Paper Zapatas Aisladas

MITOS EN EL ANÁLISIS DE CIMENTACIONES Pablo Caiza Sánchez (1) , Myr. Alex Vinueza (1) (1)

Ingeniería Civil, Escuela Politécnica del Ejército [email protected] [email protected] RESUMEN

Se pone en duda un procedimiento tradicional para calcular las cargas en zapatas de cimentación aisladas, se usa un modelo sencillo para exponer las ecuaciones que controlan el comportamiento estructural y posteriormente se modela el giro de la zapata. Se usan diferentes modelos, empezando con los que suponen empotramiento a nivel de suelo y de zapata, con y sin elementos rígidos. Se continúa con otros que incluyen a la zapata y al suelo y se finaliza con modelos simplificados que usan resortes. Estos últimos permiten captar el comportamiento de las zapatas de mejor forma que la tradicional. Se incluye una aplicación real. Palabras clave: análisis de zapatas, punto de empotramiento, resortes lineales y de rotación, mecanismo de colapso. 1. INTRODUCCIÓN Este artículo trata de las dificultades de modelar adecuadamente las zapatas de cimentación, para lo que se empieza describiendo las características usuales que un ingeniero calculista utiliza para su análisis, las que son explicadas matemáticamente. Lo anterior conduce a una serie de interrogantes las que son resueltas por medio de una serie de modelos adicionales. El análisis de zapatas es un procedimiento muy bien establecido del cual se dispone de innumerables fuentes bibliográficas de gran valor(1),(4),(5) . Sin embargo en él se hace énfasis en el dimensionamiento de la zapata por lo que las cargas aplicadas se consideran datos iniciales. No existen por tanto indicaciones sobre los modelos de los que se obtuvieron estas cargas, más allá de que se supone que éstos deben representar adecuadamente la realidad. Una de las características básicas que usualmente tienen es la de restricciones equivalentes al empotramiento a nivel del suelo. Dado que efectivamente la estructura se extiende hasta la zapata y que además hay cadenas, usualmente se realiza la siguiente distribución de momentos por rigideces para calcular el momento en cabeza de zapata. Obsérvese además la Figura 1 a continuación:

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Figura 1 Nomenclatura para la distribución de momentos por rigideces Para empezar se determina un factor de distribución fd de acuerdo a la ecuación (1):

fd =

Mp ∑k

(1)

donde Mp es el momento en pie de columna, Σk es la sumatoria de rigideces I/L de cada uno de los elementos que convergen en el nudo (cadenas y extensión de la columna hasta la zapata), I es inercia y L la longitud del elemento estructural. El momento M se obtiene de la ecuación (2):

M = fd * kci

(2)

donde kci es la rigidez I/L de la columna desde el nivel del suelo hasta la zapata. El momento en la cabeza de la zapata M’ se calcula usando la ecuación (3):

M `=

M 2

(3)

Puesto que la rigidez de las cadenas es normalmente baja, casi todo el momento de pie de columna se transmite a la parte inferior del nudo y por tanto el que llega a la cabeza de la zapata es aproximadamente la mitad de éste. Diseñarlas con este momento da lugar a dimensiones moderadas y a que toda la superficie de la zapata esté comprimida. Pero, ¿es real esta distribución de momentos? Este artículo se propone mostrar las ecuaciones que la controlan y demostrar que el procedimiento anterior es inadecuado. Sin embargo las estructuras con zapatas diseñadas de esta forma errada, han mostrado un comportamiento estable, pues sencillamente aún están de pie. Se podría argüir que no han sido sometidas a una carga crítica significativa tal como la de un sismo. Pero se podría buscar otros motivos tal como que los momentos reales son menores a los calculados en los modelos tradicionales. En efecto, hay dos suposiciones básicas en ellos: primero, el punto de unión de la zapata con la superestructura es un empotramiento y segundo, la zapata produce sobre el suelo esfuerzos lineales. Ambas son incorrectas puesto que la zapata, sometida a un momento, gira, pero además, de acuerdo al tipo de suelo y a la rigidez de la zapata, los esfuerzos están distribuidos de manera no lineal(5). Observe la Figura 2 a continuación donde se muestran los esfuerzos debajo de zapatas rígidas en suelos arenosos y arcillosos.

