Metodos Energeticos...problemas Resueltos Resistencia De Materiales 2
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Universidad Nacional del Altiplano
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES
TEMA:
Resolución de Métodos Energéticos: Trabajo Virtual Teorema de Castigliano
PRESENTADO POR:
Escobedo Huamanquispe Eddison PUNO - PERU
2016
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
METODO TRABAJO VIRTUAL PROBLEMA 01: Determinar la deflexión vertical en el nudo B y la horizontal en C.
A1= 3plg2 A2= 4plg2 E=29x106 lb/plg2
Solución: (Método Matricial)
D.C.L.
𝐶𝑜𝑠𝛼 = 0.447 𝑆𝑒𝑛𝛼 = 0.894 𝐶𝑜𝑠45 = 0.707 𝑆𝑒𝑛45 = 0.707 ⌊𝐹𝑒⌋ + [𝑢][𝐹𝑖] = 0 ⌊𝐹𝑖⌋ = −[𝑢]−1 [𝐹𝑒]
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Ensamblando la matriz: F1
F2
F3
F4
F5
Ax
Ay
Dy
0
0.447 0.707
0
0
0
1
0
0
F1
0
0
0.894 0.707
0
0
0
0
1
0
F2
0
30 0
-0.45 -0.89
0 0
0.447 -0.89
0 0
0 -1
0 0
0 0
0 0
F3 * F4
0 0
0
0
-0.71
0
0.707
0
0
0
0
F5
0
-40
0
-0.71
0
-0.71
1
0
0
0
Ax
0
0
0
0
-0.45 -0.71
0
0
0
0
Ay
0
0
0
0
0.894 0.707
0
0
0
1
Dy
0
+
Resolviendo la matriz tenemos: 𝐹1 −44.74 𝐹2 70.72 𝐹3 −111.86 𝐹4 70.72 = 𝐹5 140.00 𝐴𝑥 −30.00 𝐴𝑦 −10 [𝐷𝑦] [ 50 ] 1. Determinamos las fuerzas internas reactivas para una carga virtual: a) 𝝏𝑩 𝑽
RESISTENCIA DE MATERIALES II
=
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
u-1 =
Calculamos u-1
0.00 0.00 0.00 1.12 1.12
1.12 2.24 0.00
0.00 0.00 1.41 0.71 2.12
0.71 2.83 0.00
0.00 0.00 2.24 1.12 1.12 1.12 2.24 0.00 0.00 0.00 1.41 0.71 0.71 0.71 2.83 0.00 0.00 0.00 2.00 1.00 2.00 2.00 4.00
0.00
1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 1.00
𝐹1 0 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 1 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹5 0 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0 [0] [𝐷𝑦]
ELEMENTO AB BC AC BD CD
𝐹1 −1.12 𝐹2 0.71 𝐹3 −1.12 𝐹4 0.71 = 𝐹5 1 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0.5 [𝐷𝑦] [ 0.5 ]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑩 𝑽
L 268.32 120 169.68 268.32 169.68
A 3 4 3 3 3
E 29000 29000 29000 29000 29000
V -1.12 1 0.71 -1.12 0.71
N -39.25 130.18 67.25 -106.37 67.25
DEFF 0.136 0.135 0.093 0.367 0.093 0.824
𝜕𝑉𝐵
= 0.824in Rpta.
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
b) 𝝏𝑯 𝒄 Determinamos las fuerzas internas reactivas para una carga virtual: Calculamos u-1
u-1 =
0.00 0.00 0.00 1.12 1.12
1.12 2.24 0.00
0.00 0.00 1.41 0.71 2.12
0.71 2.83 0.00
0.00 0.00 2.24 1.12 1.12 1.12 2.24 0.00 0.00 0.00 1.41 0.71 0.71 0.71 2.83 0.00 0.00 0.00 2.00 1.00 2.00 2.00 4.00
0.00
1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 1.00
𝐹1 0 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 0 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹5 −1 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0 [0] [𝐷𝑦] ELEMENTO AB BC AC BD CD
𝐹1 −1.12 𝐹2 2.12 𝐹3 −1.12 𝐹4 0.71 = 𝐹5 2.0 𝐴𝑥 −1 𝐴𝑦 −0.5 [𝐷𝑦] [ 0.5 ]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑪𝑯 L 268.32 120 169.68 268.32 169.68
A 3 4 3 3 3
E 29000 29000 29000 29000 29000
u -1.12 2 2.12 -1.12 0.71
N -39.25 130.18 67.25 -106.37 67.25
DEF 0.136 0.269 0.278 0.367 0.093 1.144
𝜕𝐻𝑐
= 1.144in Rpta.
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
PROBLEMA 02:
Hallar 𝝏𝒄𝒗
A1=4plg2 A2=3plg2 E=29*106 lb/plg2
SOLUCION: Método Matricial.
D.C.L.
⌊𝐹𝑒⌋ + [𝑢][𝐹𝑖] = 0 ⌊𝐹𝑖⌋ = −[𝑢]−1 [𝐹𝑒]
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
0
0.8
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
F1
0
0
0.6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
F2
0
0
-0.8
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F3
0
0
-0.6
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
F4
0
0
0
-1
0
0
-0.8
0
0
0.8
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.6
0
-1
-0.6
0
0
0
0
F5 F6
0 0
0
0
0
-1
0
0.8
1
0
0
0
0
0
0
F7
0
-30
0
0
0
1
0.6
0
0
0
0
0
0
0
F8
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
F9
0
-60
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Ax
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.8
-1
0
0
0
Ay
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.6
0
0
0
1
Fy
0
0
+
Resolviendo la matriz tenemos:
F1
-66.667
F2
-53.333
F3
53.333
F4
40.000
F5 F6
-16.667 66.667
=
F7
60.000
F8
-83.333
F9
66.667
Ax
0.000
Ay
40.000
Fy
50.000
RESISTENCIA DE MATERIALES II
*
=
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Para una carga unitaria virtual.
