Pid

Proyecto Final del Curso: Control PID de un Sistema Térmico Gustavo Alonso Peñaranda Cabrera 1091367, [email protected] Jheiner Mauricio Chávez Álvarez 1091332, [email protected] Jesús Romario Cárdenas Sánchez 1091300, [email protected] Resumen—La finalidad de este documento es presentar la metodología aplicada para la obtención de las constantes del controlador PID, también se muestra el modelo matemático teórico de la planta y una serie de simulaciones con el fin de conocer el comportamiento aproximado del sistema. El circuito diseñado se muestra como una simulación en Proteus de la cual se compartirá un enlace con el archivo que lo contiene.

herramientas usadas para la obtención de las constantes de PID, además se irán añadiendo conceptos teóricos a medida que se avance y cuando sean necesarios. Descripción de la planta. La planta es en esencia, una caja de madera a la cual se le regula la temperatura por medio de un elemento calefactor. El sistema puede ser representado mediante la siguiente figura:

Abstract--- The purpose of this document is to present the methodology applied to obtain the constants of the PID controller, the theoretical mathematical model of the plant and a series of simulations are also shown in order to know the approximate behavior of the system. The designed circuit is shown as a Proteus simulation of which a link will be shared with the file that contains it. Palabras Clave--- PID, Control, Variable, Set Point, Feedback, Simulación, Constante

C

Introducción

on el fin de aplicar los conceptos vistos en el curso, se pretende diseñar un control PID. En la industria la gran mayoría de los procesos en los que se requiere controlar una variable, el algoritmo del PID constituye el enfoque o estrategia para lograr los objetivos propuestos. El abordaje para este proyecto ha sido el control en el dominio del tiempo continúo, es decir, control analógico que si bien en la industria ya no es muy utilizado, pues se ha visto desplazado por el control digital, representa o abarca todos aquellos conceptos para realmente comprender que hacen las constantes en los procesos con Feedback. Por lo anterior, el controlador PID es el regulador por excelencia en una toma de decisiones para reducir el error entre la variable a controlar y un punto de operación deseado (Set Point): La parte proporcional toma en cuenta el valor presente y amplifica, la parte integral toma los valores pasados y lleva a cero la diferencia entre salida y entrada, la parte derivativa prevé el futuro de la desviación del comportamiento deseado.

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I. OBJETIVOS Obtener la función de transferencia de la planta Obtener las constantes del controlador para un punto de operación en específico. Presentar la metodología utilizada

II. MARCO TEÓRICO En esta sección se van a abordar los temas concernientes al modelo matemático de la planta y la descripción de las 1

Las constantes que tienen un 1, representan los parámetros del aire, la que tienen 2, la madera de la caja, Ta es la temperatura ambiente.

Fig. 1. Representación de la planta

Como se ve en la imagen, se ha representado la caja como un sistema cerrado al cual se le ingresa calor, las letras C representan las capacitancias térmicas de los medios y las R las resistencias térmicas, las letras T representan las temperaturas, de esta manera se puede modelar de la siguiente manera1: En el interior (aire) 𝑑𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 𝐶1 =𝑞− (1) 𝑑𝑡 𝑅1 En las paredes 𝑑𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝑇2 − 𝑇𝑎 𝐶2 = − (2) 𝑑𝑡 𝑅1 𝑅2 Tomando las respectivas transformadas de Laplace y haciendo movimientos algebraicos se obtienen: 𝑇1(𝑠) 𝑅1 ∙ (𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2) = (𝑅1 ∙ 𝐶1𝑠 + 1)(𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅2 𝑄(𝑠)

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Que es la función de transferencia de T1(s) respecto a la entrada de calor Q(s) La FDT con respecto a la temperatura ambiente (Ta) es la siguiente: 𝑇1(𝑠) 𝑅1 = (𝑅1 ∙ 𝐶1𝑠 + 1)(𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅2 𝑄(𝑠)

