Texto Electromagnetismo Ii-2019.pdf

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CARRERA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

TEXTO DE ELECTROMAGNETISMO

ING. GERARDO GUZMÁN ALANES

COCHABAMBA-BOLIVIA SEPTIEMBRE 2018

1

FICHA RESUMEN

Al no haber un texto base, exclusivo de la Asignatura Electromagnetismo, de la Carrera de Ingeniería Eléctrica y Electrónica se ha visto por conveniente editar este texto como contenido base de la asignatura considerando el contenido mínimo del plan de estudios de las carreras en las que se imparte la asignatura electromagnetismo. El objetivo principal de este documento es nutrir el nivel de conocimiento del estudiante ya que esta materia es fundamental para el análisis y la aplicación en las distintas áreas de ingeniería eléctrica y electrónica. El documento facilita el estudio de las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío y en regiones materiales junto a sus condiciones de frontera, como también campos electrostáticos y magnetostáticos respectivamente estáticos y cuasiestáticos. Además los enfoques usuales a través de energía y voltaje como la capacitancia, inductancia, conductancia, auto inductancia y las inductancias mutuas y por último la aplicación de teorema de poynting con relación a la energía y potencia electromagnética. Toda esta edición fue extraditada y centrada a base de la siguiente bibliografia; Teoría Electromagnética, Campos y Ondas. Carl T. A. Johnk (Editorial Limusa), Teoría electromagnética, William H. Hayt, Jr., John A. Buck (McGraw-Hill) 2012 octava edición, Interacción Electromagnética, Teoría Clásica, J Costa Quintana, F. López Aguilar (REVERTE S.A.) 2007, Electricidad y Magnetismo, Raymond A. Serway (McGraw-Hill) 1997 cuarta edición.

II

ÍNDICE 1. ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO 1 1.1.

Campos escalares y vectoriales ..................................................................................... 1

1.2.

Sumas vectoriales ......................................................................................................... 2

1.3.

Sistemas de coordenadas .............................................................................................. 3

1.4.

Elementos diferenciales de espacio............................................................................... 4

1.5.

Vector de posición ........................................................................................................ 5

1.6.

Productos escalares y vectorial de vectores .................................................................. 5

1.7.

Cargas eléctricas, corrientes y sus densidades .............................................................. 7

1.8.

Campos eléctricos y magnéticos en función de sus fuerzas ........................................ 11

1.9.

Ecuaciones de maxwell en su forma integral para el espacio vacío ............................ 12

1.9.1.

Ley de Gauss para campos eléctricos en el espacio vacío ....................................... 13

1.9.2.

Ley Circuital de Ampere en el espacio vacío .......................................................... 18

1.9.3.

Ley Faraday ............................................................................................................ 22

1.9.4.

Ley de Gauss para los campos magnéticos ............................................................. 28

PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................... 29 PROBLEMAS PLANTEADOS................................................................................................ 33 2. ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO ...................................................................................... 35 2.1.

Diferenciación de los campos vectoriales ................................................................... 35

2.2.

Gradiente de una función escalar ................................................................................ 36

2.3.

El operador 𝛁 (Del) .................................................................................................... 39

2.4.

Divergencia de una función vectorial ......................................................................... 40

2.4.1.

Teorema de la divergencia ...................................................................................... 44

2.4.2.

Relaciones de divergencia de Maxwell para campos eléctricos y magnéticos ........ 46

III

2.5.

Rotacional de un campo vectorial ............................................................................... 47

2.5.1.

Teorema de Stokes.................................................................................................. 52

2.5.2.

Relaciones del rotacional de Maxwell para campos eléctricos y magnéticos .......... 55

2.6.

Resumen de las ecuaciones de Maxwell: formas compleja y armónica en el tiempo .. 57

2.7.

Operadores Laplaciano y rotacional rotacional ........................................................... 59

2.8.

Ecuaciones de onda para campos eléctricos y magnéticos en el espacio vacío ........... 62

2.9.

Ondas planas uniformes en el espacio vacío ............................................................... 65

EJERCICIOS RESUELTOS ..................................................................................................... 73 EJERCICIOS PLANTEADOS ................................................................................................. 76 3. ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO ..................................................................................... 77 3.1.

Conductividad eléctrica de los metales ....................................................................... 77

3.2.

Polarización eléctrica y div D para los materiales ...................................................... 81

3.2.1.

Densidad de corriente en la polarización dieléctrica ............................................... 87

3.2.2.

Forma integral de la ley de Gauss para los materiales ............................................ 88

3.2.3.

Condiciones de frontera espacial para D y P normales ........................................... 88

3.3.

Div B; su forma integral y condición de frontera para B normal ................................ 93

3.4.

Polarización magnética y rot de H para los materiales ................................................ 94

3.4.1.

Forma integral de la ley de Ampere para los materiales ....................................... 102

3.4.2.

Condiciones de frontera para H y M tangenciales................................................. 103

3.4.3.

La naturaleza de los materiales magnéticos .......................................................... 109

3.5.

Rot E de Maxwell, su forma integral y condición de frontera para E tangencial ...... 115

3.6.

Ondas planas uniformes en una región conductora no limitada ................................ 118

3.7.

Clasificación de los medios conductores .................................................................. 128

3.8.

Linealidad, homogeneidad e isotropía en los materiales ........................................... 133

IV

3.8.1.

Linealidad y no linealidad en los materiales ......................................................... 134

3.8.2.

Isotropía y anisotropía en los materiales ............................................................... 134

3.8.3.

Homogeneidad e inhomogeneidad en los materiales ............................................ 137

PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................. 137 PROBLEMAS PLANTEADOS.............................................................................................. 139 4.

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS ..................................... 141 4.1.

Ecuaciones de Maxwell para campos eléctricos estáticos ......................................... 141

4-2. Campos eléctricos estáticos para conjuntos de cargas fijas en el espacio vacío. .............. 142 4.3. Conservación de la carga eléctrica ................................................................................... 146 4.4.

Potencial electrostático escalar ................................................................................. 149

4.4.1.

Potencial 𝚽 de una densidad de carga conocida en el espacio vacío .................... 149

4.4.2.

𝚽 potencial obtenido de una integral de línea de E............................................... 150

4.5.

Capacitancia ............................................................................................................. 156

4.6.

Energía del campo electrostático .............................................................................. 159

4.7.

Ecuaciones de Poisson y Laplace ............................................................................. 165

4.8.

Principio de Unicidad de las soluciones de campo electrostático ............................. 168

4.9.

Métodos de imágenes ............................................................................................... 171

4.10.

Condiciones generales de frontera para D y J normales. ........................................... 178

4.11.

Analogía entre la conductancia y la capacitancia ...................................................... 183

4.11.1.

Analogía capacitancia-conductancia y mapeo de campos ................................. 187

4.11.2.

Resistencia a CD o de baja frecuencia de conductores delgados ....................... 191

4.12.

Fuerzas y torsiones electrostáticas ............................................................................ 193

PROBLEMAS PLANTEADOS.............................................................................................. 198 5.

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS ................................... 199

V

5.1.

Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera para B estáticos ......................... 199

5.2.

Ley Circuital de Ampére .......................................................................................... 200

5.3.

Circuitos magnéticos ................................................................................................ 204

5.4.

Potencial vectorial magnético ................................................................................... 210

5.5.

Una solución integral para A en el espacio vacío; ley de Biot-Savart ....................... 211

5.6.

Campos electromagnéticos cuasiestáticos ................................................................. 219

5.7.

Voltaje inducido en circuito abierto .......................................................................... 220

5.8.

Fuerza electromotriz y voltaje .................................................................................. 224

5.9.

Fem inducida por el potencial vectorial magnético variable en el tiempo ................. 229

5.10.

Generadores de voltaje y leyes de Kirchhoff ............................................................ 234

5.10.1.

El generador electroquímico ............................................................................. 234

5.10.2.

El generador electromecánico ........................................................................... 239

5.11.

Energía magnética y autoinductancia ....................................................................... 242

5.11.1.

Autoinductancia en términos de A y J .............................................................. 242

5.11.2.

Autoinductancia de un circuito en el espacio vacío .......................................... 247

5.11.3.

Autoinductancia a partir de una integración en todo el espacio ........................ 248

5.11.4.

Autoinductancia por el método de enlace de flujo ............................................ 254

5.11.5.

Fórmula de Neumann para la inductancia externa en el espacio vacío.............. 261

5.11.6.

Relación de voltaje de Kirchhoff a partir de consideraciones de energía .......... 265

5.12.

Circuitos acoplados e inductancia mutua .................................................................. 267

5.13.

Fuerzas y torsiones magnéticas ................................................................................. 279

PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................. 283 PROBLEMAS PLANTEADOS.............................................................................................. 284 6.

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA ......................... 286

VI

6.1.

Teorema de Poynting ................................................................................................ 286

6.2.

Vector y potencia de Poynting promedio en el tiempo ............................................. 296

6.3.

Vector de Poynting promedio y campos armónicos en el tiempo ............................. 301

PROBLEMAS RESUELTOS ................................................................................................. 307 PROBLEMAS PLANTEADOS.............................................................................................. 309

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1. Se muestra ejemplos de campos escalares y vectoriales. ...................................... 1 Figura 1-3. Representaciones gráficas de un vector, vectores iguales, un vector unitario ...... 2 Figura 1-4. Definición gráfica de la suma de dos vectores. ................................................... 2 Figura 1-5. Convenciones de notación adoptadas en los tres sistemas ................................... 3 Figura 1-6. Generación de un elemento de volumen 𝑑𝑣 = 𝑑ℓ1 𝑑ℓ2 𝑑ℓ3 .............................. 4 Figura 1-7. Vector de posición 𝒓, utilizado para definir puntos del espacio, .......................... 5 Figura 1-8. Ilustración del producto cruz o vectorial. ............................................................. 6 Figura 1-9. Geometrías utilizadas para definir. ....................................................................... 8 Figura 1-10. Un campo vectorial F, denotado por un sistema de flechas.. ........................... 10 Figura 1-11. Fuerzas de Lorentz que actúan sobre una carga móvil. .................................... 12 Figura 1-12. Superficie cerrada S en una región que contiene 𝑬 .......................................... 13 Figura 1-13. Distribuciones de cargas estáticas con simetrías .............................................. 14 Figura 1-14. Gráficas de flujo de los campos del ejemplo 1-3. ............................................. 16 Figura 1-15. Campos magnéticos inducidos y la ley de Ampere. ......................................... 18 Figura 1-16. Tres ejemplos de sistemas de corriente directa ................................................. 19 Figura 1-17. Alambre largo, recto que lleva una corriente 𝛪 𝐴 ............................................. 21 Figura 1-18. Dos configuraciones de bobinas ....................................................................... 22 Figura 1-19. Campos eléctricos inducidos y ley de Faraday. ................................................ 23 Figura 1-20. Trayectoria ℓ de integración utilizada para encontrar el campo 𝑬 inducido .... 25 Figura 1-21. Trayectorias cerradas, construidas alrededor de una carga puntiforme ............ 26 Figura 1-22. Aplicaciones de la ley de Faraday (1-25) a dispositivos.. ................................ 27 Figura 1-23. Superficie gaussiana (cerrada), relativa a campos magnéticos. ........................ 29 Figura 2-1. Una función vectorial 𝑭 en el espacio, y su variación 𝛥𝑭 .................................. 35 Figura 2-2. Dos superficies próximas 𝑓 = 𝑓0 y 𝑓 = 𝑓0 + 𝑑𝑓 relativas ............................... 38 Figura 2-3. Un campo vectorial 𝑭 en una región libre de fuentes. ........................................ 41 Figura 2-4. Un elemento de volumen 𝛥𝑣; en el sistema de coordenadas ortogonales .......... 42 Figura 2-5. (𝑎) Un volumen V limitado por 𝑆, con un elemento típico ∆𝑣𝑖 de volumen .... 44 Figura 2-6. Un campo de velocidad en un fluido .................................................................. 48 Figura 2-7. Una línea cerrada ℓ que limita el área desvanecente ∆𝑆1 → 𝑑𝑠 ......................... 49 VII

Figura 2-8. Con relación al 𝒓𝒐𝒕 𝑭 en coordenadas ortogonales generalizadas. .................... 50 Figura 2-9. Con relación al teorema de Stokes. ..................................................................... 53 Figura 2-10. Amplitudes complejas representadas en el plano complejo. ............................ 68 Figura 2-11. Dibujos de campos eléctricos de una onda plana uniforme .............................. 70 Figura 2-12. Gráfica vectorial de los campos de una onda plana uniforme. ......................... 72 Figura 3-1. Una representación de la producción de una componente .................................. 78 Figura 3-2. Efectos de la polarización eléctrica en modelos simples de materiales. ............. 82 Figura 3-3. 𝜌𝒑 = −𝒅𝒊𝒗 𝑷. (a) Campo de polarización P en un elemento de volumen ........ 84 Figura 3-4. Superficie de caja gaussiana construida para obtener la condición de frontera .. 89 Figura 3-5. 𝐷𝑛 continúa en una interacción que separa dieléctricos perfectos. ................... 91 Figura 3-6. Elementos de corrientes atadas en la estructura atómica. ................................... 94 Figura 3-7. Desarrollo de la expresión de torsión para un circuito de corriente ................... 95 Figura 3-8. Constitución del circuito de corriente en un material magnetizable. .................. 97 Figura 3-9. Con relación a 𝑱𝑚 = 𝛻 × 𝑴. (a) Elementos de corrientes ligadas ..................... 99 Figura 3-10. Línea ℓ rectangular cerrada construida para comparar 𝐻𝑡1 y 𝐻𝑡2 ................ 104 Figura 3-11. Los dos casos de la condición de frontera ...................................................... 104 Figura 3-12. Fenómenos de dominio ................................................................................... 111 Figura 3-13. Efectos de magnetización debidos a un campo magnetico aplicado .............. 112 Figura 3-14. Corrientes de reflujo o de Maxwell en conductores ....................................... 114 Figura 3-15. Orientaciones de los momentos de spin de distintos materiales magnéticos .. 115 Figura 3-16. Soluciones atenuadas 𝐸𝑧(𝑧, 𝑡) en una región conductora............................... 122 Figura 3-17. La profundidad de penetración 𝛿 asociada. .................................................... 124 Figura 3-18. Campos viajeros en dirección de las 𝑧 positivas de una onda plana............... 125 Figura 3-19. Onda de 𝑬(𝑧, 𝑡) que muestra los fasores complejos ....................................... 126 Figura 3-20. Permitividad compleja para region conductora y sin pérdidas. ...................... 129 Figura 3-21. Aspectos de la anisotropía en un cristal. ......................................................... 135 Figura 4-1. Ilustración de cantidades que aparecen en la ley de fuerzas de Coulomb. ...... 143 Figura 4-2. Campo electrostático de n cargas discretas....................................................... 143 Figura 4-3. Geometrías relativas a las integrales de campo electrostático. ......................... 145 Figura 4-4. Desarrollo del campo 𝛷 a partir del campo E. ................................................. 151 Figura 4-5. Carga puntual q: gráficas de geometría y equipotenciales. .............................. 154 Figura 4-6. El condensador de dos conductores. ................................................................. 156 Figura 4-7. Dispositivos comunes de capacitancia de 2 conductores.................................. 159 Figura 4-8. Dos pasos en la construcción de un conjunto de n cargas. ............................... 160 Figura 4-9. Configuraciones de superficie cerrada relativas ............................................... 170 Figura 4-10. Tres ejemplos de sistemas de conductores cargados, ..................................... 172 Figura 4-11. Equivalentes de imagen de una carga estática cerca de planos conductores .. 173 Figura 4-12. Sistema de imágenes de cargas de líneas paralelas ......................................... 175 Figura 4-13. Superficies equipotenciales de un sistema de cargas de líneas paralelas........ 176 Figura 4-14. Sistemas conductores bidimensionales. .......................................................... 177 Figura 4-15. Caja gaussiana construida para comparar las componentes normales de 𝑱 .... 178 Figura 4-16. Sistemas análogos de capacitancia y conductancia ........................................ 183 Figura 4-17. Comportamiento de un condensador con pérdidas en el dieléctrico. ............. 186 Figura 4-18. Un sistema bidimensional típico que muestra las cantidades análogas .......... 188 Figura 4-19. Modelos de sistemas bidimensionales conductor o capacitivo ....................... 189 Figura 4-20. Un circuito eléctrico delgado de CD. .............................................................. 191 VIII

Figura 4-21. Dos sistemas electrostáticos de cuerpos conductores y dieléctricos. .............. 195 Figura 5-1. Se muestran caminos cerrados típicos ℓ1, ℓ2 𝑦 ℓ3 ........................................... 201 Figura 5-2. Línea coaxial llenada parcialmente con material magnético. ........................... 202 Figura 5-3. Un toroide de sección transversal rectangular,. ................................................ 203 Figura 5-4. Desarrollo de conceptos de circuito magnético. ............................................... 204 Figura 5-5. Analogías de circuitos magnéticos y eléctricos de CD. .................................... 206 Figura 5-6. Ejemplos de circuitos magnéticos en serie ....................................................... 207 Figura 5-7. Circuitos magnéticos de dos redes y sus análogos con circuitos eléctricos ...... 208 Figura 5-8. Tres tipos de distribuciones de corriente estable en el espacio ......................... 213 Figura 5-9. Geometría de un alambre delgado que lleva una corriente estable 𝐼. ............... 214 Figura 5-10. Espira circular que muestra la geometría en coordenadas esféricas ............... 215 Figura 5-11. Una distribución de volumen de las corrientes. .............................................. 217 Figura 5-12. Geometría del alambre recto de longitud 2𝐿, ................................................. 218 Figura 5-13. Configuraciones típicas de transformadores. .................................................. 220 Figura 5-14. Desarrollo del voltaje 𝑉(𝑡) en circuito abierto de un transformador. ............. 221 Figura 5-15. Muestra bobinas ℓ y ℓ´ a circuito abierto y los voltajes inducidos 𝑉(𝑡) ........ 223 Figura 5-16. Una línea cerrada ℓ que se mueve en el espacio con velocidad 𝓋 ................. 224 Figura 5-17. Convenciones relativas a la ley de Faraday. ................................................... 226 Figura 5-18. Un circuito R-C con un 𝑉(𝑡), que muestra el punto del campo ..................... 233 Figura 5-19. La celda electroquímica y su comportamiento de fem. .................................. 235 Figura 5-20. El generador electroquímico conectado a un circuito resistivo externo. ........ 237 Figura 5-21. Circuito eléctrico en serie y modelos .............................................................. 239 Figura 5-22. El convertidor simple electromécanico de energía (generador) ..................... 241 Figura 5-23. Desarrollo de un circuito equivalente de un motor rotatorio .......................... 242 Figura 5-24. Cantidades de campos eléctrico y magnético ................................................. 243 Figura 5-25. Acumulación simultánea de 𝑱 y A en un elemento típico de volumen 𝑑𝑣 ..... 246 Figura 5-26. Circuito en el espacio vacío, que muestra el punto de la fuente P' ................. 247 Figura 5-27. Relativo al método de enlaces de flujo. .......................................................... 255 Figura 5-28. Ejemplos de bobinas de muchas vueltas que tienen autoinductancia interna . 256 Figura 5-29. Un circuito cerrado en el espacio vacío. ......................................................... 262 Figura 5-30. Desarrollo de modelos de circuito para el circuito de la figura 5-24 .............. 267 Figura 5-31. Circuitos acoplados magnéticamente.............................................................. 268 Figura 5-32. Configuraciones de circuitos acoplados generalizados .................................. 273 Figura 5-33. Acoplamiento magnético entre circuitos ........................................................ 276 Figura 5-34. Autoinductancia e inductancia mutua ............................................................. 278 Figura 5-35. Circuitos acoplados magnéticamente y modelos de circuitos......................... 279 Figura 5-36. Circuitos simples que utilizan núcleos magnéticos ........................................ 280 Figura 6-1. Un volumen típico en una región ...................................................................... 288 Figura 6-2. El vector de Poynting asociado con una onda plana en el espacio vacío. ........ 291 Figura 6-3. El vector instantáneo de Poynting 𝒫𝑧 + (𝑧, 𝑡) ................................................. 294 Figura 6-4. Vector de Poynting 𝒫𝑧𝑧, 𝑡 de ondas planas viajeras en dirección de las 𝑧 ....... 298 Figura 6-5. Energía total de campo eléctrico y condiciones de la variación de la energía .. 300 Figura 6-6. Características de los campos representados en el plano complejo. ................. 303

IX

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2-1.Función del tiempo y armónica compleja en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío. .......................................................................................... 56 Tabla 3-1. Resumen de las ecuaciones de Maxwell y las condiciones correspondiente de frontera espaciales en una iteracion de la ley integral de Maxwell para regiones materiales. ..................................................................................................................... 116 Tabla 4-1. Ecuaciónes de maxwell para la electrostática .................................................... 142 Tabla 5-1. Resumen de relaciones de energía magnética y autoinductancia. ...................... 257

X

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

1. ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO 1.1. Campos escalares y vectoriales Por campo se entiende una función de espacio y tiempo, se clasifican en escalares y vectoriales. Un campo escalar, en cada instante, tiene una magnitud asignable en cada punto en el espacio, por ejemplo, la temperatura 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) figura 1-1 (a) es un campo escalar. La velocidad del fluido figura 1-1 (b) ilustra un campo vectorial.

Figura 1-1. Se muestra ejemplos de campos escalares y vectoriales. (a) Campo de temperaturas dentro de un bloque de material. (b) Velocidad del fluido dentro de un tubo de sección transversal variable.

1

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Otros ejemplos de campos escalares son la masa, densidad, presión y potencial gravitacional. Un campo de fuerzas, uno de velocidades y uno de aceleración son ejemplos de campos vectoriales. Se toma como símbolo matemático de una cantidad escalar a cualquier letra: por ejemplo, 𝐴, 𝑇, 𝑎, 𝑓. El símbolo para una cantidad vectorial es cualquier letra impresa en negritas, por ejemplo 𝐀, 𝐇, 𝐚, 𝐠. La magnitud de un vector 𝐀 se escribe |𝐀| o simplemente 𝐴, y es un escalar real positivo. Un vector unitario es el vector que tenga magnitud unitaria. Se usa el símbolo 𝐚, usando un subíndice para especificar la dirección. Por ejemplo, 𝐚𝒙 significa un vector unitario en la dirección 𝑥 positiva.

Figura 1-2. Representaciones gráficas de un vector, vectores iguales, un vector unitario y representación de la magnitud o longitud de un vector.

1.2. Sumas vectoriales La suma vectorial ocurre combinando desplazamientos en el espacio. 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀 ⇝ (1 − 1)

Figura 1-3. (a) Definición gráfica de la suma de dos vectores. (b) La ley asociativa de la adición.

2

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

1.3. Sistemas de coordenadas La solución de problemas físicos requiere de un sistema de coordenadas. El sistema cartesiano o de coordenadas rectangulares es el más conocido entre ingenieros y científicos, aunque se usan con frecuencia, otros dos sistemas: el de coordenadas circulares cilíndricas y el de coordenadas esféricas: 1. Coordenadas rectangulares: (𝑥, 𝑦, 𝑧) 2. Coordenadas circulares cilíndricas: (𝜌, 𝜙, 𝑧) 3. Coordenadas esféricas: (𝑟, 𝜃, 𝜙)

Figura 1-4. Convenciones de notación adoptadas en los tres sistemas comunes de coordenadas. (a) Ubicación de un punto P en el espacio. (b) Vectores unitarios en el punto P.

En la figura 1-4(a) se identifica un punto P en el espacio con cada uno de los sistemas de coordenadas. En ese punto, se define que los vectores unitarios están en la dirección en que la variable coordenada crece en sentido positivo, como se muestra en figura 1-4(b). En consecuencia 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 son los vectores unitarios en el sistema rectangular. Con el fin de unificar y reducir los siguientes desarrollos relativos a campos escalares y vectoriales, se introduce un sistema de coordenadas ortogonales generalizadas, en que 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 denotan las variables coordenadas.

3

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Los vectores unitarios 𝐚1 , 𝐚2 y 𝐚3 son mutuamente perpendiculares y tangentes a las lineas coordenadas a través del punto P. Si se asocia un vector A con el punto P (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), se expresa simbólicamente en función de sus componentes ortogonales generalizadas mediante 𝐀 = 𝐚1 𝐴1 + 𝐚2 𝐴2 + 𝐚3 𝐴3 ⇝ (1 − 2) Descomposición de vectores: 𝐀 = 𝐚𝑥 𝐴𝑥 + 𝐚𝑦 𝐴𝑦 + 𝐚𝑧 𝐴𝑧 Rectangulares 𝐀 = 𝐚𝜌 𝐴𝜌 + 𝐚𝜙 𝐴𝜙 + 𝐚𝑧 𝐴𝑧 Circulares cilindricas ⇝ (1 − 3) 𝐀 = 𝐚𝑟 𝐴𝑟 + 𝐚𝜃 𝐴𝜃 + 𝐚𝜙 𝐴𝜙 Esfericas 1.4. Elementos diferenciales de espacio

Figura 1-5. Generación de un elemento de volumen 𝑑𝑣 = 𝑑ℓ1 𝑑ℓ2 𝑑ℓ3 en un punto del espacio en sistemas de coordenadas ortogonales.

𝑑ℓ1 = 𝑑𝑥; 𝑑ℓ2 = 𝑑𝑦; 𝑑ℓ3 = 𝑑𝑧; ℎ1 = ℎ2 = ℎ3 = 1 Rectangulares ⇝ (1 − 4) 𝑑ℓ1 = 𝑑𝜌; 𝑑ℓ2 = 𝜌𝑑𝜙; 𝑑ℓ3 = 𝑑𝑧; ℎ1 = 1; ℎ2 = 𝜌; ℎ3 = 1 Circulares cilíndricas ⇝ (1 − 5) 𝑑ℓ1 = 𝑑𝑟; 𝑑ℓ2 = 𝑟𝑑𝜃; 𝑑ℓ3 = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙; ℎ1 = 1; ℎ2 = 𝑟; ℎ3 = 𝑟 sin 𝜃 Esféricas ⇝ (1 − 6) En consecuencia, se tiene el elemento 𝑑𝑣 de volumen en cada sistema como sigue: 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Rectangulares 𝑑𝑣 = 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧 Circulares cilíndricas ⇝ (1 − 7) 𝑑𝑣 = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 Esfericas

4

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

1.5. Vector de posición En la teoría de los campos se hace referencia a un punto 𝑃(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) en el espacio, usando el vector de posición denotado por el símbolo 𝐫: 𝐫 = 𝐚𝑥 𝑥 + 𝐚𝑦 𝑦 + 𝐚𝑧 𝑧 Rectangular ⇝ (1 − 8) 𝐫 = 𝐚𝜌 𝜌 + 𝐚𝑧 𝑧 Circulares cilíndricas ⇝ (1 − 9) 𝐫 = 𝐚𝑟 𝑟 Esféricas ⇝ (1 − 10) El vector de posición 𝐫 tiene aplicaciones útiles en la dinámica de partículas, por ejemplo, en los iones y electrones. Un estudio de la figura 1-6 revela que, si el desplazamiento vectorial 𝑑𝐫 de una partícula ocurre en el intervalo 𝑑𝑡, la relación 𝑑𝐫/𝑑𝑡 indica la velocidad vectorial de la partícula en 𝑃(𝑟). Esta velocidad 𝓋 de una partícula se define mediante la derivada del vector de posición 𝐫(𝑡) donde: 𝓋=

𝑑𝐫 𝐫(𝑡 + ∆𝑡) − 𝐫(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 ⇝ (1 − 11) ∆𝑡→0 𝑑𝑡 ∆𝑡

La segunda derivada de 𝐫(𝑡). proporciona la aceleración vectorial de la partícula 𝒶 = 𝑑𝓋/𝑑𝑡.

Figura 1-6. Vector de posición 𝒓, utilizado para definir puntos del espacio, y su diferencial 𝑑𝒓. (a) Vector de posición 𝒓 y un cambio diferencial 𝑑𝒓 en su posición a lo largo de una trayectoria arbitraria. (b) Componentes de 𝑑𝒓 en las coordenadas ortogonales generalizadas.

1.6. Productos escalares y vectorial de vectores Producto escalar (o producto punto):

5

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

𝐀 ⋅ 𝐁 ≡ 𝐴𝐵 cos 𝜃 ⇝ (1 − 12) En el cual 𝜃 es el angulo entre A y B. El producto punto 𝐀 ⋅ 𝐁 indica el producto de la proyección escalar de los vectores sobre el otro, multiplicado por la magnitud del otro vector. Por ejemplo, 𝐚1 ⋅ 𝐚2 = 𝐚2 ⋅ 𝐚3 = 𝐚3 ⋅ 𝐚1 = 0, en tanto que 𝐚1 ⋅ 𝐚1 = 𝐚2 ⋅ 𝐚2 = 𝐚3 ⋅ 𝐚3 = 1. Si los vectores 𝐀 y 𝐁 se expresan en función de sus componentes ortogonales, entoces se escribe el producto escalar como sigue: 𝐀 ⋅ 𝐁 = (𝐚1 𝐴1 + 𝐚2 𝐴2 + 𝐚3 𝐴3 ) ⋅ (𝐚1 𝐵1 + 𝐚2 𝐵2 + 𝐚3 𝐵3 ) Desarrollando esta expresión, se obtiene: 𝐀 ⋅ 𝐁 = 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 + 𝐴3 𝐵3 ⇝ (1 − 13) Producto vectorial (o producto cruz): 𝐀 × 𝐁 = 𝐚𝑛 𝐴𝐵 sin 𝜃 ⇝ (1 − 14) en que 𝜃 es el ángulo entre 𝐀 y 𝐁, y 𝐚𝑛 es un vector unitario perpendicular tanto a 𝐀 como a 𝐁 y cuya dirección se determina por la regla de la mano derecha. En la figura 1-7 se ilustra gráficamente el producto vectorial 𝐀 × 𝐁. Del diagrama se demuestra que 𝐀 × 𝐁 = −𝐁 × 𝐀 ⇝ (1 − 15)

Figura 1-7. Ilustración del producto cruz o vectorial.

En el producto cruz es importante considerar el orden de los vectores. Si 𝐀 y 𝐁 son vectores paralelos, sin 𝜃 es cero y su producto cruz es cero. Sí 𝐀 y 𝐁 son vectores perpendiculares, 𝐀 × 𝐁 es un vector de longitud AB y dirección perpendicular tanto a 𝐀 como a 𝐁. Estas 6

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

aplicadas a los vectores unitarios ortogonales, dan como resultados especiales: 𝐚1 × 𝐚1 = 𝐚2 × 𝐚2 = 𝐚3 × 𝐚3 = 0; 𝐚1 × 𝐚2 = 𝐚3 ; 𝐚2 × 𝐚3 = 𝐚1 ; 𝐚3 × 𝐚1 = 𝐚2 Sin embargo, nótese que 𝐚1 × 𝐚3 = −𝐚2 . Si se dan los vectores 𝐀 y 𝐁 en función de sus componentes ortogonales, su producto vectorial se escribe como sigue: 𝐀 × 𝐁 = (𝐚1 𝐴1 + 𝐚2 𝐴2 + 𝐚3 𝐴3 ) × (𝐚1 𝐵1 + 𝐚2 𝐵2 + 𝐚3 𝐵3 ) 𝐀 × 𝐁 = 𝐚1 (𝐴2 𝐵3 − 𝐴3 𝐵2 ) + 𝐚2 (𝐴3 𝐵1 − 𝐴1 𝐵3 ) + 𝐚3 (𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 ) Entonces se escribir en forma determínate 𝐚1 𝐀 × 𝐁 = |𝐴1 𝐵1

𝐚2 𝐴2 𝐵2

𝐚3 𝐴3 | ⇝ (1 − 16) 𝐵3

1.7. Cargas eléctricas, corrientes y sus densidades Se sabe que las propiedades físicas y químicas de la materia están gobernadas por fuerzas eléctricas y magnéticas que actúan entre las partículas. Las partículas eléctricas fundamentales de la materia son de dos tipos, comúnmente llamadas cargas eléctricas positivas y negativas. Muchos experimentos han proporcionado las siguientes conclusiones relativas a las cargas eléctricas: 1. La suma algebraica de las cargas eléctricas positivas y negativas en un sistema cerrado jamás cambia; es decir, la carga eléctrica total de materia se conserva. 2. La carga eléctrica existe en múltiplos enteros positivos o negativos de la magnitud de la carga electrónica, 𝑒 = 1.60 × 10−19 [C]; esto implica que la carga eléctrica esta cuantizada.

La densidad volumétrica de carga, indicada por 𝜌𝑣 se define como: 𝜌𝑣 =

∆𝑞 [C/m3 ] ⇝ (1 − 17a) ∆𝑣

El límite de esta relación se toma de tal forma que, el elemento de volumen en el espacio no sea tan pequeño y con pocas partículas cargadas que se pierda la propiedad relativamente continua de la densidad 𝜌𝑣 sin embargo, se mantiene a ∆𝑣 lo bastante pequeño para que la

7

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

integración de las cantidades que contienen ∆𝑣 constituya un proceso significativo. La figura 1-8(a) ilustra el significado de esas cantidades con relación a un elemento de volumen ∆𝑣. La densidad de cargas es una función del espacio y posiblemente, también del tiempo. En consecuencia, 𝜌𝑣 es un campo, que en general se escribe como 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) o 𝜌𝑣 (𝐫, 𝑡). En algunos problemas físicos, se identifica a la carga ∆𝑞 con un elemento de superficie o línea en vez de un volumen. Entonces se debe definir a la relación límite (1-17a) como sigue: 𝜌𝑠 =

∆𝑞 [C/m2 ] ⇝ (1 − 17b) ∆𝑠

𝜌ℓ =

∆𝑞 [C/m] ⇝ (1 − 17c) ∆ℓ

En la figura 1-8 se ilustran las cantidades asociadas con esas definiciones de densidad de carga de volumen, de superficie y de línea.

Figura 1-8. Geometrías utilizadas para definir; (a) Cantidades qué definen a 𝜌𝑣 . (b) Cantidades que definen a 𝜌𝑠 . (c) Cantidades que definen a 𝜌ℓ .

La cantidad total de carga contenida en una región de volumen, superficie o línea, se obtiene de la integral, cada elemento 𝑑𝑣 contiene la carga 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣; 𝑞 = ∫ 𝑑𝑞 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 [C] 𝑣

𝑣

Se forman expresiones semejantes de integrales para dar la carga total en una superficie dada o en una línea en el espacio.

8

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Se representa gráficamente un campo vectorial 𝐅(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡)) en algún instante dado 𝑡, usando un infinidad de vectores en una región del espacio; generalmente se logra una representación usando una gráfica de flujo, lo cual es un método que sustituye los vectores con un sistema de líneas (llamadas lineas de flujo) dibujadas de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Las direcciones de las líneas de flujo concuerdan con las de los vectores del campo. 2. Las densidades transversales de las líneas de flujo son las mismas que las magnitudes de los vectores de campo.

Si una superficie S se dibuja en la región de espacio que abarca ese flujo, entonces las líneas de flujo neto 𝜓 que pasan a través de S son una medida; (como carga, corriente, flujo de potencia, etc.). La 𝑑𝜓, se define mediante el escalar 𝑑𝜓 = 𝐹𝑑𝑠 cos 𝜃 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝑠. En consecuencia el flujo neto de F atraves de S es la integral 𝑑𝜓 sobre S 𝜓 = ∫ 𝐅 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (1 − 18) 𝑆

en el cual 𝑑𝑠 emerge del lado que se supone S positivo como se muestra en la figura 1-9(b). Si S es una superficie cerrada, el flujo neto que la atraviesa está dado por 𝜓 = ∮ 𝐅 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (1 − 19) 𝑠

como se indica en la figura 1-9(c). El resultado de la integración da cero (indica que salen tantas líneas de flujo de S como las que entran), a menos que el volumen interior de S contenga fuentes o sumideros de líneas de flujo. El flujo de corriente a través de una superficie, proporciona una buena ilustración del concepto de flujo. Supóngase que hay cargas eléctricas cuya densidad es 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) en una región, e imagínese que las velocidades de las cargas promedian la función 𝓋(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) dentro de los elementos 𝑑𝑣 con que se identifican las densidades 𝜌𝑣 . Entonces se define una funcion de densidad de corriente 𝐉 en cualquier punto P en la region mediante. 𝐉 = 𝜌𝑣 𝓋 [A/m2 ]o [

C ] ⇝ (1 − 20) seg − m2

9

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Figura 1-9. (a) Un campo vectorial F, denotado por un sistema de flechas. (b) Mapeo de flujo del campo vectorial F, que muestra una superficie abierta S a través de la cual pasa un flujo neto. (c) Una superficie cerrada S que muestra flujo neto cero, emergente de la misma.

El flujo de corriente diferencial 𝑑𝑖 que fluye a través de un elemento de superficie 𝑑𝑠 en que existe una densidad de corriente 𝐉 es 𝑑𝑖 = 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 para que la corriente neta 𝑖 (flujo de corriente) a través de S es 𝑖 = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 [C/seg] o [A] ⇝ (1 − 21) 𝑆

Ejemplo 1-1. Un haz de electrones de sección transversal circular de 1[mm] de diámetro en un tubo de rayos catódicos (TRC), tiene una corriente medida de 1[𝜇A], y velocidad promedio conocida de los electrones, de 106 [m/seg]. Calcular la densidad de corriente, de carga y la relación de transporte de masa en el haz.

Suponiendo una densidad constante de corriente 𝐉 = 𝐚𝑧 𝐽𝑧 en la sección transversal, en (1-21) se tiene la siguiente corriente a través de cualquier sección transversal: 𝑖 = ∫ (𝐚𝑧 𝐽𝑧 ) ⋅ (𝐚𝑧 𝑑𝑠) = 𝐽𝑧 ∫ 𝑑𝑠 = 𝐽𝑧 𝐴 𝑆

𝑆

𝐴 denota el área transversal del haz. En consecuencia, la densidad de corriente axial es 𝐽𝑧 =

𝑖 10−6 4 = = [A/m2 ] −3 2 𝐴 𝜋(10 ) 𝜋 4

10

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO 4

La densidad de carga en el haz, de (1-20) en que 𝐉 = 𝐚𝑧 y 𝓋 − = −𝐚𝑧 106 , queda como 𝜋 sigue: 𝜌𝑣− =

𝐽𝑧 4 = − × 10−6 [C/m3 ] − 𝓋 𝜋

La relación de transporte de masa en el haz es la corriente multiplicada por la relación de masa a carga del electrón; esto da 5.7 × 10−18 [kg/seg], suponiendo una masa electrónica de 9.1 × 10−31 [kg].

1.8. Campos eléctricos y magnéticos en función de sus fuerzas Los campos eléctricos y magnéticos son campos de fuerzas se deberá al estado de movimiento de las cargas con relación al punto en que se hacen las observaciones. Las cargas eléctricas en reposo, dan lugar a un campo electrostático (independiente del tiempo). El movimiento relativo de las cargas proporciona un campo magnético adicional. Ese campo agregado es magnetostatico, si las cargas se mueven a velocidades constantes. Por otra parte, se da el nombre de campos electromagnéticos a los movimientos acelerados que producen campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo. La relación de los campos eléctricos y magnéticos con su carga y fuentes de corriente la proporciona las ecuaciones de Maxwell, las cuales se atribuyen históricamente a la obra de muchos científicos y matemáticos. Si los campos E(Intensidad de campo eléctrico) y B(Densidad de flujo magnético) existen en un punto P en el espacio, se puede detectar físicamente su presencia mediante una carga 𝑞 colocada en ese punto. La fuerza F que actúa en esa carga está dada por la ley de las fuerzas de Lorentz. 𝐅 = 𝑞(𝐄 + 𝓋 × 𝐁 ) ⇝ (1 − 22a) 𝐅 = 𝐅𝐸 + 𝐅𝐵 [N] ⇝ (1 − 22b) Donde 𝑞 → Carga (coulomb), en el punto P. 𝓋 → Velocidad eléctrica (metros por segundo), de la carga 𝑞 𝐄 → Intensidad de campo eléctrica (newton por coulomb), en P. 𝐁 → Densidad de flujo magnético (weber por metro cuadrado o tesla), en P. 𝐅𝐸 = 𝑞𝐄 → Fuerza debido al campo eléctrico que actúa sobre 𝑞. 𝐅𝐵 = 𝑞𝓋 × 𝐁 → Fuerza debido al campo magnético que actúa sobre 𝑞.

11

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Figura 1-10. Fuerzas de Lorentz que actúan sobre una carga móvil q en presencia de (a) solamente un campo 𝑬, (b) solamente un campo 𝑩 y (c) campos eléctrico y magnético.

En la figura 1-10, se ilustran esas cantidades en el espacio. La fuerza 𝐅𝐸 tiene la misma dirección que el campo aplicado 𝐄, en tanto que la fuerza FB del campo magnético es perpendicular tanto al campo aplicado 𝐁 como a la velocidad 𝓋 de la partícula cargada. Ejemplo 1-2. Un electrón, en un instante dado, tiene una velocidad 𝓋 = (3)105 𝐚𝑦 + (4)105 𝐚𝑧 [m/seg] en alguna posición del espacio vacío. En ese punto, se sabe que los campos eléctrico y magnético son: 𝐄 = 400𝐚𝑧 [V/m] y 𝐁 = 0.005𝐚𝑦 [Wb/m2 ]. Encontrar la fuerza total que actúa sobre el electrón. De la relación de Lorentz (1-22a), se encuentra la fuerza total 𝐅 = 𝑞 [𝐄 + 𝓋 × 𝐁] = −1.6(10−19 )[𝐚𝑧 400 + (𝐚𝑦 3 ⋅ 105 + 𝐚𝑧 4 ⋅ 105 ) × 𝐚𝑦 0.005] = (𝐚𝑥 32 − 𝐚𝑧 6.4)10−17 [N] Aunque ésta es una fuerza bastante diminuta, la pequeña masa de la carga electrónica da lugar a una elevada aceleración de la partícula, es decir, 𝒶 = 𝐅/𝑚 = (𝐚𝑥 3.51 − 𝐚𝑧 20.7)1014 [m/seg 2 ]

1.9. Ecuaciones de maxwell en su forma integral para el espacio vacío Proporcionan las relaciones entre los campos de fuerzas eléctrica y magnética y sus distribuciones asociadas de carga y corriente en el espacio vacío. ∮ (𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 [C] ⇝ (1 − 23) 𝑠

𝑉

12

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

∮ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = 0[Wb] ⇝ (1 − 24) 𝑠

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

∮ ℓ

𝑑 ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠[V] ⇝ (1 − 25) 𝑑𝑡 𝑆

𝐁 𝑑 ∫ (𝜖 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠[A] ⇝ (1 − 26) . 𝑑ℓ = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 + 𝜇0 𝑑𝑡 𝑠 0 𝑠

Donde; 𝐄 = 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) es la intensidad, 𝐁 = 𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) es la densidad de flujo ∫𝑉 𝜌𝑣 𝑑𝑣 = 𝑞(𝑡) carga neta de cualquier superficie cerrada S ∫𝑆 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑖(𝑡) corriente neta que fluye a través de superficie abierta S limitada por la línea cerrada ℓ. 𝜖0 Es la permitividad del espacio vacío (≅ 10−9 /36𝜋 [F/m]) 𝜇0 Es la permeabilidad del espacio vacío (= 4𝜋 × 10−7 [H/m])

Las ecuaciones de Maxwell (1-23) a (1-26) deben de satisfacerse simultáneamente por las soluciones de 𝐄 y 𝐁 para todas las trayectorias cerradas posibles ℓ y superficies S en la región de espacio ocupado por esos campos. 1.9.1. Ley de Gauss para campos eléctricos en el espacio vacío ∮ (𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 = 𝑞 ⇝ (1 − 23) 𝑠

𝑣

Figura 1-11. Superficie cerrada S en una región que contiene 𝑬 y una carga eléctrica asociada. La ley de Gauss es válida para las superficies cerradas construidas en la región, contengan cargas o no.

Si se da un campo eléctrico 𝐄 en el espacio como la figura 1-11, la integración de (𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 sobre cualquier superficie cerrada S (flujo neto de 𝜖0 𝐄 sale de S) es una medida de la 13

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

cantidad de q, contenida dentro del volumen V encerrado por S. Se debe tomar el flujo de 𝜖0 𝐄 como positivo hacia afuera de S, se supone que el sentido positivo de cada elemento de superficie 𝑑𝑠 sobre S es hacia afuera. La ley de Gauss es algo más que un criterio de la cantidad. Entonces se muestra algunos ejemplos. Ejemplo 1-3 Encontrar la intensidad del campo eléctrico 𝐄 de las siguientes distribuciones de cargas estáticas en el espacio: (a) una carga puntiforme Q, (b) una nube esférica de radio 𝑟0 cuya densidad volumétrica, uniforme es 𝜌𝑣 , (c) una carga lineal muy larga cuya densidad lineal uniforme es 𝜌ℓ , (d) una carga plana muy grande (superficial), de densidad 𝜌𝑠 . En la figura 1-12 se ilustran esas distribuciones de carga. Se muestran las superficies cerradas S, escogidas apropiadamente para permitir resolver 𝐄 mediante la ley de Gauss (1-23).

Figura 1-12. Distribuciones de cargas estáticas con simetrías tales que, la ley de Gauss aplicada a superficie cerradas apropiadas, conduce a soluciones de 𝑬. (a) Carga estática puntiforme; superficies esféricas construida para evaluar 𝑬(𝑟). (b) Nube cargada de densidad uniforme; muestra 𝑆1 𝑦 𝑆2 que se utilizan para evaluar 𝑬(𝑟). (c) Carga lineal, uniforme. (d) Carga superficial uniforme.

(a) Campo de una carga puntiforme (simetría alrededor de un punto). Se escoge una superficie S de acuerdo a la ley de Gauss (1-23), como la de una esfera con 𝑄 en su centro, según se ilustra en la figura 1-12(a). Para demostrar que 𝐄 sólo tiene una componente

14

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

radial alrededor de la carga, obsérvese que, para este problema estático en el tiempo (𝑑/𝑑𝑡 = 0, para todos los campos), (1-25) se reduce a ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = 0 para todas las líneas cerradas ℓ. Integrando entonces 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ alrededor de cualquier trayectoria circular de radio r, sobre la esfera de la figura 1-12(a), se llega a la conclusión de que 𝐸𝜃 y 𝐸𝜙 son cero. Más aún, suponiendo Q positiva, se debe de dirigir 𝐄 radialmente hacia afuera para que la integral de 𝜖0 𝐄 sobre S dé una respuesta positiva. En consecuencia, (1-23) da ∮ 𝜖0 (𝐚𝑟 𝐸𝑟 ) ⋅ 𝐚𝑟 𝑑𝑠 = 𝑄 𝑠

𝐸𝑟 es constante sobre S, entoces se extrae 𝐸𝑟 de la integral para obtener 𝐸𝑟 =

𝑄 N V [ ] ó [ ] ⇝ (1 − 27a) 2 4𝜋𝜖0 𝑟 C m

o en forma vectorial 𝐄 = 𝐚𝑟 𝐸𝑟 = 𝐚𝑟

𝑄 ⇝ (1 − 27b) 4𝜋𝜖0 𝑟 2

La ley de Coulomb para la fuerza que actúa sobre otra carga puntiforme 𝑄′ en presencia de Q, se deduce combinando (1-27b) con la relación de la fuerza de Lorentz (1-22a). En ausencia de un campo 𝐁, la fuerza en 𝑄′ cuando se sumerge en el campo 𝐄 (1-27b) de la carga 𝑄, es: 𝐅𝐸 = 𝑄´𝐄 = 𝐚𝑟

𝑄´𝑄 ⇝ (1 − 28) 4𝜋𝜖0 𝑟 2

(b) Campo de una nube cargada (simetría alrededor de un punto). Para la nube esférica cuya densidad de carga es uniforme 𝜌𝑣 [C/m3 ] se presentan dos casos; el campo fuera de la nube (𝑟 > 𝑟0 ) se obtiene de la ley de Gauss (1-23) aplicada a una esfera simétrica 𝑆1 de radio 𝑟 como se muestra en la figura 1-12(b). El hecho de que 𝐄 sólo tiene una componente 𝐸𝑟 se muestra como en la parte (a). Entonces la carga 𝑞 encerrada por 𝑆1 se obtiene integrando 𝜌𝑣 𝑑𝑣 sobre toda la esfera, de manera que (1-23) queda como ∮ 𝜖0 (𝐚𝑟 𝐸𝑟 ) ⋅ 𝐚𝑟 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑆1

𝑉1

Despejando 𝐸𝑟 (constante sobre 𝑆1 ) da:

𝐸𝑟 =

4 𝜌𝑣 (( ) 𝜋𝑟 3 ) 3 4𝜋𝜖0 𝑟 2

=

𝜌𝑣 𝑟0 3 ; 𝑟 > 𝑟0 ⇝ (1 − 29) 3𝜖0 𝑟 2

Resultado que obedece la ley de la inversa del cuadrado de la distancia. La expresión (129) tiene la forma del resultado obtenido para la carga puntiforme (1-27a), suponiendo que el punto del campo está hacia afuera de la nube cargada ( 𝑟 > 𝑟0 ). Dentro de la nube (𝑟 < 𝑟0 ), aplicando (1-23) a la superficie cerrada 𝑆2 de la figura 112(b) se tiene:

15

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

∮ 𝜖0 (𝐚𝑟 𝐸𝑟 ) ⋅ 𝐚𝑟 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑆2

𝑉2

En que la integración sobre volumen sólo se hace por todo el interior de 𝑆2 , para obtener 𝜌𝑣 (4/3)𝜋𝑟 3 Con 𝐸𝑟 constante sobre 𝑆2 , 𝐸𝑟 =

𝜌𝑣 𝑟 ; ( 𝑟 < 𝑟0 ) ⇝ (1 − 30) 3𝜖0

Por consiguiente, 𝐄, dentro de la nube uniformemente cargada, es cero en su centro y varía linealmente hacia el valor de (1-29) sobre la superficie 𝑟 = 𝑟0 .

Figura 1-13. Gráficas de flujo de los campos del ejemplo 1-3. (a) Carga puntiforme. Campo inversamente proporcional a 𝑟 2 . (b) Volumen esférico cargado uniformemente. La gráfica muestra las variaciones respecto a 𝑟. (c) Línea infinita cargada uniformemente. Campo inversamente proporcional a 𝜌. (d) Plano infinito cargado uniformemente. 𝑬 es uniforme en todo el espacio.

(c) Campo de una carga lineal grande (simetría alrededor de una línea). Se construye un cilindro circular recto, cerrado, de longitud ℓ y radio 𝜌 concéntrico a la línea de carga, como en la figura 1-12 (c). De la simetría, 𝐄 está en dirección radial (𝐚𝑝 𝐸𝑝 ) y su magnitud es constante sobre la superficie periférica 𝑆0 . El lado izquierdo de la ecuación de la ley

16

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

de Gauss (1-23) es cero en las tapas de S, debido a que 𝐄 ⋅ 𝑑𝑠 es cero en ellas. Por tanto, (1-23) queda como: ∫ 𝜖0 (𝐚𝜌 𝐸𝜌 ) ⋅ 𝐚𝜌 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌ℓ 𝑑ℓ 𝑆0

ℓ

En el cual el lado derecho de la ecuación se reduce a una integral de línea respecto a la distribución lineal de carga. Despejando 𝐸𝜌 sobre 𝑆0 se tiene, con ∫ℓ 𝜌ℓ 𝑑ℓ = 𝜌ℓ ℓ 𝑒 ∫𝑆 𝑑𝑠 = 2𝜋𝜌ℓ. 𝐸𝜌 =

𝜌ℓ ⇝ (1 − 31) 2𝜋𝜖0 𝜌

Por tanto, la intensidad eléctrica de una carga lineal uniforme, infinitamente grande, varía inversamente con 𝜌. (d) Campo de una carga plana infinita (simetría alrededor de un plano). Una superficie cerrada S se construye en forma de un paralelepípedo rectangular que se extiende igualmente a ambos lados de la carga plana, como en la figura 1-12 (𝑑). La simetría de la carga, extendida infinitamente, requiere que 𝐄 se aleje normalmente de ambos lados de la carga como se muestra 𝐄 = ±𝐚𝑥 𝐸𝑥 . El flujo emana solamente de los extremos 𝑆1 y 𝑆2 del paralelepípedo, por lo que la ley de Gauss queda como sigue: ∫ 𝜖0 (𝐚𝑥 𝐸𝑥 ) 𝐚𝑥 𝑑𝑠 + ∫ 𝜖0 (−𝐚𝑥 𝐸𝑥 ) ⋅ (−𝐚𝑥 𝑑𝑠) = ∫ 𝜌𝑆 𝑑𝑠 = 𝜌𝑆 𝐴 𝑆1

𝑆2

𝑆

En qué 𝐴 indica el área de los extremos del paralelepípedo. Las integrales sobre 𝑆1 y 𝑆2 dan exactamente la misma cantidad de flujo eléctrico hacia afuera, por lo que: 𝐸𝑥 =

𝜌𝑠 2𝜖0

Escribiendo esto en forma vectorial para incluir los campos a ambos lados de la distribución plana de cargas, se tiene que: 𝜌𝑆 𝑥>0 2𝜖0 ⇝ (1 − 32) 𝜌𝑆 𝐄 = −𝐚𝑥 𝑥<0 2𝜖0 𝐄 = 𝐚𝑥

Es evidente que el campo eléctrico a ambos lados de una carga plana, infinita y uniforme, es constante en todas partes. En la figura 1-13, se muestran las gráficas de flujo de los campos eléctricos de las cuatro distribuciones de cargas abarcadas en este ejemplo.

17

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

1.9.2. Ley Circuital de Ampere en el espacio vacío ∮ ℓ

𝐁 𝑑 𝑑𝜓𝑒 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 + ∫ (𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑖 + ⇝ (1 − 26) 𝜇0 𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝑡 𝑆

La figura 1-14 ilustra los significados de las magnitudes del campo, relativas a cualquier línea cerrada ℓ que limita una superficie S. La dirección positiva del elemento 𝑑𝑠 se toma a cualquier lado de S, pero el sentido de integración positiva alrededor de ℓ debe de concordar con la regla de la mano derecha con respecto a 𝑑𝑠. La relación (1-26) significa que la integral de línea del campo B (modificado por 𝜇0 −1 ) alrededor de cualquier trayectoria cerrada arbitraria ℓ en todo instante 𝑡, debe de ser igual a la suma de la corriente eléctrica neta 𝑖, más la relación de cambio en el tiempo del flujo eléctrico neto 𝑑𝜓𝑒 que pasa a través de la superficie S limitada por ℓ.

Figura 1-14. Campos magnéticos inducidos y la ley de Ampere. Se superpone cualquier línea cerrada ℓ tal como la de (a) en cualquier parte en el ejemplo de (b); la ley de Ampere debe ser válida. (a) Línea cerrada ℓ que limita una superficie S, relativa a los campos en la ley de Ampere. (b) Ejemplo simétrico que muestra el campo B, inducido por las corrientes eléctricas y corrientes de desplazamiento.

Los dos términos a la derecha de (1-26) denotan las dos clases de corrientes eléctricas que ocurren físicamente en el espacio vacío. La primera, 𝑖, ya se estudió con relación a (1-20) y recibe el nombre de corriente de convección cuando está formada por una o más especies de cargas en movimiento en el espacio vacío; también se le llama corriente de conducción si se debe a las cargas eléctricas libres que se transportan dentro de un sólido, líquido o gas. El 18

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

segundo término 𝑑𝜓𝑒 /𝑑𝑡, se conoce como corriente de desplazamiento que indica la relación de cambio en el tiempo del flujo eléctrico instantáneo neto 𝜓𝑒 y que atraviesa la superficie S. La corriente de desplazamiento es la contribución histórica de Maxwell, quien proporcionó el eslabón faltante en la unificación de las teorías de electricidad y magnetismo y predijo la propagación de las ondas electromagnéticas en el espacio vacío en ausencia de cargas y corrientes. Las complejidades podrán apreciarse mejor, si se reconoce que las soluciones de campo deben satisfacer simultáneamente las cuatro relaciones integrales de Maxwell (1-23) al (1-26). En el caso estático, (1-26) se reduce a una expresión de la que está ausente el término de corriente de desplazamiento. ∮ ℓ

𝐁 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 ≡ 𝑖 ley de Amper para campos estaticos ⇝ (1 − 33) 𝜇0 𝑆

Ejemplo 1-4. Encontrar la corriente eléctrica estática neta 𝑖, que fluye a través de cada una de las superficies S, limitadas por las trayectorias ℓ escogidas para los tres sistemas de corriente directa de la figura 1-15.

Figura 1-15. Tres ejemplos de sistemas de corriente directa que muestran las trayectorias cerradas ℓ que limitan las superficies S, a través de las cuales fluyen las corrientes netas 𝑖. (a) alambre infinitamente largo que transporta 𝛪 [𝐴]. (b) Un circuito de CD de dos mallas. (c) Bobina de cuatro espiras que lleva 𝛪 [𝐴].

(a) Para el alambre largo y recto de la figura 1-15(a), la trayectoria ℓ1 ilustrada, da una corriente neta 𝑖 = 0 a través de 𝑆1 ; mientras que ℓ2 engloba 𝑖 = 𝛪[A], que es un resultado positivo si se toma 𝑑𝑠 sobre 𝑆2 , positivo en la dirección hacia arriba. (b) Supóngase una 𝑑𝑠 positiva en la dirección hacia arriba en S. Entonces, por inspección de la figura 1-15(b), la corriente 𝑖 neta de conducción, a través de S, queda como sigue:

19

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

𝑖 = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 = 2𝛪 + 𝛪 − 3𝛪 = 0 𝑆

(c) Para la trayectoria ℓ construida alrededor de la bobina de la figura 1-15(c), de modo que la bobina atraviesa cuatro veces a S, la corriente neta queda como sigue: ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 = −4𝛪 [A] 𝑆

Si se supone que 𝑑𝑠 es positiva en la dirección mostrada. Ejemplo 1-5. Campo de un alambre largo y redondo (simetría alrededor de una línea). Utilizar la ley circuital de Ampere (1-33) para encontrar el campo 𝐁 debido a la corriente estática 𝛪, en el alambre redondo, recto, infinito de radio a, que se ilustra en la figura 1-16(a). Encontrar 𝐁 tanto dentro como fuera del alambre. Como en la figura 1-16(𝑎), supóngase una trayectoria de integración ℓ1 simétrica, cerrada, con el radio 𝜌 que se ilustra. De (1-33), el campo 𝐁 debe estar dirigido en sentido de 𝜙 para que la trayectoria de integración en sentido contrario al reloj (vista desde arriba) de la corriente positiva 𝛪 saliendo de 𝑆1 . Con 𝐁 = 𝐚𝜙 𝐵𝜙 y 𝑑ℓ = 𝐚𝜙 𝜌𝑑𝜙 en el contorno cerrado, (1-33) da 2𝛱

𝐵𝜙 𝜌𝑑𝜙 = 𝛪 𝜙=0 𝜇0

∫

pero 𝐵𝜙 es de magnitud constante en ℓ1 lo que permite obtener, fuera del alambre 𝐵𝜙 =

𝜇0 𝛪 2𝜋 ∫0 𝜌 𝑑𝜙

=

𝜇0 𝛪 ;𝜌 > 𝑎 2𝜋𝜌

Si 𝜌 < 𝑎, la línea cerrada ℓ2 que se ilustra en la figura 1-16(a), limita una superficie 𝑆2 que sólo intercepta una fracción de 𝛪, como lo determina la relación entre el área 𝑆2 y el área transversal 𝜋𝑎2 . Entonces (1-33) queda como sigue: 𝐵𝜙 𝜋𝜌 2 𝑑ℓ = 𝛪 2 𝜋𝑎 ℓ2 𝜇0

∫

𝐵𝜙 =

𝜇0 𝛪 𝜌 2𝜋𝑎2

Por lo tanto, el campo B del alambre redondo, infinitamente largo que lleva una corriente estática 𝛪, está dirigido en sentido de 𝜙. variando inversamente con 𝜌 fuera del conductor y directamente con 𝜌 dentro del mismo como sigue: 𝜇0 𝛪 ;𝜌 > 𝑎 2𝜋𝜌 ⇝ (1 − 34) 𝜇0 𝛪𝜌 𝜌 𝐁 = a𝜙 ;𝜌 < 𝑎 2𝜋𝑎2 𝐁 = a𝜙

20

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Figura 1-16. Alambre largo, recto que lleva una corriente 𝛪 [𝐴] y el campo magnético asociado. (a) Porción de alambre largo, recto, portador de una corriente, que muestra las trayectorias cerradas simétricas usado con la ley de Ampere para encontrar B. (b) Campo de flujo magnético externo del alambre largo y recto. La gráfica inferior muestra las variaciones de la densidad de flujo respecto a 𝜌.

Ejemplo 1-6. Encontrar los campos magnéticos dé las siguientes configuraciones de bobinas, cada una de las cuales lleva una corriente estática 𝛪, (a) un toroide de n vueltas, arrollado apretadamente y de sección transversal circular; (b) un solenoide infinitamente largo, arrollado apretadamente con n vueltas en cada longitud 𝑑. Las bobinas están ilustradas en la figura 1-17. (a) El flujo magnético desarrollado por 𝛪 en el toroide es 𝜙, dirigido como se indica en la figura 1-17 (𝑎) y que es un resultado derivado de la simetría y aplicación de la regla de la mano derecha al sentido positivo de la corriente mostrada. En consecuencia, dentro del toroide, 𝐁 = 𝐚𝜙 𝐵𝜙 exacto si se idealiza el devanado a una lámina de corriente. La aplicación de la ley circuital de Ampere (1-33), estática en el tiempo, a la línea cerrada simétrica ℓ de radio 𝜌, como se muestra, da: ∮ℓ( 𝐚𝜙 𝐵𝜙 ) ⋅ 𝐚𝜙 𝑑ℓ = 𝜇𝑜 𝑛𝛪 en que por simetría, 𝐵𝜙 es constante alrededor de ℓ y 𝑛𝛪 es la corriente neta que pasa a través de S acotada por ℓ. En consecuencia, 𝐵𝜙 =

𝜇𝑜 𝑛𝛪 ⇝ (1 − 35) 2𝜋𝜌

es un campo dependiente de la inversa de 𝜌 dentro de la región limitada por la lámina de corriente. Si se escogiera el radio 𝜌 de ℓ en la figura 1-17 (a), para que hiciera que ℓ saliera del toroide (por ejemplo, con 𝜌 < 𝑎), S ya no interceptaría ninguna corriente neta 𝑖. Entonces, de la simetría, el campo B fuera del toroide idealizado debe ser cero.

21

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Figura 1-17. Dos configuraciones de bobinas, cuyos campos magnéticos se encontran mediante la ley circuital de Ampere. (a) Devanado toroidal de n vueltas, mostrando la trayectoria simétrica ℓ. (b) Solenoide infinitamente largo, que muestra una trayectoria cerrada rectangular típica, ℓ.

(b) El solenoide infinitamente largo de la figura 1-17 (b) se considera como un toroide de radio infinito; en consecuencia, su campo magnético está completamente contenido dentro de la bobina, si se idealiza el devanado en una lámina de corriente no interrumpida. La simetría requiere un campo en sentido de las 𝑧, 𝐁 = 𝐚𝑧 𝐵𝑧 independiente de z. La ley circuital de Ampere (1-33) se aplica a la trayectoria cerrada y rectangular de la figura 1-17(b), con dos lados paralelos al eje de las 𝑧. Se obtiene una contribución diferente de cero, a la integral de línea, solamente en la trayectoria interior paralela al eje de las 𝑧, de donde sigue: 𝑑

∫ ( 𝐚𝑧 𝐵𝑧 ) ⋅ 𝐚𝑧 𝑑𝑧 = 𝜇𝑜 𝑛𝛪 0

𝐵𝑧 es constante en la trayectoria, de donde sigue: 𝐵𝑧 = 𝜇𝑜 𝛪

𝑛 ⇝ (1 − 36) 𝑑

en la cual la relación 𝑛/𝑑 denota las vueltas por metro de longitud. Por consiguiente, B es constante en todas partes dentro del solenoide infinitamente largo.

1.9.3. Ley Faraday La ley integral de Maxwell. ∮ 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑 𝑑𝜓𝑚 ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = − 𝑚 ⇝ (1 − 25) 𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝑡

Se conoce como la ley de la fuerza electromotriz inducida (fem). La esencia de esta ley del electromagnetismo se expresa en la simbología de la figura 1-18(a). La relación del sentido positivo de la integración de línea con la dirección positiva supuesta para 𝑑𝑠, es la misma que 22

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

para la ley circuital de Ampere. La ley de Faraday (1-25) expresa que, la relación de disminución en el tiempo del flujo magnético neto 𝜓𝑚 , que pasa por cualquier superficie arbitraria S, es igual a la integral del campo E alrededor de la línea cerrada que limita a S, lo que equivale a decir que un flujo magnético variable en el tiempo genera un campo E. En general, éste también debe variar en el tiempo para que se realice (1-25) en cada instante. Sin embargo, si las variaciones de los campos en el tiempo no son demasiado rápidas, en algunas ocasiones se sobrentiende que la solución estática para B, que realiza la forma estática de la ley circuital de Ampere (1-33).

Figura 1-18. Campos eléctricos inducidos y ley de Faraday. Se superpone cualquier línea ℓ cerrada, como la de (a), en cualquier parte del ejemplo (b), dé modo que la ley de Faraday debe ser válida para aquélla. (a) Línea cerrada típica que limita una superficie S, con relación a los campos en la ley de Faraday. (b) Ejemplo simétrico que muestra el campo 𝑬 inducido por un campo magnético variable en el tiempo.

Si las densidades 𝐉 de corriente varían lentamente en el tiempo, se sobrentiende que darán lugar a un campo 𝐁 que varíe lentamente en el tiempo, a tal campo se le llama cuasiestático. La ley de Faraday para campos estrictamente estáticos en el tiempo es (1-25) con su lado derecho reducido a cero la cual expresa que la integral de línea de un campo estático 𝐄 alrededor de cualquier trayectoria cerrada siempre es cero. ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = 0 Ley de Faraday para campos estaticos en el tiempo ⇝ (1 − 37) ℓ

23

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

Los campos que cumplen con (1-37) se conocen como conservativos; todos los campos eléctricos estáticos son conservativos. Ejemplo 1-7. El solenoide largo de la figura 1-17(b) lleva una corriente que varía lentamente en el tiempo 𝑖 = 𝛪0 sin(𝜔𝑡). De la ley de Ampere, determinar la densidad cuasiestática de flujo magnético desarrollada dentro de la bobina de radio a, y usar luego la ley de Faraday para encontrar la intensidad de campo eléctrico inducido, tanto dentro como fuera de la bobina. Del ejemplo 1-6(b), se dedujo que la densidad de flujo magnético dentro del solenoide largo, que lleva una corriente estática 𝛪, es (1-36). En consecuencia, la corriente 𝛪0 sin(𝜔𝑡) del solenoide, dará como aproximación de primer orden, la densidad de flujo magnético cuasiestático en que 𝐵0 = 𝜇0 𝑛𝛪0 ⁄𝑑 , la amplitud de B. 𝑛 𝐁(𝑡) = 𝐚𝑧 𝜇0 𝛪0 ( ) sin(𝜔𝑡) = 𝐚𝑧 𝐵0 sin(𝜔𝑡) ⇝ (1 − 38) 𝑑 Esta suposición es razonablemente exacta para una frecuencia angular 𝜔 que no sea demasiado grande. El campo eléctrico 𝐄 inducido por este campo 𝐁 variable en el tiempo, se encuentra mediante la ley de Faraday (1-23), cuya integral de línea se toma primero alrededor de la trayectoria simétrica ℓ de radio 𝜌 dentro de la bobina, como se muestra en la figura 1-19. La ley de Faraday queda como sigue: ∮ (𝐚𝜙 𝐸𝜙 ) ⋅ 𝐚𝜙 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑 ∫ (𝐚 𝐵 sin(𝜔𝑡)) ⋅ 𝐚𝑧 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑆 𝑧 0

en que, de la simetría circular, 𝐸𝜙 debe ser constante respecto a ℓ. Por tanto, 𝐸𝜙 ∮ 𝑑ℓ = −𝜔𝐵0 cos 𝜔𝑡 ∫ 𝑑𝑠 ℓ

𝑆

pero ∮ℓ 𝑑ℓ = 2𝜋𝜌 e ∫𝑆 𝑑𝑠 = 𝜋𝜌 2 de manera que 𝐸𝜙 = −

𝜔𝐵0 𝜌 cos 𝜔𝑡; 𝜌 < 𝑎 ⇝ (1 − 39) 2

es la solución de primer orden para la intensidad del campo eléctrico generado por el flujo magnético del solenoide variable en el tiempo. Obsérvese que 𝐸𝜙 varía en razón directa con 𝜌, como se muestra en la figura 1-19. El signo negativo en el resultado implica que para un aumento en el flujo neto 𝜓𝑚 a través de S (en la dirección de 𝑧 positiva), el campo 𝐄 inducido está dirigido en sentido de 𝜙 negativo, como se muestra en el diagrama de tiempo de la figura 1-19. [Nota: el campo eléctrico inducido, en la posición 𝜌 = 𝑎 del alambre del solenoide, tiene tal dirección que se opone a la tendencia de la corriente de aumentar en ese alambre; (A veces se conoce como la ley de Lenz) este concepto del campo eléctrico autoinducido conduce al concepto de la autoinductancia de la bobina, la que se considera detalladamente en el capítulo 5.] Aplicando la ley de Faraday a la línea cerrada ℓ´ exterior a la bobina, se obtiene para la intensidad del campo eléctrico

24

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

𝐸𝜙 = −

𝜔𝐵0 𝑎2 cos 𝜔𝑡; 𝜌 > 𝑎 ⇝ (1 − 40) 2𝜌

En consecuencia, el campo eléctrico generado fuera del solenoide largo, por el flujo magnético variable en el tiempo, varía inversamente con respecto a 𝜌. Como se observa de (125), ambas respuestas son directamente proporcionales a 𝜔 debido a que están gobernadas por la rapidez de cambio respecto al tiempo del flujo magnético neto interceptado por la superficie.

Figura 1-19. Trayectoria ℓ de integración utilizada para encontrar el campo 𝑬 inducido de un solenoide, y el campo resultante 𝑬.

Si las cargas eléctricas, las cuales producen un campo eléctrico, están fijas en el espacio, dicho campo debe cumplir con la ley de Faraday en forma estática en el tiempo, (1-37). En el ejemplo 1-3 se estudiaron varios ejemplos de los campos eléctricos de cargas en reposo. Se considera a todas las distribuciones estáticas de cargas eléctricas en el espacio como superposiciones de concentraciones de cargas puntiformes 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣 en los elementos de volumen 𝑑𝑣 en el espacio. Por otra parte, se ha demostrado que el campo eléctrico de una carga puntiforme 𝑄 es (1-27b) 𝐄 = 𝐚𝑟

𝑄 ⇝ (1 − 27b) 4𝜋𝜖0 𝑟 2

Es fácil demostrar que este campo eléctrico obedece la ley de Faraday (1-37) para un campo estático en el tiempo

25

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

∮ 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ = 0 ⇝ (1 − 37) Si en el espacio, alrededor de una carga puntiforme, se escoge cualquier trayectoria cerrada tal como ℓ = ℓ𝑎 + ℓ𝑏 en la figura 1-20, la integral de 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ desde cualquier punto 𝑃1 a cualquier otro 𝑃2 a lo largo de la trayectoria ℓ𝑎 es 𝑃2

𝑃2

∫ 𝚬 ⋅ dℓ = ∫ [𝐚𝑟 𝑃1

𝑃1

𝑄 ] ⋅ (𝐚𝑟 𝑑𝑟 + 𝐚𝜃 𝑟 𝑑𝜃 + 𝐚𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙) 4𝜋𝜖0 𝑟 2

𝑟2

𝑄 𝑄 1 1 [ − ] ⇝ (1 − 41 ) 𝑑𝑟 = 2 4𝜋𝜖0 𝑟1 𝑟2 𝑟=𝑟1 4𝜋𝜖0 𝑟

=∫

Figura 1-20. Trayectorias cerradas, construidas alrededor de una carga puntiforme y distribución de cargas, con relación a la ley de Faraday para las cargas estáticas. (a) Carga puntiforme Q. (b) Distribución de cargas 𝜌𝑣 .

Se ve que este resultado es independiente de la elección de la trayectoria que conecta a 𝑃1 con 𝑃2 ; es una función solamente de las distancias radiales 𝑟1 y 𝑟2 a los puntos extremos respectivos 𝑃1 y 𝑃2 . En consecuencia, si se toma la integración alrededor de la trayectoria completa ℓ = ℓ𝑎 + ℓ𝑏 de la figura 1-20, se cancelan las dos integrales desde 𝑃1 hasta 𝑃2 a través de ℓ𝑎 y luego desde 𝑃2 de vuelta a 𝑃1 por ℓ𝑏 , y se cumple (1-37). En general, las distribuciones de cargas estáticas como las de la figura 1-20(b) son solamente colecciones de elementos de carga diferencial 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣; en tanto que sus campos eléctricos estáticos son solamente superposiciones (sumas vectoriales) de los campos eléctricos diferenciales conservativos 𝑑𝚬 producidos por cada uno de esos elementos estáticos de carga. Por tanto, se 26

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

demuestra que la ley de Faraday (1-37), para los campos eléctricos estáticos, en general es verdadera.

