a equação:  t x   xx  t     y   xy  t z    xz 

 xz    yz   zz 

 xy  yy  yz

 1     2  3 

t   A análise vetorial mostra que um vetor pode ser transformado, ou rotacionado, a partir de uma referência de eixos ortogonais, x, y, z, em outra referência l, m, n pela equação:  vl   lx  v   m  m  x  v n   n x 

ly my ny

lz   mz  n z 

v x  v   y  v z 

v   Rv *

onde l, m e n representam os cossenos diretores do novo sistema de coordenadas e [R] a matriz de rotação, conhecida como matriz de Given’s. Esta matriz é ortogonal e, consequentemente, possui a seguinte propriedade:

R 1  R 

T

A partir destas informações podemos escrever:

t  Rt

(I)

t 

(II)

*

ou

t   R 

T

*

Também:

  R

(III)

*

 

  R 

(IV)

*

T

Relembrando: (v)

t  

t     *

*

(VI)

*

A partir das equações (I) e (V) temos:

t  R *

que com a equação (IV) fornece:

t  RR   *

T

*

Utilizando-se agora a equação (VI)

   RR   *

*

T

*

Finalmente:

  RR *

  ll   lm   ln

T

 lm  mm  mn

 ln   l x   mn   m x  nn   n x

ly my ny

l z   xx  m z   xy n z    xz

 xy  yy  yz

 xz    yz   zz 

l x l y  l z

mx my mz

nx  n y  n z 

Ou resolvendo-se a multiplicação das matrizes:



 ll  l x 2  xx  l y 2  yy  l z 2  zz  2 l x l y  xy  l y l z  yz  l x l z  xz



 lm  l x m x  xx  l y m y  yy  l z m z  zz  (l x m y  l y m x ) xy  (l y m z  l z m y ) yz  (l x m z  l z m x ) xz

Através da permutação cíclica têm-se os outros componentes da matriz de tesão transformada:

n l m

TENSÕES PRINCIPAIS E INVARIANTES A magnitude dos componentes de uma matriz de tensão depende da orientação dos eixos coordenados utilizados. Esta referência, em alguns casos, pode ser relacionada às estruturas geológicas (falhas, foliação, etc.) No caso de maciços rochosos isotrópicos, pode-se definir uma direção ou orientação especial na qual os componentes cisalhantes do tensor se anulam. Nesta orientação os componentes normais da tensão são conhecidos como “tensões principais”. A direção ou orientação em que isto ocorre é denominada “planos principais”. Estes valores e suas orientações são obtidas resolvendo o seguinte sistema de equações:

1 0   0

0 2 0

0   lx  0   m x  3   n x

ly my ny

lz   mz  n z 

 xx   xy   xz 

 xy  yy  yz

 xz    yz   zz 

l x l y  l z

mx my mz

nx  n y  n z 

Definem-se também algumas “quantidades”, expressões relacionando os componentes de tensão, que não dependem de sua orientação. São chamados de invariantes. I1   xx   yy   zz



I 2   xx  yy   yy zz   xx  zz   xx 2   yy2   zz 2





I 3   xx  yy zz  2  xy yz   xz   xx  yz2   yy xz 2   zz  xy2



Na análise do comportamento de alguns tipos de maciços rochosos, pode ser interessante dividir a matriz de tensão em dois componentes: 

uma matriz esférica ou hidrostática definida por:  m 0  0

 m   



0 m 0

0  I 0   1 I 3  m 

e outra desviatória definida por:

 xx   m  d     xy   xz 

 xy  yy   m  yz

   yz   zz   m   xz

EQUAÇÃO DO EQUILÍBRIO A equação de equilíbrio pode ser escrita da seguinte forma:



Ti ds 

s



X i dv  0

v

ou  xx  xy  xz    Xi  0 x y z  xy y



 yy y



 yz z

 Yi  0

 xz  yz  xz    Zi  0 x y z

CASOS BIDIMENSIONAIS 

Tensão Plana

Esta situação é definida quando todos os componentes da tensão que agem em um dos planos ortogonais são nulos: zz = zx = zy = 0. Exemplos práticos desta situação não são encontrados com freqüência em escavações de maciços rochosos. Um ensaio de compressão uniaxial representa um exemplo condição de tesão plana. 

