Taller 6

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA Facultad de Ciencias. Dpto. de Matem´ aticas Taller 6 C´ alculo Vectorial Ingenier´ıa. Profesores: Eduardo E. Kassir H´ ector O. Linares - Juan C. Quintero

VI- Integrales Dobles

Figura 9. Tuberias

Temas a desarrollar Integral doble en regiones rectangulares Teorema de Fubini Integral doble en regiones generales Cambio del orden de integraci´ on

Objetivos Identificar regiones de integraci´ on Evaluar integrales iteradas Utilizar integrales dobles para hallar ´ areas y volumenes Utilizar integrales dobles para hallar valores promedios

Preguntas de falso (F) o verdadero (V).

1. Si f (x, y) es un campo escalar integrable en una regi´on R de

Z Z

R2

entonces

f (x, y)dA determina el R

volumen debajo de f (x, y) sobre R. Z bZ

d

Z

a

Z

a

c

d

g(y)dy

f (x)dx

f (x)g(y)dydx =

2. Si f y g son funciones integrables entonces

b

c

Preguntas de selecci´ on m´ ultiple u ´ nica respuesta.

3. Considere el s´olido acotado por las superficies x2 + y 2 = 4, z = 4 − y, z = 0 c´omo muestra la figura:

Determine cu´al de las siguientes integrales representa el volumen. Z

√

2Z

√

4−x2

Z (4 − y)dydx

(a) 4 0

Z

0 2

Z

√

4−y 2

(4 − y)dxdy

(b) 4 0

4−x2

Z (4 − y)dydx

(c) 2 −2

2Z

2

0 √

Z

4−x2

(4 − y)dxdy

(d) 2 −2

0

0

Z Z 4. La regi´on R del plano xy que minimiza el valor de la integral

x2 + y 2 − 4dA es:

R

(a) x2 + y 2 ≤ 4

(b) x2 + y 2 ≥ 4

(c) x2 + y 2 = 4

Preguntas abiertas

5. Calcular la integral parcial dada Z (a)

2

Z tanxydy

1

x

(b)

e x3

2y/x

Z dy

(c) 0

π/2

cosxsen3 ydy

(d) Ninguna de las anteriores

Z Z 6. Calcule

edA sobre la regi´ on dada R. R

(b)

(a)

Z Z

(c)

Z Z

7. Si

ydA = −2 y ´ area de R igual a 6, halle:

xdA = 5, R

R

Z Z 10dA

(a) R

Z Z (b) ZR Z (c)

3x + 2y + 1dA Z Z 2 y dA − (2 + y)2 dA

R

R

8. Calcule la integral doble. Z 3Z 4 x y (a) + dydx x 1 2 y Z 1Z 1 p (b) 4xy x2 + y 2 dydx 0

Z

0 4Z 6

(c) 1

1

lny dxdy xy

9. Evalu´e las siguientes integrales dobles sobre la regi´on R. Z Z x (a) dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2} (1 + xy)2 R Z Z (b) (y + 1)exy+x dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1} R Z Z p (c) y 3 senxy 2 dA, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π/2} R

10. Para la integral dada grafique la regi´ on de integraci´on e invierta el orden. 5Z

Z

√

50−x2

Z f (x, y)dydx

(a)

√ 3y

(b)

x

0

1Z

Z f (x, y)dxdy

0

y2

2

Z

e−x

(c)

f (x, y)dydx −1

0

11. Para la suma de integrales grafique la regi´on de integraci´on e invierta el orden Z 2Z x Z 4 Z 4−x (a) f (x, y)dydx + f (x, y)dydx 0

Z

0 1Z e

(b)

Z

2 0

0

Z

e

f (x, y)dxdy + 0

ey

f (x, y)dxdy −1

e−y

√

Z

2Z y

Z f (x, y)dxdy +

(c) −y

0

2

√

Z √4−y2 √

2

−

f (x, y)dxdy 4−y 2

12. Evalu´e las siguientes integrales. Z (a) 0

4Z 2 √

x

3 dydx 2 + y3

Z (b) 0

2Z 4√

Z xsenxdxdy

y2

ln10 Z 10

(c) 0

ex

1 dydx lny

13. Utilice integrales dobles para calcular el ´ area de las siguientes regiones. √ √ (a) x + y = 2, x = 0, y = 0 (b) y = ex , y = lnx, x = 1, x = 4 (c) xy = 9, y = x, x = 9, y = 0 14. Utilice integrales dobles para calcular el volumen de la regi´on acotada por las superficies. (a) z = 1 − x2 − y 2 y z = 1 − y (b) z = 1 + x2 , z = 5 − y, y = 0 2

(c) z = e−x , z = 0, y = 0, y = x, x = 1 15. Determine el valor promedio del campo escalar sobre la regi´on R dada. (a) f (x, y) = x2 + 4y, R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 6} 1 (b) f (x, y) = , R es la regi´ on triangular de v´ertices (0, 0), (2, 2) y (4, 0). 1 + x2 (c) f (x, y) = x2 − xy, R es la regi´ on acotada por y = x, y = 3x − x2 .

Problemas

16. Halle la masa de la lamina plana acotada por la regi´on R con densidad ρ: (a) R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}, ρ(x, y) = 1 + x2 + y 2 (b) R regi´on triangular de v´ertices (0, 0), (2, 1) y (0, 3), ρ(x, y) = x + y. √ (c) R regi´on acotada por y = x2 , y x = y 2 , ρ(x, y) = x 17. La funci´on de producci´ on Cobb-Douglas para Autos Kassir es es f (x, y) = 100x0.6 y 0.4 , donde x, y representan el n´ umero de unidades de trabajo y de capital respectivamente. Estimar el nivel medio de producci´ on si el n´ umero de unidades de trabajo var´ıa entre 100 y 150; y el de unidades de capital var´ıa entre 200 y 225.

18. Una carga se distribuye en una regi´ on rectangular R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}, de modo que la densidad de carga en (x, y) es ρ(x, y) = 2x2 + y 3 en Coulombs por metro cuadrado, encuentre la carga total sobre R. 19. Una elegante caja de joyer´ıa tiene la forma del s´olido delimitado arriba por el plano 3x + 4y + 2z = 12 inferior por el plano xy y en los lados por los planos x = y = z = 0, donde x, y, z estan en pulgadas. Determine el volumen de la caja.

20. Suponga que la temperatura en grados Celsius en cada punto (x, y) de una placa de metal plana cuya forma es |2x + y| ≤ 4 y |2x − y| ≤ 4 esta dada por T (x, y) = 5xy + x2 , donde x, y est´an en metros. Encuentre la temperatura promedio de la placa.