Figura 1-21. Aplicaciones de la ley de Faraday (1-25) a dispositivos. (a) Betatrón: el campo magnético y la fuerza del campo eléctrico inducido limitan a un electrón en movimiento hacia una trayectoria circular. (b) Principio del transformador: el movimiento de los electrones libres dentro del conductor secundario proporciona el voltaje 𝑉(𝑡) entre sus extremos abiertos.

Si se introdujera una carga eléctrica (o un grupo de cargas) al campo eléctrico generado por el campo magnético variable en el tiempo de un sistema como el de la figura 1-19, la carga experimentaría fuerzas eléctricas y magnéticas predecibles por la expresión de Lorentz (1-22). En la figura 1-21 se muestran dos ejemplos de dispositivos físicos que utilizan esas fuerzas. La parte (a) de esa figura muestra cómo se utilizan, bajo determinadas condiciones, un campo magnético variable en el tiempo y su campo eléctrico inducido para dirigir un haz de electrones alrededor de una trayectoria circular en el instrumento llamado betatrón, que desarrolló D. W. Kerst en 1941. La densidad de flujo magnético con simetría axial que se muestra entre las piezas de los polos se genera mediante una corriente sinusoidal de baja frecuencia en una bobina. Las variaciones del flujo magnético en el tiempo generan un campo eléctrico 𝚬 en dirección de 𝜙, axialmente simétrico, predecible por la ley de Faraday (1-25) como en el ejemplo 1-7. Si se introducen cargas electrónicas en la región evacuada entre los polos, hay dos fuerzas de Lorentz que actuarán sobre las cargas: una fuerza azimutal eléctrica, 𝐅𝛦 = −𝑒𝚬, que da al electrón una velocidad 𝓋 tangente a su trayectoria de movimiento; y una fuerza magnética 𝐅𝐵 = −𝑒𝓋 × 𝐁 perpendicular a la trayectoria, como se ilustra en la figura 121(a).Un análisis detallado demuestra que se requiere un campo magnético axialmente 27

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

simétrico y no uniforme para mantener una trayectoria circular estable para los electrones, con mayor densidad de B a lo largo del eje que sobre la trayectoria. La figura 1-21(b) ilustra el principio relacionado con el transformador. Si se considera que el solenoide de la figura 1-19 es el devanado primario del transformador que lleva una corriente 𝑖 variable en el tiempo, como se muestra en la figura 1-21(b), su campo magnético induce el campo 𝚬 dirigido azimutalmente. Un conductor secundario en forma de aro, como se muestra en la figura 1-21(b), y que tiene un pequeño espacio entre sus extremos, se localiza de tal manera que el campo magnético variable en el tiempo pasa a través de la superficie 𝑆 limitada por el conductor secundario. Las fuerzas del campo 𝚬 inducido forzan a los electrones, los cuales fácilmente se desprenden de las órbitas externas del conductor, a moverse a lo largo del alambre secundario para producir un exceso de cargas negativas hacia un extremo del alambre, en tanto que en el otro extremo se crea una carencia de cargas negativas (equivalente a una carga positiva). El resultado es un voltaje 𝑉(𝑡) variable en el tiempo, en el espacio entre los extremos del secundario. En el capítulo 5 se hablará sobre el principio del transformador. 1.9.4. Ley de Gauss para los campos magnéticos ∮ 𝚩 ⋅ 𝑑𝑠 = 0 ⇝ (1 − 24) 𝑆

Esta especifica que el flujo magnético neto (positivo o negativo) que emana de cualquier superficie cerrada S, en el espacio, siempre es cero. Este enunciado se ilustra en la figura 1-22; en (a) de la misma, hay una superficie S cerrada, arbitraria, construida en la región y que contiene una configuración generalizada de flujo magnético con densidad 𝐵(𝐫, 𝑡) en el espacio. La ley integral de Maxwell requiere que de cada superficie cerrada S de ese tipo, emane un total de cero líneas magnéticas netas, lo que quiere decir que las líneas de flujo magnético siempre forman líneas cerradas. En forma equivalente, expresa que los campos magnéticos no terminan en fuentes de cargas magnéticas por el motivo de que físicamente no existen cargas magnéticas libres, lo cual contrasta con la conclusión a la que se llega de la ley de Gauss (1-23) para los campos eléctricos; el hecho de que el término del lado derecho de esa relación no sea cero y que

28

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

comprende la función de densidad de carga eléctrica 𝜌𝑣, revela la existencia física de cargas eléctricas libres.

Figura 1-22. Superficie gaussiana (cerrada), relativa a campos magnéticos. (a) Superficie S cerrada, construida en una región que contiene un campo magnético. (b) Un ejemplo simétrico: el alambre recto y largo, portador de corriente.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.1. El solenoide largo de la figura, lleva una corriente que varía lentamente en el tiempo 𝑖 = 𝛪0 sin(𝜔𝑡). De la ley de Ampere, determinar la densidad cuasiestática de flujo magnético desarrollada dentro de la bobina de radio a, y usar luego la ley de Faraday para encontrar la intensidad de campo eléctrico inducido, tanto dentro como fuera de la bobina.

El solenoide infinitamente largo de la figura se considera como un toroide de radio infinito; en consecuencia, su campo magnético está completamente contenido dentro de la bobina ∮ ℓ

𝐵 𝑑 𝑑𝜓𝑒 = ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝑠 + ∫ (𝜖0 𝐸). 𝑑𝑠 = 𝑖 + 𝜇0 𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝑡 𝑆

29

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

La ley circuital de Ampere se aplica a la trayectoria cerrada y rectangular de la figura, con dos lados paralelos al eje de las z. Se obtiene una contribución diferente de cero, a la integral de línea, solamente en la trayectoria interior paralela al eje de las z, de donde sigue: 𝑑

∫ ( a𝑧 𝐵𝑧 ) ∙ 𝑑𝑧 = 𝜇𝑜 𝑛𝛪 ⇝ (1 − 67) 0

𝐵𝑧 es constante en la trayectoria, de donde sigue:

𝐵𝑧 = 𝜇𝑜 𝛪

𝑛 𝑑

en la cual la relación 𝑛/𝑑 denota las vueltas por metro de longitud. Por consiguiente, B es constante en todas partes dentro del solenoide infinitamente largo. En consecuencia, la corriente 𝛪0 sin(𝜔𝑡) del solenoide, dará como aproximación de primer orden, la densidad de flujo magnético cuasiestático en que 𝐵0 = 𝜇0 𝑛𝛪0 ⁄𝑑 , la amplitud de B. 𝑛 𝐵(𝑡) = a𝑧 𝜇0 𝛪0 ( ) sin(𝜔𝑡) = a𝑧 𝐵0 sin(𝜔𝑡) ⇝ (1 − 69) 𝑑 Esta suposición es razonablemente exacta para una frecuencia angular 𝜔 que no sea demasiado grande. El campo eléctrico E inducido por este campo B variable en el tiempo, se encuentra mediante la ley de Faraday, cuya integral de línea se toma primero alrededor de la trayectoria simétrica ℓ de radio 𝜌 dentro de la bobina, como se muestra en la figura.

La ley de Faraday queda como sigue:

∮ Ε ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑 𝑑𝜓𝑚 ∫ 𝐵 ⋅ 𝑑𝑠 = − ⇝ (1 − 55) 𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝑡

30

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

∮ (a𝜙 𝐸𝜙 ) ∙ a𝜙 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑 ∫ (a 𝐵 sin(𝜔𝑡)) ∙ a𝑧 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑆 𝑧 0

de la simetría circular, 𝐸𝜙 debe ser constante respecto a ℓ. Por tanto, 𝐸𝜙 ∮ 𝑑ℓ = −𝑤𝐵0 cos 𝜔𝑡 ∫ 𝑑𝑠 ℓ

pero ∮ 𝑑ℓ = 2𝜋𝜌 𝑒 ℓ

𝑆

∫ 𝑑𝑠 = 𝜋𝜌 2 de manera que 𝑆

𝐸𝜙 = −

𝑤𝐵0 𝜌 cos 𝜔𝑡 2

𝜌 < 𝑎 ⇝ (1 − 70)

Obsérvese que 𝐸𝜙 varía en razón directa con 𝜌, como se muestra en la figura. El signo negativo implica que para un aumento en el flujo neto 𝜓𝑚 a través de S (en la dirección de z positiva), el campo E inducido está dirigido en sentido de 𝜙 negativo, como se muestra en el diagrama de tiempo de la figura. [Nota: el campo eléctrico inducido, en la posición 𝜌 = 𝑎 del alambre del solenoide, tiene tal dirección que se opone a la tendencia de la corriente de aumentar en ese alambre; este concepto del campo eléctrico autoinducido conduce al concepto de la autoinductancia de la bobina, la que se considera detalladamente en el capítulo 5.] Aplicando la ley de Faraday a la línea cerrada ℓ´ exterior a la bobina, se obtiene para la intensidad del campo eléctrico 𝐸𝜙 = −

𝑤𝐵0 𝑎2 cos 𝜔𝑡 2𝜌

𝜌 > 𝑎 ⇝ (1 − 71)

En consecuencia, el campo eléctrico generado fuera del solenoide largo, por el flujo magnético variable en el tiempo, varía inversamente con respecto a 𝜌. Como se observa de la Ley de Faraday, ambas respuestas son directamente proporcionales a 𝜔 debido a que están gobernadas por la rapidez de cambio respecto al tiempo del flujo magnético neto interceptado por la superficie. 1.2. Encontrar el trabajo que se hace para mover un objeto a lo largo de una línea recta desde el punto p1 (2, 3, −1) hasta el punto p2 (1,4, −2), (expresado en metros) por la fuerza constante F = 3ax − 2ay + az [N]. Solución: 𝑥2

𝑦2

𝑧2

∫ 𝐹 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐹𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 + ∫ 𝐹𝑦 ⋅ 𝑑𝑦 + ∫ 𝐹𝑧 ⋅ 𝑑𝑧 ℓ

𝑥1 1

𝑦1 4

𝑧1 −2

∫ 𝐹 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 3𝑎𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑎𝑦 ⋅ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑎𝑧 ⋅ 𝑑𝑧 ℓ

2

3

−1

𝐹 = 3(1 − 2) − 2(3 − 4) + 1(−2 + 1) = −3 − 2 − 1 = −6

31

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

1.3. Un par de conductores circulares coaxiales, infinitamente largos, está localizado en el espacio vacío y tiene las dimensiones ya indicadas. A través de los conductores fluyen corrientes estáticas 𝑰 iguales y opuestas. a) Demostrar que los campos magnéticos, dentro del conductor interno (𝜌 < 𝑎) y entre los conductores 𝑎 < 𝜌 < 𝑏) son los mismos que para el alambre aislado del ejemplo (1-13). Demostrar también que el campo dentro del conductor externo (𝑏 < 𝜌 < 𝑐) es 𝐵𝜙 =

𝑢0 c2 −𝜌2 2𝜋𝜌 𝑐 2 −b2

y es cero para (𝜌 > c) ver figura.

b) hacer una gráfica de 𝐵𝜙 contra 𝜌 en el rango (0, 𝑐).

Solución: ∫ ℓ 2𝜋

∫ 𝑎𝜙 0

𝐵0 𝐼𝜇𝜌 𝜌𝑎𝜙 ⋅ 𝑑𝜙 = 𝜇0 2𝜋𝑎2

2𝜋

∫ 0

𝐵0 ⋅ 𝑑ℓ = 𝑖 𝜇0

𝐵0 𝜌2 𝜌 ⋅ 𝑑𝜙 = 𝐼 2 𝜇0 𝑎

2𝜋 𝐵0 𝜌2 𝜌 ∫ 𝑑𝜙 = 𝐼 2 𝜇0 𝑎 0

𝐵0 𝜌(2𝜋 − 0) = 𝐼𝜌 2 𝜇0 𝐵0 =

𝐼𝜇𝜌 2𝜋𝑎2

Para [𝑎 < 𝜌 < 𝑏]; 𝜌 > 𝑏 = 𝑖 − 𝑖 = 0; 𝐵0 = 𝜌 𝑎𝜙

32

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

∮

𝐵0 𝑑𝜙 = 𝑖 𝜇0

2𝜋

∫ 0

𝐵0 𝜌𝑑𝜙 = 𝐼 𝜇0

𝐵0 𝜌2𝜋 = 𝐼 𝜇0 𝑹𝒆𝒔𝒑 → 𝑩𝟎 =

si 𝑖 = 𝐼 =

𝑰𝝁𝟎 [T] 𝟐𝝅𝝆

𝜋(𝜌 2 − 𝑐 2 ) 𝜋(𝑐 2 − 𝑏 2 ) ∮

(𝜌 2 − 𝑐 2 ) 𝐵0 𝑑ℓ = 𝐼 2 (𝑐 − 𝑏 2 ) 𝜇0

(𝜌 2 − 𝑐 2 ) 𝐵0 𝜌2 𝜋 = 𝐼 2 (𝑐 − 𝑏 2 ) 𝜇0 𝑹𝒆𝒔𝒑

𝑰𝝁𝟎 (𝝆𝟐 − 𝒄𝟐 ) → 𝑩𝟎 = 𝟐𝝅𝝆(𝒄𝟐 − 𝒃𝟐 )

PROBLEMAS PLANTEADOS 1.1. Encontrar por superposición los campos magnéticos de los siguientes sistemas de corrientes estáticas (simplemente sumar las soluciones obtenidas antes):

33

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE I

ANÁLISIS VECTORIAL Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN EL ESPACIO VACÍO

a) Un par de solenoides coaxiales infinitamente largos, embobinados de forma apretada idealmente, cada uno con el mismo número de vueltas por metro y transmitiendo las corrientes 𝐼 en direcciones opuestas. ¿Cómo se afecta la respuesta si las comentes viajan en la misma dirección? Dibujar gráficas de flujo de los campos. Suponer que los radios de los solenoides son 𝑎 y 𝑏. b) Un par de toroides coaxiales, devanados de forma apretada idealmente, de sección transversal circular, con el mismo número de vueltas y llevando corrientes 𝐼: primero en direcciones opuestas; luego en la misma dirección. Suponer que los radios de las secciones transversales de los toroides son 𝑎 y 𝑏 (𝑎 < 𝑏). 1.2. Un solenoide corto que lleva una corriente estable 𝐼, tiene el flujo magnético ilustrado. De la ley de Faraday, determinar la dirección en que se induce una corriente en el anillo conductor colocado en una posición axial como se muestra, y que se mueve con velocidad 𝑣 alejándose del solenoide.

34

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

2. ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO Se utilizan el teorema de la divergencia y el de Stokes para obtener las formas diferenciales de las ecuaciones de divergencia y rotacional de Maxwell en el espacio vacío, a partir de sus versiones integrales postuladas en el capítulo 1. Se ve que las operaciones apropiadas de las ecuaciones diferenciales de Maxwell, variables en el tiempo, producen las ecuaciones de onda en términos de los campos 𝐁 y 𝐄. Para comprender estas ideas se requieren ciertos conocimientos en la diferenciación de campos vectoriales, lo cual se estudia en la siguiente sección. 2.1. Diferenciación de los campos vectoriales Si 𝐅(𝑢) función vectorial de una sola variable escalar 𝑢, su derivada vectorial ordinaria con respecto a 𝑢 se define por el límite 𝑑𝐅 Δ𝐅 𝐅(𝑢 + Δ𝑢) − 𝐅(𝑢) = lim = lim ⇝ (2 − 1) 𝑑𝑢 Δ𝑢→0 Δ𝑢 Δ𝑢→0 Δ𝑢 en el caso de las derivadas el vector posición 𝒓, el incremento vectorial Δ𝐅 no está necesariamente alineado con el vector 𝐅, lo que implica que la dirección de éste cambia con la variable 𝑢. La derivada 𝑑𝐅/𝑑𝑢 define una función cuya derivada define a su vez una función derivada 𝑑 2 𝐅/𝑑𝑢2 de segundo orden y así sucesivamente.

Figura 2-1. Una función vectorial 𝑭 en el espacio, y su variación 𝛥𝑭 con respecto a alguna variable u.

35

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Si 𝐅 es una función de más de una variable, por ejemplo de 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡 su derivada, con respecto a una de las variables (𝑢1 ) se define como sigue: 𝜕𝐅(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) 𝐅(𝑢1 + Δ𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) − 𝐅(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) = lim ⇝ (2 − 2) Δ𝑢1→0 𝜕𝑢1 Δ𝑢1 con expresiones análogas para las derivadas parciales con respecto a las demás variables. Las diferenciaciones parciales sucesivas dan funciones tales como 𝜕 2 𝐅/𝜕𝑢12 , 𝜕 2 𝐅/(𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 ), y así sucesivamente. Tambien es útil la derivada parcial de las combinaciones suma o producto de funciones escalares y vectoriales. 𝜕(𝑓𝐅) 𝜕𝐅 𝜕𝑓 =𝑓 +𝐅 ⇝ (2 − 3) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕(𝐅 ⋅ 𝐆) 𝜕𝐆 𝜕𝐅 =𝐅⋅ +𝐆⋅ ⇝ (2 − 4) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕(𝐅 × 𝐆) 𝜕𝐆 𝜕𝐅 = 𝐅× + × 𝐆 ⇝ (2 − 5) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 si 𝑓 es cualquier función escalar, 𝐅 y 𝐆 son funciones vectoriales de distintas variables, entre las cuales 𝑡 denota una variable. 2.2. Gradiente de una función escalar Es interesante conocer la rapidez de cambio en el espacio de un campo escalar 𝑓(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡). Por ejemplo, en el campo de temperaturas escalares 𝑇(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡), se llega a la conclusión de que las máximas rapideces espaciales del cambio en temperatura ocurren en direcciones normales a las superficies de temperatura constante mostradas. Se caracteriza la máxima rapidez de cambio espacial de una función escalar, incluyendo la dirección vectorial en que ocurre la rapidez de cambio, mediante un operador diferencial vectorial que se conoce como el gradiente. Si en cualquier tiempo fijo 𝑡 se hace un campo de un solo valor escalar, de manera que 𝑓(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) = 𝑓0 se describe una superficie en el espacio, como lo demuestra 𝑆1 en la figura 2-2. Un ejemplo físico de dicha superficie es cualquiera de las superficies de temperatura 36

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

constante. Haciendo que 𝑓(𝑢1 + 𝑑𝑢1 , 𝑢2 + 𝑑𝑢2 , 𝑢3 + 𝑑𝑢3 ) = 𝑓0 + 𝑑𝑓 en que 𝑑𝑓 significa una cantidad escalar constante muy pequeña, se describe otra superficie 𝑆2 a una distancia infinitesimal de 𝑆1 . Si se supone que dos puntos próximos, P y P´, están localizados a una distancia 𝑑ℓ vectorial de esas dos superficies, como se muestra en la figura 2-2(a), que expresa 𝑑ℓ = 𝐚ℓ 𝑑ℓ como: 𝑑ℓ = 𝐚1 𝑑ℓ1 + 𝐚2 𝑑ℓ2 + 𝐚3 𝑑ℓ3 ⇝ (2 − 6) 𝑑𝑓 es la cantidad que cambia 𝑓 al pasar desde 𝑃 hasta 𝑃´ desde la primera superficie a la segunda, y se escribe como: 𝑑𝑓 =

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑢1 + 𝑑𝑢2 + 𝑑𝑢3 = 𝑑ℓ1 + 𝑑ℓ2 + 𝑑ℓ ⇝ (2 − 7) 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 𝜕ℓ1 𝜕ℓ2 𝜕ℓ3 3

La presencia de las componentes de 𝑑ℓ en (2-7) permite expresar a 𝑑𝑓 como el producto escalar 𝑑𝑓 = [𝐚1

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ] . (𝐚1 𝑑ℓ1 + 𝐚2 𝑑ℓ2 + 𝐚3 𝑑ℓ3 ) + 𝐚2 + 𝐚3 𝜕ℓ1 𝜕ℓ2 𝜕ℓ3

Si la cantidad dentro de los corchetes es el gradiente de la función f se escribe simplemente 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 como sigue: 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 ≡ 𝐚1

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + 𝐚2 + 𝐚3 𝜕ℓ1 𝜕ℓ2 𝜕ℓ3

o también como sigue: 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 = 𝐚1

1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 + 𝐚2 + 𝐚3 ⇝ (2 − 8) ℎ1 𝜕𝑢1 ℎ2 𝜕𝑢2 ℎ3 𝜕𝑢3

Entonces se escribe la diferencial total 𝑑𝑓 de (2-7) en la forma abreviada siguiente: 𝑑𝑓 = (𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 ) ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (2 − 9) De (2-9) se deduce dos propiedades de 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 como sigue: 1. Se aprecia que la función vectorial 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓, es un vector perpendicular a cualquier superficie 𝑓 = 𝑓0 si se colocan los puntos P y P´ separados por la distancia 𝑑ℓ, en la misma superficie que en la figura 2-2(b). Entonces la cantidad en que cambia 𝑓 al pasar

37

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

desde P hasta P´ es cero, de (2-9), (𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓) ⋅ 𝑑ℓ = 0, lo que implica que 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 y 𝑑ℓ son vectores perpendiculares. Por tanto, 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 es un vector perpendicular en todas partes a cualquier superficie en que 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 2. Si a un desplazamiento 𝑑ℓ del punto P se le asigna una magnitud constante y dirección variable, entonces del producto escalar 𝑑𝑓 = |𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 |𝑑ℓ cos 𝜃, 𝜃 indica la dirección entre 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 y 𝑑ℓ. Por tanto, la magnitud de 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 es 𝑑𝑓/𝑑ℓ cos 𝜃, pero de la figura 22(a), 𝑑ℓ cos 𝜃 = 𝑑𝑛, la distancia más corta (perpendicular) desde el punto P en la superficie 𝑆1 a la superficie adyacente 𝑆2 en que 𝑓 = 𝑓0 + 𝑑𝑓 de donde sigue:|𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 | = 𝑑𝑓 |𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 | = ⇝ (2 − 10) 𝑑𝑛 Por ende, el vector 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 indica tanto la magnitud como la dirección de la máxima rapidez espacial de cambio de 𝑓, en cualquier punto en una región.

Figura 2-2. Dos superficies próximas 𝑓 = 𝑓0 y 𝑓 = 𝑓0 + 𝑑𝑓 relativas a un estudio de 𝒈𝒓𝒂𝒅𝑓. (a) Los puntos P y P´ separados por 𝑑ℓ y en superficies definidas mediante 𝑓 = 𝑓0 y 𝑓 = 𝑓0 + 𝑑𝑓. (𝑏) Los puntos P y P´ están en la misma superficie 𝑓 = 𝑓0 , para demostrar que 𝒈𝒓𝒂𝒅𝑓 y 𝑑ℓ son perpendiculares.

Nótese que también se expresa la magnitud de 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 en función de sus componentes curvilíneas ortogonales, dadas en la definición (2-8) por 2

|𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 | = [(

2

1 2 2

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ) +( ) +( ) ] ⇝ (2 − 11) ℎ1 𝜕𝑢1 ℎ2 𝜕𝑢2 ℎ3 𝜕𝑢3

De (2-8) se obtienen las expresiones para 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 en un sistema específico de coordenadas ortogonales, sustituyendo en ella los símbolos apropiados para 𝑢1 y ℎ1 como se estudia en la sección 1-4. Por tanto, en el sistema rectangular, 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 = 𝐚𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + 𝐚𝑦 + 𝐚𝑧 ⇝ (2 − 12a) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 38

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

en el sistema circular cilíndrico, 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 = 𝐚𝜌

𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + 𝐚𝜙 + 𝐚𝑧 ⇝ (2 − 12b) 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 𝜕𝑧

y en el sistema de coordenadas esféricas 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 = 𝐚𝑟

𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 + 𝐚𝜃 + 𝐚𝜙 ⇝ (2 − 12c) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙

Una propiedad integral de 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 de importancia en la teoría del campo, es que su integral de línea en cualquier trayectoria cerrada ℓ en el espacio es cero. ∮ (𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 ) ⋅ 𝑑ℓ = 0 ⇝ (2 − 13) ℓ

La propiedad integral de cualquier campo vectorial 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 se le conoce como la propiedad conservativa de este campo. 2.3. El operador 𝛁 (Del) Recuérdese que 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 = 𝐚𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + 𝐚𝑦 + 𝐚𝑧 ⇝ (2 − 12a) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

La presencia de la función común 𝑓 en cada término permite separar de esta expresión un operador diferencial parcial vectorial representado por el símbolo ∇ (del) como sigue: ∇≡ 𝐚𝑥

𝜕 𝜕 𝜕 + 𝐚𝑦 + 𝐚𝑧 ⇝ (2 − 14) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

entonces 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 ≡ ∇𝑓 = 𝐚𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + 𝐚𝑦 + 𝐚𝑧 ⇝ (2 − 15) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

En adelante se considerarán intercambiables las notaciones 𝐠𝐫𝐚𝐝𝑓 y ∇𝑓. Se define de manera similar en otros sistemas de coordenadas.

39

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Ejemplo 2-1 Supóngase que 𝑇(𝑥, 𝑦) = 200𝑥 + 100𝑦 [grados] da un campo escalar de temperaturas dependiente del tiempo en alguna región del espacio, con 𝑥 y 𝑦 expresadas en metros. Dibujar unas cuantas isotermas (superficies de temperatura constante) de este campo térmico constante y determinar el gradiente de 𝑇. Las isotermas se obtienen haciendo 𝑇 igual a valores específicos de temperatura constante. Así, al hacer 𝑇 = 100 grados se tiene 100 = 200𝑥 + 100𝑦, la ecuación del plano inclinado 𝑦 = −2𝑥 + 1. En la figura adjunta se muestran esta y otras superficies isotérmicas, El gradiente de temperatura de 𝑇(𝑥, 𝑦) está dado por (2-12a) ∇𝑇 ≡ grad 𝑇 = 𝐚𝑥

𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 + 𝐚𝑦 + 𝐚𝑧 = 200𝐚𝑥 + 100𝐚𝑦 [grado/m] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

que da un vector perpendicular en todas partes a las isotermas, como se muestra en (b) de la figura. Las componentes x y y del gradiente de temperatura denotan la rapidez de cambio de la temperatura en el espacio, a lo largo de esos ejes de coordenadas. De (2-11), la magnitud es |grad𝑇| = √2002 + 1002 = 223 [grado/m] lo cual denota la máxima rapidez de cambio espacial de la temperatura en cualquier punto. Entonces se observa que el calor fluye en la dirección de máxima disminución de la temperatura; es decir, a lo largo de líneas perpendiculares a las isotermas y por tanto en dirección opuesta a la del vector grad𝑇 en cualquier punto.

Ejemplo 2-1: (a) Gráfica de 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, (b) Vista lateral de (a).

2.4. Divergencia de una función vectorial Si se representa un campo vectorial 𝐅 mediante un sistema continuo de líneas no interrumpidas de flujo en una región de volumen como se muestra, en la figura 2-3(a), se dice que la región está libre de fuentes; o que el campo 𝐅 no tiene divergencia. (La divergencia de 𝐅 es cero.) Por otra parte, si la gráfica del flujo de 𝐅 consiste en líneas de flujo interrumpidas o discontinuas como se muestra en la figura 2-3(b), la región contiene fuentes del flujo de campo; entonces se dice que la divergencia del campo 𝐅 no es cero en esa región.

40

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

La divergencia de un campo vectorial 𝐅, que se abrevia div𝐅, se define como el límite del flujo neto hacia afuera de 𝐅, ∮𝑆 𝐅 ⋅ 𝑑𝑠, por volumen unitario, conforme el volumen Δ𝑣; encerrado por la superficie 𝑆 tiende a cero. ∮𝑆 𝐅 ⋅ 𝑑𝑠 [lineas de flujo/m3 ] ⇝ (2 − 16) Δ𝑣→0 Δ𝑣

div 𝐅 ≡ lim

Figura 2-3. (a) Un campo vectorial 𝑭 en una región libre de fuentes. A 𝑆 tantas líneas de flujo entran como las que salen. (b) Un campo vectorial 𝑭 en una región que contiene fuentes (𝑆 posee flujo neto hacia afuera). (c) El significado de div 𝑭: flujo neto hacia afuera por volumen unitario conforme 𝛥𝑣 → 0.

Conforme se hace muy pequeña la superficie cerrada 𝑆, el flujo límite neto hacia afuera por volumen unitario en la proximidad del punto P define la divergencia del campo vectorial 𝐅. La definición (2-16) lleva a expresiones diferenciales parciales para div 𝐅 en los distintos sistemas de coordenadas. Por ejemplo, en las coordenadas ortogonales generalizadas, se demuestra que: div 𝐅 =

1 𝜕𝐹1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝐹2 ℎ1 ℎ3 𝜕𝐹3 ℎ1 ℎ2 [ ] ⇝ (2 − 17) + + ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3

La expresión diferencial (2-17) para div 𝐅 en las coordenadas ortogonales generalizadas procede de la definición (2-16): El flujo neto de 𝐅 hacia afuera es el que emana de los seis lados de Δ𝑣; designados como Δ𝑠1, Δ𝑠1, , etc., en la figura 2-4( a ) . Poniendo finalmente en el numerador de (2-16) se obtiene el resultado anticipado en (2-17) 41

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∮𝑆 𝐅 ⋅ 𝑑𝑠 Δ𝜓′1 − Δ𝜓1 + Δ𝜓′2 − Δ𝜓2 + Δ𝜓′3 − Δ𝜓3 = lim Δ𝑣→0 Δ𝑣→0 Δ𝑣 ℎ1 ℎ2 ℎ3 Δ𝑢1 Δ𝑢2 Δ𝑢3

div 𝐅 = lim

En coordenadas rectangulares, div 𝐅 haciendo ℎ1 = ℎ2 = ℎ3 = 1 y 𝑢1 = 𝑥, 𝑢2 = 𝑦, 𝑢3 = 𝑧. div 𝐅 =

𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧 + + ⇝ Rectangulares (2 − 18a) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

en coordenadas circulares cilíndricas y esféricas, las expresiones quedan como sigue: div 𝐅 =

div 𝐅 =

1 𝜕 1 𝜕𝐹𝜙 𝜕𝐹𝑧 (𝜌𝐹𝜌 ) + + ⇝ Circulares cilindricas (2 − 18b) 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 𝜕𝑧

1 𝜕 2 1 𝜕 1 𝜕𝐹𝜙 ( ) ( ) 𝑟 𝐹 + 𝐹 sin 𝜃 + ⇝ Esfericas (2 − 18c) 𝑟 𝜃 𝑟 2 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙

Figura 2-4. Un elemento de volumen 𝛥𝑣; en el sistema de coordenadas ortogonales generalizadas, utilizado en el desarrollo de la expresión diferencial parcial para 𝑑𝑖𝑣 𝑭. (a) Un elemento de volumen 𝛥𝑣; y componentes de 𝑭 en la proximidad de 𝑃(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ). (b) Contribuciones de flujo que entran y salen de superficies opuestas de 𝛥𝑣; Los cuatro lados restantes se tratan en forma semejante.

Utilizando el operador del (∇), y tomando el producto interno de ∇ con 𝐅 en el sistema de coordenadas rectangulares, se encuentra ∇ ⋅ 𝐅 = (𝐚𝑥

𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧 + 𝐚𝑦 + 𝐚𝑧 ) ⋅ (𝐚𝑥 𝐹𝑥 + 𝐚𝑦 𝐹𝑦 + 𝐚𝑧 𝐹𝑧 ) = + + ⇝ (2 − 19) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Esta es

42

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

div 𝐅 ≡ ∇ ⋅ 𝐅 ⇝ (2 − 20) Ejemplo 2-2. Dibujar gráficas de flujo para cada uno de los siguientes campos vectoriales y encontrar la divergencia de cada uno: (a) 𝐅 = 𝐚𝑥 𝐾, 𝐆 = 𝐚𝑥 𝐾𝑦, 𝐇 = 𝐚𝑥 𝐾𝑥; (b) 𝐉 = 𝐚𝜌 𝐾, 𝐋 = 𝐚𝜌 ( 𝐾/𝜌 ).

Ejemplo 2-2

(a) Aplicando (2-18a) a las funciones 𝐅 , 𝐆 y 𝐇 en el sistema rectangular se obtiene div 𝐅 =

𝜕(𝐾) = 0, 𝜕𝑥

div 𝐆 =

𝜕(𝐾𝑦) = 0, 𝜕𝑥

div 𝐇 =

𝜕(𝐾𝑥) =𝐾 𝜕𝑥

Sus gráficas de flujo se muestran de (a) a (c). La inspección revela por qué se obtiene un valor cero de divergencia para los campos 𝐅 y 𝐆; el flujo neto que emane de una superficie de prueba cerrada colocada en cualquier parte en la región será cero. Por otra parte, de la gráfica de flujo es evidente que div 𝐇 no es cero debido a que las líneas de flujo discontinuo, que por necesidad deben de tener una densidad creciente con 𝑥 , dan un flujo neto distinto de cero, fluyendo desde la superficie cerrada 𝑆 como se muestra. (b) De (2-18b) div 𝐉 =

1 𝜕 𝐾 (𝜌𝐾) = , 𝜌 𝜕𝜌 𝜌

div 𝐋 =

1 𝜕 𝐾 (𝜌 ) = 0 𝜌 𝜕𝜌 𝜌

cuyas gráficas de flujo ilustradas miran a lo largo del eje de las 𝑧 en el sistema cilíndrico en (d) y (e). El carácter sin divergencia de L es evidente de su dependencia 1/𝜌 que en este sistema cilíndrico proporciona un sistema no interrumpido de líneas

43

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

de flujo hacia afuera. Ya que el campo 𝐉 dirigido radiálmente tiene una densidad de flujo constante de magnitud 𝐾, es claro que debe de tomar líneas adicionales de flujo con un aumento en 𝜌, por lo que se requiere que posea una divergencia.

2.4.1. Teorema de la divergencia Si 𝐅(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) está en alguna región del espacio, entonces ∫ (div 𝐅)𝑑𝑣 = ∮ 𝐅 ⋅ 𝑑s ⇝ (2 − 21) 𝑉

𝑆

es verdadera para la superficie cerrada 𝑆 que limita a cualquier volumen 𝑉. La ecuación (2-21) implica que la integral de volumen de (div 𝐅)𝑑𝑣 tomada en cualquier 𝑉 completo es igual al flujo neto de F el cual surge desde la superficie cerrada S que limita a 𝑉. Si se subdivide a 𝑉 en una cantidad grande 𝑛 de elementos de volumen, cualquiera de los cuales se designa como ∆𝑣𝑖 con cada uno limitado por la superficie como en la figura 2-5(a).

Figura 2-5. (𝑎) Un volumen V limitado por 𝑆, con un elemento típico ∆𝑣𝑖 de volumen limitado en el interior por 𝑆𝑖 . (b) Las superficies 𝑆2 y 𝑆3 construidas para eliminar las discontinuidades o singularidades de V.

Si 𝐅 y su divergencia ∇ ⋅ 𝐅 no son continuas, es necesario excluir las regiones en 𝑉 o en 𝑆 que posean tales discontinuidades o posibles singularidades construyendo superficies cerradas alrededor de ellas, como se muestra en la figura 2-5(b). Nótese que el volumen 𝑉 de esa figura está acotado por la superficie múltiple 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 , en que 𝑆2 y 𝑆3 están construidas de manera que se excluyan discontinuidades o singularidades dentro de ellos. Los vectores unitarios normales 𝐚𝑛 , identificados con cada elemento vectorial de superficie 𝑑𝑠 = 𝐚𝑛 en 44

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

𝑆1 , 𝑆2 y 𝑆3 se suponen vectores unitarios hacia afuera, que apuntan alejándose del volumen interior 𝑉. Ejemplo 2-3. Si se da un campo que dependa de 𝜌: 𝐄 = 𝐚𝜌 𝐾/𝜌1 / 2, con 𝐾 constante, ilústrese la validez del teorema de la divergencia evaluando ambas integrales de (2-21) dentro de y en un cilindro circular recto de longitud 𝐿, radio 𝑅 y centrado como se muestra alrededor del eje de las 𝑧.

Ejemplo 2-3

Ya que 𝐄 tiene una singularidad en 𝜌 = 0, se construye la superficie 𝑆2 tubular y delgada, de radio 𝑎 mostrada, para excluir dicha singularidad de la región de integración, haciendo 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 . Usando (2-18b), la divergencia de 𝐄 es ∇⋅𝐄=

1 𝜕 𝐾 (𝜌𝐸𝜌 ) = 3 𝜌 𝜕𝜌 2𝜌 2

que da la siguiente integral de volumen ∫ (∇ ⋅ 𝐄)𝑑𝑣 = 𝑉

2𝜋 𝐿 𝐾 𝑅 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧 ∫ ∫ ∫ = 2𝜋𝐾𝐿(𝑅1/2 − 𝑎1/2 ) ⇝ (1) 2 𝜌=𝑎 𝜙=0 𝑧=0 𝜌 3/2

Con 𝐄 en dirección de 𝜌 la integral de superficie de (2-21) se reduce a contribuciones solamente de 𝑆1 y 𝑆2 (las tapas de los extremos dan flujo cero hacia afuera), de donde 2𝜋

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑆

𝐿

∫

𝜙=0 𝑧=0

(𝐚𝜌

2𝜋 𝐿 𝐾 𝐾 ) ⋅ (𝐚 𝑅 𝑑𝜙 𝑑𝑧) + ∫ ∫ (𝐚𝜌 1/2 ) ⋅ (−𝐚𝜌 𝑎 𝑑𝜙 𝑑𝑧) 𝜌 1/2 𝑅 𝑎 𝜙=0 𝑧=0

= 2𝜋𝐾𝐿(𝑅1/2 − 𝑎1/2 ) ⇝ (2) concuerda con la repuesta (1). [Nota: cada respuesta tiene el límite 2𝜋𝐾𝐿𝑅1/2 conforme 𝑎 → 0].

45

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

La utilidad del teorema de divergencia abarca más generalmente el intercambio de volumen para integrales de superficies cerradas, necesarias para establecer varios teoremas de la teoría electromagnética. 2.4.2. Relaciones de divergencia de Maxwell para campos eléctricos y magnéticos La definición de la divergencia de un campo vectorial sirve como base para obtener las formas diferenciales de dos de las ecuaciones de Maxwell, a partir de sus formas integrales correspondientes para el espacio vacío ∮ (𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣[C] ⇝ (1 − 23) 𝑆

𝑉

∮ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = 0[Wb] ⇝ (1 − 24) 𝑆

Se aplican a superficies cerradas 𝑆 de forma y tamaño arbitrarios. Si 𝑆 es la superficie que limita a cualquier elemento ∆𝑣, de volumen pequeño, dividiendo ∮𝑆(𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 entre ∆𝑣 se tiene ∮𝑆(𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 ∫𝑉 𝜌𝑣 𝑑𝑣 = ⇝ (2 − 22) ∆𝑣 ∆𝑣 El límite del lado izquierdo, conforme ∆𝑣 se hace suficientemente pequeño, es div (𝜖0 𝐄). El lado derecho denota la relación de la carga libre ∆𝑞 dentro de ∆𝑣 al propio ∆𝑣; su límite es 𝜌𝑣 Por ende, conforme ∆𝑣 → 0 , (2-22) queda como sigue: div (𝜖0 𝐄) = 𝜌𝑣 [C/m3 ] ⇝ (2 − 23) que es la forma diferencial de la expresión integral de Maxwell. Nótese que al expresar (2-23) en coordenadas rectangulares usando (2-18a) se tiene la ecuación diferencial parcial 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧 𝜌𝑣 + + = ⇝ (2 − 24) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜖0 Es evidente que la divergencia de (𝜖0 𝐄) en cualquier punto, en una región, es 𝜌𝑣 , se supone que las fuentes de flujo de E son cargas electricas. De manera equivalente, si las líneas de

46

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

campos eléctricos terminan abruptamente, sus puntos de terminación deben ser cargas eléctricas. Por un procedimiento semejante, aplicando (1-24), se obtiene la siguiente ecuación diferencial parcial en términos de 𝐁 div 𝐁 = 0 [ Wb/m3 ] ⇝ (2 − 25) lo que implica que los campos de 𝐁 son sin divergencia, no tienen fuentes. Por tanto, la gráfica de flujo de cualquier campo 𝐁 deben ser líneas cerradas; así que en el mundo físico no existen las cargas magnéticas libres. A un campo sin divergencia también se le llama campo solenoidal. Ejemplo 2-4. Si se supone que la ecuación diferencial (2-23) de Maxwell se postula en vez de su forma integral (1-23). Ejecutar el inverso del proceso recién descrito, obteniendo (1-23) a partir de (2-23), integrando ésta sobre un volumen arbitrario 𝑉 y aplicando el teorema de la divergencia. Si se integra (2-23) sobre un volumen arbitrario 𝑉 se tiene ∫ div (𝜖0 𝐄)𝑑𝑣 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 𝑉

𝑉

Usando (2-21), se remplaza el lado izquierdo por la integral ∮𝑆(𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠, equivalente de superficie cerrada y se obtiene: ∮ (𝜖0 𝐄) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⇝ (1 − 23) 𝑆

𝑉

2.5. Rotacional de un campo vectorial De (2-13) la integral de línea de (𝐠𝐫𝐚𝐝 𝑓) ⋅ 𝑑ℓ alrededor de cualquier trayectoria cerrada, es cero. Muchas funciones vectoriales no tienen esa propiedad conservativa; un ejemplo es el campo magnético 𝐁 que obedece a la ley circuital de Ampere (1-26). Se dice que los campos no conservativos poseen una circulación alrededor de trayectorias cerradas de integración. Siempre que se toma la integración cerrada de línea de un campo, alrededor de un camino cerrado pequeño (que tiende a desvanecerse) y que el resultado se expresa como una relación al área pequeña encerrada, esa circulación por área unitaria se expresa como un vector conocido como el rotacional del campo en la vecindad de un punto.

47

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Figura 2-6. Un campo de velocidad en un fluido, con una interpretación de su rotacional, a partir de la rotación de una pequeña rueda de paletas.

La obra de Helmholtz, referente al movimiento de vórtices de los campos de fluidos, condujo a los postulados matemáticos de Maxwell, relativos a los conceptos de Faraday de los campos eléctricos inducidos por campos magnéticos variables en el tiempo. Se establece una conexión entre el rotacional y los fenómenos de los fluidos, suponiendo que una pequeña rueda de paletas está sumergida en una corriente de agua, con su campo de velocidades representado por el mapeo de flujo de la figura 2-6. La rueda está orientada como en 𝐴 la figura. El efecto del fluido, cuya velocidad es mayor en un lado que en otro, hará que la rueda gire, en sentido a las manecillas del reloj. En este ejemplo, se dice que el campo de velocidad 𝓋 tiene un rotacional vectorial dirigido, entrando al papel, a lo largo del eje de la rueda, y su sentido está determinado por el pulgar de la mano derecha, si los dedos apuntan en la dirección de la rotación; el vector rotacional de 𝓋 está en dirección de las 𝑧 negativas en 𝐴. En forma semejante, al rotar físicamente el eje de la rueda en sentido perpendicular, como en 𝐵 de la figura, proporciona una manera de determinar la componente 𝑥 del vector rotacional de 𝓋, simbolizada por [𝐫𝐨𝐭 𝓋]𝑥 . En coordenadas rectangulares, el vector total rotacional de 𝓋 es la suma vectorial 𝐫𝐨𝐭 𝓋 = 𝐚𝑥 [𝐫𝐨𝐭 𝓋]𝑥 + 𝐚𝑦 [𝐫𝐨𝐭 𝓋]𝑦 + 𝐚𝑧 [𝐫𝐨𝐭 𝓋]𝑧 Por lo común, el rotacional de un campo vectorial 𝐅(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) indicado como 𝐫𝐨𝐭 𝐅, se expresa como la suma vectorial de tres componentes ortogonales como sigue: 𝐫𝐨𝐭 𝐅 = 𝐚1 [𝐫𝐨𝐭 𝐅]1 + 𝐚2 [𝐫𝐨𝐭 𝐅]2 + 𝐚3 [𝐫𝐨𝐭 𝐅]3 ⇝ (2 − 26) Cada componente se define como una integral de línea de 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ alrededor de una línea cerrada que tiende a encogerse en base a un área unitaria, con la componente 𝐚1 definida como

48

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∮ℓ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (2 − 27) ∆S1→0 ∆𝑆1

𝐚1 [𝐫𝐨𝐭 𝐅]1 ≡ 𝐚1 lim

La superficie que tiende a desvanecerse y que está limitada por la línea cerrada ℓ de la figura 2-7 es ∆𝑠1 en la cual se supone que la dirección de integración alrededor de ℓ está gobernada por la regla de la mano derecha. Se aplican definiciones semejantes a las otras dos componentes: ∮ℓ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ ∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ ∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ + 𝐚2 lim ℓ + 𝐚3 lim ℓ ⇝ (2 − 28) ∆S1 →0 ∆𝑆1 ∆S2 →0 ∆𝑆2 ∆S3 →0 ∆𝑆3

𝐫𝐨𝐭 𝐅 = 𝐚1 lim

Figura 2-7. Una línea cerrada ℓ que limita el área desvanecente ∆𝑆1 → 𝑑𝑠, utilizada para definir la componente 𝑎1 del rotacional 𝑭 en 𝑃.

Se deduce la expresión diferencial para 𝐫𝐨𝐭 𝐅 en coordenadas generalizadas, procedimiento similar al utilizado para diferencial de 𝐝𝐢𝐯 𝐅. La forma de ℓ cerrada, no tiene importancia, en tanto las dimensiones de ∆𝑠 dentro de ℓ tiendan juntas hacia cero. En consecuencia, al encontrar la componente 𝐚1 de 𝐫𝐨𝐭 𝐅, se deforma ℓ en el rectángulo curvilíneo de la figura 28(𝑏) con los bordes ∆ℓ2 y ∆ℓ3 . La superficie limitada por ℓ es ∆𝑠1 = 𝐚1 ∆ℓ2 ∆ℓ3 = 𝐚1 ℎ2 ℎ3 ∆𝑢2 ∆𝑢3 , en que 𝐹2 y 𝐹3 son las únicas componentes de 𝐅 que contribuyen a la integral de línea en el numerador de (2-27). A lo largo del borde inferior ∆ℓ2 , la contribución a ∮ℓ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ queda como sigue: ∆𝑤2 = 𝐹2 ∆ℓ2 ⇝ (2 − 29)

49

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Figura 2-8. Con relación al 𝒓𝒐𝒕 𝑭 en coordenadas ortogonales generalizadas. (𝑎) Las componentes de 𝑭 en un punto 𝑃. (𝑏) Trayectoria ℓ relativa a la componente 𝒂1 del rotacional de 𝑭.

A lo largo del borde superior, 𝐹2 cambia en una cantidad incremental, también lo hace el incremento ∆ℓ2 , de longitud debido al sistema de coordenadas curvilíneas. La contribución de la integral de línea a lo largo del borde superior se deduce de un desarrollo en serie de Taylor de ∆𝑤2 alrededor de 𝑃. Los dos primeros términos son suficientes si ∆𝑢3 es adecuadamente pequeño; por tanto ∆𝑤2′ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 + ∆𝑢3 ) = − [∆𝑤2 +

𝜕(∆𝑤2 ) 𝜕(𝐹2 ∆ℓ2 ) ∆𝑢3 ] = − [𝐹2 ∆ℓ2 + ∆𝑢3 ] 𝜕𝑢3 𝜕𝑢3

⇝ (2 − 30) en que el signo negativo es el resultado de integrar en el sentido de 𝑢2 decreciente a lo largo del borde superior. En forma semejante, la contribución a lo largo de ∆ℓ3 en el borde izquierdo en la figura 28(b) es ∆𝑤3 = −𝐹3 ∆ℓ3 ⇝ (2 − 31) a lo largo del borde derecho, es ∆𝑤3′ = 𝐹3 ∆ℓ3 +

𝜕(𝐹3 ∆ℓ3 ) ∆𝑢2 ⇝ (2 − 32) 𝜕𝑢2

Sustituyendo (2-29) hasta (2-32) en la definición (2-27) se obtiene para la componente 𝐚1 de 𝐫𝐨𝐭 𝐅

50

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∮ℓ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ ∆𝑤2 + ∆𝑤2′ + ∆𝑤3 + ∆𝑤3′ = 𝐚1 lim ∆𝑠1→0 ∆𝑠1 ∆𝑠1 →0 ∆ℓ2 ∆ℓ3

𝐚1 [rot 𝐅]𝟏 = 𝐚1 lim

𝐹2 ∆ℓ2 − [𝐹2 ∆ℓ2 + = 𝐚1 lim

∆𝑠1→0

= 𝐚1

𝜕(𝐹3 ∆ℓ3 ) 𝜕(𝐹2 ∆ℓ2 ) ∆𝑢3 ] − 𝐹3 ∆ℓ3 + [𝐹3 ∆ℓ3 + ∆𝑢2 ] 𝜕𝑢3 𝜕𝑢2 ℎ2 ℎ3 ∆𝑢2 ∆𝑢3

1 𝜕(𝐹3 ℎ3 ) 𝜕(𝐹2 ℎ2 ) [ ] ⇝ (2 − 33) − ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3

Un procedimiento similar para las dos componentes vectoriales restantes de 𝐫𝐨𝐭 𝐅 en (228), aunque, por la simetría, un intercambio cíclico simple de los subíndices en (2-33) lleva directamente a ellos. La expresión de 𝐫𝐨𝐭 𝐅 en coordenadas generalizadas 𝐫𝐨𝐭 𝐅 =

𝐚1 𝜕(𝐹3 ℎ3 ) 𝜕(𝐹2 ℎ2 ) 𝐚2 𝜕(𝐹1 ℎ1 ) 𝜕(𝐹3 ℎ3 ) [ ]+ [ ] − − ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 ℎ3 ℎ1 𝜕𝑢3 𝜕𝑢1 +

𝐚3 𝜕(𝐹2 ℎ2 ) 𝜕(𝐹1 ℎ1 ) [ ] ⇝ (2 − 34) − ℎ1 ℎ2 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2

en la forma de determinante se tiene 𝐚1 ℎ2 ℎ3 | 𝐫𝐨𝐭 𝐅 = 𝜕 | 𝜕𝑢1 ℎ1 𝐹1

𝐚2 ℎ3 ℎ1 𝜕 𝜕𝑢2 ℎ2 𝐹2

𝐚3 ℎ1 ℎ2 | 𝜕 ⇝ (2 − 35) | 𝜕𝑢3 ℎ3 𝐹3

en el sistema de coordenadas rectangulares, se simplifica a 𝐚𝑥 𝜕 𝐫𝐨𝐭 𝐅 = | 𝜕𝑥 𝐹𝑥

𝐚𝑦 𝜕 𝜕𝑦 𝐹𝑦

𝐚𝑧 𝜕 | ⇝ (2 − 36) 𝜕𝑧 𝐹𝑧

Comparando (2-36) contra el producto cruzado 𝐀 × 𝐁 de (1-16), y recordando la definición (2-14) de ∇, se llega a los simbolismos equivalentes 𝐫𝐨𝐭 𝐅 = ∇ × 𝐅 ⇝ (2 − 37)

51

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Es costumbre considerar intercambiables a los simbolismos 𝐫𝐨𝐭 𝐅 y ∇ × 𝐅 sin importar el sistema de coordenadas utilizado. Ejemplo 2-5. Encontrar el rotacional de 𝐆 = 𝐚𝑥 𝐾𝑦 , cuya gráfica de flujo está ilustrada en el ejemplo 2-2. Debido a que 𝐆 sólo tiene una componente de 𝑥 dependiente de las 𝑦, de (2-36) se obtiene 𝐚𝑥 𝐫𝐨𝐭 𝐆 = | 0 𝐾𝑦

𝐚𝑦 𝜕 𝜕𝑦 0

𝐚𝑧 0 | = 𝐚𝑧 [−

𝜕(𝐾𝑦 ) ] = −𝐚𝑧 𝐾 𝜕𝑦

0

lo cual es un resultado en dirección de las 𝑧 negativas. Por tanto, si 𝐆 fuera un campo de la velocidad de un fluido con una rueda de paletas sumergida en él como en la figura 2-6, se obtendría una rotación en sentido a las manecillas del reloj mirando a lo largo de la dirección de las 𝑧 negativas, lo que concuerda con la dirección de 𝐫𝐨𝐭 𝐆. Ejemplo 2-6. Encontrar el rotacional de los campos 𝐁, tanto dentro como fuera del alambre recto y largo, que transporta la corriente estable 𝐼 de la figura 1-16. El campo 𝐁 está dado por (1-34), una función de 𝜌 en dirección de 𝜙 . El rotacional de 𝐁, que se obtiene de (2-35), da dentro del alambre (𝜌 < 𝑎) 𝐚𝜌 𝐚𝜙 𝜌 | 𝜕 𝜕 𝐫𝐨𝐭 𝐁 = 𝜕𝜌 𝜕𝜙 | 𝜇0 𝐼0 0 𝜌[ ] 2𝜋𝑎2

𝐚𝑧 𝜌 | 𝐚𝑧 𝜕 𝜇0 𝐼0 𝐼 𝜕 = [𝜌 ] = 𝐚𝑧 𝜇0 2 2 𝜌 𝜕𝜌 2𝜋𝑎 𝜋𝑎 𝜕𝑧 | 0

que es un resultado proporcional a la densidad de corriente 𝐽𝑧 = 𝐼 / 𝜋𝑎2 en el alambre. Este caso especial demuestra la validez de una relación diferencial de Maxwell que se desarrollará en la sección (2-5-2). Se demuestra adicionalmente que 𝐫𝐨𝐭 𝐁 fuera del alambre es cero, en vista de que 𝜌 es una función inversa de 𝐁 aquí.

2.5.1. Teorema de Stokes Si 𝐅(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) está bien definida, entonces la identidad integral es válida para cada línea cerrada ℓ en la región, si 𝑆 es una superficie limitada por ℓ. ∫ (∇ × 𝐅 ) ⋅ 𝑑𝑠 = ∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (2 − 38) 𝑆

ℓ

52

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Para su demostración supóngase que 𝑆 arbitraria está subdividida en un número 𝑛 grande de elementos de superficie, de los cuales ∆𝑠𝑖 limitado por ℓ𝑖 como en la figura 2-9(a). De la definición (2-27) de la componente del 𝐫𝐨𝐭 𝐅 en la dirección de ∆𝑠𝑖 se infiere que la integral 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ alrededor de ℓ𝑖 es

de línea de

∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = [𝐫𝐨𝐭 𝐅] ⋅ ∆𝑠𝑖 ⇝ (2 − 39) ℓ𝑖

para ∆𝑠𝑖 suficientemente pequeña, Si se suma el lado izquierdo de (2-39) sobre todos los contornos ℓ𝑖 cerrados en la superficie 𝑆 de la figura 2-9(a), los bordes comunes de los elementos adyacentes se recorren dos veces y en direcciones opuestas las integraciones alrededor de ℓ𝑖 se cancelen en todas partes en S excepto en su límite exterior ℓ. Sumando el lado izquierdo de (2-39) en los 𝑛 elementos interiores ∆𝑠𝑖 se obtiene entonces 𝑛

∑ [∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ] = ∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (2 − 40) 𝑖=1

ℓ𝑖

ℓ

e igualando al lado derecho de (2-39) sumado sobre los mismos elementos se tiene el resultado, conforme n tiende a infinito, que es el teorema de Stokes (2-38). 𝑛

∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = lim ∑[(𝐫𝐨𝐭 𝐅) ⋅ ∆𝑠𝑖 ] = ∫ (𝐫𝐨𝐭 𝐅) ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (2 − 41) ℓ

∆𝑠𝑖 →0

𝑖=1

𝑆

Figura 2-9. Con relación al teorema de Stokes. (a) Elemento de superficie ∆𝑠𝑖 típico limitado por ℓ𝑖 . (b) Líneas cerradas ℓ2 y ℓ3 construidas para eliminar discontinuidades de 𝑆.

53

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Como con el teorema de la divergencia, en (2-38) es necesario que 𝐅, junto con sus primeras derivadas, sea continua. En caso contrario, se excluyen las discontinuidades o singularidades construyendo líneas cerradas alrededor de ellas como en la figura 2-9(b), para hacer que S esté limitada por la línea cerrada ℓ = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 . Sin embargo, se recorren dos veces las franjas de Conexión cuyas anchuras tienden a cero como se muestra, de manera que se cancelan sus contribuciones integrales. Como de costumbre, el sentido positivo de 𝑑𝑠 debe concordar con el sentido de integración alrededor de ℓ de acuerdo con la regla de la mano derecha. Ejemplo 2-7. Dado el campo vectorial 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐚𝑥 5𝑥𝑦𝑧 + 𝐚𝑦 𝑦 2 + 𝐚𝑧 𝑦𝑧 ⇝ (1) ilústrese la validez del teorema de Stokes evaluando (2-38) en la superficie abierta 𝑆, definida por los cinco lados de un cubo de 1[m] de largo y alrededor de la línea cerrada ℓ que limita a 𝑆 como se muestra. Primero se evalúa la integral de línea. Usando la figura (a), el lado derecho de (2-38) aplicado a ℓ queda como sigue: 𝑃2

𝑃3

𝑃4

𝑃1

∮ 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐅 ⋅ 𝐚𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝐅 ⋅ 𝐚𝑧 𝑑𝑧 + ∫ 𝐅 ⋅ 𝐚𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝐅 ⋅ 𝐚𝑧 𝑑𝑧 ℓ

𝑃1

𝑃2 1

𝑃3

0

=0+∫

0

z 𝑑𝑧 + ∫

𝑧=0

𝑃4

5𝑥 𝑑𝑥 + ∫ z 𝑑𝑧 = −5/2 ⇝ (2)

𝑥=1

𝑧=1

Luego se encuentra la integral de superficie de (2-38). De (2-36) sigue: 𝐚𝑥 𝜕 𝐫𝐨𝐭 𝐅 = | 𝜕𝑥 5𝑥𝑦𝑧

𝐚𝑦 𝜕 𝜕𝑦 𝑦2

𝐚𝑧 𝜕 | = 𝐚𝑥 𝑧 + 𝐚𝑦 5𝑥𝑦 − 𝐚𝑧 5𝑥𝑧 ⇝ (3) 𝜕𝑧 𝑦𝑧

de donde la integral de superficie de (2-38), evaluada sobre 𝑆1 , … … , 𝑆5 da, usando la figura (b) 1

∫ (𝐫𝐨𝐭 𝐅) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑺

1

∫

1

[5𝑥𝑧]𝑧=0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − ∫

𝑦=0 𝑥=0 1 1

−∫

∫

1

∫

[𝑧]𝑥=0 𝑑𝑦 𝑑𝑧

z=0 𝑦=0

[5𝑥𝑧]𝑧=1 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦=0 𝑥=0 1

+∫

1

∫

1

[𝑧]𝑥=1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − ∫

𝑧=0 𝑦=0

1

∫

[5𝑥𝑦]𝑦=0 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = −5/2 ⇝ (4)

𝑧=0 𝑥=0

lo cual concuerda con (2).

54

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Ejemplo 2-7. (a) Elementos de línea en ℓ. (b) Elementos de superficie en 𝑆.

2.5.2. Relaciones del rotacional de Maxwell para campos eléctricos y magnéticos En la sección 2-4-2 se utilizó la divergencia de una función vectorial en la deducción de las ecuaciones diferenciales de Maxwell (2-23) y (2-25). Se utiliza la definición del rotacional en forma semejante para obtener las formas diferenciales de las ecuaciones restantes (1-25) y (126). Debido a que las últimas son correctas para líneas cerradas de formas y tamaños arbitrarios, se escoge a ℓ en forma de cualquier trayectoria cerrada y pequeña que limite a 𝐚1 ∆𝑠1 en la vecindad de cualquier punto como en la figura 2-7. Tomando la relación de (1-25) a ∆𝑠1 asignando el sentido vectorial 𝐚1 a cada lado, se tiene 𝑑 − ∫∆𝑠 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 ∮ℓ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ 𝑑𝑡 1 𝐚1 = 𝐚1 ⇝ (2 − 42) ∆𝑠1 ∆𝑠1 De (2-27), conforme ∆𝑠1 → 0, el lado izquierdo se hace 𝐚1 [𝐫𝐨𝐭 𝐄]. El lado derecho denota la velocidad de disminución de la relación del flujo magnético ∆𝜓𝑚 a ∆𝑠1 pero esta es precisamente la componente 𝐵1 en el punto 𝑃. Por tanto, el límite de (2-42) se reduce a 𝐚1 [𝐫𝐨𝐭 𝐄]1 = −

𝜕(𝐚1 𝐵1 ) ⇝ (2 − 43) 𝜕𝑡

y que relaciona la componente 𝐚1 del 𝐫𝐨𝐭 𝐄 con la velocidad de disminución de la componente 𝐚1 de la densidad de flujo magnético 𝐁 en cualquier punto. La selección de la dirección asignada por 𝐚1 es arbitraria, lo que implica que también son válidos dos resultados semejantes alineados con las direcciones de los vectores unitarios 𝐚2 y 𝐚3 e independientes de (2-43). 55

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

𝐚1 [𝐫𝐨𝐭 𝐄]1 + 𝐚2 [𝐫𝐨𝐭 𝐄]2 + 𝐚3 [𝐫𝐨𝐭 𝐄]3 = −

𝜕 [𝐚 𝐵 + 𝐚2 𝐵2 + 𝐚3 𝐵3 ] 𝜕𝑡 1 1

Tabla 2-1.Función del tiempo y armónica compleja en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío. II. I.

Compleja, armónico en el tiempo

En función del tiempo ∮ 𝜖0 𝐄̂ ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌̂𝑣 𝑑𝑣

∮ 𝜖0 𝐄 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⇝ (1 − 23) 𝑆

𝑉

𝑆

𝑉

̂ ⋅ 𝑑𝑠 = 0 ∮𝐁

∮ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = 0 ⇝ (1 − 24) 𝑆

𝑆

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

∮ ℓ

𝑑 ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (1 − 25) 𝑑𝑡 𝑆

𝐁 𝑑 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 + ∫ 𝜖0 𝐄 ⋅ 𝑑𝑠 𝜇0 𝑑𝑡 𝑆 𝑆 ⇝ (1 − 26)

̂ ⋅ 𝑑𝑠 ∮ 𝐄̂ ⋅ 𝑑ℓ = −𝑗𝜔 ∫ 𝐁 ℓ

∮ ℓ

𝑆

̂ 𝐁 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐉̂ ⋅ 𝑑𝑠 + 𝑗𝜔 ∫ 𝜖0 𝐄̂ ⋅ 𝑑𝑠 𝜇0 𝑆 𝑆

Formas integrales

IV. III.

∇ ⋅ (𝜖0 𝐄) = 𝜌𝑣 ⇝ (2 − 23)

∇ ⋅ (𝜖0 𝐄̂) = 𝜌̂𝑣 ⇝ (2 − 52)

∇ ⋅ 𝐁 = 0 ⇝ (2 − 25)

̂ = 0 ⇝ (2 − 53) ∇⋅𝐁

∇×𝐄=−

∇×

Compleja, armónico en el tiempo

Dependiente en el tiempo

𝜕𝐁 ⇝ (2 − 44) 𝜕𝑡

𝐁 𝜕 = 𝐉 + (𝜖0 𝐄) ⇝ (2 − 45) 𝜇0 𝜕𝑡

̂ ⇝ (2 − 54) ∇ × 𝐄̂ = −𝑗𝜔𝐁

∇×

̂ 𝐁 = 𝐉̂ + 𝑗𝜔𝜖0 𝐄̂ ⇝ (2 − 55) 𝜇0

Formas diferenciales

Usando la notación de (2-26) se tiene la forma más compacta

56

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∇×𝐄 = −

𝜕𝐁 [V/m2 ] ⇝ (2 − 44) 𝜕𝑡

que es la forma diferencial de la ley de Faraday (1-25), que expresa que el 𝐫𝐨𝐭 del campo 𝐄 en cualquier posición es la rapidez de cambio del campo 𝐁, lo que implica que la presencia de un campo magnético 𝐁 variable en el tiempo, es responsable de que surja un 𝐄 inducido variable en el tiempo en la misma región. A la relación de Maxwell (1-26) se aplica un procedimiento semejante al que se usó para deducir (2-44), lo que da la ecuación diferencial y que expresa que el rotacional de 𝐁/𝜇0 en cualquier punto, es la suma de la densidad 𝐉 de corriente eléctrica y la densidad 𝜕(𝜖0 𝐄)/𝜕𝑡. ∇×

𝐁 ∂(𝜖0 𝐄) =𝐉+ [A/m2 ] ⇝ (2 − 45) 𝜇0 ∂𝑡

Si los campos E y B, en el espacio vacío, son estáticos, el operador 𝜕/𝜕𝑡 de (2-44) y (2-45) es igual a cero, entonces resulta que; ∇ × 𝐄 = 0 ⇝ (2 − 46) Relaciones de rotacional para 𝐁 campos estaticos 𝐄 y 𝐁 ∇ × 𝜇 = 𝐉 ⇝ (2 − 47) 0 La ecuación (2-46) expresa que cualquier campo 𝐄 estático es irrotacional (conservativo), en tanto que (2-47) especifica que el rotacional de un campo 𝐁, estático es proporcional a la densidad 𝐉 de corriente. 2.6. Resumen de las ecuaciones de Maxwell: formas compleja y armónica en el tiempo Por lo común, las ecuaciones diferenciales de Maxwell ofrecen mucho más amplia las soluciones. Las soluciones sinusoidales de estado estable o armónicas en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell también son de importancia. Los campos 𝐄 y 𝐁, armónicos en el tiempo, se generan de fuentes de carga y corriente de densidades que varíen sinusoidalmente en el tiempo. Suponiendo que las fuentes sinusoidales hayan estado activas el tiempo suficiente como para que las componentes de campos transitorios hayan decaído hasta niveles despreciables, 57

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

adicionalmente suponiendo que 𝐄 y 𝐁 alcanza a un estado sinusoidal estable. Entonces 𝐄 y 𝐁 varían de acuerdo con cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑒 ) y cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑏 ), en que 𝜃𝑒 y 𝜃𝑏 denotan fases arbitrarias y 𝜔 es la frecuencia angular. Se logra otra formulación equivalente si se supone que los campos varían de acuerdo con el factor exponencial complejo 𝑒 𝑗𝜔𝑡 . Esta suposición lleva a una reducción de las funciones de campo del espacio y tiempo a las funciones de espacio solamente, como se observa en lo que sigue. Las cantidades de campo en las formas de tiempo real de las ecuaciones de Maxwell presentadas en la la tabla 2-1 se simbolizan como 𝐄 ≡ 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t); 𝐁 ≡ 𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) ⇝ (2 − 48) 𝐉 ≡ 𝐉(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t); 𝜌𝑣 ≡ 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) La linealidad de las relaciones de Maxwell garantiza que las variaciones sinusoidales, en el tiempo de las fuentes de cargas y corrientes, produzcan campos 𝐄 y 𝐁 que en el estado estable, también son sinusoidales. Entonces se remplaza a las funciones (2-48) del espacio y tiempo con productos de funciones complejas del espacio solamente, multiplicados por el factor complejo 𝑒 𝑗𝜔𝑡 como sigue: 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) se remplaza por 𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ̂ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) se remplaza por 𝐁 𝐉(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢𝟑 , 𝑡) se remplaza por 𝐉̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) se remplaza por 𝜌̂𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ⇝ (2 − 49) ̂ , y 𝐉̂ en función del sistema de coordenadas Si se escriben los vectores complejos 𝐄̂, 𝐁 generalizadas como sigue: es decir, 𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = 𝐚1 𝐸̂1 + 𝐚2 𝐸̂2 + 𝐚3 𝐸̂3 ⇝ (2 − 50) al insertar (2-49) en las ecuaciones de Maxwell de la tabla 2-1, se obtiene ∇ ⋅ (𝜖0 𝐄̂𝑒 𝑗𝜔𝑡 ) = 𝜌̂𝑣 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ) = 0 ∇ ⋅ (𝐁

;

;

∂ ̂ 𝑗𝜔𝑡 ∇ × (𝐄̂𝑒 𝑗𝜔𝑡 ) = − ∂𝑡 (𝐁 𝑒 )

⇝ (2 − 51) ̂ 𝑗𝜔𝑡 𝐁 𝜕 𝑗𝜔𝑡 𝑗𝜔𝑡 ̂ ̂ ∇ × (𝜇 𝑒 ) = 𝐉𝑒 + 𝜕𝑡 (𝜖0 𝐄𝑒 ) 0 58

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Los operadores ∇ ⋅ y ∇ × de (2-51) sólo afectan las funciones dependientes del espacio ̂ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), en tanto que 𝜕/𝜕𝑡 opera únicamente en los factores 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) y 𝐁 comunes a todos los campos. Por tanto, las ecuaciones (2-51) dan, después de cancelar los factores 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ∇ ⋅ (𝜖0 𝐄̂) = 𝜌̂𝑣 [C/m3 ] ⇝ (2 − 52) ̂ = 0 [Wb/m3 ] ⇝ (2 − 53) ∇⋅𝐁 ̂ [V/m2 ] ⇝ (2 − 54) ∇ × 𝐄̂ = −𝑗𝜔𝐁 ∇×

̂ 𝐁 = 𝐉̂ + 𝑗𝜔𝜖0 𝐄̂ [A/m2 ] ⇝ (2 − 55) 𝜇0

Estas son las ecuaciones deseadas de Maxwell, complejas, armónicas en el tiempo para el espacio vacío. Al encontrar las soluciones complejas 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) y 𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) que satisfacen (2-52) hasta (2-55), se restaura la dependencia sinusoidal en el tiempo, ̂ dependiente del espacio por 𝑒 𝑗𝜔𝑡 y tomando la multiplicando cada solución compleja 𝐄̂ y 𝐁 parte real del resultado como sigue: 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) = Re[𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] ̂ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] ⇝ (2 − 56) 𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) = Re[𝐁 En la sección 2-9, se consideran las aplicaciones de las formas complejas armónicas en el tiempo (2-52) a (2-56) a soluciones de ondas elementales en el espacio vacío. Un estudio preliminar del operador Laplaciano y un desarrollo de las llamadas ecuaciones de onda son prerrequisitos deseables para encontrar esas soluciones. 2.7. Operadores Laplaciano y rotacional rotacional Se estudió que el gradiente de un campo escalar produce un campo vectorial. Más aún, la divergencia de la función vectorial 𝐠𝐫𝐚𝐝 𝑓, se denota mediante ∇ ⋅ (∇𝑓 ). Se combina los desarrollos de ∇𝑓 y su divergencia para obtener ∇ ⋅ (∇𝑓) en un sistema deseado de coordenadas, resultado que es útil para obtener soluciones de campo, tanto variables como estáticas en el tiempo. Por tanto, en coordenadas generalizadas el gradiente de 𝑓 se expresa mediante: 59

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∇𝑓 = 𝐚1

1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 + 𝐚2 + 𝐚3 ⇝ (2 − 57) ℎ1 𝜕𝑢1 ℎ2 𝜕𝑢2 ℎ3 𝜕𝑢3

Para encontrar la divergencia de ∇𝑓, las componentes de (2-57) se constituyen en los elementos 𝐹1 , 𝐹2 y 𝐹3 ∇ ⋅ (∇𝑓 ) =

1 𝜕 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑓 𝜕 ℎ3 ℎ1 𝜕𝑓 𝜕 ℎ1 ℎ2 𝜕𝑓 [ ( )+ ( )+ ( )] ⇝ (2 − 58) ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢1 ℎ1 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 ℎ2 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 ℎ3 𝜕𝑢3

En coordenadas rectangulares; ∇ ⋅ (∇𝑓 ) ≡ ∇2 𝑓 =

𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝜕 2𝑓 + + ⇝ (2 − 59) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

Las definiciones del producto escalar y de ∇ permiten: ∇ ⋅ ∇≡

𝜕2 𝜕2 𝜕2 + + = ∇2 ⇝ (2 − 60) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

∇2 denominada operador Laplaciano, equivale a ∇ ⋅ (∇ ) = ∇ ⋅ ∇( ) = div(𝐠𝐫𝐚𝐝 ). En consecuencia, de (2-58), el operador Laplaciano en coordenadas generalizadas es ∇𝟐 ≡ ∇ ⋅ ∇≡

1 𝜕 ℎ2 ℎ3 𝜕 𝜕 ℎ3 ℎ1 𝜕 𝜕 ℎ1 ℎ2 𝜕 [ ( )+ ( )+ ( )] ⇝ (2 − 61) ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢1 ℎ1 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 ℎ2 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 ℎ3 𝜕𝑢3

El operador laplaciano (2-61) también es aplicable a un campo vectorial 𝐅(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) que es un resultado de utilidad en el desarrollo de 𝐫𝐨𝐭(𝐫𝐨𝐭 𝐅). ∇2 𝐅 ≡

1 𝜕 ℎ2 ℎ3 𝜕 𝜕 ℎ3 ℎ1 𝜕 𝜕 ℎ1 ℎ2 𝜕 [ ( )+ ( )+ ( )] ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢1 ℎ1 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 ℎ2 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 ℎ3 𝜕𝑢3 × (𝐚1 𝐹1 + 𝐚2 𝐹2 + 𝐚3 𝐹3 ) ⇝ (2 − 62)

El desarrollo de ternimo en termino es tedioso, ya que en general 𝐚1 , 𝐚2 , y 𝐚3 no son vectores unitarios constantes en una región; sus direcciones dependen de 𝑢1 , 𝑢2 y 𝑢3 . En coordenadas rectangulares, da el resultado simple (ya que 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 son vectores unitarios constantes), las componentes ∇2 𝐹𝑥 , etc., están especificadas por (2-59). ∇2 𝐅 = 𝐚𝑥 ∇2 𝐹𝑥 + 𝐚𝑦 ∇2 𝐹𝑦 + 𝐚𝑧 ∇2 𝐹𝑧 ⇝ (2 − 63)