Figura 2 Esfuerzos en suelos arenosos y arcillosos bajo zapatas rígidas

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Para determinar de manera más certera su comportamiento parece necesario recurrir a modelos más complejos. En un primer momento se tratará de modelar el giro de la zapata. Para ello se usarán por ejemplo resortes elásticos para representar el suelo. Es decir aún se supone un comportamiento lineal del mismo. Dado que el giro de la zapata disminuirá el momento que soporta, ya que hay mayor flexibilidad, también se provocará una redistribución de momentos en la superestructura. A continuación se desarrolla esta idea y se supone que en un caso extremo el pie de las columnas, debido a la rotación de la zapata, permitirá libremente giro, y por tanto el momento será cero. Lo anterior deberá producir una redistribución muy marcada de momentos en la superestructura formada por columnas y vigas. Continuando con este planteamiento: la columna, por su rigidez menor, resistirá menores momentos y, por equilibrio, los extremos de las vigas también resistirá momentos reducidos. De aquí el momento al centro de la luz de la viga será mucho mayor, lo que probablemente producirá la formación de una rótula plástica. Si este es el caso, habrá una nueva redistribución de momentos, que puesto que las bases de las columnas en determinado instante volverán a estabilizarse, vale recordar que los factores de seguridad que se usan en suelos son del orden de 3, se concentran allí. Por tanto éste es el probable lugar de formación de las próximas rótulas plásticas lo que finalmente conduce a la estructura a su colapso. Este mecanismo concentra daño tan sólo en la planta baja de una edificación, desperdiciando la capacidad del resto de elementos estructurales. Adicionalmente cabe razonar que ante cargas sísmicas los elementos dentro del suelo no se deformarían, pues se moverían formando parte de éste. Se obtendría por tanto una deformada que es similar a la de suponer empotramiento a nivel de piso. Sin embargo se sabe que el suelo sí se deforma. Adicionalmente debe recordarse que las cargas que se usan en estos análisis son estáticas, aún las que representan sismo, no se considera su variabilidad en el tiempo. Pero para hacer un análisis en el tiempo y que incluya la interacción suelo-estructura se recomienda en primer lugar determinar su necesidad. En este artículo se hará énfasis únicamente en la rigidez rotacional del suelo y la estructura. La relación i de la rigidez rotacional del suelo a la de la estructura se calcula con la ecuación (4)(7):

i= Donde K

θ

K

θ

EI

( 4)

L

es la rigidez rotacional del suelo, E es el módulo elástico de la columna de

primer piso de la estructura, incluyendo la distancia hasta la cabeza de la zapata, I su inercia y L su longitud. De acuerdo al valor de i se decide el tipo de análisis a realizar como se observa en la Tabla 1: Tabla 1 Tipos de análisis a realizar de acuerdo al parámetro i(7) No apto para cimentar i<5

Considerar efecto de interacción 5 < i < 50

Analizar con base empotrada i > 50

Vale la pena recordar los parámetros a considerar en el caso de interacción sueloestructura, los que se resumen en la Tabla 2(10):

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Tabla 2 Valores para los resortes que representan el suelo Dirección Vertical Horizontal

Rotación (Kθ) Torsión

Rigidez

k=

Amortiguamiento

4Gr 1− μ

1.79 kρr 3

Masa

1.50 ρr

3

⎛⎜1 − μ 2 ⎞⎟ ⎠ 18.2Gr ⎝ 2 (2 − μ ) 2.7Gr 3

1.08 kρr 3

0.28ρr 3

0.47 kρr 3

0.49 ρr 5

5.3Gr 3

1.11 kρr 5

0.70 ρr 5

r=radio de una zapata circular, G=módulo de corte, μ=coeficiente de Poisson, ρ= densidad del suelo= γ/g=peso específico/aceleración de la gravedad. Para el caso de zapatas rectangulares(9):

k=

( π )0.5

4G A

(5)

1− μ

⎛ 4I ⎞ 8G⎜ zap ⎟ π ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ K = θ 3(1 − μ )

0.75 (6)

Donde A es el área de la zapata e Izap la inercia de la zapata. Para calcular G se usa la ecuación (7)(3):

G = v 2ρ s

(7 )

Donde vs es la velocidad de las ondas de corte. El CEC2000 incluye los siguientes valores, ver Tabla 3(2): Tabla 3 Valores del CEC2000 para la velocidad de las ondas de corte Suelos cohesivos Blandos Semiblandos Duros Muy duros Suelos granulares Sueltos Semidensos Densos

Velocidad de ondas de corte (m/seg) < 200 200 – 400 400 – 750 > 750 Velocidad de ondas de corte (m/seg) < 200 200 – 750 > 750

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Para los valores del coeficiente de Poisson se pueden usar los de la Tabla 4(3): Tabla 4 Valores representativos del coeficiente de Poisson Tipo de suelo Arcilla Arena Roca

