Solucionario_calculoaplicado_escom

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO CÁLCULO APLICADO

ESCOM

MARTHA PATRICIA JIMENEZ VILLANUEVA

1

SOLUCIONARIO

2

SOLUCIONARIO

INDICE RAZON DE CAMBIO ................................................................................................................. 6 Ejercicio 1 ............................................................................................................................... 6 Ejercicio 2 ............................................................................................................................... 9 Ejercicio 3 ............................................................................................................................. 10 Ejercicio 4 ............................................................................................................................. 11 Ejercicio 5 ............................................................................................................................. 13 Ejercicio 5 ............................................................................................................................. 14 Ejercicio 7 ............................................................................................................................. 15 Ejercicio 7 ............................................................................................................................. 17 Ejercicio 8 ............................................................................................................................. 18 Ejercicio 8 ............................................................................................................................. 20 Ejercicio 8 ............................................................................................................................. 22 Ejercicio 9 ............................................................................................................................. 23 Ejercicio 10 ........................................................................................................................... 24 Ejercicio 10 ........................................................................................................................... 25 Ejercicio 10 ........................................................................................................................... 26 Ejercicio 12 ........................................................................................................................... 27 Ejercicio 15 ........................................................................................................................... 28 Ejercicio 16 ........................................................................................................................... 28 Ejercicio 30 ........................................................................................................................... 29 Ejercicio 39 ........................................................................................................................... 31 PUNTOS CRITICOS ................................................................................................................... 33 Ejercicio 5 ............................................................................................................................. 33 Ejercicio 16 ........................................................................................................................... 33 Ejercicio 21 ........................................................................................................................... 34 Ejercicio 22 ........................................................................................................................... 35 Ejercicio 26 ........................................................................................................................... 37 Ejercicio 27 ........................................................................................................................... 37 Ejercicio 28 ........................................................................................................................... 39 Ejercicio 29 ........................................................................................................................... 39 3

SOLUCIONARIO

Ejercicio 40 ........................................................................................................................... 41 OPTIMIZACION ........................................................................................................................ 43 Ejercicio 1 ............................................................................................................................. 43 Ejercicio 2 ............................................................................................................................. 43 Ejercicio 3 ............................................................................................................................. 45 Ejercicio 12 ............................................................................................................................. 0 Ejercicio 22 ............................................................................................................................. 1 DIFERENCIAL .............................................................................................................................. 3 Ejercicio 3 ............................................................................................................................... 3 Ejercicio 35 ............................................................................................................................. 3 SOLIDOS DE REVOLUCIÓN ..................................................................................................... 4 Ejercicio 1 ............................................................................................................................... 4 Ejercicio 2 ............................................................................................................................... 5 Ejercicio 2 ............................................................................................................................... 8 Ejercicio 6 ............................................................................................................................. 10 Ejercicio 6 ............................................................................................................................. 12 Ejercicio 7 ............................................................................................................................. 14 Ejercicio 8 ............................................................................................................................. 15 Ejercicio 11 ........................................................................................................................... 15 Ejercicio 12 ........................................................................................................................... 16 Ejercicio 18 ........................................................................................................................... 18 Ejercicio 19 ........................................................................................................................... 20 Ejercicio 23 ........................................................................................................................... 21 Ejercicio 24 ........................................................................................................................... 22 Ejercicio 27 ........................................................................................................................... 22 Ejercicio 29 ........................................................................................................................... 25 Ejercicio 40 ........................................................................................................................... 27 Ejercicio 40 ........................................................................................................................... 28 Ejercicio 41 ........................................................................................................................... 29 Ejercicio 46 ........................................................................................................................... 30 Ejercicio 46 ........................................................................................................................... 33 Ejercicio 49 ........................................................................................................................... 34 Ejercicio 51 ........................................................................................................................... 36 4

SOLUCIONARIO

Ejercicio 61 ........................................................................................................................... 37 FORMAS INDETERMINADAS .................................................................................................. 40 Ejercicio 1 ............................................................................................................................. 40 Ejercicio 2 ............................................................................................................................. 41 Ejercicio 3 ............................................................................................................................. 42 Ejercicio 1 ............................................................................................................................. 61 Ejercicio 2 ............................................................................................................................. 62 Ejercicio 3 ............................................................................................................................. 64 Ejercicio 4 ............................................................................................................................. 65 Ejercicio 5 ............................................................................................................................. 67 Ejercicio 7 ............................................................................................................................. 71

5

SOLUCIONARIO

RAZON DE CAMBIO

Ejercicio 1

Un niño usa una pajilla para beber agua de un vaso cónico (con el vértice hacia abajo) a razón de 3

𝑐𝑐𝑐𝑐3 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

Si la altura del caso es de 10 cm y

si el diámetro de la parte superior es de 6 cm.

a) ¿Cuál es la variación del radio en ese mismo instante? b) ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 cm?

h

10 cm

3

Solución: a) Debemos obtener una razón de cambio de la variación de la altura del agua con respecto al tiempo, esto, lo obtendremos habiendo encontrado la expresión correspondiente. Para obtener la expresión mencionada, nos ayudaremos de la definición de volumen de un cono: 𝑟𝑟 2 ℎ 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 3 Para obtener la razón de cambio, es necesario derivar parcialmente, aquí tenemos dos opciones, derivar parcialmente V, r y h, o poner a r en función de h o

3cm

r

6

h

viceversa. Si observamos, podemos obtener una relación de

SOLUCIONARIO

los triángulos obtenidos después de cortar el cono verticalmente por la mitad. Si observamos, y con uso de nuestros conocimientos de geometría de secundaria, encontraremos dos triángulos semejantes, por lo que podemos proponer: ℎ 𝑟𝑟 = → ℎ = (10/3)𝑟𝑟 10 3 Luego, podemos sustituir en la ecuación del volumen. 𝑟𝑟 2 10𝑟𝑟 𝑉𝑉 = ( )( )𝜋𝜋 3 3 Ahora derivamos respecto al tiempo de manera implícita. 𝑑𝑑𝑑𝑑 10𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 =� � 𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 𝑑𝑑𝑑𝑑

Y ahora sustituimos los valores que conocemos, por ejemplo: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −3 𝑑𝑑𝑑𝑑 El valor es negativo pues está disminuyendo. Luego, despejando dr/dt y sustituyendo valores tenemos: 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 15𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑

2 𝑑𝑑𝑑𝑑 (−3) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 15𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 −6 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 15𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 −2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 5𝜋𝜋

b) Ahora necesitamos la razón de cambio de la altura respecto al tiempo, por lo que de nuestro triángulo podremos obtener una relación: ℎ 𝑟𝑟 3 = → 𝑟𝑟 = � � ℎ 10 3 10 7

SOLUCIONARIO

9ℎ2 ℎ 𝑉𝑉 = ( )( )𝜋𝜋 100 3

Ahora derivamos implícitamente:

𝑑𝑑𝑑𝑑 9ℎ2 𝑑𝑑ℎ =� � 𝜋𝜋 100 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Despejamos la razón de cambio de la altura respecto al tiempo:

Ahora solo sustituimos:

100 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑ℎ � 2 � = 9ℎ 𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑ℎ 100 � (−3) = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 (9)(25)𝜋𝜋

𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑

4 𝑑𝑑ℎ =− 𝑑𝑑𝑑𝑑 3𝜋𝜋

= −.4244(cm/seg)

8

SOLUCIONARIO

Ejercicio 2

9

SOLUCIONARIO

Ejercicio 3

10

SOLUCIONARIO

Ejercicio 4

11

SOLUCIONARIO

12

SOLUCIONARIO

Ejercicio 5

13

SOLUCIONARIO

Ejercicio 5

Un globo aerostático se infla de tal modo que su volumen está incrementando a razón de 84,951 dm3 /min. ¿Con que rapidez está incrementándose el diámetro del globo cuando el radio es 3,05 dm?

Solución

Datos

Razón de cambio de volumen con respecto al tiempo: dv/dt =84.951 dm3 /min. Radio en un instante de tiempo: r = 3,05 dm. Diagrama

r = Radio de la esfera d = Diámetro de la esfera

Resolviendo Suponiendo que el globo tiene una forma esférica, podemos utilizar la fórmula del volumen para poder relacionarla con su diámetro. 14

SOLUCIONARIO

V= 4/3 π r3

También sabemos que al ser una esfera el diámetro ( dd/dt) es igual a 2 veces la razón de cambio del radio ( dr/dt ), entonces podemos expresarlo con la razón de cambio. 2 dr/dt = dd/dt

Haciendo la derivada parcial para la fórmula del volumen: V= 4/3 π r3 dv/dt = 4/3 π (3) r2 dr/dt

Despejando la razón de cambio del radio: dr/dt = (dv/dt) / (4/3 π (3) r2)

Sustituyendo el valor de (dv/dt) y “r”: dr/dt = (84.951 dm3 /min.) / (4/3 π (3) (3.05 dm)2)

Resultado de la razón de cambio del radio dr/dt = 0.726 dm/min. Multiplicando por 2 para obtenerla en función del diámetro 2 dr/dt = 1.453 dm/min. Por lo tanto la razón de cambio del diámetro es: Ejercicio 7

De un tubo sale arena a razón de 16dm3 /seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base.

15

1.453 dm/min.

SOLUCIONARIO

¿Con que rapidez aumenta la pirámide cuando esta mide 4dm de altura? Datos dv/dt =16dm3 /seg (don del la altura es un cuarto del diámetro total de la pirámide) h=1/4D Para plantearlo, hay que saber que en cada momento siempre es una pirámide cónica, osea no se esta apenas formando. Formula del volumen de la pirámide cónica V= 1/3(π r2 *h) Debemos dejar la formula del volumen en termino de la altura, pues queremos saber con que rapidez cambia. h=1/4D despejando: d=4h ahora sustituimos en la formula del volumen, en este caso por r2 , para ya dejarla en términos de la altura. (se divide entre 2 porque el radio es la mitad del diámetro) v=1/3 (π (4h/2) *h)

= 1/3(π 16h3 /4)

v= π 16h3 /12 12v= π 16h3 Derivando 12dv/dt=3(π 16h2)dh/dt Despejando dh/dt=12(dv/dt)/ 3(π 16h2) sustituyendo datos dv/dt =16dm3 /seg ; altura=4dm 12(16dm3)/3((π 16(4)2)=192/2412.74=0.07957 dm/seg

16

SOLUCIONARIO

Ejercicio 7

De un tubo sale arena a razón de 16 dm3/seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base, ¿Con qué rapidez aumenta la pirámide cuando tiene 4dm de altura?

h = 4dm

r

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 16 𝑑𝑑𝑑𝑑3/𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 Tenemos la formula del volumen: 𝑉𝑉 =

𝜋𝜋𝑟𝑟 2 ℎ 3

r = radio de la base del cono h = altura del cono De acuerdo al enunciado: 1

1

1

h = �4� 𝑑𝑑 = �4� 2𝑟𝑟 = �2� 𝑟𝑟

r = 2h

Sustituimos “r” en la formula: 𝑉𝑉 =

𝜋𝜋(2ℎ)2 ℎ 𝜋𝜋4ℎ3 = 3 3 17

SOLUCIONARIO

Por último derivamos y sustituimos a “h” por la altura que nos piden (4dm). 𝑑𝑑𝑑𝑑 4𝜋𝜋 𝑑𝑑ℎ = 3ℎ2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 4𝜋𝜋ℎ2

𝑑𝑑ℎ 1 = 16 � � 4𝜋𝜋(4)2 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑ℎ = 0.07957𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Ejercicio 8

Una mujer, en un muelle, tira de un bote a razón de 15 metros por minuto sirviéndose de una soga amarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4.8 metros por arriba del nivel del agua, ¿con qué rapidez el bote se aproximan al muelle cuando la cantidad de cuerda suelta es de seis metros?

z

y =4.8 m.

x

Donde: Y =altura de la mujer sobre el nivel del mar(4.8 m), es una constante ya que la mujer nunca se mueven de dicha altura. Z= soga(6 m). X=distancia entre el bote y la mujer (15metros/min.). Por medio del Teorema de Pitágoras podemos saber cuánto vale X en el momento en que Z es igual a seis y así mismo tenemos nuestra función principal. 18

SOLUCIONARIO

𝑍𝑍² = 𝑌𝑌² + 𝑋𝑋²

Despejamos a X y sustituimos valores:

�62 − 4.82 = 𝑋𝑋 X=3.6 m.

Derivamos la función principal. 2 𝑧𝑧

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

El dato que estamos buscando es la razón de cambio en la distancia del bote y la mujer respecto al tiempo, sabiendo esto, lo que vamos a despejar será

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

.

sustituimos datos:

2 𝑧𝑧

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

2 (6) (15) − 2(4.8)(0∗ ) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 25 2 (3.6) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚.

* cuando un valor sea constante al momento de derivar se convierte en un cero.

19

SOLUCIONARIO

Ejercicio 8

20

SOLUCIONARIO

21

SOLUCIONARIO

Ejercicio 8

Un tanque cilíndrico vertical tiene en su base un agujero de 3 cm de radio. El radio del tanque es de 30 cm. El agua se escurre del tanque con la velocidad dada por la formula 𝑣𝑣 2 = 2𝑔𝑔ℎ siendo h la profundidad del agua y g la aceleración de la gravedad. ¿Cuál es la rapidez de la variación de la velocidad?

S1

h

S2

La rapidez de variación de la velocidad 𝑣𝑣 es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo 𝒗𝒗𝒗𝒗 = �𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅

=

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

=

𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅

𝒈𝒈

�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

(1)

Entonces h es la magnitud que fija la posición del nivel de agua respecto del fondo del recipiente. La derivada de h respecto del tiempo es la velocidad v1 con la que desciende el nivel de agua 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅

= −𝒗𝒗𝒗𝒗

(2)

Aplicando continuidad a S1 y S2 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔

𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐

𝑺𝑺𝑺𝑺

(3) y despejando v1 𝒓𝒓𝟐𝟐

v1=𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒗𝒗𝒗𝒗=𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒗𝒗=𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒗𝒗

(4)

Valores de los radios y de vt 𝟗𝟗

𝟏𝟏

v1=𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒗𝒗𝒗𝒗=𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

(5)

Sustituyendo (2) en (5) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅

𝟏𝟏

= − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

(6) 22

SOLUCIONARIO

Sustituyendo (6) en (1)

𝒅𝒅𝒅𝒅

=− 𝒅𝒅𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅

𝟏𝟏 )�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒈𝒈(

�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟏𝟏

=−𝒈𝒈 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏

==−𝒈𝒈 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏

Disminuye a razón de 𝒈𝒈 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 cm por segundo cuadrado Ejercicio 9

23

SOLUCIONARIO

Ejercicio 10

24

SOLUCIONARIO

Ejercicio 10

El agua está goteando del fondo de un depósito semiesférico de 8dm de radio a razón de 3

𝑑𝑑𝑑𝑑3 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

. Si el depósito estaba lleno en cierto momento

¿con qué rapidez baja el nivel del agua cuándo la altura es de 3dm? Nota: El volumen V de un casquete de altura h de una esfera de radio r es : 𝜋𝜋

𝑉𝑉 = 3 ℎ2 (3𝑟𝑟 − ℎ).

