Practica Mat100 2019

U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR E´ S ´ FACULTAD DE C IENCIAS G EOL OGICAS ´ C ARRERA DE I NGENIER´I A G EOL OGICA C URSO DE T EMPORADA - V ERANO 2019

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A RP C

Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra - Mat 100 Autora: Lic. Miriam Cusi Rodr´ıguez

L A PAZ - B OLIVIA

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´ ´ PR ACTICA N O 1 - L OGICA Y CONJUNTOS I. LOGICA 1. Simboliza ´ depender´a del juicio o la intuicion, ´ y no de qui´en pago´ m´as. a) La decision b) Si esta planta no crece, entonces necesita m´as agua o necesita mejor abono. ´ si, el Fiscal puede probar su culpabilidad o el testigo c) El Juez sentencia a Octavio si y solo no dice la verdad. d) Si una sustancia org´anica se descompone, entonces sus componentes se transforman en abono y fertilizan el suelo. e) Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz as´ı; entonces empiezo a cavar mi propia sepultura; o bien, si no soy feliz as´ı, y no veo tampoco la posibilidad de cambiar este mundo, emprendo as´ı mismo mi autoenterramiento. ´ 2. Simboliza las siguientes proposiciones, negarlas y escribe en el lenguaje comun. a) No es justa, pero mantiene el orden. b) Los estudiantes conocen a los simuladores y los desprecian. c) Si los estudiantes conocen a los simuladores, entonces los desprecian. d) Si mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas y no aceptan las respuestas ´ ´ que no figuran en los libros, entonces imponen un cumulo de normas estupidas. e) Est´a lloviendo y el sol no est´a brillando. f ) Si no hay nubes en el cielo y el sol esta brillando entonces no est´a lloviendo g) El sol esta brillando o hay nubes en el cielo, pero no est´a lloviendo. 3. Los trillizos Gonzales tienen la molesta costumbre siguiente: Cada vez que se les hace una pregunta, dos de ellos dicen la verdad y el otro una mentira acerca de la pregunta. Les pregunt´e cu´al de los tres hab´ıa nacido primero. Me contestaron: Perico: ”Pepe nacio´ primero” Pepe: ”Yo no soy el mayor” Pablo: ”Perico nacio´ primero” Cu´al de los tres nacio´ primero? ´ le dijo a su hijo: ”Si no terminas tu cena, te ir´as directo a dormir”. el hijo termino´ su 4. Un logico ´ cena y fue enviado directamente a dormir. ¿Incumplio´ su promesa el logico?. Explique. ´ compuesta. 5. En los siguientes ejemplos determine el valor de verdad de cada proposicion a) Si 5 < 4, entonces − 4 < −5 ´ ´ primos y 2 es el unico primo par. b) 17 y 19 son numeros c) Marte es un planeta y el sol es una estrella, o la luna no es una estrella. d) Si la luna esta hecho de queso entonces hoy habr´a un eclipse. e) Si (1)2 = (−1)2 , entonces 1 = −1. 1

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´ si 4 + 1 = −5 f ) No es cierto que −6 + 9 = −2 si y solo g) No es cierto que si −8 + 5 = −3, entonces 6 − 4 = 2 o´ 1 + 4 = 5 ´ 6. Sean p: es rico y q: es feliz. Escriba cada una de las proposiciones siguientes de manera simbolica a) Si es rico entonces no es feliz b) No es rico ni es feliz c) Ser pobre es ser feliz d) El es pobre o es rico y feliz 7. Escriba el rec´ıproco y el contrarec´ıproco de las siguientes proposiciones. ˜ a) Si hoy es d´ıa de trabajo, entonces manana es martes. b) Si hay suficiente viento, entonces navegaremos a vela. c) Si x2 = x entonces x = 0 o´ x = 1. d) Si la tarde est´a oscura, me invadir´a el pesimismo. e) Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo suficientemente triste en que pensar. 8. Sabiendo que p es V, q es F, indique el valor de verdad de: a) ( p ⇔ q) ∨ (∼ q ⇒ p) b) (∼ p ∨ q) ⇒ p c) q ⇒ (m ∨ n) ∧ r d) [( p ∧ q) ∨ q] ⇒ p ´ 9. Usando equivalencias logicas, simplifique las siguientes proposiciones. a) ∼ (∼ p∨ ∼ q) b) (∼ p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) c) ( p ⇒ q) ⇒ ( p ∧ q) d) ( p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) e) [q ⇒ ( p ∧ r )] ∧ [∼ p ⇒ ( p ∧ r )] f ) [( p ⇒ r )∧ ∼ p] ∨ [( p ∨ q) ⇒ r ] g) [( p ⇒∼ r ) ⇒ p] ∧ [∼ p ⇒∼ ( p∨ ∼ q)] h) [(∼ p ∧ q) ∨ ( p∧ ∼ q)]∨ ∼ (∼ p ⇒ q) i ) [( p ⇒ r ) ⇔ ( p ∧ r )] ∧ [( p ⇒∼ q) ⇒ q] j) [( p ⇒∼ r ) ⇒∼ p] ⇒ [ p ∧ (∼ q ⇒ r )]

R. R. R. R. R. R. R. R. R. R.

p∧q ∼ p∨q p ∼ ( p ∧ q) p ∼ p∨r p ∼ p∨ ∼ q p∧q p

´ de la forma; Si...entonces. 10. Escriba cada una de las siguientes proposiciones como una implicacion ´ suficiente para que Daniela tenga una a) La pr´actica diaria de su servicio es una condicion buena posibilidad de ganar el torneo de tenis. b) Arregle mi aire acondicionado o no pagar´e la renta. 2

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´ si usa el casco. c) Mar´ıa puede subir a la motocicleta de Luis solo d) Comprar´e ese auto, si trabajo. e) Te llevar´e al cine, siempre y cuando termines tus ejercicios. 11. Sean p( x, y) : x2 ≥ y, q( x, y) : x + 2 < y. Si el universo del discurso est´a constituido por los ´ numeros reales, determine el valor de verdad de: a) p(2, 4) b) p(−3, 8) ∧ q(1, 4) c) p( 12 , 13 ) ∨ q(−2, 3) d) p(2, 2) ⇒ q(1, 1) 12. Considerando los enteros como universo del discurso, sean las funciones proposicionales: p(x) : x es positivo q(x) : x es par r(x) : x es un cuadrado perfecto s(x) : x es divisible por 4 t(x) : x es divisible por 5 ´ a) Escriba en forma simbolica 1) 2) 3) 4) 5) 6)