60

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Otro resultado vectorial de importancia es vector 𝐫𝐨𝐭 𝐅, designado por ∇ × (∇ × 𝐅) . La función ∇ × 𝐅 proporciona las tres componentes, realizando otra operación de rotacional: ∇ × ( ∇ × 𝐅) =

𝐚1 𝜕 ℎ3 𝜕(ℎ2 𝐹2 ) 𝜕(ℎ1 𝐹1 ) 𝜕 ℎ2 𝜕(ℎ1 𝐹1 ) 𝜕(ℎ3 𝐹3 ) { [ [ ( − )] − ( − )]} ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢2 ℎ1 ℎ2 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 ℎ1 ℎ3 𝜕𝑢3 𝜕𝑢1

+

𝐚2 𝜕 ℎ1 𝜕(ℎ3 𝐹3 ) 𝜕(ℎ2 𝐹2 ) 𝜕 ℎ3 𝜕(ℎ2 𝐹2 ) 𝜕(ℎ1 𝐹1 ) { [ [ ( − )] − ( − )]} ℎ3 ℎ1 𝜕𝑢3 ℎ2 ℎ3 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 𝜕𝑢1 ℎ2 ℎ1 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2

+

𝐚3 𝜕 ℎ2 𝜕(ℎ1 𝐹1 ) 𝜕(ℎ3 𝐹3 ) 𝜕 ℎ1 𝜕(ℎ3 𝐹3 ) 𝜕(ℎ2 𝐹2 ) { [ [ ( − )] − ( − )]} ℎ1 ℎ2 𝜕𝑢1 ℎ3 ℎ1 𝜕𝑢3 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 ℎ3 ℎ2 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3 ⇝ (2 − 64)

Debido a su complejidad, se examina para coordenadas rectangulares ∇ × (∇ × 𝐅) = 𝐚𝑥 {

+𝐚𝑦 {

+𝐚𝑧 {

𝜕 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑥 𝜕 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑧 )} ( − )− ( − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥

𝜕 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝐹𝑦 𝜕 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑥 ( − )− ( − )} 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑧 𝜕 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝐹𝑦 ( )− − ( − )} ⇝ (2 − 65) 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Ahora se compara este último contra el vector ∇(∇ ⋅ 𝐅). En coordenadas rectangulares, se obtiene

∇ ⋅ ( ∇ ⋅ 𝐅 ) = 𝐚𝑥

+𝐚𝒚 [

𝜕 2 𝐹𝑦 𝜕 2 𝐹𝑥 𝜕 2 𝐹𝑧 𝜕 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧 [ + 𝐚 + 𝐚 + 𝐚 ( + )] 𝑦 𝑧 𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝐹𝑥 𝜕 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 ( )] + 𝐚𝑧 [ ( + + )] ⇝ (2 − 66) 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦

sumando y restando seis términos escogidos apropiadamente 𝜕 2 𝐹𝑦 𝜕 2 𝐹𝑦 𝜕 2 𝐹𝑦 𝜕 2 𝐹𝑥 𝜕 2 𝐹𝑥 𝜕 2 𝐹𝑥 ∇(∇ ⋅ 𝐅) = 𝐚𝑥 ( 2 + + ) + 𝐚𝑦 ( 2 + + ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2

61

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

𝜕 2 𝐹𝑧 𝜕 2 𝐹𝑧 𝜕 2 𝐹𝑧 𝜕 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧 𝜕 2 𝐹𝑥 𝜕 2 𝐹𝑥 ] +𝐚𝑧 ( 2 + + ) + 𝐚𝑥 [ ( + )− − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕 2 𝐹𝑦 𝜕 2 𝐹𝑦 𝜕 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝐹𝑥 𝜕 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕 2 𝐹𝑧 𝜕 2 𝐹𝑧 )− ] [ ] +𝐚𝑦 [ ( + − + 𝐚 ( + ) − − 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 Comparando los términos contra (2-63) y (2-65), se ve que ∇(∇ ⋅ 𝐅) = ∇2 𝐅 + ∇ × (∇ × 𝐅). Usualmente se escribe corno sigue: ∇ × (∇ × 𝐅) = ∇(∇ ⋅ 𝐅) − ∇2 𝐅 ⇝ (2 − 67a) Esta ecuación proporciona una equivalencia para ∇ × (∇ × 𝐅), si el campo 𝐅 no es divergente (∇ ⋅ 𝐅 = 0), entonces ∇ × (∇ × 𝐅) = −∇2 𝐅 si ∇ ⋅ 𝐅 = 𝟎 ⇝ (2 − 67b) Como los resultados diferenciales son independientes del sistema de coordenadas, lo que significa que (2-67a) y (2-67b) son verdaderas para cualquier sistema. Es conveniente notar que es más fácil desarrollar ∇2 𝐅 usando la identidad vectorial, para otros sistemas de coordenadas ∇2 𝐅 = ∇(∇ ⋅ 𝐅) − ∇ × (∇ × 𝐅) ⇝ (2 − 68) 2.8. Ecuaciones de onda para campos eléctricos y magnéticos en el espacio vacío Generalmente, en un problema de campo electromagnético variable en el tiempo, se tiene interés en obtener soluciones de campo de 𝐄 y 𝐁 de las cuatro relaciones de Maxwell, combinando las ecuaciones de Maxwell de tal manera que se elimine uno de los campos (𝐁 o 𝐄), para dar una ecuación diferencial parcial, conocida como la ecuación de onda. Las ecuaciones diferenciales de Maxwell para el espacio vacío: ∇ ⋅ (𝜖0 𝐄) = 𝜌𝑣 ⇝ (2 − 23) ∇ ⋅ 𝐁 = 0 ⇝ (2 − 25) ∇×𝐄 =−

𝜕𝐁 ⇝ (2 − 44) 𝜕𝑡

62

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∇×

𝐁 ∂(𝜖0 𝐄) =𝐉+ ⇝ (2 − 45) 𝜇0 ∂𝑡

Para eliminar 𝐁, tomando el rotacional a ambos lados de (2-44) se obtiene ∇ × (∇ × 𝐄 ) = −

∂ (∇ × 𝐁) ∂𝑥

Sustituyendo (2-45) en el lado derecho, después de pasar al lado izquierdo los términos con 𝐄 da lo siguiente: 𝜕2𝐄 𝜕𝐉 ∇ × (∇ × 𝐄) + 𝜇0 𝜖0 2 = −𝜇0 ⇝ (2 − 69) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Es una ecuación diferencial parcial vectorial que se conoce como la ecuación inhomogénea vectorial de onda para el espacio vacío. Se obtiene una ecuación semejante a (2-69) en función de 𝐁. por tanto, tomando el rotacional de (2-45) y sustituyendo (2-44), se obtiene la ecuación inhomogénea vectorial de onda ∇ × ( ∇ × 𝐁) + 𝜇 0 𝜖 0

𝜕2𝐁 = 𝜇0 ∇ × 𝐉 ⇝ (2 − 70) 𝜕𝑡 2

Si 𝐄 no tiene divergencia (∇ ⋅ 𝐄 = 0), (2-67b) simplifica el término ∇ × (∇ × 𝐄) al término −∇2 𝐄. De (2-23), 𝐄 no tiene divergencia (𝜌𝑣 = 0); más aún, de (2-25), 𝐁 siempre es sin divergencia. Por ende, en una región libre de carga, se escriben (2-69) y (2-70) como sigue: 𝜕2𝐄 𝜕𝐉 = 𝜇0 𝜕𝑡 ⇝ (2 − 71) 𝜕𝑡 2 𝜕 2𝐁 ∇2 𝐁 − 𝜇0 𝜖0 2 = −𝜇0 ∇ × 𝐉 ⇝ (2 − 72) 𝜕𝑡 ∇ 2 𝐄 − 𝜇0 𝜖0

Ecuaciones de onda vectoriales inhomogéneas para región libre de cargas. Si es en el espacio vacío, no tiene carga ni corriente (𝜌𝑣 = 𝐉 = 0). Entonces son válidas las ecuaciones homogéneas vectoriales de onda más simples ∇ 2 𝐄 − 𝜇0 𝜖0

𝜕2𝐄 = 0 ⇝ (2 − 73) 𝜕𝑡 2 63

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

𝜕2𝐁 ∇ 𝐁 − 𝜇0 𝜖0 2 = 0 ⇝ (2 − 74) 𝜕𝑡 2

Si en un problema el sistema de coordenadas rectangulares es apropiado a los campos 𝐄 y 𝐁, gobernados por (2-73) y (2-74), usando (2-63) proporciona las siguientes ecuaciones escalares de onda en función de las componentes de campo: 𝜕 2 𝐸𝑥 ∇ 𝐸𝑥 − 𝜇0 𝜖0 = 0 ⇝ (2 − 75a) 𝜕𝑡 2 2

𝜕 2 𝐸𝑦 ∇ 𝐸𝑦 − 𝜇0 𝜖0 = 0 ⇝ (2 − 75b) 𝜕𝑡 2 2

∇2 𝐸𝑧 − 𝜇0 𝜖0

𝜕 2 𝐸𝑧 = 0 ⇝ (2 − 75c) 𝜕𝑡 2

∇2 𝐵𝑥 − 𝜇0 𝜖0

𝜕 2 𝐵𝑥 = 0 ⇝ (2 − 76a) 𝜕𝑡 2

además de

𝜕 2 𝐵𝑦 ∇ 𝐵𝑦 − 𝜇0 𝜖0 = 0 ⇝ (2 − 76b) 𝜕𝑡 2 2

𝜕 2 𝐵𝑧 ∇ 𝐵𝑧 − 𝜇0 𝜖0 = 0 ⇝ (2 − 76c) 𝜕𝑡 2 2

Se obtiene las formas complejas armónicas en el tiempo de las ecuaciones de onda remplazando 𝐁 y 𝐄 por sus formas exponenciales complejas (2-49). Si se hace para (2-73) y (2-74), después de cancelar 𝑒 𝑗𝜔𝑡 se obtiene a las Ecuaciones vectoriales de onda homogéneas en forma compleja armónica en el tiempo, para el espacio vacío ∇2 𝐄̂ + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐄̂ = 0 ⇝ (2 − 77) ̂ + 𝜔 2 𝜇0 𝜖0 𝐁 ̂ = 0 ⇝ (2 − 78) ∇2 𝐁 Ya que 𝐄 = 𝐚𝑥 𝐸𝑥 + 𝐚𝑦 𝐸𝑦 + 𝐚𝑧 𝐸𝑧 y 𝐁 = 𝐚𝑥 𝐵𝑥 + 𝐚𝑦 𝐵𝑦 + 𝐚𝑧 𝐵𝑧 , se desarrollan (2-77) y (278) para obtener las siguientes ecuaciones homogéneas escalares de onda, en forma compleja armónica en el tiempo ∇2 𝐸̂𝑥 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑥 = 0 ⇝ (2 − 79a) 64

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∇2 𝐸̂𝑦 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑦 = 0 ⇝ (2 − 79b) ∇2 𝐸̂𝑧 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑧 = 0 ⇝ (2 − 79c) y ∇2 𝐸̂𝑥 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑥 = 0 ⇝ (2 − 80a) ∇2 𝐸̂𝑦 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑦 = 0 ⇝ (2 − 80b) ∇2 𝐸̂𝑧 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑧 = 0 ⇝ (2 − 80c) Las soluciones más simples de esas ecuaciones escalares de onda son ondas planas uniformes que comprenden hasta sólo dos componentes de campo. 2.9. Ondas planas uniformes en el espacio vacío Las soluciones de onda más simples de las ecuaciones de Maxwell son ondas planas uniformes, campos uniformes sobre superficies planas infinitas en instantes fijos. Las soluciones se prestan al sistema de coordenadas rectangulares, y que el número de componentes de campo se reduce a dos. Las ondas planas uniformes en cualquier instante fijo, los campos 𝐄 y 𝐁 son uniformes sobre superficies planas. Estos planos se escogen arbitrariamente; para fines inmediatos, están definidos por superficies 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, lo que equivale a expresar que las variaciones espaciales de 𝐄 y 𝐁 son cero sobre planos 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒; entonces que: 1. Los campos no dependen de 𝑥 ni 𝑦; entonces 𝜕/𝜕𝑥 = 𝜕/𝜕𝑦 = 0 para todas las componentes de campo. Se demostrará que las ondas que se propagan en la dirección de las 𝑧 son el resultado de esta restricción. 2. En toda la región (espacio vacío); las densidades de carga y corriente es 𝜌𝑣 = 𝐉 = 0.

Las formas armónicas complejas en el tiempo de las ecuaciones diferenciales de Maxwell, las cuales determinan las soluciones de onda, con la suposición (2) quedan como sigue: ∇ ⋅ (𝜖0 𝐄̂) = 0 ⇝ (2 − 81) ̂ = 0 ⇝ (2 − 82) ∇⋅𝐁 ̂ ⇝ (2 − 83) ∇ × 𝐄̂ = −𝑗𝜔𝐁 65

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

∇×

̂ 𝐁 = 𝑗𝜔𝜖0 𝐄̂ ⇝ (2 − 84) 𝜇0

Se demostró que al combinar esas ecuaciones se producen las ecuaciones de onda ∇2 𝐄̂ + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐄̂ = 0 ⇝ (2 − 77) ̂ + 𝜔 2 𝜇0 𝜖0 𝐁 ̂ = 0 ⇝ (2 − 78) ∇2 𝐁 Antes de intentar extraer soluciones, se nota que las relaciones (2-83) y (2-84) del rotacional proporcionan propiedades interesantes de las soluciones restringidas por las suposiciones (1) y (2). Suponiendo que las seis componentes de campo están presentes, (2-83) queda, con 𝜕/𝜕𝑥 = 𝜕/𝜕𝑦 = 0 de la suposición (1) 𝐚𝑥

𝐚𝑦

∇ × 𝐄̂ ≡ | 0

0

𝐸̂𝑥

𝐸̂𝑦

𝐚𝑧 𝜕 | = −𝑗𝜔(𝐚𝑥 𝐵̂𝑥 + 𝐚𝑦 𝐵̂𝑦 + 𝐚𝑧 𝐵̂𝑧 ) 𝜕𝑧 𝐸̂𝑧

desarrollándo

−

𝜕𝐸̂𝑦 = −𝑗𝜔𝐵̂𝑥 ⇝ (2 − 85a) 𝜕𝑧

𝜕𝐸̂𝑥 = −𝑗𝜔𝐵̂𝑦 ⇝ (2 − 85b) 𝜕𝑧 0 = 𝐵̂𝑧 ⇝ (2 − 85c) En forma semejante, (2-84) produce 𝐵̂𝑦 𝜇0 − = 𝑗𝜔𝜖0 𝐸̂𝑥 ⇝ (2 − 86a) 𝜕𝑧 𝜕

𝐵̂𝑥 𝜇0 = 𝑗𝜔𝜖0 𝐸̂𝑦 ⇝ (2 − 86b) 𝜕𝑧

𝜕

0 = 𝐸̂𝑧 ⇝ (2 − 86c) De las expresiones, se aplican las siguientes propiedades a las soluciones por encontrarse: 66

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

̂ , lo que hace que las direcciones de campo sean 1. No se obtiene componente 𝑧 de 𝐄̂ ni de 𝐁 completamente transversales al eje de las 𝑧. 2. Se producen dos pares independientes de campos,(𝐸̂𝑥 , 𝐵̂𝑦 ),(𝐸̂𝑦 , 𝐵̂𝑥 ) bajo las suposiciones. Haciendo 𝐸̂𝑥 = 0 en (2-85b), hacemos que 𝐵̂𝑦 se desvanezca, y permanece intacto el par (𝐸̂𝑦 , 𝐵̂𝑥 ) de campo, que está gobernado por (2-85a) y (2-86b). Cuando los pares de campo son independientes entre sí, se dice que están desacoplados.

Si se desea soluciones de onda para el campo 𝐸̂𝑥 , 𝐵̂𝑦 . Entonces se hace 𝐸̂𝑦 = 𝐵̂𝑥 = 0. que reduce las ecuaciones diferenciales a (2-85b) y (2-86a) 𝜕𝐸̂𝑥 = −𝑗𝜔𝐵̂𝑦 ⇝ (2 − 85b) 𝜕𝑧 𝐵̂𝑦 𝜇0 = −𝑗𝜔𝜖0 𝐸̂𝑥 ⇝ (2 − 86a) 𝜕𝑧

𝜕

Se obtiene la siguiente ecuación de onda en función de 𝐸̂𝑥 : 𝜕 2 𝐸̂𝑥 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑥 = 0 ⇝ (2 − 87) 𝜕𝑧 2 Esta es una ecuación diferencial parcial de una variable (𝑧); se escribe como una ecuación diferencial ordinaria 𝑑 2 𝐸̂𝑥 + 𝜔2 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑥 = 0 ⇝ (2 − 88) 𝑑𝑧 2 Su solución es la superposición conocida de dos soluciones exponenciales 𝐸̂𝑥 (𝑧) = 𝐶̂1 𝑒 −𝑗𝛽0 𝑧 + 𝐶̂2 𝑒 𝑗𝛽0 𝑧 ⇝ (2 − 89) 𝐶̂1 y 𝐶̂2 son constantes arbitrarias (complejas) y 𝛽0 denominado constante de fase, está dado por 𝛽0 = 𝜔√𝜇0 𝜖0. Queda por demostrar que las soluciones exponenciales 𝐶̂1 𝑒 −𝑗𝛽0 𝑧 y 𝐶̂2 𝑒 𝑗𝛽0 𝑧 son representaciones de ondas de amplitud constante que viajan en las direcciones positiva y negativa de 𝑧. Los coeficientes complejos 𝐶̂1 y 𝐶̂2 deben tener las unidades de volts por metro. + − Empleando símbolos de amplitud 𝐸̂𝑚 y 𝐸̂𝑚 en vez de 𝐶̂1 y 𝐶̂2 : + −𝑗𝛽0 𝑧 − 𝑗𝛽0 𝑧 𝐸̂𝑥 (𝑧) = 𝐸̂𝑚 𝑒 + 𝐸̂𝑚 𝑒 [V/m] ⇝ (2 − 90)

67

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO + − Las amplitudes complejas 𝐸̂𝑚 y 𝐸̂𝑚 se representa mediante puntos en el plano complejo

utilizando el diagrama de Argand de la figura 2-10, de manera que de sus representaciones polares + + 𝑗𝜙+ − + 𝑗𝜙− 𝐸̂𝑚 = 𝐸𝑚 𝑒 y 𝐸̂𝑚 = 𝐸𝑚 𝑒 ⇝ (2 − 91)

𝜙 + y 𝜙 − denotan ángulos arbitrarios de fase.

Figura 2-10. Amplitudes complejas representadas en el plano complejo.

Una vez que se obtiene una solución de la ecuación de onda, usando las ecuaciones de Maxwell se obtiene las componentes restantes de campo. Por tanto, la solución (2-90) de 𝐸̂𝑥 (𝑧) insertada en la relación de Maxwell (2-85b) produce 𝐵̂𝑦 (𝑧) = −

1 𝜕𝐸̂𝑥 𝛽0 + −𝑗𝛽0 𝑧 − 𝑗𝛽0 𝑧 ] = − [−𝐸̂𝑚 𝑒 + 𝐸̂𝑚 𝑒 𝑗𝜔 𝜕𝑧 𝜔

+ −𝑗𝛽0 𝑧 − 𝑗𝛽0 𝑧 = √𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑚 𝑒 − √𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑚 𝑒 [Wb/m2 ] ⇝ (2 − 92)

𝛽0 denota el factor de fase espacial 𝛽0 ≡ 𝜔√𝜇0 𝜖0 [rad/m] ⇝ (2 − 93) La expresión de tiempo real y estado estable sinusoidal de la componente de campo eléctrico se encuentra de (2-56). Tomando la parte real de (2-90) después de multiplicar por 𝑒 𝑗𝜔𝑡 se obtiene + 𝑗𝜙+ −𝑗𝛽0 𝑧 − 𝑗𝜙− 𝑗𝛽0𝑧 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] 𝐸𝑥 (𝑧, 𝑡) = Re[𝐸̂𝑥 (𝑧)𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = Re[(𝐸𝑚 𝑒 𝑒 + 𝐸𝑚 𝑒 𝑒 + − = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧 + 𝜙 + ) + 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧 + 𝜙 − ) ⇝ (2 − 94)

68

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO + − Nótese que 𝐸𝑚 y 𝐸𝑚 amplitudes reales de las ondas viajeras, y 𝜙 + y 𝜙 − son fases arbitrarias

al instante 𝑡 = 0 y la ubicación 𝑧 = 0 en el espacio. En forma semejante, se encuentra que la forma de tiempo real de 𝐵̂𝑦 de (2-92) es +] − ]cos 𝐵𝑦 (𝑧, 𝑡) = [√𝜇0 𝜖0 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧 + 𝜙 +) − [√𝜇0 𝜖0 𝐸𝑚 (𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧 + 𝜙 −)] ⇝ (2 − 95)

Se percibe la naturaleza de onda viajera de las ondas planas uniformes, a partir de una interpretación gráfica de (2-94) y (2-95). Considérense los primeros términos: la onda que viaja en sentido de las 𝑧 positivas. Se escogen los siguientes símbolos para denotarlos + 𝐸𝑥+(𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧 + 𝜙 + ) [V/m] ⇝ (2 − 96a) + 𝐵𝑦+(𝑧, 𝑡) = √𝜇0 𝜖0 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧 + 𝜙 +) [Wb/m2 ] ⇝ (2 − 96b)

Se observa su naturaleza de viaje en el sentido 𝑧 positivas si (2-96) se representa gráficamente como una familia de ondas coseno contra 𝑧, a intervalos sucesivos de 𝑡. (los efectos de las variaciones de tiempo o espacio de un campo, generalmente es mejor fijar el espacio o el tiempo, mientras se permite variar al otro.) En 𝑡 = 0, (2-96a) queda como + + 𝐸𝑥+(𝑧, 0) = 𝐸𝑚 cos(−𝛽0 𝑧 + 𝜙 + ) = 𝐸𝑚 cos(𝛽0 𝑧 − 𝜙 +), que se indica en gráfica contra la

variable 𝑧 como la línea sólida en la figura 2-11 (a). Con el periodo 𝑇 definido por 𝑇=

1 [seg] ⇝ (2 − 97) 𝑓

+ a un octavo de periodo más adelante, queda como 𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑇/8) = 𝐸𝑚 cos(𝛽0 𝑧 − 2𝜋/8 − 𝜙 +).

La función coseno está corrida en la dirección de las 𝑧 positivas en el lapso del octavo de periodo, lo que produce un movimiento en sentido positivo de las 𝑧 de la onda con el tiempo creciente. La gráfica de campo vectorial de la figura 2-11(a) muestra solamente 𝐚𝑥 𝐸𝑥+(𝑧, 𝑡) a lo largo del eje 𝑧 en la región. Para desplegar el campo a través de toda una sección transversal en el plano x-z es más adecuada la gráfica de flujo de la figura 2-11(b). El movimiento de la onda con 𝑡 creciente está relacionado con el factor de fase 𝛽0 = 𝜔√𝜇0 𝜖0 que aparece en las expresiones de onda, en que 𝛽0 𝑧 tiene las unidades de radianes (sin dimensiones), lo que implica que 𝛽0 está dado en radianes por metro. La distancia 𝑧 que 69

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

debe recorrer la onda tal que ocurra 2𝜋 rad de corrimiento de fase (un ciclo completo) se conoce como la longitud de onda, se designa mediante el símbolo 𝜆 y se define como sigue: 𝛽0 𝜆 = 2𝜋 [rad] ⇝ (2 − 98)

Figura 2-11. Dibujos de campos eléctricos de una onda plana uniforme que viaja en dirección de las 𝑧 positivas. (a) Gráfica vectorial a lo largo de 𝑧 en instantes sucesivos. (b) Gráfica de flujo del campo eléctrico en 𝑡 = 0.

La longitud de onda en el espacio vacío está relacionada con el factor 𝛽0 de fase mediante 𝜆=

2𝜋 2𝜋 𝑐 = = [m] ⇝ (2 − 99) 𝛽0 𝜔√𝜇0 𝜖0 𝑓

Un observador que se mueva con la onda, de modo que no experimente cambio de fase, estará moviéndose a la velocidad de fase de la onda, denotada por 𝓋𝑝 . Las superficies equifásicas de la onda que viaja en sentido de las 𝑧 positivas se definen utilizando el argumento de (2-96) igual a úna constante; es decir, 𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧 + 𝜙 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, al diferenciarlo para evaluar 𝑑𝑧/𝑑𝑡, se obtiene la velocidad de fase 𝓋𝑝 =

𝑑𝑧 𝜔 [m/seg] ⇝ (2 − 100a) = 𝑑𝑡 𝛽0 70

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Debido a que 𝛽0 = 𝜔√𝜇0 𝜖0 y con 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 , 𝜖0 ≅ 10−9 /36𝜋, la velocidad de fase de una onda plana uniforme en el espacio vacío es 𝓋𝑝 =

1 √ 𝜇 0 𝜖0

= 𝑐 ≅ 3 × 108 [m/seg] ⇝ (2 − 100b)

la velocidad de la luz. Comparando las expresiones complejas (2-90) y (2-92) para 𝐸̂𝑥 (𝑧) y 𝐵̂𝑦 (𝑧) se ve que sus términos de ondas que viajan en sentidos separados están emparejados en relaciones que producen la misma constante. Por tanto, se escribe (2-90) y (2-92) en las formas siguientes: + −𝑗𝛽0 𝑧 − 𝑗𝛽0 𝑧 𝐸̂𝑥 (𝑧) = 𝐸̂𝑚 𝑒 + 𝐸̂𝑚 𝑒 = 𝐸̂𝑥+(𝑧) + 𝐸̂𝑥− (𝑧) ⇝ (2 − 101)

y también 𝐵̂𝑦 (𝑧) =

+ − 𝐸̂𝑚 𝐸̂𝑚 −𝑗𝛽0𝑧 𝑒 − 𝑒 𝑗𝛽0 𝑧 = 𝐵̂𝑦+(𝑧) + 𝐵̂𝑦− (𝑧) ⇝ (2 − 102) 𝑐 𝑐

en que 𝐸̂𝑥+(𝑧), 𝐸̂𝑥− (𝑧) y 𝐵̂𝑦+(𝑥 ), 𝐵̂𝑦−(𝑧) denotan simbólicamente los términos de la onda que viaja en sentido de las 𝑧 positivas y 𝑧 negativas directamente, arriba de ellos. Entonces, las siguientes relaciones complejas son válidas en cualquier punto en la región 𝐸̂𝑥+(𝑧) 𝐸̂𝑥−(𝑧) 1 = − = ≡ 𝑐 ≅ 3 × 108 [m/seg] ⇝ (2 − 103) + 𝐵̂𝑦 (𝑧) 𝐵̂𝑦−(𝑧) √𝜇0 𝜖0 una manera de encontrar los campos, siempre que se conozca el otro. Se logra una variación más común de esta técnica modificando el campo 𝐁 mediante una división entre 𝜇0 , definiendo un campo de intensidad magnética denotado por el símbolo 𝐇 para el espacio vacío: 𝐁 = 𝐇 [A/m] Para el espacio vacío ⇝ (2 − 104) 𝜇0 ̂𝑦+(𝑧), y 𝐵̂𝑦−(𝑧)/𝜇0 por 𝐻 ̂𝑦−(𝑧) las siguientes relaciones Por tanto, denotando 𝐵̂𝑦+ (𝑧)/𝜇0 por 𝐻 de las ondas viajeras son válidos para ondas planas en el espacio vacío

71

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

𝐸̂𝑥+(𝑧) 𝐸̂𝑥+ (𝑧) 𝜇0 𝜇0 = = 𝜇0 𝑐 = = √ ≡ 𝜂0 ≅ 120𝜋 [Ω] ⇝ (2 − 105a) + + −1 ̂𝑦 (𝑧) 𝜖0 𝜇0 𝐵̂𝑦 (𝑧) 𝐻 √ 𝜇0 𝜖0 𝐸̂𝑥− (𝑧) 𝐸̂𝑥−(𝑧) 𝜇0 = − = ≡ 𝜂0 ≅ 120𝜋 [Ω] ⇝ (2 − 105b) √ ̂𝑦−(𝑧) 𝜖0 𝜇0 −1 𝐵̂𝑦−(𝑧) 𝐻 La relación real √𝜇0 /𝜖0 (cuyas unidades son de volts por metro por ampere por metro, u ohms) se conoce como la impedancia intrínseca de onda para el espacio vacío, y se indica mediante el símbolo 𝜂0 . La ventaja de (2-105) sobre (2-103) es que la relación 𝜂0 es un número útil más pequeño.

Figura 2-12. Gráfica vectorial de los campos de una onda plana uniforme a lo largo del eje de las 𝑧. Note la superficie equifásica plana, que muestra los flujos de 𝐸̂𝑥+ y 𝐵̂𝑦+ .

La relación de impedancia real (2-105) muestra que los campos E y B de las ondas planas uniformes en el espacio vacío están en fase entre sí, lo que es evidente al comparar las soluciones de onda viajera en sentido de las 𝑧 positivas o negativas de (2-101) y (2-102). Cada una contiene el mismo argumento de fase en los factores exponenciales, como amplia evidencia de su condición en fase. La figura 2-12 muestra los campos eléctrico y magnético en tiempo real de (2-96) representado gráficamente contra 𝑧 en el espacio para 𝑡 = 0. Ejemplo 2-8. Si una onda plana uniforme, en el espacio vacío, tiene el campo eléctrico 𝐄̂(𝑧) = 𝐚𝑥 1000𝑒 −𝑗𝛽0 𝑧 [V/m] ⇝ (1) cuya frecuencia es de 20[MHz]. (a) ¿Cuál es su dirección de recorrido? ¿Su amplitud? ¿Su ̂ equivalente, dirección vectorial en el espacio? (b) Encontrar el campo 𝐵̂ asociado y el campo 𝐻 ̂ ̂ ̂ (c) Expresar 𝐄, 𝐁, y 𝐇 en forma de tiempo real. (d) Encontrar el factor 𝛽0 , de fase, la velocidad de fase y la longitud de onda de esta onda electromagnética.

72

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

(a) Comparando (1) contra (2-90) ó (2-101) resulta una onda que viaja en sentido de las + = 𝑧 positivas, y de allí el simbolismo: 𝐄̂(𝑧) = 𝐚𝑥 𝐸̂𝑥+ (𝑧). La amplitud real es 𝐸̂𝑚 1000 [V/m], con el campo vectorial dirigido en sentido de las 𝑥 en el espacio. (b) Usando (2-102) o la relación (2-103) 𝐵̂𝑦+ (𝑧) =

𝐸̂𝑥+ (𝑧) 1000 −𝑗𝛽 𝑧 Wb = 𝑒 0 = 3.33 × 10−6 𝑒 −𝑗𝛽0 𝑧 [ 2 ] 𝑐 𝑐 m

Usando (2-105a) se obtiene la intensidad magnética ̂𝑦+ (𝑧) = 𝐻

𝐸̂𝑥+ (𝑧) 1000 −𝑗𝛽 𝑧 = 𝑒 0 = 2.65𝑒 −𝑗𝛽0 𝑧 [A/m] 𝜂0 120𝜋

(c) Los campos en tiempo real se obtienen de (2-56) tomando la parte real después de multiplicar por 𝑒 𝑗𝜔𝑡 −𝑗𝛽0 𝑧 jωt ̂+ 𝑬 e ] = 1000 cos(ωt − 𝛽0 z) [V/m] 𝑥 (𝑧, 𝑡) = Re[1000𝑒 −6 ̂+ 𝑩 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) [Wb/m2 ] ó [T] 𝑦 (𝑧, 𝑡) = 3.33 × 10

A ̂+ 𝑯 𝑦 (𝑧, 𝑡) = 2.65 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) [ ] m (d) Usando (2-93), (2-100), (2-99) y (2-97) se obtiene 𝛽0 ≡ 𝜔√𝜇0 𝜖0 =

𝜔 2𝜋(20 × 106 ) = = 0.42[rad/m] 𝑐 3 × 108

𝓋𝑝 = 𝑐 = 3 × 108 [m/seg] 𝜆0 =

2𝜋 𝑐 3 × 108 = = = 15[m] 𝛽0 𝑓 20 × 106

EJERCICIOS RESUELTOS 2.1. Una onda plana uniforme en el espacio vacio tiene el campo eléctrico. 𝐄(𝑧)𝑒 𝑗𝑤𝑡 = 𝐚x 250𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝐵𝜙 𝑧) 𝜇[v/m] Con f=10 MHz. a) Describir esta onda. ¿Cuál es su amplitud? ¿Su dirección de recorrido? ¿Su dirección vectorial en el espacio? b) Encontrar el campo asociado B (y el equivalente H) expresado en forma compleja, armónica en el tiempo. Expresar E, B, y H en forma de tiempo real. c) Encontrar la velocidad de fase, periodo, longitud de onda y factor de fase.

73

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

Solución: 𝐄(𝑧)𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐚x 250𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝐵𝜙 𝑧) 𝜇[V/m] ⇝ esta onda viaja en 𝐸+ (𝑧) 𝑓 = 10 MHz v + = 250 𝜇 [ ] A = 𝐸𝑚 m 𝐯 𝑹𝒆𝒔𝒑 → 𝟐𝟓𝟎 𝝁 [ ] 𝐦 𝐵𝑦+ (𝑧) =

𝐸𝑥 + (𝑧) = 250 𝑒 −𝑗𝐵𝜙 𝑧 × 10−6 𝑐

= 8,333 × 10−13 𝑒 −𝑗𝐵𝜙 𝑧 [ 𝐻𝑦+ (𝑧) =

ωb ] m

𝐸 + (𝑥) 250 × 10−6 −𝑗𝐵 𝑧 = 𝑒 𝜙 𝑗𝜋m 𝑗20𝜋

𝐻𝑦+ (𝑧) = 6,6314 × 10−7 [A/m] 𝐵𝑦+ (𝑧) = 𝑅𝜖(250 × 10−6 𝑒 −𝑗𝐵𝜙 𝑧 𝑒 𝐽𝜔𝑡 ) = 8.33 × 10−13 cos(𝜔𝑡 − 𝐵𝑧) 𝐻𝑦+ (𝑧) = 6.6315 × 10−5 cos(𝜔𝑡 − 𝐵0 𝑧) [A/m] 𝑹𝒆𝒔𝒑 → 𝟔. 𝟔𝟑𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟓 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝑩𝟎 𝒛) [𝐀/𝐦] 𝓋𝜌 → velocidad de fase 𝐶 → velocidad de la luz 𝓋𝜌 = 𝐶 → 𝓋𝜌 = 3 × 108 [m/s] 𝑇=

1 1 = = 1 × 10−7 [seg] 𝑓 10 × 106

𝜆=

2𝜋 2𝜋 = = 29.99[m] 𝐵0 0.20946 𝐵0 = 𝜔√𝜇0 𝜖0 𝜔 2𝜋(10 × 106 ) = 𝐶 3 × 108 =

1 rad 𝜋[ ] 15 m

74

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

𝑹𝒆𝒔𝒑 →

𝟏 𝐫𝐚𝐝 𝝅[ ] 𝟏𝟓 𝐦

2.2. Una determinada distribución estática de fuentes lleva al campo 𝐄 = 𝐚𝑟 𝑘 en y sobre una esfera de radio R centrada en 𝑟 = 0. Ilustrar la veracidad del teorema de la divergencia para este campo, evaluando tanto la integral de superficie como la de volumen para la esfera. Solución: ⃗ ⋅𝐄 ⃗ = ∇

⇒∫

𝜌v 1 𝑑𝑞 = 𝜖0 𝜖0 𝑑v

𝑑𝑞 𝜌v = ∫ 𝑑v ⇝ (1) 𝜖0 v 𝜖0

Desarrollo de (1) 𝑑𝑞 𝜌v = ∫ 𝑑v 𝜖0 v 𝜖0

∫

𝑞 𝜌v = ∫ 𝑑v ⇝ (1) 𝜖0 v 𝜖0 ⃗∇ ⋅ 𝐄 ⃗ =

𝜌v 𝑑v 𝜌 ⃗ 𝑑v = ∫ v 𝑑v = ∮ 𝐄 𝑑𝑠 ⋅ ( ) ⇒ ∫ ⃗∇ ⋅ 𝐄 𝜖0 𝑑v v v 𝜖0 𝒔 𝜌v 𝑑v ⇝ (2) v 𝜖0

⃗ 𝑑v = ∫ ∫ ⃗∇ ⋅ 𝐄 v

Remplazando (1) en (2) ⃗ 𝑑v = ∫ ⃗∇ ⋅ 𝐄 v

Como; 𝐄 = 𝐚𝑟

𝑞 𝜖0

𝑞 4𝜋𝜖0 𝑅 2

⇒ 𝑞 = 4𝜋𝑅 2 𝑘 Si; 𝐄 = 𝑎𝑟 𝑘 ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑𝑠 =

4𝜋𝜖0 𝑅 2 = 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝒌 𝜖0

𝑹𝒆𝒔𝒑 → 𝟒𝝅𝑹𝟐 𝒌

75

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE II

ECUACIONES VECTORIALES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE MAXWELL EN EL ESPACIO VACÍO

EJERCICIOS PLANTEADOS 2.1. Un campo eléctrico en dirección de 𝜙, en alguna región, está dado por 𝐄 = 𝐚𝜙 𝐾𝜌 2 𝑧 [V/m], con K como constante: a) Encontrar rot E en cualquier punto. ¿E es conservativo? b) Evaluar la integral de línea de 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ tomada alrededor de un camino cerrado ℓ = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 + ℓ4 en un cilindro circular de radio 2 y altura 3 como está ilustrado. c) Utilizar otro enfoque para evaluar la integral de línea cerrada de (b), utilizando una integración de superficie mediante el teorema de Stokes. (Se ilustra una de esas superficies S.) 2.2. El campo eléctrico 𝐸̂ = 𝐚𝑧 𝐸𝑥− (𝑥) = 𝐚𝑥 150𝑒 𝑗𝛽0 𝑧 [V/m] describe una onda viajera, plana y uniforme, en dirección de las específica 𝑧 negativas. Suponer que 𝑓 = 100 [MHz]. a) Por inspección, ¿por qué esta onda viaja hacia las 𝑧 negativas? ̂ asociado con el campo dado. También encontrar b) Determinar el campo magnético 𝐁 ̂ . Expresar 𝐄̂, 𝐁 ̂, y 𝐇 ̂ en forma de tiempo real. En 𝑡 = 0, ilustrar un ciclo o dos de 𝐄̂ 𝐇 ̂ y 𝐁 en tiempo real contra z, indicando su, condición de fase apropiada y dirección de recorrido. c) ¿Cuáles son el factor y velocidad de fase, longitud de onda y periodo?

76

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

3. ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO Los materiales están compuestos por átomos o arreglos de átomos en iones o moléculas, constituidos por partículas cargadas positiva o negativamente. Un campo eléctrico o magnético que se aplica en un material ejerce fuerzas de Lorentz y éstas sufren desplazamientos o reubicaciones. Es necesario que las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacio, que describen el comportamiento de campos eléctricos y magnéticos en un material, requieran modificaciones. 3.1. Conductividad eléctrica de los metales El comportamiento de los campos eléctrico y magnético en regiones materiales, sólidas, líquidas o gaseosas, consideran tres efectos: 1. Conducción de carga eléctrica 2. Polarización eléctrica 3. Polarización magnética

En función de sus propiedades de conducción de cargas, se clasifica a los materiales como aislantes (dieléctricos) que no poseen ningún electrón libre para dar corriente bajo un campo eléctrico aplicado; y conductores; en que dispone de electrones libres de órbitas externas para producir una corriente de conducción cuando se aplica campo eléctrico. Sobre esta estructura están superpuestas agitaciones térmicas asociadas con la temperatura del conductor, en que los electrones de conducción se mueven por entre la red más masiva de iones. Esto se muestra en la figura 3-1 (a) para un electrón típico de conducción. Las velocidades de electrones libres distribuidas aleatoriamente de manera que da una velocidad media, promediada en cualquier instante, sobre un número grande N de partículas en el elemento de volumen. 𝑁

1 𝓋𝑑 = ∑ 𝓋𝑖 [m/seg] ⇝ (3 − 1) 𝑁 𝑖=1

77

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Se conoce como la velocidad de deriva de los electrones, tiene promedio cero en ausencia de cualquier campo eléctrico aplicado externamente. Un tiempo libre medio 𝜏𝑐 , denota el intervalo promedio entre las colisiones en un elemento de volumen. Cuando los electrones libres chocan (interactúan) con la red de iones, ceden en promedio un impulso 𝑚𝓋𝑑 en el tiempo libre medio 𝜏𝑐 entre colisiones, si 𝑚 es la masa del electrón. La razón promediada de transferencia de impulso a la red de iones por electrón es 𝑚𝓋𝑑 /𝜏𝑐 [N] de fuerza. Igualando con la fuerza de campo eléctrico de Lorentz, se obtiene 𝑚𝓋𝑑 = −ℯ𝐄 ⇝ (3 − 2) 𝜏𝑐 despejando la velocidad estable de deriva 𝓋𝑑 = −

ℯ𝜏𝑐 𝐄 ⇝ (3 − 3) 𝑚

Figura 3-1. Una representación de la producción de una componente de cambio en la velocidad de los electrones libres en un metal. (a) Secuencia típica de los caminos de electrones libres resultado de las colisiones con la red de iones. (b) Vista exagerada del efecto del cambio en la dirección de la aceleración debida a un campo aplicado E.

La ecuación (3-3), relaciona linealmente la velocidad de deriva con el campo E aplicado 𝓋𝑑 = −𝜇ℯ 𝐄 ⇝ (3 − 4) en que se considera a la constante de proporcionalidad 𝜇ℯ , como positivo y que se conoce como la movilidad de los electrones, que dé (3-3) es evidentemente 𝜇ℯ =

ℯ𝜏𝑐 [𝑚2 /V − seg] ⇝ (3 − 5) 𝑚

78

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

De esa manera se asocia un alto valor de movilidad de electrones con un tiempo libre medio 𝜏𝑐 largo. Multiplicando 𝓋𝑑 por la densidad de volumen 𝜌𝑣 = −𝑛𝑒 de los electrones de conducción se obtiene la densidad de corriente en el volumen considerado. 𝑛ℯ 2 𝐉 = 𝜌𝑣 𝓋𝑑 = −𝑛𝑒𝓋𝑑 = 𝜏𝑐 𝐄 [A⁄m2 ] ⇝ (3 − 6) 𝑚 𝑛 denota la densidad de electrones libres en [electrones/m3 ]. La ecuación exhibe dependencia lineal de 𝐉 con el campo 𝐄 aplicado en el conductor. La ecuación (3-6) tiene la forma de 𝐉 = 𝜎𝐄 ⇝ (3 − 7) que recibe el nombre de forma puntual de la ley de Ohm, llamando al factor 𝜎 la conductividad de la región, cuyas unidades son de ampere por metro al cuadrado por volt por metro, o ohm por metro. Para este modelo al que se aplica (3-6), la conductividad se expresa como el número positivo

𝜎=

𝑛ℯ 2 𝜏 [℧/m] ⇝ (3 − 8) 𝑚 𝑐

Entonces se ve que tanto la movilidad de los electrones como su conductividad son proporcionales al tiempo libre medio 𝜏𝑐 . Comparando (3-5) contra (3-8) se expresa 𝜎 en función de la movilidad 𝜎 = 𝑛ℯ𝜇ℯ = 𝜌𝑣 𝜇ℯ ⇝ (3 − 9) Ejemplo 3-1. Encontrar el tiempo libre medio y la movilidad de los electrones para el sodio, que tiene una conductividad medida a CD de 2.1 × 107 [V/m] a la temperatura ambiente. A la temperatura ambiente, la densidad del sodio es de 2.3 × 1028 [átomos/m3 ] y con un electrón disponible de órbita externa, 𝑛 tiene el mismo valor. Por tanto, de (3-8) el tiempo libre medio queda como sigue 𝜏𝑐 =

𝑚𝜎 (9.1 × 10−31 )(2.1 × 107 ) = = 3.3 × 10−14 [seg] 𝑛ℯ 2 (2.3 × 1028 )(1.6 × 10−19 )2

79

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Su movilidad de electrones se encuentra de cualquiera de las relaciones 𝜇ℯ =

ℯ 𝜎 2.1 × 107 𝜏𝑐 = = = 5.7 × 10−3 [m2 /V − seg] 𝑚 𝑛ℯ (2.3 × 1028 )(1.6 × 10−19 )

De (3-4), esto implica la muy lenta velocidad de deriva 𝓋𝑑 = 5.7 [mm/seg] para un campo aplicado de 1 [V/m], lo que enfatiza la naturaleza pesada y viscosa de la deriva de los electrones en un conductor.

La anterior de la corriente directa en un conductor se extiende al caso variable en el tiempo, suponiendo que E varíe lentamente en comparación con el tiempo libre medio 𝜏𝑐 . La relación (3-2) de equilibrio de fuerzas adquiere otro término debido a la velocidad adicional de cambio del impulso promedio de la nube electrónica en deriva en el conductor. 𝑚

𝑑𝓋𝑑 𝑚 + 𝓋𝑑 = −ℯ𝐄 [N] ⇝ (3 − 10) 𝑑𝑡 𝜏𝑐

Tiene la solución complementaria, suponiendo 𝓋𝑑 = 𝓋𝑑0 en 𝑡 = 0 como sigue: 𝓋𝑑 = 𝓋𝑑0 ℯ −𝑡/𝜏𝑐 [m⁄seg] ⇝ (3 − 11) es una solución transitoria que denota un decaimiento o relajación en la velocidad de deriva al interrumpir repentinamente el campo aplicado E. Por tanto, el tiempo libre medio 𝜏𝑐 , introducido en la relación (3-2) de fuerza, ha adquirido la interpretación de un tiempo de relajación en caso de aplicar o interrumpir un campo eléctrico en un conductor. Más aún, el fenómeno de relajación ocurre en un tiempo extremadamente corto para los conductores típicamente buenos. La ecuación diferencial (3-10) se simplifica si E es sinusoidal. Al remplazar E y 𝓋𝑑 con las formas armónicas en el tiempo 𝐄̂𝑒 𝑗𝜔𝑡 y 𝓋 ̂𝑑 𝑒 𝑗𝜔𝑡 después de cancelar el factor 𝑒 𝑗𝜔𝑡 se obtiene la relación algebraica compleja. 𝑗𝜔𝑚 𝓋 ̂𝑑 +

𝑚 𝓋 ̂ = −𝑒𝐄̂ ⇝ (3 − 12) 𝜏𝑐 𝑑

que da la solución armónica en el tiempo para 𝓋 ̂𝑑

80

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝓋 ̂𝑑 =

𝑒 − 𝑚 𝐄̂ 1 𝜏𝑐 + 𝑗𝜔

De 𝐉 = 𝜌𝑣 𝓋𝑑 la densidad de corriente compleja debida a esta velocidad de deriva es

𝐉̂ =

𝑛𝑒 2 𝑚 1 𝜏𝑐 + 𝑗𝜔

𝐄̂ [A/m2 ] ⇝ (3 − 13)

El coeficiente de 𝐄̂ denota la conductividad (compleja) como en el resultado para CD (3-5)

𝜎̂ =

𝑛𝑒 2 𝑚 1 + 𝑗𝜔 𝜏𝑐

[℧/m] ⇝ (3 − 14)

Sin embargo, para buenos conductores típicos con tiempo medio libre 𝜏𝑐 del orden de 10−14 [seg] (ejemplo 3-1), (3-14) se reduce al resultado (3-8) de conductancia real de CD

𝜎≅

𝑛𝑒 2 𝜏 ⇝ [3 − 8] 𝑚 𝑐

condicionado a que la frecuencia angular 𝜔 del campo electromagnético sea del orden de 1013 [rad/seg] o menos (por debajo de las frecuencias ópticas). De este modelo sensiblemente heurístico de la conducción metálica, se adquiere confianza adicional mediante mediciones experimentales realizadas en el rango de frecuencias, de microondas, lo que demuestra que los campos E y 𝐉 en los buenos conductores están en fase, lo cual implica que 𝜎 es real en la relacion 𝐉 = 𝜎𝐄, incluso hasta frecuencias muy altas. 3.2. Polarización eléctrica y div D para los materiales El tema de estudio son los aislantes (dieléctricos), que son incapaces de transportar corrientes de conducción bajo campos eléctricos de magnitudes moderadas. El mecanismo de los efectos de la polarización se explica en función de los desplazamientos microscópicos, uniones de cargas positivas y negativas constitutivas, respecto de sus posiciones de equilibrio, producidas por las fuerzas de campos eléctricos de Lorentz sobre las cargas. 81

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

La polarización dieléctrica ocurre por las siguientes causas: 1. Polarización electrónica, es cuando la nube de electrones negativos ligados, sujeta a un campo E aplicado, se desplaza de la posición de equilibrio con relación al núcleo positivo. 2. La polarización iónica, es cuando iones positivos y negativos de una molécula se desplazan en presencia de un campo E aplicado. 3. Polarización de orientación, ocurre en materiales con dipolos eléctricos permanentes, orientados al azar en ausencia de un campo E, pero que sufren una orientación hacia el vector de campo eléctrico E.

Figura 3-2. Efectos de la polarización eléctrica en modelos simples de materiales dieléctricos no polares y polares. (a) Una sustancia no polar. (b) Una sustancia polar (𝐻2 O).

En cada tipo de polarización dieléctrica, los desplazamientos de partículas están inhibidos por poderosas fuerzas de restauración entre los centros de cargas positivas y negativas (ver figura 3-2). Si se aplica un campo externo E, el núcleo cargado positivamente y la nube electrónica negativa se ejercerán fuerzas 𝐅𝐸 = 𝑞𝐄 de Lorentz para producir desplazamientos.

82

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

El equilibrio del desplazamiento se logra cuando las fuerzas atractivas internas de Coulomb de los dobletes (dipolos internos) balancean las fuerzas aplicadas. El impulso dipolar eléctrico 𝐏𝑖 del 𝑖 − ésimo par reemplazado de carga en una colección de dipolos polarizados como en la figura 3-2(a) esta definiodo por: 𝐏𝑖 = 𝑞𝐝𝑖 [C ⋅ m] ⇝ (3 − 15) en que q denota la carga positiva del dipolo (𝑞, −𝑞), y 𝐝𝑖 es la separación vectorial, dirigida de la carga negativa a la positiva. El impulso dipolar eléctrico promedio por volumen unitario, denominado campo de polarización eléctrica y denotado por P, se define

𝐏=

∑𝑁 ∑𝑁 𝑖=1 𝐏𝑖 𝑖=1 𝑞𝑖 𝐝𝑖 [C/m2 ] ⇝ (3 − 16) = ∆𝑣 ∆𝑣

para un elemento de volumen ∆𝑣 que contenga N dipolos eléctricos. Si no se aplicara campo E al material, no se inducirían dipolos en el caso de la polarización electrónica o iónica, bajo las circunstancias usuales sus orientaciones serían aleatorias como se ilustra en la figura 32(b), en cuyo caso el numerador de (3-16) sumaría cero para hacer 𝐏 = 0. Si se aplicara E en la dirección de las 𝑥 como se muestra, se induciría una componente neta de P. Si 𝜌+ y 𝜌− densidades de las cargas positivas y negativas que constituyen el material dieléctrico, (3-16) se escribe

𝐏=

∑𝑁 ∑𝑁 𝑁𝑞 ∑𝑁 𝑖=1 𝐏𝑖 𝑖=1 𝑞𝑖 𝐝𝑖 𝑖=1 𝐝𝑖 = = = 𝜌+𝐝 ⇝ (3 − 17) ∆𝑣 ∆𝑣 ∆𝑣 𝑁

en que 𝜌+ = 𝑁𝑞/∆𝑣 es la densidad de cargas positivas que comprenden la región llena de dipolos, y d denota a (∑ 𝐝𝑖 )/𝑁, el desplazamiento dipolar promediado entre los 𝑁 dipolos en ∆𝑣. Examinando el campo 𝐏 = 𝜌+ 𝐝 de (3-17) de polarización, caracterizado como el vector en la figura 3-3 (a) se encuentra dentro de ∆𝑣, se establece un exceso de cargas ligadas, lo que da origen a una densidad de cargas de polarización 𝜌𝑝 , siempre que P tenga divergencia. Para demostrarlo, considere un elemento típico ∆𝑣 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 de volumen en una región que en general contenga un campo P de polarización no uniforme como se muestra en la figura 3-

83

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

3(b). La componente x, 𝑃𝑥 = 𝜌+ 𝑑𝑥 , explica una carga neta ligada positiva que pasa por la cara izquierda 𝑆1 hacia adentro de ∆𝑣, y cuyo valor es 𝑃𝑥 ∆𝑦∆𝑧 = (𝜌+𝑑𝑥 )∆𝑦∆𝑧 ⇝ (3 − 18a) en tanto que a través del lado opuesto 𝑆1′ la carga ligada positiva que sale de ∆𝑣 se expresa como sigue: 𝑃𝑥′ ∆𝑦∆𝑧 = [𝜌+ 𝑑𝑥 +

𝜕(𝜌+ 𝑑𝑥 ) ∆𝑥] ∆𝑦∆𝑧 ⇝ (3 − 18b) 𝜕𝑥

Figura 3-3. 𝜌𝒑 = −𝒅𝒊𝒗 𝑷. (a) Campo de polarización P en un elemento de volumen dieléctrico. (b) Efecto de la no uniformidad de 𝑃𝑥 , que deja un exceso de carga de polarización negativa en ∆𝑣.

En consecuencia, dentro de ∆𝑣, se mantiene una carga neta ligada negativa de polarización, que es igual a la diferencia de (3-18a) y (3-18b), o sea −

𝜕(𝜌+𝑑𝑥 ) 𝜕𝑃𝑥 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 = − ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ⇝ (3 − 19) 𝜕𝑥 𝜕𝑥

Con estas contribuciones semejantes sobre los otros dos pares de lados, se obtiene la carga ligada negativa total que se mantiene dentro de ∆𝑣

−(

𝜕𝑃𝑥 𝜕𝑃𝑦 𝜕𝑃𝑧 + + ) ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 ⇝ (3 − 20) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

84

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

que es una medida del exceso 𝜌𝑝 ∆𝑣 de carga neta ligada dentro de ∆𝑣, si 𝜌𝑝 denota la densidad de volumen del exceso de carga de polarización. De esa manera, igualando (3-20) con 𝜌𝑝 ∆𝑣 se obtiene, a la vista de (2-18a) −div 𝐏 = 𝜌𝒑 [C/m3 ] ⇝ (3 − 21) La expresión (2-23) dio la divergencia de 𝜖0 𝐄 en una región de espacio vacío como la densidad 𝜌𝑣 de carga libre. Ahora se ve que el exceso de carga de polarización desarrollado en un material contribuye a otra clase de densidad de carga, 𝜌𝑝 , de manera que en la presencia de cargas libres como de exceso de cargas ligadas, la divergencia de 𝜖0 𝐄 en un material es en general div (𝜖0 𝐄) = 𝜌𝑣 + 𝜌𝑝 . Usando (3-21) en esta última se tiene ∇ ⋅ (𝜖0 𝐄 + 𝐏) = 𝜌𝑣 ⇝ (3 − 22) que es una expresión de divergencia para E en una región material. Usando la abreviatura D para (𝜖0 𝐄 + 𝐏) se obtiene una versión más compacta como sigue: 𝐃 = 𝜖0 𝐄 + 𝐏 [C/m2 ] ⇝ (3 − 23) que permite escribir (3-22) en la forma preferida ∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣 [C/m3 ] ⇝ (3 − 24) Los experimentos revelan que muchas sustancias dieléctricas son esencialmente lineales, lo que significa que P es proporcional al campo E aplicado. Para tales materiales 𝐏∝𝐄 ⇝ (3 − 25) = 𝜒𝑒 𝜖0 𝐄 [C/m2 ] en que al parámetro 𝜒𝑒 se le llama la susceptibilidad eléctrica del dieléctrico. En (3-25) se retiene el factor 𝜖0 para hacer que 𝜒𝑒 no tenga dimensiones. Entonces, (3-22) queda como sigue ∇ ⋅ [(1 + 𝜒𝑒 )𝜖0 𝐄] = 𝜌𝑣 ⇝ (3 − 26)

85

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Comparando (3-26) contra (3-24) se encuentra que la cantidad entre corchetes denota a D, es decir 𝐃 = (1 + 𝜒𝑒 )𝜖0 𝐄 ⇝ (3 − 27) Se acostumbra denotar a 1 + 𝜒𝑒 Por símbolo sin dimensiones 𝜖𝑟 = 1 + 𝑥𝑒 ⇝ (3 − 28) en que a 𝜖𝑟 se le llama la permitividad relativa de la región: 𝜖 = (1 + 𝜒𝑒 )𝜖0 ⇝ (3 − 29a) 𝜖 = 𝜖𝑟 𝜖0 [F/m] ⇝ (3 − 29b) (3-27) se escribe en las siguientes formas más compactas 𝐃 = (1 + 𝜒𝑒 )𝜖0 𝐄 ⇝ (3 − 30a) 𝐃 = 𝜖𝑟 𝜖0 𝐄 ⇝ (3 − 30b) 𝐃 = 𝜖𝐄 [C/m2 ] ⇝ (3 − 30c) En el espacio vacío, 𝜒𝑒 = 0 para reducir (3-30) propiamente a 𝐃 = 𝜖0 𝐄. También, expresando (3-29b) en la forma siguiente 𝜖𝑟 =

𝜖 ⇝ (3 − 31) 𝜖0

se enfatiza que 𝜖𝑟 denota una permitividad de material relativa a la del espacio vacío. Para resumir, nótese que la relación de Maxwell (3-22) o (3-24) se expresa en cualquiera de las formas equivalentes ∇ ⋅ [(1 + 𝜒𝑒 )𝜖0 𝐄] = 𝜌𝑣 ⇝ (3 − 32a) ∇ ⋅ [𝜖𝑟 𝜖0 𝐄] = 𝜌𝑣 ⇝ (3 − 32b) ∇ ⋅ (𝜖𝐄) = 𝜌𝑣 ⇝ (3 − 32c) 86

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣 [C/m3 ] ⇝ (3 − 32d) Ningún material dieléctrico es lineal en su comportamiento de polarización eléctrica, aunque son sobre amplios rangos de campos E aplicados. Si E es bastante intenso, se experimenta desplazamientos de polarización que produzcan dislocaciones de la estructura molecular, o ruptura dieléctrica, para cuyo caso no se aplica (3-25). La magnitud de D en un material no lineal no es proporcional al campo aplicado E (aunque los vectores E y P tenen las mismas direcciones). Entonces (3-25) se escribe, en forma más general, como 𝐏 = 𝜒𝑒 (𝐸)𝜖0 𝐄 ⇝ (3 − 33) en que se nota la dependencia de 𝜒𝑒 en 𝐸. 3.2.1. Densidad de corriente en la polarización dieléctrica Si el campo eléctrico da lugar a los efectos de polarización dieléctrica es variable en el tiempo, el campo de polarización también es variable en el tiempo. Entonces los desplazamientos de cargas positivas en una dirección, con las cargas negativas que se mueven opuestamente, dan lugar a desplazamientos de cargas a través de secciones transversales del material, identificables como corrientes a través de esas secciones. Aplicando la derivada en el tiempo a los términos 𝐏𝑖 de (3-16) se obtiene la interpretación de densidad de corriente como sigue: 𝜕𝐏𝑖 𝜕𝐝 ∑𝑁 𝑞𝑖 𝑖 𝑁𝑞 𝜕 ∑𝑁 𝑖=1 𝜕𝐝 𝜕𝐏 𝑖=1 𝐝𝑖 𝜕𝑡 = 𝜕𝑡 = [A/m2 ] ⇝ (3 − 34) = 𝜌+ = ∆𝑣 ∆𝑣 ∆𝑣 𝜕𝑡 𝑁 𝜕𝑡 𝜕𝑡

∑𝑁 𝑖=1

A la derivada resultante en el tiempo del campo de polarización, 𝜕𝐏/𝜕𝑡, cuyas unidades son de densidad de corriente de volumen, se le da el símbolo 𝐉𝑝 como sigue: 𝐉𝑝 =

𝜕𝐏 [A/m2 ] ⇝ (3 − 35) 𝜕𝑡

Se conoce como la densidad de corriente de polarización eléctrica. El campo 𝐉𝑝 , junto con el campo de densidad de carga de polarización 𝜌𝑝 descrita por (3-21), actúa como fuente adicional de campos eléctricos y magnéticos. 87

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

3.2.2. Forma integral de la ley de Gauss para los materiales Los efectos de polarización dieléctrica atribuidos a las regiones materiales llevan a las expresiones de divergencia (3-21) y (3-24), que relacionan los campos P y D con las fuentes de carga de polarización y carga libre. Se utiliza el teorema de la divergencia para transformar en formas integrales. La más importante es, ∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣 , Multiplicando ambos lados de (3-24) por 𝑑𝑣 e integrando en una región 𝑉 de volumen arbitrario se tiene ∫ ∇ ⋅ 𝐃 𝑑𝑣 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⇝ (3 − 36) 𝑉

𝑉

Por el teorema de la divergencia (2-21), se sustituye el lado izquierdo por una integral de superficie cerrada ∮ 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 [C] ⇝ (3 − 37) 𝑆

𝑉

S limita a 𝑉. La ecuación (3-37) es la forma integral de la ecuación de Maxwell (3-24) para una región material, que aveces se conoce como ley de Gauss para regiones materiales. Expresa que el flujo neto, hacia afuera de D sobre cualquier superficie cerrada, es una medida de la carga libre total contenida por el volumen 𝑉 limitado por S, en cualquier instante. Otra relación de divergencia, ∇ ⋅ 𝐏 = −𝜌𝑝 de (3-21), tiene la forma integral equivalente ∮ 𝐏 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ 𝜌𝑝 𝑑𝑣 [C] ⇝ (3 − 38) 𝑆

𝑉

la cual se obtiene por el método análogo al utilizado en la conversión de (3-24) a la integral (3-37) de Gauss. La ecuación (3-38) expresa que el flujo neto hacia afuera de P que surge de la superficie de 𝑉 es una medida de la carga de polarización neta sumada a través de toda 𝑉. 3.2.3. Condiciones de frontera espacial para D y P normales En muchos problemas de campos electromagnéticos es necesario estudiar el comportamiento de los campos que recorren superficies límites que separan las distintas regiones materiales. En esos casos se requiere ajustar las soluciones de campo para que 88

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

satisfagan las condiciones de frontera en las interacciones. Las condiciones de frontera se determinan a partir de las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell para las regiones materiales. Se utiliza la relación integral ∮𝑆 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫𝑉 𝜌𝑣 𝑑𝑣, de Maxwell, a través de una superficie cerrada construida apropiadamente, para comparar las componentes normales de D que aparecen justo a ambos lados de una interacción que separe dos materiales de distintas permitividades. Denotando los materiales como la región 1 y región 2 con las permitividades 𝜖1 y 𝜖2 , se define una superficie cerrada en forma de caja redonda de pequeña altura 𝛿ℎ y áreas en las tapas ∆𝑠 como en la figura 3-4. Llamando 𝐃1 y 𝐃2 a los campos en puntos justo dentro de las regiones 1 y 2, al aplicar la integral del lado izquierdo de (3-37) a la Caja cerrada, da el flujo neto hacia afuera desde las superficies superior e inferior ∆𝑠. Al mismo tiempo el lado derecho es la carga encerrada por la caja 𝜌𝑣 ∆𝑠𝛿ℎ de manera que (3-37) se reduce a 𝐷𝑛1 ∆𝑠 − 𝐷𝑛2 ∆𝑠 = 𝜌𝑣 ∆𝑠𝛿ℎ ⇝ (3 − 39)

Figura 3-4. Superficie de caja gaussiana construida para obtener la condición de frontera de la componente normal de D. (a) Superficie cerrada en forma de caja que muestra los campos totales en puntos adyacentes a la interacción. (b) Vista lateral de (a), que muestra los campos descompuestos en sus componentes.

El lado derecho de (3-39) se desvanece conforme 𝛿ℎ → 0, suponiendo que 𝜌𝑣 , denote una densidad volumétrica de carga libre en la región. Sin embargo, si en la interacción existe una densidad de carga superficial denotada por 𝜌𝑠 y definida por el límite 𝜌𝑠 = lim 𝜌𝑣 𝛿ℎ ⇝ (3 − 40) 𝛿ℎ→0

(3-39) se reduce a la condición general de frontera 89

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

D𝑛1 − D𝑛2 = 𝜌𝑠 [C/m2 ] ⇝ (3 − 41) La ecuación (3-41) significa que la componente normal de D es discontinua en la medida de la densidad de carga superficial libre presente en la interacción. Ya que 𝐷𝑛1 = 𝐧 ⋅ 𝐃𝟏 y 𝐷𝑛2 = 𝐧 ⋅ 𝐃𝟐 en que n denota un vector unitario normal, dirigido desde la región 2 a la región 1 como en la figura 3-4(b), (3-41) se escribe opcionalmente en notación vectorial como 𝐧 ⋅ (𝐃1 − 𝐃2 ) = 𝜌𝑠 [C/m2 ] ⇝ (3 − 42) La condición (3-41) de frontera es verdadera en general, pero para ciertos problemas físicos puede faltar una densidad 𝜌𝑠 de carga superficial libre. Se mencionan dos casos especiales. Caso A. Ambas regiones son dieléctricos perfectos. La conductividad 𝜎 es cero, no proporciona cargas libres, un agente externo no entrega carga excedente a la interacción, entonces 𝜌𝑠 = 0 en la interacción. Por tanto (3-41) se reduce a 𝐷𝑛1 = 𝐷𝑛2 [C/m2 ] ⇝ (3 − 43) Como se ilustra en la figura 3-5(a) la componente normal de D es continua en una interacción que separa a dos dieléctricos perfectos. Caso B. Una región es un dieléctrico perfecto; la otra es un conductor perfecto. Las corrientes eléctricas están limitadas a densidades finitas en el mundo físico. De 𝐉 = 𝜎𝐄, la suposición de un conductor perfecto en la región 2 de la figura 3-4 (𝜎2 → ∞), implica que 𝐄2 es cero para que, las densidades de corriente tengan valores finitos. Más aún, con campos ̂ , si 𝐄2 es cero en la región 2, entonces 𝐁2 electromagnéticos que satisfacen ∇ × 𝐄̂ = −𝑗𝜔𝐁 también debe de ser cero allí. Por ende, para campos variables en el tiempo, 𝜎 → ∞ Implica 𝐄 = 𝐁 = 0 ⇝ (3 − 44) en un conductor perfecto. Entonces la condición de frontera (3-41) ó (3-42) se debe reducir a 𝐷𝑛1 = 𝜌𝑠 , o en forma vectorial 𝐧 ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑠 [C/m3 ] ⇝ (3 − 45)

90

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Figura 3-5. (a) 𝐷𝑛 continúa en una interacción que separa dieléctricos perfectos. (b) Igualdad de 𝐷𝑛 normal a una densidad de carga superficial en un conductor perfecto.

Como se ilustra en la figura 3-5(b), superficial de carga la densidad que reside en un conductor perfecto es igual a la componente normal de D allí. Se obtiene una condición de frontera semejante a (3-41) comparando las componentes normales del vector P de polarización dieléctrica. Si se nota la semejanza de la ley integral de Maxwell (3-37) con la integral del campo de polarización (3-38) y se utiliza otra construcción de caja como la anterior, se demuestra que 𝑃𝑛1 − 𝑃𝑛2 = −𝜌𝑠𝑝 , o en forma vectorial 𝐧 ⋅ (𝐏1 − 𝐏2 ) = −𝜌𝑠𝑝 [C/m2 ] ⇝ (3 − 46) 𝜌𝑠𝑝 denota la densidad de cargas superficiales atadas netas dentro de la caja. La densidad neta incluye el efecto de ambas especies de carga de polarización superficial (positiva y negativa) acumuladas justo a ambos lados del límite. Si la región 1 es el espacio vacío, se obtiene una imagen más simple, ya que 𝜒𝑒1 = 0 (ó 𝜖1 = 𝜖0 ). Entonces, 𝐏1 = 0, lo que se reduce al caso especial 𝐧 ⋅ 𝐏2 = 𝜌𝑠𝑝 [C/m2 ] ⇝ (3 − 47) La densidad superficial de carga de polarización, que reside en una región entre espacio vacío y dieléctrico, es igual a la componente normal del campo P allí. Ejemplo 3.2. Dos placas paralelas, conductoras de considerable extensión y a 𝑑 [m] entre sí, están cargadas estáticamente con ±𝑞 [C] en cada área A de las placas inferior y superior respectivamente, como se indica en (a). Los conductores están separados por aire excepto por una pieza dieléctrica homogénea de espesor c y permitividad 𝜖, a una distancia b de la placa inferior, (a) Utilizar la ley de Gauss (3-37) para establecer D en las tres regiones. Dibujar el flujo

91

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

de D. (b) Encontrar E y P en las tres regiones y mostrar sus gráficas de flujo. (c) Determinar 𝜌𝑠 en las superficies conductoras, 𝜌𝑝 en el dieléctrico y 𝜌𝑝𝑠 en 𝑦 = 𝑏 y 𝑦 = 𝑏 + 𝑐. (a) E sólo existe entre los conductores y por simetría es independiente de 𝑥 y 𝑧. Se coloca una superficie cerrada S gaussiana en forma de caja rectangular como en la figura 112 (d), para contener la carga libre 𝑞. Con E estático dentro del conductor cero, desde la parte superior de S emana un flujo D de densidad constante, lo que hace que el lado izquierdo de la ley de Gauss (3-37) quede como sigue: ∮ 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑆

(𝐚𝑦 𝐷𝑦 ) ⋅ 𝐚𝑦 𝑑𝑠 = 𝐷𝑦 ∫

𝑆(𝑡𝑎𝑝𝑎)

𝑑𝑠 = 𝐷𝑦 𝐴

𝑆(𝑡𝑎𝑝𝑎)

Igualando con el lado derecho de (3-37), la carga libre 𝑞 = 𝐷𝑦 𝐴, de donde sigue: 𝐃 = 𝐚𝑦 𝐷𝑦 = 𝐚𝑦

𝑞 ⇝ (1) 𝐴

el cual es un resultado correcto para las tres regiones entre los conductores, debido a que no existe carga libre en o sobre el dieléctrico. En (b) se muestra la gráfica de flujo de D.

Ejemplo 3-2. (a) Sistema de conductores paralelos cargados. (b) Flujo de D. (c) Flujo de 𝜖0 𝑬. (d) Flujo de P.

(b) E se obtiene usando (3-30c), de manera que en la pieza dieléctrica,

92

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝐄=

𝐃 𝑞 = 𝐚𝑦 𝑏 < 𝑦 < 𝑏 + 𝑐 ⇝ (2) 𝜖 𝜖𝐴

en tanto que en las regiones de aire es 𝐄=

𝐃 𝑞 = 𝐚𝑦 0 < 𝑦 < 𝑏 y tambien 𝑏 + 𝑐 < 𝑦 < 𝑑 ⇝ (3) 𝜖0 𝜖0 𝐴

Ya que 𝜖 > 𝜖0 para un dieléctrico típico, en las regiones de aire E excede el valor en el dieléctrico, como se ve en (c). Usando (3-23) se encuentra P en el dieléctrico 𝑞 𝑞 𝑞 𝜖 − 𝜖0 𝑞 𝜖𝑟 − 1 𝐏 = 𝐃 − 𝜖0 𝐄 = 𝐚𝑦 ( − 𝜖0 ) = 𝐚𝑦 ( ) = 𝐚𝑦 ( ) ⇝ (4) 𝐴 𝜖𝐴 𝐴 𝜖 𝐴 𝜖𝑟 Para 𝜖𝑟 > 1, P en la pieza está en la dirección de las y positivas, como se muestra en (d). En el aire, P es cero. De (3-35), no se establece densidad de corriente 𝐉𝑝 de polarización en el dieléctrico debido a que los campos son estáticos en el tiempo. (c) Las densidades libres de carga en los conductores se obtienen de (3-45), para dar 𝜌𝑠 = ±𝑞/𝐴. La densidad de carga de polarización 𝜌𝑝 de (3-21) es cero debido a que P es un vector constánte en toda la pieza. La densidad superficial de carga 𝜌𝑠𝑝 de polarización se encuentra sustituyendo (4) en (3-47), lo que da 𝑃𝑦 = 𝜌𝑠𝑝 =

𝑞 𝜖𝑟 − 1 ( ) ⇝ (5) 𝐴 𝜖𝑟

Estas densidades superficiales se señalan en (b) y (d) de la figura.

3.3. Div B; su forma integral y condición de frontera para B normal En (3-2) se desarrolló la relación de Maxwell para ∇ ⋅ 𝐃 en un material, agregando el efecto de la densidad 𝜌𝑝 de carga de polarización eléctrica a la relación de Maxwell para el espacio vacío. La expresión ∇ ⋅ 𝐁 en un material se desarrolla en forma análoga. En este caso no se requiere término aditivo debido a que físicamente no existen cargas magnéticas libres en ningún material conocido. En consecuencia, B se mantiene sin divergencia en los materiales; es decir, ∇ ⋅ 𝐁 = 0 [Wb/m3 ] ⇝ (3 − 48) La ecuación (3-48) se convierte a su forma integral, multiplicando ambos lados de (3-48) por 𝑑𝑣, integrando a través de un 𝑉 arbitrario y aplicando el teorema de la divergencia,

93

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

∮ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = 0 [Wb] ⇝ (3 − 49) 𝑆

La ecuación (3-49) expresa que el flujo neto hacia afuera de B, sobre cualquier superficie S cerrada, siempre es cero, lo que implica que el flujo de B siempre forma líneas cerradas. Aplicando (3-49) a una caja gaussiana desvanecente, como la de la figura 3-4, se halla una condición de frontera a las componentes normales de B y análoga a (3-42). La condición resultante de frontera es 𝐵𝑛1 − 𝐵𝑛2 = 0 ⇝ (3 − 50) es decir, que la componente normal del campo B es continua en el límite que, separa dos regiones adyacentes. 3.4. Polarización magnética y rot de H para los materiales Las propiedades magnéticas de un material se atribuyen a la tendencia que tienen las corrientes ligadas que circulan en escala atómica, de alinearse con un campo B aplicado. Hay tres tipos de corrientes ligadas y asociadas con la estructura atómica: electrones en órbita, y las asociadas con el spin del electrón y el spin nuclear.

