Modul Ke-9 Hidrodinamika

MODUL ( Minggu ke : 9 )

9 FISIKA DASAR I Semester 1 / 3 sks / MFF 1011

Oleh

Drs. Sunarta, M.S.

Didanai dengan dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

BAB VI HIDRODINAMIKA ( FLUIDA DINAMIK )  Diskripsi : Pada bab ini dibahas tentang sifat-sifat fisis aliran fluida ,khususnya fluida cair, Hukum-hukum yang menguasai , aplikasi dari model aliran fluida, mengenal alat ukur kecepatan aliran fluida, viskositas fluida dan pengaruh gesekan fluida terhadap gerakan benda.  Manfaat : Memahami hukum-hukum dinamika fluida dan aplikasinya, menguasai tentang sifatsifat aliran fluida, mendasari pengetahuan lanjut tentang mekanika medium kontinyu.  LO :  Menghitung kecepatan aliran fluida pada berbagai model tendon fluida; menyebutkan berbagai macam alat pengukur kecepatan aliran fluida cair.

VI.1. Pengantar Masalah Hidrodinamika merupakan bagian cabang ilmu fluida yang mempelajari dan mencermati sifat-sifat fluida dalam kondisi gerak atau mengalir. Gerakan fluida yang sesungguhnya adalah sangat rumit dan komplek, namun untuk pendekatan yang mudah agar diperoleh analisa secara analitik keadaannya disederhanakan. Oleh karena itu perlu meninjau keadaan ideal sebuah gerakan fluida. Dalam pembahasan ini, akan didekati dengan 4 kondisi ideal dalam gerakan atau aliran fluida : 1. Aliran dianggap “laminer” atau “tunak” yaitu jenis aliran yang tenang, kontinyu, dan laju fluida pada titik manapun konstan baik dalam jumlah maupun arah alirannya. Apabila aliran bersifat “turbulen” atau “non-laminer” maka kondisi ini akan menyulitkan dalam analisanya. 2. Aliran bersifat tak termampatkan, yaitu selama aliran berlangsung nilai rapat massa fluida konstan dan seragam. 3. Jenis aliran tidak Viskos , artinya gesekan dengan dinding selama terjadi aliran dianggap tidak ada atau sangat kecil. ( Viskositas = keketalan) 4. Tidak ada efek rotasi selama terjadi aliran, artinya partikel-partikel di dalam fluida yang mengalir tidak berotasi. Dari pendekatan diatas akan dapat menyederhanakan persamaan anlitik yang dihasilkan , secara matematik akan didapat penyelesaian yang sederhana dan akhirnya akan diperoleh hasil yang lebih berguna.

VI.2. Azas Kontinuitas dan Penerapannya Secara fisis kita menyadari bahwa kecepatan aliran fluida bergantung dari luas penampang yang digunakan untuk mengalirkan fluida tersebut. Coba anda alirkan air melewati pipa yang besar diameternya, kemudian sambung pipa besar tersebut dengan diameter yang lebih kecil, anda akan mengamati bahwa kecepatan aliran pada pipa yang lebih kecil akan semakin cepat. Azas kontinuitas merupakan suatu persamaan yang menghubungkan antara kecepatan aliran fluida dengan luas penampang yang dilalui fluida ketika terjadi aliran. Ternyata nilai perkalian dua besaran tersebut yaitu (v =kecepatan) dan (A=luas penampang) selalu tetap, asalkan syarat-syarat aliran dipenuhi. Secara dimensional , perkalian kecepatan (v) dan luas (A) adalah : (𝑣 𝐴) =

𝑚

𝑚2 =

𝑠

𝑚3 𝑠

=

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Volume per detik; sering disebut sebagai “debit” aliran fluida yang disimbolkan (Q), 𝑄=𝑣𝐴=

𝑉 𝑡

; V = volume fluida; t = waktu aliran.