´ entero es par Algun Existe al menos un entero positivo y par Si x es par entonces x no es divisor de 5 ´ entero par es divisible entre 5 Ningun Existe al menos un entero par divisible entre 5 Si x es par y cuadrado perfecto, entonces x es divisible entre 4

b) Exprese en palabras. 1) 2) 3) 4)

∀ x (r ( x ) ⇒ p( x )) ∃ x (s( x )∧ ∼ r ( x )) ∀ x (s( x ) ⇒∼ t( x )) ∀ x (∼ r ( x )∨ ∼ q( x ) ∨ s( x ))

´ de la proposicion ´ y simplifique: 13. En cada uno de los siguiente casos forme la negacion a) ∃ x/( P( x ) ∨ Q( x )) b) ∀ x : ( P( x )∧ ∼ Q( x )) c) ∃ x/[( P( x ) ∨ Q( x )) ⇒ R( x )] d) ∀ x : ( P( x ) ⇒ Q( x )) e) ∃ x/P( x ) ∨ ∼ Q( x ) f ) ∀ x ∃y/ x · y = 0

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Supongamos que el dominio de referencia es el conjunto de todas las personas. Sean los predi´ cados P: es criminal, Q: es antisocial y R: es feliz. Exprese la proposicion:

∀ x : ( P( x ) ⇒ Q( x ))∧ ∼ ∃ x : ( Q( x ) ⇒ R( x )) ⇒∼ ∃ x : ( P( x ) ⇒ R( x )) ´ en el lenguaje comun. 14. Para los siguientes pares de proposiciones, use el Modus Ponens o el Modus Tollens para completar el razonamiento con un argumento v´alido. ´ a) Si Juana tiene problemas para arrancar su automovil, entonces su hija Angela verificar´a las buj´ıas. ´ Juana tiene problemas para arrancar su automovil. Por tanto................................ b) Si Braulio resolvio´ el primer problema correctamente, entonces la respuesta que obtuvo es 137. La respuesta de Braulio al primer problema no es 137. Por lo tanto......................... ´ 15. Escribe los siguientes razonamientos en forma simbolica y comprueba su validez. ´ fue el segundo. Si Pedro a) Si Jos´e gano la carrera, entonces Pedro fue el segundo o Ramon ´ fue el segundo, entonces Jos´e no gano´ la carrera. Si Carlos fue el segundo, entonces Ramon no fue el segundo. Jos´e gano´ la carrera. Luego Carlos no fue el segundo. b) Mi padre me alaba si estoy orgulloso de m´ı mismo. O me va bien en deportes o no puedo estar orgulloso de m´ı mismo. Si estudio bastante, entonces no me va bien en deportes. Por tanto, si mi padre me alaba, entonces no estudio bastante. c) El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo est´a azul o gris. Por lo tanto, estoy contento o triste. ´ ( p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) 16. Construye un circuito correspondiente a la proposicion. ´ simplifique y construye el circuito de 17. Construye un circuito correspondiente a la proposicion, ´ simplificada. la proposicion a) ( p Y q) b) ( p ∧ q) ∨ (∼ q) II. CONJUNTOS 1. Especifique cu´al de los siguientes conjuntos es finito o infinito a) {x / x es un pa´ıs de Am´erica Latina} b) {x / x es un racional entre 2 y 3} ´ c) {x / x es una religion} d) {x / x es un d´ıgito divisible entre 2} e) {x / x es un libro de MAT-100} 4

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´ cada conjunto. 2. Escribe por extension, a) A = { x ∈ Z : 3 < x < 12 ∧ xes primo}

b) B = { x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}

c ) C = { x ∈ N : x 2 − 1 = 0}

d ) D = { x ∈ Z : | x − 5| = 4}

´ los siguientes conjuntos. 3. Escribe por comprension ´ ´ a) El conjunto de los numeros naturales menores que 38 y multiplos de 4. ´ b) Conjunto de los numeros primos mayores que 7 y menores que 37. ´ x2 − 4 = 0. c) Conjunto de los soluciones enteras de la ecuacion ´ d) Conjunto de los numeros impares mayores que 6. ´ o interseccion ´ de los conjuntos que se dan. (Asuma 4. En cada inciso escriba a que es igual la union que A ̸= ∅, A ̸= U) 1. A ∩ Ac = 4. A ∩ ∅ =

2. A ∪ Ac = 5. ∅ ∩ U =

3. Ac ∪ U = 6. ∅c ∪ U =

´ 5. Al lado de cada una de las siguientes proposiciones, escriba F (falso) o V (verdadero) segun corresponda. 1. A ⊂ A 5. ∅ ∈ {∅} 9. a ∈ { a} 13. ∅ ∈ ∅

2. U c = ∅ 6. A ∪ B = Ac ∪ Bc 10. 0 ∈ ∅ 14. ∅ ∈ P( A)

3. ∅ ∈ ∅ 7. ∅ ⊂ A 11. A ∈ A 15. a ∈ { a}

4. ∅ = {0} 8. A ∈ P( A) 12. A ⊂ A ∪ B ∪ C 16. A ∩ B ∩ B ∩ C ∩ D ∈ A ∩ B

6. Determinar los elementos de A y B sabiendo que el universo es U ={1,2,3,4,5,6,7,8}. A △ B = {1, 2, 3, 4, 5} Bc = {1, 4, 7} y Ac = {2, 3, 5, 7} 7. Determinar los elementos de A, B y el universo U sabiendo que: A ∪ B = { a, b, c, e, f , g, h}, A ∩ B = { a, e} y Bc = {c, d, g, i } 8. Dados los siguientes conjuntos. A = { x ∈ Z : | x | ≤ 5}, B = { x ∈ N : x es divisor de 6}, C = { x ∈ N : x2 < 16}y D = { x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0} Calcula a) A ∪ D e) ( A r B) ∪ ( B r D )

b) A △ B f ) (C r A) ∩ ( A r C )