Deformação Plana

Na condição ideal de deformação plana todos os deslocamentos e deformações sofridos por um corpo acontecem em um único plano. O exemplo de situação que pode ser tratada como deformação plana é a escavação de um túnel de seção (arbitrária) constante cuja razão entre o seu comprimento e a sua largura seja grande. Neste caso (exceto para suas porções final e inicial) todos os planos perpendiculares ao túnel apresentam a

mesma distribuição de tensão. Se zz estiver orientado como uma direção principal então xz = yz = 0 -

Transformação da matriz de tensão em 2D

Algumas situações práticas podem sugerir qual a orientação do sistema coordenado a ser utilizado, como já visto anteriormente, na escavação de um túnel longo. Se o problema pode ser analisado como tensão plana ou deformação plana a matriz de tensão fica definida como: 

   xx 

xy

 xy   yy 

A transformação torna-se simplificada e é dada por:    Cos Sen 

Sen   xx  Cos   xy

*



 xy  Cos   Sen   yy  Sen  Cos  

ou resolvendo-se a multiplicação e rearranjando-se os termos:  ll 



 



1 1  xx   yy   xx   yy Cos 2   xy Sen 2 2 2









1 1  xx   yy   xx   yy Cos 2   xy Sen 2 2 2

 mm 

 lm   xy Cos 2 





1  xx   yy   xy Sen 2 2

ainda mais, se pretende definir as tensões principais: 1

















1 1 1   xx   yy    xx   yy 2 4

2

1 1  2   xx   yy    xx   yy 2 4

2

22

  xy  

1

22

  xy  

orientados segundo as direções:

1 

1   xx  xy

2 

 2   xx  xy

ou

 2  90  1

-

Círculo de Mohr

As equações ou relações mostradas anteriormente podem ser representadas graficamente através de uma construção conhecida como círculo de Mohr.

ESTIMATIVAS DE TENSÕES “IN SITU” Hoek e Brown apresentam, tabelados e de forma gráfica (página 97 a 101 – Underground Excavations in Rock), uma série de medidas de tensões verticais e horizontais realizadas em várias regiões do mundo e a diversas profundidades. O resultado destas medidas concordam com a primeira estimativa de tensão vertical normalmente utilizada que é fornecida por: z   H

onde H é a profundidade considerada e  é a densidade do strata (20<<30 kN/m3). A comparação entre as medidas de tensão verticais e horizontais da mostram que a razão entre o carregamento horizontal e o carregamento vertical, denominado K mostra a seguinte correlação: 100 1500  0,3  K   0,5 H H

O gráfico mostra ainda a tendência da tensão vertical e horizontal se igualarem a grandes profundidades (K=1). Este fato está de acordo com a regra de Heim, que discute este fato, já que os materiais rochosos não suportam grandes diferenças de carregamento.

DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES A redistribuição das tensões (pela introdução de uma escavação ou pela mudanças de temperatura) em um corpo resulta na mudança de posições relativas dos pontos neste corpo. Se a resultante das forças aplicadas é nula, o problema constitui em determinar os deslocamentos/deformações induzidos no corpo. Considerando-se dois pontos no interior de um maciço P e Q, suas posições iniciais (0) e finais (F) e a indução de forças que deformem o corpo (gráfico), o valor da deformação pode ser definido como:

z

Q0

QF

L0 LF P0



y

PF

L F  L0 L0

x

Utilizando a notação de matrizes os componente normais da deformação são:  xx 

 yy   zz 

U x x

U y y U z z

e os componentes cisalhantes:  xy 

1  U x U y   2  y x

 xz 

1  U z U x     2  x z 

 yz 

1  U y U z   2  z y

   

   

DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS – VOLUMÉTRICA E DESVIATÓRIA De maneira análoga à definida para análise das tensões, também o estado de deformação [] pode ser rotacionado, utilizando-se qualquer sistema de coordenadas como referência. A orientação na qual as deformações cisalhantes se anulam é chamada de planos principais e os respectivos componentes normais da matriz como deformações principais. Relembrando, estes valores são obtidos através da equação:

  RR *

T

A deformação volumétrica  é definida como a soma algébrica dos componentes normais da matriz de deformação:    xx   yy   zz

E a matriz de deformação desviatória [d] como:  xx    xy  xz    d     xy  yy    yz    xz  yz  zz    

RELAÇÕES CONSTITUTIVAS A relação existente entre as forças aplicadas (tensão) e as deformações sofridas por um corpo é descrita qualitativamente por seu comportamento constitutivo. Este comportamento, dos diversos materiais existentes e objetos de estudo na engenharia, é representados por modelos idealizados dependentes e/ou independentes do tempo. Alguns modelos utilizados são:    

elástico plástico viscoso Fluência além da combinação dos mesmos.

