Modelarea Si Simularea Sistemelor Economice

Modelarea şi simularea sistemelor economice

CAPITOLUL I Modelarea economico-matematică, alternativa la „experimentul” din ştiinţele exacte. Metode. Concepte. Clasificări. 1. Condiţiile de apariţie a modelarii economico-matematice Bazele organizării producţiei moderne şi ale administraţiei întreprinderilor industriale sunt puse la sfârşitul secolului XIX de către F.W.Taylor (1856-1915) şi H. Ford (1863-1947). În lucrările lor au fost formulate o serie de principii şi metode de organizare şi conducere cu importante consecinţe economice, punându-se pentru prima oară problema abordării raţionale a mecanismului funcţionării unei întreprinderi. Organizarea şi conducerea întreprinderii moderne include activităţile de producere, recepţionare, transport, prelucrare şi stocare de informaţii în scopul luării deciziilor. Procesele decizionale, alături de cele informaţionale, ocupă o pondere însemnată atât la nivel macro, cât şi microeconomic. Odată cu apariţia primei generaţii de calculatoare electronice, (anii `50), a primelor lucrări de cibernetică şi a primelor echipe de cercetare operaţională, se promovează informaţia şi decizia printre elementele de bază ale etapei ce se parcurge. În legătură cu procesele decizionale se pun probleme noi, se doreşte mai multă rigurozitate, decidentul să adopte decizii optime sau apropiate de cele optime. Toate acestea se cer a fi rezolvate în condiţiile creşterii complexităţii structurale şi funcţionale a întreprinderilor, ale ridicării nivelului de tehnicitate a instalaţiilor şi corespunzător unor specializări accentuate a profesiunilor. Procedeele ştiinţifice moderne de luare a deciziilor se caracterizează prin fundamentarea teoretică, bazată în general pe metode matematice, cu păstrarea unei orientări generale practice şi realiste. Modelarea economico-matematică este folosită de manager ca o alternativă la „experimentul” utilizat în ştiinţele exacte. „Experimentul” în sensul strict al cuvântului (adică modificarea fizică a valorilor variabilelor) nu este posibil sau este neraţional atunci când este vorba de probleme economice, organisme militare-guvernamentale, sisteme ce nu pot fi supuse în ansamblu experimentării. (De exemplu în industrie o companie nu-şi poate permite riscul unui faliment de dragul unui experiment). Aceste realităţi au condus la la o adevărată revoluţie informaţionaldecizională în domeniul organizării şi conducerii, perioadă în care s-au conturat următoarele discipline, ca discipline privind conducerea: - cercetarea operaţională – definită pe scurt „pregătirea ştiinţifică a deciziilor”, a apărut în perioada celui de-al doilea război mondial şi se caracterizează prin procesul de elaborare a unor modele economicomatematice ce conduc la decizii optime sau aproape optime. 1

Modelarea şi simularea sistemelor economice

- cibernetica- este ştiinţa care se ocupă de conducerea şi reglarea sistemelor complexe; - informatica- reprezintă disciplina prelucrării datelor cu ajutorul echipamentelor electronice; -psihologia organizării -care a apărut ca şi o nouă orientare în disciplinele conducerii, în jurul anului 1950, dată fiind existenţa omului care ia decizii în legătură cu funcţionarea eficientă a unui organism economic; - teoria generală a sistemelor – propune o perspectivă sintetizatoare a ideilor privind diversele orientări în ştiinţele organizării şi conducerii. Modelarea şi simularea proceselor economice are legături strânse cu toate aceste domenii şi este concepută astfel încât să ofere economiştilor (inginerilor economişti) o serie de modele şi tehnici necesare acţiunilor manageriale la nivel microeconomic. Deoarece rezolvarea problemelor manageriale din întreprinderi nu se poate realiza cu un model matematic „pur”, s-au conceput modele economico-matematice deosebit de elastice, care să surprindă atât legitatea de desfăşurare a fenomenului, cât şi dinamica acestuia. S-a făcut apel, pe lângă modelele fundamentale din teoria stocurilor, fire de aşteptare, teoria grafelor, şi la teoria probabilităţilor, teoria lanţurilor Markov, teoria mulţimilor vagi, programare dinamică, tehnici de simulare. Modelarea şi simularea proceselor economice este un domeniu economic de graniţă cu tehnica de calcul şi matematica, care se ocupă de fundamentarea deciziei manageriale în condiţii de eficienţă pentru producător, cu ajutorul unor modele matematice flexibile şi cu posibilitatea utilizării tehnicii simulării. Managementul ca „ştiinţa tehnicilor de conducere şi gestiune a întreprinderii” reprezintă „arta şi ştiinţa de a conduce”, iar în acest sens modelarea economică oferă managerului latura riguroasă a acţiunilor sale, modalităţi multiple de punere de acord a resurselor (umane, materiale, financiare) existente cu obiectivele formulate pentru o anumită perioadă de timp, oferindu-i posibilitatea de a gândi şi a decide „mai bine” şi „mai repede” fără să denatureze realitatea. 2. Metode de culegere şi prelucrare a datelor folosite în modelarea economico-matematică Toate adaptările modelarii matematice la fenomenele economice concrete au la bază o concepţie mai corectă asupra mărimilor (indicatorilor) care intervin în procesul fundamentării complexe a deciziei. Aceste mărimi implică observări, anchete, raportări, etc., care permit măsurarea lor cu diferite grade de precizie, conform fig.1. Din punct de vedere al preciziei, mărimile care caracterizează procesele economice se clasifică în trei mari categorii: - mărimi deterministe – (riguros stabilite, cu o valoare unică); - mărimi stochastice/aleatoare – (mărimi ce au o mulţime de valori cărora li se asociază o probabilitate); 2

Modelarea şi simularea sistemelor economice

- mărimi vagi/fuzzy – (nu au valoare unică, ci o mulţime de valori cărora li se asociază un grad de apartenenţă la o anumită proprietate). O altă clasificare , bazată deasemenea pe criteriul exactităţii, este gruparea în : metode exacte, metode aproximative şi metode euristice.

Figura 1 Mărimi care intervin în procesul fundamentării complexe a deciziei Cele două moduri de clasificare a metodelor sunt necesare pentru a pune în evidenţă exactitatea în diverse etape ale fundamentării deciziei: culegerea datelor şi prelucrarea acestora în vederea adoptării unor decizii. Metodele exacte permit obţinerea în cadrul unei probleme de decizie economică a unei soluţii S care îndeplineşte, fără nici o eroare (abatere), restricţiile impuse şi/sau condiţiile de optim, cerute prin criteriile de eficienţă. Dacă notăm cu S vectorul soluţiei efectiv adoptate, iar prin S* vectorul soluţiei adevărate, atunci: S-S*=0 . Metodele aproximative sunt acele metode care permit obţinerea unei soluţii S, diferită de soluţia adevărată S* printr-un vector ε, mai mic decât un vector εa dinainte stabilit:

S − S* = ε ≤ εa Metodele euristice sunt metodele prin care, chiar în cazul unei probleme complexe, se obţine într-un timp relativ scurt, comparativ cu alte metode, o soluţie S, acceptabilă din punct de vedere practic , fără a avea garanţii asupra rigurozităţii rezolvării. Fiind dat vectorul erorii admisibile εa , metodele euristice nu reuşesc întotdeauna să ne conducă la o soluţie cu proprietatea S − S = ε ≤ ε a , deci metodele euristice reuşesc să asigure respectarea relaţiei anterioare cu o probabilitate. *

3

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Metodele euristice pot fi considerate ca o succesiune de încercări/tatonări a căror alegere este legată de fiecare dată de natura problemei de rezolvat şi de personalitatea modelatorului (analistul de sisteme). 3. Procesul de trecere de la sistemul real la modelul de simulare Obţinerea unor informaţii despre „sistem” înainte ca el să fie realizat în mod concret este posibilă cu ajutorul tehnicii simulării. Simularea este o tehnică de realizare a experimentelor cu calculatorul, care implică construire unor modele matematice şi logice care descriu comportarea unui sistem real (sau a unor componente ale sale) de-a lungul unei perioade mari de timp. Simularea trebuie să genereze intrările şi, ţinând seama de stările interne ale sistemului, prin algoritmi adecvaţi să determine ieşirile şi să descrie evoluţia în timp a stărilor interne ale sistemului. Deşi nu oferă soluţii exacte (ci suboptimale), simularea este o tehnică de cercetare eficientă pentru problemele economice complexe la nivel de firmă, imposibil de studiat analitic (cu modele economico-matematice de optimizare). Cu ajutorul simulării se obţin mai multe variante de decizie dintre care managerul o va alege pe cea mai bună, corespunzătoare condiţiilor date ce le are la un moment dat. În cazul unui sistem existent , firmă, comportarea sa poate fi prevăzută de un model de simulare care pune în evidenţă efectul modificării unor parametrii care descriu sistemul respectiv. În activitatea de simulare sunt implicate trei elemente importante: sistemul real, modelul, calculatorul şi două relaţii: relaţiile de modelare şi relaţiile de simulare. În figura numărul 2 se reprezintă sintetic procesul de trecere de la „sistemul real” la modelul de simulare – „modelul real”. Sistemul real reprezintă sistemul perceput de simţurile omului, modelul real reprezintă sistemul real înlocuit şi care corespunde, în principiu cerinţele sistemului real iniţial.

4

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Figura 2 Procesul de trecere de la „sistemul real” la modelul de simulare – „modelul real” Modelul abstract realizează trecerea de la sistemul real la modelul real. El reproduce sistemul real prin descompunerea sistemului în părţi componente elementare şi stabileşte legăturile dintre acestea. Validarea rezultatelor se face printr-o verificare a concordanţei datelor din sistemul real şi a celor oferite de model. Modele economico-matematice. Concepte. Clasificări Conceptul de model a fost preluat de tehnicieni de la matematicieni, fiind un concept relativ nou (utilizat prima dată de matematicianul Beltrami în 1868, în construirea unui model euclidian al geometriei). Metoda modelării este un instrument de cunoaştere ştiinţifică şi are ca obiect construirea unor reprezentări care să permită o mai bună înţelegere şi o mai profundă cunoaştere ştiinţifică a diferitelor domenii. Rezultatele obţinute prin modelare se pot extinde asupra procesului modelat, numai în condiţiile în care modelul a reprezentat fidel proprietăţile, structura şi particularităţile acestuia. Deci, se poate spune că modelul este o reprezentare a realităţii, care conferă o imagine intuitivă, dar riguroasă, în sensul structurii logice a fenomenului studiat, şi permite descoperirea unor legături şi legităţi greu de stabilit pe alte căi. Orice model economico-matematic va reprezenta fidel un anumit fenomen, numai în măsura în care se sprijină pe teoria economică care formulează categoriile, conceptele şi legile obiective ale realităţii economice. Principalele criterii în funcţie de care se face clasificarea modelelor economico-matematice sunt: a. În funcţie de sfera de reflectare a problematicii economice: - modele macroeconomice – modele de ansamblu ale economiei; - modele mezoeconomice – la nivel regional, teritoril; - modele microeconomice – la nivel de întreprindere, unităţi, trust, companie, combinat. b. În funcţie de domeniul de provenienţă şi concepţie: - modele cibernetico-economice – relaţii input/output cu evidenţierea fenomenelor de reglare; - modele econometrice (unde elementele numerice sunt determinate statistic) - folosesc metode de explicitare a unei tendinţe (trend) sau metode de identificare a unei periodicităţi (sezonalitate); - modele ale cercetării operaţionale – permit obţinerea unei soluţii optime sau apropiate de optim pentru fenomenul studiat; - modele din teoria deciziei (cu luarea în considerare a mai multor criterii, factori de risc, incertitudine); - modele de simulare – încearcă să stabilească modul de funcţionare al unui organism macro- sau microeconomic prin acordarea unor 5

Modelarea şi simularea sistemelor economice

c. d. e. f. -

combinaţii de valori întâmplătoare variabilelor independente care descriu procesele; modele specifice de marketing. În funcţie de caracterul variabilelor: modele deterministe (mărimi cunoscute); modele stochastice/probabilistice (intervin mărimi a căror valoare este însoţită de o probabilitate/variabile aleatorii); În funcţie de factorul timp: modele statice; modele dinamice. În funcţie de orizontul de timp considerat: modele discrete-secvenţiale; modele continue. În funcţie de structura proceselor reflectate: modele cu profil tehnologic; modele informaţional-decizionale; modele ale relaţiilor umane; modele informatice.

Tendinţe în modelarea proceselor economice. Din multitudinea metodelor de modelare se deosebeşte metoda analizei drumului critic, care se detaşează de celelalte metode. Ea pune la îndemâna decidenţilor instrumente utile de mare eficienţă pentru analiza şi conducerea activităţilor complexe, înlănţuirea procesului decizional şi modul de folosire a resurselor disponibile (exemplul cel mai des citat referitor la această metodă este utilizarea lui de către NASA , când graful pentru misiunea Apollo a numărat peste 300.000 activităţi). In programarea si urmărirea lucrărilor de anvergura (investiţii, reparaţii, cercetare-dezvoltare, etc.), se poate folosii ca instrument managerial analiza drumului critic. Aceasta permite planificarea pe termen mediu şi scurt, programarea operativa a execuţiei, precum şi actualizarea periodica a acestor proiecte ţinând seama de factorii timp, cost, resurse materiale şi umane. Metoda constă în divizarea acţiunilor complexe în parţi componente, la un nivel care să permită corelarea logică ţi tehnologică a acestora, adică să facă posibilă stabilirea intercondiţionărilor între părţile componente, care se numesc activităţi. Alte tipuri de aplicaţii se referă optimizare prin programare liniară a transporturilor materiale şi produselor de masă, minimizarea costului aşteptării, creşterea volumului vânzărilor prin diferite metode specifice marketingului. Pe plan mondial se lucrează la realizarea unor sisteme de conducere ierarhizate, multinivel, ce funcţionează în timp real şi care sunt distribuite în 6

Modelarea şi simularea sistemelor economice

toate compartimentele întreprinderii. Conducerea compartimentelor se bazează pe decizii luate în timp real sincron cu realizarea procesului de producţie, precum şi urmărirea realizării obiectivelor la toate nivelurile de conducere. Obiectivul global al sistemului este obţinerea unei producţii optime calitativ şi cantitativ din punct de vedere tehnic şi economic în anumite condiţii de restricţii temporale de lungă sau scurtă durată şi a unor perturbaţii permanente din partea mediului. Modelarea procedurală Existenţa unei anumite „crize” în disciplinele ce utilizau modelarea matematică a fost semnalată de numeroşi specialişti, în anul 1980 la al IVlea Congres European de Cercetarea Operaţională. Metodele folosite, devin rigide, se îndepărtează de realitatea economică. Unele inconveniente au fost depăşite cu ajutorul modelării procedurale. În scopul cunoaşterii legilor care definesc fenomenul economic studiat şi a folosirii acestora în direcţia satisfacerii obiectivelor propuse sunt necesare etapele: 1. observarea sub aspect descriptiv calitativ a fenomenelor (se studiază cauzalitatea între fenomene); 2. formularea unor legi pe baza studiul cauzalităţii între fenomene; 3. se observă fenomenele sub aspect cantitativ, variabilele se definesc fie printr-un studiu statistic fie printr-un experiment; 4. se analizează datele obţinute, şi pe baza lor se emit primele ipoteze asupra legilor care guvernează sistemul analizat. Legile sunt confruntate cu alte măsurători şi corectate în mod iterativ; 5. se adoptă decizii pe baza legilor obţinute anterior; 6. se urmăresc efectele deciziilor adoptate şi eventual se perfecţionează modelul. Modelarea procedurală se caracterizează prin acordarea unui prim rol algoritmului de rezolvare şi a unuia secundar modelului. Cu cât mărimile pot fi măsurate mai exact, cu atât metodele folosite pentru luarea deciziei vor fi mai riguroase, folosindu-se în acest caz algoritmi exacţi. Pe de altă parte, dacă datele sunt exacte dar problema este complexă, de dimensiuni mari sau datele de intrare sunt inexacte se recurge la algoritmi euristici. Schema generală de concepere a algoritmilor euristici Euristica este o categorie clasică, ce exprimă bucuria descoperirii ştiinţifice. Euristica se defineşte ca fiind : - o clasă de metode şi reguli care dirijează subiectul spre cea mai simplă şi mai economică soluţie a problemelor; 7

Modelarea şi simularea sistemelor economice

- un drum care permite descoperirea soluţiilor problemelor complexe fără a le supune unei simplificări. Metodele euristice sunt de fapt „tatonări”, nu şabloane, alegerea lor este legată de fiecare dată de natura problemei de rezolvat şi de personalitatea modelatorului. Algoritmii bazaţi pe euristică au căpătat o răspândire tot mai largă, în 1978 s-a acordat lui HERBERT SIMON – fondatorul euristicii aplicate – premiul Nobel pentru economie. Acesta a elaborat un algoritm general al rezolvatorului de probleme, care reprezintă de fapt schema generală de concepere a algoritmilor euristici, prezentată în figură. Majoritatea algoritmilor euristici se bazează pe următoarea idee: dacă sunt respectate anumite restricţii, este avantajos ca în fiecare etapă de calcul să se obţină cât mai mult pe linia funcţiei scop, deci din două sau mai multe căi de acţiune se va alege creşterea (descreşterea) valorii funcţiei de maxim (minim). Aceşti algoritmi sunt de tip greedy (din englezul gredy=lacom). Principalii paşi ai logaritmului sunt: Pasul 1 – se construieşte o soluţie iniţială;

8

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Figura 1 Schema generală de concepere a algoritmilor euristici Pasul 2 – se testează condiţiile de admisibilitate a soluţiei (sistemul de restricţii). Dacă sunt îndeplinite condiţiile se trece la pasul 4, dacă nu se calculează abaterile ε şi se trece la pasul 3. Pasul 3 – se caută o strategie de reducere a abaterilor ε , pe baza experienţei practice a analistului. Dacă după un număr raţional de mare de iteraţii nu s-au reuşit o anulare (reducere) a abaterilor ε problema este considerată fără soluţie (din punct de vedere al algoritmului euristic folosit). Dacă s-a obţinut o soluţie admisibilă se trece la pasul 4. 9

