Unidade Iv 44 Páginas Análise No Domínio Da Frequência

UNIDADE IV

44 páginas

ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A resposta em freqüência produz um novo enfoque vantajoso sobre o LR nas seguintes situações: 1. quando se modela FT a partir de dados físicos; 2. quando se projeta compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário e a resposta transitória requerida; 3. ao se determinar a estabilidade dos sistemas não-lineares; 1.0

CONCEITO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA

Entradas senoidais aplicadas à sistemas lineares geram respostas senoidais de mesma freqüência, diferenciando apenas em amplitude e fase. A magnitude da resposta em freqüência é a relação entre as magnitudes de entrada e de saída. Ambas são funções da freqüência e se aplicam apenas à resposta de estado estacionário. Considere o sistema mostrado na Figura (4.1).

a)

b)

c) Fig. 4.1 - a) sistema; b) função de transferência; c) formas de onda de entrada e de saída A senóide de estado estacionário de saída é:

UNIDADE IV

2

M o ()o ()  M e ()M()e ()  ()

(4.1)

A função do sistema á dada por:

M o () e ()  o ()  e () M e () 1.1 Expressões Analíticas de Resposta em Freqüência M() 

(4.2)

A Figura (4.2) mostra um sistema G(s) com a transformada de Laplace de uma senóide genérica na entrada.

r ( t )  A cos(t )  Bsen(t )  A2  B2 cos[t  tg1 ( B / A)]

(4.3)

Fig. 4.2 - Sistema com entrada senoidal A resposta C(s) é dada por:

C(s) 

As  B G (s ) s2  2

(4.4)

Separando a solução forçada da solução transitória, executando uma expansão em frações parciais: As  B k1 k C(s)  G (s )   2  termos das FP de G(s) (4.5) (s  j)(s  j) s  j s  j Expansão de G(s) em frações parciais.

G(s) 



N(s) N(s)  D(s) (s  p1 )(s  p2 )...(s  p m ) k1 k k  2  ...  m s  p1 s  p2 s  pm

(4.6)

Se a ordem de N(s) for inferior a ordem de D(s), para calcular k m, multiplica-se (4.6) por (s+pm). (s  p m )G (s ) 

( s  p m ) N (s ) (s  p1 )(s  p2 )...(s  p m )

 (s  p m )

k1 k2  (s  p m )  ... (s  p1) (s  p 2 )

 (s  p m )

k m 1  km (s  p m 1 )

(4.7)

UNIDADE IV

3

Fazendo s  pm , em (4.7), todos os termos da direita tenderão a zero, exceto o termo km.

(s  p m ) N ( s )  km (s  p1 )(s  p2 )....(s  p m ) s   p

logo

(4.8)

m

No caso de (4.5) tem-se: k1 

As  B 1 1 G (s )  A  jB G(  j)  M e e je M G e jG (s  j) 2 s  - j 2

M e M G j( e  G ) e 2 As  B 1 1 k2  G (s )  A  jB G( j)  M e e  je M G e  jG (s  j) 2 s  j 2 



M e M G  j( e  G ) e  k1* 2

(4.9)

(4.10)

*

onde k 1 é o conjugado complexo de k 1 .

M G  G( j)

e

G  ângulo de G(j)

(4.11)

A saída senoidal de estado estacionário é:

k1 k2 Css    s  j  s  j

M e M G j( e  G ) M e M G  j( e  G ) e e 2 2  s  j s  j

(4.12)

Aplicando a transformada de Laplace inversa tem-se:

 e j( t  e  G )  e  j( t  e  G )    M e M G cos(t  e  G ) c( t )  M e M G    2  

(4.13)

que pode ser representada na forma de fasor por:

Mss  ( Mee )( MGG )

(4.14)

Com base em (4.11) M G G é a função resposta de freqüência de um sistema cuja FT é G(s), onde: G( j)  G(s)s j

(4.15)

UNIDADE IV

4

1.2 Gráfico da resposta em freqüência Pode ser plotada de várias formas; duas delas são: 1. Através de gráficos separados de magnitude e de fase, em função da freqüência (diagramas de Bode); 2. Por meio de um gráfico polar onde o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo é a fase (diagrama de Nyquist). 2.0 DIAGRAMA DE BODE Para o caso 1), a curva de magnitude pode ser traçada em decibéis (dB), onde dB=20logM. Exemplo: Determinar a expressão analítica de magnitude e de fase da resposta em freqüência do seguinte sistema:

G (s ) 

1 s2

Fazendo s  j na FT acima tem-se:

G( j) 

1 2  j  2 j  2   4

cujo módulo é dado por:

G( j)  M() 

1 (2  4)

onde o módulo em dB e a fase são:

  1  20 log M()  20 log  (2  4)   

e

  ()   tg1   2

Fig. 4.3 - Diagrama de módulo e de fase de G(s)

UNIDADE IV

5

2.1 Aproximações assíntotas: Gráficos de Bode As curvas logarítmicas de módulo e de fase são chamadas de gráfico de Bode. O gráfico de Bode pode ser simplificado por uma seqüência de linhas retas. Considere a seguinte FT:

G (s ) 

k(s  z1 )(s  z 2 )...(s  z k ) s m (s  p 1 )(s  p2 )...(s  p n )

G( j) 

(4.16)

k s  z1 s  z 2 ... s  z k s m s  p1 s  p2 ... s  p n

(4.17) s  j

 20 log G( j)  20 log k  20 log s  z1  20 log s  z 2  ...  20 log s  z k  20 log sm  20 log s  p1  20 log s  p2  ....  20 log  pn s jw

(4.18)

Gráfico do módulo e de fase de Bode para G(s)=(s+a)

G(s)  (s  a )    G( j)  ( j  a )  a  j  1  a 

(4.19) (4.20)

Nas baixas freqüências, quando   0 , tem-se G( j)  a e a resposta em freqüência em dB é 20 log M  20 log( a ) . Nas altas freqüências, onde   a tem-se:  j    G( j)  a    a  90o  90o  a  a

(4.21)

e a resposta em freqüência em dB é: 20 log M  20 log( )

Fig. 4.4 - Diagrama de módulo de Bode assintótica para G(s)=s+a

(4.22)

UNIDADE IV

6

Na freqüência de quebra   a , a Equação (4.20) mostra que a fase é 45 º, ou seja:    (4.23) G( j)  a  j  1  j1  1  a  e nas baixas freqüências, Equação (4.20), a fase é zero. G( j)  a

