Planificacion De Transporte

Ingeniería de Transportes I Facultad de Ingeniería Civil

Análisis de la Demanda de viajes. Procesos para la Estimación de Viajes 1.Generacion de Viajes. 2. Distribución de viajes 3. Selección del modo 4. Asignación del tránsito.

Edición: Ivet Anguizola. Angelino Harris

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Contenido. 1. Introducción.................................................................................................................................................................. 3 1.1. Enfoques para la estimación de la demanda. ............................................................................................................... 3 1.2. Factores que influyen en la demanda de viajes. ........................................................................................................... 3 1.3. Secuencia de etapas para la estimación de viajes......................................................................................................... 4 2. Generación de viajes..................................................................................................................................................... 5 2.1. Clasificación cruzada. .................................................................................................................................................. 5 Ejemplo .1 ....................................................................................................................................................................... 5 2.2. Modelo lineal de Generación de Viajes: ...................................................................................................................... 9 Ejemplo 2 : ...................................................................................................................................................................... 9 3. Distribución de viajes. ............................................................................................................................................... 13 3.1. Modelo de gravedad. ................................................................................................................................................. 14 Ejemplo 3 : ................................................................................................................................................................... 15 Ejemplo 4. .................................................................................................................................................................... 17 3.2. Modelos de factor de crecimiento ............................................................................................................................. 21 Ejemplo 5. .................................................................................................................................................................... 21 4. Selección del modo o Distribución modal. ................................................................................................................ 23 4.1. Métodos de generación directa. ................................................................................................................................ 23 Ejemplo 6. .................................................................................................................................................................... 24 4.2. Los modelos de viaje ................................................................................................................................................ 24 4.3. Los modelos de intercambio de viajes. ...................................................................................................................... 25 4.3.1. El método QRS se basa en la siguiente relación: ............................................................................................... 25 Ejemplo 7. .................................................................................................................................................................... 26 4.3.2. Modelos lógicos. ................................................................................................................................................ 27 Ejemplo 8. .................................................................................................................................................................... 28 5. Asignación del tránsito. ............................................................................................................................................. 34 5.1. La curva de desviación.............................................................................................................................................. 34 Ejemplo 10. .................................................................................................................................................................. 35 Ejemplo 11. .................................................................................................................................................................. 37 5.3. La restricción de la capacidad ................................................................................................................................... 38 Ejemplo 12. .................................................................................................................................................................. 39 6.Otros métodos para la predicción de la demanda. ...................................................................................................... 39 6.1. Análisis de tendencias .............................................................................................................................................. 39 6.1.1. Elasticidad de la demanda .................................................................................................................................. 40 Ejemplo 13. .................................................................................................................................................................. 40 1

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 7. Anexos. ...................................................................................................................................................................... 40 7.1. Regresión Lineal simple............................................................................................................................................ 40 7.2. Regresión Nolineal directa. ....................................................................................................................................... 43 Ejemplo 14 : ................................................................................................................................................................. 43 7.4. Prueba de CONSISTENCIA de los PARAMETROS α y β y del MODELO. ....................................................... 45 7.5. Prueba de hipótesis para los parámetros α y β . ........................................................................................................ 46 7.5.1. Parámetro α : ...................................................................................................................................................... 46 7.5.2.Parámetro β : ....................................................................................................................................................... 47 7.6.Prueba de ajuste global del modelo............................................................................................................................ 48 Ejemplo 15. .................................................................................................................................................................. 49 8. Conclusiones ............................................................................................................................................................. 52 9. Bibliografía ................................................................................................................................................................ 52

2

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 1. Introducción. La demanda de viajes es el número de personas o de vehículos por unidad de tiempo que puede esperarse viajen en un determinado segmento de un sistema de transporte, bajo un conjunto de condiciones dadas de uso del suelo, socioeconómicas y ambientales. Las estimaciones de la demanda de viajes, se usan para establecer el futuro volumen vehicular o para modificar las alternativas del sistema de transporte. Los métodos pueden ser, desde una simple extrapolación de las tendencias observadas, hasta un proceso computarizado sofisticado que incluya una amplia recopilación de datos y modelación matemática. El proceso es tanto un arte como una ciencia, ya que requiere tener criterio con relación a los diferentes parámetros, entre ellos: población, tenencia de automóviles, etc., que constituyen la base de una predicción de viajes. Los métodos utilizados dependen de la disponibilidad de datos, y de las restricciones específicas del proyecto, tales como la disponibilidad de presupuesto y los programas del proyecto. 1.1. Enfoques para la estimación de la demanda. Existen dos situaciones básicas en la estimación para la planificación del transporte. Los estudios de la demanda de viajes para las áreas urbanas, y la demanda de viajes interurbanos. Para los viajes urbanos, cuando se desarrollaron por primera vez en las décadas de los cincuenta y sesentas, requerían de grandes bases de datos usando encuestas domiciliarias, encuestas a un lado del camino o ambas. La información recopilada proporcionaba una idea con relación a las características de quien realizaba el viaje, como: edad, sexo, ingreso, tenencia de automóvil, así como uso de suelo en cada uno de los extremos del viaje y el modo de viaje. Luego se agregaban los datos de viaje por zonas, y/o ser utilizados a un nivel más desagregado o ambas cosas —es decir, en el ámbito familiar o individual— para formular relaciones entre las variables y calibrar los modelos. En el caso interurbano, los datos se agregan en mayor grado a la predicción de viajes, tal como para la población de la ciudad, por ingreso promedio de la ciudad, tiempo de viaje y / o el costo de viaje entre los pares de ciudades. Para la calibración y prueba de modelos de generación de viajes, distribución, selección modal y asignación de tránsito, se usaron las bases de datos que se establecieron en los estudios del transporte urbano durante el periodo 1955-1970. Estos esfuerzos de recolección y calibración de datos implicaron una inversión importante de dinero y recursos de personal, y los estudios necesarios se basaron en la actualización de la base de datos existente y en el empleo de modelos que habían sido desarrollados anteriormente. 1.2. Factores que influyen en la demanda de viajes. Tres factores afectan la demanda de los viajes urbanos: ubicación y la intensidad del uso del suelo; características socioeconómicas de las personas que viven en el área; y alcance, costo y calidad de los servicios disponibles de transporte. Estos factores se incorporan en la mayor parte de los procedimientos de predicción de viajes. Las características del uso del suelo son un determinante primordial de la demanda de viajes. La cantidad de tránsito generada por un área urbana depende de cómo se utilice este terreno. Por ejemplo, centros comerciales, complejos residenciales y edificios de oficinas, producen diferentes patrones de generación de viajes. Las características socioeconómicas de las personas que viven dentro de la ciudad también influyen en la demanda del transporte. Los estilos de vida y los valores, afectan la forma en que las personas deciden cómo usar sus recursos para el transporte. Por ejemplo, un área residencial constituida por trabajadores de altos ingresos, va a generar más viajes por automóvil por persona, que un área residencial poblada principalmente por pensionados. La disponibilidad de las instalaciones y de los servicios de transporte, denominada como la capacidad, también afecta la demanda de los viajes. Los viajeros son sensibles al nivel de servicio suministrado por los modos alternativos de transporte. Cuando se decide viajar o qué modo emplear, se consideran atributos tales 3

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. como tiempo de viaje, costo, comodidad y seguridad. 1.3. Etapas para la estimación de la demanda de viajes. Antes de desarrollar la tarea técnica de la estimación de viajes, debe delimitarse el área de estudio conforme a un conjunto de zonas de tránsito, que formarán la base para el análisis de los movimientos de viaje internos, hacia el área urbana y hacia afuera del área urbana. El conjunto de zonas puede agregarse en unidades más grandes, llamadas distritos, para ciertos análisis o técnicas analíticas que trabajan a estos niveles. También se desarrollan estimaciones de uso del suelo.

Distribución Espacial de los Viajes

Distribución Modal de los Viajes

Figura 1. Proceso para la estimación de viajes. (Fuente REF.1)

La estimación de viajes está únicamente dentro del dominio del planificador de transporte y es una parte integral de los estudios de desarrollo del sitio e ingeniería de tránsito, así como de la planificación del transporte al nivel de área. El enfoque más empleado para predecir la demanda de viajes es el "proceso de cuatro pasos": generación de viajes, distribución espacial de viajes, selección del modo o distribución modal de los viajes y asignación del tránsito.

4

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

2. Generación de viajes. Proceso para determinar el número de viajes que van a comenzar o a terminar en cada zona, dentro de un área de estudio. Cuando los viajes se determinan sin tomar en cuenta el destino, se les denomina viajes. Cada viaje tiene dos finalidades, y éstas se describen en términos del propósito del viaje, esto es, si los viajes son producidos o atraídos por una zona. Por ejemplo, se considera un viaje de la casa al trabajo, éste tiene un punto final producido en, zona residencial y es atraído hacia una zona de actividad productiva. El análisis tiene dos funciones: 1) desarrollar una relación entre la producción de viajes o la atracción y el uso del suelo, y 2) emplear relaciones para estimar el número de viajes generados, bajo un nuevo conjunto de condiciones de uso del suelo, se pueden mencionar dos métodos: 1) la clasificación cruzada y razones basadas en unidades de actividad, y 2) el análisis de regresión, que ha sido aplicado para estimar tanto la producción como la atrac ción. Este método se usa muy poco debido a que depende de datos agregados por zona. Se prefieren los métodos que empleen un análisis desagregado, con base en unidades individuales de muestra tales como personas, familias, ingresos y unidades vehiculares. 2.1. Clasificación cruzada. La clasificación cruzada es una técnica desarrollada por la Administración Federal de Carreteras (FHWA), para determinar el número de viajes que inician o terminan en el hogar. Los viajes que inician en el hogar es un número muy útil porque puede representar una proporción importante de todos los viajes. El primer paso es desarrollar una relación entre las medidas socioeconómicas y la producción de viajes. Las dos variables más empleadas son el ingreso promedio y la tenencia de automóviles. Otras variables que también pueden ser consideradas son: el tamaño de familia y la etapa del ciclo de vida de la familia. Las relaciones se desarrollan con base en los datos de ingresos y en resultados de encuestas origen destino. Ejemplo .1 El desarrollo de las curvas de generación de viajes a partir de datos de la familia Una encuesta de viajes produjo los datos mostrados en la tabla 1. Se entrevistó a 20 familias. La tabla muestra el número de viajes realizados por día para cada una de las familias (numeradas del 1 al 20), así como el correspondiente ingreso familiar, anual y el número de automóviles que tienen. Con base en los datos proporcionados, desarrolle un conjunto de curvas que muestren el número de viajes por familia contra el ingreso y la tenencia de automóviles.

