Taller Estadistica Inferenccial1

TALLER ESTADISTICA INFERENCIAL INTERVALOS DE CONFIANZA 8.5 Un investigador de mercados selecciona, una población de millones de clientes, una muestra aleatoria simple de n= 100 clientes. Después de analizar la muestra, afirma que tiene un 95% de confianza en que el ingreso anual medio de que los dos millones de clientes esta entre $ 70000 y $ 85000. Explica el significado de esta información. Resp. Con esto el investigador podrá deducir que el 95% de las personas muestreadas tienen un ingreso entre $70000 y $85000 de los dos millones de clientes de la población y así podrá tomar decisiones al ingresar un producto a un mercado. 8.9 El gerente de una tienda de pinturas desea estimar la cantidad real de pintura contenida en las latas de un galón que adquirió de un fabricante conocido a nivel nacional las variaciones del fabricante establecen que la desviación estándar de la cantidad de pintura es = a 0.02 galones, se selecciona una muestra aleatoria de 50 latas, y resulta que la cantidad media muestral de pintura por lata de un galon es de 0.095 galones a) Construya un estimador de intervalo de 99% de confianza para la cantidad media poblacional de pintura incluida en una lata de 1 galon. b) con base en esos resultados, cree que el gerente tiene derecho a quejarse con el fabricante explique su respuesta. c) usted debería suponer que la cantidad media de poblacional de pintura por lata se distribuye de manera normal en este caso, explique su respuesta.

n=50

=0.995

=0.02 Intervalo de confianza del 95%

𝛼 2

Z = 1.96 𝛼

µ ∈(  Z2

√𝑛

)

µ ∈(0.995 1.96

0.02 √50

)= 0.9950.005543=(0.989457, 1.000543)

La respuesta no cambia ya que el intervalo aun se encuentra en lo que queria el fabricante. 8.10 El gerente de control de calidad de una fábrica de bombillas necesita estimar la vida media de un gran embarque de bombillas. La desviación estándar es de 100 horas una muestra aleatoria de 64 bombillas revelo una vida media muestral de 350 horas. a) construya un estimador de intervalo de 95% de confianza para la vida media poblacional de las bombillas en este embarque.

b) cree que el fabricante tiene derecho de afirmar, que las bombillas tienen una vida media de 400 horas, Explique su respuesta. c) debe usted suponer que la vida poblacional de las bombillas se distribuyen de manera normal, Explique su respuesta, d) suponga que la desviación estándar cambia a 80 horas, cuáles serían sus respuestas para los incisos a y b. S=100 n=64 =350 𝛼

𝑆 √𝑛

- t1− 2 , (n -1)

𝛼

𝑆 √𝑛

, + t1− 2 , (n -1)

El coeficiente de confianza para el 95% es: 𝛼 t1− , n -1= t0.975,63 =1.998 2

100 √64

(350-1.998)(63)

, 350 + 1.998(63)

100 √64

(-1223.425 , 1923.45) b) No porque se observa que el valor µ = 400 no pertenece al intervalo se tiene evidencia que el fabricante no puede afirmar. d) s=80 para el inciso a, el intervalo de confianza del 95% cambia (350-1.998(63)

80 √64

, 350 + 1.998(63)

100 )= √64

(-908.74 , 1608.7)

Pero para inciso b sigue siendo la misma respuesta. 8.15 Una tienda de regalos desea estimar el valor medio al detalle de las tarjetas de felicitación que tienen su inventario. Una muestra aleatoria de 100 tarjetas de felicitación indica un valor promedio de $ 2.55 y una desviación estándar de $ 0.44. a) suponga una distribución normal y construya un estimador de intervalo de 95% de confianza para el valor de la media de todas las tarjetas de felicitación en el inventario de la tienda. b) suponga que el inventario de la tienda incluye 2500 tarjetas de felicitación ¿Cómo los resultados que obtuvo el inciso a le ayudaran al dueño de la tienda a estimar el valor total del inventario de la tienda. Resp. b) inventario (2500*2.46376 , 2500*2.63624)

n=100

=2.55

=0.44

Intervalo de confianza del 95% 𝛼

𝑍 2 = 0.025=1.96 𝛼

µ ∈(  Z2

√𝑛

)

µ ∈(2.551.96

0.44 )= √100

2.550.08624=(2.46376, 2.63624)

8.18 El archivo contiene el monto que una muestra de 9 clientes gasto en el almuerzo de un restaurante de comida rápida 4.20, 5.03, 5.86, 6.45, 7.38, 7.54, 8.46, 8.47, 9.87,. a) construya un estimador del intervalo del 95% de confianza para el monto medio poblacional gastando en el almuerzo ($) en un restaurante de comida rápida, suponiendo que se trata de una distribución normal. b) interprete el intervalo construido en el inciso a) n=9

=7.0289 𝛼

µ ∈(  Z2

√𝑛

µ ∈(7.0289*

1.81249

𝛼

V=9-1=8

t2 = 0.025=2.306

) 1.81249 )= √9

7.02891.3932=(5.6357, 4.4221)

Resp. b) La media del gasto del restaurante de comida rápida se va encontrar entre $5.6357, $4.4221en el 95% de las ocaciones. 8.20 El archivo contiene las millas totales por galón de pequeños vehículos utilitarios 2011 20

