Superficies En El Espacio

SUPERFICIES EN EL ESPACIO Superficies cilíndricas Superficies cuádricas Superficies de revolución

CÓNICAS Cada sección cónica se describe como la intersección de un plano y un cono de dos hojas. También se define como un lugar geométrico o colección de puntos que satisfacen una cierta propiedad geométrica.

• Circunferencia: colección de todos los puntos (𝑥, 𝑦) del plano que equidistan de uno fijo ℎ, 𝑘 (𝑥 − ℎ)²+ 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟² Ecuación canónica. • Parábola: conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦) que son equidistantes de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco) no perteneciente a esa recta.

Ecuación canónica con vértice ℎ, 𝑘 y directriz 𝑦 =𝑘−𝑝 𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 Eje vertical Con directriz x = ℎ − 𝑝, la ecuación es: 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ Eje horizontal • Elipse: Es el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦)cuya suma de distancias a dos puntos fijos distintos (focos) es constante. La cuerda que une los vértices es el eje mayor y su punto medio es el centro de la elipse.

Ecuación canónica de una elipse con centro (ℎ, 𝑘) y ejes mayor y menor de longitudes 2𝑎 𝑦 2𝑏, donde 𝑎 > 𝑏 (𝑥 − ℎ)² (𝑦 − 𝑘)² + = 1 𝐸𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑎² 𝑏² (𝑥 − ℎ)² (𝑦 − 𝑘)² + = 1 𝐸𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑏² 𝑎² Los focos están en el eje mayor a c unidades del centro con 𝑐² = 𝑎² − 𝑏²

• Hipérbola: es el conjunto de los puntos 𝑥, 𝑦 para los cuales la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos distintos (focos) es constante. El segmento que une los vértices es el eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola.

Ecuación canónica de una hipérbola con centro ℎ, 𝑘 . (𝑥 − ℎ)² 𝑦−𝑘 2 − = 1 𝐸𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 2 𝑏 𝑎² (𝑦 − 𝑘)² 𝑥−ℎ 2 − = 1 𝐸𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 2 𝑏 𝑎² Los vértices están a 𝑎 unidades del centro y los focos a 𝑐unidades del centro. Además 𝑏² = 𝑐² − 𝑎2

Esferas: 𝑥 − 𝑥0

2

+ 𝑦 − 𝑦0

2

+ 𝑧 − 𝑧0

2

= 𝑟²

Superficies Cilíndricas Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma. A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.

𝑥² + 𝑦² = 𝑎² Ecuación de un cilindro en el espacio La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solamente las variables correspondientes a los otros dos ejes.

Superficies Cuádricas Su ecuación es una de segunda grado de la forma: 𝐴𝑥² + 𝐵𝑦² + 𝐶𝑧² + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 Se clasifican en: • Elipsoide • Hiperboloide de una hoja y de dos hojas • Cono elíptico. • Paraboloide elíptico • Paraboloide Hiperbólico La intersección de una superficie con un plano se llama la traza de la superficie en ese plano. Las trazas de las superficies cuádricas son cónicas.

Elipsoide 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + 2+ 2=1 2 𝑎 𝑏 𝑐 Traza Plano Elipse Paralelo al plano 𝑥𝑦 Elipse Paralelo al plano 𝑥𝑧 Elipse Paralelo al plano 𝑦𝑧 La superficie es esfera si: 𝑎=𝑏=𝑐≠0

Hiperboloide de una hoja 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + 2− 2=1 2 𝑎 𝑏 𝑐 Traza Plano Elipse Paralelo al plano 𝑥𝑦 Hipérbola Paralelo al plano 𝑥 𝑧 Hipérbola Paralelo al plano 𝑦𝑧 El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

Hiperboloide de dos hojas 𝑧2 𝑥2 𝑦2 − 2− 2=1 2 𝑐 𝑎 𝑏 Traza Plano Elipse Paralelo al plano 𝑥𝑦 Hipérbola Paralelo al plano 𝑥𝑧 Hipérbola Paralelo al plano 𝑦𝑧 El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. No hay traza en el plano coordenado perpendicular a este eje.

Cono Elíptico 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + 2− 2=0 2 𝑎 𝑏 𝑐 Traza Plano Elipse Paralelo al plano 𝑥𝑦 Hipérbola Paralelo al plano 𝑥𝑧 Hipérbola Paralelo al plano 𝑦𝑧 El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Las trazas en los planos coordenados paralelos a ese eje son rectas que se cortan.

Paraboloide elíptico 𝑥2 𝑦2 𝑧= 2+ 2 𝑎 𝑏 Traza Plano Elipse Paralelo al plano 𝑥𝑦 Parábola Paralelo al plano 𝑥𝑧 Parábola Paralelo al plano 𝑦𝑧 El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potencia unidad.

Paraboloide Hiperbólico 𝑦2 𝑥2 𝑧= 2− 2 𝑏 𝑎 Traza Plano Hipérbola Paralelo al plano 𝑥𝑦 Parábola Paralelo al plano 𝑥𝑧 Parábola Paralelo al plano 𝑦𝑧 El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potencia unidad.

Superficie de revolución Si la gráfica de una función radio r (𝑦 = 𝑟 𝑧 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧) gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las siguientes formas: 1. En torno al eje 𝑥: 𝑦² + 𝑧² = 𝑟 𝑥 2 2. En torno al eje 𝑦: 𝑥² + 𝑧² = 𝑟 𝑦 2 3. En torno al eje 𝑧: 𝑥² + 𝑦² = [𝑟 𝑧 ]²