Notas_de_aula_da_unidade_i.pdf

UNIDADE I

46 páginas

1.0 SISTEMAS DE CONTROLE O que é um sistema? O que é um sistema de controle? O termo sistema é usado para descrever uma série de componentes que interagem para realizar uma determinada função. O aspecto importante de um sistema é a relação entre as entradas e as saídas.

Fig. 1.1 - Blocos representativos de sistemas As relações entre as saídas e as entradas de alguns sistemas podem ser similares:

Fig. 1.2 - Circuito elétrico RC

Fig. 1.3 - Sistema de aquecimento

a)

b)

Fig. 1.4 - a) Tensão no capacitor b) temperatura no recipiente Em alguns casos é conveniente dividir um sistema em vários subsistemas acoplados.

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2

Fig. 1.5 - Vários subsistemas acoplados Em um sistema de controle, a saída é controlada para ter um valor específico ou variar de forma determinada pela entrada do sistema. . sistemas em malha aberta . sistemas em malha fechada Em um sistema em malha aberta, a entrada é escolhida com base na experiência.

Fig. 1.6 - Sistema em malha aberta Em um sistema em malha fechada, um sinal é realimentado da saída para a entrada, para manter a saída constante, mesmo havendo modificações nas condições de operação.

Fig. 1.6a - Diagrama de blocos em malha fechada Elementos básicos de um sistema em malha aberta Elemento de controle: determina a ação que deve ser tomada visando a entrada do sistema de controle;

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3

Elemento de correção: responde ao sinal de saída do sinal de controle e age de forma a levar a variável controlada ao valor desejado; Processo ou planta: sistema no qual uma variável é controlada.

Fig. 1.7 - Diagrama de blocos de um sistema em malha aberta

Fig. 1.8 - Sistema de controle de temperatura em malha aberta

Fig. 1.9 - Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada

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Fig. 1.10 - Sistema de controle de temperatura em malha fechada Controle de velocidade de um motor elétrico

Fig. 1.11 - Sistema de controle de um motor de CC em malha fechada Controle de direção e velocidade de um automóvel

Fig. 1.12 - Sistema de controle de direção e velocidade de automóvel

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2.0 TRANSFORMADA DE LAPLACE A transformada de Laplace é um método de transformar equações diferenciais em equações algébricas mais facilmente solucionáveis. Através da transformada de Laplace é possível converter senóides, exponenciais, etc.., em funções algébricas de uma variável complexa "S". 

 [f ( t )] f ( t )e st dt F(s)

Definição:

o

Exemplo: Uma resistência elétrica é percorrida por uma corrente que varia no tempo: v( t ) Ri( t )

logo: 

v(t )e  o

st



dt Ri (t )e o

st

(1.1)  V (s) RI (s)

dt

(1.2)

Função degrau

f ( t ) 1 f (t ) 0

para t>0 para t<0

f (t ) a f ( t ) 0

para t>0 para t<0

  1s

 1 F(s) 1.estdt  e st o s

então:

 o

(1.3)

Se a função degrau tem amplitude "a" tem-se: a F (s )  s

(1.4)

f (t ) e at

(1.5)

Função exponencial





  1 1 F(s) eat e stdt  e ( s a ) t o  o s a s a

2.1 Regras básicas

f1 (t ) f 2 ( t )  F1 (s) F2 (s) f1 (t ) f2 ( t )  F1 (s) F2 (s)

(1.6)

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6 a .f (t )  a.F(s)

f ( t T )  e sT F(s) d f ( t )  s.F(s) f (0) dt

d 2f ( t ) df (0)  s2 F(s) sf (0)  2 dt dt d n f ( t) dt n

n

 s n F(s) sn k f k 1 (0) k 1

f (t )

onde:

k 1

d k 1f (t )  k 1 dt

Tab. 1.1 - Transformadas de Laplace Exemplo: Determinar a transformada de Laplace das seguintes funções: a) t 2 e at

b) t 2 (1 eat )

a) Consultando uma Tabela tem-se:

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n! t n e at p/ (n=1,2,3...)  F(s)  (s a ) n 1 2! 2   2 1 (s a ) (s a ) 3

t 2 (1 e at ) t 2 t 2 e at

b)

Consultando uma Tabela Tem-se: n! 2 2 f (t ) t  F(s)  n 1  3 s s

2 f ( t ) t 2 eat  F(s)  (s a )3 2 2  F(s)  3  s (S a ) 3

e

Transformada de Laplace de uma equação diferencial 3

3

dx( t ) 2x ( t) 4 dt

dx( t )  3[sX (s) x (0)] dt

2 x( t )  2X (s )

se

x (0) 0

e

4

4 s

4  3[sX (s) 0] 2X(s)  s

4  X (s)  2 3s 2s

Quando um termômetro é inserido em um líquido a uma temperatura Ti , a temperatura lida na saída T o é dada pela seguinte equação diferencial: k

dTo (t ) Ti To ( t ) dt

dTo ( t )  sTo (s) com dt

logo:

To (0) 0 e Ti 

T T (s ) 1 ksTo (s)  i To (s)  o  s Ti s(ks 1)

(1.7) Ti s

(1.8)

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8

2.2 Transformada Inversa de Laplace A transformada inversa de Laplace é definida por: 1 c j   1 st  [F(s)] f ( t )   F(s) e ds, 2  cj

para t 0

(1.9)

Esta equação é complicada, por isso, seu uso não é recomendado para obter a transformada inversa. Se a transformada não está na forma reconhecível na tabela, recorre-se às frações parciais. Se F(s) for decomposta em componentes:

F(s) F1 (s) F2 (s) ....Fn (s)

(1.10)

e se as transformadas inversas estiverem disponíveis, então: 1 1 1 1  [ F(s)]  [F1 (s)]  [F2 (s)] .....  [ Fn (s)]

f1 ( t ) f2 ( t) .... f n ( t )

(1.11)

Exemplo: A transformada inversa de Laplace para: 3 3 X (s )  2  s 2s s(s 2) Consultando uma tabela tem-se: 1 1  (1 e at ) s(s a ) a

onde a = 2

3 x (t )  (1 e 2 t ) 2

logo:

O processo de converter uma expressão algébrica em frações simples é chamado de decomposição em frações parciais. Os três tipos básicos de frações parciais: 1. Fatores lineares no denominador; Expressão:

Fração parcial:

f (s) (s a )(s b)(s c)

(1.12)

A B C   (s a ) (s b ) (s c)

(1.13)

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2. Fatores lineares repetidos no denominador;

f (s ) (s a ) n

Expressão:

Fração parcial:

(1.14)

A B N   ....  (s a ) (s a )2 (s a ) n

(1.15)

3. Fatores quadráticos no denominador, quando o fator tem raízes complexas conjugadas. f (s )

Expressão:

(1.16)

2

s bs c

As B

Fração parcial:

(1.17)

as bs c 2

Se existe um fator linear no denominador:

f ( t) (as bs c )(s d)

Expressão:

2

As B C  2 as bs c (s d)

Fração parcial: Exemplo:

s 5 s 5 A B    s2 3s 2 (s 1)(s 2) s 1 s 2 A(s 2) B(s 1)  (s 1)(s 2)  A (s 2) B(s 1) s 5 ( A B)s s

logo

 B 3

e e

2A B 5

A 4

s 5

4 3   s 3s 2 s 1 s 2

logo:

2

Exemplo: Encontrar a solução da seguinte equação diferencial:

(1.18)

(1.19)

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10  x2 x5 x 3,

x( 0) 0 e

x(0) 0

A transformada de Laplace conduz a: 3 s 2X(s) 2sX (s) 5X(s)  s

Resolvendo para X(s) tem-se:

3 3 3 2 3 s 1 X (s )  2    2 2 5 (s 1)2 22 s(s 2s 5) 5s 10 (s 1) 2 A transformada de Laplace inversa é: 1 x( t )  [ X(s)]

 3 1  s 1  3 1  1 3 1  2           5 s  10 (s 1) 2 2 2  5  (s 1) 2 2 2   3 3 3   e t sen 2t  e t cos 2 t , 5 10 5

para t 0

Tab. 1.2 - Teoremas da transformada de Laplace

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Expressões em frações parciais com o Matlab Exemplo: Converter em frações parciais a seguinte expressão: B(s) 2s3 5s 2 3s 6  A(s) s3 6s2 11s 6 Comandos: NUM=[2 5 3 6] e DEN=[1 6 11 6] [r,p,k]=residue(NUM,DEN) resultados r = -6.00/-4.00/3.00; p = -3.00/-2.00/-1.00

k=2

B(s) 6 4 3    2 A(s) s 3 s 2 s 1 O comando [NUM,DEN]=residue(r,p,k) efetua o processo inverso. 3.0 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS   É um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema e que pode ser descrito por equações diferenciais. Sistemas Lineares - Quando é possível aplicar o princípio da superposição. Sistemas não-lineares - não se aplica o princípio da superposição.

Fig. 1.13 - a) função linear; b) função não-linear 3.1 Modelagem matemática de um sistema massa-mola Determinar o modelo matemático do sistema massa-mola mostrado na Figura (1.14).

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Fig. 1.14 - Sistema massa-mola A equação dinâmica do sistema é: ma f kx cv m

 f m

d 2x dt

2

c

d2 x

(1.20)

dt 2

dx kx dt

(1.21)

Na ausência de amortecimento a massa "m" oscilará com uma frequência natural k n  . m

é:

E a razão de amortecimento

c  2 mk

1 d2 x

logo:

2n 1 2n

dt

2

(1.22)

2dx  x f / k n dt

2 s 2 X(s)  sX(s) X(s) F(s) / k n F(s) / k

 X(s) 

2

2

F(s)n / k  2 2 s 2n s n

2  s 1 2 n n Se f for respectivamente, um impulso e um degrau unitários tem-se: s

 1   x( t )   n e n t sen(n t 1 2 ) k  1 2      1  x( t )   1  n e n t sen(n t 1 2 )  k  1 2   

(1.23)

(1.24)

(1,24a)

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3.2

13

Modelagem matemática de um motor de corrente contínua com o campo constante

Fig.1.15 - Diagrama esquemático de um motor de CC e a (t ) vb ( t ) L a v b (t ) k b

onde:

di a R a i a dt

dm ( t ) dt

E a (s) Vb (s) L a sIa (s) R a Ia (s)

ou

Vb (s) k bsm (s)

onde:

(1.25)

(1.26)

(1.27)

(1.28)

Substituindo (1.28) em (1.27), tem-se: E a (s) k b sm (s) L asIa (s) R a Ia (s)

(1.29)

O torque no eixo do motor é dado por: Tm (t ) k t i a (t )

ou

Tm (s) k t Ia (s)

(1.30)

onde k t é a constante de torque A Figura (1.16) mostra um carregamento típico de um motor, onde Jm e Dm são a inércia e o amortecimento viscoso equivalentes referidos ao eixo do motor.

Fig. 1.16 - Carregamento mecânico típico de um motor logo:





Tm (s) J ms 2 Dm s m (s)

(1.31)

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14

Substituindo (1.30 e 1.31) em (1.29) resulta:

R a L as  Jm s2 D msm (s)

E a (s) k b sm (s) 

(1.32) kt Admitindo que a indutância de armadura é muito menor que a resistência tem-se: R  J s D m  sm (s) E a (s )  a m kt

(1.33)

A função de transferência desejada é: m (s) kt  RaJ m  E a (s )  1   kk  s s  Dm  t b     Ra   Jm  

(1.34)

ou m (s) k  E a (s ) s  s a 

(1.35)

A Figura (1.17) mostra um motor de inércia J a e de amortecimento Da acionando uma carga de inércia J L e de amortecimento DL.