Calculamos u-1 0.00 0.00 0.00 0.00 u^-1= 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
𝐹1 0 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 0 𝐹5 0 𝐹6 0 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹7 0 𝐹8 1 𝐹9 0 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0 [ 0] [𝐹𝑦]
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
-0.42 0.67 -0.67 0.25 -0.42 -0.33 0.00 0.42 -0.33 1.00 0.25 -0.25
-1.11 -0.89 0.89 -0.33 0.56 0.44 0.00 -0.56 0.44 0.00 0.67 0.33
-0.42 -0.33 -0.67 0.25 -0.42 -0.33 0.00 0.42 -0.33 1.00 0.25 -0.25
-0.56 -0.44 0.44 0.33 -0.56 0.89 0.00 -1.11 0.89 0.00 0.33 0.67
Resolviendo Tenemos:
0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
-1.11 -0.89 0.89 0.67 0.56 0.44 0.00 -0.56 0.44 0.00 0.67 0.33
0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
-0.56 -0.44 0.44 0.33 -0.56 0.89 1.00 -1.11 0.89 0.00 0.33 0.67
0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 0.00 0.00
𝐹1 −1.11 𝐹2 −0.89 𝐹3 0.89 𝐹4 0.67 𝐹5 0.56 𝐹6 0.44 = 𝐹7 0.00 𝐹8 −0.56 𝐹9 0.44 𝐴𝑥 0.00 𝐴𝑦 0.67 [𝐹𝑦] [ 0.33 ]
RESISTENCIA DE MATERIALES II
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
ELEMENTO AB AC BC BD CE DE DC DF EF
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑪𝒗 L 300 240 180 240 240 180 300 300 240
A 4 4 3 4 4 3 3 4 4
E 29000 29000 29000 29000 29000 29000 29000 29000 29000
V -1.11 0.89 0.67 -0.89 0.44 0 0.56 -0.56 0.44
N -66.667 53.333 40 -53.333 66.667 60 -16.667 -83.333 66.667
DEFF 0.191 0.098 0.055 0.098 0.061 0.000 -0.032 0.121 0.061 0.653
𝜕𝑣𝑐 = 0.653in Rpta.
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
𝑨 PROBLEMA 03: Determinar 𝝏𝑨 𝒗 y 𝝏𝒉
AI= 2pulg2 AII= 4pulg2 E=29000 Klb/plg2
Solución: Método Matricial
D.C.L.
⌊𝐹𝑒⌋ + [𝑢][𝐹𝑖] = 0 ⌊𝐹𝑖⌋ = −[𝑢]−1 [𝐹𝑒]
0
0.894
1
0
0
0
0
0
0
0
0
F1
0
-10
0.447
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F2
0
0
-0.89
0
0
0.894
0
0.894
0
0
0
0
F3
0
-20
-0.45
0
0
0.447
0
-0.45
-1
0
0
0
F4
0
0
0
-0.89
0
0
0
1
0
0
0 0
0
0
0
0
-0.45
-1
0
0
0
1
0
F6
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
F7
0
-20
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Ex
0
0
0
0
-1
0
0
-0.89
0
0
0
1
Ey
0
0
0
0
0
0
1
0.447
0
0
0
0
Dx
0
0
*
RESISTENCIA DE MATERIALES II
*
F5
=
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Resolviendo la matriz:
F1
22.37
F2
20.00
F3
20.00
F4
67.11
F5
=
20.00
F6
44.74
F7
20.00
Ex
60.00
Ey
50.00
Dx
60.00
1. Para una carga unitaria virtual 𝝏𝑨 𝒗
Calculamos u-1 0.00 2.24 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.24 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00
u-1=
0.00 0.00 0.25 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 1.00 0.00 0.00 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.50 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00
2.00 0.50 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
𝐹1 0 𝐹2 1 𝐹3 0 𝐹4 0 𝐹5 0 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹6 0 𝐹7 0 𝐸𝑥 0 𝐸𝑦 0 [0] [𝐷𝑥 ]
ELEMENTO AB AC CD BE
𝐹1 2.24 𝐹2 −2.00 𝐹3 −2.00 𝐹4 2.24 𝐹5 0.00 = 𝐹6 0.00 𝐹7 0.00 𝐸𝑥 2.00 𝐸𝑦 1.00 [𝐷𝑥 ] [−2.00]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑨 𝒗 L 161.04 144 144 161.04
A 2 2 2 4
E 29000 29000 29000 29000
V 2.24 -2 -2 2.24
N 22.37 -20 -20 67.11
D 0.139 0.099 0.099 0.209 0.546
𝜕𝑣𝐴 = 0.546in Rpta.
2. Para una carga unitaria virtual 𝝏𝑨 𝑯
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Calculamos u-1 0.00 2.24 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.24 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00
u-1=
0.00 0.00 0.25 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 1.00 0.00 0.00 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.50 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00
2.00 0.50 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00
𝐹1 −1 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 0 𝐹5 0 −1 = [𝑢 ] ∗ 𝐹6 0 𝐹7 0 𝐸𝑥 0 𝐸𝑦 0 [0] [𝐷𝑥 ] ELEMENTO AC CD
𝐹1 0 𝐹2 −1 𝐹3 −1 𝐹4 0 𝐹5 0 = 𝐹6 0 𝐹7 0 𝐸𝑥 0 𝐸𝑦 0 [𝐷𝑥 ] [−1]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑨 𝑯 L 144 144
A 2 2
E 29000 29000
u
N -1 -1
-20 -20
D 0.050 0.050 0.099
𝜕𝐻𝐴
= 0.099in Rpta.