Figura 3-6. Elementos de corrientes atadas en la estructura atómica. (a) Constituyentes de corrientes en circulación asociadas con partículas de un átomo simple. (b) Momento magnético m de una corriente 𝐼 que circula por un área 𝑑𝑠.

Cada uno de esos fenómenos, representados en la figura 3-6(a), equivale a la circulación de una corriente 𝐼 alrededor de una pequeña trayectoria cerrada que limita un área 𝑑𝑠, cuyo sentido positivo está relacionado mediante la regla de la mano derecha con la dirección de 𝐼 como en la figura 3-6(b). El producto 𝐼𝑑𝑠 define el momento magnético m al que contribuyen

94

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

las corrientes ligadas de la configuración atómica o molecular. Se demuestra que al aplicar un campo magnético B externo al momento típico 𝐦 = 𝐼𝑑𝑠 se obtiene una torsión ejercida sobre m, que tiende a alinear a m con el campo aplicado B. De esta manera se explica el comportamiento magnético de un material como si fuera una colección, en el espacio vacío, de muchos momentos magnéticos m por volumen unitario.Se demuestra que la tendencia de alinearse con el campo aplicado B proporciona una corriente equivalente de magnetización de densidad 𝐉𝑚 lo que sirve para modificar el campo magnético en determinada manera. En seguida se presenta una descripción de este proceso, partiendo de un estudio de la torsión que produce el campo B en un elemento de corriente. El comportamiento de un campo magnético externo en una espira de corriente de tamaño microscópico, es independiente de su forma en un plano, de manera que se supone una espira cuadrada en vez de la configuración circular de la figura 3-6(b), y que en la figura 3-7(a), se muestra en el plano 𝑧 = 0 sumergida en el campo aplicado 𝐁 = 𝐚𝑥 𝐵𝑥 + 𝐚𝑦 𝐵𝑦 + 𝐚𝑧 𝐵𝑧 . La fuerza de Lorentz que actúa en cada uno de los cuatro bordes de la espira cuadrada de corriente se obtiene de (1-22) 𝑑𝐅𝐵 = 𝑑𝑞𝓋 × 𝐁 [N] ⇝ (3 − 51)

Figura 3-7. Desarrollo de la expresión de torsión para un circuito de corriente sumergido en un campo B. (a) Circuito de corriente sumergido en un campo B arbitrario. (b) Un elemento de carga 𝑑𝑞𝓋, en movimiento, del circuito. (c) Desarrollo de la torsión 𝑑𝑻 producida en el borde 𝑑ℓ1 .

si la carga 𝑑𝑞 se mueve con velocidad 𝓋 a lo largo de los bordes 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦. Se presenta (3-51) en las siguientes formas, notando que 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣 = 𝜌𝑣 𝑑ℓ 𝑑𝑠 de la figura 3-7(b) y utilizando (l-20) 95

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝑑𝐅𝐵 = 𝜌𝑣 𝑑ℓ 𝑑𝑠𝓋 × 𝐁 = [𝐉 𝑑ℓ 𝑑𝑠] × 𝐁 = 𝐼 𝑑ℓ × 𝐁 ⇝ (3 − 52) con la dirección denotada asignando una propiedad vectorial a cada longitud 𝑑ℓ de borde. Por comodidad, el origen del brazo de torsión R se toma en el centro de la espira. A lo largo de ℓ1 la torsión diferencial 𝑑𝐓1 está dada por 𝐑1 × 𝑑𝐅𝐵 , lo que da 𝑑𝐓1 = 𝐑1 × 𝑑𝐅𝐵 = [𝐚𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ] × [(−𝐚𝑥 𝐼 𝑑𝑥 ) × 𝐁] = −𝐚𝑥 𝐼𝐵𝑦 2 2

obteniendo el mismo resultado para el borde ℓ3 , sobre ℓ2 y ℓ4 queda como 𝑑𝐓2 + 𝑑𝐓4 = 𝐚𝑦 𝐼𝐵𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦. En consecuencia, la torsión en toda la espira es 𝑑𝐓 = (𝐚𝑦 𝐵𝑥 − 𝐚𝑥 𝐵𝑦 )𝐼 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (𝐚𝑧 × 𝐁)𝐼 𝑑𝑠 = 𝐼 (𝐚𝑧 𝑑𝑠) × 𝐁 = 𝐼 𝑑𝑠 × 𝐁 y denotando con 𝐼𝑑𝑠 el momento magnético 𝐦 = 𝐼𝑑𝑠 [A ⋅ m2 ] ⇝ (3 − 53) abreviando el resultado se tiene 𝑑𝐓 = 𝐦 × 𝐁 [N ⋅ m] ⇝ (3 − 54) De (3-54) es claro que sólo las componentes del campo aplicado B en el plano del elemento de corriente actúan para producir una torsión sobre el mismo. Si m y B fueran paralelos, 𝑑𝐓 sería cero; la torsión 𝑑𝐓 es tal que tiende a alinear el elemento de corriente con el campo aplicado B. Un número grande de esos circuitos de corriente, forman un material magnético, susceptible a efectos de alineación magnética.como muestra la figura 3-8(a) Como lo especifica (3-54), al imprimir un campo B se desarrolla una torsión en cada espira de corriente, dé modo tal que ellas tienden a alinearse más o menos en la dirección de B como se muestra en la figura 3-8(b). La densidad de magnetización M se define sumando los momentos magnéticos m dentro de un elemento de volumen ∆𝑣

𝐌=

∑𝑁 𝑖=1 𝐦𝑖 [A/m] ⇝ (3 − 55) ∆𝑣

96

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Por tanto, M proporciona una caracterización de las corrientes atómicas circulantes dentro de la materia desde un punto de vista macroscópico y continuo. Una importante función derivada del campo de magnetización M es su rotacional que, produce una densidad de volumen 𝐉𝑚 corrientes ligadas no canceladas dentro de un material magnético de acuerdo con 𝐉𝑚 = ∇ × 𝐌 [A/m2 ] ⇝ (3 − 56) En un ejemplo más adelante se describe el significado de (3-56) para revelar la presencia de corrientes de volumen dentro de un material, siempre que su interior esté magnetizado no uniformemente. Un efecto marginal es la presencia de densidades 𝐉sm de corriente de superficie establecidas por M en la superficie del material.

Figura 3-8. Constitución del circuito de corriente en un material magnetizable, afectada por un campo B aplicado. (a) Momentos magnéticos aleatorios en ausencia de B. (b) Alineación parcial de momentos magnéticos, con B aplicado.

97

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Ejemplo 3-3. Si se aplica un campo B a un cubo de material magnético de dimensiones 𝑏[m] por lado, M está en dirección de 𝑧 y varia de acuerdo con 𝐌 = 𝐚𝑧 10𝑥 [A/m], como se ve en (a). Encontrar la densidad 𝐉𝑚 de corriente de magnetización en el material, al igual que la densidad de corriente de magnetización superficial. Dibujar los campos de corrientes ligadas dentro y sobre el cubo. La densidad 𝐉𝑚 de corriente de magnetización se obtiene de (3-56) en dirección de las 𝑦 negativas y de densidad constante como en (b).

𝐉𝑚

𝐚𝑥 𝜕 = ∇×𝐌 =| 𝜕𝑥 0

𝐚𝑦 𝜕 𝜕𝑦 0

𝐚𝑧 𝜕 | = −𝐚𝑦 10 [A/m2 ] 𝜕𝑧 10𝑥

Los segmentos no cancelados de las corrientes ligadas en la superficie del bloque constituyen una densidad de corrientes de magnetización denotada mediante 𝐉𝑠𝑚 [A/m]. En el extremos 𝑥 = 𝑏, 𝐉𝑠𝑚 está en dirección de las 𝑦 y su magnitud es igual a M allí; 𝐉𝑠𝑚 ]𝑥=𝑏 = 𝐚𝑦 𝑀𝑧 ]𝑥=𝑏 = 𝐚𝑦 10𝑏 [A/m] en las partes superior e inferior del bloque 𝐉𝑠𝑚 ]𝑦=𝑏 = −𝐚𝑥 𝑀𝑧 ]𝑦=𝑏 = −𝐚𝑥 10𝑥 [A/m] 𝐉𝑠𝑚 ]𝑦=0 = 𝐚𝑥 𝑀𝑧 ]𝑦=0 = 𝐚𝑥 10𝑥 [A/m] No existen corrientes ligadas en el extremo en 𝑥 = 0, ya que 𝑀 = 0 allí. Esos efectos de superficie se muestran como gráficas de flujo en (c).

Ejemplo 3-3. (a) Muestra de un material magnetizado linealmente con 𝑥 creciente. (b) Corrientes de magnetización de volumen producidas por variaciones transversales de M. (c) Corrientes de superficie producidas por segmentos no cancelados de corrientes ligadas.

Con ayuda de la figura 3-9 se desarrolla una deducción formal de (3-56). Del ejemplo 3-3, se vio que en la superficie de un cuerpo magnetizado existen contribuciones no canceladas de corrientes ligadas. El examen de un elemento incremental de volumen de semejante material, mostrado en la figura 3-9(a), revela en forma similar la presencia de tales corrientes

98

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

superficiales en ∆𝑣 como en (b) de esa figura, suponiendo por ahora que sólo se consideran los efectos de la componente 𝑧 de M. Si se consideran dos de esos incrementos de volumen lado a lado como en la figura 3-9 (c), entonces las corrientes superficiales ligadas a lo largo de sus lados comunes, con densidades denotadas por 𝐉𝑠𝑚,𝑦 , se cancelan parcialmente para producir un flujo neto ascendente de corriente en la región dado por ∆𝐼1 = (𝐽𝑠𝑚,𝑦 − 𝐽´𝑠𝑚,𝑦 )∆𝑧 = −

𝜕𝑀𝑧 ∆𝑥∆𝑧 𝜕𝑥

Figura 3-9. Con relación a 𝑱𝑚 = 𝛻 × 𝑴. (a) Elementos de corrientes ligadas que producen corrientes superficiales de ∆𝑣. (b) Corrientes superficiales ligadas suavizadas en componentes rectangulares, suponiendo solamente 𝑀𝑧 . (c) Corriente ∆𝐼1 neta de volumen a través de ∆𝑥∆𝑧 diferencia de densidades de corrientes superficiales ligadas. (d) La otra contribución a la componente de 𝑱𝑚,𝑦

La flecha gruesa de la figura indica una corriente que pasa a través del área transversal ∆𝑥∆𝑧. La componente 𝑦 de la densidad 𝐉𝑚 de corriente ligada a través ∆𝑥∆𝑧 es entonces ∆𝐼1 /∆𝑥∆𝑧 = −𝜕𝑀𝑧 /𝜕𝑥.

99

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

De la componente 𝑥 de M en la vecindad del punto se obtiene otra contribución, que se muestra en la figura 3-9(d); contribuye la densidad 𝜕𝑀𝑥 /𝜕𝑧 a través de ∆𝑥∆𝑧. En consecuencia, la componente total de 𝑦 de 𝐉𝑚 queda como 𝐉𝑚,𝑦 = 𝜕𝑀𝑥 /𝜕𝑧 − 𝜕𝑀𝑧 /𝜕𝑥 que de (2-36) es evidentemente la componente y de rot 𝐌. Un desarrollo semejante produce las otras componentes 𝐉𝑚,𝑥 y 𝐉𝑚,𝑧 de 𝐉𝑚 , para obtener (3-56) 𝐚𝑥 𝜕 𝐉𝑚 = | 𝜕𝑥 𝑀𝑥

𝐚𝑦 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑦

𝐚𝑧 𝜕 | = ∇ × 𝐌 ⇝ (3 − 56) 𝜕𝑧 𝑀𝑧

El rotacional de 𝐁/𝜇0 en el espacio vacío fue expresado por (2-45) como la suma de una densidad 𝐉 de corriente de convección o de conducción, más una densidad de corriente de desplazamiento 𝜕(𝜖0 𝐄)/𝜕𝑡 en cualquier punto. En los materiales ocurren dos densidades de corriente adicionales: 𝐉𝑝 = 𝜕𝐏/𝜕𝑡 de 𝐉𝑚 = ∇ × 𝐌 de (3-56), que se originan en efectos de polarización dieléctrica y magnética. La suma es la densidad de corriente total en cualquier punto, lo que produce una revisión de (2-45) para una región material: ∇×(

𝐁 𝜕(𝜖0 𝐄) 𝜕𝐏 )=𝐉+ + +∇×𝐌 𝜇0 𝜕𝑡 𝜕𝑡

Agrupando los términos de rotacional y los de la derivada en el tiempo se obtiene ∇×(

𝐁 𝜕 (𝜖0 𝐄 + 𝐏 ) − 𝐌) = 𝐉 + ⇝ (3 − 57) 𝜇0 𝜕𝑡

Recordando de (3-23) que 𝜖0 𝐄 + 𝐏 define D, y abreviando también 𝐁⁄𝜇0 − 𝐌 en (3-57) usando el símbolo H que a veces se conoce como el campo de intensidad magnética, 𝐇=

𝐁 − 𝐌 [A/m] ⇝ (3 − 58) 𝜇0

(3-57) se escribe en forma mas compacta ∇×𝐇=𝐉+

𝜕𝐃 [A/m2 ] ⇝ (3 − 59) 𝜕𝑡 100

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Esta es la expresión del rotacional de Maxwell para el campo H definido por (3-58), para regiones materiales y que se reduce a su forma de espacio vacío (2-55) haciendo 𝐏 ≡ 𝐌 ≡ 0. En una región lineal con magnetización M proporcional al campo B en el material (𝐌 ∝ 𝐇) resultado análogo a (3-25) para un dieléctrico lineal (𝐏 ∝ 𝐄), Sin embargo, se acostumbra hacer: 𝐌∝𝐇 ⇝ (3 − 60) = 𝜒𝑚 𝐇 en que 𝜒𝑚 sin dimensiones se conoce como la susceptibilidad magnética de un material. Por tanto, sustituyendo (3-60) en (3-58) se obtiene 𝐇=

𝐁 𝐁 −𝐌= − 𝜒𝑚 𝐇 𝜇0 𝜇0

que da, al despejar B, 𝐁 = (1 + 𝜒𝑚 )𝜇0 𝐇 [Wb/m2 ] ⇝ (3 − 61) La cantidad (1 + 𝑥m ) que se abrevia como 𝜇𝑟 , 𝜇𝑟 = 1 + 𝜒𝑚 ⇝ (3 − 62) se conoce como la permeabilidad relativa del material. Eligiendo el símbolo 𝜇, llamado permeabilidad, para denotar el producto 𝜇 = (1 + 𝜒𝑚 )𝜇0 ⇝ (3 − 63a) 𝜇 = 𝜇𝑟 𝜇0 [H/m] ⇝ (3 − 63b) se escribe (3-61) en la forma compacta para los materiales lineales 𝐁 = (1 + 𝜒𝑚 )𝜇0 𝐇 ⇝ (3 − 64a) 𝐁 = 𝜇𝑟 𝜇0 𝐇 ⇝ (3 − 64b) 𝐁 = 𝜇𝐇 [Wb/m2 ] ⇝ (3 − 64c) 101

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

De (3-64b) se ve que la permeabilidad relativa expresa la permeabilidad de un material con relación a la del espacio vacío, 𝜇0 , se escribe 𝜇𝑟 =

𝜇 ⇝ (3 − 65) 𝜇0

3.4.1. Forma integral de la ley de Ampere para los materiales La relación (3-59) rotacional de Maxwell, ∇ × 𝐇 = 𝐉 + (∂𝐃/𝜕𝑡) se transforma en una relación integral utilizando el teorema de Stokes. Formando el producto interno de (3-59) con 𝑑𝑠 e integrando sobre cualquier superficie S acotada por la línea ℓ cerrada, se obtiene ∫ (∇ × 𝐇) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 + 𝑆

𝑆

𝑑 ∫ 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑆

Del teorema de Stokes, ∮ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 + ℓ

𝑆

𝑑 ∫ 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 [A] ⇝ (3 − 66) 𝑑𝑡 𝑆

que és la forma integral de la ecuación diferencial de Maxwell. La ecuación (3-66) también se conoce como la ley circuital de Ampere para los materiales. Expresa que la circulación neta de H alrededor de cualquier trayectoria cerrada ℓ es una medida de la suma de la corriente de conducción más la corriente de desplazamiento a través de la superficie S limitada por ℓ. En la sección anterior se estudió otra relación de rotacional, (3-56), 𝐉𝑚 = ∇ × 𝐌 que relaciona el campo de magnetización M con una densidad de corriente de magnetización volumétrica. Tiene una forma integral usando el teorema de Stokes ∮ 𝐌 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐉𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 [A] ⇝ (3 − 67) ℓ

𝑆

Esto significa que la circulación del campo M alrededor de una trayectoria cerrada ℓ es una medida de la corriente neta de magnetización. Por ejemplo, se ve que una integración de superficie de 𝐉𝑚 sobre una sección transversal en el plano 𝑦 − 𝑧 del cubo magnetizado en el ejemplo 3-3 da una corriente ligada de magnetización de 10𝑏2 . A que fluye verticalmente a 102

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

través de la muestra y que también se obtiene de una integral de línea de 𝐌 ⋅ 𝑑ℓ alrededor de un perímetro horizontal del cubo. 3.4.2. Condiciones de frontera para H y M tangenciales La condición de frontera (3-41) se compara con las componentes tangenciales H adyacentes al límite que separa dos materiales, aplicando la ley integral (3-66) de Maxwell a la pequeña línea cerrada rectangular ℓ de la figura 3-10. Con los campos magnéticos en los medios adyacentes 𝐇1 y 𝐇2 y descompuestos en componentes normal y tangencial como en la figura 3-10, integrando el lado izquierdo de (3-66) en sentido del reloj alrededor de ℓ se tiene 𝐻𝑡1 ∆ℓ − 𝐻𝑡2 ∆ℓ si se toma la altura 𝛿ℎ tan pequeña que los extremos no contribuyan a la integral de línea. El lado derecho de (3-66) comprende integraciones de 𝐉 y 𝐃 sobre la superficie desvanecente S acotada por ℓ para obtener 𝐻𝑡1 ∆ℓ − 𝐻𝑡2 ∆ℓ = 𝐽𝑛 ∆𝑠 +

𝜕𝐷𝑛 𝜕𝐷𝑛 ∆𝑠 = 𝐽𝑛 ∆ℓ𝛿ℎ + ∆ℓ 𝛿ℎ ⇝ (3 − 68) 𝜕𝑡 𝜕𝑡

si 𝐽𝑛 y 𝐷𝑛 denotan las componentes normales a ∆𝑠. El último término de (3-68) se desvanece conforme 𝛿ℎ → 0; la contribución del término 𝐽𝑛 también se desvanecería si 𝐉 fuera una densidad volumétrica de corriente. En algunos problemas físicos se supone una corriente superficial libre que fluye únicamente en la frontera con una densidad 𝐉𝑠 definida por 𝐉𝑠 = lim 𝐉 𝛿ℎ ⇝ (3 − 69) 𝛿ℎ→0

(𝐉𝑠 sólo es de interés si una de las regiones es un conductor perfecto). La condición de límite general que resulta de la sustitución de (3-69) en (3-68) queda como sigue: 𝐻𝑡1 − 𝐻𝑡2 = 𝐽𝑠(𝑛) [A/m] ⇝ (3 − 70a) en la cual el subíndice (𝑛) denota una corriente de superficie que fluye normalmente a través del lado del rectángulo como se indica en la figura 3-10. La ecuación (3-70a) expresa que la componente tangencial del campo H es discontinua en una frontera en la medida que la densidad de corriente superficial pueda estar presente.

103

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Figura 3-10. Línea ℓ rectangular cerrada construida para comparar 𝐻𝑡1 y 𝐻𝑡2 utilizando la ley de Ampere.

Utilizando 𝐧 para denotar un vector unitario normal dirigido desde la región 2 hacia región 1 como en la figura 3-11, se escribe una forma vectorial de (3-70a) 𝐧 × (𝐇1 − 𝐇2 ) = 𝐉𝑠 [A/m] ⇝ (3 − 70b) para incluir información de dirección al igual que de magnitud.

Figura 3-11. Los dos casos de la condición de frontera (3-70b) en 𝐻𝑡 tangencial. (a) 𝐻𝑡 continúa en la interacción que separa regiones de conductividades finitas. (b) Igualdad de 𝐻𝑡 y la densidad de corriente superficial en un conductor perfecto.

La condición de frontera (3-70) es verdadera en general aunque en su aplicación a un problema de valor de frontera se constituye en dos casos.

104

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Caso A. Ambas regiones tienen conductividades finitas. En este caso, no existe corrientes superficiales libres en la frontera, lo que reduce (3-70a) a 𝐻𝑡1 = 𝐻𝑡2 [A/m] ⇝ (3 − 71) Por tanto, la componente tangencial de H es continua en una frontera que separa dos materiales, que tienen conductividades finitas. En la figura 3-11 (a) se ilustra esta condición de frontera. Caso B. Una región es un conductor perfecto. De (3-44), bajo condiciones variables en el tiempo, no existe campó eléctrico ni magnético dentro de un conductor perfecto. Si la región 2 fuera un conductor perfecto, entonces 𝐇2 = 0 reduciendo (3-70a) a 𝐻𝑡1 = 𝐽𝑠(𝑛) ; en forma vectorial, (3-70b) queda como sigue: 𝐧 × 𝐇1 = 𝐉𝑠 [A/m] ⇝ (3 − 72) que es la condición de frontera ilustrada en la figura 3-11 (b). En la frontera que separa una región de un conductor perfecto, la magnitud de la densidad 𝐉𝑠 de corriente superficial es igual a la de H tangencial allí, y su dirección está especificada por la regla de la mano derecha. Más adelante se demuestra que no existe componente normal de H o B en la superficie de un conductor perfecto, lo que implica que el campo magnético tangencial también es el campo magnético total allí. Se nota una similitud en la forma entre la ley circuital de Ampére (3-66) y la relación (367) para M. Por tanto, por analogía con la condición de límite (3-70a), deducida aplicando (366) al rectángulo cerrado como en la figura 3-10, de (3-67) se establece la condición de límite 𝑀𝑡1 − 𝑀𝑡2 = 𝐉𝑠𝑚(𝑛) [A/m] ⇝ (3 − 73a) Este resultado expresa la continuidad de la componente tangencial de M según se recorra una frontera entre dos regiones magnetizadas adyacentes. El subíndice (𝑛) denota una densidad de corriente de magnetización superficial normal a las componentes tangenciales M en el límite. En la condición (3-73a) de límite está incluido el sentido vectorial de la densidad 𝐉𝑠𝑚 de corriente de magnetización superficial, que expresándolo da 105

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝐧 × (𝐌1 − 𝐌2 ) = 𝐉𝑠𝑚 [A/m] ⇝ (3 − 73b) que es un resultado análogo a (3-70b). Si la región 1 no es magnética, entonces 𝐌1 = 0, lo que reduce (3-73b) a 𝐉𝑠𝑚 = −𝐧 × 𝐌2 [A/m] ⇝ (3 − 74) En las partes (b) y (c) de la figura que acompaña al ejemplo 3-3 se ha indicado una ilustración de ello. Aplicando (3-74) al lado derecho del bloque magnetizado de ese ejemplo se obtiene una densidad de corriente de magnetización superficial 𝐉𝑠𝑚 = −𝐧 × 𝐌2 = −𝐚𝑥 × (𝐚𝑧 𝑀𝑧 ) = 𝐚𝑦 𝐌𝑧 , que concuerda con (c) de ese ejemplo. Ejemplo 3-4. Suponga que un solenoide muy largo como el de la figura 1-17(b) contiene una barra magnética coaxial de radio a, como en a de la figura del ejemplo 3-4(a) en donde la barra tiene permeabilidad constante 𝜇. El devanado apretado contiene 𝑛 vueltas en cada 𝑑 [m] de longitud axial, y lleva una corriente estable 𝐼. (a) Determinar H y B en las regiones del aire y el hierro utilizando la ley de Ampere (3-66) y la simetría. (b) Encontrar M en la barra, y determinar si existe alguna densidad 𝐉𝑚 dé corriente de magnetización de volumen, al igual que las densidades de corriente de magnetización en su superficie. (c) Dibujar el flujo de H, B y M en las regiones de aire y fierro. (a) Con CD en el alambre para producir campos estáticos en el tiempo, (3-66) queda como ∮ℓ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ = ∫𝑠 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 . De la simetría axial y de las implicaciones de la ley de Ampere con relación al sentido de la corriente, H está en dirección de las 𝑧 positivas dentro del devanado, y esencialmente es cero fuera del mismo. Construyendo la trayectoria cerrada ℓ rectangular mostrada, 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ integrada entre 𝑃1 y 𝑃2 da 𝑃2

𝑑

∮ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ (𝐚𝑧 𝐻𝑧 ) ⋅ 𝐚𝑧 𝑑𝑧 = ∫ 𝐻𝑧 𝑑𝑧 = 𝑛𝐼 ℓ

𝑃1

0

en que 𝐻𝑧 es constante sobre la trayectoria 𝑃1 a 𝑃2 , para dar 𝐻𝑧 =

𝑛𝐼 ⇝ (1) 𝑑

Este resultado es correcto tanto en la región del aire como en la del hierro, debido a que 𝑛𝐼 es la corriente encerrada por ℓ sin importar que 𝑃1 y 𝑃2 caigan dentro del aire o el hierro. Las vueltas por metro en el devanado se denotan mediante 𝑛/𝑑. El campo B correspondiente se obtiene de (3-64c)

106

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝜇𝑛𝐼 0 < 𝜌 < 𝑎 𝐹𝑖𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑 𝜇0 𝑛𝐼 𝐁 = 𝜇0 𝐇 = 𝐚𝑧 𝑎 < 𝜌 < 𝑏 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑

𝐁 = 𝜇𝐇 = 𝜇(𝐚𝑧 𝐻𝑧 ) = 𝐚𝑧

⇝ (2)

Ejemplo 3-4. (a) Solenoide con núcleo magnético. (b) Flujo de campo H. (c) Flujo de campo B. (d) Flujo de campo M. (e) El campo 𝑱𝑠𝑚 en el hierro

(b) El campo de magnetización M de volumen es cero en el aire; en la región ferromagnética está dado por (3-60) 𝐌 = 𝜒𝑚 𝐇 = 𝐚𝑧 𝜒𝑚

𝑛𝐼 𝑛𝐼 = 𝐚𝑧 (𝜇𝑟 − 1) ⇝ (3) 𝑑 𝑑

M es constante en la barra de hierro para este ejemplo, para dar 𝐉𝑚 = 0 de (3-56). Sin embargo, la densidad de corriente de magnetización superficial se determina de (3-74), llamando región 2 al fierro. Con 𝐧 = 𝐚𝜌 en la frontera 𝐉𝑠𝑚 = −𝐧 × 𝐌2 = −𝐚𝜌 × 𝐚𝑧 𝜒𝑚

𝑛𝐼 𝑛𝐼 = 𝐚𝜙 𝜒𝑚 ⇝ (4) 𝑑 𝑑

107

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

(c) En (b), (c) y (d) de la figura adjunta se muestran dibujos de los campos de flujo H, B y M. De (b) se observa que H es igual en el aire que en el hierro para este ejemplo; por tanto, se satisface la condición de frontera (3-71). La consecuencia es que B es 𝜇𝑟 veces más intenso en el hierro que en la región adyacente de aire. Por último, 𝐉𝑠𝑚 tiene densidad uniforme de flujo superficial en la barra de hierro como se muestra en (e). Ejemplo 3-5. Obtener una ley de refracción para el campo B en una interacción que separa dos materiales isotrópicos de permeabilidades 𝜇1 y 𝜇2 es decir, encontrar la relación entre las desviaciones angulares respecto de la normal formada por 𝐁1 y 𝐁2 en puntos justo a ambos lados de la interacción.

Ejemplo 3-5. (a) Refracción del flujo B. (b) Refracción en interacciones de aire a región magnética.

Suponga que los campos totales de B forman los ángulos 𝜃1 y 𝜃2 con respecto a la normal, como en (a). Las condiciones de límite que relacionan las componentes de campo magnético normales son (3-50) y (3-71); 𝐵𝑛1 = 𝐵𝑛2 𝐻𝑡1 = 𝐻𝑡2 . Lo último se escribe como

108

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝐵𝑡1 𝐵𝑡2 = ⇝ (3 − 75) 𝜇1 𝜇2 De la geometría de la figura, los ángulos de inclinación obedecen tan 𝜃1 = 𝐵𝑡1 /𝐵𝑛1 y tan 𝜃2 = 𝐵𝑡2 /𝐵𝑛2 los que se combinan con (3-75) para dar 𝜇2 𝐵 𝜇 𝑡1 tan 𝜃2 = 1 𝐵𝑛1 Sustituyendo la expresión para tan 𝜃1 se obtiene tan 𝜃2 =

𝜇2 tan 𝜃1 ⇝ (3 − 76) 𝜇1

A manera de ejemplo numérico, compare la inclinación de las líneas de B en una interacción que separa dos regiones contra 𝜇1 = 𝜇0 y 𝜇2 = 10𝜇0 . Suponga en algún punto de la interacción que B en la región 1 está inclinado con 𝜃1 = 45° . De (3-76), 𝜃2 = arc tan(10 tan 45° ) = 84.3° . En forma semejante, si 𝜃1 = 20° entonces 𝜃2 = 74.6° y así sucesivamente. En caso de una interacción de aire a fierro (𝜇2 ⋙ 𝜇1 ), de (3-76) se demuestra que para casi todos 𝜃2 los valores correspondientes de 𝜃1 son ángulos muy pequeños (esencialmente 0°); es decir que el flujo sale del fierro casi perpendicular desde su superficie. Esos ejemplos se señalan en (b).

3.4.3. La naturaleza de los materiales magnéticos M denota las contribuciones promediadas de volumen de los momentos magnéticos m en la proximidad de cualquier punto dentro de la sustancia. La temperatura las agitaciones térmicas aleatorias que inhiben el alineamiento de los momentos magnéticos, altera significativamente los efectos magnéticos netos. Los efectos magnéticos en los materiales se clasifican como diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, antiferromagnéticos y ferrimagnéticos. En un material diamagnético, el momento magnético m neto de cada átomo o molécula en ausencia de un campo magnético aplicado es cero. La imagen clásica del electrón acelerado con velocidad angular 𝜔 alrededor de un núcleo positivo va acompañada de un balance de las fuerzas centrífuga y atractiva de Coulomb entre las cargas opuestas. La aplicación de un campo magnético proporciona una fuerza de Lorentz, −𝑒𝓋 × 𝐁 sobre el electrón orbital, de tal manera que para mantener una órbita fija es necesario que ocurra un aumento o disminución ±∆𝜔 del electrón, dependiendo de la dirección del campo B aplicado con relación al plano orbital, lo que significa un cambio en la corriente orbital electrónica; éste a su vez genera un pequeño 109

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

campo magnético cuya dirección se opone al campo aplicado. El campo M neto de magnetización en oposición creado así en cualquier elemento típico Δ𝑣 de volumen del material, lleva a una susceptibilidad ligeramente negativa; 𝜒𝑚 para ese material. Se supone que en todos los materiales existe el diamagnetismo. Valores típicos pequeños negativos de 𝜒𝑚 para sólidos diamagnéticos a temperatura ambiente son −1.66 × 10−5 para el bismuto, −0.95 × 10−5 para el cobre y −0.8 × 10−5 para el germanio. Es de esperar que los gases menos densos tengan susceptibilidades diamagnéticas todavía menores, lo que comprueban tanto los cálculos como los experimentos. En un material paramagnético, los átomos o moléculas poseen momentos magnéticos permanentes debido principalmente a momentos dipolares de spin electrónico, orientado aleatoriamente de manera que la magnetización neta M es cero en ausencia de un campo magnético. Por ejemplo, la aplicación de un campo B al nitrógeno gaseoso, produce una tendencia de los momentos m de alinearse con el campo, proceso inhibido por las colisiones o interacciones entre las partículas. En un sólido paramagnético, las vibraciones térmicas dentro de la red molecular tienden a disminuir los efectos de alineamiento de un campo magnético aplicado. Los materiales ferromagnéticos están caracterizados por sus fuertes momentos magnéticos permanentes incluso en ausencia de un campo B. Incluyen al fierro, cobalto, níquel, las tierras raras, gadolinio y disprosio, más algunas de sus aleaciones e incluso algunos compuestos que no contienen elementos ferromagnéticos. En la figura 3-12(a) se ilustra la orientación paralela de los momentos del spin en un dominio ferromagnético. Un cristal perfecto, idealizado, tendría una estructura de dominio, en ausencia de un campo aplicado B, como el de la figura 3-12(b), aunque las fallas tales como imperfecciones de la red e impurezas modificarían algo esta imagen idealizada; Las paredes entre los dominios (paredes de Bloch), que se ven como lo muestra la figura 3-12(c), son regiones de transición entre los alineamientos de spin de los dominios adyacentes, y su espesor es del orden de 100 átomos. Conforme se aplica un campo externo B creciente a un cristal ferromagnético que contenga dominios como se muestra en, la figura 3-12(d), las paredes de Bloch se mueven primero para favorecer el crecimiento de los dominios que tienen momentos magnéticos alineados con el 110

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

campo aplicado, que es una condición reversible al eliminar el campo si B no es grande. Para campos aplicados más intensos, el movimiento de las paredes de los dominios ocurre en forma no reversible, como se indica en la figura 3-12(d). Para un campo grande, los momentos magnéticos de dominios rotan hasta que ocurre un alineamiento paralelo con el campo aplicado, lo que se conoce como saturación. En la figura 3-13(a) se muestra el efecto promediado de magnetización M en un elemento de volumen de muestra que contiene un número suficiente de dominios. Las flechas denotan la dirección de aumento o disminución del campo aplicado H. Al disminuir el campo H aplicado hasta cero desde los valores en 𝑃2 o 𝑃3 , en la muestra ferromagnética se retiene una magnetización permanente 𝑀𝑟1 (o 𝑀𝑟2 ) que explica un comportamiento irreversible de valores múltiples y claramente no lineal. Estos valores de 𝑀𝑟 se conocen como las magnetizaciones remanentes (residuales) de la muestra. El campo aplicado se disminuye más hasta el valor inverso 𝐻𝑐1 (o 𝐻𝑐2 ), antes de que se elimine el magnetismo permanente del material. Al valor 𝐻𝑐 se le llama de manera informal la fuerza coercitiva, y es el campo que se requiere para reducir la magnetización a cero.

Figura 3-12. Fenómenos de dominio. (a) Alineamientos de momentos magnéticos en un material ferromagnético. (b) Cristal perfecto, que muestra los dominios y sus paredes. (c) Transición entre dominios adyacentes. (d) Cambios de dominios en un cristal con el aumento del campo B aplicado.

111

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Si se vuelve a hacer la gráfica de M contra H de la figura 3-13(a) en función del campo B en el material ferromagnético, se obtiene la curva de B contra H de la figura 3-13(b), de (3-58) esas cantidades están relacionadas como 𝐁 = 𝜇0 (𝐇 + 𝐌). En (b) se muestra un ciclo completo de los sucesos de (a), si se variara sinusoidalmente el campo aplicado como se nota abajo de la curva de B contra H. Después de magnetización virgen desde cero hasta 𝑃3 , que se obtiene en el primer cuarto de ciclo del campo sinusoidal H, la posterior disminución en H proporciona la secuencia de valores que pasan por el valor remanente 𝐵𝑟 , la fuerza coercitiva 𝐻𝑐 , y de allí a la máxima densidad de flujo negativo en el material en 𝑃4 . Cuando el campo aplicado H pasa a positivo, ocurre una imagen inversa de los sucesos anteriores. La curva de valores múltiples que se obtiene en esta forma cíclica se conoce como ciclo de histéresis en la región ferromagnética. Note que para amplitudes más pequeñas del campo aplicado H se obtienen ciclos más pequeños de histéresis, centrados alrededor del origen 0, o alrededor de 𝑃0 como consecuencia de un campo de polarización 𝐻0 .

Figura 3-13. Efectos de magnetización debidos a un campo magnetico aplicado a un material ferromagnetico, ( a ) Proceso de magnetización (línea sólida) virgen. Comportamiento reversible se muestra punteado. (b ) Ciclos de histéresis de B vs. H para un material ferromagnètico.

112

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

La permeabilidad incremental de un material ferromagnético se define como la pendiente de la curva de B contra H. A la pendiente en el origen cero de la curva virgen se le conoce como la permeabilidad incremental inicial. Si se utiliza un material tal que posea una magnetización 𝐻0 fija CD con una pequeña variación sinusoidal alrededor de este valor como se nota en el punto 𝑃0 de la figura 3-13(b), el ciclo menor de histéresis allí tiene una pendiente promedio que define la permeabilidad incremental en el mismo lugar. Esos sucesos ocurren en el núcleo ferromagnético de una bobina o bobina de transformador que lleven una corriente alterna sobrepuesta a una corriente directa, por ejemplo. Se debe de gastar energía para cubrir las pérdidas en que se incurre en los efectos de histéresis que acompañan las variaciones sinusoidales de un campo aplicado. Por esta razón, para diseños de transformadores y bobinas son deseables los materiales ferromagnéticos con fuerzas coercitivas bajas (con un ciclo angosto de B contra H). Por otra parte, un material ferromagnético que se utilice para imanes permanentes debe de tener alta fuerza coercitiva 𝐻𝑐 y alta densidad 𝐵𝑟 remanente o residual de densidad de flujo (correspondiente a un ciclo ancho de B contra H). Un efecto adicional marginal y generalmente indeseable que ocurre en el núcleo magnético de dispositivos como los transformadores, es el de las corrientes de conducción de electrones libres que circulan dentro del material del núcleo debido a un campo eléctrico E generado por un campo magnético variable en el tiempo. Las densidades de esas corrientes están limitadas por la conductividad del material del núcleo mediante 𝐉 = 𝜎𝐄, llamado corrientes de reflujo, o de Maxwell que resulta. ∇×𝐄 =−

𝜕𝐁 ⇝ [2 − 44] 𝜕𝑡

En la siguiente sección se demuestra que (2-44) es válida tanto para una región material como para el espacio vacío. Con un núcleo ferromagnético en el solenoide como se muestra en la figura 3-14(a), una corriente sinusoidalmente variable en el tiempo en el devanado produce un campo sinusoidal B en el núcleo para generar un campo E, y de (3-7) también un campo de corriente de reflujo allí mismo. En consecuencia, su sentido es normal al campo B variable en el tiempo. Las pérdidas se reduce sustancialmente subdividiendo el núcleo (que es un conductor) en una estructura fibrosa o laminar como lo sugiere la figura 3-14(b), en donde los conductores subdivididos están aislados entre sí. Las pequeñas partículas esféricas 113

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

magnetizables tienen el mismo propósito. Esto limita las corrientes de reflujo a volúmenes mucho más pequeños, lo que limita sustancialmente sus densidades si las subestructuras fibrosas se hacen bastante pequeñas o delgadas.

Figura 3-14. Corrientes de reflujo o de Maxwell en conductores sumergidos en campos B variables en el tiempo. (a) Corrientes de reflujo o de Maxwell inducidas en un núcleo magnético conductor por un campo B variable en el tiempo. (b) Estructuras de núcleos fibrosos y laminares utilizadas para interrumpir los caminos de las corrientes de reflujo.

Se vio que el paramagnetismo es una característica de los materiales que poseen momentos de spin magnéticos permanentes orientados aleatoriamente, se muestra en la figura 3-15(a). Debido a los efectos de los acoplamientos a corto rango entre átomos adyacentes, los materiales ferromagnéticos poseen imanes atómicos orientados paralelamente dentro de límites de dominios dados que comprenden el material, como se indica en la figura 3-15(b). Si tal material se calienta hasta que las energías térmicas excedan las energías de acoplamiento, el material se desorganiza en un paramagneto, (desaparece del imán) aunque al enfriarse vuelve a ser un ferromagneto (se restaura el imán). A la temperatura crítica a la que ocurre esto se le conoce como la temperatura de Curie. Las variaciones a los fenómenos de acoplamiento responsables de los ferromagnéticos producen alineamientos anti paralelos de spines de electrones en los materiales que se conocen como antiferromagnéticos, como se muestra en la figura 3-15(c). En este estado, un antiferromagneto (sustancia con antiferromagnetismo) está caracterizado por un campo 114

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

magnético cero. Por ejemplo, el fluoruro de manganeso es paramagnético a temperatura ambiente, pero al enfriarse hasta −206°𝐶, se hace antiferromagnético; por debajo de esta temperatura no presenta efecto magnético.Una variación importante de este fenómeno es él ferrimagnetismo, asociado con arreglos antiparalelós que no se cancelan de los momentos de spin acoplados cómo lo sugiere la figura 3-15(d).

Figura 3-15. Orientaciones de los momentos de spin de distintos materiales magnéticos. (a) Paramagnético. (b) Ferromagnético. (c) Antiferromagnético. (d) Materiales ferrimagnéticos o ferritas.

3.5. Rot E de Maxwell, su forma integral y condición de frontera para E tangencial El 𝐫𝐨𝐭 𝐇 en una región material sumando las densidades de corriente que contribuyen los campos de polarización eléctrica y magnética. La forma de la relación de 𝐫𝐨𝐭 𝐄 para los materiales se obtiene por analogía ∇×𝐄 =−

𝜕𝐁 ⇝ (3 − 77) 𝜕𝑡

La ley de Faraday anterior se conserve correcta para una región material. En consecuencia, (3-77) se aplica correctamente tanto a los materiales como al espacio vacío. La multiplicación escalar de (3-77) con 𝑑𝑠, que integra el resultado sobre cualquier superficie S limitada por una línea cerrada ℓ y que aplica el teorema de Stokes da ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑 ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 [V] ⇝ (3 − 78) 𝑑𝑡 𝑆

nuevamente sin cambio respecto de la versión (1-25) de espacio vacío.

115

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Tabla 3-1. Resumen de las ecuaciones de Maxwell y las condiciones correspondiente de frontera espaciales en una iteracion de la ley integral de Maxwell para regiones materiales. Forma diferencial

Forma integral

∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣 ⇝ (3 − 24)

∮ 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⇝ (3 − 37)

∇ ⋅ 𝐁 = 0 ⇝ (3 − 48)

∮ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = 0 ⇝ (3 − 49)

𝑆

𝑉

𝑆

∇×𝐇= 𝐉+

∇×𝐄=−

𝜕𝐃 ⇝ (3 − 59) 𝜕𝑡

𝜕𝐁 ⇝ (3 − 77) 𝜕𝑡

diferencial

∮ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 + ℓ

𝑆

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑 ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (3 − 78) 𝑑𝑡 𝑆

Condición de frontera D𝑛1 − D𝑛2 = 𝜌𝑠

∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣

𝑑 ∫ 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (3 − 66) 𝑑𝑡 𝑆

o

Caso A: 𝜎1 𝜎2 cero 𝐷𝑛1 = 𝐷𝑛2 ⇝ (3 − 43)

∇⋅𝐁 =0

𝜕𝐃 𝜕𝑡

o

Caso A: 𝜎1 𝜎2 finito 𝐻𝑡1 = 𝐻𝑡2 ⇝ (3 − 71)

∇×𝐄=−

Caso B: 𝜎2 → ∞ 𝐷𝑛1 = 𝜌𝑠 ⇝ (3 − 45)

𝐵𝑛1 − 𝐵𝑛2 = 0 ⇝ (3 − 50) 𝐻𝑡1 − 𝐻𝑡2 = 𝐉𝑠(𝑛)

∇×𝐇=𝐉+

𝐧 ⋅ (𝐃1 − 𝐃2 ) = 𝜌𝑠

𝜕𝐁 𝜕𝑡

𝐧 × (𝐇1 − 𝐇2 ) = 𝐉𝑠 Caso B: 𝜎2 → ∞ 𝐧 × 𝐇1 = 𝐉𝑠 ⇝ (3 − 72)

𝐸𝑡1 − 𝐸𝑡2 = 0 ⇝ (3 − 79)

Resumen de las ecuaciones de Maxwell y las condiciones correspondiente de frontera espaciales en una iteracion

De la ley integral de Faraday (3-78) se obtiene una condición de frontera, amparando las componentes tangenciales de los campos E. Se evita los detalles de la deducción si se recuerda que la ley de Ampere o como integral de línea (3-66) lleva a la condición de frontera (3-70a), 𝐻𝑡1 − 𝐻𝑡2 = 𝐽𝑠(𝑛) . En forma análoga se encuentra la condición de frontera que compara las componentes tangenciales de E aplicando (3-78) a un rectángulo delgado semejante

116

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝐸𝑡1 − 𝐸𝑡2 = 0 ⇝ (3 − 79) Por tanto, la componente tangencial del campo E siempre es continua en una interacción. Es claro que el lado derecho de (3-79) es cero debido a que físicamente no son posibles las corrientes magnéticas. Ejemplo 3-6.(a) Deducir una ley de refracción para E en una interacción que separa dos regiones no conductivas. (b) Deducir de las condiciones de frontera la dirección de E justo fuera de un conductor perfecto.

Ejemplo 3-6. (a) Refracción del flujo E en una interacción que separa regiones no conductoras. (b) E es normal en todas partes a la superficie de un conductor perfecto.

(a) Las condiciones de frontera para las componentes tangencial y normal de E en una interacción que separa regiones no conductoras son (3-43) y (3-79); es decir, 𝜖1 𝐸𝑛1 = 𝜖2 𝐸𝑛2 y 𝐸𝑡1 = 𝐸𝑡2 . De esta última y de la geometría de (a) se obtiene tan 𝜃2 =

𝜖2 tan 𝜃1 ⇝ (3 − 80) 𝜖1

un resultado con (3-76) del ejemplo 3-5 relativo a la refracción de líneas de B. (b) De (3-44), una región 2 perfectamente conductora implica campos nulos dentro de ella. Entonces, por (3-79), 𝐸𝑡1 en la región 1 adyacente también debe de desvanecerse. La componente normal restante en la región 1 está dada por (3-45), 𝐷𝑛1 = 𝜌𝑠 , para dar 𝜌𝑠 = 𝜖1 𝐸𝑛1 como se muestra en (b). Ejemplo 3-7. Los campos eléctrico y magnético describen una onda plana uniforme + cos(𝜔𝑡 − 𝛽 𝑧) 𝐄 = 𝐚𝑥 𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑡) = 𝐚𝑥 𝐸𝑚 0

𝐇=

𝐚𝑦 𝐻𝑦+ (𝑧, 𝑡)

+ 𝐸𝑚 = 𝐚𝑦 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) 𝜂0

que se propaga en el aire entre dos placas paralelas perfectamente conductoras de extensión considerable como en (a). Las superficies internas de las placas están localizadas en 𝑥 = 0 y

117

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝑥 = 𝑎. Obtener expresiones para (a) el campo de carga superficial y (b) las corrientes de superficie de los dos conductores.

Ejemplo 3-7. (𝑎) Sistema de placas paralelas que soporta un campo de ondas planas uniformes. (b)Cargas y distribución de corriente en las superficies interiores del conductor.

(a) El E dado es normal en todas partes a las placas en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑎, y satisface la condición de frontera de (b) en el ejemplo 3-6. En consecuencia las distribuciones de carga superficial quedan como + cos(𝜔𝑡 − 𝛽 𝑧) 𝑥 = 0 𝜌𝑠 = 𝐧 ⋅ 𝐃𝟏 = 𝜖0 𝐧 ⋅ 𝐄𝟏 = 𝜖0 𝐚𝑥 ⋅ 𝐚𝒙 𝐸𝑥+ = 𝜖0 𝐸𝑚 0 + cos(𝜔𝑡 − 𝛽 𝑧) 𝑥 = 𝑎 𝜌𝑠 = 𝐧 ⋅ 𝐃𝟏 = −𝜖0 𝐚𝑥 ⋅ 𝐚𝑥 𝐸𝑥+ = −𝜖0 𝐸𝑚 0

que implica que las líneas de E se inician en cargas positivas y terminan en cargas negativas. (b) Para satisfacer (3-72), el H dado debe de ser tangencial en todas partes a los conductores perfectos en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑎, para obtener. 𝐉𝑠 = 𝐧 × 𝐇𝟏 = 𝐚𝑥 × 𝐚𝑦 𝐻𝑦+ = 𝐚𝑧

+ 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) 𝑥 = 0 𝜂0

𝐉𝑠 = 𝐧, × 𝐇𝟏 = −𝐚𝑥 × 𝐚𝑦 𝐻𝑦+ = −𝐚𝑧

+ 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) 𝑥 = 𝑎 𝜂0

Se ve que en cualquier plano fijo 𝑧, la corriente fluye en direcciones opuestas de 𝑧 en los dos conductores.

3.6. Ondas planas uniformes en una región conductora no limitada Se estudió las ondas planas uniformes que se propagan en el espacio vacío, donde se observó la influencia de los parámetros del espacio vacío 𝜇0 y 𝜖0 . En esta sección se estudia una onda plana que se propaga en un material con los parámetros 𝜖, 𝜇 y 𝜎. Se demuestra los 118

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

nuevos efectos producidos por la conductividad o consisten en proporcionar el decaimiento de la onda en la dirección de propagación, al igual que un corrimiento de fase entre E y H. Las suposiciones para el problema de propagación de ondas en una región conductora lineal no limitada son: 1) Las componentes de E y H no dependen de 𝑥 ni de 𝑦; es decir que 𝜕/𝜕𝑥 = 𝜕/𝜕𝑦 = 0 para todas las componentes de campo. 2) Las densidades de carga libre son cero en la región conductora (𝜌𝑣 = 0); pero en la región existe una densidad 𝐉 de corriente, que está relacionada con el campo E contenido mediante 𝐉 = 𝜎𝐄. 3) Los parámetros de la región, se supone lineal, homogénea e isotrópica, son 𝜇, 𝜖, y σ.

El problema empleará formas armónicas del tiempo de los campos. Con 𝜌̂𝑣 = 0 y 𝐉̂ = 𝜎𝐄̂, (3-24), (3-48), (3-59) y (3-77) se obtienen las ecuaciones de Maxwell para la región ∇ ⋅ (𝜖𝐄̂) = 0 (o tambien ∇ ⋅ 𝐄̂ = 0) ⇝ (3 − 81) ̂ = 0 ⇝ (3 − 82) ∇⋅𝐁 ̂ = −𝑗𝜔𝜇𝐇 ̂ ⇝ (3 − 83) ∇ × 𝐄̂ = −𝑗𝜔𝐁 ̂ = 𝐉̂ + 𝑗𝜔𝐃 ̂ = 𝜎𝐄̂ + 𝑗𝜔ϵ𝐄̂ ⇝ (3 − 84) ∇×𝐇 ̂ = 𝜇𝐇 ̂ y𝐃 ̂ = ϵ𝐄̂ en donde son aplicables 𝐁 En la sección 2-9 ya se resolvio para ondas planas en el espacio vacío. Para obtener la solución por analogía, se comparan (3-81) hasta (3-84) contra (2-81) hasta (2-84), aplicables al caso del espacio vacío ∇ ⋅ (𝜖0 𝐄̂) = 0 (o tambien ∇ ⋅ 𝐄 = 0) ⇝ [2 − 81] ̂ = 0 ⇝ [2 − 82] ∇⋅𝐁 ̂ ⇝ [2 − 83] ∇ × 𝐄̂ = −𝑗𝜔𝜇0 𝐇 ̂ = 𝑗𝜔𝜖0 𝐄̂ ⇝ [2 − 84] ∇×𝐇

119

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

̂ = 𝜇0 𝐇 ̂ y𝐃 ̂ = ϵ0 𝐄̂ . Comparando las relaciones de divergencia (3-81) y (3-82) contra donde 𝐁 ̂ = 0 para ambos problemas. También, la (2-81) y (2-82) se encuentra que ∇ ⋅ 𝐄̂ = 0 y ∇ ⋅ 𝐁 forma de (3-83) es análoga a (2-83). Sin embargo, al comparar (3-84) cóntra (2-84) se revela un término adicional de densidad de corriente de conducción 𝜎𝐄̂ en (3-84). Reuniendo los términos del lado derecho de (3-84) como sigue 𝜎 ̂ = 𝜎𝐄̂ + 𝑗𝜔𝜖𝐄̂ = (𝜎 + 𝑗𝜔𝜖)𝐄̂ = 𝑗𝜔 (𝜖 − 𝑗 ) 𝐄̂ ⇝ (3 − 85) ∇×𝐇 𝜔 Las ecuaciones de Maxwell (2-81) hasta (2-84) se transforma en (3-81) hasta (3-84) sustituyendo en las primeras 𝜎 𝜇0 por 𝜇 y ademas 𝜖0 por (𝜖 − 𝑗 ) ⇝ (3 − 86) 𝜔 Se espera que mediante estas sustituciones aplicadas a las soluciones de onda de (2-81) hasta (2-84) se llegue a las soluciones de (3-81) hasta (3-84) en una región conductora no limitada. Recordando la solución (2-90) para el espacio vacío + −𝑗𝜔√𝜇0𝜖0 𝑧 − 𝑗𝜔√𝜇0 𝜖0 𝑧 𝐸̂𝑥 (𝑧) = 𝐸̂𝑥+ (𝑧) + 𝐸̂𝑥−(𝑧) = 𝐸̂𝑚 𝑒 + 𝐸̂𝑚 𝑒 ⇝ [2 − 90]

las sustituciones (3-86) dan soluciones a onda plana para una región conductora no limitada + −𝑗𝜔√𝜇[𝜖−𝑗(𝜎/𝜔)] 𝑧 − 𝑗𝜔√𝜇[𝜖−𝑗(𝜎/𝜔)]𝑧 𝐸̂𝑥 (𝑧) = 𝐸̂𝑥+(𝑧) + 𝐸̂𝑥− (𝑧) = 𝐸̂𝑚 𝑒 + 𝐸̂𝑚 𝑒 ⇝ (3 − 87)

En (3-87), el factor 𝑗𝜔√𝜇0 𝜖0 de fase pura de (2-90) queda como factor complejo abreviado con el símbolo 𝛾, denominado la constante de propagación por unidad de longitud. 𝜎 𝛾 = 𝑗𝜔√𝜇 (𝜖 − 𝑗 ) ⇝ (3 − 88) 𝜔 y se define 𝛾 en parte real e imaginaria 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 [m−1 ] ⇝ (3 − 89) en donde 𝛼 parte real de 𝛾 se conoce como la constante de atenuación y 𝛽 constante de fase de las ondas planas uniformes (3-87). Reemplazando 𝛾 de (3-88) por 𝛼 + 𝑗𝛽, elevando ambos 120

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

lados al cuadrado para suprimir el radical e igualando las partes real e imaginaria, se encuentran expresiones explícitas para 𝛼 y 𝛽. Las siguientes soluciones reales positivas se obtienen para 𝛼y𝛽

𝛼=

𝛽=

1 2

𝜎 2 [√1 + ( ) − 1] [Np/m] ⇝ (3 − 90a) 𝜔𝜖 √2

𝜔√𝜇𝜖

𝜔√𝜇𝜖 √2

1 2

[ √1 + (

𝜎 2 ) + 1] [rad/m] ⇝ (3 − 90b) 𝜔𝜖

La dimensión de 𝛼 y 𝛽 (m)−1 , aunque generalmente se mencionan las unidades sin dimensiones neper y radián para enfatizar sus significados atenuativo y de fase en las expresiones de onda. Sustituyendo (3-88) en el exponente de la solución de onda, (3-87) se expresa como 𝐸̂𝑥 (𝑧) = 𝐸̂𝑥+(𝑧) + 𝐸̂𝑥− (𝑧) ⇝ (3 − 91a) + −𝛾𝑧 − 𝛾𝑧 𝐸̂𝑥 (𝑧) = 𝐸̂𝑚 𝑒 + 𝐸̂𝑚 𝑒 ⇝ (3 − 91b) + 𝑗𝜙 + )𝑒 −𝛼𝑧 −𝑗𝛽𝑧 − 𝑗𝜙 − )𝑒 𝛼𝑧 𝑗𝛽𝑧 𝐸̂𝑥 (𝑧) = (𝐸𝑚 𝑒 𝑒 + (𝐸𝑚 𝑒 𝑒 ⇝ (3 − 91c) ± denotan las amplitudes complejas 𝐸̂𝑚 de los términos de las ondas viajeras como en (2-91) + + 𝑗𝜙 + − − 𝑗𝜙 − 𝐸̂𝑚 ≡ 𝐸𝑚 𝑒 ; 𝐸̂𝑚 ≡ 𝐸𝑚 𝑒 ⇝ (3 − 92)

121

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Figura 3-16. Soluciones atenuadas 𝐸𝑧 (𝑧, 𝑡) en una región conductora. Se muestran la independencia del campo respecto de 𝑥 y 𝑦. (a) Onda viajera en sentido de las 𝑧 positivas atenuada en 𝑧 positivas. (b) Onda viajera en sentido de 𝑧 negativas y atenuada en sentido de las 𝑧 negativas.

Una comparación de (3-91) contra la solución (2-90) de onda en el espacio vacío indica la presencia de factores reales, 𝑒 −𝛼𝑧 y 𝑒 𝛼𝑧 , que explica el decaimiento de onda conforme las ondas viajan en sentido 𝑧 positivas y 𝑧 negativas en direcciones conforme aumenta el tiempo. Convirtiendo (3-91) a su forma de tiempo real [utilizando (2-56)] se observa una visión adicional de la propiedad de decaimiento (atenuación) de las ondas, + 𝑗𝜙 + −𝛼𝑧 −𝑗𝛽𝑧 𝑗𝜔𝑡 − 𝑗𝜙 − 𝛼𝑧 𝑗𝛽𝑧 𝑗𝜔𝑡 ] 𝐸𝑥 (𝑧, 𝑡) = Re[𝐸̂𝑥 (𝑧)𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = Re[𝐸𝑚 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 + 𝐸𝑚 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 + −𝛼𝑧 − 𝛼𝑧 = 𝐸𝑚 𝑒 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜙 +) + 𝐸𝑚 𝑒 cos(𝜔𝑡 + 𝛽𝑧 + 𝜙 −) ⇝ (3 − 93)

122

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Estas ondas atenuadas en 𝑧 positivas y 𝑧 negativas se ilustran en la figura 3-16(a) y (b). Comparando (3-93) con (2-94) de onda plana uniforme de tiempo real en el espacio vacío + − 𝐸𝑥 (𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜙 +) + 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝛽𝑧 + 𝜙 − ) ⇝ [2 − 94]

muestra la característica importante introducida por la conductividad 𝜎 no cero es la atenuación de la onda en la dirección del movimiento ondulatorio. Al hacer los parámetros de la región iguales a los valores de espacio vacío 𝜖 = 𝜖0 , 𝜇 = 𝜇0 y 𝜎 = 0 se reduce la atenuación y constante de fase 𝛼 = 0 y 𝛽 = 𝛽0 en (3-90a) y (3-90b). La atenuación de la onda en una región conductora está regida por el valor del término 𝜎/𝜔𝜖 con relación a la unidad en (3-90a). Conforme 𝜎 crece, también crece 𝛼, lo que hace que la onda plana decaiga más rápidamente con la distancia. El término de la onda viajera en las 𝑧 positivas de (3-93) se denota mediante el símbolo 𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑡); es decir, + −𝛼𝑧 𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑚 𝑒 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜙 +) ⇝ (3 − 94)

Esta onda penetra en una región conductora como se muestra en la figura 3-17, que se atenúa con la distancia de acuerdo con el factor 𝑒 −𝛼𝑧 tal que a la profundidad específica 𝑧 = 𝛿, su amplitud ha decaído hasta 𝑒 −1 , en la superficie de referencia 𝑧 = 0. La profundidad de penetración o profundidad de superficie de la onda también se conoce como 𝛿, y se obtiene haciendo el exponente −𝛼𝛿 = −1, de donde 𝛿=

1 [m] ⇝ (3 − 95) 𝛼

Una densidad J de corriente acompaña el campo 𝐸𝑥 en la región conductora dada por (3-7); es decir, + −𝛼𝑧 𝐽𝑥+(𝑧, 𝑡) = 𝜎𝐸𝑚 𝑒 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜙 + ) [A/m] ⇝ (3 − 96)

en fase con el campo eléctrico. Para una región altamente conductora (con 𝜎/𝜔𝜖 grande), de (3-95) y (3-90a) se ve que 𝛿 es correspondientemente pequeña; en consecuencia, en el casó límite de un conductor perfecto (𝜎 → ∞) la profundidad superficial se desvanece con 𝛼 indefinidamente grande, lo que proporciona el fenómeno de corriente límite superficial de la 123

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

condición de frontera (3-72), que comprende el campo H tangencial en la superficie de un conductor perfecto.

Figura 3-17. La profundidad de penetración 𝛿 asociada con una atenuación de amplitud de 𝑒 −1 para una onda uniforme en una región conductora.

El campo magnético que acompaña a 𝐸̂𝑥 se obtiene sustituyendo (3-91) en la ecuación (383); o, se obtiene utilizando la analogía con las soluciones de onda en el espacio vacío, utilizando las sustituciones (3-86) en (2-105). Luego, para ondas planas uniformes en una región conductora no limitada, se tiene que se aplican las siguientes relaciones de impedancia compleja: 𝐸̂𝑥+(𝑧) 𝜇 𝐸̂𝑥−(𝑧) 𝜇 = = 𝜂̂ ; = = 𝜂̂ [Ω] ⇝ (3 − 97) + ̂𝑦 (𝑧) √(𝜖 − 𝑗 𝜎 ) ̂𝑦−(𝑧) √(𝜖 − 𝑗 𝜎 ) 𝐻 𝐻 𝜔 𝜔 en donde 𝜂̂ , la impedancia intrínseca de onda, denota las relaciones complejas. Por tanto, el ̂𝑦 (𝑧) se escribe en función de las soluciones 𝐸̂𝑥+(𝑧) y 𝐸̂𝑥−(𝑧) en (3-91) como sigue: campo 𝐻 ̂𝑦 (𝑧) = 𝐻 ̂𝑦+(𝑧) + 𝐻 ̂𝑦−(𝑧) ⇝ (3 − 98a) 𝐻 ̂𝑦 (𝑧) = 𝐻

𝐸̂𝑥+ (𝑧) 𝐸̂𝑥−(𝑧) − ⇝ (3 − 98b) 𝜂̂ 𝜂̂

124

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

̂𝑦 (𝑧) = 𝐻

+ − 𝐸̂𝑚 𝐸̂𝑚 −𝑦𝑧 𝑒 − 𝑒 𝑦𝑧 [A/m] ⇝ (3 − 98c) 𝜂̂ 𝜂̂

Figura 3-18. Campos viajeros en dirección de las 𝑧 positivas de una onda plana uniforme en una región conductora, cuando 𝑡 = 0.

La impedancia intrínseca de onda definida por (3-97) se expresa en forma polar compleja como sigue:

𝜂̂ = √

𝜇 𝜖

√

𝜇

𝑗(1/2)arc tan(𝜎/𝜔𝜖) [ ] Ω ⇝ (3 − 99a) 𝜎= 1/4 𝑒 2 𝜎 𝜖 −𝑗𝜔 [1 + ( ) ] 𝜔𝜖

que se ve que es de la forma 𝜂̂ = 𝜂𝑒 𝑗𝜃 [Ω] ⇝ (3 − 99b) en donde 𝜂 y 𝜃 significan 𝜇 𝜖

√ 𝜂=

;𝜃 2 1/4

𝜎 [1 + ( ) ] 𝜔𝜖

=

1 𝜎 arc tan 2 𝜔𝜖

125

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Si 𝜎 = 0 se reduce al resultado real √𝜇/𝜖, aplicable a ondas planas uniformes en una región no conductora (dieléctrico perfecto). El ángulo 𝜃 positivo de fase asociado con 𝜂̂ significa que ̂𝑦+(𝑧) se atrasa con respecto al 𝐸̂𝑥+ (𝑧) acompañante en la fase de tiempo, como se muestra en 𝐻 los dibujos de tiempo real de la figura 3-18. En la figura 3-19 se ilustra el método de la manivela para simular el movimiento de la onda con el aumento en la variable 𝑡 en el tiempo.

̂ (𝑧, 𝑡) que muestra los fasores complejos desplegados a lo largo de 𝑧 en Figura 3-19. Onda de 𝑬 𝑡 = 0, y su proyección en tiempo real (abajo).

Las características adicionales de la propagación de ondas planas en una región conductora son la longitud de onda definida en (2-98) (haciendo 𝛽𝜆 = 2𝜋 [rad]), lo que da 𝜆=

2𝜋 [m] ⇝ (3 − 100) 𝛽

la velocidad de fase 𝓋𝑝 , que se obtiene haciendo el argumento de (3-94) igual a una constante y diferenciando en el tiempo, para obtener

126

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝓋𝑝 =

𝜔 [m/seg] ⇝ (3 − 101) 𝛽

y el periodo 𝑇=

1 [seg] ⇝ (3 − 102) 𝑓

Desde luego, el valor aplicable de 𝛽 es el de (3-90b). Ejemplo 3-8. Suponga que una onda plana uniforme con amplitud de 1000𝑒 𝑗𝜎0 [V/m] se propaga en la dirección de 𝑧 + a𝑓 = 108 [Hz] en una región conductora con las constantes 𝜇 = 𝜇0 , 𝜖 = 4𝜖0 , 𝜎/𝜔𝜖 = 1. (a) Encontrar 𝛽, 𝛼 y 𝜂̂ para la onda, (b) Encontrar el campo H asociado y dibujar la onda a lo largo del eje 𝑧 en 𝑡 = 0. (c) Encontrar la profundidad de penetración, la longitud de onda y la velocidad de fase. Comparar 𝜆 y 𝓋𝑝 contra sus valores en una región sin pérdidas (𝜎 = 0) con los mismos valores de 𝜇 y 𝜖. Suponer sólo componentes 𝐸𝑥 y 𝐻𝑦 para la onda. (a) Los factores de atenuación y de fase están dados por (3-90a) y (3-90b) 1/2

𝜎 2 𝛼= [√1 + ( ) − 1] 𝜔𝜖 √2 𝜔 √𝜇𝜖

=

2𝜔 √2𝑐

𝛽=

=

𝜔 √𝜇4𝜖0 √2

1/2

[√1 + 12 − 1]

[0.414]1/2 = 1.90 [Np/m] ⇝ (1)

2𝜔 √2𝑐

[2.414]1/2 = 4.58 [rad/m] ⇝ (2)

En consecuencia, la constante de propagación es 𝛾 = 1.9 + 𝑗4.58 [m−1 ]. La impedancia compleja de la onda está dada por (3-99a) 1 𝜇0 2 √ 𝜖0 60𝜋 𝑗(1/2)(𝜋/4) 𝜂̂ = 𝑒 𝑗(1/2) arc tan 1 = 𝑒 = 159𝑒 𝑗(𝜋/8) [Ω] ⇝ (3) [1 + 12 ]1/4 1.19 de donde 𝜂 = 159 [Ω] y 𝜃 = 𝜋/8 o sea 22.5° . ̂ se encuentra usando (3-97) (b) El campo de 𝐇 ̂𝑦+ (𝑧) = 𝐻

𝐸̂𝑥+ (𝑧) 1000𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = = 6.29𝑒 −1.9𝑧 𝑒 −𝑗[4.58𝑧+(𝜋/8)] [A/m] ⇝ (4) 𝜂̂ 159𝑒 𝑗𝜋/8

para obtener las expresiones en tiempo real

127

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑡) = Re[𝐸̂𝑥+ (𝑧)𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = Re[1000𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = 1000𝑒 −1.9𝑧 cos(𝜔𝑡 − 4.58𝑧) [V/m] ⇝ (5) ̂𝑦+ (𝑧, 𝑡) = 6.29𝑒 −1.9𝑧 cos[𝜔𝑡 − 4.58𝑧 − (𝜋/8)] [A/m] ⇝ (6) 𝐻 (c) La profundidad de penetración se encuentra usando (1): 𝛿 = 𝛼 −1 = 0.52 [m], la distancia que debe de recorrer la onda para disminuir hasta 𝑒 −1 (o sea 36.8%) de cualquier valor de referencia. La longitud de onda se obtiene utilizando el valor de 𝛽 𝜆=

2𝜋 2𝜋 = = 1.37 [m] 𝛽 4.58

Comparándolo contra el correspondiente a una región sin pérdidas (𝜇0 , 4𝜖0 ) como sigue 𝜆(0) =

2𝜋 2𝜋 𝑐 3 × 108 = = = = 1.5 [m] 2(108 ) 𝛽 (0) 2𝜋𝑓 √𝜇0 4𝜖0 2𝑓

Consecuentemente, el efecto de la conductividad finita es acortar por anticipado la longitud de onda. La velocidad de fase en la región conductora es 𝜔 2𝜋(108 ) 𝓋𝑝 = = = 1.37 × 108 [m/seg] 𝛽 4.58 que se compara contra la correspondiente en la región sin pérdidas como sigue: 𝓋𝑝 (0) =

𝜔 𝜔 𝑐 = = ≅ 1.5 × 108 [m/seg] (0) 𝛽 𝜔√𝜇0 4𝜖0 2

Por tanto, la conducción sirve para, frenar 𝓋𝑝 . Se agrega los resultados numéricos anteriores a la figura 3-18 para proporcionar una figura del movimiento ondulatorio en la región conductora.

3.7. Clasificación de los medios conductores Los medios conductores se clasifican con referencia a la magnitud del término de densidad de corriente 𝜎𝐄 de conducción con relación al término de densidad de corriente 𝑗𝜔𝜖𝐄 de desplazamiento que aparece en la relación de Maxwell (3-85) 𝜎 ̂ = 𝜎𝐄̂ + 𝑗𝜔𝜖𝐄̂ = 𝑗𝜔 (𝜖 − 𝑗 ) 𝐄̂ ⇝ [3 − 85b] 𝛁×𝐇 𝜔

128

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Denotando la permitividad compleja 𝜖 − 𝑗𝜎/𝜔 𝜖̂ ≡ 𝜖 − 𝑗

𝜎 [F/m] ⇝ (3 − 103) 𝜔

se representa 𝜖̂ en el plano complejo como en la figura 3-20. El ángulo 𝛿𝑑 se conoce como el ángulo de disipación, que se desvanece para una región sin pérdidas. Su tangente, definida por tan|𝛿𝑑 | =

𝜎 ⇝ (3 − 104) 𝜔𝜖

se conoce como la tangente de pérdidas, o factor de disipación, del material. La importancia de la tangente de pérdida se deduce de las expresiones (3-90a) y (3-90b) para 𝛼 y 𝛽, y (3-99a) para la impedancia de onda en ondas planas uniformes que se propagan en un material conductor o dieléctrico con pérdidas a frecuencia dada.

Figura 3-20. Permitividad compleja para region conductora y sin pérdidas. (a) Región conductora (general). (b) Región sin pérdidas (𝜎 → 0).