Fig. 1.17 - Motor mais carga A inércia e o amortecimento referidos à armadura são: 2

N1  Jm Ja J L  N   2

2

e

N1  Dm Da DL  N    2

(1.36)

Substituindo (1.30) em (1.29) e fazendo La = 0 tem-se: R E a (s)  a Tm (s) k b sm (s) kt

(1.37)

Aplicando a transformada de Laplace inversa resulta: R ea (t )  a Tm (t ) k b m (t ) kt

(1.38)

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Para o motor operando em estado estacionário o torque Tm é dado por: k k k Tm  b t m  t e a Ra Ra

Estudo de caso

Fig. 1.18 - Sistema de controle de posicionamento de uma antena

Fig. 1.18 - Diagrama esquemático do sistema de controle

Fig. 1.19 - Diagrama de blocos do sistema de controle

(1.39)

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16

Tab. 1.3 - Parâmetros do sistema Potenciômetro de entrada Desprezando a dinâmica do potenciômetro, a relação entre a tensão de saída e o deslocamento angular de entrada é: Vi (s) 10 1   i (s) 10  

Pré-amplificador Supondo que não há saturação, e que a dinâmica é desprezada, a relação entre a tensão de entrada e de saída é: Vp (s) K Vi (s) Amplificador de potência Considerando a dinâmica do amplificador de potência, devido este ser muito mais lento do que o pré-amplificador tem-se: E a (s ) 100  Vp (s) s 100 Motor mais carga A inércia total com relação ao eixo do motor é: 2

25  1 J m Ja JL  0.03   0.02 1 100 250  O coeficiente de amortecimento Dm , equivalente ao eixo de armadura é: 2 1 25  Dm Da D L   0.01 1 0.02 100 250 

onde DL é o coeficiente de amortecimento viscoso referido a  0.

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A função de transferência, que relaciona o deslocamento angular do eixo da armadura e a tensão de armadura é dada por: m K t ( R a Jm ) 2,083   Ea  1   s s 1,71 KK  s s  Dm  t b     Ra   Jm  

onde Kt é a constante de torque; Ra a resistência de armadura e Kb a constante de velocidade.

Fig. 1.20 - Resposta do sistema para dois ganhos distintos do controlador 4.0

DIAGRAMA DE BLOCOS

Para mostrar as funções desempenhadas por cada componente de um sistema de controle, costuma-se usar um diagrama chamado "Diagrama de blocos". Elemento de um diagrama de blocos

Ponto de soma

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Ponto de distribuição

Diagrama de blocos a malha aberta

Fig. 1.21 - a) blocos separados; b) bloco equivalente Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada

Fig. 1.22 - Sistema em malha fechada Função de transferência de ação direta. C(s) G2 (s)G3 (s) E (s )

FTAD

(1.40)

Função de transferência a malha aberta B(s) G 2 (s) G3 (s)H1 (s)H2 (s) E(s)

FTMA

(1.41)

Função de transferência a malha fechada C(s) G 2 (s)G 3E (s) G(s)E (s)

(1.42)

H(s) H1 (s)H 2 (s)

(1.43)

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Fig. 1.23 - Diagrama de blocos equivalente E(s) R (s) B(s) R (s) H (s)C(s)

(1.44)

Eliminando E(s) tem-se: C(s) G (s)[ R(s) H (s)C(s)]



C(s) G (s )  R (s) 1 G(s)H(s)

(1.45) FTMF

(1.46)

Fig. 1.24 - Diagrama de blocos equivalente Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação

Fig. 1.25 - Diagrama de blocos com perturbação Neste caso, aplica-se o princípio de superposição. Fazendo R(s) =0, tem-se:

CD (s) G 2 (s)[ D(s) G1 (s)H(s)C D (s)]

(1.47)

G 2 (s) D(s) G 2 (s)G1 (s) H(s) CD (s)  CD (s)[1 G 2 (s) G1 (s)H(s)] G 2 (s) D(s) 

CD (s ) G 2 (s)  D(s) 1 G 2 (s) G1 (s)H(s)

(1.48)

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20

Fazendo D(s) = 0, tem-se: C R (s ) G1 (s)G 2 (s)  R (s) 1 G1 (s)G2 (s)H(s)

(1.49)

logo:

C(s) C D (s) C R (s) G 2 (s )  [G1 (s)R (s) D(s)] 1 G1 (s)G2 (s)H(s)

G1 (s)H(s)  1 e

se

(1.50)

G1 (s) G2 (s)H(s) 1

CD (s) é quase zero e os efeitos do distúrbio podem ser suprimidos. D (s ) Esta é uma vantagem dos sistemas a malha fechada

a FTMF

Neste caso, se

CR (s) 1  R (s) H(s) H (s) 1  C(s) R (s)

Exemplo: Simplificar o seguinte diagrama de blocos

Fig. 1.26 - Diagrama de blocos de um sistema

X1 CH2 G1 H1G 2 X1 RG1 CG1 X1 (1 G1G 2 H1 ) CH2 CG1 RG1 C(H 2 G1 ) RG1  X1  1 G1G 2 H1 C G 2 G3 X1 G 2G 3

C( H2 G1 ) RG 1 1 G1 G2 H1

 C[1 G1G 2 H1 G2 G3 (G1 H 2 )] G1G 2 G3R

(1.51)

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21 C G1G2 G 3  R 1 G1G 2 H1 G1 G2 G3 G 2 G3 H2

Fig. 1.27 - Diagrama de blocos equivalente Note-se que o numerador da FTMF é o produto das FT do percurso de ação direta e o denominador é igual a:

(produto das FT ao longo de cada malha)

1

5.0 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADO Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de variáveis, chamadas variáveis de estado. Variáveis de estado: são as grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do sistema (descrevem completamente o comportamento dinâmico do mesmo). Vetor de estado: são as variáveis de estado representadas por um vetor. Espaço de estado: o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos x 1,x2,...xn é chamado espaço de estados (qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados). A análise no espaço de estado envolve três tipos de variáveis: variáveis de entrada, de saída e de estado, conhecidas para t=to e t tº O número de variáveis de estado necessárias na definição completa da dinâmica de um sistema é igual ao número de integradores envolvidos. Circuito RL

Fig. 1.28 - Circuito elétrico com uma indutância e uma resistência em série Escrevendo a equação do circuito tem-se: L

di Ri v(t ) dt

(1.52)

A transformada de Laplace é: L[sI (s) i(0)] RI (s) V (s)

Admitindo que a entrada v(t) é um degrau unitário tem-se:

(1.53)

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22  1 1 1  I (s)    R s s R  L 

  i (0)  R   s L 

(1.54)

logo: 1  L t  i(0) e L t i (t )   1 e  R   R

R

(1.55)

onde i(t) é um subconjunto de todas as variáveis possíveis do circuito e pode ser determinada se v(t) e i(0) forem conhecidos. Neste caso, i(t) é uma variável de estado e (1.52) é uma equação de estado. As outras variáveis são:

vR ( t ) Ri (t )

(1.56)

vL ( t ) v( t ) Ri ( t)