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Para hallar las constantes C y R se tienen en cuenta la masa de aire contenida en el volumen de la caja, las áreas de las paredes de la caja y también el espesor. Se aplican las siguientes ecuaciones [1]: Para las masas tanto de aire como de madera: (5) 𝑚 = 𝑉𝜌 De donde 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑉 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 Las capacitancias se pueden calcular así: 𝐶 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑒 (6) Donde 𝑐𝑒 = 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 Las constantes R se hallan de la siguiente manera: 1 𝐾𝑎 ∙ 𝐴𝑝 = (7) 𝑅 𝐿𝑝 De donde 𝐾𝑎 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝐴𝑝 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 (𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎) 𝐿𝑝 = 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 Para determinar la relación entre la potencia de disipación que es la que va a calentar el aire, el tiempo que toma en ir de una temperatura a la otra se plantean las siguientes expresiones: (8) 𝑄 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑒 ∙ ∆𝑇 De aquí se tiene que 𝑄 = 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝐽 ∆𝑇 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑄 (9) 𝑠𝑖 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑡 Se llega a que (10) 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∙ 𝑡 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑒 ∙ ∆𝑇 Esta expresión sirve para diseñar la etapa de potencia que alimenta el actuador y produce la calefacción. Obtención de las constantes PID. Para hallar las constantes del controlador se usaron métodos iterativos y utilizando las herramientas que ofrece MATLAB en este asunto, tales como los ToolBox rltool, rlocus, PID tuner entre otros que se van a explicar más adelante. Para poder sintonizar el PID, se ha usado el método por Lugar Geométrico de las Raíces, que si bien se usa especialmente para hallar compensadores K (la constante proporcional) puede ser adaptado para poder encontrar las otras constates (derivativa e integral) A continuación se muestra una figura en la que se muestra a groso modo un sistema de control, y se trata de explicar el modo de obtención del PID adelantando un poco la metodología para su cálculo

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Las unidades de esta magnitud son W/mºK o también W/mºC

Fig. 2. Sistema de control retroalimentado

El control PID tiene la siguiente expresión característica 𝐾𝑖 𝐾𝑝 + 𝐾𝑑 ∙ 𝑠 + (11) 𝑠 Si se reduce el diagrama de bloques que representan al sistema entonces se obtiene un bloque de ganancia al cual puede, en la expresión que lo representa, manipularse algebraicamente para obtener una expresión en términos de la constante que se quiere variar, para así determinar un punto de operación dado por los polos objetivos, que se obtienen de los requerimientos de diseño [2] La expresión mencionada es: (12) 𝐷 = 1 + 𝐾𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) De donde 𝐷 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐾 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑟 Este proceso se verá más adelante. III.

DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA PLANTA En la tabla 15-5 del libro University Physics 7 ed. [3] se muestran los siguientes valores de la conductividad térmica (Ka) del aire y de la madera2 𝐾𝑎 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 0.024 𝐾𝑎 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 0.4 − 0.04 La madera en la que está construida la caja es elondo cuya Ka es 0.13 De los apéndices del libro termodinámica de Cengel [4] se pueden obtener los valores de ce y 𝜌 los cuales son 𝐾𝑔 𝜌 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1.225 3 𝑚 𝐽 𝑘𝑔 ∙ ℃ Para el calor específico y densidad de la madera el libro de Young ofrece también información, aunque esta varía dependiendo del tipo o familia a la que pertenece 𝐾𝑔 𝜌 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 900 3 𝑚 𝑐𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1005

𝐽 𝑘𝑔 ∙ ℃ Para el cálculo de volúmenes se van a tener en cuenta las dimensiones de la caja externas tiene: 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 = 4.3𝑐𝑚 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 = 9.5𝑐𝑚 𝐴𝑙𝑡𝑜 = 3.8𝑐𝑚 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 = 0.6𝑐𝑚 𝑐𝑒 𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 1760

𝑇1(𝑠) 𝑐 = 𝑇𝑎(𝑠) 𝑎 ∙ 𝑠 2 + 𝑏 ∙ 𝑠 + 𝑐

E internamente se tienen 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 = 3𝑐𝑚 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜 = 8.1𝑐𝑚 𝐴𝑙𝑡𝑜 = 2.9𝑐𝑚

(16)

IV.

SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE LA PLANTA EN MATLAB En esta sección se muestran una serie de simulaciones cuyo objetivo es la de determinar el comportamiento de la planta de manera natural ante una entrada escalón, con la finalidad de establecer la estabilidad del sistema Respuesta del sistema en lazo abierto. A continuación se presenta en Simulink el comportamiento del sistema en lazo abierto cuando se le aplica un escalón Lo primero es ingresar los valores de a,b,c,d y e en el WorkSpace de MATLAB para que puedan ser reconocidos en Simulink a=125917.576; b=37530.877; c=38.8319; d=1451377.302; e=46;

Fig. 3. Representación de la caja con medidas externas

Por lo tanto el volumen que ocupa la caja es un volumen total que se llamará externo y tiene un valor de: 𝑉𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 155.23𝑐𝑚3 𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑉𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 70.47𝑐𝑚3 Entonces el volumen de madera es 𝑉𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 − 𝑉𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 84.76𝑐𝑚3 Y el volumen de aire es el que está dentro de la caja (Vinterno) De esta manera aplicando las ecuaciones (5), (6) y (7) se obtienen, para el aire 𝑚 = 8.632574 ∗ 10−5 𝑘𝑔 ℃ 𝑅1 = 38.8319 𝑊 𝐽 𝐶1 = 0.0867573 ℃ Y para la madera se han obtenido los siguientes valores 𝑚 = 76.284 ∗ 10−3 𝑘𝑔 ℃ 𝑅2 = 7.1689726 𝑊 𝐽 𝐶2 = 134.25984 ℃ Reemplazando en (3) y (4) 𝑇1(𝑠) 1451377.302 ∙ 𝑠 + 46 = (13) 𝑄(𝑠) 125917.576 ∙ 𝑠 2 + 37530.877 ∙ 𝑠 + 38.8319 𝑇1(𝑠) 38.8319 = (14) 𝑇𝑎(𝑠) 125917.576 ∙ 𝑠 2 + 37530.877 ∙ 𝑠 + 38.8319

Si se hacen unos nuevos reemplazos, de manera que se trate a las expresiones anteriores de manera más simple siendo: 𝑎 = 125917.576 𝑏 = 37530.877 𝑐 = 38.8319 𝑑 = 1451377.302 𝑒 = 46 Entonces (13) y (14) se convierten en 𝑇1(𝑠) 𝑑∙𝑠+𝑒 = 𝑄(𝑠) 𝑎 ∙ 𝑠2 + 𝑏 ∙ 𝑠 + 𝑐

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Una vez ingresados se procede a realizar el siguiente diagrama

Fig. 4. Diagrama en lazo abierto

Con un tiempo de simulación de 100 segundos se obtiene la siguiente respuesta

Fig. 5. Respuesta en lazo abierto ante un escalón

El sistema presenta una subida bastante más exagerada respecto a la entrada que es un escalón de magnitud 1, sin embargo se puede apreciar que desde el segundo 30 empieza un descenso continuado con una pequeña pendiente que demuestra su estabilidad pero también su lentitud. En la siguiente imagen se muestra la respuesta para un mayor tiempo de simulación

De la imagen se pueden obtener dos conclusiones: primero, que la planta presenta siempre estabilidad y segundo, presenta una respuesta muy lenta. Lo anterior conduce nuevamente a que si se quiere una respuesta más rápida y que consiga reducir el error a cero, se necesita el diseño de un controlador PID, que pueda curvar el LGR para que pase por unos polos objetivos, que representan el punto de operación definido. V.

