Unidade Iii Análise Pelo Lugar Das Raízes: 31 Páginas

UNIDADE III

31 páginas

ANÁLISE PELO LUGAR DAS RAÍZES O lugar das raízes é uma técnica gráfica que pode ser usada para descrever qualitativamente o desempenho de um sistema no qual vários parâmetros são mudados. A idéia básica desse método é de que os valores de s que fazem a FT ao longo da malha igual a -1 devem satisfazer a equação característica do sistema. Esse método mostra claramente as contribuições de cada pólo ou zero de malha aberta, na localização dos pólos de malha fechada. Empregando o método do lugar das raízes é possível determinar o ganho de malha fechada k que resulte no coeficiente de amortecimento prescrito, para os pólos dominantes de malha fechada. 1.0

DIAGRAMA VETORIAL DE NÚMEROS COMPLEXOS

Qualquer número complexo +j , descrito em coordenadas cartesianas pode ser representado graficamente por um vetor, como mostra a Figura (3.1).

Fig. 3.1 - Diagrama vetorial; a) s= +j ; b) (s+a); c) vetor deslocado para a esquerda de a unidades; d) (s+7)(s=5+2j) O valor de uma função complexa pode em um ponto qualquer s pode ser calculado por: m

F(s)

i 1 n

(s z i )

(s p j )

j 1

onde

significa "produto", m=no de zeros e n=no de pólos.

(3.1)

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2

Cada fator do numerador e do denominador é um número complexo que pode ser representado por um vetor. O módulo de F(s) em qualquer ponto s é dado por: m

M

i 1 n j 1

(s z i ) (3.2)

(s p j )

e o argumento é: m

n

(s z i ) i 1

Exemplo: Dado

(3.3)

(s p j ) j 1

s 1 , obter F(s) no ponto s=-3+4j. s(s 2)

F(s)

O problema é esboçado graficamente na Figura abaixo.

Os três vetores representados na forma polar são: s 1

logo 2.0

M

20 116,6o ; s

20 5 17

5 126,9o e s 2

116,6o 126,9o 104,0o

0,217

17 104,0 o

114,3o

LUGAR DAS RAÍZES

A Figura (3.3) mostra um diagrama de blocos de controle de posição de uma câmara de rastreamento de um objeto.

a)

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3

b) Fig. 3.3 - a) diagrama de blocos; b) FT equivalente A tabela (3.1) mostra os pólos da FT equivalente em função do de valor de k. Tab. 3.1 - Localização dos pólos em função de k

a)

b)

Fig. 3.4 - a) diagrama de pólos e zeros; b) lugar das raízes

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2.1 Propriedades do lugar das raízes As propriedades do lugar das raízes podem ser deduzidas a partir do sistema da Figura (3.5).

a) b) Fig. 3.5 - a) diagrama de blocos; b) FT equivalente A FT a malha fechada para o sistema é:

kG (s) 1 kG (s)H(s)

T(s)

(3.4)

Com base em (3.4) existe um pólo, s, quando o polinômio característico no denominador se anula, ou seja: kG (s)H(s)

1 1 (2K 1)180o

K

(3.5)

0, 1, 2....

Um valor de s é um pólo em malha fechada se: kG (s)H(s)

1

(3.6)

e kG (s)H(s)

(2K 1)180o

(3.7)

Se um valor qualquer de s for substituído em 3.6, resultando um múltiplo ímpar de 180o, significa que s é um pólo do sistema para um valor particular de k. Se (3.7) for satisfeita, o valor de k pode ser calculado usando (3.6), ou seja: k

1 G (s) H (s)

Exemplo: Para o Sistema da Figura (3.6), a FT de malha aberta é:

a)

(3.8)

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b) Fig. 3.6 - a) diagrama de blocos em malha fechada; b) diagrama de pólos e zeros de G(s) A FT de malha aberta é: k (s 3)(s 4) (s 1)(s 2)

kG (s)H(s)

e em malha fechada é: k (s 3)(s 4)

