Notas_de_aula_da_unidade_ii.pdf

UNIDADE II

39 páginas

RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO A resposta temporal de um sistema de controle consiste na resposta transitória e na resposta estacionária: Resposta transitória: É aquela vai do estado inicial até o estado final. Resposta estacionária: É a forma como a resposta do sistema se comporta quando o tempo tende para o infinito. 1.0 PÓLOS E ZEROS DE UMA FT O uso de pólos e zeros e de sua relação com a resposta do sistema no domínio do tempo é uma técnica de análise e projeto com rapidez, se comparada com a transformada de Laplace ou equações diferenciais. Pólos: Valores da variável S, da TL, que anulam o denominador da FT. Zeros: Valores da variável S, da TL, que anulam o numerador da FT. 1.1 Pólos e zeros de um sistema de primeira ordem

Fig. 2.1 - a) Sistema com entrada e saída; b) diagrama de pólos e zeros

 s 2  A B 2 5 35 C(s)      s(s 5) s s 5 s s 5 2 3 c (t )   e 5t 5 5

Fig. 2.2 - Diagrama de pólos e zeros de um sistema

(2.1)

(2.2)

UNIDADE II

2

2.0 RESPOSTA DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Um sistema de primeira ordem pode ser representado pela função de transferência mostrada na Figura (2.3).

Fig. 2.3 - Sistema de primeira ordem Para uma entrada degrau, a resposta c(s) é: a C(s) R (s) G(s)  s(s a )

(2.3)

Aplicando a transformada de Laplace inversa resulta:

c( t ) c f ( t ) c n ( t ) 1 e at

(2.4)

onde o pólo da entrada gerou a resposta forçada cf (t) = 1 e o pólo do sistema em -a gerou a resposta natural c n(t) = -e-at. Fazendo t = 1/a na Equação (2.4) tem-se:

c (t ) t 1 a 1 e at

t 1a

10,37 0,63

onde 1/a é a constante de tempo de resposta, que é o tempo necessário para que a resposta atinja 63% do valor final.

Fig. 2.4 - Resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau unitário

UNIDADE II

3

Quanto mais próximo for o pólo do eixo imaginário, mais lenta é a resposta do sistema. O tempo de subida Tr e o tempo de assentamento Ts, São outras especificações da resposta transitória: Através da Equação (2.4) tem-se: 2.302 0,105 2,197 Tr    a a a

e o tempo de assentamento é o tempo necessário para que a resposta atinja 98% do valor final e permaneça. Fazendo c(t) = 0,98 e usando a Equação (2.4) tem-se: 4 Ts  a

2.1 FT de primeira ordem obtidas experimentalmente Considere-se um sistema de primeira ordem simples: K G (s)  s a

cuja resposta ao degrau é:

K K /a K /a C(s)    s(s a ) s s a

(2.5)

Supondo que a resposta ao degrau seja dada pela Figura (2.5), a constante de tempo é 0,63x0,72 = 0,45, ou seja, 0,13s.

Fig. 2.5 - Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem Neste caso, a=1/0,13=7,7. Com base na Equação (2.5) a resposta no tempo é: K K c (t )   e at a a

UNIDADE II

4

para t muito grande,

K c(t )   K 0,72x 7,7 5,54 a

A curva de resposta da Figura (2.5) foi obtida usando a seguinte FT: 5 G (s)  s 7

3.0 RESPOSTA DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Enquanto um sistema de primeira ordem, a variação de um parâmetro muda simplesmente a velocidade de resposta, nos sistemas de segunda ordem a forma de resposta também é alterada. A forma geral de um sistema de segunda ordem é dada pelo bloco da Figura (2.6).

Fig. 2.6 - forma geral de um sistema de Segunda ordem Dependendo dos parâmetros do sistema, as respostas podem ser: superamortecidas, sobreamortecidas, não-amortecidas e criticamente amortecidas. As Figuras (2.7, 2.8, 2.9 e 2.10) mostram as curvas de resposta ao degrau em função dos parâmetros do sistema.

a)

b)

c) Fig. 2.7 - Sistema superamortecido; a) função de transferência; b) diagrama de pólos e zeros; c) resposta no tempo

a)

b)

UNIDADE II

5

c) Fig. 2.8 - Sistema subamortecido; a) função de transferência; b) diagrama de pólos e zeros; c) resposta no tempo

a)

b)

c) Fig. 2.9 - Sistema não-amortecido; a) função de transferência; b) diagrama de pólos e zeros; c) resposta no tempo

a)

b)

c) Fig. 2.10 - Sistema criticamente amortecido; a) função de transferência; b) diagrama de pólos e zeros; c) resposta no tempo

UNIDADE II

6

Fig. 2.11 - Componentes da resposta ao degrau gerada pelos pólos complexos 3.1 Sistema de Segunda ordem geral Frequência natural, n - Frequência de oscilação do sistema de segunda ordem sem amortecimento. Frequência natural, d - Frequência de oscilação do sistema de segunda ordem com amortecimento. Fator de amortecimento  - é a relação entre o valor da constante de amortecimento real e o valor crítico desta constante. Para a função de transferência da Figura (2.12) tem-se:

Fig. 2.12 - FT geral de um sistema de segunda ordem onde a é constante de amortecimento efetiva do sistema. As raízes do polinômio são:

m1,2

a j 4b a 2  j d 2

(2.6)

se a2 = 4b, as raízes são reais e iguais e o sistema é dito criticamente amortecido e a constante de amortecimento crítico é dada por 2 b . logo

amortecimento real a   amortecimento crítico 2 b

(2.7)

Quando é inferior a unidade, as raízes são complexas e o transitório é uma senóide amortecida (subamortecida). Quando  é maior que a unidade, as raízes são reais e a resposta é superamortecida. Para um sistema subamortecido a frequência natural n é dada por:

UNIDADE II

7 n  b

(2.8)

Neste caso, o polinômio é dado por:

2n G (s)  2 s 2 n s 2n da Equação (2.9), logo

(2.9)

a n que representa a parte real. 2 2 j d  n j n 1 

(2.10)

A resposta transitória em termos de n e neste caso é:

c( t ) Aen t sen(n 12 t  ) Quanto maior for n , mais rápido decairá o transitório e

(2.11)

d

aumenta com o

aumento de n e diminui com o aumento de . As Figuras (2.13, 2.14, 2.15 e 2.16) mostram como varia a resposta do sistema em função do fator de amortecimento.