Fig. 6. Simulación con un tiempo mayor

Aquí se puede observar que la respuesta del sistema tiende ser estable a penas en el segundo 5000, esto es aproximadamente 1 hora y 38 minutos, en un valor de 1.2734 (27.34% de error) Determinando el Lugar Geométrico de las Raíces. Para determinar el LGR de la planta se usa la herramienta rltool de MATLAB, de la siguiente manera: num=[d e];%definiendo numerador de la Tf den=[a b c];%definiendo denominador de la Tf sys=tf(num,den);% se define una variable de tf que contiene al num y den

METODOLOGÍA DE OBTENCIÓN DE LAS CONSTANTES PID Para obtener las constantes del controlador se va usar el método del LGR como ya se había mencionado anteriormente, con la particularidad de integrar también una estrategia de iteraciones que consiste en expresar en términos de una constante (Kp, Ki o Kd) todo el denominador del bloque de ganancia que resulta de simplificar el diagrama de la figura dos, convirtiéndolo en la forma de la ecuación (11), de esta manera se puede mantener fija alguna K del PID, se va aumentado otra y con ayuda de rlocus se determina la tercera constante. El criterio pasar poder determinar cuál constante sirve y cual no debe responder a la pregunta ¿ajusta de manera satisfactoria esta constante el LGR, de manera que pasa por los polos objetivos? Si no lo hace, se descarta y se continúa con el proceso. Para determinar los polos objetivos se usa SISO Design con ayuda del Root Locus Editor, que para unos requerimientos de diseño de tiempo de establecimiento de 10 segundos y un sobrepaso máximo de 0.3% arroja los siguientes resultados

seDentro de rltool, se elige una la estrategia de control y se importan los datos de la planta, una vez hecho esto se obtiene el siguiente LGR

Fig. 8. Polos Objetivos por Requerimiento

Fig. 7. LGR de la Planta

El LGR obtenido tiene las siguientes características: tiene dos polos en S= -297 y S=-0.001 y un cero en -3.1694e-05.

La interpretación de la gráfica es la siguiente: la línea vertical representa el tiempo de establecimiento fijado en 10 segundos que en términos matemáticos se puede expresar como 𝜎 = −0.4 (aprox.), la línea oblicua representa el factor de amortiguamiento dado por el sobrepaso máximo de 0.3% y que

está entre 0.91 y 0.84, la intersección de estas dos rectas da lugar a los polos objetivos, que un rápido cálculo visual se puede llegar a estimar en -3.97±2.1*j, sin embargo a medida que se van depurando las iteraciones se comparan directamente con la figura 8. Obtención de las expresiones en términos de K. Ahora se va a pasar a obtener una serie ecuaciones que van a permitir relacionar cada constante del controlador para poder aplicar las iteraciones. Primero, al resolver el diagrama de la figura 2, teniendo en cuenta las ecuaciones (11) y (15) se obtiene (tomando solo el denominador): 𝐷 = (𝑎 + 𝑑𝑘𝑑)𝑠 3 + (𝑏 + 𝑒 ∙ 𝑘𝑑 + 𝑘𝑝)𝑠 2 + (𝑒 ∙ 𝑘𝑝 + 𝑑 ∙ 𝑘𝑖)𝑠 + 𝑒𝑘𝑖 (17)