24

22

23

20

22

21

22

22

19

22

22

26

19 19 23 24 21 21 19 21 22 22 16 16 a) Construya un estimador del intervalo de 95% de confianza para la media poblacional de las mpg de los pequeños vehículos utilitarios 2011, suponiendo que se trata de una distribución normal. b) Interprete el intervalo construido en el inciso a) c) Compare los resultados en el inciso a) con los del inciso b) del problema. Millas galón Número valido por lista n=25

=21.12

𝛼

t 2 = 0.025=2.064 𝛼

µ ∈(  Z2

√𝑛

)

25 16.00 25 𝛼 = 2.29710

26.00

211.200

Intervalo de confianza: 95%

229.710

µ ∈(21.12 2.064

2.2970 √25

)= 21.120.9482=(20.1718, 22.0682)

Resp. b) La media de las millas por galon gastado de los vehiculos que se utilizaron va a estar entre (20.1718milllas, 22.0682millas) 8.22 Una de las principales medidas de calidad del servicio que ofrece una organización es la rapidez, con que responde a las quejas de los clientes. Una gran tienda departamental propiedad de una familia, que vende muebles y recubrimiento para pisos incluyendo alfombras, han tenido una gran expansión en los últimos años en particular, el departamento de recubrimientos para pisos, se amplio de dos grupos de instaladores a un supervisor de instalaciones, un medidor y 15 grupos de instaladores. Uno de los objetivos administrativos de la empresa era reducir su tiempo de respuesta a las quejas la variables de interés se definiio como el numero de dias transcurridos entre la recepción de la queja y su resolucion. Se reunieron datos de 50 quejas hechas en el año anterior los datos estna almacenados en el archivo y son los siguientes. 54

5

35

137

31

27

152

2

123

81

74

27

11

19

126

110

110

29

61

35

94

31

26

5

12

4

169

32

29

28

29

26

25

1

14

13

13

10

5

27

4

52

30

22

36

26

20

23

33

68 𝛼 = 4.92

n=50

=43.04

N Días trans. Número valido por lista

50 50

𝛼

Z2 = 1.96

Estadísticos descriptivos Media Desviación estándar 430.400 41.92666

varianza 1.757.794

Intervalo de confianza del 95% 𝛼

µ ∈(  Z2

√𝑛

)

µ ∈(43.04 1.96*

41.92 √50

)= 43.0411.61=(31.43, 54.65)

Resp. b) Se debe suponer que la distribución equivale a una normal Z, ya que la muestra de la población es mayor a 30 y está distribuida normalmente por lo que se supone que así lo hacen en la población Resp. c) Si porque la distribución teóricamente se debe tomar como una distribución normal para poder realizar la estimación con la normal Z por ser una muestra de 50. Resp. d) podemos concluir que la media poblacional se distribuye normalmente en un intervalo entre 31.43 y 54.65 y que hay una probabilidad del 95% de que la media este entre estos valores.

8.24 El archivo incluye datos sobre el costo por onzas para una muestra de 14 barras de chocolate oscuro. 0,68 0,57

0,72 1,51

0,92 0,57

1,14 0,55

1,42 0,86

0,94 1,14

0,77 0,9

A) Construya un estimador del intervalo de 95% de confianza para el costo poblacional por onza ($) de las barras de chocolate oscuro. B) Que suposición se debe hacer acerca de las distribución poblacional para construir el estimador del intervalo de confianza en el inciso a ). C) A partir de los datos presentados cree que la suposición necesaria en el inciso a) es valida justifique su respuesta. Estadísticos descriptivos

Costo por onza Numero valido por lista n=14

N 14 14

=0.9257

Mínimo 0.55

=0.32729

Máximo 1.51

media 0.9257

Desviación estándar 0.32729

V=14-1=13

Intervalo de confianza del 95% 𝛼

t 2 = 0.025=2.160 𝛼

µ ∈(  Z2

√𝑛

)

µ ∈(0.9257 2.160*

0.32729 )= √14

0.92570.1889=(0.7368, 1.1146)

8.29 Un analista del departamento de personal selecciona los expedientes de 16 empleados por hora y determina que le índice salarial medio por hora es de 9.50. se supone que los índices salariales de la compañía tienen una distribución normal. Si se sabe que la distribución de los índices salariales de 1.00 estime el índice salarial medio en la empresa con un intervalo de confianza medio de 80%. Nivel de confianza = 80% n= 16 = 50 S=1

𝛼 𝑆 2 √𝑛

𝛼 𝑆 2 √𝑛

( – Z1 - ( ) , + Z1 - ( ) ) 1 ) √16

(9.50- (1.28)

, 9.50 + (1.28) (

1 )) √16

= (9.18 , 9.82)

8.31 El diámetro medio de una muestra de n= 12 varillas cilíndricas incluidas en un embarque es de 2.350 mm, con una desviación estándar muestral de 0.050mm se supone que la distribución de los diámetros de la totalidad de las varillas incluidas en el embarque es aproximadamente normal. Determine el intervalo de confianza de 99% para la estimación del diámetro medio de todas las varillas incluidas en el embarque. Resp. 2.307 a 2.393mm. n= 2 = 2.350 = 0.050

𝛼 𝑆

𝛼 𝑆

√

√

( – Z1 - 2 ( 𝑛) , + Z1 - 2 ( 𝑛) ) 0.050 ) √12

(2.350 - (2.57)

, 2.350 + (2.57) (

0.050 )) √12

= (2.312 , 2.387)

8.32 El diámetro medio de una muestra n= varillas incluidas en un embarque es de 2.350mm con una desviación estándar de 0.050mm estime el diámetro medio de la totalidad de las varillas incluidas en el embarque si este contiene 500 varillas con un intervalo de confianza de 99% N=500

n=100

= 2.350

=0.050

Intervalo de confianza del 99% 𝛼

µ ∈(  Z2

√𝑛

)

µ ∈(2.350 2.576*

0.050 )= √100

2.3500.01288=(2.33712, 2.36288)

9.16. n1 = 10

1 = $ 3425

S1 = 200

n2 = 12

2 = $ 3250

S2 = 175.