Fig.2.13 - Sistema com fator de amortecimento nulo

Fig. 2.14 - Sistema com fator de amortecimento menor que 1

Fig. 2.15 - Sistema com fator de amortecimento igual a 1

UNIDADE II

8

Fig. 2.16 - Sistema com fator de amortecimento maior que 1 Sistemas de Segunda ordem subamortecidos A transformada da resposta C(s) é a transformada da entrada multiplicada pela FT dada por (2.9):

2n

k k s k 3 C(s)  2 12 2 2 s(s 2 n s n ) s s 2n s 2n Expandindo-se em frações parciais tem-se:  (s n )  n 1 2 1  1 C (s)   2 s s n 2n (1 2 )

(2.10)

(2.11)

A transforma de Laplace fornece: c (t ) 1 e

   2 2  cos n 1 t  sen n 1 t   2 1    

n t 

(2.12)

c (t ) 1 

onde

2 e nt cos n 1  t    2   1 

1

tg 1 ( 1 2 )

Fig. 2.17 - Resposta de um sistema subamortecido

UNIDADE II

9

Outros parâmetros associados à resposta subamortecida são: 1. Instante de pico Tp : Tempo necessário para a resposta alcançar o primeiro valor de pico (máximo). 2. Ultrapassagem, %UP: O quanto o pico máximo ultrapassa, em percentual, o valor de estado estacionário. 3. Tempo de assentamento Ts: Tempo necessário que a resposta permaneça no interior de uma faixa de 2%, em torno do valor de estado estacionário. 4. Tempo de subida T r: Tempo necessário para que a resposta vá de 0,1 a 0,9 do valor final.

Fig. 2.18 - Especificações da resposta de um sistema subamortecido Cálculo do valor de T p O valor de T p é encontrado derivando (2.12) e obtendo o primeiro instante de passagem por zero, depois de T=0. Esta tarefa é simplificada através da derivação no domínio da frequência, usando o ítem 7 da Tabela (1.2) (Unidade 1) e supondo as condições iniciais nulas tem-se:

2n  [c ( t)] sC(s )  2 2 s 2n s n

(2.13)

2

n  2 2 2 (s n ) n (1  )

n

2

n 1 

1 2  2 2 2 (s n ) n (1  )

logo

c (t ) 

n 2

1 

2 e n t sen n 1  t

(2.14)

UNIDADE II

10

Igualando a derivada a zero resulta:

n 1 2 t n ou

(2.15)

n t n 1 2 Fazendo n=1 tem-se:

 Tp  n 1 2

(2.16)

Cálculo de % UP Com base na Figura (2.18) tem-se: c c %UP  max final  100 c final

(2.17)

O valor c max é obtido calculando o valor de c(t) em (2.12), no instante de pico T p dado por (2.16):    (   12 )  cmax c (Tp ) 1 e cos  sen    2 1        12    1 e

(2.18)

Pela resposta ao degrau calculada na Equação (2.12): c final 1

(2.19)

Substituindo (2.18) e (2.19) em (2.17) tem-se:     12    % UP e 100

De (2.20) pode-se tirar o valor de



(2.20)

que é dado por: Ln (%UP / 100 2

2

 Ln (%UP / 100)

(2.21)

Fig. 2.19 - Ultrapassagem percentual em função do fator de amortecimento

UNIDADE II

11

Cálculo de T s Usando a definição do tempo de assentamento, a parcela responsável pelo amortecimento em (2.12) é:

e n Ts

logo

1

0,02

(2.22)

Ln( 0.02 12 ) Ts  n

(2.23)

2

1 

A Equação (2.23) varia de 3,91 a 4,47 para variando de 0 a 0,9. Uma aproximação para o tempo de assentamento pode ser usada como: 4 Ts  (2.24) n Tempo de subida T r Não é possível obter uma relação analítica precisa entre o tempo de subida e a relação de amortecimento. Isto se faz calculando T r para cada valor de em (2.12).

Fig. 2.20 - Tempo de subida normalizado versus razão de amortecimento 3.2 FT de segunda ordem obtidas experimentalmente Dada a curva obtida em laboratório, pode-se medir o sobresinal (%U) e o tempo de assentamento, de onde é possível obter os pólos e por conseguinte o denominador. O numerador pode ser encontrado como no sistema de primeira ordem. Exemplo: Obter , n , Ts , Tp , Tre %UP de um sistema cuja FT é: 361 G (s )  2 s 16s 361

UNIDADE II

12 n  361 19rad / s

2 n 16  0,421

e

4 4 Ts   0,5s n 0,451 19

 Tp  0,182s n 1 2

e

A partir da Figura (2.20):

n Tr 1,4998  Tr 0,079s e

% UP

  12      e 100 23,3%

3.3 Resposta de sistemas com pólos adicionais Considere-se um sistema constituído de três pólos, dois complexos em

 n jn 1 2 e um pólo real em - , cuja função de transferência é dada por: 2n

G (s )  (s 2 2n 2n ) s 

(2.25)

A partir da equação em frações parciais tem-se: A B(s n ) Cd D C(s)    2 s s  s  2



n



(2.26)

d

A resposta no domínio do tempo é: c( t ) Au(t ) e nt  B cos d t C sen d t  Det

Fig. 2.21 - Diagrama de pólos

Fig. 2.22 - Resposta dos componentes

(2.27)