c) ( A ∩ B) ∪ D g) ( B r A) ∩ C

d) ( A ∩ B) ∩ C h) ( A ∩ B) r C

9. Determine todos los elementos de P ( E) si E = {1, 2, 5, 6} 5

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10. Determine P ( E) y P (P ( E)) para un conjunto de dos elementos. ´ 11. Usando leyes o propiedades de conjuntos, demostrar cada proposicion. a) B − [ A − ( A − B)] = B − A b) [ A − ( B ∪ C )] ∪ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) = A c) ( A ∪ B) − ( A △ B) = A ∩ B d) ( A ∪ B) △ ( B ∪ C ) = ( A △ C ) − B e) ( A − B) × C = ( A × C ) − ( B × C ) f ) {( A ∪ B) ∩ [( B − A) ∪ ( A ∩ B)]} ∩ [ A ∪ ( A ∪ B)c ] = A ∩ B 12. Demostrar gr´aficamente a) ( A ∪ B) − C = ( A − C ) ∪ ( B − C ) b) ( A ∩ B) − C = ( A − C ) ∩ ( B − C ) c) A = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ Bc ) 13. Demostrar: Ac − Bc = B − A ´ y sub14. Construir un diagrama para cada una de las operaciones que se indican a continuacion rayar con l´apiz de color el resultado. a) [( A ∩ B) ∩ C ]c b) ( Ac ∩ Bc ) ∪ C c c) ( A ∪ B) − ( A ∩ B) d) ( A △ B) − Bc ´ para despu´es de afeitarse, y el de una pasta de 15. Una farmacia rebajo´ el precio de una locion dientes. Se llevo´ la cuenta de las ventas y al finalizar el d´ıa, esta indicaba que 65 personas hab´ıan ´ y 12 ambos productos. ¿Cu´antas personas aprovecharon comprado pasta de dientes, 21 locion la oferta? ´ 16. Un estad´ıstico fue comisionado para determinar la preferencia en la lectura de periodicos en ´ El selecciono´ aleatoriamente una muestra apropiada La Paz, entre el Diario, Prensa y la Razon. ´ y obtuvo los siguientes datos: 80 leen los tres periodicos. 138 leen el diario y Prensa. 170 leen ´ 320 leen Prensa y la Razon. ´ 500 leen la Razon. ´ 540 leen Prensa. 700 leen el el Diario y la Razon. ´ Diario. 208 no leen ninguno de los periodicos. ´ el Diario? a) ¿Cu´antos leen solo ´ b) ¿Cu´antos leen al menos uno de los periodicos? ´ c) ¿Cu´antos leen a lo sumo uno de los periodicos? ´ d) ¿Cu´antos leen el Diario y Prensa, pero no la Razon? ´ e) ¿Cu´antos leen Diario o Prensa, pero no la Razon? 17. En cierta competencia, todos los estudiantes gustan Aritm´etica, algunos de F´ısica y otros de Qu´ımica. Si 350 gustan de Aritm´etica y F´ısica, y 470 de Qu´ımica o´ Aritm´etica. Cu´antos no gustan de F´ısica? 6

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18. En una encuesta a 200 estudiantes, se hallo´ que 68 se comportan bien, 138 son inteligentes, 160 son habladores. 120 son habladores e inteligentes; 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes, 13 se comportan bien y no son habladores y 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes. ¿Cu´antos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes? 19. Une encuesta realizada entre 1052 obreros en una planta revelo´ que 661 ten´ıan casa propia, 702 ten´ıan radio y 733 televisor. 410 radio y televisor, 340 radio y casa propia, 370 casa propia y televisor y 50 ten´ıan las tres cosas. a) ¿Cu´antos obreros no ten´ıan ninguna de las tres cosas? ´ casa? b) ¿Cu´antos solo ´ televisor? c) ¿Cu´antos solo ˜ 180 unidades con las siguientes caracter´ısticas. 20. Una agencia de autos vendio´ durante un ano ´ autom´atica, 77 ten´ıas clima, 45 ten´ıan transmision ´ autom´atica y clima, 57 ten´ıan transmision ´ autom´atica pero no ten´ıan ni clima ni autoestereo, 28 ten´ıan transmision ´ 10 ten´ıan transmision autom´atica y clima, pero no ten´ıan autoestereo, 90 no ten´ıan ninguna de las tres caracter´ısticas mencionadas, 19 ten´ıan clima y autoestereo. ¿Cu´antas de estas unidades ten´ıan autoestereo? ´ 21. Considere a los numeros reales como conjunto referencial. Para n ∈ N sea el intervalo cerrado ∪ An = [−2n, 3n]. Determine lo siguiente: a) A3 , b) A7 ∩ A3 c) 7n=1 An , d) A3 − A4

´ PRACTICA 2 - RELACIONES Y FUNCIONES I. RELACIONES 1. Dados los conjuntos A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Describa por ´ y grafique las relaciones entre A y B, dadas por: extension a) xRy ⇔ x = y

c) xRy ⇔ x2 = y2

b) xRy ⇔ x = y2

d) xRy ⇔ x2 ≥ y2

´ 2. En el anterior ejercicio, encuentre el dominio y el recorrido de cada relacion. 3. Sean los conjuntos A = { a, c, e}, B = { a, b, d, e} y C = {b, c, f } y las relaciones R entre A y B; S entre B y C dadas por. R = {( a, a), (c, e), (e, b)} y S = {( a, b), (b, f ), (b, c), (e, f )} Encuentre S ◦ R y grafique. 4. Con las relaciones del anterior ejercicio (3), encuentre R−1 , S−1 , R−1 ◦ S−1 y verifique que:

( S ◦ R ) −1 = R −1 ◦ S −1 ´ de A en B definida por: 5. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6} y sea R una relacion xRy ⇔ x + y es par 7

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´ a) Determine R y R−1 por extension. b) Representar A × B y R. c) Determine el dominio e imagen de R. 6. Sea A = { x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 5} y B = {3, 4, 5}se define R ⊂ A × B mediante:

( x, y) ∈ R ⇔ x + y ≤ 5 ´ a) Determine R y R−1 por extension. b) Representar A × B y R 7. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 4, 6, 16} C = {2, 3, 8, 10} y las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ B × C definidas por: y ( x, y) ∈ R ⇔ y = x2 (y, z) ∈ S ⇔ z = 2 ´ a) Determine R y S por extension. ´ la composicion ´ S◦R ⊂ A×C b) Determine por extension c) Determine los dominios e im´agenes de las tres relaciones. ´ por 8. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se define una relacion xRy ⇔ 3| x − y ´ y formar el diagrama de R. a) Definir R por extension ´ es de equivalencia. b) Probar que la relacion c) Determinar las clases de equivalencia. ´ por 9. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se define una relacion xRy ⇔ 3| x + y ´ y formar el diagrama de R. a) Definir R por extension ´ es de equivalencia. b) Probar que la relacion c) Determinar las clases de equivalencia. ´ 10. En A = {1, 2, 3, 4} se considera la relacion R = {( x, y) ∈ A2 : x = y ∨ x + y = 5} ´ y formar el diagrama de R. a) Definir R por extension ´ es de equivalencia. b) Probar que la relacion ´ de A. c) Determinar la particion 11. Obtener los gr´aficos cartesianos de las siguientes relaciones definidas en R a) ( x, y) ∈ R ⇔ y = 3 b) ( x, y) ∈ S ⇔ x + y = 1 8