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
TEOREMA DE CASTIGLIANO Problema 1.- Determine las reacciones en los apoyos y la deflexión horizontal en C
𝐴𝐼 = 2𝑝𝑙𝑔2 𝐴𝐼𝐼 = 4𝑝𝑙𝑔2 𝐸 = 29 ∗ 106 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔2
Solución:
1) Sustituimos por Q una reacción redundante y P la carga ficticia
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
𝛴𝐹𝑋 = 0 / 𝐴𝑋 + 𝑃 + 30 = 0 𝐴𝑋 = 𝑄 − 𝑃 − 30 𝛴𝐹𝑉 = 0
𝐴𝑌 + 𝐷𝑌 = 0
𝛴𝑀𝐴 = 0 15 ∗ 𝐷𝑌 = 30 ∗ 20 4 𝐷𝑌 = (𝑃 + 30) 𝑘𝑖𝑝𝑠 3 4 𝐴𝑌 = − (𝑃 + 30) 𝑘𝑖𝑝𝑠 3
2) Calculo de las fuerzas internas en funcion de P A)
𝛴𝐹𝑋 = 0 𝑄 − 𝐹3 cos 53 = 0
𝐹3 = −
5𝑄 3
𝛴𝐹𝑉 = 0 𝐷𝑌 + 𝐹5 + 𝐹3 ∗ cos 53 = 0 4 𝐹5 = (𝑃 − 𝑄 − 30) 3
B)
𝛴𝐹𝑋 = 0
𝐹2 +
5𝑄 ∗ cos 53 = 0 3
𝐹2 = 𝑄 𝛴𝐹𝑉 = 0
− 𝐹1 − 𝐹1 =
4𝑄 3
RESISTENCIA DE MATERIALES II
5𝑃 cos 53 = 0 3
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
C)
3 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝑃 + 30 − 𝐹4 − 𝐹2 = 0 5 5 𝐹4 = (𝑃 + 30 − 𝑄) 3 𝛴𝐹𝑉 = 0
3)
POR EL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
BARRA
Determinacion de la reccion redundante Q donde P=0
𝑨𝒊 (pulg^2)
𝑳𝒊
𝑳 𝑨𝑬
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑸
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑸 𝑨𝑬
(pulg) AB
4
240
60 𝐸
4𝑄 3
4 3
4 𝑄60 ( )2 ∗ 3 𝐸
BC
4
180
45 𝐸
𝑄
1
45 𝑄 𝐸
BD
2
300
150 𝐸
AC
2
300
CD
4
240
5𝑄 3
−
5 3
5 𝑄150 ( )2 ∗ 3 𝐸
150 𝐸
5 − (𝑄 − 30) 3
−
5 3
5 150 ( )2 ∗ (𝑄 − 30) 3 𝐸
60 𝐸
4 (𝑄 − 30) 3
−
4 3
4 60 ( )2 ∗ (𝑄 − 30) 3 𝐸
RESISTENCIA DE MATERIALES II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
𝛴𝑁𝑖 ∗ 𝑁𝑖 ∗
𝜕𝑁𝑖 𝐿 ∗ =𝟎 𝜕𝑄 𝐴𝐸
𝜕𝑁𝑖 𝐿 4 2 𝑄60 45 5 2 𝑄150 5 2 150 4 2 60 ∗ =( ) ∗ + 𝑄+( ) ∗ + ( ) ∗ (𝑄 − 30) + ( ) ∗ (𝑄 − 30) =0 𝜕𝑄 𝐴𝐸 3 𝐸 𝐸 3 𝐸 3 𝐸 3 𝐸
9465𝑄 − 1413 = 0 𝑄 = 14.92 𝑘𝑖𝑝𝑠 BARRA
Determinacion de la deformacion horizontal en C
𝑨𝒊 ( in^2)
𝑳𝒊
𝑳 𝑨𝑬
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑷
60 𝐸 45 𝐸 150 𝐸 150 𝐸
4𝑄 3
0
0
𝑄
0
0
5𝑄 3
0
0
5 − (𝑄 − 𝑃 − 30) 3
5 3
5 150 ( )2 (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 3 𝐸
60 𝐸
4 (𝑄 − 𝑃 − 30) 3
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑷 𝑨𝑬
(in) AB
4
240
BC
4
180
BD
2
300
AC
2
300
CD
4
240
5
−
2
𝛿𝐻𝐶 = ( ) ∗ (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 3
𝛿𝐻𝐶 =
−
4 3
4 2 60 + ( ) (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 𝐸 3 𝐸
150
1 1570 (− ∗ 𝑄 + 15700) 29000 3
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑄 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝛿𝐻𝐶 = 0.2721 𝑝𝑙𝑔
RESISTENCIA DE MATERIALES II
4 60 ( )2 (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 3 𝐸
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Problema 2.- determinar las reacciones y las fuerzas en las barras de la armadura. E es constante.
𝐴𝐼 = 3𝑝𝑙𝑔2 𝐴𝐼𝐼 = 2𝑝𝑙𝑔2
Solución: 1) sustituyendo la fuerza redundante por P
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𝛴𝑀𝐴 = 0 20 ∗ 𝐶𝑌 + 40 ∗ 𝑃 = 20 ∗ 20 + 30 ∗ 20 𝐶𝑌 = 50 − 2𝑃 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = −20 𝑘𝑖𝑝𝑠 𝛴𝐹𝑦 = 0 30 − 𝐶𝑌 − 𝑝 𝐴𝑌 = 𝑃 − 20 2) Determinación de las fuerzas internas en función de P; por el método de nudos. A) 𝛴𝐹𝑦 = 0
𝐴𝑌 +
√2 𝐹 =0 2 1
𝐹1 = √2(20 − 𝑃) 𝛴𝐹𝑋 = 0 √2 𝐹 + 𝐹2 + 𝐴𝑋 = 0 2 1 𝐹2 = 𝑃 B) 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝐹3 = 𝑃 𝛴𝐹𝑦 = 0 𝐹5 = 2𝑃 − 50
C) 𝛴𝐹𝑋 = 0 √2 𝐹 =0 2 4 𝐹4 = −√2𝑃
𝐹3 +
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3) Del segundo teorema de Castigliano BARRA
𝑨𝒊 (in^2)
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑷
√2(20 − 𝑃)
−√2
𝑳𝒊 (in)
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑷 𝑨𝑬
12 √2(20 − 𝑃) 3𝐸
1
3
12 ∗ 20√2
2
3
12 ∗ 20
𝑃
1
20𝑃 ∗ 12 3𝐸
3
3
12 ∗ 20
𝑃
1
20𝑃 ∗ 12 3𝐸
4
3
12 ∗ 20√2
−√2𝑃
−√2
12 ∗ √2 ∗ 20 ∗ 2 ∗𝑃 3𝐸
5
2
12 ∗ 20
2𝑃 − 50
2
12 ∗ 20 ∗ (2𝑃 − 50) 𝐸
𝛴 𝑁𝑖 ∗ 𝛴 𝑁𝑖 ∗
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑃
𝐿 ∗
𝐴𝐸
12
= −40 ∗
√(
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑃
2 20 − 𝑃
3𝐸
+
−40 ∗
𝐿 ∗
𝐴𝐸
=𝟎
)+2∗
20𝑃
12 ∗
√2 ∗ 20 ∗ 2
∗ 12 + 3𝐸
∗𝑃 3𝐸
12 ∗ 20 ∗ (2𝑃 − 50) = 0 𝐸
91.045 ∗ 𝑃 = 1377.123 𝑃 = 15.125
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝑌 = −4.875 𝑘𝑖𝑝 𝐶𝑌 = 19.749 𝑘𝑖𝑝 𝐹1 = 6.895 𝑘𝑖𝑝𝑠 (𝑇) 𝐹2 = 15.125 𝑘𝑖𝑝 (𝑇) 𝐹3 = 15.125 𝑘𝑖𝑝 (𝑇) 𝐹4 = 21.391 𝑘𝑖𝑝 (𝐶) 𝐹5 = 19.749 𝑘𝑖𝑝 (𝐶) Rpta.