5

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Figura 2. Ingreso promedio por zonas contra familias por categoría de ingresos. FUENTE: Modificado de Computer Programs for Urban Transportation Planning (Programas de computadora para la planificación del transporte urbano), Departamento de Transporte de Estados Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. ( REF.1)

Tabla.1.Datos censales que muestran los viajes por familia, el ingreso y la tenencia de automóviles. Número de familias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Viajes producidos 2 por familia 4 10 5 5 15 7 4 6 13 8 6 9 11 10 11 12 8 8 6

Ingreso por familia (miles16de 24 dólares) 68 44 18 68 38 36 28 76 72 32 28 44 44 52 60 44 52 28

Automóviles por familia 0 0 2 0 1 3 1 0 1 3 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1

Solución: Paso 1. A partir de la información de la tabla 1, produzca una matriz que muestre el número y el porcentaje de familias como una función de la tenencia de automóviles y de las categorías de ingreso (véase la tabla 2). Los valores numéricos en cada celda representan el número de familias observadas en 6

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. cada combinación de categoría de ingreso-tenencia de automóviles. El valor en paréntesis es el porcentaje observado para cada nivel de ingreso. En la práctica real, el tamaño de la muestra - sería cuando menos de 25 puntos de datos por celda, para asegurar la exactitud estadística. Los datos mostrados en la tabla 2 se usan para desarrollar las relaciones entre el porcentaje de familias de cada categoría de tenencia de automóvil y el ingreso familiar, como se ilustra en la figura 3. Paso 2. Una segunda tabla elaborada a partir de los datos de la tabla 1. muestra el número promedio de viajes por familia, contra el ingreso y los automóviles que se tienen. Los resultados que se proporcionan en la tabla 3, se ilustran en la figura 4, e indican la relación entre viajes por familia por día por ingreso y tenen cia de automóviles. La tabla muestra que para un ingreso dado, la generación de viajes aumenta con el número de automóviles que se tienen. En forma similar, para un número dado de automóviles particulares, aumenta la generación de viajes con el aumento del ingreso. Tabla .2 Número y porcentaje de familias en cada categoría de ingreso contra tenencia de automóviles

Ingreso (miles de dólares) 24 24-36 36-48 48-60 > 60 Total

Automóviles en propiedad 0 1 2+ 2(67) 1(33) 0(0) 1(25) 3(50) 1(25) 1(20) 2(40) 2(40) 1(33) 2(67) 1(25) 3(75) 4 8 8

Total 3(100) 5(100) 5(100) 3(100) 4(100) 20

Nota: Los valores en los paréntesis son el porcentaje de automóviles (que se tienen) para cada nivel de ingresos.

Figura 3.Familias por tenencia de automóviles y categoría de ingresos. FUENTE: Modificado de Computer Programs for Urban Transportation Planning (Programas de computadora para la planificación del transpone urbano), Departamento de Transporte de Estados Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. (REF.1)

7

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Paso 3. Como un refinamiento adicional, pueden usarse datos adicionales de origen -destino (que no se muestran en la tabla 1), para determinar el porcentaje de viajes por cada propósito de viaje, para cada categoría de ingreso. Estos resultados se muestran en la figura 5, en la cual se emplean tres propósitos de viajes: al trabajo con base en el hogar (TBH), otros viajes con base en el hogar (OVBH) y viajes que no tiene base en el hogar (VNBH). La terminología se refiere al origen de un viaje ya sea en el hogar o fuera del hogar.

Tabla .3 Promedio de viajes por familia contra ingreso y tenencia de automóviles

Ingreso (miles de dólares) ≤24 24-36 36-48 48-60 > 60

Automóviles en propiedad 1 2+ 0 3 5 --4 6 9 5 7.5 10.5 — 8.5 11.5 --8.5 12.7

Figura 4. Viajes por familia por día como función de la tenencia de automóviles y de la categoría de ingresos. FUENTE: Modificado de Computer Urban Transportation Planning (Programas de computadora la planificación del transporte urbano), Departamento de Transporte de Estados Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. (REF.1)

8

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Figura 5. Viajes por objetivo y categoría de ingresos. FUENTE: Modificado de Computer Programs for Urban Transportation Planning (Programas de computadora para la planificación del transporte urbano), Departamento de Transporte de Estados Unidos, Washington; D.C., abril de 1977. (REF.1)

2.2. Modelo lineal de Generación de Viajes: Si se denomina Xi al vector que contiene las características socio-económicas de la zona i , expresamos los viajes generados ( Gi ) como: Gi = f(Xi) generalmente la f(Xi) se estima como un modelo lineal Gi = α + β1*X1i + β2*X2i + ………+ βi*Xmi (1) El proceso de calibración del modelo consiste en determinar los valores de los parámetros α, βi de modo que el modelo replique de la manera más parecida posible la data observada en el campo. Para esta calibración se requiere: -Medir los viajes generados en cada zona, mediante encuestas y aforos de tránsito. -Obtener la información sobre las variables significativas para cada zona de los censos y bases de datos de y/o encuestas directas en campo. Ejemplo 2 : Aplicación de Regresión lineal múltiple para la estimación de parámetros Las variables que han sido consideradas como significativas para estimar los viajes de automóviles que salen de una zona son: a. Población total de la zona o número de familias. b. Número de autos en la zona o autos por familia. c. Ingreso anual medio. por familia. d. Número de empleos en la zona. Estas variables han sido medidas en las 20 zonas de una región en estudio y serán utilizadas en el modelo de generación de viajes. Además se han realizado aforos de tránsito para medir los viajes interzonales. Los 9

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. aforos permiten comparar si los datos de viajes obtenidos de las encuestas corresponden a los observados en la red. Población (P) 7,950 10,300 8,475 9,220 11,050 9,780 8,002 11,430 13,065 11,055 14,528 12,535 8,800 9,825 12,500 12,930 10,395 13,135 11,265 8,685

Zona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de Autos (A) 1,588 1,824 2,446 2,607 2,331 2,181 1,698 2,798 2,717 1,947 3,244 3,651 2,441 2,631 3,089 3,218 1,855 3,757 2,252 1,533

Ingresos B/ por año 4,197 3,663 6,244 5,888 4,553 4,600 4,476 4,948 4,343 3,650 4,569 6,117 6,089 5,797 5,263 4,998 3,880 6,182 4,111 3,571

Número de empleos 4,839 3,127 2,519 4,498 3,080 4,050 4,656 3,434 3,902 4,573 4,757 3,310 4,188 3,007 3,397 4,763 3,730 2,799 2,781 4,017

Número de viajes 6,956 9,403 9,409 10,359 11,159 10,308 8,216 9,089 12,947 7,212 15,399 12,690 7,048 11,753 13,243 12,344 9,889 14,121 10,705 6,564

Formule y calibre un Modelo Estadístico para estimar la generación de viajes por zona.

Solución : Población

Número de

(P) = X1

Autos (A) = X2

Ingresos B/ por año ( I ) = X3

Número de empleos ( E ) = X4

Número de viajes ( G ) = Y

Modelo General : Y = a + b1*X1 + b2*X2 + b3*X3 + b4*X4 Calibración por regresión lineal múltiple. ∑=

214925

49808

97139

75427

208814

X1

X2

X3

X4

Y

Ȳ=

10440.70

X1*X2

X1*X3

X1*X4

X2*X3

X2*X4

X3*X4

X1^2

X2^2

12624600

33366150

38470050

6664836

7684332

20309283

63,202,500

2,521,744 10

18787200 20729850 24036540 25757550 21330180 13587396 31981140 35497605 21524085 47128832 45765285 21480800 25849575 38612500 41608740 19282725 49348195 25368780 13314105

37728900 52917900 54287360 50310650 44988000 35816952 56555640 56741295 40350750 66378432 76676595 53583200 56955525 65787500 64624140 40332600 81200570 46310415 31014135

32208100 21348525 41471560 34034000 39609000 37257312 39250620 50979630 50554515 69109696 41490850 36854400 29543775 42462500 61585590 38773350 36764865 31327965 34887645

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 6681312 5703648 11454201 106,090,000 3,326,976 15272824 6161474 15728636 71,825,625 5,982,916 15350016 11726286 26484224 85,008,400 6,796,449 10613043 7179480 14023240 122,102,500 5,433,561 10032600 8833050 18630000 95,648,400 4,756,761 7600248 7905888 20840256 64,032,004 2,883,204 13844504 9608332 16991432 130,644,900 7,828,804 11799931 10601734 16946386 170,694,225 7,382,089 7106550 8903631 16691450 122,213,025 3,790,809 14821836 15431708 21734733 211,062,784 10,523,536 22333167 12084810 20247270 157,126,225 13,329,801 14863249 10222908 25500732 77,440,000 5,958,481 15251907 7911417 17431579 96,530,625 6,922,161 16257407 10493333 17878411 156,250,000 9,541,921 16083564 15327334 23805474 167,184,900 10,355,524 7197400 6919150 14472400 108,056,025 3,441,025 23225774 10515843 17303418 172,528,225 14,115,049 9257972 6262812 11432691 126,900,225 5,071,504 5474343 6158061 14344707 75,429,225 2,350,089

5.54E+08 1045926709 807983948 249732483 185635231 362250523 2379969813 132312404 X1*X2

X1*X3

X1*X4

X2*X3

X2*X4

X3*X4

X1^2

X3^2

X4^2

X1*Y

X2*Y

X3*Y

X4*Y

17,614,809 13,417,569 38,987,536 34,668,544 20,729,809 21,160,000 20,034,576 24,482,704 18,861,649 13,322,500 20,875,761 37,417,689 37,075,921 33,605,209 27,699,169 24,980,004

23,415,921 9,778,129 6,345,361 20,232,004 9,486,400 16,402,500 21,678,336 11,792,356 15,225,604 20,912,329 22,629,049 10,956,100 17,539,344 9,042,049 11,539,609 22,686,169

55300200 96850900 79741275 95509980 123306950 100812240 65744432 103887270 169152555 79728660 223716672 159069150 62022400 115473225 165537500 159607920

11046128 17151072 23014414 27005913 26011629 22481748 13950768 25431022 35176999 14041764 49954356 46331190 17204168 30922143 40907627 39722992

