Problemas Propuestos 2.docx

PROBLEMAS PROPUESTOS Problemas 1GDL 1.

Desarrolle la ecuación que controla el movimiento longitudinal del sistema de la figura 1 la barra está hecha de un material elástico con módulo de elasticidad E; el área de su sección transversal es -4 y su longitud es L. Desprecie la masa de la barra y mida u desde la posición de equilibrio estático.

Figura 1 2.

Un disco rígido de masa m está montado en el extremo de un eje flexible (figura 2). Desprecie el peso del e je y el amortiguamiento, y deduzca la ecuación de la vibración torsional libre del disco. El módulo cortante (de rigidez.) del eje es G.

Figura 2

3.

Deduzca la ecuación de movimiento para el marco que se muestra en la figura 3b. La rigidez, a la flexión de la viga y las columnas es como se indica. La masa concentrada en la viga es m; de manera alternativa, suponga que el marco no tiene masa y desprecie el amortiguamiento.

Figura 3

4.

Escriba la ecuación de movimiento para el marco de un nivel y una crujía que se muestra en la figura 4. La rigidez a la flexión de la viga y las columnas es como se indica. La masa concentrada en la viga es m ; de manera alternativa, suponga que el marco no tiene masa y desprecie el amortiguamiento.

Figura 4

5.

Escriba la ecuación de movimiento para el m arco de un nivel y una crujía que se muestra en las figuras 5a y 5b. La rigidez a la flexión de la viga y las columnas es como se indica. La masa concentrada en la viga es m; de manera alternativa, suponga que el marco no tiene masa y desprecie el amortiguamiento. Comente sobre el efecto del empotramiento de la b ase al comparar las dos ecuación es de movimiento.

Fig. 5a

Fig 5b

6. Una plataforma masiva infinitamente rígida con peso w se apoya en cuatro columnas, las cuales están articuladas en sus extremos superior e inferior y se encuentran contraventeadas lateralmente en cada panel lateral mediante dos alambres de acero diagonales, como se muestra en la figura 8. Cada alambre diagonal se pretensa hasta un esfuerzo alto; el área de la sección transversal es A y el módulo de elasticidad es E. Desprecie la masa de las columnas y de los alambres, y deduzca la ecuación de movimiento que controla la vibración libre en (a) la dirección x y (b) la dirección y. (Sugerencia: debido a la alta pretensión, todos los cables contribuyen a la rigidez estructural).

Fig. 6

7.

Un automóvil se idealiza de manera aproximada como una masa concentrada m apoyada en un sistema de resorte-amortiguador, como se muestra en la figura 6. El automóvil se desplaza a una velocidad constante i; sobre un camino, cuyas irregularidades se conocen

como una función de la posición a lo largo de dicho camino. Deduzca la ecuación de movimiento.

Fig. 7 8.

Determine la ecuación de movimiento para el desplazamiento horizontal del marco de acero de la fig. 8 Suponga que la viga horizontal es infinitamente rígida y desprecie la masa de las columnas. W10x33: IX=171 in4 W8x24: IX=82.5 in4 E = 29 000 Kips7in2

Figura 8 9.

Determine la ecuación del movimiento de la viga de la fig. 9. que soporta un peso concentrado W en su centro. Desprecie la masa de la viga.

Figura 9 10. Una bala que pesa 0.2 lb se dispara a una velocidad de 100 pies/seg sobre un bloque de madera que pesa W=50 lb y la rigidez del resorte es de 300 lb/in (Fig.3). determine el desplazamiento u (t) y la velocidad v (t) el bloque t segundos después.

Fig. 10 11. Un sistema de un grado de libertad consiste de una masa de peso de 386 lb y una constante de rigidez k 3000lb / in . Al probar el sistema se encontró que una fuerza de 100lb produce una velocidad relativa de 12in / seg . Encontrar a) La razón de amortiguación,  b) La frecuencia natural de vibración, Wn c) Decremento logarítmico, d) La razón entre dos amplitudes consecutivas u1/u2

12. El depósito de agua mostrado en la Fig 12. está sometido al movimiento del terreno producido por un tren que pasa en la cercanía. El movimiento de la torre con una amplitud de 0,1 g a una frecuencia de 10 cps. Determine el movimiento de la torre con relación a su cimiento. Suponga que la amortiguación efectiva es del 10% dela amortiguación crítica del sistema.