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c) ( x, y) ∈ T ⇔ x + y < 1 12. Sea E el conjunto de los seres humanos. Clasificar las siguientes relaciones. a) aRb ⇔ a es hijo de b

d) aRb ⇔ a es amigo de b

b) aRb ⇔ a habla con b

e) aRb ⇔ a est´a casado con b

c) aRb ⇔ a es de la misma nacionalidad que b II. FUNCIONES ´ 1. Sea P el conjunto de todas las personas; C el conjunto de numeros de tel´efono; S el conjunto de todos los grupos sangu´ıneos y R el conjunto de todos los pa´ıses. Determine si las siguientes asignaciones f , g, h, k son funciones o no. Justifique su respuesta. a) f : P → P, ( x, y) ∈ f ⇔ x es amigo de y ´ b) g : P → C, ( x, y) ∈ g ⇔ y es el numero de tel´efono de z c) h : P → S, ( x, y) ∈ h ⇔ y es el grupo sangu´ıneo de x d) k : P → R, ( x, y) ∈ k ⇔ y es el pa´ıs de x 2. En los supermercados al vender ciertos productos, se pesa estos y una m´aquina muestra el ´ impl´ıcita. Indique cual es y mencione su dominio y codominio. precio. Aqu´ı hay una funcion 3. D´e cuatro ejemplos de funciones que se dan en la vida cotidiana. 4. Clasificar las siguientes funciones en el sentido de indicar si son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. a) f : R → R dada por f ( x ) = 7x − 3 b) f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5} con f = {(1, 2)(2, 5)(3, 3)(4, 1)(5, 4)} c) f : Z → Z dada por f ( x ) = 2x 5. Sea f ( x ) =

1 1+ x .

Interpretar lo siguiente:

a) f ( f ( x )) ¿Para qu´e x tiene sentido? b) f ( 1x ) c) f (cx ) d) f ( x + y) ´ ´ e) ¿Para qu´e numeros c existe un numero x tal que f (cx ) = f ( x )? (Note que hay muchos m´as de los que a primera vista parece) ´ f : R → R, dado por f ( x ) = 1 − 5x3 . Encuentre la inversa de f . 6. Sea la funcion 7. Sea f , g : f : R → R donde g( x ) = 1 − x + x2 , f ( x ) = ax + b, ( g ◦ f )( x ) = 3 − 9x + 9x2 . Halle ayb

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8. Sean las siguientes funciones de f : R en R f 1 ( x ) = x; f 2 ( x ) = 1 − x; f 3 ( x ) =

1 x 1 x−1 ; f4 (x) = ; f5 (x) = ; f6 (x) = x x−1 1−x x

Calcular: f 1 ◦ f 2 ; f 2 ◦ f 4 ; f 5 ◦ f 6 ; f 6 ◦ f 4 ; f 6 ◦ f 1 ; f 3 ◦ f 3 ; f 4 ◦ f 6 9. Grafique las siguientes funciones a) f : R → R, f ( x ) = x − 1 b) f : R → R, f ( x ) = x2 + 1 c) f : Z → Q, f ( x ) =

x −1 2

b) f ( x ) = −2x + 3,

´ lineal: a) f ( x ) = 3x + 2, d) Funcion

c) f ( x ) = 2x − 5

´ cuadr´atica: a) f ( x ) = x2 + 4, b) f ( x ) = − x2 + 6x e) Funcion 1 2x x+1 ´ fraccionaria: a) f ( x ) = , b) f ( x ) = , c) f ( x ) = f ) Funcion x−1 x+3 x+5 ´ Valor absoluto: a) f ( x ) =| x | +2, b) f ( x ) = − | x | +3 g) Funcion ´ f : R → R dada por f ( x ) = 2x2 − 3 ¿Existe f −1 ? Justifique su respuesta, y si 10. Sea la funcion existe encuentre f −1 . ´ f : R → R dada por f ( x ) = 2x2 − 3. Encuentre f (5), f ( a + 1), f ( a + h), f (2 − 11. Sea la funcion x ), f ( f ( f ( f ( x )))) 12. Si f ( x ) =

x +1 x −1

y g( x ) =

x x +1 .

Hallar

f (2)+ g(1) 2− f (2) g (1)

13. Si f ( x ) = 3x − 1. Hallar f [3 + f ( f ( 23 ))] 14. Si f ( x ) =

2x2 −3 3x +2 ,

g( x ) =

2x +3 . 3x2 −2

R.7

R.14

g( f (−11))+ g(1) f ( g(−1)) 1+ f (1)

Hallar

R.5

´ f ( x ) = ax + b, f (1) = 3, f (3) = 5. Hallar a y b. 15. Dada la funcion 16. Si f ( x − 2) =

x +9 x −4 .

Hallar

a ) f (3),

R.a = 1, b = 2

b) f (−1)

17. Halla la inversa de cada una de las funciones, si existe. √ 1 a) f ( x ) = x2 − 4x + 3 c) f ( x ) = x+ x √ −1 b) f ( x ) = 4−xx2 d) f ( x ) = 2x 1− x 2 18. Si f ( x ) =

5x +4 x −5 .

Hallar f ( f ( x ))

19. Si f ( x ) =

x x +2 ,

g( x ) =

20. Si f ( x ) = 3 − 21. Si f ( x ) =

2x −3 3x +7 .

2x +1 x −1 .

x +1 x −2 .

Hallar ( f ◦ g)( x ), ( g ◦ f )( x )

Hallar f −1 ( x ).

Hallar ( f −1 ◦ f −1 )( x )

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´ ´ ANALITICA ´ PRACTICA 3 - GEOMETRIA 1. Halla en el eje de abscisas un punto M, cuya distancia hasta el punto N (2, 3) sea igual a 5. 2. Los puntos medios de los lados de un tri´angulo son: M(2, −1), N (−1, 4) y P(−2, 2). Determina sus v´ertices. 3. Dados tres v´ertices de un paralelogramo ABCD, A(2, 3), B(4, −1) y C (0, 5). Halla el cuarto v´ertice D. 4. Grafique la recta que pasa por A y B, y calcule su pendiente m. a) A(−3, 2), b) A(2, 5),

B(5, −4)

c) A(4, −1), d) A(5, −1),

B(−7, 5)

B(−6, −3) B(5, 6)

5. Demuestre que los puntos son v´ertices del pol´ıgono mencionado. a) b) c) d)

A(6, 15), A(1, 4), A(−3, −2), A(1, 1),

C (−1, −8), C (−15, −6); C (−5, 0); C (5, −1);

B(11, 12), B(6, −4), B(1, 4), B(2, 3),

D (−6, −5); rect´angulo. tri´angulo rect´angulo. ´ tri´angulo isosceles. tri´angulo rect´angulo.