29194332 34443189 58749796 60993792 50806927 47416800 36774816 44972372 56228821 26323800 70358031 77624730 42915272 68132141 69697909 61695312

33660084 29403181 23701271 46594782 34369720 41747400 38253696 31211626 50519194 32980476 73253043 42003900 29517024 35341271 44986471 58794472

X2^2

11

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 15,054,400 13,912,900 102796155 18344095 38369320 36885970 38,217,124 7,834,401 185479335 53052597 87296022 39524679 16,900,321 7,733,961 120591825 24107660 44008255 29770605 12,752,041 16,136,289 57008340 10062612 23440044 26367588 487857335 295278811 2321336984 545920897 1029441681 778886453 X3^2

X4^2

X1*Y

X2*Y

X3*Y

X4*Y

Resolviendo el sistema lineal: 20

214925

a

208814

214925 2379969813 553615683 1045926709 807983948

b1

2321336984

49808

553615683 132312404 249732483 185635231

b2

97139

1045926709 249732483 487857335 362250523

b3

1029441681

75427

807983948 185635231 362250523 295278811

b4

778886453

a= b1= b2= b3= b4=

49808

-6253.58 1.32 -1.01 1.21 -0.23

97139

Sa = Sb1= Sb2= Sb3= Sb4= SY=

75427

9067.41 0.85 3.34 1.58 0.43 1294.50

R^2= F= Gl = Ssreg = SSresid =

=

545920897

0.79 14.39 15.00 96470950.58 25135783.62

Donde a , b1 , b2 , b3 , b4 son los parámetros del modelo ; Sa , Sb1 , Sb2 , Sb3 , Sb4 , SY son las desviaciones estándares que se usaran para evaluar la significancia de las variables y la consistencia del modelo ; R^2 coeficiente de determinacion del modelo , F de FISHER , Gl grados de libertad , Ssreg suma de regresión de los cuadrados., SSresid suma residual de los cuadrados. MODELO : Y = -6253.58 + 1.32*X1 -1.01*X2 + 1.21*X3 -0.23*X4 G = -6253.58 + 1.32*P -1.01*A + 1.21*I -0.23*E

Zona 1 2

Yi 6,956 9,403

Ŷi 6614.43 9223.31

Yi-Ŷi 342 180

(Yi-Ŷi)^2 116,671.74 32,289.50

(Yi-Ȳ)^2 12,143,134.09 1,076,821.29

(Ŷi-Ȳ)^2 14,640,360.93 1,482,045.23 12

9,409 10,359 11,159 10,308 8,216 9,089 12,947 7,212 15,399 12,690 7,048 11,753 13,243 12,344 9,889 14,121 10,705 6,564

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

9458.92 9392.90 10792.38 9101.78 6952.69 11220.95 12618.49 9747.36 14095.42 13265.92 9321.06 10399.42 12730.16 12532.06 9442.00 14147.13 10688.29 7069.35

-50 966 367 1,206 1,263 -2,132 329 -2,535 1,304 -576 -2,273 1,354 513 -188 447 -26 17 -505 ∑=

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 2,492.12 1,064,404.89 963,889.71 933,355.28 6,674.89 1,097,891.42 134,407.12 515,954.89 123,681.80 1,454,973.71 17,609.29 1,792,714.56 1,595,954.22 4,949,290.09 12,166,219.45 4,545,202.57 1,827,092.89 608,787.05 107,919.93 6,281,539.69 4,742,761.93 6,428,031.80 10,424,503.69 480,725.42 1,699,319.15 24,584,738.89 13,356,982.96 331,679.41 5,059,350.49 7,981,846.31 5,166,798.17 11,510,413.29 1,253,595.50 1,832,169.37 1,722,131.29 1,703.75 263,002.76 7,852,885.29 5,241,636.48 35,366.59 3,622,550.89 4,373,786.89 199,812.83 304,372.89 997,410.25 682.53 13,544,608.09 13,737,587.97 279.08 69,854.49 61,302.95 255,375.74 15,028,802.89 11,366,020.02 Ssres SSt Ssreg 25,135,783.62

121,606,734.20 96,470,950.58

( SSt = Ssres + Ssreg ) R^2 = 1 - Ssres/SSt

0.000 0.7933027

Gráfico de errores (residuos )

VIAJES 18,000 16,000 14,000 12,000 10,000

Yi Datos originales

8,000 6,000

yi Datos Calculados

4,000 2,000 0 0

5

10

15

20

25

ZONAS

3. Distribución de viajes. 13

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Es un proceso mediante el cual los viajes generados en una zona, se asignan a otras zonas en el área de estudio. Por ejemplo, si el análisis conduce a una estimación de 200 viajes TBH en la zona 1, entonces el análisis determinará cuántos de esos viajes se hacen entre la zona 1 y todas las demás zonas. Se usan varios métodos se encuentran el modelo de gravedad, los modelos de factor de crecimiento y el de oportunidades de intervención. Se prefiere el modelo de gravedad porque emplea los atributos del sistema de transporte y las características de uso del suelo. El modelo ha sido calibrado para muchas áreas urbanas. También ha alcanzado un uso casi universal debido a su simplicidad, exactitud y el apoyo proveniente del Departamento de Transporte de Estados Unidos. Los modelos de factor de crecimiento, que se usaron ampliamente en las décadas de los cincuenta y sesenta, requieren que se conozca la matriz de origen-destino para el año base (o actual), así como una estimación del número de viaje internos para cada zona. También están disponibles el modelo de oportunidades de intervención y otros modelos, pero no se usan ampliamente en la práctica. 3.1. Modelo de gravedad. Es el más documentado y ampliamente usado. Establece que el número de viajes entre dos zonas es directamente proporcional al número de viajes atraídos por la zona de destino e inversamente proporcional a una función del tiempo de viaje entre estas dos zonas. Matemáticamente, el modelo de gravedad se expresa como (2) ∑ Donde Tij Pi Aj Fij Kij

número de viajes que se producen en la zona i y son atraídos por la zona j número total de viajes producidos en la zona i número de viajes atraídos por la zona j valor de la función inversa del tiempo de viaje factor de ajuste socioeconómico para el intercambio ij

Los valores de Pi y Aj han sido determinados en el proceso de generación de viajes. La suma de Pi para todas las zonas debe ser igual a la suma de Aj para todas las zonas. Los valores de Kjj se usan cuando el intercambio estimado de viajes, debe ajustarse para asegurar que concuerda con el intercambio observado de viajes. Los valores de Fij se determinan mediante un proceso de calibración, en el cual los valores de generación de viajes tal como se midieron en la encuesta de origen-destino, se distribuyen usando el modelo de gravedad. Después de que cada proceso de distribución es completado, el porcentaje de viajes en cada categoría de viaje, producido por el modelo de gravedad, se compara con el porcentaje de viajes registrado en la encuesta de origen-destino. Si los porcentajes no concuerdan, entonces se ajustan los factores Fij que se usaron en el proceso de distribución y se realiza otra distribución de viajes con el modelo de gravedad. El proceso de calibración continúa hasta que concuerden los porcentajes de duración del viaje.

El modelo de gravedad recibe su nombre del hecho que es conceptualmente basado en la ley de Newton de gravitación de los estados de la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas de los dos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos, o (3) Se han aplicado variaciones de esta fórmula a muchas situaciones que involucran la interacción humana. Por ejemplo, el volumen de llamadas telefónicas largas distancias entre las ciudades puede planearse de esta manera, con los tamaños de la población de las ciudades que reemplazan las masas de partículas y la distancia 14

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. entre ciudades o el costo de llamadas telefónicas que tienen lugar. El exponente del término de impedancia en el denominador, sin embargo, no necesita ser precisamente igual a 2 pero puede reemplazarse por un parámetro ejemplar c. Para los viajes con motivo de trabajo originados en una zona, la mayor atracción la ejercen las zonas que albergan una mayor cantidad de empleos. Para los viajes con motivo turístico o recreacional, la mayor atracción la ejercen zonas con facilidades recreacionales ( playas, campos, hoteles campestres, etc.). Otro factor que afecta la distribución de los viajes es la distancia o el tiempo de viaje o el costo de viaje ( puede ser una combinación de estos valores ). Ante grados de atracción similar, los destinos que implican menores costos (menos tiempo, distancia, costo) serán preferidos. Estás relaciones dan origen a los modelos llamados de gravedad, de la siguiente forma: (4) donde : Gi : total de viajes generados en la zona i Aj : grado de atracción de la zona j ( número de empleos, facilidades turísticas, mercado de consumo, etc..) Rij : costo ( tiempo, distancia, costo) de viajar desde la zona i hasta j.

K, α : parámetros del modelo.

El modelo se puede calibrar mediante análisis de regresión si se transforman las variables de la siguiente forma:

(

)

Ejemplo 3 : Numero de viajes de la zona A con respecto a otras zonas. Los viajes con motivo de trabajo en una zona se distribuyen hacia las zonas adyacentes en función del número de empleos (NE) de cada zona. Determine el número de viajes esperados entre la Zona A y el resto de las zonas de la región en estudio. El modelo de distribución espacial calibrado tiene la forma: Donde:

(



T ij : viajes por día entre las zonas i y j con motivo de trabajo.



Gi : viajes generados en la zona i.



Aj : atracción de viajes en la zona j, medida por el número de empleos.

)

15



Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. dij : distancia entre las zonas i y j, en kilómetros.

Zona B NE =6000

2.1 Km

Zona C NE =12000

3.0 Km NE A 63000 Zona viajes producidos por dia

NE

6.0 Km Zona D NE =21000

1.5 Km

Zona F NE =5000

3.0 Km Zona NE E NE =14000

5.3 Km

Zona NE G NE =5000

NE

NE

Solución: GA = 63000 viajes/día (

) (

)

(

) (

)

(

,

) (

)

(

)

(

,

)

, ,

(

) (

)

(

) (

)

GA = TAB + TAC + TAD + TAE + TAF + TAG ( 1.0=K*(923.875822371) TAB = 26246.72 TAC = 13931.01 TAD = 16239.33 TAE = 3928.69 TAF = 2213.31 TAG = 440.92

) K= 1.08239654701x10-3 = = = = = =

26247 viajes/día 13931 viajes/día 16239 viajes/día 3929 viajes/día 2213 viajes/día 441 viajes/día 16

Verificación

GA = ∑Tij

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 63000 = 26247+13931+16239+3929+2213+441

En la figura 6 se ilustran los valores de F para las calibraciones de un modelo de gravedad. (Normalmente esta curva es una gráfica semilogarítmica.) Los valores de F también pueden determinarse con el uso de valores de tiempo de viaje y una relación inversa entre F y t. Por ejemplo, la relación para F puede adoptar la forma de t-1, t-2, e– t, etc., ya que los valores de F disminuyen a medida que aumenta el tiempo de viaje. El factor socioeconómico Kij, se usa para hacer ajustes en los valores de distribución de viajes entre zonas, en las cuales son importantes las diferencias entre el valor estimado y el valor real. El valor de K se conoce como el "factor socioeconómico" ya que contempla a otras variables además del tiempo de viaje. Los valores de K se determinan en el proceso de calibración, pero debe aplicarse con cuidado cuando se considera que una zona posee características únicas.