UNIDADE II

13

1. Caso I - r1 e não é muito maior do que  n . 2. Caso II - r 2 e é muito maior do que  n . 3. Caso III -  Exemplo: Obter as respostas ao degrau de cada uma das funções de transferência mostradas nas equações abaixo: 24,542 G 1 (s )  2 s 4s 24,542

245,42 s 10s2 4s 24,542

G 2 (s) 





73,626  s 3s 4s 24,542

G 3 (s ) 

 2



As respostas ao degrau para as FT acima são:

c1 ( t ) 11,09e2 t cos(4,532t 23,8o ) c 2 ( t ) 1 0,29e 10t 1,189e 2 t cos( 4,532 t 53,34o ) c3 t ) 1 1,14e 3t 0,707e 2 t cos(4,532t 78,63o ) As três respostas estão plotadas na Figura (2.23).

Fig. 2.23 - Resposta ao degrau dos sistemas G1(s), G2 (s) e G3(s) Exemplo: Determinar a validade de uma aproximação de segunda ordem para cada uma das FT mostradas abaixo: 185,7(s 7)  s 6,5  s 10  (s 20)

a) G(s) 

197,14(s 7)  s 6,5  s 10  (s 20)

b) G (s) 

UNIDADE II

14

a) Expandindo C(s) em frações parciais resulta: 1 0,8942 1,5918 0,3023 C( s )     s s 20 s 10 s 6 ,5

A aproximação de segunda ordem não é válida porque 0,3023 não é uma ordem de magnitude inferior aos resíduos dos termos de Segunda ordem. b) Expandindo em frações parciais resulta; 1 0,9782 1,9078 0,0704 C( s )     s s 20 s 10 s 6,5

A aproximação de segunda ordem é válida porque 0,0704 é uma aproximação de segunda ordem inferior aos resíduos dos termos de segunda ordem. 3.4 Resposta do sistema com zeros Considere-se um sistema de segunda ordem com pólos em ( 5 j2,828) , adicionando-se zeros em -3, -5 e -10. Os resultados normalizados são mostrados na Figura abaixo.

Fig. 2.24 - Efeito de adicionamento de zero a um sistema com dois pólos - A medida que o zero se afasta dos pólos dominantes a resposta tende à do sistema de Segunda ordem. - Quanto mais próximo o zero estiver dos pólos dominantes, tanto maior será seu efeito sobre a resposta transitória. Admita a expansão em frações parciais dada pela Equação abaixo:

 s a  A B    s b s c  s b s c

G (s ) 

b a b c  c a c b



s b



s c

(2.28)

UNIDADE II

15

Se o zero estiver afastado dos pólos, a é grande em comparação com b e c, então: a G (s )  (2.29)  s b   s c  Neste caso, o zero se assemelha a um simples fator de ganho e não muda as amplitudes relativas dos componentes da resposta. Uma outra forma de olhar o efeito de um zero é adicionar um zero à FT. Seja C(s) a resposta de um sistema com numerador unitário.

s a  C(s) sC(s) aC(s)

(2.30)

Na Equação (2.30), quando a é positivo (zero no semi-plano direito) e o termo derivativo sC(s), for maior do que o termo em escala aC(s), a resposta seguirá inicialmente a derivada em direção oposta à da resposta em escala, ou seja, a resposta começa a se orientar no sentido negativo, embora o valor final seja positivo. Estes sistemas são chamados de fase não- mínima

Fig. 2.25 - Resposta ao degrau de um sistema de fase não-mínima 4.0 ESTABILIDADE A estabilidade é a especificação mais importante do sistema. 1. Um sistema é estável se a resposta natural tender a zero quando o tempo tender ao infinito; 2. Um sistema é instável, se a resposta natural crescer a medida que o tempo tender para o infinito; 3. Um sistema é marginalmente estável quando a resposta natural permanece com uma oscilação constante a medida que o tempo tender para o infinito. A estabilidade de um sistema pode ser verificada analisando a localização dos pólos de malha fechada. Um sistema é instável se tem pelo menos u um pólo no semiplano direito e estável se estão localizados no semiplano esquerdo.

UNIDADE II

16

Fig. 2.26 - Sistema estável

Fig. 2.27 - Sistema instável 4.1 Critério de estabilidade de Routh O critério de estabilidade de Routh possibilita determinar o número de pólos a malha fechada, no semiplano direito, sem fatorar o polinômio do denominador da FT.

Fig. 2.28 - Sistema de Quarta ordem Tab. 2.1 - Tabela inicial de Routh

UNIDADE II

17 Tab. 2.2 - Tabela completa de Routh

O número de raízes de um polinômio que estão no semiplano da direita é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna. O sistema é estável se não houver mudança de sinal na primeira coluna. Exemplo: O sistema abaixo é instável ou estável?

a)

b) Fig. 2.29 - a) sistema a malha fechada; b) sistema equivalente Tabela de Routh completa

UNIDADE II

18

O sistema é instável e tem dois pólos no semiplano da direita. Casos especiais 1. Zeros somente na primeira coluna Se o primeiro elemento de uma linha for zero, a divisão por zero é necessária. Exemplo: Determine a estabilidade da seguinte função de transferência a malha fechada: C(s ) 10 5 R(s) s 2s4 3s3 6s 2 5s 3

Tab. 2.3 - Tabela de Routh

Admitir um sinal positivo ou negativo para , como mostra a Tabela abaixo:

Se é positivo há uma mudança de sinal da linha s3 para s2 , e outra de s2 para s . O sistema é instável e dois pólos no semiplano direito. Se é negativo o resultado é o mesmo 1

2. Se a tabela tem uma linha completa de zeros

UNIDADE II

19

Exemplo: Determine o número de pólos no semiplano da direita da seguinte função de transferência a malha fechada: C(s) 10 5 4 3 R (s) s 7s 6s 42s 2 8s 56 Ao se construir a Tabela de Routh constata-se que os elementos da terceira linha são nulos. Neste caso, é necessário utilizar um artifício, o qual consiste dos seguintes passos: a) Obter o polinômio corresponde aos coeficientes da linha imediatamente acima, ou seja;

P(s) s4 6s 2 8 b) Derivar P(s) com relação a s. dP(s) 3 4s 12s 0 ds

c) Utilizar esses coeficientes para substituir os zeros da terceira linha e seguir a estrutura padrão.