𝐴1

𝐴2 𝑣2

𝑣1

𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 Karena rapat massa aliran fluida konstan, sedangkan debit aliran juga konstan maka prinsip kontinuitan juga dapat dinyatakan sebagai “massa aliran pada setiap selang waktu tertentu konstan” 𝑑𝑚1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑚2 𝑑𝑡 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 𝐴2

𝐴1 𝑑𝑚1 ( ) 𝑑𝑡1

𝑑𝑚2 ( ) 𝑑𝑡2

VI.3. Azas Bernoulli dan Aplikasinya Bila aliran fluida terjadi pada model pipa yang posisinya tidak datar yaitu ujung pipa satu dengan yang lain ada perbedaan tinggi, berarti ada tekanan yang berbeda disebabkan karena gravitasi sehingga berpengaruh pada kecepatan aliran. Hal ini akan mempengaruhi persamaan dinamika aliran fluida tersebut. Fenomena ini dicermati oleh seorang ilmuwan yang bernama “Bernoulli” dan melakukan analitik untuk menjelaskan secara dinamika pengaruh kecepatan aliran yang terjadi yang dikaitkan dengan hokum kekekalan tenaga untuk massa fluida yang bergerak di sepanjang pipa yang mengalami perubahan penampang maupun posisi tinggi yang berbeda. Elemen massa fluida dengan tebal ( ) mengalir dari posisi (1) ke posisi(2), seperti yang diilustrasikan gambar berikut : 𝑑𝑠2 𝐴2 𝑣2

𝐴1

𝑑𝑠1 𝑕2

𝑣1 𝑕1

Elemen massa fluida : 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉 = 𝜌𝐴 𝑑𝑠 ; bergerak dari posisi (1) ke posisi (2), tentunya perlu usaha untuk mendorongnya. Besarnya usaha untuk mendorong elemen massa tersebut adalah :

𝑑𝑈 = 𝑃1 − 𝑃2 𝑑𝑉 𝑑𝑉 = 𝐴1 𝑑𝑆1 = 𝐴2 𝑑𝑆2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 Berdasar hokum kekekalan tenaga, usaha totalnya sama dengan perubahan tenaga mekaniknya, sehingga diperoleh :

𝑃1 − 𝑃2 𝑑𝑉 = 𝑃1 − 𝑃2 =

1 2

1 2

𝜌 𝑑𝑉 𝑣22 + 𝜌 𝑑𝑉 𝑔 𝑕2 −

𝜌 𝑣22 + 𝜌 𝑔 𝑕2 −

1 2

1 2

𝜌 𝑑𝑉 𝑣12 + 𝜌 𝑑𝑉 𝑔 𝑕1

𝜌 𝑣12 + 𝜌 𝑔 𝑕1

𝑃1 + 𝑃+

1 2

1 2

𝜌 𝑣12 + 𝜌 𝑔 𝑕1 = 𝑃2 +

1 2

𝜌 𝑣22 + 𝜌 𝑔 𝑕2

𝜌 𝑣 2 + 𝜌 𝑔 𝑕 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

Persamaan terakhir itulah yang disebut sebagai “azas Bernoulli” yang akan menjadi dasar untuk menghitung secara analitik pada kasus aliran fluida. Aplikasi dari persamaan Bernoulli cukup banyak, misalnya diaplikasikan pada dinamika aliran tandon fluida, aliran fluida cair pada pipa kapiler untuk menentukan nilai viskositas fluida, prinsip kerja pada alat pengukur kecepatan aliran fluida seperti “Venturimeter”, dan sebagainya.

 Aliran Fluida pada pipa Venturi (Venturi-meter) : Alat ini dapat dipergunakan untuk mengukur kecepatan aliran udara, air, dan jenis fluida lainnya. 𝐴1

𝐴2

𝜌𝑓

𝑉 𝑕 𝜌#

Dengan prinsip Bernoulli diperoleh persamaan kecepatan fluida melewati pipa venturi tersebut adalah :

𝑉=

2 𝜌 # −𝜌 𝑓 𝑔 𝑕 𝜌𝑓

𝐴1 2 −1 𝐴2

; 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑢𝑘𝑢𝑟 𝑎𝑙𝑎𝑡

Dengan : (𝜌𝑓 ) = rapat massa fluida yang mengalir; (𝜌# ) = rapat massa cairan manometer (pipa-U); (𝑕) = perbedaan tinggi tekanan manometer; (𝐴1 ) = penampang pipa venturi-besar ; (𝐴2 ) = penampang pipa venturi-kecil; dan (g) adalah nilai percepatan gravitasi bumi.