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Pasul 4 – se calculează funcţia de performanţă f(x0) a soluţiei iniţiale admisibile (de regulă un indicator economic) sau funcţia globală de optimizat (în cazul folosirii mai multor criterii de natură economică sau socială, etc.). Pasul 5 – se transformă soluţia iniţială admisibilă x0 într-o soluţie deasemenea admisibilă x1 pe baza unor reguli de transformare; Pasul 6 – se calculează funcţia de performanţă f(x1); Pasul 7 – se compară performanţele celor două soluţii f(x0) şi f(x1). Dacă funcţia f(x1) este mai performantă decât f(x0) se testează diferenţa f(x0)-f(x1). Dacă diferenţa este semnificativă, soluţia x1 devine soluţie iniţială şi algoritmul se reia de la pasul 5. Dacă diferenţa este nesemnificativă sau dacă performanţa f(x1) este inferioară performanţei f(x0) se reia pasul 5 alegându-se alte reguli care să asigure un câştig mai mare pentru funcţia de performanţă până când se ajunge la un număr raţional de iteraţii. Când obiectivul a fost atins, algoritmul se opreşte obţinându-se o soluţie suboptimală. Paşii algoritmului pot fi parcurşi cu sau fără ajutorul calculatorului. Modelarea procedurală asistată de calculator are la bază ideea că omul nu poate fi exclus din procesul de conducere al unui sistem, deoarece el reprezintă principala sursă de formulare a ipotezelor referitoare la comportamentul sistemului şi singurul capabil să cuprindă într-o raţiune integratoare rezultatele diferitelor variante de evoluţie a acestuia. Simularea numerică Descrierea modelelor de simulare. Realizarea experimentelor de simulare. În cazul sistemelor complexe, modelele matematice ce au un caracter deductiv nu pot surprinde realitatea. Se apelează la modele de simulare care au caracter procedural. În figura 2 se prezintă procesul de selectare a unei metode de luare a deciziei. Realizarea experimentului de simulare face necesară parcurgerea etapelor de: - modelare, - programare, - analiză economică a rezultatelor . Simularea poate fi analogică, numerică. Un sistem de simulare cuprinde: - modelul, - operatorul simulării, - variabilele I/E, - parametrii I/E. PAS AL SIMULĂRII – Etapa în care toate variabilele iau valori constante. Evoluţia sistemului în timp se urmăreşte cu variabila: „CLOCK TIME”. Pentru un anumit model se poate realiza un algoritm cu ceas fix şi sau cu ceas variabil. 10

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Figura 2 Procesul de selectare a unei metode de luare a deciziei În figurile 3 şi 4 se poate urmări modul în care variază ceasul în cazul modelelor cu ceas variabil şi cu ceas fix. Valorile succesive ale ceasului T sunt marcate prin bare, iar apariţiile evenimentului E prin puncte. 11

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Figura 3 Ceas cu creştere constantă

Figura 4 Ceas cu creştere variabilă Făcând abstracţie de particularităţile specifice fiecărui program de simulare, există o structură globală comună tuturor programelor de simulare bazate pe metoda ceasului variabil. Generarea numerelor aleatoare Pentru a reproduce în mod realist anumite elemente ale sistemului simulat, precum şi pentru rezolvarea unor probleme numerice, apare necesitatea existenţei unor numere alese la întâmplare. Despre un număr oarecare se poate spune că este întâmplător (aleator) numai dacă se află într-un context statistic. În programele de simulare a proceselor economice, generarea variabilelor aleatoare ocupă o pondere relativ mare în timpul total de rulare la calculator. Aceasta se datorează numeroaselor evenimente perturbatoare care apar în desfăşurarea proceselor economice, care de fapt reprezintă de cele mai multe ori procese stochastice. De aceea este necesar să se elaboreze metode care să asigure generarea numerelor aleatoare care să respecte legea sistemului economic, consumând un timp minim de rulare. Generarea numerelor aleatoare uniform repartizate Cel mai simplu fenomen îl reprezintă apariţia unui eveniment, dintr-o mulţime de evenimente posibile şi probabile. Aceasta revine, din punct de vedere al calcului numeric la generarea unor numere aleatoare uniform repartizate. În practică se pot genera numai numere pseudoaleatoare, care satisfac următoarele condiţii: - sunt repartizate uniform pe intervalul dat; - sunt statistic independente; - funcţia de repartiţie este stabilă, nu se schimbă în cursul rulării programului de simulare; - şirul generat are o perioadă de repetiţie mare. 12

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Şirurile de numere pseudoaleatoare aproximează şirurile de numere aleatoare, astfel cu cât condiţiile anterioare sunt mai bine respectate cu atât aproximaţia este mai bună. Deoarece metodele cunoscute asigură o apropiere suficient de mare între cele două tipuri de numere, în literatura de specialitate se foloseşte aproape exclusiv denumirea de numere aleatoare. Numerele aleatoare se pot genera prin mai multe tipuri de metode: metode manuale – care folosesc diferite dispozitive (zaruri, urne,etc.). Datorită vitezei reduse se folosesc foarte rar. metode fizice – se bazează pe analogii dintre procese fizice întâmplătoare (procese electronice, procese radioactive, etc.). Satisfac în cea mai mare măsură caracterul aleator, dar au dezavantajul că nu sunt reproductibile. metode de memorizare – care folosesc de regulă memoria internă sau externă a calculatoarelor. Aceste metode oferă avantajul reproductibilităţii. metode care constă în consultarea specialiştilor – prezintă în primul rând dezavantajul subiectivismului celor consultaţi. Se folosesc în special în scopuri didactice sau pentru iniţializări şi testări ale programelor complexe de simulare. metode analitice – care constă în utilizarea unor algoritmi de calcul, bazaţi pe una sau mai multe relaţii de recurenţă. Au fost elaboraţi algoritmi care respectă condiţiile menţionate mai sus şi în plus necesită un consum redus de timp şi de memorie, atunci când algoritmii sunt incluşi într-un program principal care este rulat pe calculator. Datorită acestor avantaje, metodele analitice sunt cele mai răspândite în aplicaţiile numerice. Cei mai reprezentativi algoritmi de generare a numerelor aleatoare folosesc metodele congruenţiale aditive, multiplicative şi mixte sau clasele de resturi. Metodă congruenţială aditivă Se dă un şir de numere X10, X20,...., Xn0 şi un număr prim m. Numerele generate folosesc clasele de resturi modulo m, adică: X1=( X10+ X20+,....,+Xn0)mod m X2=( X20+ X30+,....,+Xn0+ X1)mod m X3=( X30+ X40+,....,+Xn0+ X1+ X2)mod m .............................................................. Xk+1=( Xk-n+1+ Xk-n+2+,....,+Xk-1+ Xk)mod m pentru k>n . Pentru a genera numere în intervalul (0,1) se efectuează transformarea de variabilă: Yi=Xi/m, unde Xi ∈ (0,m), Yi ∈ (0,1). Această metodă dă rezultate slabe. Poate fi folosită cu mai mult succes dacă se foloseşte împreună cu altă metodă.

13

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Metodă congruenţială multiplicativă Elementele folosite în acest caz sunt: un factor multiplicativ a, un număr iniţial X0 (nedivizibil cu 2) şi un număr prim m iar a este o rădăcină primitivă a lui m. Şirul generat este de forma : X1=(a X0)mod m X2=(a X1)mod m .............................. Xk+1=(a Xk)mod m Cu cât m este mai mare, cu atât rezultatele sunt mai bune, adică se respectă condiţiile care se cer numerelor aleatoare uniform repartizate. Metode congruenţiale mixte Elementele sunt : un şir de numere iniţiale X10, X20,...., Xn0 , un şir de factori multiplicativi: a1, a2,...., an , o constantă aditivă c şi un număr prim m. X1=( a1·X10+ a2·X20+,....,+ an·Xn0+c)mod m X2=( a1·X20+ a2·X30+,....,+ an·X1+c)mod m .............................................................. Xk+1=( a1·Xk-n+1+ a2·Xk-n+2+,....,+ an·Xk+ c)mod m pentru k>n . Generarea numerelor aleatoare cu restricţii date În funcţie de natura repartiţiilor date (discretă, continuă, empirică, teoretică) se pot utiliza următoarele metode de generare: metoda transformatei inverse, metode aproximative, metode specifice repartiţiei date, etc. Metoda transformatei inverse Metoda se aplică avantajos în cazul repartiţiilor teoretice continue, definite de o funcţie F(x) pe întreg domeniul de existenţă şi uşor inversabilă. Relaţia dintre funcţia de repartiţie şi funcţia densitate de probabilitate este F (x ) =

x

∫ f (t )dt

.

−∞

Dacă se generează un număr y ∈ [0,1] , cu densitate de probabilitate uniformă, atunci numărul x , cu densitatea de probabilitate f(x) trebuie să satisfacă relaţia F(x)=y , x=F-1(y). Ex. f (x ) =

1 , x ∈ (− ∞,+∞ ) π 1 + x2

(

)

π⎤ 1⎡ arctg x + ⎥ ⎢ π⎣ 2⎦ 1⎞ ⎛ x = tg ⎜ y − ⎟ ⋅ π 2⎠ ⎝ y=

14

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Metode aproximative Aceste metode constă în aproximarea funcţiei de repartiţie F(x), definită pe un interval [a,b] ca o succesiune de funcţii Fi(x) definite pe intervalele [ai,bi] incluse în [a,b]. Funcţiile Fi(x) trebuie să fie liniare sau polinoame de grad mic, uşor inversabilă. Ex. funcţia de repartiţie pentru analiza drumului critic, aproximată pe patru intervale prin drepte sau curbe. Dacă U este uniform repartizat pe intervalul (0,1) numărul x generat este: ⎧ U 4 dacă U ∈[0;0,2825] ⎪ 1,64 ⎪ ⎪⎪ U + 0,4995 dacă U ∈ (0,2825;0,47] x = ⎨ 1,876 ⎪0,424 ⋅ U + 0,55 dacă U ∈ (0,47;0,96] ⎪ ⎪ 1− 1−U dacă U ∈(0.96;1) ⎪⎩ 3,4

SIMULAREA STOCHASTICĂ CU TEHNICA MONTE CARLO Metoda Monte Carlo stă la baza procedurilor de generare a proceselor stochastice sau de căutare a unor puncte într-un domeniu. Pe baza rezultatelor obţinute prin metoda Monte Carlo, în cadrul programului de simulare, se obţin diferite evaluări, ierarhizări care permit fundamentarea deciziei economice. Se pot evidenţia următoarele domenii: - procese de stocare complexe – în care ritmul de aprovizionare are caracter aleator sau sezonier, suprafaţa de depozitare este limitată, etc., în general când optimizarea nu mai este posibilă cu modele clasice din teoria stocurilor. Metoda Monte Carlo permite obţinerea repartiţiilor principalilor parametrii ai procesului de stocare; - procese de aşteptare – în care au loc evenimente care se intercondiţionează, iar rezolvarea lor cu ajutorul modelelor de aşteptare (din teoria firelor de aşteptare) nu este posibilă. O problemă de larg interes şi utilitate o reprezintă semaforizarea în marile oraşe („unda verde”); - procese de reparaţii – analizate în legătură cu activitatea de producţie şi investiţii; - estimarea parametrilor repartiţiei duratei totale – şi posibilitatea determinării frecvenţei caracterului critic pentru fiecare activitate; - procese de muncă complexe – privind adoptarea unor decizii legate de problemele programării operative a producţiei (încărcarea utilajelor, lansarea în fabricaţie, urmărirea realizării producţiei) de la loc de muncă/instalaţie/secţie;

15

Modelarea şi simularea sistemelor economice

- procese macroeconomice – atunci când se doreşte cunoaşterea unor corelaţii între două sau mai multe ramuri, studiul fluxurilor între ramuri, probleme de creştere economică. Prezentarea generală a metodei În situaţia în care unei probleme deterministe i se asociază un model aleator (probabilist) şi prin generarea unor variabile aleatoare legate funcţional de soluţie se realizează experienţe pe model şi se furnizează informaţii despre soluţia problemei deterministe, se foloseşte simularea Monte Carlo. Apariţia ideii utilizării fenomenelor aleatoare în domeniul calculelor de aproximare s-a produs în 1878. (Lucrarea lui Hall despre determinarea numărului π cu ajutorul aruncărilor întâmplătoare ale unui ac pe o hârtie pe care s-au trasat drepte paralele. Esenţa metodei constă în realizarea experimentală a unui eveniment a cărui probabilitate să fie exprimată prin numărul π şi estimarea aproximativă a acestei probabilităţi). Termenul „metoda Monte Carlo” este de fapt sinonim cu metoda experimentărilor statistice. Metoda Monte Carlo poate fi definită ca metoda modelării variabilelor aleatoare, în scopul calculării repartiţiei lor. Prima lucrare în care este prezentată metoda a apărut în 1949 („The Monte Carlo Method J. Amer. Stat. Assoc.” autori Metropolis şi Ulam). La început metoda a fost aplicată în principal în rezolvarea problemelor fizicii neutronului (când metodele clasice nu mai erau utile). Ulterior a fost considerată deosebit de utilă în rezolvarea problemelor economice, când metodele analitice devin inoperante. Pentru calcularea unei variabile aleatoare se pleacă de la o variabilă aleatoare cu repartiţie uniformă pe intervalul [0,1] din câmpul de probabilitate constructiv. Prin câmp de probabilitate constructiv se înţelege câmpul cu o aplicaţie de forma : β=f(x), x ∈ [0,1] cu proprietatea că: ∞

∫ f ( x)dx = 1 . 0

Metoda presupune estimarea parametrilor repartiţiei unei variabile aleatoare pe baza realizărilor acesteia, astfel încât problema principala problemă care se rezolvă prin această metodă constă în estimarea valorii medii a unei variabile aleatoare în funcţie de o eroare admisibilă şi o probabilitate dată. Datorită faptului că metoda conduce la construirea prin experiment statistic a imaginii unor procese, se impune ca variabilele aleatoare să fie estimate cu o abatere cât mai mică în probabilitate în raport acelea care ar putea fi considerate reale. Aceasta conduce la necesitatea construirii unor estimatori satisfăcători, care în cazul metodei Monte Carlo este media aritmetică simplă sau ponderată. 16

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Pentru o variabilă aleatoare ξ, cu distribuţie normală, cu media m şi dispersia σ2, funcţia de verosimilitate în raport cu m este:

(

F x1 ,..., x n ; m, σ

(

2

)=

F x1 ,..., x n ; m, σ 2

)

1

(2 ⋅ π )n / 2

⎡ 1 ⎛ xi − m ⎞ 2 ⎤ ⋅ ∏ exp ⎢− ⋅ ⎜ ⎟ ⎥; ⋅ σ n i =1 ⎣⎢ 2 ⎝ σ ⎠ ⎦⎥ n

xi , i = 1, n

este maximă în raport cu m şi σ2 pentru realizările

x1 ,..., x n ale lui ξ dacă:

⎧ ∂ ln F ⎪ ∂m = 0 ⎨ ∂ ln F ⎪ =0 ⎩ ∂σ 2

de unde rezultă că pentru variabila aleatoare cu distribuţie normală, media m 1 n

n

este estimator de maximă verosimilitate: mˆ = ⋅ ∑ xi . i =1

Calitatea eşantionului poate fi apreciată prin teste de concordanţă, care măsoară apropierea repartiţiei empirice de repartiţia teoretică. Precizia şi proprietăţile metodei Monte Carlo Pentru ca rezultatele obţinute cu ajutorul metodei Monte Carlo să poată fi concludente trebuie ţinut seama de aspectele: a) Pentru ca eroarea maximă admisibilă în determinarea probabilităţii apariţiei evenimentului considerat să nu depăşească o valoare Δ, este necesar ca experimentarea să se facă de un număr de ori dat de relaţia: n =

4 ⋅ p ⋅ (1 − p ) , unde p este valoarea căutată a probabilităţii de Δ2

apariţie a unui eveniment; b) Dacă după n experimentări s-a determinat o valoare statistică medie (m) a unei variabile aleatoare V, valoarea medie reală se va situa între limitele: m = m ± Δ ; c) Dacă este doreşte obţinerea valorii medii m a variabilei aleatoare V cu o eroare cel mult egală cu Δ dat, atunci experimentul se repetă de un n ori dat de relaţia: n

4 ⋅ Dv , unde Dv reprezintă dispersia Δ2

mărimii V, care poate fi determinată pornind de la rezultatele primei serii de (n1) experimentări, după care se corectează treptat pe măsura obţinerii datelor. Simularea producerii unui eveniment (E) a cărui apariţie este apreciată prin probabilitatea p se determină din îndeplinirea inegalităţii μi < p , unde μi este un număr aleator 0 ≤ μ i ≤ 1 . Ca urmare, evenimentul E este definit prin egalitatea: ⎧ 1 dacă E a avut loc E=⎨ ⎩ 0 dacă E nu a avut loc

⎧

1 dacă μ ≤ p

i sau E = ⎨ 0 μi > p dacă dacă ⎩ d) Precizia metodei Monte Carlo se poate estima statistic, cu un grad de certitudine finit (se va considera suficient 0,99 ... 0,97);

17

Modelarea şi simularea sistemelor economice

e)Precizia metodei variază cu N1/2 (N – numărul total de încercări), deci o creştere a preciziei cu un ordin de mărime măreşte timpul de calcul cu două ordine de mărime. Concluzii - metoda Monte Carlo este o metodă aproximativă ce poate fi adaptată problemelor economice; - precizia metodei este determinată de numărul de încercări independente şi de variaţia lor; - numărul de încercări variază invers proporţional cu probabilitatea; - metoda Monte Carlo nu este adaptată studiului unor procese cu probabilitate foarte mică, deoarece rezultă un număr imens de cicluri de simulare. EXEMPLU: STUDIUL DE CAZ Societatea comercială S.C. OMEGA S.A. îşi propune să realizeze un produs nou pe care doreşte să-l comercializeze pe piaţă. Obiectivele managementului societăţii sunt: obţinerea unei imagini de prestigiu a firmei, creşterea interesului public pentru societate şi obţinerea de profit. Cu toate că vânzarea produsului va avea loc într-o foarte scurtă perioadă de timp, este posibil ca atât costurile de producţie, marketing şi distribuţie, cât şi volumul vânzărilor să varieze întâmplător în această perioadă. Înainte de realizarea şi lansarea efectivă a produsului pe piaţă, managerul de marketing a hotărât să estimeze prin simulare profitul care ar putea fi realizat de produsul nou pe baza informaţiilor furnizate de un studiu de marketing referitor la costuri şi vânzările posibile ale produsului. Aplicarea simulării la probleme de acest tip presupune parcurgerea unor etape: 1) identificarea factorilor care influenţează rezultatele lansării pe piaţă a produsului; 2) formularea unui model care să arate legăturile dintre factori; 3) determinarea distribuţiilor de probabilitate pentru factorii luaţi în considerare; 4) realizarea simulării; 5) analiza şi interpretarea datelor simulării. Etapa 1. Identificarea factorilor Dacă se porneşte de la conceptul economic de profit înaintea de plata taxelor, factorii care influenţează profitul pot fi reprezentaţi în figura:

18

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Costurile variabile includ costurile de producţie, costurile de marketing şi de vânzare, iar costurile fixe includ costurile fixe legate de utilaje, costurile de lansare a producţiei şi de publicitate. Trebuie amintit că problema este simplificată, luarea în considerare a tuturor factorilor posibili ar duce la o complicare a problemei ceea ce ar face-o mai greu de rezolvat ( de exemplu se poate extinde arborescenţa prin ramificarea costurilor fixe în costuri de publicitate şi costuri de lansare a producţiei, sau prin ramificarea vânzărilor în vânzări interne şi în vânzări export, etc.). ETAPA 2. FORMULAREA UNUI MODEL Pe baza teoriei economice referitoare la conceptul de profit şi pe baza factorilor identificaţi, se poate propune următorul model: Profitul total=volum vânzări×(preţ de vânzare–cost variabil unitar)-costuri fixe Acesta este unul dintre modelele care se pot construi pentru determinarea profitului total. De exemplu, dacă vânzările sunt mari, profitul poate fi diminuat din cauza presiunii de creştere a salariilor din partea forţei de muncă. De asemenea, costurile fixe pot rămâne la acelaşi nivel, numai până la un anumit volum al vânzărilor, după care poate apărea necesitatea unui nou echipament sau utilaj. Dacă se încearcă includerea în model a tuturor factorilor posibili s-ar produce o complicare a problemei. Prin urmare este necesar să se realizeze un compromis între necesitatea de a construi un model simplu, uşor de înţeles şi necesitatea de a obţine prin model o reprezentare rezonabilă şi plauzibilă a problemei reale. Etapa 3.Determinarea distribuţiilor de probabilitate Conducerea societăţii comerciale a fixat preţul de vânzare la 10 unităţi monetare/buc.(u.m./buc.)şi consideră că nu există incertitudine cu acest factor

19

Modelarea şi simularea sistemelor economice

S-au stabilit costurile fixe la 150.000 u.m. Pe baza informaţiilor furnizate de departamentele de marketing, producţie şi de costuri s-au determinat distribuţiile de probabilitate prezentate în tabelul următor. Costuri variabile Valoare Probabilitate (u.m./buc) 6 0,3 7,5 0,5 9 0,2

Volumul vânzărilor Cantitate (mii Probabilitate buc.) 60 0,1 70 0,3 80 0,4 90 0,2

Etapa 4.Realizarea simulării Pentru realizarea simulării cu metoda Monte Carlo se utilizează distribuţia de probabilitate cumulată a fiecărui factor şi un generator de numere aleatoare, uniform distribuite între [0,1). Deoarece se presupune ca cei doi factori aleatori (costurile variabile şi volumul vânzărilor) sunt independenţi, la fiecare experiment de simulare se generează un set de numere aleatorii între [0,1). Se poate aplica următoarea procedură: Pasul 1. Pentru fiecare distribuţie de probabilitate, se calculează probabilităţile cumulate k

Pk = ∑ pi , k = 1, ... , n i =0

unde pi sunt probabilităţile asociate factorilor aleatorii. Se înscriu în tabelul următor probabilităţile cumulate obţinute. Costuri variabile Valoare Probabilitate Intervalul (u.m./buc) cumulată [Pk-1,Pk) 6 0,3 [0-0,3) 7,5 0,8 [0,3-0,8) 9 1,0 [0,8-1)

Volumul vânzărilor Cantitate Probabilitate Intervalul (mii buc.) cumulată [Pk-1,Pk) 60 0,1 [0-0,1) 70 0,4 [0,1-0,5) 80 0,8 [0,5-0,8) 90 1,0 [0,8-1)

Pasul 2 Se asociază intervale de numere aleatorii valorilor factorilor aleatorii. Acest lucru se poate realiza grafic sau tabelar. Pentru un număr mai mare de factori se preferă metoda tabelară.

20

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Probabilităţi

Grafic Deoarece se lucrează cu doi factori aleatorii se vor construi două grafice. Pe axele orizontale se reprezintă valorile factorilor aleatorii (costurile variabile, respectiv vânzările), iar pe axele verticale probabilităţile cumulate. Pentru fiecare valoare se construieşte o bară verticală care are înălţimea egală cu probabilitatea cumulată corespunzătoare acelei valori. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1 0,8

0,3

6

7,5

9

Probabilităţi

Costuri variabile (u.m./buc)

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1 0,8

0,4

0,1 60

70

80

90

Vânzări(mii bucăţi)

Tabelar În tabelul anterior se prezintă intervalele construite cu ajutorul probabilităţilor cumulate [Pk-1,Pk), asociate valorilor factorilor aleatorii. Pasul 3 Se generează două seturi de numere aleatorii, uniform repartizate în intervalul [0,1), utilizând funcţia RAND din Excel şi se trec în tabelul următor. Pasul 4 Se simulează factorii aleatorii şi se calculează profitul. Obţinerea valorilor simulate se poate face grafic sau tabelar. Grafic Fiecare număr din seturile de numere aleatorii generate se reprezintă orizontală care intersectează o bară verticală. Se citeşte valoarea de la baza barei , iar în tabelul 3 se trece volumul simulat al vânzărilor, respectiv costul variabil simulat şi apoi se calculează profitul total. 21

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Tabelar Se caută intervalul [Pk-1,Pk) căruia îi aparţine fiecare număr aleatoriu. Se trec datele în tabelul 3 (volumul simulat al vânzărilor, respectiv costul variabil simulat) şi apoi se calculează profitul total. Tabelul 3 Număr Număr experiment aleatoriu 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ... 100

2. 0,36679 0,13273 0,79054 0,10328 0,53723 0,37764 0,98360 0,19179 0,73569 0,02472

Volum vânzări (mii buc.) 3. 70 70 80 70 80 70 90 70 80 60

Număr aleatoriu 4. 0,87109 0,70050 0,81018 0,00799 0,65239 0,29714 0,37499 0,94440 0,19555 0,67882

Costuri variabile (u.m./buc) 5. 9 7,5 9 6 7,5 6 7,5 9 6 7,5

Profitul total pri (u.m.) 6. - 80.000,00 25.000,00 - 70.000,00 130.000,00 50.000,00 130.000,00 75.000,00 - 80.000,00 170.000,00 -

Pasul 5 Dacă numărul de experimente este mai mic decât numărul N stabilit de utilizator, se reia procedura de la pasul 3 pentru efectuarea unui nou experiment, altfel se trece la pasul 6. Pasul 6 Analiza statistică a rezultatelor, se determină media profitului, deviaţia standard, intervalul de încredere şi distribuţia de probabilitate. În tabelul anterior sunt prezentate rezultatele obţinute pentru 10 experimente de simulare. Astfel, pentru experimentul numărul 1, numărul aleatoriu 0,36679 [0,1-0,5) şi generează vânzări de 70.000 bucăţi, numărul aleatoriu 0,87109 [0,8-1) şi generează costuri variabile de 9 u.m./bucată. Profitul total este pri=70.000×(10-9)-150.000 = -80.000 u.m. 1 10 * Profitul mediu este: pr = ⋅ ∑ pri = 35.000 u.m. 10 1 10

Deviaţia standard : s =

∑ ( pr

*

− pri ) 2

1

9

= 92.436,16 u.m.

Pentru caracterizarea corectă a distribuţiei de probabilitate a profitului este necesar un număr mare de experimente de simulare. În tabelul 22

Modelarea şi simularea sistemelor economice

4 sunt prezentate rezultatele obţinute din analiza statistică a 500 experimente de simulare realizate în Excel, iar în figura 4 sunt reprezentate distribuţia discretă de probabilitate şi funcţia de distribuţie cumulată a profitului corespunzător noului produs. Tabelul4 Intervale de profit (mii u.m.) (-150,-90] (-90,-30] (-30,30] (30,90] (90,150] (150,210]

Frecvenţa

Probabilitatea relativă

Probabilitatea cumulată

8 97 100 166 56 73

0,016 0,194 0,200 0,332 0,112 0,146

0,016 0,210 0,410 0,742 0,854 1,000 1

1 0,9 0,8

Probabilităţi

0,7 0,6 0,5 0,332

0,4 0,194

0,3 0,2

0,2 0,112

0,016

0,146

0,1 0 -90

-30

0

30

90

150

210

Profitul total (mii u.m.)

Caracteristicile distribuţiei de probabilitate a profitului simulat sunt următoarele: - profitul total minim = pierderea maximă = -80.000 u.m. - profitul total maxim = 170.000 u.m. - profitul mediu pr* = 35.000 u.m. - deviaţia standard s = 92.436,16 u.m. Intervalul de încredere (1-α) = 0,95 se construieşte cu relaţia : ⎛ * ⎞ s s ⎜⎜ pr − 1,96 ⋅ , pr * + 1,96 ⋅ , ⎟⎟ N ⎠ N ⎝ ⎛ 92.436,16 92.436,16 ⎜⎜ 35.000 − 1,96 ⋅ , , 35.000 + 1,96 ⋅ 10 10 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

23

Modelarea şi simularea sistemelor economice

intervalul: ( -22 292,52811; 92 292,52811 ) u.m. - pentru N=10 şi ⎛ * ⎞ s s ⎜⎜ pr − 1,96 ⋅ , pr * + 1,96 ⋅ , ⎟⎟ N N ⎠ ⎝ 92.436,16 92.436,16 ⎞ ⎛ , 35.000 + 1,96 ⋅ , ⎟ ⎜ 35.000 − 1,96 ⋅ 500 500 ⎝ ⎠

intervalul: (26 897,61; 43 102,39

) u.m. - mai corect pentru

N=500 Prin urmare profitul total mediu generat de produsul nou poate fi între 26,89 şi 43,10 mii u.m. Probabilitatea ca profitul total să fie mai mic sau egal cu zero se determină prin interpolare: P(profitul total 0) = 0,21+(0,41-0,21)× [0-(-30)]/[30-(-30)]=0,31 Există probabilitatea de 31% ca produsul să producă pierderi. Va fi necesar ca managementul firmei să ia măsuri pentru prevenirea sau diminuarea acestor pierderi dacă doreşte să lanseze produsul care poate contribui la creşterea prestigiului firmei S.C. OMEGA S.A. . Modelarea fenomenelor de piaţă Cunoaşterea cerinţelor pieţei, anticiparea acestora, constituie una din premisele întocmirii programului de fabricaţie într-o întreprindere. Prospectarea pieţei reprezintă un proces complex ce se referă la aspecte cantitative şi calitative. În cercetările specifice ce se realizează se folosesc atât date statistice privind evoluţia cererii şi ofertei de produse pe diferite pieţe, cât şi informaţii culese direct din cadrul pieţei, locul de confruntare a cererii cu oferta. Modele de estimare a evoluţiei cererii pe piaţă a. Raportul cerere-preţ Teoria cantitativă a cererii porneşte de la următoarele ipoteze: -I1- În cazul unui venit constant, cererea pentru o marfă scade odată cu creşterea preţului şi invers. Ipoteza permite formularea unor modele numerice care să previzioneze creşterea (scăderea) cererii în cazul reducerii (creşterii) preţului într-o proporţie definită. Sensibilitatea cererii la modificările de preţ este ilustrată de coeficientul de elasticitate al cererii (c) faţă de preţ (p) şi care arată cu cât la sută se modifică (în sens invers) cererea unui bun dacă preţul său se modifică cu 1%. Expresia de calcul este:

Ec / p =

Δc Δp : , c p 24

Modelarea şi simularea sistemelor economice

unde Δc,Δp sunt modificarea cererii şi a preţului în două perioade de referinţă. -I2- În cazul unui venit variabil, cererea pentru un bun creşte odată cu creşterea venitului şi scade cu creşterea preţului. b. Raportul cerere-preţ Dacă preţul este menţinut constant, cererea poate fi descrisă ca o funcţie a venitului ci=f(v). Modificarea preţurilor determină deplasarea curbelor de cerere. În literatura de specialitate, curbele care exprimă dependenţa dintre cerere şi venit sunt cunoscute sub denumirea curbelor tip Engel. Dependenţa nu este liniară, cererea pentru diferite grupe de produse cunoaşte puncte de saturaţie . Dependenţa cerere-venit poate fi exprimată în principal prin următoarele tipuri de funcţii: a) În cazul bunurilor strict necesare: C1 =

m1 ⋅ V V + n1

b) În cazul bunurilor de consum curent: C 2 = c) În cazul bunurilor de lux: C 3 =

m 2 ⋅ (V − p 2 ) V + n2

m3 ⋅ V ⋅ (V − p 3 ) V + n3

d) În cazul bunurilor care, pentru un anumit nivel al venitului, ies din uz: C 4 = m 4 ⋅ V − n 4 ⋅ V 2 unde:

C – cererea la produsul (sau grupa de produse) considerat; V – venitul; m,n,p – parametrii econometrici.

Interpretarea celor patru funcţii este următoarea: a) Prima funcţie C1, cunoscută sub numele de funcţia Törnquist I, arată că pe măsura creşterii veniturilor , cererea creşte într-o proporţie mai slabă, tinzând să se plafoneze, graficul fiind prezentat în figura 1.

Figura 1 Funcţia Törnquist I

25

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Limita când V→ ∞ este m1, deci nivelul spre care tinde C1 este m1 . Derivata întâi a funcţiei este descrescătoare, tinzând asimptotic către zero. b) Funcţia C2, cunoscută sub numele de funcţia Törnquist II, prezintă aproximativ aceeaşi dependenţă cerere-venit ca şi C1, deoarece are un prag de saturaţie la nivelul m2, ceea ce înseamnă că la creşteri din ce în ce mai mari ale lui V, C2 tinde către m2.

Figura 2 Funcţia Törnquist II Cererea pentru această grupă de produse sau servicii începe să se manifeste numai după ce V>p2 ,pentru V=0 → C 2 =

− m2 ⋅ p 2 (parametrul n2

p2 este negativ).Graficul funcţiei este prezentat în figura 2. c) Funcţia C3, cunoscută sub numele de funcţia Törnquist III, este specifică pentru produsele la care cererea creşte continuu pe măsura creşterii veniturilor. Curba prezintă o asimptotă oblică la ramura spre +∞, asimptotă care are ecuaţia C=m3V-m3(p3+n3). Pentru n3<0 cererea se manifestă când –n3
Figura 3 Funcţia Törnquist III d) Funcţia C4 este caracteristică pentru produsele sau grupele de produse care, după un anumit nivel al veniturilor ies din uz. Cererea pentru astfel de produse prezintă la început o creştere, atinge un maxim pentru V=m4/2n4 , după care începe să scadă ajungând la zero , ceea ce 26

Modelarea şi simularea sistemelor economice

înseamnă că, la venituri mai mari decât această limită nu există cerere pentru astfel de produse. Având în vedere dinamica legăturii cerere-venit, există tendinţa normală ca funcţiile care reflectă această dependenţă să se verifice tot mai mult. În cazul produselor de primă necesitate şi greu substituibile, variaţia preţurilor nu influenţează semnificativ consumul acestora, totuşi apar schimbări în volumul şi structura consumului ca urmare a scăderii veniturilor. În grupa produselor de lux sau uşor susbstituibile consumul este puternic influenţat de preţ. Exemplu Folosind date de piaţă anuale a putut fi determinată empiric funcţia de cerere pentru hrană: F=97,677-0,246·pa/p+0,247·Y+0,051·Y-1-0,104·t unde: F- consumul de alimente în preţuri constante; pa/p – indicele de preţ al consumatorului (raportul dintre preţul produselor alimentare şi preţul produselor nealimetare); Y, Y-1 – venitul disponibil în anul curent şi respectiv în anul trecut; t – tendinţa în timp. În obţinerea acestei funcţii s-a plecat de la ideea că cererea pentru hrană este o funcţie de raportul dintre preţul produselor alimentare şi a celor nealimentare, de venitul disponibil curent şi cel din perioada trecută, precum şi de tendinţa impusă de schimbări în gusturi, obiceiuri, etc. Analiza funcţiei conduce la următoarele aspecte: - cererea are pantă negativă, deoarece cererea scade când preţul produselor alimentare creşte; - efectul venitului este pozitiv, cererea pentru hrană creşte cu creşterea venitului; - produsele alimentare şi nealimentare sunt parţial substituibile, deoarece o creştere în preţul articolelor nealimentare relativ la cele alimentare conduce la cererea creşterii pentru hrană Indicatorii ofertei de mărfuri Principalii indicatori ai ofertei sunt: cantitatea de produse existentă la un moment dat pe piaţă, valoarea produselor, structura pe categorii de produse, durata de aşteptare a produselor pe piaţă pentru a fi vândute, frecvenţa solicitării produselor de către consumatori, vârsta produselor, şansa lor de supravieţuire pe piaţă, competitivitatea. Oferta de mărfuri trebuie tratată în profil static şi dinamic pentru a putea fi surprinsă la un moment dat, dar şi în mişcare, cu implicaţiile ce le atrage prezenţa ei asupra procesului economic în complexitatea lui. 27

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Creşterea cantitativă, ridicarea calitativă, diversificarea sortimentală, înnoirea produselor în timp reprezintă principalii parametri care caracterizează dinamica ofertei de mărfuri. Fiecărui articol individualizat în masa ofertei i se poate stabilii uşor vârsta, pornind de la momentul primei sale apariţii pe piaţă. Oferta, considerată la un moment dat, cuprinde produse de vârste foarte diferite, ea va avea vârsta medie (simplă sau ponderată) a vârstelor produselor care o compun. „Viaţa” produsului pe piaţă cunoaşte etapele de lansare, creştere, maturitate şi declin (figura).

Curba vanzarilor Curba vânzărilor arată caracterul progresiv al penetraţiei produsului în consum, stabilitatea relativă din perioada de maturitate, concurenţa pe care produsele noi o fac celor vechi, sfârşind prin eliminarea acestora de pe piaţă. Privită în dinamica ei, oferta de mărfuri trebuie să asigure înnoirea permanentă a produselor, astfel încât, în timp ce un produs intră în fază de declin, produsul nou să fie deja în faza lansare sau chiar în faza de creştere (expansiune). Faza prin care se află un produs la un moment dat pe piaţă se mai poate aprecia prin analiza structurii consumatorilor la un moment dat. Difuzarea pe piaţă a unui nou produs întâlneşte un grad diferit de receptivitate pe grupe de populaţie (mediu, sex vârstă). Pe de altă parte, în cazul produselor noi, evoluţia numărului de cumpărători, adică a volumului vânzărilor, nu caracterizează în totalitate statutul pe piaţă a acestora, deoarece o primă cumpărare nu înseamnă şi acceptarea lui definitivă (primele cumpărături având mai mut un caracter de testare a produsului). Curba vânzărilor ia forme diverse, în funcţie de natura produsului, a piţei pe care este lansat, a politicii de lansare şi staţionare pe piaţă. În general această curbă poate fi asimilată unei funcţii Gamma de forma: Vt=k٠tα٠e-βt unde Vt vânzările la un moment dat t,k constante; α, β parametrii. 28

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Anulând derivata I, se află nivelul maxim al vânzărilor: Vt`=0 → t= α / β Anulând derivata II, se află momentul creşterii / descreşterii ritmului vânzărilor: Vt``=0 → t1= (α – (β)1/2)/β t2= (α + (β)1/2)/β Integrând, se observă volumul global al vânzărilor în perioada existenţei produsului pe piaţă: 1

V = ∫ k ⋅ t α ⋅ e − βt dt 0

În practică, problema fidelităţii cumpărătorului faţă de o anumită marcă, de un anumit produs, este destul de complexă, deoarece pot apărea produse noi pe o piaţă destul de saturată de produsele existente, poate avea loc o competiţie între produse de „vârste” diferite, piaţa poate fi de dimensiuni rigide sau elastice, pe piaţă pot exista oferte, acţiuni publicitare în favoarea unor produse, etc.