De acordo com a tabela abaixo o sistema é estável. 4.2 - Projeto de estabilidade via critério de Routh Exemplo: Determine a faixa de valores do ganho k, para o sistema da Figura abaixo, que fará com que o sistema seja estável, instável, e marginalmente estável.

A FT a malha fechada é: C(s) k 3 2 R(s) s 18s 77s k

UNIDADE II

20 Tabela de Routh

O elemento da linha s 1, pode ser negativo, zero, ou positivo, dependendo do valor de k. 1. Se k <1386, todos os termos na primeira coluna serão positivos (sistema estável); 2. Se k >1386, o termo s1 na primeira coluna será negativo (sistema instável); 3. Se k=1386, tem-se uma linha completa de zeros (sistema marginalmente estável). 4.3 Estabilidade no espaço de estados Os autovalores da matriz A são determinados pela equação det(sI - A) = 0, que também levam aos pólos da função de transferência. Exemplo: Verifique a estabilidade do seguinte sistema no espaço de estados: 2 x1   -3 

1 7 4

1  0 1 x  0r   -5 1    

y [0

1 0] x

5.0 ERROS DE ESTADO ESTACIONÁRIO O erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste quando o tempo tende para o infinito. As entradas usadas para análise e teste estão resumidas na Tabela (2.4).

UNIDADE II

21 Tab. 2.4 - Formas de onda de sinais de teste

1. Entrada degrau: determina a capacidade do sistema em se posicionar com relação a um alvo estacionário; 2. Entrada rampa: determina a capacidade do sistema para seguir uma entrada linearmente crescente (rastrear um alvo com velocidade constante); 3. Entrada parabólica: determina a capacidade do sistema de rastrear alvos com aceleração constante. 5.1 Erro de estado estacionário com retroação unitária Considere o sistema com retroação unitária da Figura (2.30).

Fig. 2.30 - Sistema de controle com retroação unitária A expressão para E(s) é:

E( s) R (s) C(s) mas

C(s) E(s)G (s)

(2.31) (2.32)

Substituindo (2.32) em (2.31) tem-se: R (s ) E (s )  1 G (s)

(2.33)

UNIDADE II

22

Do teorema do valor final tem-se: e  lim e (t ) lim sE (s) t 

s0

(2.34)

logo para a Equação (2.33) resulta: sR (s) s0 1 G (s )

(2.35)

s(1 s) 1  s0 1 G (s ) 1 lim G ( s)

(2.36)

e() lim

1. Entrada degrau Usando a Equação (2.35) tem-se:

e( ) lim

s 0

O termo: lim G (s) é o ganho estático da FT de percurso direto. Para que (2.36) s0

seja nula, é necessário que: lim G(s) 

s 0

(2.37)

Então, para satisfazer a Equação (2.37), G(s) deve ter a seguinte forma:

(s z1 )(s z 2 ).... G (s)  n s (s p1 )(s p 2 )...

(2.38)

Para que o limite de (2.38) quando s tender a zero, seja infinito é necessário que o denominador de G(s) seja nulo. Isto só acontece se n1. Isto é, pelo menos um pólo deve estar na origem, para o que o erro seja nulo (curva 1 da Figura 2.31). Se n=0, o erro é constante (curva 2 da Figura 2.31).

Fig. 2.31 - Resposta ao degrau

UNIDADE II

23

2. Entrada rampa Usando a Equação (2.35) com R(s)=1/s2 tem-se: s(1 s2 ) 1 1 lim lim s 0 1 G (s ) s 0 s sG (s ) s 0 sG (s )

e() lim

(2.39)

Para que o erro de estado estacionário seja nulo para uma entrada rampa: lim sG (s)  s0

(2.40)

Para satisfazer (2.37), G(s) deve ter a mesma forma da Equação (2.38), com n2. A Figura (2.32) mostra as respostas à entrada rampa: saída 1, para erro nulo (n2); saída 2 para n=1 e saída 3, para n=0.

Fig. 2.32 - Resposta a uma entrada rampa 3. Entrada parabólica Usando a Equação (2.35) com R(s)=1/s3 , obtém-se:

s(1 s3 ) 1 1 lim 2 2 lim 2 s0 1 G (s ) s 0 s s G (s) s 0 s G (s )

e () lim

(2.41)

Para que o erro seja nulo deve-se ter: lim s2 G(s)  s0

(2.42)

Neste caso, para que o erro seja nulo deve-se ter n3. Se n=2 o erro de estado estacionário é constante e será infinito se n for zero ou 1. Constantes de erro estático e tipos de sistemas Os três termos do denominador de (2.36, 2.39 e 2.41), determinam os erros de estado estacionário, que são chamados de constantes de erro estático:

UNIDADE II

24 k p lim G (s)

constante de posição

(2.42)

k v lim sG (s)

constante de velocidade

(2.43)

k a lim s2 G(s)

constante de aceleração

(2.44)

s 0

s 0

s0

O tipo de sistema é definido pelo valor de n no denominador. Se n=0, o sistema é tipo zero. Se n=1, o sistema é tipo 1, e tipo 2 se n=2. De acordo com as Equações (2.42, 2.43 e 2.44), os erros de estado estacionário são dados por: 1 1 1. Entrada degrau: e()   (2.45) 1 lim G(s) 1 k p s0