Con distribución normal. 𝑆 2 P=

(n1−1)𝑆12 +n2−1(𝑆2)2 n1+n2−2

1

9 (2002 )+11(175)2 =34843.75 20

𝑆 2 P=

𝛼

( 1- 2)  t12 , n1 + n2 -2 √

𝑆2 𝑃 n1

+

𝑆2 𝑃 n2

𝛼 2

 t1 , n1 + n2 -2 = t0.975,20 = 2.0859 𝑆2 𝑃 n1

𝛼

( 1- 2)  t12 , n1 + n2 -2 √

+

𝑆2 𝑃 n2

= (3425-3250)  2.0859√

34843.75 10

+

34843.75 12

= (8.284 ,

341.715) 9. 17. n1 = 20 n2 = 24 𝑆 2 P= 𝛼 t12 ,

19(200)2 +23(175)2 = 42

34866.07

n1 + n2 -2 = t0.9568,42 = 2.018 34866.07 34866.07 + 20 24

(3425-3250) 2.018√ (60.91 , 289.08)

9.21 En una relación con una muestra de 30 empleados de una gran empresa el salario medio por hora es 1 = $ 9.50, con S1 = $ 1.00. en una gran empresa, el salario medio por hora de una muestra de 40 empleados es 2 = $ 9.05, con S2 = $ 1.20. Estime la diferencia entre el salario medio por hora de la dos empresas con un intervalo de confianza de 90% Resp. $ 0.02 a $ 0.88 por hora. n1 = 30 n2 = 40

1 = $ 9.50 2 = $ 9.05

Intervalo de confianza= 90%. 𝑆 2 P=

29(1)2 +39(1.20)2 = 68

1.25

t0.95,68 = 1.66 1.25

(9.5-9.05) 1.66√ 30 + (0.017 , 0.89)

1.25 40

S1 = 1 S2 = 1.20

9.25 Un fabricante a adquirido un lote de 2000 partes electrónicas pequeñas del inventario excedente de una gran empresa. De una muestra aleatoria de 50 de esas partes 5 resultaron defectuosas. Estime la proporción de la totalidad de las partes del embarque con defectos un intervalo de confianza del 90% Resp. 0.03 a 0.017. n=50 Intervalo de confianza: 90% 𝛼  𝑧1  𝑧 √

𝑛 5

𝑛

𝑛

𝛼

𝑧1  𝑧 = 1.64

X=5 n= 50 𝑥

5

= 𝑛= 50= 0.1 0.1(0.9) 50

0.1  1.64 -√ (0.03 , 0.17)

9.30 En relación con un producto de consumo particular las ventas medias en dólares por establecimiento de venta al detalle durante el último año en una muestra de n=10 tiendas fue = $3425 con s=200 se supone que los momentos de venta por establecimiento siguen una distribución normal. Estime a) la varianza y b) la desviación de las ventas en dólares de este producto en todas las tiendas en el último año con un intervalo de confianza del 90%. Resp. a 21.278 ≤ 𝜎 2 ≤ 108271 b 145.9 ≤𝜎 ≤329.0. n=10 9(2002 )

[ 16.918 ,

= 3425 9(2002 ) 3.32

S=200 𝛼

𝑋 2 1 − 2 , 𝑛 − 1 = 𝑥 2 0.95,9 = 16.918 𝛼

𝑋 2 2 , 𝑛 − 1 = 𝑥 2 0.025,9 = 3.32

[21.279.11 , 108271]

Se estima con un intervalo de confianza del 90% que la varianza poblacional esta entre: 21.279.11 ,108271 y sacando raíz √

(𝑛−1)𝑆 2 𝛼 2

𝑋 2 1− ,𝑛−1

≤

2

≤√

(𝑛−1)𝑆 2 𝛼 2

𝑋 2 ,𝑛−1

(145.87 , 329,4) 9.31 en referencia al problema 9.30 interés en particular que tan grande podría ser la desviación estándar de la ventas en dólares. Elabore el intervalo de confianza del 90% de una extremo que identifica este valor. Resp: ≤ 293.9

5. Una muetra aleatoria de tamaño n1= 16 que se tomo de una población con una desviación estandar de 1 tiene una media de 1 = 80 con una muestra segunda aleatoria de tamaño n2= 25 tomada de una población normal diferente con una desviación estandar de 2 = 3, tiene una media 2 = 75 encuentre un intervalo de confianza del 95% para µ1 - µ2 de acuerdo con el intevalo hallado ¿hay evidencia de que las dos medias son iguales. n1=16 1 =5 n2=25 2 =3 Intervalo de confianza del 95%

1=80 2=75

Como la varianza poblacional conocida ( 1 - 2)  Z1 -

𝛼 2

√

2

1 𝑛1

2

+

1 𝑛2

Z1 -

𝛼 2

= 1.95

52 32 + 16 25

(80-75)  1.95 √ (2.29 , 7.70)