´ general de la recta y grafique las rectas que pasan por P para cada valor de 6. Escriba la ecuacion m. a) P(3,1), m= 12 , -1, − 12 . (En un mismo plano) b) P(-2,4), m= 1, -2, − 12 . (En un mismo plano) ´ de la recta que pasa por el punto A y que satisfaga la 7. Obtenga la forma general de la ecuacion ´ condicion dada. a) A(5,-3), m = −4 b) A(-1,4), m =

2 3

c) A(4,-5), pasa por B(-3,6) d) A(2,-4), paralela a la recta 5x − 2y = 4 e) A(4,5), perpendicular a la recta 3x + 2y = 7 ´ general de la recta que satisfaga las condiciones dadas. 8. Encuentra la ecuacion a) Abscisa en el origen 4, ordenada en el origen -3. b) Abscisa en el origen -5, ordenada en el origen -1. c) Que pasa por la ordenada en el origen -2 y tiene pendiente − 12 . 9. Determine la pendiente y la ordenada en el origen de la recta dada y trazar su gr´afico. a) 2x = 15 − 3y b) x − 5y = −15 c) 4x − 3y = 9

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10. Trace las rectas en el mismo plano coordenado, calcule las coordenadas de los puntos de inter´ Y calcule el a´ rea del pol´ıgono formado por las rectas. seccion. a) 2x − y = −1, x + 2y = −2, 3x + y = 11 b) 10x − 42y = −7,14, 8,4x + 2y = −3,8, 0,5x − 2,1y = 2,73, 16,8x + 4y = 14 ´ de la recta que pasa por P(1, 4) y es: 11. Hallar la ecuacion a) Paralela b) Perpendicular a la recta 2x − 5y + 7 = 0 12. ¿Para qu´e valores de k las ecuaciones 8kx − 3y + 2 = 0 y 4x − 7y − 1 = 0 ser´an: a) Rectas paralelas? b) Rectas perpendiculares ? 13. Halla el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky − 7 = 0 sea 2u. 14. Dadas las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo 8x + 3y + 1 = 0, 2x + y − 1 = 0 y la ´ de una de sus diagonales 3x + 2y + 3 = 0, determina las coordenadas de los v´ertices ecuacion de este paralelogramo. 15. Halla un punto Q sim´etrico al punto P(−5, 13) relativo a la recta 2x − 3y − 3 = 0 ´ de las rectas 2x − 16. ¿Para qu´e valor de m la recta y = mx + 3 pasa por el punto de interseccion y + 1 = 0 y y = x + 5? 17. (C´alculo de salinidad). La salinidad del mar es la cantidad de sustancias disueltas en una muestra de agua. La salinidad S se puede estimar a partir de la cantidad de cloro C en el agua, mediante S = 0,03 + 1,805C, donde S y C son medidas en peso, en partes por mil. Calcule aproximadamente C, si S es 0,35. ´ general est´a dado por: 18. Encontrar el centro y radio de la circunferencia, cuya ecuacion a) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 b) x2 + y2 − 12y + 31 = 0 c) 4x2 + 4y2 + 24x − 16y + 39 = 0 (Sugerencia.- completar cuadrados para x y y.) ´ de la circunferencia cuyo centro es C(1,3) y pasa por P(2,-1). 19. Hallar la ecuacion ´ de la circunferencia cuyo centro est´a en C(-2,-1/2) y es tangente a la recta 20. Hallar la ecuacion 3x + 4y − 12 = 0. ´ de la circunferencia con centro en C(1,-1) y tangente a la recta 5x − 12y + 9 = 21. Hallar la ecuacion 0.

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22. Los puntos A(3,2) y B(-1,6) son los extremos de un di´ametro de la circunferencia. Hallar su ´ ecuacion. ´ de la circunferencia que pasa por los puntos P(1,1), Q(1,-1) y R(2,0).(Sugerencia.23. Hallar la ecuacion ´ general y resolver un sistema de variables A, B Reemplazar los puntos P, Q y R en la ecuacion y C) ´ de la tangente a la circunferencia x2 + y2 − 4x + 4y − 8 = 0 en el punto 24. Hallar la ecuacion P(4,5). (Sugerencia. 1ro hallar el centro de la circunferencia, 2do hallar la pendiente entre los ´ punto puntos C(h,k) y P(4,5), 3ro con la pendiente perpendicular al anterior, escribir la ecuacion pendiente de la recta que ser´a tangente a la circunferencia) ´ de las circunferencias que teniendo sus centros en la recta 4x − 5y − 3 = 0 25. Hallar la ecuacion son tangente a la recta L( 1) : 2x − 3y − 10 = 0, L( 2) : 3x − 2y + 5 = 0 (Sugerencia. Realizar un ´ gr´afico para tener idea de como son las rectas) 26. Hallar el a´ rea del pol´ıgono formado por los puntos. A(2,5), B(-4,5), C(-1,-2) y D(4,-3). 27. En las siguientes par´abolas, determinar: a) Coordenada del foco b) Coordenada del V´erti´ de la directriz. d) Longitud del lado recto. e) Grafica. ce. c) Ecuacion a) y2 = −16x b) 3x2 + 4y = 0 c) x2 + 6x + 4y + 8 = 0 d) y = 3x2 − 3x + 3 e) x = y2 − 6y + 11 ´ de la par´abola cuyo foco es F(0,-2), directriz la recta y − 2 = 0 28. Hallar la ecuacion ´ de la par´abola cuyo v´ertice es V(2,4) y foco F(-3,4). 29. Hallar la ecuacion ´ de la par´abola cuyos extremos del lado recto son los puntos: 30. Hallar la ecuacion a) A(1,3) y B(7,3) b) A(6,6) y B(6,-2) 31. En las siguientes Elipses, determinar: a) Coordenadas del centro. b) Coordenadas de los focos. c) Coordenadas de los V´ertices. d) Longitud de los ejes mayor y menor. e) Longitud del lado recto. f) Grafica a) x2 + 5y2 = 15 b) 16x2 + y2 = 16 c) 9x2 + 25y2 − 36x + 150y + 36 = 0 d) 24y2 + 49x2 − 144y + 490x + 265 = 0 e) 3x2 + 4y2 − 18x − 81 = 0 ´ de la elipse con centro en C(4,-2), un v´ertice en V(9,-2), un foco en F(0,-2), y 32. Hallar la ecuacion graficar. 13