2. Entrada rampa:

1 1 e()   s lim sG(s) k v

(2.46)

s 0

1 1 3. Entrada parabólica: e ()  2  2 s lim s G(s) k a

(2.47)

s0

Tab. (2.5) - Erros e constantes para diferentes tipos de sistemas

Erro de estado estacionário devido à perturbações A vantagem de se usar a retroação é que, independente de quais sejam essas perturbações, pode-se projetar o sistema para seguir o sinal de entrada, com erro pequeno ou nulo. Para o sistema da Figura (2.33):

Fig. 2.33 - Sistema de controle com perturbação

UNIDADE II

25

A transformada da saída é dada por:

C(s) E(s)G1 (s)G 2 (s) D(s)G2 (s)

C( s) R (s) E( s)

mas

(2.48) (2.49)

Substituindo (2.49) em (2.48) obtém-se: 1 G 2 (s) E (s )  R(s )  D(s) 1 G1 (s)G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s)

(2.50)

logo s sG 2 (s) R (s ) lim D(s) s 0 1 G1 (s)G 2 (s) s0 1 G1 (s)G 2 (s )

e() lim sE (s ) lim s 0

e R () e D ()

(2.51)

O primeiro termo de (2.51) já é conhecido e o segundo termo, supondo uma perturbação em degrau D(s)=(1/s) é: e D ()  lim

1

1 lim G1 (s) s  0 G 2 (s ) s  0

(2.52)

A Equação (2.52) mostra que para reduzir o erro devido a perturbação deve-se diminuir o ganho estático G 2(s) ou aumentar o ganho estático G1(s).

Fig. 2.34 - Sistema rearrumado mostrando a perturbação como entrada Erro de estado estacionário para sistemas com retroação não-unitária Os sistemas de controle muitas vezes não apresentam retroação unitária, por causa da compensação utilizada para melhorar o desempenho. O percurso de retroação, pode ser um ganho puro com valor diferente de 1 ou produzir alguma representação dinâmica. Considere-se o sistema da Figura (2.35) , onde G 1(s) é o transdutor de entrada:

Fig. 2.35 - Sistema com retroação não-unitária

UNIDADE II

26

Que pode ser representado pelo diagrama da Figura (2.36):

Fig. 2.36 - Diagrama equivalente da Figura (2.35) onde

H(s)=H 1(s)/G1(s) e G(s)=G1(s)G 2(s)

Somando e subtraindo uma realimentação unitária obtém-se a Figura (2.37)

Fig. 2.37 - Diagrama modificado O diagrama da Figura (2.37) pode ser rearranjado resultando no diagrama da Figura (2.38).

Fig. 2.38 - Diagrama equivalente ao da Figura (2.37) Simplificando o diagrama da Figura (2.38), chega-se ao diagrama da Figura (2.39), com retroação unitária:

Fig. 2.39 - Diagrama com retroação unitária

UNIDADE II

27

Exemplo: Para o sistema da Figura abaixo determine o tipo de sistema, a constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro de estado estacionário para uma entrada em degrau unitário. Admita que as unidades de entrada e de saída são as mesmas.

Depois de determinar que o sistema é realmente estável, o primeiro passo é converter o sistema em um sistema equivalente com retroação unitária. 100 G (s )  s(s 10) logo

e

1 H (s )  (s 5)

G (s ) 100(s 5) G e (s )  3 1 G(s)H(s) G(s) s 15s2 50s 400

Neste caso, tem-se um sistema do tipo zero. 100  5 5 k p lim G e (s)   s 0 400 4

logo

O erro de estado estacionário é: 1 1 e ()   4 1 k p 1 5 4 6.0 SENSIBILIDADE O grau segundo o qual variações nos parâmetros do sistema afetam as funções de transferência, e portanto o desempenho, é chamado de sensibilidade. A sensibilidade é a variação relativa de uma função e a variação relativa de um parâmetro quando esta tende a zero, ou seja: var iação percentual na função, F P0 variação percentual no parâmetr, P

SF:P  lim

F F P F P F  lim  P0 P P P0 F  P F P

 lim

(2.53)

Exemplo: Dado o sistema da Figura abaixo, calcular a sensibilidade da FT à variações do parâmetro a. Como é possível reduzir essa sensibilidade?

UNIDADE II

28

A FT a malha fechada é: C(s) k 2 T (s) R (s) s as k Usando a Equação (2.53) tem-se:  ks a T a  ST:F   T a  k s2 as k 2  s as k 



  2 



as 2 s as k De acordo com o resultado acima, a sensibilidade pode ser reduzida aumentando o parâmetro k. Exemplo: Determine a sensibilidade do erro de estado estacionário à variações do parâmetro k e do parâmetro a para o sistema da Figura abaixo, com uma entrada degrau.

O erro de estado estacionário deste sistema do tipo zero é: 1 1 ab e()    k 1 k p ab k 1 ab E sensibilidade de e() à variações dos parâmetros a e k é: Se: a

a e a (ab k)b ab 2 k    2 e a  ab   ab k ab k    ab k 

k  e k ab k Se:k    2 e k  ab  ab k  ab k   ab k 

O resultado acima mostra que a sensibilidade à variações de k e a é menor que um para a e b positivos. A retroação neste caso produz sensibilidade reduzida, para ambos os parâmetros. 7.0 ERRO ESTACIONÁRIO NO ESPAÇO DE ESTADOS Um sistema com uma entrada e uma saída representado no espaço de estados pode ser analisado em relação ao erro de estado estacionário, usando-se o teorema do valor final e a FT a malha fechada, representado por (1.88).