No hay evidencia ya que el cero no esta en ese intervalo. µ1 -µ2 = 0

µ1 = µ2

6. los siguientes datos corresponden a los pesos de 15 hombres escogidos al azar 72, 68, 63, 75, 84, 91. 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69,. Obtenga e interprete un intervalo de confianza 95% para el verdadero peso promedio. n1=15

= 75.66

(  Z1 -

𝛼 𝑠2 √ )= 2 𝑛1

𝑠 2 = 95.52

75.66  1.95 (√

Z0.975 = 1.95

95.52 15

(70.739 , 80.58) Concluimos con una confianza del 95% que el peso promedio de los hombres escogidos al azar esta entre 70.73 y 80.58 8. Se obtiene una muesra de 16 estudiantes con una media = 68 y una varianza de 𝑠 2 = 9 en un examen de estadística suponga que las calificaciones tienen una distribución normal y determine un intervalo del 98% de confianza para 𝑠 2 . n=16

𝑆 2 =9

=68

Intervalo de confianza=98 (𝑛−1)𝑆 2

[

𝛼 𝑋2 2

15(9) 30.57

[

,

,

(𝑛−1)𝑆 2 𝑋 2 1−

15(9) 5.23

𝛼 2

]

]= (4.41 , 25.81)

𝛼

𝑋 2 1 − 2 , 𝑛 − 1 = 𝑥 2 0.99,15=30.57 𝑋2

𝑥 2

, 𝑛 − 1 = 𝑥 2 0.01,15=5.23

Con una confianza del 98% se estima a que ^2 Esta entre 4.41 y 25.81.

18. Una compañía tiene 2 departamentos que producen el mismo producto. Se tiene la sensación de que las producciones por hora son diferentes en los dos departamentos. Al tomar una muestra aleatoria de 2 horas de producción en cada departamento se obtuvieron los datos siguientes. departamento 1 n1 = 64 = 100 unidades

tamaño de muestra media muestral

departamento 2 n2 = 49 2 = 90 unidades

Se sabe que las varianzas de las producciones por hora son 2 = 256 22 = 196 para los dos departamentos respectivamente. Obtenga e interprete un intervalo del 95% para la verdadera diferencia de producción media, que puede decirse de las sospecha que existe acerca de la diferencia entre la producción promedio. Intervalo de confianza del 95% n1 = 64 1 = 100 1^2 = 200 n2 = 49 2 = 90 2 ^2 = 175. Como las varianzas poblacionales son conocidas. 𝛼 ( 1 - 2)  Z1 - √ 2

2

2

1 + 𝑛1

1 𝑛2

256

196 49

(100 +90)  1.95 √ 64 +

𝛼 2

Z1 - =Z0.975= 1.95

(4.48 , 15.51) Como el cero no pertenece al intervalo entonces las medias poblacionales son distintas y entonces lo que sospecha la compañía acerca de la producción promedio es cierta, siendo que el departamento 1 su promedio en producción es mayor, esto por el intervalo positivo. TALLER ESTADISTICA INFERENCIAL PRUEBAS DE HIPOTESIS

9.25 Un fabricante de dulces de chocolate utiliza máquinas para empacarlos dulces conforme se mueven a lo largo de una línea de llenado. Aunque los paquetes tienen etiquetas de 8 onzas, la empresa desea que los empaques contengan una media de 8.17 onzas de manera que prácticamente ninguno de los empaques contengan menos de 8 onzas. Se selecciona periódicamente una muestra de 50, y si existe evidencia de que la cantidad media empacada difiere de 8.17 onzas, el proceso de empaque se detiene. Suponga que en una muestra especifica de 50 paquetes, la cantidad media distribuida es de 8.159 onzas con una desviación estándar muestral de 0.051 onzas. a) ¿existe evidencia de que la cantidad media poblacional sea diferente de 8.17 onzas? (utilice un nivel de significancia de 0.05) b) Determine el valor p e interprete su significado.

1. datos variable: X= empacar dulces como se mueven en una forma de llenado Estadísticas media y varianza muéstrales 2. supuestos: Varianza poblacional desconocida Tamaño de muestra n=50 (muestra grande) Parámetro para juzgar µ, media poblacional 3. Sistema de hipótesis 𝐻𝑜: µ = 8.17 { } 𝐻𝑎: µ  8.17 4. Estadística de prueba EP= (  µ ) /(S/√𝑛) ∼ n-1 EP=

8.159−8.17 0.051 √50

= -1.52

𝛼 = 0.5% n=5 1=12 2=14.6 S12 = 8.5 S22 = 2.8 𝐻𝑜: µ1 = µ2 { } 𝐻𝑎: µ1  µ2 𝛼 = 0.05 t 0.025,8= -2.30 t 0.975,8= 2.30 EP=(( 1- 2)-(µ1-µ2))/( √

𝑆2 𝑃 n1

+

𝑆2 𝑃 ) n2

𝑠 2 p=(4(8.5+4(2.8))/8= 5.65 5.65 5.65 5 5

EP= (12-14.6)/√

= −1.09

Como EP > -2.30 EP está en la región de no rechazo, entonces se aceptan 𝐻𝑜, es decir las medidas poblacionales son iguales 5. Test o regla de decisión: Com 𝛼 = 0.025 se tiene