Modelarea evoluţiei ponderii pe piaţă a unor produse concurenţiale cu lanţuri Markov

Orice lanţ Markov este definit de matricea sa stochastică (P) şi de distribuţia iniţială aj. La stabilirea modului în care se presupune să evolueze ponderea pe piaţă a unor produse concurenţiale pot fi aplicate lanţurile Markov Aspecte teoretice Considerăm un ansamblu de rezultate posibile, independente E1, E2, ... (în număr finit sau infinit). Fiecărui rezultat îi asociem o probabilitate pk. Probabilitatea unei succesiuni de rezultate se defineşte prin proprietatea multiplicativă de forma: Pr{Ej0, Ej1,..., Ejk,..., Ejn} = pj0*pj1,..., *pjn. În teoria lanţurilor Markov se consideră că rezultatul oricărei încercări depinde de rezultatul încercării care o precede direct şi numai de acesta. Fiecărei perechi Ej, Ek i se asociază probabilitatea condiţionată pjk, adică, dacă se realizează Ej, probabilitatea de realizare a lui Ek este pjk. Probabilitatea rezultatului Ej al încercării iniţiale este aj (distribuţia iniţială). Probabilitatea condiţionată este, de fapt, probabilitatea de trecere de la starea Ej la Ek. Probabilităţile de trecere sunt reprezentate sub forma unor matrice pătratice cu toate elementele nenegative şi cu proprietatea că suma elementelor unei linii este egală cu 1. 29

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Paşii algoritmului analitic: 1. Se construieşte matricea probabilităţilor de trecere de la o stare la o altă stare în funcţie de coeficientul de fidelitate şi de reorientare a cumpărătorilor din momente de timp succesive; 2. Se scrie distribuţia iniţială sub forma unui vector linie, cu elementele formate din ponderile pe piaţă ale produselor considerate la momentul 0; 3. Prin înmulţirea distribuţiei iniţiale cu matricea probabilităţii de trecere se determină ponderea produselor pentru momentul 1; 4. Se determină ponderea pe piaţă a produsului pentru 2, 3, 4 etc momente dorite; La stabilirea modului în care se presupune să evolueze ponderea pe piaţă a unor produse concurenţiale pot fi aplicate lanţurile Markov 5. Se întocmeşte situaţia evoluţiei ponderii pe piaţă a produselor; 6. Se trasează curba evoluţiei ponderii fiecărui produs; 7. Se precizează situaţia produsului la momentul iniţial şi se stabileşte politica de comercializare a propriului produs în funcţie de aceasta, de situaţia concurenţei şi a posibilităţilor tehnico-economice din organizaţie. STUDIUL DE CAZ Pe piaţa produselor de ciocolată se studiază trei sortimente A, B, C de ciocolată. Cota de participare a fiecărui produs în vânzări la momentul 0 este A50%, B-35%, C-15%. Coeficientul de fidelitate de la o lună la alta, este constant şi anume : 60% din cumpărători rămân fideli sortimentului A, 70% din cumpărători rămân fideli sortimentului B şi 80% din cumpărători rămân fideli sortimentului C. Ceilalţi consumatori părăsesc produsul şi se reorientează celorlalte produse conform tabelului: Produsul Reorientări % părăsit A B C A 20 20 B 15 15 C 5 15 Considerând constante probabilităţile de tranziţie, se propune analizarea evoluţiei ponderii celor trei produse pe piaţă pentru un semestru. P1. Se construieşte matricea probabilităţilor de trecere (elemente nenegative iar suma elementelor aceleiaşi linii este 1) în funcţie de coeficientul de fidelitate şi de reorientările cumpărătorilor în două luni ⎛ 0,6 0 ,2 0 ,2 ⎞ ⎟ ⎜ succesive, astfel: P = ⎜ 0,15 0,7 0,15 ⎟ ⎜ 0 ,05 0 ,15 0 ,8 ⎟ ⎠ ⎝

P2. Se scrie distribuţia iniţială sub forma uni vector linie cu elementele formate de ponderile de piaţă ale produselor considerate la momentul 0: 30

Modelarea şi simularea sistemelor economice

a j = (0,5 0,35 0,15)

P3. Se determină ponderea de piaţă a celor trei produse după prima lună: (0,5 0,35 0,15) ⋅ P = (0,36 0,368 0,273) ,

adică

A=36%; B=36,8%; C=27,3%

P4. Se determină ponderile pe piaţă ale celor trei produse după 2,3,4,5,6 luni considerate; P5. Se întocmeşte situaţia privind evoluţia pe piaţă a produselor pentru lunile considerate, conform tabelului; P M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 A 0,5 0,36 0,285 0,244 0,221 0,208 0,200 B 0,35 0,368 0,370 0,368 0,364 0,361 0,359 C 0,15 0,272 0,345 0,389 0,415 0,431 0,440 P6. Se trasează curba evoluţiei ponderii fiecărui produs conform figurii; 0,6 0,5 0,4

Produs 1 Produs 2 Produs 3

0,3 0,2 0,1 0 1

2

3

4

5

6

7

P7. Se precizează situaţia produsului la momentul iniţial şi se stabileşte politica de comercializare a produsului. Din analiza pe piaţă a celor trei produse rezultă că la momentul 1, produsul A se află în fază de declin, ponderea lui în totalul pieţei fiind în continuă scădere (de la 50% la 20%). Produsul B se află în fază de maturitate, se constată la începutul perioadei o uşoară creştere a ponderii sale în totalul pieţei (până la 37%), apoi o menţinere în jurul valorii de 36 %. Produsul C se află în faza de creştere (de la 15% la 44,1%). Modele econome cu o ecuaţie (unisectoriale) 31

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Procesele de cunoaştere din domeniul economiei se concentrează în mod frecvent asupra unei probleme sau asupra unui sector de activitate în vederea desluşirii cauzelor, desprinderii tendinţelor, profilării soluţiilor. Astfel, studiul se poate concentra asupra investiţiilor din sectorul privat sau asupra productivităţii în sectorul industriei alimentare, rentabilităţii în domeniul exporturilor, ratei şomajului, etc. Acesta presupune desprinderea din ţesătura de interdependenţe care caracterizează demersul economic a unui singur proces, precum şi factorilor care îl determină. Din ansamblul variabilelor şi legăturilor economice, ne limităm la analiza investiţiilor (y) privite ca funcţie de rata dobânzii (x1) şi cuantumul economiilor (x2), exprimând relaţia dintre y şi factorii x1, x2 printr-o funcţie y=f(x1, x2) (u-variabilă fără nume). Modelul adoptat pentru a descrie relaţia dintre variabile se încadrează în una din categoriile: - unifactoriale y=f(x, u) a) modele -multifactorile y=f(x1, x2,...,x·k, u) b) modele

- liniare - neliniare

c) modele

-cu influenţe sincrone xt=a0+a1·xt+ut - cu influenţe asincrone yt=a0+a1·zt-1+a2·yt-2+ut

d) modele grâu

- parţiale

yi=a0+a1·xi+ui yi=a0+a1·logxi+ui yi=a0·xa1·eui yi=a0·+a1·1/xi+ui , etc.

qi=a0+ai·xi+ui , unde q producţia de Qi= a0+a1·xi+ui , unde Q produsul intern brut.

Formarea modelului unisectorial precum şi utilizarea sa presupune următoarele etape: a. analiza dependenţei variabilei economice în raport cu posibilii factori, ţinând seama de ceea ce admite teoria economică în domeniul respectiv, de aspectele scoase în evidenţă de practica economică în perioada şi spaţiul economic avute în vedere, precum şi de existentul de date numerice sau de posibilităţile de obţinere a acestora; b. verificarea prezumţiilor teoretice prin prisma comportamentului variabilelor aşa cum este el relevat de date, ceea ce implică utilizarea unor metode statistice specifice, (reprezentări grafice, teste de semnificaţie, etc); c. elaborarea propriu-zisă a modelului în condiţiile în care urmăreşte reţinerea unui număr restrâns de factori de maximă relevanţă precum şi respectarea formei legăturii aşa cum este ea descrisă de datele ce se referă la evoluţia paralelă a variabilelor; 32

Modelarea şi simularea sistemelor economice

d. estimarea parametrilor modelului şi obţinerea în acest fel a unor caracterizări numerice privind influenţa exercitată de factori asupra variabilei efect; e. verificarea calităţii modelului de a reproduce schematic evoluţia unui fenomen în raport cu cauzele (variabile factoriale), precum şi verificarea semnificaţiei parametrilor; f. obţinerea de previziuni sau generarea de valori simulate cu ajutorul modelului. Toate aceste etape oferă răspunsuri la următoarele probleme: - forma legăturii dintre variabila efect şi prezumtivii factori; - în ce măsură, o modificare a cu o unitate, procent a factorului generează schimbarea efectului; - dacă modificarea generată de factor este semnificativă sau se datorează unor situaţii conjuncturale sau aleatoare; - ce garanţii evaluate probabilistic există cu privire la semnificaţia parametrilor, calitatea modelului, veridicitatea prognozelor. Cazul liniar unifactorial

Pentru a exemplifica modalitatea de parcurgere a etapelor enunţate, se consideră un exemplu simplu (caz unifactorial liniar) pentru care se prezintă un număr limitat de date. Astfel, exemplu constă în analiza dependenţei cererii pentru produsul A în raport cu factorul care îi determină în cel mai înalt grad evoluţia. Din teoria economică şi din experienţa câştigată în diferite acţiuni de promovare, se cunoaşte că cererea depinde de preţ, ofertă, venituri, reclamă, preţul produselor înlocuitoare, etc. Pentru produsul considerat nu au intervenit schimbări notabile în rândul factorilor enumeraţi, cu excepţia reclamei (acţiuni publicitare) care a înregistrat în general creşteri, conform tabelului următor. Luna I II III IV V y – (mil. tone) 1 2 4 6 4 x – reclama (mil. lei) 2 5 4 7 8 y – nivelul vânzărilor; x – cheltuieli publicitare.

VI 7 10

Analizând statistic datele, se poate realiza o primă formă de sinteză a ansamblului de date prin calculul mediei, dispersiei, asimetriei, iar a doua formă de sinteză este reprezentată îndeosebi de regresia statistică. Dintre funcţiile grafice elementare se alege spre exemplificare cea mai simplă, funcţia liniară, de forma: yt=a0+a1⋅xt+ut Pe lângă variabilele considerate se foloseşte şi simbolul u t (variabilă „fără nume”) şi este specifică dependenţelor de natură statistică. Aceasta se datorează existenţei cauzelor accidentale, episodice, cauze dependente de 33

Modelarea şi simularea sistemelor economice

comportamentul uman imprevizibil, posibila influenţă a unor factori necunoscuţi sau dificil de măsurat, existenţa erorilor de măsurare, eşantionare şi observare. Variabila se numeşte PERTURBAŢIE sau variabilă reziduală. Parametrii modelului (a0, a1) se obţin printr-o metodă de calcul numeric. Deoarece aceştia sunt determinaţi pe baza unui eşantion se obţin ESTIMAŢII ale parametrilor de regresie. Calitatea estimării se bazează pe criteriile: - gradul de determinare R2; - abaterea dintre valorile empirice (yt) şi valorile simulate ( yˆ t ) să fie minimă; - costul aplicării metodei să fie minim. Metoda care îndeplineşte aceste condiţii este METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE. Pentru prezentarea metodei se consideră ca element de plecare exemplul anterior. Urmărim să obţinem o bună aproximare (ajustare) a norului de date printr-o linie care să traverseze mijlocul acestuia, conform figurii următoare. Algebric, dreapta este redată prin relaţia: yˆ t = aˆ 0 + aˆ 1 ⋅ x t unde: aˆ 0 , aˆ 1 - estimaţii ale parametrilor a0, a1; yˆ t - valori corespunzătoare nivelelor xt.

Luând o pereche de valori arbitrare x4=7, y4=6 se pot evidenţia: OA= x4 , DA= y4 , CA= yˆ 4 , DA-CA= y4- yˆ 4 =u4 Condiţia pentru obţinerea unei soluţii este ca suma 2 2 ∑ ut = ∑ (y t − yˆ t ) să fie minimă. t

t

Condiţia este satisfăcută dacă derivatele parţiale ale sumei

∑u t

2 t

în

raport cu aˆ 0 şi aˆ 1 sunt egale cu zero (se obţine un minim al funcţiei).

34

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Cazul liniar multifactorial Fenomenele economice care depind de un singur factor sunt puţine, cazul general este acela în care fenomenul economic este rezultatul mai multor factori importanţi x1, x2, ..., xk la care se adaugă factorii nesemnificativi u. Analizând sectoare importante din economie, se constată multitudinea de influenţe dintre care se reţin cele cu influenţă determinantă cum sunt: - producţia industrială este influenţată de cantitatea şi calitatea fondurilor fixe (în special utilaje) şi a salariaţilor; - volumul investiţiilor depinde de cuantumul economiilor şi rata dobânzii; - cererea de mărfuri este în funcţie de ofertă, venituri, publicitate, preţuri, ; etc. Se consideră spre exemplificare productivitatea muncii care depinde de utilaje de mare performanţă şi de veniturile suplimentare acordate salariaţilor. Norul de puncte din reprezentarea grafică sugerează o linie dreaptă a cărei ecuaţie are forma:

yi = a0 + a1 ⋅ x1i + a2 ⋅ x2i + ui Dacă se simbolizează cu yˆ valoarea ajustată rezultată în urma aplicării modelului liniar multifactorial, rezultă următoarea ecuaţie:

yˆ i = aˆ0 + aˆ1 ⋅ x1i + aˆ 2 ⋅ x2i Utilizând metoda celor mai mici pătrate în vederea estimării, se doreşte minimizarea termenului

∑u t

2 i

= ∑ (y i − yˆ i ) = ∑ [ y i − (aˆ 0 + aˆ1 ⋅ x1 i + aˆ 2 ⋅ x 2i )] 2

2

t

Anularea derivatelor parţiale în raport cu aˆ o , aˆ1 , aˆ 2 conduce la următorul sistem de ecuaţii normale: ⎧ ⎪n ⋅ aˆ 0 + a1 ⋅ ∑ x1i + aˆ 2 ⋅ ∑ x 2i = ∑ y i i i i ⎪⎪ 2 ⎨aˆ 0 ⋅ ∑ x1i + aˆ1 ⋅ ∑ x1i + aˆ 2 ⋅ ∑ x1i ⋅ x 2i = ∑ x1i ⋅ y i i i i i ⎪ ⎪aˆ ⋅ ∑ x + aˆ ⋅ ∑ x ⋅ x + aˆ ⋅ ∑ x 2 2i = ∑ x ⋅ y 1 1i 2i 2 2i i ⎪⎩ 0 i 2i i i i

Sistemul este format din trei ecuaţii cu trei necunoscute, putându-se rezolva printr-una din metodele cunoscute (de ex. metoda determinanţilor, metoda Gauss-Jordan, etc). Dacă numărul de cazuri este superior celui anterior prezentat, rezolvarea sistemului de ecuaţii este laborioasă, în special când numărul de factori creşte. În aceste cazuri se recomandă utilizarea unor programe de calcul, bazate pe calcul matriceal.

35

Modelarea şi simularea sistemelor economice

METODE DE PROGNOZARE A VÂNZĂRII PRODUSELOR

Preocuparea constantă a factorilor de conducere ai oricărei firme cu activitate de producţie pentru studiul vânzărilor potenţiale ale produselor fabricate derivă din unul dintre obiectivele fundamentale ale activităţii economice, maximizarea profiturilor. Unul dintre cei mai importanţi factori ai mărimii profitului este volumul vânzărilor (alături de preţul de vânzare unitar, structura costurilor de producţie, etc.). În funcţie de posibilitatea firmei producătoare de a acţiona asupra acestor factori şi de a le influenţa, se pot identifica: - factori interni, asupra cărora o întreprindere poate acţiona prin intermediul deciziilor sale : preţul propriilor produse, acţiuni de promovare, publicitate, etc. - factori externi, care nu pot fi controlaţi prin acţiunea conştientă a producătorilor: mărimea veniturilor şi puterea de cumpărare a consumatorilor, comportamentul cumpărătorilor, evoluţia mediului concurenţial, cadrul macroeconomic general, etc. Încercarea de a lua în considerare aceşti factori (controlabili sau nu) duce la utilizarea unor metode diferite de previziune: - metode cauzale – pentru care este posibilă identificarea unor relaţii funcţionale de tipul Y=f(x1, x2, ..., xn), unde Y este variabila dependentă (în acest caz vânzările), exprimate în funcţie de nivelul factorilor explicativi/independenţi (x1, x2, ..., xn); - metode bazate pe serii de timp, în cazul în care evoluţia curentă a unui indicator (de exemplu nivelul vânzărilor) depinde de nivelul anterior al acestuia (în ipoteza păstrării unui comportament inerţial al fenomenului). În cea de a doua categorie de metode, o grupă cuprinzătoare este formată din metodele de ajustare/nivelare care presupun faptul că valoarea prognozată a unui indicator poate fi echivalentă cu o medie ponderată a valorilor sale trecute, corectate cu factor aleatoriu.

Metoda ajustării exponenţiale „exponenţial smoothing” a lui R.K.Brown

Ajustarea exponenţială reprezintă o sumă ponderată a datelor din trecut a unei serii dinamice, cu ponderea cea mai mare plasată asupra celei mai recente informaţii. Datele sunt nivelate cu o constantă de nivelare ( 0 ≤ α ≤ 1 ).