UNIDADE II

29 Y (s ) T (s )  C(SI A) 1 B D U (s )

(2.54)

Considere o sistema a malha fechada dado por: xAx Br

(2.55a)

y Cx

(2.55b)

A transformada de Laplace do erro é:

mas

E (s) C(s) R (s)

(2.56)

Y (s) R (s)T (s)

(2.57)

onde T(s) é a FT a malha fechada. Substituindo (2.57) em (2.56) obtém-se:

E(s) R (s) 1 T (s)

(2.58)

Usando (2.54) para T(s) tem-se:





1 E(s) R (s) 1 C SI A B

(2.59)

Aplicando o teorema do valor final resulta:





1 lim sE(s) lim sR (s) 1 C SI A B s0

s 0

(2.60)

Exemplo: Calcular o erro de estado estacionário, do sistema abaixo, para entradas rampa e degrau unitários. 5 1   A  0 - 2  20 - 10

0 1 ; 1 

0   B  0 ;  1  

C  1 1

0

Substituindo em (2.60) obtém-se: s3 6s 2 12s 16   e() lim sR (s) s3 6s2 13s 20  s0  

Para um degrau unitário R(s)=1/s, e e()=4/5 e para uma rampa unitária R(s)=1/s2, e e()=.

UNIDADE II

30 EXERCÍCIOS DA UNIDADE II

2.1 - Um sistema possui a seguinte função de transferência: 10(s 4)(s 6) G (s )  (s 1)(s 7)(s 8)(s 10) Escrever por inspeção, a saída c(t), em termos genérico se a entrada for um degrau unitário. 50 2.2 - Um sistema possui uma FT G(s)  . Obter a constante de tempo T c, o s 50 tempo de assentamento Ts e o tempo de subida, Tr.

2.3 - Escrever, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das FT. 400 a) G (s)  2 s 12s 400 900 b) G (s)  2 s 90ss 900 225 c) G (s)  2 s 305s 225 625 d) G (s)  2 s 625

2.4 - Obter , n , Ts, Tp , Tr e %UP de um sistema cuja função de transferência é: 361 G (s )  2 s 16s 361

2.5 - Determinar a validade de uma aproximação de segunda ordem, para cada uma das FT abaixo:

700 a) G(s)  (s 15)(s 2 4s 100) 360 b) G(s)  (s 4)(s2 2s 90) 2.6 - Determinar a validade de uma aproximação de Segunda ordem da resposta ao degrau para as seguintes FT: 185,7(s 7) a) G (s)  (s 6,5)(s 10)(s 20) 197,14(s 7) c) G(s)  (s 6,9)(s 10)(s 20)

UNIDADE II

31

2.7 - Usar o simulink do MATLAB para reproduzir a Figura abaixo:

2.8 - Para o sistema representado no espaço de estados abaixo: a) Determine y(t) usando as técnicas de espaço de estados e da transformada de Laplace; b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema. 2.9 - Para o sistema representado no espaço de estados abaixo: 0 x   -2 

2  0 x e -2t ;  - 5  1

y  2

1 x e

1  x(0)  2 

a) Calcule a matriz de transição de estados; b) Calcule o vetor de estado usando a integral de convolução; c) Obtenha a saída y(t). 2.10 - Considere o sistema mostrado na Figura abaixo a). O coeficiente de amortecimento do sistema é o,158 e a frequência natural não amortecida é 3,16 rad/s. Para melhorar a estabilidade relativa, utilizou-se uma realimentação tacométrica, como mostra a Figura b). Determine o valor de k, de modo que o coeficiente de amortecimento seja 0,5. Desenhe a curvas de resposta ao degrau unitário, do sistema da Figura a) e do sistema da Figura b). Determine também as curvas de erro versus tempo para a resposta a uma rampa unitária de ambos os sistemas.

UNIDADE II

32

2.11 - Utilizando o MATLAB, obtenha a resposta ao degrau unitário, à rampa unitária e ao impulso unitário do seguinte sistema: R(s) 10 2 C(s) s 2s 10 onde R(s) e C(s) são as transformada de Laplace da entrada r(t) e da saída c(t), respectivamente. 2.12 - Determine o intervalo de valores de k para a estabilidade do sistema com realimentação unitária, cuja FT em malha aberta é: k G (s )  s(s 1)(s 2) 2.13 - Considere o sistema de controle de um satélite mostrado na Figura a). A saída do sistema apresenta oscilações continuadas não desejáveis. Este sistema pode ser estabilizado pelo uso de realimentação tacométrica, como mostra a Figura b). Se k/j=4, que valor de kh resultará em coeficiente de amortecimento igual a 0,6?

2.14 - Considere um sistema de controle com retroação unitária, cuja FT a malha fechada é:

C (s ) ks b 2 R (s ) s as b Determine a FT de malha aberta G(s). Mostre que o erro estacionário na resposta à rampa unitária é dada por:

UNIDADE II

33

1 a k e()   kv b 2.15 - Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja FT de malha aberta é:

k G (s)  s ( js B) Discuta os efeitos que as variações de k e B produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária. Esboce curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos, médios e elevados de k, supondo que B seja constante. 2.16 - Determinar o erro de estado estacionário, a uma entrada em degrau, para o sistema da Figura abaixo. Repita o problema para uma entrada em rampa unitária. .

2.17 - Determinar a sensibilidade do erro de estado estacionário à variações de k no sistema da Figura abaixo.

2.18 - Determinar o erro de estado estacionário a uma entrada em degrau para o sistema abaixo:

0 A  -3 

1 ; - 6 

0  B  1 

e

C  1 1

2.19 - Para o sistema da Figura abaixo, qual o erro de estacionado esperado para uma entrada de 15u(t)?