Como se estudió en la sección 3-2, con frecuencia se modifican los mecanismos microscópicos (a escala atómica) que contribuyen a la polarización eléctrica P en un material dieléctrico bajo campos eléctricos aplicados armónicos en el tiempo, mediante efectos de amortiguación (pérdida). El modelo clásico, que tiene su origen en mediciones experimentales en materiales dieléctricos, supone un sistema oscilatorio de partículas atómicas o moleculares que interactúan, en que la respuesta del dieléctrico al campo eléctrico aplicado comprende mecanismos de amortiguación, más resonancias alrededor de determinadas frecuencias. Se toma la amortiguación proporcional a la velocidad de las partículas que oscilan bajo los campos impresos, para producir resultados semejantes en ciertas maneras al mecanismo de conductividad que se estudió en la sección 3-1 para el modelo de Drude de un conductor 129

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

cuando se aplica un campo armónico en el tiempo. Las resonancias en la polarización dieléctrica se originan en la inercia de las partículas, desplazadas por el campo sinusoidal aplicado y que interactúan con las fuerzas de Coulomb de restauración. La respuesta del dieléctrico al campo aplicado semeja a la de un sistema tridimensional de masas interconectadas mediante resortes y émbolos y sujeto a fuerzas de vibración aplicadas distribuidas, o análogamente, una red de elementos reactivos y resistivos de circuitos excitados por voltajes sinusoidales, con pérdidas máximas ocurriendo a las frecuencias de resonancia. Para los materiales dieléctricos típicos, generalmente la resonancia más baja está en o arriba del rango de microondas, y ocurren resonancias más altas en el rango óptico. El efecto a gran escala o macroscópico de esos fenómenos de interacción se observa experimentalmente para hacer que la permitividad de un dieléctrico sea compleja a determinada frecuencia de excitación, para poder escribirla en términos de sus partes real e imaginaria 𝜖̂ = 𝜖′ − 𝑗𝜖″ ⇝ (3 − 105) Ya que (3-103) definió una permitividad 𝜖̂ compleja con relación al mecanismo de pérdida en una región conductora, cabe una comparación contra (3-105). Se ve que la sustitución de la permitividad compleja ϵ̂ de (3-105) en la relación de Maxwell (3-85) da ̂ = 𝑗𝜔𝜖̂𝐄̂ = 𝑗𝜔(𝜖 ′ − 𝑗𝜖 ″ )𝐄̂ = 𝜔𝜖 ″ 𝐄̂ + 𝑗𝜔𝜖′𝐄̂ ⇝ (3 − 106) 𝛁×𝐇 Se omite la densidad de corriente 𝐉̂ = 𝜎𝐄̂ de conducción, ya que al comparar (3-106) con la forma de (3-85), se encuentra que el término 𝜔𝜖″𝐄 de (3-106) ya toma en cuenta un mecanismo equivalente de pérdida de conducción. En consecuencia, 𝜔𝜖 ″ toma el papel de la conductividad 𝜎 en un dieléctrico con pérdidas, en tanto que 𝜖′ en el último término de (3-106) es idéntico a 𝜖 real de (3-85), correspondiente al almacenamiento de energía de campo eléctrico en el dieléctrico. En consecuencia, con las desigualdades 𝜖 = 𝜖 ′; 𝜎 = 𝜔𝜖″ ⇝ (3 − 107) las permitividades complejas expresadas por (3-103) y (3-105) tienen significados equivalentes. Es evidente que 𝜖″ la parte imaginaria de 𝜖̂, compleja, describe todos los mecanismos de pérdida en el dieléctrico a una frecuencia dada. 130

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Con las sustituciones (3-107), la tangente de pérdidas |𝛿𝑑 | de (3-104) se escribe en las formas equivalentes tan|𝛿𝑑 | =

𝜎 𝜖″ = ⇝ (3 − 108) 𝜔𝜖 𝜖′

Denotando la tangente de pérdida mediante 𝜖 ″ /𝜖′, (3-90a) para la atenuación de onda en un dieléctrico con pérdidas y queda como

𝛼=

1 2

𝜖″ 2 [√1 + ( ′ ) − 1] [Np/m] ⇝ (3 − 109) 𝜖 √2

𝜔√𝜇𝜖

De (3-90b) y (3-99a) se obtienen expresiones correspondientes para la constante 𝛽 de fase y la impedancia 𝜂̂ compleja de onda, para obtener

𝛽=

𝜖″ 2 [√1 + ( ′ ) + 1] [rad/m] ⇝ (3 − 110) 𝜖 √2

𝜔√𝜇𝜖

𝜇 𝜖

√ 𝜂̂ =

1 2

1/4 𝑒 𝜖″ 2

𝑗(1/2) arc tan (𝜖″ /𝜖′)

[Ω] ⇝ (3 − 111)

[1 + ( ′ ) ] 𝜖

De lo anterior, se concluye que la caracterización de la tangente (3-108) de pérdida en 𝜎/𝜔𝜖 es más adecuada a un conductor, en tanto que la forma 𝜖 ″ /𝜖′ es más adecuada para una región dieléctrica. En general un material conductor o dieléctrico con pérdidas que soporten ondas electromagnéticas a la frecuencia 𝜔 pueden caer dentro de una de las tres clasificaciones siguientes: (a)es un buen conductor si la conductividad 𝜎 es bastante grande para que su tangente 𝜎/𝜔𝜖 de pérdidas sea muy grande en comparación con la unidad (es decir, 𝜎/𝜔𝜖 ≫ 1); (b) es un buen aislante si su tangente de pérdidas es lo bastante pequeño (𝜖 ″ /𝜖′ ≪ 1); y (c) se llama semiconductor si cae en algún punto entre esos extremos, es decir, si la tangente 131

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

de pérdida es aproximadamente del orden de la unidad. Las expresiones para la constante de atenuación, constante de fase e impedancia intrínseca de onda asociada con la propagación uniforme de ondas planas en esas regiones se simplifican en la siguiente para las clasificaciones (a) y (b): 1. Un buen conductor, suponiendo 𝜎/𝜔𝜖 ≫ 1, (3-90a), (3-90b) y (3-99a) se reducen a 𝜔𝜇𝜎 𝛼=√ ⇝ (3 − 112a) 2 𝜔𝜇𝜎 𝛽=√ ⇝ (3 − 112b) 2 η̂ = (1 + 𝑗)√

𝜔𝜇 ⇝ (3 − 112c) 2𝜎

2. Para un dieléctrico con pérdidas, si 𝜖 ″ /𝜖′ ≪ 1, (3-109) hasta (3-111) quedan como 𝛼=

𝜔 √𝜇𝜖 𝜖″ ( ) ⇝ (3 − 113a) 2 𝜖′ 2

1 𝜖″ 𝛽 = 𝜔√𝜇𝜖 [1 + ( ) ] ⇝ (3 − 113b) 8 𝜖′ 2

𝜇 3 𝜖″ 1 𝜖″ 𝜂̂ = √ [1 − ( ′ ) + 𝑗 ( )] ⇝ (3 − 113c) 𝜖 8 𝜖 2 𝜖′

Estas últimas se obtienen incluyendo sólo los dos primeros términos de los desarrollos binomiales de las cantidades de raíz cuadrada en (3-109) hasta (3-111), suponiendo una tangente muy pequeña de pérdidas. En el caso límite de un dieléctrico sin pérdidas, (3-113) se reducen 𝛼 = 0, 𝛽 = 𝜔√𝜇𝜖 y 𝜂̂ = √𝜇/𝜖 como se espera. A la vista de (3-95), se utiliza el inverso de (3-112a) para expresar la profundidad 𝛿, de penetración en un buen conductor

𝛿=

1 2 [m] ⇝ (3 − 114) =√ 𝛼 𝜔𝜇𝜎

que es un resultado que depende inversamente de la raíz cuadrada de la frecuencia, la permeabilidad y la conductividad del material. Por tanto, para el cobre cuya conductividad es 132

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

de 5.8 × 107 [℧/m] con 𝜇 = 𝜇0 el efecto superficial a 1000[Hz] es de aproximadamente 2[mm], en tanto que a una frecuencia 106 superior (𝑓 = 1000 [MHz]), δ se reduce en el factor 10−3 , dando 0.002[mm]. 3.8. Linealidad, homogeneidad e isotropía en los materiales El campo P de polarización y el campo M de magnetización, definidos respectivamente por (3-16) y (3-55) han permitido explicar los efectos de polarización eléctrica y magnética en los materiales. Sus efectos aditivos, que dan las relaciones de Maxwell para una región material, han proporcionado las definiciones de los campos D y H mediante (3-23) y (3-58) 𝐃 = 𝜖0 𝐄 + 𝐏 ⇝ (3 − 115) 𝐁 = 𝜇0 𝐇 + 𝜇0 𝐌 ⇝ (3 − 116) Si la región transporta cargas libres en un proceso de conducción, el parámetro 𝜎 de conductividad asignado a la región, expresa la proporcionalidad de la densidad 𝐉 de corriente al campo E aplicado mediante (3-7) 𝐉 = σ𝐄 ⇝ (3 − 117) Evitando por ahora lo referente a la anisotropía, hay que recordar que las relaciones del campo P de polarización eléctrica y las magnetizaciones M a los campos aplicados se expresa mediante (3-25) y (3-60) 𝐏 = 𝜒𝑒 𝜖0 𝐄 ⇝ [3 − 25] 𝐌 = 𝜒𝑚 𝐇 ⇝ [3 − 60] Teniendo como base lo anterior, se estudian las cuestiones de la linealidad, homogeneidad e isotropía en los medios materiales. En esta estructura, se debe de suponer que la temperatura del material y la frecuencia sinusoidal de sus campos impresos son constantes al definir sus parámetros 𝜇, 𝜖, y 𝜎, ya que en general no se ignora la dependencia de estos últimos con la temperatura y la frecuencia.

133

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

3.8.1. Linealidad y no linealidad en los materiales Si las susceptibilidades 𝜒𝑒 y 𝜒𝑚 son constantes y por ende independientes de los campos aplicados, se dice que el material es lineal con respecto a los efectos de polarización eléctrica y magnética. Una relación de línea recta entre una componente 𝐸𝑥 de campo aplicado y la componente resultante 𝑃𝑥 de polarización, caracterizan esta propiedad de linealidad. Sustituyendo (3-25) y (3-60) en (3-115) y (3-116), se ha visto que se obtienen los resultados compactos (3-30c) y (3-64c) 𝐃 = 𝜖𝐄 ⇝ [3 − 30c] 𝐁 = 𝜇𝐇 ⇝ [3 − 64c] La no linealidad en un material está caracterizada por uno o más de los parámetros 𝜇, 𝜖, y 𝜎, y depende del nivel de los campos aplicados. Entonces es posi ble escribir (3-30c), (3-64c) y (3-117) en formas que significan esta dependencia 𝐃 = ϵ(𝐸)𝐄 ⇝ (3 − 118) 𝐁 = 𝜇(𝐻)𝐇 ⇝ (3 − 119) 𝐉 = σ(𝐸)𝐄 ⇝ (3 − 120) La curva de B contra H de valores multivaluados para un material ferromagnético de la figura 3-13(b) ilustra un ejemplo de (3-119). 3.8.2. Isotropía y anisotropía en los materiales En algunos materiales físicos tales como las sustancias cristalinas que poseen una red atómica o molecular bien ordenada en toda una muestra dada, las polarizaciones P ó M resultantes de la aplicación de un campo E o B no necesariamente tiene las mismas direcciones que los campos aplicados. A esos materiales se les conoce como anisotrópicos o lo que es lo mismo, que se miden distintos valores de 𝜇, 𝜖, ó 𝜎 en diferentes direcciones dentro de la sustancia. Las diferencias en las respuestas de polarización a la dirección de un campo E aplicado en cristales, por ejemplo, se deben a las disparidades en el espaciado interatómico 134

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

asociado con los diversos ejes de simetría de la red cristalina. En algunos cristales se identifica tres ejes principales ortogonales, se elege las coordenadas cartesianas a lo largo de los mismos ejes. Entonces, para un campo aplicado 𝐄 = 𝐚𝑥 E𝑥 + 𝐚𝑦 E𝑦 + 𝐚𝑧 E𝑧 las componentes del campo de polarización eléctrica P quedan como 𝑃𝑥 = 𝜒𝑒11 (𝜖0 𝐸𝑥 ) 𝑃𝑦 = 𝜒𝑒22 (𝜖0 𝐸𝑦 ) ⇝ (3 − 121) 𝑃𝑧 = 𝜒𝑒33 (𝜖0 𝐸𝑧 ) en donde las componentes de susceptibilidad 𝜒𝑒11, 𝜒𝑒22 y 𝜒𝑒33 generalmente son distintas. Esto se ilustran en la figura 3-21(a), muestra el desarrollo del vector P de polarización con dirección distinta del campo aplicado E, un resultado de las susceptibilidades no iguales asociadas con las direcciones de las coordenadas.

Figura 3-21. Aspectos de la anisotropía en un cristal. (a) Componentes de polarización de una componente de campo E dirigida en sentido de las 𝑥 aplicadas a un cristal orientado arbitrariamente. (b) Componentes de polarización resultado de componentes de campo E aplicado, si se alinean los ejes principales de un cristal con los ejes de coordenadas cartesianas.

135

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

Es evidente que (3-121) se reduce al resultado vectorial (3-25), 𝐏 = 𝜒𝑒 𝜖0 𝐄, siempre que 𝜒𝑒11 = 𝜒𝑒22 = 𝜒𝑒33 . Si se escogen las coordenadas rectangulares de manera que el campo aplicado tenga una componente 𝑥, por ejemplo 𝐄 = 𝐚𝑥 𝐄𝑥 , aplicándola a un material anisotrópico orientado arbitrariamente se obtienen las tres componentes de polarización dieléctrica 𝐏 = 𝐚𝑥 𝜒𝑒11 (𝜖0 𝐸𝑥 ) + 𝐚𝑦 𝜒𝑒21 (𝜖0 𝐸𝑥 ) + 𝐚𝑧 𝜒𝑒31 (𝜖0 𝐸𝑥 ) ⇝ (3 − 122) lo cual se muestra en la figura 3-21(b). Si E posee las tres componentes rectangulares aplicadas a un ángulo arbitrario con respecto a los ejes principales del cristal, se debe escribir 𝑃𝑥 = 𝜒𝑒11 (𝜖0 𝐸𝑥 ) + 𝜒𝑒12 (𝜖0 𝐸𝑦 ) + 𝜒𝑒13(𝜖0 𝐸𝑧 ) 𝑃𝑦 = 𝜒𝑒21 (𝜖0 𝐸𝑥 ) + 𝜒𝑒22 (𝜖0 𝐸𝑦 ) + 𝜒𝑒23 (𝜖0 𝐸𝑧 ) ⇝ (3 − 123a) 𝑃𝑧 = 𝜒𝑒31 (𝜖0 𝐸𝑥 ) + 𝜒𝑒32 (𝜖0 𝐸𝑦 ) + 𝜒𝑒33 (𝜖0 𝐸𝑧 ) Estas tres expresiones se denotan mediante la forma matricial 𝜒𝑒11 𝑃𝑥 𝑃 [ 𝑦 ] = [𝜒𝑒21 𝜒𝑒31 𝑃𝑧

𝜒𝑒12 𝜒𝑒22 𝜒𝑒32

𝜒𝑒13 𝜖0 E 𝑥 𝜒𝑒23 ] = [𝜖0 E𝑦 ] ⇝ (3 − 123b) 𝜒𝑒33 𝜖0 E 𝑧

que tiene la representación compacta [𝐏] = [𝜒𝑒 ][𝜖0 𝐄] ⇝ (3 − 123c) Las relaciones lineales (3-123) comprenden las componentes 𝜒𝑒𝑖𝑗 de una matriz [𝜒𝑒 ] de susceptibilidad. Si se alinean los tres ejes principales de un material anisotrópico con las coordenadas cartesianas, los coeficientes fuera de la diagonal (𝑖 ≠ 𝑗) de (3-123) se hace cero, para reducirlas a (3-121). Aplicando 𝐃 = 𝜖0 𝐄 + 𝐏 a (3-123), se verifica que las expresiones que relacionan a D y E en una sustancia anisotrópica son 𝐷𝑥 = 𝜖11 𝐸𝑥 + 𝜖12 𝐸𝑦 + 𝜖13 𝐸𝑧 𝐷𝑦 = 𝜖21 𝐸𝑥 + 𝜖22 𝐸𝑦 + 𝜖23 𝐸𝑧 ⇝ (3 − 124a) 𝐷𝑧 = 𝜖31 𝐸𝑥 + 𝜖32 𝐸𝑦 + 𝜖33 𝐸𝑧 que tiene la forma matricial 136

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

[𝐃] = [𝜖 ][𝐄] ⇝ (3 − 124b) Asi se escriben las expresiones análogas a (3-23) y (3-124) entre las componentes cartesianas del vector B y H para materiales magnéticos anisotrópicos. 3.8.3. Homogeneidad e inhomogeneidad en los materiales Una región material con las parámetros 𝜇, 𝜖, y 𝜎, independientes de su posición en el material se conoce como homogénea. Recíprocamente, si uno o más de los parámetros es de forma tal que depende del espacio: 𝜖 = 𝜖 (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) 𝜇 = 𝜇(𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) ⇝ (3 − 125) 𝜎 = 𝜎(𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) se dice que el material es inhomogéneo. La mezcla de tierra y agua que ocurre cerca de la superficie después de una lluvia es un caso de región inhomogénea, cuyos parámetros 𝜖 y 𝜎 varían con la profundidad. En los capítulos posteriores se evitan las complicaciones de no linealidad, inhomogeneidad y anisotropía en los materiales. El énfasis se restringe esencialmente a los estudios de campos eléctricos y magnéticos en materiales lineales, homogéneos e isotrópicos. PROBLEMAS RESUELTOS 3.1. Si varia con 𝜏𝑐 y considerando 𝐸̅ = 𝐸̂𝑒 𝐽𝜔𝑡 [m/s] y 𝓋𝑑 = 𝓋 ̂𝑑 𝑒 𝑗𝜔𝑡 demostrar la conductividad real Solución: 𝓋𝑑 = 𝓋𝑑 𝑒 −t/𝜏𝑐 Relación compleja 𝑗𝜔𝑚𝓋 ̂𝑑 +

𝐦 𝓋 ̂ 𝝉𝒄 𝑑

̂ = −𝒆E

armonico en el tiempo para 𝓋 ̂𝑑 𝓋 ̂𝑑 =

−

𝑒̂ E m

1 + J𝜔 𝜏𝑐

137

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

j = 𝜌𝑣 𝑣d

J=

n𝑒 2 m

̂ (A/m2 ) E

1 + j𝜔 𝜏𝑐

→ El coeficiente 𝐄 denota la conductividad

𝜎̂ =

n𝑒 2 m

1 + j𝜔 𝜏𝑐 𝝈≅

(u/m)

𝐧𝒆𝟐 𝝉 𝐦 𝒄

𝑹𝒆𝒔𝒑 →

𝐧𝒆𝟐 𝝉 𝐦 𝒄

3.2. Demuestre Et1 − Et2 = 0 para regiones materiales. Solución: forma diferencial ∇×E = −

𝜕B 𝜕𝑡

forma integral ∮ E ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑 ∫ B ⋅ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑆

condición correspondiente de frontera Et1 = Et2 o donde n × (Et1 − Et2 ) = 0 𝑹𝒆𝒔𝒑 → 𝐄𝐭𝟏 − 𝐄𝐭𝟐 = 𝟎

138

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

PROBLEMAS PLANTEADOS 3.1. Un par conductor coaxial muy largo contiene un dieléctrico concéntrico homogéneo de permitividad 𝜖 como se muestra. El aire llena las regiones restantes entre los conductores. Suponiendo cargas superficiales positivas y negativas ±𝑄 𝐶 en cada longitud ℓ axial de los conductores interiores y exteriores, determinar lo siguiente utilizando la simetría. En cada región entre los conductores, encontrar: (a) 𝐃 (b) 𝐄 (c) El campo 𝐏 (d) Encontrar 𝜌𝑠 en las superficies del conductor, y la densidad de carga de polarización superficial en 𝜌 = 𝑏 𝑦 𝜌 = 𝑐. (e) 𝑆𝑖 𝑎 = 1 𝑐𝑚, 𝑏 = 2 𝑐𝑚, 𝑐 3 𝑐𝑚, 𝑑 = 4 𝑐𝑚, 𝑒 = 4.2 cm, 𝑄/ℓ = 10−2 𝜇𝐶/ m, y 𝜖 = 2.1𝜖0 (Teflón), encontrar los valores de. D, E y P en la superficie interior 𝜌 = 𝑏 justo dentro del dieléctrico. [Respuesta: 𝐚𝜌 = 0.0796 𝜇𝐶/𝑚2 , 𝐚𝜌 4.29 kV/m, 𝐚𝜌 = 0.042𝜇𝐶/𝑚2 ]

problema 3-1

3.2. Un núcleo toroidal de fierro de sección transversal rectangular está lleno parcialmente por un devanado de espiras apretadas con n vueltas como se muestra en la figura adjunta. (a) En qué sentido está dirigido el campo H dentro de la región toroidal abarcada por el devanado? (b) Desde el punto de las condiciones de frontera tangencial, comentar sobre la continuidad (o discontinuidad) de los campos H y B al pasar de la región de aire a la de fierro en el radio 𝜌 = 𝑏.

139

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE III

ECUACIONES DE MAXWELL Y CONDICIONES DE FRONTERA PARA REGIONES MATERIALES EN ESTADO DE REPOSO

(c) Encontrar H, B y M en las regiones de aire y fierro. Dibujar gráficas de flujo que muestren las densidades relativas de H, 𝐁/𝜇0 y M en las dos regiones (usando tres vistas laterales del sistema), suponiendo que 𝜇𝑟 del fierro es grande en comparación con la unidad. (d) Encontrar 𝐉𝑚 en el núcleo de fierro al igual que 𝐉𝑠𝑚 en los cuatro lados del núcleo. Dibujar una vista transversal adecuada que ilustre los flujos de 𝐉𝑚 y 𝐉𝑠𝑚 en y sobre el núcleo. (e) Suponiendo a = 2cm, b = 3 cm, c = 4cm, d= 2cm, 𝜇𝑟 = 100 cm, n vueltas, 𝐼 = 1 𝐴 (CD), calcular H y B en las posiciones 𝜌 = 𝑎 y b (justo dentro del fierro) y en c.

problema 3-2 3.3. En cables coaxiales flexibles comúnmente se utiliza un dieléctrico de baja pérdida tal como el polietileno. Para una onda plana uniforme que se propaga en una muestra suficientemente grande de polietileno, demostrar que a 1010 [Hz] (en el rango de microondas), se necesita un espesor aproximado a 12.7m del material para reducir la amplitud de la onda hasta 𝑒 −1 del valor que tiene en el plano de entrada. Demostrar adicionalmente que a 60 [Hz], la profundidad del material necesario sería de 5.32 × 109 . [Nota: Esos resultados sugieren por qué con frecuencia se desprecia las pérdidas por dieléctrico en materiales de baja pérdida, especialmente a frecuencias más bajas.]

140

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

4. CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS Se estudian campos eléctricos de distribuciones de cargas estacionarias en el espacio. Las ecuaciones de Maxwell, sujetas a la suposición 𝜕/𝜕𝑡 = 0, proporcionan un desacoplamiento de los campos eléctricos estáticos respecto de los campos magnéticos estáticos. Se obtienen expresiones para la energía almacenada en un sistema electrostático y se aplican a sistemas de capacitancia de dos conductores. Como enfoques alternos a problemas de capacitancia se estudian técnicas de imágenes y de mapeos de flujo, y se desarrolla un análogo entre la capacitancia y la conductancia. Y se concluye el capítulo con una consideración de las fuerzas de sistemas de carga eléctrica. 4.1. Ecuaciones de Maxwell para campos eléctricos estáticos En el capítulo ΙΙΙ se desarrollaron las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de frontera para campos electromagnéticos variables en el tiempo, en medios materiales en reposo. Los campos B (o H) y E (ó D) variables en el tiempo se producen en una región siempre que las fuentes de carga y corriente de los campos sean variables en el tiempo. Para determinadas clases genéricas de problemas de campo, es bueno considerar que las fuentes no son variables en el tiempo, que son estáticas en el tiempo. Entonces las cargas, y las corrientes que originan los campos, son estacionarias. Las ecuaciones de Maxwell que rigen los campos estáticos en el tiempo son (3-24), (3-48), (3-59) y (3-77) haciendo el operador 𝜕/𝜕𝑡 igual a cero, para obtener ∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣 , ∇ ⋅ 𝐁 = 0, ∇ × 𝐇 = 𝐉, ∇ × 𝐄 = 0. Los campos estáticos se designan como 𝐃(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), y así sucesivamente. Los campos eléctricos estáticos D y E están regidos únicamente por las propiedades de divergencia y rotacional ∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣 ⇝ (4 − 1) ∇ × 𝐄 = 0 ⇝ (4 − 2) en tanto que el comportamiento de los campos magnéticos estáticos B y H está dictado por

141

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

∇ ⋅ 𝐁 = 0 ⇝ (4 − 3) ∇ × 𝐇 = 𝐉 ⇝ (4 − 4) Se ve que en esos pares de ecuaciones falta el acoplamiento entre las cantidades de campo eléctrico y magnético, generalmente proporcionadas bajo condiciones variables en el tiempo por los términos −𝜕𝐁/𝜕𝑡 y 𝜕𝐃/𝜕𝑡. De la expresión (4-1) de divergencia, las fuentes de campos electrostáticos son cargas estáticas de densidad 𝜌𝑣 . Por otra parte, las fuentes de los campos magnetostáticos son corrientes estáticas (directas), como en (4-4). En este capítulo se consideran las soluciones de las ecuaciones (4-1) y (4-2) de campo electrostático desde diversos puntos de vista. En la tabla 4-1 se dan las ecuaciones diferenciales de la electrostática junto con sus formas integrales y sus condiciones de frontera. Más aún, (3-30c) es aplicable para un material homogéneo e isotrópico. 𝐃 = 𝜖𝐄 ⇝ (4 − 9) Tabla 4-1. Ecuaciónes de maxwell para la electrostática Forma diferencial

Forma integral

∇ ⋅ 𝐃 = 𝜌𝑣 ⇝ (4 − 1)

∮ 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑞 ⇝ (4 − 5)

∇ × 𝐄 = 0 ⇝ (4 − 2)

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = 0 ⇝ (4 − 6)

𝑠 ℓ

Condición de frontera 𝐷𝑛1 − 𝐷𝑛2 = 𝜌𝑠 ⇝ (4 − 7) 𝐷𝑡1 − 𝐷𝑡2 = 0 ⇝ (4 − 8)

Ecuación de maxwell para la electrostática

4-2. Campos eléctricos estáticos para conjuntos de cargas fijas en el espacio vacío. Las ecuaciones de Maxwell en la tabla 4-1 se aplican a cargas fijas en el espacio vacío, al igual que a sistemas de dieléctricos y conductores hacia (o sobre) los que se han introducido cargas de manera que se haya alcanzado el equilibrio estático de la distribución de cargas. En la sección 1-9 se dan ejemplos de las aplicaciones de la ley (4-5) de Gauss. Uno de los resultados, (1-28), es la ley de fuerzas de Coulomb 𝐅 = 𝑞´𝐄 = 𝐚𝑅

𝑞𝑞´ [N] ⇝ (4 − 10a) 4𝜋𝜖0 𝑅2

que da la fuerza que actúa en 𝑞´ en presencia del campo 𝐄 producido por una segunda carga 𝑞 como se muestra en la figura 4-1. El símbolo 𝑅 se utiliza en vez de la variable de coordenadas 142

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

esféricas 𝑟, debido a que la fuente 𝑞 no está necesariamente localizada en el origen 0. En la sección 1-9, de la ley de Gauss se dedujo que el campo de 𝑞 es 𝐄 = 𝐚𝑅

𝑞 [N/C] ó [V/m] ⇝ (4 − 10b) 4𝜋𝜖0 𝑅2

Consecuentemente, (4-10a) es un caso especial de la ley de fuerzas de Lorentz (1-52) en ausencia de un campo magnético; es decir, 𝐅 = 𝑞´𝐄.

Figura 4-1. Ilustración de cantidades que aparecen en la ley de fuerzas de Coulomb.

Las ecuaciones de Maxwell (4-1) y (4-2) son lineales; por tanto, cualquier suma de sus soluciones en el espacio vacío constituye una solución. Suponga que se localiza un grupo de cargas puntuales de intensidades arbitrarias positivas o negativas en puntos fijos 𝑃′ como en la figura 4-2. El campo electrostático total en el punto 𝑃 del campo es la suma de 𝑛 términos como (4-10b) 𝑛

𝑛

𝐄 = ∑ 𝐄𝑘 = ∑ 𝐚𝑅𝑘 𝑘=1

𝑘=1

𝑞𝑘 ⇝ (4 − 10c) 4𝜋𝜖0 𝑅𝑘2

Figura 4-2. Campo electrostático de n cargas discretas.

Más aún, si se coloca una carga 𝑞 en 𝑃, de la fuerza en ella es 143

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS 𝑛

𝐅 = 𝑞 ∑ 𝐚𝑅𝑘 𝑘=1

𝑞𝑘 ⇝ (4 − 10d) 4𝜋𝜖0 𝑅𝑘2

Si un sistema contiene un número grande de cargas fijas, no es conveniente utilizar una sumatoria como (4-10c) o (4-10d); es preferible remplazar el conjunto de cargas con una función que represente la densidad promedio de cargas en cada elemento de volumen, superficie o línea de la región. Se han utilizado símbolos 𝜌𝑣 , 𝜌𝑠 , ó 𝜌ℓ para denotar esas funciones de densidad. Por tanto, un continuo de cargas distribuidas en toda región con densidad 𝜌𝑣 posee la carga 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣 en cada elemento 𝑑𝑣. Generalmente, 𝜌𝑣 es una función de posición y tiempo, aunque falta para campos estáticos la variable t. Con 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣′ localizada en el punto origen 𝑃′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′, 𝑧 ′ ), se obtiene el campo 𝑑𝐄 en 𝑃 debido a dq de (4-10b) y se escribe como 𝑑𝐄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐚𝑅

𝜌𝑣 (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′) 𝑑𝑣′ ⇝ (4 − 11) 4𝜋𝜖0 𝑅2

El vector unitario dirigido desde el punto origen 𝑃′ al punto de campo 𝑃 para dar la dirección apropiada a 𝑑𝐄 se denota mediante 𝐚𝑅 , en tanto que 𝑅 es la distancia escalar desde 𝑃′ hasta 𝑃, como en la figura 4-3. En coordenadas rectangulares 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥 ′ )2 + (𝑦 − 𝑦 ′)2 + (𝑧 − 𝑧 ′)2 ⇝ (4 − 12) El campo estático 𝐄 total en 𝑃 de la figura 4-3(a) es entonces la integral de volumen de (411) 𝜌𝑣 (𝑥 ′, 𝑦 ′, 𝑧 ′ ) 𝐄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ 𝑑𝐄 = ∫ 𝐚𝑅 𝑑𝑣′ ⇝ (4 − 13) 4𝜋𝜖0 𝑅2 𝑉 𝑉 Las siguientes integrales se aplican si las cargas estáticas están distribuidas sobre una superficie S o una línea ℓ como en la figura 4-3 (b) y (c): 𝜌𝑠 (𝑥 ′, 𝑦 ′, 𝑧 ′ ) ′ 𝐄 = ∫ 𝐚𝑅 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 14) 4𝜋𝜖0 𝑅2 𝑆

144

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐄 = ∫ 𝐚𝑅 ℓ

𝜌ℓ (𝑥 ′ , 𝑦 ′, 𝑧 ′ ) ′ 𝑑ℓ ⇝ (4 − 15) 4𝜋𝜖0 𝑅2

No siempre es posible evaluar fácilmente las integrales anteriores para las distribuciones de carga en el espacio, debido principalmente a que el vector unitario 𝐚𝑅 cambia de dirección conforme el punto 𝑃 de origen recorre toda la región de carga. En algunos casos, la simetría simplifica este problema, como en el siguiente ejemplo.

Figura 4-3. Geometrías relativas a las integrales de campo electrostático en función de las distribuciones de volumen, superficie y carga lineal, (a) Distribución de carga de volumen. (b) Distribución de carga superficial. (c) Distribución de carga lineal.

Ejemplo 4-1. Un alambre delgado, infinitamente largo, que se muestra en la figura adjunta, posee una carga uniforme de densidad lineal 𝜌ℓ [C/m]. Encontrar 𝐄 a la distancia 𝜌 de la carga mediante una integración directa.

Ejemplo 4-1

La integral aplicable es (4-15). En el sistema cilíndrico circular, los puntos de origen y de campo se designan mediante 𝑃′ (0,0, 𝑧 ′ ) y 𝑃′ (𝜌, 0,0) este último en el plano 𝑧 = 0.Cualquier elemento de carga a lo largo del alambre es 𝑑𝑞 = 𝜌ℓ 𝑑ℓ′ = 𝜌ℓ 𝑑𝑧 ′ y la distancia desde 𝑃′ hasta 𝑃 es 𝑅 = √𝜌 2 + 𝑑𝑧 ′2 . Por tanto, (4-15) queda como

145

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS ∞

𝐄 = ∫ 𝐚𝑅 𝑑𝐸 = ∫

𝑧 ′ =−∞

ℓ

𝐚𝑅

𝜌ℓ 𝑑𝑧 ′ 4𝜋𝜖0 [𝜌 2 + (𝑧 ′ )2 ]

La existencia del vector unitario 𝐚𝑅 es poco favorable ya que su dirección cambia con 𝑧′. Sin embargo, la simetría alrededor de 0 en (b) revela otra contribución a 𝑑𝐄 debida a un elemento de carga emparejado en −𝑧 ′ Por tanto, se cancela la componente 𝑧 en 𝑃, para dejar solamente el campo dirigido en sentido de 𝜌 en 𝑃 dado por ∞

𝐄 = ∫ 𝐚𝜌 𝑑𝐸 cos 𝛼 = ∫ ℓ

𝑧 ′ =0

𝐚𝜌

∞ 2𝜌ℓ 𝑑𝑧 ′ cos 𝛼 𝜌ℓ 𝜌𝑑𝑧 ′ = ∫ 𝐚 𝜌 4𝜋𝜖0 [𝜌 2 + (𝑧 ′ )2 ] 2𝜋𝜖0 [𝜌 2 + (𝑧 ′ )2 ]3/2 𝑧 ′ =0

ya que cos 𝛼 = 𝜌/𝑅 con 𝜌 y 𝐚𝜌 constantes, la integración produce 𝐄 = 𝐚𝜌

𝜌ℓ ⇝ (4 − 16) 2𝜋𝜖0 𝜌

4.3. Conservación de la carga eléctrica A partir de las ecuaciones de Maxwell se obtiene las densidades de carga y de corriente, suponiendo que la carga eléctrica no se crea ni se destruye. La densidad de carga 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) ocupa una región V de volumen. La carga neta en V en cualquier instante es 𝑞(𝑡) = ∫ 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) 𝑑𝑣 [C] 𝑉

𝜌𝑣 es en general una función de espacio como de tiempo, la q neta encerrada es sólo función de 𝑡, debido a que los límites definidos de la integral eliminan las variables espaciales. Esta última se escribe con la notación de función 𝑞 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⇝ (4 − 17) 𝑉

La rapidez de cambio en el tiempo de q dentro de V es una medida de la corriente que fluye hacia la superficie cerrada S que limita a V; 𝜕𝑞 𝜕𝜌𝑣 =∫ 𝑑𝑣 [C/seg] ó [A] ⇝ (4 − 18) 𝜕𝑡 𝑉 𝜕𝑡 Con ds dirigida normalmente afuera desde S, la corriente que fluye hacia afuera de S queda 𝐼=−

𝜕𝑞 = ∮ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 19) 𝜕𝑡 𝑆 146

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

implica que la carga 𝑞 neta positiva dentro de V disminuye en el tiempo. El postulado de que la carga eléctrica no se crea ni se destruye permite igualar el negativo de (4-19) con (4-18) 𝜕𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⇝ (4 − 20) 𝑉 𝜕𝑡

∮ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ 𝑆

quiere decir que el flujo neto de corriente hacia afuera de cualquier región de volumen es una medida de la rapidez de disminución de la carga eléctrica dentro del volumen. En consecuencia, la ecuación (4-20) es la expresión de la conservación de carga eléctrica. La relación (4-20) tiene una diferencial equivalente: ∇⋅𝐉=−

𝜕𝜌𝑣 [A/m3 ] ⇝ (4 − 21a) 𝜕𝑡

que es un resultado obtenido aplicando (4-20) a cualquier elemento de volumen limitante y utilizando la definición (2-16) de divergencia. En tanto que (4-21a) es verdadera para cualquier elemento de volumen de una región que lleve una corriente, también es aplicable a las corrientes de superficie y cargas en la interacción entre un conductor perfecto y un aislante perfecto, como en el sistema del ejemplo 3-8. Con las corrientes y cargas confinadas a la interacción de manera que 𝐉 → 𝐉𝑠 y 𝜌𝑣 → 𝜌𝑠 , la relación de conservación de cargas (4-21) queda como ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 = −

𝜕𝜌𝑠 [A/m2 ] ⇝ (4 − 21𝑏) 𝜕𝑡

si se considera que ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 significa una divergencia de superficie tangencial (bidimensional) de 𝐉𝑠 . Por ejemplo, si la interacción coincide con el plano y-z que implica 𝐉𝑠 = 𝐚𝑦 𝐽𝑠𝑦 + 𝐚𝑧 𝐽𝑠𝑧 , la divergencia bidimensional de 𝐉𝑠 se escribe como ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 =

𝜕𝐽𝑠𝑦 𝜕𝐽𝑠𝑧 + 𝜕𝑦 𝜕𝑧

En un problema de campo estático en el tiempo, las densidades de corriente estable no tienen divergencia, de manera que (4-21a) se reduce a ∇ ⋅ 𝐉𝑠 = 0 ⇝ (4 − 22) 147

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

En consecuencia, las corrientes directas siempre están caracterizadas por líneas de flujo de corriente ininterrumpidas y cerradas. Ejemplo 4-2. Demostrar que los campos de corriente superficial y cargas superficiales en las interacciones de conductor y dieléctrico del ejemplo 3-7 satisfacen la relación (4-21) bidimensional de conservación de la carga. En la interacción inferior (en 𝑥 = 0), el lado izquierdo de (4-21b) da ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 =

𝜕𝐽𝑠𝑧 𝛽0 + + sin(𝜔𝑡 − 𝛽 𝑧) = + 𝐸𝑚 sin(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) = 𝜔𝜖0 𝐸𝑚 0 𝜕𝑧 𝜂0

sustituyendo 𝛽0 = 𝜔 √𝜇0 𝜖0 y 𝜂0 = √𝜇0 /𝜖0 . Con una densidad de corriente 𝜌𝑠 = + cos(𝜔𝑡 − 𝛽 𝑧) de superficie en el conductor inferior, +𝜖0 𝐸𝑚 0 −

𝜕𝜌𝑠 + sin(𝜔𝑡 − 𝛽 𝑧) = +𝜔𝜖0 𝐸𝑚 0 𝜕𝑡

de donde se satisface (4-14b). Ejemplo 4-3. Determinar la expresión de relajación para el decaimiento en el tiempo de una distribución de carga en un conductor, si la distribución inicial en 𝑡 = 0 es 𝜌𝑣0 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 0). El resultado deseado se obtiene combinando (4-21a) con la expresión para div D. Remplazando 𝐉 con 𝜎𝐄 para la región conductora se obtiene, de (4-21a) ∇ ⋅ (𝜎𝐄) +

𝜕𝜌𝑣 = 0 ⇝ (4 − 23) 𝜕𝑡

Ya que la región es homogénea, hace a 𝜖 y 𝜎 constantes, de manera que (3-17) se escribe ∇ ⋅ 𝐄 = 𝜌𝑣 /𝜖 y sustituyendo en el primer término de (4-23) se obtiene 𝜕𝜌𝑣 𝜎 + 𝜌𝑣 = 0 ⇝ (4 − 24) 𝜕𝑡 𝜖 Integrando se obtiene el resultado deseado 𝜌𝑣 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) = 𝜌𝑣0 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 0)𝑒 −(𝜎/𝜖)𝑡 ⇝ (4 − 25) suponiendo que la distribución inicial de carga en 𝑡 = 0 sea 𝜌𝑣0 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 0) lo que implica que si la carga eléctrica libre interna en una región conductora es cero, se conserva igual a cero para el resto del tiempo. Se llega a la conclusión de que en un material con conductividad 𝜎, diferente de cero, no puede haber distribución permanente de volumen de carga libre. Por tanto, el estado estático de una carga libre proporcionada a un cuerpo conductor es que debe de residir finalmente en la superficie del cuerpo conductor a través de las fuerzas mutuamente repulsivas (de Coulomb) entre las cargas libres.

La constante de tiempo 𝜏 del proceso de decaimiento (4-25) para la densidad de carga libre en el ejemplo 4-3 está dada por 148

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝜏=

𝜖 [seg] ⇝ (4 − 26) 𝜎

una cantidad que se conoce como el tiempo de relajación del conductor. Los buenos conductores, para los que 𝜎 es del orden de 107 [℧/m], tienen tiempos de relajación aproximados a 10−18 [seg], suponiendo una permitividad igual a la del espacio vacío. En los conductores pobres, 𝜏 es de orden de microsegundos, aunque el tiempo de relajación de un buen aislante es de horas o incluso de días. 4.4. Potencial electrostático escalar Un campo electrostático 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) debe satisfacer la relación de rotacional ∇ × 𝐄 = 0, que expresa que cualquier campo estático E es irrotacional, y por tanto conservativo. De que ∇ × (∇Φ) = 0 para cualquier función escalar diferenciable, (4-2) significa que E se deduce de una función escalar Φ(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) auxiliar mediante la relación de gradiente 𝐄 = −∇Φ[V/m] ⇝ (4 − 27) La naturaleza de la función Φ tiene esta correspondencia con algún campo E no es evidente de (4-27), aunque se aclara por dos métodos relacionados y descritos a continuación. El primero obtiene el potencial Φ de la distribución de carga conocida como densidad 𝜌𝑣 y una vez encontrada Φ se obtiene el campo E utilizando (4-27). El segundo método supone que E se conoce desde el principio del problema; se encuentra Φ de una integral apropiada de línea para E sobre una trayectoria que se inicia en una referencia designada de potencial. 4.4.1. Potencial 𝚽 de una densidad de carga conocida en el espacio vacío La relación de E electrostático con sus fuentes de carga en el espacio vacío es 𝐄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ 𝐚𝑅 𝑉

𝜌𝑣 (𝑥 ′ , 𝑦 ′, 𝑧 ′ ) ′ 𝑑𝑣 [V/m] 4𝜋𝜖0 𝑅2

En esta integral se nota una dependencia de las variables (𝑥, 𝑦, 𝑧) y (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) debido a que 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥 ′ )2 + (𝑦 − 𝑦 ′)2 + (𝑧 − 𝑧 ′)2 . Mediante un desarrollo se demuestra que 1 a𝑅 ∇ ( ) = − 2 ⇝ (4 − 28) 𝑅 𝑅 149

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

suponiendo que ∇ se define en función de las derivadas con respecto a las variables (𝑥, 𝑦, 𝑧) para un punto del campo como sigue: ∇≡ 𝐚𝑥

𝜕 𝜕 𝜕 + 𝐚𝑦 + 𝐚𝑧 ⇝ (4 − 29) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

lo que permite escribir 1 𝜌𝑣 (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) ′ 𝜌𝑣 (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′) ′ ( ) 𝐄 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − ∫ ∇ ( ) 𝑑𝑣 = −∇ ∫ 𝑑𝑣 ⇝ (4 − 30) 𝑅 4𝜋𝜖0 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑉 𝑉 realizando un intercambio entre las operaciones de integración y gradiente debido a que R es la única cantidad afectada por ∇ en tanto que la integración debe de hacerse con respecto a las variables (𝑥 ′, 𝑦 ′, 𝑧 ′ ) del punto fuente. Comparando (4-30) contra (4-27) se ve que la integral en (4-30) es la función escalar Φ deseada; por tanto, 𝜌𝑣 (𝑥 ′, 𝑦 ′, 𝑧 ′ ) ′ 𝑑𝑣 [V] ⇝ (4 − 31a) 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑉

Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫

A Φ se le llama campo de potencial escalar del campo estático E. Es todavía más evidente si la densidad de carga en (4-31a) toma la forma de una densidad de carga de superficie o de línea 𝜌𝑠 o 𝜌ℓ, la integral queda como Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ 𝑆

𝜌𝑠 (𝑥 ′, 𝑦 ′, 𝑧 ′) ′ 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 31b) 4𝜋𝜖0 𝑅

𝜌ℓ(𝑥 ′ , 𝑦 ′, 𝑧 ′ ) ′ Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫ 𝑑ℓ ⇝ (4 − 31c) 4𝜋𝜖0 𝑅 ℓ 4.4.2. 𝚽 potencial obtenido de una integral de línea de E El campo de potencial Φ de una distribución de carga estática en el espacio se expresa en función de una integral de línea de E. Para demostrarlo, observe que (4-2) tiene la forma integral (4-6) correspondiente ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = 0 ⇝ (4 − 6) ℓ

150

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Figura 4-4. Desarrollo del campo 𝛷 a partir del campo E.

Físicamente, (4-6) expresa que al mover q de prueba por cualquier trayectoria ℓ cerrada en presencia de un campo estático E, el trabajo realizado sobre ella es cero, lo que equivale a decir que el trabajo realizado en q para moverla entre dos puntos 𝑃1 y 𝑃2 en el campo es independiente de la forma de la trayectoria abierta que conecta los puntos, que a su vez es evidente si se utilizan dos trayectorias distintas ℓ1 y ℓ2 para conectar 𝑃1 y 𝑃2 . Si se considera que el contorno cerrado ℓ de (4-6) es ℓ1 + ℓ2 entonces (4-6) da 𝑃2

𝑃2

∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ]ℓ1 = ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ]ℓ2 ⇝ (4 − 32) 𝑃1

𝑃1

correcto para todas las trayectorias que conecten 𝑃1 con 𝑃2 . La propiedad (4-32) permite deducir un campo de potencial de un solo valor equivalente a (4-27) como sigue. Suponga que 𝑃0 (𝑢10 , 𝑢20 , 𝑢30 ) está fijo en el espacio, denominado potencial de referencia y definido Φ = Φ0 en ese punto. La integral de línea de E sobre cualquier trayectoria ℓ que conecta a 𝑃0 con cualquier 𝑃(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) como en la figura 4-4 se escribe en las formas, usando (4-27), 𝑃

𝑃

𝑃

∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∫ (∇Φ) ⋅ 𝑑ℓ = − ∫ ( 𝑃0

𝑃0

𝑃0

𝜕Φ 𝜕Φ 𝜕Φ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

De (2-9), el integrando del lado derecho denota la diferencial total 𝑑Φ de donde 151

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS 𝑃

𝑃

∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∫ 𝑑Φ 𝑃0

𝑃0

y se integra para obtener 𝑃(𝑢1 ,𝑢2 ,𝑢3 )

Φ(𝑃) − Φ0 = − ∫

𝐄 ⋅ 𝑑ℓ [V] ⇝ (4 − 33)

𝑃0 (𝑢10 ,𝑢20,𝑢03 )

La integral de línea del campo E estático sobre cualquier trayectoria que conecte dos puntos en el espacio es precisamente la diferencia de los potenciales en esos puntos. Para la mayoría de los casos es mejor decir que Φ0 = 0 es la referencia de potencial; entonces (4-33) queda como 𝑃(𝑢1,𝑢2,𝑢3)

Φ(𝑃) = − ∫

𝐄 ⋅ 𝑑ℓ [V] ⇝ (4 − 34a)

𝑃0 (𝑢10,𝑢02 ,𝑢30 )

Se hace hacer que este campo de potencial Φ(𝑃) concuerde exactamente con los resultados obtenidos de (4-31), si se observa que (4-31) proporciona un potencial cero a una distancia infinita de una distribución de carga agrupada dentro de una distancia finita del origen. Por tanto, con la referencia 𝑃0 en el infinito, (4-34a) proporciona él potencial absoluto 𝑃

Φ(𝑃) = − ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ [V] ⇝ (4 − 34b) ∞

que da los mismos resultados que (4-31). A veces, como en los problemas de interés académico que comprenden cargas que se extienden hasta el infinito (por ejemplo, la carga lineal uniforme de extensión infinita), las integrales (4-31) y (4-34b) dan potenciales infinitos. En esos casos se debe utilizar (4-34a), con un valor de referencia cero a una distancia finita del origen. Las superficies definidas con Φ(𝑃) igual a valor constante, se conocen como superficies equipotenciales. A menudo son de interés en la solución de problemas de campos estáticos, debido a que de la relación (4-27) del gradiente, las líneas de campo electrostático se intersecan normalmente con las superficies equipotenciales. La ley de Gauss (4-5) supone que las líneas de campo eléctrico se alejan de cargas positivas y se dirigen hacia las negativas; de (4-34), el potencial Φ se hace más positivo conforme se acerca a las cargas positivas; para las cargas negativas sucede lo contrario. 152

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Ejemplo 4-4. Encontrar el potencial electrostático en cualquier punto del campo localizado a una distancia normal 𝜌 de una carga lineal infinita en el espacio vacío con la densidad constante 𝜌ℓ [C/m] como se muestra. Suponer la referencia de potencial cero en la posición 𝑃0 (𝜌0 , 𝜙0 , 𝑧0 ). Dibujar algunas superficies equipotenciales. El potencial Φ en cualquier posición 𝑃 relativa a una referencia 𝑃0 fija es (4-34a). Se encontró en un ejemplo que el campo es 𝐄 = a𝜌 𝜌ℓ /2𝜋𝜖0 𝜌. Sustituyendo esta relación en (4-34a) e integrando sobre cualquier trayectoria que conecte a 𝑃0 con 𝑃 como en (a) se obtiene 𝑃

𝑃

Φ(𝑃) = − ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∫ [𝐚𝜌 𝑃0

𝑃0

𝜌ℓ ] ⋅ (𝐚𝜌 𝑑𝜌 + 𝐚𝜙 𝑑𝜙 + 𝐚𝑧 𝑑𝑧) 2𝜋𝜖0 𝜌

que da un resultado independiente de 𝜙 y 𝑧 Φ(𝑃) =

𝜌ℓ 𝜌0 ℓ𝓃 ⇝ (4 − 35) 2𝜋𝜖0 𝜌

No es deseable poner la referencia de potencial cero en el infinito en este resultado 𝜌0 → ∞ ya que Φ(𝑃) se hace infinito; es necesaria una posición de referencia localizada finita. Las superficies equipotenciales se obtienen haciendo Φ(𝑃) de (4-35) iguales a los valores constantes Φ1 , Φ2 , Φ3 , …; lo que da 𝜌1 , 𝜌2 , 𝜌3 , …, las superficies cilindricas circulares mostradas en (b).

Ejemplo 4-4. (a) Geometría de carga infinita lineal. (b) Superficies equipotenciales.

Ejemplo 4-5. (a) Encontrar el potencial absoluto de una carga puntual 𝑞 localizada en el origen 𝑟 = 0 de la figura 4-2(a), usando el campo (4-10b). Describir sus superficies equipotenciales. (b) Demostrar que también se hallar el campo de potencial directamente de la integral (4-31a) de volumen aplicada a la carga concentrada 𝑞. Determinar el potencial en 𝑃 si q está localizada en un punto 𝑃’ como fuente general como en la figura 4-5(b). (a) El campo E en la figura 4-5(a) es (4-10b). Integrando E en cualquier trayectoria entre 𝑃0 (𝑟0 ) y 𝑃(𝑟) arbitrario, de (4-34a) se obtiene 𝑟

Φ(𝑟) = − ∫ [𝐚𝑟 𝑟0

=

𝑞 ] ⋅ (𝐚𝑟 𝑑𝑟 + 𝐚𝜃 𝑟𝑑𝜃 + 𝐚𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙) 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑞 1 1 [ − ] ⇝ (4 − 36a) 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑟0

153

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Φ(𝑟) tiene su referencia cero en la superficie 𝑟 = 𝑟0 , lo que da esferas equipotenciales como en la figura 4-2(c). El potencial absoluto se encuentra de (436a) poniendo la superficie de potencial cero en el infinito 𝑟0 → ∞ de donde Φ(𝑟) =

𝑞 ⇝ (4 − 36b) 4𝜋𝜖0 𝑟

En la figura 4-5(d), se gráfica esta última. (b) De la integral de volumen (4-31a) también se halla el potencial absoluto de una carga estática. Aquí, la carga puntual está concentrada en 𝑃′, así que se hace 𝜌𝑣 𝑑𝑣 y no se requiere integración. Entonces (4-31a) queda como Φ(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑞 ⇝ (4 − 36c) 4𝜋𝜖0 𝑅

un resultado aplicable a la geometría de la figura 4-5(b).

Figura 4-5. Carga puntual q: gráficas de geometría y equipotenciales. (a) Geometría de una carga puntual en 0, que muestra a ℓ sobre la que se integra E para encontrar 𝛷(𝑃) con relación 𝑃0 . (b) Geometría de una carga puntual localizada en 𝑃′(𝑟 ′ ). P es un punto del campo en que se obtiene 𝛷. (c) Superficies equipotenciales de carga puntual, suponiendo referencia de potencial en 𝑟0 . (d) Superficies equipotenciales de carga puntual: referencia de potencial en el infinito.

El resultado (4-36c) es útil para producir el potencial absoluto de un conjunto de n cargas en el espacio vacío, lo que da la suma de las contribuciones potenciales de cada carga 154

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS 𝑛

Φ(𝑃) = ∑ 𝑘=1

𝑞𝑘 [V] Potencial absoluto ⇝ (4 − 37) 4𝜋𝜖0 𝑅𝑘

El potencial absoluto de las configuraciones más generales de cargas estáticas en el espacio vacío toma en cuenta cargas discretas más distribuciones de densidad de carga lineal, superficial y de volumen, la suma de (4-31a), (4-31b), (4-31c) y (4-37) 𝑛

𝜌ℓ 𝑑ℓ′ 𝜌𝑠 𝑑𝑠′ 𝜌𝑣 𝑑𝑣′ 𝑞𝑘 Φ(𝑃) = ∫ +∫ +∫ +∑ ⇝ (4 − 38) 4𝜋𝜖0 𝑅𝑘 ℓ 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑆 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑉 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑘=1

Ejemplo 4-6. Encontrar el potencial estático, y a partir de aquí, el campo E del dipolo formado por las cargas (𝑞, −𝑞) localizadas en las posiciones (𝑑/2, −𝑑/2) en el eje de las 𝑧 como en (a). Expresar la respuesta en coordenadas esféricas, suponiendo que 𝑟 ≫ 𝑑.

Ejemplo 4-6. (a) Geometría del dipolo de carga estática. (b) Gráfica de campo E del dipolo de carga estática.

El potencial absoluto en P está dado por (4-37), si 𝑛 = 2 Φ(𝑃) =

𝑞 −𝑞 𝑞 𝑅2 − 𝑅1 + = 4𝜋𝜖0 𝑅1 4𝜋𝜖0 𝑅2 4𝜋𝜖0 𝑅1 𝑅2

Suponiendo 𝑟 ≫ 𝑑 se aproxima 𝑅1 𝑅2 ≅ 𝑟 2 y 𝑅2 − 𝑅1 ≅ 𝑑 cos 𝜃, como se observa de (a). Entonces, Φ(𝑃) se reduce a Φ(𝑃) ≅

𝑞𝑑 cos 𝜃 ; 𝑑 ≪ 𝑟 ⇝ (4 − 39) 4𝜋𝜖0 𝑟 2

Note que Φ(𝑃) de un dipolo estático es una función inversa de 𝑟 2 (para 𝑟 ≫ 𝑑), en comparación con el potencial inverso de 𝑟 (4-36b) de una sola carga estática. De (4-27) E se obtiene en coordenadas esféricas ∂Φ ∂Φ ∂Φ 𝑞𝑑 + 𝐚𝜃 + 𝐚𝜙 ]≅ [𝐚 2 cos 𝜃 + 𝐚𝜃 sin 𝜃] ∂𝑟 𝑟𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 ∂𝜙 4𝜋𝜖0 𝑟 3 𝑟 ⇝ (4 − 40)

𝐄 = −∇Φ = − [𝐚𝑟

155

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

una función inversa en 𝑟 3 en que tanto 𝑟 como 𝜃 son componentes dirigidas. En (b) se muestra su gráfica de flujo.

4.5. Capacitancia El condensador, usado comúnmente para almacenar o liberar energía de un campo eléctrico, es de utilidad en los circuitos eléctricos. Un condensador consiste en dos conductores separados por el espacio vacío o materiales dieléctricos adecuados de permitividades arbitrarias. En la figura 4-3(a) se generaliza su forma. Se lleva un condensador con las cargas 𝑞 y −𝑞 a ese estado de carga mediante una fuente de carga eléctrica como la batería mostrada, aunque quizás sea más común conectarlo a una fuente de voltajes sinusoidales o pulsantes. En este caso, las cargas son funciones del tiempo, 𝑞(𝑡) y −𝑞(𝑡). El punto de vista de este estudio es que si las variaciones en el tiempo son bastante lentas, un análisis de campo estático del sistema proporciona resultados de suficiente exactitud para que sirvan a los propósitos de muchas aplicaciones variables en el tiempo de interés práctico.

Figura 4-6. El condensador de dos conductores. (a) Condensador generalizado de dos conductores, (b) Campo eléctrico alrededor de (a). (c) Variación de (b): un conductor rodea al otro.

Un condensador, que se lleve al estado de carga de la figura 4-6, tiene las propiedades: 1.

Las cargas libres 𝑞 y −𝑞 residen enteramente en las superficies del conductor, lo que explica una densidad de carga 𝜌𝑠 en cada una, tal que en sus superficies 𝑆1 y 𝑆2 residen las cargas 𝑞 = ∫ 𝜌𝑠 𝑑𝑠 𝑆

;

−𝑞 = ∫ 𝜌𝑠 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 41) 𝑆

156

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

2. De la condición de frontera, el campo E se origina normalmente en el conductor con carga positiva y termina normalmente en el negativo, en donde el flujo total Φ es igual a q (ley de Gauss). 3. Una consecuencia de la perpendicularidad de E en las superficies conductoras es que son superficies equipotenciales (Φ = Φ1 , Φ = Φ2 ). Por tanto, existe una diferencia de potencial de un solo valor Φ1 − Φ2 = 𝑉 entre los conductores, que se obtiene de (4-34b) como: 𝑃1

𝑃2

𝑃1

𝑉 = Φ1 − Φ2 = [− ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ] − [− ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ] = − ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (4 − 42) ∞

∞

𝑃2

en que se localiza 𝑃1 y 𝑃2 en cualquier parte de los conductores respectivos, ya que la última integral es sobre cualquier trayectoria que conecte a 𝑃1 y 𝑃2 . Para hacer positivo a V, se supone la referencia de potencial 𝑃2 (el límite inferior) en el conductor negativo.

Si se utiliza un medio dieléctrico lineal en un condensador, al duplicar las cargas 𝑞 y −𝑞 en los conductores se duplica el campo E en todas sus partes. Entonces, de (4-42), también se duplica la diferencia de potencial. Por tanto, en un condensador lineal, V es proporcional a la carga q de manera que 𝑞 ∝ 𝑉, 𝑞 = CV ⇝ (4 − 43) La constante de proporcionalidad C, cuyas unidades son coulomb por volt o farad, se llama la capacitancia del sistema de dos conductores. Es positiva siempre que un aumento en V (el potencial del conductor positivo al negativo) produzca un aumento en la carga q en el conductor positivo (acompañado por un aumento de −𝑞 en el otro conductor). Para un elemento pasivo, C siempre es positivo y su valor depende de las dimensiones físicas y de las propiedades dieléctricas del sistema. Sustituyendo (4-42) en (4-43) se obtiene una expresión útil para evaluar C 𝐶=

q 𝑞 [𝐅] ⇝ (4 − 44) = 𝑃1 V − ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ 𝑃2

Ejemplo 4-7. Determinar la capacitancia de un par de conductores coaxiales de longitud ℓ con las dimensiones mostradas en (a) de la figura anexa. Suponer que los conductores están separados por un dieléctrico de permitividad 𝜖. Evitando los efectos de los bordes de campo en (b) suponiendo que el sistema de longitud ℓ es parte del sistema infinito en (c). Para encontrar la capacitancia de una longitud ℓ suponga que los conductores están cargados, para cada longitud ℓ, con +𝑞 y −𝑞 C en las superficies internas y externas. El campo 𝐃 se encuentra utilizando la ley de Gauss, lo que nos da un campo 𝐄

157

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐄 = 𝐚𝜌

𝑞 ⇝ (4 − 45) 2𝜋𝜖𝜌ℓ

La diferencia de potencial V entre una referencia 𝑃2 en el conductor negativo y 𝑃1 en el conductor positivo es 𝑎

𝑉 = −∫ 𝜌=𝑏

(𝐚𝜌

𝑞 𝑞 𝑏 ) ⋅ (𝐚𝜌 𝑑𝜌 + 𝐚𝜙 𝜌𝑑𝜙 + 𝐚𝑧 𝑑𝑧) = ℓ𝓃 ⇝ (4 − 46) 2𝜋𝜖𝜌ℓ 2𝜋𝜖ℓ 𝑎

Por tanto, despreciando los efectos de los extremos, la capacitancia de una longitud ℓ, se obtiene de (4-44) 𝐶=

𝑞 = 𝑉

𝑞 𝑞 𝑏 ℓ𝓃 2𝜋𝜖ℓ 𝑎

=

2𝜋𝜖ℓ [F] ⇝ (4 − 47) 𝑏 ℓ𝓃 𝑎

El resultado es independiente de q, como se espera de un condensador lineal. Por tanto, C es una función sólo de las dimensiones y de 𝜖. Si 𝑎 = 1[mm], 𝑏 = 6[mm], y 𝜖 = 𝜖0 (dieléctrico aire), 𝐶/ℓ queda como 31 × 10−12 [F/m] (ó 31 [pF/m]). Utilizando un dieléctrico con 𝜖 = 4𝜖0 se tiene un resultado cuatro veces mayor.

Ejemplo 4-7. (a) Condensador coaxial cilíndrico circular y fuente de CD. (b) Efecto de borde del campo eléctrico en los extremos de un sistema de longitud finita, (c) Campo independiente de 𝜙 y z en una sección de un sistema infinito.

Por las técnicas del ejemplo anterior, demuestra que despreciando los bordes del campo, la capacitancia del sistema de placas paralelas de la figura 4-7(a) es 𝐶=

𝜖𝐴 [F] ⇝ (4 − 48) 𝑑

en tanto que la de las esferas concéntricas en (b) es

158

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐶=

4𝜋𝜖 [F] ⇝ (4 − 49) 1 1 𝑎−𝑏

Figura 4-7. Dispositivos comunes de capacitancia de 2 conductores. (a) Un condensador de placas paralelas. Se desprecian los efectos de borde. (b) Un condensador esférico.

4.6. Energía del campo electrostático La energía almacenada en el campo electrostático tiene interpretaciones y aplicaciones físicas importantes. Los sistemas de cargas eléctricas poseen energía cinética como potencial debido a sus posiciones y estados de movimiento, en el caso electrostático sólo importan las posiciones de las cargas que determinan la energía potencial del sistema. Para establecer el conjunto de n cargas de un campo electrostatico, debe de realizarse trabajo mecánico mediante algún agente externo para llevar las cargas hasta su posición final. Siempre que se lleven dos cargas q y q hasta una distancia R entre sí, se realiza trabajo contra la fuerza de Coulomb (4-10a) para terminar este proceso. Una vez que las cargas están en su lugar, la persistencia de la fuerza de Coulomb hace que la energía almacenada esté potencialmente disponible siempre que se solicite. La descarga de un banco de condensadores a través de una resistencia ejemplifica este proceso inverso. La energía electrostática almacenada en un sistema de cargas discretas o puntuales se encuentra formando el conjunto con respecto a una carga a la vez; hasta que todas estén en sus posiciones propuestas. Se supone que se mueven con suficiente lentitud para que sus energías cinéticas se puedan ignorar al igual que los efectos de radiación, significativos si ocurren rápidas aceleraciones de las cargas. Suponga inicialmente que las n cargas 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , … …, están 159

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

localizadas en el infinito en su estado dé potencial cero. Al traer solamente a 𝑞1 desde el infinito hasta su posición final 𝑃1 no se realiza trabajo; para que existan las fuerzas de Coulomb, se requieren al menos dos cargas. Al traer luego a 𝑞2 desde el infinito hasta 𝑃2 como en la Figura 4-8, el trabajo realizado (1)

(1)

contra el campo de 𝑞1 es 𝑈2 = 𝑞2 Φ2 , que Φ2 denota el potencial electrostático en 𝑃2 debido a 𝑞1 . Por tanto, usando la expresión (4-36c) del potencial absoluto, se obtiene (1)

𝑈2 = 𝑞2 Φ2 = 𝑞1

𝑞2 ⇝ (4 − 50a) 4𝜋𝜖0 𝑅12

(2) 𝑈2 = 𝑞1 Φ1 [C − V ] ó [J] ⇝ (4 − 50b)

un intercambio de 𝑞1 y 𝑞2 produce expresiones equivalentes de trabajo.

Figura 4-8. Dos pasos en la construcción de un conjunto de n cargas. (a) Desde el infinito se trae a 𝑞2 en presencia de 𝑞1 . (b) 𝑞3 se trae desde el infinito en presencia de 𝑞1 y 𝑞2 .

Nuevamente, si se lleva una tercera carga 𝑞3 hasta 𝑃3 como en la figura 4-8(b), el trabajo realizado contra los campos de 𝑞1 y 𝑞2 se expresa de dos maneras (1)

(2)

𝑈3 = 𝑞3 Φ3 + 𝑞3 Φ3 = 𝑞3 (3)

𝑞1 𝑞2 + 𝑞3 ⇝ (4 − 51a) 4𝜋𝜖0 𝑅13 4𝜋𝜖0 𝑅23 (3)

𝑈3 = 𝑞1 Φ1 + 𝑞2 Φ2 ⇝ (4 − 51b) y así sucesivamente, para 𝑞4 , 𝑞5 , … , 𝑞𝑛 . Continuando con el desarrollo anterior se encuentra que la energía total 𝑈𝑒 = 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 , se escribe de dos maneras:

160

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

1.

Sumando (4-50a), (4-51a), etc. (1)

(1)

(2)

(1)

(2)

(3)

𝑈𝑒 = 𝑞2 Φ2 + 𝑞3 Φ3 + 𝑞3 Φ3 + 𝑞4 Φ4 + 𝑞4 Φ4 + 𝑞4 Φ4 + ⋯ (1)

(𝑛−1)

(2)

+𝑞𝑛 Φ𝑛 + 𝑞𝑛 Φ𝑛 + ⋯ + 𝑞𝑛 Φ𝑛 2.

⇝ (4 − 52)

Sumando (4-50b), (4-51b), etc., se obtiene (2)

(3)

(3)

(4)

(4)

(4)

𝑈𝑒 = 𝑞1 Φ1 + 𝑞1 Φ1 + 𝑞2 Φ2 + 𝑞1 Φ1 + 𝑞2 Φ2 + 𝑞3 Φ3 + ⋯ (𝑛)

(𝑛)

(𝑛)

+𝑞1 Φ1 + 𝑞2 Φ2 + ⋯ + 𝑞𝑛−1 Φ𝑛−1 se reordena para obtener (2)

(3)

(𝑛)

(3)

(4)

(𝑛)

𝑈𝑒 = 𝑞1 (Φ1 + Φ1 + ⋯ + Φ1 ) + 𝑞2 (Φ2 + Φ2 + ⋯ + Φ2 ) (4)

(5)

(𝑛)

(𝑛)

+𝑞3 (Φ3 + Φ3 + ⋯ + Φ3 ) + ⋯ + 𝑞𝑛−1 Φ𝑛−1 ⇝ (4 − 53) Sumando (4-52) y (4-53) y dividiendo entre dos se llega a 1 (2) (3) (4) (𝑛) (1) (3) (4) (𝑛) 𝑈𝑒 = {𝑞1 [(Φ1 + Φ1 + Φ1 + ⋯ + Φ1 ] + 𝑞2 [Φ2 + Φ2 + Φ2 + ⋯ + Φ2 ] 2 (1)

(2)

(4)

(𝑛)

(1)

(2)

(3)

(𝑛−1)

+𝑞3 [Φ3 + Φ3 + Φ3 + ⋯ + Φ3 ] + ⋯ + 𝑞𝑛 [Φ𝑛 + Φ𝑛 + Φ𝑛 + ⋯ + Φ𝑛

]}

Ahora se ve el significado de cada suma dentro de los corchetes en la última expresión. En (2)

(3)

(𝑛)

el primer término, la suma [(Φ1 + Φ1 + ⋯ + Φ1 ], abreviada Φ1 es el potencial total de 𝑃1 (posición de 𝑞1 ) debido a todas las cargas excepto la propia 𝑞1 . Por lo que, los factores dentro de corchetes significan el potencial en la posición de la carga típica 𝑞𝑘 , un potencial debido a todas las cargas excepto 𝑞𝑘 . Denotando los factores dentro de corchetes mediante Φ1 , Φ2 , … , Φ𝑛 respectivamente, el resultado deseado queda como 𝑈𝑒 = (1/2)[𝑞1 Φ1 + 𝑞2 Φ2 + ⋯ + 𝑞𝑛 Φ𝑛 ] o sea 𝑛

1 𝑈𝑒 = ∑ 𝑞𝑘 Φ𝑘 [J] ⇝ (4 − 54a) 2 𝑘=1

en donde 𝑞𝑘 es la carga de la (k-ésima) partícula típica Φ𝑘 está en 𝑃𝑘 , el potencial absoluto debido a todas las cargas excepto la k-ésima Si el conjunto de cargas no es discreto, sino un continuo de densidad 𝜌𝑣 distribuida por alguna región completa V de volumen, entonces remplazando a 𝑞𝑘 con 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣, (4-54a) es una integral, para obtener

161

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑈𝑒 =

1 ∫ 𝜌 Φ 𝑑𝑣 [J] ⇝ (4 − 54b) 2 𝑉 𝑣

en donde Φ es el potencial absoluto en la posición de 𝜌𝑣 . Para cargas comprendidos en distribuciones superficiales o de linea como se estudia en las secciones 4-2,4-5, se usan las siguientes expresiones en lugar de las anteriores: 𝑈𝑒 =

1 ∫ 𝜌 Φ 𝑑𝑠 [J] ⇝ (4 − 54c) 2 𝑆 𝑠

𝑈𝑒 =

1 ∫ 𝜌 Φ 𝑑ℓ [J] ⇝ (4 − 54d) 2 ℓ ℓ

𝑈𝑒 de una combinación de las cuatro expresiones anteriores, sólo necesita conocerse las distribuciones de carga y los potenciales en los lugares de las cargas. Las integrales (4-54) de energía, expresadas en función de la distribución de potencial Φ que acompaña las distribuciones de carga estática en el espacio, se escribi también en función solamente de los campos 𝐃 y 𝐄 que ocupan todo el espacio. El resultado es 𝑈𝑒 =

1 ∫ 𝐃 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 [J] ⇝ (4 − 54e) 2 𝑉

Para demostrar esto, suponga que en la superficie conductora cerrada S existen cargas superficiales de densidad 𝜌𝑠 en donde S esta formado por conductores individuales tales que 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ + 𝑆𝑛 , con la posibilidad adicional de una densidad 𝜌𝑣 que ocupe la región V encerrada por S. El condensador de dos conductores de la figura 4-6(b) o (c) representa ese tipo de sistema. La energía electrostática del sistema es la suma de (4-54b) y (4-54c) 𝑈𝑒 =

1 1 ∮ 𝜌𝑠 Φ𝑑𝑠 + ∫ 𝜌𝑣 Φ 𝑑𝑣 ⇝ (4 − 55) 2 𝑆 2 𝑉

en donde S denota la superficie cerrada conectada simplemente por los conductores cargados, y V es la región entre los conductores. Usando la condición (3-45) de frontera pero con el vector unitario n alejándose del volumen V de manera que 𝜌𝑠 = −𝐧 ⋅ 𝐃, (4-55) queda como 1 1 1 1 𝑈𝑒 = − ∮ (Φ𝐃) ⋅ 𝐧𝑑𝑠 + ∫ 𝜌𝑣 Φ 𝑑𝑣 = − ∫ ∇ ⋅ (Φ𝐃) 𝑑𝑣 + ∫ 𝜌𝑣 Φ 𝑑𝑣 ⇝ (4 − 56) 2 𝑆 2 𝑉 2 𝑉 2 𝑉 162

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

en que la transformación de la integral de superficie cerrada a la integral de volumen se logra utilizando el teorema de la divergencia (2-21). Usando la identidad vectorial, ∇ ⋅ (Φ𝐃) = Φ(∇ ⋅ 𝐃) + 𝐃 ⋅ ∇Φ, se tiene 1 1 1 𝑈𝑒 = − ∫ 𝐃 ⋅ (∇Φ) 𝑑𝑣 − ∫ Φ∇ ⋅ 𝐃 𝑑𝑣 + ∫ 𝜌𝑣 Φ 𝑑𝑣 2 𝑉 2 𝑉 2 𝑉 Ya que 𝜌𝑣 = ∇ ⋅ 𝐃, se cancelan las dos últimas integrales, y con ∇Φ = −𝐄 en la primera integral, se obtiene el resultado deseado (4-54e) 1 𝑈𝑒 = ∫ 𝐃 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 ⇝ (4 − 57a) 2 𝑉 una expresión válida de la energía, ya sea que 𝑉 contenga o no una densidad de carga 𝜌𝑣 . Por tanto, (4-57a) proporciona otra forma de encontrar la energía potencial de un sistema de carga estática, en función de los campos D y E en la región de volumen apropiada a este sistema. El integrando de (4-57a), 𝐃 ⋅ 𝐄/2, con las unidades de joules por metro cúbico, se llama la densidad de energía electrostática en el punto en la región del volumen. La permitividad 𝜖 es un escalar en una región dieléctrica isotrópica, lo que da la densidad de energía 𝜖𝐸2 /2, de donde (4-57a) queda como 𝑈𝑒 =

1 ∫ 𝜖𝐸2 𝑑𝑣[ J] ⇝ (4 − 57b) 2 𝑉

Ejemplo 4-8. Encontrar la energía almacenada en el campo eléctrico de la línea coaxial del ejemplo 4-7, usando (4-54e). D y E en una línea coaxial son 𝐃 = 𝐚𝜌

𝑞 2𝜋𝜌ℓ

𝐄 = 𝐚𝜌

𝑞 2𝜋𝜖𝜌ℓ

Sustituidas en (4-54e) e integradas en todo el volumen del dieléctrico, las anteriores dan 1 𝑞 𝑞 𝑈𝑒 = ∫ (𝐚𝜌 ) ⋅ (𝐚𝜌 ) 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧 2 𝑉 2𝜋𝜌ℓ 2𝜋𝜖𝜌ℓ =

𝑏 2𝜋 ℓ 𝑞2 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧 ℓ(𝑞/ℓ)2 𝑏 ∫ ∫ ∫ = ℓ𝓃 ⇝ (4 − 58) 2 2 2 8𝜋 𝜖ℓ 𝜌=𝑎 𝜙=0 𝑧=0 𝜌 4𝜋𝜖 𝑎

163

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Una aplicación útil de la integral (4-54c) de energía es al condensador de la figura 4-6. El hecho de que los dos conductores, que llevan a 𝑞 y −𝑞, estén a los equipotenciales Φ = Φ1 y Φ = Φ2 permite simplificar (4-54c) como sigue: 1 1 1 𝑈𝑒 = ∫ 𝜌𝑠 Φ𝑑𝑠 = Φ1 ∫ 𝜌𝑠 𝑑𝑠 + Φ2 ∫ 𝜌𝑠 𝑑𝑠 2 𝑆 2 2 𝑠1 𝑠2 en que las integrales de superficie, desde (4-41), denotan 𝑞 y −𝑞 en los conductores. Por tanto, 1 1 𝑈𝑒 = 𝑞 (Φ1 − Φ2 ) = 𝑞𝑉 [J] ⇝ (4 − 59a) 2 2 donde de (4-42) se sustituyó V por (Φ1 − Φ2 ). Poniendo (4-43) en (4-59a) da de otra manera 𝑈𝑒 =

1 2 𝐶𝑉 [J] ⇝ (4 − 59b) 2

1 𝑉2 [J] ⇝ (4 − 59c) 𝑈𝑒 = 2 C que demuestran que la energía del campo eléctrico almacenado es proporcional al cuadrado de V o de 𝑞. La equivalencia de (4-59) con (4-57) permite encontrar la capacitancia de un dispositivo de dos conductores en función de la energía. Por tanto, despejando 𝐶 de (4-59b) o (4-59c) y sustituyendo 𝑈𝑒 con (4-57a) se obtienen los resultados equivalentes 𝐶=

2𝑈𝑒 1 ∫ 𝐃 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣[F] ⇝ (4 − 60a) = 𝑉2 𝑉2 𝑉

𝐶=

𝑞2 𝑞2 [F] ⇝ (4 − 60b) = 2𝑈𝑒 ∫𝑉 𝐃 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣

Ejemplo 4-9, Determinar C del condensador coaxial del ejemplo 4-7 a partir de su energía almacenada. Del ejemplo 4-8, la energía del par coaxial de longitud ℓ es

164

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑈𝑒 = ℓ

(𝑞/ℓ)2 𝑏 ℓ𝓃 4𝜋𝜖 𝑎

Esto es en función de q, de manera que sustituyendo en (4-60b) se tiene 𝐶=

𝑞2 = 2𝑈𝑒

𝑞2 2𝜋𝜖ℓ = 2 𝑏 (𝑞/ℓ) 𝑏 ℓ𝓃 2ℓ ℓ𝓃 𝑎 4𝜋𝜖 𝑎

que concuerda con el ejemplo 4-7.