Solución: Tenemos nuestra ecuación para el volumen:

Hacemos la multiplicación:

Derivamos implícitamente:

Despejamos

Sustituimos:

𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑

:

𝑉𝑉 =

𝜋𝜋 2 ℎ (3𝑟𝑟 − ℎ) 3 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ2 −

𝜋𝜋ℎ3 3

𝑑𝑑𝑑𝑑 3𝜋𝜋ℎ2 𝑑𝑑ℎ = (2𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ − ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑ℎ 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2𝑟𝑟ℎ𝜋𝜋 − 𝜋𝜋ℎ ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑ℎ 2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2 ∗ 8ℎ𝜋𝜋 − 𝜋𝜋ℎ2 ) 25

SOLUCIONARIO

𝑑𝑑ℎ 2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 (16 − ℎ)𝜋𝜋ℎ 𝑑𝑑ℎ 2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 (16 − 3)3𝜋𝜋 𝑑𝑑ℎ 2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 (13)3𝜋𝜋 𝑑𝑑ℎ 2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 39𝜋𝜋

Ejercicio 10

26

SOLUCIONARIO

Ejercicio 12

Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice opuesto al origen está sobra la curva de la ecuación 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 , según se muestra en la figura adjunta. En este vértice, la coordenada y aumenta a razón de una unidad por segundo. ¿Cuál es la variación del área del rectángulo cuando x=2?

Solución: A = (X)(Y)u2 'Equivalencia del área. → EC1: A(y) = X(y)•Y(y) del rectángulo en función de 'y' Y(y)=y

'Área

'Coordenada 'Y' En función de 'y'

De la ecuación 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 → lny=ln2x →lny=xln2 → 𝑥𝑥 = 'Coordenada X en función de 'y'

Sustituyendo X(y) y Y(y) en EC1:

27

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

→ X(y) = 𝑙𝑙𝑙𝑙2

SOLUCIONARIO

A(y) = y • 𝑑𝑑𝑑𝑑

→ 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

1

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

→

𝑑𝑑𝑑𝑑

• 𝑦𝑦 +

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦2

𝑑𝑑𝑑𝑑

=

𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ) 𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑑𝑑(

𝑑𝑑𝑑𝑑

• 𝑦𝑦 +

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

1

• 1 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑙𝑙𝑙𝑙2

+

•

𝑑𝑑(𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙2

Cuando x=2 → y = 22 → y = 4 Sustituyendo y en la razón de cambio: 𝑑𝑑𝑑𝑑

. 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

1

+ 𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑙𝑙𝑙𝑙22 𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑑𝑑𝑑𝑑

→ 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

1

+ 𝑙𝑙𝑙𝑙2

2𝑙𝑙𝑙𝑙2 𝑙𝑙𝑙𝑙2

𝑑𝑑𝑑𝑑

→ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1.4427 + 2

2 𝑑𝑑𝑑𝑑 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3.4427 𝑢𝑢 �𝑠𝑠 "El área del rectángulo cambia a razón de 3.4427

u2/s"

Ejercicio 15

Encuentre la variación de y en la siguiente función si x = 1, y = 2 y dx/dt = 6 u/s 8 𝑥𝑥𝑦𝑦 3 == 2 1 + 𝑦𝑦 5

5(𝑥𝑥𝑦𝑦 3 ) == 8 + 8𝑦𝑦 2

Derivamos y utilizamos la regla de la cadena. 5(3𝑦𝑦 2 𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑦𝑦 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 ) == 32

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Como x =1; y =2; dx/dt = 6 𝑑𝑑𝑑𝑑

5(12 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 8(6)) == 32 60

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 240 == 32 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 28

𝑑𝑑𝑑𝑑 == −140 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 == −8.57 𝑑𝑑𝑑𝑑

La variación de y respecto al tiempo está disminuyendo Ejercicio 16

Un avión vuela con velocidad constante a 3000 m en una trayectoria recta que lo llevara sobre 28

SOLUCIONARIO

un observador en tierra. En un instante dado el observador advierte que el ángulo de elevación del aeroplano es de pi/3 radianes y aumenta a razón de 1/60 radianes por segundo. Determina la velocidad del avión.

La velocidad v=66.7m/s Haciendo un triangulo imaginario tenemos que la tangente del anglo queda expresada como: tan 𝜃𝜃 = 3000/𝑥𝑥

Aplicando derivada obtenemos 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑

= 3000/𝑥𝑥 2 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑 ) despejamos y nos queda: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 =� � 3000 𝑑𝑑𝑑𝑑

Sustituimos los valores en la ecuación de la siguiente forma: 𝜋𝜋 1 1732.52 � = (𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � � � � � 3 60 3000 2

Y asi obtenemos que (dx/dt)= 66.6m/s

Ejercicio 30

Se bombea agua a un tanque que tiene forma de cono truncado circular recto con razón uniforme de 2 litros/min (1𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 1000𝑐𝑐𝑐𝑐3 .El tanque tiene una altura e 80cm y radios inferior y superior es 20 y 40 cm respectivamente ¿Con que rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 30cm?

Nota: El Volumen V de un cono truncado circular recto es de altura h y radios inferior y superior a y b es: 𝜋𝜋ℎ 3

(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 ) 29

SOLUCIONARIO 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

=2

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

a=20 b=40, r=x, h=30 𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑣𝑣𝑣𝑣 + 𝑣𝑣2

𝑉𝑉𝑉𝑉 − 𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝑣𝑣2

𝜋𝜋 3

𝜋𝜋

((80)*(202 +(20)(40)+ 402 )- 3 ((30)*(202 +(20)b+𝑏𝑏 2 )

1 (80𝑥𝑥 2 + 2600𝑥𝑥 + 8000) = 0 3 1

(2𝑥𝑥 2 +65x+200)=0

3

X=31.33=b Sacamos el b a la altura en el instante del problema Debemos dejar en términos de una variable 𝜋𝜋 3

𝜋𝜋

𝜋𝜋

((80)(202 +(20)(40)+ 402 )= 3 h((30)(202 +(20)r+𝑟𝑟 2 )- 3 ((80h)(𝑟𝑟 2 +(40)r+402 ) 𝜋𝜋

4800= 1 ((20h-ℎ𝑟𝑟+(60)h+4𝑟𝑟 2 ) 0=−4800+(80)h+4𝑟𝑟 2 –rh

Sustituimos

𝑟𝑟 =

−ℎ ± �ℎ2 − 4(80h − 4800) 8

𝑑𝑑ℎ dh −ℎ − 1200 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 dt = 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 8√ℎ − 1200 + 76800

30

SOLUCIONARIO

Ejercicio 39

31

SOLUCIONARIO

32

SOLUCIONARIO

Ejercicio 5

PUNTOS CRITICOS

En estos problemas 3-6 dibuje la grafica de una función para la que f’ y f’’ presenten las combinaciones de signo dados -+,--,-+

Ejercicio 16

Halle los puntos de transición, intervalos de crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad y comportamiento asintótico y dibuje la gráfica. 1 𝑦𝑦 = � � 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 3

Calculamos el dominio de la función pero observamos que nunca se indetermina por eso afirmamos que la función tiene un dominio en todos los reales. Procedemos calculando la primera derivada de esa función y tenemos que es 𝑓𝑓(𝑥𝑥)´ = 3 + 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2

Igualamos la primer derivada a 0 y obtenemos que no existe un punto crítico

33

SOLUCIONARIO

Continuamos calculando la segunda derivada y nos queda que 𝑓𝑓(𝑥𝑥)´´ = 2𝑥𝑥 + 2 igualamos a cero y obtenemos que x=-1 por lo que el cambio de la concavidad se da ahí. Hacemos una tabla de valores de prueba Dominio (-infinito,-1)

Valores de prueba -2

+

(-1,+infinito)

-1/2

+

𝑓𝑓(𝑥𝑥)´

+

𝑓𝑓(𝑥𝑥)´´

Forma Creciente C.abajo Creciente C.arriba

Graficando la función nos quedaría:

Finalmente aplicando formulas de asíntotas observamos que no hay asíntotas lim (𝑓𝑓(𝑥𝑥)) = ∞

𝑛𝑛→𝑎𝑎

Ejercicio 21

lim (𝑓𝑓(𝑥𝑥)) = 𝑎𝑎

𝑛𝑛→∞

Halle los puntos críticos y aplique el criterio de la segunda derivada. F(x)=𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 + 45𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 + 45 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 24 ± √242 − 3 ∗ 4 ∗ 45 2∗3

𝑥𝑥1=5

𝑥𝑥2=3 puntos críticos 34

SOLUCIONARIO

𝑑𝑑𝑑𝑑" = 6𝑥𝑥 − 24 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 6x=24 24

X= 6 =4

Ejercicio 22

Halle los puntos críticos y aplique el criterio de la segunda derivada

Derivando, obtenemos:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 8𝑥𝑥 2 + 1

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 3 − 16𝑥𝑥 Obtenemos la segunda derivada: 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 2 − 16 Obtenemos los puntos críticos con la primera derivada: 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 3 − 16𝑥𝑥 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 0

4𝑥𝑥 3 − 16𝑥𝑥 = 0

(4𝑥𝑥 2 − 16)𝑥𝑥 = 0

x=0 o 4𝑥𝑥 2 − 16 = 0 𝑥𝑥 2 = 4

𝑥𝑥 = ±2 Así, los puntos críticos son: 𝑥𝑥 = 0 y 𝑥𝑥 = ±2.

Aplicamos el criterio de la segunda derivada y evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos.

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 2 − 16

35

SOLUCIONARIO

𝑓𝑓 ′′ (0) = 12(0)2 − 16 = −16 𝑓𝑓′′(−2) = 12(−2)2 − 16=32 𝑓𝑓′′(2) = 12(2)2 − 16=32

De acuerdo al criterio de la 2ª. Derivada f’’(0) es un mínimo local y f’’(2)=f’’(2) es un máximo loca. Halle los puntos de transición, intervalos de crecimiento /decrecimiento, concavidad/convexidad y comportamiento asintótico. A continuación dibuje la gráfica: y=x7-14x6 y’ =7x6 -84x5 y”= 42x5 -420x4 Igualando a 0 y’ =7x6 -84x5 x1=12 x2=0 y”= 42x5 -420x4 x3=10 x4=0 Intervalos

-∞,0 0 0,10 10,12 12 12, ∞

F’(x) + 0 0 +

F”(x) 0 0 + +

Creciente decreciente decreciente creciente

36

Cóncava hacia abajo Punto de inflexión Cóncava hacia abajo Punto de inflexión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba

SOLUCIONARIO

Ejercicio 26

Halle los puntos críticos y aplique el criterio de la segunda derivada(o establezca que este criterio falla) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1/(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2)

Primero sacamos su dominio pero si aplicamos que: √𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 y vemos que 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2 = 0 no tiene soluciones reales por lo tanto el dominio de f(x) son todos los reales , una vez hecho eso procedemos a calcular la primera derivada de f(x) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)´ = (1 − 2𝑥𝑥)/(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2)2

Igualando la derivada a cero y resolviendo tenemos: 1-2x=0 2x=1 hay un punto critico

X=1/2

y observamos entonces que solo

Procedemos a calcular la segunda derivada y tenemos que: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)´´ = (6𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 2)/(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2)3

Sustituyendo el punto crítico en la segunda derivada (1/2) 1 2

𝑓𝑓(𝑥𝑥)´´ = (6 �2� − 6(1/2) − 2)/((1/2)2 − (1/2) + 2)3 Obtenemos que es -2 y

como -2<0 es un valor máximo.

Si queremos obtener la coordenada sustituimos el (1/2) en la ecuación inicial y tenemos que es (4/7) y asi el punto máximo se encuentra en ((1/2),(4/7)) Ejercicio 27

Hallar los puntos de transición , intervalos de crecimiento/decremento, concavidad/convexidad y comportamiento asintótico de y = x(8 - x)1/3 Solución: 1

Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦 = x(8 − x)3 1

𝑑𝑑 �(8 − x)3 � 1 𝑑𝑑(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝑥𝑥 ⇒ = 𝑥𝑥 • � � + (8 − x)3 • = + (8 − x)1/3 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 3(8 − 𝑥𝑥)2/3

37

SOLUCIONARIO

𝑑𝑑2 𝑦𝑦

⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 1

⎛ = �− 3� • ⎜ 1

⎝

2

3(8−𝑥𝑥)3

𝑥𝑥

2� (8−𝑥𝑥)3

𝑑𝑑�

𝑑𝑑𝑑𝑑

⎞ ⎟+

1

𝑑𝑑�(8 − x)3 � 𝑑𝑑𝑑𝑑

⎠

1 = �− � • �𝑥𝑥 � 3

2

⎛ =�− 3� • ⎜𝑥𝑥 1

⎝

4� +

3(8 − 𝑥𝑥)3

1

2� −

(8 − 𝑥𝑥)3

1 = �− � • �𝑥𝑥 � 3

2

3(8 −

1

2� (8−𝑥𝑥)3

𝑑𝑑�

4� 𝑥𝑥)3

+

𝑑𝑑𝑑𝑑

1

1

2 (8−𝑥𝑥)3

𝑑𝑑(𝑥𝑥)⎞ 𝑑𝑑𝑑𝑑

⎟− ⎠

2

3(8 − 𝑥𝑥)3

+

2

(8 −

2� 𝑥𝑥)3

Para obtener los números críticos, igualamos 1° derivada a cero y obtenemos valores de X: −𝑥𝑥

3(8−𝑥𝑥)2/3

−𝑥𝑥

𝑥𝑥

+ (8 − x)1/3 = 0 ⇒ 3(8−𝑥𝑥)2/3 + (8 − x)1/3 = 3(8−𝑥𝑥)2/3

3(8 − 𝑥𝑥)2/3 (8 − x)1/3 = 𝑥𝑥 ⇒ 3(8 − 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ⇒ 24 − 3𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ⇒ 4𝑥𝑥 = 24 ⇒ 𝑥𝑥 =6

Para saber si es cóncava hacia arriba o hacia abajo, se sustituye el numero critico en la segunda derivada. Si f''(x)>0 la función es cóncava hacia arriba si f''(x)<0 entonces la función es cóncava hacia abajo. 1

�− 3� • �6 �

2

4 3(8−6)3

en cuando x=6

� +

2

2

(8−6)3

� ⟹ f ′′ (x) < 0 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Para determinar los puntos de transición igualamos la segunda derivada a cero y obtenemos x. 1 �− � • �𝑥𝑥 � 3

2

4� +

3(8 − 𝑥𝑥)3 ⟹�

2

2

2� = 0 ⇒ �

(8 − 𝑥𝑥)3 2

(8 − 𝑥𝑥)3

= 0� & �

𝑥𝑥

2

2� �

(8 − 𝑥𝑥)3 2

3(8 − 𝑥𝑥)3

𝑥𝑥

2

3(8 − 𝑥𝑥)3

+ 1� = 0

+ 1 = 0�

Se indetermina cuando 𝑥𝑥 − 8 = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = 8 lo cual implica que en f(8) hay un punto de transición.