UNIDADE II

34

2.20 - Um sistema com retroação unitária possui a seguinte FT no percurso direto:

10(s 20)(s 30) G(s )  s (s 25)(s 35) a) Determine o erro de estado estacionário para as seguintes entradas: 15u(t), 15tu(t) e 15t2u(t). b) Repetir para:

10(s 20)(s 30) G (s)  2 s (s 25)(s 35)(s 50) PROGRAMAS MATLAB 01. Resposta ao degrau de FT clf numt1=[24.542]; dent1=[1 4 24.542]; 'T1(s)' T1=tf(numt1,dent1) step(T1)

% Apaga o gráfico existente. % Define o numerador de T1. % Define o denominador de T1. % Exibe título. % Cria e mostra T1(s). % Executa uma demonstração de % gráfico de resposta a um degrau. title('Execução de Teste of T1(s)') % Adiciona legenda. pause 'Execução completa' % Exibe título. [y1,t1]=step(T1); % Executa a resposta de T1 a um % degrau e coleta pontos. numt2=[245.42]; p1=[1 10]; p2=[1 4 24.542];

% Define o numerador de T2. % Define (s+10) no denominador de T2. % Define (s^2+4s+24.542) no % denominador de T2. dent2=conv(p1,p2); % Multiplica (s+10)(s^2+4s+24.542) pelo % denominador de T2. 'T2(s)' % Exibe título. T2=tf(numt2,dent2) % Cria e mostra T2. [y2,t2]=step(T2); % Executa a resposta de T2 a um % degrau e coleta pontos. numt3=[73.626]; % Define o numerador de T3. p3=[1 3]; % Define (s+3) no denominador de T3. dent3=conv(p3,p2); % Multiplica (s+3)(s^2+4s+24.542) pelo % denominador de T3. 'T3(s)' % Exibe título. T3=tf(numt3,dent3) % Cria e mostra T3. [y3,t3]=step(T3); % Executa a resposta de T3 a um % degrau e coleta % pontos. clf % Apaga o gráfico existente. plot(t1,y1,t2,y2,t3,y3) % Plota os pontos coletados com os %três gráficos em uma única figura.

UNIDADE II

35

title('Resposta ao degrau de T1(s),T2(s),e T3(s)') % Adiciona legenda do gráfico. xlabel('Tempo(s)') % Nomeia o eixo dos x como eixo dos tempos. ylabel('Resposta Normalizada') % Nomeia o eixo dos y como % eixo da resposta. text(0.7,0.7,'c3(t)') % Identifica a curva da % resposta ao degrau de T1. text(0.7,1.1,'c2(t)') % Identifica a curva da % resposta ao degrau de T2. text(0.5,1.3,'c1(t)') % Identifica a curva da % resposta ao degrau de T3. pause step(T1,T2,T3) % Usa método alternativo para plotar % as respostas ao degrau. title('Step Responses of T1(s),T2(s),and T3(s)')% Adiciona % legenda do gráfico. Pause 02. Solução no domínio do tempo syms s t tau

% Constrói objetos simbólicos para % a variável de freqüência 's', 't', e 'tau'. A=[0 1;-8 -6] % Cria a matriz A. B=[0;1] % Cria o vetor B. X0=[1;0] % Cria o vetor de condição inicial,X(0). U=1 % Cria u(t). I=[1 0;0 1]; % Cria a matriz identidade. E=((s*I-A)^-1) % Obtém a transformada de Laplace da % matriz de transição de estados, (sI-A)^-1. Fi11=ilaplace(E(1,1)); % Obtém a transformada de % Laplace inversa Fi12=ilaplace(E(1,2)); % de cada elemento Fi21=ilaplace(E(2,1)); % de (sI-A)^-1 Fi22=ilaplace(E(2,2)); % para determinar a matriz de % transição de estados. Fi=[Fi11 Fi12;Fi21 Fi22]; % Forma a matriz de transição de % estados, Fi(t). pretty(Fi) % Apresenta a matriz de transição de % estados, Fi(t), na forma "bonita". Fitmtau=subs(Fi,t,t-tau); % Forma Fi(t-tau). pretty(Fitmtau) % Apresenta Fi(t-tau) na forma "bonita". x=Fi*X0+int(Fitmtau*B*1,tau,0,t); % Calcula x(t). x=simple(x); % Reune os termos semelhantes. x=simplify(x); % Simplifica x(t). pretty(x) % Apresenta x(t) na forma "bonita". Pause 03. Superpõe uma grade reticulada ao gráfico da resposta. clf A=[0 1 0;0 0 1;-24 -26 -9];

% Apaga gráfico existente. % Gera a matriz A.

UNIDADE II

B=[0;0;1]; C=[2 7 1]; D=0; T=ss(A,B,C,D) t=0:0.1:10; grid on step(T,t)

36 % Gera o vetor B. % Gera o vetor C. % Gera D. % Gera objeto LIT , T, no espaço % de estados e mostra o resultado. % Define a faixa de valores % de tempo para o gráfico. % Ativa a colocação de grade no desenho. % Plota a resposta ao degrau para uma dada % faixa de valores de tempo.

Pause 04. Critério de estabilidade de Routh FT:

C 10 (verificar a estabilidade)  R s5 2s 4 3s 3 6s 2 5s 3

% -det([si() si();sj() sj()])/sj()

% Gabarito para ser % usado em cada célula. syms e % Constrói um objeto simbólico para % epsilon. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s5=[1 3 5 0 0] % Cria a linha s^5 da tabela de Routh. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s4=[2 6 3 0 0] % Cria a linha s^4 da tabela de Routh. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if -det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)==0 s3=[e... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0];% Cria a linha % s^3 da tabela de Routh % se o primeiro elemento for 0. else s3=[-det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0];% Cria a linha s^3 da tabela de Routh % se o primeiro elemento não for 0. end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if -det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1)==0 s2=[e ... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0];% Cria a linha % s^2 da tabela de Routh % se o primeiro elemento for 0. else s2=[-det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1) ... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0];% Cria a linha % s^2 da tabela de Routh % se o primeiro elemento não for 0. end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if -det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1)==0

