Movimiento Circular.docx

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO FISICA I. SECCION II EXTENSION, MATURIN

MOVIMIENTO CIRCULAR

TUTOR. EDGAR MOTA

AUTORES: GERARDO NUÑEZ GENESIS PAZ DILIANA MEJIAS

JULIO 2016

INDICE

1. ¿Qué es el movimiento circular?..............................................................4 2. Desplazamiento angular, unidades…………………………………………..4 3. Velocidad angular, definicion, unidades………….………………………….5 4. Relacion de la velocidad lineal y la velocidad angular, ecuaciones…......5 5. Movimiento circular uniforme…………………………….………………...…6 6. Desplazamiento angular en el movimiento circular uniforme, ecuacion y unidades…………………………………………………………..…………….6 7. Periodo………………………………………………………………………….7 8. Frecuencia……………………………………………………………………...7 9. Aceleracion Centripeta, Ecuacion y unidades………………………………8 10. Fuerza Centripeta, Ecuacion, unidades………………………….………….9 11. Fuerza Centrifuga, Ecuuacion, unidades………………………….……….10 12. Movimiento circular variado…………………………………….…………...11 13. Desplazamiento angular para el movimiento circular variado, ecuaciones, unidades……………………………………………………………….………11 14. Velocidad angular…………………………………………..…………….…..11 15. Componentes de la aceleracion en el movimiento variado ( Aceleracion Centripeta y Aceleracion Tangencial), ecuaciones, unidades………..…12 16. EJERCICIOS……………………………………………………………….....13 17. Conclusion…………………………………………………………………..…21 18. Anexos………………………………………………………………….……...22 19. Bibliografia……………………………………………………………………..26

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Introducción

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1. ¿Qué es el movimiento circular? Un movimiento circular es aquel en que la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo largo del tiempo (trayectoria) genera una curva en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia R de un mismo punto llamado centro. Es decir cuando la trayectoria de un móvil es una circunferencia. Este tipo de movimiento plano puede ser, al igual que el movimiento rectilíneo, uniforma o acelerado. En el primer caso, el movimiento circunferencial mantiene constante el módulo de la velocidad, no así su dirección ni su sentido. De hecho, para que el móvil pueda describir una curva, debe cambiar en todo instante la dirección y el sentido de su velocidad. Bajo este concepto, siempre existe aceleración en un movimiento circunferencial, pues siempre cambia la velocidad en el tiempo, lo que no debemos confundir, es que si un movimiento circular es uniforme es porque su "rapidez" es constante.

2. Desplazamiento angular, unidades   La unidad de medida en el SI es el radian. Existe una relación matemática sencilla entre los arcos descritos y los ángulos que sustentan: "el ángulo es la relación entre el arco y el radio con que ha sido trazado". Si llamamos ∆S al arco recorrido e ∆φ al ángulo barrido por el radio:

El radian  es el ángulo cuya longitud del arco es igual al radio. Por lo tanto, para una circunferencia completa:

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3. Velocidad angular, definición, unidades Velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega (ω). La velocidad angular se mide por el cociente que resulta de dividir el ángulo que describe el móvil entre el tiempo que emplea en describirlo. Velocidad angular ¿

angulo α → ω= tiempo t

Si un cuerpo gira n circunferencias en un tiempo t, como una circunferencia tiene 2 π radianes podemos escribir:

ω → es la velocidad angular n → es el numero de vueltas 2 π.n Formula → ω= t → es el tiempoque emplea t elmovil en dar n vueltas

{

Las unidades de velocidad angular van a depender de las medidas del ángulo, pero generalmente se mide en radianes/seg. En todos los sistemas de medidas la velocidad angular se mide en radianes sobre segundo. Una notación de la forma ω=0.2 rad /seg , es una velocidad angular y significa que el móvil describe un ángulo de 0.2 radianes en cada segundo.

4. Relación de la velocidad lineal y la velocidad angular, ecuaciones Cuando un disco gira con cierta rapidez, la velocidad lineal definida sobre la trayectoria y la velocidad angular definida sobre el ángulo barrido en un tiempo dado se producen de forma simultánea. Por lo tanto, es posible establecer una relación entre la velocidad lineal y la angular. v=ω ∙ r Observa que la velocidad lineal es directamente proporcional a la velocidad angular, siendo la constante de proporcionalidad el radio de giro.