𝑡0.975,49 en R: t(0.975) = 2.0095

t=49

𝑡0.975,49 9.26 una tienda de regalos desea estimar el valor medido al detalle de tarjetas de felicitación incluidas en su inventario. Una muestra aleatoria de 100 tarjetas de felicitación indica un valor medio de $ 2.55 y una desviación estándar de $ 0.44 a)¿ existe una evidencia de que el valor medio al detalle poblacional de las tarjetas de felicitación sea diferente de $2.50? (utilice un nivel de significancia de 0.05) b) determine el valor p e interprete su significado. n=100 = 2.55 s= 0.44 Datos: Estadísticas media y varianza poblacional. Supuestos: Varianza poblacional desconocida. Tamaño de muestra grande: n=100 Sistema de hipótesis 𝐻𝑜: µ = 2.50 { } 𝐻𝑎: µ  2.50 EP= ( -µ)/(S/√𝑛) ∼ n-1 EP = 2.55-250/(0.44/√100) = 1.13

𝛼

Como EP < t1 2 : 𝑛 − 1 ya que 1.13<1.9842 y EP cae en la región de no rechazo se acepta 𝐻𝑜 y no hay evidencia estadística que µ  2.50.

Usando p - valor 𝛼 (1-P(x≥1.12))*2 en R [1-Pt(1.13,99)]*2 = 0.2612 Como p- valor < t12 : 𝑛 − 1 es decir 0.2612 <1.9842 evidencia para aceptar 𝐻𝑜, x 9.31 Una de las principales medidas de la calidad del servicio que ofrece una organización es la rapidez con la que responde a las quejas de los clientes. Una gran tienda departamental, propiedad de una familia, que vende muebles y recubrimientos para pisos, incluyendo alfombras, ha tenido una gran expansión en los últimos años. En particular el departamento del recubrimiento para pisos se amplió dos grupos de instaladores a un supervisor de instalaciones,

un medidor 15 grupos de instalaciones. Uno de los objetivos administrativos de la empresa era reducir su tiempo de respuesta a las quejas. La variable de interés ser definió como el número de días transcurridos entre la recepción de la queja y su resolución. Se reunieron datos de 50 quejas presentadas en el año anterior. Los datos están almacenados en archivo y son los siguientes.

a) El supervisor de instalaciones afirma que el número medio de días que transcurre entre la recepción de una queja y su resolución es de 20 días. Con un nivel de significancia de 0.05. ¿existe una evidencia de que la afirmación no sea verdadera, es decir que el número medio de días difiera de 20? b) ¿ qué suposición acerca de la distribución poblacional de debe hacer para realizar la prueba t en el inciso a? c) Construya un diagrama de caja o una gráfica de probabilidad normal para suposición hecha en 54 11 12 13 33

5 35 137 31 27 152 19 126 110 110 29 61 4 165 32 29 28 29 10 5 27 4 52 30 68 inciso b d) Cree que la suposición necesaria para realizar una respuesta.

2 35 26 22

123 94 25 36

81 31 1 26

74 26 14 20

27 5 13 23

prueba t en a es válida justifique su

Datos. Variable: x= dias transcurridos entre la recepción de la queja y la resolución. Sistema de hipótesis 𝐻𝑜: µ = 20 { } 𝐻𝑎: µ  20 EP= ( -µ)/(S/√𝑛) ∼ n-1 EP= 43.04-20/(√1757.794/50) = 3.8858 Como EP > t0.9775,49 ya que 3.8859 > 2.009575 hay evidencia estadística para rechazar 𝐻𝑜. Es decir que acepta 𝐻𝑎 que es el número de días difiera de 20.

Como no se conoce la varianza poblacional utilizamos la estadística 𝑆 2 que es la varianza muestral que se halla con los datos y así utilizaremos una t1 𝑛 − 1 grado de libertad.

9.35 aunque muchas personas piensan que pueden colocar el alimento sobre la mesa en un periodo cortó, un artículo reporto que en realidad tardan alrededor de 40 minutos en hacerlo. (Datos extraídos de N. Heimlich. Suponga que se realiza otro estudio para probar la validez de esta afirmación. Se selecciona una muestra de 25 personas y se registra el tiempo que tardan en preparar y cocinar la comida (en minutos) con los siguientes resultados 44,0 51,9 49,7 40 55,5 33,0 41,3 45,2 40,7 41,1 49,1 30,9 45,2 55,3 52,1 55,1 38,8 43,1 39,2 58,6 49,2 47,9 46,6 a. Existe evidencia de que el tiempo medio poblacional requerido para preparar y cocinar alimentos difiere de 40 minutos? Utilice el método de valor p y un nivel de significancia de 0.05 b. Que suposición acerca de la distribución poblacional debe hacer para realizar la prueba t en a R que la distribución poblacional no esta distribuida normalmente por lo tanto la media muestral tampoco c. Elabore una lista de diversas formas en que se puede evaluar la suposición hecha en el inciso b Analizar la muestra presenta si es lo suficiente significativa para hacer la suposición t. d. Evalue la suposición hecha en el inciso b y determine si la prueba t en el inciso a es valida

Estadísticos descriptivos

diastrans N. valido ( por lista)

N

Minimo

Maximo

media

Desviacion estandar

25

31

59

45,4680

7,04312

25

𝐻𝑜: µ = 40 𝐻1: 40 𝛼 = 0.05 El estadístico de pruebas de hipótesis es t0 =45.46 S=7.043 n=25 -2.064≤µ≤2.064 t0=3.8761