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Problema 3.- determinar las reacciones y las fuerzas en las barras de la armadura. E es constante.
𝐴𝐼 = 4000𝑚𝑚2 𝐴𝐼𝐼 = 3000𝑚𝑚2 𝐴𝐼𝐼𝐼 = 2000𝑚𝑚2
Solución: 1) Reemplazando las fuerzas redundantes en función de P y Q
𝛴𝑀𝐴 = 0 20𝐸𝑌 + 8𝑄 − 80 ∗ 8 − 10 ∗ 120 = 0 𝐸𝑌 = 92 −
5𝑄 5
𝛴𝐹𝑉 = 0 𝐴𝑌 + 𝐸𝑌 = 120 𝐴𝑌 = 𝛴𝐹𝑋 = 0
2𝑄 5
+ 28
𝐴𝑋 = 𝑃 + 𝑄 − 80
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2) Determinación de las fuerzas internas en función de P y Q por método de nudos A)
𝛴𝐹𝑉 = 0
4
2 𝐹1 = − − 28 5 √41
𝐹1 = 𝛴𝐹𝑋 = 0
𝑄 √41 ∗ (− − 14) 2 5
𝑃 + 𝑄 − 80 +
5 𝐹 √41 1
𝑄
+ 𝐹2
𝐹2 = 115 − 𝑃 − 2
C) 𝑄
𝛴𝐹𝑋 = 0 𝐹4 = 𝐹2 = 115 − 𝑃 − 2
𝛴𝐹𝑌 = 0 𝐹3 = 120 𝐾𝑁
D) 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝑃 + 𝐹4 + 4 −
5 √41
𝐹5 = 0
𝑄 𝐹5 = √41( − 23) 10 𝛴𝐹𝑌 = 0 𝐹6 = −
4
𝑄 (√41( − 23)) 10 √41
𝐹6 = 92 −
2𝑄 5
E)
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𝛴𝐹𝑋 = 0 /
𝐹7 = −𝑄
3) Del segundo teorema de Castigliano: BARRA
𝑨𝒊 (m^2)
𝑳𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑷
𝑵𝒊
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑷 𝑨𝑬
(m) 1
4𝑥10−3
2
4𝑥10−3
10
3
4𝑥10−3
8
4
3𝑥10−3
10
5
3𝑥10−3
6
2𝑥10−3
8
7
4𝑥10−3
10
𝛴 𝑁𝑖 ∗ 𝑃+
𝑄 2
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑃
∗
𝐿 𝐴𝐸
𝑄 √41 (− − 14) 2 5
2√41
115 − 𝑃 −
-1
120
0
√41(23 −
10 4∗10−3 𝐸
10 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
0
-1
𝑄 ) 10
0
0
0
0
0
0
2𝑄 5 −𝑄
92 −
−
𝑄 2
115 − 𝑃 −
2√41
= −2 ∗
𝑄 2
0
−
𝑄
(115 − 𝑃 − ) = 0 2
= 115………………………………(1)
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10 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
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BARRA
𝑨𝒊 (m^2)
𝑳𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑸
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑸 𝑨𝑬
𝑵𝒊 ∗
(m) 1
4𝑥10−3
2
4𝑥10−3
10
3
4𝑥10−3
8
4
3𝑥10−3
10
5
3𝑥10−3
𝑄 √41 (− − 14) 2 5
2√41
115 − 𝑃 −
6
2𝑥10−3
8
7
4𝑥10−3
10
√41(23 −
92 −
1 2
−
5 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
1 2
−
5 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
√41 10
−
−
𝑄 2
0
−
𝑄 ) 10
2𝑄 5
−
−
−𝑄
41√41 𝑄 ( + 14) 4 ∗ 10−2 𝐸 5
√41 10
0
115 − 𝑃 −
𝜮𝑁𝑖 ∗ 𝜮𝑁𝑖 ∗
𝑄 2
120
2√41
−
2 5
√41 −3
15 ∗ 10 𝐸
−
−1
(23 −
8 5𝑄 (92 − ) −3 5 ∗ 10 𝐸 2 5𝑄 2 ∗ 10−3 𝐸
𝜕𝑁𝑖 𝐿 ∗ =𝟎 𝜕𝑄 𝐴𝐸
𝜕𝑁𝑖 𝐿 41√41 𝑄 5 𝑄 𝑄 √41 ∗ = ( + 14) − 2 ∗ (115 − 𝑃 − ) − (23 − ) −2 −3 −3 𝜕𝑄 𝐴𝐸 4 ∗ 10 𝐸 5 4 ∗ 10 𝐸 2 15 ∗ 10 𝐸 10 −
8 −3
5 ∗ 10 𝐸
(92 −
5𝑄
5𝑄
2
2 ∗ 10−3 𝐸
)+
=0
2.5𝑃 + 7.4528𝑄 = 745.3582 … … … … … … … … … … . . (2) Del sistema de ecuaciones se tiene. 𝑃+
𝑄 = 115 … … … … … … … … … … … … (1) 2
2.5𝑃 + 7.4528𝑄 = 745.3 … … … … … … . . (2) 𝑃 = 78.092 𝑄 = 73.81
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𝑄 ) 10
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De donde se tiene las fuerzas internas
𝐴𝑌 = 57.523 𝐾𝑁 𝐴𝑋 = 71.798 𝐾𝑁 𝐹1 = 92.1 𝐾𝑁 (𝐶) 𝐹2 = 0 𝐹3 = 120 𝐾𝑁 (𝑇) 𝐹4 = 0 𝐹5 = 100 𝐾𝑁 (𝐶) 𝐹6 = 62.5 𝐾𝑁 (𝑇) 𝐹7 = 73.81 𝐾𝑁 (𝐶) Rpta.
RESISTENCIA DE MATERIALES II
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES
TEMA:
Resolución de Métodos Energéticos: Trabajo Virtual Teorema de Castigliano
PRESENTADO POR:
Escobedo Huamanquispe Eddison PUNO - PERU
2016
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METODO TRABAJO VIRTUAL PROBLEMA 01: Determinar la deflexión vertical en el nudo B y la horizontal en C.