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33. Trace cada Elipse y determine sus caracter´ısticas. 2

a)

x2 2,9

y + 2,1 =1

b)

x2 3,9

y + 2,4 =1

c)

x2 4,3

+

2

(y−2,1)2 4,9

=1

´ PRACTICA 4 ´ MATEMATICA ´ ´ INDUCCION Y CALCULO COMBINATORIO ´ MATEMATICA ´ I. INDUCCION ´ 1. Demuestre por induccion: n(n + 1)(2n + 1) 6 2 n ( n + 1)2 (1 + 2 + 3 + ... + n)2 = 4 n x −1 1 + x + x2 + ...x n−1 = , x ̸= 1 x−1 n(n + 1)(n + 2) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n · (n + 1) = 3 1 1 1 1 n + + + ... + = 1·2 2·3 3·4 n · ( n + 1) n+1

a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = b) c) d) e)

f ) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

(La suma de los primeros pares)

g) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2

(La suma de los primeros impares)

h) n2 + n es par i) a + ar + ar2 + ... + ar n−1 =

a (1 − r n ) 1−r

´ 2. Demuestre por induccion a) 3 | 8n − 5n b) 3 | 4n − 1 c) 6 | n(n2 − 1) d) 24n − 1 es divisible por 15. e) 32n+2 − 2n+1 es divisible por 7. ´ ´ numeros ´ 3. La siguiente formula: P(n) = n2 + n + 41 genera solo primos para los valores de n = 1, 2, 3, 4, ..., 30 ¿Ser´a verdad que P(n) produce primos para todo n natural? ´ matem´atica. 4. Demuestre por induccion a) ∑nk=1 (2k + 3) = n(n + 4) 14

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b) ∑nk=1 2k = 2(2n − 1) c) ∑nk=1 (3n − 2) =

n(3n − 1) 2

5. Aplicando algunos de los resultados anteriores. Hallar: a) La suma de los cuadrados de los naturales de 1 a 100 inclusive. ´ b) La suma de los primeros 100 numeros impares. ´ c) La suma de los primeros 100 numeros pares. ´ d) La suma de los primeros 150 numeros naturales. e) (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 85)2 = f ) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + 11 · 12 = II. CALCULO COMBINATORIO 6. Calcular 10! 5! · 5! ( n − 2) ! d) ( n − 4) ! a)

12! 7! · 5! n! e) (n − 3)! · 3!

16! 4! · 12! n! f) ( n − 2) !

b)

c)

7. Desarrollar a ) ( y + 3)4

b) ( a − 2b)6

c ) ( x 2 − 3)7

d ) ( a 2 − a − 2 )4 3

3

8. Obtener el o´ los t´erminos indicados en el desarrollo correspondiente. a) Tercer t´ermino de ( a + b)6 b) Cuarto t´ermino de ( a − 4b)7 c) T´ermino central de (y − 1y )8 d) Los dos t´erminos centrales de ( ab + 12 )11 e) Hallar el t´ermino independiente de x en el desarrollo de ( x2 − 1x )9 9. ¿De cu´antas maneras se pueden alinear 10 personas, sabiendo que dos de ellos han de estar juntos? 10. ¿Cu´antas distribuciones circulares pueden formarse con 6 personas? 11. ¿Cu´antas comisiones de 6 personas pueden formarse con 8 varones y 9 mujeres, sabiendo que ´ integra cada comision? ´ al menos un varon 12. ¿De cu´antas maneras pueden alinearse 5 varones y 5 mujeres de modo que aparezcan alternados?

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13. (Prueba de cierto o falso). ¿De cu´antas modos distintos se puede hacer una prueba formada por 10 preguntas de cierto o falso? ´ multiple, ´ 14. (Prueba de opci´on multiple). ´ Una prueba consiste en 6 preguntas de opcion y para cada pregunta hay 5 opciones para escoger de ah´ı la respuesta. ¿De cu´antas maneras distintas se puede resolver la prueba? 15. (Clave secreta). Un cliente recuerda que 2,4,7 y 9 son los cuatro d´ıgitos de una clave de acceso ´ a un cajero autom´atico. Desafortunadamente, ha olvidado el orden de los numeros. Calcule el ´ numeros m´aximo posible de intentos necesarios para obtener la clave correcta. ´ ´ ´ 16. (Numeros ´ telef´onicos). ¿Cu´antos numeros telefonicos de 7 d´ıgitos se pueden formar con los numeros del 0 al 9, si el primer d´ıgito no debe ser cero?. 17. (Elecciones de helado). Una fuente de sodas tiene helados de 31 sabores, y anuncia que puede ´ servir 4500 conos distintos de 3 bolas, cada una de ellas de distinto sabor. ¿Como calcularon ese ´ numero? 18. (Selecci´on de un comit´e). Se desea elegir un comit´e de 3 hombres y 2 mujeres entre un grupo de ´ 12 hombres y 8 mujeres. Calcule el numero de maneras distintas de formar el comit´e.

´ ´ PRACTICA 5 - ESTADISTICA DESCRIPTIVA 1. Realiza las tabulaciones discretas de los siguientes conjuntos de datos. a) 11 14 12 10 12 13 12 13 11 12 13 14 13 12 11 b) 36 34 31 33 32 34 33 32 35 33 31 35 33 33 34 33 34 31 36 31 2. Traza el diagrama de barras, de l´ınea y sectores, de las tabulaciones del ejercicio anterior. 3. A partir de las siguientes tabulaciones, obtener las columnas de frecuencias relativas y frecuencias porcentuales. X 17 18 a) 19 20 21 22

f 3 4 7 6 3 2

X 0 1 b) 2 3 4 5

f 21 24 26 25 23 21

X 21 22 c) 23 24 25 26

f 3 5 6 5 4 2

X A B d) C D E F

f 12 13 14 14 13 12

4. Traza el diagrama de barras. diagrama de a´ reas y el diagrama de sectores de las tabulaciones discretas del ejercicio anterior. 5. En las siguientes clasificaciones de datos, calcular las marcas de clase y amplitud de clase correspondientes a cada caso.

