Ejercicios Sección 16-3.

UNIMINUTO UNIVERSIDAD MINUTO DE DIOS

EJERCICIOS SECCIÓN 16-3

Asignatura: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Presentado por: MERLIN DYANNA ORTEGA JIMENEZ ID: 714149 CLAUDIA ADRIANA LOZANO CASTELLANOS ID: 714153 LIUBA JANET SANGUINO CAÑIZARES ID: 718548

Docente DANY ALEXANDER PEÑALOZA ROMERO TIBU, NORTE DE SANTANDER 22/03/2020

EJERCICIOS SECCIÓN 16-3

1. (Curva de Lorentz) La distribución del ingreso de cierto país está descrita por la 19 2 1 curva de Lorentz y= x + x , en donde x es la proporción de captadores de 20 20 ingresos y Y es la proporción del ingreso total recibido. a) ¿Qué proporción recibe el 20% de la gente más pobre? 19 2 1 y= x + x 20 20 20 %=0,2 x=0,2 19 1 y= ( 0,2 )2+ ( 0,2 ) 20 20 19 1 y= ( 0,4 ) + ( 0,2 ) 20 20 y=0,38+0,01 y=0,39→ Aproximado y=0,4 b) Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz. y=L ( x ) 1

Gini=2∫ [ x−l (x) ] dx 0

1

[ (

¿ 2∫ x− 0 1

[ ∫[

¿ 2∫ x− 0 1

¿2

0

19 2 1 x + x dx 20 20

)]

19 2 1 x − x dx 20 20

]

19 19 x− x 2 dx 20 20

]

¿2

[

19 x 2 19 x 3 1 × − × 20 2 20 3 0

¿2

[

19 19 − −( 0) 40 60

¿2

[

19 19 19 19 − =2 = =0,31 40 60 120 60

]

]

] ( )

2. (Curva de Lorentz) Repita el ejercicio 1 en el caso a la curva de Lorentz

y=0.94 x 2+0.06 x a) ¿Qué proporción recibe el 20% de la gente más pobre? 2 y=0.94 x +0.06 x 2 y=0.94 ( 0.2 ) + 0.06 ( 0.2 ) y=0.94 ( 0.4 ) + 0.06 ( 0.2 ) y=0.376+0.012 y=0.388 b) Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz. y=L ( x ) 1

Gini=2∫ [ x−l (x) ] dx 0

1

¿ 2∫ [ x−(0.94 x 2 +0.06 x ) ] dx 0 1

¿ 2∫ [ x −0.94 x 2−0.06 x ] dx 0 1

¿ 2∫ [ 0.06 x−0.94 x 2 ] dx 0

[

¿ 2 0.06

x2 x3 1 −0.94 2 3 0

]

¿2

[

3 x 2 47 x 3 1 × − × 50 2 50 3 0

¿2

[

3 47 − −(0) 100 150

¿2

[

3 47 −17 −17 − =2 = =−0.56 100 150 60 30

]

]

] [ ]

3. (Curva de aprendizaje) Después de pintar los primeros 40 automóviles, un establecimiento de pintado de automóviles estima que la curva de aprendizaje es de la forma f ( x )=10 x−0.25 .Encuentre el número total de horas-hombre que se requerirán para pintar 60 automóviles más. d

d

∆ T =∫ f ( x ) dx=∫ a x b dx c

c

−0.25

f ( x )=10 x

100

100

[

∆ T = ∫ f ( x ) dx=∫ 10 x −0.25 dx= 10× 40

40

x−0.25+1 100 −0.25+1 40

]