La hipótesis nula es rechazada debido a que el numero del intervalo es mayor a 2.064 por lo cual se encuentra en la cola de rechazo

10.27 una cadena de comida rápida construirá un nuevo establecimiento en una localidad propuesta solo si, durante ciertas horas, pasan por ella más de 200 automóviles por hora. En 20 horas aleatoriamente muestreadas durante el horario estipulado, el mismo promedio de autos que pasan por la localidad es = 208.5 con x=30.0, se supone que la población estadística es aproximadamente normal. La dirección de la cadena adopto conservadoramente la hipótesis alternativa H, : µ> 200.0 puede rechazarse la hipótesis nula al nivel de significancia de 5% Resp NO Supongamos que los resultados muestrales del problema 10.27 se basan en una muestra de n = 50 horas.¡ puede rechazarse la hipótesis nula al nivel de significancia de 5% = 208.5

S=30

n=20

𝐻𝑜: µ = 200 { } 𝐻𝑎: µ  200 EP= ( -µ)/(S/√𝑛) ∼ n-1 EP= (208.5-200)/(30/√20) = 1.267 𝛼 = 0.05

Como EP cae en la región de no rechazo entonces no se puede rechazar la hipótesis nula. 10.28 n=50 EP= (208.5-200)/(30/√50) = 2.003 t0.975,44= 2.00 Como EP es > 2.00 entonces EP esta en la región de rechazo, se conluye que se rechaza la 𝐻𝑜. 10.29 el monto medio de ventas por establecimiento detallista de cierto producto de consumo durante el ultinmo año determina en = $3 425 en una muestra de n = 25 establecimientos. Con

base en datos de ventas de productos similares, se supone que se aseguro que el monto real de ventas es normal y que la desviación estándar de la población es = $ 200. Supongamos que se aseguro que el monto real de ventas por estableciomiento es de almenos $ 3 500. Pruebe este argumento al nivel de significancia de a. de 5% y b. de 1% Resp. A. se rechaza 𝐻𝑜 B. SE ACEPTA 𝐻𝑜 = 3.425

n=25

=200

𝐻𝑜: µ ≤ 3500 { } 𝐻𝑎: > 3500 a. 𝛼 = 5% EP= ( -µ)/( /√𝑛) ∼ (0,1) EP= 3425-3500/(200//√25)= -1.875

Como EP es > -1.95 y cae en la región de no rechazo entonces se acepta 𝐻𝑜. b.

𝛼 = 0.01 𝛼 Z1-2 =Z0.995= 2.57 Como EP es igual a -1.87 > -2.57 y cae en la región de no rechazo entonces no se rechaza 𝐻𝑜.

10.31 el fabricante de un auto compacto sostiene que este promediara al menos 35 millas por galon en carreteras normales. En 40 corridas de prueba, el auto promedio 34.5 por galon, con una desviación estándar de 2.3 millas por galon. Puede rechazarse la afirmación del fabricante al nivel de 5% n=40

= 34.5

S=2.3

𝐻𝑜: µ ≤ 35 { } 𝐻𝑎: > 35 EP= ( -µ)/(S/√𝑛)= (34.5-35)/(2.3/√40)= -1.77 t0.975,39=2.02 t0.025,39=-2.02 Como EP > -2.02 Y EP cae en la región de no rechazo entonces no se puede rechazar.

10.33 un analista de un departamento de personal selecciona aleatoriamente los expedientes de 16 empleados por hora y determina que el índice salarial medio es = $ 9.50, con una desviación estándar de s= $ 1.0, se supone que los índices salariales de la empresa, tienen una distribución normal. Pruebe la hipótesis nula 𝐻𝑜 = µ = $ 10.00 con un nivel de significancia de 10%. Resp. Se rechaza 𝐻𝑜 n=16 EP:

=9.50

9.5−10 1 √16

S=1

= -2

𝐻𝑜: µ = 10 𝐻𝑎: µ  10 𝛼 = 0.1

Z0.05 = -1.64

Como EP< -1.64 EP caen en la región de rechazo por lo cual se rechaza 𝐻𝑜. 10.34 una muestra aleatoria de 30 empleadas, del nivel secretarial 2 de una empresa se somete a un examen estandarizado de procesamientos de texto. Los resultados muéstrales son = 63.0ppm (palabras por minuto), con s= 5.0ppm. pruebe la hipótesis nula de que, en general, los operadores de procesamiento de texto no exceden una velocidad de teclado de 60ppm, con un nivel de significancia de 1% Resp. Se rechaza 𝐻𝑜. n=30

= 63

S=5

𝛼 = 0.01

𝐻𝑜: µ = 60 𝐻𝑎: µ > 60 EP:

63−60 5 √30

= 3.28

t0.995.29 = 1.69

Como EP > que 1.69 entonces hay evidencia para rechazar 𝐻𝑜 ya que EP cae en la región de rechazo. 11.22 En una muestra de 30 empleados de una gran empresa, el salario promedio por hora es = $ 9.50 con 𝑠1 = $ 1.00 en una segunda gran empresa, el salario medio por hora de una muestra de 40 empleados es 2 = 9.05, con 𝑠2= $ 1.20 pruebe la hipótesis de que no existe diferencia entre el índice salaria promedio entre las dos empresas con un nivel de significancia de 5% y sobre el supuesto de que las varianzas de las dos poblaciones no son necesariamente iguales. Resp. Se acepta 𝐻𝑜. 1 = 9.50 S1 = 1 n1= 30