Figura 6. Calibración de los factores F. FUENTE: Computer Programs for Urban Transportation Planning (Programas de computadora para la planificación del transporte urbano), Departamento de Transporte de Estados Unidos, Washington, D.C., abril de 1977. (REF.1)

Ejemplo 4. Uso de los factores F calibrados y de la iteración Para ilustrar la aplicación del modelo de gravedad, considere un área de estudio que consta de tres zonas. Los datos se han determinado como sigue. Se ha calculado el número de viajes producidos y atraídos para cada zona, mediante los métodos descritos en la sección de generación de viajes, y se ha determinado el tiempo promedio de viaje entre cada zona. Ambos se muestran en las tablas 4 y 5. Suponga que Kij es igual a uno para todas las zonas. Finalmente, se han calibrado los valores de F como se describió anteriormente y se muestran en la tabla 6 para cada incremento del tiempo de viaje. Observe que el tiempo de viaje intrazonal para la zona 3 es mayor que la mayoría de los tiempos intrazonales restantes, debido a las características geográficas de la zona y a la falta de acceso dentro del área. Esta zona podría representar las condiciones de un área congestionada. 17

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Solución: Paso 1.Determinar el número de viajes entre cada zona con el uso del modelo de gravedad y los datos dados. (Nota: Fij se obtiene al usar los tiempos de viaje de la tabla 5 y seleccionando el valor correcto de F de la tabla 6. Por ejemplo, si el tiempo de viaje es de 2 minutos entre las zonas 1 y 2. El valor correspondiente de F es 52.)

Tabla 4. Producción y atracción de viajes para un área de estudio de tres zonas

Zona Producciones de viajes Atracciones de viajes

Tabla 5.

1

2

3

Total

140 300

330 270

280 180

750 750

Tiempo de viaje entre zonas (minutos) 1 5 2 6

Zona 1 2 3

2 2 6 6

3 3 6 5

Use la ecuación 2. ∑

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Paso 2. Haga cálculos similares para las zonas 2 y 3. T2-1 = 188 ; T2-3 = 85 ; T2-3 = 57 ; P2 = 330 18

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. T3-1 = 144 ; T3-2 = 68 ; T3-3 = 68 ; P3 = 280 Paso 3. Resuma los resultados como, se muestra en la tabla 7. Observe que la suma de la producción de viajes en cada zona es igual al número de viajes producidos, dados en el enunciado del problema. Sin embargo, el número estimado de viajes atraídos en la fase de distribución difiere del número de viajes atraídos dados. Para la zona 1, el número correcto es 300, mientras que el valor calculado es 379. Los valores para la zona 2 son 270 contra 210, y para la zona 3 son 180 contra 161.

Tabla 6. Tiempo de viaje contra factor de fricción. Tiempo (minutos) F 1 82 2 52 3 50 4 41 5 39 6 26 7 20 8 13 Nota: Los valores de F se obtuvieron del proceso de calibración.

Zona 1 2 3 A calculada A dato

Tabla 7. Viajes de zona a zona: primera iteración 1 2 3 47 57 36 188 85 57 144 68 68 379 210 161 300 270 180

P 140 330 280 750 750

Paso 4. Calcule los factores de atracción ajustados de acuerdo con la fórmula (5) ( ) (

)

Ajk = factor ajustado de atracción para la zona de atracción (columna) j, iteración k Ajk = Aj cuando k = 1 Cjk = atracción total actual (columna) para la zona j, iteración k Aj = atracción total deseada para la zona de atracción (columna) j j = número de zona de atracción, j = 1, 2,...., n n = número de zonas k = número de iteración, k = 1, 2,...., m m = número de iteraciones Paso 5. Para producir un resultado matemáticamente correcto, repita los cálculos de la distribución de viajes con el uso de valores de atracción modificados, de modo que el número de viajes atraídos serán aumentados o disminuidos como se requiera. Para la zona 1, por ejemplo, los viajes atraídos estimados fueron demasiado grandes. Por tanto, los nuevos factores de atracción se ajustan hacia abajo multiplicando el valor de atracción original, por la relación del valor de atracción original entre el estimado. 19

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Paso 6. Aplique la fórmula del modelo de gravedad (ecuación 2) en cada iteración para calcular los intercambios zonales de viaje, con el uso de los factores de atracción ajustados obtenidos de la iteración anterior. En la práctica, la fórmula del modelo de gravedad se transforma en (

) (6)

∑

donde Tijk es el intercambio de viajes entre i y j para la iteración k, y Ajk = Aj para k = 1. El subíndice j recorre un ciclo completo cada vez que k cambia, e i recorre un ciclo completo cada vez que j cambia. La fórmula anterior se encierra entre paréntesis y el subíndice indica que el proceso completo se realiza para cada propósito de viaje. Paso7. Realice una segunda iteración con el uso de los valores de atracción ajustados.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Paso 8. Haga cálculos similares para las zonas 2 y 3. T2-1 = 153 ; T2-2 = 112 ; T2-3 = 65 ; P2 = 330 T3-1 = 116 ; T3-2 = 88 ; T3-3 = 76 ; P3 = 280 Paso 9. Liste los resultados como se muestra en la tabla 8. Observe que en cada caso, la suma de los viajes atraídos está ahora mucho más cerca al valor dado. El proceso continua hasta que haya una concordancia razonable (menor al 5 por ciento) entre el valor de A que se estima con el uso del modelo de gravedad, y los valores que se suministran en la fase de generación de viajes. Tabla 8. Viajes de zona a zona: segunda iteración Zona 1 2 3

P 20

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 1 2 3 A calculada A dato

34 153 116 303 300

68 112 88 268 270

38 65 76 179 180

140 330 280 750 750

3.2. Modelos de factor de crecimiento La distribución de viajes también puede calcularse cuando los únicos datos disponibles son el origen y el destino entre cada zona para el año base o actual, y los valores de generación de viajes para cada zona para el año siguiente. Este método se usó ampliamente cuando se disponía de los datos de origen-destino, pero el modelo de gravedad y la calibración de los factores F no eran operacionales todavía. Los modelos de factor de crecimiento se usan principalmente para distribuir los viajes entre las zonas en el área de estudio y las zonas exteriores al área de estudio. Ya que dependen de una matriz origen-destino existente, no puede usarse para predecir el tránsito entre zonas en las cuales no hay datos de tránsito actualmente. Además, la única medida de la fricción de viaje es la cantidad de viajes actuales. Entonces, el método del factor de crecimiento no puede reflejar los cambios del tiempo de viaje entre las zonas, como es el caso del modelo de gravedad. El modelo de factor de crecimiento más conocido es el método Fratar, que es una fórmula matemática que proporciona estimaciones de generación de viajes para cada zona, como una función del producto del número Tij de viajes actuales entre las dos zonas y el factor de crecimiento Gj de la zona de atracción. Entonces, (

)∑

(7)

Donde Tij = número de viajes estimados de la zona i a la zona j ti = generación actual de viajes en la zona i Gx = factor de crecimiento de la zona x Ti= tiGi = generación futura de viajes en la zona i tix = número de viajes entre la zona i y otras zonas x tij = viajes actuales entre la zona i y la zona j Gj = factor de crecimiento de la zona j Ejemplo 5. Predicción de viajes con el uso del modelo Fratar Un área de estudio consta de cuatro zonas (A, B, C y D). La encuesta de origen-destino indica que el número de viajes entre cada zona es como se muestra en la tabla 9. Las estimaciones para la planificación del área, indican que en cinco años el número de viajes en cada zona, se va a incrementar de acuerdo con el factor de crecimiento mostrado en la tabla 10, y que la generación de viajes se va a incrementar hasta las cantidades registradas en la columna D de la tabla. Determine el número de viajes entre cada zona para las condiciones futuras. Solución: Usando la fórmula Fratar (ecuación 7.), se puede calcular el número de viajes entre las zonas A y 21

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. B, A y C, A y D, etc. Observe que se obtienen dos valores para cada par de zonas (es decir, TAB y TBA ). Estos valores se promedian, obteniéndose un valor TAB = (TAB + TBA) / 2. Los cálculos son como sigue: (

(

)

)

∑

(

(

) )

(

(

) )

̅

Cálculos similares arrojan

̅

̅

̅

̅

Tabla 9. Generación de viajes actuales y factores de crecimiento Generación de viajes actuales (viajes/día)

A B C D Zona

A

A B C D Total

400 100 100 600

B

C 400 100 — 300 300 — — 300 700 700 Tabla 11. Primera estimación de viajes entre zonas

C Zona A B C D

Factor de crecimiento

Generación de viajes en cinco años 1.2 600 720 1.1 700 770 1.4 700 980 1.3 400 520 Tabla 10. Presentación de viajes entre zonas

Zona

AA — 428 141 124

Totales 693

D

B B 428 — 372 —

C

D

141 372 — 430

124 — 430 —

800

943

554

Generación total de viajes estimada 693 800 943 554

D 100 — 300 — 400

Generación de viajes actuales 720 770 980 520

Tabla 12. Factores de crecimiento para la segunda iteración Zona

Generación estimada de viajes

Generación de viajes actuales Factor de crecimiento

22

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. A B C D

693 800 943 554

720 770 980 520

1.04 0.96 1.04 0.94

Los resultados de los cálculos anteriores, han producido la primera estimación (o iteración) de la distribución de viajes y se muestran en la tabla 11. Sin embargo, observe que el total de cada zona no es igual al valor de generación de viajes futuros como se afirmó anteriormente. Por ejemplo, la generación de viajes en la zona A se estima en 693 viajes, mientras que el valor correcto es de 720 viajes. En forma similar, la estimación para la zona B es de 800 viajes, mientras que el valor deseado es de 770 viajes. Ahora se prosigue con una segunda iteración, en la cual los datos de entrada son el número de viajes entre las zonas como se calculó anteriormente. También se calculan nuevos factores de crecimiento como la relación de la generación de viajes esperada en cinco años entre la generación de viajes estimada en el cálculo anterior. Los valores se dan en la tabla 12. Los cálculos de la segunda iteración los cuales pueden repetirse tantas veces como sea necesario hasta que concuerden los valores de generación de viajes estimados y los reales se realizan de igual manera.