(4.24)

e nas altas freqüências, Equação (4.20), a fase é 90º.  j    G( j)  a    a  90o  a  a

Fig. 4.5 - Diagrama de fase de Bode assintótica para G(s)=s+a Tab. 4.1 - Resposta em freqüência assintótica e real normalizada

(4.25)

UNIDADE IV

7

Fig. 4.6 - Diagrama de Bode em módulo assintótica e real normalizada

Fig. 4.7 - Diagrama de Bode em fase assintótica e real normalizada Diagrama de Bode para G(s)=1/(s+a)

G (s ) 

1 sa

(4.26)

Esta função tem um a assíntota de baixas freqüências dada por:

1 G(s)  0o a e para altas freqüências:

(4.27)

UNIDADE IV

8

1 1    90o j 

(4.28)

20 log M  20 log( )

(4.29)

G (s )  Em dB tem-se:

Fig. 4.8 - Diagrama de Bode em módulo assintótica normalizada

Fig. 4.9 - Diagrama de Bode em fase assintótica normalizada Diagrama de Bode para G(s)=s

a)

b) Fig. 4.10 - Diagrama de Bode para G(s)=s; a) módulo; b) fase

UNIDADE IV

9

Diagrama de Bode para G(s)=1/s

a)

b)

Fig. 4.11 - Diagrama de Bode para G(s)=1/s; a) módulo; b) fase Exemplo: Esboce o gráfico de Bode para o sistema G(s) 

k(s  3) . s(s  1)((s  2)

A equação acima pode ser escrita da seguinte forma:

3 s  k   1 2 3  G (s )  s  s(s  1)  1 2 

a)

b) Fig. 4.12 - Diagrama de módulo de Bode; a) funções separadas; b) resultante

UNIDADE IV

10

a)

b) Fig. 4.13 - Diagrama de fase de Bode; a) funções separadas; b) resultante Diagrama de Bode para fatores de segunda ordem O polinômio de segunda ordem é da forma:

 s2  G(s)  s2  2 ns  2n  2n  2  2 ns  2n   n  Nas baixas freqüências, (4.30) se transforma em:

G(s)  2n0o

(4.30)

(4.31)

e o módulo em dB é:

20 log M  20 log G(s)  20 log 2n

(4.32)

Nas altas freqüências tem-se: G(s)  s2  2  2180o

(4.33)

e o módulo em dB é:

20 log M  20 log G(s)  20 log 2  40 log 

(4.34)

UNIDADE IV

11

Fig. 4.14 - Diagrama de módulo de Bode Nas baixas freqüências, a fase é 0o e nas altas é 180o. Para determinar a fase na freqüência natural faz-se s  j , ou seja:

G( j)  s2  2 ns  2n

s  j 



2 n



 2  j2 n 

(4.35)

Fazendo   n tem-se: G( j)  j2 2n

(4.36)

De acordo com (4.36) a fase é +90º.

Fig. 4.15 - Diagrama de fase de Bode Como a função de segunda ordem depende do fator de amortecimento  , o erro das assíntotas é maior que no sistema de primeira ordem. Com base na Equação (4.35) tem-se: M



2 n



 2  (2 n )2

e

  tg1

2 n  2n  2

(4.37)

(4.38)

UNIDADE IV

12

a)

b) Fig. 4.16 - Diagrama de Bode para a Equação (4.37); a) módulo; b) fase O polinômio de segunda ordem é da forma: G (s ) 

1 s  2 ns  2n 2

O raciocínio é similar ao caso anterior.

(4.39)

UNIDADE IV

13

a)

b) Fig. 4.17 - Diagrama de Bode para a Equação (4.39); a) módulo; b) fase 2.2 Estabilidade, margem de ganho e margem de fase através do diagrama de Bode A margem de fase e a margem de ganho informam quão estável o sistema é. Sistemas com margem de ganho e de fase maiores podem suporta maiores mudanças nos parâmetros dos sistemas antes de se tornarem instáveis. As margem de ganho e de fase podem ser qualitativamente relacionadas com o LR, no sentido de que, sistemas cujos pólos estão mais distantes do eixo imaginário, apresentam um maior grau de estabilidade. Margem de ganho, GM. É a mudança no valor do ganho, em dB, em malha aberta, no ponto com fase de 180o, necessário para tornar o sistema instável em malha fechada.

UNIDADE IV

14

Margem de fase, M. É a mudança no valor da fase em malha aberta, no ponto com ganho unitário, necessário para tornar o sistema instável em malha fechada. Margem de ganho e de fase a partir do diagrama de Bode A Figura (4.18) mostra a margem de ganho e de fase no diagrama de Bode.

Fig. 4.18 - Margens de ganho e de fase onde M é a freqüência de margem de fase e GM é a freqüência de margem de ganho. Exemplo: Determinar a faixa de valores de k para o qual o sistema com retroação unitária abaixo é estável.

G (s ) 

k (s  2)(s  4)(s  5)

O sistema em malha fechada será estável, se a resposta em freqüência for menor que a unidade, quando a fase for 180º. Para traçar o diagrama de Bode de módulo e fase é necessário conhecer o valor de k. O digrama de Bode da Figura abaixo foi traçado para um valor de k=40. Na freqüência de 7 rad/s, onde a fase é -180o, a magnitude é -20 dB. Por conseguinte, é possível um aumento no ganho de 20 dB (que corresponde a um ganho de 10), para o sistema se tornar instável. Portanto, o ganho necessário é 10x40=400. Logo 0
UNIDADE IV

15

A margem de fase é determinada no ponto onde o módulo cai de -13,98dB, o que corresponde a -165o-(-180o)=15o na freqüência de 5,5 rad/s

2.3 Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência em MF Considere o sistema de controle, com retroação, de segunda ordem, dado pela seguinte FT em malha fechada:

T (s ) 

C(s) 2n  2 R (s) s  2 ns  2n

(4.40)

Fig. 4.19 - Sistema de segunda ordem em MF A magnitude de resposta em freqüência em malha fechada é:

M  T( j) 



2n

2n

  4

2 2



(4.41) 2

2n 2

UNIDADE IV

16

Fig. 4.20 - Gráfico logarítmico de módulo dado por (4.41) Elevando (4.41) ao quadrado, derivando com relação a  e fazendo a derivada igual a zero tem-se: 2

MP 

1

(4.42)

2 1   2

e

P  n 1  2 2

(4.43)

Uma outra relação entre a resposta em freqüência e a resposta no domínio do tempo é a banda passante, BW , cujo valor corresponde ao ponto onde a curva de módulo cai 3 dB com relação à freqüência zero (Fig. 4.20). Neste caso, fazendo M=0,707 em (4.41), resulta em:





BM  n 1  2 2  4 4  4 2  2

(4.44)

Para relacionar BW com o tempo de assentamento, substitui-se n  4 Ts em (4.44) que resulta em: BM 

1  2 

4 Ts 

2

4 4  4 2  2



(4.45)



De modo semelhante, como n   TP 1   2 :

BM 

 TP 1  

1  2  2

2

4 4  4 2  2

2.4 Fator de amortecimento a partir da margem de fase Considere um sistema com retroação unitária cuja FT em malha aberta é:

(4.46)

UNIDADE IV

17

G (s ) 

2n s(s  2 n )

(4.47)

Para calcular a margem de fase deve-se fazer G( j)  1 , ou seja:

2n  2  j2 n 

1

(4.48)

A freqüência 1 que satisfaz (4.48) é:

1  n  2 2  1  4 4 O ângulo de fase nesta freqüência é:

G( j)  90  tg1

 90  tg1

(4.49)

1 2 n

 2 2  4 4  1

2 A diferença entre o ângulo dado por (4.50) e -180o é a margem de fase:  M  90  tg1

(4.50)

 2 2  1  4  4 2

2

 tg1

 2  1  4 2

(4.51) 4

Fig. 4.21 - Gráfico de margem de fase dado por (4.51) De acordo com (4.43) não existe freqüência de pico se   0,707 . Portanto, a partir da Figura (4.21) é necessário uma margem de fase  M  65,52 , a partir da resposta em malha aberta para assegurar que não existirá pico na resposta em malha fechada. o

UNIDADE IV

18

2.5 Erro de estado estacionário a partir da resposta em freqüência Os valores de kp, kv e ka para sistema s do tipo 0, tipo1 e tipo 2, respectivamente podem ser obtidos a partir do diagrama de Bode. Constante de posição kp Considere o seguinte sistema tipo 0 n

 (s  z i )

G(s)  k im1  (s  p i )

(4.52)

i 1

Cujo valor inicial é: n

 zi

20 log M  20 log k im1  pi

(4.53)

i 1

Mas para um sistema tipo 0: n

 zi

k p  k im1  pi

(4.54)

i 1

Que é o mesmo valor do eixo nas baixas freqüências.

Fig. 4.22 - Diagrama de Bode mostrando a constante de erro estático para um sistema do tipo 0 Constante de velocidade Considere um sistema dado do tipo1 dado por: n

G (s )  k

 (s  z i )

i 1 m

s  (s  p i ) i 1

O diagrama de Bode começa em:

(4.55)

UNIDADE IV

19 n

 zi

i 1 m

20 log M  20 log k

(4.56)

o  pi i 1

A inclinação -20 dB/década pode ser pensada como se originando a partir de uma função: n

 zi

G ' (s )  k

i 1 m

(4.57)

s  pi

i 1 G'(s) cruza o eixo de freqüência quando: n

 zi

  k im1  pi

(4.58)

i 1

Mas, para o sistema original (4.56) : n

 zi

k v  k im1  pi

(4.59)

i 1

Que é a interseção com o eixo de freqüências como mostra a Figura (4.23).

Fig. 4.23 - Diagrama de Bode mostrando a constante de erro estático para um sistema do tipo 1 Constante de aceleração Para determinar ka, para um sistema tipo 2, considere o seguinte sistema: n

G (s )  k

 (s  z i )

i 1 m 2

(4.60)

s  (s  p i ) i 1

O diagrama de Bode se inicia em: n

20 log M  20 log k

 zi

i 1 m 2o  pi i 1

(4.61)

UNIDADE IV

20

A inclinação de -40 dB/década pode ser vista como originária de uma função: n

G ' (s )  k

 zi

i 1 m 2

(4.62)

s  pi i 1

G'(s) cruza o eixo de freqüência quando: n

 zi

  k im1  pi

(4.63)

i 1

Mas, para o sistema original (4.60) tem-se: n

 zi

k a  k im1  pi

(4.64)

i 1

Portanto, a inclinação inicial cruza o eixo de freqüência em

ka .

Fig. 4.24 - Diagrama de Bode mostrando a constante de erro estático para um sistema do tipo 2 Exemplo: Para cada diagrama da Figura abaixo. Determine o tipo de sistema e a constante de erro estático apropriada. Sistema tipo 0

Uma vez que a inclinação inicial á zero, o valor de kp é dado pela assíntota de baixa freqüência.

UNIDADE IV

21

20 log k p  25  k p  17,78 Sistema tipo 1

Uma vez que a inclinação é -20dB/déc., o valor de kv é dado pelo valor da freqüência que cruza o diagrama em   0,55 . Sistema tipo 2

Uma vez que a inclinação inicial é -40dB/década, o valor da freqüência é:

  k a  k a  33  9 2.6 Resposta transitória através do ajuste de ganho Observando-se a Figura (4.25) pode-se vê que para se obter uma margem de fase CD é necessário elevar o ganho de AB na curva de módulo. Portanto, um simples ajuste de ganho muda a margem de fase e a ultrapassagem percentual. Procedimento de projeto 1. Traçar o diagrama de Bode de módulo e de fase para um ganho conveniente; 2. Usando (2.21) e (4.51) determinar a margem de fase requerida a partir da ultrapassagem percentual; 3. Determinar a freqüência M no diagrama de fase de Bode que leva à fase desejada; 4. Mudar o ganho do valor AB para forçar a curva de módulo cruzar 0 dB na freqüência M .

UNIDADE IV

22

Fig. 4.25 - Diagrama de módulo e de fase de Bode Exemplo: Para o sistema da Figura abaixo, determinar o valor do ganho do préamplificador, k, para que a resposta transitória a uma entrada em degrau apresente uma ultrapassagem de 9,5%.

