Teorema Del Cambio De Variable Para Integrales Dobles

TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE PARA INTEGRALES DOBLES DEFINICIÓN: Se dice que la transformación T : E ⊂ R2 → D ⊂R 2 (u , v )⟼( x , y)

Es de clase C1, si T es continua con derivadas parciales de primer orden continuas.

TEOREMA 1 Sea

2

T : E⊂ R → D ⊂R

2

una transformación de C1,

(u , v )⟼( x (u , v) , y (u , v))

definida por T ( x , y ) =( x (u , v ) , y ( u , v)) para todo ( u , v ) ∈ E y para todo ( x , y ) ∈ D , donde E y D son regiones cerradas en R2 con JACOBIANO NO NULO, es decir:

| |

∂x ∂ ( x , y ) ∂u J (u , v ) = = ∂ (u , v ) ∂ y ∂u

Si

f : D ⊂ R2 → R

f ∘T : E ⊂ R 2 → R ❑

❑

D

E

∂x ∂v ≠0 ∂y ∂v

es una función integrable en D, entonces la función es integrable sobre el conjunto E y

∬ f ( x , y ) dA=∬ f ( x ( u , v ) , y (u , v))|J (u , v)|du dv Ejemplo: ❑

Calcular

∬ D

1 dA donde la región D es el triángulo cuyos √( x − y) +2 ( x+ y )+1 2

vértices son: A(0,0); B(3,0) Y C(3;3). Paso 1 En primer lugar graficaremos la región D.

Paso 2 Como f(x,y) directamente no se puede integrar, conviene hacer el siguiente arreglo (transformación).

{

T = u=x− y v=x + y

La imagen de la región D la podemos graficar haciendo la siguiente correspondencia biunívoca: (x,y) (u,v) (0,0 (0,0 ) ) (3,0 (3,3 ) ) (3,3 (0,6 ) ) (0,0 (0,0 ) ) Asi obtenemos la gráfica de la nueva región E = T(D).

Paso 3 Para integrar sobre la nueva región E se necesita el JACOBIANO J(u,v). Para ello despejaremos X e Y del sistema. y {u=x− v=x + y

{

1 x= (u+ v) 2 1 y= (v−u) 2

Luego:

| ||

∂x J (u , v ) = ∂ u ∂y ∂u

∂x ∂ v = 1 /2 1/2 =1/2 ∂ y −1/2 1/2 ∂v

|

Paso 4 Finalmente la nueva integral doble será:

❑

❑

D

E

∬ f ( x , y ) dA=∬ f ( x ( u , v ) , y (u , v))|J (u , v)|dv du 3 6−u

¿∫ ∫ 0

u

3

¿

1 ∫ 2 0 3

1 1 dv du √(u) +2 ( v )+1 2 2

[∫ √ 6−u

u

1 2

(u) +2 ( v )+1

[

]

dv du

]

1 /2 1 1 ¿ ∫ 2(u2 +2 v +1) v=6−u du 2 0 2 ¿ v=u 3

1 ¿ ∫ [ √u 2−2 u+13−(u+1) ] du 2 0 3

¿

1 ∫ [ √u 2−2 u+13−(u+1)] du 2 0

¿

1 ∫ [ √u 2−2 u+13−(u+1)] du 2 0

3

3

1 ¿ ∫ [ √(u−1)2 +12−(u+1) ] du 2 0 2 √13 3 2 1 7 (¿)+ √13− 2 2 (¿)+ 12 ln ¿ (¿−2)+ 6 ln ¿ −6 ln ¿ 1 ¿ ¿ 2

INTEGRALES DOBLES EN POLARES

TEOREMA 2 Sea

2

T : E⊂ R → D ⊂R

2

una transformación de C1,

(r , θ)⟼( x (r , θ) , y ( r , θ))

definida por

=r cos θ {xy=r sin θ

con JACOBIANO Si

2

f :D⊂R →R 2

f ∘T : E ⊂ R → R ❑

❑

D

E

0 ≤ r ≤+ ∝

con α ≤ θ ≤ α+2 π

| ||

∂x ( ) ∂ x, y J ( r ,θ )= = ∂r ∂ (r , θ) ∂ y ∂r

es integrable sobre el conjunto E y

Ejemplo: ❑

n

∬ ( x2 + y 2 ) dA D

Donde D en el disco circular 2

|

es una función integrable en D, entonces la función

∬ f ( x , y ) dA=∬ f ( x ( r ,θ ) , y (r , θ)) r dr dθ

Calcular

∂x ∂ θ = cos θ −rsin θ =r ∂ y sinθ rcos θ ∂θ

2

x + y ≤ 9, n> 0

Paso 1 Graficar la región D.

Paso 2 Cuando la región D es circular y cuando la función integrando n 2 2 f ( x , y ) =( x 2+ y 2) tiene la suma de los números ( x + y ) , se aplica las coordenadas polares. Siga el orden siguiente: 1° Escribir la transformación polar =r cos θ {xy=r sin θ

2° Escribir el JACOBIANO J=r. 3° Convertir las fronteras de la región D en ecuación polar. La frontera: x 2+ y 2 =9 se convierte en: 2

r =9

r=3

Ecuación polar de la circunferencia x 2+ y 2 =9 4°escribir la nueva región polar E: E= {(r , θ)/0 ≤r ≤ 3 ; 0≤ θ ≤ 2 π }

Paso 3 Hacer el cálculo de la integral doble en coordenadas polares: ❑

❑

n

n

∬ ( x2 + y 2 ) dA=∬ ( r 2 ) r dr dθ D

D

2π 3

¿ ∫ ∫ r 2 n+1 dr dθ 0

2π

¿∫ 0

0

[ ] 2n +2

r r=3 dθ 2n+2 ¿ r=0 2(n+1 ) 2 π

1 ¿ 3 2(n+1)

∫ dθ 0

2(n +1)

¿

1 3 n+ 1

π