Problemas Cap 3

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Capítulo 3  Aproximaciones y errores de redondeo

PROBLEMAS 3.1  Convierta los números que se presentan base 2 a base 10: a) 101101; b) 110.011 y c) 0.01101. 3.2  Convierta los siguientes números base 8 a base 10: 71 263 y 3.147. 3.3  Realice su propio programa con base en la figura 3.11 y úselo para determinar el épsilon de máquina de su computadora. 3.4  En forma similar a la de la figura 3.11, escriba un programa corto para determinar el número más pequeño, xmín, que utiliza la compu­ tadora que empleará con este libro. Observe que su computadora será incapaz de diferenciar entre cero y una cantidad más pequeña que dicho número. 3.5  La serie infinita n

1 4 i i=1

f (n) = ∑

converge a un valor de f(n) = p 4/90 conforme n se tiende a infinito. Escriba un programa de precisión sencilla para calcular f (n) para n = 10 000 por medio de calcular la suma desde i = 1 hasta 10 000. Después repita el cálculo pero en sentido inverso, es decir, desde i = 10 000 a 1, con incrementos de –1. En cada caso, calcule el error relativo porcentual verdadero. Explique los resultados. 3.6  Evalúe e–5 con el uso de dos métodos e− x = 1 − x + y e

−x

1 = x = e

x2 x3 − + 2 3!

3.8  a) Evalúe el polinomio y = x3 – 5x2 + 6x + 0.55 en x = 1.37. Utilice aritmética de 3 dígitos con corte. Evalúe el error relativo porcentual. b) Repita el inciso a) pero exprese a y como y = ((x – 5)x + 6)x + 0.55 Evalúe el error y compárelo con el inciso a). 3.9  Calcule la memoria de acceso aleatorio (RAM) en megabytes, que es necesaria para almacenar un arreglo multidimensional de 20 × 40 × 120. Este arreglo es de doble precisión, y cada valor requiere una palabra de 64 bits. Recuerde que una palabra de 64 bits = 8 bytes, y un kilobyte = 210 bytes. Suponga que el índice comienza en 1. 3.10  Determine el número de términos necesarios para aproximar cos x a 8 cifras significativas con el uso de la serie de Maclaurin. cos x = 1 −

x 2 x 4 x 6 x8 + − + − 2 4! 6! 8!

Calcule la aproximación en donde el valor de x = 0.3p. Escriba un programa para determinar el resultado. 3.11  Utilice aritmética de 5 dígitos con corte para determinar las raíces de la ecuación siguiente, por medio de las ecuaciones (3.12) y (3.13). x2 – 5 000.002x + 10

1

x2 x3 + + 2 3! y compárelo con el valor verdadero de 6.737947 × 10–3. Utilice 20 términos para evaluar cada serie y calcule los errores relativos aproxi­ mado y verdadero como términos que se agregaran. 3.7  La derivada de f(x) = 1/(1 – 3x2) está dada por 6x (1 − 3 x 2 )2

Calcule los errores relativos porcentuales de sus resultados. 3.12  ¿Cómo puede emplearse el épsilon de la máquina para formu­ lar un criterio de detención es para sus programas? Dé un ejemplo. 3.13  El método “dividir y promediar”, un antiguo método para aproximar la raíz cuadrada de cualquier número positivo a se puede formular como

¿Esperaría dificultades para evaluar esta función para x = 0.577? Inténtelo con aritmética de 3 y 4 dígitos con corte.

Escriba una función bien estructurada para implementar este algorit­ mo basado en el algoritmo descrito en la figura 3.3.

1+ x +

   x =

x + a/x 2

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