38

SOLUCIONARIO

La función y = x(8 - x)1/3 es creciente en el intervalo Ic=(-∞, 6) y decreciente en el intervalo 28 Id=(6,+∞) Ejercicio Es cóncava hacia abajo en el intervalo Ib=(-∞, 8) y cóncava hacia arriba en el intervalo 28. Halle los puntos críticos y aplique el criterio de la segunda derivada(o Ia=(8,+∞). establezca que este criterio falla) No hay asíntotas. 1

y= 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥)3

Dominio de la función (−∞, ∞) Puntos de transición, intervalos de crecimiento, concavidad y comportamiento asintótico Dibujar la grafica Ejercicio 29

Primera derivada

2x−4

2

3(x2 −4𝑥𝑥)3

Puntos críticos

x=0, x=2, x=4 39

SOLUCIONARIO

Decrece la función (−∞, 𝟎𝟎), (𝟎𝟎. 𝟐𝟐)

Crece la función (𝟐𝟐, 𝟒𝟒), (𝟒𝟒. ∞) Segunda derivada

1

−(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥)3 ∗ (2𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 32) 9𝑥𝑥 4 − 72𝑥𝑥 3 + 144𝑥𝑥 2 Puntos críticos

x=0, x=2, x=4

Concavidad hacia abajo (−∞, 𝟎𝟎) (𝟒𝟒, ∞) Punto de inflexión x=0, x=4

Concavidad hacia arriba (𝟎𝟎, 𝟒𝟒)

Mínimo de la función x=2

40

SOLUCIONARIO

Ejercicio 40

Halle los intervalos de concavidad de F, los puntos de inflexión, los puntos críticos y los máximos y mínimos locales. 3

1

F(x)= 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 −�2� ;

x>0

Primera derivada

3x2 +4 3

2x2

Puntos críticos

x=0

Segunda derivada

3𝑥𝑥 2 −12 5

4𝑥𝑥 2

41

SOLUCIONARIO

Puntos críticos

x=0, x=2, x=-2

Concavidad hacia abajo (𝟎𝟎, 𝟐𝟐)

Punto de inflexión x=2

Concavidad hacia arriba (𝟐𝟐, ∞) X. Dibuje la gráfica de una función para la que f’(X) Y f’’(X) presente las combinaciones siguientes: +-,--,-+

42

SOLUCIONARIO

OPTIMIZACION

Ejercicio 1

Halle las dimensiones de una caja se baje cuadrada con la caja esta total mente sellada a) Volumen 12 y área minima. b) Área 20 y volumen máximo V= 12 L*L*L=12 A=6*L*L* 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 12𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑

L*L= (2.28-2X)¬2*6 A=(6)*(2)(2.28-2X)*2 1.14. LxL=raíz(cubica) de20 V=l*l*l L=4.47

Ejercicio 2 Halle el área máxima del rectángulo inscrito en la 4−𝑥𝑥

región limitada por la grafica de y=2+𝑥𝑥 y los ejes (figura 17).

D=R-(4,2) 4−𝑥𝑥

Formula y=𝑥𝑥 2+𝑥𝑥 𝐴𝐴 =

−𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 6𝑥𝑥−12

-x+6-

2+𝑥𝑥

=y

43

SOLUCIONARIO

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

12

= −1 + (2+𝑥𝑥)2 =

12−(2+𝑥𝑥)2 (2+𝑥𝑥)2

=0

Cuando el denominador se hace 0 𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 8 = 0 −12±�122 −4(8)(1) 2(1)

𝑥𝑥2 =-12.6332

= 𝑥𝑥1 =0.6332

Sustituyendo 𝑦𝑦 =

4−4(.6332) 2+(.6332)

=0.8096𝑢𝑢2 =𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

Halle el punto sobre la recta y=x más cercano al punto (1,0). Indicación: es equivalente, y más fácil minimizar el cuadrado de la distancia. De nuestro fabuloso curso de geometría analítica sabemos que la distancia entre dos puntos dentro de nuestro plano cartesiano es:

𝐷𝐷 = �(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 )2 Sustituimos los puntos: 𝐷𝐷 = �(𝑥𝑥 − 1)2 + (𝑦𝑦 − 0)2 Atendiendo a nuestra indicación, elevamos al cuadrado nuestra función:

𝑑𝑑 = 𝐷𝐷2

𝑑𝑑 = (𝑥𝑥 − 1)2 + 𝑦𝑦 2 De nuestra ecuación de la recta, sabemos que y=x, por lo que procederemos a poner a D en función de una sola variable:

44

SOLUCIONARIO

𝑑𝑑 = (𝑥𝑥 − 1)2 + 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑 = 2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1

Ahora procedemos a optimizar obteniendo la derivada: 𝑑𝑑′ (𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 − 2 𝑑𝑑′(𝑥𝑥) = 0

0 = 4𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 =

1 2

Obtenemos la segunda derivada: 𝑑𝑑′ (𝑥𝑥) = 4

Nuestra segunda derivada es positiva, por lo que podemos decir que (.25,.25) es el punto que buscamos.

Ejercicio 3 Se tiene un alambre de 12cm de largo con el cual se pretende construir un circulo y un cuadrado, ¿a qué distancia se tiene que cortar para minimizar el área total?

12-X

X r

L

Solución. Se desea encontrar el valor de X para minimizar el área total para ello tenemos que el área total será. AT = A circulo + A cuadrado 45

SOLUCIONARIO

Círculo. 𝑃𝑃1

Perímetro=P1= 2πr => r=2𝜋𝜋 P1=X

Área=A= π r2 Cuadrado Perímetro=P2= 4L => L= P2=12-X

𝑃𝑃2 4

Área=A=L

46

SOLUCIONARIO

AT = π r2 + L2 𝑋𝑋

12−𝑋𝑋 2 ) 4

AT = π (2𝜋𝜋)2 + ( 𝑥𝑥 2

𝑥𝑥

AT= 4𝜋𝜋 + (3 − 4)2

Ahora tenemos el área como función de X (f (x)= AT), lo siguiente que hay que hacer es encontrar la primera derivada para poder encontrar los puntos críticos. 𝑥𝑥

1

𝑥𝑥

f ‘(x)=2𝜋𝜋 − 2 ( 3 − 4)=0 𝑥𝑥 𝑥𝑥 −3+ =0 4 𝜋𝜋

𝑥𝑥(

1 1 + )=3 𝜋𝜋 4

12𝜋𝜋

X=4+𝜋𝜋 ≈ 5.02𝑚𝑚2

Como la segunda derivada es una constante, evaluaremos a la función “área” en los extremos y en el punto crítico ya que el mínimo se encuentra en alguno de estos puntos. f (0)=9m2 f (12)=

36 𝜋𝜋

12𝜋𝜋

≈ 11.46𝑚𝑚2

f (4+𝜋𝜋)= 5.04m2

Por lo tanto el punto donde hay que cortar el alambre es en donde el área alcanza su mínimo valor.

12𝜋𝜋

4+𝜋𝜋

ya que

Ejercicio 12 Halle el punto P sobre la parábola y=x^2 Obtenemos el dominio y como es cuadrática sabemos que tiene dominio en todos los reales Procedemos a graficar para dar un bosquejo 34

SOLUCIONARIO

Utilizaremos la formula de distancia entre 2 puntos de geometría analítica y obtenemos D(P,A)=�(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 0)2

Elevamos al cuadrado para obtener la expresión 𝐷𝐷(𝑃𝑃, 𝐴𝐴)2 = (𝑥𝑥 − 3)2 + 𝑦𝑦 2 como P pertenece a la parábola depende de x y asi 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 ---- (x,x^2) y después sustituimos en la anterior

𝐷𝐷(𝑃𝑃, 𝐴𝐴)2 = (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑥𝑥 2 )^2 y con algebra llegamos a que 𝐷𝐷(𝑃𝑃, 𝐴𝐴)2 = 𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 sería nuestra f(x)

Así derivando f(x) nos queda que

𝑓𝑓(𝑥𝑥)´ = 4𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 − 6 después igualamos con cero 4𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 − 6=0 y obtenemos que x=1

Sustituyendo x=1 en la primera función tenemos que y=1^2 por lo que el punto es A(1,1) Ejercicio 22 Halle el ángulo que máxime el área del trapezoide con una base de longitud 4 y lados de longitud 2 como se muestra en la figura. 37

SOLUCIONARIO

𝛼𝛼 = (180 − 𝜃𝜃) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = ℎ/2

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑥𝑥/ℎ

4)

2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = ℎ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑥𝑥/2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

1

1

𝐴𝐴 = �2� (2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)(4 + 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 +

𝐴𝐴 = �2� ℎ(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 1

𝐴𝐴 = (2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)(8 + 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) �2�

𝐴𝐴 = (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)(4 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)

Sustituyendo 𝐴𝐴 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(180 − 𝜃𝜃)(4 + 2 cos(180 − 𝜃𝜃) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(180 − 𝜃𝜃)) Reduciendo términos tenemos que 𝐴𝐴 = 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 derivamos la función A

𝐴𝐴´ = 4𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − (2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 igualamos a cero y tenemos 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 0 y resolviendo 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0

(2 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 0

𝜃𝜃 = 90

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = 0 resolviendo tenemos que

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0

𝜃𝜃 = 0

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(2)

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2

𝜃𝜃 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(2)

37

𝜃𝜃 = 0.46

y

SOLUCIONARIO

DIFERENCIAL Ejercicio 3 Los ingresos de taquilla en un complejo de cines de Paris son 𝑅𝑅(𝑝𝑝) = 3600𝑝𝑝 − 10𝑝𝑝3 errores por pase, cuando el precio está expresado en p euros.. Calcule R(p) para p= 9 y use aproximación lineal para estimar ∆𝑅𝑅 si p aumenta o se disminuye en 0.5 euros.

La función es: 𝑅𝑅(𝑝𝑝) = 3600𝑝𝑝 − 10𝑝𝑝3 y nuestro problema nos dice que 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ±0.5 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒. Luego, si derivamos, tenemos:

Ahora, despejamos 𝑑𝑑𝑑𝑑:

Y finalmente, sustituimos:

𝑑𝑑𝑑𝑑 = (3600 − 30𝑝𝑝2 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = (3600 − 30𝑝𝑝2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (3600 − 30(9)2 )(±0.5)

Ejercicio 35

𝑑𝑑𝑑𝑑 = ±585

La ley de la gravitación universal de Newton establece que si una persona pesa w libras sobre la superficie de la Tierra, entonces su peso a distancia x del centro de la Tierra es:

37

SOLUCIONARIO

𝑊𝑊(𝑥𝑥) =

𝑤𝑤𝑅𝑅2 𝑥𝑥 2

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 ≥ 𝑅𝑅 donde R = 3960millas es el radio de la Tierra.

(a) Pruebe que la pérdida de peso a una altitud h por encima de la superficie de la Tierra es ∆𝑊𝑊 ≈ −(0.0005𝑤𝑤)ℎ. Use la aproximación lineal con 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ℎ ≈ ∆𝑥𝑥 (b) Estime la pérdida de peso sufrida por una persona de 200lb de peso a 7 millas de altitud. Solución: a) Dada la función 𝑊𝑊(𝑥𝑥) = función

de

x,

se

𝑤𝑤𝑅𝑅2 𝑥𝑥 2

tiene

se pide calcular ∆𝑤𝑤 ≈ 𝑑𝑑𝑑𝑑, por lo que derivando en que

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

=

−2𝑤𝑤𝑅𝑅2 𝑥𝑥 3

⟹ 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

−2𝑤𝑤𝑅𝑅2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 3

Sustituyendo el valor del radio de la tierra en R y en x se tiene que: 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

−2𝑤𝑤(3960𝑚𝑚𝑚𝑚)2 ℎ (3960𝑚𝑚𝑚𝑚)3

⟹ 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

�⃗| ⟹ ∆𝑊𝑊 ≈ −(0.0005) 𝑤𝑤|ℎ

�⃗ |𝑚𝑚𝑚𝑚 −2𝑤𝑤|ℎ (3960𝑚𝑚𝑚𝑚)

⟹ 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

−2𝑤𝑤𝑅𝑅2 ℎ 𝑥𝑥 3

1 �⃗� ⟹ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −(0.0005) 𝑤𝑤|ℎ �⃗| ⟹ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − (1980) 𝑤𝑤�ℎ

b) Sustituyendo el peso y la altitud de la persona en la expresión anterior se tiene que: ∆𝑊𝑊 ≈ −(0.0005)(200𝑙𝑙𝑙𝑙)(7) ⟹ ∆𝑊𝑊 ≈ −0.7𝑙𝑙𝑙𝑙

SOLIDOS DE REVOLUCIÓN Ejercicio 1 1.- Sea v el volumen de una pirámide de altura 20 y de base un cuadrado de lado 8

37

SOLUCIONARIO

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐿𝐿2 𝑑𝑑𝑑𝑑

ℎ

𝑉𝑉 = ∫0 𝐿𝐿2 𝑑𝑑𝑑𝑑

sustituimos

La ecuación de la recta la aplicamos :

ℎ

𝑉𝑉 = ∫0 (2𝑥𝑥)2 𝑑𝑑𝑑𝑑

0−ℎ (𝑥𝑥 − 0) 𝑏𝑏 −0 2

(𝑦𝑦 − ℎ) =

Reducimos la ecuación y despejamos respecto a x y tenemos: 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑦𝑦 + 2ℎ 2

𝑥𝑥 = −

ℎ

Sustituimos la x en la integral del volumen 𝑉𝑉 = ∫0 (2𝑥𝑥)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 y tendremos 𝑏𝑏 2 𝑏𝑏 𝑉𝑉 = � �2(− 𝑦𝑦 + )� 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 2ℎ 0 ℎ

Resolviendo y reduciendo tenemos que

𝑉𝑉 =

𝑏𝑏 2 ℎ 3

Ahora solo sustituimos los valores que nos dan y tenemos 𝑉𝑉 =

82 (20) 3

𝑉𝑉 =

1280 3

Ejercicio 2 Dibuje el cuerpo de in sólido obtenido por revolución de la región por debajo de la gráfica de f(x) respecto al eje x en el intervalo dado. a) Describa la sección transversal perpendicular al eje x, localizada en x,y. b) Calcule el volumen del sólido.

1. Se procede a graficar la función y a definir los intervalos de los cuales se tomará la curva para rotarla y formar el sólido de revolución. La función se trata

37

SOLUCIONARIO

de una parábola y los intervalos son x = 1 y x = 3 (que vendrán siendo el límite inferior y límite superior respectivamente).

2. Teniendo definida la curva, se rota con respecto al eje x en los intervalos dados. En este caso se puede auxiliar de un graficador como WinPlot.

37

SOLUCIONARIO

Se grafica la curva con los intervalos definidos x=1 y x=3.

Después se grafica el sólido de revolución, nuevamente definiendo desde cuáles intervalos se tomarán las curvas, así como el eje sobre el cuál se hace girar, en este caso con respecto al eje x.

Graficando el sólido de revolución.

37

SOLUCIONARIO

3. Calcular volumen El sólido de revolución generado tiene una forma muy parecida a la de un embudo o de un hiperboloide hiperbólico cortado a la mitad. El cálculo de su volumen se puede hacer con el método de discos. 2

Fórmula → ∆V ≈ π �𝑓𝑓(𝑥𝑥)� ∆𝑥𝑥

Cálculo:

El volumen puede ser comprobado en WinPlot, dando como resultado 152.0508 Calculando teóricamente: 3

𝑉𝑉 = π � (𝑥𝑥 2 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑 1

3

𝑉𝑉 = π � 𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 1

𝑉𝑉 = �π � 𝑉𝑉 = π �

𝑥𝑥 5 3 �� 5 1

(3)5 (1)5 − � 5 5

𝑉𝑉 = 48.4π = 152.05

Ejercicio 2 Sea V el volumen de un cono de altura 10 y base un circulo de radio 4. a) Considere triángulos semejantes para hallar el área de la sección horizontal transversal a la altura y. b) Calcule V integrando el área de la sección transversal. 37

SOLUCIONARIO

Utilizando semejanza de triángulos. 1 1 𝑧𝑧 8 2 = 2 10 − 𝑦𝑦 10

10 − 𝑦𝑦

8(10 − 𝑦𝑦) 𝑧𝑧 = 10

10

Calculamos el área de la sección transversal en función de y 𝜋𝜋 16(10 − 𝑦𝑦) 𝐴𝐴(𝑦𝑦) = 𝜋𝜋2𝑧𝑧 = 10

Calculamos V integrando la sección transversal. 10 𝜋𝜋 16(10−𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 10

V = ∫0

𝜋𝜋16 (10𝑦𝑦 10

=[

−

𝑦𝑦 2 10 )] 2 0

= 80𝜋𝜋 𝑢𝑢3

37

𝑦𝑦

1 𝑧𝑧 2

4

SOLUCIONARIO

Ejercicio 6 Dibuje el cuerpo sólido por rotación respecto al eje y, y halle su volumen:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑥𝑥

√1+𝑥𝑥 3

. [1,4]

La gráfica de la figura es la siguiente.