4. Selección del modo o Distribución modal. Es el aspecto que determina el número (o el porcentaje) de viajes entre las zonas, que se, realizan en automóvil y en transporte público. La selección de un modo o de otro, es un proceso complejo que depende de factores tales como ingreso del viajero, disponibilidad del servicio del transporte colectivo o de la tenencia de automóviles, y las ventajas relativas de cada modo en términos de tiempo de viaje, costo, comodidad, conveniencia y seguridad. Los modelos de selección del modo intentan reproducir las características relevantes del viajero, del sistema de transporte y del mismo viaje, de modo que se obtiene una estimación realista del número de viajes para cada modo y para cada par de zonas. Modelos para selección modal Ya que el transporte público es un factor importante, sobre todo en las ciudades más grandes, los cálculos de selección de modo pueden solamente incluir los intercambios de viaje entre automóvil y transporte público. Dependiendo del nivel de detalle requerido, se usan tres tipos de procedimientos de estimación: 1) viajes de transporte por generación directa, 2) modelos de viaje y 3) los modelos de intercambio modal. 4.1. Métodos de generación directa. Los viajes de transporte se generan en forma directa, estimando los viajes por el total de personas o los viajes por el número de conductores de automóvil. La figura 7 es una gráfica que ilustra la relación entre los viajes de transporte por día por 1000 habitantes y el número de personas por acre contra la tenencia de automóviles. A medida que aumenta la densidad de la población, puede esperarse que también aumente el número de usuarios de los medios de transporte, para un nivel dado de tenencia de automóviles.

23

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Figura 7. Número de viajes de transporte por densidad de población y tenencia de automóviles por familia. ((REF.1)

Ejemplo 6. Estimación de la selección del modo mediante la generación directa de viajes. Determine el número de viajes de transporte por día en una zona que tiene 5000 personas viviendo en 50 acres. La tenencia de cero automóviles por familia, es del 40 por ciento y del 60 por ciento para la tenencia de un automóvil por familia. Solución: Calcular el número de personas por acre: 5000/50 = 100. Entonces determinar el número de viajes por transporte por día por 1000 personas (de la figura 12), para calcular el total de viajes por transporte por día para la zona. cero automóviles/familia: 510 viajes/día/1000 habitantes un automóvil/familia: 250 viajes/día/1000 habitantes Total de viajes de transporte: (0.40)(510)(5) + (0.60)(250)(5) = 1020 + 750 = 1770 viajes de transporte por día Este método supone que los atributos del sistema no son importantes. No se consideran factores como tiempo de viaje, costo y la comodidad. Estos modelos llamados de predistribución son aplicables cuando el servicio de transporte público es malo y los viajeros son "cautivos", o cuando el servicio de transporte público es excelente y la "selección" favorece claramente al transporte público. Cuando las vías rápidas y los modos de transporte público "compiten" por los conductores de automóvil, entonces se deben considerar los factores del sistema. 4.2. Los modelos de viaje Determinan el porcentaje de personas o de viajes de automóvil que usarán el transporte público. Las estimaciones se hacen antes de la fase de distribución de viajes y se basan en el uso del suelo o las características socioeconómicas de la zona. No incorporan la calidad del servicio. El procedimiento es el siguiente: 1. Generar el total de viajes personales producidos y atraídos por propósito de viaje. 2. Calcular el factor de viaje urbano. 3. Determinar el porcentaje de estos viajes para transporte público con el uso de una curva de selección de modo 24

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. (véase la figura 8). 4. Aplicar los factores de ocupación de automóvil. 5. Distribuir los viajes en transporte público y en automóvil por separado. El modelo de selección de modo mostrado en la figura 8, se basa en dos factores: familias por auto y personas por milla cuadrada. El producto de estas variables se llama el factor de viaje urbano (FVU). El porcentaje de viajes por transporte público va a aumentar hasta adoptar la forma de curva S a medida que aumenta el FVU.

Figura 8. Partición por modo de transporte contra el factor de viajes urbanos. ((REF.1)

4.3. Los modelos de intercambio de viajes. Incorporan variables del nivel de servicio del sistema como: el tiempo de viaje, costo de viaje, situación económica del viajero y el relacionado con el servicio de viaje. Enseguida se describe un modelo de este tipo, el método QRS. Este modelo ilustra los elementos básicos que se consideran en la estimación de la selección del modo. 4.3.1. El método QRS se basa en la siguiente relación: (8) (

)

(9)

Donde MSt = proporción de viajes entre la zona í y la j que usan el transporte público MSa = proporción de viajes entre la zona i y la j que usan el automóvil Iijm = valor conocido como la impedancia del modo de viaje m, entre i y j, que es una medida del costo total del viaje. [Impedancia = (tiempo en minutos dentro del vehículo) + (2.5 X exceso de tiempo en minutos) + (3 X costo del viaje, $/ingreso /minuto)] b = exponente, que depende del propósito del viaje m = t para el modo de transporte; a para el modo automóvil 25

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. el tiempo dentro del vehículo es el tiempo que se pasa viajando en el vehículo y el exceso de tiempo, es el tiempo que se pasa viajando pero no en el vehículo (esperando, caminando, etcétera). El valor de la impedancia se determina para cada par de zonas y representa una medida del gasto requerido para hacer el viaje ya sea en automóvil o en transporte público. Los datos requeridos para la estimación de la selección del modo incluyen: 1) distancia entre zonas mediante automóvil y transporte público, 2) tarifa del transporte público, 3) costo del automóvil al contado, 4) costo de estacionamiento, 5) velocidad en carretera y de crucero, 6) valores del exponente b, 7) ingreso medio y 8) el exceso de tiempo, que incluye el tiempo requerido para caminar hacia un vehículo de transporte público y el tiempo de espera o de trasbordo. Suponga que el tiempo trabajado por año es de 120 000 minutos. Ejemplo 7. Cálculo de la selección del modo con el uso del modelo QRS Para ilustrar la aplicación del método QRS, suponga que los datos mostrados en la tabla 13. han sido desarrollados para un viaje entre una zona suburbana S y una zona D en el centro. Determinar el porcentaje de viajes por trabajo en automóvil y en transpone público. Usar un valor de 2.0 para el exponente de los viajes al trabajo. El ingreso medio es de 12 000 dólares por año. Tabla 13. Datos de viaje entre dos zonas, S y D

Distancia Costo por milla Exceso de tiempo Costo del estacionamiento Velocidad

Automóvil

Transporte público

10 mi $0.15 5 min $1.50 (o 0.75/viaje) 30 mi/h

8 mi $0.10 8 min ------20 mi/h

Solución: Use la ecuación 8.

(

(

)

)

(

(

)

)

[(

{

)

(

{

(

)

]

}

}

) 26

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Entonces la selección del modo de viaje por transporte público entre las zonas S y D es de 68.4 por ciento, y por vialidad rápida el valor es de 31.6 por ciento. Estos porcentajes se aplican a los valores estimados de distribución de viaje, para determinar el número de viajes para cada modo. Si, por ejemplo, el número de viajes al trabajo entre las zonas S y D se calcula como 500, entonces el número por automóvil sería 500 X 0.316 = 158, y por transporté público el número de viajes sería 500 X 0.684 = 342. 4.3.2. Modelos lógicos. Un enfoque alternativo que se usa para el análisis de la demanda del transporte, es considerar la utilidad relativa de cada modo como una suma de cada atributo modal. Entonces la selección de un modo se expresa como una distribución de probabilidad. Por ejemplo, suponga que la utilidad de cada modo es ∑

(10)

donde Ux = utilidad del modo x n = número de atributos Xi = valor del atributo (tiempo, costo, etc.) ai = valor del coeficiente del atributo i (negativo, ya que los valores son desutilidad) Entonces si se consideran 2 modos, automóvil (A) y transporte público (T), la probabilidad de seleccionar el modo A, automóvil puede escribirse como ( )

(11)

Esta forma es llamada el modelo lógico y proporciona una forma conveniente de calcular la selección del modo. Los modelos de selección se utilizan dentro del proceso de planificación del transporte urbano, pero también se emplean en los estudios de mercado para transporte público y en la estimación directa de la demanda de viajes. En la figura 9 se muestra la gráfica de una curva lógica.

Figura 9. Selección modal de transporte público contra automóvil.(Fuente REF.1)

27

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Ejemplo 8. Uso del modelo lógico para calcular la selección del modo Las funciones de utilidad para automóvil y para transporte público son las siguientes:

donde T1 = tiempo total de viaje (minutos) T2 = tiempo de espera (minutos) C = costo (centavos) Las características de viaje entre dos zonas son las siguientes:

T1 T2 C

Automóvil 20 8 320

Transporte público 30 6 100

Solución: Use el modelo lógico para determinar el porcentaje de viajes en la zona, para automóvil y para transporte público. ∑ ( (

) ( ) (

) ( ) (

) )

El uso de la ecuación 8 .

El propósito de un modelo de selección de modo es predecir la opción de producción-viaje del modo de viaje. Los factores que explican esta conducta incluyen: 1. Las características de producción-viaje 2. Las características del viaje 3. Los atributos de modos disponibles de viaje

28

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. La distribución modal se estima en base a la funciones de utilidad de cada modo, las cuales reflejan los atributos ( tiempo, costo, seguridad, confiabilidad, confort, etc. ). Estas funciones, extraídas de la teoría microeconómica, son de la forma : UK = a0 + a1*Ck + a2*Tk + ………. Donde : Uk : función de utilidad del modo k. Ck : costo del modo k. Tk : tiempo del modo k. a0 + a1 + a2 : parámetros del modelo.