Sistema de controle de posição 1. Escolher k=3,6 para iniciar o diagrama de módulo em 0 dB para =0,1 rad/s, como mostra a Figura abaixo. 2. Usando a Equação (2.21), uma ultrapassagem de 9,5% implica   0,6 , para os pólos em malha fechada dominantes. 3. A Equação (4.51) leva a uma margem de fase de 59,2 º, para   0,6. 4. Uma margem de fase de 59,2o leva a uma fase de -120,8o para uma freqüência de 14,8 rad/s. 5. Na freqüência de 14,8 rad/s, o ganho é -44,8 dB. Como o gráfico de módulo foi traçado para k=3,6, é necessário um ganho de 44,2 dB, ou seja, k=3,6x162,2=583,9 para obter a margem de fase requerida. A FT de malha aberta com o ganho ajustado é:

G (s ) 

583.900 s(s  36)(s  100)

UNIDADE IV

23

Diagrama de Bode de módulo e de fase Características do sistema compensado

3.0 ANÁLISE PELO DIAGRAMA DE NYQUIST O critério de Nyquist relaciona a estabilidade de um sistema à malha fechada à resposta de freqüência e a localização dos pólos a malha aberta. O conhecimento da resposta de freqüência do sistema à malha aberta conduz à informação sobre a estabilidade do sistema a malha fechada. Este conceito é semelhante ao do lugar das raízes onde se começa com as informações sobre os pólos e os zeros de malha aberta. 3.1 Dedução do diagrama de Nyquist Considere o diagrama de blocos da Figura (4.26). O critério de Nyquist pode informar quantos pólos a malha fechada estão no semiplano direito.

UNIDADE IV

24

Fig. 4.26 – Sistema de controle a malha fechada

G (s ) 

NG DG

(4.65)

H (s ) 

NH DH

(4.66)

G ( s ) H (s )  1  G(s) H(s)  1  T(s) 

NG N H DG D H

(4.67)

N G N H DG D H  N G N H  DG D H DG D H

(4.68)

N G DG G(s)  1  G (s ) H (s ) D G D H  N G N H

(4.69)

Com base nas Eqs. (4.67, 468 e 469) conclui-se que: 1. Os pólos de 1+G(s)H(s) são os mesmos que os pólos de G(s)H(s); 2. Os zeros de 1+G(s)H(s) são os mesmos que os pólos de T(s); 2.2 Mapeamento A substituição de um número complexo s em uma função F(s) resultará em outro número complexo. Este processo é chamado de mapeamento. Por exemplo: A substituição do número complexo s = 4+j3 na função (s 2+2s+1), gera o número complexo 16+j30. Neste caso, diz-se que o ponto 4+3j é mapeado no ponto 16+j30 através da função (s2+2s+1). Para compreender o conceito de mapear contorno pode-se considerar a coleção de pontos mostrada na Figura (4.27) como contorno da A e que cada ponto do contorno seja mapeado no contorno B através da seguinte Expressão: F(s) 

(s  z1 )(s  z 2 )... (s  p1 )(s  p 2 )...

Fig. 4.27 – Mapeamento do contorno A no contorno B.

(4.70)

UNIDADE IV

25

O ponto Q no contorno A é mapeado no ponto Q! no contorno B através da função F(s). A Figura (4.28) mostra exemplos de mapeamento de um contorno através de algumas F(s) simples. O número resultante R é calcula a partir de números complexos representados por V. 1. Se o mapeamento for feito no sentido horário como mostra a Figura (4.27a), o contorno B será mapeado, também, no sentido horário se o sistema possuir unicamente zeros e no sentido anti-horário se possuir apenas pólos (Figura 4.3b).

Fig. 4.28a – Mapeamento unicamente com zeros.

Fig. 4.28b – Mapeamento unicamente com pólos. 2. Se o pólo ou zero estiver envolvido pelo contorno, o mapeamento envolverá a origem (Figuras 4.27c e d).

Fig. 4.28c – Mapeamento quando o zero é envolvido pelo contorno.

UNIDADE IV

26

Fig. 4.28d – Mapeamento quando o pólo é envolvido pelo contorno. 3. O mapeamento quando a função possui um pólo e um zero, a rotação do pólo e do zero se cancelam, e o mapeamento não envolve a origem (Figura 4.29).

Fig. 4.29 – Mapeamento quando a função possui um pólo e um zero. Supondo que F(s)=1+G(s)H(s) tenha dois zeros e três pólos, cada termo entre parênteses na Eq. (4.70) é um vetor na Figura (4.30). À medida que se desloca ao longo do contorno A na direção horária, cada vetor da Eq. (4.70) que se encontre no interior do contorno A parecerá ser submetido a uma rotação completa (360 o). Por outro lado, para pólos e zeros fora do contorno A parecerá oscilar e retornar à posição anterior, com uma variação angular líquida de 0o.

Fig. 4.30 – Representação do mapeamento por vetor. Como mostra a Figura (4.30), os pólos de 1+G(s)H(s) [Eqs. (4.69)], são também pólos de G(s)H(s) e são conhecidos. Os zeros de 1+G(s)Hs), são também os pólos de T(s) e não são conhecidos. Através da Eq. (4.71) pode-se calcular o número de rotações N no sentido antihorário do mapeamento em torno da origem.

UNIDADE IV

27

N  PZ

(4.71)

onde: P é o número de pólos em malha aberta no interior do contorno; Z é o número de pólos a malha fechada no interior do contorno. Se um contorno, A, que envolve o semiplano da direita através de G(s)H(s) então, o número de pólos a malha fechada, Z, no semiplano da direita é igual ao número de pólos à malha aberta, P, que estão no semiplano da direita, menos o número de rotações no sentido anti-horário, N, em torno de –1 do mapeamento. Z PN

(4.72)

2.3 critério de Nyquist para determinar a estabilidade A Figura (4.31a) mostra um contorno, A, que não envolve os pólos a malha fechada. O contorno que é mapeado através de G(s)H(s) no diagrama de Nyquist não envolve –1. Portanto, P=0, N=0 e Z=0. Uma vez que Z é o número de pólos a malha fechada dentro do contorno, A, este sistema não tem pólos no semiplano direito e é estável. Na Figura (4.30b), embora o contorno, A, não circunscreva pólos à malha aberta gera dois envolvimentos do –1 no sentido horário. Assim, P=0 e N=-2, o que significa que existe dois pólos a malha fechada no semiplano direito e o sistema é instável.

a)

b) O = zeros de 1+G(s)H(s) = n° de pólos do sistema a malha fechada

X = pólos de 1 +G(s)H(s) = n° de pólos de G(s)H(s)

Fig. 4.31 – a) sistema estável; b) sistema instável.