4.7. Ecuaciones de Poisson y Laplace En las secciones anteriores se obtuvieron las soluciones de los problemas de campo electrostático por los siguientes métodos: 1. Integrando (4-13) en toda la distribución dada de cargas estáticas en el espacio vacío para encontrar E. 2. Integrando la ley de Gauss (4-5) con respecto a determinadas configuraciones simétricas de cargas y dieléctricos para encontrar D y E. 3. Integrando (4-31) en una distribución completa de cargas en el espacio vacío para encontrar el potencial Φ, a partir del cual se encuentra E utilizando −∇Φ. Recíprocamente, en problemas pára los que se conoce E, se obtiene el potencial Φ a partir de (4-34), la integral de línea de E.

Los tres métodos tienen la desventaja de que requieren una especificación de la distribución de carga que produce el campo electrostático. En los siguientes párrafos se estudia un enfoque que elimina este requerimiento tratando a los problemas de electrostática como problemas de valores a la frontera. Un problema de frontera en electrostática se refiere a encontrar las soluciones de campo de las relaciones de divergencia y rotacional de Maxwell, (4-1) y (4-2), que también satisfagan las condiciones de frontera del problema. Para este fin, trabajar directamente con las relaciones de divergencia y rotacional requiere manejos de las componentes de E o D, lo que resulta más arduo que lo necesario. Se ve que es deseable volver a expresar el problema en función del campo de potencial escalar. Se deduce una ecuación diferencial parcial en función del potencial Φ(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) combinando las relaciones de Maxwell (4-1) y (4-2). Con 𝐃 = 𝜖𝐄, se escribe (4-1) como ∇ ⋅ (𝜖𝐄) = 𝜌𝑣 ⇝ (4 − 61) 165

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

y E es conservativo, de manera que se aplica (4-27); por tanto, (4-61) queda como ∇ ⋅ (𝜖∇Φ) = −𝜌𝑣 ⇝ (4 − 62) una ecuación diferencial parcial que se conoce como la ecuación de Poisson. Es correcta en esta forma, aunque la región dieléctrica es inhomogénea (𝜖 es función de la posición). Si 𝜖 es una constante, (4-62) toma la forma más usual: ∇ ⋅ ∇Φ = −𝜌𝑣 /𝜖 o con la notación ∇ ⋅ ∇Φ = ∇2 Φ de (2-61) ∇2 Φ = −

𝜌𝑣 ⇝ (4 − 63) 𝜖

A veces, a ∇2 Φ se llama el laplaciano de Φ, cuyos desarrollos están dados por (2-59) y otras ecuaciones en los sistemas de coordenadas comunes. Si no existe carga libre en la región (𝜌𝑣 = 0), la ecuación generalizada de Poisson (4-62) se reduce a ∇ ⋅ (𝜖∇Φ) = 0, que se conoce como la ecuación de Laplace, aplicable a las regiones dieléctricas que son inhomogéneas. Por tanto, para una región con 𝜖, constante, ∇2 Φ = 0 ⇝ (4 − 64) La forma común de la ecuación de Laplace (4-64), junto con las condiciones específicas de frontera espacial que se requiere que satisfaga Φ constituyen un problema de valor de frontera en una región sin cargas. Ejemplo 4-10. Un par de conductores largos, coaxiales, circulares, se carga estáticamente con su conductor interno al potencial Φ = 𝑉 relativo al conductor exterior, que se supone al potencial cero. La región que interviene es un dieléctrico homogéneo con permitividad 𝜖. Resolver la ecuación de Laplace, sujeta a las condiciones de frontera, para el potencial en cualquier parte entre los conductores. Obtener también E en el dieléctrico, q en los conductores y la capacitancia (de una longitud ℓ) del sistema. De la simetría, los campos son independientes de 𝜙 y 𝑧, suponiendo que se desprecien los efectos de los bordes. Entonces, usando ∇2 𝑓 ≡ ∇ ⋅ ∇𝑓 =

1 𝜌 𝜕𝑓 (𝜌 ) 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌

+

1 𝜕2 𝑓 ρ2 𝜕𝜙 2

+

𝜕2𝑓 , 𝜕𝑧 2

la ecuación

(4-64) de Laplace, se reduce a la ecuación diferencial ordinaria ∇2 Φ =

1𝜕 𝜕Φ (𝜌 ) = 0 ⇝ (4 − 65) 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌

Integrando una vez se obtiene 𝜌 𝜕Φ/𝜕𝜌 = 𝐶1 y una segunda integración da la solución

166

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Φ(𝜌) = 𝐶1 ℓ𝓃𝜌 + 𝐶2 ⇝ (1) Se aplican las condiciones de frontera para evaluar 𝐶1 y 𝐶2 . En 𝜌 = 𝑏, Φ = 0 de manera que (1) da 𝐶1 ℓ𝓃𝑏 + 𝐶2 = 0 para que 𝐶2 se pueda expresar en función de 𝐶1 como 𝐶2 = −𝐶1 ℓ𝓃𝑏. Sustituyendo de vuelta en (1) se tiene Φ(𝜌) = 𝐶1 (ℓ𝓃𝜌 − ℓ𝓃𝑏) = 𝐶1 ℓ𝓃

𝜌 ⇝ (2) 𝑏

La segunda ecuación de frontera, Φ(𝑎) = 𝑉, aplicada a (2) produce 𝐶1 = −𝑉/ℓ𝓃(𝑏/𝑎), de donde (2) queda como Φ(𝜌) =

𝑉 𝑏 ℓ𝓃 ( ) 𝑎

𝑏 ℓ𝓃 ( ) ⇝ (4 − 66) 𝜌

la solución deseada para Φ en cualquier parte entre los conductores, escrita en función de V. Como comprobación, note que haciendo 𝜌 = 𝑎 y 𝜌 = 𝑏 se obtienen respectivamente los valores de frontera Φ = 𝑉 y Φ = 0. Utilizando (4-27), de (4-66) se encuentra E. El desarrollo de (2-12b) da 𝐄 = −∇Φ = −𝐚𝜌

𝜕Φ 𝑉 1 = 𝐚𝜌 ⇝ (4 − 67) 𝑏 𝜕𝜌 ℓ𝓃 ( ) 𝜌 𝑎

Para encontrar la carga total en cualquiera de los conductores, se requiere la densidad de carga 𝜌𝑠 , que se obtiene de la condición de frontera 𝐷𝑛1 = 𝜌𝑠 . En la superficie interna 𝜌 = 𝑎 𝜌𝑠 = 𝐷𝑛 = 𝐷𝜌 ]𝜌=𝑎 = 𝜖𝐸𝜌 ]𝜌=𝑎 =

𝜖𝑉 𝑏 𝑎ℓ𝓃 ( ) 𝑎

⇝ (4 − 68)

que obtiene la carga en una longitud ℓ 𝑞 = 𝜌𝑠 (2𝜋𝑎ℓ) =

2𝜋𝑎ℓ𝑉 ⇝ (4 − 69) 𝑏 ℓ𝓃 ( ) 𝑎

167

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

La definición (4-43) de la capacitancia da entonces 𝐶=

𝑞 2𝜋𝜖ℓ = ⇝ (3) 𝑉 ℓ𝓃 (𝑏 ) 𝑎

que concuerda con (4-47) en el ejemplo 4-9.

Aunque este ejemplo no muestra que se requiera menos esfuerzo en comparación con los métodos anteriores utilizados para resolver este problema unidimensional, el principal mérito de los métodos de valor de frontera para resolver problemas de campo electrostático radica en su aplicabilidad a sistema bi y tridimensionales sin simetrías útiles y que no poseen distribuciones conocidas de cargas. 4.8. Principio de Unicidad de las soluciones de campo electrostático Una vez obtenida una solución a un problema de campo electrostático (por el medio que sea), es importante saber que sea la única solución posible; es decir, que es una solución única. El modelo matemático que proporciona la teoría del potencial sería poco útil si diera varias soluciones a un problema dado, entre las cuales tendría que verificarse la solución correcta del problema físico mediante experimentación o alguna otra manera. Se demuestra que las soluciones de potencial de las siguientes clases de problemas de valor de frontera son únicas: 1. El problema de Dirichlet. Una solución potencial Φ(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) de la ecuación de Laplace es única si Φ satisface una condición especificada de frontera en el límite cerrado S de la región. Φ = Φ(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) ⇝ (4 − 70) 2. El problema de Neumann. Una solución potencial Φ(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) de la ecuación de Laplace es única dentro de un valor constante si la derivada normal de Φ satisface una condición especificada de frontera en el límite cerrado S de la región. 𝜕Φ 𝜕Φ = ] ⇝ (4 − 71) 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑠 3. El problema del valor de límite mezclado. Una solución potencial de la ecuación de Laplace es única si satisface (4-70) en una parte de S, y (4-71) en la restante.

168

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Se obtiene una demostración de (1) suponiendo que hay dos soluciones, Φ y Φ′, cada una de las cuales satisface la ecuación de Laplace (∇2 Φ = 0 y ∇2 Φ′ = 0) en todas partes dentro del volumen V limitado por la superficie cerrada S que se muestra en la figura 4-9(a) de las cuales ambas satisfacen la misma condición Φ𝑠 de frontera como sigue: Φ = Φ′ = Φ𝑠 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑒𝑛 𝑆 ⇝ (4 − 72) En general, la condición de frontera especificada Φ𝑠 (𝑢1 , 𝑢2 . 𝑢3 ) es una función de la posición en S. Para algunos problemas, S esta formada por varios (n) conductores como lo muestra la figura 4-9(b), en que la condición de frontera (4-72) es una secuencia de los potenciales Φ𝑠1 , Φ𝑠2 ,..., Φ𝑠𝑃 en las superficies respectivas S1, S2 ,…, S𝑛 . De (4-72), la diferencia de las dos condiciones idénticas de frontera es cero, es decir, Φ − Φ′ = 0 𝑒𝑛 𝑆 ⇝ (4 − 73) Se establece el carácter único de Φ si también se demuestra que Φ − Φ′ = 0 en V. Con este fin, la primera identidad integral ∮𝑆(𝑓∇g) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫𝑉[𝑓∇2 g + (∇𝑓) ⋅ (∇g)]𝑑𝑣 de Green tiene las formas equivalentes verdaderas para cualquier par de funciones bien comportadas f y g. ∫ [𝑓∇2 g + (∇𝑓) ⋅ (∇g)] 𝑑𝑣 = ∮ 𝑓 (∇g) ⋅ 𝑑s = ∮ 𝑓 𝑉

𝑆

𝑆

𝜕g 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 74) 𝜕𝑛

En consecuencia, debe de ser válida si 𝑓 = g, e igualmente para 𝑓 = Φ − Φ′ , la diferencia de las funciones que se están examinando para determinar su carácter único. Con esta última, la identidad de Green toma la forma 𝜕Φ 𝜕Φ′ ∮ {(Φ − Φ′ )∇2 (Φ − Φ′ ) + [∇(Φ − Φ′ )]2 } 𝑑𝑣 = ∮ (Φ − Φ′ ) [ ] 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 75) + 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑉 𝑆 Con Φ y Φ′ satisfaciendo la ecuación de Laplace, se sigue evidentemente que ∇2 (Φ − Φ′ ) = 0, lo que hace que desaparezca el primer término de la integral de volumen de (4-75), para obtener 𝜕Φ 𝜕Φ′ ∮ [∇(Φ − Φ′ )]2 𝑑𝑣 = ∮ (Φ − Φ′ ) [ ] 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 76) + 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑉 𝑆 Debido a (4-73), la integral de superficie de (4-76) es cero, para obtener 169

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

∮ [∇(Φ − Φ′)]2 𝑑𝑣 = 0 𝑉

Figura 4-9. Configuraciones de superficie cerrada relativas a problemas con valor en la frontera en electrostática. (a) Región de volumen V limitada por una superficie cerrada S en la que se especifica la condición de frontera. (b) Variación de (a): V limitado por 𝑛 − 1 superficies interiores y la superficie exterior 𝑆1 . Ocurre un caso especial si 𝑆1 = 𝑆∞ .

El integrando es una cantidad al cuadrado y por tanto, es positivo en todas partes en V, pero la única manera de que la integral de una función no negativa sea cero, como se indica es que el integrando sea cero en todas partes dentro de V; en consecuencia, ∇(Φ − Φ′) = 0. Un gradiente cero significa que Φ − Φ′ no cambia con respecto a cualquier dirección en V, lo que hace Φ − Φ′ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 [V] ⇝ (4 − 77) pero incluso el valor de esta constante es cero en el problema de Dirichlet, a la vista de la condición de frontera (4-73). Por tanto, Φ = Φ′, que establece el carácter único de Φ en el problema de Dirichlet, lo que hace que el campo E también sea único, ya que (4-27) obtiene E a partir del gradiente de Φ este es el principio de la unicidad en electrostática. El carácter único de la solución Φ del problema de Neumann se establece esencialmente en la misma forma, observando que cada solución Φ y Φ′ debe de satisfacer la misma condición de frontera (4-71), lo que hace que el factor 𝜕Φ/𝜕𝑛 − 𝜕Φ′/𝜕𝑛 en presencia de la integral de superficie de (4-76) sea igual a cero. En la demostración dada se supuso la presencia de un dieléctrico aislante homogéneo con permitividad 𝜖 para V. El carácter único de las soluciones es válido todavía aunque esté

170

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

presente un dieléctrico inhomogéneo (𝜖 una función de la posición), al igual que para un dieléctrico particionado en varias regiones homogéneas con distintos valores de 𝜖. Aunque no se da aquí, la demostración se sigue subdividiendo a V mediante superficies que estén justo a ambos lados de los medios en contacto. 4.9. Métodos de imágenes El método de las imágenes hace uso del principio de unicidad de las soluciones potenciales. Consiste en remplazar un problema, que comprenda uno o más conductores cargados estáticamente, con un problema equivalente de cargas puntuales o lineales localizadas adecuadamente (llamadas cargas imagen), que den precisamente el mismo campo electrostático que el problema original. Entonces se utiliza los campos de las cargas puntuales o lineales para obtener una solución del problema original en el valor de frontera. El método de las imágenes se ilustra mediante un ejemplo en la figura 4-10. Suponga dos cargas puntuales, 𝑞 y −𝑞, a 2𝑑 [m] en el espacio vacío como en (a) de la figura. El potencial combinado Φ en cualquier posición P está dado por dos términos de (4-37) Φ(x, y, z) =

𝑞 4𝜋𝜖0 √(𝑑 − 𝑥)2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

−

𝑞 4𝜋𝜖0 √(𝑑 + 𝑥 )2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

⇝ (4 − 78)

Para encontrar las superficies equipotenciales se iguala (4-78) con potenciales constantes; en la figura 4-10(a) se muestra con líneas punteadas una familia de superficies equipotenciales. Recordando que un conductor sumergido en un campo electrostático tiene su superficie a un potencial constante, remplazando el interior de las superficies equipotenciales Φ = Φ0 y Φ = −Φ0 con conductores como en la figura 4-10(b) no se altera el campo E exterior a los conductores. Más aún, las cargas imágenes originales ±𝑞 de la figura 4-10(a) aparecen como cargas superficiales en los conductores que dan un total de ±𝑞 una conclusión a la que se llega de la ley de Gauss (4-5) integrada en las superficies conductoras. Consecuentemente, el sistema de cargas imagen de la figura 4-10(a) da los campos deseados del sistema de dos conductores de la figura 4-10(b), para obtener las mismas soluciones de Φ y E fuera de los conductores en esta última.

171

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

En la figura 4-10(c) se muestra un sistema complementario (un conductor dentro de otro); sus campos también se obtienen del sistema de imágenes de la figura 4-10(a).

Figura 4-10. Tres ejemplos de sistemas de conductores cargados, cuyos, campos exactos se obtienen a partir del sistema de imagen (a). (a) Dos cargas puntuales electrostáticas y sus campos E y 𝛷. (b) Sustitución de las superficies interiores (𝛷 = ±𝛷0) con conductores. (c) Una variación de (b). (d) Sustitución de la región a la izquierda de 𝛷 = 0 en (b) con un conductor.

Se ve que el plano de simetría 𝑥 = 0 de la figura 4-10(a) es la superficie equipotencial Φ = 0, lo que se ve al igualar la expresión de potencial (4-78) a cero. Por tanto, si se ubica un conductor con la forma de una de las superficies equipotenciales a la derecha del plano conductor en 𝑥 = 0 como en la figura 4-10(d), una vez más el problema de imágenes de la figura 4-10(a) especifica el campo entre los conductores. El campo a la izquierda del plano se anula, en función de la condición 𝐷𝑛1 = 𝜌𝑠 de frontera, mediante la presencia en su superficie de la densidad de carga 𝜌𝑠 = 𝐷𝑛 ]𝑥=0 = 𝜖0 𝐸𝑥 ]𝑥=0 = 𝜖0

𝜕Φ ] ⇝ (4 − 79) 𝜕𝑥 𝑥=0 172

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

En consecuencia, la derivada de (4-78) con respecto a 𝑥, con 𝑥 = 0 da 𝜌𝑠 =

−𝑞𝑑 [C/m2 ] ⇝ (4 − 80) 2𝜋[𝑑 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ]3/2

Mediante superposición, como se muestra en la figura 4-11, se deduce extensiones al sistema de imágenes de la figura 4-10(a).

Figura 4-11. Equivalentes de imagen de una carga estática cerca de planos conductores infinitos. (a) Cargas discretas cerca de un plano conductor. (b) Carga lineal arbitraria cerca de un plano conductor. (c) Carga lineal paralela a un plano conductor. (d) Carga puntual cerca de la intersección de dos planos conductores.

Por ejemplo, un sistema de cargas fijas puntuales 𝑞1 , 𝑞2 , …, cerca de un plano conductor como en la figura 4-11(a) tiene un campo estático en el espacio de la derecha dado por la suma de los campos de las cargas originales y sus imágenes mostrados. El potencial cero en el plano mediano se mantiene por ese sistema de imágenes. Una carga lineal de forma arbitraria colocada cerca de un conductor plano proporciona otra equivalencia de imagen como en la figura 4-11(b), uno de cuyos casos especiales es la carga de la línea recta de la figura 4-11(c). Estos planos se extienden más aún con el equivalente de imagen de una carga q cerca de la intersección perpendicular de dos planos conductores como en la figura 4-11(d); se necesitan tres cargas imagen para establecer potencial cero en ambos planos. 173

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

El sistema de "cargas de líneas paralelas de la figura 4-11(c), repetido en la figura 4-12(a), es un sistema importante de imágenes que permite encontrar los campos electrostáticos de conductores paralelos redondos como se desarrolla a continuación. Suponga dos cargas lineales paralelas de longitud infinita a la distancia de 2𝑑 entre sí y que poseen las densidades de carga uniformes 𝜌ℓ y −𝜌ℓ. Estas últimas se representan mediante las relaciones 𝑞/ℓ y −𝑞/ℓ para significar las cargas por longitud ℓ de cada línea. Debido a la extensión infinita, el análisis se confina al plano 𝑧 = 0 que lo restringe a dos dimensiones (𝑥, 𝑦) como en la vista transversal de la figura 4-12(b). Las superficies equipotenciales de este sistema de cargas de líneas paralelas son cilindros circulares rectos. Para demostrar esto, note que el potencial Φ(𝑥, 𝑦) en P de la figura 4-12(b) se encuentra de la superposición de los potenciales Φ(+) y Φ(−) debidos a cada línea. Cada uno produce el campo de potencial (4-35); escogiendo a 0 como la referencia de potencial, los potenciales en P debidos a 𝑞/ℓ y −𝑞/ℓ quedan como Φ(+) =

𝑞 𝑑 −𝑞 𝑑 ℓ𝓃 ; Φ(−) = ℓ𝓃 ⇝ (4 − 81) 2𝜋𝜖ℓ 𝑅1 2𝜋𝜖ℓ 𝑅2

Su suma es el potencial total en 𝑃 Φ(𝑥, 𝑦) = Φ(+) + Φ(−) =

𝑞 𝑅2 ℓ𝓃 ⇝ (4 − 82) 2𝜋𝜖ℓ 𝑅1

en donde 𝑅1 = √(𝑥 − 𝑑)2 + 𝑦 2 ; 𝑅2 = √(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑦 2 ⇝ (4 − 83) De (4-82), Φ recorre todos los números reales, conforme P se aproxima a −𝑞/ℓ(𝑅2 → 0), Φ → −∞; en tanto que Φ → ∞ en la carga de líneas positivas. Las superficies equipotenciales se obtienen igualando (4-82) a cualquier potencial constante deseado Φ = Φ0 𝑞 𝑅2 ℓ𝓃 = Φ0 ⇝ (4 − 84a) 2𝜋𝜖ℓ 𝑅1 indica que cualquier relación real fija 𝑅2 = 𝐾 ⇝ (4 − 84b) 𝑅1

174

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

define una superficie equipotencial Φ = Φ0. Por tanto, K = 𝑅2 /𝑅1 = 1 define el plano 𝑥 = 0 que biseca al sistema. [si 𝐾 = 1 en (4-84a) revela que Φ0 = 0] En general, otras superficies equipotenciales dadas por otros valores de 𝐾 son círculos en la vista transversal de la figura 412(b); si se incluye el eje de las z, se transforman en superficies cilindricas, lo que se demuestra sustituyendo (4-83) en (4-84b) como sigue: (𝑥 + 𝑑)2 + 𝑦 2 = 𝐾2 (𝑥 − 𝑑)2 + 𝑦 2 que se desarrolla en 𝐾2 + 1 𝑥 − 2𝑑 2 𝑥 + 𝑑 2 + 𝑦 2 = 0 ⇝ (4 − 85) 𝐾 −1 2

Figura 4-12. Sistema de imágenes de cargas de líneas paralelas. (a) Cargas de líneas paralelas de densidades uniformes. (b) Vista de (a) que muestra la geometría bidimensional en el plano 𝑧 = 0

Esto se reduce a la ecuación de un círculo, (𝑥 − ℎ)2 + 𝑦 2 = 𝑅2 , si a cada lado de (4-85) se agrega 𝑑 2 [𝐾 2 + 1⁄𝐾 2 − 1]2 para completar el cuadrado, y así obtener 2

𝐾2 + 1 2𝐾𝑑 2 2 [𝑥 − 𝑑 2 ] +𝑦 = ( 2 ) ⇝ (4 − 86) 𝐾 −1 𝐾 −1 Este resultado demuestra que las superficies equipotenciales son una familia de cilindros circulares con centros desplegados desde el origen mediante 𝐾2 + 1 ℎ=𝑑 2 ⇝ (4 − 87) 𝐾 −1 y cuyos radios son

175

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑅=

2𝐾𝑑 ⇝ (4 − 88) 𝐾2 − 1

En la figura 4-13 se ilustran los cilindros circulares equipotenciales típicos definidos por (4-86). Los valores de K menores a 1 corresponden a cilindros equipotenciales a la izquierda del origen, en tanto que 𝐾 > 1 da los cilindros a la derecha. Tomando la diferencia de los cuadrados de (4-87) y (4-88) se elimina a K para obtener ℎ2 − 𝑅2 = 𝑑 2 , de donde

Figura 4-13. Superficies equipotenciales de un sistema de cargas de líneas paralelas, es decir, superficies cilíndricas circulares.

𝑑 = √ℎ2 − 𝑅2 ⇝ (4 − 89) lo que da las ubicaciones ±𝑑 de las cargas imagen en la figura 4-13 en función de 𝑅 y ℎ. Remplazando ahora el interior (o exterior) de cualquier par de cilindros equipotenciales de la figura 4-13 con conductores (que llevan cargas q superficiales y −𝑞 en cada longitud ℓ), se considera que se resuelto los problemas de campo electrostático como los de la figura 4-14. Por ejemplo, las capacitancias C de una longitud ℓ de los sistemas de las figuras 4-14(a) y (b) se encuentran como sigue: dividiendo (4-87) entre (4-88) para eliminar d se obtiene una expresión cuadrática en K que da ℎ ℎ 2 ℎ±𝑑 √ 𝐾 = ± ( ) −1= ⇝ (4 − 90) 𝑅 𝑅 𝑅 en donde 𝑑 está dada por (4-89). Los signos positivo y negativo corresponden a las superficies equipotenciales positiva y negativa a la izquierda y derecha de 𝑥 = 0, respectivamente en la 176

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

figura 4-13. Entonces, el potencial Φ0 de cualquier cilindro equipotencial en la región de la mitad derecha se encuentra sustituyendo (4-90) en (4-84a), pero con el plano 𝑥 = 0 en Φ = 0 [V], la diferencia de potencial V entre un conductor cilindrico circular y el plano conductor de la figura 4-14(a) queda Φ0 − 0 = 𝑉, lo que da 𝑞 ℎ ℎ 2 √ 𝑉 = Φ0 − 0 = ℓ𝓃 [ + ( ) − 1] ⇝ (4 − 91) 2𝜋𝜖ℓ 𝑅 𝑅 Consecuentemente, de (4-44) la capacitancia de este sistema es 𝐶=

2𝜋𝜖ℓ ℎ ℎ 2 ℓ𝓃 [𝑅 + √(𝑅) − 1]

Alambre arriba del conductor plano ⇝ (4 − 92)

Figura 4-14. Sistemas conductores bidimensionales. Soluciones que se obtienen del sistema de imagen de la Figura 4-9. (a) Conductor circular paralelo a un conductor plano. (b) Conductores circulares paralelos de igual tamaño. (c) Cilindros paralelos de tamaños diferentes. (d) Cilindros localizados excéntricamente uno dentro del otro.

El potencial (4-90) de un conductor idéntico en el medio plano de la izquierda en el sistema de líneas de alambres paralelos de la figura 4-14(b) es precisamente el negativo del correspondiente al otro conductor, lo que da una diferencia de potencial entre los conductores del doble que (4-91) para el sistema cilíndrico plano. Por ende, su capacitancia es

177

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐶=

4.10.

𝜋𝜖ℓ ℎ ℎ 2 ℓ𝓃 [𝑅 + √(𝑅) − 1]

Línea de alambres paralelos ⇝ (4 − 93)

Condiciones generales de frontera para D y J normales.

Se obtuvo la condición de frontera (3-41) comparando las componentes normales de D 𝐷𝑛1 − 𝐷𝑛2 = 𝜌𝑠 ⇝ (4 − 94) Se citaron casos especiales con relación: (a) dos dieléctricos perfectos y (b) un dieléctrico perfecto y un conductor perfecto. En esta sección se estudian los casos de regiones con conductividades finitas, en donde E da origen a densidades de corriente especificadas por (37): 𝐉 = 𝜎𝐄.

Figura 4-15. Caja gaussiana construida para comparar las componentes normales de 𝑱 en una superficie de interacción. (a) Componentes de 𝑱1 y 𝑱2 a ambos lados de la intersección. (b) Variación de la componente x de 𝑱𝑠 .

En general una densidad de carga libre 𝜌𝑠 se acumula en una interacción, en una cantidad determinada por las relaciones de las conductividades y permitividades de las regiones adyacentes. Con este propósito, la condición (4-94) de frontera no revela por sí misma las proporciones de 𝐷𝑛1 y 𝐷𝑛2 que dan a 𝜌𝑠 allí. Se requiere otra condición de frontera obtenida de la relación de continuidad de corriente (4-20) 𝜕𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⇝ (4 − 95) 𝑉 𝜕𝑡

∮ 𝐉 ⋅ 𝑑s = − ∫ 𝑆

178

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Se aplica a una región de caja de altura desvanecente, como la que se utilizó para obtener (3-41). La integral de superficie aplicada a las superficie superior e inferior de la caja de la figura 4-15(a) produce las contribuciones 𝐽𝑛1 ∆𝑠 y −𝐽𝑛2 ∆𝑠 al flujo neto de corriente hacia afuera. Las componentes tangenciales 𝐽𝑡1 y 𝐽𝑡2 sólo contribuyen con una cantidad desvanecente de corriente de los lados de la caja, conforme 𝛿ℎ → 0. Sin embargo, si existe una densidad 𝐽𝑠 de superficie en la interacción (permisible si la región 2 es un conductor perfecto), entonces es posible un flujo de corriente no desvaneciente hacia afuera desde esos lados, si 𝐽𝑠 muestra cambios longitudinales, si 𝐽𝑠 tiene una divergencia de superficie como se muestra en la figura 4-15(b). Entonces el flujo hacia afuera de la corriente a través de los cuatro planos de la caja queda como −𝐽𝑠𝑥 ∆𝑦 + (𝐽𝑠𝑥 +

𝜕𝐽𝑠𝑦 𝜕𝐽𝑠𝑥 ∆𝑥) ∆𝑦 − 𝐽𝑠𝑦 ∆𝑥 + (𝐽𝑠𝑦 + ∆𝑦) ∆𝑥 ⇝ (4 − 96) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

a la que se suma el flujo de corriente desde las superficies superior e inferior, para así obtener 𝐽𝑛1 ∆𝑠 − 𝐽𝑛2 ∆𝑠 − 𝐽𝑠𝑥 ∆𝑦 + (𝐽𝑠𝑥 + −𝐽𝑠𝑦 ∆𝑥 + (𝐽𝑠𝑦 +

𝜕𝐽𝑠𝑥 ∆𝑥) ∆𝑦 𝜕𝑥

𝜕𝐽𝑠𝑦 𝜕 ∆𝑦) ∆𝑥 = − (𝜌𝑠 ∆𝑠) ⇝ (4 − 97) 𝜕𝑦 𝜕𝑡

Cancelando términos y eliminando los factores ∆𝑠 = ∆𝑥∆𝑦 se obtiene la condición de frontera 𝐽𝑛1 − 𝐽𝑛2 +

𝜕𝐽𝑠𝑥 𝜕𝐽𝑠𝑦 𝜕𝜌𝑠 + =− ⇝ (4 − 98) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑡

que también se escribe como 𝐽𝑛1 − 𝐽𝑛2 + ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 = −

𝜕𝜌𝑠 [A/m2 ] ⇝ (4 − 99) 𝜕𝑡

si ∇ 𝑇 ⋅ J𝑠 es la divergencia bidimensional de superficie de la densidad 𝐉𝑠 dada por ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 =

𝜕𝐽𝑠𝑥 𝜕𝐽𝑠𝑦 + ⇝ (4 − 100) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

179

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

La relación (4-99) es la condición de frontera general que comprende la continuidad de las componentes normales de la densidad de corriente de volumen, dicha relación expresa que la componente normal de 𝐉 es discontinua en una interacción en la medida de (a) la rapidez de la disminución de la densidad de carga superficial, −𝜕𝜌𝑠 /𝜕𝑡 y (b) la divergencia tangencial que posee la corriente superficial 𝐉𝑠 . Otra forma de (4-99) es, con 𝐉 = 𝜎𝐄. 𝜎1 𝐸𝑛1 − 𝜎2 𝐸𝑛2 + ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 = −

𝜕𝜌𝑠 ⇝ (4 − 101) 𝜕𝑡

La condición (4-99) o (4-101) de frontera general se simplifica dependiendo de las regiones adyacentes, de los cuales se estudian tres casos a continuación: 1. Una región no conductora; la otra un conductor perfecto. Suponiendo que la región 1 no tiene pérdidas (𝜎1 = 0) implica que 𝐉1 = 0, y con la región 2 un conductor perfecto (𝜎2 → ∞) y sin campos, también 𝐉2 = 0. Entonces (4-99) se reduce a ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 = −

𝜕𝜌𝑠 ; 𝜎1 = 0 ; 𝜎2 → ∞ ⇝ (4 − 102) 𝜕𝑡

En consecuencia, en la superficie de un conductor perfecto próximo a un dieléctrico perfecto, la rapidez de la disminución de 𝜌𝑠 es igual a la divergencia de la superficie de J𝑠 , aunque (4-102) es un enunciado de la relación (4-21b) de conservación de la carga. 2. Una región tiene conductividad finita; la otra es un conductor perfecto. Con 𝜎2 → ∞, 𝐉2 = 0, lo que reduce a (4-99) a 𝐽𝑛1 + ∇ 𝑇 ⋅ 𝐉𝑠 = −

𝜕𝜌𝑠 ; 𝜎1 finito, 𝜎2 ⇝ ∞ ⇝ (4 − 103) 𝜕𝑡

El flujo normal hacia afuera 𝐽𝑛1 desde un conductor perfecto a una región conductora adyacente depende de la rapidez de disminución de 𝜌𝑠 y de la divergencia superficial 𝐉𝑠 . 3. Ambas regiones tienen conductividades finitas. En ausencia de un conductor perfecto, 𝐉𝑠 = 0. Entonces (4-99) da 𝐽𝑛1 − 𝐽𝑛2 = −

𝜕𝜌𝑠 ; 𝜎1 , 𝜎2 finitos ⇝ (4 − 104) 𝜕𝑡

Si se combina esto con (4-94), 𝐷𝑛1 − 𝐷𝑛2 = 𝜌𝑠 , se desarrolla una relación entre las componentes normales de D (ó E) en una interacción, además de una expresión para 𝜌𝑠 . Para evitar el uso de 𝜕/𝜕𝑡 en el resultado, es deseable remplazar los campos con formas armónicas en el tiempo de acuerdo con (2-49). Por tanto, después de cancelar los factores ̂ con 𝜖𝐄̂ y a 𝐉̂ con 𝜎𝐄̂, (4-104) y (4-94) quedan como de 𝑒 𝑗𝜔𝑡 y de remplazar a 𝐃

180

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝜎1 𝐸̂𝑛1 − 𝜎2 𝐸̂𝑛2 = −𝑗𝜔𝜌̂𝑠 ⇝ (4 − 105) 𝜖1 𝐸̂𝑛1 − 𝜖2 𝐸̂𝑛2 = 𝜌̂𝑠 ⇝ (4 − 106) Ambas satisfacen simultáneamente en la interacción. Al eliminar a 𝜌̂𝑠 insertando (4-106) en (4-105) se obtiene (𝜎1 + 𝑗𝜔𝜖1 )𝐸̂𝑛1 − (𝜎2 + 𝑗𝜔𝜖2 )𝐸̂𝑛2 = 0 y de allí, al factorizar 𝑗𝜔 se tiene la condición de frontera (𝜖1 − 𝐽

𝜎1 𝜎2 ) 𝐸̂𝑛1 − (𝜖2 − 𝐽 ) 𝐸̂𝑛2 = 0 ⇝ (4 − 107a) 𝜔 𝜔

Usando la notación de permitividad compleja de (3-103) se obtiene 𝜖̂1 𝐸̂𝑛1 − 𝜖̂2 𝐸̂𝑛2 = 0 ; 𝜎1 , 𝜎2 finitas ⇝ (4 − 107b) La condición de frontera para la componente normal de E es consecuentemente de que 𝜖̂𝐸̂𝑛 sea continuo en una interacción que separe regiones conductoras finitas.

Eliminando 𝐸̂𝑛1 ó 𝐸̂𝑛2 de (4-105) y (4-106) se obtiene una expresión para la densidad 𝜌̂ de cargas libres acumulada en la interacción, lo que da los resultados equivalentes 𝜌̂𝑠 = 𝐸̂𝑛1

𝜖1 𝜎2 − 𝜖2 𝜎1 𝜖1 𝜎2 − 𝜖2 𝜎1 = 𝐸̂𝑛2 ⇝ (4 − 108) 𝑗𝜔𝜖̂2 𝑗𝜔𝜖̂1

en donde (3-103) da 𝜖̂1 y 𝜖̂2 . Se llega a la conclusión de que se induce una carga superficial en la interacción por las componentes normales de 𝐸̂ si por lo menos una región es conductora. Por otra parte, no existe carga superficial libre en la interacción si (a) ambas regiones son no conductoras (𝜎1 = 𝜎2 = 0) ó (b) la proporción especial 𝜖1 /𝜖2 = 𝜎1 /𝜎2 entre los parámetros de la región, lo que constituye un hecho raro. Para ambas regiones no conductoras, haciendo 𝜌̂𝑠 = 0 en (4-106) da el caso especial 𝜖1 𝐸𝑛1 − 𝜖2 𝐸𝑛2 = 0, o precisamente 𝐷𝑛1 − 𝐷𝑛2 = 0 ; 𝜎1 = 𝜎2 = 0 ⇝ (4 − 109) que es un resultado que concuerda con (3-43) para el caso no conductor. Ejemplo 4-11. Determinar la ley de refracción para corrientes directas en una interacción que separa a dos regiones conductoras isotrópicas. Particularizar el resultado para una conductividad mucho mayor que la otra. Suponga que los vectores 𝐉 tienen las inclinaciones 𝜃1 y 𝜃2 como se muestra en (a). La condición de frontera (4-104) para CD queda como

181

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐽𝑛1 = 𝐽𝑛2 ⇝ (4 − 110) en tanto que la condición de frontera que comprende a las componentes tangenciales se obtiene de (3-79), con 𝐉 = 𝜎𝐄 𝐽𝑡1 𝐽𝑡2 = ⇝ (4 − 111) 𝜎1 𝜎2 De la geometría, los ángulos de inclinación obedecen a tan 𝜃1 =

𝐽𝑡1 𝐽𝑡2 ; tan 𝜃2 = 𝐽𝑛1 𝐽𝑛2

La última se combina con (4-110) y (4-111), de donde se obtiene la ley de refracción al incluir la expresión de tan 𝜃1 tan 𝜃1 =

𝜎2 tan 𝜃2 ⇝ (4 − 112) 𝜎1

Ejemplo 4-11. (a) Refracción de corrientes. (b) Ejemplos de refracción de flujo de corriente si 𝜎2 = 10𝜎1 . (c) Flujo de corriente para la región 2 altamente conductora. (d) Restricción a flujo tangencial en interacción de región 1 no conductora.

Debe notarse la analogía con las leyes de refracción (3-76) y (3-80) para 𝐁 y 𝐄. Para un ejemplo en donde 𝜎2 = 10𝜎1 , en (b) de la figura anexa se muestran típicamente los efectos de refracción de las líneas aerodinámicas de la corriente directa en una interacción. Para 𝜎2 ≫ 𝜎1 la casi perpendicularidad del flujo de corriente ocurre en las regiones 1, como se indica en (c). Si se redujera 𝜎1 a cero, entonces 𝐉1 , 1o que restringiría el flujo de la corriente en la región 2 a

182

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

trayectorias tangentes al límite conductor-aislante como en (d), lo que constituye un resultado evidente de incluir 𝐽𝑛1 = 𝐽𝑡1 = 0 en las condiciones de frontera (4-110) y (4-111).

4.11.

Analogía entre la conductancia y la capacitancia

Un sistema es análogo a otro si una cantidad en un sistema varía de la misma manera que una cantidad en el otro. Incluso, existe una analogía entre dos cantidades en el mismo sistema. Si son campos vectoriales, para ser análogas deben de satisfacer relaciones comparables de divergencia y rotacional al igual que condiciones semejantes de frontera.

Figura 4-16. Sistemas análogos de capacitancia y conductancia. (a) Sistema de capacitancia: Conductores a diferencia de potencial V, separados por un dieléctrico. (b) Sistema de conductancia: una pequeña conductividad 𝜎 es proporcionada al dieléctrico.

Se demostrará que el sistema de capacitancia de la figura 4-6 en la sección 4-5 conduce a un homólogo de la conductancia. En el sistema de capacitancia de la figura 4-16(a), al aplicar una diferencia de potencial 𝑉 entre los conductores separados por un dieléctrico hace que en los conductores se depositen cargas estáticas +q y –q. En el dieléctrico sin carga, 𝐃 = 𝜖𝐄, que obedece ∇ ⋅ 𝐃 = 0 y ∇ × 𝐄 = 0 de (4-1) y (4-2). Esas propiedades expresan que D entre los conductores consiste en líneas ininterrumpidas de flujo, el campo 𝐄 conservativo implica un campo de potencial relacionado tal que 𝐄 = −∇Φ. Las líneas de D terminan normalmente en las superficies del conductor como se requiere por las condiciones de frontera. Más aún, el campo Φ, de potencial obedece la ecuación (4-64) de Laplace, ∇2 Φ = 0, y cada conductor comprende una superficie equipotencial en que prevalece la diferencia 𝑉 de potencial entre ellas. Más aún, el parámetro C de capacitancia se aplica al sistema, definido por (4-44)

183

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐶=

∫ D ⋅ 𝑑𝑠 q = 𝑆𝑃1 [F] ⇝ (4 − 113) V − ∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ 𝑃2

Al obtener esta relación, se integra 𝐃 ⋅ 𝑑𝑠 en el conductor positivo de la figura 4-16(a), en tanto que P1 supuesto en ese conductor hace positivo a V. Se establece una analogía de la conductancia a CD de (4-113) para el sistema si el dieléctrico posee una pequeña conductividad 𝜎. Entonces el dieléctrico lleva una corriente de densidad 𝐉 = 𝜎𝐄, de (3-7); 𝐉 es análoga con D en el dieléctrico, ya que de (4-22), ∇ ⋅ 𝐉 = 0. En consecuencia, 𝐉 consiste en líneas ininterrumpidas de flujo de corriente, proporcionada por V. Suponiendo que A y B son buenos conductores y que el dieléctrico es un conductor relativamente pobre, del ejemplo 4-11 de la refracción se llega a la conclusión de que la corriente entra o sale de A y B esencialmente en forma perpendicular. Más aún, la condición (4-108) de frontera revela la densidad de carga 𝜌s que existe en cada superficie del conductor. Con 𝜔 = 0 y 𝜎1 ≪ 𝜎2 obtiene 𝜌s = 𝐸𝑛1

𝜖1 𝜎2 − 𝜖2 𝜎1 ≅ 𝜖1 𝐸𝑛1 ⇝ (4 − 114) 𝜎2

si se denota al buen conductor por el subíndice 2 y al dieléctrico con pérdida mediante 1. En consecuencia, las condiciones de frontera de las figuras 4-16(a) y (b) son esencialmente las mismas. Al agregar una pequeña cantidad de conductividad al dieléctrico, casi no produce cambio en la configuración del campo 𝐄 en el mismo. Por tanto, además de C, se define un parámetro análogo positivo 𝐺 llamado la conductancia del sistema, por la relación de la corriente total I que pasa por el dieléctrico a la diferencia de voltaje V entre los conductores

𝐺=

∫𝑆 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 𝐼 = [℧] ⇝ (4 − 115) 𝑉 − ∫𝑃1 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ 𝑃 2

La superficie S del conductor A excluye la sección transversal del alambre de conexión de manera que en (4-115) sólo se toma en cuenta el flujo hacia afuera de I al dieléctrico. El análogo de C es 𝐺, debido a que 𝐉 en (4-115) es el análogo de D en (4-113). Con 𝜎 y 𝜖 constantes para el dieléctrico homogéneo lineal e isotrópico, (4-113) y (4-115) quedan como

184

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐶=

𝜖 ∫𝑆 𝐄 ⋅ 𝑑𝑠 𝑃

− ∫𝑃 1 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ

; 𝐺=

2

𝜎 ∫𝑆 𝐄 ⋅ 𝑑𝑠 𝑃

− ∫𝑃 1 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ

⇝ (4 − 116)

2

que da la relación 𝐺 𝜎 = ⇝ (4 − 117) 𝐶 𝜖 La que también se escribe como (𝑅𝐶)−1 = 𝜎/𝜖 si 1/𝐺 = 𝑅, la resistencia entre los conductores. La ecuación (4-117) implica que si se conoce C, se halla el homólogo 𝐺 de la relación aplicable 𝜎/𝜖. Debido al resultado de decaimiento (4-25) del ejemplo 4-3, (4-117) tiene implicaciones adicionales. Si repentinamente se interrumpiera el V aplicado al sistema de condensador conductor de la figura 4-16(b), las cargas superficiales en cada conductor decaerían en el tiempo de acuerdo con (4-25) 𝜌s (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) = 𝜌s0 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 0)𝑒 −(𝜎/𝜖)𝑡 ⇝ (4 − 118) si 𝜎 y 𝜖 son los parámetros del dieléctrico. Integrando (4-118) en la superficie S del conductor positivo se obtiene la carga q en ella en cualquier instante 𝑞(𝑡) = ∫ 𝜌s 𝑑𝑠 = 𝑒 −(𝜎/𝜖)𝑡 ∫ 𝜌s0 𝑑𝑠 = 𝑞0 𝑒 −(𝜎/𝜖)𝑡 ⇝ (4 − 119a) 𝑆

𝑆

que, usando (4-117) obtiene una forma familiar en la teoría de los circuitos 𝑞(𝑡) = 𝑞0 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 [C] ⇝ (4 − 119b) La carga en el conductor positivo decae entonces exponencialmente con la constante de tiempo 𝜏 = 𝑅𝐶 =

𝜎 [seg] ⇝ (4 − 120) 𝜖

Por tanto, se expresa 𝜏 en función de las constantes agrupadas derivadas R y C, o los parámetros 𝜖 y 𝜎 del dieléctrico. En la figura 4-17(a) se ilustra el comportamiento de decaimiento en el tiempo de 𝑞 en el conductor positivo, y en (b) se muestra el circuito equivalente. 185

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Se demuestra que el llamado factor 𝑄 de calidad del condensador es el recíproco de la tangente de pérdida de su dieléctrico. Su 𝑄 se define bajo condiciones de voltaje aplicado armónico en el tiempo, 𝑈𝑚𝑎𝑥 es el (Máxima energía almacenada durante un ciclo), 𝑃𝑎𝑣,𝐿 Pérdida promedio de potencia en un ciclo Q=

𝜔𝑈𝑚𝑎𝑥 ⇝ (4 − 121) 𝑃𝑎𝑣,𝐿

en donde 𝜔 es la frecuencia en radianes. Suponiendo que 𝑉(𝑡) = 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 está aplicado como en la figura 4-17(c), la energía máxima se almacena cuando el voltaje es 𝑉𝑚, para obtener 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑉𝑚2 /2 de (4-59b). También se imprime 𝑉(𝑡) en la resistencia R de pérdida, lo que da la pérdida de potencia promedio en el tiempo 𝑉𝑚2 /2𝑅. Por tanto, (4-121) queda como

Figura 4-17. Comportamiento de un condensador con pérdidas en el dieléctrico. (a) Decaimiento de la carga en función del tiempo a partir de un valor inicial 𝑞0 . (b) Voltaje interrumpido del circuito equivalente del condensador. (c) Circuito equivalente, con voltaje de ca aplicado.

𝑄=

1 𝜔 (2 𝐶𝑉𝑚2 ) 𝑉𝑚2 2𝑅

= ωRC ⇝ (4 − 122)

que de (4-120) también es 𝜔𝜖/𝜎, el recíproco de la tangente de pérdida (3-104), lo que se quiere demostrar. Utilizando (4-117) y (4-120), la 𝑄 del condensador se escribe en las siguientes formas 𝑄 = 𝜔𝑅𝐶 =

𝜔𝜖 𝜖′ 𝜔𝐶 𝑅 = = ω𝜏 = = ⇝ (4 − 123) 𝜎 𝜖′′ 𝐺 𝑋𝑐

donde 𝑋𝑐 = (𝜔𝐶)−1 denota la reactancia de C a la frecuencia 𝜔. Por tanto, un material con tangente de pérdida 𝜖 ′′/𝜖′ = 0.001 a alguna frecuencia dará un condensador con Q de 1000. Más aún, si su reactancia 𝑋𝑐 fuera de 100[Ω] a la frecuencia dada, el circuito equivalente de la figura 4-17 tendría que incorporar una resistencia paralela 𝑅 = 𝑄𝑋𝑐 = 105 [Ω] para representar las pérdidas del dieléctrico. 186

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Ejemplo 4-12. Suponga que el condensador esférico de la figura 4-7(b) contiene un dieléctrico con las constantes 𝜖 = 3𝜖0 y 𝜎 = 10−5 [℧/m] a alguna frecuencia. Haciendo 𝑎 = 1[cm] y 𝑏 = 2[cm], encontrar 𝐶 y 𝐺 y dibujar el circuito equivalente. Utilizando (4-49) 𝐶=

4𝜋(3 × 10−9 /36𝜋) = 6.67[pF] 1 1 − 0.01 0.02

en tanto que de (4-117), 𝐺 solamente es 𝐶 en que se sustituye a 𝜖 por 𝜎 𝐺=𝐶

𝜎 4𝜋(10−5 ) = = 2.51[𝜇℧] 1 1 𝜖 − 0.01 0.02

que da la resistencia entre las esferas, 𝑅 = 𝐺 −1 = 0.40 [MΩ]. El diagrama del circuito equivalente se hace poniendo a 𝐶 en paralelo con R, como se muestra en la ilustración.

Ejemplo 4-12

4.11.1. Analogía capacitancia-conductancia y mapeo de campos Para condensadores bidimensionales, la longitud infinita implica la necesidad de expresar (4-117) como la relación 𝐺 𝐶𝜎 = [℧/m] ⇝ (4 − 124) ℓ ℓ𝜖 Por tanto, de la relación de 𝐶/ℓ (4-47) para la línea coaxial 𝐺 2𝜋𝜖 𝜎 2𝜋𝜎 = = ⇝ (4 − 125) ℓ ℓ𝓃 𝑏 𝜖 ℓ𝓃 𝑏 𝑎 𝑎 Dichos resultados también son aplicables a las técnicas de mapeo de campos bidimensionales , suponiendo que el dieléctrico posee una pequeña conductividad 𝜎. Entonces,

187

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

contribuye una conductividad por metro de profundidad que se obtiene sustituyendo

∆𝐶 ℓ

=

∆𝑤

𝜖 ∆ℎ av en (4-124) av

∆𝑤prom ∆𝐺 ∆𝐶 𝜎 = =𝜎 ⇝ (4 − 126a) ℓ ℓ 𝜖 ∆ℎprom Para cualquier celda cuadrada curvilínea, haciendo ∆𝑤prom = ∆ℎprom da ∆𝐺 = 𝜎 Celda cuadrada ⇝ (4 − 126b) ℓ el homólogo de

∆𝐶 ℓ

= 𝜖 como se nota en la figura 4-18. La combinación serie-paralelo de todas

esas celdas entre los conductores produce entonces la conductancia total por metro de profundidad 𝑛𝑝 𝜎 𝑛𝑝 𝐺 𝐶𝜎 = = [ 𝜖] = 𝜎[℧/m] ⇝ (4 − 127) ℓ ℓ𝜖 𝑛𝑠 𝜖 𝑛𝑠 Esta última se considera como la conductancia producida por la red de conductancias de celda conectadas entre las superficies conductoras equipotenciales.

Figura 4-18. Un sistema bidimensional típico que muestra las cantidades análogas que se utilizan en el análisis de 𝐶/ℓ y 𝐺/ℓ. (a) Sistema capacitivo con dieléctrico perfecto y celda de flujo. (b) Sistema capacitivo y conductor, y corriente análoga en una celda de flujo.

188

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Los modelos de conducción de corrientes de sistemas bidimensionales en la forma descrita se construye utilizando papel resistivo comercial o un tanque poco profundo de electrólito para simular la región de conducción, colocando electrodos de las formas deseadas en contacto con el medio conductor como se sugiere en la figura 4-19. En (a) de esa figura se asegura el contacto estrecho de los electrodos con el papel resistivo utilizando una pintura plateada buena conductora para producir las formas deseadas de electrodo en el papel. Una batería sirve como una fuente de corriente, y se utilizan un voltímetro de alta impedancia y una punta de prueba delgada para mapear los contornos equipotenciales en el papel resistivo. Se utiliza una fuente de baja frecuencia (hasta de unos 1000 [Hz]) si se prefieren métodos de detección de ca, y en especial son útiles para eliminar los efectos de polarización que ocurren cuando las corrientes directas pasan a través de un líquido electrolítico. Este último produce la acumulación de iones cerca de uno o ambos electrodos, lo que provoca distorsiones en las distribuciones equipotenciales que se obtienen de modelos de tanques electrolíticos.

Figura 4-19. Modelos de sistemas bidimensionales conductor o capacitivo. (a) Modelo que utiliza papel resistivo y electrodos de pintura plateada. (b) Tanque electrolítico con electrodos metálicos sumergidos. [La figura (a) muestra un modelo de papel resistivo de un periodo espacial de la estructura repetitiva dentada. A la vista del flujo de corriente completamente tangencial que ocurre en los dos lados de este modelo, la condición de frontera allí es 𝜕𝛷/𝜕𝑛 = 0, 1o que concuerda con la del sistema real.]

Una ventaja del modelo de corriente de un mapa de flujo es que hace evidentes los errores de estimación en que se incurre en los métodos de graficación manual descritos, para producir mapas equipotenciales muy exactos cuando se toman medidas cuidadosas. Más aún, un óhmetro o medidor de puente entre los electrodos de un modelo de conducción lleva directamente a la capacitancia y conductancia por metro del sistema bajo estudio, sin necesidad de los valores de 𝑛𝑝 y 𝑛𝑠 que se requieren en las técnicas de graficación manual. 189

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Se extiende el tanque electrolítico a geometrías axialmente simétricas asociadas con electrodos de enfoque de haces electrostáticos como los utilizados en tubos de rayos catódicos y microscopios electrónicos. Tales mapas en coordenadas cilíndricas circulares con frecuencia son muy difíciles de obtener analíticamente o mediante planes de graficación manual. Un tanque semicilíndrico que contiene electrodos semicilíndricos y que revela sus vistas seccionales en la superficie del electrólito permite sondear las superficies equipotenciales en la proximidad del eje de las 𝑧. En efecto, la simetría axial permite utilizar solamente un surco delgado, de forma de cuña, en que están sumergidos sectores correspondientemente pequeños de los electrodos cilíndricos. Ejemplo 4-13. Se utiliza una hoja de papel resistivo con 1000[Ω] por cuadro (con 1000[Ω] entre lados equipotenciales opuestos de una lámina cuadrada, sin importar el tamaño) para modelar un cable de dos conductores de forma poco usual, aunque de sección transversal uniforme. Las formas del conductor se pintan en el papel con pintura plateada, y una medición indica 160[Ω] entre esos conductores. Encontrar 𝐶/ℓ y 𝐺/ℓ del cable real si el dieléctrico tiene las constantes 𝜖𝑟 = 2.5 y 𝜎 = 10−8 [℧/m]. La expresión (4-127) especifíca la conductancia entre electrodos del modelo de lámina resistiva 𝐺𝑟 =

𝑛𝑝 (𝜎 ℓ ) ⇝ (1) 𝑛𝑠 𝑟 𝑟

Si 𝐺𝑟 denota los 1/160 [℧] medidos y 𝜎𝑟 ℓ𝑟 es el producto de la conductividad de la hoja resistiva y su espesor. Para el papel resistivo utilizado, 𝜎𝑟 ℓ𝑟 = 1/1000 [℧], la conductancia de un cuadro curvilíneo de cualquier gráfica de flujo aplicable a este modelo. La relación usual para tal gráfica se denota mediante 𝑛𝑝 /𝑛𝑠 y de (1), es 𝑛𝑝 𝐺𝑟 (160)−1 = = = 6.25 𝑛𝑠 𝜎𝑟 ℓ𝑟 0.001 Aplicando esta última a

𝐶 ℓ

=

𝑛𝑝 𝑛𝑠

𝜖[F/m]y (4-127) se obtiene para el cable

𝐶 𝑛𝑝 = 𝜖 = (6.25)(2.5 × 8.84 × 10−12 ) = 138 [pF/m] ℓ 𝑛𝑠 𝐺 𝑛𝑝 μ℧ = 𝜎 = 6.25 × 10−2 [ ] ℓ 𝑛𝑠 m

190

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

4.11.2. Resistencia a CD o de baja frecuencia de conductores delgados En los circuitos eléctricos se usan comúnmente los conductores delgados (de diámetro pequeño en comparación con su longitud). Es interesante determinar la resistencia que ofrece un circuito conductor delgado a una fuente de tensión, como se muestra en la figura 4-20. El circuito está sumergido en un dieléctrico (por ejemplo, aire). La densidad de la corriente directa en el conductor está dada por (3-7) 𝐉 = σ𝐄. Por (4-22), las corrientes estables son sin divergencia, de manera que la corriente está formada por líneas de flujo no interrumpidas que totalizan I A a través de cualquier sección transversal. El campo 𝐄 estático en el conductor, que obedece (4-6), ∮ℓ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = 0, es conservativo, existen superficies equipotenciales normales al campo 𝐄 y 𝐉 como se denota en la figura 4-20.

Figura 4-20. Un circuito eléctrico delgado de CD.

La ecuación (4-6) equivale a la ley de voltaje de Kirchhoff para el circuito que se muestra como sigue. Tomando 𝐄𝑔 y 𝐄 como los campos en la batería y el conductor respectivamente, integrando (4-6) en sentido del reloj en cualquier trayectoria cerrada ℓ alrededor del circuito de la figura 4-20 se obtiene 𝑃2

𝑃1

∫ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ + ∫ 𝐄𝑔 ⋅ 𝑑ℓ = 0 ⇝ (4 − 128) 𝑃1

𝑃2

Pero la segunda integral denota −𝑉, el negativo del voltaje de la batería; con 𝐄 = 𝐉/𝜎 en el conductor, (4-128) se escribe

191

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS 𝑃2

∫ 𝑃1

𝐉 ⋅ 𝑑ℓ = 𝑉 ⇝ (4 − 129) σ

Notando que la corriente a través de cada sección transversal A es el valor constante 𝐼 = ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (4 − 130) 𝐴

en que generalmente 𝐉 no es constante en cada punto de la sección transversal, se ve que (4129) expresa la ley de Kirchhoff 𝑉 = 𝐼𝑅. Si 𝐼 se expresa en función de una densidad promedio 𝐉𝑝𝑟𝑜𝑚 se elimina la necesidad de conocer 𝐉 en cada punto; es decir, 𝐼 = 𝐉av 𝐴 ⇝ (4 − 131) en donde 𝐉𝑝𝑟𝑜𝑚 es tangencial a una línea media ℓ escogida adecuadamente. Para un alambre delgado, se toma a ℓ en (4-129) como el eje del alambre, y con 𝐉𝑝𝑟𝑜𝑚 𝐚ℓ𝐼/𝐴 en (4-131), (4129) queda como 𝑃2

∫ ( 𝑃1

𝐼 𝐚 ) ⋅ 𝐚ℓ𝑑ℓ = 𝑉 𝜎𝐴 ℓ

lo que da 𝐼=

𝑉 ⇝ (4 − 132) 𝑃2 𝑑ℓ ∫𝑃1 𝜎𝐴(ℓ)

Esta tiene la forma 𝐼 = V/R, la ley de voltaje de Kirchhoff para el circuito, en que la resistencia a CD de la trayectoria conductora es 𝑃2

𝑅=∫ 𝑃1

𝑑ℓ V [ ] ó[Ω] ⇝ (4 − 133) 𝜎𝐴(ℓ) A

Su recíproco, 𝑅−1 = 𝐺, es su conductancia. La notación 𝐴(ℓ) enfatiza que el área transversal del conductor podría no ser uniforme, dependiendo de la posición a lo largo de ℓ. Para un conductor de sección transversal constante, (4-133) se reduce a 𝑅=

ℓ [Ω] ⇝ (4 − 134) 𝜎A 192

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

si ℓ denota la longitud del conductor. Esas expresiones de resistencia, correctas para corrientes directas, son aproximaciones razonables a frecuencias suficientemente bajas para las que se desprecia el efecto de superficie, asociado con la penetración reducida del campo en un conductor con el aumento de la frecuencia. A manera de ejemplo, la resistencia de CD de 10[m] de alambre de cobre de 0.1 [pulg] (0.00254 [m]) de diámetro (obteniendo 𝜎 = 5.8 × 107 ) es 𝑅=

10 = 0.034[Ω] (5.8 × 107 )(0.002542 𝜋/4)

La resistencia de un alambre de este tamaño hecho de aluminio, para el que 𝜎 = 3.72 × 107 [℧/m], será aproximadamente 56% mayor que el de cobre. 4.12.

Fuerzas y torsiones electrostáticas

En la sección 4-6 se desarrollaron expresiones para el trabajo hecho por una fuente externa para establecer un sistema de cargas electrostáticas en una región, las que residen físicamente en cuerpos conductores del sistema, que también incluye regiones dieléctricas. La fuerza en cualquiera de los conductores o cuerpos dieléctricos se deduce de un desplazamiento diferencial supuesto 𝑑ℓ de ese cuerpo, calculando el cambio en la energía 𝑑𝑈𝑒 que acompaña al desplazamiento. Si se expresa la energía en función de la ubicación en coordenadas del cuerpo que se está desplazando es posible encontrar la fuerza electrostática del gradiente de la energía electrostática del sistema. Se dice que las fuerzas que se obtienen de esta manera se encuentran por el método del trabajo virtual. Este método se desarrolla para dos casos. Caso A. Sistema de conductores con cargas fijas. Suponga el sistema de dieléctricos y conductores de la figura 4-21(a), los conductores están aislados entre sí de manera que poseen cantidades fijas de carga libre. (Se han eliminado las baterías u otras fuentes que se utilizan para llevarlos a sus estados cargados). Un elemento (conductor o dieléctrico) se desplaza una distancia 𝑑ℓ, debida a las fuerzas de campos eléctricos que actúan en él. El trabajo mecánico realizado es 𝑑𝑈 = 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 [J] ⇝ (4 − 135) 193

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Ya que no se está proporcionando energía adicional (las fuentes están desconectadas), el trabajo (4-135) se efectúa a costa de la energía electrostática almacenada del sistema, con la energía conservada, tal que 𝑑𝑈𝑒 ⏟ 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎

+

⏟

𝑑𝑈

= 0 ⇝ (4 − 136)

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜

lo que implica una disminución de energía de cantidad igual a −𝑑𝑈𝑒 = 𝑑𝑈 = 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 ⇝ (4 − 137) pero también se escribe 𝑑𝑈𝑒 en función de las variaciones en 𝑥, 𝑦, y 𝑧 en 𝑈𝑒 conforme el cuerpo se mueve 𝑑ℓ = 𝐚𝑥 𝑑𝑥 + 𝐚𝑦 𝑑𝑦 + 𝐚𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑈𝑒 =

𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 = (∇𝑈𝑒 ) ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (4 − 138) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

en que esta última es evidente de la representación vectorial (2-9) para una diferencial total. Comparando (4-137) y (4-138) se ve que 𝐅 = −∇𝑈𝑒 [N] ⇝ (4 − 139a) lo que implica las componentes cartesianas de 𝐅 dadas por 𝐹𝑥 = −

𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒 ; 𝐹𝑦 = − ; 𝐹𝑧 = − ⇝ (4 − 139b) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

De (4-139) se ve que basta conocer la forma como cambia la energía del campo electrostático total 𝑈𝑒 con los desplazamientos 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 y 𝑑𝑧 de uno de sus elementos para determinar la fuerza en el elemento. A esto se le conoce como el método del trabajo virtual para encontrar la fuerza, ya que no se requieren desplazamientos físicos reales. Si se rota el cuerpo deseado alrededor de un eje, en vez de sujetarlo a traslación, suponiendo cargas constantes en los conductores, (4-135) se escribe como 𝑑𝑈 = 𝐓 ⋅ 𝑑𝜃 = 𝑇1𝑑𝜃1 + 𝑇2 𝑑𝜃2 + 𝑇3 𝑑𝜃3 ⇝ (4 − 140)

194

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

en donde 𝐓 = 𝐚1 𝑇1 + 𝐚2 𝑇2 + 𝐚3 𝑇3 es la torsión desarrollada y 𝑑𝜃 es el desplazamiento angular diferencial vectorial. Se demuestra análogamente que los componentes de la torsión T vectorial se hacen 𝑇1 = −

𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒 ; 𝑇2 = − ; 𝑇3 = − ⇝ (4 − 141) 𝜕𝜃1 𝜕𝜃2 𝜕𝜃3

Figura 4-21. Dos sistemas electrostáticos de cuerpos conductores y dieléctricos. Para calcular la fuerza en un cuerpo se supone un desplazamiento virtual 𝑑ℓ del mismo. (a) Sistema con cargas fijas. (b) Conductores a potenciales fijos.

Caso B. Sistema de conductores a potenciales fijos. El sistema está formado por n conductores cargados que se mantienen a los potenciales fijos Φ1 , Φ2 , … , Φ𝑛 mediante fuentes de cargas (tales como baterías). También se incluye cuerpos dieléctricos como en la figura 421(b). El desplazamiento 𝑑ℓ de un elemento está acompañado en este caso por cambios en las cargas en cada conductor. Por ejemplo, si se separan dos placas conductoras paralelas conectadas, a una batería, las cargas positivas y negativas en las placas disminuirían para mantener la diferencia de voltaje impreso constante, lo que significa que la energía electrostática total en el sistema cambia con el desplazamiento, pero también significa que el trabajo se realiza por las fuentes en la producción de cambios en los estados de carga de los conductores, para mantener sus potenciales fijos. El trabajo realizado por las fuentes (baterías) durante el desplazamiento del elemento deseado es 𝑛

𝑑𝑈𝑠 = ∑ Φ𝑘 𝑑𝑞𝑘 [J] ⇝ (4 − 142) 𝑘=1

en que los potenciales Φ𝑘 en los n conductores son constantes. La relación de la conservación de la energía queda ahora como

195

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

⏟

𝑑𝑈𝑒

+⏟

𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑑𝑈

= ⏟

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑜 ℎ𝑒𝑐ℎ𝑜

𝑑𝑈𝑠

⇝ (4 − 143)

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ℎ𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠

Ya que cada carga de conductor sufre un cambio 𝑑𝑞𝑘 mientras que se mantiene en el potencial Φ𝑘 de (4-54a), la energía electrostática total cambia en 𝑛

1 𝑑𝑈𝑒 = ∑ Φ𝑘 𝑑𝑞𝑘 ⇝ (4 − 144) 2 𝑘=1

o justamente la mitad del trabajo (4-142) realizado por las fuentes. Por tanto, 𝑑𝑈𝑠 = 2𝑑𝑈𝑒 ⇝ (4 − 145) que expresa que el trabajo realizado por las fuentes es el doble del cambio en la energía electrostática total; el resto es el trabajo mecánico 𝑑𝑈 hecho para mover el elemento en cuestión la distancia 𝑑ℓ. Sustituyendo (4-145) en (4-143) se obtiene entonces 𝑑𝑈𝑒 = 𝑑𝑈 = 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 ⇝ (4 − 146) lo que significa 𝐅 = ∇𝑈𝑒 [N] ⇝ (4 − 147) Ejemplo 4-14. Encontrar la fuerza entre dos cargas puntuales ±𝑞 separadas a una distancia x en el espacio vacío, utilizando el concepto del desplazamiento virtual.

La energía electrostática se obtiene utilizando (4-54a), con 𝑛 = 2. De (4-36), el potencial Φ1 debido a +𝑞 en el lugar de −𝑞 es 𝑞/4𝜋𝜖0 𝑥, en tanto que debido a −𝑞 y a la posición de +𝑞 es −𝑞/4𝜋𝜖0 𝑥. Entonces, la energía total es 𝑛

1 1 𝑞 −𝑞 𝑞2 𝑈𝑒 = ∑ Φ𝑘 𝑑𝑞𝑘 = [(−𝑞) + (𝑞) ]=− 2 2 4𝜋𝜖0 𝑥 4𝜋𝜖0 𝑥 4𝜋𝜖0 𝑥 𝑘=1

En este sistema aislado, la fuerza de +q se encuentra de (4-139) 𝐹𝑥 = −

𝜕𝑈𝑒 𝑞2 𝜕 1 𝑞2 =− ( )=− 𝜕𝑥 4𝜋𝜖0 𝑥 𝜕𝑥 𝑥 4𝜋𝜖0 𝑥 2

196

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Hacia la izquierda (atractiva) como se señala en la figura adjunta. Esta respuesta concuerda, utilizando E (debida a −𝑞) en la posición de +𝑞 𝐅 = 𝑞𝐄 = 𝑞 (𝐚𝑥

−𝑞 −𝑞 2 ) = a 𝑥 4𝜋𝜖0 𝑥 2 4𝜋𝜖0 𝑥 2

Ejemplo 4-15. Dos placas conductoras paralelas están separadas por un dieléctrico de aire. Cada una tiene área A, separada a la distancia x como se muestra. Despreciando el efecto en los bordes, obtener la fuerza en cualquiera de las placas a partir de la energía del campo, suponiendo (a) un voltaje constante V entre las placas y (b) cargas constantes ± Q en las placas.

(a) Suponiendo un voltaje constante V entre las placas, y manteniendo fija la placa en 𝑥 = 0 un desplazamiento virtual 𝑑𝑥 en la otra da F𝑥 = 𝜕𝑈𝑒 /𝜕𝑥 de (4-147). Con 𝐶 = 𝜖𝐴/𝑥, se obtiene 𝐹𝑥 =

𝜕𝑈𝑒 𝜕 1 2 V 2 𝜕 𝜖0 𝐴 𝜖0 𝐴𝑉 2 = ( 𝐶𝑉 ) = ( )=− 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 2 𝜕𝑥 𝑥 2𝑥 2

El resultado negativo denota una fuerza atractiva, ya que la energía almacenada aumenta con una disminución en la separación 𝑥 de las placas. (b) Con V desconectado, hay cargas fijas ±𝑄 en las placas. Entonces existe un 𝐸𝑥 = V/𝑥 constante entre las placas sin importar su separación (sin tomar en cuenta el efecto de borde). La energía electrostática se expresa convenientemente por medio de U𝑒 = (1/2)𝑄𝑉 = (1/2)𝑄𝐸𝑥 𝑥, y con Q y 𝐸𝑥 independientes de x, (4-139) obtiene 𝐹𝑥 = −

𝜕𝑈𝑒 𝜕 1 1 𝜖0 𝐴𝑉 2 = − ( 𝑄𝐸𝑥 𝑥) = − 𝑄𝐸𝑥 = − 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 2 2𝑥 2

197

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

PROBLEMAS PLANTEADOS 4.1. Una línea coaxial circular muy larga tiene materiales dieléctricos de permitividades 𝜖1 y 𝜖2 que llenan las regiones concéntricas como se muestra. Se supone que la interacción en 𝜌 = 𝑏 está a la distancia media entre los radios 𝑎 y 𝑐 de los conductores. (a) Suponiendo que cada longitud ℓ de los conductores interno y externo contiene las cargas Q, -Q respectivamente, a partir de la ley de Gauss y de las condiciones de frontera deducir las expresiones para 𝐃 y 𝐄 en las regiones entre los conductores. (b) Utilizando gráficas dibujadas a una escala relativa, demostrar las variaciones de 𝐷𝜌 y 𝐸𝜌 con 𝜌 para los casos (1) 𝜖1 = 2𝜖2 y (2) 𝜖1 = 𝜖2 /2. ¿Cuál proporciona la menor oportunidad para la ruptura del dieléctrico, suponiendo que cada material se perfora al mismo valor 𝐸0 ? Explicar.