(1.57)

di 1  [v (t ) Ri (t )] dt L

(1.58)

e

A Equação (1.52) combinada com (1.56 e 1.58) formam uma representação no espaço de estados. A Equação (1.52) não é única. Poderia ter sido escrita em termos de qualquer outra variável do circuito. v Por exemplo: fazendo i  R em (1.52) resulta: R L dv R v R v( t ) R dt

que pode ser resolvida conhecendo-se a condição inicial:

v R (0) Ri( 0) e v(t ) Circuito RLC

Fig. 1.29 - Circuito RLC série

(1.59)

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23

A equação do circuito é: di 1 Ri  idt v( t) dt C dq Expressando em função da carga e usando i (t )  tem-se: dt 2 d q dq 1 L 2 R  q v(t ) dt C dt



L

(1.60)

(1.61)

A Equação (1.61) pode ser representada por duas equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, em termos de i(t) e q(t), escolhidas como variáveis de estado, que são as seguintes: dq (t ) i (t ) dt

(1.62)

di ( t) 1 R 1  q( t )  i (t )  v (t ) dt LC L L

(1.63)

As Equações (1.62 e 1.63) são as equações de estado e podem ser resolvidas para obter q(t) e i(t) se q(0), i(0) e v(t) são conhecidas. Com base em (1.62 e 1.63) pode-se calcular todas as outras variáveis do circuito: 1 vL ( t )  q( t ) Ri( t ) v(t ) C

(1.64)

vR ( t ) Ri (t )

(1.65)

1 vC ( t )  q (t ) (1.66) C As Equações (1.62 e 1.63), combinadas e a equação de saída (1.64), constituem uma representação no espaço de estados. Uma outra escolha de variáveis de estado pode ser feita, por exemplo, com vR (t) e vc (t). Atenção! Nenhuma das variáveis de estado pode ser escrita como combinação linear das outras variáveis de estado. As variáveis de estado devem ser linearmente independentes. Se o sistema for linear, as equações de estado (1.62) e 1.63) podem ser escritas na forma matricial: x ( t ) Ax ( t) Bu( t )

onde

dq    x ( t ) dt ; di  dt   

0 A  1  LC

(1.67) 1   R ; LC 

UNIDADE I

24

 q x ( t) ; i 

 0  B 1 e  L 

u( t ) v( t )

A Equação de saída (1.64), pode ser escrita da seguinte forma: y Cx Du (t )

1 C   C

onde:

 - R ; 

D 1

(1.68) e u (t ) v(t )

O circuito analisado representa um sistema com uma única entrada e uma única saída, nos quais y, D e u são grandezas escalares. Análise de um sistema com múltiplas entradas, múltiplas saídas e n integradores:

u1 (t ), u 2 (t ),.......u r ( t ) y1 ( t ), y 2 ( t ),........ym (t )

variáveis de entrada

(1.69)

variáveis de saída

(1.70)

Definindo as n variáveis do sistema dos integradores como variáveis de estado com valores: x1 (t),x2(t),....,xn (t). O sistema pode ser descrito por:

x 1 (t ) f1 (x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) x 2 ( t ) f 2 (x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) : : x n (t ) f n (x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )

(1.71)

y1 ( t ) g1 (x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) y2 ( t) g 2 (x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t ) : : ym (t ) g m ( x1 , x 2 ,..., xn ; u1 , u 2 ,..., u r ; t)

(1.72)

Definindo-se: f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )   x 1 (t )      f2 ( x1, x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )  x 2 (t )    , f ( x , u , t )  x (t )    :      x n (t ) fn (x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t   

(1.73)

UNIDADE I

25 g1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )   y1 ( t)      g2 ( x1, x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t )  y 2 (t )     , g ( x , u , t )  y( t )    :      y n (t ) gn ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u r ; t    u1 ( t )    u (t )  u( t ) 2  :    u n ( t )  x(t ) f ( x, u , t )

e

e

(1.74)

(1.75)

y(t ) g (x, u, t )

x ( t ) A ( t) x (t ) B(t ) u( t )

(1.76)

y( t ) C(t ) x( t ) D( t )u (t )

(1.77)

onde A (t ) é a matriz de estado, B( t ) é a matriz de entrada, C(t ) é a matriz de saída e D( t ) é a matriz de transição direta. Se as matrizes A,B,C,D independem do tempo (constantes), o sistema é dito invariante no tempo. x(t ) Ax ( t ) Bu( t )

(1.78)

y (t ) Cx (t ) Du ( t )

(1.79)

Na Figura (1.30) tem-se a representação das Equações (1.76 e 1.77), sob a forma de diagrama de blocos.

Fig. 1.30 - Diagrama de blocos na forma de espaço de estado Exemplo: Admita-se que o sistema da Figura (1.31) seja linear e que a força u(t) seja a entrada do sistema. O deslocamento y(t) é medido a partir da posição de equilíbrio, na ausência da força externa.

UNIDADE I

26

Fig. 1.31 - Sistema mecânico A equação do movimento é: m ybyky u

Como o sistema é de Segunda ordem, o mesmo envolve dois integradores. Definindose as variáveis de estado como x1(t) e x 2(t), tem-se:

x1 ( t ) y( t ) e

x 2 (t ) y ( t) logo: e

x 1 x 2 1 1 k b 1 x2   ky b y u  x1  x 2  u m m m m m

Sob a forma matricial tem-se: 0 1 0    x  x1    1    b   1 u   k x2  - x2     m m  m 

e

y  1

 x1  0  x2   

A Figura (1.32) mostra o diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura (1.31).