37

SOLUCIONARIO

El cuerpo generado, queda como el siguiente:

4

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 � (𝑥𝑥) 1

Hacemos sustitución simple:

4

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 �

1

𝑥𝑥

√1 + 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 2

√1 + 𝑥𝑥 3

𝑢𝑢 = 1 + 𝑥𝑥 3

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑

4 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � 3 1 √𝑢𝑢

4 3

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋√1 + 𝑥𝑥 3 desde 1 a 4

4 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋√𝑢𝑢 3

Evaluamos, y obtenemos:

37

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑

SOLUCIONARIO

4 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋(√65 − √2) 3

Ejercicio 6

Halle el volumen del tetaédro de la siguiente figura integrando el área de las secciones transversales.

Si observamos, al hacer un corte tenemos una rebanada con la forma de un triángulo. Para calcular el volumen de la figura, necesitamos hacer una suma de las áreas de esos triángulos. Para calcular el área de estos triángulos, sabemos que se necesita conocer la altura y la base de dicho triángulo. Analizando nuestra figura, la altura y la base son variables, y es necesario obtener una expresión y ponerlas en término de alguna variable, en este caso, x:

Analizando la base: 6 Por triángulos semejantes:

8

y

6𝑥𝑥 = 8𝑦𝑦

x

37

6 8 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 4

SOLUCIONARIO

Ahora, haciendo algo similar para obtener la altura: De manera similar, por triángulos semejantes: 4 8 = ℎ 𝑥𝑥

4

1 ℎ = 𝑥𝑥 2

h

x 8

De esta manera, 𝐴𝐴 = Sustituyendo:

𝑏𝑏∗ℎ 2

𝐴𝐴 =

LUEGO, el volumen es la integral:

3𝑥𝑥 1𝑥𝑥 1 ∗ ∗ 4 2 2

𝐴𝐴 =

8

𝑉𝑉 = �

0

3𝑥𝑥 2 16

3𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 16

37

SOLUCIONARIO

𝑉𝑉 =

𝑋𝑋 3 16

Evaluando: V=32

Ejercicio 7 5

7. - y=𝑥𝑥 3 [1,8]

Se va a girar respecto al eje x entonces tendremos un dv = 𝜋𝜋𝜋𝜋2 𝑑𝑑𝑑𝑑 e integramos

∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝜋𝜋𝜋𝜋 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 pero ya tenemos los limites [1,8] así : 8

5

𝑣𝑣 = 𝜋𝜋 ∫1 (𝑥𝑥 3 )^2 𝑑𝑑𝑑𝑑

8

25

𝑣𝑣 = 𝜋𝜋 ∫1 (𝑥𝑥 9 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑣𝑣 =

9𝜋𝜋 3 (2048√2 − 1) 34

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 8 Halle el volumen de revolución respecto al eje x para la función e intervalo dados. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4 − 𝑥𝑥 2 ,

[0, 2]

Por rebanadas sabemos que el radio mide f(x), entonces A (y) = 𝜋𝜋(4 − 𝑥𝑥 2 )2

Integrando todas las áreas desde 0 hasta 2: 2

V = ∫0 𝜋𝜋(4 − 𝑥𝑥 2 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝜋𝜋 �16𝑥𝑥 −

8 3 𝑥𝑥 3

+

𝑥𝑥 5 2 �] 0 5

= 17.066𝜋𝜋

Ejercicio 11 11.- y=(x^2+1)^-2 y=2-(x^2+1)^-2 x=2 respecto al eje y

37

SOLUCIONARIO

Lo expresamos de la forma de cascarones 2

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 � 𝑥𝑥[( 2 − (x^2 + 1)^ − 2) − (x^2 + 1)^ − 2]dx 0

2

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 � 𝑥𝑥[ 0

𝑉𝑉 =

2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 ]dx (𝑥𝑥 + 1)2

16 − ln 9 3

Ejercicio 12 Halle el volumen de revolución respecto al eje x para la función e intervalos dados.

𝜋𝜋 2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥, [0, ] Gráfica de la función:

Volumen generado por la función:

37

SOLUCIONARIO

Obtengamos el volumen por el método de discos:

Si observamos, nuestro radio es f(x), por lo que el área del disco, es: 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑟𝑟 2

𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑓𝑓(𝑥𝑥)2

𝐴𝐴 = 𝜋𝜋√sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥

2

𝐴𝐴 = 𝜋𝜋 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥

𝜋𝜋 2

Luego, el volumen es la sumatoria de estas áreas desde 0 hasta . O bien, la integral: 𝜋𝜋 2

𝑉𝑉 = � 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝜋𝜋 2

0

𝑉𝑉 = � 𝜋𝜋 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

37

SOLUCIONARIO 𝜋𝜋 2

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

Haciendo sustitución simple:

𝑢𝑢 = sin 𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑

Luego:

𝜋𝜋 2

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 0

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋

(sin 𝑥𝑥)2 2

desde 0 a

Evaluamos:

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋

𝜋𝜋 2

𝑉𝑉 =

Así:

𝑢𝑢2 2

𝜋𝜋 𝜋𝜋 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠0) 2 2 𝜋𝜋 2

𝑉𝑉 = Ejercicio 18

Dibuje el sólido de revolución de la región por debajo de la gráfica de f(x), respecto al eje e intervalos indicados. A continuación, calcule su volumen por el método de las capas. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

1

√𝑥𝑥 2 + 1

[0, 2] respecto a x = 0

37

SOLUCIONARIO

El problema indica que se gira con respecto a x = 0, lo que sería igual que su giro fuera en torno al eje y. El sólido que se genera tiene una altura f(x), y como se trata de una revolución en torno al eje y la curva es tomada desde x=0, el radio se considera como x.

37

SOLUCIONARIO

Se grafica la curva con los intervalos definidos x=0 y x=2.

Después de graficar se grafica el sólido de revolución, pero debido a ciertas características limitadas de WinPlot (o que desconozco si se pueda hacer) sólo se puede graficar la parte superior del sólido.

Para realizar el cálculo completo se puede dividir el sólido, evaluando la parte que se puede graficar y después resolver teóricamente el cilindro que no puede ser graficado. Se suman ambos volúmenes.

Ejercicio 19 Halle el área de la región que se encuentra a la derecha de 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 2 + 4𝑦𝑦 − 22 y a la izquierda de 𝑥𝑥 = 3𝑦𝑦 + 8. A continuación, tenemos las gráficas:

37

SOLUCIONARIO

Obtenemos los puntos de intersección para tener, también, nuestros límites de integración.

3𝑦𝑦 + 8 = (𝑦𝑦 + 2)2 − 26 3𝑦𝑦 + 34 = (𝑦𝑦 + 2)2

3𝑦𝑦 + 34 = 𝑦𝑦 2 + 4𝑦𝑦 + 4 𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 − 30 = 0

Así obtenemos que los puntos de intersección son: (23,5) y (-10,-6)

5

Así: A=∫−6[(3𝑦𝑦 + 8) − (𝑦𝑦 2 + 4𝑦𝑦 − 22)]𝑑𝑑𝑑𝑑 5

A=∫−6[−𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 + 30]𝑑𝑑𝑑𝑑 −6

A=∫5 [𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 − 30]𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦 3 𝑦𝑦 2 −6 𝐴𝐴 = + − 30𝑦𝑦 � 5 3 2

y’

Evaluamos: A=221.8333 Ejercicio 23 Hallar el área limitada por las gráficas de dos maneras: integrando sobre el eje x, e integrando sobre el eje y. x=9-y^2 ,x=5 Evaluando sobre el eje x… Calculando el área desde -2 hasta 2 de la primer ecuación A_1=∫_(-2)^2▒〖9-y^2 dy=[9y- y^3/3 〗]■(2@-2)=92/3 Calculando el área de -2 a 2 de la segunda ecuación 37

SOLUCIONARIO

A_2= ∫_(-2)^2▒〖5 dy=20〗 Se resta A_1- A_2 para obtener el área de la región A_1- A_2=32/3 u^2 Ejercicio 24 La parábola semicúbica 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 3 y la recta x=1

Respecto a x primero despejamos y obtenemos asi integramos con los limites de integración: 1

3

2𝑥𝑥 5/2 5

=

2 ∫0 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑

2

25/2 ) 5

= 2(

evaluada de 0 a 1

Respecto a primero despejamos x obtenemos asi integramos con los limites de integración: 1

2

2 ∫0 𝑦𝑦 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 35/3 ) 5

= 2(

=

3𝑦𝑦 5/3 5

2

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3/2

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 2/3

evaluada de 0 a 1

Ejercicio 27 Use tanto el método de capas como el método de discos para calcular el volumen de revolución de la región por debajo de la gráfica de: 37

SOLUCIONARIO

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8 − 𝑥𝑥 3 para 0 <=x<=2 respecto a) al eje x y b)al eje y. La gráfica de la función es:

Y el cuerpo generado al girarlo alrededor de x es:

El volumen por cascarones es:

8

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 � 𝑦𝑦 3�8 − 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑 0

Resolviendo por partes: u=y; du=dy dv= 3�8 − 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

4 3 𝑣𝑣 = − (8 − 𝑦𝑦)3 4

8 4 4 3 3 3 𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋(− 𝑦𝑦(8 − 𝑦𝑦) + � (8 − 𝑦𝑦)3 𝑑𝑑𝑑𝑑) 4 0 4

𝑉𝑉 =

𝑉𝑉 =

8 4 4 6𝜋𝜋 (−𝑦𝑦(8 − 𝑦𝑦)3 + � (8 − 𝑦𝑦)3 𝑑𝑑𝑑𝑑)) 4 0

4 7 3 6𝜋𝜋 (−𝑦𝑦(8 − 𝑦𝑦)3 + (8 − 𝑦𝑦)3 )) 7 4

37

SOLUCIONARIO

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑚𝑚𝑜𝑜𝑜𝑜:

𝑉𝑉 = 82.28Pi. Ahora, el volumen por discos es:

2

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � (8 − 𝑥𝑥 0

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋(64𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 4 +

𝑥𝑥 7 ) 7

2 3)

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜋𝜋 � (64 − 16𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 6 ) 0

𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅:

desde 0 a dos.

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸: 𝑦𝑦 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞: 𝑉𝑉 = 52.28𝜋𝜋

b) Respecto al eje y. Por discos: 8 8 2 2 3 5 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � (8 − 𝑦𝑦)3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜋𝜋 � 𝑢𝑢3 = 𝜋𝜋𝑢𝑢3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 0 𝑎𝑎 8. 5 0 0

𝑉𝑉 = 19.2

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸:

Por cascarones: 2

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 ∫0 𝑥𝑥(8 − 𝑥𝑥 3 𝑑𝑑𝑑𝑑)

2

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 � 8𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

𝑉𝑉 = 2𝜋𝜋 �4𝑥𝑥 2 −

𝑥𝑥 5 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 0 𝑎𝑎 2. 5

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑦𝑦 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜: 37

SOLUCIONARIO

𝑉𝑉 =

2𝜋𝜋 (48) 5

𝑉𝑉 =

96𝜋𝜋 5

Ejercicio 29 Encuentra la región encerrada por las curvas y calcula su área como una integral entre los ejes x y y.

Curva 1

→

Curva 2

→

Curva 3

→

𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒

𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎

Pasando de su forma implícita a explícita.

→

𝒚𝒚 = 𝟒𝟒 − 𝒙𝒙 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙

𝒚𝒚 = 𝟒𝟒 − 𝟑𝟑𝟑𝟑

𝒚𝒚 + 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟒𝟒

1. Buscar puntos de intersección: Igualando la primer y segunda curva:

𝟒𝟒 − 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙

Igualando la segunda y tercera curva:

𝟒𝟒 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝒙𝒙

𝟒𝟒 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟒𝟒 − 𝒙𝒙

𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟒𝟒

𝒙𝒙 = 𝟎𝟎

𝟒𝟒 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎

𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎

𝒙𝒙 = 𝟐𝟐

𝒙𝒙 = 𝟏𝟏

𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒𝟒

Igualando la primera y tercera curva:

−𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎

Buscar las ordenadas de cada abscisa: 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒

𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎

𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒

𝟐𝟐 + 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒

𝟏𝟏 − 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎

𝟎𝟎 + 𝒚𝒚 = 𝟒𝟒

𝒚𝒚 = 𝟒𝟒 − 𝟐𝟐 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐

𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 37

𝒚𝒚 = 𝟒𝟒

SOLUCIONARIO

(2, 2)

(1, 1)

(0, 4)

Al graficar las tres funciones se observa que para poder calcular el área encerrada por las tres funciones, se debe de segmentar la figura (que resulta ser un triángulo) en dos partes, debido a que la parte 1 corresponde al área entre la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟒𝟒 − 𝒙𝒙 y 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟒𝟒 − 𝟑𝟑𝟑𝟑, y la parte 2 es el área entre las funciones 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟒𝟒 − 𝒙𝒙 y 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙.

El área de la región 1 va desde 0 hasta 1, mientras que el área de la región 2 va desde 1 hasta 2. Su cálculo se realiza por medio de área bajo la curva, que sería el siguiente procedimiento: 1

2

� �(4 − 𝑥𝑥) − (4 − 3𝑥𝑥)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � �(4 − 𝑥𝑥) − 𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

1

2

1

= � 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � (4 − 2𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

1

1

2

= � 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � (4 − 2𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

1

37

SOLUCIONARIO

1 2 = [𝑥𝑥 2 ] + [4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ] = 1 + (8 − 4) − (4 − 1) = 𝟐𝟐 0 1

El área total del polígono resultante de la intersección de las tres funciones es 2, y puede ser comprobado en GeoGebra graficado el polígono con ayuda de los puntos de intersección y obteniendo su área.

El área obtenida por medio de la graficación es 2, lo mismo que los cálculos, por lo que se supone que es correcto.