 

 Aliran Tandon Fluida Cair : Dinamika aliran pada “tandon” yang berisi fluida cair akan patuh dengan hukum aliran fluida, yaitu hukum kontinuitas dan hukum Bernoulli.

𝐴1

A

H

𝑕𝐴 B 𝐴2 𝑕𝐵

Dengan beberapa penyederhanaan masalah, seperti tendon tersebut berukuran cukup besar sehingg penampang tendon jauh lebih besar jika penampang “kran output” yang hal ini secara fisis akan berakibat kecepatan aliran fluida di dalam tendon menjadi sangat kecil(mendekati nol). Pendekatan lainnya seperti pada syarat keberlakukan hokum-hukum dinamika alairan.

𝑕2

PENURUNAN RUMUS APLIKASI :  Hukum Bernoulli : 1

1

𝑃0 + 2 𝜌 𝑣 2 + 𝜌 𝑔 𝑕 = 𝑃0 + 2 𝜌 𝑣22 + 𝜌 𝑔 𝑕2 (𝑣) = kecepatan turunnya level fluida di dalam tendon, ketika kran output dibuka(ada aliran), sedangkan (𝑕) posisi sembarang tinggi level fluida di dalam tandon. Karena tekanan yang bekerja pada kran dan tendon sama yaitu tekanan udara luar (𝑃0 ), dan rapat massa fluida tetap (𝜌), maka diperoleh : 1 2

𝑣2 + 𝑔 𝑕 =

1 2

𝑣22 + 𝑔 𝑕2

𝑣22 − 𝑣 2 = 2 𝑔 𝑕 − 𝑕2 Penampang tandon (𝐴1 ) jauh lebih besar dari pada penampang kran output (𝐴2 ), secara analitik berdampak bahwa kecepatan (𝑣) sangat kecil : 𝑣 ≪ ; → (𝑣 2 ≈ 0)  Hukum kontinuitas : 𝑣22 = 2 𝑔 𝑕 − 𝑕2 𝑣2 =

2 𝑔 𝑕 − 𝑕2

Perlu dicermati bahwa nilai (𝑕) selalu berubah ketika kran output dibuka(dialirkan), maka debit aliran (Q) diberikan dengan persamaan : 𝑑𝑕

𝑄 = 𝐴1 𝐴1

𝑑𝑕

= 𝐴2 𝑣2

𝑑𝑡

= 𝐴2

𝑑𝑡

𝑑𝑡 = {

2 𝑔 𝑕 − 𝑕2

𝐴1 𝐴2

2 𝑔 𝑕−𝑕 2

} 𝑑𝑕

Dengan menyelesaikan persamaan tsb. Melalui proses integral dan memasang batas batas proses aliran yang terjadi yaitu : Waktu untuk mengalirkan isi tendon fluida dari (levelA) dengan ketinggian level (𝑕𝐴 ) ke (level-B) dengan ketinggian level (𝑕𝐵 ) adalah : 𝐵 𝑑𝑡 𝐴

𝑡𝐴𝐵 =

𝑕𝐵 𝑕𝐴

=

𝐴1 𝐴2

2 𝑔 𝑕−𝑕 2

𝑑𝑕

Dihasilkan persamaan aplikasi tendon fluida sebagai :

𝑡𝐴𝐵 = (

𝐴1

2

𝐴2

𝑔

)