A elasticidade é, sem dúvida, o comportamento mais comum observado entre os materiais de emprego na engenharia, incluindo entre eles as rochas. Na sua formulação mais geral a elasticidade linear pode-se ser escrita como:

 xx  S11 S12     yy  S 21 S 22   zz   . .    . . xy      xz   . .    .   yz  S 61

. . S16   xx    . . .    yy  . . .    zz    . . .   xy  . S 55 S 56    xz    . . S 65 S 66    yz  . . . . .

  S Os elementos da matriz [S] são conhecidos como módulos de elasticidade (“compliance”). Pode-se provar que [S] é uma matriz simétrica e, portanto, existem 21 módulos elásticos independentes. Algumas vezes torna-se interessante escrever a equação acima sob a forma:

  D Aqui, a matriz [D], inversa da matriz [S] e também simétrica, é conhecida como matriz de rigidez elástica. A existência de eixos de simetria reduzem drasticamente a complexidade da matriz [S] ou [D]. No caso de materiais isotrópicos, as expressões acima são conhecidas como Lei de Hooke e podem ser expressas por:

 xx  0 0 0   xx   1         1   0 0 0    yy   yy     zz  1     1 0 0 0    zz        0 0 0 ( 1   ) 0 0   xy  E  xy     xz   0 0 0 0 (1  ) 0    xz       0 0 0 0 (1  )   yz   0   yz 

Talvez seja interessante apresentar a dedução das equações da Lei de Hooke. É necessário, entretanto, rever os conceitos das constantes elásticas: Módulo de Young e a razão de Poisson. O Módulo de Young (E) pode ser definido como a razão de deformabilidade axial de um corpo. Define, portanto, a deformação axial imposta ao meio por um carregamento também axial.

 zz 

 zz E

A razão de Poisson é a razão ou a relação entre a deformação axial e a deformação diametral a ela associada. 

 xx  zz

 xx   

 zz E

Outras duas constantes elásticas também são definidas: O módulo de cisalhamento G (“Shear modulus”) que é a relação entre deformação angular e esforço cisalhante:  xy 

1  zz G

G

E 2(1  )

e o módulo volumétrico (“bulk modulus”) K, definido por : k

E 3(1  2)

As quatro constantes elásticas apresentadas não são independentes, bastando duas delas para definir completamente o comportamento de um corpo isotrópico elástico. As equações de Hooke podem ser obtidas, portanto, pela soma algébrica de todos os componentes:

 xx 

 xx E

 yy 

 yy E

 yy   

 xx E

 xx   

 zz   

 xx E

 zz   

 yy E  yy E

 zz 

 zz E

 xx   

 zz E

 yy   

 zz E

portanto:







 xx 

1  xx    yy   zz E

 yy 

1  yy   xx   zz  E

 zz 

1  zz    xx   yy E











como apresentado anteriormente em notação matricial. O próximo passo em simetria elástica é apresentado pelos maciços transversalmente isotrópicos, característico das rochas estratificadas. Neste caso, existe apenas um eixo de simetria rotacional (z). Nestas condições, a equação constitutiva do modelo elástico torna-se:

ESTRUTURAS DOS MACIÇOS ROCHOSOS

O objeto de estudo da geomecânica (solos e rochas) difere significativamente dos outros materiais utilizados nas engenharias, principalmente por apresentar descontinuidades., Torna-se necessário portanto a distinção entre material rochoso (elementos), que se refere a rocha intacta, e o maciço rochoso, que engloba todo meio encontrado “in situ”. A natureza e distribuição das características estruturais de um maciço rochoso é denominada como estrutura do maciço, e pode ser o fator predominante do controle do comportamento de uma escavação, principalmente em baixas profundidades e em regiões onde ocorreu o relaxamento de tensão. Ao conjunto destas características associa-se normalmente o nome de descontinuidades. 