UNIDADE II

37

s1=[e ... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0];% Cria a linha % s^1 da tabela de Routh % se o primeiro elemento for 0. else s1=[-det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1) ... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0];% Cria a linha % s^1 da tabela de Routh % se o primeiro elemento não for 0 end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s0=[-det([s2(1) s2(2);s1(1) s1(2)])/s1(1) ... -det([s2(1) s2(3);s1(1) s1(3)])/s1(1) 0 0];% Cria a linha % s^0 da tabela de Routh. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% s3=simplify(s3); % Simplifica os termos da linha s^3. pretty(s3) % Forma "bonita" da linha s^3. s2=simplify(s2); % Simplifica os termos da linha s^2. pretty(s2) % Forma "bonita" da linha s^2. s1=simplify(s1); % Simplifica os termos da linha s^1. pretty(s1) % Forma "bonita" da linha s^1. s0=simplify(s0); % Simplifica os termos da linha s^0. pretty(s0) % Forma "bonita" da linha s^0. Pause 05. Projeto de estabilidade via Routh k FT: G  (calcular os valores de k para o sistema permanecer estável) s(s 7)(s 11)

K=[1:1:2000];

% Define a faixa de valores K de 1 a 2000 em % incrementos de 1. for n=1:length(K); % Definição do número de % repetições do LAÇO DO igual % ao número de valores de K a % serem testados. dent=[1 18 77 K(n)]; % Define o denominador de T(s) para % o enésimo valor de K. poles=roots(dent); % Obtém os pólos para o enésimo valor % de K. r=real(poles); % Forma um vetor contendo as partes % reais dos pólos para K(n). if max(r)>=0, % Testa se a parte real dos pólos obtidos % com o enésimo valor de K é > ou = 0. poles % Mostra primeiro os pólos % com parte real > ou = 0. K=K(n) % Mostra o valor correspondente de K. break % Interrompe o laço se não forem encontrados % pólos no semiplano da direita end % Fim de if. end % Fim do for. Pause

UNIDADE II

38

06. Erro de estado estacionário por meio da constante de erro estático Função de transferência 1 numg=500*poly([-2 -5 -6]); % Define o numerador de G(s). deng=poly([0 -8 -10 -12]); % Define o denominador de G(s). G=tf(numg,deng); % Forma G(s) 'Verificar a Estabilidade' % Exibe título. T=feedback(G,1); % Forma T(s). polos=pole(T) % Mostra os pólos a malha fechada. 'Entrada em Degrau' % Exibe título. Kp=dcgain(G) % Calcula Kp=numg/deng para s=0. ess=1/(1+Kp) % Calcula o erro de estado estacionário % para uma entrada em degrau. Função de transferência 2 'Entrada em Rampa' % Exibe título. numsg=conv([1 0],numg); % Define o numerador de sG(s). densg=poly([0 -8 -10 -12]); % Define o denominador de sG(s). sG=tf(numsg,densg); % Cria sG(s). sG=minreal(sG); % Cancela os termos comuns ao numerador(numsg) % e ao denominador(densg). Kv=dcgain(sG) % Calcula Kv=sG(s) for s=0. ess=1/Kv % Calcula o erro de estado estacionário % uma entrada em rampa. Função de transferência 3 'Entrada em Parábola' % Exibe título. nums2g=conv([1 0 0],numg); % Define o numerador de s^2G(s). dens2g=poly([-8 -10 -12]); % Define o denominador de s^2G(s). s2G=tf(nums2g,dens2g); % Cria s^2G(s) s2G=minreal(s2G); % Cancela os termos comuns ao % numerador(nums2g) e % ao denominador(dens2g). Ka=dcgain(s2G) % Calcula Ka=s^2G(s) para s=0. ess=1/Ka % Calcula o erro de estado estacionário % para uma entrada em parábola. sG=minreal(sG); % Cancela termos comuns ao numerador(numsg) % e ao denominador(densg). Kv=dcgain(sG) % Calcula Kv=sG(s) para s=0. ess=1/Kv % Calcula o erro de estado estacionário para % uma entrada em rampa. 'Entrada em Parábola' % Exibe título. nums2g=conv([1 0 0],numg); % Define o numerador de s^2G(s). dens2g=poly([-8 -10 -12]); % Define o denominador de s^2G(s). s2G=tf(nums2g,dens2g); % Cria s^2G(s) s2G=minreal(s2G); % Cancela termos comuns % ao numerador(nums2g) e % ao denominador(dens2g).

UNIDADE II

Ka=dcgain(s2G) ess=1/Ka

39 % Calcula Ka=s^2G(s) para s=0. % Calcula o erro de estado estacionário para % uma entrada em parábola.

Pause 07. Projeto de ganho para atender a especificação de erro de estado estacionário numgdK=[1 5]; % Define o numerador de G(s)/K. dengdK=poly([0 -6 -7 -8]); % Define o denominador de G(s)/K. GdK=tf(numgdK,dengdK); % Cria G(s)/K numgkv=conv([1 0],numgdK); % Define o numerador de sG(s)/K. dengkv=dengdK; % Define o denominador de sG(s)/K. GKv=tf(numgkv,dengkv); % Cria sG(s)/K. GKv=minreal(GKv); % Cancela termos comuns ao numerador e % ao denominador de sG(s)/K. KvdK=dcgain(GKv) % Calcula (Kv/K)=(numgkv/dengkv) para % s=0. ess=0.1 % Define o erro de estado estacionário. K=1/(ess*KvdK) % Calcula o valor de K. 'Verifica a Estabilidade' % Exibe rótulo. T=feedback(K*GdK,1); % Forma T(s). poles=pole(T) % Mostra os pólos a malha fechada. Pause