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Las formulas de la rapidez lineal y de la rapidez angular son: v=

2 π .r . n 2π .n y ω= t t

Dividiendo miembro a miembro estas dos fórmulas resulta: 2 π .r . n v t = =r → v=ω . r ω 2π .n t

5. Movimiento circular uniforme Cuando un objeto gira manteniendo su distancia a un punto fijo, llamado centro de giro, de manera que su rapidez lineal es constante, diremos que tiene un movimiento circunferencial uniforme (M.C.U.). En un MCU, el cuerpo que gira describe arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de un carrusel de un parque de diversiones. 

En el MCU el módulo de la velocidad no cambia (por ser uniforme), pero si la dirección (por ser curvilíneo). La velocidad es un vector tangente a la trayectoria circular, por lo que es perpendicular al radio.



Imaginémonos que el móvil A describe una circunferencia de centro O y Radio OA = R. Si en el intervalo de tiempo "t" el móvil se ha desplazado desde A hasta B, el desplazamiento angular es.

6. Desplazamiento angular en el movimiento circular uniforme, ecuación y unidades

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El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio. La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene  radianes. La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo: ω=

dφ dt

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

7. Periodo Al tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta completa lo llamamos periodo y le anotamos con la letra T . t n

{

T → Es el periodo

Formula → T= ; t → Es el tiempo que emplea el movil en cada n vueltas

n→ Es el numero de vueltas

Como un periodo es en realidad un tiempo, significa que las unidades para medir el periodo son unidades de tiempo.

8. Frecuencia Al número de vueltas que da el móvil en cada unidad de tiempo lo llamamos frecuencia y le anotamos con la letra f . n t

Formula → f = ;

f → es la frecuencia n→ es el numero de vueltas t →es el tiempo que emplea el movilen dar n vueltas

{

La frecuencia se mide por el número de vueltas o revoluciones en cada unidad de tiempo. Las unidades más usadas son: Revoluciones por minuto, que se abrevia → r . p . m y el herzio que se abrevia HZ.

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En realidad un herzio es igual a una vuelta en cada segundo . La notación: f =4 H Z es una frecuencia y significa que el móvil da 4 vueltas en cada segundo. 9. Aceleración Centrípeta, Ecuación y unidades Cuando se estudió la aceleración en el movimiento rectilíneo, dijimos que ella no era más que el cambio constante que experimentaba la velocidad por unidad de tiempo. En este caso, la velocidad cambiaba únicamente en valor numérico (su módulo o rapidez), no así en dirección.

Aceleración centrípeta. Ahora bien, cuando el móvil o la partícula realizan un movimiento circular uniforme, es lógico pensar que en cada punto el valor numérico de la velocidad (su módulo) es el mismo, en cambio es fácil darse cuenta de que la dirección de la vector velocidad va cambiando a cada instante. La variación de dirección del vector lineal origina una aceleración que llamaremos aceleración centrípeta. Esta aceleración tiene la dirección del radio y apunta siempre hacia el centro de la circunferencia. Como deberíamos saber, cuando hay un cambio en alguno de los componentes del vector velocidad tiene que haber una aceleración. En el caso del movimiento circular esa aceleración se llama centrípeta, y lo que la provoca es el cambio de la dirección de la vector velocidad angular. El vector velocidad tangencial cambia de dirección y eso provoca la aparición de una aceleración que se llama aceleración centrípeta, que apunta siempre hacia el centro. La aceleración centrípeta se calcula por cualquiera de las siguientes dos maneras:

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 La aceleración asociada a los cambios en su módulo (rapidez) Ya sabemos que un movimiento circular, aunque sea uniforme, posee la aceleración centrípeta debida a los cambios de dirección que experimenta su vector velocidad. Ahora bien, si además la velocidad del móvil varía en su magnitud (módulo) diremos que además posee aceleración angular. Para calcular la aceleración centrípeta, tenemos las siguientes ecuaciones:

10. Fuerza Centrípeta, Ecuación, unidades La aceleración se debe a una fuerza que atrae al cuerpo hacia el centro de la trayectoria, a esa fuerza la llamamos Fuerza Centrípeta. Esa fuerza es la que modifica la dirección y sentido de la velocidad tangencial a cada instante, si no fuera por la fuerza el cuerpo continuaría el movimiento rectilíneo uniforme con la dirección y sentido de ese instante. Dicha Fuerza Centrípeta tiene igual dirección y sentido que la aceleración centrípeta. Las ecuaciones de la Fuerza Centrípeta

FUERZA CENTRÍPETA + INERCIA = MOVIMIENTO CIRCULAR

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Al combinar la fuerza Centrípeta dirigida hacia el centro que no permite que siga en línea recta y la inercia del cuerpo que no permite que se dirija al centro, sucediendo esto a cada instante, se va formando la trayectoria circular.