T (s) (1 k )s

2

(3 7 k )s (2 12k )

Se s é um pólo do sistema a malha fechada, para um determinado valor de k, então s deve satisfazer (3.7 e 3.8). Considerando o pólo -2+3j, o argumento para kG(s)H(s) é: 1

3

logo

( s 4 ) 56,31o ;

90,00o e

( s 2) 1

2

3

( s 3 ) 71,57o ;

2

4

4

( s 1)

108,43o

70,55o

Este não é um pólo de malha fechada para nenhum valor de k. Agora, se o ponto s for 2 j 2 2 , os ângulos somarão 180o, o que significa que este pólo é um ponto sobre o lugar das raízes para algum valor de k que é dado por: 2 (1,22) 1 1 2 k 0,33 G (s)H(s) M (2,12)(1,22) Assim,

2 j 2 2 é um ponto sobre o lugar das raízes, para um ganho de 0,33.

Dados os pólos e zeros da FT de malha aberta, um ponto no plano s está sobre o lugar das raízes, para um valor particular do ganho k, se os ângulos dos zeros menos os ângulos dos pólos, em relação ao ponto selecionado s, somam (2k+1)180º.

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2.2 Regras para esboçar o lugar das raízes 1. Número de ramos: Cada pólo de malha fechada se desloca quando o ganho é variado, constituindo um ramo do lugar das raízes. 2. Simetria: Sistemas fisicamente realizáveis não podem ter coeficientes complexos em suas FT, por isso, o lugar das raízes deve ser simétrico em relação ao eixo real. 3. Segmentos sobre o eixo real: De acordo com a Figura (3.7):

Fig. 3.7 - Pólos e zeros a malha aberta de um sistema genérico a) em cada ponto (p1, p2, p3 e p4), a contribuição angular de um par de pólos ou zeros a malha aberta é zero; b) a contribuição dos pólos e zeros a malha aberta a esquerda do ponto respectivo é zero. A única contribuição do ângulo em qualquer um dos pontos, sobre o eixo real vem dos pólos ou zeros em malha aberta, que existem a direita do respectivo ponto; c) os ângulos do eixo real alternam entre 0 e 180 o, sendo 180o para ângulos do eixo real que existe a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros. Em suma: No eixo real para k>0, o lugar das raízes existe a esquerda de um número ímpar de pólos e ou zeros finitos, a malha aberta, sobre o eixo real. 4. Pontos de entrada e de saída: O lugar das raízes se inicia nos pólos e termina nos zeros de G(s)H(s), a FT de malha aberta. a) quando k é pequeno, os pólos do sistema em malha fechada tendem aos pólos combinados de G(s) e H(s). b) quando k é grande os zeros do sistema em malha fechada tendem aos zeros combinados de G(s) e H(s). Exemplo: Para o sistema abaixo:

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O lugar das raízes completo é:

Fig. 3.8 - Lugar das raízes 5. Comportamento no infinito: Considere a seguinte função de transferência de malha aberta: k (3.9) kG (s)H(s) s(s a )(s b) Nesta função há três pólos finitos: s = 0, s = - a, e s = -b. Se a FT em malha aberta tender para infinito quando s tender ao infinito, esta tem pelo menos um pólo no infinito, e se tender a zero, tem pelo menos um zero no infinito. Toda função de s tem o mesmo número de pólos e zeros, considerando os que estão no infinito. Em (3.9) tem-se três pólos finitos e três zeros infinitos pois, fazendo s resulta: k k (3.10) kG (s)H(s) 3 s s s s Através das equações (3.11) e (3.12), pode-se obter a interseção da assíntota com o eixo real a , e o ângulo a . pólos finitos a

zeros finitos

N o de pólos finitos - N o de zeros finitos

(2k 1) a

o

N de pólos finitos - N o de zeros finitos

(3.11)

(3.12)

e o número de assíntotas é igual ao número de pólos menos o número de zeros. Exemplo: Esboçar o lugar das raízes com assíntotas.

