Propiedad De Ortogonalidad De Modos

PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD DE MODOS Introducimos ahora una propiedad muy importante de los modos normales, la propiedad de ortogonalidad. Esta propiedad constituye la base de uno de los métodos más atractivos para resolver problemas dinámicos de multigrados de libertad. Empecemos a escribir las ecuaciones del movimiento en vibración libre, ecuación (2) como:

……… (2) Para el sistema con dos grados de libertad, obtenemos de la ecuación (1):

…….. (3) Estas ecuaciones son exactamente iguales a la ecuación (1) , pero escritas en esta forma pueden interpretarse estáticamente como las ecuaciones de equilibrio de un sistema con fuerzas exteriores de magnitud .

Aplicadas a las masas m1 y m2, respectivamente. Los modos normales pueden entonces, ser considerados como las deformaciones estáticas debidas a las fuerzas en el segundo miembro las ecuaciones (3), para cualquiera de los modos. Esta interpretación como un problema estático, nos permite utilizar los resultados de la teoría general para estructuras lineales. En particular, podemos hacer uso del teorema de Betti,el cual establece lo siguiente: “en una estructura sometidas a dos sistemas de fuerzas y sus respectivos desplazamiento, el trabajo efectuado por el primer sistema de fuerzas a lo largo de los desplazamiento producidos por el segundo sistemas de fuerzas es igual al trabajo que realizan este segundo sistema de fuerzas a lo largo de los desplazamientos producidos por el primer sistema”. Los dos sistemas de fuerzas y los correspondientes desplazamientos que consideraremos son los siguientes: Sistema I

Sistema II

La aplicación del teorema de Betti para estos dos sistemas nos da:

O

……… (4) Si las frecuencias naturales son distintas (w1=w2), se concluye, de la ecuación (4), Que:

Que es la relación de ortogonalidad entre los modos normales de un sistema con dos grados de libertad. Para un sistema de n grados de libertad, en el cual la matriz de masa es diagonal, la condición de ortogonalidad entre dos modos cualesquiera, i y j puede expresarse como:

……… (5) Y en general para un sistema n grados de libertad

…….. (6) En que {ai} y {aj}, son dos vectores modales cualesquiera y [M] es la matriz de masa del sistema. Como se mencionó anteriormente, las amplitudes de vibración en un modo normal son solo valores relativos, que pueden normalizarse hasta cierto punto, como se desee. La siguiente normalización es especialmente conveniente para un sistema general:

……… (7) Que , para un sistema en que la matriz de masa es diagonal , puede escribirse como :

………… (8)

En lo cual ,es la componente normalizada i del valor modal j. Para vectores característicos normalizados , la condición de ortogonalidad está dada , en general , por:

……… (9) Otra condición de ortogonalidad se obtiene expresando la ecuación (2) como:

………… (10) Luego multiplicando por obtenemos, en vista de la condición de ortogonalidad de la ecuación (9) , la siguiente condición de ortogonalidad entre los vectores característicos normalizados :

………. (11) Ejemplo:01 Para el edificio simple del ejemplo(10.1) aplicar la ecuación (8) para normalizar los modos y verificar la condición de ortogonalidad . Solución : La aplicación de las ecuaciones (10.17 ) y (10.18) ,además de los valores de las masas del ejemplo 10.1 , en los factores normalizadores de la ecuación (8) da :

Consecuentemente, los modos normalizados son:

Los modos normales pueden ser ordenados convenientemente en las columnas de una matriz conocida como la matriz modal del sistema. Para el caso general de n grados de libertad, la matriz modal puede escribirse como:

……… (12)

La condición de ortogonalidad puede expresarse en general como :

…… (13) Donde es la matriz transpuesta de del sistema.

es la matriz de masa

Para el ejemplo con dos grados de libertad , la matriz modal es :

……. (14) Para verificarla condición de ortogonalidad , simplemente aplicamos los modos normales de la ecuación (14) en la ecuación (13) y obtenemos:

PROGRAMA DE FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS NORMALES En las secciones sobre el análisis de un edificio simple en vibración libre, que preceden, hemos tenido que resolver un problema característico para determinar las frecuencias naturales y las formas normales de vibración. El método directo de la solución, basado en el desarrollo del determinante y la solución de la ecuación característica, está limitado en la práctica a sistemas que tengan unos pocos grados de libertad. Para un sistema con muchos grados de libertad, el trabajo algebraico y los cálculos numéricos que requiere la solución del problema característico llega a ser tan enorme que hace el método directo imposible. Sin embargo, existen métodos numéricos para el cálculo de los valores característicos y de los correspondientes vectores característicos de este problema. La discusión de estos métodos pertenece a un texto matemático de métodos numéricos más que a un libro como este, de dinámica estructural. Para nuestro propósito hemos seleccionado de entre los varios métodos existentes para La solución numérica de un problema característico, el método de Jacob. Este es un método iterativo para calcular los valores característicos y los vectores característicos de un sistema. El método básico de Jacobi fue desarrollado para la solución del problema característico “estándar”, esto es:

……. (15) El método fue propuesto hace más de un siglo y se ha empleado extensamente en dinámica estructural, así como en otras aplicaciones. Este método es aplicable a problemas en los cuales la matriz [K], de la ecuación (10.37), es simétrica. Por otra parte, el método de Jacobi no tiene restricciones en relación con los valores característicos de la solución. Es posible transformar el problema característico generalizado.

………. (16) En la forma clásica de la ecuación (10.37), todavía mantener la simetría requerida por el método de Jacobi. Sin embargo, con el empleo del método de Jacobi generalizado que opera directamente con las matrices [K] y [M], no es necesario hacer esta transformación para resolver el problema característico cuando se presenta en la forma dada por la ecuación (10.38). un programa en FORTRAN, que resuelve el problema usando el método de Jacobi generalizado ha sido preparado por Bathe y Wilson (1976). Este libro presenta ese problema traducido a BASIC. La descripción de los principales símbolos utilizados en el programa esta en la tabla 10.1 TABLA 10.1 Nomenclatura para el programa

Descripción programa

texto

Numero de grados de libertad Matriz de rigidez Valores característicos Matriz modal con vectores característicos En las columnas

Ejemplo ilustrativo 10-3 Para presentar un ejemplo ilustrativo del uso del programa 8, consideremos una estructura (que no es un edificio simple) con tres grados de libertad, para la cual las matrices de rigidez y de masa son las siguientes:

…….. (17) Solución: Para determinar las frecuencias naturales y los modos de vibración mediante el programa 8 es necesario preparar previamente un archivo que contenga las matrices de rigidez y de masa. Este archivo se puede preparar bien mediante loa efectuación de uno de los programas para modelar estructuras, bien mediante la efectuación del programa auxiliar XI. En este ejemplo procederemos primero a ejecutar el programa auxiliar y después el programa 8.