Optimizacion De Redes

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA Lunes, 27 de Noviembre de 2017

INGENIERIA INDUSTRIAL OPTIMIZACION DE REDES

INVESTIGACION DE OPERACIONES II UNIDAD V DOCENTE: HERNANDEZ GONZALEZ ENRIQUE ALUMNO: CORDERO SAENZ JESUS EDUARDO MATRICULA: 14060050

Índice Introducción……………………………………………………………………… 3 Optimización de Redes…………………………………………………………... 3 Terminología……………………………………………………………………... 4 Softwares para la Optimización de Redes………………………………………... 8 La Ruta más corta………………………………………………………………… 9 Ejemplo de la Ruta más corta……………………………………………………. 10 Referencias………………………………………………………………………. 13

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Introducción Uno de los mayores desarrollos recientes en Investigación de Operaciones ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes. Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones como por ejemplo las redes de transporte, eléctricas en fin una inmensa lista que predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza en áreas tan diversas como producción, distribución, localización de instalaciones en fin un sin número de áreas. De hecho, una representación de redes nos proporciona un panorama general tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes del sistema que se utiliza casi en todas las áreas científicas, sociales y económicas. Se darán a conocer en este trabajo diversos tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo resolverlos.

Optimización de Redes Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal. 

Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal.

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Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal.

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Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones".

Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.

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Terminología La mayor parte de los modelos de optimización de redes son casos particulares de modelos de programación lineal y pueden ser formalizados a partir del modelo de Flujo de Costo Mínimo, estos modelos se aplican en la administración de problemas de transporte, logística, comunicación y seguimiento de proyectos de finanzas, recursos humanos o mercadeo. En algunos problemas de optimización puede ser útil representar el problema a través de una gráfica, para entender los modelos de redes se utiliza una terminología apropiada que se muestra a continuación, esta terminología no está estandarizada ni lo estará pues un concepto se puede describir de diferentes maneras. Gráfica o red: La forman dos conjuntos; uno de puntos (llamados nodos ó vértices) y otro de líneas (llamadas arcos) que unen ciertos pares de puntos en una red. La siguiente red es una construcción en la cual nodos aparecen interconectados por arcos

Nodo: Punto al cual se dirigen y del cual salen los arcos para conformar una red. En la red los 7 círculos representan los 7 nodos de la red. Arco: Línea que une dos nodos en una red. Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B

La red tiene 12 líneas llamadas de diferentes formas como arcos, ramas, aristas o ligaduras estas representan los 12 caminos existentes en la red. Por los arcos de una red pueden existir algún tipo un flujo que pasa por ellos; como se muestra en la siguiente tabla:

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Aplicaciones Sistemas de comunicación

Nodos Puntos de conmutación

Sistemas Hidráulicos

Estaciones de bombeo, lagos, embalses Cruces viales, aeropuertos, puertos, Estaciones Estaciones y centros de trabajo Fuente, controles, registros, procesadores

Sistema de Transporte Distribución de materiales Sistema eléctrico

Arcos Cables, canales, fibra óptica, radioenlaces por microondas Tuberías, canalizaciones

Flujo Transmisión de mensajes de voz, de datos, de video Fluido liquido o gaseoso

Carreteras, rutas aéreas, vías terrestres, férreas o marítimas Rutas de manejo de materiales Cableado

Vehículos, pasajeros, cargas, operadores, barcos Trabajos Corriente eléctrica

Arco dirigido: El flujo a través de del arco se permite únicamente en una dirección (tal como una calle de un solo sentido), y está se indica con una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco; estos se etiquetan poniendo primero el nodo de donde viene y luego el nodo hacia dónde va el flujo, es decir, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra forma de A B etiquetarse es A→B

Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es A→B Capacidad de Arco: Cantidad máxima de flujo que puede circular en un arco dirigido. Arco no dirigido: El flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (tal como una calle de doble sentido). Se permite que el flujo ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.

Para distinguir entre los dos tipos de arcos con frecuencia los arcos no dirigidos se nombran ligaduras.

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Una red no dirigida se puede convertir en una red dirigida, si se desea, cambiando cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en direcciones opuestas.

Trayectoria entre dos nodos: Es una sucesión o serie de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, dos posibles trayectorias que conectan a los nodos O y F son la sucesión de arcos:

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas. Trayectoria No Dirigida del nodo i al nodo j: Sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. algunas veces una trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i). Con frecuencia una trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos al nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i). Trayectoria Dirigida del nodo i al nodo j: Sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, y el flujo del nodo i hasta el nodo j es factible a través de está. La trayectoria dirigida también satisface la definición de trayectoria no dirigida, pero el inverso no se cumple. En la red dirigida la sucesión de arcos AB-BC-CE (A→B→C→E) es una trayectoria dirigida del nodo A al nodo E ya que el flujo hacia el nodo E a lo largo de toda esta trayectoria es factible.