Planos de acamamento: dividem as litologias sedimentares em camadas (interrupção do processo de deposição). Se caracterizam por serem persistentes e apresentarem, em muitos casos, resistência ao cisalhamento puramente friccional.



Dobras: estruturas que apresentam mudanças de atitudes das camadas (eixo) causadas por esforços tectônicos epigenéticos. Juntas de tensão, perpendiculares aos planos de acamamento podem estar associadas às dobras. A resistência dos planos acamamento podem ter sido reduzidas a um valor residual.



Falhas: são fraturas onde ocorreram deslocamentos cisalhantes. Podem ser estruturas de abrangência ampla ou localmente localizadas. A abertura varia de alguns milímetros a metros dependendo do tipo de falha (normal, inversa, horizontal), podendo ser preenchidas ou não por outros materiais. Apresentam regiões de baixa resistência ao cisalhamento.



Zonas de cisalhamento: espessuras do maciço (até alguns metros) onde um processo prévio de cisalhamento já tenha ocorrido. Regiões fraturadas nas zonas de cisalhamento podem apresentar preenchimento de material de menor resistência ao cisalhamento.



Diques: são intrusões extensas de rochas ígneas (normalmente) com espessuras que variam entre poucos centímetros a vários metros. Apresentam mergulhos acentuados e superfícies aproximadamente paralelas. Processos de intemperismo podem gerar regiões de baixa resistência ao cisalhamento.



Juntas: são as descontinuidades mais comuns e as mais significativas geotecnicamente. As juntas podem ser abertas, preenchidas ou seladas. São normalmente dispostas paralelamente aos planos de acamamento, foliação ou clivagem. Um grupo de juntas paralelas constitui uma família e um grupo de famílias constitui um sistema de juntas.

As descontinuidades possuem algumas propriedades (discutidas no “Suggested methods for the quantitative description of discontinuities in rock masses – commission on standardization of laboratory and field tests / international society for rock mechanics” (1978)), como: 

Orientação: ou atitude da descontinuidade. Compreende sua direção e o seu mergulho (N30oW 25oSW). A orientação das descontinuidades relativa às escavações apresentam uma influência direta na instabilidade potencial destas escavações, através da formação de blocos ou planos (cunhas) de escorregamento.



Espaçamento: distância perpendicular entre juntas adjacentes (normalmente de uma mesma família). Os espaçamentos influenciam diretamente no tamanho dos blocos gerados, na fragmentação, na escavabilidade e na permeabilidade do maciço.



Persistência: caracteriza a extensão ou “tamanho” de uma descontinuidade em um determinado plano. Sua grande importância está ligada à sua influência na resistência ao cisalhamento (“rock brigdes”). O ISRM utiliza o comprimento mais comum (moda) em cada família de descontinuidades para a classificação da persistência.



Rugosidade: medida da aspereza e da ondulação presentes nas superfícies das descontinuidades. Possui uma influência direta na resistência ao cisalhamento, principalmente em descontinuidades fechadas não preenchidas. Os tipos de rugosidade podem ser classificados em uma escala arbitrária como proposto pela ISRM. É importante ressaltar que valores de rugosidade diferentes podem ser obtidos em escalas diferentes, como em observações em laboratório e observações “in situ”)



Abertura: se refere à distância (perpendicular) entre as duas superfícies de uma descontinuidade não preenchida. As aberturas podem ser resultado do deslocamento cisalhante de descontinuidades com grandes rugosidades ou carregamento do material de preenchimento. As aberturas exercem uma grande influência na resistência ao cisalhamento, porém, talvez, mais importante seja a sua influência na permeabilidade do maciço. Para um fluxo laminar a condutividade hidráulica é dada por:

k

g e3 12 

Onde k representa a condutividade hidráulica, g e a aceleração gravitacional, e é a abertura e  a viscosidade cinemática. 