10 [ ( 1000.75 ) −( 400.75 ) ] 0.75 10 ¿ ( 15.72 )=209.6 0.75

¿

4. (Curva de aprendizaje) Sonido X y Y produce radiorreceptores en su línea de ensamblado. Se sabe que los primeros 100 aparatos (1unidad) les lleva un total de 150 horas-hombre y por cada unidad adicional de 100 aparatos, se requirió menos tiempo de acuerdo con la curva de aprendizaje f ( x )=150 x−0.2 ,en donde f(x) es el número de horas-hombre requeridas para ensamblar la unidad número (x + 1). ¿Cuántas horas-hombre se requerirán con el objetivo de ensamblar 5unidades (esto es 500 radiorreceptores) después de que se han ensamblado las primeras 5unidades? d

d

∆ T =∫ f ( x ) dx=∫ a x b dx c

c

f ( x )=150 x

−0.2

600

600

∆ T = ∫ f ( x ) dx=∫ 150 x 100

100

¿

150 ( 6000.8 )−( 1000.8 ) ] [ 0.8

¿

150 [ 166.92−39.81 ] 0.8

¿

150 [ 127.11 ] =23833.12 0.8

x −0.2+1 600 = 150 −0.2+1 100

−0.2

[

]

5. (Curva de aprendizaje) Electrónica Morales produce calculadoras electrónicas en su línea de ensamblado. Las primeras 50 calculadoras demandan 70 horas, y por cada unidad adicional de 50 calculadoras, se requiere menos tiempo de acuerdo con la curva de aprendizaje f ( x )=70 x−0.32 . ¿Cuánto tiempo demandará el ensamblado de 500 calculadoras después de que se le han ensamblado las primeras 200 calculadoras? d

d

∆ T =∫ f ( x ) dx=∫ a x b dx c

c

f ( x )=70 x−0.32 500

500

[

∆ T = ∫ f ( x ) dx=∫ 70 x −0.32= 70 200

200

x−0.32+1 500 −0.32+1 200

]

¿

70 ( 500 0.68) −( 2000.68 ) ] [ 0.68

¿

70 [ 31.73 ] =3266.32 0.68 6. (Curva de aprendizaje) Suponiendo que existe una mejora del 20% cada vez que la producción se duplica (por ejemplo, la sexta unidad requiere 80% del tiempo consumido por la tercera unidad, la vigésima unidad requiere 80% del tiempo demandado por la décima unidad, etc) Determine el valor de la constante b para la curva de aprendizaje f ( x )=ax b .

Supongamos que inicialmente el tiempo fue de 100 horas, solo como un referente. x 1 2 4 8 16 f(x) 100 80 64 51,2 40,96 Entonces modelemos Considerando como base la estructura y=axb, reemplazamos algunos puntos Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4 Punto 5 b b b b 100=a(1) 80=a(2) 64=a(4) 51.2=a(8) 40.96=a(16)b Consideremos entonces dos de esos puntos. Por ejemplo el segundo y el tercero b 64  a  4 

51.2  a  8 

b

Esto lo resolveremos por logaritmos

log ( 64 )=log ( a )+ blog ( 4 ) log ( 51,2 )=log ( a )+ blog ( 8 ) log ( 64 )−log ( 51,2 )=blog ( 4 )−blog ( 8 ) log ( 64 )−log ( 51,2 )=¿ b ( log ( 4 ) −log ( 8 ) ) ¿ b=

log ( 64 )−log ⁡(51,2) =−0,3219 log ( 4 )−log ⁡(8) 7. (Maximización de la utilidad) Las tasas de ingreso y costo en una operación de 1

1

perforación petrolera están dados por R' ( t )=14−t 2 y C ' ( t )=2+3 t 2 respectivamente, en donde el tiempo t se mide en años y R y C se mide en millones de dólares. ¿Cuánto deberá prolongarse la perforación para obtener la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

1

1

R' ( t )=14−t 2 y C ' ( t )=2+3 t 2 R ( t )=C ( t ) 1

1

14−t 2 =2+3 t 2 1 3

1 2

−t −3 t =−14+2 1

4 t 2 =−12 1 2

t =

−12 −4

1 3 2

( t ) =¿ t=9 9

1

[(

) (

1

p∫ 14−t 2 − 2+ 3 t 2

)]

0

9

∫ 12−4 t

1 2

0

[

1

]

4t 2 9 12 ( t )− 4 0

¿ 12(t)−2t

1 2

¿ 12 ( 9 )−2(9)

1 2

¿ 108−18=90 8. (Maximización de le utilidad) Las tasas de ingreso y de costo de cierta operación 1

1

minera están dadas por R' ( t )=10−2 t 3 y C ' ( t )=2+2 t 3 respectivamente, en donde t se mide en años y R y C se miden en millones de dólares. Determine por cuanto tiempo deberá continuarse la operación con la finalidad de obtener una utilidad máxima. ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima, suponiendo que los costos fijos de operación inicial son de $3 millones?