4.2. Para el sistema del problema 4-11, suponer que 𝜖1 = 4𝜖0 ¿Qué valor de 𝜖2 se requiere si los máximos campos E en ambas regiones deben de ser iguales? 4.3. Dadas dos líneas de alambres paralelos con dieléctrico de aire como sigue: (a) Dos alambres de 0.1 pulg. (Núm. 10 AWG) separados 3 pies (b) Dos tubos de latón de 3/4 pulg. de diámetro a 2 pulg. como distancia de centro a centro. Calcular la capacitancia por metro para cada sistema. Utilizar expresiones de métodos exactos y aproximados y compararlos resultados. [Respuesta: (a) Exacto y aproximado: 4.22 pF/m = 1.28 pF/pie (b) Exacto: 16.96 pF/m; aproximado:16.63 pF/m (error de 2%)] 4.4. Utilizando la superposición de potenciales (despreciando los efectos de redistribución de cargas), deducir una expresión aproximada para la capacitancia entre esferas conductoras de radio 𝑎 y 𝑏, a la distancia 2𝑑 entre centros. Suponer que los radios son pequeños en comparación con 2d. [Respuesta:] 𝐶=

4𝜋𝜖 1 1 1 + − 𝑎 𝑏 𝑑

198

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

5. CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS En este capítulo se estudian los campos magnéticos estáticos de corrientes estables y los campos electromagnéticos de corrientes que varían con relativa lentitud (baja frecuencia) en el tiempo. La ley de Ampére se aplica a configuraciones de corriente simétrica y a circuitos magnéticos que contienen núcleos de alta permeabilidad, para obtener sus campos magnéticos. 5.1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera para B estáticos En la sección 4-1 se señaló que se requieren campos magnéticos estáticos para satisfacer las ecuaciones de Maxwell (4-3) y (4-4) ∇ ⋅ 𝐁 = 0 ⇝ (5 − 1) ∇ × 𝚮 = 𝐉 ⇝ (5 − 2) La propiedad (5-1) de no divergencia especifica que las líneas de flujo B siempre están cerradas, en tanto que (5-2) expresa que las fuentes de campos magnéticos estáticos son corrientes estables de densidad 𝐉. La propiedad sin divergencia de cualquier distribución de corriente directa en el espacio está más asegurada por (4-22) ∇ ⋅ 𝐉 = 0 ⇝ (5 − 3) aunque esta propiedad de la corriente directa no es independiente de las ecuaciones de Maxwell, debido a que (5-3) es una consecuencia de tomar la divergencia de (5-2). Las tres ecuaciones diferenciales anteriores tienen integrales correspondientes dadas por las versiones estáticas de (3-49), (3-66) y (4-20) como sigue: ∮ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = 0 ⇝ (5 − 4) 𝑆

∮ 𝚮 ⋅ 𝑑ℓ = 𝑖 ⇝ (5 − 5) ℓ

∮ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 = 0 ⇝ (5 − 6) 𝑆

199

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

en tanto que la relación constitutiva entre B y H en cualquier punto, para los materiales lineales homogéneos e isotrópicos considerados en este capítulo, está dada por (3-64c) 𝐁 = 𝜇𝚮 ⇝ (5 − 7) En el capítulo 3 se desarrollo las condiciones de frontera para campos magnéticos bajo la suposición general de variaciones en el tiempo para los campos, aunque se mantienen sin cambio bajo condiciones estáticas. Asignadas por (3-50), (3-71) y (4-104) como sigue: 𝐵𝑛1 − 𝐵𝑛2 = 0 ⇝ (5 − 8) 𝐻𝑡1 − 𝐻𝑡2 = 0 ⇝ (5 − 9) 𝐽𝑛1 − 𝐽𝑛2 = 0 ⇝ (5 − 10) que aseguran la continuidad de las componentes normales de los campos estáticos B y 𝐉 en cualquier interacción, al igual que las componentes tangenciales de H. La presencia de una corriente en una región finitamente conductora implica la presencia de un campo E, a la vista de la relación (3-7) de que 𝐉 = 𝜎𝐄, que da la posibilidad de acoplar el campo magnético estático con un campo electrostático. 5.2. Ley Circuital de Ampére En la sección 1-9 se estudió inicialmente la ley Circuital de Ampére para el campo magnético estático en el espacio vacío. La definición (3-58) del campo H tomó en cuenta la presencia de un material magnético con permeabilidad 𝜇 en la región de interés; en este caso la ley queda como ∮ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ = 𝑖 ⇝ (5 − 5) ℓ

La Figura 5-1 ilustra (5-5) relativa a un conductor que lleva una corriente estable 𝐼. Por tanto, la integral de línea de H alrededor de la trayectoria cerrada ℓ1 , da el valor cero debido a que la corriente 𝑖 encerrada es cero. Por otra parte, la corriente que perfora a 𝑆2 es precisamente la corriente 𝐼 que transmite el conductor, en tanto que 𝑖 = 0 para la trayectoria ℓ3 , debido a 200

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

que la corriente fluye tanto hacia adentro como hacia afuera de 𝑆3 para proporcionar a 𝑖 contribuciones que se cancelan.

Figura 5-1. Se muestran caminos cerrados típicos ℓ1 , ℓ2 𝑦 ℓ3 escogidos para ilustrar la ley de Ampére y la interpretación de la corriente 𝑖.

Dos interpretaciones importantes de la ley circuital de Ampére: 1. Las fuentes de corriente estable poseen distribuciones de líneas de flujo magnético que, en las posiciones en el espacio cerca de las fuentes, están dirigidas de acuerdo con la regla de la mano derecha. 2. La ley circuital de Ampére se utiliza como la base para encontrar el campo H (y por tanto B) de una corriente estable si la simetría física del problema permite deducir el campo deseado de la integral.

En los ejemplos 1-5, 1-6 y 3-4 se muestran 2 aplicasiones para encontrar los campos magnéticos estáticos de sistemas que exhiben simetrías simples. Aquí se dan ejemplos adicionales que comprenden a conductores arrollados alrededor de materiales magnéticos de formas simétricas. Ejemplo 5-1. Dos conductores largos circulares y coaxiales llevan la corriente estable 𝐼 como se muestra en la figura 5-2. Suponer densidades constantes de corriente en cada sección transversal de conductor. La región 𝑎 < 𝜌 < 𝑏 está llena con un material magnético de permeabilidad constante 𝜇; la región 𝑏 < 𝜌 < 𝑐 es aire. Encontrar B y H en las dos regiones. Dibujar sus gráficas contra 𝜌, suponiendo 𝜇 = 100𝜇0 .

201

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

De la simetría y la aplicación de la regla de la mano derecha, el campo magnético está dirigido hacia 𝜙 en todas partes, es decir, 𝚮 = 𝐚𝜙 𝐻𝜙 . La ley de Ampére (5-5) aplicada a una trayectoria simétrica ℓ de radio 𝜌 (que se muestra en la región 1) da: ∮ (𝐚𝜙 𝐻𝜙 ) ⋅ 𝐚𝜙 𝑑ℓ = 𝐻𝜙 ∮ 𝑑ℓ = 𝐼 ℓ

ℓ

y debido a que ∮ 𝑑ℓ = 2𝜋𝜌 al despejar 𝐻𝜙 se encuentra 𝐇 = 𝐚𝜙 𝐻𝜙 = 𝐚𝜙

𝐼 ⇝ (5 − 11) 2𝜋𝜌

Este resultado es independiente de 𝜇, lo que quiere decir que se aplica tanto a la región 1 magnética como a la región 2 de aire. Por tanto, el campo B en cada región se encuentra sustituyendo (5-11) en (5-7) 𝜇𝐼 ; 𝑎<𝜌<𝑏 2𝜋𝜌 ⇝ (5 − 12) 𝜇0 𝐼 𝐁 = 𝐚𝜙 ; 𝑏<𝜌<𝑐 2𝜋𝜌

𝐁 = 𝐚𝜙

Estos resultados muestran que si la región 1 tiene permeabilidad 𝜇 = 100𝜇0 , 𝐵𝜙 justo dentro de la región magnética (en 𝜌 = 𝑏−) seria 100 veces más denso que del lado del aire, como lo ilustra la curva sólida de la figura 5-2(b). Por tanto, casi todo el flujo de B está dentro del material magnético, si 𝜇 ≫ 𝜇0 .

Figura 5-2. Línea coaxial llenada parcialmente con material magnético. (a) Vista en corte de la línea. (b) Campos producidos por 𝐼.

Ejemplo 5-2. Suponga que se llena una bobina toroidal de sección transversal rectangular de 𝑛 vueltas arrolladas estrechamente, con un material magnético de permeabilidad constante 𝜇 desde 𝑎 a 𝑏 como en la figura 5-3(a). Con una corriente 𝐼 en la bobina, encontrar B y H en las dos regiones; dibujar sus magnitudes relativas si 𝜇 = 100𝜇0 para el material magnético. Comparar el flujo magnético 𝜓m total en el núcleo si es todo aire contra el que se obtiene si todo el material es magnético, suponiendo 𝜇 = 100𝜇0 .

202

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

De la simetría, es evidente que la ley de Ampére es útil para encontrar H; se escoge ℓ como un círculo con el radio 𝜌 que se muestra en la figura 5-3. De la simetría y de la regla de la mano derecha, H debe de estar en dirección de 𝜙 y debe de ser de magnitud constante en ℓ Entonces, la ecuación (5-5) da ∮ (𝐚𝜙 𝐻𝜙 ) ⋅ 𝐚𝜙 𝑑ℓ = 𝐻𝜙 ∮ 𝑑ℓ = 𝑛𝐼 ℓ

ℓ

de donde 𝐻𝜙 =

𝑛𝐼 ⇝ (5 − 13) 2𝜋𝜌

Usando (5-7), B en las regiones magnética y del aire del núcleo queda como 𝐁 = 𝐚𝜙 𝐵𝜙 = 𝐚𝜙 𝐁 = 𝐚𝜙 𝐵𝜙 = 𝐚𝜙

𝜇𝑛𝐼 2𝜋𝜌 𝜇0 𝑛𝐼 2𝜋𝜌

𝑎<𝜌<𝑏 ⇝ (5 − 14) 𝑏<𝜌<𝑐

En la figura 5-3(b) se muestra las gráficas de estas cantidades. Si todo el núcleo es de aire, el flujo 𝐁 total en el queda 𝑑

𝜓m = ∫ 𝑆(nucleo)

𝚩 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑧=0

𝑐

𝜇0 𝑛𝐼 𝜇0 𝑛𝐼𝑑 𝑐 𝑑𝜌 𝑑𝑧 = ℓ𝑛 2𝜋 𝑎 𝜌=𝑎 2𝜋𝜌

∫

Para un núcleo completamente magnético, en la respuesta anterior aparecería 𝜇 = 100𝜇0 en vez de 𝜇0 , demostrando el posible aumento considerable en el flujo magnético si se utiliza un núcleo de hierro.

Figura 5-3. Un toroide de sección transversal rectangular, llenado parcialmente con un material magnético. (a) Dimensiones de toroide. (b) Campos internos.

203

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

5.3. Circuitos magnéticos Un material magnético de gran permeabilidad ayuda a producir grandes cantidades de flujo magnético. De (5-1) es evidente que los campos magnéticos físicos siempre deben de consistir en líneas cerradas de flujo. Al limitar el flujo de B para que ocupe el interior de trayectorias cerradas (o casi cerradas) de material magnético, se tiene a circuitos magnéticos con referencia a esas trayectorias cerradas.

Figura 5-4. Desarrollo de conceptos de circuito magnético. (a) Núcleo toroidal con devanado arrollado apretadamente. (b) Con un devanado localizado, que muestra el flujo de escape. (c) Un circuito magnético generalizado: se desprecia el flujo de escape.

La figura 5-4(a) muestra un circuito magnético idealizado: Un devanado toroidal arrollado apretadamente que establece un campo magnético dentro del mismo, esencialmente sin flujo magnético fuera del núcleo, sin importar que el material de éste sea magnético o no. Si el devanado está localizado en el núcleo como en (b) el efecto de un material de alta permeabilidad (𝜇 ≫ 𝜇0 ) es tal que el flujo magnético 𝜓m generado por la corriente 𝐼 en la bobina todavía aparece casi completamente dentro de los límites del propio núcleo. El flujo magnético debe de consistir en líneas cerradas como lo requiere la propiedad de la divergencia (5-1) y debido a la restricción que proporciona la ley de la refracción (3-76) (que requiere que el flujo de B salga de la superficie del núcleo magnético de alta permeabilidad muy próximo a la perpendicular) se llega a la conclusión de que fuera del núcleo aparece muy poco flujo de escape si la permeabilidad de aquél es suficientemente grande. Entonces, en núcleos ferromagnéticos que tienen permeabilidades relativas de 10 2 a 104 o más, normalmente, se desprecia el flujo de escape desarrollado externo al núcleo. La determinación analítica del flujo

204

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

de escape generalmente requiere una solución rigurosa del problema del valor de frontera del sistema magnético; en general, es un proceso difícil. Para los fines inmediatos con relación a circuitos magnéticos como en la figura 5-4, se supone que el núcleo magnético es lineal, homogéneo e isotrópico; más aún, se ignora el flujo de escape, lo que implica un flujo 𝜓𝑚 constante a través de cualquier sección transversal en un núcleo de una sola trayectoria. Este flujo es 𝜓m = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 [Wb] ⇝ (5 − 15) 𝑠

si S es cualquier sección transversal. La necesidad de conocer B en cada punto en la sección transversal es obvia, si 𝜓m esta en función de una densidad promedio de flujo; 𝛣prom sobre S; 𝜓m = 𝐵av 𝐴 ⇝ (5 − 16) suponiendo que 𝛣 prom es tangente a una línea media ℓ, como en la figura 5-4(c) Incluso para un toroide de sección transversal constante, la línea media no estará precisamente en el centro del núcleo, recordando las soluciones que se obtuvieron en el ejemplo 5-2, la dependencia inversa en 𝜌 de 𝐵𝜙 en el núcleo. A continuación, se supone que 𝛣 prom está en el centro de la sección transversal del núcleo; se considera que la línea media ℓ es la línea del centro del mismo. Entonces (5-16) se constituye aproximadamente si el núcleo es delgado. Para encontrar el flujo 𝜓m desarrollado por la corriente 𝐼 en el núcleo del circuito magnético sencillo de la figura 5-4(c) se aplica la ley de Ampére a la trayectoria media ℓ; es decir, ∮ 𝚮 ⋅ 𝑑ℓ = 𝑛𝐼 [A] ℓ

en donde 𝑑ℓ = 𝐚ℓ 𝑑ℓ y 𝚮 = 𝐁/𝜇 = 𝐚ℓ 𝐵av /𝜇. Usando (5 − 16) ∮ (𝐚ℓ ℓ

𝜓m ) ⋅ 𝐚ℓ 𝑑ℓ = 𝑛𝐼 𝜇𝐴(ℓ)

En el caso generalizado, el área transversal 𝐴 del núcleo es una variable que dependa de la posición a lo largo de la trayectoria media ℓ, y se designa como 𝐴(ℓ). El flujo 𝜓m del núcleo 205

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

a través de cualquier sección transversal a lo largo de ℓ es constante si se desprecia el flujo de escape, de donde se obtiene 𝜓m =

𝑛𝐼 [Wb] ⇝ (5 − 17) 𝑑ℓ ∮ℓ 𝜇𝐴(ℓ)

Figura 5-5. Analogías de circuitos magnéticos y eléctricos de CD. El flujo de escape se desprecia en el circuito magnético. (a) Circuito magnético. La fuente 𝑛𝐼, genera flujo magnético. (b) Circuito eléctrico. La fuente V genera flujo de corriente.

Entonces, se ve que (5-17) es análoga a la ley de Ohm (4-132), aplicable al circuito delgado de CD de la figura 4-20 y reproducido en la figura 5-5(b). La cantidad ∮ℓ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ = 𝑛𝐼 en el numerador de (5-17) se le llama fuerza magnetomotriz, análoga al voltaje aplicado 𝑉 (fuerza electromotriz) en la figura 5-5(b). Al denominador, se denota como la reluctancia del circuito magnético, se le da el símbolo ℛ: ℛ=∮ ℓ

𝑑ℓ [A/Wb] ó [Η−1 ] ⇝ (5 − 18) 𝜇𝐴(ℓ)

es una cantidad análoga a (4-133), la resistencia 𝑅 del circuito eléctrico de CD. Su recíproco (análogo a la conductancia) se conoce como la permeancia del circuito magnético. Si el núcleo magnético tiene una sección transversal constante A y permeabilidad constante 𝜇, la reluctancia (5-18) se reduce a ℛ = ℓ/𝜇𝐴, de donde (5-17) da el resultado especial para el flujo del núcleo 206

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝜓m =

𝑛𝐼 𝑛𝐼 = Una sola trayectoria; 𝐴, 𝜇 constantes ⇝ (5 − 19) ℓ ℛ 𝜇𝐴

Este resultado se aplica al circuito magnético de la figura 5-4(b) despreciando el flujo de escape y suponiendo un núcleo razonablemente delgado. Muchos circuitos magnéticos generales estan constituidos por arreglos en serie de materiales magnéticos como en la figura 5-6. También se incluye un espacio angosto de aire (de longitud ℓ𝑔 ) en el diseño de relevadores y en la linealización de inductores de núcleo de hierro, o un espacio podría ser una necesidad mecánica como en un motor o generador. Para el sistema en serie de la figura 5-6(a) al aplicar la integral (5-18) de la reluctancia a las porciones sucesivas ℓ1 , ℓ2 , ℓ3 , y ℓ𝑔 en las que son constantes las permeabilidades y secciones transversales se obtiene ℛ=

ℓ1 𝜇1 𝐴1

+

ℓ2 𝜇 2 𝐴2

+

ℓ3 𝜇 3 𝐴3

+

ℓ𝑔 𝜇0 𝐴𝑔

= ℛ1 + ℛ2 + ℛ3 + ℛ𝑔 ⇝ (5 − 20)

En el término de reluctancia ℛ𝑔 de espacio de aire se desprecian los efectos de borde de campo cerca de los bordes para un espacio pequeño. Entonces se halla el flujo magnético en el circuito utilizando (5-17).

Figura 5-6. Ejemplos de circuitos magnéticos en serie y sus analogías con circuitos eléctricos. (a) Un circuito magnético en serie y su análogo con circuito eléctrico. (b) Una configuración rectangular de materiales de alta permeabilidad.

207

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

En (5-20), por lo general la permeabilidad 𝜇0 del espacio de aire es mucho más pequeña que 𝜇1 , 𝜇2 , y 𝜇3 de los materiales magnéticos en un circuito magnético. Esto significa que incluso para un espacio pequeño de aire, el término de la reluctancia frecuentemente es de varios órdenes de magnitud mayor que la reluctancia del resto del circuito. En tal caso, una buena aproximación es que el flujo del núcleo se determina esencialmente sólo por la reluctancia del espacio de aire; es decir, ℛ ≅ ℛ𝑔 . Por razones prácticas, para los problemas de fabricación, comúnmente se utilizan núcleos magnéticos de forma rectangular, como en la figura 5-6(b) en dispositivos como relevadores, inductores o bobinas y transformadores. Las aproximaciones del concepto del circuito magnético se hacen mayores en esas configuraciones debido a la dificultad de asignar longitudes medias correctas a las diversas ramas del rectángulo, especialmente si las secciones transversales son grandes en comparación con las dimensiones globales del núcleo.

Figura 5-7. Circuitos magnéticos de dos redes y sus análogos con circuitos eléctricos. (a) Un circuito magnético de dos redes y su análogo de circuito eléctrico. (b) Una variación de (a).

Se aplica la teoría de los circuitos magnéticos a los sistemas que tengan más de una trayectoria magnética usando la analogía del circuito eléctrico, como se ilustra en la figura 57. Debido a que los flujos se dividen entre las ramas del circuito magnético, tal como lo hacen las corrientes en un circuito eléctrico de CD, se ve al escribir la ley de Ampére alrededor de las dos redes magnéticas de la figura 5-7(a) por ejemplo, da las siguientes ecuaciones: 𝑛𝐼 = ℛ1 𝜓m1 + ℛ2 𝜓m2 ⇝ (5 − 21) 0 = −ℛ3 (𝜓m1 − 𝜓m2 ) + ℛ2 𝜓m2 208

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

en dónde se encuentran ℛ1 , ℛ2 , ℛ3 de las trayectorias medias ℓ1 , ℓ2 , ℓ3 en la figura 5-7(a). Para materiales lineales de núcleo, se desarrolla (5-21) simultáneamente para encontrar los flujos magnéticos 𝜓m1 y 𝜓m2 . El flujo de escape como la asignación de trayectorias medias afectan la exactitud del análisis de los circuitos magnéticos a través de métodos de reluctancia, igual que las curvas de B-H no lineales de los materiales ferromagnéticos. Como se ve en la figura 3-13, la no linealidad requiere que la permeabilidad se exprese en función del campo H en el núcleo, o 𝜇(𝐻 ). Por otra parte, no se encontra H hasta que se haya asignado un valor de 𝜇 al circuito (o valores de 𝜇 a sus ramas). En tales problemas, frecuentemente tienen éxito los procesos iterativos. Por tanto, si se supone un valor de prueba del flujo magnético para el circuito, se halla el valor de 𝜇 entonces se utiliza esté resultado para determinar. Un nuevo valor del flujo magnético. Este proceso se repite hasta obtener la exactitud deseada de la respuesta. Ejemplo 5-3. Un núcleo toroidal de fierro, de sección transversal cuadrada con espacio de aire de 2 [mm] y con 100 vueltas tiene las dimensiones mostradas. Suponer que el fierro tiene la constante 𝜇 = 1000𝜇0 . Encontrar (a) las reluctancias de la trayectoria de fierro y el espacio de aire y (b) el flujo total en el circuito si 𝐼 = 100 [mA]. (a) La reluctancia de la trayectoria del fierro, cuya longitud media es ℓ1 ≅ 2𝜋(0.05) = 0.314 [m] y área transversal 𝐴1 = 4 × 10−4 [m2 ], es ℛ1 ≅

ℓ1 𝜇1 𝐴1

=

0.314 − 0.002 = 0.621 × 106 [Η −1 ] × 10−7 )4 × 10−4

103 (4𝜋

Ejemplo 5-3

Suponiendo que no hay efectos de borde, la reluctancia del espacio de aire queda como

209

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

ℛ𝑔 =

ℓ𝑔 𝜇0 𝐴1

=

0.002 = 3.98 × 106 [Η −1 ] 4𝜋 × 10−7 (4 × 10−4 )

(b) El flujo magnético está dado por (5-17), es decir, la fuerza magnetomotriz 𝑛𝐼 de la bobina dividida entre la reluctancia del circuito en serie. 𝜓m =

𝑛𝐼 102 (0.1) = = 2.18 × 10−6 [Wb] ℛ1 + ℛ𝑔 4.6 × 106

Sin espacio de aire, 𝜓m está limitado solamente por la reluctancia ℛ1 de la trayectoria de fierro, lo que la hace 𝜓m = 15.97 × 10−6 [Wb]

5.4. Potencial vectorial magnético En la sección 4-4 se demostró la forma como la propiedad irrotacional (4-2) del campo estático E permite expresar a E, como el gradiente de alguna función Φ de potencial escalar auxiliar a través de (4-27). También se demostró la manera de hallar Φ utilizando (4-31a) integrada sobre las fuentes 𝜌𝑣 de carga libre. Un enfoque equivalente para determinar campos magnéticos estáticos es utilizar también un campo de potencial auxiliar, en este caso un vector. Notando que cualquier campo B tiene la propiedad solenoidal (5-1), es decir ∇ ⋅ 𝐁 = 0, 𝐁 se expresa en función de una función vectorial auxiliar A mediante la relación de rotacional 𝐁 = ∇ × 𝐀 ⇝ (5 − 22) y por la identidad vectorial ∇ ⋅ (∇ × 𝐅) = 0, entonces se tiene ∇ ⋅ (∇ × 𝐀) = 0. A la función A definida por (5-22) se le llama campo de potencial vectorial magnético. El potencial vectorial magnético A está relacionado con las fuentes de densidad de corriente estables 𝐉 responsables del campo B como sigue. En un problema de campo magnético, estático, satisface el campo H la relación ∇ × 𝐇 = 𝐉. También se escribe ∇ × 𝐁 = 𝜇𝐉 ⇝ (5 − 23) para una región en donde 𝜇 es constante; sustituyendo (5-22) por B en (5-23) se tiene ∇ × (∇ × 𝐀) = 𝜇𝐉 ⇝ (5 − 24)

210

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Esta ecuación diferencial vectorial se simplifica utilizando la identidad vectorial (2-67a) ∇ × (∇ × 𝐀) = ∇(∇ ⋅ 𝐀) − ∇2 𝐀 ⇝ (5 − 25) Es necesario especificar tanto el rotacional como la divergencia del potencial A para asegurar su carácter único. El rotacional está dado por (5-22) y todavía no se ha asignado div 𝐀 que aparece en (5-25). Suponiendo que ∇ ⋅ 𝐀 = 0 entonces ∇ × (∇ × 𝐀) se remplaza en (5-24) con −∇2 𝐀 para obtener ∇2 𝐀 = −𝜇𝐉 ⇝ (5 − 26) Este resultado, que a veces se conoce como la ecuación vectorial de Poisson debido a su similitud con (4-63), es una ecuación diferencial lineal no homogénea que relaciona A con sus fuentes 𝐉, con 𝜇 como una constante en la región en cuestión. La ecuación (5-26) es útil debido a la disponibilidad de varios métodos para encontrar sus soluciones. 5.5. Una solución integral para A en el espacio vacío; ley de Biot-Savart Se deduce una solución integral de (5-26) como sigue, suponiendo una región no limitada de espacio vacío (𝜇 = 𝜇0 ). En coordenadas cartesianas, el lado izquierdo de (5-26) se escribe, usando (2-63) ∇2 𝐀 = 𝐚𝑥 ∇2 𝐴𝑥 + 𝐚𝑦 ∇2 𝐴𝑦 + 𝐚𝑧 ∇2 𝐴𝑧 de donde (5-26) se constituye en las tres ecuaciones diferenciales escalares ∇2 𝐴𝑥 = −𝜇0 𝐽𝑥 ; ∇2 𝐴𝑦 = −𝜇0 𝐽𝑦 ; ∇2 𝐴𝑧 = −𝜇0 𝐽𝑧 ⇝ (5 − 27) Cada una de estas últimas es análoga a la ecuación (4-63) de Poisson ∇2 Φ = −

𝜌𝑣 ⇝ (4 − 63) 𝜖

cuya solución integral en el espacio libre no limitado (𝜖 = 𝜖0 ) y que contiene una carga estática de densidad 𝜌𝑣 , se ha demostrado que es (4-31a)

211

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝜌𝑣 (𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) 𝑑𝑣´ ⇝ (4 − 31a) 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑣

Φ(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫

Por tanto, las soluciones análogas de las tres ecuaciones diferenciales escalares (5-27) en el espacio vacío son: 𝜇0 𝐽𝑥 (𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) 𝑑𝑣´ 4𝜋𝑅 𝑉

𝐴𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫

𝜇0 𝐽𝑦 (𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) 𝑑𝑣´ 4𝜋𝑅 𝑉

𝐴𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫

𝜇0 𝐽𝑧 (𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) 𝑑𝑣´ 4𝜋𝑅 𝑉

𝐴𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫

Sumando estas tres integrales vectorialmente se obtiene la solución integral de (5-26) 𝜇0 𝐉(𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) 𝑑𝑣´ [Wb/m] ⇝ (5 − 28a) 4𝜋𝑅 𝑣

𝐀(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫

El significado de 𝑅 en (5-28a) es el mismo que en (4-31a); denóta la distancia desde el punto de fuente 𝑃´ hasta el punto 𝑃 del campo en que se debe de encontrar A. Una vez obtenido A por medio de (5-28a), del rotacional de A se obtiene el campo B correspondiente, utilizando (5-22). En la figura 5-8 se muestra la geometría de un sistema con fuentes de corriente de densidad 𝐉 que producen el potencial vectorial magnético A dado por (5-28a). Note que el integrando de (5-28a) es una diferencial 𝑑𝐀 dada por 𝑑𝐀(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) =

𝜇0 𝐉(𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) 𝑑𝑣´ 4𝜋𝑅

de donde se ve que la fuente de corriente 𝐉 𝒅𝒗´ en el punto típico de la fuente 𝑃´(𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) produce en cualquier punto P fijo del campo una contribución vectorial 𝑑𝐀 paralela al elemento 𝐉 𝑑𝑣´ Más aún, la magnitud de su influencia en 𝑃 es inversamente proporcional a la distancia 𝑅. En la figura 5-8(a) están ilustradas estas relaciones. 212

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

En caso de una corriente de superficie (lámina de corriente) o una corriente de línea, como se ve en las figuras 5-8(b) y (c) (5-28a) se reduce a las siguientes integrales de superficie y de línea: 𝐀(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫ 𝑠

𝜇0 J𝑠 (𝑢1 ´, 𝑢2 ´, 𝑢3 ´) 𝑑𝑠´ ⇝ (5 − 28b) 4𝜋𝑅

𝐀(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫ ℓ

𝜇0 𝐼𝑑ℓ´ ⇝ (5 − 28c) 4𝜋𝑅

En la práctica, las corrientes estables de superficie y de línea están aproximadas por corrientes físicas que fluyen en conductores laminares delgados o en alambres delgados. Los resultados de potencial magnético vectorial (5-28a, b, c) se comparan con los resultados análogos (4-31a, b, c) para los campos de potencial eléctrico escalar de las distribuciones de cargas estáticas.

Figura 5-8. Tres tipos de distribuciones de corriente estable en el espacio. (a) Distribuciones de volumen de los elementos 𝑱 𝑑𝑣´. (b) Distribución superficial de los elementos 𝑱𝒔 𝑑𝑠´. (c) Distribución lineal de los elementos 𝑱 𝑑𝑣´ → 𝑰 𝑑ℓ´.

Ejemplo 5-4. Encontrar el potencial vectorial magnético en el plano que biseca un pedazo recto de alambre delgado de longitud finita 2𝐿 en el espacio vacío, suponiendo una corriente directa 𝐼. Encontrar B a partir de A. El punto fijo del campo está en el plano 𝑧 = 0 en 𝑃(𝜌, 0, 0). El elemento típico de fuente de corriente en 𝑃´(0, 0, 𝑧´) es 𝐼𝑑ℓ´ = 𝐚𝑧 𝐼𝑑𝑧´, y 𝑅 desde 𝑃´ hasta 𝑃 es 𝑅 = √𝜌 2 + (𝑧´)2 , poniendo la integral de línea (5-28c) en la forma

213

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS 𝐿

𝐀(𝜌, 0, 0) = ∫

𝜇0 𝐚𝑧 𝐼𝑑𝑧´

𝑧´=−𝐿 4𝜋√𝜌

2

+ (𝑧´)2

El vector unitario 𝐚𝑧 tiene la misma dirección en todas las 𝑃´, para evaluar los efectos en 𝑃. 𝐿 𝜇0 𝐼 𝐿 𝑑𝑧´ 𝜇0 𝐼 𝐀 = 𝐚𝑧 ∫ = 𝐚𝑧 [ℓ𝑛(𝑧´ + √𝜌 2 + (𝑧´)2 )] 4𝜋 −𝐿 √𝜌 2 + (𝑧´)2 4𝜋 −𝐿

= 𝐚𝑧

𝜇0 𝐼 √𝐿2 + 𝜌 2 + 𝐿 ℓ𝑛 ⇝ (5 − 29) 4𝜋 √𝐿2 + 𝜌 2 − 𝐿

Se encuentra B en 𝑃 utilizando (5-22) en coordenadas circulares cilindricas 𝐚𝜌 𝜌 | 𝐁= ∇×𝐀 = 𝜕 | 𝜕𝜌 0

𝐚𝜙

𝐚𝑧 𝜌

0

𝜕𝐴𝑧 𝜇0 𝐼 𝐿 | = −𝐚𝜙 = 𝐚𝜙 ⇝ (5 − 30) 0| 𝜕𝜌 2𝜋𝜌 √𝐿2 + 𝜌 2

0

𝐴𝑧

Para 𝜌 ≪ 𝐿, (5-30) se simplifica a 𝐁=

𝜇0 𝐼 𝐚 ⇝ (5 − 31) 2𝜋𝜌 𝜙

Un resultado casi correcto cuando está próximo a un alambre de longitud finita, o correcto a cualquier distancia 𝜌 para un alambre infinitamente largo. En el ejemplo 1-5, (5-31) concuerda con (1-34).

Figura 5-9. Geometría de un alambre delgado que lleva una corriente estable 𝐼.

Ejemplo 5-5. Encontrar los campos A y B de una espira de alambre delgado de radio 𝑎 que lleva una corriente estable 𝐼. como en la figura 5-10(a) Hacer aproximaciones para proporcionar respuestas válidas a grandes distancias respecto de la espira (suponer 𝑎 ≪ 𝑟). Sin restar de la generalidad, se localiza directamente el punto 𝑃 del campo sobre del eje de las 𝑦 como se muestra en la figura 5-10(b). El campo A en 𝑃 está dado por (5-28c), donde 𝐼𝑑ℓ´ = 𝐚𝜙 𝐼𝑎 𝑑𝜙´. La dirección variable de 𝐚𝜙 en el integrando se maneja agrupando por pares los

214

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

efectos de los elementos de corriente 𝐼𝑑ℓ1´ y I𝑑ℓ´2 en las ubicaciones simétricas alrededor del eje de las 𝑦 de la figura 5-10(b) De la geometría, 𝐼𝑑ℓ1´ = 𝐚𝜙 𝐼𝑎 𝑑𝜙´ = (−𝐚𝑥 sin 𝜙´ + 𝐚𝑦 cos𝜙´)𝐼𝑎 𝑑𝜙´ 𝐼𝑑ℓ´2 = (−𝐚𝑥 sin 𝜙´ − 𝐚𝑦 cos 𝜙´)𝐼𝑎 𝑑𝜙´

⇝ (1)

para proporcionar una cancelación de las componentes de 𝑦 a las contribuciones potenciales del par de elementos en 𝑃, lo que deja un 𝑑𝐀 neto en 𝑃, en dirección de −𝑥. Por tanto, (5-28c) queda como 𝜋 2

−𝐴𝑥 = 𝐴𝜙 = 2 ∫

𝜋 𝜙´=− 2

𝜇0 𝐼𝑎 sin 𝜙´ 𝑑𝜙´ ⇝ (2) 4𝜋𝑅

Figura 5-10. Espira circular que muestra la geometría en coordenadas esféricas adoptadas para encontrar el campo magnético estático en 𝑃. (𝑎) Espira circular que lleva una corriente 𝐼. (𝑏) Utilización de la geometría para obtener los campos en 𝑃.

𝑎2

De la ley de los cosenos aplicada al triángulo 𝑃0𝑃´ en la figura, 𝑅 2 = 𝑎2 + 𝑟 2 − 2𝑎𝑟 cos𝛼 = + 𝑟 2 − 2𝑎𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙´. Si 𝑟 ≫ 𝑎, se aproxima utilizando el teorema del binomio, 1/2 𝑎 𝑎 𝑅 ≅ 𝑟 [1 − 2 sin 𝜃 sin 𝜙´] ≅ 𝑟 [1 − sin 𝜃 sin 𝜙´ +. . . ] 𝑟 𝑟

Para 𝑎 pequeña, el recíproco se aproxima en forma semejante 1 1 𝑎 ≅ + sin 𝜃 sin 𝜙´ 𝑅 𝑟 𝑟2 Por tanto, (2) se pone en la forma

215

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS 𝜋

2𝜇0 𝐼𝑎 2 1 𝑎 𝐴𝜙 ≅ ∫ [ + 2 sin 𝜃 sin 𝜙´] sin 𝜙´ 𝑑𝜙´ ⇝ (3) 4𝜋 𝜙´=−𝜋 𝑟 𝑟 2

La integral del término (sin 𝜙´)/𝑟 es cero, de manera que integrando el segundo término se obtiene la respuesta 𝐴𝜙 ≅

𝜇0 𝑎2 𝐼 sin 𝜃 ⇝ (5 − 32) 4𝑟 2

Por ende, tomando 𝐁 = ∇ × 𝐀 en coordenadas esféricas se obtiene 𝐁≅

𝜇0 𝑎2 𝐼 [𝐚𝑟 2 cos𝜃 + 𝐚𝜃 sin 𝜃] ⇝ (5 − 33) 4𝑟 3

si 𝑎 ≪ 𝑟. Se nota la dualidad entre el campo B (5-33) de una pequeña espira portadora de una corriente y el campo eléctrico (4-40) de un pequeño dipolo electrostático, lo que da lugar al nombre dipolo magnético, cuando se hace referencia al campo de una pequeña espira que lleva una corriente estable.

El hecho de tomar el rotacional de (5-28a) da origen a otra expresión integral de espacio vacío para el campo B de una distribución de corriente estática como sigue: 𝜇0 𝐉(𝑢1´ , 𝑢2´ , 𝑢3´ ) 𝑑𝑣´ ⇝ (5 − 34) 4𝜋𝑅 𝑉

𝐁 =∇×𝐀= ∇×∫

Se nota que las diferenciaciones impuestas por el operador en esta expresión son con respecto a las variables (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), del punto del campo, en tanto que la integración se realiza dentro de 𝑉 con respecto a las variables (𝑢1´ , 𝑢2´ , 𝑢3´ ) del punto fuente. En consecuencia, 𝑅 es una función tanto de las variables del punto fuente como del punto del campo, ya que 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥´)2 + (𝑦 − 𝑦´)2 + (𝑧 − 𝑧´)2 , de manera que (5-34) se reduce a 𝜇0 𝐉 ∇ × [ ] 𝑑𝑣´ 𝑅 𝑉 4𝜋

𝐁=∫

donde ∇ × [𝐉/𝑅] se escribe a partir de la identidad vectorial ∇ × (𝑓𝐅) = (∇𝑓 ) × 𝐅 + 𝑓(∇ × 𝐅) 𝐉 1 1 ∇ × [ ] = ∇( ) × 𝐉 + ∇ × 𝐉 𝑅 𝑅 𝑅 El último término es cero debido a que 𝐉 es una función solamente de las variables del punto fuente; más aún, el factor ∇(1/𝑅) se expresa como 216

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

1 𝐚𝑅 ∇( ) = − 2 𝑅 𝑅 si 𝐚𝑅 es un vector unitario que apunta desde 𝑃´ hasta 𝑃. Por tanto, 𝐉 𝐚𝑅 ∇ × [ ] = 𝐉 × ( 2) 𝑅 𝑅 para obtener 𝜇0 𝐉 × 𝐚𝑅 𝑑𝑣´ ⇝ (5 − 35a) 2 𝑉 4𝜋𝑅

𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫

Esta integral para B, expresada directamente en función de la distribución 𝐉 de corriente estática en el espacio vacío, se conoce como la ley de Biot-Savart. Proporciona otro enfoque a la obtención de los campos magnéticos de las distribuciones de corriente estática en el espacio vacío. La figura 5-11 muestra la geometría relativa a (5-35a), que ilustra un sistema de corriente estable con densidades 𝐉, y un punto 𝑃 típico de campo en el que se encuentra B mediante (5-35a). La contribución diferencial 𝑑𝐁 está dada por el integrando de (5-35a) 𝑑𝐁 =

𝜇0 𝐉 × a 𝑅 𝑑𝑣´ 4π𝑅2

significa que 𝑑𝐁 contribuida en 𝑃 por 𝐉 𝑑𝑣´ es mutuamente perpendicular tanto al vector 𝐉 del elemento de corriente como al vector unitario 𝐚𝑅 , como se muestra en la Figura 5-11.

Figura 5-11. Una distribución de volumen de las corrientes, que muestra la contribución 𝑑𝑩 de un elemento típico de corriente 𝑱 𝑑𝑣´ a partir de la ley de Biot-Savart.

217

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Es fácil obtener los casos particulares de la ley de Biot-Savart a corrientes de superficie o de línea. De esa manera, si se contrae la corriente de volumen de la figura 5-11 a un filamento delgado dé sección transversal despreciable, sustituyendo 𝐉 𝑑𝑣´ → 𝐼𝑑ℓ´ en (5-35a) se obtiene 𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫ ℓ

𝜇0 𝐼𝑑ℓ´ × 𝐚𝑅 [T] ⇝ (5 − 35b) 4𝜋𝑅2

Ejemplo 5-6. Utilizar la ley de Biot-Savart para encontrar el campo B del alambre delgado de longitud 2𝐿 que lleva una corriente estable, como se da en el ejemplo 5-4. Es aplicable la forma (5-35b) de la ley. En el sistema circular cilíndrico como se muestra en la Figura 5-12, 𝐼 𝑑ℓ´ = 𝐚𝑧 𝐼 𝑑𝑧´, en tanto, que 𝐚𝑅 se descompone en componentes como sigue: 𝐚𝑅 = 𝐚𝜌 sin 𝛼 − 𝐚𝑧 cos𝛼 = 𝑅 −1 (𝐚𝜌 𝜌 − 𝐚𝑧 𝑧´). Con 𝑅 = √𝜌 2 + (𝑧´)2 , (5-35b) queda como 𝐿

𝜇0 𝐼 (𝐚𝑧 𝑑𝑧´) × (𝐚𝑧 𝜌 − a𝑧 𝑧´) 𝜇0 𝐼𝜌 𝐿 𝑑𝑧´ = 𝐚 ∫ 𝜙 2 2 3/2 2 [𝜌 + (𝑧´) ] 4𝜋 −𝐿 [𝜌 + (𝑧´)2 ]3/2 𝑧´=−𝐿 4𝜋

𝐁=∫

e integrando se obtiene 𝐿

𝐁 = 𝐚𝜙

𝜇0 𝐼 𝑧´ 𝜇0 𝐼 𝐿 [ ] = 𝐚𝜙 ⇝ (5 − 36) 4𝜋𝜌 √𝜌 2 + (𝑧´)2 4𝜋𝜌 √𝜌 2 + 𝐿2 −𝐿

Próximo a un alambre de longitud finita (𝜌 ≪ 𝐿), o para un alambre infinitamente largo (536) se reduce a 𝐁 = 𝐚𝜙

𝜇0 𝐼 ⇝ (5 − 37) 2𝜋𝜌

resultados que son congruentes con los del ejemplo 5-4.

Figura 5-12. Geometría del alambre recto de longitud 2𝐿, utilizando la ley de Biot-Savart para encontrar B.

218

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

5.6. Campos electromagnéticos cuasiestáticos Hasta ahora se consideraron sólo campos magnéticos puramente estáticos asociados con distribuciones de corriente estable. Se requiere que esos campos satisfagan las leyes de Maxwell (5-4) y (5-5) para todas las superficies o líneas cerradas en las regiones en cuestión, o equivalentemente las (5-1) y (5-2). Las condiciones de frontera, que también deben de satisfacerse en todas las interacciones, son (5-8) y (5-9). Si se generalizan las fuentes de corriente al caso variable en el tiempo, entonces sus campos ya no son puramente magnéticos, sino que se hacen electromagnéticos, regidos por las cuatro ecuaciones de Maxwell (3-24), (348), (3-59) y (3-77) en que las condiciones de frontera engloban las relaciones (3-42), (3-50), (3-70) y (3-79). Sin embargo, a veces se emplea con ventaja métodos aproximados conocidos como cuasiestáticos para fuentes de corriente que varían en el tiempo a muy baja frecuencia. En el ejemplo 1-7 ya se dio un caso. Las soluciones cuasiestáticas de campo se denominan como soluciones de primer orden, debido a que no satisfacen exactamente las ecuaciones de Maxwell excepto en el límite de la frecuencia cero. Esta restricción equivale a ignorar la velocidad finita de propagación del campo desde las fuentes hasta los campos vecinos de interés, lo que equivale a ignorar los efectos de radiación de campo. En otra parte se describe un enfoque más completo a las soluciones cuasiestáticas de campo utilizando una representación apropiada de serie de potencias de los campos. A veces, el enfoque cuasiestático a los problemas de campo es el único que proporciona soluciones a un problema de valor de frontera, que de otra manera sería difícil obtener. Tiene aplicaciones en el estudio de los voltajes inducidos en bobinas estacionarias o móviles sumergidas en campos magnéticos que varian o no en el tiempo, al igual que en el desarrollo de la teoría de los circuitos, especialmente con relación a conceptos de autoinductancia e inductancia mutua. Ejemplo 5-7. Demostrar que los campos cuasiestáticos aproximados del solenoide largo, obedecen las ecuaciones (3-59) y (3-77) de Maxwell sólo en el límite del campo estático 𝜔 → 0. 𝐁(𝑡) = 𝐚𝑧 𝐵0 sin 𝜔𝑡

𝐄(𝜌, 𝑡) = −𝐚𝜙

𝜔𝜌𝐵0 cos 𝜔𝑡 ⇝ (1) 2

Probando si estos campos satisfacen (3-77) ∇ × 𝚬 = −𝜕𝐁/𝜕𝑡, se tiene que

219

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐚𝜌 𝜌 | ∇×𝚬 = 𝜕 | 𝜕𝜌 0

𝐚𝜙 0 𝜌𝐸𝜙

𝐚𝑧 𝜌

| = −𝐚𝑧 𝜔𝐵0 cos 𝜔𝑡 ⇝ (2) 0| 0

Lo que revela que tanto B como E de (1) en efecto satisfacen (3-77), lo que es de esperarse debido a que originalmente se obtuvo E utilizando la forma integral de (3-77), pero (1) no satisface la ecuación de Maxwell (3-59), que se reduce a ∇ × 𝚮 = 𝜕𝐃/𝜕𝑡 dentro del solenoide. Esto es evidente al obtener ∇ × 𝚮 = ∇ × (𝐁/𝜇0 ) = 0, ya que B de (1) es independiente de la posición dentro del solenoide, en tanto que 𝜕𝐃/𝜕𝑡 se reduce a 𝜕𝐃 𝜕𝐄 𝜔2 𝜖0 𝐵0 𝜌 = 𝜖0 = 𝐚𝜙 sin 𝜔𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 2 un resultado que se desvanece sólo si 𝜔 → 0. Por tanto, (3-59) únicamente se satisface en el límite del campo estático, aunque si 𝜔 es suficientemente pequeño, prevalece una igualdad aproximada.

Figura 5-13. Configuraciones típicas de transformadores. (a) Bobina primaria de un solenoide largo. (b) Primario de solenoide corto, secundario desplazado lateralmente. (c) Configuración de (b) con núcleo ferromagnético.

5.7. Voltaje inducido en circuito abierto El transformador utiliza la ley de Faraday (3-77) para acoplar la energía electromagnética de un circuito eléctrico a otro a través del campo magnético variable en el tiempo. En la figura 5-13 se muestran diagramas de arreglos físicos típicos. En (a) se muestra la configuración de la figura 1-21(b): una bobina primaria, formada por un solenoide largo, encerrada por una bobina secundaria. Por simplicidad se muestran bobinas secundarias de una sola vuelta; comúnmente se utilizan muchas vueltas para aumentar el voltaje inducido 𝑉(𝑡). También se 220

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

utiliza un núcleo ferromagnético o de ferrita en un arreglo de circuito magnético como en la figura 5-13(c), para aumentar sustancialmente el flujo magnético intersecado por la bobina secundaria. Se demuestra que el voltaje 𝑉(𝑡) desarrollado en un espacio de circuito abierto en la bobina secundaria de un transformador es 𝑉 (𝑡 ) = −

𝑑𝜓m [V] ⇝ (5 − 38) 𝑑𝑡

donde 𝜓m denota el flujo magnético interceptado por la superficie S acotado por el devanado secundario. Suponga que la bobina mostrada en la Figura 5-14(a) transmite una corriente 𝐼(𝑡) variable en el tiempo. En la región circundante, el campo magnético 𝐁(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) acompañante induce un campo E variable en el tiempo y en dirección del azimut como se describe en el ejemplo 1-7 y se ilustra en la vista transversal de la figura 5-14(b).

Figura 5-14. Desarrollo del voltaje 𝑉(𝑡) en circuito abierto de un transformador. (a) Configuración de transformador utilizada para demostrar (5-38). (b) Vista transversal de 𝜠1 inducido por el B variable en el tiempo de (a). (c) Muestra las cargas desplazadas por 𝜠1 para producir 𝜠0 que cancela el E total a lo largo del alambre.

La forma de la bobina secundaria cuando el flujo de B pasa a través de la superficie S limitada por la bobina, lo que asegura el alineamiento del conductor con el campo E inducido de tal forma que las fuerzas del campo E empujan a los electrones libres en el conductor para que se muevan a lo largo de éste, como se señala en la figura 5-14(c). De esa manera se acumula 221

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

un exceso de cargas electrónicas en un extremo del alambre mientras que en el otro se establece una falta de electrones (una carga positiva), lo que produce alrededor del espacio otro campo eléctrico 𝚬0 . Entonces el campo E total alrededor del sistema queda como 𝚬 = 𝚬1 + 𝚬0 . La ley de Faraday (3-78) escrita alrededor de la trayectoria cerrada que incluye a la bobina secundaria y su espacio queda entonces como ∮ 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ ℓ

( 𝚬1 + 𝚬0 ) ⋅ 𝑑ℓ + ∫

conductor

(𝚬1 + 𝚬0 ) ⋅ 𝑑ℓ = −

espacio

𝑑𝜓m ⇝ (5 − 39) 𝑑𝑡

(3-7) da la relación entre el campo eléctrico total 𝚬1 + 𝚬0 a lo largo del conductor y la densidad 𝐉 de corriente, como 𝐉 = 𝜎(𝚬1 + 𝚬0 ) a lo largo de la bobina. Suponiendo por un momento un conductor perfecto, 𝐉 debe de tender hacia 0 si se mantiene a 𝚬1 + 𝚬0 con un valor finito necesario, haciendo 𝚬1 + 𝚬0 = 0 a lo largo de la parte conductora de la trayectoria cerrada ℓ lo que se simplifica a (5-39) para obtener ∮ 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ ℓ

(𝚬1 + 𝚬0 ) ⋅ 𝑑ℓ = −

espacio

𝑑𝜓m (5 − 40) 𝑑𝑡

implica que ∮ℓ 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ total generada por 𝜓m variable en el tiempo abarcado por ℓ aparece totalmente en el espacio. A veces se llama fuerza electromotriz inducida (fem) alrededor de ℓ, a la integral cerrada de línea de (5-40), y se denota mediante el símbolo de voltaje 𝑉(𝑡). Entonces 𝑉 (𝑡) ≡ ∮ 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ = −

𝑑𝜓m [V] ⇝ (5 − 41) 𝑑𝑡

Por tanto, la fem inducida o el voltaje 𝑉(𝑡) de espacio sólo depende de la rapidez de cambio del flujo magnético a través de la superficie S limitada por la línea cerrada ℓ descrita por el alambre. No se requiere conocer los valores explícitos de 𝚬1 y 𝚬0 en la trayectoria. Más aún, la trayectoria ℓ de alambre puede deformarse en cualquier forma arbitraria: por ejemplo, un cuadro, una hélice, etc., en cuyos casos todavía es válida (5-41). Un conductor en forma de hélice (muchas vueltas) es útil para aumentar el voltaje inducido a través del espacio, y se usa comúnmente en diseños reales de transformadores e inductancias.

222

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Si en los estudios anteriores, se hubiera supuesto un alambre finitamente conductor, el resultado (5-41) hubiera cambiado sólo en forma trivial si la conductividad σ fuera bastante grande (del orden de 107 [℧/m], como para la mayoría de los buenos conductores). Ejemplo 5-8. Se dobla un alambre delgado para formar un círculo de radio 𝑏 y con su eje concéntrico con el del solenoide en el ejemplo 1-7. Encontrar 𝑉(𝑡) inducido a través de un pequeño espacio que queda en el conductor, para los dos casos de la figura 5-15(a) 𝑏 > 𝑎 y (b) 𝑏 < 𝑎. En las respuestas, incluir la polaridad de 𝑉(𝑡). (a) Si 𝑏 > 𝑎. (5-41) combinada con (1-36) da para la corriente de solenoide 𝐼0 sin 𝜔𝑡 𝑉(𝑡) = −

𝑑 𝑑 𝜇0 𝑛𝐼0 sin 𝜔𝑡 ∫ 𝚩 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ [𝐚𝑧 ] ⋅ (𝐚𝑧 𝑑𝑠) 𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝑡 𝑆 𝑑

=−

𝜔𝜇0 𝑛𝜋𝑎2 𝐼0 cos 𝜔𝑡; 𝑏 > 𝑎 ⇝ (5 − 42) 𝑑

ya que ∫𝑆 𝑑𝑠 = 𝜋𝑎2 La polaridad de 𝑉(𝑡) se encuentra utilizando una interpretación de la regla de la mano derecha de la ley del voltaje inducido (5-41). Suponiendo a una 𝑡 dada que 𝜓m a través de ℓ está aumentando en el sentido de las 𝑧 positivas en la Figura 5-15, al alinear el pulgar de la mano derecha en esa dirección apunta los dedos hacia la terminal 𝑃2 en el espacio, que en ese momento es la terminal positiva. Sin embargo, la presencia del signo negativo en la respuesta (5-42) requiere que la verdadera polaridad de 𝑉(𝑡) sea el opuesto de la polaridad indicada en la figura 5-15 en ese instante. (b) Si 𝑏 > 𝑎, la superficie S acotada por el alambre ℓ´ es más pequeña que la sección transversal del solenoide; entonces (5-41) queda como 𝑉(𝑡) = −

𝑑 𝜔𝜇0 𝑛𝜋𝑏 2 𝐼0 ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = − cos 𝜔𝑡 ; 𝑏 < 𝑎 ⇝ (5 − 43) 𝑑𝑡 𝑆´ 𝑑

Figura 5-15. Muestra bobinas ℓ y ℓ´ a circuito abierto y los voltajes inducidos 𝑉(𝑡) obtenidos para 𝜓𝑚 variable en el tiempo.

223

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

5.8. Fuerza electromotriz y voltaje La ley de Faraday (3-78) proporciona la relación entre el flujo magnético 𝜓m variable en el tiempo que pasa a través de una superficie S y su campo E inducido. Expresa que la integral de línea cerrada de E sobre la trayectoria cerrada ℓ que limita a S es exactamente igual a la rapidez de cambio en el tiempo del flujo magnético a través de S, o ∮ 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑𝜓m ⇝ [3 − 78] 𝑑𝑡

La integral de línea cerrada de 𝚬 ⋅ 𝑑ℓ alrededor de ℓ, que se conoce como la circulación de E alrededor de la trayectoria cerrada, como la fuerza electromotriz inducida o simplemente fem, producida por el campo magnético variable en el tiempo a través de S. En esta sección se estudia la fem inducida por un movimiento de la trayectoria ℓ con relación al marco de referencia del campo magnético. Se descompone la ley de Faraday (3-78) en dos términos en su lado derecho, que toma en cuenta las fems inducidas alrededor de ℓ producidas (a) por la variación en el tiempo del campo B sobre la superficie limitada por ℓ y (b) por el movimiento relativo de la trayectoria cerrada con respecto al marco de referencia de coordenadas del campo B, como se muestra en la figura 5-16(a). En lo que sigue se desarrolla esta forma de la ley, útil en el análisis de dispositivos de bobina móvil tales como generadores, motores, instrumentos de tipo d’Arsonval, etc.

Figura 5-16. Una línea cerrada ℓ que se mueve en el espacio con velocidad 𝓋 en presencia de un campo B variable en el tiempo. (a) Un contorno móvil ℓ en presencia de un campo B variable en el tiempo. (b) El contorno ℓ mostrado en los tiempos 𝑡 y 𝑡 + 𝑑𝑡.

224

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Si la trayectoria alrededor de la cual se integra la ley de Faraday (3-78), cambia su posición en el tiempo, el fenómeno se explica tomando en cuenta la derivada en el tiempo del flujo magnético encerrado por ℓ en dos términos como sigue: ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑𝜓m 𝑑𝑡

=−

𝑑 𝑑 𝜕𝐁 𝜕(𝑑𝑠) ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ [𝐁 ⋅ 𝑑𝑠] = − ∫ [ ⋅ 𝑑𝑠 + 𝐁 ⋅ ] ⇝ (5 − 44a) 𝑑𝑡 𝑠 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑠 𝑠

El significado del último término en (5-44a) es el siguiente. Suponga que la superficie S, y por tanto su línea cerrada ℓ limitante, se mueve en una región como en la figura 5-16(b), Imagine que cada elemento 𝑑ℓ de ℓ recorre la distancia 𝑑r en un tiempo 𝑑𝑡 adscribiendo a 𝑑ℓ una velocidad 𝓋 = 𝑑r/𝑑𝑡 hacía 𝑑ℓ en donde por lo general, 𝓋 no necesariamente es perpendicular a 𝑑ℓ ni necesariamente constante alrededor de ℓ. El cambio en área incurrido por este movimiento es 𝑑𝑠 = 𝑑r × 𝑑ℓ. Entonces, 𝜕(𝑑𝑠) 𝜕 = (𝑑r × 𝑑ℓ) = 𝓋 × 𝑑ℓ 𝜕𝑡 𝜕𝑡 ya que 𝑑r ocurre en el tiempo 𝑑𝑡, en tanto que 𝑑ℓ es una cantidad fija. En

consecuencia,

el

último

término

de

(5-44a),

usando

la

entidad

𝐅 ⋅ (𝐆 × 𝐇) = 𝐆 ⋅ (𝐇 × 𝐅) = 𝐇 ⋅ (𝐅 × 𝐆), se escribe ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∫ ℓ

𝑠

𝜕𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 + ∮ (𝓋 × 𝐁) ⋅ 𝑑ℓ [V] ⇝ (5 − 44b) 𝜕𝑡 ℓ

que explica las dos contribuciones a la fem inducida como sigue: 1. El primer término al lado derecho de (5-44b) toma en cuenta la fem inducida alrededor de ℓ proporcionada por la velocidad de cambio del campo B integrado sobre la superficie S limitada por ℓ. 2. El segundo término da la fem inducida adicional que se origina en el movimiento de la trayectoria ℓ con relación al marco de referencia de coordenadas en que se especifica B.

Al comparar 𝓋 × 𝐁 que aparece en (5-44b) contra el término de la fuerza 𝐅𝐵 magnética de Lorentz (1-22) se ve que 𝓋 × 𝐁 constituye un campo electrico E', capaz de influir en una carga eléctrica q si está presente en ℓ. Un conductor de alambre que forme una trayectoria cerrada ℓ,

225

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

proporciona una fuente conveniente de cargas de conducción sujetas a este efecto de fuerza de Lorentz, siempre que ocurra un movimiento relativo entre las cargas y B. Si ℓ es estacionaria en el espacio (𝓋 = 0), (5-44b) se reduce a ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∫ ℓ

𝑠

𝜕𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 [V] ℓ estacinaria ⇝ (5 − 44c) 𝜕𝑡

Suponga que una espira de alambre ℓ se sumerge en un campo magnético estable pero que ℓ se está moviendo en el espacio. Entonces (5-44b) queda como ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = ∮ (𝓋 × 𝐁) ⋅ 𝑑ℓ [V] Estatico 𝐁 ⇝ (5 − 44d) ℓ

ℓ

Comparando los integrandos de (5-44d) se obtiene el sentido de la fem (y en consecuencia, un voltaje de espacio) generada alrededor de ℓ por el campo eléctrico en movimiento 𝓋 × 𝐁. Si el tamaño de un contorno de alambre se encoge mientras está sumergido en un campo B constante como en la figura 5-17(b), por ejemplo, se induce un campo eléctrico equivalente 𝓋 × 𝐁 a lo largo de ℓ con la misma dirección que el sentido supuesto de la integración de línea positiva como se muestra. De esa manera, el espacio entre los alambres de las figuras (5-17(a) o (b) desarrollan voltajes de espacio con las polaridades como se muestra.

Figura 5-17. Convenciones relativas a la ley de Faraday. (a) Polaridad de 𝑉(𝑡) inducida por B variable en el tiempo, manteniendo ℓ estacionario. (b) Un contorno de alambre que se encoge, que muestra el sentido del campo inducido 𝓋 × 𝑩 con B estático.

226

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Es evidente, que si simultáneamente prevaleciera tanto una variación del campo B en el tiempo como un movimiento del contorno ℓ la superposición de los dos efectos requeriría utilizar (5-44b) en el análisis. Se enfatiza que las formas (3-78) y (5-44b) de la ley de Faraday son equivalentes y proporcionan la misma respuesta a un problema dado de fem inducida. Ejemplo 5-9. Una espira conductora rígida y rectangular con las dimensiones 𝑎 y b está localizada entre los polos de un imán permanente como se muestra. Sea 𝐁 = 𝐚𝑧 𝐵0 , constante como se muestra sobre la porción izquierda de la espira, y suponga que se saca la espira hacia la derecha a velocidad constante 𝓋 = 𝐚𝑥 𝓋0 . Encontrar (a) la fem inducida alrededor de la espira, (b) la dirección de la corriente que se fuerza a fluir en la espira, (c) la fuerza en el alambre que resulta del flujo de corriente y (d) la magnitud y polaridad del voltaje de circuito abierto 𝑉(𝑡) que aparece en un espacio en el alambre en P, mostrado.

Ejemplo 5-9. (a)Espira de alambre móvil en un campo magnético constante. (b) Geometría que muestra el sentido que se siguió en la integración de línea.

(a) Se supone que el sentido de la integración de línea es en sentido contrario al reloj mirándola desde el frente, como en (b) de la figura adjunta. La fem inducida alrededor de la espira se encuentra utilizando (5-44d), ∮

𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = ∮ (𝓋 × 𝐁) ⋅ 𝑑ℓ

ℓ(𝑡)

ℓ(𝑡)

En 𝑃1 (𝓋 × 𝐁) ⋅ 𝑑ℓ = [(𝐚𝑥 𝓋0 ) × (𝐚𝑧 𝐵0 )] ⋅ 𝐚𝑦 𝑑𝑦 = −𝓋0 𝐵0 𝑑𝑦, para obtener 0

∮ ℓ(𝑡)

𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = ∫

(−𝓋0 𝐵0 ) 𝑑𝑦 = 𝓋0 𝐵0 𝑏 ⇝ (1)

𝑦=𝑏

(b) El signo positivo de (1) denota que la fem inducida alrededor de ℓ está en el mismo sentido (contrario al sentido del reloj) que la dirección de integración. El resultado (1) hace entonces que fluya una corriente en la misma dirección. (c) De (l-22a), 𝐅𝐵 = 𝑞(𝓋 × 𝐁) se obtiene la fuerza que actúa en el alambre que lleva la corriente I sumergida en el campo B. Ya que la fuerza en una carga diferencial 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣 𝑑𝑣 es 𝑑𝐅𝐵 = 𝑑𝑞(𝓋 × 𝐁), y con 𝜌𝑣 𝓋 de (l-20), la densidad de corriente 𝐉 en el alambre, se obtiene 𝑑𝐅𝐵 = 𝐉 × 𝐁 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 45a)

227

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

El producto 𝐉𝑑𝑣 define un elemento de corriente de volumen 𝐼 𝑑ℓ en un alambre delgado, de manera que (5-45a) queda como 𝑑𝐅𝐵 = 𝐼 𝑑ℓ × 𝐁 ⇝ (5 − 45b) Integrando (5-45b) sobre la longitud 0𝑃1 del alambre se obtiene la fuerza total 0

𝐼(𝐚𝑦 𝑑𝑦 ) × (𝐚𝑧 𝐵0 ) = −𝐚𝑥 𝐵0 𝐼𝑏 ⇝ (2)

𝐅𝐵 = ∫ 𝐼 𝑑ℓ × 𝐁 = ∫ ℓ

𝑦=𝑏

donde la integración en la dirección de la corriente produce el sentido vectorial apropiado de la fuerza. 𝐅𝐵 es una fuerza a la izquierda en la figura, que se opone al movimiento del alambre. (d) Un pequeño espacio en P en el alambre hace que la espira esté en circuito abierto, lo que reduce 𝐼 a cero y produce el resultado de 𝑉(𝑡) = ∮ℓ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = 𝓋0 𝐵0 𝑏 a través del espacio. La polaridad se determina por la dirección de 𝓋 × 𝐁, dirigido alrededor de la espira hacia la terminal positiva del espacio como en (b) de la figura. Ejemplo 5-10. Una espira pequeña abierta de alambre de radio a en el aire se localiza en el plano 𝑦 − 𝑧 como se muestra en (a), sumergida en una onda plana compuesta por los campos + 𝐸+ 𝑦 (𝑧, 𝑡) = −𝐸𝑚 sin(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) ⇝ (1)

𝐻+ 𝑥 (𝑧, 𝑡) =

𝐸+ 𝑚 𝜂0

sin(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) ⇝ (2)

Suponer 𝑎 ≪ 𝜆0 . Encontrar 𝑉(𝑡) inducido en el espacio de la espira. El voltaje en el espacio se obtiene de (5-44c) debido a que la espira es estacionaria. Utilizando 𝐁 = 𝜇0 𝐇 y (2) se obtiene + + 𝜕𝐁 𝜕 𝐚𝑥 𝜇0 𝐸𝑚 𝜇0 𝜔𝐸𝑚 = [ sin(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)] = 𝐚𝑥 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜂0 𝜂0

Con 𝑎 ≪ 𝜆0 , la bobina ocupa esencialmente la posición 𝑧 = 0 en la onda plana que está moviéndose de paso, de manera que de (5-44c) se obtiene + + 𝜋𝑎 2 𝜇0 𝜔𝐸𝑚 −𝜔𝐸𝑚 𝑉(𝑡) = − ∫ [𝐚𝑥 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)] . 𝐚𝑥 𝑑𝑠 = cos𝜔𝑡 ⇝ (3) 𝜂0 𝑐 𝑠 𝑧=0 + Si 𝐸𝑚 = 100[μV], 𝑓 = 1[MHz], 𝑎 = 1[m] (que satisface el criterio 𝑎 ≪ 𝜆), el voltaje inducido se hace 𝑉(𝑡) = 396cos𝜔𝑡 [μV]. La bobina de cinco vueltas mostrada en (b) proporciona un voltaje en circuito abierto cinco veces mayor que en (a), debido a la estructura de la superficie S limitada por el contorno de alambre ℓ, en tanto que de (c), el efecto de abrir la estructura es reducir 𝜓m que intercepta a S, reduciendo a 𝑉(𝑡) de una manera acorde.

228

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Ejemplo 5-10. (a) Espira sumergida en un campo. (b) Bobina de cinco vueltas sumergida en un campo variable en el tiempo. (c) Efecto de extender las vueltas; menos líneas de B interceptan a S.

5.9. Fem inducida por el potencial vectorial magnético variable en el tiempo La fem inducida alrededor de una trayectoria cerrada ℓ que enlaza un flujo magnético 𝜓𝑚 variable en el tiempo también se expresa en función del potencial vectorial magnético A desarrollado en la sección 5-4, lo que logra utilizando (5-22) 𝐁 = ∇ × 𝐀 , para escribir la ley de Faraday (3-78) como sigue: ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑𝜓𝑚 𝑑 𝑑 = − ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ ( ∇ × 𝐀) ⋅ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑠 𝑑𝑡 𝑠 =−

𝑑 ∮ 𝐀 ⋅ 𝑑ℓ [V] ⇝ (5 − 46a) 𝑑𝑡 ℓ

aplicando el teorema de Stokes (2-38) para obtener el último resultado. Si ℓ es estacionaria (no hay movimiento de fem), (5-46a) se escribe simplemente como ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∮ ℓ

ℓ

𝜕𝐀 ⋅ 𝑑ℓ [V] Trayectoria estacionaria ℓ (5 − 46b) 𝜕𝑡 229

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

De (5-46a) se ve que el flujo a través de la trayectoria ℓ se expresa de dos maneras 𝜓𝑚 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = ∮ 𝐀 ⋅ 𝑑ℓ [Wb] ⇝ (5 − 47) 𝑠

ℓ

De lo que se deduce que al conocer el potencial magnético vectorial A en ℓ cerrada se determina el flujo magnético que pasa a través de S limitada por ℓ. Ejemplo 5-11. Encontrar la fem inducida alrededor de una trayectoria estacionaria rectangular ℓ en el espacio vacío, en el plano de dos alambres paralelos largos que conducen la corriente 𝐼(𝑡) y −𝐼(𝑡) como se muestra. Encontrar la fem en dos maneras utilizando la ley de Faraday expresada (a) en función del campo B y (b) en función de A. (a) De (1-34), el campo B cuasiestático externo a un solo alambre largo que lleva 𝐼(𝑡) es 𝐁 = 𝐚𝜙 𝜇0 𝐼(𝑡)/2𝜋𝜌, si 𝜌 es la distancia normal desde el alambre hasta el punto del campo. En este ejemplo que comprende dos alambres, se adopta un sistema de coordenadas cartesianas como en (a). En cualquier 𝑥 en S limitada por ℓ el campo B cuasiestático debido a ambos alambres es la suma vectorial 𝐁 = 𝐚𝑦 [

𝜇0 𝐼(𝑡) 𝜇0 𝐼(𝑡) − ] 2𝜋(𝑥 − 𝑑) 2𝜋(𝑥 + 𝑑)

Sustituyendo la anterior en (5-44c) se obtiene la fem inducida alrededor de ℓ ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∫ ℓ

𝑠

𝜕𝐁 𝜕𝐼 𝜇0 𝑏 (ℎ + 𝑎 − 𝑑)(ℎ + 𝑑) ⋅ 𝑑𝑠 = − ℓ ⇝ (1) 𝜕𝑡 𝜕𝑡 2𝜋 𝑛 (ℎ + 𝑎 + 𝑑)(ℎ − 𝑑)

que es el resultado deseado.

Ejemplo 5-11. (a) Geometría de un sistema de alambres paralelos y un camino cerrado rectangular ℓ. (b) Muestra la polaridad del voltaje V(t) en el espacio, que corresponde al sentido de ∮ 𝐸 ⋅ 𝑑ℓ integrada alrededor de la espira de alambre.

230

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

(b) Para encontrar la fem inducida utilizando A note del ejemplo 5-4 para un solo alambre de longitud 2𝐿 que 𝐀 = 𝐚𝑧

𝜇0 𝐼(𝑡) √𝐿2 + 𝜌 2 + 𝐿 ℓ 4𝜋 𝑛 √𝐿2 + 𝜌 2 − 𝐿

Esta última se mejora observando que se desea A para 𝜌 ≪ 𝐿. Los dos primeros términos del desarrollo binomial para las cantidades de la raíz cuadrada dan 1 𝜌 2 [1 − ( ) ]+1 𝜇0 𝐼(𝑡) 𝜇0 𝐼(𝑡) 2 𝐿 𝐴𝑧 = ℓ𝑛 = ℓ𝑛 2 1 𝜌 2 4𝜋 4𝜋 [1 + ( ) ] − 1 √1 + (𝜌) − 1 2 𝐿 𝐿 2

√1 + (𝜌) + 1 𝐿

𝜇0 𝐼 𝐿 2 𝜇0 𝐼 2𝐿 ≅ ℓ𝑛 [1 + 4 ( ) ] ≅ ℓ 4𝜋 𝜌 4𝜋 𝑛 𝜌 válida para 𝜌 ≪ 𝐿. Para alambres paralelos, A es la suma vectorial 𝐀 = 𝐚𝑧

𝜇0 𝐼(𝑡) 2𝐿 2𝐿 𝜇0 𝐼(𝑡) 𝑥 + 𝑑 [ℓ𝑛 − ℓ𝑛 ] = 𝐚𝑧 ℓ 2𝜋 𝑥−𝑑 𝑥+𝑑 2𝜋 𝑛 𝑥 − 𝑑

Con A en sentido de las 𝑧, la fem inducida usando (5-46b) queda como ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∮ ℓ

=−

ℓ

𝜕𝐀 ⋅ 𝑑𝑡 𝜕𝑡

𝑏 0 𝜕𝐼 𝜇0 𝑥+𝑑 𝑥+𝑑 {[ℓ𝑛 ] ∫ 𝑑𝑧 + [ℓ𝑛 ] ∫ 𝑑𝑧} 𝜕𝑡 2𝜋 𝑥 − 𝑑 𝑥=ℎ 𝑧=0 𝑥 − 𝑑 𝑥=ℎ+𝑎 𝑧=𝑏

=−

𝜕𝐼(𝑡) 𝜇0 𝑏 (ℎ + 𝑑)(ℎ + 𝑎 − 𝑑) ℓ ⇝ (2) 𝜕𝑡 2𝜋 𝑛 (ℎ − 𝑑)(ℎ + 𝑎 + 𝑑)

que es congruente con (1). Note que la integración se ha tomado en sentido del reloj alrededor de ℓ, para conformarse con la suposición en (a) de una ds dirigida en sentido de las y positivas en S. Si la corriente 𝐼(𝑡) = 1 sin 𝜔𝑡 [A] fluye en los alambres, con 𝑓 = 1000 [Hz] 𝑦 𝑑 = ℎ/2 = 𝑎 = 𝑏 = 2 [cm], la fem inducida (2) queda como (4𝜋 × 10−7 )(2 × 10−2 ) 3 ℓ𝑛 2𝜋 2 = −17.4 cos 𝜔𝑡 [μV]

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = −(2𝜋 × 103 ) cos𝜔𝑡 ℓ

Este es también el voltaje de espacio 𝑉(𝑡) desarrollado si una espira de alambre a circuito abierto remplaza a con una polaridad como en (b).