Y la función de estimación modal es : ∑ Donde : Pk : Probabilidad de que el usuario utilice el modo k Uk : función de utilidad del modo k M: Total de modos disponibles. En caso de dos modos una carretera y un ferrocarril para enviar carga el modelo seria:

y

PC = 1 – PF

Si se reescribe el modelo: (

)

y

(

)

Definiendo las funciones de utilidad: UC = a0 + a1*CC + a2*TC UF = a1*CF + a2*TF NOTA : El termino independiente a0 no se incluye en las dos funciones porque desaparecería de la estimación. Este término representa la preferencia de un modo sobre otro debido a todas las variables no incluidas en el modelo. 29

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. De modo que la función de selección modal para el ferrocarril puede expresarse como : (

)

(

)

(

)

Y en este caso de dos o más modos, el modelo puede calibrarse mediante análisis de regresión lineal múltiple por mínimos cuadrados. (

)

(

)

Ejemplo 9. Porcentaje de usar un modo y su utilidad.

Las encuestas realizadas a las empresas que envían carga hacia el puerto en una región de alta producción indican los costos y tiempos de entrega de la mercancía por los modos disponibles (Ferrocarril y Camiones) que se muestran en la siguiente tabla. Para cada zona de embarque se determinó la fracción del mercado que es absorbida por el Ferrocarril y por los Camiones. Asignación: a. Formule y calibre un modelo matemático para estimar el porcentaje de de la carga que toma el Ferrocarril y los Camiones en función del costo y tiempo de entrega. b.

Represente mediante una gráfica la fracción del mercado que toma cada modo como función de sus atributos (Utilidades).

c.

Cómo cambiará la proporción de la demanda de carga que obtendrá cada modo en la zona 7 si el servicio de transporte cambia como sigue: Cc = $135.00/Contenedor CFc = $115.00/Contenedor Tc = 8 horas TF c = 1 3 h o r a s Zona de carga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Porcentajes PFc PC 0.4 0.6 0.23 0.77 0.28 0.72 0.35 0.65 0.3 0.7 0.44 0.56 0.52 0.48 0.48 0.52 0.36 0.64 0.32 0.68 0.6 0.4 0.25 0.75

Tiempo (Hr) Costos ($/Contenedor) camiones ferrocarril camiones ferrocarril 110 90 8 11.5 85 80 10 12.5 80 70 9 13 70 55 6 7.5 75 65 7.5 10 90 70 7 8 135 110 12 15 150 125 16 20 125 110 13 16 135 120 14 16 95 70 10 11 80 75 11 13

30

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Solución: a. Formulación y Calibración del modelo:

y (

)

P F = 1 – PC (

y

)

UF = a0 + a1*CF + a2*TF UC = a1*CC + a2*TC (

(

) (

1/PFc-1 1.50 3.35 2.57 1.86 2.33 1.27 0.92

1/Pc-1 0.67 0.30 0.39 0.54 0.43 0.79 1.08

) )

(

(

)

)

YC

X1

X2

ln(1/Pc-1) -0.41 -1.21 -0.94 -0.62 -0.85 -0.24 0.08

(CFc - CC) -20 -5 -10 -15 -10 -20 -25

(TFc -TC) 3.5 2.5 4 1.5 2.5 1 3 31

1.08 1.78 2.13 0.67 3.00

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. -0.08 -25 4 -0.58 -15 3 -0.75 -15 2 0.41 -25 1 -1.10 -5 2

0.92 0.56 0.47 1.50 0.33 ∑

=

-6.29

X1*YC 8.11 6.04 9.44 9.29 8.47 4.82 -2.00 2.00 8.63 11.31 -10.14 5.49

X2*YC -1.42 -3.02 -3.78 -0.93 -2.12 -0.24 0.24 -0.32 -1.73 -1.51 0.41 -2.20

∑= 61.47

∑= -16.61

12.00

-190.00

30.00

ao

-190.00

3600.00

-475.00

a1

30.00

-475.00

87.00

a2

-190.00

X1*X2 -70 -12.5 -40 -22.5 -25 -20 -75 -100 -45 -30 -25 -10

30.00

X1^2 400 25 100 225 100 400 625 625 225 225 625 25

∑= -475.00 ∑= 3600.00

=

-6.29

ao =

-1.36

61.47

a1 =

-0.06

-16.61

a2 =

-0.07

MODELO Y = -1.36 -0.06*X1-0.07*X2 b. Graficas. Zona de carga

X1

X2

INICIAL

CALCULADA

PC

(CFc - CC)

(TFc -TC)

YC

YC

PC

PFc

Porcentajes iniciales PFc

Porcentajes calculados

11

0.6

0.4

-25

1

0.41

0.18

0.46

0.54

7

0.52

0.48

-25

3

0.08

0.03

0.49

0.51

8

0.48

0.52

-25

4

-0.08

-0.05

0.51

0.49

6

0.44

0.56

-20

1

-0.24

-0.14

0.54

0.46

1

0.4

0.6

-20

3.5

-0.41

-0.33

0.58

0.42

9

0.36

0.64

-15

3

-0.58

-0.61

0.65

0.35

4

0.35

0.65

-15

1.5

-0.62

-0.50

0.62

0.38

10

0.32

0.68

-15

2

-0.75

-0.54

0.63

0.37

32

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 5

0.3

0.7

-10

2.5

-0.85

-0.90

0.71

0.29

3

0.28

0.72

-10

4

-0.94

-1.01

0.73

0.27

12

0.25

0.75

-5

2

-1.10

-1.18

0.77

0.23

2

0.23

0.77

-5

2.5

-1.21

-1.22

0.77

0.23

Porcentajes vs Utilidades ( datos iniciales )

PC , PFc 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

PC (INICIAL)

0.4

PFc (INICIAL)

0.3 0.2 0.1 0 -1.50

-1.00

-0.50

0.00

Porcentajes vs Utilidades (datos calculados )

0.50

(UFc - UC )

PC , PFc 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40

PFc (CALCULADA)

0.30

PC (CALCULADA)

0.20 0.10 0.00 -1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

(Ufc -UC )

33

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. c.Estimaciones en la zona 7 CC = $ 135.00 / CONTENEDOR CFc = $ 115.00 / CONTENEDOR TC = 8 horas TFc = 13 horas UFc = -1.358 - 0.064*(115) – 0.074*(13) = - 9.68 Uc = -0.064*(135) – 0.074*(8) = - 9.232 PC = 1/ ( 1 + e( -9.68 – (-9.232) ) = 0.61 PFc = 1 – PC = 0.39 5. Asignación del tránsito. La etapa final para el proceso de estimación en el transporte, es determinar las rutas reales en calles y carreteras que se usarán y el número de automóviles y de autobuses que se espera en cada tramo de la red, es el procedimiento que se usa para determinar los volúmenes esperados de tránsito. Ya se conoce el número de viajes por transporte público y por automóvil que se realizan entre las zonas, ahora se asignan estos viajes a una ruta lógica de la red vial y se suman los resultados por cada segmento de la red, el resultado es una estimación de los volúmenes de tránsito promedio diario o en horarios pico, que van a ocurrir en el sistema de transporte urbano que sirve al área de estudio. Se requieren los siguientes datos: primero, se necesita saber cuántos viajes se realizarán de una zona a otra (determinada en la fase de distribución de viajes). Segundo, se necesita conocer la disponibilidad de vialidades o de rutas de transporte público, entre las zonas y el tiempo que tomará viajar en cada ruta. Tercero, se necesita una regla de decisión (o algoritmo) que establezca los criterios mediante los cuales, los conductores o los usuarios del transporte público seleccionarán una ruta. Enfoques básicos Pueden usarse tres enfoques básicos: 1) curvas de desviación, 2) asignación a la trayectoria de tiempo mínimo (todo o nada) y 3) las trayectorias de tiempo mínimo con restricciones de capacidad. 5.1. La curva de desviación Es similar al de una curva de selección de modo. El tránsito entre dos rutas se determina como una función del tiempo relativo de viaje o del costo. En la figura 10 se ilustra una curva de desviación que se basa en la relación del tiempo de viaje.

Figura 10. Relación de tiempos de viaje contra porcentaje de viajes en la ruta B. (Fuente REF.1)

34

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 5.2. La trayectoria de tiempo mínimo Asigna todos los viajes a aquellos arcos que comprenden la trayectoria de tiempo mínimo entre las dos zonas. Algoritmo de la trayectoria mínima: Este método se selecciona debido a su uso generalizado, produce resultados exactos, y demuestra de una manera adecuada los principios básicos contemplados. Se basa en la teoría de que un conductor o un usuario del transporte público, seleccionará la ruta más rápida entre cualquier par de origendestino. El viajero siempre seleccionará la ruta que represente el tiempo mínimo de viaje, para determinar cuál va a ser esa ruta, es necesario encontrar la ruta más corta desde la zona de origen hasta todas las otras zonas de destino. Los resultados pueden representarse como un árbol, que se denomina capa de árbol. Todos los viajes de esa zona se asignan a los arcos en el árbol de depuración. Cada zona se representa como un nodo en la red, la cual representa al área completa que se está examinando. Para determinar la trayectoria mínima, se usa un procedimiento que encuentra la trayectoria más corta sin tener que probar todas las combinaciones posibles. El algoritmo que se va a usar consiste en conectar todos los nodos provenientes del nodo origen y conservar todas las trayectorias como participantes hasta que una trayectoria tenga la ruta más rápida hacia el mismo nodo, en cuya unión se eliminan los arcos con la trayectoria más lenta. El algoritmo matemático que describe el proceso, consiste en seleccionar trayectorias que minimicen la expresión. ∑

( 12 )

Donde Vij = volumen en el arco i,j Tij = tiempo de viaje en el arco i,j i,j = nodos adyacentes Ejemplo 10. Encontrar las trayectorias mínimas en una red Para ilustrar el proceso de formación de trayectorias, considere la siguiente red de 16 nodos con los tiempos de viaje mostrados en cada arco para cada par de nodos (zona):

Figura 11. Red de 16 nodos. (Fuente REF. 1)

La red de arcos y de nodos representa el sistema de calles y caminos. Determinar la trayectoria de viaje más corta desde el nodo 1 (nodo inicial) hasta todas las demás zonas. 35

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Solución: Para determinar las trayectorias de tiempo mínima, desde el nodo 1 hasta todos los demás nodos, es: Paso 1. Determinar el tiempo para los nodos que están conectados con el nodo 1. El tiempo para el nodo 2 es de 1 minuto. El tiempo para el nodo 5 es de 2 minutos. Los tiempos están anotados cerca de los nodos en el diagrama. Paso 2. Desde el nodo más cercano al nodo inicial (el nodo 2 es el más cercano al nodo inicial 1), haga conexiones con los nodos más cercanos. Éstos son los nodos 3 y 6. Escriba el tiempo acumulado de viaje para cada nodo.