Fig. 1.32 - Diagrama de blocos

UNIDADE I

27

Correlação entre função de transferência e equações no espaço de estados Considere-se o sistema cuja função de transferência é dada por: Y (s ) G(s) U (s )

(1.80)

que pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações: x(t ) Ax ( t ) Bu( t )

(1.81)

y (t ) Cx (t ) Du ( t )

(1.82)

onde x(t) é o vetor de estado, u(t) é a entrada e y(t) é a saída. A transformada de Laplace das Equações (1.81 e 1.82) é: sX (s) x (0) AX(s) BU (s)

(1.83)

e Y (s) CX (s) DU (s)

(1.84)

Admitindo que X(0)=0, tem-se: sX (s) AX(s) BU (s)

(1.85)

 (sI A )X (s) BU (s)

(1.86)

Multiplicando a esquerda de ambos os membros por (sI A) 1 :

X(s) (sI A)1 BU(s)

(1.87)

Substituindo (1.87) em (1.84) resulta:





Y(s) C(SI A)1 B D U(s) onde

(1.88)

G (s) C(SI A)1 B D Q (s )  G (s)  sI A

onde Q (s) é um polinômio em S e sI A é o polinômio característico de G(s). Exemplo: Considere o sistema da Figura (1.31):

G(s) C(SI A)1 B D

(1.89)

UNIDADE I

28  s  0  0   

 1

 s  0 k  m 

 1

s  k  m

 0 0   k s   m

1

1    b -  m  1

- 1   b  s   m 

 1

0   1    m 

-1  1  b s   s 2 b s k m m m

G(s)  1

1 0 b k s2  s  m m

 0  1 0   m 

b  s  m  k   m

b  s  m  k   m

1   s  

1 0  1   s m  

1  2 ms bs k

Representação de sistemas dinâmicos excitação n

no espaço de estados sem derivadas de

n 1

ya1 y ... a n 1 ya n y u ( n 1)

x1 y; x 2 y ; ........; x n  y x 1 x 2 ;

x2 x 3 ; ..........; xn -1 x n

x a n x1 a n 1 x 2 ....... a1 x n u n  onde: 0 1  x1    0 0    x 2 x  ; A  : : :   0 0    xn    - a n - a n -1 

0 ... 0  0    1 ... 0  0   : : ; B  :   0 0  0   - a n -2 ... - a1  1   

(190)

UNIDADE I

29 x1   x2  y  1 0 ... 0 :  xn 

     

A Figura (1.33) mostra a realização dessas equações na forma de diagrama de blocos.

Fig. 1.33 - Diagrama de blocos do sistema representado por (1.90) Na forma de função de transferência

Y (s ) 1 n U(s) s a 1sn 1 ... a n 1s a n Representação de sistemas dinâmicos excitação n

n 1

no espaço de estados com derivadas de

n

(n  1)

y a1 y .. a n 1ya n y b o ub1 u .. b n 1ubn u

x 1 x 2 ;

(1.91)

(1.92)

x2 x 3 ; ..........; xn -1 x n

x a n x1 a n 1 x 2 ....... a 1x n  n  n

(n  1)

b o u b1 u ..... b n 1ubn u Para eliminar as derivadas da excitação do segundo membro as n variáveis são definidas da seguinte forma: x1 y o u x 2 yo u1u x 1  1u x 3  yo  u1 u2 u x2 2 u (n 1)

(n  1)

(n 2 )

x n  y o u 1 u .. n 2 un 1u xn 1 n 1 u

Substituindo (1.93) em (1.92) tem-se:

(1.93)

UNIDADE I

30 o b o 1 b1 a 1o 2 b2 a 11 a 2o n b n a 1n 1 ... a n 11 a n o

(1.94)

Solução das equações de estado no domínio do tempo Admita-se, primeiramente, a equação de estado homogênea na forma: x( t) Ax (t )

(1.95)

A solução pode ser dada pela seguinte série: x( t ) bo b1t b2 t 2 .... bk t k b k 1 t k 1 ...

(1.96)

Substituindo (1.96 em 1.95), tem-se:

b1 2b 2 t ... kbk t k 1 ( k 1)b k 1 t k ...





A bo b1t b2 t 2 ... bk t k bk 1 t k 1 ...

(1.97)

Igualando os coeficientes semelhantes resulta: b1 Abo

(1.98)

1 1 2 b2  Ab 1  A bo 2 2

(1.99)

 1 k bk  A b o k!

1 A k 1 b0  k 1 !

bk 1 

(1.100) (1.101)

Substituindo (1.98, 1.99, 1.100 e 1.101 em (1.96) tem-se: 1 1 x (t ) b o Ab o t  A2 b o t 2 ...  Ak bo t k  2 k! 1  Ak 1b o t k 1 ... k 1 !   1 2 2 1 k k 1  A k1t k 1 ... I At 2 A t ... k! A t  b o k 1 !  

Da Equação (1.96) tem-se que x (0) bo e:

(1.102)

UNIDADE I

31  1 1 1  e At  I At  A 2 t2 ...  A k t k  A k1t k1 ...    2 k! k 1 !  

(1.103)

onde e At é chamada de matriz de transição de estados e é simbolicamente representada por ( t ) .

 x (t ) e At x(0)  ( t) e At

assim:

(1.104)

 x (t ) (t ) x(0)

(1.105)

Fazendo t=0 em (1.103) tem-se: (0) I

primeira propriedade

(1.06)

onde I é a matriz identidade. Da Equação (1.105), com t=0 resulta; x( 0) (0)x (0)

(1.107)

Derivando (1.105) e igualando a (1.95) tem-se:  x ( t )  ( t) x (0) Ax(t )   (0) x(0) Ax(0) logo

  ( 0) A

segunda propriedade

(1.108)

As Equações (1.106 e 1.108) são a solução do sistema homogêneo ou não forçado. Para o sistema forçado ou não-homogêneo tem-se: x ( t ) Ax ( t ) Bu( t )

Rearranjando e multiplicando ambos os membros por

(1.109)

e At

tem-se:

eAt  x ( t ) Ax( t ) e At Bu( t) 





d At e x (t ) eAt Bu(t ) dt

Integrando ambos os membros resulta: e At x (t )

t 0

t A  e At x (t ) x(0)  Bu ( )d 0e

(1.110)

UNIDADE I

32

Resolvendo (1.110) em termos de x(t) tem-se: t

 0

x( t ) e At x(0)  e A ( t ) Bu()d t

 0

( t )x (0)  ( t  )Bu ( )d

(1.111)

A integral em (1.111) é chamada integral da convolução. A primeira parcela em (1.111) é chamada resposta à entrada zero e a segunda, resposta no estado zero. Cálculo de ( t ) Da Equação de estado: x ( t ) Ax ( t) (1.112)

tem-se: sX (s) x (0) AX(s)

(1.113)

[sI AX (s)] x (0)

(1.114)

Rearranjando (1.113) resulta:

Pré-multiplicando ambos os membros de (1.114) por (sI A) 1 :

logo:



X(s) (sI A)1 x(0)

(1.115)

adj(sI A)  x(0) det(sI A)

(1.116)



adj(sI A)  1 (sI A) 1 1  (t ) det(sI A) 

(1.117)

Exemplo: Para a Equação de estado e o vetor inicial mostrado em (1.118a e 1.118b), onde u(t) é um degrau unitário, determine a matriz de transição de estados e em seguida calcule x(t).  0 1  0 x ( t )  x(t) u(t)  - 8 - 6 1  

(1.118a)

1  x( 0)  0 

(1.118b)

Fazendo det sI A 0 , obtém-se os pólos do sistema que são -2 e -4.

