Problemario 1

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México Enero de 2016.

Ejercicio 2.2, página 21 Los tirantes del cable AB y AD ayudan a sostener el poste AC. Si se sabe que la tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la dirección de las fuerzas ejercidas por los tirantes en a) la ley del paralelogramo y b) la regla del triángulo.

Estrategia: Se traza un diagrama de cuerpo libre con origen en el punto A, donde representaremos la longitud de los cables. Calculamos el ángulo más pequeño que se forma entre cada vector y la horizontal. El siguiente paso es conocer las coordenadas del punto final de cada vector para poder trazar los vectores, sólo que esta vez los triángulos que se formaran tendrán como hipotenusa la magnitud de las fuerzas. Para el inciso a) como los vectores se encuentran unidos en su origen (cola con cola), el paralelogramo se cierra creando un

vector paralelo a AB de igual magnitud y sentido que empiece en la punta de AD, de igual manera se traza un segundo vector sólo que esta vez paralelo a AD y que corresponda con la magnitud y sentido de dicho vector con origen en la punta del vector AB. Ahora el vector resultante R se obtiene trazando una línea recta del origen del plano hasta el punto en que se unen los vectores secundarios (cabeza con cabeza). Al estar a escala 1:1 se puede medir la magnitud del vector resultante así como su dirección. Por otro lado, para el inciso b) trazamos el vector AB en el origen seguido por el vector AD tomando como origen el punto final del vector AB, y la resultante se obtiene trazando una línea recta del origen del plano al punto final del vector AD. Al estar a escala se puede medir la magnitud y dirección del vector R.

Solucion Para obtener α tenemos:

Para obtener β tenemos: 10

𝜶 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

8

)

β = 𝑡𝑎𝑛−1 (

10 6

)

Obtenemos las coordenadas del vector: 10

𝑋𝑨𝑩 = −𝑨𝑩cos (𝑡𝑎𝑛−1 ( 8 )) 10 )) 8

𝑌𝑨𝑩 = −𝑨𝑩sin (𝑡𝑎𝑛−1 (

10

𝑋𝑨𝑩 = −𝑨𝑫cos (𝑡𝑎𝑛−1 ( 6 )) 𝑋𝑨𝑩 = 𝑨𝑫sin (𝑡𝑎𝑛−1 (−

10 )) 6

1

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨𝑩 = (𝑋𝑨𝑩 , 𝑌𝑨𝑩 )

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑨𝑫 = (𝑋𝑨𝑫 , 𝑌𝑨𝑫 )

Al estar a escala se puede medir la magnitud y sentido del vector R Inciso a)

Inciso b)

𝑹 = 139.03, 66.95°

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Ejercicio 2.13, página 22 Un recipiente de acero debe colocarse dentro de una excavación. Determine por trigonometría a) la magnitud y dirección de la fuerza P más pequeña para la cual la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A sea vertical y b) la magnitud correspondiente a de R.

Estrategia: Trazamos un diagrama de cuerpo libre en el punto A, en el cual colocaremos el vector de magnitud 425 lb con un ángulo de 30° respecto a la vertical y un vector perpendicular al plano X que será nuestro vector resultante.

SOLUCIÓN: Con análisis trigonométrico nos damos cuenta que es un triángulo rectángulo pudiendo obtener la medida de los angul os internos, con lo que podemos obtener como componentes de l vector de 425 lb el vector P y R

𝑷 = 425 cos(30°) P = 368.06 lb en dirección del eje X +

R = 425 sin (30°) R = 212.5 lb en el eje Y +

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Ejercicio 2.20, página 23 Dos fuerzas P y Q se aplican a la tapa de un cajón de almacenamiento, como se muestra en la figura. Si se sabe que P = 60 N y Q= 48N, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas.

ESTRATÉGIA: Debemos hacer un plano cartesiano y trazamos el vector P en el origen e inmediatamente en la cabeza de dicho vector comenzamos a trazar el vector Q y mediante una línea recta unimos el final de este vector con el origen y obtendremos nuestro vector resultante.

SOLUCIÓN:

Ejercicio 2.28, página 29 El elemento BD ejerce sobre el miembro ABC una fuerza P dirigida a lo largo, de la línea BD. Si se sabe que P que debe tener una componente vertical de 240 lb, determine a) la magnitud de la fuerza P y b) su componente horizontal.