Fig. 12

13. Determinar la frecuencia natural, amplitud de vibración y el máximo esfuerzo normal en la viga simplemente apoyada que lleva un motor de peso W=30KN. El motor gira a 400rpm e induce a una fuerza vertical F (t)=8senΩt (E=210*10^9N/m 2, I=8950*10^ -8m4, S=597*10^- 6m3).

Fig. 13 14. Un sistema es modelado por dos masas vibrantes m1 y m2 interconectadas por un resorte K y un elemento de amortiguación “c”. Para una fuerza armónica F=FosenΩt aplicada a la masa m2. Determine: a) La ecuación diferencia del movimiento, en función del movimiento relativo de las dos masas xt=x2-x1 b) La solución permanente del movimiento relativo

Fig. 14

15. Una mesa pesada se apoya sobre patas de acero planas (figura 15 ). Su periodo natural de vibración lateral es de 0 .5 segundos. Cuando se sujeta una placa de 50 libras a su superficie, el periodo natural de vibración lateral se alarga a 0.75 segundos. ¿Cuáles son el peso y la rigidez lateral del sistema?

Fig. 15

16. Un aparato de aire acondicionado que pesa 1200 Ib se atornilla en medio de dos vigas paralelas de acero simplemente apoyadas (figura 16). El claro libre de las vigas es de 8 pies. El segundo momento del área de la sección transversal de cada viga es de 10 pulg4. H motor de la unidad funciona a 300 rpm y, a esta velocidad, produce una fuerza vertical desbalanceada de 6 0 Ib. Desprecie el peso de las vigas y suponga 1 % de amortiguamiento viscoso en el sistema; para el acero E=30,000 ksi. Considere la fuerza desbalanceada y determine las amplitudes de la deflexión en estado estacionario y la aceleración de estado estacionario (en g ’s) para las vigas en sus pun tos medios.

Fig. 16 17. La masa m. la rigidez A: y la frecuencia natural wn de un sistema de 1GDL no amortiguado se desconocen. Estas propiedades deben determinarse mediante pruebas de excitación armónica. Con una frecuencia de excitación de 4 Hz. la respuesta tiende a aumentar sin límite (es decir, una condición resonante). Enseguida, un peso w = 5 Ib se conecta a la masa m y se repite la prueba de resonancia. Esta vez la resonancia se produce en / = 3 Hz. Determine la masa y la rigidez del sistema. 18. Una máquina se apoya sobre cuatro resortes de acero cuyos amortiguamientos pueden des preciarse. La frecuencia natural de la vibración vertical del sistema máquina-resorte es de 200 ciclos por minuto. La máquina genera una fuerza vertical p( t ) = p0 sen t. La amplitud del desplazamiento vertical de estado estacionario resultante para la máquina es u0 = 0.2 pulg cuando la máquina está funcionando a 20 revoluciones por minuto (rpm), 1.042 pulg a 180 rpm y 0.0248 pulg a 600 rp m. Calcule la amplitud del movimiento vertical de la máquina si los resortes de acero se sustituyen por cuatro aisladores de caucho que proporcionan la misma rigidez, pero introducen un amortiguamiento

equivalente a< = 25% para el sistema. Comente la eficacia de los aisladores a diferentes velocidades de la máquina. 19. Una viga de masa m distribuida está apoyada en A, y conectada al suelo mediante un resorte de rigidez k1 y a un amortiguador C, 2L y L medidas desde punto A, respectivamente, y en su extremo a un brazo de acero de masa depreciable, mediante un resorte de rigidez k2. Si la viga es ínfimamente rígida. Determine la ecuación del movimiento cuando es sometida a una carga p(t).

Fig. 19

20. Hallar las ecuaciones de movimiento para el sistema mostrado. Asumir rotaciones pequeñas para ambas barras rígidas. La barra superior tiene una masa 6M y la inferior M/2.

Problemas VGDL

21. Formule las ecuaciones de movimiento para el sistema de la figura 21, con los dos grados de libertad definidos en el centro de masa O de la barra rígida; traslación ut, y rotación u 

Fig. 21

22. Formule las ecuaciones de vibración libre para el marco de dos elementos de la figura 22. Para ambos elementos la rigidez a la flexión es E l y las deformaciones axiales deben despreciarse. El marco no tiene masa y sostiene masas concentradas en los dos nodos de la manera mostrada.