Ejercicio 40 Utilice el método más apropiado para hallar el volumen de revolución de la región B en la figura 12, respecto al eje indicado. x = -3 Por el método de cascarones si tomamos x+3 como el radio de la base y (𝑥𝑥 2 + 2 ) como la altura entonces la ecuación queda así 37

SOLUCIONARIO 2

𝑥𝑥 4

2

V = 2𝜋𝜋 ∫0 (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 2 + 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋 ∫0 (𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 6)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �2𝜋𝜋 � + 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥�� 20 = 4

52𝜋𝜋 𝑢𝑢3

Ejercicio 40 40.- y=x^2

y= 12-x

x=0

respecto a

y=15

Tenemos el método de arandelas y lo expresamos de la siguiente forma: 3

2

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � (15 − 𝑥𝑥 2 )2 − � 15 − (12 − 𝑥𝑥)� 𝑑𝑑𝑑𝑑

Reducimos y resolvemos

0

3

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � 216 + 29𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

4653 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋( ) 5

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 41 x=2 eje de revolución de la figura

Tenemos como una carpa entonces por discos los haremos por 2 partes La primera despejamos respecto a x la curva X=�𝑦𝑦 − 2

El primer volumen no es afectado por la curva así tenemos: 2

𝑣𝑣 = 𝜋𝜋 ∫0 22 𝑑𝑑𝑑𝑑

v= 8π

El segundo volumen queda expresado de la siguiente manera: 6

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � (2 − �𝑦𝑦 − 2 )^2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

6

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 � 𝑦𝑦 − 4�𝑦𝑦 − 2 + 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

El volumen total será la suma Vt= 8π +

𝑉𝑉 =

8𝜋𝜋 3

8𝜋𝜋 3

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 46 Región entre 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦(5 − 𝑦𝑦) y 𝑥𝑥 = 0 rotada respecto al eje 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦(5 − 𝑦𝑦)

[0, 5]

respecto al eje x

El giro de la curva se hace con respecto al eje x, la altura es igual a y(5-y) y el radio será igual a y ya que la revolución se hará sobre el eje y no hay espacio entre el eje y el comienzo de la curva, ya que esta comienza en las coordenadas (0,0).

37

SOLUCIONARIO

Se grafica la curva con los intervalos [0,5] y se grafica sobre el eje x para permitir el graficado del sólido de revolución.

A continuación se grafica el sólido de revolución con respecto al eje x. En el caso del graficador, la revolución se hizo con respecto al eje y por restricciones del programa.

37

SOLUCIONARIO

3. Calcular volumen

El sólido de revolución generado se resuelve mediante cascarones, por lo tanto la fórmula que se utiliza para su resolución es: Fórmula → ∆V ≈ 2 π 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∆𝑥𝑥

La altura a considerar es igual a la función 𝒇𝒇(𝒚𝒚) = 𝒚𝒚(𝟓𝟓 − 𝒚𝒚) y el radio y.

Cálculo:

El volumen puede ser comprobado en WinPlot, dando como resultado 327.24 para el sólido de revolución graficado. Calculando teóricamente: 5

𝑉𝑉 = 2π � 𝑦𝑦(𝑦𝑦(5 − 𝑦𝑦)) 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

5

𝑉𝑉 = 2π � (5𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 3 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

5𝑦𝑦 3 𝑦𝑦 4 5 𝑉𝑉 = 2π � − � 3 4 0

𝑉𝑉 = 2π �

5(5)3 (5)4 − �−0 3 4

625 625 𝑉𝑉 = 2π � − � 3 4 𝑽𝑽 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐 37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 46 Los atletas 1 y 2 corren a lo largo de una pista recta a velocidades v1(t) y v2(t) (en m/s) según se muestra la siguiente gráfica:

D2

D1

a) ¿Cuál de las siguientes magnitudes se representa mediante el área de la región sombreada en [0,10]? a. La distancia entre los atletas 1y 2 en el instante t=10s. b. La diferencia de las distancias recorridas por cada uno de los dos atletas en el intervalo de tiempo [0,10]

Si leemos detenidamente la segunda opción, podremos percatarnos a que la diferencia de las distancias recorridas es la distancia entre los atletas, por lo que ambas opciones son correctas.

b) En base a la información facilitada por la figura, ¿es posible determinar quién se encuentra por delante en el instante t=10s?

37

SOLUCIONARIO

Sí es posible, ya que en la figura se representa una gráfica velocidad contra tiempo, cuya área debajo de la curva representa la distancia recorrida por el objeto con una cierta velocidad asociada. Ahora, como se tienen dos curvas, la diferencia de áreas en un cierto intervalo, nos representa la distancia entre esos dos objetos.

c) Si los atletas empiezan a correr en el mismo momento y lugar ¿Quién está primero en el instante t=10s? ¿Y en t=25s? En t=10s estará por delante el corredor uno, pues en la figura se puede observar que es quien empieza con una mayor velocidad y por lo tanto recorre mayor distancia en el intervalo de tiempo [0,10]. Además, la diferencia de las áreas nos indica la distancia entre ambos corredores.

En t=25s estará enfrente el corredor 2, esto, debido a que si observamos nuestra gráfica, D1 es la distancia de un corredor a otro en el instante t=10s, pero después de ese instante, el segundo corredor acelera y se obtiene que en el intervalo de tiempo de [10,25] existe una distancia entre los corredores de D2, ahora, para saber quién va enfrente en el intervalo [0,25] basta restar D2-D1, y si D1 es mejor que D2, el segundo corredor irá enfrente, pues esto significa, que logró sacar más ventaja cuando tuvo una mayor velocidad que el primero. Cómo este es el caso, en el que D2 >D1, el corredor que irá enfrente en el instante t=25s es el segundo.

Ejercicio 49

Halle el volumen de revolución respecto al eje facilitado de la región limitada por las gráficas:

La gráfica es la siguiente:

𝒚𝒚 =

𝟗𝟗 , 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙 ≥ 𝟎𝟎, 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐

37

SOLUCIONARIO

Encontramos los puntos de intersección pues serán nuestros límites de integración, que son: (1,9) y (3,1) Luego, el volumen por arandelas es: 𝟑𝟑

Dónde: 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 −

𝟗𝟗 𝒙𝒙𝟐𝟐

Así, el volumen es:

𝑽𝑽 = 𝝅𝝅 � 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅

y r=12-(𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 )

𝟏𝟏

𝟗𝟗 𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝝅𝝅 � �𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 � − (𝟏𝟏𝟏𝟏 − (𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 ))𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝟑𝟑

𝟐𝟐

𝑽𝑽 = 𝝅𝝅 � �𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟑𝟑

𝟏𝟏

𝑽𝑽 = 𝝅𝝅 � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏

Desarrollamos, y obtenemos que:

𝟗𝟗 𝟐𝟐 � − (𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 )𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟖𝟖𝟖𝟖 + 𝟒𝟒 − (𝟒𝟒 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 )𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙

V=78.93𝝅𝝅

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 50 Enuncie una integral que exprese el área limitada por las gráficas y=(1+x^2 )^(-1) ,y=x^2.

Se calcula el área debajo de la curva de y=(1+x^2 )^(-1) y se le resta el área bajo la curva de ,y=x^2 desde -0.8 a 0.8 A= ∫_(-0.8)^0.8▒(1+ x^2 )^(-1) - x^2 Ejercicio 51 Integral que exprese el área limitada por las curvas y= (1+x^2)^-1

37

y

y=x^2

SOLUCIONARIO

Obtenemos los puntos de corte 1 2

𝑥𝑥 = �− +

√5 2

1 2

𝑥𝑥 = −�− +

y

√5 2

Y asi expresamos la integral de la siguiente manera

�−1+√5 2 2

�

1 √5 −�− + 2 2

(1 + x 2 )−1 − x 2

Ejercicio 61 Explique geométricamente (sin cálculos). 𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟏

� 𝒙𝒙𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 + � 𝒙𝒙𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎

𝟎𝟎

37

𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒏𝒏 > 𝟎𝟎

SOLUCIONARIO

1. Se considera que la suma de las regiones 1, 2 y 3 da como resultado 1, ya que en sí, la figura geométrica que se forma es un cuadrado de 1 x 1, siendo su área total igual a 1 𝑨𝑨𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝟐𝟐 + 𝑨𝑨𝟑𝟑 = 𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟏

Pero también se tienen en cuenta las áreas bajo la curva: 𝒙𝒙𝒏𝒏 y 𝒙𝒙𝒏𝒏 son inversas entre sí, y si se visualiza el área bajo la curva de cada función se puede denotar lo siguiente:

37

SOLUCIONARIO

𝟏𝟏

𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝒏𝒏

𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝒏𝒏

En la figura del lado derecho se visualiza de esa manera, ya que siendo esa curva la inversa de la curva de la primera gráfica, se puede suponer que su área bajo la curva sería tal y como se representa. Algo que tienen en común ambas áreas bajo la curva es la región 2, y tal área sería la misma para ambos casos. Otra observación es que siendo las dos curvas inversas entre sí, y al ser dividido la figura cuadrangular por una recta identidad se denotará que las curvas son simétricas, además de que las regiones 1 y 3 poseen la misma área, por lo que se 37

SOLUCIONARIO

podría decir que la suma de dos veces la región 1 ó la región 3, más la región 2 da un total de 1 unidades para el área total de la figura. 𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟏

� 𝒙𝒙𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 + � 𝒙𝒙𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎

𝟎𝟎

𝑨𝑨𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝟐𝟐 + 𝑨𝑨𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 + 𝟐𝟐(𝑨𝑨𝟑𝟑 ) = 𝟏𝟏

FORMAS INDETERMINADAS Ejercicio 1

Calcular el siguiente límite lim �

𝑥𝑥→0

1.

lim �

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒

1�

𝑥𝑥 · 𝑒𝑒 𝑥𝑥

Evaluar directamente el límite.

𝑒𝑒

𝑥𝑥 ·

1� 𝑒𝑒 𝑥𝑥

=

𝑒𝑒

1 (0) · 𝑒𝑒 0

=

𝑒𝑒 𝑒𝑒 = ∞ (0) · 𝑒𝑒 (0) · (∞)

2. Debido a que se tiene una indeterminación del tipo (0) · (∞), se procede a reescribir la función como cociente para encontrar un tipo de indeterminación que pueda ser resuelta por medio de L’Hopital. lim �

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒

𝑥𝑥 ·

1 � = lim �

𝑒𝑒 𝑥𝑥

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒 · 𝑥𝑥 −1 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥

�

3. Se evalúa el nuevo límite para saber si posee una indeterminación aplicable a L’Hopital. lim �

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒 · 𝑥𝑥 −1 1

𝑒𝑒 𝑥𝑥

�=

𝑒𝑒 · (0)−1 1

𝑒𝑒 0

=

𝑒𝑒 · (0)−1 1

𝑒𝑒 0

=

1 0 𝑒𝑒 · (∞) = ∞ 1 = 𝑒𝑒 ∞ ∞ 0

𝑒𝑒 · 𝑒𝑒

4. Efectivamente, posee una indeterminación del tipo ∞/∞, por lo que se puede aplicar la regla de L’Hopital, y posteriormente reducir la expresión: 37

SOLUCIONARIO

lim �

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒 · 𝑥𝑥

−1

1 𝑒𝑒 𝑥𝑥

5.

� = lim � 𝑥𝑥→0

𝐷𝐷𝑥𝑥 (𝑒𝑒 · 𝑥𝑥

−1 )

1 𝐷𝐷𝑥𝑥 �𝑒𝑒 𝑥𝑥 �

� = lim � 𝑥𝑥→0

(−𝑒𝑒 · 𝑥𝑥

⎡ ⎤ 𝑒𝑒 ⎢ �− 2 � ⎥ 𝑥𝑥 ⎥ = lim � 𝑒𝑒 � = lim ⎢ 1 1 𝑥𝑥→0 ⎢ 𝑥𝑥→0 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⎥ ⎢�− 2 �⎥ 𝑥𝑥 ⎦ ⎣

−2 )

+ �(0) · 𝑥𝑥 1 � 𝑥𝑥 2

1 �𝑒𝑒 𝑥𝑥 � · �−

−2

⎡ ⎤ −2 ⎢ (−𝑒𝑒 · 𝑥𝑥 )⎥ � ⎥ � = lim ⎢ 1 𝑥𝑥→0 ⎢ ⎥ 𝑥𝑥 𝑒𝑒 ⎢ �− 2 � ⎥ 𝑥𝑥 ⎣ ⎦

Finalmente, se calcula el límite:

lim �

𝑒𝑒

1� 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 𝑒𝑒

=

𝑒𝑒

1 𝑒𝑒 0

Ejercicio 2

=

𝑒𝑒 𝑒𝑒 = =0 ∞ 𝑒𝑒 ∞

𝑎𝑎

Si lim [1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎]𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 4 Determine el valor de a. 𝑥𝑥→0

1. Tomando “a” como una constante, evaluar directamente: 𝑎𝑎

𝑎𝑎

lim [1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎]𝑥𝑥 = [1 + 𝑎𝑎(0)]0 = [1 + 0]∞ = 1∞

𝑥𝑥→0

2. Debido a que se trata de una indeterminación de 1∞ , se procede a utilizar logaritmos para encontrar una solución al límite.

3. Se asume que el límite existe: 𝑎𝑎

𝑦𝑦 = lim [1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎]𝑥𝑥 𝑥𝑥→0

𝑎𝑎

𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 = ln �lim [1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎]𝑥𝑥 � 𝑥𝑥→0

𝑎𝑎 𝑎𝑎 · 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 = lim � · 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎)� = lim � � 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥

4. Por el un momento se aísla el límite y se evalúa:

𝑎𝑎 · 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑎𝑎 · 𝑙𝑙𝑙𝑙�1 + 𝑎𝑎(0)� 𝑎𝑎 · 𝑙𝑙𝑙𝑙(1) 𝑎𝑎 · (0) 0 lim � �= = = = 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 0 0 0 0 37

SOLUCIONARIO

5. Como se obtiene una indeterminación del tipo 0/0 se aplica la regla de L’Hopital: 1 𝑎𝑎 · 1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 · 𝑎𝑎 𝑎𝑎 · 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝐷𝐷𝑥𝑥 �𝑎𝑎 · 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎)� 𝑎𝑎2 lim � � = lim � � = lim � � � = lim � 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝐷𝐷𝑥𝑥 (𝑥𝑥) 1 6. Se regresa el límite al logaritmo, y se evalúa:

𝑎𝑎2 ln 𝑦𝑦 = lim � � 𝑥𝑥→0 1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎

ln 𝑦𝑦 =

ln 𝑦𝑦 =

𝑎𝑎2 1 + 𝑎𝑎(0)

𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2 1

7. Aplicando ley de los exponentes:

𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑎𝑎

2

8. Regresando al límite original:

𝑒𝑒 4 = 𝑒𝑒 𝑎𝑎

2

4 = 𝑎𝑎2

𝒂𝒂 = √𝟒𝟒 = ±𝟐𝟐

Ejercicio 3 lim �𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3 − 𝑥𝑥 2

𝑥𝑥→∞

1. Evaluar directamente para conocer si tiene algún tipo de indeterminación:

lim �𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3 − 𝑥𝑥 2 = �(∞)4 + 5(∞)2 + 3 − (∞)2 = √∞ + ∞ + 3 − ∞ = √∞ − ∞

𝑥𝑥→∞

= ∞−∞

2. Se obtuvo una indeterminación del tipo ∞ − ∞, por lo que se procede a sumar los términos del límite. Se puede optar por resolverlos por racionalización: lim ��𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3 − 𝑥𝑥 2 ·