2 = 9.05 S2 = 1.2 n2= 40

𝛼 = 0.05 𝐻𝑜: µ1 − µ2 = 0 𝐻𝑎: µ1 − µ2  0 Como las varianzas poblacionales son desconocidas vamos a ver si son iguales o diferentes. Cociente de varianzas muéstrales 𝑆22

𝑆22

1.2

1.2

(𝑓0.975,39,39(𝑆12 ) , 𝑓0.025,39,29(𝑆12 ) ) = (1 (2.3) , 1 (0.50) ) = (0.59 , 2.4) Como el uno pertenece entonces entonces las varianzas son iguales. EP=

( X1−X2 )−(µ1−µ2) 2 2 √𝑆 P+ 𝑆 P 𝑛1

EP=

𝑆2𝑃 =

29 (12 )+39(1.2)2 68

=1.25

𝑛2

( 9.50−9.05)−0 1.25 1.25 + 30 40

√

EP= 1.63 a) t1−

𝛼 , 2

𝑛1 + 𝑛2 − 2 , t0.975,68 = 1.99

Como EP es menor que 1.99 entonces no se rechaza 𝐻𝑜, se acepta. 11.24 una muestra aleatoria de a 𝑛= 10 vendedores es destinada a un sistema de incentivos, mientras que una muestra aleatoria de 𝑛2 = 10 vendedores distintos es destinada a un segundo sistema de incentivos durante el periodo. Ho: (µ1-µ2)=0 Ha: (µ1-µ2)0 n1=10

n2=10

1=5000

2=4600

S1=1200

S2=1000

𝛼

t0 >t2 : 𝑛1+ n 2 - 2 =18 t0=

( 5000−4600 )−0 1 10

1104.53√ +

1 10

= 0.8097

(10−1)12002+(10−1)10002

SP= √

18

= 1104.53

La hipótesis es aceptada debido a que -2.101 < que 0.8097 < 2.101 11.30 con base en las especificaciones provistas por el diseñador del proceso, se formula la hipótesis de que la desviación estándar de diámetros de fundición no es mayor de 3.0 mm. En una muestra de n= a 12 fundiciones la desviación estándar muestral es s= a 4.2 mm. Se supone que la distribución de los diámetros es normal puede rechazarse la hipótesis nula de que la desviación estándar real no es mayor que 3.0 mm al nivel de significancia de a 5% y b 1%

Resp. a) si b) no. n=12

S=42

Ho: ≤ 30

EP=

(𝑛−1)𝑆 2 2

=

11(4.2)2 302

= 0.021

Ha: > 30 𝛼 = 0.05

𝑋 2 0.975,11 = 21.92 𝑋 2 0.025,11 = 3.81

Como EP < que 3.81 entonces se rechaza Ho n=12

S=42

Ho: ≤ 30

EP=

(𝑛−1)𝑆 2 2

=

11(4.2)2 302

= 0.021

Ha: > 30 𝛼 = 0.01

𝑋 2 0.995,11 = 26.75 𝑋 2 0.025,11 = 3.81

Ejercicios 9.2 1. Una fabrica de pilas garantiza que su producto tiene una vida media de 1000 horas y una desviación estándar de 50 pruebe la hipótesis de que µ es igual a 1000 en contra posición de la alterna µ,  de 1000 horas. Si una muestra aleatoria de 30 baterias tiene una duración promedio de 950 horas utilice 𝛼 = 5% µ=1000

=50 n=30

= 950

𝛼 = 0.05

𝐻𝑜: µ = 1000 { } 𝐻𝑎: µ  1000 EP= ( -µ)/( /√𝑛)= (950-1000)/(50/√30)= -5.4 Z𝑜.0.25=-1.95 Z𝑜.975=1.95 Como EP < -1.95 cae en la región de rechazo, entonces se rechaza 𝐻𝑜 por tanto se acepta 𝐻𝑎 es decir µ  1000. 3. los siguientes datos representan el contenido de grasa en los curpos de 10 hombres: 4.22, 3.99, 5.41, 4.23, 4.29, 4.62, 4.55, 4. 13, 4.23, 4.48 evidencian estos datos que el contenido promedio de grasa en los hombres es menor de 4.464, considere 𝛼 = 5% y tome una = 0.4 calcule el valor p. Estadísticos descriptivos

N grasahombre 10 N. valido ( por lista) 10

Minimo 3,99

Maximo 5,41

media 4,4150

Desviacion estandar 0,39978

Ho: µ < 4.464 Ha: µ 4.464 =4.4150 n=10 = 0.3997 Significancia de 0.05 t0.-1.833 4.4150 − 4.4150 = −0.3876 0.3997 √10

La hipótesis nula es aceptada puesto que -1.833<-0.3876

4. Se espera que dos operarios produzcan en promedio el mismo numero de unidades terminadas en el mismo tiempo. Los siguientes datos dan los números de las unidades terminadas para ambos trabajadores en una semana de trabajo operador 1 operador 2 10 12 9 16 16 16 14 15 11 14 Si supone que le número de unidades diariamente por los trabajadores son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con varianzas iguales, ¿puede concluirse alguna diferencia entre las medias? Tome 𝛼 = 5%. 𝛼=0.05 EP=

n=5

( X1−X2 )−(µ1−µ2) 2 2 √𝑆 P+ 𝑆 P 𝑛1

𝑛2

𝐻𝑜: µ1 = µ2 { } 𝐻𝑎: µ1 µ2 t0.025,8= -2.30 t0.975,8= 2.30

1 =12

2 =14.6

𝑆 2 1= 8.5

𝑆 2 2= 2.8

8. los siguientes datos son los tiempos que tardan dos grupos de estudiantes para responder un examen de estadística Grupo