μ 0.5 0.3-0.35 0.15-0.25

Para el peso específico de los suelos se puede usar como referencia la Tabla 5(1): Tabla 5 Peso específico de los suelos Clase de suelo Roca dura Esquistos o roca blanda Grava con arena compacta Arena fina seca Arena arcillosa mediana y densa Arcilla blanda Limos Fango, lodo o turba inorgánica

Peso específico (Kg/m3) 2800 a 3000 1800 a 2000 2000 1700 1900 1700 1700 900

Nótese que la preocupación sobre el comportamiento de las zapatas surge ante cargas sísmicas las cuales son de ocurrencia en intervalos grandes de tiempo, ante cargas verticales las dimensiones de las zapatas deberían ser suficientes. Lo anterior lleva finalmente a plantearse la pregunta de si efectivamente los diseños tradicionales de zapatas son satisfactorios sobre todo si ocurre un sismo y además si es necesaria la modelación de las zapatas junto a la estructura. Finalmente el modelo debería ser lo suficientemente sencillo para ser utilizado en la práctica diaria. 2. Métodos y Materiales Para determinar la distribución de momentos en pórticos de hormigón armado considerando o no la zapata de cimentación se usará como modelo inicial un pórtico con las características indicadas en la Figura 3.

Figura 3 Características del modelo inicial

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El modelo 2 supondrá en cambio empotramiento a nivel de zapata.

Figura 4 Modelo con empotramiento a nivel de zapata Los modelos 3 y 4 permitirán definir si el vástago de columna se deforma o no dentro del suelo, diferenciándose en que el primero supone que la indeformabilidad es propia del vástago de columna al suponer que su inercia es 10 veces mayor y el segundo que es debida al confinamiento que da el suelo, representado por medio de resortes.

o

Figura 5 Modelos con diferentes formas de representar la “indeformabilidad” de la estructura bajo el nivel de superficie del suelo El modelo 5 incluirá la zapata con elementos shell y el suelo por medio de resortes verticales.

Figura 6 Modelo con zapata y resortes verticales Finalmente los modelos 6 y 7 representarán el giro de la zapata por medio de resortes, en el primer caso tanto vertical como a giro, y en el segundo solo a giro.

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Figura 7 Modelos con resortes Se establece la siguiente secuencia de verificaciones: 1. Momentos en base de columna debido a carga vertical, modelo empotrado a nivel de suelo (1). 2. Momentos en cabeza de zapata debido a carga vertical, modelo empotrado a nivel de zapata (2). 3. Momentos en cabeza de zapata debido a carga lateral, modelo empotrado a nivel de zapata (2). 4. Deformaciones en otros modelos suponiendo que no existe deformación de los elementos estructurales dentro del suelo (modelos 3 y 4). 5. Redistribución de momentos debido a giro en zapata, modelo en zapata modelada con elementos shell y suelo con resortes elásticos (5). 6. Redistribución de momentos debido a giro en zapata, modelo con zapata modelada con elementos resorte. Los resortes verticales y de giro se modelan usando el coeficiente de balasto Sz de acuerdo a referencia (9).

k = Sz * A Kθ = Sθ * Io

(8) (9)

donde k es resorte vertical, Kθ resorte para giro, A es el área de la cimentación, Io es la inercia en planta de la zapata. Además Sθ es un coeficiente que se calcula con la siguiente ecuación(9):

Sθ = 2Sz

(10)

Se observa que este tipo de coeficiente sólo toma en cuenta el tipo de suelo y no la geometría de la cimentación, por ejemplo el beneficioso efecto confinante por profundidad de cimentación. Los valores recomendados en referencia (9) para el coeficiente de balasto, redondeados, son los siguientes: Tabla 6 Valores recomendados para el módulo de balasto Tipo de suelo Esfuerzos estáticos Sz (T/m3) Sz=f(σ) (T/m3) admisibles σ (T/m2) Blando -15 -3000 200* σ Medio 15-35 3000-5000 100* σ +1500 Duro 35-50 5000-10000 333* σ +6667 Roca 5010000

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Vale la pena recordar que un valor comunmente usado para el módulo de balasto es 120 veces el esfuerzo estático admisible σ, donde σ está en T/m2. Finalmente se indica que el programa usado para los modelos es SAP2000 v11.0.0 3. Resultados El modelo 1 da un momento de 0.86 T-m en pie de columna a nivel del suelo por carga vertical y 0.58 T-m por carga lateral. Usando la distribución de momento por rigideces se tiene el siguiente valor de M´, en cabeza de zapata: Kvi 0 CARGA Vertical Horizontal