Preenchimento: termo utilizado para descrever o material contido nas descontinuidades (calcita, clorita, argila, silt, quartzo, etc.). Estes materiais têm grande importância na resistência ao cisalhamento, normalmente reduzindo seu valor, a não ser em alguns casos de veios contendo quartzo, calcita, etc. Algumas características importantes do preenchimento são: -

mineralogia granulometria umidade e permeabilidade deformações cisalhantes prévias rugosidade largura fraturamento / intemperismo

CLASSIFICAÇÃO DOS MACIÇOS ROCHOSOS Enquanto a maioria dos materiais objeto de estudo de outras engenharias podem ser caracterizados quantitativamente de acordo com suas propriedades (tais como rigidez, condutividade, etc.), os maciços rochosos tem sido classificados como intactos, moderadamente duros, levemente intemperizados, etc. Esta terminologia não se mostra eficiente já que a percepção destes significados variam de indivíduo para indivíduo. Para resolver este problema, uma série de modelos para classificação de maciços rochosos têm sido propostos. Estes modelos, como observado por Bieniawski, devem permitir:    

subdividir o maciço rochoso em grupos de comportamento similar, fornecer uma base sólida para o entendimento das características do maciço, auxiliar o planejamento de escavações em maciços rochosos através de parâmetros quantitativos, promover uma base comum para uma comunicação efetiva entre as pessoas envolvidas com geomecânica.

Além disto, o modelo proposto deve ser simples o bastante para ser aplicável utilizando parâmetros mensuráveis de maneira rápida a baixos custos no campo. Estes modelos devem ser utilizados com os objetivos para os quais foram proposto, não podendo substituir métodos mais elaborados para dimensionamento de escavações, para a modelagem, simulação, ou qualquer outro procedimento. -

Rock quality Designation (RQD)

Em 1964 Deere propôs um index quantitativo baseado na recuperação de testemunhos de sondagem. Este parâmetro tem sido utilizado como uma primeira avaliação de maciços rochosos e como parâmetro de outros métodos de classificação. O RQD é definido como:

RQD 

xi L

Xi representa o comprimento dos testemunhos de sondagem maiores que dez centímetros e L o comprimento total da sondagem. Mais tarde (1970) Wickham, Tiedmann e Skinner propuseram um método (RSR) relacionando numericamente RQD com a qualidade do maciço rochoso, dimensão de escavações e sistemas de suporte.

-

Rock Mass Rating (RMR)

Foi desenvolvido por Bieniawski (CSIR - Instituto de pesquisa Sul Africano), utilizando, principalmente, informações de escavações de obras civis. Após algumas modificações, Bieniawski concluiu que sua metodologia deveria incorporar os seguintes parâmetros:      

Resistência à compressão uniaxial da rocha intacta. Alternativamente o índex de carregamento pontual pode ser utilizado, a não ser para rochas brandas. RQD. Espaçamento das descontinuidades. Condições das descontinuidades (abertura, persistência, rugosidade e preenchimento). Água de sub superfície (pressão ou fluxo). Orientação das descontinuidades.

Na aplicação da classificação o maciço rochoso é dividido em regiões e cada uma analisada separadamente. Estas regiões são delimitadas, normalmente, por estruturas significativamente importantes (como falhas) ou litologias diferentes. A tabela 4.4 (Support of underground excavations in hard rock. pag 35) apresenta e quantifica os parâmetros discutidos acima. A classificação RMR final do maciço rochoso é encontrada adicionando-se os valores encontrados. Os valores de RMR e as respectivas classificações são, então, associados à dimensões de escavações permitindo a estimativa de valores de “stand-up time” e sistemas de suporte a serem utilizados. -

Rock Tunneling Quality Index (Q)

A partir de um grande número de observações de escavações subterrâneas Barton et al. (1974) (Norwegian Geotechnical Institute) propôs sua metodologia (Q) de classificação de maciços rochosos e sistema de suporte para túneis. Além do RQD (proposto por Deere – 1964) outros cinco parâmetros são utilizados em seu modelo através da seguinte formulação:  RQD   Q    Jn 

 

 Jr   Ja

  Jw       SRF 

RQD é o valor do Rock Quality Designation Jn representa o número de família de descontinuidade  RQD     Jn 

representa o tamanho dos blocos.

 Jr é o parâmetro referente a rugosidade  Ja é o parâmetro relacionando as outras características das descontinuidades  Jr   Ja

 

  

representa as características das descontinuidades.

Jw é o fator associado à presença da água SRF é o parâmetro relacionado ao “stress”  Jw     SRF 

representa o “stress ativo”.