A1= 3plg2 A2= 4plg2 E=29x106 lb/plg2
Solución: (Método Matricial)
D.C.L.
𝐶𝑜𝑠𝛼 = 0.447 𝑆𝑒𝑛𝛼 = 0.894 𝐶𝑜𝑠45 = 0.707 𝑆𝑒𝑛45 = 0.707 ⌊𝐹𝑒⌋ + [𝑢][𝐹𝑖] = 0 ⌊𝐹𝑖⌋ = −[𝑢]−1 [𝐹𝑒]
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Ensamblando la matriz: F1
F2
F3
F4
F5
Ax
Ay
Dy
0
0.447 0.707
0
0
0
1
0
0
F1
0
0
0.894 0.707
0
0
0
0
1
0
F2
0
30 0
-0.45 -0.89
0 0
0.447 -0.89
0 0
0 -1
0 0
0 0
0 0
F3 * F4
0 0
0
0
-0.71
0
0.707
0
0
0
0
F5
0
-40
0
-0.71
0
-0.71
1
0
0
0
Ax
0
0
0
0
-0.45 -0.71
0
0
0
0
Ay
0
0
0
0
0.894 0.707
0
0
0
1
Dy
0
+
Resolviendo la matriz tenemos: 𝐹1 −44.74 𝐹2 70.72 𝐹3 −111.86 𝐹4 70.72 = 𝐹5 140.00 𝐴𝑥 −30.00 𝐴𝑦 −10 [𝐷𝑦] [ 50 ] 1. Determinamos las fuerzas internas reactivas para una carga virtual: a) 𝝏𝑩 𝑽
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=
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u-1 =
Calculamos u-1
0.00 0.00 0.00 1.12 1.12
1.12 2.24 0.00
0.00 0.00 1.41 0.71 2.12
0.71 2.83 0.00
0.00 0.00 2.24 1.12 1.12 1.12 2.24 0.00 0.00 0.00 1.41 0.71 0.71 0.71 2.83 0.00 0.00 0.00 2.00 1.00 2.00 2.00 4.00
0.00
1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 1.00
𝐹1 0 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 1 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹5 0 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0 [0] [𝐷𝑦]
ELEMENTO AB BC AC BD CD
𝐹1 −1.12 𝐹2 0.71 𝐹3 −1.12 𝐹4 0.71 = 𝐹5 1 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0.5 [𝐷𝑦] [ 0.5 ]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑩 𝑽
L 268.32 120 169.68 268.32 169.68
A 3 4 3 3 3
E 29000 29000 29000 29000 29000
V -1.12 1 0.71 -1.12 0.71
N -39.25 130.18 67.25 -106.37 67.25
DEFF 0.136 0.135 0.093 0.367 0.093 0.824
𝜕𝑉𝐵
= 0.824in Rpta.
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b) 𝝏𝑯 𝒄 Determinamos las fuerzas internas reactivas para una carga virtual: Calculamos u-1
u-1 =
0.00 0.00 0.00 1.12 1.12
1.12 2.24 0.00
0.00 0.00 1.41 0.71 2.12
0.71 2.83 0.00
0.00 0.00 2.24 1.12 1.12 1.12 2.24 0.00 0.00 0.00 1.41 0.71 0.71 0.71 2.83 0.00 0.00 0.00 2.00 1.00 2.00 2.00 4.00
0.00
1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 1.00
𝐹1 0 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 0 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹5 −1 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0 [0] [𝐷𝑦] ELEMENTO AB BC AC BD CD
𝐹1 −1.12 𝐹2 2.12 𝐹3 −1.12 𝐹4 0.71 = 𝐹5 2.0 𝐴𝑥 −1 𝐴𝑦 −0.5 [𝐷𝑦] [ 0.5 ]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑪𝑯 L 268.32 120 169.68 268.32 169.68
A 3 4 3 3 3
E 29000 29000 29000 29000 29000
u -1.12 2 2.12 -1.12 0.71
N -39.25 130.18 67.25 -106.37 67.25
DEF 0.136 0.269 0.278 0.367 0.093 1.144
𝜕𝐻𝑐
= 1.144in Rpta.
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PROBLEMA 02:
Hallar 𝝏𝒄𝒗
A1=4plg2 A2=3plg2 E=29*106 lb/plg2
SOLUCION: Método Matricial.
D.C.L.
⌊𝐹𝑒⌋ + [𝑢][𝐹𝑖] = 0 ⌊𝐹𝑖⌋ = −[𝑢]−1 [𝐹𝑒]
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0
0.8
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
F1
0
0
0.6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
F2
0
0
-0.8
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F3
0
0
-0.6
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
F4
0
0
0
-1
0
0
-0.8
0
0
0.8
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.6
0
-1
-0.6
0
0
0
0
F5 F6
0 0
0
0
0
-1
0
0.8
1
0
0
0
0
0
0
F7
0
-30
0
0
0
1
0.6
0
0
0
0
0
0
0
F8
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
F9
0
-60
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Ax
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.8
-1
0
0
0
Ay
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.6
0
0
0
1
Fy
0
0
+
Resolviendo la matriz tenemos:
F1
-66.667
F2
-53.333
F3
53.333
F4
40.000
F5 F6
-16.667 66.667
=
F7
60.000
F8
-83.333
F9
66.667
Ax
0.000
Ay
40.000
Fy
50.000
RESISTENCIA DE MATERIALES II
*
=
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Para una carga unitaria virtual.
