Problemario Estadistica

Estimaciones Media Poblacional Intervalo de confianza de 𝜇 cuando se conoce 𝜎 2 (o n≥30) 𝑋̅ − 𝑍𝛼/2

𝜎 √𝑛

< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑍𝛼/2

𝜎 √𝑛

Ejemplos: 1. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se obtiene en una muestra de mediciones en 36 sitios diferentes de un río es de 2.6 gramos por mililitro. Calcule los intervalos de confianza del 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es de 0.3 gramos por mililitro.

n=36 media= 2.6 nc= 95% s=0.3

La concentración promedio de zinc en el rio a un nivel de

Z1=1.96

significancia del 95% se encuentra entre 2.4713 y 2.7288

Z2=2.575

La concentración promedio de zinc en el rio a un nivel de significancia del 99% se encuentra entre 2.7288 y 2.4713

2. En un experimento de pruebas psicológicas se seleccionan al azar 25 sujetos y se miden sus tiempos de reacción, en segundos, ante un estímulo particular. La experiencia sugiere que la varianza en los tiempos de reacción ante los diferentes tipos de estímulos es de 4 s2 y que la distribución del tiempo de reacción es aproximadamente normal. El tiempo promedio para los sujetos fue de 6.2 segundos. Calcule un límite superior del 95% para el tiempo medio de reacción.

n=25 s=2 nc=95% promedio= 6.2 Z=1.96

El tiempo promedio de reacción ante un estímulo en particular se encuentra entre 1.8160 y 3.3849 para un nivel de significancia del 95%

3. Se obtienen las calificaciones de matemáticas del Examen de Aptitudes Escolares (SAT, por sus siglas en inglés) de una muestra aleatoria de 500 estudiantes del último año de preparatoria del estado de Texas. Se calculan la media y la desviación estándar muestrales, que son 501 y 112, respectivamente. Calcule un intervalo de confianza del 99% de la calificación promedio de matemáticas en el SAT para los estudiantes del último año de preparatoria del estado de Texas.

n=500 media=501 s=112 nc=99% Z=2.575

La calificación promedio de matemáticas en el SAT para los estudiantes de último año de preparatoria del estado de Texas se encuentra entre 488.1024 y 513.8976 para un nivel de confianza del 99%

Intervalo de confianza de 𝜇 cuando no se conoce 𝜎 2 y n < 30 𝑠 𝑠 𝑋̅ − 𝑡𝛼/2 < 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑡𝛼/2 √𝑛 √𝑛 Ejemplos: 4. El contenido de ácido sulfúrico de 7 contenedores similares es de 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de todos los contenedores suponiendo una distribución aproximadamente normal. n=7 promedio=10 s=0.2828 nc=95% t=2.447

El contenido promedio de ácido sulfúrico de todos los contenedores se encuentra entre los valores 9.7384 y 10.2626 a un nivel de significancia del 95%

5. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de las piezas y los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Calcule un intervalo de confianza del 99% para la media del diámetro de las piezas que se manufacturan con esta máquina. Suponga una distribución aproximadamente normal n=9 promedio=1.0056 s=0.0246 nc=99% t=3.355

La media del diámetro de las piezas metálicas se encuentra entre los valores o.7580 y 1.2532 a un nivel de confianza de 99%

6. Se registran las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de cierta marca de pintura vinílica: 3.4, 2.5, 4.8, 2.9, 3.6, 2.8, 3.3, 5.6, 3.7, 2.8, 4.4, 4.0, 5.2, 3.0, 4.8 Suponga que las mediciones representan

una

muestra aleatoria de una

población normal y

con base en esto calcule el intervalo de confianza del 95% para el tiempo de secado de la siguiente prueba de pintura. n=15 promedio=3.7867 s=0.9709 nc=95% t=2.145

El promedio de secado en horas para cierta marca de pintura vinílica se encuentra entre los valores 3.2490 y 4.3244 para un nivel de confianza del 95%