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O sistema tem 4 pólos e um zero em malha aberta. logo

1 2 4 ( 3) 4 1

a

4 3

e (2k 1) a

o

N de pólos finitos - N o de zeros finitos

logo os ângulos das retas que cruzam em -4/3 são:

a

para k

0;

a

3 para k>2, os valores começam a repetir.

para k 1 e

a

5 3

para k

2

O lugar das raízes é mostrado na Figura (3.9).

Fig. 3.9 - Lugar das raízes Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real A medida que o ramo se afasta de um pólo ou se aproxima de um zero, sobre um ramo, o ganho aumenta. O ponto de saída do ramo (entre dois pólos), ocorre quando o ganho for máximo no eixo real. Para o ponto de chegada (entre dois zeros), este valor no eixo real deve ser mínimo. Para todos os pontos do lugar das raízes, a Equação (3.13): k

1 G (s)H(s)

nos pontos ao longo do eixo real, onde ocorre pontos de entrada e de saída s torna:

(3.13) se

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1 G ( )H( )

k Derivando (3.14) em relação a pontos de máximo e de mínimo.

(3.14)

e igualando a zero, pode-se encontrar os

Exemplo: Determinar os pontos de saída e de entrada para a seguinte FT em malha aberta. k (s 3)(s 5) (s 1)(s 2)

kG (s)H(s)

k (s 2 8s 15)

kG (s)H(s) Substituindo s por

(s 2 3s 2)

e igualando a -1 tem-se:

kG (s)H(s)

k(

2

8

15)

(

2

3

2)

2

3

1

Resolvendo para k resulta;

k Derivando k em relação a

dk d

2

8

2 15

e igualando a zero: 2

11 2

26 8

61 15

2

0

O lugar das raízes é mostrado na Figura abaixo.

Lugar das raízes

1,45 e 3,82

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Uma forma de encontrar os pontos de saída e de entrada no eixo real sem derivação é utilizando a seguinte expressão: m

n

1 zi

i 1

1

(3.15)

pi

i 1

onde zi e pi são os negativos dos valores dos zeros e dos pólos, respectivamente. Para o exemplo acima tem-se:

1

1 3

5 11

Isto resulta em

1=-1,45

e

2=3,82,

1

2

1 1

26

2

61 0

de acordo com o resultado anterior.

Pontos de interseção com o eixo imaginário Este ponto fornece a frequência de oscilação, enquanto o ganho k determina o limite da estabilidade. Para encontrar esse ponto pode-se usar a regra de Routh, cuja Tabela deverá apresentar uma linha nula. Exemplo: Determinar a frequência de oscilação e o ganho no ponto de interseção com o eixo imaginário, para o sistema da Figura abaixo.

A FT em malha fechada é: k (s 3)

T(s) s

4

4s

3

14s 2 (8 k )s 3k

A Tabela de Routh mostra que a única linha que pode ser anulada é a de s 1, cujo elemento da primeira coluna é: k 2 65k 720 90 k

Fazendo esse elemento igual a zero resulta: k 2 65k 720 0

k

9,65

Formando o polinômio par usando a linha s2 com k=9,65, obtém-se:

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11 (90 k )s 2

80,35s 2

21k

202,7

0

s

j1,59

Neste caso, o sistema é estável para 0 k 9,65. Ângulos de partida e de chegada Os ângulos de partida e de chegada de zeros e pólos complexos são determinados da forma mostrada na Figura (3.10).

Fig. 3.10 - Diagrama de pólos e zeros mostrando o ângulo de saída de um pólo Admitir um ponto próximo ao pólo complexo. A soma dos ângulos traçados a partir de todos os pólos e zeros finitos a este ponto é um múltiplo ímpar de 180 º, exceto para o pólo próximo a esse ponto. Desta forma, o único ângulo desconhecido é 1. logo

1

2

3

4

5

6

(2k 1)180o

que é o ângulo de partida desse pólo. Na Figura (3.11), o ponto de teste é colocado próximo de um zero.