UNIDADE I

33

Como cada termo da função é a soma das respostas geradas pelos pólos, a matriz de transição pode ser escrita da seguinte forma:  (k1e 2 t k 2 e 4 t ) (t )   (k 5e 2 t k 6 e 4 t ) 

(k 3e -2t k 4 e -4t )   (k7 e 2 t k 8e 4 t  

Usando as propriedades da matriz de transição resulta: (0) I k1 k 2 1 k 3 k 4 0

k 5 k 6 0 k 7 k 8 1 uma vez que

  (0) A

2k1 4k 2 0 2k 3 4k 4 1 2k 5 4k 6 8 2k 7 4k 8 6

então:

Portanto:  2 t 1  1  ( 2e e 4 t )  e 2 t  e 4 t    2 ( t)  2   2 t 4 t -2t 4 t   ( 4e 4e ) (-e 2e )     1 2 ( t ) 1 4( t )  - e e    2 ( t  ) B  2   2 ( t  ) 4 ( t  )   ( e 2e  

O primeiro termo de (1.111) é:  (2e 2 t e 4 t )  (t ) x( 0)   2 t 4 t  (  4 e  4 e )    e o último termo de (1.111) é: 1 1 2 t 1 4 t    e  e   8 8 (t  )Bu ( )d 4  0 1 2 t  4 t  e 4e 2    t



O resultado final é:

UNIDADE I

34 1 7 2 t 7 4 t    e 8 e  x( t ) (t ) x(0)  ( t  ) Bu()d8 4  0 7 2 t 7 4 t    e  e   2 2  t



A matriz de transição (t ) pode também ser obtida utilizando a transformada de Laplace usando (1.117), ou seja:





adj(sI A)  1 (sI A)1 1  ( t ) det(sI A)  s  Para o exemplo acima: (sI A)  8 

1  s -6  

s 6 1  s 6   2 -8 s  s 6s 8 (sI A)1  2 s 6s 8  8   s 2 6s 8

  s 6s 8  s  2 s 6s 8   1

2

Aplicando a transformada de Laplace inversa a cada um dos termos tem-se:  2 t  1 2 t 1 4 t  4 t (2e e )  e  e    2 ( t )  2   2 t 4 t -2t 4 t   (4e 4e ) (-e 2e )  

7.0 LINEARIZAÇÃO A linearização de uma equação diferencial não-linear é feita para pequenos valores do sinal de entrada em torno da solução de estado estacionário e é chamada de equilíbrio.

Fig. 1.34 - Linearização em torno de um ponta A

UNIDADE I

35

Se a inclinação do ponto A da Figura (1.34) for ma, uma pequena excursão da entrada em torno deste ponto, x , acarreta pequenas variações na saída  f ( x) , relacionado pela inclinação no ponto A: [f (x ) f ( x0 )] m a ( x x 0 )

(1.119)

 f ( x) m ax e f ( x) f ( x0 ) m a ( x x 0 )

(1.120)

O novo conjunto de eixos x e  f ( x) é criado no ponto A e f(x) é aproximadamente igual a f(x 0). Exemplo: Linearizar f(x) = 5 cos(x) em torno de x = 2 . df ( x) dx

5 e x 2

f (x 0 ) x 2 0

De acordo com (1.120), f(x) = -5 x , para pequenas excursões de x em torno de 2 .

Fig. 1.35 - Linearização de 5cos(x) em torno de 2 Aplicando a série de Taylor: df f (x) f (x 0 )  dx

 x x0  d2 f  x x 0

1!

dx 2

2  x x0  ... x x 0

2!

(1.121)

Desprezando os termos de ordem mais alta tem-se: df f ( x) f (x 0 )  (x x0 ) dx x x 0

(1.122)

UNIDADE I

36

 f ( x ) m x x  x

(1.123)

0

Exemplo: Linearizar a Equação (1.124) para pequenas excursões em torno de x= 4 .

d 2x dt

2

2

dx cos( x) 0 dt

(1.124)

Fazendo x  x 4 e substituindo em (1.124) tem-se:    2 d  x   dx    4 4   2  cosx  0 2 dt 4 dt 

(1.125)

mas   d2  x   2 4  d x   2 2 dt dt

e

 d x   4  dx   dt dt

(1.126)

  O temo cosx  , pode ser linearizado por meio da série de Taylor truncada 4  (1.122):

   d cos x  cosx  cos   x sen  x 4  4  dt x  4  4

 2 2   cos x   x x  cos sen  4 2 2  4  4 

(1.127)

Substituindo (1.126 e 1.127) em (1.125) tem-se a seguinte equação diferencial linearizada:

d 2 x d x 2 2  2   x   dt 2 2 dt 2

(1.128)

UNIDADE I

37

EXERCÍCIOS DA UNIDADE I 1.1 - Obter a transformada de Laplace inversa de F(s)=10/[s(s+2)(s+3)2]. 1.2 - Obtenha a expansão em frações parciais da seguinte função utilizando o MATLAB: 10(s 2)(s 4) F (s )  (s 1)(s 3)(s 5)2

Em seguida, obtenha a transformada inversa de Laplace de F(s). 1.3 - Considere a seguinte função: s 4 5s3 6s 2 9s 30 F(s)  4 s 6s3 21s2 46s 30 Utilizando o MATLAB obtenha a expansão em frações parciais de F(s) e em seguida determine a transformada de Laplace inversa de F(s). 1.4 - Resolva a seguinte equação diferencial:  x2n x2n x 0

onde x(0) a

e x (0) b , com a e b constantes.

1.5 - Obter a FT, G(s) = X 2(s)/F(s) para o sistema mecânico em translação mostrado na Figura (1.1).