Calculamos u-1 0.00 0.00 0.00 0.00 u^-1= 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
𝐹1 0 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 0 𝐹5 0 𝐹6 0 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹7 0 𝐹8 1 𝐹9 0 𝐴𝑥 0 𝐴𝑦 0 [ 0] [𝐹𝑦]
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
-0.42 0.67 -0.67 0.25 -0.42 -0.33 0.00 0.42 -0.33 1.00 0.25 -0.25
-1.11 -0.89 0.89 -0.33 0.56 0.44 0.00 -0.56 0.44 0.00 0.67 0.33
-0.42 -0.33 -0.67 0.25 -0.42 -0.33 0.00 0.42 -0.33 1.00 0.25 -0.25
-0.56 -0.44 0.44 0.33 -0.56 0.89 0.00 -1.11 0.89 0.00 0.33 0.67
Resolviendo Tenemos:
0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
-1.11 -0.89 0.89 0.67 0.56 0.44 0.00 -0.56 0.44 0.00 0.67 0.33
0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
-0.56 -0.44 0.44 0.33 -0.56 0.89 1.00 -1.11 0.89 0.00 0.33 0.67
0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.00 -1.00 1.00 0.00 0.00
𝐹1 −1.11 𝐹2 −0.89 𝐹3 0.89 𝐹4 0.67 𝐹5 0.56 𝐹6 0.44 = 𝐹7 0.00 𝐹8 −0.56 𝐹9 0.44 𝐴𝑥 0.00 𝐴𝑦 0.67 [𝐹𝑦] [ 0.33 ]
RESISTENCIA DE MATERIALES II
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
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ELEMENTO AB AC BC BD CE DE DC DF EF
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑪𝒗 L 300 240 180 240 240 180 300 300 240
A 4 4 3 4 4 3 3 4 4
E 29000 29000 29000 29000 29000 29000 29000 29000 29000
V -1.11 0.89 0.67 -0.89 0.44 0 0.56 -0.56 0.44
N -66.667 53.333 40 -53.333 66.667 60 -16.667 -83.333 66.667
DEFF 0.191 0.098 0.055 0.098 0.061 0.000 -0.032 0.121 0.061 0.653
𝜕𝑣𝑐 = 0.653in Rpta.
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𝑨 PROBLEMA 03: Determinar 𝝏𝑨 𝒗 y 𝝏𝒉
AI= 2pulg2 AII= 4pulg2 E=29000 Klb/plg2
Solución: Método Matricial
D.C.L.
⌊𝐹𝑒⌋ + [𝑢][𝐹𝑖] = 0 ⌊𝐹𝑖⌋ = −[𝑢]−1 [𝐹𝑒]
0
0.894
1
0
0
0
0
0
0
0
0
F1
0
-10
0.447
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F2
0
0
-0.89
0
0
0.894
0
0.894
0
0
0
0
F3
0
-20
-0.45
0
0
0.447
0
-0.45
-1
0
0
0
F4
0
0
0
-0.89
0
0
0
1
0
0
0 0
0
0
0
0
-0.45
-1
0
0
0
1
0
F6
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
F7
0
-20
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Ex
0
0
0
0
-1
0
0
-0.89
0
0
0
1
Ey
0
0
0
0
0
0
1
0.447
0
0
0
0
Dx
0
0
*
RESISTENCIA DE MATERIALES II
*
F5
=
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Resolviendo la matriz:
F1
22.37
F2
20.00
F3
20.00
F4
67.11
F5
=
20.00
F6
44.74
F7
20.00
Ex
60.00
Ey
50.00
Dx
60.00
1. Para una carga unitaria virtual 𝝏𝑨 𝒗
Calculamos u-1 0.00 2.24 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.24 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00
u-1=
0.00 0.00 0.25 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 1.00 0.00 0.00 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.50 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00
2.00 0.50 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00
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𝐹1 0 𝐹2 1 𝐹3 0 𝐹4 0 𝐹5 0 = [𝑢−1 ] ∗ 𝐹6 0 𝐹7 0 𝐸𝑥 0 𝐸𝑦 0 [0] [𝐷𝑥 ]
ELEMENTO AB AC CD BE
𝐹1 2.24 𝐹2 −2.00 𝐹3 −2.00 𝐹4 2.24 𝐹5 0.00 = 𝐹6 0.00 𝐹7 0.00 𝐸𝑥 2.00 𝐸𝑦 1.00 [𝐷𝑥 ] [−2.00]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑨 𝒗 L 161.04 144 144 161.04
A 2 2 2 4
E 29000 29000 29000 29000
V 2.24 -2 -2 2.24
N 22.37 -20 -20 67.11
D 0.139 0.099 0.099 0.209 0.546
𝜕𝑣𝐴 = 0.546in Rpta.
2. Para una carga unitaria virtual 𝝏𝑨 𝑯
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Calculamos u-1 0.00 2.24 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.24 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00
u-1=
0.00 0.00 0.25 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 1.00 0.00 0.00 0.56 1.12 0.00 0.00 0.00 1.12 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.50 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00
2.00 0.50 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00
𝐹1 −1 𝐹2 0 𝐹3 0 𝐹4 0 𝐹5 0 −1 = [𝑢 ] ∗ 𝐹6 0 𝐹7 0 𝐸𝑥 0 𝐸𝑦 0 [0] [𝐷𝑥 ] ELEMENTO AC CD
𝐹1 0 𝐹2 −1 𝐹3 −1 𝐹4 0 𝐹5 0 = 𝐹6 0 𝐹7 0 𝐸𝑥 0 𝐸𝑦 0 [𝐷𝑥 ] [−1]
Resolviendo Tenemos:
Construimos la Tabla para hallar 𝝏𝑨 𝑯 L 144 144
A 2 2
E 29000 29000
u
N -1 -1
-20 -20
D 0.050 0.050 0.099
𝜕𝐻𝐴
= 0.099in Rpta.