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Clase [18,26[ [26,34[ a) [34,42[ [42,50[ [50,58[ [58,66[

f 3 5 8 6 4 2

Clase [1.2,1.6[ [1.6,2.0[ b) [2.0,2.4[ [2.4,2.8[ [2.8,3.2[ [3.2,3.6[

f 4 7 9 6 4 3

Clase [30,36[ [36,42[ c) [42,48[ [48,54[ [54,66[ [66,72[

f 2 5 7 7 5 2

6. Utilizando las tablas anteriores, obtener las columnas correspondientes a las frecuencias relativas y frecuencias porcentuales. 7. Trazar el histograma para cada tabla del ejercicio 5. 8. Clasificar los siguientes conjuntos datos ˜ cumplidos del personal de una empresa pequena. ˜ a) Edad en anos 19 24 27 28 30 34 35 36 38 40 43 46 48 49 51 53 53 57 b) Estatura en cm de un grupo de personas 159 160 160 162 164 165 165 166 167 168 168 169 169 170 170 170 172 174 175 175 176 182 c) Peso en Kg de los habitantes de un edificio. 20 23 25 26 28 28 30 32 32 35 35 35 36 38 38 38 39 40 40 42 42 42 45 45 45 46 48 48 49 51 51 52 54 55 55 58 60 62 65 68 72 75 78 81 87 d) Sueldo en $us de los obreros de una empresa. 125 150 170 180 200 200 220 240 270 280 300 300 310 320 330 340 350 370 370 390 400 460 480 9. Realiza el diagrama de barras, l´ınea y sectores para los incisos del ejercicio anterior. (en Microsoft Excel) 10. Calcula la media aritm´etica, Mediana y Moda de los siguientes conjuntos de datos a) 4 5 5 10 12 13 14 b) 11 12 14 14 14 16 16 18 20 25 25 27 28 28 30 30 31 31 31 32 33 34 c) 54 57 58 59 60 61 62 63 64 64 65 65 65 66 66 67 68 70 71 71 72 72 74 74 75 75 76 76 77 80 d) A A A A B B B B B B B B B C C C C C C C D D D D E E E e) 17 17 17 18 18 19 19 20 20 20 20 21 22 22 22 23 24 25 26 26 27 27 28 29 29 30 30 31 32 33

f)

X 0 1 2 3 4

f 9 11 15 18 16

Clase [18,22[ [22,26[ g) [26,30[ [30,34[ [34,38[ 17

f 6 7 8 2 1

h)

Clase [44,50[ [50,56[ [56,62[ [62,68[ [68,74[ [74,80[

f 2 4 5 6 3 2 Lic. Miriam Cusi R.

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´ ´ 11. La media aritm´etica de tres numeros es de 20, si dos numeros son 15, 21. Calcula el tercer ´ numero. 12. Si la Media y Mediana respectivamente son 54 y 57, estimar el valor de la Moda. 13. Si la Mediana y Moda respectivamente son 68 y 72, estimar el valor de la Media. ´ se resume en la tabla. Calcular: 14. Las notas de un Universitario y su correspondiente ponderacion a) La media aritm´etica ponderada. b) Cu´anto deber´ıa tener en su nota de pr´acticas para aprobar el curso, si la nota m´ınima es de 51. Examen Nota/100 1er Parcial 30 2do Parcial 50 Pr´actica 70 Ex. Final 50

´ Ponderacion 25 % 25 % 20 % 30 %

´ calcular la Media, Mediana y Moda del conjunto de datos 15. Por el m´etodo de compilacion, 17 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 40 16. Resolver ´ de una ciudad en tres anos ˜ consecutivos fue de 9000, 128000, 15000 habia) La poblacion tantes, calcular su media geom´etrica. b) Tres secretarias poseen velocidad de mecanografiado de 36, 42, y 54 palabras por minuto ´ respectivamente. Calcular su velocidad armonica, que es la medida mas adecuada. c) El club de los ALFONSOS posee 20 miembros con una estatura promedio de 1,82m, el club de los DEMETRIOS cuenta con 40 miembros, con una estatura promedio de 1,52m, calcular el promedio de estatura de todos los miembros de ambos clubes.

´ PRACTICA 6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES ´ Gaussiana para encontrar las soluciones, si es que existen, de 1. Utiliza el M´etodo de Eliminacion los sistemas dados.     3x + 6x − 6x = 9 =4 2 3 1  x + y a) e) 2x1 − 5x2 + 4x3 =6 2x − 3y = 7     − x1 + 16x2 − 14x3 = −3 3x − 2y = 11     =4 0x1 + 2x2 + 5x3 = 6 x + y b) f) x1 + 0x2 − 2x3 =4 2x − y =7     2x1 + 4x2 + 0x3 = −3 3x − 4y = 8

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  =9  x1 + x2 + 2x3 c) 2x1 + 4x2 − 3x3 = 1   3x1 + 6x2 − 5x3 = 0   =0 2x1 + 2x2 + 2x3 d) −2x1 + 5x2 + 2x3 = 1   8x1 + x2 + 4x3 = −1

  3x − 2y = −1 g) 4x + 5y = 3   7x + 3y = 2   2x + 0y + 2z = 1 h) 3x − y + 4z =7   6x + y − z =0

2. Utiliza el M´etodo Gauss Jordan, para encontrar las soluciones de los incisos a), b), e) y g), del ejercicio anterior. 3. Reducir las siguientes matrices a la forma escalonada reducida     [ ] 2 −4 8 2 −7 2 −4 −2 5 8  a)  3 b) c)  3 3  3 1 6 −6 0 4 4 −3 4. Encontrar todas las soluciones de los sistemas homog´eneos  x1 + x2 − x3 =0   {  4x − x + 5x x1 − x2 + 7x3 − x4 = 0 2 3 1 b) a)  2x1 − 3x2 + 8x3 + x4 −2x1 + x2 − 2x3 = 0    3x1 + 2x2 − 6x3 = 0 5. Considere el sistema

  2x1 − 3x2 + 5x3 − x1 + 7x2 − x3   4x1 − 11x2 + kx3

=0 =0

=0 =0 =0

¿Para qu´e valor de k el sistema tiene soluciones no triviales? 6. En cada inciso, suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales ha sido reducida mediante operaciones elementales de fila a la forma escalonada dada. Resolver el sistema.         1 0 −2 1 −8 1 −3 1 1 1 −3 0 0 1 −3 4 7  0 0 1 1 6     0 1 4 0   0 0 1 0   0 1 2 2   0 0 0 1 3  0 0 1 −3 0 0 0 1 0 0 1 5 0 0 0 0 0 ˜ siguientes: 7. Suponer que A, B, C, D y F son matrices de los tamanos A4x5

B4x5

C5x2

D4x2

F5x4

Determinar cu´ales de las siguientes expresiones de matrices est´an definidas. Para las que est´en ˜ de la matriz resultante. definidas, proporcionar el tamano a) BA e) F ( A + B)

b) AC + D

c) AF + B

f ) F ( AC )

g) Ft A 19

d) AB + B h) ( At + F ) D Lic. Miriam Cusi R.