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Ciclo: Trayectoria que une a un nodo consigo mismo, es decir, comienza y termina en el mismo nodo. En una red dirigida un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, dependiendo si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida, (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto. Por ejemplo, DE-ED es un ciclo dirigido. Por el contrario, AB-BC-AC es un ciclo no dirigido puesto que la dirección del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado, AB-BCAC es un ciclo no dirigido porque A→B→C→A es una trayectoria no dirigida. Una red está conectada cuando es posible llegar a cualquier nodo desde otro siguiendo la secuencia de arcos en la que no importa la dirección Dos arcos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. (Nótese que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida.) Árbol de expansión: Subconjunto conectado de una red que comprende todos los nodos, pero ningún ciclo.

Red conexa: Cada par de nodos está conectado, es decir, si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. Entonces las redes de las figuras 1 y 2 son ambas conexas La última red no sería conexa si se eliminaras los arcos AD y CE. Si consideramos un conjunto de cinco nodos sin arcos (A, B, C, D, Y E). Podremos hacer crecer un árbol agregando de uno en uno cada arco de cierta forma. El primer arco puede ir a donde sea para conectar algún par de nodos.

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De ahí en adelante cada arco nuevo se debe agregar entre un nodo que ya ha sido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado. Si se agregan arcos de esta manera, se evita que se forme un ciclo y además se asegura que el número de nodos conexos es uno más que el número de arcos.

Softwares para la Optimización de Redes  WINQSB Para trabajar con problemas que involucran redes con WINQSB existen 7 modelos fundamentales de redes con el fin de optimizar el uso de algún recurso, generalmente son problemas de minimización de costos y en ocasiones de tiempo o de maximización del flujo a través de una red. Problem Type Network Flow Transportation Problem Assignment Problem Shortest Path Problem Maximal Flow Problem Minimal Spanning Tree Traveling Salesman Problem

Tipo de problema Flujo en redes o modelo de trasbordo Problema de transporte Problema de asignación Problema de la ruta más corta Problema de flujo máximo Árbol de mínima expansión Problema del agente viajero

 TORA Tora es un software basado en Windows, creado esencialmente para darle solución a problemas de programación lineal de forma sencilla y muy rápida. Entre los problemas que se pueden resolver con tora están: soluciones de ecuaciones lineales simultaneas, programación lineal, modelos de transporte, modelos de redes, programación entera, modelos de colas, teorías de juegos, entre otros; pues facilita mucho lo que son los tediosos cálculos de los algoritmos.  SOLVER Solver es una herramienta donde puede buscarse el valor óptimo para una fórmula de celda, denominada celda objetivo en una hoja de cálculo, lo constituyen en una herramienta adecuada para solucionar problemas de programación lineal, y programación lineal entera.

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Ruta más corta El método de la ruta más corta es un método de programación lineal, que permite buscar la solución a un problema de optimización que resulte de una combinatoria y de diferentes aplicaciones, el objetivo de este método está en encontrar rutas cortas o de menor costo, según sea el caso, que va desde un nodo especifico hasta cada uno de los demás nodos de la red. En este sentido un nodo es una representación gráfica en forma de circulo, este nodo es muy importante ya que denota los orígenes y destinos del problema que se realice, asimismo una red representa un conjunto de puntos y líneas que conectan pares de puntos, estos puntos son los que llamaremos nodos y las líneas serían las aristas, por ejemplo:

En cuanto a sus aplicaciones este modelo tiene muchas aplicaciones en la vida práctica, dentro de las que podemos mencionar:         

Transporte Horarios de operadores telefónicos Planeación de tráfico urbano Trasbordo En las redes eléctricas Diseño de rutas de vehículos Telecomunicaciones Planeación de inventarios Planeación de producción

Un ejemplo simple para aplicar a este tipo de problemas sería el viaje de una persona desde un estado a ciudad el cual pudiese tener varias alternativas, según el interés de la persona, bien sea para ir más rápido o llegar de manera económica según sus recursos, para el primer caso se minimizaría la distancia y para el segundo caso el costo, en cualquier caso el objetivo consistiría en encontrar la ruta más eficiente a un menor costo, y por lo tanto tendríamos que los estados estarán representados como los nodos y las carreteras como los arcos.

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Este método es muy importante ya que por medio de este modelo se pueden resolver de manera rápida, ya que pueden formularse como modelos de redes obteniendo soluciones enteras sin necesidad de restricciones (aunque en algunos casos pudieran tenerlas), asimismo se puede decir que no importa que tan grande sea el problema se puede resolver por pequeños algoritmos.

Ejemplo de la Ruta más corta Encontrar la ruta más corta de la siguiente red. Los números representan las distancias correspondientes reales entre los nodos.