Kvd 0.00003

Mp 0.86 0.58

Kci 0.00056

fd 1458 983

Sum k 0.00059 M 0.82 0.55

M´ 0.41 0.28

Ahora con el modelo 2, que supone empotramiento a nivel de zapata y adicionalmente impidiendo el desplazamiento horizontal a nivel de cadena, en el caso de cargas verticales, se obtiene M´= 0.26 T-m. Si se permiten los desplazamientos horizontales M´=0.13 T-m. Se podría concluir que el procedimiento simplificado tradicional da inclusive resultados conservadores. La situación cambia en el caso de cargas sísmicas, pues en el modelo 2, M´=0.68T-m, más del doble del valor obtenido por el procedimiento tradicional (0.28 T-m). Vale la pena recordar que los momentos M pueden también calcularse usando la siguiente ecuación de la elástica(6):

M = kθ + aθ `+bΔ + Mf 2

(11)

Donde k=4EI/L, a=2EI/L, b=6EI/L , θ es el giro en el extremo en que se calcula el momento, θ´ giro en el extremo opuesto, Δ desplazamiento transversal y Mf momento de empotramiento perfecto. El uso de esta ecuación, gracias a los desplazamientos y giros calculados en el modelo, muestra que la diferencia en el comportamiento por cargas verticales y laterales se debe al término b Δ. Si se supone que la columna embebida en el suelo tiene 10 veces la rigidez usual, modelo 3, y además con carga lateral, el momento en cabeza de columna será 0.68 T-m, y, si se supone restringido a desplazamiento lateral por medio de resortes elásticos, modelo 4, 0.26 T-m, que es el mismo valor obtenido en el modelo 2. Considerando tan sólo estos valores se observa que el más acertado es el que considera el suelo por medio de resortes. Sin embargo el valor de rigidez que se usó es 100 veces el recomendado por la teoría elástica, es decir que el suelo en realidad no ejerce una restricción significativa a la deformada de la columna. A continuación se observa que en el modelo 5, que usa zapatas cuadradas de 1.2 m de lado y 0.35 m de espesor, con resortes verticales de 3000 (T/m2)/m, obtenido a partir de la ecuación (4) con esfuerzo admisible del suelo de 15 T/m2, el momento en cabeza de zapata es 0.40 T-m, una reducción del 41% respecto a 0.68 T-m. Otros valores se observan en la Tabla No.5. En el modelo 6 el resorte vertical tiene un valor de 4320 T/m y el rotacional 1036.8 Tm/rad, el mismo valor usado para el modelo 7. Los resultados de momentos, hundimientos y giros en cabeza de zapata también se muestran en la Tabla 7:

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Tabla 7 Valores en cabeza de zapata MODELO

θ

M (T-m)

2 (empotrado a nivel de 0.68 zapata) 5 (incluye zapata) 0.40 6 (resortes vertical+rotación)

0.51

7 (sólo resorte rotación)

0.49

Δz

% de momento +17

0

0

0.00076 7 0.00048 7 0.00047 6

±0.00010 -31 4 ±0.00009 -12 2 0 -16

La última columna de la Tabla 7 es el porcentaje de diferencia respecto al momento en pie de columna del modelo 1, empotrado a nivel de la superficie del terreno. Los porcentajes son significativos. Interesa en este punto conocer la distribución de momentos para los diferentes modelos para lo que se presenta la Figura 8:

Figura 8 Momentos en Modelos 1, 2, 5 y 7 ante cargas laterales Se observa que si bien los modelos más completos muestran que sí hay una reducción de momento en la cabeza de zapata, también es evidente que esos momentos se han redistribuido, aumentando los de la viga. Si se supone que la cabeza de la zapata está articulada la nueva distribución es aún más evidente. A continuación se probará la siguiente estructura (ver Figura 9) suponiendo empotramiento a nivel de superficie del suelo y luego modelando las zapatas pero únicamente con resortes de rotación alrededor de los ejes horizontales X y Y.

Figura 9 Modelo para una estructura de tres pisos

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Para determinar la rigidez de los resortes a rotación se consideran los siguientes parámetros: σadm=20 T/m2, las zapatas son de 1.10x1.10 metros en las esquinas exteriores, 1.20x1.20 metros en el perímetro y 1.40x1.40 metros al interior de la estructura. Las rigideces rotacionales son 1033,1742 y 4392, respectivamente. A continuación en la Tabla 8 se muestran los momentos en pie de columna a nivel del suelo y a nivel de cabeza de zapata para los dos modelos para sismo en X. Tabla 8 Momentos My en nudos de base por sismo en x (T-m) UBICACIÓN Empotrado en superficie del Con resorte rotacional suelo Esquina interior 9.88 5.84 Esquina exterior 7.92 3.55 Perimetral 8.05 9.42 Interior 9.82 9.66 Se observa una disminución de los momentos para el modelo con resortes en las esquinas, no significativa en el interior y un aumento para un punto perimetral. En la Tabla 9 se muestran los momentos en vigas exteriores e interiores de la primera planta así mismo para los dos modelos. Tabla 9 Momentos My para vigas en primera planta por sismo en x (T-m) TIPO DE VIGA EXT (modelo empotrado) EXT (modelo con resorte rotacional) INT (modelo empotrado) EXT (modelo con resorte rotacional)