36

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Ideea de bază a acestei metode constă în corectarea previziunii proporţional cu abaterea constatată între previziunile anterioare şi realizarea lor, fiecare abatere fiind ponderată geometric, descrescând pe măsură ce se îndepărtează de prezent (diminuarea progresivă a influenţei informaţiilor mai îndepărtate). În aceste condiţii, fiecărei valori din seria cronologică a fenomenului i se ataşează câte un coeficient de ponderare, diferenţiat în aşa fel încât să confere evenimentelor, începând cu cele recente, o importanţă care scade exponenţial odată cu vechimea astfel încât, la un moment dat (mergând spre trecut), evenimentele să nu aibă nici o influenţă asupra previziunii. Metoda nivelării exponenţiale comportă parcurgerea următoarelor etape: 1. Se stabileşte apartenenţa fenomenului la unul din cele patru tipuri de evoluţii prezentate în figurile următoare:

Fenomen orizontal caracterizat de medie

Fenomen cu tendinţă caracterizat de medie şi panta

Fenomen sezonier caracterizat de medie şi indici de sezonalitate

Fenomen sezonier cu tendinţă caracterizat de medie, indici de sezonalitate şi panta

dreptei

dreptei Pentru a completa mărimile caracteristice la fiecare tip de evoluţie se adaugă mărimea variaţiilor accidentale. 2. Se disociază fenomenul în componentele sale caracteristice calculându-se mărimea lor. 3. Se recompune fenomenul din mărimile caracteristice pentru o perioadă viitoare, adică se realizează previziunea propriu-zisă. 37

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Se numeşte nivelare exponenţială de formă primară când se lucrează cu un singur factor de nivelare ( 0 ≤ α ≤ 1 ) şi nivelare exponenţială secundară când se au în vedere sezonalitatea şi trendul unui fenomen. În acest caz modelul este mult mai complex prin faptul că implică luarea în considerare a încă doi factori de nivelare 0 ≤ β ≤ 1 şi 0 ≤ γ ≤ 1 . 1. Previziunea vânzărilor medii pentru un produs care nu are un profil sezonier definit şi un trend pe termen lung În cazul previziunii vânzărilor medii pentru un produs, care nu are un profil sezonier definit şi un trend pe termen lung Brown a definit modelul pornind de la construcţia unor coeficienţi polinomiali în funcţie de orizontul prognozei. Un sistem de prognoză (S) poate fi generalizat printr-un polinom de grad n: S t + q = Pt 0 + Pt1 ⋅ Q + Pt 2 ⋅ Q 2 + ... + Pt n ⋅ Q n

prognozând în momentul t pentru momentul (t+q). Astfel se permite cuantificarea coeficienţilor Pn ai polinomului, cu ajutorul următorului sistem de ecuaţii: Pt 0 = P0 Rt1 , Rt2 ,..., Rtn

( ) = P (R , R ,..., R )

1 2 n Pt1 0 t t t ................................. Pt n = P0 Rt1 , Rt2 ,..., Rtn Se stabilesc analitic pi, iar valorile Rtj, numite valorii nivelate de ordin j sunt determinate prin următorul calcul iterativ: Rt1=α·St+(1- α)·Rt-11 Rt2=α·Rt1+(1- α)·Rt-12

(

)

......................................................

Rtn=α·Rtn-1+(1- α)·Rt-1n 0 ≤α ≤1

Rezultă pentru a calcula previziunea pentru o anumită perioadă avem nevoie de trei date, şi anume: - vânzările realizate în ultima perioadă a seriei de date; - previziunile care s-au făcut pentru vânzările din ultima perioadă a seriei de date; - valoarea lui α, factorul ponderator de nivelare 0 ≤ α ≤ 1 . Expresia previziunii vânzărilor făcute la sfârşitul perioadei pentru perioada următoare (t+1) poate fi scrisă sub forma: Rt=Rt-1+ α·(St-Rt-1) Formula ne arată că se poate previziona, plecând de la previziunea pentru ultimele desfaceri ale seriei vânzărilor lunare efective, corectând-o cu o fracţiune de eroare (diferenţa dintre vânzările realizate în ultima perioadă şi previziunile de vânzări făcute pentru această perioadă). 38

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Factorul Rt cuprinde şi sintetizează toate previziunile din trecut, lucru deosebit de important în efectuarea calculelor numerice. Plecând de la valorile pe care le poate lua α , 0 ≤ α ≤ 1 , apar următoarele situaţii: - dacă α = 1, previziunea va fi egală cu vânzările efective din perioada curentă; - dacă α ~ 1, influenţa vânzărilor din ultimele perioade asupra previziunii pentru perioada următoare va fi mare; - dacă α primeşte o valoare mică, influenţa rezultatelor vânzărilor recente asupra previziunilor va fi mică (previziunile de la o perioadă la alta vor tinde să fie constante). Exemplu Pentru exemplificarea metodei de previziune a lui Brown, vom porni de la datele următoare, care reprezintă vânzările efective de produse din cadrul unei societăţi comerciale pe durata a patru trimestre ale unui an calendaristic, scopul urmărit fiind de a previziona nivelul vânzărilor pentru primul trimestru al anului următor. Perioada Vânzări efective (mii u.m.) perioada I St-3 35,4 perioada II St-2 31,5 perioada III St-1 47,2 perioada IV St 57,5 Se cunoaşte că, pentru primul trimestru al anului în curs, nivelul previzionat al vânzărilor efective Rt-4 este de 33 mii u.m., iar parametrul de nivelare este α=0,15 . Calculele se fac pe baza relaţiei stabilite anterior: Rt= α·St+ (1-α)·Rt-1 ( St nivelul vânzărilor la momentul t; Rt progonoza corespunzătoare momentului t) Deci, previziunea pentru perioada t este o medie ponderată a vânzărilor efective din acea perioadă şi a previziunilor făcute pentru aceste vânzări. Valoarea previzionată a vânzărilor este urmatoarea: - pentru trimestrul II: Rt-3= α·St-3 +(1-α)·Rt-4= 0,15·35,4 +(1-0,15)·33=33,36 mii u.m. - pentru trimestrul III: Rt-2= α·St-2 +(1-α)·Rt-3= 0,15·31,5 +(1-0,15)·33,36=33,081 mii u.m. - pentru trimestrul IV: Rt-1= α·St-1 +(1-α)·Rt-2= 0,15·47,2 +(1-0,15)·33,081=35,199 mii u.m. - pentru trimestrul I al anului următor: Rt= α·St +(1-α)·Rt-1= 0,15·57,5+(1-0,15)·35,199=38,544 mii u.m. Când α este mic (apropiat de 0), valorile previzionate oscilează puţin în jurul în jurul mediei vânzărilor efective . 39

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Acest lucru se explică prin faptul că dacă α este mic (apropiat de 0), factorul α·St (ponderea vânzărilor efective în mărimea previziunilor Rt este redusă, influenţa mai mare exercitând-o factorul + (1-α)·Rt-1, adică ponderea previziunii din etapa anterioară celei care se face calculul. Pentru α este mare (apropiat de 1) situaţia se prezintă invers, ponderea mare având vânzările efective ale perioadei de calcul, deci previziunile urmăresc oscilaţiile vânzărilor efective. 2. Previziunea vânzărilor medii pentru un caracterizat de sezonalitate şi trend Dacă în modelul considerat nu există un profil sezonier şi nu are un trend de lungă durată pentru seria dinamică pe baza căreia se face ajustarea, procesul statistic este considerat staţionar. Dacă se au în vedere şi celelalte componente ale unei serii dinamice, sezonalitatea şi trendul, trebuie făcute şi ajustări şi pentru acestea. Nivelarea componentei sezoniere se face pe baza unui model asemănător cu cel al lui Brown, dar cu un număr mai mare de date. Pentru exprimarea influenţelor sezoniere, vânzările estimate prin procedeul Brown sunt multiplicate cu un factor sezonier, calculat ca un raport între vânzările efective şi cele ajustate (nivelate, desezonalizate) ale unei perioade trecute, adică: Mt=Rt·Ft-s+1 unde Mt este previziunea desezonalizată făcută în perioada t pentru perioada t+1 Rt este previziunea făcută fără considerarea sezonalităţii Ft-s+1 este factorul sezonier (s- durat sezonului) obţinut cu relaţia: Ft=β·(St/Rt)+(1- β)·Ft-s 0 ≤ β ≤ 1 este un factor de sezonalitate, St sunt vânzările efective în perioada t. Deci, pentru a se obţine o previziune fără influenţa sezonalităţii, vânzările trebuie desezonalizate conform realaţiei lui Brown adaptată acestui scop pentru perioada t: Mt= α·St/Ft-s+(1- α)·Mt-1 - α parametrul de nivelare Model de livrare a unor produse conform unui spectru constant aplicat unor comenzi succesive (metoda vectorilor spectrali)

Pentru determinarea unor previziuni pe o perioadă imediat următoare (câteva luni) se utilizează metoda vectorilor spectrali. Metoda se bazează pe descompunerea spectrului succesiunii în timp a unei comenzi conform graficului de livrare, pe baza unor date din trecut, privind evoluţia sau structura acestuia. Un vector spectral este un vector tip coloană de forma: 40

Modelarea şi simularea sistemelor economice

⎛ V1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜V ⎟ V =⎜ 2⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜V ⎟ ⎝ n⎠

unde Vj , j=1...n sunt componentele vectorului în perioade succesive care îndeplinesc condiţia

n

∑V j =1

j

= 1.

Cunoscând că livrările de mărfuri se fac eşalonat în timp, conform protocolului încheiat între parteneri, comanda corespunzătoare unei perioade T este livrată fracţionat în subperioadele t, t+1, t+2, ... , t+τ. Pe baza comenzilor emise în diferite luni succesive, se întocmeşte matricea comenzilor notată Ct-τ1; t-τ2 . Componentele matricei reprezintă comenzile emise în trecut (t-τ1) (comanda cea mai veche) şi cele prevăzute pentru viitor (t-τ2) (ultima comandă avută în vedere). Vânzările de mărfuri pentru perioada (t+τ2) se poate determina cu relaţia: It,t-τ2=Ct-τ1,t-τ2 ·Vj Studiu de caz O societate comercială de produse cosmetice urmează să livreze şampon pentru a acoperi o comanda de 500.000 u.m. Graficul de livrare prevede o eşalonare a comenzii pe opt luni calendaristice. Din cantitatea totală, în prima lună va livra 10%, în a doua 5 %, în a treia 15%, în a patra 10%, în a cincea 25%, în a şasea 20%, în a saptea 5% iar în luna a opta 10%. În precedentele trei luni s-au emis comenzi în valoare de 400.000 u.m. în luna (t-1), 100.000 u.m. în luna (t-2) şi 200.000 u.m. în luna (t-3), iar în următoarele două luni se vor emite comenzi în valoare de 300.000 u.m. în luna (t+1) şi 600.000 u.m. în luna (t+2). Toate comenzile sunt satisfăcute după acelaşi grafic de livrare. Se doreşte cunoaşterea valorii vânzărilor începând cu prima lună (decembrie) până la epuizarea comenzii. Matricea extinsă a comenzilor se înmulţeşte cu vectorul spectral şi se obţine un vector coloană cu elemente ce reprezintă valoarea comenzilor în luni succesive începând cu luna de referinţă (decembrie):

41

Modelarea şi simularea sistemelor economice

⎛ ⎜ ⎜ XII ⎜ I ⎜ ⎜ II ⎜ III ⎜ ⎜ IV ⎜ ⎜ V ⎜ VI ⎜ ⎜ VII ⎜VIII ⎜⎜ ⎝ IX

XII XI X IX VIII 500 400 100 200 0 300 500 400 100 200

VII

VI

0 0

0 0

600 300 500 400 100 200 0 600 300 500 400 100 0 0 600 300 500 400 0 0 0 600 300 500 0 0 0 0 600 300 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 200 100 400 500

600 300 0 600 0 0

V ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ 0,10 ⎟ ⎜ 105 ⎟ 0 ⎟ ⎜ 0,05 ⎟ ⎜ 175 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ 0,15 ⎟ ⎜ 255 ⎟ 0 ⎟⎟ ⎜⎜ 0,10 ⎟⎟ ⎜⎜ 255 ⎟⎟ 200 ⎟ · ⎜ 0,25 ⎟ = ⎜ 350 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 100 ⎟ ⎜ 0,20 ⎟ ⎜ 265 ⎟ 400 ⎟ ⎜ 0,05 ⎟ ⎜ 275 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 500 ⎟ ⎜ 0,10 ⎟ ⎜ 185 ⎟ ⎟ ⎜ 60 ⎟ 300 ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 600 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 60 ⎠

XII I II III IV V VI VII VIII IX

1.985 mii. u.m. Suma tuturor comenzilor eşalonate din decembrie până în septembrie anul următor conform vectorului spectral este 1985 mii u.m. În această valoare se regăsesc 100% comenzile emise în lunile XII,I,II (500+300+600 mii u.m.); 90% din comanda emisă în luna XI (0,9·400=360 mii u.m.); 85% din comanda emisă în luna X (0,85·100=85 mii u.m.); 70% din comanda emisă în luna IX (0,70·200=140 mii u.m.). În septembrie se lichidează toate comenzile emise începând cu luna septembrie anul precedent. Extrapolarea fenomenologică Activităţile comerciale nu se desfăşoară preponderent pe bază de comenzi ferme. Cumpărătorii nu comandă dinainte o marfă pe care să o cumpere în mod sigur. De aceea, cunoaşterea nivelului cererii de mărfuri se face pe baza unor prognoze. O tehnică de prognoză foarte des utilizată este extrapolarea fenomenologică. Aceasta presupune cunoaşterea tipului de evoluţie a fenomenului studiat, exprimat sub forma unor funcţii matematice numită „funcţie de extrapolare”. Proprietăţile funcţiilor matematice cu ajutorul cărora se extrapolează evoluţia proceselor economice trebuie să corespundă particularităţilor acestora. Problema centrală a acestui tip de prognoză este aceea a stabilirii tipului funcţiei de extrapolare , adică a alegerii din mulţimea funcţiilor matematice cunoscute a uneia care să aibă un „grad mare de fidelitate” faţă de procesul studiat. Aceste funcţii descriu legătura care s-a format în perioada trecută între două sau mai multe mărimi economice considerate ca variabile matematice şi permit aprecierea nivelurilor probabile în perspectivă, pornind de la ideea menţinerii în continuare a acestor legături.

42

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Curbă liniară de plafonare

Curba funcţiei gaussiene

Curbă exponenţială

Curba funcţiei

sigmoide Extrapolarea seriilor dinamice ca metodă de prognoză prezintă unele dezavantaje şi, în primul rând pe acela că nu poate să ţină seama de schimbările care pot modifica în viitor legătura dintre mărimile economice , precum şi de apariţia unor factori noi de influenţă. Cu toate acestea, metoda extrapolării fenomenologice are o largă utilizare pentru că permite o primă apreciere a evoluţiei viitoare a unui proces economic, care va trebui asociată cu rezultatele obţinute prin utilizarea altor metode. Complexitatea relaţiilor economice face necesară utilizarea funcţiilor de corelaţie cu mai multe variabile independente şi mai puţin a corelaţiilor simple. Obţinerea de rezultate satisfăcătoare depinde în mod esenţial de alegerea acelor funcţii matematice care descriu cel mai bine evoluţia procesului economic analizat. Astfel, determinarea tipului de funcţie reprezintă una din etapele cele mai importante în extrapolare pentru care se poate apela la tehnica de calcul. Simularea prin joc a proceselor economice. Generalităţi

Jocurile de întreprindere sunt modele de simulare ce cuprind mai mulţi participanţi angajaţi într-un proces informaţional-decizional ce simulează o situaţie de competiţie reală. Un număr de echipe de jucători sunt organizate, 43

Modelarea şi simularea sistemelor economice

fiecare echipă încercând să-şi maximizeze propriul profit printr-o secvenţă de decizii în domenii cum ar fi: producţia, stocurile, investiţii, marketing, întreţinere, cercetare sau finanţare. Jocurile de întreprindere s-au dezvoltat din jocurile de război care urmăreau stabilirea unei strategii de luptă şi antrenare a ofiţerilor prin simularea unor activităţi militare. În 1950, Asociaţia Americană de Management a publicat lucrarea ”Top Management Simulation” care a fost primul joc de întreprindere folosit la formarea oamenilor de afaceri, an după care utilizarea jcurilor de intreprindere s-a extins în toată lumea. Noţiunea de joc de întreprindere se regăseşte şi sub denumirea de joc de conducere (management game) sau joc de afaceri (business game), acestea particularizând prin denumire sfera de aplicabilitate. Jocul de afaceri este definit, ca un exerciţiu de luarea a deciziilor secvenţiale structurat în jurul unei operaţii de afaceri în care participanţii îşi asumă riscul de conducere a acţiunii simulate. În general, jocurile sunt destinate simulării viitorului unei organizaţii şi a conjuncturii în care se va găsi aceasta. Modelul unui joc de întreprindere are următoarele elemente constitutive: - organizaţia - unitatea economică sau procesul economic pe exemplul căruia se efectuează simulările; - conjuctura - este mediul în care organizaţia evoluează, caracterizat de structura pieţei, resursele disponibile, concurenţi potenţiali, tradiţii, etc.; - deciziile - mulţimea strategiilor posibile ce se pot adopta corespunzător fiecărui obiectiv simulat; acestea se pot referi la politica preţurilor, politica de personal, politici de desfacere, de aprovizionare, structura de plan etc.; - rezultatele - se constituie din mulţimea informaţiilor oferite participanţilor la joc; acestea sunt determinate de conjuctura aleasă şi de deciziile luate şi se referă la indicatorii de performanţă rezultaţi în urma strategiilor adoptate de jucători. * Astfel, după scopul jocului avem jocuri didactice şi jocuri analitice. Jocurile didactice reprezintă cea mai eficientă şi rapidă metodă de acumulare a experienţei în domeniul conducerii chiar prin substituirea acesteia. Cu ajutorul lor se urmăreşte ca participanţii la joc să înveţe cum să vehiculeze cu noţiunile teoretice, să-şi însuşească unele deprinderi şi abilităţi în activitatea de conducere Jocurile analitice urmăresc să furnizeze informaţii în vederea luării deciziilor. Cu ajutorul acestor jocuri pot fi analizate, de exemplu, strategiile pe care trebuie să le adopte managerul unei întreprinderi pe piaţă în condiţiile unei anumite conjuncturi sau tendinţe de dezvoltare ale unor tehnologii. Analiza celor două tipuri de jocuri face dificilă o delimitare strictă între ele deoarece jocurile analitice au un pronunţat conţinut didactic, iar cele didactice conţin elementele celor analitice. * După elementul competitiv avem: jocuri concurenţiale, jocuri cooperative şi jocuri contra naturii. 44

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Jocurile concurenţiale, cuprind acele jocuri în care fiecare grupă de participanţi urmăreşte, prin deciziile pe care le ia, să-şi depăşească concurenţii (adversarii). Aceste jocuri se subdivid în jocuri interdependente şi jocuri independente. Jocurile interdependente se caracterizează prin faptul că succesul fiecărei grupe de participanţi este condiţional atât de propriile decizii cât şi deciziile concurenţilor. Jocurile independente se caracterizează prin faptul că participanţii caută să-şi îmbunătăţească performanţele fără a leza interesele vreunuia, căutând să-şi îmbunătăţească indicatorii economici printro mai bună organizare a muncii, prin creşterea productivităţii muncii, prin inovaţii tehnice etc. Jocurile cooperative se caracterizează prin faptul că cel puţin doi dintre participanţi convin să evite, prin deciziile pe care le vor lua, lezarea reciprocă a intereselor lor sau uneori chiar să aleagă acele decizii care îi vor avantaja pe amândoi. Jocurile contra naturii sunt acele jocuri în care unul sau mai mulţi participanţi (aflaţi în coaliţie) luptă împotriva unui partener fictiv care reprezintă de fapt mediul (natura). Ele se deosebesc de cele concurenţiale prin faptul că natura acţionează fără scop. Uneori acţiunile naturii sunt considerate perturbaţii iar modul de manifestare al lor este aleatoriu. Participanţii la joc trebuie să identifice mulţimea măsurilor preventive necesare pentru a diminua probabilitatea apariţiei sau/şi efectele nedorite ale perturbaţiilor, reducând caracterul lor imprevizibil. * După modul de desfăşurare avem: jocuri manuale, jocuri mixte, jocuri pe calculator. Când arbitrul este depăşit de complexitatea jocului se pot concepe algoritmi sau programe de calcul care să determine efectele economice ale ale deciziilor adoptate de parteneri. *După aria de cuprindere avem: jocuri complexe, funcţionale, operative şi pentru alte zone de specialitate. *După gradul de cunoaştere a situaţiei celorlalte părţi participante avem: jocuri cu informaţie incompletă (închise), jocuri cu informaţie completă (deschise). *După metoda de arbitraj avem: jocuri cu metoda de arbitraj liberă, rigidă, semirigidă. Limitele jocurilor de întreprindere

Conceperea, modelarea şi punerea la punct a unui joc necesită mult timp (măsurat în ani) şi, de asemenea, un volum mare de muncă din partea unei echipe complexe formate din economişti, matematicieni, programatori, ingineri. Se poate asimila implementarea unui joc de întreprindere cu o investiţie care implică sume mari de bani şi timp la demarare. Jocul de anvergură care să cuprindă cât mai multe situaţii reale se poate realiza numai cu ajutorul calculatorului electronic. Cu tot consumul mare de resurse materiale, umane, financiare metoda jocurilor de întreprindere constituie un incontestabil mod de pregătire a 45

Modelarea şi simularea sistemelor economice

managerilor, dar poate fi folosită şi ca metodă de testare a salariaţilor şi de verificare a competenţelor lor. Modelarea situaţiilor concurenţiale utilizând elemente de teoria jocurilor.