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8. En cada inciso, dar ejemplos de matrices que cumplan con la propiedad. ´ a) Ley conmutativa de la adicion: ´ b) Ley asociativa de la adicion:

A+B = B+A

A + ( B + C ) = ( A + B) + C

´ c) Ley asociativa de la multiplicacion: A( BC ) = ( AB)C d) Ley distributiva por izquierda:

A( B + C ) = AB + AC

9. En cada inciso, dar ejemplos de matrices que cumplan con la propiedad. a) ( At )t = A

b) ( A + B)t = At + Bt

c) ( A − B)t = At − bt

d) (kA)t = kAt , donde k es cualquier escalar

e) ( AB)t = Bt At 10. Realiza las operaciones indicadas con las siguientes matrices       [ ] 1 −1 2 5 1 −2 3 −1 4 −3 1 2  A =  3 −2 1  B =  3 0 −3  C= y D= 0 2 1 3 0 2 −1 −2 3 1 −5 4 a) 3A − 2B

b) ABt

c) DC − BAt

d) 4(7B)t

e) (( AB)C t )t

f ) ((4B − 2A) + DC )t

g) Encuentra una matriz E tal que 2A + 3B + E = 0 11. Encontrar todos los valores de a, b y c para los cuales A es sim´etrica.   2 a − 2b + 2c 2a + b + c  5 a+c A= 3 0 −2 7 12. Encontrar la inversa de la matriz dada, si la matriz es invertible, y comprobar la respuesta por ´ multiplicacion.(Sug. Aplicar operaciones elementales de fila a [ A| I ])     [ ] [ ] 3 4 −1 −1 3 −4 1 4 −3 6  1 0 3   2 4 1  2 7 4 5 2 5 −4 −4 2 −9 ´ dada para encontrar A. 13. En cada inciso, usar la informacion [ ] [ ] 2 −1 −3 7 −1 −1 a) A = b) (7A) = 3 5 1 −2 [ ] [ ] −3 −1 −1 2 t −1 −1 c) (5A ) = d) ( I + 2A) = 5 2 4 5

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14. Resolver los sistemas llevando a la forma AX = B y aplicando la inversa:  { {  2x1 + x2 + x3 x1 + 2x2 =7 3x1 − 6x2 = 8 a) b) c) 3x1 + 2x2 + x3  2x1 + 5x2 = −3 2x1 + 5x2 = 1  x2 + x3

=7 = −3 =5

´ PRACTICA 7 - DETERMINANTES 1. Calcular el determinante de cada matriz. 



2 −4 8 5 8  a)  3 −6 0 4

[ b)

2 −4 3 1

]





2 −7 4  3 3 −1  c) 0 2 −2

 2 1 4 0  −1 3 1 2   d)   0 1 −2 1  0 −1 1 −1 

2. Comprobar que det( A) = det( At ) para las matrices a y b del ejercicio anterior. 3. Evaluar el determinante de la matriz dada, reduciendo la matriz a la forma escalonada.      2 1 4 0 [ ] 2 −4 8 2 −7 4  −1 3 2 − 4 1 2 5 8  b) c )  3 3 −1  d)  a)  3  0 3 1 1 −2 1 −6 0 4 0 2 −2 0 −1 1 −1

   

4. Comprobar que det(kA) = kn det( A) para [ A=

−1 2 3 4



 2 −1 3 B =  3 2 1  , k = −2 1 4 5

] ,k = 2

5. Comprobar que det( AB) = det( A) det( B) para [ ] [ ] 5 2 −1 3 A= , B= 3 4 2 −1 6. Encontrar la adjunta de cada matriz     2 5 5 2 −3 5 A =  −1 −1 0  B =  0 1 −3  2 4 3 0 0 2



   2 0 3 2 0 0 C= 0 3 2  y D= 8 1 0  −2 0 −4 −5 3 6

7. Encontrar el determinante de cada matriz. (por el m´etodo que prefiera)         2 5 5 2 −3 5 2 0 3 2 0 0 A =  −1 −1 0  B =  0 1 −3  C= 0 3 2  y D= 8 1 0  2 4 3 0 0 2 −2 0 −4 −5 3 6 21

Lic. Miriam Cusi R.

´ CARRERA DE ING. GEOLOGICA

´ UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

1 adj( A) det( A)       2 −3 5 2 0 3 2 0 0 B =  0 1 −3  C= 0 3 2  y D= 8 1 0  0 0 2 −2 0 −4 −5 3 6

8. Encontrar A−1 por medio de A−1 = 

 2 5 5 A =  −1 −1 0  2 4 3

´ del sistema usando la regla de Cramer. 9. Encontrar la solucion   =9 3x1 + 6x2 − 6x3 a) 2x1 − 5x2 + 4x3 =6   − x1 + 16x2 − 14x3 = −3   =2 4x + 5y b) 11x + y + 2z = 3   x + 5y + 2z =1   =6  x − 4y + z c) 4x − y + 2z = −1   2x + 2y − 3z = −20

{ d) { e)

x+y 2x − 3y

x+y 2x − y

{ f)

3x − 2y 4x + 5y

=4 =7 =4 =7 = −1 =3

10. Resuelve. En una f´abrica hay tres m´aquinas A, B y C. cuando las tres est´an trabajando, producen 222 trajes por d´ıa. Si A y B trabajan, pero no C, producen 159 trajes por d´ıa. Si B y C trabajan, pero A no, ´ diaria de cada m´aquina? producen 147 trajes por d´ıa. Cu´al es la produccion 11. Resuelve. En una salida, los Estudiantes Ana, Beatriz y Carlos, encontraron 6 rocas especiales. Si el doble de las rocas que encontro´ Ana mas el triple de las de Carlos menos las de Beatriz son 9 rocas. Adem´as, el doble de las que tiene Beatriz mas el doble de las de Carlos menos las de Ana ´ tambi´en son 9. Determina el numero de rocas que cada uno tiene.

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Lic. Miriam Cusi R.