A tabela 4.6 (Support of underground excavations in hard rock, pag. 41) apresenta os valores numéricos associados a cada parâmetro discutido acima. Relacionando o índice Q com a estabilidade das escavações introduzidas nos maciços rochosos e aos sistemas de suporte a serem utilizados, Barton et al. (1977) definiram um parâmetro adicional (dimensão equivalente – De) obtido por: De 

Dimensãoda escavação ( L arg ura ou Altura) Razão de Sustentação ( ESR)

O valor de ESR está associado à finalidade da escavação e pode ser obtido através da tabela proposta por Barton (Support of underground excavations in hard rock, pag. 40) Com a classificação (Q) e o valor de De é possível então sugerir um sistema de suportes a ser utilizado (Support of Underground Excavation in Hard Rock - Gráfico na página 44). Outras informações ou sugestões são também propostas por Barton; como o comprimento estimado dos “tirantes” (L) obtidos a partir da largura da escavação (B) e o valor de ESR: L

2  0,15 B ESR

A largura máxima (Sm) de uma escavação não suportada pode ser estimada por:

S m  2 ESR Q 0,4

e a pressão (Proof) exercida pelo suporte permanente do teto avaliada por:

Proof 

2 Jn Q 3J r

 13

RESISTÊNCIA E DEFORMABILIDADE DAS ROCHAS O objetivo maior da mecânica das rochas é definir ou quantificar o comportamento de maciços rochosos sujeitos a um estado de tensão ou solicitação. Aspectos importantes aqui são:   

Parâmetros E,  (regime elástico), Resistência à compressão (c), Comportamento tensão/deformação no regime plástico.

Alguns comportamentos mecânicos evidenciam a influência de diferentes estruturas dos maciços rochosos. A estabilidade de escavações nestes maciços deverão considerar, portanto, primeiramente tais fatores. Em algumas situações, como por exemplo, escavações em grandes profundidades e em rochas de boa qualidade, a análise da rocha intacta (material rochoso) deve apresentar maior importância. Em outros exemplos, análise de estabilidade de um talude, por exemplo, uma única ou um número pequeno de descontinuidades pode assumir maior importância. Uma terceira situação onde um grande número de descontinuidades estão presentes e existe a possibilidade de formação de blocos, requer um outro tipo de abordagem. Aqui, deve-se considerar blocos individualizados (como em túneis, por exemplo) ou a formação de um grande número de blocos de pequenas dimensões, como em processos de abatimento (longwall). Algumas definições estão sempre presentes no estudo da deformação de maciços rochosos, e em última instância a estabilidade de escavações neles desenvolvidas, algumas delas são: 

Fratura: Formação de planos de separação envolvendo a criação de novas superfícies. O desenvolvimento de fraturas não implica necessariamente em instabilidade.



Resistência (resistência pico): É a tensão máxima que um corpo de prova pode suportar segundo dadas condições. Ultrapassado este valor de carregamento o corpo ainda possui uma certa capacidade de carregamento. O valor mínimo desta resistência final é conhecido como Resistência Residual e alcançado quando uma considerável deformação (pós-pico) tenha tido lugar.



Yelding: Ponto associado à mudança do regime de comportamento de elástico para plástico. (Limiar de deformação permanentes).



Falência: Normalmente se refere a este processo quando a resistência de pico é alcançada. Entretanto, do ponto de vista da engenharia, a falência pode ser

considerada, de maneira mais abrangente, como a impossibilidade das escavações serem utilizadas para as funções que foram planejadas. 

Tensão Efetiva: De maneira geral a tensão efetiva pode ser definida como:  ij '   ij  U

onde ij’ é a tensão efetiva, ij representa a tensão total e U representa a pressão nos poros. -

Compressão Uniaxial

A compressão uniaxial é provavelmente o ensaio geomecânico mais realizado nos laboratórios. A partir deste ensaio podem ser estimados parâmetros como (c) Resistência e a compressão uniaxial (utilizado em classificações de maciços rochosos) e os parâmetros elásticos: módulo Young (E) e razão de Poisson (). Apesar de se tratar de um ensaio de simples realização, bastante critério é necessário na sua realização e na interpretação dos seus resultado. Alguns problemas potenciais são:     

razão altura/diâmetro do corpo de prova paralelismo das faces volume do corpo de prova razão de carregamento rigidez da prensa