Figura 12. (Fuente REF.1)

Paso 3. Desde el nodo que ahora está más cercano al nodo inicial (nodo 5), haga conexiones con los nodos más cercanos (nodos 6 y 9). Escriba el tiempo acumulado de viaje para cada nodo. Paso 4. El tiempo hacia el nodo 6 pasando por el nodo 5 es más corto que el tiempo pasando por la zona 2. Por tanto, se borra el arco 2-6. Paso 5. Tres nodos están a igual distancia del nodo inicial (nodos 3, 6 y 9). Seleccione el nodo con el número más bajo (nodo 3) y agregue los arcos correspondientes a los nodos 4 y 7. Paso 6. De los tres nodos a igual distancia, el nodo 6 es el siguiente más cercano al nodo inicial. Haga conexión con las zonas 7 y 10. Elimine el arco 6-7. Paso 7. La construcción prosigue desde el nodo 9 a los nodos 10 y 13. Elimine el arco 9-10. Paso 8. Construya desde el nodo 7. Paso 9. Construya desde el nodo 13. Paso 10. Construya desde el nodo 10, y elimine el arco 10-11, Paso 11. Construya desde el nodo 11. 36

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Paso 12. Construya desde el nodo 8, y elimine el arco 11-12. Paso 13. Construya desde el nodo 15, y elimine el arco 14-15. Paso 14. Construye desde el nodo 12, y elimine el arco 15-16. Para encontrar la trayectoria mínima desde cualquier nodo hasta el nodo 1, siga la trayectoria en sentido inverso. Por ejemplo, los arcos para la trayectoria mínima desde la zona 1 hasta la zona 11 son 7-11, 3-7, 2-3 y 1-2. Entonces se repite este proceso para las otras 15 zonas, para producir los árboles para cada una de las zonas en el área de estudio. En la figura 13 se ilustra el árbol producido para la zona 1.

Figura 13. Árbol de trayectoria mínima para la zona 1. (Fuente REF.1)

Ejemplo 11. Cargando la red para usar el método de la trayectoria mínima En la tabla 14 se muestran los arcos que están sobre la trayectoria mínima, para cada uno de los nodos que se conectan al nodo 1. También se muestra el número de viajes de automóvil entre la zona 1 y todas las demás zonas. A partir de estos resultados, se determina el número de viajes para cada arco. Para ilustrar, el arco 1-2 lo usan los viajes desde el nodo 1 hasta los nodos, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15 y 16. Entonces, los viajes entre estos pares de nodos se asignan al arco 1-2 como se ilustra en la tabla 14. Los volúmenes son 50, 75, 80, 60, 30, 80, 25, 20 y 85 para un total de 505 viajes para el arco 1-2 desde el nodo 1. Tabla 14. Arcos sobre la trayectoria mínima para los viajes desde Desdeel nodo 1Viajes Arcos en la trayectoria mínima Hacia 1 2 50 1-2 3 75 1-2,2-3 4 80 1-2, 2-3, 3-7, 7-8, 4-8 5 100 1-5 6 125 1-5, 5-6 7 60 1-2, 2-3, 3-7 8 30 1-2, 2-3, 3-7,7-8 9 90 1-5, 5-9 37

10 11 12 13 14 15 16

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 1-5, 5-6, 6-10 1-2, 2-3, 3-7, 7-11 1-2,2-3, 3-7, 7-8, 8-12 1-5, 5-9, 9-13 1-5, 5-9, 9-13, 13-14 1-2,2-3, 3-7, 7-11, 11-15 1-2,2-3,3-7,7-8,8-12,12-16

40 80 25 70 60 20 85

Solución: Para calcular el número de viajes que deben asignarse a cada arco, de los que han sido generados en el nodo 1, y distribuidos a los nodos 2 hasta el 16 (tabla 15). Se completaría un proceso similar para cargar la red para todos los demás pares de zonas. Los cálculos para la asignación del tránsito, así como para otras paradas en el sistema del modelo de predicción, pueden realizarse con el uso de programas para computadoras. Tabla 15. Asignación de viajes del nodo 1 hacia los arcos de la red de vialidades Arco.

Viajes sobre el enlace

Total

1-2 2-3 1-5 5-6 7-8 4-8 5-9 6-10 7-11 8-12 9-13 11-15 12-16 13-14

50, 75, 80, 60, 30, 80, 25,20,85 75, 80, 60, 30, 8O, 25, 20, 100, 125, 90, 40, 70, 60 125, 40 80,30,25,85 80 90,70,60 40 80, 20 25 85 70, 60 20 85 60

=505 =455 =485 =165 =220 =80 =220 =40 =100 =110 =130 =20 =85 =60

5.3. La restricción de la capacidad es un refinamiento del método de la trayectoria mínima en el cual, después de que todo el tránsito ha sido asignado a un arco, se ajustan los tiempos de viaje para cada arco, con base en la capacidad del arco y en el número de viajes para cada arco, requiere de asignaciones repetidas y de ajustes del tiempo de viaje hasta que se alcanza un equilibrio. El número de viajes que se asigna a cada arco se compara con la capacidad del mismo, para determinar cuánto se ha reducido el tiempo de viaje en el arco. Con el uso de relaciones entre el volumen y el tiempo de viaje (o la velocidad), es posible recalcular el nuevo tiempo de viaje para el arco. Entonces se hace una reasignación con base en estos nuevos valores. El proceso iterativo continúa hasta que se alcance un equilibrio. La relación volumen-velocidad que se usa comúnmente en los programas de computadora, que fue desarrollada por el Departamento de Transporte de Estados Unidos, se ilustra en la figura 14 y se expresa con la siguiente fórmula: [

( ) ] (13) 38

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. donde t = tiempo de viaje sobre el arco to = tiempo de viaje de flujo libre V = volumen del arco C = capacidad del arco

Figura 14. Tiempo de viaje contra volumen del vehículo. (Fuente REF.1)

Ejemplo 12. Cálculo del tiempo de viaje para capacidad restringida En el ejemplo 11, el volumen para el arco 1-5 fue de 485 y el tiempo de viaje fue de 2 minutos. Si la capacidad del arco es de 500, determine el tiempo de viaje en el arco que debe usarse, para la siguiente iteración en la asignación del tránsito. Solución: [

( ) ]

(

)

=2.27 minutos

6.Otros métodos para la predicción de la demanda. 6.1. Análisis de tendencias Este enfoque para estimar la demanda se basa en la extrapolación de tendencias pasadas. Por ejemplo, para predecir la cantidad de tránsito en un camino rural, se grafican los datos de aforos vehiculares de años anteriores contra el tiempo. Entonces, para calcular el volumen de tránsito para una fecha futura, se extrapola hacia adelante a la línea de tendencia, o si no, se usa la tasa de crecimiento promedio. Con frecuencia se desarrolla una expresión matemática con el uso de técnicas estadísticas, o también una relación semilogarítmica. Aunque es de aplicación simple, el análisis de línea de tendencia, tiene la desventaja de que 39

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. las estimaciones de la demanda, se basan en extrapolaciones del pasado y entonces no se toman en cuenta los cambios que pueden ser dependientes del tiempo. 6.1.1. Elasticidad de la demanda La demanda de viaje también puede determinarse si se conoce la relación entre la demanda y una variable de servicio que sea clave (tal como el costo de viaje). Si V es el volumen (demanda) para un nivel de servicio X dado, entonces la elasticidad de la demanda, E(V), es el cambio porcentual del volumen dividido entre el cambio porcentual del nivel de servicio, o sea ( )

(14)

( )

(15)

Ejemplo 13. Predicción de la reducción de la fluidez del tránsito debido a un incremento de tarifa Para ilustrar el uso de la elasticidad de la demanda, una regla aproximada en la industria del tránsito establece que para cada 1 por ciento de aumento en las tarifas, habrá un tercio del 1 por ciento de reducción en la fluidez del tránsito. Si la fluidez actual es de 2000/día para una tarifa de 30 centavos, ¿cuál será la fluidez si la tarifa aumenta a 40 centavos? Solución: En este caso E(V) = 1/3 y (

)(

)

Esto significa que la nueva fluidez del tránsito es 2000 — 222 = 1778 pasajeros/día.

7. Anexos. 7.1. Regresión Lineal simple Los valores observados son Y , X.

(16)

40

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Figura 15. Diagrama de datos esparcidos.(Fuente REF.2)

representa el error correspondiente a la ia observación; es decir la diferencia entre el valor observado y el valor estimado por la curva de regresión. ̂ El error total de la estimación se expresa como la suma del error en cada punto observado: ∑

∑(

̂)

En las condiciones matemáticas, encontrar los valores de a y b que minimizan la suma: ∑(

̂ )

Figura 16. Regresión lineal.(Fuente REF.2)

Sustituyendo el valor de ̂ por a + bXi 41

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. ∑(

)

Tomando las derivadas parciales de S con respecto a a y b e igualando a cero ∑

(

)(

)

∑

(

)(

)

Dividiendo por 2 y reestructurando las condiciones dan (∑ (∑

)

)

(∑

∑ )

(∑

)

La aplicación de la regla de Cramer lleva a. |

∑ ∑ ∑ ∑

∑ | ∑

|

(∑

) (∑

|

(∑ )(∑ ) ) (∑ )

Sustituyendo los valores promedios de las observaciones ̅ y ̅ definidos como ̅

∑

̅

y

∑

donde N es el número total de datos experimentales, pueden volverse a escribir como ̅ )(

∑( ∑(

̅) ̅)

Dividiendo por el número de observaciones N y sustituyendo obtenemos ̅ Sustituyendo el valor de b obtenido

̅ ̅

̅ 42

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes.