𝑕𝐴 − 𝑕2 − 𝑕𝐵 − 𝑕2

𝑡𝐴𝐵 = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 𝑕𝐴 𝑘𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙(𝑕𝐵 ) Bila tandon berisi penuh berarti (𝑕𝐴 = 𝐻); maka waktu yang diperlukan untuk mengalirkan isi tandon sampai habis (tidak mengalir lagi) yang berarti (𝑕𝐵 = 𝑕2 ) adalah :

𝑡𝐴𝐵 =

𝐴1 𝐴2

(2/𝑔)

𝐻 − 𝑕2

Bila kran output (𝐴2 ) berada di dasar tandon yang berarti (𝑕2 = 0); maka isi tandon dapat dialirkan sampai habis (tidak ada sisa fluida cair di dalam tandon) dan akan memerlukan waktu selama : 𝑡𝐴𝐵 =

𝐴1 𝐴2

(2𝐻/𝑔)

VI.4. Azas Poiseuille dan Aplikasinya Pembahasan kita tentang kecepatan aliran fluida belum memikirkan adanya pengaruh viskositas fluida yang mengalir, pada hal besaran fisis ini cukup mempengaruhi kecepatan aliran. Kita sadari bahwa ketika yang mengalir adalah fluida yang kental atau viskositas tinggi, maka tentu aliran sangat lambat (pelan-pelan), karena tergesek oleh dinding dan gesekan antar molekul fluida itu sendiri cukup kuat.

Hukum berikut akan mempelajari efek viskositas fluida (𝜂) terhadap kecepatan aliran fluida, yang mana oleh “Poiseuille” dinyatakan bahwa akibat adanya viskositas akan timbul gaya gesekan dinamik yang nilainya sebanding dengan perubahan kecepatan; dituliskan sebagai : 𝐹𝑘 = −𝜂 𝐴

𝑑𝑣 𝑑𝑟

Pada proses aliran fluida, kecepatan alir (𝑣) bervariasi terhadap posisi dinding pipa aliran, kecepatan terbesar di bagian tengah pipa dan akan mengecil semakin dekat dinding pipa, hal inilah adanya efek viskositas fluida.

𝑟 𝑟

𝑟

𝑣

𝑣𝑟

𝑙

Untuk mendorong fluida agar dapat mengalir harus dipenuhi bahwa gaya tekannya minimal sama dengan gaya oleh friksi viskositas, sehingga : 𝜋𝑟 2 𝑃1 − 𝑃2 = −𝜂 𝐴

𝑑𝑣 𝑑𝑟

𝐴 = 2𝜋 𝑟 𝑙 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔 𝑝𝑖𝑝𝑎 𝜋𝑟 2 𝑃1 − 𝑃2 = −𝜂 2𝜋 𝑟 𝑙 𝑑𝑣 =

𝑃1 −𝑃2 2𝜂𝑙

𝑑𝑣 𝑑𝑟

𝑟 𝑑𝑟

Persamaan terakhir merupakan dasar persamaan yang menghasilkan persamaan poiseuille, dengan memasukkan syarat batas yang ada sebagai berikut :  Hukum Poiseuille I : kecepatan aliran fluida di dalam pipa sebagai fungsi jari-jari pipa adalah :

𝑣𝑟 =

𝑃1 −𝑃2 4𝜂𝑙

𝑅2 − 𝑟 2 ; 𝑕𝑢𝑘𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙𝑙𝑒 𝐼

 Hukum Poiseuille II : debit aliran lewat pipa dengan jari-jari (R) adalah :

𝑑𝑄 = 𝑣𝑟 𝑑𝐴 = 𝑣𝑟 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑄 =

𝑃1 −𝑃2 4𝜂𝑙

𝑟 2 2𝜋𝑟 𝑑𝑟

𝑄=

𝜋 𝑃1 −𝑃2 𝑅 4 8𝜂𝑙

; 𝑕𝑢𝑘𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙𝑙𝑒 𝐼𝐼

Aplikasi dari persamaan poiseuille sangat banyak di bidang aliran fluida, bahkan hamper semua jenis aliran seperti aliran darah manusia normal mengikuti kaidah hokum ini, termasuk jenis aliran laminar lainnya.