UNIDADE IV

28

2.4 Esboço do diagrama de Nyquist Exemplo: Esboçar o diagrama de Nyquist para os sistemas da Figura abaixo.

Sistema de controle de velocidade de uma turbina. À medida que se desloca no sentido horário, ao longo do contorno, do ponto A ao ponto C na Figura (4.32a), o ângulo resultante vai de 0 o a -3x90o=-270o, ou de A' a C' na Fig. (4.32c). Como os ângulos emanam dos pólos no denominador de G(s), os pólos ganham o 270 no sentido anti-horário e a função perde 270o. À medida que a resultante se desloca de A' para C', na Figura (4.8c), sua amplitude muda de acordo com o produto dos módulos dos zeros pelo produto dos módulos dos pólos. Por conseguinte, a resultante vai de um valor finito na freqüência zero até o valor zero na freqüência infinita no ponto C.

a)

b)

UNIDADE IV

29

c) Fig. 4.32 – a) Vetores no contorno em baixas freqüências; b) vetores no contorno em torno do infinito; c) diagrama de Nyquist. O mapeamento do ponto A ao ponto C também pode ser explicado analiticamente. De A a C G(s)=G(jω), ou seja:

G( j) 

500 500  2 (s  1)(s  3)(s  10) s j ( 14  30)  j(43  3 )

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado complexo tem-se:

G( j)  500

( 142  30)  j(43  3 ) ( 142  30)2  j(43  3 )2

Na freqüência zero, G(jω)=50/3. Portanto, o diagrama de Nyquist começa em 50/3 com um ângulo de 0o. A medida que ω aumenta a parte real se mantém positiva e a parte imaginária negativa. 30 Em   a parte real se torna negativa e em   43 o diagrama de Nyquist 14 corta o eixo real negativo, visto que o termo imaginário é nulo. Continuando aumentando ω em direção ao infinito, a parte real continua negativa e a parte imaginária positiva. j500 Na freqüência infinita, G(jω)= G( j)  2 , ou aproximadamente zero com 90o.  Ponto C' na Figura (4.32c). Ao longo do semicírculo do ponto C ao ponto D na Figura (4.32b), os vetores giram cada um deles de 180o no sentido horário e a resultante realiza uma rotação no sentido anti-horário, uma rotação de 3x180o, começando no ponto C' e terminando no ponto D' na Figura (4.32c). No ponto C, os ângulos são todos 90o. Portanto a resultante é 0-270o. De modo semelhante, no ponto D, G(s)=0+270o e é mapeado no ponto D'. Pode-se selecionar pontos intermediários para verificar a espiral, cujo valor radial tende a zero na origem. Como a parte real é uma função par e a parte imaginária uma função ímpar, o diagrama é simétrico com relação ao eixo real. Quando há pólos a malha aberta situados sobre o contorno, torna-se necessário fazer um desvio ao redor dos pólos; caso contrário, o mapeamento iria para o infinito de uma forma indeterminada, sem informação angular. A Figura (4.33a) mostra os esboços com os desvios dos pólos.

UNIDADE IV

30

a) b) c) Fig. 4.33 – Contorno dos pólos a malha aberta; a) pólos no contorno; b) contorno à direita; c) contorno à esquerda. Quando se contorna à direita cada vetor do pólo gira de um ângulo de 180 o , e à esquerda -180o. Exemplo: Esboçar o diagrama de Nyquist de um sistema com retroação unitária s 1 onde G(s)  2 . s Os dois pólos na origem estão no contorno e devem ser desviados, conforme mostra a Figura (4.34a). No ponto A, os dois pólos a malha aberta na origem contribuem com 2x90 o = 180o e o zero contribui com 0o. Nas proximidades da origem a função é infinita mapeando o ponto A no ponto A' localizado no infinito com um ângulo de –180o.

a)

b)

Fig. 4.34 - a) contorno; b) diagrama de Nyquist. De A para B resulta uma variação líquida de 90o devida unicamente ao zero e os ângulos dos pólos permanecem os mesmos. Desta maneira o mapeamento muda para +90o no sentido anti-horário e o vetor mapeado passa de infinito com um ângulo de –180o em A' para zero e ângulo de –90o em B'. ( 2  j) 2 Analiticamente tem-se: G( j)  , nas baixas freqüências, G( j)  2   2 j ou   180o e nas altas freqüências, G( j)  ou 0 90o. Além disso, as partes  reais e imaginárias são negativas.

UNIDADE IV

31

À medida que os vetores se movem ao longo do contorno BCD o vetor do zero e os vetores dos pólos sofrem mudança de –180o cada, com a função de intensidade permanecendo em zero. Desta forma, o vetor mapeado sofre uma variação angular líquida de +180 o que é variação angular do zero menos a soma das variações angulares dos pólos. Finalmente, no trecho EFA, a intensidade resultante tende a infinito. O ângulo do zero não muda, mas cada pólo muda de um ângulo de 180 o .Esta alteração produz uma mudança na função de -2x180o = -360o. Analiticamente tem-se: Em E, G(s) = (20o)/[( -90o)(  -90o)] = 180o. Em F, G(s) = (20o)/[( 0o)(  0o)] = 0o. Em A, G(s) = (20o)/[( 90o)(  90o)] = -180o. Uma linha radial de teste a partir de –1, na Figura (4.34b), mostra uma volta em torno do eixo no sentido anti-horário e uma no sentido horário produzindo zero envolvimento. 2.5 Estabilidade por intermédio do diagrama de Nyquist O número de pólos a malha aberta de G(s)H(s) no interior do contorno, e de N, o número de envolvimentos do ponto –1 são usados para determinar Z, o número de pólos a malha fechada situados no semiplano direito. A faixa de valores do ganho, K, para que o sistema seja estável pode ser determinada como no critério do LR e o critério de Routh-Hurwitz. A abordagem geral consiste em ajustar o ganho de malha com valor unitário e esboçar o diagrama de Nyquist. O efeito do ganho é o de multiplicar a resultante por uma constante em qualquer ponto do gráfico. Exemplo: O sistema da Figura (4.35a) tem um ganho variável K.

a)

b) c) Fig. 4.35 – a) diagrama de blocos; b) contorno; c) diagrama de Nyquist.

UNIDADE IV

32

Para este sistema, uma vez que P=2, o ponto crítico deve ser envolvido pelo diagrama de Nyquist, para se obter N=2 e um sistema estável. Uma redução do banho colocaria o ponto crítico fora do diagrama de Nyquist onde N=0, produzindo Z=2, um sistema instável. Outra forma de verificar a estabilidade é supor que o diagrama permaneça estacionário e o ponto –1 se movendo ao longo do eixo real. Para isso, ajusta-se o ganho unitário e posiciona-se o ponto crítico em –1/K em vez de em –1. Desta forma o ponto crítico se afasta da origem quando K diminui e se aproxima quando K diminui. Com base no conceito do LR, quando G(s)H(s)=-1 a variável s é um pólo a malha fechada do sistema. A freqüência na qual o diagrama de Nyquist cruza o ponto –1 é a mesma freqüência em que o LR cruza o eixo imaginário, o que caracteriza um sistema marginalmente estável. Em resumo, se o sistema a malha aberta contém um ganho variável, K, deve-se fazer K=1, para esboçar o diagrama de Nyquist, considerando que o ponto crítico esteja em –1/K e não em –1. Ajustar o valor de K, para gerar estabilidade, com base no critério de Nyquist. Exemplo: Para um sistema com retroação unitária em que G(s) 

K , s(s  3)(s  5)

determine o valor de K para a estabilidade e instabilidade.