În orice proces de decizie, sunt importante şi condiţiile care influenţează asupra consecinţelor diferitelor alternative. Aceste condiţii pot depinde de voinţa şi acţiunile unor oameni sau pot reprezenta complexul de împrejurări naturale în care se vor desfăşura evenimentele. Modelarea acestui aspect al procesului de decizie se face cu ajutorul conceptului de joc strategic (concept introdus în literatura de specialitate de von Neumann şi Morgenstern în 1947 la Princetown University). Jocul este un proces competitiv care se desfăşoară între mai mulţi participanţi numiţi jucători, dintre care cel puţin unul este inteligent şi prudent, adică poate analiza situaţia şi hotărî asupra acţiunilor viitoare. În modelarea proceselor economice prezintă importanţă jocurile cu doi participanţi. Partida reprezintă desfăşurarea acţiunilor jucătorilor, după anumite reguli. Orice partidă are o stare iniţială şi una finală, determină pe baza regulilor un câştig sau o pierdere pentru jucător. Strategia este o colecţie de succesiuni de acţiuni ale unui jucător, fiecare dintre succesiuni fiind pregătită ca o reacţie faţă de strategia adversarului (care poate fi uneori „natura”) pentru atingerea scopului propus, adică a acelei stări finale căreia regulile jocului îi asociază maximum de câştig posibil. Un joc cu doi jucători este reprezentat matriceal în tabelul următor: N2 ... Nj ... Nn J/N N1 J1 c11 c12 ... c1n J2 c21 c22 ... c2n ... Ji ... ... ... cij ... Jm cm1 cm2 ... cmn unde: J – unul dintre jucători; N – adversarul ; Ji – este mulţimea strategiilor lui J; Ni – este mulţimea strategiilor lui N; ci,j – reprezintă consecinţa corespunzătoare adoptării strategiei Ji de către J şi a strategiei Ni de către N; În procesul de decizie, când se pune problema alegerii uneia sau alteia dintre strategii, pentru simplificare se consideră că toate consecinţele sunt valori băneşti. Se prezintă aşa-numitele jocuri cu punct şa şi fără punct şa. Jocurile cu punct şa se caracterizează prin aceea că un raţionament corect impune fiecăruia dintre cei doi jucători alegerea câte unei anumite strategii optime. Ansamblul celor două strategii optime constituie o soluţie a jocului. 46

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Pentru exemplificare fie jocul reprezentat prin matricea din tabelul următor, punându-se problema strategiilor alese de jucători. Strategiile jucătorului N Strategiile jucătorului J N1 N2 N3 J1 2 -2 -2,5 J2 1,5 -1,5 0 Datele se interpretează în modul următor: - dacă jucătorul J alege strategia J1, iar jucătorul N alege strategia N1, atunci jucătorul J câştigă 2 puncte, iar N pierde 2 puncte. - dacă jucătorul J alege strategia J1, iar jucătorul N alege strategia N2, atunci jucătorul J pierde 2 puncte, iar N câştigă 2 puncte, etc. Alegerea strategiei J1 poate conduce la cel mai mare câştig pentru J în cazul când N alege strategia N1 , dar şi la cea mai mare pierdere când N alege strategia N3. Strategia J2 este mai prudentă, aduce un câştig maxim de 1,5 iar în cazul cel mai nefavorabil o pierdere tot de 1,5. Se observă că atât pentru strategia N2 cât şi pentru N3 ambele consecinţe sunt mai avantajoase decât consecinţele corespunzătoare strategiei J1. Se spune în acest caz că strategiile N2 şi N3 domină strategia N1 care poate fi eliminată ca fiind întotdeauna dezavantajoasă pentru jucătorul N. Strategiile jucătorului N Strategiile jucătorului J N3 N2 J1 -2 -2,5 J2 -1,5 0 În matricea redusă se observă că strategia J2 domină pe J1 şi în consecinţă elimină pe J1, obţinându-se datele din tabelul următor: Strategiile jucătorului N Strategiile jucătorului J N2 N3 J2 -1,5 0 Jucătorul N va alege strategia N2. În consecinţă strategiile alese sunt: jucătorul J a ales strategia J2 iar jucătorul N a ales strategia N2, deci jucătorul J va pierde 1,5 puncte iar jucătorul N va câştiga 1,5 puncte. Aceste valori constituie valorile minime la care se pot aştepta cei 2 jucători alegând cele două strategii, valori care rezultă când adversarul „joacă” corect. Perechea celor două strategii optime constituie o soluţie a jocului şi determină un aşa-numit punct şa. Câştigul/pierderea de 1,5 reprezintă valoarea jocului. Cazul general al unei astfel de probleme se bazează pe principiul maximin: fie un joc de ordinul m*n cu următoarea matrice asociată:

47

Modelarea şi simularea sistemelor economice

⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ ... ... ... ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m1 ... a mn ⎠

Conform principiului maximin, primul jucător va alege acea strategie căreia îi corespunde un câştig de minimum: v1 = max⎛⎜ min a ij ⎞⎟ i ⎝ j ⎠

1≤ i ≤ m , 1≤ j ≤ n

Pentru determinarea valorii v1 şi a strategiei corespunzătoare el va proceda astfel: va determina toate valorile minime pe linii şi dintre acestea va lua valoarea maximă. Cel de-al doilea jucător va proceda asemănător: v 2 = min max a ij 1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n j i

(

)

Valoarea v2 şi strategia corespunzătoare se vor găsi alegând toate maximele pe coloane şi luând pe cel mai mic dintre ele. Defapt v=v1=v2 . Jocurile fără punct şa se caracterizează prin faptul că un raţionament oricât de riguros al jucătorilor nu-i va conduce în mod necesar la alegerea unei anumite perechi de strategii ca în cazul precedent. Soluţia specifică a unei astfel de probleme constă în determinarea strategiilor mixte optime ale celor doi parteneri prin metode algebrice iterative şi a programelor specializate (modulul Game Theory). Cu ajutorul unor jocuri cu doi adversari care raţionează, se modelează situaţiile conflictuale între două sau mai multe părţi care se reduc tot la jocuri cu doi participanţi, prin formarea aşa-numitelor „coaliţii”, fiecare din părţi urmărind alegerea unei strategii care să-i asigure un rezultat cât mai avantajos în detrimentul adversarului sau adversarilor. Modele asemănătoare se utilizează în probleme de decizie în care există un singur participant (decident), care îşi propune să aleagă o strategie optimă ţinând seama de împrejurări care nu depind de alţi oameni. Aceste împrejurări se numesc stări ale naturii. „Natura” nu acţionează ca un adversar inteligent care ar căuta să obţină un câştig mai mare din partea adversarului şi, în consecinţă, nu se pot stabili reguli de comportare a ei. În schimb. se pot culege informaţii statistice şi se pot face previziuni probabilistice. Decidentul, în funcţie de informaţiile statistice pe care le deţine, poate să-şi determine propria strategie. Deciziile, în cazul jocurilor contra naturii, se împart în: - decizii în condiţii de certitudine (există informaţii certe despre condiţiile viitoare); - decizii în condiţii de incertitudine (nu există informaţii privind probabilităţile de realizare a stărilor naturii); - decizii în condiţii de risc (se cunosc probabilităţile de realizare a stărilor naturii). 48

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Decizii în condiţii de incertitudine Se pot utiliza mai multe criterii de decizie: a. Criteriul prudent sau pesimist (al lui Wald) constă în aplicarea criteriului maximin numai în ceea ce priveşte strategiile decidentului (se vor determina minimele pe linii dintre care se va alege cea maximă); b. Criteriul optimist (al lui Hurwicz) recomandă să se aprecieze pentru fiecare strategie în parte o probabilitate p1 de realizare a strategiei cea mai avantajoase (coeficient optimist) şi o probabilitate p2 de realizare a situaţiei celei mai dezavantajoase (coeficient pesimist) astfel încât p1+p2=p. c. Criteriul regretului (al lui Savage) constă în alegerea strategiei în funcţie de diferenţa dintre valoarea rezultatului optim ce s-ar fi putut obţine într-o anumită stare a naturii şi valoarea celorlalte rezultate, diferenţa numindu-se regret. d. Criteriul Laplace, care consideră stările naturii echiprobabile (au şanse egale a se produce). Decizii în condiţii de risc

În procesul managerial, decidenţii (cu niveluri diferite de autoritate) sunt deseori puşi în situaţii dificile prin necesitatea opţiunii dintr-o mulţime de strategii, a uneia singure. Modelarea structurii generale a unui proces decizional ne conduce la precizarea elementelor acestuia, şi anume: - formularea problemei; - stabilirea mulţimii variantelor /alternativelor posibile ce caracterizează o situaţie decizională; - mulţimea consecinţelor anticipate pentru fiecare variantă decizională; - mulţimea criteriilor de decizie la dispoziţia decidentului; - obiective propuse de decident (minimizarea/maximizarea unor indicatori tehnico-economici); - stările naturii – factori conjucturali independenţi de decidenţi. Din mulţimea variantelor posibile, decidentul urmează să reţină numai una, şi anume cea mai convenabilă. Ca urmare a necesităţii de a compara între ele diferite variante decizionale caracterizate prin mai multe consecinţe se face apel la conceptul de utilitate. Funcţia de utilitate asociază fiecărei variante decizionale un element al mulţimii numerelor reale. Se notează consecinţele anticipate pentru diversele variante decizionale cu c (exprimate în u.m.)iar funcţia de utilitate cu U(c), adică U(0)=0 şi U(1)=1. Funcţia este monoton crescătoare. Evoluţia funcţiei se diferenţiază în funcţie de decident, identificânduse următoarele situaţii: 49

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Cazul I

Cazul II

Cazul III

Cazul IV

Cazul I, decidentul este neutru din punct de vedere al riscului, deoarece îşi poate judeca acţiunile sale numai pe baza valorii aşteptate a se obţine (şansa de realizare este de 50%, posibilitate de a câştiga/a pierde este 0,5); Cazul II, decidentul este „prietenos” faţă de risc, utilitatea acţiunilor cu valori mari este foarte ridicată (specifică jocurilor de noroc). Este cazul decidenţilor care riscă să intre într-un gol de piaţă, să participe la speculaţii bursiere, sau când iau o decizie în legătură cu statutul lor de angajat (lucrează pe bază de comision la o firmă, lucrează inependent,etc.) Cazul III, decidentul manifestă prudenţă faţă de acţiunile riscante. Aversiunea faţă de risc se întâlneşte cînd se duce o politică de investiţii de tip conservator (ex. desfacere asigurată pe bază de comenzi, când se contractează produse şi devize la anumite termene, etc.); Cazul IV, este cel mai des întâlnit în practică, deoarece majoritatea decidenţilor manifestă în unele situaţii un comportament riscant, iar pentru alte situaţii unul prudent. SELECTAREA UNEI VARIANTE DECIZIONALE ÎN CONDIŢII DE RISC

În desfăşurarea acţiunilor economice complexe, care sunt succesiuni de procese decizionale şi de procese economice nedecizionale, de multe ori este necesar să se decidă nu numai în funcţie de consecinţele imediate ale variantelor , ci şi de consecinţele mai îndepărtate ale unui şir de procese decizionale viitoare. Astfel de succesiuni se pot modela cu ajutorul arborelui decizional. În condiţiile în care factorii de mediu afectează procesul economic în mod diferit, atât ca importanţă, cât şi ca impact, este evident că un model de prognoză strategică nu va putea prevedea, la momentul deciziei, toate consecinţele economice sau de altă natură. Există efecte care apar cu întârziere sau perturbaţii ale mediului ce pot aduce schimbări calitative sau ireversibile. Adăugând caracterul incomplet al informaţiilor disponibile decidentului şi dinamica aleatoare a procesului supus influenţei mediului, rezultă că decidentul trebuie să-şi construiască strategia prin enumerarea tuturor variantelor de acţiune, cu examinarea diferitelor condiţii posibile la acel moment. 50

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Se ajunge astfel la structuri arborescente ca reprezentări ale vectorilor stărilor naturii şi ale variantelor decizionale, care permit fundamentarea unei strategii „raţionale” ca succesiune de decizii. Găsirea soluţiei „optime” este echivalentă cu alegerea unui drum în arbore, pornind de la nodul final şi parcurgând ramurile acestuia până în unul din nodurile iniţiale. Se are în vedere respectarea cerinţelor: - valoarea nodurilor în care „natura” face alegerea să depindă numai de evenimentele viitoare şi nu de deciziile precedente; - desfăşurarea proceselor de decizie în trepte, ca succesiune la diferite momente temporale, face ca deciziile intermediare să fie condiţionate de rezultatele estimate ale deciziilor finale, iar decizia finală de efectele cumulate ale tuturor deciziilor intermediare şi finale. Elaborarea succesiunii de decizii şi faptul că odată cu evaluarea diferitelor consecinţe nu există certitudinea că variantele prognozate epuizează toate variantele de decizie impune actualizarea informaţiilor. Pe măsura desfăşurării procesului, stările estimate devin sau nu reale, confirmând sau nu ipotezele iniţiale. Pentru a evita eventuale abateri majore de la evoluţia reală decidentul reexaminează arborele, adaptându-l noilor decizii, reluând raţionamentul la nivelul nodului decizional intermediar. Din studiile efectuate la nivel microeconomic s-au constatat următoarele categorii principale de probleme decizionale ce pot fi rezolvate: a. Lansarea pe piaţă a unui nou produs Strategia de lansare cuprinde procesele decizionale: - testarea pieţei printr-un studiu de marketing şi lansarea unui lot de probă prin magazinele proprii de desfacere; - lansarea noului produs fără o testare prealabilă a lotului de probă; - lansarea pe scară mare/medie/mică a noului produs. Corespunzător fiecărui proces decizional pot exista condiţii favorabile/nefavorabile de evoluţie a pieţei, iar produsul se poate bucura de succes sau eşec pe piaţă (stările naturii). Rezultă mai multe variante de conducere a acţiunii de lansare a noului produs, managerul urmând să se pronunţe numai pentru o variantă. Compararea diferitelor variante se face cu ajutorul unor criterii de eficienţă (maxim/minim). b. Asigurarea unor componente (piese, repere, subansamble) pentru un produs complex Se pot identifica următoarele strategii decizionale: asigurarea componentelor din import, din producţie proprie (proces integrat) sau din producţie prin cooperare. La rândul ei, fiecare strategie decizională se poate realiza cu diferite mijloace de transport: aerian, feroviar sau auto (stările naturii), asigurarea cu componente putându-se face mai lent sau mai rapid. 51

Modelarea şi simularea sistemelor economice

c. Selectarea personalului pentru a efectua activităţile productive în construcţii-montaj, în zone climato-teritoriale dificile Implicaţiile economice sunt deosebite prin prisma realizării unei stabilităţi a lucrătorilor în anumite zone dificile, cu grad de periculozitate ridicat, izolare ridicată cu consecinţe asupra productivităţii muncii şi a calităţii execuţiei. Strategiile decizionale sunt determinate de calificare (înaltă, foarte bună, bună)şi de zona de lucru (dificilă, medie, urbană). Stările naturii se referă la starea fizică a personalului (forte bună, bună, suficient de bună) şi la capacitatea de acomodare (rapidă, medie, lentă). d. Realizarea unui obiectiv de construcţii Strategiile decizionale posibile constă în alegerea unui procedeu din următoarele tipuri: tradiţional, semiindustrial sau complet industrializat cu ajutorul căruia să se construiască obiectiv de3 construcţii de capacitate mică, medie, mare. Stările naturii asociate fiecărei strategii în parte pot fi favorabile, neutre sau nefavorabile. Managerul va adopta strategia care va satisface indicatori exprimaţi prin: durată de execuţie, productivitatea muncii, etc. Exemplu: Sectorul de producţie al unei firme de carne a realizat un nou produs. Se pune problema lansării pe piaţă a noului produs după ce a fost testat. Rezultatele testului au arătat că noul produs nu este inferior produselor similare existente, iar din anumite puncte de vedere este chiar mai bun. În aceste condiţii, sectorul de marketing al firmei consideră că probabilitatea ca noul produs să se bucure de succes este de 0,3. În acest caz valoarea actualizată a profitului anula este 3.000.000 $. În cazul unui eşec pe piaţă, firma va înregistra o pierdere de 250.000 $. Date fiind condiţiile firma poate alege una din variantele: - să renunţe la lansarea noului produs; - să pună imediate produsul în vânzare; - să testeze produsul într-un supermagazin (la un cost de 50.000$). Sunt posibile următoarele rezultate ale testului: - noul produs să fie cumpărat de mai puţin de 10% din consumatori; - produsul să fie cumpărat de mai mult de 10% din consumatori dar mai puţin 50% dintre ei vor cumpăra produsul şi a doua oară; - produsul va fi cumpărat de mai multe e 10% din consumatori şi cel puţin 50% dintre ei îl vor cumpăra produsul şi a doua oară. Probabilităţile stabilite pe baza experienţei în legătură cu rezultatele posibile ale testului sunt: >10% < 10% Probabilitatea revin<50% revin>50% Succes (S) 0,03 0,07 0,2 0,3 Eşec (E) 0,47 0,18 0,05 0,7 Probabilitatea 0,5 0,25 0,25 1,0 52

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Dacă rezultatul testului arată că produsul nu s-a impus atenţei clienţilor, conducerea firmei are alternativele: - să renunţe la fabricarea produsului ; - să lanseze pe piaţă produsul după anumite acţiuni specifice. Diferitele situaţii posibile le reprezentăm într-o diagramă, tip arbore, folosindu-se simbolurile: - ramurile vor prezenta evenimentele: R-renunţare, L-lansare, Ttestare. nodurile vor prezenta alternativele: □-dacă conducerea firmei efectuează alegerea, ○-responsabilitatea alegerii revine stărilor naturii, adică a factorilor independenţi de firmă, conform figurii următoare.