Fig. 22

23. En la figura 23 se muestra una losa uniforme apoyada sobre cuatro columnas unidas rígidamente a la losa y empotradas en su base. La losa tiene una masa total m y es rígida en el plano y fuera del plano. Cada columna tiene una sección transversal circula r y su segundo momento de área transversal alrededor de cualquier eje diametral es como se indica. Con los grados de libertad seleccionados como ux, uy y u en el centro de la losa y usando coeficientes de influencia (vector de localización): (a) Formule las matrices de masa y rigidez en términos de m y de la rigidez lateral k = 12El/h3 de la columna más pequeña; h es la altura. (b) Formule las ecuaciones de movimiento para un movimiento de terreno en (i) la dirección x, (ii) la dirección y, y (iii) la dirección .

Fig. 23

24. Repita el problema 23 utilizando los grados de libertad mostrados en la figura 24.

Fig. 24

SISTEMAS GENERALIZADOS DE 1GDL: SISTEMA DE MASA CONCENTRADA: EDIFICIO DE CORTANTE 25. Para el edificio de cortante de 3 pisos mostrado en la figura 25, hechos de acero estructural E=2.04x107 tonf/m 2, W= 45.4 tonf, con I=58,272.4 cm4, pulg4 y sus fracciones de amortiguamiento modal son de 5% para todos los modos. Si se supone que la función de forma está dada por las desviaciones debidas a las fuerzas laterales que son iguales a los pesos de cada nivel, determine los desplazamientos de los niveles, las fuerzas cortantes de entrepiso y los momentos de volteo en los niveles y en la base debidos al movimiento del terreno caracterizado por el espectro de diseño de la figura 2b, escalado a una aceleración máxima del terreno de 0.50g (5 puntos) a) Desplazamientos de los niveles b) Cortante de entrepiso y en la base c) Momentos de volteo en los niveles y base W/2 h

EI/3

h

2EI/3

W

W

h=3.60 m EI

EI/3

2EI/3

EI L=7.20 m Fig. 25a

Fig. 25 b

26. Para el edificio de cortante de 3 pisos mostrado en figura 26 hecho de acero estructural E=2.04x107 tonf/m2, W= 45.4 tonf, con I=58,272.4 cm 4, pulg4 y sus fracciones de amortiguamiento modal son de 5% para todos los modos. La función de forma dada por las deflexiones debidas a una fuerza lateral aplicada al nivel del techo, determine los desplazamientos de los niveles, las fuerzas cortantes de entrepiso y los momentos de volteo en los niveles y en la base debidos al movimiento del terreno caracterizado por el espectro de diseño de la figura 25b, escalado a una aceleración máxima del terreno de 0.25g W/2 h

EI

h

EI

W

W

h=3.60 m EI

EI

EI

EI L=7.20 m

Fig. 26 27. Estime la frecuencia natural fundamental de la estructura de cinco niveles que se muestra en la figura 27. Suponga la función de forma obtenida a partir de las deflexiones estáticas, las cuales se deben a fuerzas laterales iguales a los pesos de los niveles w = mg.

Fig. 27

VIBRACIÓN LIBRE SVGD: PERIODOS Y FRECUENCIAS 28. Determine las frecuencias y modos naturales del sistema mostrado en la figura 28, un marco de dos niveles idealizado como un edificio de cortarte.

Fig. 28 29. Deduzca las ecuaciones de movimiento de la viga y también determine las frecuencias y modos de vibración naturales del sistema mostrado en la figura 29. Demuestre que los modos satisfacen las propiedades de ortogonalidad.

Fig. 29 30. Para los pórticos de 2 pisos de concreto armado, mostrado en la figura 30ª y 30b, con columnas de circulares de 50 cm de diámetro y con vigas de 30x55 cm unidos a otros pórticos por un diafragma rígido, se pide calcular: Datos: W = 40 tonf E = 2.1 x 106 tonf/m2 a) Frecuencias y periodos naturales de vibración b) Modos de vibración c) La deformación máxima para el espectro de respuesta elástico mostrado en la figura 25b

1.5 W

3.5m 2W 4.5m

5.50 m

Fig. 30a

Fig. 30b

ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL 31. En la figura 30(a) se muestra un edificio de 3 pisos oficinas se encuentra ubicado en una localidad para la cual su espectro elástico está representado por la figura 3(b). Todas las columnas son de sección rectangular de 0.30m x 0.90m (Ec=2.30x10⁶Tonf/m²). Asumir que las vigas tienen rigidez a la flexión infinita. El peso total de los 2 primeros pisos se ha estimado en W1=W2=70 tonf en los dos primeros niveles, y W3 =25 tonf en el último nivel (8 puntos) Si la matriz modal del edificio es y las frecuencias de los modos son:

=

0.608 0.914 1.000

-1.006 0.208 0.278 -0.529 1.000 1.000

Wn1 = 37.309 rad/s Wn2 = 108.085 rad/s Wn3 = 157.346 rad/s

El factor R = 8 (pórticos de concreto armado) Se pide: a) Calcular los desplazamientos ujn de piso de cada modo y la combinación SRSS (1.5 puntos) b) Calcular las derivas de piso de cada modo y la combinación SRSS (2.0 puntos) c) Calcular las fuerzas estáticas equivalentes de cada modo y la combinación SRSS (1.5 puntos) d) Calcular los cortante de piso modales y la combinación SRSS (1.5 puntos) e) Calcular los momentos de volteo de cada modo y su combinación SRSS (1.5 puntos)

Fig. 3(0a). Elevación del edificio de 3 pisos

ANALISIS SISMICO ESTÁTICO DE EDIFICIOS

32. En la ciudad de Pisco se proyecta la construcción de un centro comercial de 8 pisos y distribución tal como se muestra en la figura ubicado en la ciudad de Ica. Según el estudio de geotecnia el suelo donde se ubica clasifica como suelo blando y la capacidad portante del suelo t = 1.00 kg/cm2. El proyectista ha planteado como alternativa de solución un edificio dual de concreto armado. El primer nivel tiene una altura de 3.60 m y el resto de pisos tiene una altura de 3.30 m. La carga viva de piso para uso de hospitales se estima en promedio como 250 kg/m 2 para los pisos típicos y 100 kg/m2 para la azotea. Placas: P1 (0.25x1.60) P2: (0.25x1.20) Columnas: C1 y C2: (0.50x0.50) Vigas: 0.25 x 0.50 Losa aligerada: e= 0.25 m f) Cálculo del peso del peso de cada piso y del peso total del edificio (1 punto) g) Calcular los parámetros sísmicos conforme a la norma E.030 (1 punto) h) Calcular el cortante basal por el método estático de la NTE 030 (1 punto) i) Calcular la distribución de fuerzas sísmicas por piso (2 puntos)

3.30 3.30 3.30 3.30 3.30 3.30 3.30 3.60

ANALISIS DINAMICO MODAL ESPECTRAL SEUDOTRIDIMENSIONAL

33. En la figura 33 se muestra un edificio de dos niveles que consta de diafragmas rígidos soportados mediante tres marcos. A, B y C. Los pesos concentrados en el primero y segundo niveles son de 120 y 60 kips. respectivamente. Las matrices de rigidez lateral de estos marcos, cada uno idealizado como un marco de cortante, son:

Si el edificio se encuentra ubicado en la región de Moquegua y está destinado a un local comercial, con suelo tipo S2. Determine: a) Desplazamientos de entrepiso del pórtico A de la combinación modal de la norma E.030 b) Cortantes de piso según espectro de diseño de la norma E.030 c) Momento de volteo de entrepiso según espectro de diseño de la norma E.030

34. La figura muestra la planta de un edificio de 1 solo nivel, cuya altura es H metros. H = 3.50 m Se trata de una estructura aporticada de concreto armado para un centro comercial, ubicado sobre suelo intermedio en la costa. Todas las columnas son de 40 cm x 40 cm (Ec = 2.2 x 10 6 tonf/m2). Los pórticos están conectados por una losa que puede asumirse como rígida. El peso total del piso se ha estimado en 1.00 tonf/m2. La razón de amortiguamiento para todos los modos es de 5%. Aplicando los criterios de la norma NTE. E030, desarrolle el análisis sísmico en la dirección X-X. Se pide: a) Calcular las matrices de rigidez y de masa. Considere un modelo pseudotridimensional de diafragma rígido formado por los 6 pórticos. Calcular para cada pórtico la rigidez lateral. Asuma vigas infinitamente rígidas. b) Calcular los períodos, frecuencias y modos naturales de vibración. Señalar el periodo fundamental. Normalizar los modos con respecto a la matriz de masa. Calcular los factores de participación modal. c) Calcular las fuerzas en el piso (para cada modo) utilizando el espectro de diseño de la norma. Luego, combine con el criterio alternativo de la norma E.030. d) Estime el desplazamiento relativo de entrepiso y la deriva de entrepiso (criterio combinación modal de la norma E.030). Compare con el límite de la norma. e) Calcular la respuesta máxima de fuerza cortante basal y de momento de volteo (combinación modal alternativa de la norma E.030).