𝑥𝑥→∞

√𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3 + 𝑥𝑥 2

√𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3 + 𝑥𝑥 2

�

37

SOLUCIONARIO

(𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3) − 𝑥𝑥 4 (5𝑥𝑥 2 + 3) = lim � � = lim � � 𝑥𝑥→∞ √𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3 + 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥→∞ √𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 2 + 3 + 𝑥𝑥 2 3 ⎡ ⎤ �5 + 2 � 𝑥𝑥 ⎥ = lim ⎢ 𝑥𝑥→∞ ⎢ ⎥ 5 3 � ⎣ 1 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 4 + 1⎦ 3. Evaluar el límite: 3 3 ⎡ ⎤ �5 + � �5 + 2 � (5) 5 5 (0)2 𝑥𝑥 ⎥= lim ⎢ = = = 𝑥𝑥→∞ ⎢ 1+1 2 3 5 ⎥ √1 + 1 �1 + 52 + 34 + 1 �1 + + +1 4 2 (0) (0) ⎣ ⎦ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 En los ejercicios 11 a 36 evaluar el límite, usando la regla de L’Hôpital si es necesario. (En el ejercicio 18, n es un número entero positivo). Ejercicio 18 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+

𝒙𝒙→𝟎𝟎

Solución: •

𝒆𝒆𝒙𝒙 − (𝟏𝟏 + 𝒙𝒙) 𝒙𝒙𝒏𝒏

Para n=1, tenemos: +

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (1 + 𝑥𝑥) 𝑒𝑒 0 − (1 + 0+ ) 1 − 1 0+ lim+ = = + = + 𝑥𝑥→0 0 0 𝑥𝑥 0+ 0 0

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

𝑑𝑑 𝑥𝑥 [𝑒𝑒 − (1 + 𝑥𝑥)] + 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim+ = lim+ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1 = 𝑒𝑒 0 − 1 = 1 − 1 𝑑𝑑 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 •

lim+

𝑥𝑥→0

Para n≥2, tenemos:

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (1 + 𝑥𝑥) =0 𝑥𝑥 +

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (1 + 𝑥𝑥) 𝑒𝑒 0 − (1 + 0+ ) 1 − 1 0+ lim = = + = + 𝑥𝑥→0+ 0 0 𝑥𝑥 𝑛𝑛 (0+ )𝑛𝑛 37

SOLUCIONARIO 0 0

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

𝑑𝑑 𝑥𝑥 + [𝑒𝑒 − (1 + 𝑥𝑥)] 𝑒𝑒 0 − 1 1 − 1 0+ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim+ = lim+ 𝑛𝑛−1 = = = + 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥→0 𝑛𝑛𝑥𝑥 0 0+ 𝑛𝑛(0+ )𝑛𝑛−1 (𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 0

Luego por la indeterminación de tipo podemos seguir aplicando regla de L’Hôpital, entonces:

De aquí podemos dividir el límite en dos casos: o

Para n=2, tenemos: 𝑑𝑑 𝑥𝑥 + (𝑒𝑒 − 1) 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑒𝑒 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim = lim+ = 𝑑𝑑 𝑥𝑥→0+ 𝑥𝑥→0 2 2 (2𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim+

𝑥𝑥→0

o

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (1 + 𝑥𝑥) 1 = 2 𝑥𝑥 2

Para n>2, tenemos

𝑑𝑑 𝑥𝑥 + (𝑒𝑒 − 1) 𝑒𝑒 0 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim+ = lim+ = = + 𝑛𝑛−2 + 𝑛𝑛−2 𝑥𝑥→0 𝑑𝑑 𝑥𝑥→0 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑥𝑥 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)(0 ) 0 (𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim+

𝑥𝑥→0

Ejercicio 20

𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (1 + 𝑥𝑥) =∞ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒂𝒂𝒂𝒂) 𝒙𝒙→𝟎𝟎 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒃𝒃𝒃𝒃)

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

Solución: lim

sin(𝑎𝑎𝑎𝑎)

𝑥𝑥→0 sin(𝑏𝑏𝑏𝑏)

=

sin[𝑎𝑎(0)] sin(0) 0 = = sin[𝑏𝑏(0)] sin(0) 0 37

SOLUCIONARIO 0 0

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

𝑑𝑑 lim cos(𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑎𝑎 cos[𝑎𝑎(0)] 𝑎𝑎 cos(0) [sin(𝑎𝑎𝑎𝑎)] 𝑎𝑎 cos(𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑎𝑎 cos(𝑎𝑎𝑎𝑎) 𝑎𝑎 𝑥𝑥→0 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim = lim = lim = = = 𝑥𝑥→0 𝑑𝑑 𝑥𝑥→0 𝑏𝑏 cos(𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝑏𝑏 𝑥𝑥→0 cos(𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝑏𝑏 lim cos(𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝑏𝑏 cos[𝑏𝑏(0)] 𝑏𝑏 cos(0) [sin(𝑏𝑏𝑏𝑏)] 𝑥𝑥→0 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim

sin(𝑎𝑎𝑎𝑎)

𝑥𝑥→0 sin(𝑏𝑏𝑏𝑏)

Ejercicio 32

=

𝑎𝑎 𝑏𝑏

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝒙𝒙 𝒙𝒙→∞ 𝒙𝒙 − 𝝅𝝅 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

Solución:

Tomamos la siguiente relación, de acuerdo al rango de la función seno: −1 ≤ sin 𝑥𝑥 ≤ 1

Dividimos todo entre 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋:

−

sin 𝑥𝑥 1 1 ≤ ≤ 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋

Aplicando a toda la relación límite cuando x tiende a infinito, tenemos:

Se sabe que:

lim −

𝑥𝑥→∞

1 sin 𝑥𝑥 1 ≤ lim ≤ lim 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋

lim −

𝑥𝑥→∞

1 1 1 =− =− =0 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 ∞ − 𝜋𝜋 ∞

1 1 1 = = =0 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 ∞ − 𝜋𝜋 ∞ lim

Así, tenemos: sin 𝑥𝑥 ≤0 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋

0 ≤ lim

Y por el teorema de emparedado sabemos que: 37

SOLUCIONARIO

sin 𝑥𝑥 =0 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 lim

Ejercicio 36

𝒙𝒙

𝒆𝒆𝟐𝟐 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙→∞ 𝒙𝒙

Solución: 𝑥𝑥

∞

𝑒𝑒 2 𝑒𝑒 2 𝑒𝑒 ∞ ∞ lim = = = 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

𝑥𝑥 𝑑𝑑 �𝑒𝑒 2 � 𝑥𝑥 1 ∞ 1 1 𝑥𝑥 1 = lim 𝑒𝑒 2 = lim 𝑒𝑒 2 = 𝑒𝑒 2 = (∞) lim 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥→∞ 𝑑𝑑 𝑥𝑥→∞ 2 2 𝑥𝑥→∞ 2 2 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑒𝑒 2 lim =∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥

En los ejercicios 37 a 54, a) describir el tipo de forma indeterminada (si hay) que se obtiene por sustitución directa, b) evaluar el límite, usando la regla de L’Hôpital si es necesario, c) usar una calculadora para hacer la gráfica de la función y verificar el resultado. Ejercicio 37 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙

𝒙𝒙→∞

Solución:

a) No existe forma indeterminada, pues:

b)

lim 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 = ∞ ln ∞ = (∞)(∞)

𝑥𝑥→∞

lim 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 = ∞

𝑥𝑥→∞

c)

37

SOLUCIONARIO

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 39 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬

𝒙𝒙→∞

Solución:

𝟏𝟏 𝒙𝒙

a) Tenemos la forma indeterminada 0 ∙ ∞, pues:

1 1 lim 𝑥𝑥 sin = ∞ sin = ∞ sin 0 = ∞ ∙ 0 𝑥𝑥 ∞

𝑥𝑥→∞

Podemos reescribir el límite para encontrar una forma indeterminada diferente: lim

𝑥𝑥→∞

1 sin 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥

=

1 sin ∞ 1 ∞

0 0

=

sin 0 0 = 0 0

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

1 cos 𝑥𝑥 1 𝑑𝑑 − 2 �sin 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 = lim cos 1 = cos 1 cos 0 lim 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim 1 𝑑𝑑 1 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 ∞ − 2 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑥𝑥 b) 1 lim 𝑥𝑥 sin = 1 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 c)

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 41

𝟏𝟏

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+ 𝒙𝒙𝒙𝒙

𝒙𝒙→𝟎𝟎

Solución:

a) No existe forma indeterminada, pues: 1

1

lim+ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = (0+ )0+ = (0+ )+∞

𝑥𝑥→0

b)

1

lim+ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥→0

c)

Ejercicio 43 𝟏𝟏

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙𝒙𝒙

𝒙𝒙→∞

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada ∞0 , pues: 1

1

lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = ∞∞ = ∞0

𝑥𝑥→∞

Definamos la siguiente función:

1

𝑦𝑦 = lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥→∞

Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresión: 1

1

ln 𝑥𝑥 ln ∞ ∞ = = 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 ∞ ∞

ln 𝑦𝑦 = ln � lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥 � = lim �ln �𝑥𝑥 𝑥𝑥 �� = lim 𝑥𝑥→∞

𝑥𝑥→∞

37

SOLUCIONARIO ∞ ∞

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

𝑑𝑑 (ln 𝑥𝑥) 1 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑦𝑦 = lim = lim = = 0 𝑥𝑥→∞ 𝑑𝑑 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 ∞ (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

Regresando al límite original, tenemos:

b)

𝑒𝑒 ln 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 0 1

lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 1

𝑥𝑥→∞

c)

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 45 𝟏𝟏 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝟏𝟏 + )𝒙𝒙 𝒙𝒙

𝒙𝒙→∞

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada 1∞ , pues:

1 𝑥𝑥 1 ∞ lim �1 + � = �1 + � = (1 + 0)∞ = 1∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 ∞

Definamos la siguiente función:

1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = lim �1 + � 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥

Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresión: 1 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 1 1 ln 𝑦𝑦 = ln � lim �1 + � � = lim �ln �1 + � � = lim 𝑥𝑥 ln �1 + � = ∞ ln �1 + � 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∞ = ∞ ln 1 = ∞ ∙ 0

Así, tenemos la forma indeterminada 0 ∙ ∞, pero podemos reescribir el límite para encontrar una forma indeterminada diferente: ln 𝑦𝑦 = lim

𝑥𝑥→∞

1 ln �1 + 𝑥𝑥 � 1 𝑥𝑥

= 0 0

1 ln �1 + ∞� 1 ∞

=

ln 1 0 = 0 0

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

1 1 𝑑𝑑 2 − 2 �ln �1 + 𝑥𝑥 �� ∞2 ∞ 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = lim 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑦𝑦 = lim = lim = = 2+∞ 1 𝑑𝑑 1 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 ∞ ∞ − 2 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑥𝑥

Luego por la indeterminación de tipo L’Hôpital, entonces: ln 𝑦𝑦 = lim

𝑥𝑥→∞

𝑑𝑑 2 (𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 2 (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

∞ ∞

podemos seguir aplicando regla de

2(∞) ∞ ∞ 2𝑥𝑥 = = = 𝑥𝑥→∞ 2𝑥𝑥 + 1 2(∞) + 1 ∞ + 1 ∞

= lim

Una vez más encontramos una indeterminación de tipo aplicando regla de L’Hôpital, entonces: 37

∞ ∞

podemos seguir

SOLUCIONARIO

ln 𝑦𝑦 = lim

𝑥𝑥→∞

𝑑𝑑 (2𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 (2𝑥𝑥 + 1) 𝑑𝑑𝑑𝑑

2 = lim 1 = 1 𝑥𝑥→∞ 2 𝑥𝑥→∞

= lim

Regresando al límite original, tenemos:

𝑒𝑒 ln 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 1 b) 1 𝑥𝑥 lim �1 + � = 𝑒𝑒 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥 c)

Ejercicio 47 𝟏𝟏

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+(𝟏𝟏 + 𝒙𝒙)𝒙𝒙

𝒙𝒙→𝟎𝟎

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada 1∞ , pues: 1

1

lim+(1 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥 = (1 + 0+ )0+ = 1∞

𝑥𝑥→0

Definamos la siguiente función:

1

𝑦𝑦 = lim+(1 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥 𝑥𝑥→0

Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresión: 1

1

ln 𝑦𝑦 = ln � lim+(1 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥 � = lim+ �ln(1 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥 � = lim+ � 𝑥𝑥→0

𝑥𝑥→0

37

𝑥𝑥→0

ln(1 + 𝑥𝑥) ln(1 + 0+ ) �= 𝑥𝑥 0+

SOLUCIONARIO

=

0 ln 1 = + + 0 0 0 0

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

𝑑𝑑 [ln(1 + 𝑥𝑥)] 1 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑦𝑦 = lim = lim+ = + =1 𝑑𝑑 𝑥𝑥→∞ 𝑥𝑥→0 𝑥𝑥 + 1 0 +1 (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

Regresando al límite original, tenemos:

𝑒𝑒 ln 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 1

b)

1

lim+(1 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥 = 𝑒𝑒

𝑥𝑥→0

c)

Ejercicio 49 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙)𝒙𝒙−𝟏𝟏

𝒙𝒙→𝟏𝟏+

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada 00 , pues: + −1

lim (ln 𝑥𝑥)𝑥𝑥−1 = (ln 1+ )1

𝑥𝑥→1+

Definamos la siguiente función:

= 00

+

𝑦𝑦 = lim+(ln 𝑥𝑥)𝑥𝑥−1 𝑥𝑥→1

Aplicamos logaritmo natural por ambos lados de la expresión: ln 𝑦𝑦 = ln � lim+(ln 𝑥𝑥)𝑥𝑥−1 � = lim+[ln(ln 𝑥𝑥)𝑥𝑥−1 ] = lim+[(𝑥𝑥 − 1)ln(ln 𝑥𝑥)] 𝑥𝑥→1

𝑥𝑥→1

𝑥𝑥→1

= (1+ − 1)ln(ln 1+ ) = (0+ )ln(0+ ) = 0+ ∙ −∞ 37

SOLUCIONARIO

Así, tenemos la forma indeterminada 0 ∙ ∞, pero podemos reescribir el límite para encontrar una forma indeterminada diferente: ln 𝑦𝑦 = lim+ 𝑥𝑥→1

ln(ln 𝑥𝑥) ln(ln 1+ ) ln(0+ ) −∞ = = = 1 1 1 +∞ + + 𝑥𝑥 − 1 1 −1 0 ∞ ∞

Así tenemos una indeterminación de tipo , entonces, aplicando regla de L’Hôpital tenemos:

𝑑𝑑 [ln(ln 𝑥𝑥)] (1+ − 1)2 (0+ )2 0+ (𝑥𝑥 − 1)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑦𝑦 = lim+ = lim+ − =− + = − = 𝑑𝑑 1 𝑥𝑥→1 𝑥𝑥→1 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 1 ln(1+ ) (1+ )(0+ ) 0+ �𝑥𝑥 − 1� 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 0

Luego por la indeterminación de tipo podemos seguir aplicando regla de L’Hôpital, entonces:

𝑑𝑑 [(𝑥𝑥 − 1)2 ] (1+ − 1) (𝑥𝑥 − 1) 0+ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑦𝑦 = lim+ − = lim+ −2 = −2 = −2 =0 𝑑𝑑 𝑥𝑥→1 𝑥𝑥→1 ln(1+ ) + 1 0+ + 1 ln 𝑥𝑥 + 1 (𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

Regresando al límite original, tenemos:

b)

c)

𝑒𝑒 ln 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 0 lim (ln 𝑥𝑥)𝑥𝑥−1 = 1

𝑥𝑥→1+

Ejercicio 51 𝟖𝟖 𝒙𝒙 − � 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � 𝟐𝟐 𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐

𝒙𝒙→𝟐𝟐+

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada ∞ − ∞, pues:

lim+ �

𝑥𝑥→2

8 𝑥𝑥 8 2+ 8 2+ 8 − � = − = − = +−∞=∞−∞ 2 + 2 + + + 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 2 (2 ) − 4 2 − 2 4 − 4 0 0 37