Arbore de decizie (Decision Tree) Analiza variantelor În nodul 1 există trei posibilităţi – renunţare R, lansare L, testare T. Alegerea următoare revine „naturii”. În nodul 2, produsul se bucură de succes cu probabilitatea 0,3 şi aduce un profit de 3.000.000 $, şi înregistrează eşec cu probabilitatea 0,7 ce atrage o pierdere de 25.000$. Dacă se alege lansarea, profitul mediu este : 3.000.000*0,3-250.000*0,7=725.000$ 53

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Însemnă că firma este gata să cedeze noul produs oricui îi va plăti o sumă mai mare de 725.000$. Se spune că Nodul 2 valorează 725.000$. Consecinţele care apar ca urmare a deciziei de a testa vânzarea produsului: - vor trebui plătiţi 50.000$ pentru a ajunge în Nodul 3. În nodul 3 „natura alege una din căile a., b. sau c. În loc să se încerce determinarea în mod direct a valorii din nodul 3, este mai uşor să ne deplasăm în extremitatea dreaptă a arborelui şi să efectuam calculele în ordine inversă, pornind de la nodurile finale 7,8,9 către nodul 3. În nodurile 7-8-9, „natura” alege una din cele două alternative succes/eşec. Pentru a obţine valorile medii ale acestor noduri se pleacă de la probabilităţile cu care „natura” alege cele două alternative. Se calculează probabilităţile condiţionate ale unui succes sau eşec ştiind că s-a produs unul din evenimentele a., b. sau c. Astfel, din 100 de cazuri, în 50 se va produce a., iar în trei dintre acestea lansarea produselor se va bucura de succes. Probabilitatea unui: - succes când s-a produs a. este 3/50 sau 0,06 - eşec când s-a produs a. este 47/50 sau 0,94 - succes când s-a produs b. este 7/25 sau 0,28 - eşec când s-a produs b. este 18/25 sau 0,72 - succes când s-a produs c. este 20/25 sau 0,80 - eşec când s-a produs c. este 5/25 sau 0,20 Se calculează valorile nodurilor: nod 7: 3.000.000*0,06-250.000*0,94=-55.000$ nod 8: 3.000.000*0,28-250.000*0,72=660.000$ nod 9: 3.000.000*0,80-250.000*0,20=2.350.000$ În nodul 4 există cele două alternative (renunţare sau lansare pe piaţă): - în caz de renunţare, pierderea este 0 - în caz de lansare , pierderea este 55.000$ În nodul 5 există două alternative. Din analiză rezultă că este mai avantajos să se fabrice produsul, deoarece astfel se ajunge în nodul 8 de valoare 660.000$. Analiza făcută pentru nodul 6 conduce la aceeaşi concluzie, adică este mai avantajos să se lanseze produsul deoarece, ajungând în nodul 9, venitul mediu al firmei este 2.350.000$. Evaluarea nodului 3se face: 0*0,5+0,25*660.000+0,25*2.350.000=752.500$ Dar pentru a ajunge în nodul 3trebuie plătiţi 50.000$, valoarea netă a nodului 3 devine: 752.500-50.000=702.500$. Se revine la nodul 1unde se constată: - dacă se renunţă la produs venitul este nul; - dacă produsul este lansat imediat pe piaţă, venitul mediu va fi 725.000$; 54

Modelarea şi simularea sistemelor economice

- dacă se utilizează un test prealabil, venitul mediu va fi de 702.500$. În studiul prezentat, cheltuielile cerute pentru testarea pieţei nu sunt justificat, deci produsul va fi lansat pe piaţă fără a se mai efectua testul. Acest tip de problemă se poate rezolva şi în sistem conversaţional, utilizând produsul informatic QM, modulul Decision Theory H/C. MODELAREA PROCESELOR DECIZIONALE MULTICRITERIALE Multicriterialitatea în activitatea de management Procesul decizional presupune evaluarea mai multor variante decizionale în vederea alegerii uneia dintre ele. De cele mai multe ori, evaluarea variantelor decizionale se face pe baza mai multor indicatori economici consideraţi criterii de evaluare. Problemele în care se caută varianta decizională optimă în raport cu mai multe criterii se numesc probleme de optimizare multicriterială. În cazul optimizării multicriteriale se tratează distinct: - optimizarea multiatribut; - optimizarea multiobiectiv. În cazul optimizării multiatribut: - numărul variantelor decizionale este finit; - fiecare variantă este evaluată prin mai multe criterii exprimate prin atribute (valori) cantitative şi / sau calitative. În cazul optimizării multiobiectiv: - numărul variantelor decizionale este infinit; - fiecare variantă este evaluată prin mai multe criterii exprimate prin funcţii matematice. Criteriile de evaluare pot fi exprimate în unităţi de măsură diferite. O altă problemă constă în faptul că, unele criterii luate în considerare urmăresc maximizarea unor indicatori economici (de exemplu: venitul total, producţia totală etc.), iar alte criterii urmăresc minimizarea unor indicatori (de exemplu: costul total, timpul de lucru etc.). Pentru alegerea variantei decizionale optime este necesară ierarhizarea variantelor decizionale disponibile în raport cu toate criteriile dorite. Dar, în general, o variantă optimă în raport cu un criteriu este suboptimală în raport cu celelalte criterii. De aceea, se caută varianta care realizează cel mai bun compromis pentru toate criteriile. În acest scop este necesară transformarea valorilor indicatorilor în mărimi care să permită atât compararea variantelor, cât şi agregarea valorilor criteriilor de evaluare. Programarea liniară multidimensională (multiobiectiv) Forma generală a problemei de programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv: 55

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Optimum F(X) = CX Cu restricţiile: AX ≤ b, X ≥ 0, unde: X = vector coloană cu n componente x1, x2,...,xn care reprezintă variabilele decizionale ale problemei. (De exemplu, X poate fi vectorul structurii de producţie pentru o anumită perioadă); F(X) = vector coloană cu r componente f1(X), f2(X),...,fr(X), care reprezintă funcţiile obiectiv prin care sunt exprimate criteriile de evaluare a , variantelor decizionale. Fiecare funcţie obiectiv este de forma fh(X) = pentru h = 1,...,r. C = matrice cu r linii şi n coloane. Este matricea coeficienţilor celor r funcţii obiectiv, chj, h = 1,...,r, j = 1,...,n. A = matrice cu m linii şi n coloane. Este matricea coeficienţilor tehnologici, aij, i = 1,...,m, j = 1,...,n b = vector coloană cu m componente b1, b2,...,bm care reprezintă termenii liberi din partea dreaptă a restricţiilor. Ei reprezintă disponibilul maxim dintr-o anumită resursă sau nivelul minim care trebuie atins de anumite activităţi. Metoda maximizării unei funcţii sinteză de utilitate Pentru determinarea unei soluţii care realizează cel mai bun compromis pentru toate funcţiile se va construi o funcţie sinteză a tuturor funcţiilor obiectiv numită funcţie sinteză de utilitate. Funcţia sinteză de utilitate se obţine prin transformarea funcţiilor obiectiv f1(X), f2(X),...,fr(X), cu semnificaţii economice concrete, în funcţii de utilitate care pot fi însumate. Prin maximizarea funcţiei sinteză de utilitate în raport cu restricţiile problemei se obţine soluţia de compromis cu utilitate maximă. Programarea scop Programarea scop este o metodă de rezolvare a problemei de programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv. Obiectivul programării scop este găsirea unei soluţii care verifică restricţiile AX ≤b, X≥0 şi care duce la abateri cât mai mici faţă de scopurile propuse prin funcţiile obiectiv. Ideea de bază a metodei constă în transformarea tuturor funcţiilor obiectiv în „restricţii scop” prin: - specificarea pentru fiecare funcţie obiectiv a unui nivel de aspiraţie sau scop; - definirea pentru fiecare scop a unei perechi de variabile de abatere sau deviaţie: - deviaţia în plus faţă de scopul propus - deviaţia în minus faţă de scopul propus . 56

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Nivelurile de aspiraţie sau scopurile pot fi: - stabilite de decident; -obţinute prin optimizarea problemei de programare liniară în raport cu fiecare funcţie obiectiv. Forma generală a unui model pentru "programarea scop" este: minimizează supusă la restricţiile: şi restricţiile „scop”: fi(X) = Vi + di+ - di- => fi(X) - di+ - di- = Vi, i = 1,...,N di+ ≥0, di- ≥0, i = 1,...,N unde: di+ : deviaţia în plus faţă de valoarea prestabilită pentru funcţia obiectiv i; di-: deviaţia în minus faţă de valoarea prestabilită pentru funcţia obiectiv i; πi şi ρi sunt coeficienţi ai deviaţiilor care fac posibilă însumarea lor; fi(X): funcţia obiectiv i; Vi : valoarea prestabilită (nivelul de aspiraţie) pentru funcţia obiectiv i; X : vector coloană cu n componente x1, x2,...,xn care reprezintă variabilele decizionale ale problemei; AX ≤ b: restricţiile care definesc domeniul de admisibilitate al problemei pentru variabilele decizionale x1, x2,...,xn. Elementul cheie în utilizarea practică a metodei de programare scop constituie specificarea funcţiei obiectiv, adică definirea coeficienţilor πi şi ρi pentru deviaţiile di+ şi di- . Funcţia care minimizează deviaţiile faţă de nivelurile de aspiraţie sau scopurile propuse se numeşte „funcţie scop”. Dacă deviaţiile se măsoară cu unităţi de măsură diferite, atunci este necesară definirea unor costuri de penalizare deviaţiilor astfel încât să se poată minimiza suma totală a costurilor de penalizare generate de diferite deviaţii. Funcţiilor scop li se pot asocia diferite priorităţi. În acest caz se poate proceda astfel: -Se ordonează descrescător scopurile şi se stabileşte prioritatea de satisfacere a fiecărui scop: P1 >>> P2 >>> … >>>Pn... unde >>> înseamnă "mult mai mare". - Ordonarea prin priorităţi este absolută, astfel că scopul cu prioritatea P2 nu va fi niciodată atins înainte ca scopul cu prioritatea P1 să fie realizat cu abaterea cea mai mică faţă de nivelul de aspiraţie propus. - În acest caz, prin metoda programării scop se rezolvă succesiv un număr de probleme egal cu numărul priorităţilor. Evident, numărul 57

Modelarea şi simularea sistemelor economice

priorităţilor este mai mic sau cel mult egal cu numărul funcţiilor obiectiv, iar numărul funcţiilor scop este egal cu numărul priorităţilor. Deoarece nu toate scopurile pot fi realizate simultan, în cazul funcţiilor scop cu priorităţi diferite vor apărea conflicte între scopuri. Aceste conflicte pot fi analizate cu ajutorul „preţurilor umbră” asociate restricţiilor scop. Fuzzyficarea modelelor Deciziile se bazează pe informaţii. Cel mai adesea, informaţiile disponibile se prezintă sub forma unui amestec de date precise şi percepţii. Aceste percepţii pot fi exprimate foarte sugestiv cu ajutorul unor operatori lingvistici cum sunt: poate,oarecum, cald, rece, aproape, departe, mare, mic, înalt, scund etc. sau de exemplu, „este foarte posibil ca preţul produsului X să crească semnificativ în viitorul apropiat”. Percepţiile sunt prin natura lor imprecise, reflectând abilitatea limitată a oamenilor de a reţine detalii şi de a memora multe informaţii. Imprecizia este generată de imposibilitatea de a delimita exact graniţele dintre diferite categorii care reprezintă anumite proprietăţi cum sunt mare – mic, aproape – departe etc. Legat de imprecizia percepţiei umane, Lotfi Zadeh (cercetător american) a formulat chiar un principiu al incompatibilităţii arătând că pe măsura creşterii complexităţii, precizia şi semnificaţia afirmaţiilor referitoare la comportamentul procesului economic sunt incompatibile, în sensul că majoritatea afirmaţiilor referitoare la un proces complex sunt imprecise sau vagi. De asemenea, L. Zadeh este fondatorul teoriei mulţimilor vagi (fuzzy) prin care se fundamentează din punct de vedere matematic posibilitatea de a opera cu elemente imprecise. Astfel, prin definirea noţiunii de mulţimi vagi, elementele unor astfel de mulţimi au grade de apartenenţă cu valori în intervalul [0, 1]. De exemplu,o întreprindere poate aparţine cu gradul de apartenenţă 0,9 mulţimii întreprinderilor „mici” şi cu gradul de apartenenţă 0,2 mulţimii întreprinderilor „mijlocii”.Un asemenea mod de abordare permite definirea conceptelor de optimizareflexibilă şi de soluţie satisfăcătoare (Herbert Simon). Prin definirea coeficienţilor unui model de programare liniară ca mulţimi vagi se obţine programarea robustă (o familie de probleme de programare inexactă). Trecerea de la exprimarea lingvistică la cea numerică constituie o artă, dificil de algoritmizat. Necesitatea transformării variabilei lingvistice în variabilă de tip numeric, rezultă din: • posibilitatea reflectării mai exacte a fenomenelor; • posibilitatea prelucrării automate a datelor. Pe parcursul elaborării modelelor are loc permanent convertirea variabilelor lingvistice în variabile numerice şi invers. 58

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Regulile de transformare sunt, în majoritatea cazurilor, de natură empirică şi intuitivă, dar în anumite cazuri pot fi folosite proceduri programabile pe calculator prin folosirea statisticii matematice. Necesitatea fuzzyficării modelelor deterministe În situaţii complexe, pentru rezolvarea problemelor se apelează la raţionamente exprimate prin variabile descriptive. Imprecizia exprimată prin operatorii lingvistici oferă expresivitate şi conţinut informaţional ridicat comunicării în limbaj natural. Procesul de fuzzyficare constituie obiectivul unei concepţii caracterizate printr-o capacitate deosebită de adaptabilitate şi flexibilitate. Prin fuzzyficare, variabilele lingvistice pot fi transformate în variabile cantitative, care au un caracter deosebit de elastic. Manevrarea datelor inexacte permite nuanţarea deciziei şi conduce la programarea flexibilă. Pentru a obţine modele flexibile şi robuste apare necesitatea utilizării toleranţelor pentru coeficienţii modelelor deterministe. În cazul relaxării restricţiilor se pot elabora programe flexibile de producţie cu diferite grade de realizare. Mărimea toleranţelor admise pentru restricţiile problemei de programare liniară reprezintă necesarul suplimentar de resurse pentru realizarea obiectivelor propuse. Este recomandat ca iniţial să se opereze cu variabile şi relaţii deterministe. Pe baza analizei rezultatelor, se apreciază care sunt variabilele şi / sau restricţiile care denaturează realitatea economică. În final, aceste variabile şi restricţii se relaxează prin fuzzyficare. Variabilă fuzzy, relaţie fuzzy Cercetătorul american Lotfi Zadeh18 propune, în 1965, conceptul de logică fuzzy prin care se pot construi propoziţii care, în afară de valoarea 1 pentru propoziţia adevărată şi valoarea 0 pentru propoziţia falsă, pot avea valori intermediare în [0, 1]. Savantul român Grigore Moisil a anticipat, în 1943, conceptul de logică fuzzy în lucrările sale de logică nuanţată în care propoziţiile au o infinitate devalori. Astăzi abordarea imprecisă a problemelor decizionale beneficiază de rezultate importante furnizate de teoria mulţimilor fuzzy, teoria sistemelor fuzzy, teoria algoritmilor fuzzy. Aceste rezultate stau la baza multor sisteme de inteligenţă artificială, în special în robotică. Fie E mulţimea tuturor elementelor x şi A o mulţime inclusă în E, A E. Elementele mulţimii A se caracterizează prin anumite proprietăţi. In cazul utilizării cuvintelor (adjective, adverbe, etc.) se spune că mulţimea elementelor se constituie în universul discursului. În acest caz, se obţine o variabilălingvistică.

