Sistemas Lineales Variables En El Tiempo 1

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA COSTA GRANDE CARRERA: INGENIERÍA ELÉCTROMECANICA ASIGNATURA: INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO ASESOR: ING. JULIAN DEL ANGEL PEREZ UNIDAD#1: 1.4. SISTEMAS LINEALES TEMA: 1.4.2. sistemas lineales variables en el tiempo INTEGRANTE: • CHRISTIAN LÓPEZ LUVIANO • GONZALEZ LORENZO ANTONIO DE JESUS • VALLE LUNA ISAAC ZIHUATANEJO, GRO., 28 DE ENERO DE 2018

Ecuaciones diferenciales lineales Son aquellas ecuaciones en donde la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir la potencia de todo termino función de la variable dependiente es uno y además los coeficientes de todos los términos son constantes o si son variables, solo dependen del tiempo (t), que es la variable independiente. Es importante recordar que una ecuación diferencial lineal, no debe contener potencias, productos entre variables, u otras funciones de la variable dependiente y sus derivadas (por ejemplo una función senoidal, cuyo argumento es función de la variable dependiente.) A su vez se pueden distinguir entre ellos, sistemas lineales invariantes en el tiempo, representados por ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes o parámetros constantes, y sistemas lineales variables con el tiempo, representados por ecuaciones diferenciales lineales cuyos coeficientes o parámetros varían con el tiempo.

• Ecuaciones diferenciales variantes en el tiempo: son aquellas en las que los coeficientes que acompañan a la derivada son función de la variable independiente, es decir función del tiempo. • Cuando los parámetros varían con el tiempo, el Sistema se denomina Variante en el tiempo. Representados por ecuaciones diferenciales lineales cuyos coeficientes o parámetros varían con el tiempo.

Estabilidad: En los casos lineales la situación es mas simple y se puede hablar de estabilidad del sistema en vez de la solución. Consideremos x0(t) una situación nominal del sistema diferencial lineal: x(t) = A(t) x(t) y x(t) cualquier otra solución. Ya que x0(t) y x(t) son soluciones de la ecuación diferencial lineal, entonces [x(t) − x0(t)] también es una solución, es decir: d/dt[x(t) − x0(t)] = A(t)[x(t) − x0(t)] Para estudiar la estabilidad de la solución nominal x0(t), podemos estudiar la estabilidad de la solución con x(t) ≡ 0. Si la solución cero es estable en cualquier sentido, cualquier otra solución será estable en ese sentido, es decir: x(t) ≡ 0 ||x(t) − x0(t)|| → 0 =⇒ ||− x0(t)|| → 0

Definición: El sistema diferencial lineal x(t) = A(t) x(t) es estable en un cierto sentido, si la solución cero x0(t) ≡ 0 es estable en ese sentido. Se entiende que todas las soluciones nominales de un sistema diferencial lineal tiene las mismas propiedades de estabilidad.