G( j) 

K  82  j(15  3 )  j( j  3)( j  5) K 1 644  2 (15  2 )2

Em =0, G(j)=-0,0356 - j. Fazendo a parte imaginária igual a zero na equação acima encontra-se   15 , que, substituído na mesma equação resulta na parte real igual a – 0,0083. Finalmente, em = G(j)=1/(j)3 = 0 -270o. Com base na Figura (4.36a), P=0; para estabilidade N deve ser igual a zero, de modo que Z=0. Neste caso, K deve ser aumentado de 1/0,083=120,5 antes do diagrama envolver o ponto –1. Portanto, para a estabilidade K<120,5 e K>120,5 para a instabilidade. Se K=120,5 o sistema é marginalmente estável. Neste ganho o gráfico intercepta –1 em   15 rad/s.

a)

b)

Fig. 4.36 – a) contorno; b) diagrama de Nyquist.

UNIDADE IV

33

2.6 Estabilidade por intermédio do mapeamento do eixo j positivo A verificação da estabilidade de um sistema pelo diagrama de Nyquist pode ser simplificado usando apenas o mapeamento do eixo j positivo. O sistema da Figura (4.37) é estável para valores baixos do ganho e instável para valores altos do ganho.

a) b) Fig. 4.37 – a) contorno e LR; b) diagrama de Nyquist. Como o contorno não envolve os pólos a malha aberta, o diagrama de Nyquist deveria envolver o ponto –1 para haver estabilidade. Pode-se ver a partir do diagrama de Nyquist que o envolvimento do ponto crítico pode ser determinado apenas com base no mapeamento do eixo j positivo. Se o ganho for pequeno o mapeamento passará a direita de –1 (sistema estável) e se for elevado passará à esquerda (sistema instável). Portanto, este sistema é estável para valores de ganho de malha, K, que garante que, a magnitude a malha aberta é menor que 1 na freqüência onde o ângulo de fase é 180o (ou, de forma equivalente, -180o). No sistema da Figura (4.38), o sistema é instável para baixos ganhos e estável para ganhos elevados.

a) b) Fig. 4.38 – a) contorno e LR; b) diagrama de Nyquist. Para este caso, o sistema é estável se a magnitude da malha aberta for maior que 1 na freqüência onde o ângulo de fase é 180o (ou, de forma equivalente, -180o). Exemplo: Determinar a faixa de valores de ganho para a estabilidade e instabilidade, para um sistema com retroação unitária dado por:

UNIDADE IV

34

G (s ) 

K (s  2s  2)(s  2) 2

Determine também a freqüência de oscilação em radianos. Como os pólos à malha aberta estão apenas no semiplano esquerdo, não se deseja nenhum envolvimento do ponto –1 para obter a estabilidade. Fazendo K=1 e desenhando o trecho do contorno ao longo do eixo imaginário positivo obtém-se o contorno mostrado na Figura (4.39a). Na Figura (4.39b) a interseção com o eixo real negativo é obtida fazendo s=j, e igualando a zero a parte imaginária de G(s)H(s), ou seja:

G( j) H ( j) 

1 (s  2s  2)(s  2) s j 2

4(1  2 )  j(6  2 )  16(1  2 )  2 (6  2 )2

fazendo j(6 - 2)=0 tem-se que   6 . Este valor substituído na equação acima resulta na parte real igual a –1/20 180o.

Fig. 4.39 – a) contorno; b) diagrama de Nyquist. Este sistema é estável se a magnitude da resposta em freqüência for menor que 1 em 180o. Portanto, o sistema é estável para K<20 e instável para K>20. 2.7 Margem de ganho e de fase por intermédio do diagrama de Nyquist O conceito do ponto de vista do ganho com fase de 180 o leva às seguintes informações de margem de ganho e margem de fase. Margem de ganho, GM: é a mudança no ganho a malha abeta no ponto com fase de 180o, expressa em decibéis (dB), necessária para tornar instável o sistema em malha fechada. Margem de fase, M: é a mudança no valor da fase a malha aberta, no ponto com ganho unitário, necessária para tornar instável o sistema a malha fechada.

UNIDADE IV

35

Estas duas definições são mostradas graficamente no diagrama de Nyquist na Figura (4.40).

Fig. 4.40 – Margem de ganho e margem de fase pelo diagrama de Nyquist. Admitindo que o sistema da Figura (4.40) é estável se não houver envolvimento do ponto –1, uma diferença de ganho entre o cruzamento do diagrama de Nyquist do eixo real em –1/a e o ponto crítico –1 determina a proximidade da instabilidade do sistema. A margem de ganho é determinada pelo inverso do valor do cruzamento do eixo real expresso em dB, ou seja:

 1    20 log a G M  20 log 1   a No ponto Q', onde o ganho é unitário,  representa a proximidade da instabilidade do sistema. Portanto, o valor da margem de fase é . Exemplo: Determinar a margem de ganho e de fase para o sistema abaixo.

G (s ) H (s ) 





6 (s2  2s  2)(s  2)



6 4(1  2 )  j(6  2 ) 16(1  2 )  2 (6  2 )2

O diagrama de Nyquist cruza o eixo real na freqüência de 6 rad/s. A parte real é calculada como sendo –0,3. Por conseguinte, o ganho pode ser aumentado de (1/0,3)=3,33 antes da parte real se tornar –1. Portanto, a margem de ganho é:

G M  20 log 3,33  10,45 dB

UNIDADE IV

36

Para a margem de fase, determina-se a freqüência na qual a magnitude é unitária:





6 4(1  2 )  j(6  2 ) 1 16(1  2 )  2 (6  2 )2 O que resulta numa freqüência de 1,253 rad/s, cujo ângulo de fase é de –112,3o. A diferença entre este ângulo e –180o é 67,7o, que é a margem de fase. 3.0 Sistemas com Retardo Supondo um sistema G(s), cuja entrada é R(s) e uma saída C(s), e um outro sistema, G'(s), que retarda a saída por T segundos, a TL de c(t-T) é e-sTC(s), ou seja: Para um sistema sem retardo:

C(s)  G(s)R(s) E com retardo

e sT C ( s)  R( s)G' ( s)  G' (s)  e sT G(s)

(4.73) (4.74) (4.75)

Apresentando (4.67) de outra forma tem-se:

G'  j  e  jTG( j)  G( j) [T  G( j)]

(4.76)

O retardo não afeta a curva de resposta em freqüência, mas reduz a linearidade aumentando a defasagem, T, a partir do diagrama de fase de G(j).