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TEOREMA DE CASTIGLIANO Problema 1.- Determine las reacciones en los apoyos y la deflexión horizontal en C
𝐴𝐼 = 2𝑝𝑙𝑔2 𝐴𝐼𝐼 = 4𝑝𝑙𝑔2 𝐸 = 29 ∗ 106 𝑙𝑏/𝑝𝑙𝑔2
Solución:
1) Sustituimos por Q una reacción redundante y P la carga ficticia
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𝛴𝐹𝑋 = 0 / 𝐴𝑋 + 𝑃 + 30 = 0 𝐴𝑋 = 𝑄 − 𝑃 − 30 𝛴𝐹𝑉 = 0
𝐴𝑌 + 𝐷𝑌 = 0
𝛴𝑀𝐴 = 0 15 ∗ 𝐷𝑌 = 30 ∗ 20 4 𝐷𝑌 = (𝑃 + 30) 𝑘𝑖𝑝𝑠 3 4 𝐴𝑌 = − (𝑃 + 30) 𝑘𝑖𝑝𝑠 3
2) Calculo de las fuerzas internas en funcion de P A)
𝛴𝐹𝑋 = 0 𝑄 − 𝐹3 cos 53 = 0
𝐹3 = −
5𝑄 3
𝛴𝐹𝑉 = 0 𝐷𝑌 + 𝐹5 + 𝐹3 ∗ cos 53 = 0 4 𝐹5 = (𝑃 − 𝑄 − 30) 3
B)
𝛴𝐹𝑋 = 0
𝐹2 +
5𝑄 ∗ cos 53 = 0 3
𝐹2 = 𝑄 𝛴𝐹𝑉 = 0
− 𝐹1 − 𝐹1 =
4𝑄 3
RESISTENCIA DE MATERIALES II
5𝑃 cos 53 = 0 3
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C)
3 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝑃 + 30 − 𝐹4 − 𝐹2 = 0 5 5 𝐹4 = (𝑃 + 30 − 𝑄) 3 𝛴𝐹𝑉 = 0
3)
POR EL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
BARRA
Determinacion de la reccion redundante Q donde P=0
𝑨𝒊 (pulg^2)
𝑳𝒊
𝑳 𝑨𝑬
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑸
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑸 𝑨𝑬
(pulg) AB
4
240
60 𝐸
4𝑄 3
4 3
4 𝑄60 ( )2 ∗ 3 𝐸
BC
4
180
45 𝐸
𝑄
1
45 𝑄 𝐸
BD
2
300
150 𝐸
AC
2
300
CD
4
240
5𝑄 3
−
5 3
5 𝑄150 ( )2 ∗ 3 𝐸
150 𝐸
5 − (𝑄 − 30) 3
−
5 3
5 150 ( )2 ∗ (𝑄 − 30) 3 𝐸
60 𝐸
4 (𝑄 − 30) 3
−
4 3
4 60 ( )2 ∗ (𝑄 − 30) 3 𝐸
RESISTENCIA DE MATERIALES II
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𝛴𝑁𝑖 ∗ 𝑁𝑖 ∗
𝜕𝑁𝑖 𝐿 ∗ =𝟎 𝜕𝑄 𝐴𝐸
𝜕𝑁𝑖 𝐿 4 2 𝑄60 45 5 2 𝑄150 5 2 150 4 2 60 ∗ =( ) ∗ + 𝑄+( ) ∗ + ( ) ∗ (𝑄 − 30) + ( ) ∗ (𝑄 − 30) =0 𝜕𝑄 𝐴𝐸 3 𝐸 𝐸 3 𝐸 3 𝐸 3 𝐸
9465𝑄 − 1413 = 0 𝑄 = 14.92 𝑘𝑖𝑝𝑠 BARRA
Determinacion de la deformacion horizontal en C
𝑨𝒊 ( in^2)
𝑳𝒊
𝑳 𝑨𝑬
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑷
60 𝐸 45 𝐸 150 𝐸 150 𝐸
4𝑄 3
0
0
𝑄
0
0
5𝑄 3
0
0
5 − (𝑄 − 𝑃 − 30) 3
5 3
5 150 ( )2 (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 3 𝐸
60 𝐸
4 (𝑄 − 𝑃 − 30) 3
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑷 𝑨𝑬
(in) AB
4
240
BC
4
180
BD
2
300
AC
2
300
CD
4
240
5
−
2
𝛿𝐻𝐶 = ( ) ∗ (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 3
𝛿𝐻𝐶 =
−
4 3
4 2 60 + ( ) (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 𝐸 3 𝐸
150
1 1570 (− ∗ 𝑄 + 15700) 29000 3
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑄 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝛿𝐻𝐶 = 0.2721 𝑝𝑙𝑔
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4 60 ( )2 (𝑃 + 30 − 𝑄) ∗ 3 𝐸
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Problema 2.- determinar las reacciones y las fuerzas en las barras de la armadura. E es constante.
𝐴𝐼 = 3𝑝𝑙𝑔2 𝐴𝐼𝐼 = 2𝑝𝑙𝑔2
Solución: 1) sustituyendo la fuerza redundante por P
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𝛴𝑀𝐴 = 0 20 ∗ 𝐶𝑌 + 40 ∗ 𝑃 = 20 ∗ 20 + 30 ∗ 20 𝐶𝑌 = 50 − 2𝑃 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝐴𝑋 = −20 𝑘𝑖𝑝𝑠 𝛴𝐹𝑦 = 0 30 − 𝐶𝑌 − 𝑝 𝐴𝑌 = 𝑃 − 20 2) Determinación de las fuerzas internas en función de P; por el método de nudos. A) 𝛴𝐹𝑦 = 0
𝐴𝑌 +
√2 𝐹 =0 2 1
𝐹1 = √2(20 − 𝑃) 𝛴𝐹𝑋 = 0 √2 𝐹 + 𝐹2 + 𝐴𝑋 = 0 2 1 𝐹2 = 𝑃 B) 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝐹3 = 𝑃 𝛴𝐹𝑦 = 0 𝐹5 = 2𝑃 − 50
C) 𝛴𝐹𝑋 = 0 √2 𝐹 =0 2 4 𝐹4 = −√2𝑃
𝐹3 +
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3) Del segundo teorema de Castigliano BARRA
𝑨𝒊 (in^2)
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑷
√2(20 − 𝑃)
−√2
𝑳𝒊 (in)
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑷 𝑨𝑬
12 √2(20 − 𝑃) 3𝐸
1
3
12 ∗ 20√2
2
3
12 ∗ 20
𝑃
1
20𝑃 ∗ 12 3𝐸
3
3
12 ∗ 20
𝑃
1
20𝑃 ∗ 12 3𝐸
4
3
12 ∗ 20√2
−√2𝑃
−√2
12 ∗ √2 ∗ 20 ∗ 2 ∗𝑃 3𝐸
5
2
12 ∗ 20
2𝑃 − 50
2
12 ∗ 20 ∗ (2𝑃 − 50) 𝐸
𝛴 𝑁𝑖 ∗ 𝛴 𝑁𝑖 ∗
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑃
𝐿 ∗
𝐴𝐸
12
= −40 ∗
√(
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑃
2 20 − 𝑃
3𝐸
+
−40 ∗
𝐿 ∗
𝐴𝐸
=𝟎
)+2∗
20𝑃
12 ∗
√2 ∗ 20 ∗ 2
∗ 12 + 3𝐸
∗𝑃 3𝐸
12 ∗ 20 ∗ (2𝑃 − 50) = 0 𝐸
91.045 ∗ 𝑃 = 1377.123 𝑃 = 15.125
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐴𝑌 = −4.875 𝑘𝑖𝑝 𝐶𝑌 = 19.749 𝑘𝑖𝑝 𝐹1 = 6.895 𝑘𝑖𝑝𝑠 (𝑇) 𝐹2 = 15.125 𝑘𝑖𝑝 (𝑇) 𝐹3 = 15.125 𝑘𝑖𝑝 (𝑇) 𝐹4 = 21.391 𝑘𝑖𝑝 (𝐶) 𝐹5 = 19.749 𝑘𝑖𝑝 (𝐶) Rpta.
