Sistemas De Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Es aquel conjunto de ecuaciones de primer grado, donde el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones existentes. Ejemplos: x–5=y 2 ecuaciones con 2x – 3y = 7 2 incógnitas

Una ecuación es de primer grado (o lineal) cuando el 2x + y = 11 exponente de=todas 3z – 4y -19 las incógnitas es=la -unidad. x – 2z y 3 ecuaciones con 3 incógnitas

En este tema trataremos específicamente los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

ax + by = c mx + ny =xp, y Incógnitas: Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas son pares de números (pares ordenados) que verifican la ecuación.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

x + 2y = 7 2x + y = 8

- y 2x + y = 8 -

Cada ecuación representa una recta El punto de intersección de ambas rectas representa la única solución del sistema de ecuaciones (conjunto solución)

.(3 ; 2)

C.S. = {(3;2)}

-

x + 2y = 7 x

Es importante Es un error muy frecuente insistir en que que el alumno de por la solución de al terminado el ejercicio un sistema encontrar el valorde de la ecuaciones es primera incógnita. Falta una aun hallar el de valor de pareja la segunda incógnita valores.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un métodos algebraico importante para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es el MÉTODO DE REDUCCIÓN. Sin embargo también es práctico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales haciendo uso de la calculadora

HACIENDO USO DE LA CALCULADORA

9

7x + 8y = x + 2y = 3

Se ingresan visualiza La Sesolución visualiza Presionamo el los resultado para este eldatos otro s elelbotón con botón caso es:con resultado Botón con el = = X = -1 el botón MODE numero 1 Y=2 5

MÉTODO DE REDUCCIÓN En este método se preparan las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al sumar o restar las ecuaciones nos queda una ecuación con una sola incógnita.

CASO 01 Resolver el siguiente sistema: Resolver el siguiente sistema: x + 2y = 22 . . . . . . . . . . (1°) 4x - y = 7 . . . . . . . . . . . (2°)

Eliminamos la incógnita “y” multiplicando por 2, a toda la segunda ecuación:

x + 2y = 22 . . . ……. .(1°) 8x - 2y = 14 . . .. .. . .…(2°)

Sumando tenemos entonces: 9x = 36  x=4

Luego hallamos la otra incógnita reemplazando el valor hallado: Reemplazando x = 4 en la ecuación (1°), tenemos: x + 2y = 22 . . . ……. . (1°) 4 + 2y = 22 despejando y: y = (22 – 4)/2 = 18/2 y=9

FINALMENTE: La solución de nuestro sistema es: x=4 y=9

Resolver el siguiente CASO sistema: y = 22 - 3x . . . . . (1°) 4x = -1 + 3y . . . . . .(2°)

02

Primero se debe ordenar las ecuaciones, pasando las incógnitas al lado izquierdo y los términos independientes al lado derecho. Y NOS QUEDA ASI: 3x + y = 22 . . . . . . (1°) 4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°)

Ahora se elimina la incógnita “y”, multiplicando toda la primera ecuación por “3”: x3: 3x + y = 22 . . . . . . (1°) 4x - 3y = -1 . . . . . . . (2°) Y nos queda así: 9x +3y = 66 . . . . . . (1°) 4x - 3y = -1 . . . . . . .(2°) Sumando tenemos entonces: 13x = 65  x=5

Luego hallamos el valor de la otra incógnita: Reemplazando x = 5 en la ecuación (1°), tenemos: 3 x + y = 22 . . . ……. . (1°) 3(5) + y = 22 despejando y: y = 22 –15 y=7

Finalmente: La solución de nuestro sistema son: x=5 y=7

CASO 03 Resolver el siguiente sistema:

x  3 y 4  5 2 5 2x 3 3y 30   1 3 2 m . c . m ( 2 ; 5 ) = 10 Si observas m.c.m(3;2 )=6 xdenominadores 3 y  4 recuerda: 10( Ahora ) multipliquemos 10hay ( que ) calcular 10(5) a la Primero 2 5 por 10 y a primera ecuacion de ellos en cada 2xelM.C.M. 3la segunda 3y  30 por 6( )  6(ecuación )  66(1) 3 2

Simplificando:

x 3 y 4 10( )  10( ) 10(5) 2 5 2x 3 3y 30 6( )  6( )  6(1) 3 2

Obtenemos: 5( x  3)  2(y  4)  50 2(2x 3)  3(3y 30)   6

Eliminando los paréntesis y dando forma: 5x 15 2y 8 50 4x 6  9y 90 - 6

5x 2y 73 4x 9y - 90

Ahora se elimina la incógnita “y”, multiplicando toda la primera ecuación por “9” y a la segunda por "2": x9: 5x + 2y = 73 . . . . . . (1°) x2: 4x - 9y = -90 . . . . . . . (2°) Y nos queda así: 45x +18y = 657 . . . . . . (1°) 8x - 18y = -180 . . . . . . (2°) Sumando tenemos entonces: 53x = 477  x=9

Luego hallamos el valor de la otra incógnita: Reemplazando x = 9 en la ecuación (1°), tenemos: 5 x + 2y = 73 . . . ……. .(1°) 5(9) + 2y = 73 despejando y: y = (73 –45)/2 y = 14

Finalmente: La solución de nuestro sistema son: x=9 y = 14

Ahora continuemos con los ejercicios de nuestra separata