Resolviendo para Ki 𝐷 = 1 + 𝑘𝑖 ∙

𝑑∙𝑠+𝑒 (18) (𝑎 + 𝑑𝑘𝑑)𝑠3 + (𝑏 + 𝑒 ∙ 𝑘𝑑 + 𝑘𝑝)𝑠2 + 𝑒 ∙ 𝑘𝑝 ∙ 𝑠

Resolviendo para Kd 𝐷 = 1 + 𝑘𝑑 ∙

𝑑 ∙ 𝑠3 + 𝑒 ∙ 𝑠2 (𝑎)𝑠3 + (𝑏 + 𝑘𝑝)𝑠2 + (𝑒 ∙ 𝑘𝑝 + 𝑑 ∙ 𝑘𝑖)𝑠 + 𝑒𝑘𝑖

(19) Fig. 9. Primera iteración

Resolviendo para Kp 𝑑 ∙ 𝑠2 + 𝑒 ∙ 𝑠 (20) (𝑎 + 𝑑𝑘𝑑)𝑠3 + (𝑏 + 𝑒 ∙ 𝑘𝑑)𝑠2 + (𝑑 ∙ 𝑘𝑖)𝑠 + 𝑒𝑘𝑖 Para mostrar el algoritmo se va a escoger la ecuación (18) de modo que la constante fija sea Kd, la que varíe en iteración sea Kp y la que se halle por rlocus sea Ki, así pues 𝐷 = 1 + 𝑘𝑝 ∙

close all %Definir los Parametros de la planta a=125917.576; b=37530.877; c=38.8319; d=1451377.302; e=46; s=tf('s');%definir la variable para usar en FT g=(d*s+e)/(a*s^2+b*s+c);%Definir la planta for i=1:1:5%ciclo for de 5 iteraciones kd=1;%fijando kd kp=1+.1*i;%esta linea varía kp %h representa la ecua (18) h=(d*s+e)/((a+d*kd)*s^3+(b+e*kd+d*kp)*s ^2+2*kp); figure%Crear diferentes figuras para poder comparar ramas rlocus(h)%graficar el LGR con las constantes presenta grid%mostrar la cuadricula end Se han definido 5 iteraciones por simplicidad y para ejemplificar el procedimiento. El primer comando cierra todas las ventanas de manera que no interrumpan con el proceso, en el ciclo se ha fijado kd en 1, kp inicia en 1 y a medida de avanza el ciclo aumenta 0.1, estos cambios generan un movimiento del LGR. Para este primer bucle se tienen lo siguientes resultado:

Fig. 10. Segunda Iteración

Fig. 11. Tercera iteración

Fig. 13. Quinta Iteración

Como se puede notar, a medida que la iteraciones avanzan las ramas se corren hacia la izquierda, provocando que el sistema se aleje del punto especificado, por lo que la mejor las fue la número 1, comparada con la figura 8. Entonces al buscar un valor para Ki nos encontramos con:

Fig. 14. Determinando Ki con Kp=1.1 y Kd=1

Fig. 12. Cuarta Iteración

Al ubicar un polo entre 0.81 y 0.9 de factor de amortiguamiento se obtiene una ganancia Ki de 0.392 Para ver el comportamiento del sistema con las constantes actuales se usan los siguientes comandos ki=.392;%Ki hallado kp=1.1;%Mejor Kp de iteracion kd=1;%kd fijo compensador=ki/s+kp+kd*s;%PID %se hace un bloque que multiplique ... ...compesador y planta con retro unitaria glazo=feedback(g*compensador,1) zero(glazo)%se obtienen zeros pole(glazo)%se obtienen polos figure step(glazo)%respuesta del sistema con... ...compensador al impulso

Con estos comandos se busca conocer la respuesta del sistema con el compensador hallado y una retro unitaria:

planta con el PID, en lazo cerrado, diera la respuesta que se estaba buscando. VI. DISEÑO DEL CIRCUITO CONTROLADOR Una vez determinadas las constantes Ki, Kd y Kp se procede a diseñar un circuito en el que se pueda ingresar un Set Point que represente la temperatura en la que se quiere que trabaje la planta, se necesitan etapas de comparación para la retroalimentación y un adecuado acondicionador para el sensor, que va a medir la respuesta del sistema. El controlador se diseña en base a las constantes halladas, la respuesta que del PID irá a un actuador, que no es otra cosa que un elemento calefactor cuya alimentación se debe proporcionar en una etapa de potencia3.