11. Fuerza Centrífuga, Ecuación, unidades En la mecánica clásica o mecánica newtoniana, la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en un sistema de referencia en rotación, o equivalentemente la fuerza aparente que percibe un observador no inercial que se encuentra en un sistema de referencia rotatorio. El calificativo de "centrífuga" significa que "huye del centro". En efecto, un observador no inercial situado sobre una plataforma giratoria siente que existe una «fuerza» que actúa sobre él, que le impide permanecer en reposo sobre la plataforma a menos que él mismo realice otra fuerza dirigida hacia el eje de rotación. Así, aparentemente, la fuerza centrífuga tiende a alejar los objetos del eje de rotación. El término también se utiliza en la mecánica de Lagrange para describir ciertos términos en la fuerza generalizada que dependen de la elección de las coordenadas generalizadas. En general, la fuerza centrífuga asociada a una partícula de masa "m” en un sistema de referencia en rotación con una velocidad angular “w” y en una posición “r” respecto del eje de rotación se expresa: Fcf =−mw x (w x r) Por lo tanto, el módulo de esta fuerza se expresa: Fcf =−mw 2 r

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Fuerza centrípeta (real) y fuerza centrífuga (falsa o ficticia). 12. Movimiento circular variado En una circunferencia o en un movimiento cuya trayectoria es curva, la velocidad es variable. Este movimiento, además de presentar aceleración centrípeta, como en el caso del M.C.U, presenta aceleración tangencial y aceleración angular. La aceleración tangencial aparece por efecto de la variación de la magnitud de la velocidad y la aceleración angular, por efecto de la variación de la velocidad angular. Conocíamos del M.C.U, las siguientes relaciones: Vt =w∗r

ac=vt 2/r =w 2∗r

13. Desplazamiento angular para el movimiento circular variado, ecuaciones, unidades La regla de la mano derecha, es una forma sencilla para indicar el sentido de la rotación de los cuerpos. La velocidad angular, es la variación del ángulo de centro barrido durante un intervalo de tiempo, su dirección es perpendicular al plano que contiene la circunferencia. Una distancia recorrida por una partícula en una trayectoria circular se expresa frecuentemente en radianes (rad), grados (°) y revoluciones (Rev.); es conveniente expresar toda rotación en radianes. El radian es una unidad de medida angular, así como el metro es la unidad de medida lineal. Se define al radián como el ángulo subtendido por el arco del círculo cuya longitud es igual al radio del mismo círculo.

14. Velocidad angular en el movimiento circular variado

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Cuando un objeto se mueva en una circunferencia, llevara una velocidad, ya que recorre un espacio, pero también recorre un ángulo. Para tener una idea de la rapidez con que algo se está moviendo con movimiento circular, se ha definido la velocidad angular (ω) como el número de vueltas que da el cuerpo por unidad de tiempo. Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que da muchas vueltas por segundo. De manera sencilla: en el movimiento circular la velocidad angular está dada por la cantidad de vueltas que un cuerpo da por segundo. Otra manera de decir lo mismo seria: en el movimiento circular la velocidad angular está dada por el ángulo recorrido ( θ ) dividido por unidad de tiempo. El resultado está en grados por segundo o en radianes por segundo.

15. Componentes de la aceleración en el movimiento variado (Aceleración Centrípeta y Aceleración Tangencial), ecuaciones, unidades. Se representa en un vector aceleración con dos componentes vectoriales que tienen su origen en el centro del círculo de líneas punteadas: Un componente radial ar (con la misma dirección que el radio del círculo) y un componente tangencial at perpendicular al radio del círculo. Por lo tanto la aceleración total en el movimiento circular variado es igual a la suma vectorial de la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial: a=ar +at La aceleración tangencial causa la variación de la velocidad de la partícula. Este componente vectorial en el movimiento circular variado tiene la misma dirección que la velocidad instantánea, hace variar el valor de la velocidad y se representa como en el movimiento lineal: at=dv /dt Mientras que el componente radial de la aceleración en el movimiento circular variado equivale a la aceleración centrípeta que genera la variación de dirección del vector velocidad y se representa como hemos visto anteriormente con el movimiento circular uniforme de la siguiente manera: ar =a centrípeta=u 2/r

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EJERCICIOS

1) La distancia media de la tierra al sol es de. Si se considera que la trayectoria que describe la tierra alrededor del sol es circular determine:

DATOS: a)

Velocidad angular de la tierra alrededor del sol

b)

Rapidez de la tierra alrededor del sol

Datos :r =1,5 x 1011 m→distancia media de la tierra al sol a ¿ w=? b ¿ v=?