Fig. 3.11 - Diagrama de pólos e zeros mostrando o ângulo de saída de um zero

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Neste caso, o ângulo 2

2

1

é dado por: 3

4

5

6

(2k 1)180o

Exemplo: Encontre o ângulo de partida dos pólos complexos e esboce o lugar das raízes para o sistema abaixo.

O diagrama de pólos e zeros em malha aberta resulta na Figura abaixo.

O ângulo de saída do pólo complexo,

1

2

3

4

1 1

90 tg 251,6o

1,

1

1 1

é dada por: tg

1

1 2

180o

108,4o

Uma vez esboçado o lugar das raízes pode-se localizar pontos sobre o mesmo, bem como encontrar seus ganhos associados. Pode ser necessário encontrar o ponto no lugar das raízes, que cruza a reta para um determinado fator de amortecimento e o ganho naquele ponto.

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Exemplo: A figura abaixo mostra o diagrama de pólos e zeros do sistema junto com a reta de = 0,45. Se forem selecionados alguns pontos de teste, ao longo da reta = 0,45, pode-se avaliar suas somas angulares e localizar o ponto onde os ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180º, o qual corresponde ao lugar das raízes.

Adicionando os ângulos dos zeros e subtraindo os ângulos dos pólos tem-se: 1

2

3

4

5

251,5o

Neste caso, o ponto r = 2 não está no lugar das raízes. Procedendo de forma semelhante , para os pontos 1,5; 1; 0,747; e 0,5 obtém-se a Tabela mostrada na Figura acima, onde o ponto 0,747 está no lugar das raízes. Usando a Equação (3.8), o ganho k neste ponto r:

k

ACDE B

1,71

Regras para esboçar o lugar das raízes. a) número de ramos: o número de ramos do LR é igual ao número de pólos menos o número de zeros da FT em malha aberta; b) simetria: o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real; c) pontos de início e de término: o LR se inicia nos pólos finitos e infinitos e termina nos zeros finitos e infinitos; d) comportamento no infinito: O LR se aproxima das assíntotas a medida que tende para o infinito; e) pontos de entrada e de saída do eixo real: O LR sai do eixo real no ponto onde o ganho é máximo e entra no ponto onde o ganho é mínimo; f) cálculo do ponto de interseção do eixo imaginário: pode-se usar Routh ou uma busca ao longo do eixo imaginário para (2K+1)180 o; g) ângulos de partida e de chegada: acrescenta-se um ponto próximo ao pólo ou ao zero complexo e adiciona-se a esse ponto, todos os ângulos do pólos e zeros de malha aberta, cuja somo deverá ser um múltiplo ímpar de -180º.

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2.3 Projeto de resposta transitória pelo ajuste de ganho As condições que justificam uma aproximação de segunda ordem são as seguintes: 1. A resposta que resulta de um pólo de ordem superior não muda sensivelmente a resposta transitória esperada, a partir dos pólos de segunda ordem dominantes; 2. Os zeros a MF próximos ao par de pólos de segunda ordem a MF são quase cancelados pela proximidade dos pólos de MF de ordem superior; 3. Os zeros a MF são cancelados pela proximidade de pólos de MF de ordem superior.

a)

c)

b)

d)

Fig. 3.12 - LR para mostrando aproximações de segunda ordem A aproximação de Figura (3.12b) é melhor que a da (3.12a) visto que o pólo a MF P3 está mais distante que o par de segunda ordem dominante P1 e P2. A segunda condição mostra que a Figura (3.12d) mostra uma melhor aproximação, um vez que o pólo a MF P3 está mais próximo do zero a MF. Exemplo: Considere o sistema de terceira ordem mostrado da Figura abaixo. Projetar o valor de ganho, k, para obter uma ultrapassagem de 1,52%. Calcule Ts, Tp e encontre o melhor condição para a aproximação de um sistema de segunda ordem.