A ISMR Comission (1979) sugere uma série de procedimentos visando minimizar os problemas mencionados acima e padronizar os resultados obtidos nos ensaios (Rock MechanicsFor underground mining, pag. 90). A figura apresentada por Brady e Brown (Rock Mechanics For Underground Mining - pag 91) exemplifica os resultados obtidos em um teste de compressão uniaxial. O gráfico apresenta a relação entre deformações radiais e axiais a tensão axial aplicada no corpo de prova (força/área). -

Testes de Compressão Triaxial

Neste ensaio, além de um esforço axial (1), um corpo de prova é submetido também a um confinamento através da aplicação de uma tensão controlada (3). Esta tensão confinante é aplicada, através de um fluído sob pressão, em uma câmara especial conhecida como Célula Triaxial (Figura Rock Mechanics for Underground Mining, Pag. 103).

As figuras apresentadas nas páginas 104 e 105 (Rock Mechanics for Underground Mining) exemplificam algumas características importantes que podem ser observadas nos ensaios de compressão triaxial: Com o aumento da pressão confinante (3):    

A resistência máxima também aumenta. O mecanismo de deformação passa suavemente de tipicamente frágil (elástico) para o regime dúctil (comportamento plástico). A curva tensão-deformação apresenta a região próxima a resistência máxima mais suavizada e de maior abrangência. A diferença entre resistência máxima e resistência residual diminui e desaparece para valores de s3 muito elevados. Este valor de s3 é conhecido como pressão de transição entre o regime frágil e o regime dúctil.

CRITÉRIOS DE RUPTURA O objetivo da determinação de critérios de ruptura é a estimação da resistência ou capacidade de carregamento de uma rocha ou maciço rochoso sujeito a determinada condição de carregamento. Procura-se assim predeterminar as relações entre os componentes da matriz tensão [] em que a resistência de pico seria alcançada. Analogamente, pode-se definir critérios para resistência residual e para o “yielding point”. Os critérios de ruptura são geralmente apresentados sob forma:

1 = f(2,3) ou t = f(n)

Como as observações dos dados em diversos experimentos demonstram que a influência da tensão principal intermediária (2) pode ser considerado desprezível, todos os critérios de ruptura, ou critérios de resistência, são apresentados na sua forma reduzida:

1 = f(3)

Critério de Ruptura de Coulomb

Em 1776 Coulomb introduziu o conceito segundo o qual a resistência dos materiais geológicos (solos e rochas) seria resultante da soma de duas parcelas: 

Uma coesão (constante)



Um componente friccional (dependente da tensão normal)

Assim, a resistência ao cisalhamento em um plano qualquer é representada, segundo Coulomb, por: '  C   n Tan 

onde: ’ representa a resistência ao cisalhamento C é a coesão n é a tensão normal  é o ângulo de atrito interno.

Utilizando as equações de transformação de tensão (rotação): n  

1 1   3   1 1   3  cos 2 2 2

1 1   3 sen 2 2

a orientação do plano de cisalhamento, dada por:



   4 2

e ainda: sen 2  cos  ;

sen 2  cos 

o critério proposto por Coulomb pode ser escrito como: 1 

2 C Cos    3 (1  Sen ) 1  Sen 

ou 1  Tan   3   c

onde:

Tan  

c 

1  Sen  1  Sen 

2 C Cos  1  Sen 

As situações que apresentam esforços de tração deve ser analisada com cautela. Normalmente aplica-se o critério de resistência de Coulomb somente a valores maiores que a resistência a tensão (T o) ou de maneira mais conservativa. To = 0. Ainda que muito utilizado, o critério de ruptura proposto por Coulomb não é particularmente satisfatório para a estimação de resistência dos materiais rochosos por apresentar as seguintes discordâncias com observações de ensaios realizados: 

Admite a existência de um plano de cisalhamento (bem desenvolvido) nas condições de resistência máxima, o que necessariamente não ocorre.



A direção em que ocorre o cisalhamento e a predita pelo modelo nem sempre são correspondentes.



As ensaios realizados mostram que as envoltórias não são lineares como a apresentada por Coulomb.