ESTRATÉGIA: Trazamos un diagrama de cuerpo libre en el que indiquemos la fuerza P con centro en el punto B, así como sus componentes. Ya que conocemos el valor de la componente vertical y el ángulo que forma la fuerza P con la horizontal podemos calcular mediante funciones trigonométricas el valor de la resultante y la componente horizontal. SOLUCIÓN: Gracias a estas funciones trigonométricas: cos(∅) =

𝑃𝑥 𝑃

sin(∅) =

𝑃𝑦 𝑃

Podemos despejar las incógnitas que buscamos quedando de la sig. Manera: 𝑃=

𝑃𝑦 sin(∅)

𝑃𝑥 = 𝑃cos(∅)

P = 373.37 lb Px = 286.02 lb

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Ejercicio 2.38, página 29 Si se sabe que 𝞪 = 75°, determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura. ESTRATÉGIA: Trazamos un plano cartesiano y por conveniencia tomaremos como eje x la dirección del vector de 60 lb y trazamos una recta perpendicular que será el eje y. Y mediante funciones trigonométricas obtendremos las componentes respectivas de cada vector y procederemos a sumarlas para obtener las coordenadas de la cabeza del vector resultante y con esto conocer el valor de sus componentes, una vez con estos valores es posible obtener el ángulo con la horizontal de la fuerza resultante.

SOLUCIÓN: Para la fuerza de 60 lb tenemos: 𝐹𝑥 =60 lb , 𝐹𝑦 = 0 Para la fuerza de 80 lb tenemos: 𝐹𝑥 = 80cos(𝛼) 𝐹𝑥 =20.70 lb

𝐹𝑦 = 80sin(𝛼) 𝐹𝑦 =77.27lb

Para la fuerza de 120 lb tenemos: 𝐹𝑥 = 120sin(𝛼)

𝐹𝑦 = −120cos(𝛼)

Fx =115.91 lb

Fy =-31.05 lb

Por lo tanto la fuerza resultante es: 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = ∑ 𝐹𝑥 𝑖̂ + ∑ 𝐹𝑦 𝑗̂ 𝐹𝑅 = (196.61 𝑖̂ + 46.22𝑗̂)𝑙𝑏 Con tan (θ) donde θ es el ángulo entre el vector resultante y la horizontal podemos obtener dicho ángulo.

𝐹

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑦 )=13.19° 𝐹𝑥

𝐹𝑅 = √𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑥 2 = 201.96 lb

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Ejercicio 2.41, página 30 Un carrito de grúa está sujeto a las tres fuerzas que se muestran en la figura. Si se sabe que α = 40° determine a) la magnitud requerida de la fuerza P si la resultante de las tres fuerzas debe ser vertical y b) la magnitud correspondiente de la resultante. ESTRATÉGIA: Realizamos un diagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas que actúan en el problema. Usamos las componentes de cada vector para obtener la fuerza resultante.

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = ∑ 𝐹𝑥 𝑖̂ + ∑ 𝐹𝑦 𝑗̂

1

Obtenemos las componentes de cada vector y aplicamos la ecuación 1: 𝑃𝑥 = 𝑃𝑥 𝐹(200𝑙𝑏)𝑥 = 200 sin 𝛼 𝐹(400𝑙𝑏)𝑥 = −400 cos 𝛼

𝑃𝑦 = 0 𝐹(200𝑙𝑏)𝑦 = −200 cos 𝛼 𝐹(400𝑙𝑏)𝑦 = −400 sin 𝛼

Aplicamos la ecuación 1 obteniendo lo siguiente: 𝐹𝑅𝑥 = 𝑃𝑥 + 200 sin 𝛼 − 400 cos 𝛼 , pero como la resultante debe ser vertical no hay componente en x por lo que 𝐹𝑅𝑥 = 0 𝑦 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒: 0 = 𝑃𝑥 + 200 sin 𝛼 − 400 cos 𝛼 𝑃𝑥 = −200 sin 𝛼 + 400 cos 𝛼 𝑎) 𝑃𝑥 = 177.860 𝑙𝑏 Para el inciso b) tenemos: 𝐹𝑅𝑦 = −400 sin 𝛼 − 200 cos 𝛼 𝐹𝑅𝑦 = −410.32𝑙𝑏 b) ‖𝐹𝑅𝑦 ‖=410.32lb

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