Figura 17. La correlación. (Fuente REF.2)

7.2. Regresión Nolineal directa.

Figura 18. No linealidad. (Fuente REF.2)

Ejemplo 14 : Parábola de los mínimos Cuadrados. Encaje una ecuación de la forma

a los datos siguientes: Y X

30 2

40 3

65 4

85 5

Solución: los parámetros desconocidos a , b, y c son computados minimizando la suma de desviaciones cuadradas, o ̂ ) ∑( ∑( ) Las ecuaciones características siguientes son el resultado de tomar las derivadas parciales de S con respecto a a , b, y c e igualarlas a cero :

∑

(∑

)

(∑

) 43

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. ∑( ∑(

)

(∑

)

)

(∑

)

(∑ (∑

)

(∑

)

)

(∑

)

Sustituyendo los datos dados en las ecuaciones características:

qué, resolviendo simultáneamente, da los valores siguientes: a = 16, b = 1.5, y c = 2.5 Así la parábola que más se ajusta a los datos es:

7.3. Regresión lineal múltiple. ECUACION GENERAL ( Y = viajes G

)

(

n = numero de datos;

)

(

)

= ( constantes

);

X1...... Xn = ( Variables independientes : población (P), empleos (E), ingresos (I), autos (A)) ( )

∑ ∑

( )

( )

∑ ∑

( )

(

∑ ∑

)

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

En forma matricial.

44

∑ [

∑

∑

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. ∑ ∑ ∑ ] = ∑ ∑ [ ] [∑ ]

∑ ∑

7.4. Prueba de CONSISTENCIA de los PARAMETROS α y β y del MODELO. Ŷ = α + βx El estimador derivado para β es: ̅ ̅ ̅

∑ ∑ Expandiendo el numerador se tiene ̅ ∑

∑

∑ ∑

̅

∑

(

̅) ̅

Si denominamos ̅)

(

̅

∑ Entonces

∑ Lo cual demuestra que β es una combinación lineal de los valores de Y. El valor esperado de β es : ( )

∑ ( )

∑ ∑

(

)

∑

Y la varianza de β es : ( )

[∑

]

∑ 45

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. ∑(

∑

(∑

̅) ̅ )

̅

∑

Y el valor de la desviación estándar de β es : √ Donde σ2 es la varianza de los valores de Y dado X ( la cual se asume constante ). El valor estimado de σ2 es S2 : ̅

(

∑

)

∑

7.5. Prueba de hipótesis para los parámetros α y β .

7.5.1. Parámetro α : La hipótesis nula es Ho : α = 0 La hipótesis alterna es Ho : α ≠ 0 Para que se pueda rechazar la hipótesis nula el valor de α debe estar fuera del rango definido por: ̅ Donde ̅ es el valor estimado del parámetro α verdadero de la población. El valor de C se obtiene de la distribución de probabilidades t-student para un grado de confianza w y N – 2 grados de libertad. El valor de w usualmente es 5 – 10 %. Se utiliza N – 2 grados de libertad ya que la estimación de α y β reduce los valores de información independientes en 2. Para el caso de M variables independientes (β1 ….. βj ….. βM ) los grados de libertad son N – ( M + 1 ). [

̅

] 46

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Utilizando la distribución t : [

]

La varianza estimada de α es : ̅

(

√

√

) ̅

(

)

∑

( ̅)

∑

7.5.2.Parámetro β : La hipótesis nula es Ho : β = 0 La hipótesis alterna es Ho : β ≠ 0 El intervalo de no rechazo de la hipótesis nula : (

)

(

)

Si β cae dentro de este rango no se pude rechazar la hipótesis nula ( β = 0 ) ; por lo que se concluye que, en base a la data disponible, Y no depende de X. Si β está fuera de este rango se pude aceptar la relación entre Y y X con un grado de confianza 1 – w . Recordando que : ( ̅)

̅

El valor estimado de σ es S y de

̅

√

de modo que :

47

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. ( ̅)

√∑

7.6.Prueba de ajuste global del modelo. La Hipótesis nula establece que la correlación múltiple es igual a 0. La prueba se realiza verificando la consistencia estadística de la relación entre la variable explicada ( Y ) y las variables independientes ( X ). La bondad o ajuste global del modelo se representa mediante la relación entre la variación explicada, reflejada en el modelo, por medio de la recta de regresión y la variación total observada en la variable dependiente menos la que toma en cuenta la regresión; es decir , los residuos ( términos de error ). Esta relación, al ser un cociente, toma la forma de una distribución de probabilidades “F”

(

)

(

(

)

)

Donde : SSREG = Suma de cuadrados de las desviaciones explicadas por la regresión. ̅)

∑(

∑( ̅

̅)

SSRES : Suma de cuadrados de la variación no explicada o residual

∑

∑(

̂)

K : numero de variables independientes en el modelo XS N : tamaño de la muestra (ej : numero de zonas ) La razón F tiene una distribución similar a la función de distribución de probabilidades “ F “ con K y ( N – K – 1 ) grados de libertad. Coeficiente de determinación de la regresión. SST : suma total de desviaciones al cuadrado, con respecto al promedio. ∑(

̅) ∑

̅ ∑

∑ ̅

̅

̅

48

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. ̅ ∑ ̅

(∑

)

Y la suma de cuadrados del error ( residuos ) es : ∑ La variación no explicada es : y la variación explicada es : esta relación se define como coeficiente de determinación de la regresión.

Si se expresa en términos de SSR ( suma de cuadrados de la regresión )

Ejemplo 15. Se tienen los siguientes datos de viajes y población para 12 zonas , calibre el mejor modelo que se ajuste a los datos y verifique que las variables son significativas y el modelo es consistente. MODELO : Y = α + β*X Tabla de datos: Zona No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Viajes Y 44 46 33 43 39 37 29 34 46 52 33 46

Población X 89 76 59 104 94 48 37 66 83 91 72 64

49

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Tabla de cálculos:

Obs No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Y 44 46 33 43 39 37 29 34 46 52 33 46

X 89 76 59 104 94 48 37 66 83 91 72 64

̅ ̅

40.2

73.6 ∑

F GLib

0.23 0.09 0.42 7.24

Y2 1936 2116 1089 1849 1521 1369 841 1156 2116 2704 1089 2116

X2 7921 5776 3481 10816 8836 2304 1369 4356 6889 8281 5184 4096

19902

69309

̂ 43.7 40.7 36.8 47.1 44.8 34.3 31.8 38.4 42.3 44.2 39.8 38.0

̂

(

0.3 5.3 -3.8 -4.1 -5.8 2.7 -2.8 -4.4 3.7 7.8 -6.8 8.0

̂) 0.09 27.88 14.64 17.08 34.14 7.25 7.77 19.62 13.52 61.53 46.29 64.45

314.28

∑

(

̅) 14.7 34.0 51.4 8.0 1.4 10.0 124.7 38.0 34.0 140.0 51.4 34.0

541.67

(̂

̅) 12.5 0.3 11.2 48.5 21.9 34.3 70.2 3.0 4.7 15.9 0.1 4.8

227.39

23.3 6.47 5.61 10

MODELO :

̅)

∑(

∑(

̂)

∑( ̂

̅)

541=314.28+227.39 R = 1 – SSRESIDUOS / SST = 1 – 314.28/541.67 = 0.42 2

̅)

∑( √

√

√

√

(

̅

)

√

(

)

50

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. Intervalos de confianza : ( 10% ) : w/2 = 5% Valor de α : C = [ t5% , 10 ] * De la distribución t-student t5% , 10 = 1.813 C = 1.813*6.21 = 11.26 -11.26 ≤ ̂ ≤ 11.26 intervalo de no rechazo. En este caso α = 23.31 se rechaza la hipótesis nula y α es significativo al 10%. Prueba para β :

t5% , 10 = 1.813

-0.185 ≤ ̂ ≤ 0.185 intervalo de no rechazo. Valor estimado de β = 0.23 se rechaza la hipótesis nula. Modelo ̂ Para el modelo global :

(

SSREG =227.39

K=1

N=12

De la distribución F con ( 1 , 10 ) F! = 4.96

)

(N –K – 1 ) = 10

(

SSRES = 314.28

)

F > F! entonces la relación tiene consistencia estadística.

51

Ing. de Transportes I. Análisis de la Demanda de Viajes. 8. Conclusiones La estimación de la demanda de viajes urbanos comprende una serie de tareas. Entre éstas el análisis de la población y de la economía, predicciones de uso del suelo, generación de viajes, distribución de viajes, selección del modo y asignación del tránsito. El desarrollo de programas de computadora para calcular los elementos dentro de cada tarea, ha simplificado en gran medida la implementación del proceso de estimación de la demanda. También se requieren estimaciones de la demanda de viajes, para determinar una evalua ción económica de las diferentes alternativas del sistema. Generación de viajes es la estimación de los viajes totales que generan cada zona de una región de estudio. Para el estudio de la región, esta se divide en zonas de características relativamente homogéneas: residencial, comercial, turística, escolar, agrícola, (por actividad), minera, portuaria, etc. La generación de viajes en cada zona se expresa como una función de sus características socio-económicas, las cuales deben ser atributos de fácil y confiable medición, como: población, nivel de ingreso, producción, espacio comercial, hectáreas cultivadas, facilidades turísticas, número de empleos, tenencia de automóviles, etc.El propósito de los modelos de distribución espacial es estimar el destino de los viajes originados en cada zona. Esta atracción depende del propósito de los viajes; por lo que es usual calibrar los modelos según el motivo del viaje. La distribución modal se estima en base a la funciones de utilidad de cada modo, las cuales reflejan los atributos (tiempo, costo, seguridad, confiabilidad, confort, etc. ). Estas funciones son extraídas de la teoría microeconómica. La Asignación del tránsito es la etapa final para el proceso de estimación en el transporte, es determinar las rutas reales en calles y carreteras que se usarán y el número de automóviles y de autobuses que se espera en cada tramo de la red, es el procedimiento que se usa para determinar los volúmenes esperados de tránsito. 9. Bibliografía 1. Ingeniería de Tránsito y Carreteras Tercera Edición Nicolas J. Garber Lester A. Hoel Thomson Capítulo 12 págs. 541-575 2. Transportation Engineering & Planning (C.S Papacostas P.D.Prevedouros Third Edition Prentice Hall ) Parte 2 Capitulo 8 pag ( 348-442 ) 3. Principles of Highway Engineering and Trafic Analysis Fred L. Mannering , Walter P. Kilareski ( Second Edition Wiley ) Capítulo 8 pag 251-285. 4. Transportation Engineering & Planning (C.S Papacostas P.D.Prevedouros Third Edition Prentice Hall) Parte 4 Capítulo 13 pag ( 588-607 ) 5. Probabilidad y estadística para ingenieros Ronald E. Walpole,Raymond H. Myers,Sharon L. Myers Prentice HALL Sexta Edición. 6. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias Jay L Devore Thomson Sexta Edición. 7. Apuntes de la Profesora Ivet Anguizola. 8. Apuntes del Profesor Angelino Harris.

52