Proporción de la población Intervalo de confianza para p de una muestra grande (n ≥ 30) 𝑝̂ 𝑞̂ 𝑝̂ 𝑞̂ 𝑝̂ − 𝑍𝛼/2 √ < 𝑃 < 𝑝̂ + 𝑍𝛼/2 √ 𝑛 𝑛 7. En una muestra aleatoria de n = 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Hamilton, Canadá, se encuentra que x = 340 están suscritas a HBO. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la proporción real de familias que tienen televisores en esta ciudad y están suscritas a HBO. n=500 x=340 nc=95%

la proporción real de familias que tienen televisores en esta ciudad y están suscritas a HBO en la ciudad de Hamilton, Canadá se encuentra entre los valores 0.6391 y 0.7209 para un intervalo de confianza del 95%

8. Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes en una ciudad y se encuentra que 114 apoyan un juicio de anexión. Calcule el intervalo de confianza del 96% para la parte de la población votante que está a favor del juicio. ¿Qué podemos afirmar con 96% de confianza acerca de la posible magnitud de nuestro error, si estimamos que la fracción de votantes que está a favor del juicio de anexión es 0.57?

Prueba de hipótesis de una muestra 10.30 Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado revelo una vida promedio de 71.8 años. Si se supone una desviación estándar de la población de 8.9 años, ¿Esto parece indicar que la vida media actual es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

10.40 Suponga que un ingeniero se interesa en probar el sesgo en un medidor de pH. Se reúnen datos de una sustancia neutra (pH = 7.0). Se toma una muestra de las mediciones y los datos son los siguientes: 7.07 7.00 7.10 6.97 7.00 7.03 7.01 7.01 6.98 7.08 𝐻0 : 𝜇 = 7 𝐻1 : 𝜇 ≠ 7

10.19 En un informe de investigación, Richard H. Weindruch, de la Escuela de Medicina de la UCLA, afirma que los ratones con una vida promedio de 32 meses vivirán hasta alrededor de 40 meses si 40% de las calorías en su dieta se reemplazan con vitaminas y proteínas. Hay alguna razón para creer que μ < 40, si 64 ratones que son sometidos a esa dieta tienen una vida promedio de 38 meses, con una desviación estándar de 5.8 meses? Utilice un valor P en su conclusión. 𝐻0 : 𝜇 > 40 𝐻1 : 𝜇 < 40

10.20 Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas con queso chedar pesan, en promedio, 5.23 onzas, con una desviacion estandar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que μ = 5.5 onzas contra la hipotesis alternativa de que μ < 5.5 onzas, al nivel de significancia de 0.05. 𝐻0 : 𝜇 > 5.5 𝐻1 : 𝜇 < 5.5 5.23−5.5

Ζ = 0.24/√64= -9 Valor P = 0.0030

Se rechaza 𝐻0

10.21 Una empresa de material electrico fabrica bombillas que tienen una duracion que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviacion estandar de 40 horas. Pruebe la hipotesis de que μ = 800 horas contra la alternativa de que μ ≠ 800 horas, si una muestra aleatoria de 30 bombillas tiene una duracion promedio de 788 horas. Utilice un valor P en su respuesta. 𝐻0 : 𝜇 = 800 𝐻1 : 𝜇 ≠ 800 Ζ=

788−800 40/√30

= -1.6432

Valor P = 0.1010

No se rechaza 𝐻0

10.22 En la revista Hypertension de la American Heart Association, investigadores reportan que los individuos que practican la meditacion trascendental (MT) bajan su presion sanguinea de forma significativa. Si una muestra aleatoria de 225 hombres que practican la MT meditan 8.5 horas a la semana, con una desviación estandar de 2.25 horas, .esto sugiere que, en promedio, los hombres que utilizan la MT meditan mas de 8 horas por semana? Cite un valor P en su conclusion. 𝐻0 : 𝜇 < 8 𝐻1 : 𝜇 > 8 8.5−8