Fig. 4.41 - Efeito do retardo na resposta em freqüência A redução na defasagem causada pelo retardo reduz a margem de fase, tornando a resposta mais oscilatória e reduz a freqüência de margem de ganho, aproximando o sistema da instabilidade.

UNIDADE IV

37

Exemplo: Traçar a resposta em freqüência para o sistema abaixo com um retardo de 1 s.

G(s) 

k ss  1s  10

O diagrama de Bode para módulo e fase para k=1 é mostrado na Figura abaixo, onde só o gráfico de fase é afetado pelo retardo. Primeiramente traça-se o gráfico de fase do retardo.

esT  1  T  1   Depois, traça-se o diagrama de fase para G(j), que somada com a fase de retardo dá a curva resultante. Usando uma aproximação de segunda ordem, este acréscimo na margem de fase reduz o fator de amortecimento. a) Qual é a faixa de valores de k para garantir a estabilidade? - Sistema com retardo: a fase é -180o na freqüência de 0,8 rad/s, o que corresponde a -20 dB. logo

20 log k  20  k  10

O ganho k pode ser aumentado de 10 vezes sem se tornar instável.

- Sistema sem retardo: a fase de -180o ocorre em 3 rad/s, o que corresponde à 40 dB. logo

20 log k  40  k  100

Isto mostra que o sistema com retardo fica mais próximo da instabilidade. b) Qual é a ultrapassagem para k=5?

UNIDADE IV

38

-Sistema com retardo: a curva é aumentada de 14 dB, com um ângulo de fase de -145o, na freqüência de 0,5 rad/s e uma margem de fase de 35º. Admitindo um sistema de segunda ordem e usando (4.51) tem-se:

2

  tg1

   0,33

 2  1  4  2

Utilizando (2.20) resulta:

%UP  e 

1  2

4

  100  33%

Resposta ao degrau do sistema com retardo De acordo com a Figura acima, o percentual de ultrapassagem é 38%. - Sistema sem retardo: A linha de cruzamento de zero dB ocorre em 0,5 rad/s, com fase de -118o e uma margem de fase de 62º De forma semelhante encontra-se   0,64 e %UP  7,3% . De acordo com a Figura abaixo o percentual de ultrapassagem é aproximadamente 5%, com um tempo de assentamento menor.

Resposta ao degrau do sistema sem retardo PROGRAMAS MATLAB 1. Esboça os gráficos de Bode de módulo e de fase G

(s  3) (s  2)(s 2  2s  25)

UNIDADE IV

39

clf % Apaga gráficos existentes na tela. numg=[1 3]; % Define o numerador de G(s). deng=conv([1 2],[1 2 25]); % Define o denominador de G(s). G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). grid on % Ativa a grade para o gráfico de Bode . bode(G) % Constrói um gráfico de Bode. title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') % Adiciona uma % legenda ao gráfico de Bode. [mag,fase,w]=bode(G); % Armazena pontos do gráfico de Bode. pontos=[20*log10(mag(:,:))',fase(:,:)',w] % Lista pontos do gráfico de Bode % com magnitude em dB. Pause 2. Faixa de valores de ganho para a estabilidade usando Bode G

k (s  2)(s  4)(s  5)

numg=1; deng=poly([-2 -4 -5]); 'G(s)' G=tf(numg,deng) [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G);

% Define o numerador de G(s). % Define o denominador de G(s). % Exibe título. % Cria e mostra G(s). % Obtém as margens de % ganho e de fase % e as freqüências correspondentes. % Mostra o valor de K para estabilidade.

K=Gm Pause

3. Traçar o diagrama de Bode com retardo

G

k s(s  1)s  10)

Retardo de 1s

clf % Apaga gráficos existentes na tela. hold off % Desativa a função hold. numg=1; % Define o numerador de G(s). deng=poly([0 -1 -10]); % Define o denominador de G(s). 'G(s)' % Exibe título. G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). w=0.01:0.1:10; % Faz 0,01<w<10 em incrementos de 0,1. [magg,faseg]=bode(G,w); % Coleta dados dos diagramas % de Bode de G(s). [numd,dend]=pade(1,6); % Representa o retardo. Gd=tf(numd,dend); % Cria e mostra o retardo, % Gd(s). [magd,fased]=bode(Gd,w); % Coleta dados dos diagramas % de Bode de Gd(s). Ge=Gd*G; % Forma Gd(s)G(s). [mage,phasee]=bode(Ge,w); % Coleta dados dos diagramas % de Bode de Gd(s)G(s). subplot(2,1,1) % Subdivide a área para plotar o gráfico 1.

UNIDADE IV

40

semilogx(w,20*log10(mage(:,:))) % Plota a curva de magnitude. grid on % Ativa a grade para o gráfico de magnitude. axis([0.01,10,-80,20]); % Limita os eixos do gráfico de Bode. title('Magnitude da Resposta com Retardo') % Adiciona legenda % a resposta em magnitude. xlabel('Freqüência (rad/s)') % Rotula o eixo x da magnitude % da resposta. ylabel('20log M') % Rotula o eixo y eixo da magnitude. subplot(2,1,2) % Subdivide a área do gráfico para o gráfico 2. semilogx(w,faseg(:,:),w,fased(:,:),w,fasee(:,:))% Plota as % curvas de fase de G(s), % Gd(s), e G(s)Gd(s) em um único gráfico. grid on % Ativa a grade para o gráfico de fase. axis([0.01,10,-900,0]); % Limita os eixos do gráfico de Bode. title('Resposta de Fase com Retardo') % Adiciona legenda à % curva de fase. xlabel('Freqüência (rad/s)') % Rotula o eixo x da % resposta de fase. ylabel('Fase (graus)') % Rotula o eixo y eixo da % resposta de fase. text(1.5,-50,'Retardo') % Gera dístico para identificar % a curva de retardo. text(4,-150,'Sistema') % Gera dístico para identificar % a curva Sistema . text(2.7,-300,'Total') % Gera dístico para identificar % a curva Total. pause 4. Projeta a resposta transitória por meio de ajuste do ganho

Valor requerido: %U=9,5% clf % Apaga gráficos existentes na tela. numg=[100]; % Define o numerador de G(s). deng=poly([0 -36 -100]); % Define o denominador de G(s). G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). up=input('Digite %UP '); % Entre com o valor desejado % de ultrapassagem percentual. z=(-log(up/100))/(sqrt(pi^2+log(up/100)^2)); % Calcula a relação de % amortecimento necessária. Pm=atan(2*z/(sqrt(-2*z^2+sqrt(1+4*z^4))))*(180/pi); % Calcula a margem de fase necessária. w=0.01:0.01:1000; % Ajusta a faixa de freqüências de 0,01 a % 1000 em incrementos de 0,01. [M,P]=bode(G,w); % Coleta os dados de Bode.