Uma ultrapassagem de 1,52% corresponde uma relação de amortecimento de 0,8. Três pontos satisfazem esse critério: -0,87 j0,66, -1,19 j0,90 e -4,6 j3,45, como mostra o LR da Figura abaixo.

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Para cada ponto, o tempo de assentamento é:

4

Ts

n

onde n é a parte real do pólo a MF. O tempo de pico é dado por:

Tp n

onde

n

1

2

1

2

é a parte imaginária.

O resultado é resumido na Tabela abaixo. Caso Pólos a Zeros a MF MF 1 -0,87 j0,66 -1,5 2 - 1,19 j0,90 -1,5 3 - 4,60 j3,45 -1,5

Ganho Terc. pólo a MF 7,36 -9,25 12,79 -8,61 39,64 -1,80

Ts(s)

Tp(s)

4,60 3,36 0,87

4,76 3,49 0,91

Apenas no caso 3 o zero está próximo do terceiro pólo, o que valida uma aproximação do sistema de segunda ordem. A Figuras abaixo mostram as respostas ao degrau para os casos 2 e 3.

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Constata-se nas Figuras acima que o caso 3 é o que mais se aproxima do sistema de segunda ordem, com um pequena diferença na ultrapassagem. Exemplo: Considere um sistema de controle de arfagem de um veículo submersível autônomo, mostrado na Figura abaixo.

a) se k2=0 (isto é, sem retroação de velocidade), construir o LR dos sistema em função do ganho de arfagem k1 e estimar Ts, Tp para uma ultrapassagem de 20%. A FT a malha aberta é:

G(s)H(s)

0,25k1 (s 0,435) (s 1,23)(s 2)(s 2

0,226s 0,0129)

O LR em malha aberta é mostrado na Figura abaixo.

Procurando ao longo da reta de ultrapassagem de 20% e usando (2.21), encontra-se os pólos dominantes 0,202 j0,394, com o ganho k 0,25k1 0,706 k1 2,824 .

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O tempo de assentamento é Ts 19,8s e o tempo de pico Tp 7,97s . O terceiro é -0,784, o qual não está tão próximo do zero em -0,435 e o quarto pólo é -2,27 muito distante dos pólos dominantes. A resposta ao degrau para o sistema é mostrada na Figura abaixo.

De acordo com a Figura acima, tem-se: Ultrapassagem= 29%, Ts=20s e Tp=7,5s b) Analisar o sistema inserindo a retroação de velocidade com k 2=k1. A nova FT do sistema é:

G(s)H(s)

0,25k1 (s 0,435)(s 1) (s 1,23)(s 2)(s 2

O no LR é mostrado na Figura abaixo.

0,226s 0,0129)

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O Lugar das raízes cruza a reta de ultrapassagem de 20% em -1,024 j1,998, um ganho k1=20,68, Ts=3,9s e Tp=1,57s. O terceiro pólo está em aproximadamente -0,5, bem próximo do zero de malha fechada -0,435. O quarto pólo é -0,91, o que não cancela o zero em -1 porque este não é um zero de malha fechada. Portanto, uma aproximação de Segunda ordem não é válida. A Figura abaixo mostra a curva de resposta ao degrau.

A curva de resposta ao degrau da Figura acima, mostra que o desempenho do sistema com retroação de velocidade apresentou um desempenho superior. 3.0 COMPENSAÇÃO POR RETROAÇÃO Funções de transferência projetadas para ser inseridas no canal de retroação também podem modificar o LR. Os procedimentos de projeto por retroação podem ser mais complicados. A compensação por retroação pode ser usada nos casos em que o problema de ruído impede o uso da compensação em cascata. A compensação por retroação pode produzir respostas mais rápidas. A compensação por retroação permite desacoplar a dinâmica de uma das partes do sistema de controle, introduzindo-se uma malha interna. A Figura (3.16) mostra o diagrama de blocos genérico de um sistema com compensação por retroação

Fig.3.16 - Diagrama de blocos genérico de um sistema com compensação por retroação

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Geralmente, o projeto de compensação por retroação consiste em obter os ganhos após obter uma forma dinâmica para Hc(s). Existem duas abordagens: A primeira é semelhante à compensação em cascata. 3.1 Abordagem 1 A primeira abordagem consiste na redução do diagrama da Figura (3.16), para a Figura (3.27).