1

1

p' ( t )=10−2 t 3 y C ' ( t )=2+2 t 3 x

1 3

1 3

p ( t ) =∫ [ ( 10−2 t )−( 2+2 t )] dt 0

Tiempo R' ( t )=C ' ( t ) 1

1

10−2t 3 =2+2 t 3 1

1

−2 t 3 −2t 3 =2−10 1

−4 t 3 =−8 1

t 3=

−8 −4

1 3 3

( t ) =2

3

t=8 8

1

(

) (

1

)

p ( 8 )∫ 10−2 t 3 − 2+2 t 3 dt 0

8

1 3

¿ ∫ ( 8−4 t ) dt 0

[

¿ 8 t−4

3 t 43 8 4 0

]

4 3

¿ [ 8 t−3 t ] 8 0

[

4

]

¿ 8(8)−3(8) 3 ¿ 64−24=40 (9-14). (Superávit del consumidor y del producto) Determine el superávit del consumidor y del producto en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen enseguida. (Suponga que se ha establecido el equilibrio del mercado). 9. D: p= 15-2x S: p= 3 + x 15−2 x=3+ x

−2 x−x=3−15 −3 x=−12 x=

−12 =4 −3

D: p=15−2 x=15−2 ( 4 )=7 S: p=3+ x=3+4=7 10. D: p=17−0.5 x S: p=5+ 0.3 x 17−0.5 x=5+0.3 x −0.5 x−0.3 x=5−17 −0.8 x=−12 x=

−12 =15 −0.8

D: p=17−0.5 x=17−0.5 ( 15 )=9.5 S: p=5+ 0.3 x =5+0.3 ( 15 )=9.5 11. D: p=1200−1.5 x2 S: p=200+ x2 1200−1.5 x 2=200+ x 2 −1.5 x 2−x 2=200−1200 −2.5 x 2=−1000 x 2=

−1000 =400 −2.5

√ x 2=√ 400 x=20 D: p=1200−1.5 x2 =1200−1.5 ( 20 )2=600 S: p=200+ x2 =200+202=600 12. D: p=120−x 2 S: p=32+3 x 120− x2=32+3 x −x 2−3 x=32−120 −x 2−3 x+ 88=0

−(−3 ) ± √−3 2+ 4 (−1 ) ( 88 ) x= 2 (−1 ) x=

3 ± √ 361 −2

x=

3−19 −16 = =8 −2 −2

D: p=120−x 2=120−82=56 S: p=32+3 x=32+3 ( 8 )=56 13. D: p=

280 x +2

S: p=20+ 2.5 x 14. D: p=

370 x +6

S: p=3.8+ 0.2 x 15. (Decisión de inversión) Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo, la automatización de la planta requiere mantenimiento sustancia extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto ' anual después de t años está dada por S (t )=120−4 t

( 12 ) t (Millones de dólares por 2

año. Calcule el ahorro total sobre los 8 primeros años. ¿Cuántos años debe conservarse el equipo automatizado antes de que los ahorros totales empiecen a decrecer? ¿Cuál es el valor máximo de los ahorros totales? 16. (Decisión de inversión) Una compañía está considerando la compra de una nueva maquinaria con un costo de $5000. Se le estima que la maquina a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de la adquisición ¿Se pagara la maquina así misma durante los próximos 5 años? El costo de la nueva máquina es de $5000 Se estima que la maquina genera según la función G(t) = 160(5 + t) ¿Se pagara la maquina en 5 años por si sola? Evaluamos cuando t = 5 G(5) = 160(5 + 5)

G(5) = 1600 17. (Decisión de inversión) Para tomar la decisión correcta en el ejercicio anterior la compañía debe calcular el valor presente de sus ahorros futuros y compararlos con el costo de la máquina. Calcule el valor presente de los ahorros en los primeros 5 años después de la adquisición de la máquina, suponiendo una tasa de interés nominal del 8%. ¿Se pagara la máquina así misma ahora en este periodo de 5 años?