Ζ = 2.25/√225= 3.3333

Valor P = 0.0004

Se rechaza 𝐻0

No se tiene suficiente información que afirme que los hombres que utilizan la MT meditan menos de 8 horas por semana

10.23 Pruebe la hipotesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante especifico es de 10 litros, si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son: 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice

un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribución del contenido es normal. 𝐻0 : 𝜇 = 10 𝐻1 : 𝜇 ≠ 10 10.06−10

t = 0.2458∕√10= 0.7716 t critica =3.250

No se rechaza 𝐻0

No se puede afirmar que el contenido promedio de los envases de un lubricante especifico es diferente de 10 litros

10.24 La estatura promedio de mujeres en el grupo de primer año de cierta universidad ha sido, historicamente, de 162.5 centimetros, con una desviacion estándar de 6.9 centimetros. .Existe alguna razon para creer que ha habido un cambio en la estatura promedio, si una muestra aleatoria de 50 mujeres del grupo actual de primer ano tiene una estatura promedio de 165.2 centimetros? Utilice un valor P en su conclusion. Suponga que la desviacion estandar permanece constante. 𝐻0 : 𝜇 = 162.5 𝐻1 : 𝜇 ≠ 162.5 Ζ=

165.2−162.5 6.9/√50

= 2.7669

Valor P = 0.0056

Se rechaza 𝐻0

No se tiene suficiente información para creer que no ha habido un cambio en la estatura promedio.

10.25 Se afirma que los automoviles recorren en prome dio mas de 20,000 kilometros por ano. Para probar tal afirmacion se pide a una muestra de 100 propietarios de automoviles seleccionada de manera aleatoria que lleven un registro de los kilometros que recorren. .Estaria usted de acuerdo con esta

afirmacion, si la muestra aleatoria indicara un promedio de 23,500 kilometros y una desviacion estandar de 3900 kilometros? Utilice un valor P en su conclusion. 𝐻0 : 𝜇 < 20000 𝐻1 : 𝜇 > 200000 Ζ=

23500−20000 3900/√100

= 8.9743

Valor P = 0.0056

Se rechaza 𝐻0

No se tiene suficiente información para afirmar recorren en prome dio mas de 20,000 kilometros .

10.26 De acuerdo con un estudio sobre un régimen alimenticio, la ingesta elevada de sodio se relaciona con ulceras, cancer estomacal y migranas. El requerimiento humano de sal es de tan solo 220 miligramos diarios, el cual se rebasa en la mayoria de las porciones individuales de cereales listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 porciones similares de cierto cereal tiene un contenido medio de 244 miligramos de sodio y una desviacion estandar de 24.5 miligramos, .esto sugiere, a un nivel de significancia de 0.05, que el contenido promedio de sodio para porciones individuales de ese cereal es mayor que 220 miligramos? Suponga que la distribucion de contenidos de sodio es normal. 𝐻0 : 𝜇 < 220 𝐻1 : 𝜇 > 220 244−220

t = 24.5∕√20= 4.3809 Valor P = 0

Se rechaza 𝐻0

No se tiene suficiente información para afirmar que el contenido promedio de sodio para porciones individuales de ese cereal es menor que 220 miligramos.

10.55 Un experto en mercadotecnia de una empresa fabricante de pasta considera que 40% de los amantes de la pasta prefieren la lasaña. Si 9 de 20 amantes de la pasta eligen la lasaña sobre otras pastas, ¿qué se puede concluir acerca de la afirmación del experto? Utilice un nivel de significancia de 0.05 𝐻0 : 𝑃 = 0.40 𝐻1 : 𝑃 ≠0.40