Fig. 1.1 - Sistema mecânico em translação 1.6 - Obter a FT

2 (s) / T (s) para o sistema em rotação mostrado na Figura (1.2).

UNIDADE I

38

Fig. 1.2 - Sistema mecânico em rotação 1.7 - Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das seguintes FT. 400 a) G(s)  2 s 12s 400 225 c) G (s)  2 s 30s 225

900 b) G(s)  2 s 90s 900 625 d) G(s)  2 s 625

1.8 - Obter a função de transferência, G(s) L (s) E a (s) , de um motor e carga mostrado na Figura (1.3). A curva torque-velocidade é dada por Tm  8m 200 , quando a tensão de entrada for 100 V.

Fig. 1.3 - Sistema eletromecânico 1.9 - Obter a função de transferência linearizada, G(s) V(s) I(s) , para o circuito elétrico mostrado na Figura (1.4). O circuito contém um resistor não linear, cuja relação tensão-corrente é definida por i r e v r . A fonte de corrente i(t) é um gerador de pequeno sinal.

Fig. 1.4 - Circuito elétrico não-linear

UNIDADE I

39

1.10 - Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura (1.5), e obtenha a FT de malha fechada C(s)/R(s).

Fig. 1.5 - Diagrama de blocos de um sistema 1.11 - Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mostrado na Figura (1.6).

Fig. 1.6 - Sistema de controle 1.12 - Obtenha os modelos matemáticos dos sistemas mecânicos mostrados nas Figuras (1.7 a e b).

a)

b) Fig. 1.7 - Sistemas mecânicos

UNIDADE I

40

1.13 - Considere o sistema descrito por:

x 4 -1  x1   1   1    u e      x - 1 x2   1  2 3 

x1   y  1 0  x2  

Obtenha a função de transferência do sistema. 1.14 - Obtenha a matriz de transferência do sistema definido por: x 1 0  0 0  x1   1  0 u1          x2 0 0 1  0 1  x2   u2           x  2 4 6 x 1 0 3    3   

x1   y1   1 0 0   e   x2    y2   0 1 0    x3   

1.15 - Obtenha as FT X1(s) U(s) , do sistema mecânico indicado na Figura (1.8).

Fig. 1.8 - Sistema mecânico 1.16 - Represente o circuito elétrico da Figura (1.9) no espaço de estados, onde vo (t) é a saída.

Fig. 1.9 - Circuito RLC 1.17 - Obter a representação no espaço de estados do sistema mecânico mostrado na Figura (1.10).

Fig. 1.10 - Sistema mecânico 1.18 - Representar o sistema mecânico em translação, mostrado na Figura (1.11), no espaço de estados em torno do deslocamento de equilíbrio. A mola é nãolinear: a relação entre a força da mola, xs(t), e o seu deslocamento , xs(t) é

UNIDADE I

41

f s (t) 2xs2 (t) . A força aplicada é f(t) 10  f(t) , onde f(t) é uma pequena força em torno de um valor constante de 10N. Admita que a saída seja o deslocamento da massa x(t).

FIG. 1.11 - Sistema mecânico 1.19 - Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mecânico mostrado na Figura (1.12), onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas.

Fig. 1.12 - Sistema mecânico 1.20 - A Figura (1.13) é o diagrama esquemático de um sistema do controle de leme do profundor de uma aeronave. O sinal de entrada do sistema é o ângulo , de deflexão da alavanca de controle e o sinal de saída é o ângulo de elevação . Suponha que os ângulos e  sejam relativamente pequenos. Mostre que para cada valor do ângulo da alavanca de controle, existe um valor (de regime permanente), do ângulo de elevação do leme do profundor .

Fig. 1.13 - Sistema de controle do leme do profundor de uma aeronave

UNIDADE I

42 PROGRAMAS MATLAB UNIDADE I

1. Operações básicas 'Título' -3.96 -4+7i -5-6j (-4+7i)+(-5-6i) (-4+7j)*(-5-6j) M=5 N=6 P=M+N

% % % % % % % % % % % % % %

Exibe título. Exibe o número real -3,96. Exibe o número complexo -4+7i. Exibe o número complexo -5-6i. Adiciona os números complexos e Exibe a soma. Multiplica dois num. complexos e Exibe o produto. Atribui o valor 5 a M e exibe o resultado. Atribui o valor 6 a N e exibe o resultado. Atribui o valor M+N a P exibe o resultado.

pause 2. Operações com polinômios '(Título)' P1=[1 7 -3 23]

% Exibe o título. % Armazena o polinômio s^3 + 7s^2 -3s + 23 % como P1 e exibe o resultado. P2=[3 5 7 8]; % Atribui 3s^3 + 5s^2 +7s + 8 a P2 sem % mostrar na tela. P3=poly([-2 -5 -6]) % Armazena o polinômio % (s+2)(s+5)(s+6) como P3 e % exibe os coeficientes. P4=[5 7 9 -3 2] % Forma 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2 e % exibe o resultado. raizes_P4=roots(P4) % Acha as raízes de 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2, % atribui os valores a raizes_P4, e exibe % o resultado. P5=conv([1 7 10 9],[1 -3 6 2 1]) % Forma o produto %(s^3+7s^2+10s+9)(s^4-3s^3+6s^2+2s+1) %(3s^3+6s^2+2s+1), atribui a P5, e % mostra o resultado. Pause 3. Função de transferência numf=[7 9 12]; % Define o num. de F(s). denf=conv(poly([0 -7]),[1 10 100]); % Define o den. de F(s). [K,p,k]=residue(numf,denf)% Acha os resíduos e os atribui a K; % acha as raízes do denominador e as % atribui a p; acha a % constante e a atribui a k. pause