Fig.3.17 - Diagrama de blocos equivalente A FT de malha aberta para a malha interna é:

G(s)H(s) k1G1 (s)[k f H c (s) kG 2 (s)]

(3.12)

Isto resulta na substituição dos pólos e zeros de G2(s) pelos pólos e zeros de kfHc(s)+kG2(s). Com isto é possível incluir novos pólos e zeros por intermédio de H(s). Os zeros introduzidos na retroação (Figura 3.17), não são zeros de malha fechada.

a)

b) Fig.3.18 - Diagrama de blocos; a) sensor de velocidade; b) com o elemento de retroação direto na saída do sistema Para este caso a FT de malha aberta é:

G (s)H(s)

k f k1G1 (s) s

k kf

(3.13)

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O zero -k/kf é um zero de malha aberta. Exemplo: Para o circuito da Figura (3.28), projete a compensação por retroação de velocidade (Figura abaixo), para reduzir a 1/4 o tempo de assentamento sem alterar a ultrapassagem que é de 20%.

Sistema a ser compensado

Sistema com compensação por retroação de velocidade

Sistema equivalente

Sistema equivalente com retroação unitária

LR do sistema não-compensado

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21 Tabela de resultados

Resposta ao degrau paro sistema não-compensado

Posicionamento do zero do compensador

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O valor do zero calculado é zc = 5,42 que é o inverso de kf. Logo o valor de kf é 0,185. Do diagrama do LR do sistema compensado (Figura abaixo), tem-se k1=1388.

LR do sistema compensado Tabela de resultados

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Curva de resposta ao degrau do sistema compensado O pólo de malha fechada não é cancelado pelo zero porque este é um zero de malha aberta. A FT de transferência em malha fechada é:

T(s)

s

3

20s

2

k1 (75 k1k f )s k1

s

3

1388 20s 331,7s 1388 2

De acordo com a Equação acima, não há zero de malha fechada. O sistema compensado apresentou uma resposta ao degrau superamortecida e um tempo de assentamento de 0,75s, não correspondendo às características desejadas. 3.2 Abordagem 2 Nesta abordagem, o projeto da malha interna pode ser feito separadamente da resposta em malha fechada. Exemplo: Para o diagrama da Figura abaixo, projete a compensação por retroação da malha secundária para um fator de amortecimento 0,8 e 0,6 para o sistema em malha fechada.

Sistema não compensado

Sistema compensado por retroação

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Neste caso, kf, será o ganho ajustado para definir a localização dos pólos da malha interna e k para a malha externa. De acordo com LR acima, kf = 81,25.

LR da malha interna A FT da malha interna é:

G MI (s)

1 s[s 2

20s (75 k f )]

LR para o sistema de malha fechada

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De acordo com o LR acima, o ganho, k, é 624,3. Tabela de resultados

Resposta ao degrau O sistema compensado é mais rápido e tem um erro de estado estacionário menor, para uma entrada em rampa. Programas MATLAB 1. Esboça o lugar das raízes e determinados pontos críticos G

k (s 2 4s 20) (s 2)(s 4)

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clf numgh=[1 -4 20]; dengh=poly([-2 -4]); GH=tf(numgh,dengh) rlocus(GH) z=0.2:0.05:0.5;

% Apaga gráfico na tela. % Define o numerador de G(s)H(s). % Define o denominador de G(s)H(s). % Cria G(s)H(s) e mostra. % Desenha o lugar das raízes. % Define valores de relação de % amortecimento, z: 0,2 a % 0,5 em incrementos de 0,05. wn=0:1:10; % Define valores de freqüência % natural, wn: 0 % a 10 em incrementos de 1. sgrid(z,wn) % Gera linhas de grade de relação de amortecimento % e freqüência natural para % o lugar das raízes. title('Lugar das Raízes') % Define legenda para o lugar % das raízes. Pause rlocus(GH) axis([-3 1 -4 4])