Ζ=

0.0500 0.1000

=0.500

z critica= 1.645 No se rechaza 𝐻0

10.56 Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos estaban a favor de la pena capital. ¿Existe alguna razón para creer que la proporción de adultos que está a favor de la pena capital ha aumentado si, en una muestra aleatoria de 15 adultos, 8 están a favor de la pena capital? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 𝐻0 : 𝑃 ≤ 0.40 𝐻1 : 𝑃 > 0.40

Ζ=

0.1333 −0.1153

=-1.1599

Z critica= 1.645 No se rechaza 𝐻0

10.57 Se está considerando utilizar un nuevo aparato de radar para cierto sistema de misiles de defensa. El sistema se verifica experimentando con una aeronave en la que se simula una situación en la que alguien muere y otra en la que no ocurre ninguna muerte. Si en 300 ensayos ocurren 250 muertes, al nivel de significancia de 0.04, acepte o rechace la afirmación de que la probabilidad de una muerte con el nuevo sistema no excede a la probabilidad de 0.8 del sistema que se utiliza actualmente. 𝐻0 : 𝑃 ≤ 0.80 𝐻1 : 𝑃 > 0.80

Ζ=

0.0333 0.0447

=1.1599

P-value= 0.0746 No se rechaza 𝐻0 10.58 Se cree que al menos 60% de los residentes de cierta área están a favor de una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión extraería si sólo 110 en una muestra de 200 votantes están a favor de la demanda? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 𝐻0 : 𝑃 ≤ 0.60 𝐻1 : 𝑃 > 0.60

Ζ= -1.4434 Z Critica= 1.645 No se rechaza 𝐻0

10.59 Una empresa petrolera afirma que en una quinta parte de las viviendas de cierta ciudad la gente utiliza petróleo como combustible para calentarlas. ¿Existen razones para creer que en menos de una quinta parte de las viviendas la gente utiliza este combustible para calentarlas si, en una muestra aleatoria de 1000 viviendas de esa ciudad, se encuentra que 136 utilizan petróleo como combustible? Utilice un valor P en su conclusión. 𝐻0 : 𝑃 ≥ 0.20 𝐻1 : 𝑃 < 0.20

Ζ=-5.0596 P-value= 0 No se rechaza 𝐻0

10.60 En cierta universidad se estima que a lo sumo 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. ¿Parece que ésta es una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela? Utilice un nivel de significancia de 0.05. 𝐻0 : 𝑃 = 0.25 𝐻1 : 𝑃 ≠ 0.25

Ζ=1.2961 Z critica= 1.96 No se rechaza 𝐻0

Prueba de hipótesis con 2 muestras 10.31 Un fabricante afirma que la resistencia promedio a la tensión del hilo A excede a la resistencia a la tensión promedio del hilo B en al menos 12 kilogramos. Para probar esta afirmación se pusieron a prueba 50 pedazos de cada tipo de hilo en condiciones similares. El hilo tipo A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 86.7 kilogramos con una desviación estándar de 6.28 kilogramos; mientras que el hilo tipo B tuvo una resistencia promedio a la tensión de 77.8 kilogramos con una desviación estándar de 5.61 kilogramos. Pruebe la afirmación del fabricante usando un nivel de significancia de 0.05. 10.28 De acuerdo con Chemical Engineering, una propiedad importante de la fibra es su absorbencia de agua. Se encontró que el porcentaje promedio de absorción de 25 pedazos de fibra de algodón seleccionados al azar es 20, con una desviación estándar de 1.5. Una muestra aleatoria de 25 pedazos de acetato reveló un porcentaje promedio de 12 con una desviación estándar de 1.25. ¿Existe evidencia sólida de que el porcentaje promedio de absorción de la población es significativamente mayor para la fibra de algodón que para el acetato? Suponga que el porcentaje de absorbencia se distribuye de forma casi normal y que las varianzas de la población en el porcentaje de absorbencia para las dos fibras son iguales. Utilice un nivel de significancia de 0.05. 10.32 El Amstat News (diciembre de 2004) lista los sueldos medios de profesores asociados de estadística en instituciones de investigación, en escuelas de humanidades y en otras instituciones en Estados Unidos. Suponga que una muestra de 200 profesores asociados de instituciones de investigación tiene un sueldo promedio de $70,750 anuales con una desviación estándar de $6000. Suponga también que una muestra de 200 profesores asociados de otros tipos de instituciones tiene un sueldo promedio de $65,200 con una desviación estándar de $5000. Pruebe la hipótesis de que el sueldo medio de profesores asocia dos de instituciones de investigación es $2000 más alto que el de los profesores de otras instituciones. Utilice un nivel de significancia de 0.01.