Teoria da Propagação de Fissuras (Griffith)

Griffith, em 1921, propôs que as fraturas em materiais “frágeis” se iniciam nas regiões de concentração de tensões no entorno de micro fissuras e se propagam quando a energia do sistema (campo de forças + material) decresce ou se mantém constante com o aumento da extensão da fratura.  (w d  w e )  0 c

onde:   

C se refere ao comprimento da fissura We é a energia potencial (deformação) Wd é a energia superficial (superfície das fissuras)

Em 1924 Griffith propôs a sua formulação do critério de ruptura para uma compressão em condição de tensão plana. (1   3 ) 2  8 T0 (1   3 )  0

se

1  3  3  0

ou  3  T0  0

se 1  3  3  0

que também pode ser escrita, em termos de tensão cisalhante e tensão normal, como:  2  4 T0 ( n  To )

As tentativas de utilização destas formulações na estimação de resistências de rochas mostraram, invariavelmente, resultados não satisfatórios e como conseqüência as equações propostas por Griffith não encontram aplicações práticas nos dias atuais.

-

Critérios Empíricos

Como os modelos apresentados anteriormente não cumpriram os seus objetivos na estimação da resistência dos materiais rochosos e maciços rochosos, um número de critérios empíricos de ruptura foi desenvolvido por diversos pesquisadores a partir da observação de dados práticos. A nãolinearidade das envoltórias observadas nos ensaios laboratoriais foi traduzida

nestas formulações, através da utilização de equações ou leis como a proposta por Bieniawski (1974) k

 1  1  A  3 c  c

  

 m  0,1  B  m c  c

  

ou c

Aqui: m 

1 1   3  2

m 

1 1   3  2

e as constantes k e c representam aproximadamente 0,75 e 0,90, respectivamente. A e B são parâmetros que dependem dos diferentes tipos de rocha (Tabela 4.6 – Rock Mecahanics for Underground Excavation, Pag. 112) Hoek e Brown, em 1980, também propuseram uma equação para descrever a resistência máxima de um maciço rochoso: 1

2 1 ' 3  3    m  S  c c  c 

onde m é uma constante referente ao tipo de rocha (dolomitos, quartzitos, dioritos, etc.) e S e uma constante que expressa o estado de fraturamento do maciço rochoso. Estes parâmetros são expressos em função do valor de RMR do maciço segundo as equações: m  RMR  100   exp   mi 14  

 RMR  100  s  exp   6  

para maciços rochosos perturbados, ou

m  RMR  100   exp   mi 28  

 RMR  100  s  exp   9  

para maciços rochosos não perturbados. mi é um valor tabulado para rochas intactas (Rock Mechanics for Underground Mining, Pag 112). A mesma equação proposta por Hooke e Brown quando escrita em função das tensões normais e cisalhantes torna-se:





1  1  '  A n   m  m 2  4 S 2  c   c  2

B

A e B são parâmetros que dependem do valor de m.

Em 1973 Barton considera que a resistência máxima de juntas em um maciço rochoso poderia ser representada pela equação:    JCS     r ' '   n ' Tan JRC Log  '  n   

onde n’ representa tensão normal efetiva, JRC é o índice de rugosidade (variando de 1 a 20), JCS é a resistência à compressão das juntas e r’ representa o ângulo de fricção residual (drenado).

MÉTODO DE ANÁLISE DE DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES A solução dos problemas que envolvem a determinação do estado de tensão ao redor de escavações em maciços rochosos, em geral, apresentamse bastante complexas. Normalmente, recorre-se a métodos matemáticos (numéricos) para a solução destes problemas. Entretanto, tanto das soluções analíticas (quando possíveis) quanto as soluções numéricas obedecem uma série de condições como:    

condições de fronteira / iniciais equações de equilíbrio equações constitutivas compatibilidade das deformações

Como exemplo de soluções analíticas, poderíamos citar uma escavação de seção circular (túnel) onde:

  p a 2  a2 a4 1  k  1   1  k  1  4 3   2 r 2  r2 r4   

 rr 

  

 r 

ur 

  P a 2  a4 1  k  1   1  k  1  3   2 r 2  r4   

   Cos 2    

   Cos 2    

  p a2 a4  1  k  1  2  3  Sen 2  2 4   2  r r   

pa2 4G r

u 

   a2    1  k   1  k  41    2  Cos 2  r        

pa2 4G r

   a2    1  k  2 1  2    2  Sen 2  r      

Como exemplo de métodos numéricos (métodos computacionais) utilizados na solução das equações envolvidas nos problemas de mecânica de rocha, temos:  Método dos elementos de fronteira  Método das diferenças finitas  Método dos elementos finitos  Método dos elementos discretos