T =365 días R

1 día → 24 horas 365 días → x x=

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365 dias x 24 horas =8760 horas 1dia

1 hora →3600 seg 8760 hora → x x=

8760 horas x 3600 seg → x=31536000 seg 1 hora

a) velocidad angular de la tierra alrededor del sol w=

2π rad 2(3,14) → w= →1,99 x 10−7 T seg 31536000

b) rapidez de la tierra alrededor del sol v=1,99 x 10−7

rad x 1,5x1011m seg

v=29850 m/seg

2) El segundero de un reloj mide 1cm. Para el movimiento del extremo y del punto medio del segundero determinar: a) velocidad angular b) Rapidez lineal

DATOS: R 1=1 cm R2=

R1 1m = 0,5 cm →0,5 cm → 0,5 cm x = 5x10-3 2 100 m

a) Velocidad angular w1=w2=

2 π 2(3,14) ¿ = 0,1047 rad / seg T 60 seg

b) Velocidad lineal 14

V 1=w 1 R 1 V 1=0,1047 rad / seg x 0,01 m=1,047 x 10−3 m/seg V 2=w 2 R 2 V 2=0,1047 rad /seg x 5 x 10−3=523 x 10−4 m/seg

3. Los satélites geoestacionarios siempre se encuentra sobre el mismo punto de la tierra a una distancia de 36000km de la superficie terrestre: determine a) el periodo de revolución de un satélite geoestacionario b) la frecuencia del satélite DATOS: Rt :3600 Km A) B) C) D) E)

T =? f =? L=? W =? U =?

r ¿ Rt +h r =6320 km+ 3600 km=42370 km=42370 x 10 3 km

a) Periodo de revolución de un satélite geoestacionario T :24 h T :24 h .

3600 s =86400 s 1h

b) Frecuencia del satélite : f =

1 T

f =1=1,157 x 10−5 1/s=1,157 x 10−5 Hz 16400 s

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c) Distancia recorrida por el satélite L=Lo=2 π . r L=2( 3,14).(42370 x 103 m) L=6,28 x 42370 x 103 m=266.083,6 m d) Velocidad angular de latrayectoria 2π 2. 3,14 W= W= =7 ,27 x 10−5 rad /s t 86400 seg

e) Rapidez del movimiento V =w . v V =7,27 x 10−5 rad /s x 4237 x 10−3 m=3081,23 m/s

4. Un automóvil de masa 1000kg toma una curva de 200m de radio con velocidad de determine: la fuerza de rozamiento necesaria para que el automóvil continúe su trayectoria sobre la vía circular.

DATOS: M =1000 Kg R=200 m V =108 Km /h Fr=? Fuerza de roce será : fr=fc=m . ac Para ac=m .

v2 r

108 km 108 km 1 h 1000 m = . . =30 m/s h h 3600 s 1 km

V2 Fr=M . r

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30 m 2 s m2 Fr=1000 kg . =1000 kg .900 2 200 m s

( )

Fr=1000 kg x 4,5

m2 / s2 m

Fr=4500newton

5) Un disco con una circunferencia de 45 r.p.m. se detiene después de 5 segundos. Calcular su aceleración angular

DATOS: f =45rad /min x

1min = 0,75 rad/seg 60 seg

T= 5 seg W f =o rad /seg α =?

W O =2 π f W O = 2 (3,14)(0,75rad/seg)= 4,712 rad/seg α= α=

W f −W O Wo ¿− T t

4,712 rad /seg =-0,942 rad /seg 5 seg

6. Sobre una superficie, gira un objeto atado a una cuerda de 50 cm de longitud con velocidad de. Por efecto de la fricción, el objeto disminuye su velocidad con aceleración angular constante y se detiene a los 4s. Determine: a) Velocidad angular inicial al objeto b) Aceleración angular

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c) Aceleración tangencial d) Desplazamiento angular

DATOS: L=50 cm . V o=

1m =0.5 m 100 cm

5m s

t=4 s Wf =0 rad /s a ¿ W o=? b ¿ ∝=? c ¿ A t =? d ¿ θ=?

a ¿ W o=

Vo 5 m/s 2 →W o= =10rad / s L 0.5 m

0 rad 10 rad − Wf −W o s s b¿α= →α= =−2.5 rad / s2 t 4s c¿A

T=¿ α . L →−

2.5 rad .0.5 m=−1.25 m /s 2 ¿ s2

−2.5 rad ( 4s) ( ) s α .t 10 rad d ¿ θ=W . t + → θ= . 4 s+ →θ=40rad −20 rad 2

2

2

o

2

s

2

→ θ=20 rad 20 rad .