UNIDADE I

numy=32; % deny=poly([0 -4 -8]); % [r,p,k] = residue(numy,deny)% Calcula % Pause

43 Define o numerador. Define o denominador. os resíduos, os pólos, e o quociente.

4. Método vetorial 'Método Vetorial,Forma Polinomial,' % Exibe título. numf=150*[1 2 7] % Armazena 150(s^2+2s+7) em numf e % mostra o resultado. denf=[1 5 4 0] % Armazena s(s+1)(s+4) em denf e % mostra o resultado na tela. 'F(s)' % Exibe título. F=tf(numf,denf) % Forma F(s) e mostra o resultado. clear % Apaga valores anteriores armazenados % na área de trabalho. 'Método Vetorial,Forma Fatorada' % Exibe título. numg=[-2 -4] % Armazena (s+2)(s+4) em numg e % mostra o resultado. deng=[-7 -8 -9] % Armazena (s+7)(s+8)(s+9) em deng e % mostra o resultado. K=20 % Define K. 'G(s)' % Exibe título. G=zpk(numg,deng,K) % Forma G(s) e mostra o resultado. clear % Apaga valores anteriores armazenados % na área de trabalho. 'Método da Expressão Racional,Forma Polinomial'% Exibe título. s=tf('s') % Define 's' como um objeto LTI em % forma polinomial. F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] % Forma F(s)como uma função % de transferência % LTI em forma polinomial. G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)] % Forma G(s) como uma % função de transferência % LTI em forma polinomial. clear % Apaga valores anteriores armazenados % na área de trabalho. 'Método da Expressão Racional,Forma Fatorada' % Exibe título . s=zpk('s') % Define 's' como um objeto LTI em % forma fatorada. F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] % Forma F(s)como uma % função de transferência % LTI em forma fatorada. G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)] %Forma G(s)como uma % função de transferência % LTI em forma fatorada. pause

UNIDADE I

numftf=[10 40 60] denftf=[1 4 5 7]

44 % Forma o numerador de F(s) = % (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7). % Forma o denominator de F(s) = % (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7).

'Raízes de F(s)' % Exibe título. [numfzp,denfzp]=tf2zp(numftf,denftf) % Converte F(s) para a % forma fatorada. 'Raízes de G(s)' numgzp=[-2 -4] K=10 dengzp=[0 -3 -5]

% Exibe título. % Forma o numerador de % G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)]. % Forma o denominador de % G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].

'Coeficientes de G(s)' % Exibe título. [numgtf,dengtf]=zp2tf(numgzp',dengzp',K) % Converte G(s) % para a forma polinomial. Pause 'Fzpk1(s)' Fzpk1=zpk([-2 -4],[0 -3 -5],10)

'Ftf1' Ftf1=tf(Fzpk1)

'Ftf2' Ftf2=tf([10 40 60],[1 4 5 7])

'Fzpk2' Fzpk2=zpk(Ftf2)

% Exibe título. % Forma Fzpk1(s)= % 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)]. % Exibe título. % Converte Fzpk1(s) à % forma de coeficientes .

% Exibe título. % Forma Ftf2(s)= % (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7). % Exibe título. % Converte Ftf2(s) à % forma fatorada.

Pause 5. Transformada de Laplace inversa syms s

% Constrói objeto simbólico para % a variável de Laplace 's'.

'Transformada de Laplace inversa' % Exibe título. F=2/[(s+1)*(s+2)^2]; % Define F(s) no exemplo do Caso 2. 'F(s) do Caso 2' % Exibe título. pretty(F) % Apresenta F(s) na forma "bonita". f=ilaplace(F); % Obtém a transformada de Laplace inversa. 'f(t) do Caso 2' % Exibe título. pretty(f) % Apresenta f(t),do Caso 2, na forma "bonita". F=3/[s*(s^2+2*s+5)]; % Define F(s) no exemplo do Caso 3. 'F(s) do Caso 3' % Exibe título.

UNIDADE I

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pretty(F) % Apresenta F(s) do Caso 3 na forma "bonita". f=ilaplace(F); % Obtém a transformada de Laplace inversa. 'f(t) do Caso 3' % Exibe título. pretty(f) % Apresenta f(t),do Caso 3, na forma "bonita". Pause 6. Transformada de Laplace syms t

% Constrói objeto simbólico para % time variable 't'.

'Transformada de Laplace' % Exibe título. 'f(t) do Caso 2' % Exibe título. f=2*exp(-t)-2*t*exp(-2*t)-2*exp(-2*t); % Define f(t) do % exemplo do Caso 2. pretty(f) % Apresenta f(t) do Caso 2 na forma "bonita". 'F(s) do Caso 2' F=laplace(f); pretty(F)

% Exibe título. % Obtém a transformada de Laplace. % Forma "bonita" das frações parciais de % F(s) do Caso 2. F=simplify(F); % Combina frações parciais. pretty(F) % Forma "bonita" das frações parciais combinadas. 'f(t) do Caso 3' % Exibe título. f=3/5-3/5*exp(-t)*[cos(2*t)+(1/2)*sin(2*t)]; % Define f(t) do exemplo do Case 3. pretty(f) % Apresenta f(t) do Caso 3na forma "bonita" . 'F(s) do Caso 3 - Frações simbólicas' % Exibe título. F=laplace(f); % Obtém a transformada de Laplace. pretty(F) % Forma "bonita" das frações parciais de % F(s) do Caso 3. 'F(s) do Caso 3 - Representação decimal' % Exibe título. F=vpa(F,3); % Converte frações numéricas simbólicas em % representação decimal de F(s) com 3 % casas decimais. pretty(F) % Forma "bonita" da representação decimal. F=simplify(F); % Combina frações parciais. pretty(F) % Forma "bonita" das frações parciais combinadas. Pause 7. Conv. da representação numerador-denominador para espeço de estado 'Conv. da representação numerador-denominador'% Exibe título. num=24; % Define o numerador de G(s)=C(s)/R(s). den=[1 9 26 24]; % Define o denominador de G(s). [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) % Converte G(s)para a % forma canônica % do controlador,

UNIDADE I

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% armazena as matrizes A, B, C, D, e % mostra o resultado. % Exibe título. 8. Conv. da representação espaço de estado para numerador-denominador A=[0 1 0;0 0 1;-9 -8 -7]; B=[7;8;9]; C=[2 3 4]; D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

Tss=ss(A,B,C,D) Ttf=tf(Tss)

% Representa da matriz A. % Representa da matriz B. % Representa da matriz C. % Representa da matriz D. % Converte uma representação % no espaço de estados % em função de transferência % representada por % um numerador e um denominador,G(s)=num/den, % em forma polinomial, % e mostra num e den. % Form LTI state-space model. % Transforma a representação no espaço de % estados em função de transferência % na forma polinomial.

'Forma fatorada, Tzpk(s)' % Exibe título. Tzpk=zpk(Tss) % Transforma a representação no espaço de % estados em função de transferência % na forma fatorada. Pause