10.39 Los siguientes datos representan los tiempos de duración de películas producidas por 2 empresas cinematográficas:

Pruebe la hipótesis de que la duración promedio de las películas producidas por la empresa 2 excede al tiempo promedio de duración de las que produce la empresa 1 en 10 minutos, contra la alternativa unilateral de que la diferencia es de menos de 10 minutos. Utilice un nivel de significancia de 0.1 y suponga que las distribuciones de la duración son aproximadamente normales con varianzas iguales.

10.35 Para indagar si un nuevo suero frena el desarrollo de la leucemia se seleccionan 9 ratones, todos en una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de supervivencia, en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:

A un nivel de significancia de 0.05, ¿se puede decir que el suero es eficaz? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen de forma normal con varianzas iguales. 10.38 Un investigador de la UCLA afirma que el promedio de vida de los ratones se puede prolongar hasta por 8 meses cuando se reducen las calorías en su dieta aproximadamente 40% desde el momento en que se destetan. Las dietas restringidas se enriquecen a niveles normales con vitaminas y proteínas. Suponga que a una muestra aleatoria de 10 ratones que tienen una vida promedio de 32.1 meses con una desviación estándar de 3.2 meses se les alimenta con una dieta normal, mientras que a una muestra aleatoria de 15 ratones que tienen un promedio de vida de 37.6 meses con una desviación estándar de 2.8 meses se les alimenta con la dieta restringida. A un nivel de significancia de 0.05 pruebe la hipótesis de que el promedio de vida de los ratones con esta dieta restringida aumenta 8 meses, contra la alternativa de que el aumento es menor de 8 meses. Suponga que las distribuciones de la esperanza de vida con las dietas regular y restringida son aproximadamente normales con varianzas iguales.

10.40 En un estudio realizado en Virginia Tech se compararon los niveles de ácido ascórbico en plasma en mujeres embarazadas fumadoras con los de mujeres no fumadoras. Para el estudio se seleccionaron 32 mujeres que estuvieran en los últimos 3 meses de embarazo, que no tuvieran padecimientos importantes y que sus edades fluctuaran entre los 15 y los 32 años. Antes de tomar muestras de 20 ml de sangre se pidió a las participantes que fueran en ayunas, que no tomaran sus suplementos vitamínicos y que evitaran alimentos con alto contenido de ácido ascórbico. A partir de las muestras de sangre se determinaron los siguientes valores de ácido ascórbico en el plasma de cada mujer, en miligramos por 100 mililitros:

¿Existe suficiente evidencia para concluir que hay una diferencia entre los niveles de ácido ascórbico en plasma de mujeres fumadoras y no fumadoras? Suponga que los dos conjuntos de datos provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. Utilice un valor P.

10.42 Cinco muestras de una sustancia ferrosa se usaron para determinar si existe una diferencia entre un análisis químico de laboratorio y un análisis de fluorescencia de rayos X del contenido de hierro. Cada muestra se dividió en dos submuestras y se aplicaron los dos tipos de análisis. A continuación, se presentan los datos codificados que muestran los análisis de contenido de hierro:

Suponga que las poblaciones son normales y pruebe, al nivel de significancia de 0.05, si los dos métodos de análisis dan, en promedio, el mismo resultado.