VI.5. Gaya Stokes dan Penerapannya Seorang ilmuwan yang bernama “Stokes” pada sekitar tahun 1845, menemukan efek gaya yang ditimbulkan oleh gesekan sebuah benda dengan fluida. Nilai gaya tersebut sebanding dengan kecepatan benda(𝑣) ketika bergerak di dalam fluida tersebut. 𝐹𝑆 = −𝑘 𝑣 k = konstanta yang bergantung dimensi/geometri benda. Untuk benda dengan geometri bola yang berjari-jari (R), mempunyai nilai ( 𝑘 = 6𝜋𝜂 𝑅) sehingga bila benda tersebut bergerak di dalam fluida dengan viskositas (𝜂) akan mengalami gaya gesekan terhadap fluida sebesar :

𝐹𝑆 = −6𝜋 𝜂 𝑅 𝑣 (-) = tanda negative menunjukkan arahnya berlawanan dengan gerak bendanya.  Aplikasi Hukum Stokes : Sebuah benda yang bergeometri bola dengan jari-jari (R), dilepaskan ke dalam fluida dengan viskositas (𝜂 ), maka gerakan benda dapat dipelajari dengan menggunakan hokum stokes sebagai berikut : o Gaya semu benda di dalam fluida : o

𝑣𝑡

4

𝑊𝑆 = 3 𝜋 𝑅 3 𝜌𝑏 − 𝜌𝑓 𝑔

o Gaya stokes pada benda :

𝜌

o 𝐹𝑆 = −𝑘 𝑣 ; ( 𝑘 = 6𝜋𝜂 𝑅) o Gaya newton dinamiknya : o

𝑑𝑣

𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 ( 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑣

o 𝑊𝑆 − 𝑘𝑣 = 𝑚 ( 𝑑𝑡 ) o

𝑑𝑣 (𝑊 𝑆 −𝑘𝑣)

1

= (𝑚 ) 𝑑𝑡

Penyelesaian persamaan akhir merupakan persamaan model eksponensial dengan tetapan eksponenya : 𝜆 = (𝑘/𝑚)

𝑣𝑡 =

𝑊𝑆 𝑘

1 − 𝑒−𝜆𝑡 ; 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑡 (𝑚 𝑆) 𝑣𝑚𝑎𝑥 =konstan

𝑊𝑆 ( ) 𝑘 eksponensial

𝑡(𝑆)

0

Kecepatan maximum benda yang ditunjukkan grafik diatas, dicapai pada saat (𝑡 = ~) dan bernilai: 𝑣𝑚𝑎𝑥 = (

𝑣𝑚𝑎𝑥 =

𝑊𝑆 𝑘

)

2𝑅 2 𝜌 𝑏 −𝜌 𝑓 𝑔 9𝜂

Hal ini mengandung pengertian bahwa kejadiannya ketika kondisi dinamika benda terpenuhi saat : 𝑊𝑆 = 𝑘 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑆 ; sehingga dalam kondisi tidak ada gaya apapun : 𝐹 = 0 ; 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑢𝑕𝑖, 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛. Catatan : Hukum-hukum dinamik fluida yang dibahas berlaku pada jenis aliran yang laminer termasuk hukum poiseuille juga berlaku pada kondisi aliran fluida dipenuhi laminer, untuk itu pada bab berikut akan dibahas tentang syarat-syarat aliran laminer.

VI.6. Lamineritas dan Bilangan Reynolds ( University Phisics; bab 16.7 )

LATIHAN SOAL-SOAL : 1. Tandon air dengan tinggi 3,0 m , penampang 2,5 m2 dipasang kran output pada posisi 15 cm dari dasar tandon, penampang kran 2,0 cm2 , g = 980 cm/s2. Bila isi awal tandon tersebut adalah 1/2 bagian, hitunglah : Lama waktu untuk memenuhi sebuah bak mandi yang berkapasitas 1000 liter ? dan berapa liter air diperoleh bila dialirkan selama 20 menit ? 2.