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Problema 3.- determinar las reacciones y las fuerzas en las barras de la armadura. E es constante.
𝐴𝐼 = 4000𝑚𝑚2 𝐴𝐼𝐼 = 3000𝑚𝑚2 𝐴𝐼𝐼𝐼 = 2000𝑚𝑚2
Solución: 1) Reemplazando las fuerzas redundantes en función de P y Q
𝛴𝑀𝐴 = 0 20𝐸𝑌 + 8𝑄 − 80 ∗ 8 − 10 ∗ 120 = 0 𝐸𝑌 = 92 −
5𝑄 5
𝛴𝐹𝑉 = 0 𝐴𝑌 + 𝐸𝑌 = 120 𝐴𝑌 = 𝛴𝐹𝑋 = 0
2𝑄 5
+ 28
𝐴𝑋 = 𝑃 + 𝑄 − 80
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2) Determinación de las fuerzas internas en función de P y Q por método de nudos A)
𝛴𝐹𝑉 = 0
4
2 𝐹1 = − − 28 5 √41
𝐹1 = 𝛴𝐹𝑋 = 0
𝑄 √41 ∗ (− − 14) 2 5
𝑃 + 𝑄 − 80 +
5 𝐹 √41 1
𝑄
+ 𝐹2
𝐹2 = 115 − 𝑃 − 2
C) 𝑄
𝛴𝐹𝑋 = 0 𝐹4 = 𝐹2 = 115 − 𝑃 − 2
𝛴𝐹𝑌 = 0 𝐹3 = 120 𝐾𝑁
D) 𝛴𝐹𝑋 = 0 𝑃 + 𝐹4 + 4 −
5 √41
𝐹5 = 0
𝑄 𝐹5 = √41( − 23) 10 𝛴𝐹𝑌 = 0 𝐹6 = −
4
𝑄 (√41( − 23)) 10 √41
𝐹6 = 92 −
2𝑄 5
E)
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𝛴𝐹𝑋 = 0 /
𝐹7 = −𝑄
3) Del segundo teorema de Castigliano: BARRA
𝑨𝒊 (m^2)
𝑳𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑷
𝑵𝒊
𝑵𝒊 ∗
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑷 𝑨𝑬
(m) 1
4𝑥10−3
2
4𝑥10−3
10
3
4𝑥10−3
8
4
3𝑥10−3
10
5
3𝑥10−3
6
2𝑥10−3
8
7
4𝑥10−3
10
𝛴 𝑁𝑖 ∗ 𝑃+
𝑄 2
𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑃
∗
𝐿 𝐴𝐸
𝑄 √41 (− − 14) 2 5
2√41
115 − 𝑃 −
-1
120
0
√41(23 −
10 4∗10−3 𝐸
10 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
0
-1
𝑄 ) 10
0
0
0
0
0
0
2𝑄 5 −𝑄
92 −
−
𝑄 2
115 − 𝑃 −
2√41
= −2 ∗
𝑄 2
0
−
𝑄
(115 − 𝑃 − ) = 0 2
= 115………………………………(1)
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10 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
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BARRA
𝑨𝒊 (m^2)
𝑳𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝝏𝑸
𝑵𝒊
𝝏𝑵𝒊 𝑳 ∗ 𝝏𝑸 𝑨𝑬
𝑵𝒊 ∗
(m) 1
4𝑥10−3
2
4𝑥10−3
10
3
4𝑥10−3
8
4
3𝑥10−3
10
5
3𝑥10−3
𝑄 √41 (− − 14) 2 5
2√41
115 − 𝑃 −
6
2𝑥10−3
8
7
4𝑥10−3
10
√41(23 −
92 −
1 2
−
5 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
1 2
−
5 𝑄 (115 − 𝑃 − ) 4 ∗ 10−3 𝐸 2
√41 10
−
−
𝑄 2
0
−
𝑄 ) 10
2𝑄 5
−
−
−𝑄
41√41 𝑄 ( + 14) 4 ∗ 10−2 𝐸 5
√41 10
0
115 − 𝑃 −
𝜮𝑁𝑖 ∗ 𝜮𝑁𝑖 ∗
𝑄 2
120
2√41
−
2 5
√41 −3
15 ∗ 10 𝐸
−
−1
(23 −
8 5𝑄 (92 − ) −3 5 ∗ 10 𝐸 2 5𝑄 2 ∗ 10−3 𝐸
𝜕𝑁𝑖 𝐿 ∗ =𝟎 𝜕𝑄 𝐴𝐸
𝜕𝑁𝑖 𝐿 41√41 𝑄 5 𝑄 𝑄 √41 ∗ = ( + 14) − 2 ∗ (115 − 𝑃 − ) − (23 − ) −2 −3 −3 𝜕𝑄 𝐴𝐸 4 ∗ 10 𝐸 5 4 ∗ 10 𝐸 2 15 ∗ 10 𝐸 10 −
8 −3
5 ∗ 10 𝐸
(92 −
5𝑄
5𝑄
2
2 ∗ 10−3 𝐸
)+
=0
2.5𝑃 + 7.4528𝑄 = 745.3582 … … … … … … … … … … . . (2) Del sistema de ecuaciones se tiene. 𝑃+
𝑄 = 115 … … … … … … … … … … … … (1) 2
2.5𝑃 + 7.4528𝑄 = 745.3 … … … … … … . . (2) 𝑃 = 78.092 𝑄 = 73.81
RESISTENCIA DE MATERIALES II
𝑄 ) 10
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
De donde se tiene las fuerzas internas
𝐴𝑌 = 57.523 𝐾𝑁 𝐴𝑋 = 71.798 𝐾𝑁 𝐹1 = 92.1 𝐾𝑁 (𝐶) 𝐹2 = 0 𝐹3 = 120 𝐾𝑁 (𝑇) 𝐹4 = 0 𝐹5 = 100 𝐾𝑁 (𝐶) 𝐹6 = 62.5 𝐾𝑁 (𝑇) 𝐹7 = 73.81 𝐾𝑁 (𝐶) Rpta.
RESISTENCIA DE MATERIALES II
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