Resolucion De Triangulos Rectangulos

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Un triángulo es rectángulo, si uno de sus ángulos internos mide 90°, es decir, posee un ángulo recto. Los lados que forman al ángulo recto, se llaman catetos y el lado que los une (el de mayor longitud) es la hipotenusa . La suma de las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo es igual a 90°, por tanto, son complementarios y la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.

LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO ALTURA: la altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado desde un vértice a la recta que contiene el lado opuesto a dicho vértice. La altura de un triángulo se denota con la letra “h” Todo triángulo posee tres vértices, por tanto, se pueden trazar tres alturas que se cortan en un ángulo llamado ORTOCENTRO. Mediana: es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto tres medianas del triángulo se cruzan en un punto llamado Baricentro. Mediatriz: es la recta perpendicular en el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado Circuncentro. Bisectriz: la bisectriz de un ángulo interno de un triángulo es la semirrecta que divide al dicho ángulo en dos ángulos congruentes (de igual medida). Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en el punto llamado Incentro.

IMPORTANTE Para la correcta notación de un triángulo, se deben coincidir que a) Si el vértice de un triángulo es “A”, el lado opuesto es de

longitud “a” o viceversa. b) El lado opuesto al vértice “B”, es de longitud “b”.

c) El lado opuesto al vértice “C” es de longitud “c”. B

c

a

C

b

A

En todo triángulo se cumple que: al ángulo de mayor medida se opone el lado de mayor longitud y el ángulo de menor medida es opuesto al lado de menor longitud. Todo triángulo consta de seis elementos: 3 ángulos internos y tres lados. En el caso de los triángulos rectángulos, por tener un ángulo interno recto (90º), se pueden resolver cuando se conocen dos de sus elementos, siempre y cuando no de ellos sea un lado. Según lo anteriormente expuesto, existen cuatro casos según los datos conocidos; los cuales son: Dados la longitudes de los catetos. Para resolver este caso: se aplica el teorema de Pitágoras para conocer el otro lado, y la tangente de uno de los ángulos agudos, para determinar su medida y luego para calcular el otro ángulo agudo la relación: α + β = 90º y se despejo de ella el ángulo agudo que falta por calcular. EJEMPLO: Resolver el triángulo rectángulo de figura adjunta PITAGORAS

c2 = a 2 + b2 ⇒ c =

c =

64 2 + 50 2 =

a 2 + b2

4096 + 2500 =

B

a = 64m

c

x

A

C

b = 50m

Cat. opuesto a x Cat. adyacente a x

Tag x =

a b

=

=

64 50

= 1, 28 m ⇒ X = 52º 0'

x + B = 90º ⇒ B = 90º - x ⇒ B = 90º - 52

0’

4,56" ≈ 52º 0' 5"

5” = 37º

59’

55”

Dados las longitudes de un cateto y la hipotenusa. En este caso, también se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado desconocido, para obtener la medida de los ángulos agudos se aplican las funciones trigonométricas seno y coseno según sea el cateto dado el apuesto o el adyacente al ángulo que se desea calcular EJEMPLO: Resolver el siguiente triángulo B

a =?

a 2 + b2 = c2 ⇒ a 2 = c2 - b2 c = 60m

x C

Cat. ady. a B hip.

Sen β =

Cat op. a B hip.

b c

=

=

c2 − b2 =

60 2 − 28 2

a =

3600 - 784

=

A

b = 28 m

Cos β =

a =

b c

=

=

28 60

28 60

2816 = 53,06599665

= 0, 466666666 ⇒ B = 62º 10' 54,7" ≈ 62º 10' 55"

= 0,4666666666 ⇒ B = 27º 49' 5,3" ≈ 27º 49' 5"

Comprueba que: x + β = 90º Dados la longitud de un cateto y la medida de un ángulo agudo. Para resolver este caso, se aplican sólo las funciones trigonométricas principales (Seno, Coseno, o Tangente) EJEMPLO: Resolver el triángulo de la siguiente figura

x = 37º

Sen 37º = B

a = 1,4m

c =

a c

a 1, 4 = = 2,326296198 ≈ 2,33 m Sen 37º 0,601815023

A

C

Tag x =

=

c

B

a

Cat. op. a 37º hip.

x

Cat. op. a x = Cat. ady. a x

b

x

a a 1, 4 1, 4 ⇒ b . Tag x = a ⇒ b = = = = 1,85786275 ≈ 1 b Tag x Tag 37º 0,75355405

x + β = 90° ⇒ β = 90° - x = 90° - 37° = 53° Dados la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo. Al igual que en el caso anterior, solo se pueden aplicar las funciones seno y B

a

Sen x =

x

a c

a = 20.1 . 0,619322362 = 12, 44837949

x

c = 20,1m x = 38º 16´ a

C

=

a = c . Sen x = 20, 1 . Sen 38º 16'

B

coseno

Cat. op. a x hip.

c

b = 50 m

A

Cat. ady. a x hip.

Cos x =

b c

=

⇒ b = c . Cos x = 20,1 . Cos 38º 16' = 20,1 . 0,78513681 = 15,78124989

b = 15,78124989 ≈ 15, 78 m Los ejercicios que se proponen a continuación, son combinaciones de estos casos y las medidas de los ángulos agudos serán de 30º, 45º y/o 60º decir para resolverlos sólo aplicarán las razones trigonométricas (Seno, Coseno y/o Tangente) y no necesitará la calculadora para obtener los valores de dichas razones trigonométricas. EJEMPLO: Calcula el valor de x, según el triángulo de la figura adjunta B

El lado BD (altura del triángulo ABC) es común para los triángulos rectángulos ABD y BCD, por lo tanto se debe calcular en primer lugar. Por ser el cateto opuesto al ángulo de 60º se aplica el seno; ya que se conoce longitud de la hipotenusa

x 0m 10

A

60°

45°

C D

Sen 60º =

Cat. op. a 60º hip

=

BD ⇒ BD = BC . Sen 60º ⇒ BD = 100 . BC

Sen 45º =

Cat. op. a 45º hip.

=

BD AB

x =

50 .

3 2

2 EJERCICIOS:

=

50 3 1 2 2

=

=

3 2

= 50

BD BD ⇒ x . Sen 45º = BD ⇒ x = x Sen 45º

2 . 50 3 2

=

2 . 50 3 . 2

2

= 50

6 m

3 m

Resuelve cada uno de los siguientes triángulos, aplicando las razones trigonométricas y sus valores. (Sólo debes calcular el valor de x). 1.-

B

150 m

60°B

30°B

C D-------- X ------A