59

Modelarea şi simularea sistemelor economice

In cazul când mulţimea elementelor este formată din cifre care reprezintă indicatorii ataşaţi unei caracteristici (cantităţi, lungimi, capacităţi, note etc.) se obţine o variabilă fuzzy sau vagă. Pentru a indica apartenenţa unui element x E, la o anumită proprietate a mulţimii A E se defineşte gradul de apartenenţă sau funcţia de apartenenţă μA(x). Funcţia de apartenenţă este definită pe mulţimea E şi ia valori în mulţimea M, adică: μA(x): E → M Dacă mulţimea M a valorilor funcţiei de apartenenţă este formată din două elemente, adică M = {0, 1}, atunci A este o mulţime nevagă. Dacă mulţimea M este intervalul [0, 1], atunci A este o mulţime vagă sau fuzzy. În acest caz, deoarece max μA(x) = 1, mulţimea A este o mulţime vagă normală. In general, se efectuează o normalizare a gradelor de apartenenţă. Mulţimea elementelor x pentru care μA(x) ≠ 0 se numeşte suportul mulţimii vagi. Dacă se consideră că gradul de apartenenţă este o mărime deterministă, atunci este vorba de vaguitate de ordinul I. Dacă se consideră că gradul de apartenenţă este o mărime vagă (cu grad de apartenenţă determinist), atunci este vorba de vaguitate de ordinul II. Definiţia mulţimii vagi sau fuzzy: Se numeşte mulţime vagă A în E, E}, unde μA(x) este funcţia mulţimea perechilor ordonate {x, μA(x) | x sau gradul de apartenenţă al elementului x la o anumită proprietate care caracterizează mulţimea A. Cu ajutorul funcţiilor de apartenenţă, variabilele lingvistice pot fi transformate în variabile cantitative, deosebit de flexibile. Funcţiile de apartenenţă au caracter subiectiv. De exemplu, afirmaţia „întreprinderea Y aparţine în mare măsură mulţimii B a întreprinderilor mici” poate fi exprimată cantitativ prin gradul de apartenenţă μB(Y) = 0,9. Dacă subiectivismul reprezintă informaţia necuantificabilă deţinută de decident sub forma intuiţiei şi experienţei atunci rezultă că abordarea fuzzy permite: • valorificarea informaţiei comunicabile prin limbajul natural; • asimilarea elementelor specifice intuiţiei umane. Există diferite tipuri de funcţii de apartenenţă. Cele mai utilizate sunt funcţiile de apartenenţă exponenţiale şi fracţionare. Între mulţimile vagi se pot defini diverse relaţii. Aceste relaţii sunt definite cu ajutorul gradelor de apartenenţă. Dacă gradele de apartenenţă sunt mărimi deterministe, atunci relaţia definită este în sens nevag. Dacă gradele de apartenenţă sunt mărimi vagi, atunci relaţia definită este în sens vag. • Egalitatea a două mulţimi vagi: 60

Modelarea şi simularea sistemelor economice

- în sens nevag: A = B dacă şi numai dacă μA(x) = μB(x), (∀) x ∈ E - în sens vag: A ≅ B dacă μA(x) ≅ μB(x), (≈∀) x ∈ E (adică mulţimea A este egală în sens vag cu mulţimea B dacă μA(x) este egal în sens vag cu μB(x) „aproape pentru orice” sau pentru majoritatea elementelor x ∈ E). • Incluziunea a două mulţimi vagi:

- în sens nevag: A ⊂ B, dacă şi numai dacă μA(x) ≤ μB(x), (∀) x ∈ E - în sens vag: A ⊂ ~ B, dacă şi numai dacă μA(x) < ~ μB(x), (≈∀) x ∈ E. SIMULAREA PROCESELOR ECONOMICE CU AJUTORUL TEHNICILOR FORRESTER

Modelarea dinamică (dinamica industrială) a fost elaborată de Jay Forrester în perioada anilor '60 şi se bazează pe faptul că funcţionarea unui sistem este reprezentată de cunoaşterea (identificarea) interacţiunilor dintre fluxurile de informaţii, comenzi, resurse materiale şi umane etc. Potrivit acestui concept, un model dinamic surprinde comportarea sistemelor complexe, evidenţiind modul în care structura acestora determină traiectoria, respectiv comportarea în timp. Dinamica industrială propune instrumente prin care se pot îmbina observaţiile calitative cu modelarea cantitativă. Aplicaţii ale tehnicilor Forrester: La nivel microeconomic sunt cunoscute aplicaţii pentru alocarea capacităţilor, programarea şi urmărirea producţiei, organizarea desfacerilor de produse, controlul stocurilor. La nivel macroeconomic s-au făcut aplicaţii pentru organizarea cercetării ştiinţifice şi protecţia mediului ambiant. Dinamica industrială a fost utilizată în modelele "mondiale" de specialiştii care au întocmit crapoarte privind perspectivele economice ale omenirii în pragul secolului al XXI-lea. Printre avantajele dinamicii industriale se pot enumera următoarele: - reprezintă un instrument de tratare globală, sistemică a problemelor social-economice complexe, cu însuşirea de a cuprinde procesele de intercondiţionare reciprocă, precum şi pe cele de reglare (feed-back); - evidenţiază relaţiile cantitative şi calitative din sistem şi prin simulare, permite găsirea unor soluţii efective, operaţionale, chiar pentru probleme de foarte mare amploare; -oferă utilizatorilor posibilitatea unei abordări conversaţionale, în care decidentul deţine un rol activ; -evită rigiditatea altor metode de modelare matematică, deoarece dinamica industrială 61

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Conceptul fundamental al modelării dinamice este ciclul informaţie – decizie - acţiune, care constituie o buclă elementară de feed-back în care se identifică o cale directă: intrare (decizie) - ieşire (starea sistemului); o cale de reacţie inversă: ieşire (starea sistemului) - informaţie despre ieşire (eventual prelucrată) şi intrare (decizie). Dacă se ţine seama de acţiunea tuturor factorilor existenţi la un moment dat acest ciclu poate fi reprezentat sub forma unei scheme clasice de reacţie .

Elementele unui model de dinamică industrială În realitate, între decizie şi acţiune precum şi în transmiterea informaţiei apar întârzieri, iar schema clasică de reacţie apare ca în figura următoare.

Aceste întârzieri pot duce la următoarele situaţii: decizia este luată în raport cu o stare anterioară a sistemului, dar afectează starea lui actuală, informaţia despre starea sistemului va afecta o decizie ulterioară stării pe care o măsoară (Se consideră situaţia clasică a unui bazin care trebuie umplut până la un anumit nivel.Dacă nivelul real al apei se află sub nivelul dorit, operatorul deschide robinetul de umplere cu un anumit debit, iar pe măsură ce nivelul apei se apropie de nivelul dorit, reduce progresiv debitul. Starea = nivelul apei din bazin, intrarea sistemului este debitul (variabil) robinetului, iar mărimea reacţiei inverse care acţionează asupra intrării este diferenţa sesizată de operator între nivelul cerut şi cel real.) Sistemele sunt cauză a comportamentului dinamic; interacţiunile din cadrul sistemului au ca rezultat creşterea, fluctuaţia şi modificarea. Orice sistem este format din bucle de reacţie interconectate, iar la rândul ei, fiecare buclă conţine o substructură alcătuită din două tipuri de elemente variabile (adică mărimi ce suferă variaţii în timp): a) variabile care reprezintă acumulări de cantităţi, măsurabile riguros la un moment dat,numite în dinamica industrială niveluri (de exemplu, nivelul producţiei măsurat fizic sau valoric etc.); b) variabile ce reprezintă procese în curs de desfăşurare într-un anumit ritm, măsurabile de regulă ca valori medii, numite variabile de ritm (ritmul producţiei, de exemplu). Alături de acestea, în dinamica industrială, mai apar şi variabilele auxiliare sau parametrii, care pot caracteriza o stare, o comandă sau orice 62

Modelarea şi simularea sistemelor economice

altă informaţie provenită din exterior şi care nu sunt influenţate de deciziile din interiorul sistemului analizat. Descrierea matematică a comportării dinamice se face cu ajutorul unui sistem de ecuaţii cu diferenţe finite, împreună cu condiţiile iniţiale, ceea ce poartă denumirea de determinare a ecuaţiei de stare a sistemului cercetat (Între terminologia teoriei sistemelor şi cea a dinamicii industriale există următoarele analogii: -stare - nivel (rezultatul acţiunii); - intrare - ritm (decizie); -mărime de feed-back – informaţie; -obiectivul sistemului - nivelul dorit) Sistemul de ecuaţii, corespunzând unui sistem simplu şi riguros de reguli, conţine: - ecuaţii de nivel (variaţia unei variabile de stare); - ecuaţii de ritm (ritmul variaţiei stării); - ecuaţii auxiliare (dependenţa unei variabile de altă variabilă sau parametru). Pentru scrierea acestor ecuaţii se construieşte în prealabil schema dinamică a sistemului, care sintetizează toate observaţiile rezultate din analiza calitativă a sistemului, utilizând simbolurile specifice prezentate în figura.

Simboluri utilizate în diagramele de dinamică industrială Reguli şi precizări: 1. Variabilele de ritm rămân constante pe durata unui interval, în timp ce variabilele de nivel capătă valori distincte la momente diferite. (Formal, variabilele de nivel primesc un singur indice, iar variabilele de ritm au indice dublu). 2. Constantele care intervin în modele au semnificaţie de informaţii, de aceea ele sunt situate în fluxuri de acest tip. 3. Succesiunea ritmurilor şi nivelurilor pe un flux dat: unui nivel îi poate urma doar un ritm şi, reciproc, unui ritm îi poate urma numai un nivel. 4. Compatibilitatea fluxurilor: - într-un nivel nu pot intra sau ieşi fluxuri de natură fizică diferită Scrierea ecuaţiilor şi calcule

63

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Variabilele şi constantele din ecuaţii sunt reprezentate prin simboluri standard (un grup de maximum 6 caractere, primul fiind, în mod obligatoriu, alfabetic). În continuarea simbolului de bază, variabilele vor fi urmate de un punct şi un caracter pentru timp. Nivelele vor avea drept caracter o singură literă, J sau K, indicând momentul la care se referă valoarea. Ritmurile vor purta indicatorii JK sau KL indicând intervalul precedent sau următor. Constantele sunt identificate prin absenţa indicelui de timp. Ecuaţiile de nivel O ecuaţie de nivel reprezintă un rezervor de acumulare a ritmurilor fluxului care măreşte sau micşorează conţinutul rezervorului. Noua valoare a nivelului este calculată adăugându-se sau scăzându-se din valoarea anterioară modificarea care apare pe parcursul intervalului de timp. Notaţii: L - nivelul (unităţi); L.K - noua valoare a nivelului calculată la timpul K (unităţi); L.J - valoarea nivelului la timpul J, anterior (unităţi); DT - lungimea intervalului de calcul între timpul J şi K (unitate de măsură a timpului); RA - ritmul fluxului ce măreşte nivelul L (unităţi/unităţi de timp); RA.JK - valoarea ritmului acumulat în intervalul JK; RS - ritmul fluxului ce micşorează nivelul L; RS.JK - valoarea ritmului diminuat pe intervalul JK. Ecuaţia de nivel devine: L.K = L.J + (DT)(RA.JK - RS.JK) Orice număr de ritmuri, unul sau mai multe, poate fi adăugat sau scăzutdintr-un nivel. Aceasta este, de altfel, singura flexibilitate permisă în ecuaţia standard de nivel. Membrul drept al ecuaţiei trebuie să conţină: valoarea anterioară a nivelului de calculat şi intervalul de calcul, DT, ca multiplicator al ritmurilor fluxului. (Ecuaţia de nivel este singurul tip de ecuaţie care conţine explicit intervalul DT). Intervalul DT, măsurat în unităţi de timp, transformă ritmurile fluxului în cantităţi ale articolului din flux prin multiplicare, creând unitatea de măsură corectă a produsului ce trebuie adăugat la valoarea nivelului. Intervalul poate fi schimbat arbitrar (dacă prin schimbare nu devine prea mare) fără a afecta validitatea modelului. Toate celelalte ecuaţii ale modelului sunt formulate în termenii unităţii de bază de măsurare a timpului, utilizată în sistemul real. Ecuaţia de nivel realizează un proces de integrare, adică: 64

Modelarea şi simularea sistemelor economice

în care semnificaţia notaţiilor este: L - valoarea nivelului la timpul t (unităţi); L0 - valoarea iniţială a nivelului la t=0 (unităţi): RS - ritmul fluxului ce micşorează nivelul (unităţi/unităţi de timp): RA- ritmul fluxului ce măreşte nivelul L. Ecuaţiile de ritm arată cum sunt comandate fluxurile din cadrul unui sistem. Variabilele de intrare într-o ecuaţie de ritm sunt: nivelurile sistemului şi constantele. Variabilele de ieşire comandă fluxul, de la sau dintre nivele. Ecuaţia de ritm este calculată la timpul K, utilizând informaţiile din nivelurile la timpul K, pentru a găsi ritmurile viitoare ale fluxului pe intervalul KL. Forma unei ecuaţii de ritm este: R.KL = f (nivele sau constante) Membrul drept poate fi orice funcţie sau relaţie a nivelurilor şi constantelorce descriu strategia de comandă impusă de ritm. Exemplu: Într-un proces de aprovizionare-stocare, ecuaţia de ritm poate fi scrisă astfel:

în care: RC- ritmul comenzilor (unităţi/săptămână); TA- timpul de ajustare (săptămâni); SN- stocul necesar (unităţi): S - stocul curent (unităţi). Această ecuaţie exemplifică o strategie simplă de cerere (comandare). Rezultă că ritmul comandării trebuie să fie a TA - a parte pe săptămână din diferenţa dintre stocul necesar şi cel curent. Timpul TA este timpul necesar pentru a corecta tocul S dacă RC rămâne neschimbat, figura.

Ecuaţia de ritm arată cum se autocomandă sistemul, ea exprimă percepţia noastră asupra modului cum răspund deciziile unui sistem la situaţiile din jurul unctului de decizie. Ecuaţii auxiliare 65

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Adesea, claritatea şi înţelesul unei ecuaţii de ritm poate fi sporită prin împărţirea ei în părţi scrise ca ecuaţii separate, ca subdiviziuni algebrice ale ritmurilor. Aceste părţi se numesc ecuaţii auxiliare.Ecuaţiile auxiliare trebuie evaluate după ecuaţiile de nivel de care depind şi înainte de ecuaţiile de ritm din care fac parte. Atunci când există lanţuri interconectate de ecuaţii auxiliare, ele trebuie săfie evaluate într-o ordine care să permită substituiri succesive. Ecuaţiile valorilor iniţiale La începutul calculului de simulare se iniţializează toate ecuaţiile de nivel. Nu sunt necesare valori iniţiale pentru variabilele ritm, deoarece ritmurile sunt determinate de valorile iniţiale ale variabilelor de nivel. Din valorile iniţiale ale ariabilelor de nivel pot fi calculate ritmurile fluxului începând cu timpul t=0, iar cuvalorile iniţiale ale nivelelor şi cu ritmurile aflate pot fi calculate noile valori ale nivelelor la sfârşitul primului interval de timp. Nu se utilizează nici un indicator de imp. Membrul drept al ecuaţiei valorilor iniţiale poate fi alcătuit din valori umerice, constante indicate simbolic şi valori iniţiale ale altor nivele. Două sau mai ulte valori iniţiale nu pot depinde reciproc una de alta pentru că rezultatul ar fi nedeterminat.Ecuaţia valorilor iniţiale este scrisă, de obicei, după ecuaţia de nivel Diagrame de flux Diagrama de flux reprezintă grafic ecuaţiile de nivel, de ritm şi auxiliare precum şi interconectarea lor. Ea este foarte folositoare deoarece oferă o viziune de ansamblu a sistemului. Simbolurile utilizate pentru reprezentarea elementelor sistemului sunt cele prezentate în figura simboluri utilizate în diagramele de dinamică industrială. Nivelele (integrale). Toate ecuaţiile de nivel, ca orice funcţii speciale care cuprind integrale, vor fi reprezentate cum s-a arătat prin dreptunghiuri. Cea mai simplă ecuaţie de nivel este prezentată în figura următoare (RP ritm producţie; RV – ritm vânzări).

Ritmuri (strategii). Ecuaţiile de ritm sunt specificaţii de strategie care definesc sensul fluxului într-un sistem. Ecuaţia de ritm primeşte informaţia de intrare şi comunică un ritm al fluxului. Ea funcţionează asemănător cu o supapă dintr-un sistem hidraulic (simbolul utilizat). Simbolul pentru o ecuaţie de ritm este prezentat în figura.

66

Modelarea şi simularea sistemelor economice

(ST – stoc tampon; IL - întârziere în livrare; AS - ajustare stoc). Ecuaţia de ritm este: : Variabile auxiliare. Acest tip de variabile se situează în canaleleinformaţionale între variabilele de nivel şi cele de ritm. Ele sunt părţi ale ecuaţiilor de ritm subdivizate şi separate deoarece exprimă concepte cu înţeles independent. Simbolul pentru o ecuaţie auxiliară este prezentat în figura.

(PR - preţ; VM -vânzări medii). B.K = (VM.K) (PR) Extragerea informaţiilor. Liniile care indică fluxul de informaţii ce pleacă de la un nivel trebuie să fie distincte de liniile care reprezintă fluxul informaţional ce intră într-un nivel. O linie de flux transferă o cantitate dintr-un loc în altul şi este comandată de o ecuaţie de ritm. Informaţia despre o variabilă poate fi extrasă fără a afecta cantitatea acestei variabile acest lucru este simbolizat în figura urmatoare printr-un mic cerc al extragerii de informaţii.

Parametri (constante). Parametrii sunt acele valori care sunt constante pentru o simulare. Ei pot fi schimbaţi de la o simulare la alta. Parametrul este menţionat: printr-o linie deasupra sau dedesubtul lui şi conţine un cerculeţ pentru informaţia extrasă (în figura urmatoare: TAS timp de ajustare a stocului; MST – mărimea stocului).

67

Modelarea şi simularea sistemelor economice

Surse şi rezervoare (deversoare, receptoare). Când o sursă a unui flux nu exercită nici o influenţă asupra sistemului, fluxul este reprezentat ca venind dintr-o sursă "infinită" (figura urmatoare). O sursă infinită nu poate fi epuizată.

Opus ei este rezervorul (deversorul, receptorul) unde se sfârşesc liniile de flux când depăşesc limita modelată. Stabilirea ritmurilor de fabricaţie cu ajutorul tehnicilor de dinamică industrială (de tip Forrester) Deciziile privind programarea operativă a producţiei, atât din punct de vedere static cât şi dinamic pot fi perfecţionate cu ajutorul tehnicilor de dinamică industrială, deoarece permit: ♦ luarea în considerare a aspectelor dinamice ale desfăşurării procesului de producţie; ♦ posibilitatea considerării oricăror alte legături cu diverse secţii ale întreprinderii şi eventual cu alte întreprinderi; ♦ posibilitatea evidenţierii diverşilor factori perturbatori pe o anumită perioadă de timp (lipsa resursei umane, lipsa semifabricatelor etc.); ♦ verificarea strategiilor propuse şi alegerea unor strategii suboptime (privind programarea operativă a producţiei); ♦ analiza stabilităţii sistemului producţiei în timp etc. Avantajul esenţial al aplicării tehnicilor Forrester constă în posibilitatea de a stabili evoluţia stării sistemului producţiei, toate variabilele modelului elaborat fiind funcţii de timp. Dezavantaje în aplicarea tehnicilor Forrester - dificultăţi mari în stabilirea unei unităţi comune de măsură a producţiei realizate la diversele locuri de muncă sau secţii; - probabilitatea ridicată de a comite erori în urma alegerii unor unităţi de măsură convenţionale; - durata relativ mare de pregătire a datelor şi de calcul în cazul când se urmăreşte o analiză în unităţi naturale sau mai apropiate de cele naturale; 68

Modelarea şi simularea sistemelor economice

- necesitatea însuşirii tehnicilor de dinamică industrială de către personalul de conducere al întreprinderii. Toate aceste dezavantaje pot fi, însă, înlăturate treptat, pe măsura aplicării metodei.

69