UNIDADE IV

41

Ph=-180+Pm; % Calcula o ângulo de fase necessário. for k=1:1:length(P); % Busca nos dados de Bode o % ângulo de fase % necessário. if P(k)-Ph<=0; % Se o ângulo de fase requerido for encontrado, % obter o valor da M=M(k); % magnitude na mesma freqüência. 'Valor requerido de K' % Exibe título. K=1/M % Calcula o ganho requerido. break % Interrompe o laço. end % Fim de if. end % Fim de for. T=feedback(K*G,1); % Obtém T(s) usando o valor calculado de K. step(T) % Gera uma resposta ao degrau . title(['Resposta ao Degrau a Malha Fechada para K= ',num2str(K)]) % Adiciona legenda à resposta ao degrau. Pause 5. Plota o diagrama de Nyquist clf % Apaga gráficos existentes na tela. numg=[1 2]; % Define numerador de G(s). deng=[1 0 0]; % Define denominador de G(s). 'G(s)' % Exibe título. G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). grid on % Ativa a grade para o gráfico de Nyquist. nyquist(G) % Constrói o gráfico de Nyquist. title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') w=0:0.5:10; % Faz 0<w<10 em incrementos de 0,5. [re,im]=nyquist(G,w); % Obtém pontos do gráfico de Nyquist % uma faixa de valores de w. pontos=[re(:,:)',im(:,:)',w'] %Lista pontos especificados em %uma faixa de valores do gráfico de Nyquist. Pause 6. Determina a margem de ganho e de fase clf % Apaga gráficos existentes na tela. numg=6; % Define numerador de G(s). deng=conv([1 2],[1 2 2]); % Define denominador de G(s). 'G(s)' % Exibe título. G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). grid on % Ativa a grade para o gráfico de Nyquist. nyquist(G) % Constrói um diagrama de Nyquist. title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') % Adiciona uma legenda ao diagrama de Nyquist. [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G);%Obtém as margens de ganho e de fase % e as freqüências correspondentes. 'Margem de Ganho(dB); Margem de Fase(graus); freqüência de 180 graus (rad/s);' 'freqüência de 0 dB (rad/s)' % Exibe título.

UNIDADE IV

42

margens=[20*log10(Gm),Pm,Wcg,Wcp] % Exibe os dados de margens. Pause 7. Calcula a faixa de ganho pelo diagrama de Nyquist clf % Apaga gráficos existentes na tela. numg=[1 2]; % Define numerador de G(s). deng=[1 0 0]; % Define denominador de G(s). 'G(s)' % Exibe título. G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). grid on % Ativa a grade para o gráfico de Nyquist. nyquist(G) % Constrói o gráfico de Nyquist. title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') % Adiciona uma legenda ao gráfico de Nyquist. w=0:0.5:10; % Faz 0<w<10 em incrementos de 0,5. [re,im]=nyquist(G,w);%Obtém pontos do gráfico de Nyquist para % uma faixa de valores de w. pontos=[re(:,:)',im(:,:)',w'] % Lista pontos especificados em %uma faixa de valores do gráfico de Nyquist. pause numg=1; % Define o numerador de G(s).

EXERCÍCIOS

4.1 - a) Determinar as expressões analíticas para magnitude e a fase da resposta em frequência de:

G (s)  b)

1 (s  2)(s  4)

Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase usando o logaritmo da frequência em rad/s como abcissa.

4.2 - Construir os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase de Bode da Figura abaixo onde: (s  20) G(s)  (s  10)(s  7)(s  50)

4.3 - Para o sistema da Figura abaixo onde: G(s) 

k (s  5)(s  20)(s  50)

UNIDADE IV

43

a) Desenhe os gráfico logarítmicos de Bode de módulo e fase; b) A partir do diagrama de Bode, encontre as faixas de valores de k para manter o sistema estável; c) Calcule a margem de ganho, a margem de fase, a frequência de zero dB e a fase de 180o a partir do diagrama de Bode para k=10.000. 4.4 -

Determinar a constante de erro estático para um sistema com retroação unitária, estável, cuja FT em malha aberta, tem o diagrama de módulo de Bode mostrado na Figura abaixo.

4.5 - Para o sistema da Figura abaixo, onde: G (s) 

10 s(s  1)

Determine a margem de fase quando há um retardo no percurso direto de 0s, 3s e 7s. 4.6 - Estimar G(s) cujos gráficos de módulo e de fase, de Bode, são mostrados na Figura abaixo.

UNIDADE IV

44

4.7 - Para o sistema com retroação unitária com a seguinte FT:

G (s) 

k s(s  50)(s  120)

Use as técnicas de resposta em frequência (diagrama de Bode) para obter o ganho k para uma resposta ao degrau unitário com 20% de ultrapassagem. 4.8 Esboçar o diagrama de Nyquist para o sistema mostrado na Figura abaixo.

G (s ) 

1 (s  2)(s  4)

4.9 Para o sistema do exercício 4.8, onde:

G (s ) 

K (s  2)(s  4)(s  6)

a) Plote o diagrama de Nyquist; b) Determine a faixa de valores de ganho, K, para estabilidade. 4.10 Determinar a margem de ganho e a freqüência de 180 o do Exercício 4., para K=100. s 2  2s  1 4.11 Para o sistema com retroação unitária: G(s)  3 . Plote o s  0,2s 2  2s  1 diagrama de Nyquist e examine a estabilidade do sistema a malha fechada. 4.12 - Considere o sistema com retroação unitária, cuja FT de malha aberta é:

G (s)H(s) 

ke  Ts s(s  1)

Determine, em função do tempo morto T, o máximo valor de k para que haja estabilidade.

UNIDADE IV

45