SOLUCIONARIO

Reescribamos la función, para encontrar la solución: (𝑥𝑥 − 2) 8 − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) 8 𝑥𝑥 8(𝑥𝑥 − 2) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 4) lim+ � 2 − � = lim+ = lim+ � � 2 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 − 2) (𝑥𝑥 2 − 4) 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 − 2)

= lim+ 𝑥𝑥→2

8 − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) 8 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 4) = lim = − lim = − lim+ 2 2 2 + + 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 4 = − lim+ 𝑥𝑥→2

b)

2+ + 4 6 𝑥𝑥 + 4 =− + =− 4 𝑥𝑥 + 2 2 +2

8 𝑥𝑥 3 lim+ � 2 − �=− 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 2 2

c)

𝟏𝟏 √𝒙𝒙−𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟒𝟒 � 𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟒𝟒

51. 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+ � 𝒙𝒙→𝟐𝟐

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada ∞ − ∞, pues:

lim+ �

𝑥𝑥→2

1 1 1 1 1+ √2+ − 1 √1+ √𝑥𝑥 − 1 = − − = − = − � 𝑥𝑥 2 − 4 𝑥𝑥 2 − 4 (2+ )2 − 4 (2+ )2 − 4 4+ − 4 4+ − 4 0+ 0+ =∞−∞

Reescribamos la función, para encontrar la solución: lim+ �

𝑥𝑥→2

= lim+

𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 2

𝑥𝑥 2

1 1 − √𝑥𝑥 − 1 �1 − √𝑥𝑥 − 1��1 + √𝑥𝑥 − 1� √𝑥𝑥 − 1 − 2 = lim+ � = lim+ 2 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥→2 − 4 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 4 (𝑥𝑥 2 − 4)�1 + √𝑥𝑥 − 1�

1 − (𝑥𝑥 − 1)

− 4)�1 + √𝑥𝑥 − 1�

= lim+ − 𝑥𝑥→2

= lim+

𝑥𝑥→2 (𝑥𝑥 2

𝑥𝑥 − 2

1 − (𝑥𝑥 − 1)

− 4)�1 + √𝑥𝑥 − 1�

(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)�1 + √𝑥𝑥 − 1� 37

= lim+ − 𝑥𝑥→2

= lim+ − 𝑥𝑥→2

(𝑥𝑥 2

1

𝑥𝑥 − 2

− 4)�1 + √𝑥𝑥 − 1�

(𝑥𝑥 + 2)�1 + √𝑥𝑥 − 1�

SOLUCIONARIO

=−

(2+ b)

1

+ 2)�1 +

√2+

− 1�

=−

lim+ �

𝑥𝑥→2

c)

1

(4+ )�1 +

√1+ �

=−

1

(4+ )(1 +

1+ )

=−

1 1 √𝑥𝑥 − 1 − = − � 𝑥𝑥 2 − 4 𝑥𝑥 2 − 4 8

Ejercicio 52 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − � 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+ � 𝒙𝒙→𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada ∞ − ∞, pues: •

𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � − �= 𝒙𝒙−𝟏𝟏 𝒙𝒙→𝟏𝟏+ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍

𝟑𝟑 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟏𝟏)

�

−

𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟐𝟐 �= − 𝟏𝟏−𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎

= ∞−∞

Reescribamos la función, para encontrar la solución: •

3 lnx

lim+ �

x→1

−

2 � x−1

3(x−1)−2lnx � lnx(x−1)

= lim+ � x→1

Sustituyendo directamente: •

𝟑𝟑(𝒙𝒙−𝟏𝟏)−𝟐𝟐𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙−𝟏𝟏)

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 �

𝒙𝒙→𝟏𝟏+

3(1−1)−2lnx �= lnx(1−1)

=

0−0 � 0

�

�

0 0

=( )

Indeterminación que se resuelve aplicando el Teorema de L ‘Hopital Utilizando L’Hopital •

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+ �

𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒙𝒙 (𝑥𝑥−1) 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝑥𝑥)+ 𝑥𝑥

�

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+ �

𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒙𝒙 (𝑥𝑥−1) 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝑥𝑥)+ 𝑥𝑥

�=

𝒙𝒙→𝟏𝟏

𝟑𝟑−𝟐𝟐

Sustituyendo directamente: •

𝒙𝒙→𝟏𝟏

𝟑𝟑−𝟐𝟐

�

𝟏𝟏 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏 (1−1) 𝒍𝒍𝒍𝒍(1)+ 1

𝟑𝟑−𝟐𝟐

�=

1

0+

37

0 0+1

1 0

= =∞

1

(4+ )(2+ )

SOLUCIONARIO

Ejercicio 57

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙�

𝒙𝒙→∞+

Solución:

a) Tenemos la forma indeterminada ∞ − ∞, pues:

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙�=�∞𝟐𝟐 + 𝟓𝟓∞ + 𝟐𝟐 − ∞= √∞ − ∞ = ∞ − ∞

𝒙𝒙→∞+

Reescribamos la función, para encontrar la solución: • 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+(

𝒙𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+(

𝒙𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙�=

𝒙𝒙→∞+

�𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐−𝒙𝒙 𝟏𝟏

𝟓𝟓𝟓𝟓

�𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐+𝒙𝒙 𝟓𝟓𝟓𝟓

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 (

�𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐+𝒙𝒙

)∙(

Simplificamos: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 (

𝒙𝒙→∞+

(

�𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐+𝒙𝒙

) + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+(

𝒙𝒙→∞+ �𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐+𝒙𝒙

𝒙𝒙→∞

)+ (

𝒙𝒙→∞

𝟐𝟐

�𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐+𝒙𝒙

𝟐𝟐

)

)=

√∞+𝟓𝟓∞+𝟐𝟐+∞

𝟏𝟏 𝒙𝒙 �𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐 ∙ �𝟏𝟏� +𝒙𝒙 ∙ (𝟏𝟏) 𝒙𝒙 𝒙𝒙

𝟓𝟓𝟓𝟓 ∙ � �

𝟓𝟓

)= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+(

) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+( 𝒙𝒙→∞

)

𝟓𝟓

𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐−𝒙𝒙𝟐𝟐

�𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐+𝒙𝒙

) = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍+( 𝒙𝒙→∞

0

=

) ; Por linealidad

𝟐𝟐 �𝒙𝒙 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐 +𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐 � 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 +𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙→∞+

Sustituyendo directamente:

37

𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐

�𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐+𝒙𝒙

)=

SOLUCIONARIO

•

(

𝟓𝟓

)=(

𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟐𝟐 � 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 +𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙→∞+

𝟓𝟓

)=(

𝟐𝟐 �∞ +𝟓𝟓∞+𝟐𝟐 +𝟏𝟏 ∞𝟐𝟐

𝟓𝟓

)

∞ �∞+𝟏𝟏

Indeterminación que se resuelve aplicando el Teorema de L ‘Hopital ; Utilizando L’Hopital: •

(

𝟓𝟓

)=(

𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟓𝟓 � 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+ 𝟐𝟐𝟐𝟐 +𝟏𝟏 𝒙𝒙→∞

𝟓𝟓

)

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓 � 𝐥𝐥𝐢𝐢𝐢𝐢+ 𝟐𝟐𝟐𝟐+ 𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟏𝟏 𝒙𝒙→∞

Sustituyendo directamente: (

𝟓𝟓

)=(

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟓𝟓 � 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥+ 𝟐𝟐𝟐𝟐+ 𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟏𝟏 𝒙𝒙→∞

𝟓𝟓

)=(

√𝟏𝟏+𝟎𝟎+𝟏𝟏

𝟓𝟓 ) 𝟏𝟏+𝟏𝟏

𝟓𝟓 𝟐𝟐

=( )

Ejercicio 61

Encontrar las funciones derivables f y g que satisfacen la condición especificada tal que: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 0 ; 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 0 𝒙𝒙→𝟓𝟓

𝒙𝒙→𝟓𝟓

g(x) = x – 5 ; f(x) = 𝑥𝑥 2 − 25 Solución:

(𝒙𝒙−𝟓𝟓) ∙ (𝒙𝒙+𝟓𝟓) 𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟐𝟐𝟐𝟐 )= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥( )= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥(𝒙𝒙 + 𝒙𝒙−𝟓𝟓 𝒙𝒙−𝟓𝟓 𝒙𝒙→𝟓𝟓 𝒙𝒙→𝟓𝟓 𝒙𝒙→𝟓𝟓

a) 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥(

Sustituyendo directamente: •

𝟓𝟓)

( 5 + 5) = 10

Puede interpretarse como la raíz de un polinomio. Ejercicio 62 Encontrar f(x) y g(x) tales que: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = ∞ y 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) – 𝒈𝒈(𝒙𝒙)] =25

𝒙𝒙→∞

𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙 +

𝒙𝒙→∞

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐

;

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 +

𝒙𝒙→∞

𝒙𝒙→∞

𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙 −

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 −

𝒙𝒙→∞

𝒙𝒙→∞

𝒙𝒙→∞

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐

= ∞+

= ∞−

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐

,

=∞

𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷:

=∞ 37

SOLUCIONARIO

𝐲𝐲 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒇𝒇(𝒙𝒙) − 𝒈𝒈(𝒙𝒙)] = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒙𝒙 + 𝒙𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 +

𝒙𝒙→∞

𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 + )] 𝟐𝟐 𝟐𝟐

Ejercicio 75

𝒙𝒙→∞

𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐

(𝒙𝒙 −

=𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐 )] 𝟐𝟐

=

𝒙𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � � 𝒙𝒙 � = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥(𝟐𝟐𝒆𝒆𝒙𝒙 ) = 𝟐𝟐𝒆𝒆𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 𝒙𝒙→𝟎𝟎 𝒙𝒙→𝟎𝟎 𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒙𝒙

Esta mal aplicado el Teorema de L’Hopital pues con una sustitución directa tenemos: 𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 −𝟏𝟏 � 𝒆𝒆𝒙𝒙 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 �

𝒆𝒆𝟎𝟎 −𝟏𝟏 � 𝒆𝒆𝟎𝟎

=�

𝟎𝟎 𝟏𝟏

=� �=0

Y no es de la forma

0 0

;

Ejercicio 76

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 − 𝟏𝟏 𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅 � = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � � = 𝝅𝝅 𝒙𝒙→𝟎𝟎 𝒙𝒙 𝟏𝟏

Esta mal aplicado el Teorema de L’Hopital pues con una sustitución directa tenemos: 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 − 𝟏𝟏 � 𝒙𝒙

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟎𝟎) − 𝟏𝟏 � 𝟎𝟎

=�

=

Y no es de la forma

Ejercicio 91 𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝒙𝒙+𝟏𝟏 ] 𝒙𝒙 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥[

𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟏𝟏 � 𝟏𝟏

= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 � 𝒙𝒙→𝟎𝟎

−𝟏𝟏 𝟎𝟎

0 0

= −∞

𝟎𝟎+ 𝟏𝟏 � 𝟏𝟏

=�

∞ ∞

ni de la forma ;

= 𝟏𝟏

Falso, Pues no aplica el Teorema de L’Hopital en la sustitución directa.

𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝒙𝒙+𝟏𝟏 ] 𝒙𝒙 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥[

𝟎𝟎+𝟎𝟎 +𝟏𝟏 � 𝟎𝟎

=�

𝟏𝟏 𝟎𝟎

= =∞ 37

SOLUCIONARIO

0 0

Y no es de la forma Ejercicio 92

𝒆𝒆𝒙𝒙

∞ ∞

ni de la forma ;

𝒆𝒆𝒙𝒙

𝒚𝒚 = [𝒙𝒙𝟐𝟐] entonces 𝒚𝒚′ = [𝟐𝟐𝟐𝟐]

Falso, pues:

𝒅𝒅𝒅𝒅 [𝒆𝒆𝒙𝒙 ∙ 𝒙𝒙−𝟐𝟐 ] = = −𝟐𝟐𝒆𝒆𝒙𝒙 𝒙𝒙−𝟑𝟑 + 𝒆𝒆𝒙𝒙 𝒙𝒙−𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅

Ejercicio 93

𝑷𝑷(𝒙𝒙) ] 𝒙𝒙→∞ 𝒆𝒆𝒙𝒙

Si p(x) es un polinomio entonces 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [

= 𝟎𝟎

Verdadero, pues el polinomio del numerador será dividido por el elemento de mayor grado, dejando al de mayor exponente multiplicando: (1 +

y haciendo una sustitución directa tendríamos: 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒙𝒙→∞

𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝒙𝒙𝒏𝒏 (𝟏𝟏+ + 𝟐𝟐 +⋯+ 𝒏𝒏 ) ∞𝒏𝒏 (𝟏𝟏+ + 𝟐𝟐 +⋯+ 𝒏𝒏 ) 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒙𝒙 ∞ ∞ ∞ = 𝒆𝒆∞ 𝒆𝒆𝒙𝒙

∞𝒏𝒏 (𝟏𝟏+𝟎𝟎+ 𝟎𝟎+⋯+𝟎𝟎) ∞

=

=

∞ ∞

1 x

+

1 x2

+ ⋯+

Ahora aplicaríamos L’Hopital hasta que no tengamos más que derivar en el numerador teniendo: 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒙𝒙→∞

𝟎𝟎 𝟎𝟎 = = 𝟎𝟎 𝒙𝒙 ∞ 𝒆𝒆

Ejercicio 94 𝒇𝒇(𝒙𝒙)

Si 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒈𝒈(𝒙𝒙)] = 𝟏𝟏 entonces 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥[𝒇𝒇(𝒙𝒙) − 𝒈𝒈(𝒙𝒙)] = 𝟎𝟎 𝒙𝒙→∞

𝒙𝒙→𝟎𝟎

Verdadero por las propiedades: 𝒇𝒇(𝒙𝒙)

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒈𝒈(𝒙𝒙)] =

𝒙𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒇𝒇(𝒙𝒙)]

𝒙𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒈𝒈(𝒙𝒙)]

𝒙𝒙→∞

= 𝟏𝟏 Entonces,

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒇𝒇(𝒙𝒙)] = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒈𝒈(𝒙𝒙)]

𝒙𝒙→∞

Ahora:

𝒙𝒙→∞

37

1 ) xn

SOLUCIONARIO

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒇𝒇(𝒙𝒙) − 𝒈𝒈(𝒙𝒙)] = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒇𝒇(𝒙𝒙)] − 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒈𝒈(𝒙𝒙)]

𝒙𝒙→∞

𝒙𝒙→∞

Pero son iguales, finalmente:

𝒙𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒇𝒇(𝒙𝒙)] − 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 [𝒈𝒈(𝒙𝒙)] = 𝟎𝟎

𝒙𝒙→∞

𝒙𝒙→∞

Ejercicio 99

Encontrar los valores de a y b, tal que: 𝒂𝒂−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ] 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥[ 𝒙𝒙→𝟎𝟎

= 𝟐𝟐

Si sustituimos directamente tenemos un cero al denominador 0 y como no se indetermina significa que el numerador debe ser 0 para poder aplicar L’Hopital. Eso significa que:

Por lo tanto a = 1

𝑎𝑎 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 − cos(0) = 𝑎𝑎 − 1 = 0

Aplicamos L’Hopital 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ] 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥[

𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 � 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒙𝒙→𝟎𝟎

= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 �

=�

𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃(𝟎𝟎) � 𝟐𝟐(𝟎𝟎)