180 ° =1146 ° =66 ° 3.14 rad

7) En un carrusel infantil, algunos caballos se encuentran ubicados mas cerca al borde que otros, ¿ Cuales caballos se mueven con mayor rapidez, los que se encuentran cerca del centro o los que se encuentran cerca del borde exterior. Explique:

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Todos los caballos se mueven con la misma rapidez angular, porque desplazan en el mismo angulo, en el mismo tiempo. Los que estan mas alejados del centro se mueven con mayor rapidez lineal, pues recorren mayor distancia en el mismo tiempo.

8) Porque en las pruebas de atletismo de los 400m planos, los corredores no se colocan todos en la misma linea de pista, sino que lo hacen formando una diagonal. Explique:

Porque a medida que el corredor se ubica mas alejados del centro de la curva, tendra que correr mayor distancia para describir la vuelta completa y si todos los corredores desarrollaran la misma rapidez, ganara el que estuviera mas cerca del centro.

9) Un auto recorre una pista circular de 1609km de radio y da 30 vueltas cada 20minutos. Calcular: a) El periodo y la frecuencia

b) La velocidad lineal

c) Velocidad angular

d) Aceleracion centripeta

DATOS: r =1609 km=1609.103 m n=30 t=20 min .

60 s =1200 s 1 min

a ¿ T , f =? b ¿ V =? c ¿ ω=? d ¿ A c =? t 1200 s a ¿ Periodo→ T = →T = =40 s n 30

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Frecuencia → f =

b¿V=

V=

1 1 →f= =0.025 H z T 40 s

2π .r → T

2 ( 3.14 ) .(1609)(103 m) 1010452 = =252613 m/s 40 s 40 s

c ¿ ω=

V → V =ω . r r

252673m s ω= =0.157 rad / s 1609(103 m) (252613 m/ s)2 6.3813(103 m) V2 d ¿ A c= → A c= → A c= =39.0660,24 m/ s2 3 3 r 1609(10 m) 1609(10 m)

10) En una fabrica, uno de los aparatos se maneja con una rueda de radio 30cm y velocidad angular de 20rad/s, a partir del momento en que el aparato es desconectado, la rueda tarda 2.5s en deenerse. ¿Cuántas vueltas alcanza en dar la rueda en ese tiempo?

DATOS: W o =20 rad /s r =30 cm=0.3 m t=2.5 s W f=

0 rad s

n=? W o−W f 0 θ= .t 2

20

W → θ= o .t → θ= 2 → θ=

20 rad s .2.5 s 2

10 rad . 2.5 s → θ=25 rad s n=

n=

θ → 2π

25 rad 25 rad 25 →n= → → 2π 2 ( 3.14 ) rad 6.28 n=4 vueltas

Conclusión

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Anexos

Ejercicios sobre movimiento circular uniforme

Ejercicio 1) Un móvil con trayectoria circular recorrió 820° ¿Cuántos radianes son? Desarrollo Sabemos que 1 rad = 57,3° Entonces 

Ejercicio 2) Un tractor tiene una rueda delantera de 30 cm de radio, mientras que el radio de la trasera es de 1 m. ¿Cuántas vueltas habrán dado la rueda trasera cuando la delantera ha completado 15 vueltas?

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Desarrollo: Entonces, si en una vuelta la rueda delantera recorre 1,884 metro, en 15 vueltas recorrerá: 15 • 1,884 m = 28,26 m

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Figura 1. Ejercicios de rapidez angular, periodo y frecuencia

Expresión de las Velocidades en Función del Período y Frecuencia

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Aceleración Centrípeta

Se observa en la figura, que la velocidad del móvil no es constante, sino que su dirección está cambiando. Como la dirección de la velocidad cambia y la rapidez es constante, la aceleración centrípeta. La aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro de la trayectoria.

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Bibliografía

 http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MovimientoCircular.html

26

 http://es.slideshare.net/iaespino/movimiento-circular-variado  https://es.vbook.pub.com/doc/106608495/Formulas-de-Movimiento-Circular-

Uniforme-y-Uniformemente-Variado  http://mcuymcuv.blogspot.com/

 Curso Propedéutico De Física. E.NAVARRO  http://www.universoformulas.com/fisica/cinematica/movimiento-circular-

uniformemente-acelerado/  http://fisicacinematicadinamica.blogspot.com/2010/04/movimiento-

circular-uniforme-m-r-u.html

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