Fig. 15, Respuesta al escalón con PID de ki=0.392, kp=1.1 y kd=1

Utilizando este método repetidas veces variando H por la ecuación (19) o (20) y usando la constante hallada por rlocus de cada iteración anterior se pudo llegar a los siguientes valores del PID 𝐾𝑝 = 1.8518 𝐾𝑑 = 1.786 𝐾𝑖 = 0.6447 De modo que al aplicar los comandos se obtuvo

Set Point. Esta es una parte de relativa sencillez, pues consiste en un divisor de voltaje, que es variado por un potenciómetro en serie con dos resistencia, se ha dispuesto así para asegurar un Set Point entre 2.5 y 4 voltios. Cada décima de Volt representa 1˚C. El circuito se alimenta con 12 volts referenciado a GND.

ki=.6447; kp=1.8518; kd=1.786; compensador=ki/s+kp+kd*s; glazo=feedback(g*compensador,1) zero(glazo) pole(glazo) figure step(glazo)

Fig. 17. Variación del Set Point con un potenciómetro

Fig. 16. Mejor respuesta obtenida

Que fue la mejor respuesta obtenida después de numerosas repeticiones en las que se variaban parámetros para que la

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El diseño del circuito ha sida montado en Proteus.

En la imagen se puede apreciar como el voltaje de referencia está comprendido entre 2.5 y 4 volts que representan 25 y 40 ºC respectivamente. Etapa de comparación. Esta etapa está representada en un bloque al que le entran el voltaje de referencia y el voltaje del sensor, este es un LM35Dz muy utilizado pues tiene una alta sensibilidad, voltaje de salida lineal, buen rango de operación y su costo es bajo [5]

Fig. 20. Parte Proporcional

La ganancia de este bloque vienen dada por la expresión R11/R10 si la ganancia es 1.8518 y se elige R11 de 50k entonces R10 va a tener un valor de 27k Para la parte derivativa

Fig. 18. Comparador Como un bloque. Entran la señal de Ref y de Retro y sale la señal de error Fig. 20. Parte derivativa

La ganancia del derivador es su constante de tiempo RC, si RC= 1.786 y se escoge un capacitor de 47uF (C1) entonces la resistencia R12 tendrá un valor de 38k Parte Integral

Fig. 19. Bloque Comparador completo

El circuito comparador, en la figura 19, consta de varias partes, en la parte superior hay un seguidor de voltaje que ayuda a mantener el nivel de referencia fijo. Esta señal entra a un sumador que es donde se hace la comparación entre Vref y Vretro, puesto que Vretro entra a un inversor de ganancia 10 (Acondicionador del sensor), de este salen con una ganancia de 5 pero invertida, por lo que se pasa por otro invesor de ganancia 1 y de esta forma obtener Vref-Vretro. Circuito PID. A este bloque llega la señal de error que va a pasar por cada parte del controlador, basados en las ganancias halladas, se procede a encontrar las resistencias y capacitores para que la ganancia por bloque coincida con su respectiva K4. Para la parte proporcional:

Fig. 21. Parte Integral

La ganancia de un integrador es el inverso de la constante del tiempo RC, si para el integrador Ki=1/RC=0.6447, si C2 se escoge de 47uF entonces R13 tendrá un valor de 33k. Para sumar P,I y D se envían todas las señales a un operacional con ganancia 1 de esta manera:

Fig. 22. Suma de las Partes Proporcional, Derivativa e Integral 4

Las fórmulas para relacionar las K con la ganancia de cada parte del PID fueron tomadas de [6]

Por lo que el circuito del PID completo sería:

El circuito del actuador se constituye de dos transistores de potencia (TIP41) en la configuración en cascada mostrada, la fuente de alimentación a la que se conecta es de 24Vdc, la resistencia de 10 ohms es el elemento calefactor. El montaje completo es:

Fig. 23. Circuito del PID completo.