Tiempo mínimo 1 100 2 79

84 163

96 95

107 132

89 91

85

Considere que se trata de poblaciones normales de igual varianza y pruebe que el tiempo de duración promedio para responder el examen del grupo 1 es mayor que el promedio del grupo 2 tome 𝛼 = 2%. 𝐻𝑜: (µ1 − µ2) > 0 { } 𝐻𝑎: (µ1 − µ2) ≤ 0 µ1 = 95.2 12 = 9.038 V=5+6-2=9

µ2 = 107.2 22 = 32.94

𝛼 = 0.02 t0=

( 92.25−107.2 )−0 1 5

25.28√ +

1 6

= -0.78

(5−1)9.0382 +(6−1)32.942

SP= √

9

= 25.28

La hipótesis nula es aceptada debido a que -0.78 > -2.821 9. El tiempo de recuperación fue observado para pacientes asignados al azar y sometidos a dos tipos de procedimientos quirúrgicos los datos en día son los siguientes. Procedimiento 1 Procedimiento 2 n1 =21 n2 =23 =7,3 2 = 8,9 S^21=1,23 S^22=1,49 a) b)

Calcule e interprete un intervalo del 90% de confianza para la diferencia entre las medias Evidencian estos datos una igualdad entre las medias.

n1 =21 =7,3 𝑆 2 1=1,23

n2 =23 2 = 8,9 𝑆 2 2=1,49

𝛼

t1 2 : 𝑛1+ n 2 - 2 =t0.9522=1.71 20(1.23)+22(1.49) 42

𝑆 2 P=

= 1.39 𝑆2P

(7.3 – 8.9)  t0.9522 √ 21 +

𝑆2P 23

b) (-2.20 , -0.99) No hay evidencia ya que no está 0 en este intervalo. a) Se concluye que µ2 es más grande que µ1 por los valores negativos del intervalo. 11. Durante un periodo de 15 días se tomaron los tiempos gastados por dos estudiantes para trasportase de sus casas a la universidad. Las medias y varianzas fueron: 1 =40.33 2 = 42.54

𝑆 2 1= 1.53 𝑆 2 2= 2.96

A. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias B. De acuerdo con el intervalo hallado que puede decirse de la igualdad de las medias C. Calcule e interprete un intervalo del 90% de confianza para el verdadero cociente de varianzas. D. De acuerdo con el intervalo hallado que puede decirse de la igualdad entre las varianzas poblacionales. 1 =40.33 2 = 42.54

𝑆 2 1= 1.53 𝑆 2 2= 2.96

n=15 b) t1−

𝛼 , 2

𝑛1 + 𝑛2 − 2 = t0.975,28 = 2.04

𝑆2𝑃 =

14(1.53) + (14)(2.96) = 2.245 28 2.245 2.245 + 15 15

(40.33 – 42.54)  2.04√ (-3.32 , -1.09)

b) Que no son iguales ya que el 0 no pertenece a ese intervalo y que µ2 es mas grande que µ1. c) Intervalo de confianza= 90% 𝛼

f 2 , n1, n2-2 = f0.05,15,15 =0.41 f1 −

𝛼 2

, n1, n2-2 = f0.95,15,15 =2.40

(

𝑆22 𝑆 22 2.96 2.96 , 𝛼 2 𝛼 2 ) = ((2.40)(1.53) , (0.41)(1.53) ) 𝑓1 − 2 𝑆 1 𝑓 2 𝑆 1 (0.8 , 4.71).

d) Las varianzas son iguales ya que el 1 pertenece al intervalo. 14. se conduce una prueba sobre la potencia de fricción producida por ciertas maquinas lubricadas con dos aceites comerciales. Los resultados fueron: Marca 1 Marca 2 𝑛1 = 9 𝑛2 = 11 1 =10.4. 2 =14.1 2 2 𝑆 1= 1.00 𝑆 2= 0.9 Considere que se trata de poblaciones normales con igual varianza. ¿evidencian estos datos que las potencias promedio son iguales? 𝛼 = 2% 17. Suponga que se alimentan dos grupos de gallinas, compuestos por 100 gallinas cada uno y que todos los factores excepto los alimentos son iguales para los dos grupos la mortalidad para cada grupo fue la siguiente: Gallinas

alimento a

n número de muertes n=100 X 1 = 20

((

1-

100 20

100 15

n=100 X 2 = 15

20 100

1=

alimento b

= 0.2

15 =0.15 100

2

𝛼 2)  Z1 - 2 √

1 1 n1

+

2 2 ) n2

𝛼

Z1 - 2 = Z0.99= 2.32

(0.2)(0.8) (0.15) (0.85) + ) 100 100

((0.2-0.15)  2.32 √ (-0.07 , 0.17)

Si hay evidencia con una confianza del 98% se estima que la diferencia de proporciones es igual al 0 ya que lo incluye en el intervalo, es decir: P1 –P2 = 0 y es porque P1 es igual a P2; entonces si hay igualdad en las dos proporciones.