% Desenha o lugar das raízes expandido. % Define faixas de valores % dos eixos para lugar das raízes % para a uma vista expandida do lugar das raízes. title('Vista Expandida') % Define a legenda para o lugar das % raízes expandido. z=0.45; % Define a reta de relação de amortecimento, z, a ser % superposta ao lugar das raízes expandido. wn=0; % Suprime as curvas de % freqüência natural, wn, superpostas. sgrid(z,wn) % Superpõe curva de relação % de amortecimento, z, % no lugar das raízes expandido. for k=1:3 % O laço permite escolher 3 pontos % (z=0,45, interseção com o eixo jw , ponto de saída). [K,p]=rlocfind(GH) % Gera o ganho, K, e os pólos % a malha fechada, p, para os pontos % selecionados de modo interativo sobre o % lugar das raízes. end % Fim do laço for. pause 2. Projeto de ganho de sistema de terceira ordem pelo lugar das raízes G

k (s 0,5) s(s 1)(s 10)

clear % Apaga variáveis da área de trabalho. clf % Apaga gráficos existentes na tela. numg=[1 1.5]; % Define o numerador de G(s). deng=poly([0 -1 -10]); % Define o denominador de G(s). G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). rlocus(G) % Desenha o lugar das raízes (H(s)=1).

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title('Lugar das Raízes Original') % Acrescenta legenda. pause K=0:.5:50; % Especifica a faixa de valores de ganho % para um traçado suave do lugar das raízes. rlocus(G,K) % Desenha o lugar das raízes suavizado %(H(s)=1). title('Lugar das Raízes Suavisado') % Acrescenta legenda. up=input('Digite %UP'); % Entra com a ultrapassagem % percentual desejada % pelo teclado. z=-log(up/100)/sqrt(pi^2+[log(up/100)]^2)% Calcula relação de % amortecimento, z. sgrid(z,0) % Superpõe a reta da relação de % amortecimento desejada % sobre o lugar das raízes. title(['LR com a reta de ultrapassagem'])% Define a legenda do % lugar das raízes % mostrando a ultrapassagem % percentual usada. [K,p]=rlocfind(G) % Gera o ganho, K, e os pólos % a malha fechada, p, para os % pontos selecionados % de forma interativa sobre o % lugar das raízes. pause T=feedback(K*G,1) % Obtém e exibe a função de % transferência a malha fechada % com o valor de K selecionado . step(T) % Gera a resposta ao degrau em malha fechada % para o ponto selecionado no lugar das raízes. title(['Resposta ao Degrau para K=']) % Fornece a resposta ao % degrau com legenda que % inclui o valor de K. pause

EXERCÍCIOS 3.1 - Um sistema com retroação unitária tem a seguinte FT no canal direto:

G (s)

k (s 2) (s 4s 13) 2

a) Calcule o ângulo de G(s) no ponto (3+j0) encontrando a soma algébrica dos ângulos dos vetores desenhados a partir dos zeros e dos pólos de G(s) para o ponto dado. b) Determine se o ponto específico em a) está sobre o LR. c) Se o ponto específico estiver sobre o LR, encontre o ganho k usando os comprimentos dos vetores.

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3.2 - Esboce o LR e suas assíntotas para um sistema com retroação unitária que tenha a seguinte FT:

k

G(s)

(s 2)(s 4)(s 6)

3.3 - Dado um sistema com retroação unitária com a seguinte FT:

G (s)

k (s 2)(s 4) (s 2 6s 25)

a) b) c) d) e)

Esboce o LR; Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário; Determine o ganho k no ponto de interseção com o eixo imaginário; Determine o ponto de entrada; Determine o ponto onde o LR cruza a reta de relação de amortecimento de 0,5; f) Determine o ganho onde o LR cruza a reta de relação de amortecimento de 0,5; g) Encontre a faixa de ganho, k, para a qual o sistema estável. 3.4 - Para o sistema com retroação unitária abaixo:

G(s)

k (s 2)(s 4)(s 6)

a) Esboce o LR; b) Usando uma aproximação de segunda ordem, projetar o valor de k que produz 10% de ultrapassagem para uma entrada em degrau unitário; c) Calcule o tempo de assentamento, o instante de pico, o tempo de subida e o erro de estado estacionário para o valor de k projetado em b). d) Determine a validade da aproximação de segunda ordem. 3.5 - Um sistema com retroação unitária tem a seguinte FT:

G(s)

k (s 1) s(s 2)

Se k for ajustado em 20, obtenha as mudanças na localização dos pólos de MF, para uma variação de 5% em k. 3.6 - Um sistema com retroação unitária tem a seguinte FT:

G(s)

k s(s 7)

a) Calcule o erro de estado estacionário para uma entrada em rampa unitária;

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b) Projete um compensador em atraso de fase para melhorar o erro de estado estacionário de um fator de 20; c) Calcule o erro de estado estacionário do sistema compensado para uma entrada em rampa unitária; d) Calcule o quanto de melhoria foi obtido no erro de estado estacionário. 3.7 - O sistema com retroação unitário descrito pela FT abaixo:

G(s)

k s(s 7)

está operando com uma resposta a malha fechada ao degrau, que representa uma ultrapassagem de 20%. a) Calcule o tempo de assentamento; b) Calcule o erro de estado estacionário para uma entrada em rampa unitária;

3.8 - Para o sistema da Figura abaixo, projete uma compensação por retroação de velocidade, da malha secundária, para obter uma relação de amortecimento de 0,7, para os pólos dominantes da malha secundária e uma relação de amortecimento de 0,5 para os pólos dominantes do sistema a malha fechada.

3.9 - Considere o sistema mostrado na Figura abaixo. Trace o LR usando o MATLAB. Situe os pólos de malha fechada para que o ganho k seja 2.

3.10 - O sistema da Figura abaixo mostra um sistema a malha fechada com retardo de transporte. Determine a faixa de valores de k para que o sistema seja estável.

3.11 - Para o sistema da Figura abaixo, trace o LR do sistema usando o MATLAB. Determine o valor do ganho k para que o fator de amortecimento dos pólos dominantes de malha fechada seja 0,5. Em seguida, determine

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todos os pólos de malha fechada. Trace o diagrama de resposta ao degrau unitário usando o MATLAB.

3.12 - Determine os valores de k, T1 e T2 do sistema da Figura abaixo para que os pólos dominantes de malha fechada, tenham coeficiente de amortecimento 0,5 e a frequência natural não amortecida de 3 rad/s.

3.13 - Para o circuito da Figura abaixo, determine os valores do ganho do amplificador k e do ganho de realimentação de velocidade kh de modo que sejam satisfeitas as seguintes especificações:

a) coeficiente de amortecimento de pólos de malha fechada de 0,5. b) Tempo de acomodação 2 s. c) Constante de erro estático de velocidade 50 s-1. d) 0 < kh < 1. 3.14 - Para o circuito da Figura abaixo, determine os valores do ganho do amplificador k de modo que os pólos dominantes de malha fechada tenham um fator de amortecimento de 0,5 e obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema.

3.15 - Para o circuito da Figura abaixo, desenhe o LR das raízes para valores de k entre zero e infinito. Calcule o valor de k para um fator de amortecimento em malha fechada igual a 0,5 e determine a constante de erro estático de velocidade do sistema.

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3.16 - Considere o sistema mostrado na Figura abaixo. Supondo que o valor do ganho k varie de zero e infinito, construa LR quando k h= 0,1; 0,3 e 0,5. Compare as respostas ao degrau unitário do sistema para os três casos a seguir: a) k = 10 e kh = 0,1

b) k = 10 e kh = 0,3

c) k = 10 e kh = 0,5