=

𝟎𝟎 𝟎𝟎

𝒃𝒃𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝟎𝟎) 𝟐𝟐

=

𝒃𝒃𝟐𝟐 𝟐𝟐

Con esta indeterminación podemos aplicar L’Hopital de nuevo. 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 � 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒙𝒙→𝟎𝟎

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 �

𝒃𝒃𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝟐𝟐 𝒙𝒙→𝟎𝟎

= 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 �

=

= 𝟐𝟐

𝒃𝒃𝟐𝟐 = 𝟒𝟒

𝒃𝒃 = ±𝟐𝟐

Integrales impropias Ejercicio 1 Calcular la siguiente integral 37

SOLUCIONARIO 1

�

−2 √4

𝑥𝑥

− 𝑥𝑥 2

𝑑𝑑𝑑𝑑

1. Al analizar la función se puede observar que ésta no es continua en x=-2 1

lim + �

𝑎𝑎→−2

𝑎𝑎

𝑥𝑥

√4 − 𝑥𝑥 2

𝑑𝑑𝑑𝑑

2. Para poder resolver la integral se utiliza el método de cambio de variable: 𝑢𝑢 = 4 − 𝑥𝑥 2

𝑑𝑑𝑢𝑢 = −2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

1 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 lim + − � 𝑎𝑎→−2 2 𝑎𝑎 √𝑢𝑢

1 1 1 lim + − � (𝑢𝑢)−2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎→−2 2 𝑎𝑎 1

1 𝑢𝑢2 1 = lim + − � � ∗ = 𝑎𝑎→−2 2 1 2 𝑎𝑎

1 1 2 � lim − �2 4 − 𝑥𝑥 � ∗ = 𝑎𝑎→−2+ 2 𝑎𝑎

3. Evaluar la integral:

1 lim + − ��4 − 𝑥𝑥 2 � ∗ = 𝑎𝑎→−2 𝑎𝑎

1 2 � lim − � 4 − 𝑥𝑥 � ∗ 𝑎𝑎→−2+ 𝑎𝑎

lim − ��4 − (1)2 − �4 − (𝑎𝑎)2 �

𝑎𝑎→−2+

= lim + − �√4 − 1 − �4 − 𝑎𝑎2 � = 𝑎𝑎→−2

4. Evaluar el límite:

lim − �√3 − �4 − 𝑎𝑎2 �

𝑎𝑎→−2+

lim − �√3 − �4 − 𝑎𝑎2 � = −�√3 − √4 − 4� = −√3

𝑎𝑎→−2+

Ejercicio 2 Calcular la siguiente integral 𝑒𝑒

�

1 𝑒𝑒

1

2

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑑𝑑𝑑𝑑

1. Al analizar la función se puede observar que ésta tiene una discontinuidad infinita en x=1. 37

SOLUCIONARIO

Esta integral es impropia porque el integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto interior x=1, por lo que puede ser escrita de la siguiente forma: 𝑒𝑒

�

1 𝑒𝑒

𝑒𝑒

�

1

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim − �

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim − �

1 𝑒𝑒

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

1 𝑒𝑒

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑒𝑒

�

1

1

2

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)� 1

1

𝑑𝑑𝑑𝑑 = �

1 𝑒𝑒

2

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑎𝑎→−1 𝑎𝑎→−1

𝑎𝑎

1 𝑒𝑒

𝑎𝑎

1 𝑒𝑒

𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑑𝑑 + �

1

1

2

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

1

2

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑑𝑑 + lim + � 𝑎𝑎→−1

𝑎𝑎

1

2

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑒𝑒 1 1 −2 −2 · �𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 + lim + � · �𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎→−1 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑥𝑥

2. Para integrar se utiliza el método de cambio de variable: 𝑢𝑢 = 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒

�

1 𝑒𝑒

1

𝑎𝑎

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑒𝑒

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim − � (𝑢𝑢)−2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + lim + � (𝑢𝑢)−2 𝑑𝑑𝑑𝑑

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim − �−

2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim − �−

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑎𝑎→−1

1 𝑒𝑒

𝑎𝑎→−1

𝑎𝑎

𝑎𝑎 1 ∗ 1 𝑒𝑒 lim − �− � � + lim + �− �∗ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎→−1 1 𝑎𝑎→−1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥) 1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥) 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)� 𝑒𝑒 𝑒𝑒

𝑒𝑒

�

1 𝑒𝑒

𝑒𝑒

�

1 𝑒𝑒

1

1

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)� 1

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑎𝑎→−1

𝑎𝑎→−1

1 1 1 1 + + � + lim + �− � 1 𝑎𝑎→−1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑎𝑎) 𝑙𝑙𝑙𝑙 � � 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑎𝑎) 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑎𝑎) 𝑒𝑒

1 1 1 − 1� + lim + �− + � 𝑎𝑎→−1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑎𝑎) 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑎𝑎) 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑎𝑎) 37

SOLUCIONARIO 𝑒𝑒

�

1 𝑒𝑒

1

2

𝑥𝑥�𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥)�

𝑑𝑑𝑑𝑑 = (−∞ − 1) + (−1 + ∞)

3. No converge. Si una integral no converge, entonces la segunda integral tampoco lo hace, como se ve en el resultado.

Ejercicio 3 Calcular la siguiente integral ∞

�

1

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 (1 + 𝑥𝑥 2 )2

1. La integral impropia es continua en el intervalo [1, ∞], por lo tanto se escribe de la siguiente forma: 𝑎𝑎

lim �

𝑎𝑎→∞ 1

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 (1 + 𝑥𝑥 2 )2

2. Para integrar se utiliza el método de cambio de variable: 𝑢𝑢 = 1 + 𝑥𝑥 2

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = lim

1 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 2 1 𝑢𝑢2

= lim

1 1 𝑎𝑎 �− � ∗ 2 𝑢𝑢 1

𝑎𝑎→∞

1 1 𝑎𝑎 = lim �− � ∗ 𝑎𝑎→∞ 2 𝑢𝑢 1 𝑎𝑎→∞

= lim

𝑎𝑎→∞

= lim

𝑎𝑎→∞

𝑎𝑎 1 1 ∗ �− � 2 1 + 𝑥𝑥 2 1

1 1 1 1 1 = lim + + �− � � �− 𝑎𝑎→∞ 2 1 + 𝑎𝑎2 2 2(1 + 𝑎𝑎2 ) 4

3. Evaluar límite:

37

SOLUCIONARIO

lim

𝑎𝑎→∞

=−

�−

1 1 1 1 1 1 + �=− + =− + 2 2 2(1 + (∞) ) 4 2(1 + 𝑎𝑎 ) 4 2(1 + ∞) 4

1 1 1 + = ∞ 4 4

4. La integral impropia converge, ya que el límite existe.

Ejercicio 4 Determinar si la sucesión converge o diverge �

𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 − � 2𝑛𝑛 − 1 2𝑛𝑛 + 1

𝑎𝑎𝑛𝑛 =

𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 − 2𝑛𝑛 − 1 2𝑛𝑛 + 1

lim (𝑎𝑎𝑛𝑛 )

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛2

lim �2𝑛𝑛−1 −

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛2

lim �2𝑛𝑛−1 −

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛2 +𝑛𝑛2

𝑛𝑛2 � 2𝑛𝑛+1 𝑛𝑛2 � 2𝑛𝑛+1

=

∞ ∞ − ∞ ∞

(2𝑛𝑛+1)𝑛𝑛2 −(2𝑛𝑛−1)𝑛𝑛2

= lim � 𝑛𝑛→∞ 2𝑛𝑛2

lim �4𝑛𝑛2 −1� = lim �4𝑛𝑛2 −1� =

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛→∞

(2𝑛𝑛−1)(2𝑛𝑛+1)

∞ ∞

2𝑛𝑛2 +𝑛𝑛−(2𝑛𝑛2 −𝑛𝑛2 ) � 4𝑛𝑛2 −1 𝑛𝑛→∞

� = lim �

4𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 8𝑛𝑛

4 8

L’H = lim � � = =

37

1 2

∴ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

SOLUCIONARIO

Hallar una fórmula para la n-ésima suma parcial y usarla para hallar si converge 5 5 5 + + + 1∙2 2∙3 3∙4

𝑠𝑠1 =

5 1∙2

𝑠𝑠3 =

5 5 5 + + 1∙2 2∙3 3∙4

𝑠𝑠2 = 𝑠𝑠𝑛𝑛 =

=

5 2

⋯+

5 5 + 1∙2 2∙3

=

5𝑛𝑛 𝑛𝑛+1

10 3

5𝑛𝑛

=

5 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)

+ ⋯

15 4

∞

5

lim (𝑠𝑠𝑛𝑛 ) = lim � �= L’H = lim � � = 5 ∴ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑛𝑛+1 ∞ 1

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛→∞

37

SOLUCIONARIO

Use el criterio apropiado para determinar si converge o diverge ∑∞ 𝑛𝑛=3 𝑎𝑎𝑛𝑛=

1 2𝑛𝑛−1 −2

1 2𝑛𝑛−1 −2

𝑏𝑏𝑛𝑛 =

1 2𝑛𝑛

> 0 ∀𝑛𝑛 ≥ 3

Esta serie converge

𝑎𝑎

2𝑛𝑛

2𝑛𝑛

2𝑛𝑛

2𝑛𝑛

lim �𝑏𝑏𝑛𝑛 � = lim �2𝑛𝑛−1 −2� = lim �2𝑛𝑛 ∗2−1 −2� = lim �2𝑛𝑛 � = lim �2𝑛𝑛 �

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛→∞

𝑛𝑛

2𝑛𝑛

𝑛𝑛→∞

2∗2𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛→∞

2

𝑛𝑛→∞

−2

2∗2𝑛𝑛 ∗ln(2) � 𝑛𝑛→∞ 2𝑛𝑛 ∗ln(2)

lim � 2𝑛𝑛−4 � = lim �2𝑛𝑛 −4� = L‘H = lim � ∞

𝑛𝑛→∞

2

𝑛𝑛→∞

2

−2

= 2 ∴ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑜𝑜 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Ejercicio 5 Usar el criterio de convergencia apropiado para determinar si las series convergen o divergen, si convergen calcule el límite. ∞

�

𝑛𝑛=1

3𝑛𝑛

1 −2

Solución:

Por el criterio de la razón: lim �

𝑛𝑛→∞

lim

𝑛𝑛→∞

1 3𝑛𝑛+1 −2 1 −2 3𝑛𝑛

1 3𝑛𝑛+1 −2 1 3𝑛𝑛 −2

3𝑛𝑛 −2 𝑛𝑛→∞ 3𝑛𝑛+1 −2

lim

� Debido a que la serie es positiva, omitiremos el valor absoluto Primeramente realizamos la división Posteriormente para calcular el limite dividimos todo entre el elemento

de mayor exponente, es decir, entre 3n+1

37

SOLUCIONARIO 3𝑛𝑛 2 − 3𝑛𝑛+1 3𝑛𝑛+1 𝑛𝑛+1 2 𝑛𝑛→∞ 3 − 3𝑛𝑛+1 3𝑛𝑛+1

lim

Ahora realizamos la separación de 3n+1 como (3n)(3) y reducimos

términos

1 2 − 3 3𝑛𝑛+1 2 𝑛𝑛→∞ 1− 𝑛𝑛+1 3

lim

Al sustituir n por ∞ obtenemos que

lim

= Debido a que

1 2 − 3 3𝑛𝑛+1 2 𝑛𝑛→∞ 1− 𝑛𝑛+1 3

1 3

2 3𝑛𝑛+1

=0

El criterio de la razón nos dice que si el límite de an < 1 converge por lo tanto 𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝟑𝟑 𝟑𝟑𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝟏𝟏 = < 𝟏𝟏 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟐𝟐 𝒏𝒏→∞ 𝟏𝟏 − 𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑

LO CUAL NOS PERMITE CONCLUIR QUE LA SERIE CONVERGE.

37

SOLUCIONARIO

Usar el criterio de convergencia apropiado para determinar si las series convergen o divergen, si convergen calcule el límite. ∞

�

𝑛𝑛=1

sin3 𝑛𝑛 4𝑛𝑛

Recordando que el seno tiene valores de entre -1 y 1 procedemos −1 ≤ sin 𝑛𝑛 ≤ 1 Elevamos todo al cubo

−1 ≤ sin3 𝑛𝑛 ≤ 1 Obtenemos el valor absoluto de cada miembro

|sin3 𝑛𝑛| ≤ |1| El valor absoluto de 1 siempre será 1, por ello podemos omitirlo; dividimos entre 4n �sin3 𝑛𝑛� 4 𝑛𝑛

≤

1 4 𝑛𝑛

La serie

concluir que si

1 4 𝑛𝑛

1 4 𝑛𝑛

es una serie que converge, y por comparación podemos

converge por lo tanto

�sin3 𝑛𝑛� 4 𝑛𝑛

también lo hace, sin embargo el valor absoluto nos

indica que lo hace de manera absoluta. 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟑𝟑 𝒏𝒏 𝟒𝟒𝒏𝒏

SE CONCLUYE QUE CONVERGE ABSOLUTAMENTE

37

SOLUCIONARIO

Determinar si las series convergen absolutamente, condicionalmente o divergen ∞

�(−1)𝑛𝑛+1

𝑛𝑛=1

Solución:

1 (2𝑛𝑛 − 1)

*Verificar si es decreciente Comenzamos con la desigualdad 2≥0

Sumamos 2n a ambos lados 2𝑛𝑛 + 2 ≥ 2𝑛𝑛 + 0

Factorizamos al 2 del lado derecho 2(𝑛𝑛 + 1) ≥ 2𝑛𝑛

Restamos 1 a ambos lados 2(𝑛𝑛 + 1) − 1 ≥ 2𝑛𝑛 − 1

Intercambiamos términos con el reciproco de cada uno 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ≥ 𝟐𝟐(𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) − 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏

Con ello se verifica que sea DECRECIENTE *Verificar si converge o diverge calculando el límite cuando n tiende a infinito 1 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛→∞

lim

𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 𝒏𝒏→∞

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

Evaluando obtendremos que = 𝟎𝟎 Por lo tanto la serie CONVERGE

*Verificar que sea mayor que cero 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏

> 𝒐𝒐 Es relativamente sencillo ya que sin importar los valores de n mayores o

iguales a 1 que demos, siempre obtendremos un valor mayor a cero.

Al cumplir los 3 criterios anteriores se concluye que la serie CONVERGE.

37

SOLUCIONARIO

Ejercicio 7 Determinar si la sucesión converge o diverge lim �((𝑛𝑛 + 1) ∗ √𝑛𝑛)

𝑛𝑛→∞

√∞ ∗ √∞ = ∞ ∴ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Halle la suma para el n-esimo término. 𝑛𝑛 ) 𝑛𝑛+1

∑∞ 𝑛𝑛=1 ln(

Sn= ln 1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 + ln 3 − ln 𝑛𝑛 + 1

𝑆𝑆𝑆𝑆 = ln 1 − ln(𝑛𝑛 + 1)

𝑠𝑠 = lim ln 1 − ln 𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛→∞

∴ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷

Calcular si la siguiente serie converge o diverge ∞

2 2 �= =0 �� 2+∞ 2 + ln 𝑛𝑛

𝑛𝑛=1

𝑏𝑏𝑏𝑏 =

1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑛𝑛

2 2𝑛𝑛 2 2 + ln(𝑛𝑛) � = = 2𝑛𝑛 = ∞ ∴ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 lim � �= � 1 1 𝑛𝑛→∞ 2 + ln(𝑛𝑛) 𝑛𝑛 𝑛𝑛

37