Solución: Para resolver problemas de ruta más corta se debe proceder con el criterio del Algoritmo de Dijkstra, demos partir del origen (O) y debemos llegar al destino (T) y lo debemos hacer por el camino o ruta más corta. Es decir, tenemos que optimizar, minimizando costos de envío del nodo Origen al Nodo destino. Observamos que en la red tenemos 11 nodos:  Al salir del Nodo O se puede llegar a los Nodos A, B y C, pero se puede hacer a distintos costos 4,3 y 6 respectivamente. Lo cual se muestra con cuadrados rojos sobre los nodos alcanzados o conocidos. O-A=4, O-B=3, O-C=6

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Ahora vamos a llegar al nodo D, se puede ver que los nodos conocidos más cercanos son A y C, por lo tanto, se puede llegar a D desde A con 4+3=7; pero se puede llegar a D dese C con 6+2=8, como nos interesa el camino más corto elegimos A-D para un costo de 7.

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Ahora vamos a llegar a E, se puede ver que los nodos conocidos más cercanos son B y C. por lo tanto se puede llegar a E desde B con 3+6= 9; pero se puede llegar a E desde C con 6+5=11 como nos interesa el camino más corto elegimos B-E con un costo de 9. Ahora vamos a llegar a F, se puede ver que los nodos conocidos más cercanos son C, D y E, por lo tanto, se puede llegar a F desde C con 6 + 2= 8; pero se puede llegar a F desde D con 7+2=9; pero también se puede llegar a F desde E con 9+1=10; el más corto de los tres es 8 por lo que elegimos C-F.

Ahora podemos alcanzar G desde los nodos conocidos más cercanos D y F, por lo tanto, se puede llegar a G desde D con 7+4=11; pero se puede llegar a G desde F con 8+2=10; como vemos es menos costoso llegar desde F por lo que elegimos F-D. Ahora podemos alcanzar H desde los nodos conocidos más cercanos E, F y G, por lo tanto, se puede llegar H desde E con 9+2= 11; pero se puede llegar a H desde F con 8+5=13; pero se puede llegar a H desde G 10+2=12; el menos costoso es de E-H con 11. Ahora podemos alcanzar I desde los nodos conocidos más cercanos E y H, por lo tanto, se puede llegar a I desde E con 9 + 5=14; pero se puede llegar a I desde H con 11+3=14; vemos que los costos son iguales desde E o desde H, por lo que hay dos opciones posibles: HI con 14 y EI con 14.

Ahora podemos alcanzar el nodo destino T desde los nodos conocidos más cercanos G, H e I, por lo tanto, se puede alcanzar T desde G con 10+7=17; pero se puede alcanzar T desde H con 11+8=29 o se puede alcanzar T desde I con 14+4=18, de los tres el menos costoso es GT con 17.

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Resultando la ruta óptima: OC-CF-FG-GT que es lo mismo O-C-F-G-T = 17 N

1 2 3

4 5 6

7 8

9 10

Nodos resueltos, conectados directamente a nodos no resueltos O O O A B A C B C C D E D F E F G E H G H I

Nodos no Distancia resueltos total más involucrada cercanos conectados

N-ésimo nodo más cercano

Distancia mínima

A A C C C D D E E F F F G G H H H I I T T T

A B C C C D D E

4 3 6

OA OB OC

7 11 9

AD

F

8

CF

G

10

FG

H

11

EH

I I T

14

EI HI GT

4 3 6 4+5 3+6 4+3 6+5 3+6 6+5 6+2 7+2 9+1 7+4 8+2 9+2 8+5 10+2 9+5 11+3 10+7 11+8 14+4

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Ultima conexión

BE

Referencias Adriana Nieto. (19 de Febrero de 2014). TERMINOLOGÍA DE OPTIMIZACIÓN DE REDES. 26 de Noviembre de 2017, de SlideShare Sitio web: https://es.slideshare.net/adncstell/5131403677 Adriana Nieto. (18 de Abril de 2011). MODELO DE REDES USANDO WINQSB. 26 de Noviembre de 2017, de SlideShare Sitio web: https://es.slideshare.net/adncstell/57-modelo-deredes-usando-winqsb Johan Azacon, Nailym López, Zainer Villarroel, Argenis Carvajal, Benjamín Rodríguez, Reiverth Canelón, Jairo Urbáez, Luis Gutiérrez, Félix Suarez. (Diciembre de 2012). SOFTWARE TORA (OPTIMIZACION DE OPERACIONES). 26 de Noviembre de 2017, de SlideShare Sitio web: https://es.vbook.pub.com/doc/138564183/Software-TORA-Optimizacion-de-Operaciones-1 Yesenia León. (26 de Junio de 2014). MODELOS LINEALES DE OPTIMIZACION. 26 de Noviembre de 2017, de SlideShare Sitio web: http://opti-lineal.blogspot.mx/2014/06/ruta-mascorta.html Julio Vargas. (Enero 2013). PROBLEMAS RESULETOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES. 26 de Noviembre de 2017, de SlideShare Sitio web: https://jrvargas.files.wordpress.com/2009/01/problemas-resueltos-de-investigacic3b3n-deoperaciones.pdf

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