Fig. 24. Representación del PID mediante un bloque, entra la señal de error y sale la señal de control.

Parte del Actuador

Fig. 25. Etapa del actuador

Fig. 26. Circuito Completo del Controlador.

VII. RESULTADOS Y DISCUSIÓN Los resultados que se han obtenido fueron logrados mediante la simulación con diferentes herramientas (Toolbox de MATLAB, Simulink y Proteus) pues la implementación del circuito no ha sido lograda completamente. Cuando se simula el circuito en Proteus la respuesta es la siguiente: Cuando el sensor “lee” una temperatura de 25ºC, con SetPoint en 40ºC se tienen las siguientes lecturas en el comparador:

la señal de control cuando error es cero (Temperatura de la Planta igual al de referencia)

Fig. 29. Respuesta error=0 y tiempo de 8.13seg

Fig. 27. Respuesta del Comparador a 25ºC y ref a 40ºC

En el controlador y actuador se tienen las siguientes

Fig. 30. Respuesta error=0 y tiempo de 20.43seg

Fig. 28. Respuesta del Controlador a 25ºC y ref a 40ºC

Como se observa, el controlador está enviando una señal de 10.5 volts, es decir, está trabajando al máximo debido al error tan grande que hay entre Set Point, esto produce que haya una corriente de 1.86Amps en el elemento calefactor llevando a una potencia de 34,596 W. A medida que la señal de referencia y de retroalimentación van siendo iguales (error tiende a 0) la señal de control de control empieza a disminuir, variando el voltaje de base a emisor del TIP41, esto hace que se produzca una disminución de la corriente en R19 y por lo tanto una también baja la potencia. La velocidad con la que varía la señal de control (y por tanto la potencia del actuador) depende de que tan alejado del cero esté el error, (más lejos, más rápido). A continuación se va a mostrar una serie de imágenes que capturan en diferentes momentos de tiempo la disminución de

Fig. 31. Respuesta error=0 y tiempo de 43.74seg

El controlador puede parecer tener una respuesta lenta, pero para el tipo de planta a controlar el tiempo de corrección está dentro del tiempo de respuesta del sistema. El enlace en el que está la simulación en Proteus es: Control PID

VIII. CONCLUSIONES Las estrategias para encontrar un controlador PID pueden diversificarse, si se basa en métodos conocidos y aplicando técnicas de análisis vistas en otras áreas, teniendo muy en cuenta los conceptos del control tradicional El uso de herramientas de análisis de sistemas de control como MATLAB, SysLab, Octave, entre otros, debe ser de uso extendido para, de manera asertiva, llegar a resolver problemas de control que se puedan presentar Es de vital importancia conocer a cabalidad la planta o el proceso que se desea controlar, ya sea recabando información o haciendo pruebas controladas al sistema.

Referencias [1] C. Tarazona y J. Cristancho, CONTROLADOR MEDIANTE REDES NEURONALES PARA UN HORNO Y COMPARACION CON UN CONTROLADOR PID, San Cristóbal (Venezuela): UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA, 2008. [2] R. Hernández Gaviño, «Criterio de estabilidad de RouthHurwitz y lugar geométrico,» de Introducción a los Sistemas de Control, PEARSON EDUCACIÓN, 2010, pp. 243-310. [3] H. D. Young y R. A. Freedman, «Tabla 15-5,» de UNIVERSITY Physics 7ed., SEARS AND ZEMANSKY’S. [4] Y. A. Cengel y M. A. Boles, «Apéndices,» de Termodinámica, McGraw-Hill, 2011, pp. 907-adelante. [5] T. Instruments, «Datasheet LM35». [6] M. N. Horenstein, «Amplificadores operacionales (Integrador y derivador),» de Circuitos y Dispositivos Microelectrónicos 2da ed, Prentice-Hall, 1997, pp. 60-65.