1 7.23/6.63 9.58/8.71

2 6.69/6.60 8.73/8.59

3 7.51/8.18 9.81/10.75

4

6.98/6.41 9.50/8.64

6.50/6.44 8.69/8.61

6.82/6.85 9.11/9.13

6.42/7.08 8.64/9.58

Se observa un aumento en los momentos que deben resistir las vigas. Finalmente es importante determinar si es necesario un análisis en el tiempo incluyendo interacción suelo estructura. Partiendo de los siguientes parámetros: μ=0.3, vs=100 m/s, γ=1700 Kg/m3, se obtiene la relación “i” entre la rigidez rotacional del suelo y la de la columna . Se observa que los valores están ligeramente por arriba de 5, lo que indica la necesidad de considerar interacción suelo-estructura. 4. Conclusiones Se ha realizado una serie de modelos con el fin de determinar la necesidad de considerar dentro del modelo estructural la zapata. Se empezó con un modelo con empotramiento a nivel de superficie del suelo. Posteriormente se estudió otro con empotramiento en cabeza de zapata. A continuación se verificó la “indeformabilidad” de la estructura por debajo del nivel de suelo mediante otros dos modelos. Posteriormente se usó uno más que incluía la zapata modelada con elementos finitos sobre resortes elásticos. Para concluir, la zapata se modeló con un resorte vertical y otro rotacional y, finalmente, únicamente con uno rotacional. Los resultados alcanzados permiten entregar las siguientes conclusiones:

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1. El método tradicional de distribución de momentos por rigideces es útil únicamente en el caso de cargas verticales. Si se consideran las cargas sísmicas, no es capaz de realizar una distribución de momentos adecuada. 2. En los modelos estructurales es necesario incluir un resorte rotacional a nivel de cabeza de zapata, con el fin de representar la rotación de la zapata. 3. Lo anterior produce una redistribución de momentos: reduciéndolos en cabeza de zapata pero aumentándolos en las vigas, sobre todo del primer piso. 4. Para determinar la importancia de la interacción suelo-estructura es posible realizar chequeos básicos de parámetros tales como la relación de inercia rotacional del suelo respecto a la de la estructura. 5. El uso de valores basados en coeficientes de balasto, si bien aproximados, ayudan a determinar las características de comportamiento del suelo. 6. En los estudios de suelos hay que solicitar valores como el coeficiente de Poisson, velocidad de las ondas de corte, peso específico del suelo, módulo de corte, con el fin de determinar los resortes que representan el suelo de mejor forma. 7. Los procedimientos tradicionales son necesarios para el cálculo de cargas verticales pero no suficientes para cargas sísmicas en el cálculo de zapatas. 8. Las estructuras actuales deben ser modeladas incluyendo las zapatas y el suelo representado con un resorte rotacional. Referencias 1. Fratelli, María Graciela, “Suelos, Fundaciones y Muros”, México, 2003. 2. Instituto Ecuatoriano de Normalización, “Código de Práctica Ecuatoriano CPE INEN 5:2001”, Parte 1. Capítulo 12, Quito, 2001. 3. Prakash, Shamsher, “Soil Dynamics”, McGraw Hill, 1981. 4. Peck, Hanson, Thornburn, “Ingeniería de Cimentaciones”, 2. Edición, Editorial Limusa, México, 1983. 5. Coduto, Donald, “Foundation Design, principles and practices”, Prentice Hall, 1994. 6. Aguiar, Roberto, “Análisis matricial”, Ediespe, 1994. 7. Robalino, Carolina, “Capacidad sísmica de estructuras considerando la interacción suelo-estructura”, Tesis de Grado, ESPE, 2006. 8. Nilson, Arthur, “Diseño de estructuras de concreto”, 12. Edición, Mc Graw Hill, 1999. 9. Das, Braja, “Fundamentals of soil dynamics”, Elsevier, 1983. 10. Wilson, Edward, “Static & Dynamic Analysis of Structures”, 4. Edición, CSI, 2004.