De (5-46b) para la fem inducida alrededor de una trayectoria cerrada fija, 231

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ∮ ℓ

ℓ

𝜕𝐀 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ [5 − 46b] 𝜕𝑡

se argumenta que debido a que (5-46b) es verdadera para todas las trayectorias cerradas ℓ, el campo eléctrico se expresa en cualquier punto en la región a partir de la igualación de los integrados; 𝐄=−

𝜕𝐀 𝜕𝑡

Sin embargo, se nota que al agregar una función arbitraria −∇Φ a esta última, para obtener 𝐄 = −∇Φ −

𝜕𝐀 ⇝ (5 − 48) 𝜕𝑡

se origina un campo E que todavía satisface (5-46b), debido a la propiedad (2-13), ∮ℓ(∇Φ ) ⋅ 𝑑ℓ = 0, lo que es verdadero para cualquier función escalar Φ. Por tanto, (5-48) es en general la expresión correcta para E en función de sus campos potenciales A y Φ. Los significados físicos de cada contribución a E en (5-48) se aprecian notando en el límite estático en el tiempo, que (5-48) se reduce a 𝐄 = −∇Φ

𝜕/𝜕𝑡 = 0 ⇝ (5 − 49)

Comparando (5-49) contra (4-27) se identifica a Φ como el campo de potencial escalar establecido por las cargas libres del sistema, trata de cargas de volumen, cargas superficiales o de línea. La integral (4-31a) de potencial proporciona esta relación, extendida en (5-48) a distribuciones de carga variables en el tiempo. En segundo lugar, el campo A en (5-48) está conectado con las distribuciones de corriente del sistema a través de la integral (5-28). Resumiendo, el campo eléctrico total (5-48) se escribe 𝐄=⏟

𝐄0 + ⏟ 𝐄1 𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝐄 = ⏞ −∇Φ

−

⏞

⇝ (5 − 50)

𝜕𝐀 𝜕𝑡

en donde (4-31a) y (5-28) dan los potenciales cuasiestáticos Φ y A en el espacio vacío 232

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝜌𝑣 𝑑𝑣´ [V] ⇝ (5 − 51) v 4𝜋𝜖0 𝑅

Φ=∫

𝜇0 𝐉 𝑑𝑣´ [Wb/m] ⇝ (5 − 52) v 4𝜋𝑅

𝐀=∫

En la figura 5-18 se muestra un sistema que ejemplifica estos procesos, en que el generador fuerza una corriente para que pase a través de un camino de conducción conectado a un dispositivo R resistivo y un dispositivo C de almacenaje de cargas. Las cargas en este sistema son las cargas superficiales (𝜌𝑠 ) de baja densidad que se encuentran en los alambres conductores (que se requieren para conservar allí las condiciones de frontera), además de las concentraciones en las placas del condensador espaciadas estrechamente; juntas contribuyen al potencial cuasiestático Φ total en cada punto P del sistema. Las densidades de corriente 𝐉 dentro de los conductores contribuyen al potencial magnético vectorial A en P. Más aún, si en el sistema se incluyeran materiales polarizables eléctrica o magnéticamente, se tendría que modificar las integrales (5-51) y (5-52) agregando los efectos de la densidad de polarización P dieléctrica a (5-51) y de la densidad de corriente M de magnetización a (5-52). Los formalismos cuasiestáticos expresados por (5-50), (5-51) y (5-52) no son muy útiles como una herramienta para solución de problemas cuando se aplican directamente a un circuito como el de la figura 5-18, debido a que rara vez se conocen con exactitud las distribuciones de carga y de corriente. Sin embargo, con algunas suposiciones simplistas se utiliza estas expresiones combinadas con la ley de Faraday para deducir la ley de voltajes de Kirchhoff de la teoría de los circuitos, como se describe en la siguiente sección.

Figura 5-18. Un circuito R-C con un 𝑉(𝑡), que muestra el punto del campo P donde se establece E por las distribuciones de densidad de carga y de corriente.

233

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

5.10.

Generadores de voltaje y leyes de Kirchhoff

Las fuerzas electromagnéticas que mueven las cargas por trayectorias conductoras cerradas se obtiene a partir de dispositivos de conversión de energía conocidos como Generadores. Ejemplos de generadores electroquímicos los constituyen las celdas químicas (voltaicas) o baterías. Los motores rotatorios de corriente directa y alterna son conversores de energía electromecánica cuyos voltajes se obtienen a partir del flujo magnético variable en el tiempo que interceptan los conductores en su movimiento relativo con respecto a ese campo. Un tubo al vacío (bulbo) o un transistor serve como el elemento activo (resistencia negativa) de un generador electrónico (o electrónico cuántico). Otros dispositivos de conversión de energía tales como la fotocelda y el termopar se clasifican respectivamente como fotoeléctricos y termoeléctricos debido a que sus voltajes se obtienen a partir de la energía de una fuente de luz o de calor. Para ayudar a aclarar el significado del término generador en el desarrollo de la conexión de la teoría de campos con la de circuitos, se estudian dos clases de generadores, electroquímicos y electromecánicos. 5.10.1. El generador electroquímico Una celda electroquímica (celda voltaica) consiste en dos electrodos desiguales en contacto con un electrólito, generalmente una solución acuosa de sales inorgánicas como se muestra en la figura 5-19(a). Los electrodos se utilizan para conducir una corriente electrónica hasta un circuito externo, y están formados por una varilla metálica o de carbón envuelta por un óxido metálico. Por ejemplo, en la celda seca común (de Leclanché), se utiliza como electrolito una pasta acuosa de cloruros de amonio y de cinc entre un electrodo de cinc (negativo) y bióxido de magnesio en contacto con una varilla inerte de carbón (positivo). La conducción ocurre en el electrólito por el movimiento de iones, en que ocurre una reacción química justo fuera de los electrodos para conservar una diferencia de potencial entre cada electrodo y el electrólito. Se considera que una celda electroquímica son dos medias celdas asociadas con cada interacción de electrodo-electrolito, en cuyos potenciales se establecen capas dobles de partículas cargadas opuestas (electrones y iones) hasta alcanzar potenciales de equilibrio, como lo sugiere la figura 5-19(b). Entonces, el voltaje 𝑉𝑔 generado a circuito abierto en la celda es la diferencia de las dos barreras de potencial 𝑉1 y 𝑉2 . Si no se entrega corriente, el electrólito es 234

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

una región equipotencial denotada por la meseta central plana en el diagrama de potencial, sin campo E dentro de la misma. Por tanto, el comportamiento del sistema electroquímico equivale al diagrama interior de la figura 5-19(b), un par en serie de capas dobles de cargas que se mantienen por las reacciones químicas en las interacciones de electrodo-electrólito.

Figura 5-19. La celda electroquímica y su comportamiento de fem. (a) Componentes de una celda electroquímica. (b) Voltajes de media celda que establecen el circuito abierto 𝑉𝑅 = 𝑉1 − 𝑉2 . (c) Efecto de la resistencia interna al entregar corriente.

Para mantener 𝑉𝑔 , se proporciona energía a costa de uno o más de los materiales que comprenden la celda. Cuando se desgastan, la celda se restaura sustituyendo los materiales o en algunos casos aplicando energía externamente para volver a convertirlos a sus formas originales. A una celda que debe de restaurarse agregando nuevos materiales se le llama celda primaria; no es recargable. Se llama secundaria o celda de almacenaje, a la celda que rejuvenece forzando externamente la corriente en sentido inverso a través de la celda para invertir la acción electrolítica que ocurrió durante la descarga. Por lo general, los reactantes igual que los productos de las reacciones electroquímicas son gaseosos, líquidos o sólidos. Se almacena en uno o ambos electrodos o en el electrólito según se desarrolla la reacción, o como en el caso de las celdas de combustible, se elimina continuamente. Cuando se conecta una celda a una espira resistiva como en la figura 5-19(c), la corriente resultante a partir de una ley de voltajes de Kirchhoff, deducida a partir de la teoría de campos como se describe en la figura 5-20(a) para enfatizar el papel del conductor externo. El campo E total en cualquier punto de campo P fuera o dentro del conductor o de la celda se expresa por la suma 235

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐄 = 𝐄𝑔 + 𝐄´ donde 𝐄´ es el campo eléctrico inducido en cualquier punto del campo por las cargas y corrientes variables en el tiempo, cuyos efectos ya están descritos por las integrales de campo (5-51) y (552) que da el total

𝐄´ = −∇Φ −

𝜕𝐀 ⇝ (5 − 54) 𝜕𝑡

𝐄𝑔 es el campo eléctrico generado (generado electroquímicamente dentro de la celda en este ejemplo, 𝐄𝑔 = 0 en las demás partes) Sustituyendo (5-54) en (5-53) el E total en cualquier P se escribe

𝐄 = 𝐄𝑔 − ∇Φ −

𝜕𝐀 ⇝ (5 − 55) 𝜕𝑡

Si se integra (5-55) alrededor de una trayectoria cerrada que coincida con el circuito, se obtiene la ley de voltajes de Kirchhoff de la teoría de circuitos. Se escoge ℓ para que coincida con el circuito como en la figura 5-20(a). Re arreglando (5-55) e integrando sobre ℓ se obtiene ∮ 𝐄𝑔 ⋅ 𝑑ℓ = ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ + ∮ ∇Φ ⋅ 𝑑ℓ + ∮ ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

𝜕𝐀 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (5 − 56) 𝜕𝑡

El campo generado 𝐄𝑔 sólo existe fuera de la celda, de manera que el lado izquierdo se reduce a justamente el voltaje a circuito abierto de generador 𝑉𝑔 𝑃2

∮ 𝐄𝑔 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐄𝑔 ⋅ 𝑑ℓ ≡ 𝑉𝑔 ⇝ (5 − 57a) ℓ

𝑃1

De (3-7), los campos en el conductor y electrólito se hacen 𝐉/𝜎ℯ y 𝐉/𝜎𝑐 respectivamente, de manera que la segunda integral de (5-56) da, a bajas frecuencias 𝐉 𝐉 ⋅ 𝑑ℓ + ∫ ⋅ 𝑑ℓ = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑔 𝑖 ⇝ (5 − 57b) ℓ𝑐 𝜎𝑐 ℓ𝑒 𝜎ℯ

∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ ℓ

sabiendo de la sección 4-11-2, que R y 𝑅𝑔 denotan las resistencias del circuito externo y del generador. Por lo general, R como 𝑅𝑔 dependen de la temperatura. Además, la concentración 236

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

disponible de iones en el electrólito afecta a 𝑅𝑔 una condición en la que influye la edad de la celda.

Figura 5-20. El generador electroquímico conectado a un circuito resistivo externo. (a) Circuito real y simbolismo equivalente. (b) Flujo magnético 𝜓𝑚 generado por 𝐼.

La tercera integral de (5-56) se desvanece a la vista de (2-13), ya que el gradiente de un potencial escalar integrado alrededor de una trayectoria cerrada siempre es cero. El último término de (5-56) toma en cuenta la autoinductanda del circuito. La corriente 𝐼 en el circuito genera un flujo magnético como se muestra en la figura 5-20(b) y que expresa (5-47) como sigue: 𝜓𝑚 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = ∮ 𝐀 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (5 − 47) 𝑠

ℓ

En consecuencia, el último término de (5-56) equivale a las diversas formas ∮ ℓ

𝜕𝐀 𝑑 𝑑 𝑑𝜓𝑚 ⋅ 𝑑ℓ = ∮ 𝐀 ⋅ 𝑑ℓ = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = ⇝ ( 5 − 57𝑐) 𝜕𝑡 𝑑𝑡 ℓ 𝑑𝑡 𝑠 𝑑𝑡

237

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

que expresan la fem inducida alrededor del circuito ℓ por la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético 𝜓𝑚 que enlaza esa trayectoria. Con los tres resultados (5-57) en (5-56), se obtiene la expresión del voltaje de Kirchhoff para el circuito de la figura 5-20 𝑉𝑔 = (𝑅𝑔 + 𝑅)𝐼 +

𝑑𝜓𝑚 ⇝ (5 − 58) 𝑑𝑡

El término 𝑑𝜓𝑚 /𝑑𝑡 es el voltaje autoinducido generado alrededor del circuito ℓ por el 𝜓𝑚 variable en el tiempo que enlaza a ℓ (que también se conoce como el flujo propio del circuito). Si la región ambiente es magnéticamente lineal, el flujo propio es proporcional a la corriente que la produce; por tanto, 𝜓𝑚 ∝ 𝐼. La constante de proporcionalidad, que se conoce como la autoinductanda del circuito, está designada mediante 𝐿 como sigue: 𝜓𝑚 = 𝐿𝐼 [Wb] ⇝ (5 − 59) para obtener una definición para la autoinductancia 𝐿=

𝜓𝑚 [W𝑏/A ] ó [H] ⇝ (5 − 60) 𝐼

en la cual 𝜓𝑚 denota el flujo enlazado por el circuito. Sustituyendo (5-59) en (5-58), la expresión del voltaje de Kirchhoff para el circuito de la figura 5-20 se escribe V𝑔 = (𝑅 + 𝑅𝑔 )𝐼 + 𝑑(𝐿𝐼)/𝑑𝑡, y si 𝐿 es una constante (independiente del tiempo) se obtiene la ley de voltaje de Kirchhoff V𝑔 = (𝑅 + 𝑅𝑔 )𝐼 + 𝐿

𝑑𝐼 [V] ⇝ (5 − 61) 𝑑𝑡

Las soluciones transitorias y de CD de esta ecuación diferencial de circuito son bien conocidas y se omiten aquí. La ecuación de Kirchhoff (5-61) lleva al modelo de circuito mostrado en la figura 5-21. Los efectos de un flujo magnético variable en el tiempo que enlaza al circuito, como se muestra en (a) de la figura son: producir un término de voltaje hacia atrás, 𝑑𝜓𝑚 /𝑑𝑡 que, de sus señales de polaridad, en (b) se ve que se opone a cualquier tendencia al cambio de la corriente. La 238

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

convención de circuito que representa este fenómeno es el elemento 𝐿 de inductancia englobada de la figura 5-21(c) a través del cual se imagina generarse el voltaje en reversa 𝐿 𝑑𝐼/𝑑𝑡 (fuerza contraelectromotriz).

Figura 5-21. Circuito eléctrico en serie y modelos. (a ) El circuito físico de cd. (b ) Modelo de circuito que muestra los términos dé voltaje de (5-61). (c) Modelo de circuito que utiliza el símbolo de inductancia L.

5.10.2. El generador electromecánico Otro ejemplo de un generador es el convertidor de energía electromecánica, o motor rotatorio. Su fem se obtiene de un flujo magnético enlazado por los devanados de la máquina, un flujo que, en una versión de estas máquinas, se hace variable en el tiempo por virtud del movimiento de los devanados del conductor con relación a un campo magnético estático. En la figura 5-22(a) se muestra en un diagrama un modelo genérico. El flujo magnético se obtiene a partir de un imán permanente o de un devanado de campo como se muestra. Una armadura de fierro cilíndrica que forma parte del circuito magnético lleva un devanado que intercepta un flujo magnético cuando se rota la armadura. El propósito de ésta es proporcionar apoyo físico para el devanado y disminuir la reluctancia del circuito magnético dejando sólo un pequeño espacio de aire, aumentando con ello el flujo magnético interceptado por el devanado de la armadura. Por simplicidad, se ilustra un devanado de una sola espira, aunque las máquinas en la práctica utilizan muchas vueltas distribuidas alrededor de la armadura para aumentar la fem inducida. Por lo general, los alambres están en ranuras como se señala en la figura 5-22(b) para disminuir el espacio efectivo de aire todavía más y reducir las fuerzas mecánicas en los conductores de la armadura a través de una transferencia de las fuerzas al material del núcleo.

239

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

El fierro de la armadura también está laminado para reducir las pérdidas de corrientes de Maxwell (vea la figura 3-14). Si la armadura del generador se deja en circuito abierto y se rota con velocidad angular 𝜔 [rad/seg], el voltaje del espacio 𝑉(𝑡) se obtiene de (5-44d) 𝑉 (𝑡) = ∮ (𝓋 × 𝐁) ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (5 − 44d) ℓ

como se ve de los detalles en la figura 5-22(c). Por tanto, un campo magnético dirigido radialmente de valor constante 𝐵0 impuesto sobre una bobina de una sola vuelta de radio a y longitud 𝑑 produce un voltaje de circuito abierto 𝑉 = 2𝐵0 𝑑𝑎𝜔[V], en tanto que la bobina rotatoria se mantenga sumergida en un campo magnético constante. En la figura 5-22(c) se muestra la polaridad, que determina la dirección de la corriente en una carga conectada externamente. Si el voltaje se tomara de colectores, la forma de onda de 𝑉 se aproximaría a una onda cuadrada conforme los lados de la bobina se mueven desde el campo B de un polo del estator hacia las líneas del flujo magnético invertido del otro polo. Una formación adecuada de los polos, para hacer que el ancho del espacio de aire sea variable con la posición angular del devanado de la armadura podría producir un voltaje 𝑉(𝑡) esencialmente sinusoidal, haciendo del motor un alternador sinusoidal. Finalmente, el uso de un contactor interrumpido (conmutador) en vez del arreglo de colector produce una polaridad de voltaje de salida rectificado o unilateral, para producir una máquina de corriente directa. Se deja el análisis de la fem inducida de ese motor a libros apropiados Sobre la materia. Si se conectan las terminales de salida de un convertidor electromecánico de energía a un circuito externo, la corriente resultante queda influida no sólo por el circuito externo, sino también por las reacciones del propio devanado de la armadura. Una de estas reacciones es la porción inversa que debe de proporcionar el motor que opera al generador para mantener a este último en la velocidad deseada. Debido a la presencia de fierro tanto en la estructura de campo como en la armadura, la mejor forma de expresar las fuerzas y torsiones desarrolladas entre la armadura y estator es en función de los cambios que ocurren en las energías magnéticas del sistema con la rotación. En la sección 5-13 se desarrolla una interpretación referente a fuerzas virtuales. 240

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Figura 5-22. El convertidor simple electromécanico de energía (generador). (a) Generador simple que muestra devanados de campo y de armadura. (b) Aumento del espacio de aire utilizando ranuras en la armadura. (c) Efecto de inducción de voltaje del movimiento del devanado de la armadura.

Otra reacción importante al flujo de corriente en el generador es el efecto de la inductancia del devanado de la armadura. El enlace de la corriente de devanado con el flujo propio producido por esa corriente da una oposición a cambios en la corriente con el tiempo, lo que resulta del autovoltaje generado por el flujo propio cambiante, que constituye un fenómeno que ya se observó con relación al circuito de la figura 5-20. De esta manera se defini una autoinductancia de la armadura como en (5-60) 𝐿𝑎 =

𝜓𝑚 [H] ⇝ (5 − 62) 𝐼

expresada como la relación del flujo propio producido por la corriente de armadura, a la propia corriente. En la figura 5-23 se ilustra un circuito equivalente del devanado de la armadura con una carga conectada, que muestra el voltaje generado 𝑉(𝑡) resultado de la rotación del devanado de la armadura en el campo B estático impreso, la autoinductancia 𝐿𝑎 del devanado de la armadura y una resistencia 𝑅𝑎 en serie que representa las pérdidas óhmicas. (Otras pérdidas como las pérdidas de histéresis en el hierro y de las corrientes de Maxwell, al igual que las debidas a la resistencia del viento rotacional y por fricción en los cojinetes se representa en diagramas equivalentes más complejos, los que se omiten aquí). Si la carga conectada externamente tiene 241

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

la resistencia R y la autoinductancia 𝐿 desarrolladas en relación al circuito externo de las figuras 5-20 y 5-21, se deduce el circuito equivalente de la máquina rotatoria cargada como en la figura 5-23. Evidentemente, la ecuación diferencial del voltaje de Kirchhoff para este sistema es 𝑉(𝑡) = (𝑅 + 𝑅𝑎 )𝐼 + (𝐿 + 𝐿𝑎 )

𝑑𝐼 ⇝ (5 − 63) 𝑑𝑡

en donde 𝑉(𝑡) denota el voltaje generado por la máquina y deducido a partir de la expresión básica (5-44d).

Figura 5-23. Desarrollo de un circuito equivalente de un motor rotatorio conectado a una carga.

5.11.

Energía magnética y autoinductancia

Se establecen las definiciones generalizadas de la autoinductancia de un solo circuito, y en la siguiente sección, la inductancia mutua. Este punto de vista considera el parámetro de la inductancia como el criterio básico de la energía de campo magnético, o trabajo realizado para establecer el campo magnético. 5.11.1. Autoinductancia en términos de A y J Considere el circuito de la figura 5-24. Hay una fuente externa de energía de voltaje 𝑉(𝑡) de terminal conectada a un circuito conductor de forma arbitraria, mismo que lleva una corriente 𝐼. Se supone que las corrientes forman trayectorias cerradas, es decir, que la relación de continuidad de corriente es (4-22), ∇ ⋅ 𝐉 = 0. Hablando de manera estricta, este último requiere que la corriente sea CD, aunque casi se satisface completamente hasta frecuencias relativamente altas en tanto que las dimensiones globales del circuito no constituyan una 242

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

fracción apreciable de una longitud de onda en el espacio vacio. Sin embargo, a las frecuencias más altas, el efecto superficial limita severamente la penetración de la corriente al conductor, y a muy altas frecuencias ocurre penetración de campo electromagnético despreciable. El trabajo que realiza la fuente 𝑉(𝑡) para elevar el valor de la corriente hasta 𝐼, expresado en términos de los campos eléctrico y magnético desarrollados en y alrededor de un circuito conductor, lleva a los parámetros de circuito (resistencia e inductancia) como se muestra en seguida.

Figura 5-24. Cantidades de campos eléctrico y magnético asociados con un circuito portador de corriente.

En la figura 5-24 observe que el circuito conductor, el interior denotado por 𝑉𝑐 , está limitado por S (superficie conductora), con tapas en el espacio donde se imprime el voltaje V. En el espacio, V está especificado por los equipotenciales cuasiestáticos Φ = Φ1 y Φ = Φ2 en los extremos, tal que 𝑉 = Φ1 − Φ2 Con la corriente 𝐼 = − ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 entregada por V hasta la tapa del extremo en la terminal positiva e ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 saliendo del lado negativo, la energía que proporciona 𝑉(𝑡) en la cantidad 𝑉 𝑑𝑞 = 𝑉𝐼 𝑑𝑡 se escribe como 𝑉𝐼 𝑑𝑡 = [(Φ1 − Φ2 ) ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝑠] 𝑑𝑡[J] ⇝ (5 − 64) 𝑠

El campo eléctrico en cualquier parte dentro del conductor es (5-48) 𝐄 = −∇Φ −

𝜕𝐀 ⇝ (5 − 65) 𝜕𝑡

243

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

A esta última expresión se le da una interpretación de relación de energía multiplicando internamente (5-65) por 𝐉𝑑𝑣 e integrando el resultado a través de todo el volumen 𝑉𝑐 del conductor; entonces 𝜕𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 [W] 𝑉𝑐 𝜕𝑡

∫ 𝐄 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = − ∫ (∇Φ) ⋅ 𝐉𝑑𝑣 − ∫ 𝑉𝑐

𝑉𝑐

Por la identidad ∇ ⋅ (𝑓𝐅) = 𝐅 ⋅ ∇𝑓 + 𝑓(∇ ⋅ 𝐅), se tiene que 𝐉 ⋅ (∇Φ) = div (Φ𝐉) ya que div 𝐉 = 0. Sustituyendo esto en la segunda integral de volumen y aplicando el teorema de la divergencia (2-21), se obtiene − ∮ (Φ𝐉) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝐄 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝑠

𝑉𝑐

𝑉𝑐

𝜕𝐀 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 66) 𝜕𝑡

De la continuidad del flujo de corriente, en las paredes del conductor de la figura 5-24 aparecen sólo corrientes tangenciales, excepto en las tapas de los extremos en el espacio. Allí, Φ = Φ1 en una tapa y Φ = Φ2 en la otra, lo que reduce la integral de superficie de (5-66) precisamente a −∮

(ΦJ) ⋅ 𝑑𝑠 ≡ (Φ1 − Φ2 ) ∮

𝑆𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜

𝐉 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑉𝐼

𝑆𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜

la potencia que entrega V al circuito en cualquier instante. El segundo término de (5-66) es una medida de la energía térmica irreversible que se disipa en el volumen; su valor es 𝐼 2 𝑅, que define la resistencia a baja frecuencia del conductor R mediante 𝑅=

1 ∫ 𝜎𝐄 2 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 67) 𝐼 2 𝑉𝑐

Sustituyendo las dos últimas expresiones en (5-66) se obtiene 𝑉𝐼 = 𝑅𝐼 2 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝑉𝑐

𝜕𝐀 𝑑𝑣 𝜕𝑡

pero la energía disipada por V en el tiempo 𝑑𝑡 es

244

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑉𝐼𝑑𝑡 = 𝑅𝐼 2 𝑑𝑡 + ∫ 𝐉 ⋅ (𝑑𝐀) 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 68a) 𝑉𝑐

que se simboliza como 𝑑𝑈𝑠 = 𝑑𝑈ℎ + 𝑑𝑈𝑚 ⇝ (5 − 68b) Integrando (5-68a) con respecto al tiempo se obtiene el resultado 𝑡

𝑡

𝐴 2

𝑈𝑠 = ∫ 𝑉𝐼 𝑑𝑡 = 𝑅 ∫ 𝐼 𝑑𝑡 + ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 69) 0

0

𝑉𝑐

0

que da el trabajo realizado por V para traer al circuito hasta su estado final. El último término se interpreta como la energía 𝑈𝑚 disipada para establecer el campo magnético (la energía almacenada en el campo) 𝐴

𝑈𝑚 = ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 [J] 𝑉𝑐

En general ⇝ (5 − 70)

0

La interpretación de (5-70) es directa. La densidad de corriente en cualquier punto en el conductor es 𝐉, con el potencial magnético vectorial A allí. Tanto 𝐉 como A son campos, de manera que dependen generalmente de la posición en 𝑉𝑐 . La ecuación (5-70) expresa qué la 𝐴

energía almacenada en el campo magnético es la integral de [∫0 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 en todo el volumen 𝐴

del conductor, en que en cualquier 𝑑𝑣, ∫0 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀 denota la integral de 𝐽 𝑑𝐴 cos 𝜃 conforme el potencial A allí se eleva desde cero hasta su magnitud final A. Note que el integrando tiene las unidades de joules por metro cúbico. Para un circuito lineal, A en todas partes en el conductor es proporcional a la densidad 𝐉 de corriente (en consecuencia, a la corriente total 𝐼). Si el circuito fuera no lineal, la relación entre A y el valor de 𝐉 en cada elemento de volumen en el conductor no sería una línea recta. Para un medio magnético lineal, el potencial vectorial en todas partes en 𝑉𝑐 es proporcional a las densidades 𝐉 comprendidas. Suponga que 𝐉 se acumula en forma lineal desde cero hasta su valor final (cuasiestático) 𝐉(𝑓) igualmente en el tiempo 𝑡0 como se ilustra en la figura 5-25. 245

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Se hace 𝐉 = 𝜏𝐉(𝑓) , en que 𝜏 = 𝑡/𝑡0, una variable normalizada en el tiempo. La linealidad implica que A en el mismo punto queda como 𝐀 = 𝜏𝐀(𝑓) , lo que hace 𝑑𝐀 = 𝐀(𝑓) 𝑑𝑟. Con estas sustituciones, la energía magnética (5-70) queda como 𝑈𝑚 =

1 ∫ 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 [J] Circuito lineal ⇝ (5 − 71) 2 𝑉𝑐

si se suprime la notación de exponente (𝑓) del valor final. Note que (5-71) es aplicable solamente a un sistema lineal. Como su versión más general, (5-70), expresa la energía que se gasta para establecer el campo magnético, a través de una integración que se debe de tomar solámente en toda la región de volumen conductora que posee las densidades de corriente J.

Figura 5-25. Acumulación simultánea de 𝑱 y A en un elemento típico de volumen 𝑑𝑣 en un conductor, al llevar a la corriente desde 0 hasta el valor final I.

La autoinductancia de un circuito lineal se define en términos de la energía (5-71). Contiene un producto de 𝐉 y A y por tanto es proporcional a 𝐼 2 , en que 𝑈𝑚 =

1 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 ∝ 𝐼 2 2 ∫𝑉𝑐 ⇝ (5 − 72) 1 = 2 𝐿𝐼 2 [J]

en que a la constante L de proporcionalidad se le conoce como la autoinductancia del circuito, expresado en joules por ampere cuadrado, o henry. Despejando L que expresa

la

autoinductancia en función de la energía magnética como sigue: 𝐿=

2𝑈𝑚 1 = 2 ∫ 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 [H] ⇝ (5 − 73) 𝐼2 𝐼 𝑉𝑐

suponiendo que el circuito es lineal (está sumergido en un medio magnético lineal).

246

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

5.11.2. Autoinductancia de un circuito en el espacio vacío Las expresiones (5-72) y (5-73) se simplifica para un circuito lineal sin materiales magnéticos (por ejemplo, una bobina de núcleo de aire, línea de alambres paralelos y demás) utilizando la integral (5-28a) de espacio vacío para A 𝜇0 𝐉(𝑢´1 , 𝑢´2 , 𝑢´3 ) 𝑑𝑣´ ⇝ (5 − 28a) 4𝜋𝑅 𝑉𝑐

𝐀(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = ∫

Figura 5-26. Circuito en el espacio vacío, que muestra el punto de la fuente P' y el punto del campo P relativo a las integrales de energía y de autoinductancia.

El circuito de la figura 5-26 ilustra las cantidades que se necesitan para evaluar A en un punto P de campo físico utilizando (5-28a). Al sustituirlo en (5-72), la integral de energía magnética (5-71) queda como 1 𝜇0 𝐉´ 𝑑𝑣´ ] ⋅ 𝐉𝑑𝑣 𝑈𝑚 = ∫ [∫ 2 𝑉𝑐 𝑉𝑐 4𝜋𝑅 también se escribe como 𝑈𝑚 =

1 𝜇0 𝐉´ ⋅ 𝐉𝑑𝑣´ ∫ [∫ ] ⋅ 𝐉𝑑𝑣 Espacio vacío ⇝ (5 − 74) 2 𝑉𝑐 𝑉𝑐 4𝜋𝑅

El resultado (5-74) es independiente del orden de integración, pero note el uso de la densidad de corriente con primas (′) 𝐉′ en el punto 𝑃′ de la fuente para evitar confusión con 𝐉 en el punto 𝑃 del campo. Utilizando (5-72), la expresión correspondiente de autoinductancia queda como

247

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐿=

2𝑈𝑚 1 𝜇0 𝐉´ ⋅ 𝐉𝑑𝑣´ 𝑑𝑣 [H] Espacio vacío ⇝ (5 − 75) ∫ ∫ = 𝐼2 𝐼 2 𝑉𝑐 𝑉𝑐 4𝜋𝑅

Aquí no se usa explícitamente (5-75) en los cálculos de autoinductancia. 5.11.3. Autoinductancia a partir de una integración en todo el espacio De (5-70) se obtiene otra expresión para la energía magnética de un circuito en función de los campos B y H del sistema. Las densidades de corriente 𝐉 en el conductor están relacionadas con H por (5-2) para campos cuasiestáticos: 𝐉 = ∇ × 𝐇. Utilizando la identidad vectorial , ∇ ⋅ (𝐅 × 𝐆) = 𝐆 ⋅ (∇ × 𝐅) − 𝐅(∇ × 𝐆), se tiene 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀 en (5-70) se escribe como 𝐉 ⋅ (𝑑𝐀) = (𝑑𝐀) ⋅ (∇ × 𝐇) = ∇[𝐇 × (𝑑𝐀)] + 𝐇 ⋅ ∇ × (𝑑𝐀) = ∇ ⋅ [𝐇 × (𝑑𝐀)] + 𝐇 ⋅ 𝑑𝐁 Sustituyendo ésta en (5-70) y aplicando el teorema de la divergencia (2-21) a la primera integral de volumen se obtiene 𝐴

𝐵

𝑈𝑚 = ∫ [∫ ∇ ⋅ (𝐇 × 𝑑𝐀)] 𝑑𝑣 + ∫ [∫ 𝐇 ⋅ 𝑑𝐁] 𝑑𝑣 𝑉

0

𝑉

𝐴

0 𝐵

= ∮ [∫ (𝐇 × 𝑑𝐀)] ⋅ 𝑑𝑠 + ∫ [∫ 𝐇 ⋅ 𝑑𝐁] 𝑑𝑣 𝑆

0

𝑉

0

pero la integral de superficie en esta última se desvanece conforme S se extiende para incluir todo el espacio, debido a que H y A decrecen al menos en proporción de 𝑟 −2 y 𝑟 −1 respectivamente en regiones remotas, en tanto que el área superficial sólo aumenta en proporción de 𝑟 2 . Por tanto, la energía magnética utilizada para establecer los campos de un circuito cuasiestático queda como 𝐵

𝑈𝑚 = ∫ [∫ 𝐇 ⋅ 𝑑𝐁] 𝑑𝑣 [J] En general ⇝ (5 − 76) 𝑉

0

Como con (5-70), la energía (5-76) es correcta independientemente de que el circuito sea lineal, aunque (5-70) requiere de la integración solamente a través del volumen conductor, mientras que (5-76) debe de ser integrada en todo el espacio para obtener el mismo resultado.

248

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Se simplifica (5-76) si el sistema es lineal, utilizando el hecho que (5-76) tiene forma análoga a (5-70). Ya que esta última se transforma a la (5-71) para un sistema linea se escribe l, de (5-76) 𝑈𝑚 =

1 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 [J] Circuito lineal ⇝ (5 − 77) 2 𝑉

La integral 𝐁 ⋅ 𝐇/2, cuyas unidades son joule por metro cúbico, se conoce como la densidad de energía magnética en la región de volumen V. Otra expresión para la autoinductanda del circuito de la figura 5-24 se obtiene igualando (5-77), con la definición (5-72) se tiene 𝐿=

2𝑈𝑚 1 = 2 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇𝑑𝑣 ⇝ (5 − 78) 2 𝐼 𝐼 𝑉

Separando (5-77) en dos integraciones de volumen como sigue: 𝑈𝑚 =

1 1 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 + ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 79) 2 𝑉𝑖 2 𝑉𝑒

atribuyendo la energía total 𝑈𝑚 a dos contribuciones: una asociada con el volumen 𝑉𝑖 dentro del conductor, más otra fuera del mismo. Sustituyendo (5-79) en (5-78), la inductancia total se expresa 𝐿=

2𝑈𝑚 1 1 = 2 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 + 2 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 = 𝐿𝑖 + 𝐿𝑒 ⇝ (5 − 80) 2 𝐼 𝐼 𝑉𝑖 𝐼 𝑉𝑒

El primer término, 𝐿𝑖 se conoce como la autoinductanda interna; en tanto que la integración restante tomada fuera del conductor da la autoinduc tanda externa, 𝐿𝑒 . Ejemplo 5-12. Encontrar solamente la autoinductancia interna asociada con cada longitud ℓ de un alambre recto muy largo que lleva una corriente 𝐼 de baja frecuencia. Para cualquier longitud del único alambre infinitamente largo mostrado, la energía en el campo magnético externo es infinita, lo que se revela al integrar (5-77) para la energía asociada con los campos exteriores B y H; sin embargo, la energía almacenada dentro de una longitud ℓ del conductor es finita. De (5-80) se obtiene la inductancia interna asociada

249

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐿𝑖 =

2𝑈𝑚,𝑖𝑛 1 = 2 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 81) 2 𝐼 𝐼 𝑉𝑖

Utilizando (1-34) para 𝐵𝜙 dentro del alambre (se utiliza el factor 𝜇 en caso de un conductor magnético) de (5-81) se obtiene 2𝜋 𝑎 1 1 ℓ 𝜇(𝐼𝜌)2 𝜇ℓ 2 𝐿𝑖 = 2 ∫ 𝜇𝐻𝜙 𝑑𝑣 = 2 ∫ ∫ ∫ 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧 = ⇝ (5 − 82) 𝐼 𝑉𝑖 𝐼 𝑧=0 𝜙=0 𝜌=0 4𝜋 2 𝑎4 8𝜋

un resultado independiente del radio del alambre. En consecuencia, un alambre no magnético tiene una inductancia interna por longitud unitaria 𝐿𝑖 /ℓ = 𝜇0 /8𝜋 = 0.05[μH/m].

Ejemplo 5-12

Ejemplo 5-13. Encontrar la autoinductancia total de cada longitud ℓ de una línea coaxial larga con las dimensiones mostradas. Suponer densidades uniformes de corriente en los conductores. La autoinductancia total se obtiene utilizando (5-78). Los campos magnéticos dentro y entre los conductores, que se obtienen con los métodos del ejemplo 5-1 son

𝐻𝜙 =

𝐻𝜙 =

𝐼𝜌 ;0 < 𝜌 < 𝑎 2𝜋𝑎2

𝐻𝜙 =

𝐼 ;𝑎 < 𝜌 < 𝑏 2𝜋𝜌

𝑐2 − 𝜌) ; 𝑏 < 𝜌 < 𝑐 2𝜋(𝑐 2 − 𝑏 2 ) 𝜌 𝐼

(

con 𝐻𝜙 = 0 fuera del sistema. La autoinductancia interna del conductor interno (1) es (1)

𝐿𝑖

(1)

=

2𝑈𝑚,𝑖𝑛 𝐼2

=

1 𝜇ℓ ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 = ⇝ (1) 2 𝐼 𝑉𝑖(1) 8𝜋

250

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

un resultado igual que (5-82) para el alambre aislado.

Ejemplo 5-13

Una autoinductancia externa atribuida al campo entre los conductores es 𝐿𝑒 =

2𝜋 𝑏 2𝑈𝑚,𝑒𝑥 1 𝜇0 ℓ 𝑑𝜌 𝜇0 ℓ 𝑏 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝜙 𝑑𝑧 = ℓ ⇝ (2) 2 2 2 𝐼 𝐼 𝑉𝑒 4𝜋 𝑧=0 𝜙=0 𝜌=𝑎 𝜌 2𝜋 𝑛 𝑎

Otra contribución interna por el campo en el conductor (2) da (2)

(2) 𝐿𝑖

=

=

2𝑈𝑚,𝑖𝑛 𝐼2

ℓ

2𝜋

∫ ∫ 0

0

2

𝑐

𝜇 𝑐2 ∫ ( − 𝜌) 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧 2 2 2 2 𝜌 𝑏 4𝜋 (𝑐 − 𝑏 )

𝜇ℓ 𝑐 1 [𝑐 4 ℓ𝑛 − 𝑐 2 (𝑐 2 − 𝑏 2 ) + (𝑐 4 − 𝑏 4 )] ⇝ (3) 2 2 −𝑏 ) 𝑏 4

2𝜋(𝑐 2

La autoinductancia total L de la línea coaxial es consecuentemente la suma de (1), (2) y (3). Si a altas frecuencias se supone que los dos conductores son perfectamente conductores para impedir la penetración de campo hacia ellos, la autoinductancia se reduce a (2) 𝐿ℎ𝑓 ≅ 𝐿𝑒 =

𝜇0 ℓ 𝑏 ℓ ⇝ (5 − 83) 2𝜋 𝑛 𝑎

Ejemplo 5-14. Determinar la autoinductancia a baja frecuencia para una longitud ℓ de la línea larga de alambres paralelos en el espacio vacío mostrada, utilizando (5-73). La integración de (5-73) se realiza dentro de los conductores donde existe 𝐉, de manera que necesita encontrarse A sólo en los conductores. Se podría emplear (5-28) para evaluar A, pero para un solo alambre, aplicando la simetría a (5-22) la respuesta se obtiene con más rapidez. En consecuencia, con 𝜕/𝜕𝑧 = 𝜕/𝜕 𝜙 = 0 y solamente una componente 𝐁 = 𝐚𝜙 𝐵ϕ = ∇ × 𝐀 =

251

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝐚𝜙 (−𝜕𝐴𝑧 /𝜕𝜌, lo que implica que A sólo tiene una componente z como se indica en la parte (b) de la figura anexa. De 𝐵𝜙 = −𝜕𝐴𝑧 /𝜕𝑧, al integrar se obtiene 𝐴𝑧 = − ∫ 𝐵𝜙 𝑑𝜌 + 𝑐 ⇝ (1) con C una constante arbitraria, que depende de la referencia de potencial escogida para 𝐴𝑧 . En consecuencia, de (1), los valores de 𝐴𝑧 dentro y fuera del alambre quedan como 𝐴𝑧 = − ∫

𝜇0 𝐼𝜌 𝜇0 𝐼𝜌 2 𝑑𝜌 + 𝐶 = − + 𝐶1 1 2𝜋𝑎2 4𝜋𝑎2

𝐴𝑧 = − ∫

𝜌 < 𝑎 ⇝ (2)

𝜇0 𝐼 𝜇0 𝐼 𝑑𝜌 + 𝐶2 = − ℓ 𝜌 + 𝐶2 𝜌 > 𝑎 ⇝ (3) 2𝜋𝜌 2𝜋 𝑛

Ejemplo 5-14. (a) Línea de alambres paralelos. (b) Potencial vectorial 𝐴𝑧 asociado con un solo alambre. (c) Suma de potenciales vectoriales en un punto del campo típico en uno de los alambres.

En presencia de ambos conductores, que llevan a 𝐼 y −𝐼 como en (c) de la figura, la 𝐴𝑧 total (1) (2) se obtiene sumando la contribución de cada conductor, denominada 𝐴𝑧 y 𝐴𝑧 Para el conductor (2) 2, escogiendo el potencial cero en 𝜌 = 𝑎2 tal que de (2), 𝐴𝑧 = 0 = −𝜇0 𝐼/4𝜋 + 𝐶1 . De (3), con (2) 𝐴𝑧 = 0 = −(𝜇0 𝐼𝜋)ℓ𝑛 𝑎2 + 𝐶2 , se obtiene 𝐶1 = 𝜇0 𝐼/4𝜋 y 𝐶2 = (𝜇0 𝐼ℓ𝑛 𝑎2 )/4𝜋. En (2) consecuencia, la contribución del alambre 2 que satisface 𝐴𝑧 = 0 en su superficie es

252

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

(2)

𝜇0 𝐼 𝜌 2 (1 − 22 ) ; 𝜌2 < 𝑎2 4𝜋 𝑎 ⇝ (4) 𝜇0 𝐼 𝑎2 =− ℓ𝑛 ; 𝜌2 > 𝑎2 2𝜋 𝜌2

𝐴𝑧 = (2)

𝐴𝑧

En forma análoga, el potencial del alambre 1 que satisface 𝐴𝑧 (1) = 𝐴0 (un valor arbitrario) en su superficie 𝜌1 = 𝑎1 queda como 𝜇0 𝐼 𝜌2 (1 − 12 ) − 𝐴0 ; 𝜌1 < 𝑎1 4𝜋 𝑎1 ⇝ (5) 𝜇 𝐼 𝑎 (1) 𝐴𝑧 = − 0 ℓ𝑛 1 − 𝐴0 ; 𝜌1 > 𝑎1 2𝜋 𝜌1

(1)

𝐴𝑧 = −

(1)

(2)

El potencial total 𝐴𝑧 = 𝐴𝑧 + 𝐴𝑧 2𝜌2 𝑎 cos𝜙 de la parte (c), es

dentro del conductor 2, utilizando 𝜌1 = 𝑎2 + 𝜌22 +

𝜇0 𝐼 𝜌22 𝑎1 [1 − 2 − 2ℓ𝑛 ] − 𝐴0 4𝜋 𝑎2 √𝑑 2 + 𝜌22 + 2𝜌2 𝑑 cos𝜙

𝐴𝑧 =

En el conductor 2, 𝐽𝑧 = 𝐼/𝜋𝑎22 y con 𝑑𝑣 = 𝜌2 𝑑𝜌2 𝑑𝜙 𝑑𝑧, la contribución de la inductancia de una longitud ℓ del conductor 2 solamente, de (5-73) es 𝐿(2) 𝑎2

=∫

2𝜋

∫

{

𝜌=0 𝜙=0

1 ∫ 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 𝐼2 𝑉

𝜇0 ℓ 𝜌22 𝑎1 𝐴0 [1 − ] − 2 } 𝜌2 𝑑𝜌2 𝑑𝜙 2 2 − 2ℓ𝑛 [𝑑 2 2 1/2 4𝜋𝑎2 𝑎2 + 𝜌2 + 2𝜌2 𝑑 cos𝜙] 𝜋𝑎2 𝐼

La contribución integral del tercer término en el integrando se escribe como 𝑎2

∫

2𝜋

∫

[2ℓ𝑛

𝜌=0 𝜙=0

𝑑 𝜌22 2𝜌2 + ℓ𝑛 (1 + 2 + cos𝜙)] 𝜌2 𝑑𝜌2 𝑑𝜙 𝑎1 𝑑 𝑑

en el segundo término se integra a cero (integral 523 de Peirce), para obtener 𝐿(2) = 𝜇0 ℓ [

1 1 𝑑 𝐴0 + ℓ𝑛 ] − 8𝜋 2𝜋 𝑎2 𝐼

Una consideración semejante del conductor 1 da por analogía 𝐿(1) = 𝜇0 ℓ [

1 1 𝑑 𝐴0 + ℓ𝑛 ] + 8𝜋 2𝜋 𝑎1 𝐼

lo que produce la inductancia total 𝐿(1) + 𝐿(2) del sistema de dos alambres 𝐿=

𝜇0 ℓ 𝜇0 ℓ 𝑑2 + ℓ𝑛 ⇝ (5 − 84) 4𝜋 2𝜋 𝑎1 𝑎2

253

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Comparando contra (5-82) se encuentra que el primer término de (5-84) es la inductancia interna, lo que hace del último término la inductancia externa.

5.11.4. Autoinductancia por el método de enlace de flujo La descomposición de la autoinductancia de un circuito en la suma de autoinductancias internas y externas proporcionada por (5-80) está relacionada estrechamente con otra técnica conocida como el método de enlaces de flujo. Este enfoque se basa en el uso de la definición de energía, (5-78), pero remplazando la integración én todo el espacio por una integral de superficie que intercepta todo el flujo magnético del sistema, con lo que la autoinductancia está caracterizada por el enlace de ese flujo con la corriente del circuito. Aquí se describe el método. Para la mayoría de los circuitos, se particiona el flujo magnético total generado por la corriente en dos cantidades: la que está completamente fuera del conductor, más el flujo totalmente interno al conductor. Tal división de flujo ocurre precisamente para el alambre redondo sólo indicado en la Figura 5-27(a), y casi para la línea de dos alambres paralelos mostrados en la misma, especialmente para alambres cuyos diámetros son pequeños en comparación con su separación. Otro ejemplo es la espira mostrada en la figura 5-27(c); para alambre delgado, los tubos de flujo se separa en aquellos totalmente dentro o fuera del alambre como se muestra. El volumen que ocupa el campo magnético es divisible entonces en tubos cerrados de flujo que rodean o están insertados en la corriente. La energía magnética que está contenida en todo el espacio ha estado dada por (5-77) 𝑈𝑚 =

1 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 ⇝ [5 − 77] 2 𝑉

Suponga que se subdivide el volumen del tubo de flujo típico de la figura 5-27(b) en elementos 𝑑𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑ℓ´, en que 𝑑ℓ´ está alineada con la pared del tubo (y por tanto con el campo B) y 𝑑𝑠 denota el área transversal del tubo. Entonces 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 = (𝐚ℓ𝐵) ⋅ 𝐇 𝑑𝑠 𝑑ℓ´ = (𝐚ℓ𝑑ℓ´) ⋅ 𝐇 𝐵𝑑𝑠 = 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ´ 𝑑𝜓𝑚 . Por tanto, si la integración (5-77) de este último es para incluir todos los elementos 𝑑𝑣 donde prevalecen B y H, 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ´ debe de integrarse alrededor de la línea media ℓ´ cerrada del tubo de flujo mostrado, tomando la integración de superficie restante en una superficie abierta S escogida para interceptar todos los tubos de flujo del

254

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

circuito. Para el circuito de una sola vuelta de la figura 5-27(b) ó (c), la S apropiada que intercepta a todos los tubos de flujo es la limitada por

Figura 5-27. Relativo al método de enlaces de flujo. (a) Ejemplos de particionado de flujo interno y externo. (b) Circuito de una sola vuelta (izquierda) que muestra el tubo de flujo externo que enlaza una vez á 𝐼, y un circuito de dos vueltas (derecha) con un tubo de flujo que enlaza a 𝐼 dos veces (que pasa dos veces a través de 𝑆𝑒𝑥 ). (c) Espira de alambre que muestra el flujo interno y externo (izquierda) y un tubo típico de flujo interno (derecha) que enlaza a 𝑖(ℓ´) una fracción de 𝐼.

255

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

una línea cerrada ℓ que esencialmente coincide con el eje del alambre. Por tanto, se escribe la integral (5-77) de energía como 𝑈𝑚 =

1 1 1 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 = ∫ [∮ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ´] 𝑑 𝜓𝑚 = ∫ 𝑖(ℓ´) 𝜓𝑚 [J] ⇝ (5 − 85) 2 𝑉 2 𝑆 ℓ´ 2 𝑆

en que el circuito ℓ limita a S. [Nota: La última integral es la consecuencia de ∮ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ´, integrada alrededor de cualquier tubo de flujo cerrado, que es precisamente la corriente 𝑖(ℓ´) encerrada por ℓ´.] Para todos los tubos de flujo exteriores que pasan a través de 𝑆𝑒𝑥 como se muestra en la figura 5-27(b), la corriente total 𝐼 está enlazada por ℓ´, en tanto que una fracción variable 𝑖(ℓ´) de 𝐼 está enlazada por los tubos de flujo ℓ´ localizados dentro del conductor y que pasan a través de 𝑆𝑖𝑛 , como se muestra en la figura 5-27 (c). En caso de que un circuito ℓ tenga más de una vuelta como en la figura 5-27(b), un tubo de flujo exterior ℓ´ incluso puede abarcar a 𝐼 más de una vez (en general, hasta n veces para una bobina de n vueltas). Por tanto, en tales casos es evidente que el mismo tubo de flujo ℓ´ contribuye a (5-85) sobre la superficie 𝑆𝑒𝑥 varias veces, con lo que se aumenta la energía magnética y la autoinductancia en forma correspondiente.

Figura 5-28. Ejemplos de bobinas de muchas vueltas que tienen autoinductancia interna despreciable. (a) Solenoide con núcleo de aire. (b) Devanado toroideal. (c) Bobina y núcleo de fierro.

El flujo magnético se separa en enlaces internos y externos que pasan a través de 𝑆𝑖𝑛 y 𝑆𝑒𝑥 como se muestra en la figura 5-27(c), conviene separar (5-85) en las contribuciones

256

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑈𝑚 =

𝐼𝜓𝑚,𝑒𝑥 1 1 1 ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 + 𝐼 ∫ 𝑑𝜓𝑚 = ∫ 𝑖 (ℓ´)𝑑𝜓𝑚 + ⇝ (5 − 86) 2 𝑆𝑖𝑛 2 𝑆𝑒𝑥 2 𝑆𝑖𝑛 2

Tabla 5-1. Resumen de relaciones de energía magnética y autoinductancia. Energía magnética Autoinductancia En función de A y J integrados en todo el volumen del conductor En general: 𝐴

𝑈𝑚 = ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 70) 𝑉𝑐

0

Circuito lineal: 1 𝑈𝑚 = ∫ 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 71) 2 𝑉𝑐 En el espacio vacío: 1 𝜇0 𝐉´ ⋅ 𝐉𝑑𝑣´ 𝑈𝑚 = ∫ [∫ ] ⋅ 𝐉𝑑𝑣 ⇝ (5 − 74) 2 𝑉𝑐 𝑉𝑐 4𝜋𝑅

𝐿=

𝐿=

2𝑈𝑚 1 = 2 ∫ 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 73) 2 𝐼 𝐼 𝑉𝑐

1 𝜇0 𝐉´ ⋅ 𝐉 ∫ ∫ 𝑑𝑣´ 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 75) 2 𝐼 𝑉𝑐 𝑉𝑐 4𝜋𝑅

En función de B y H integrados en todo el espacio

En general: 𝐵

𝑈𝑚 = ∫ [∫ 𝐇 ⋅ 𝑑𝐁] 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 76) 𝑉

0

Circuito lineal: 1 𝑈𝑚 = ∫ B ⋅ H 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 77) 2 𝑉 = 𝑈𝑚,𝑖𝑛 + 𝑈𝑚,𝑒𝑥 1 1 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 + ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 2 𝑉𝑖𝑛 2 𝑉𝑒𝑥 ⇝ (5 − 79) Extensión al método de enlaces de flujo: 1 𝑈𝑚 = ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 ⇝ (5 − 85) 2 𝑆 𝐼 𝑑𝜓𝑚,𝑒𝑥 1 = ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 + ⇝ (5 − 86) 2 𝑆𝑖𝑛 2

2𝑈𝑚 1 = 2 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 78) 2 𝐼 𝐼 𝑉 = 𝐿 𝑖 + 𝐿𝑒

𝐿=

=

1 1 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 + 2 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 2 𝐼 𝑉𝑖𝑛 𝐼 𝑉𝑒𝑥

1 ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 𝐼2 𝑆 𝜓𝑚,𝑒𝑥 1 = 2 ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 + ⇝ (5 − 87) 𝐼 𝑆𝑖𝑛 𝐼 𝐿=

En el espacio vacío: 1 𝜇0 𝑑ℓ´ ⋅ 𝑑ℓ 𝐿 = 2 ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 + ∮ ∮ 𝐼 𝑆𝑖𝑛 4𝜋𝑅 ℓ ℓ´ ⇝ (5 − 95) Resumen de relaciones de energía magnética y autoinductancia

En esta última, se advierte que se debe de observar que la cantidad 𝜓𝑚,𝑒𝑥 = ∫𝑆 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 que 𝑒𝑥

aparece en el término de la energía externa denota un flujo total a través de 𝑆𝑒𝑥 , que es el resultado de algunos o todos los tubos de flujo pasan a través de esa superficie más de una vez, 257

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

por ejemplo, como en la figura 5-27(b), o para las bobinas de muchas vueltas ilustradas en la figura 5-28. Utilizando (5-86), la autoinductancia del circuito ℓ está expresada en función de las contribuciones internas y externas como sigue: 𝐿=

𝜓𝑚,𝑒𝑥 2𝑈𝑚 1 1 = 2 ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 = 2 ∫ 𝑖(ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 + ⇝ (5 − 87) 2 𝐼 𝐼 𝑆 𝐼 𝑆𝑖𝑛 𝐼

Tal que la inductancia externa está dada por 𝐿𝑒 =

𝜓𝑚,𝑒𝑥 1 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (5 − 88a) 𝐼 𝐼 𝑆𝑒𝑥

O justo el flujo magneticos total que penetra 𝑆𝑒𝑥 dividido entre la corriente I. La inductancia interna es 𝐿𝑖 =

1 ∫ 𝑖(ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 ⇝ (5 − 88𝑏) 𝐼 2 𝑆𝑖𝑛

una consecuencia de 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 integrada en la franja interna apropiada 𝑆𝑖𝑛 que está conectada con el eje del alambre, como se muestra en la figura 5-27(c). En el ejemplo 5-15 se ilustra el uso de esta última para un alambre recto largo. En tanto que el volumen del conductor interno de un circuito es pequeño, los campos magnéticos son relativamente grandes allí; las circunstancias individuales dictarán si la inductancia interna es despreciable o no. Para circuitos con flujos externos grandes tales como aquellos con núcleos de fierro, generalmente la autoinductancia total está bien aproximada por (5-88a), que es la autoinductancia externa. Ejemplo 5-15. Determinar la autoinductancia interna de cada longitud ℓ del alambre infinitamente largo mostrado que lleva la corriente 𝐼 de baja frecuencia. Utilizar (5-88b), empleando el método de los enlaces de flujo. En la figura adjunta se muestra un tubo de flujo típico ℓ´ que lleva 𝑑𝜓𝑚 = 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 a través de 𝑆𝑖𝑛 . Con el B interno obtenido de (1-34), el flujo en el tubo es 𝑑𝜓𝑚 = 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝐵𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝑧 =

𝜇𝐼𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧 2𝜋𝑎2

258

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

La corriente 𝑖(ℓ´) interceptada por 𝑑𝜓𝑚 es la fracción 𝐼(𝜋𝜌 2 /𝜋𝑎2 ) = 𝐼(𝜌 2 /𝑎2 ), que dé (588b) se obtiene 𝐿𝑖 =

𝑎 1 1 ℓ 𝜌 2 𝜇𝐼𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝑧 𝜇ℓ ∫ 𝑖(ℓ´) 𝑑𝜓 = ∫ ∫ (𝐼 )( )= ⇝ (5 − 89) 𝑚 2 2 2 2 𝐼 𝑆𝑖𝑛 𝐼 𝑧=0 𝜌=0 𝑎 2𝜋𝑎 8𝜋

que concuerda con (5-82).

Ejemplo 5-15

Ejemplo 5-16. Determinar la autoinductancia aproximada de una longitud ℓ de una línea larga de alambres paralelos mostrada en (a), utilizando el método de enlace de flujo. Suponer que los radios son pequeños en comparación con la separación d.

Ejemplo 5-16. (a) Línea de alambres paralelos y superficies enlazadas por los flujos magnéticos internos y externos. (b) División de flujos internos y externos para alambres delgados. (c) Efectos de proximidad para alambres gruesos.

Para conductores bien separados como en figura (b), el campo interno es esencialmente el de un conductor aislado, lo que hace que la autoinductancia interna para ambos conductores sea justo del doble (5-89), es decir, 𝐿𝑖 = 𝜇ℓ/4𝜋. La inductancia externa se encuentra utilizando (5-88), la rapidez del flujo magnético a través de 𝑆𝑒𝑥 de (a), dividida entre 𝐼, pero el flujo total es sólo el doble del que pasa a través de 𝑆𝑒𝑥 debido a un alambre, dado por

259

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS ℓ

∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑆𝑒𝑥

𝑑−𝑎

∫

𝑧=0 𝜌=𝑎

𝜇0 𝐼 𝜇0 𝐼ℓ 𝑑 ( 𝐚𝜙 ) ⋅ 𝐚𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝑧 ≅ ℓ ⇝ (1) 2𝜋𝜌 2𝜋 𝑛 𝑎

que da para ambos alambres 𝐿0 =

𝜓𝑚,𝑒𝑥 𝜇0 ℓ 𝑑 = ℓ ⇝ (2) 𝐼 𝜋 𝑛𝑎

La autoinductancia total es la suma 𝐿 = 𝐿𝑖 + 𝐿𝑒 =

𝜇ℓ 𝜇0 ℓ 𝑑 + ℓ [H] ⇝ (5 − 90) 4𝜋 𝜋 𝑛𝑎

Un resultado que se ve que concuerda con la expresión exacta (5-84) haciendo 𝑎1 = 𝑎2 en la segunda y suponiendo un alambre no magnético. Para una línea no magnética de alambres paralelos con 𝑑 = 12[pulgadas] y 𝑎 = 0.1[pulg]. Se obtiene 𝐿/ℓ = 10−7 + (4 × 10−7 )ℓ𝑛 120 = 2.02[𝜇H/m] Al despreciar la inductancia interna se incurriría en un error próximo al 5 % en el este ejemplo, lo que no constituye una cantidad despreciable.

Al calcular la autoinductancia a bajas frecuencias, en algunos casos la contribución de la inductancia interna es bastante pequeña; en otros no debe de despreciarse. La inductancia interna de una bobina de núcleo de aire y una sola capa de varias vueltas ilustrada en la figura 5-28(a) contribuye poco a la autoinductancia si el volumen del alambréis pequeño en comparación con la región donde están localizados los campos significativos. En el toroide espaciado estrechamente como en la figura 5-28(b), en que cada vuelta intercepta a todo el flujo del núcleo, la autoinductancia es proporcional al cuadrado de las vueltas, como se ve en el ejemplo 5-17. La adición de un núcleo de fierro en forma del circuito magnético de baja reactancia de la figura 5-28(c) aumenta apreciablemente más la autoinductancia. En estos casos es insignificante el efecto agregado de la inductancia interna. Ejemplo 5-17. Encontrar la autoinductancia de un toroide de n vueltas con sección transversal rectangular como se muestra, para dos casos: (a) con un núcleo de aire, suponiendo vueltas apretadas y (b) con el núcleo de un material ferromagnético lineal (𝜇 constante).

260

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Ejemplo 5-17

(a) Del ejemplo 5-2, el flujo magnético en el núcleo de aire es 𝜓𝑚, nucleo =

𝜇0 𝑛𝐼𝑑 𝑏 ℓ 2𝜋 𝑛 𝑎

Una inspección de la superficie 𝑆𝑒𝑥 limitada por el circuito ℓ, dada en la figura 528(b), revela que 𝑆𝑒𝑥 interceptan 𝑛 veces el flujo del núcleo, 𝜓𝑚,𝑒𝑥 = 𝑛𝜓𝑚, 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 de 𝑆𝑒𝑥 . Por tanto, la autoinductancia de (5-88a) queda como 𝐿 ≅ 𝐿𝑒 =

𝜓𝑚,𝑒𝑥 𝑛𝜓𝑚, nucleo 𝜇0 𝑛2 𝑑 𝑏 = = ℓ ⇝ (5 − 91a) 𝐼 𝐼 2𝜋 𝑛 𝑎

despreciando la inductancia interna. Por tanto, un toroide con núcleo de aire de 100 vueltas con las dimensiones 𝑎 = 1 [cm], 𝑏 = 3 [cm], 𝑑 = 0.5 [cm] tiene la inductancia 𝐿 = (4𝜋 × 10−7 × 1002 × 0.005ℓ𝑛 3)/2𝜋 = 11.0 [μH] Se ve que al duplicar las vueltas hasta 200 se cuadruplica la inductancia. (b) Insertando un núcleo de fierro con permeabilidad 𝜇 (5-91a) queda como 𝜇𝑛2 𝑑 𝑏 𝐿= ℓ ⇝ (5 − 91b) 2𝜋 𝑛 𝑎 Utilizar un material ferromagnético lineal con 𝜇𝑟 = 1000 hace que la inductancia del toroide de 100 vueltas sea 1000 veces mayor, para dar 𝐿 = 11.0[mH].

5.11.5. Fórmula de Neumann para la inductancia externa en el espacio vacío Una extensión de la expresión (5-87) de enlace de flujo lleva a la fórmula de Neumann, aplicable a los circuitos en el espacio vacío. La ecuación (5-87) consiste en función de la autoinductancia externa e interna como sigue: 𝐿=

𝜓𝑚,𝑒𝑥 2𝑈𝑚 1 = 2 ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 + = 𝐿𝑖 + 𝐿𝑒 ⇝ [5 − 87] 2 𝐼 𝐼 𝑆𝑖𝑛 𝐼 261

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Considere primero sólo el término de la inductancia externa (5-88a) de (5-87), que comprende el flujo 𝜓𝑚,𝑒𝑥 enlazado por la superficie externa 𝑆𝑒𝑥 limitada por la ℓ del circuito. De (5-47), se expresa como 𝜓𝑚,𝑒𝑥 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ (∇ × 𝐀) ⋅ 𝑑𝑠 = ∮ 𝐀 ⋅ 𝑑 ℓ [Wb] ⇝ (5 − 92) 𝑆𝑒𝑥

𝑆𝑒𝑥

ℓ

Con (5-92), (5-88a) queda como 𝐿𝑒 =

𝜓𝑚,𝑒𝑥 1 1 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = ∮ 𝐀 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (5 − 93) 𝐼 𝐼 𝑆𝑒𝑥 𝐼 ℓ

En el espacio vacío, se encuentra el potencial magnético vectorial A usando (5-28a) 𝜇0 𝐉(𝜇´1 , 𝜇´2 , 𝜇´3 ) 𝑑𝑣´ ⇝ (5 − 28𝑎) 4𝜋𝑅 𝑉𝑐

𝐀(𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) = ∫

Aplicada al circuito de la figura 5-29(a), (5-28a) obtiene A en el punto típico de campo P localizado en ℓ y que limita a 𝑆𝑒𝑥 . Otra integración de 𝐀 ⋅ 𝑑ℓ alrededor de ℓ de acuerdo con (5-93) obtiene entonces la autoinductancia externa del circuito. Estos pasos se combinan sustituyendo (5-28a) en (5-93) para dar

𝐿𝑒 =

1 𝜇0 𝐉 𝑑𝑣´ ∮ [∫ ] ⋅ 𝑑ℓ [H] ⇝ (5 − 94a) 𝐼 ℓ ℓ 4𝜋𝑅

Figura 5-29. Un circuito cerrado en el espacio vacío, con relación a cálculos de autoinductancia externa. (a) Circuito de alambre que muestra los puntos P' y P de la fuente y del campo. (b) Simplificación de (a), con las fuentes 𝐼𝑑ℓ´ concentradas en el eje del alambre.

262

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Esta integracion cuadruple se simplifica para un circuito de alambre delgado se considera que I esta concentradad en el eje del alambre como en la figura 5-28(b). Entonces 𝐉 𝑑𝑣´ se reduce a 𝐼𝑑ℓ´, lo que reduce (5-94a) a

𝐿𝑒 =

1 𝜇0 𝑑ℓ´ 𝜇0 𝑑ℓ´ ⋅ 𝑑ℓ ∮ [∮ ] ⋅ 𝑑ℓ = ∮ ∮ ⇝ (5 − 94b) 𝐼 ℓ ℓ´ 4𝜋𝑅 4𝜋𝑅 ℓ ℓ´

un resultado que se conoce como la fórmula de Neumann para la inductancia externa de un circuito delgado en el espacio vacío. No importa el orden de las integraciones con respecto a 𝑑ℓ´ y 𝑑ℓ, y por tanto, respecto de las coordenadas del punto de la fuente y del punto del campo. De (5-87), la autoinductancia total L se obtiene sumando (5-94b) al término de la inductancia interna ya que esta es una medida de la energía interna magnética almacenada, se expresa 𝐿𝑖 utilizando (5-81) ó (5-88b); por tanto, en el espacio vació, 𝐿 = 𝐿𝑖 + 𝐿𝑒 queda como 𝐿=

1 𝜇0 𝑑ℓ´ ⋅ 𝑑ℓ 1 𝜇0 𝑑ℓ´ ⋅ 𝑑ℓ ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 + ∮ ∮ = 2 ∫ 𝑖 (ℓ´) 𝑑𝜓𝑚 + ∮ ∮ ⇝ (5 − 95) 2 𝐼 𝑉𝑖𝑛 4𝜋𝑅 𝐼 𝑆𝑖𝑛 4𝜋𝑅 ℓ ℓ´ ℓ ℓ´ Ejemplo 5-18. Encontrar la autoinductancia de una espira de alambre delgada y circular en el espacio vacío, con las dimensiones como en (a). Utilizar la fórmula de Neumann (5-94b).

Ejemplo 5-18. (a) Espira circular de alambre redondo. (b) Aproximación axial de corriente de línea de (a).

La corriente que se supone concentrada en el eje del alambre como en (b) permite utilizar (594b). En coordenadas cilíndricas, 𝑑ℓ´ = 𝐚𝜙 𝑏 𝑑𝜙´ en el punto de la fuente 𝑃´(𝑏, 𝜙´, 0) en el eje ℓ´.De la simetría circular, no importa la ubicación del punto P del campo en ℓ de manera que se pone P en 𝜙 = 0; es decir, en 𝑃(𝑏 − 𝑎, 0, 0). La ley de los cosenos 𝑅 = √𝑏 2 + (𝑏 − 𝑎)2 − 2𝑏(𝑏 − 𝑎)cos𝜙´ ⇝ (1)

263

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

da la distancia desde 𝑃´ hasta 𝑃 en tanto que 𝑑ℓ´ ⋅ 𝑑ℓ en (5-94b), de la parte (b), significa 𝑑ℓ´𝑑ℓ cos𝜙´ (que implica que en la integración sólo se requiere la componente de A paralela a 𝑑ℓ en 𝑃). Entonces (5-94b) queda como 2𝜋

𝐿𝑒 = ∫

2𝜋

𝜇0 𝑏(𝑏 − 𝑎)cos𝜙´𝑑𝜙´ 𝑑𝜙

∫

𝜙=0 𝜙´=0 4𝜋√𝑏

=

2

+ (𝑏 − 𝑎)2 − 2𝑏(𝑏 − 𝑎) cos𝜙´

𝜇0 𝑏(𝑏 − 𝑎) 2𝜋 cos𝜙´ 𝑑𝜙´ ∫ ⇝ (5 − 96) 2 2 2 𝜙´=0 √𝑏 + (𝑏 − 𝑎) − 2𝑏(𝑏 − 𝑎) cos𝜙´

Este resultado no es integrable en forma directa, aunque con valores numéricos para a y b se llega a la solución por computadora. Una alternativa utiliza valores tabulados de las integrales elípticas completas 𝐾(𝑘) y 𝐸(𝑘) Una conversión de (5-96) en función de esas integrales se logra como sigue. Se cambia la variable 𝜙´ a 2𝛼, haciendo 𝑑𝜙´ = 2𝑑𝛼 y cos𝜙´ = 2𝛼 = 2cos 2 𝛼 − 1, en que los límites en 𝛼 van desde 0 hasta 𝜋. Entonces R en (5-96) queda como 𝑅 = √𝑏 2 + (𝑏 − 𝑎)2 − 2𝑏(𝑏 − 𝑎) (2cos 2 𝛼 − 1) = √(2𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑏(𝑏 − 𝑎) cos 2 𝛼 = √(2𝑏 − 𝑎)2 − (1 − 𝑘 2 cos 2 𝛼) ⇝ (2) si 𝑘 2 = 4𝑏(𝑏 − 𝑎)/(2𝑏 − 𝑎)2 . Las integrales elípticas completas definidas por 𝜋/2

𝐾(𝑘) = ∫

𝜋/2

𝑑𝜃 √1 − 𝑘 2 sin 𝜃

0

;

𝐸(𝑘) = ∫

√1 − 𝑘 2 sin2 𝜃 𝑑𝜃 ⇝ (5 − 97)

0

se incorporan en (5-96) como sigue. Usando (2), la integral en (5-96) queda como 2𝜋

𝜋

∫

=∫

𝜙´=0

0

2 cos 2𝛼 𝑑𝛼 (2𝑏 − 𝑎)√1 − 𝑘 2 cos 2 𝛼

=

1 √𝑏(𝑏 − 𝑎)

𝜋

∫ 0

𝑘 cos 2α dα √1 − 𝑘 2 cos 2 𝛼

⇝ (3)

pero el numerador de (3) se escribe 𝑘 cos 2𝛼 = 𝑘(2cos 2 𝛼 − 1) = 2𝑘 cos 2 𝛼 − 𝑘 + =

2 2 − 𝑘 𝑘

2 2 2 2 (𝑘 cos 𝛼 − 1) + ( − 𝑘) 𝑘 𝑘

para dar una conversión adicional de (3) 2 ( − 𝑘) 𝑑𝛼 2 𝜋 𝑘 ∫ = {∫ − ∫ √1 − 𝑘 2 cos 2 𝛼 𝑑𝛼 } √𝑏(𝑏 − 𝑎) 0 √𝑏(𝑏 − 𝑎) 0 √1 − 𝑘 2 cos 2 𝛼 𝑘 0 1

𝜋

1

𝜋

Una inspección de la última integral muestra que

264

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS 𝜋

𝜋/2

∫ √1 − 𝑘 2 cos 2 𝛼 𝑑𝛼 = 2 ∫ 0

√1 − 𝑘 2 cos 2 𝛼 𝑑𝛼

0 𝜋/2

= 2∫

√1 − 𝑘 2 sin2 𝛼 𝑑𝛼

0

que dé (5-97) es precisamente 2𝐸(𝑘). Una consideración semejante de la integral anterior en (4) revela que es justamente 2𝐾(𝑘), de manera que ahora (5-96) queda como 2 𝐿𝑒 = 𝜇0 √𝑏(𝑏 − 𝑎) [( − 𝑘) 𝐾(𝑘) − 𝐾𝐸(𝑘) ] ⇝ (5 − 98) 𝑘 Se utiliza los valores tabulados de 𝐾(𝑘) y 𝐸(𝑘) en (5-97) para evaluar 𝐿𝑒 de una espira circular con dimensiones deseadas. Para alambres delgados (𝑎 ≪ 𝑏), las integrales elípticas están aproximadas por 𝐾(𝑘) = ℓ𝑛 [

8𝑏 − 4] ; 𝐸(𝑘) ≅ 1 ; 𝑎

𝑎 ≪ 𝑏 ⇝ (5 − 99)

que produce la simplificación 𝐿𝑒 ≅ 𝜇0 𝑏 (ℓ𝑛

8𝑏 − 2) 𝑎

𝑎 ≪ 𝑏 ⇝ (5 − 100)

Por ejemplo, un alambre de 2[mm] de diámetro formando un círculo de 10[cm] de radio tiene la inductancia externa 𝐿𝑒 = (4𝜋 × 10−7 )(0.1)(ℓ𝑛 800 − 2) = 0.588 [𝜇H]. El campo magnético interno de la espira es virtualmente el de un alambre recto y aislado, que hace que sus inductancias internas casi sean las mismas. Al aplicar los resultados del ejemplo 5-12, la inductancia interna aproximada de la espira queda como 𝐿𝑖 ≅

𝜇(2𝜋𝑏) 𝜇𝑏 = ⇝ (5 − 101) 8𝜋 4

Con 𝑏 = 10[cm] y suponiendo alambre no magnético, 𝐿𝑖 = 0.031 [𝜇H]. Por tanto, la autoinductancia expresada por (5-93) queda 𝐿 = 𝐿𝑒 + 𝐿𝑖 = 0.619 [𝜇H], en que se ve que 𝐿𝑒 es el término predominante.

5.11.6. Relación de voltaje de Kirchhoff a partir de consideraciones de energía Para concluir las observaciones relativas al circuito de la figura 5-30(a), se obtiene una ecuación de voltaje del tipo de Kirchhoff que se sustituye en la (5-63) para aquél a partir de la expresión de energía (5-68a) 𝑉 𝐼 𝑑𝑡 = 𝑅𝐼 2 𝑑𝑡 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀 𝑑𝑣 ⇝ [5 − 68a] 𝑉𝑐

que se abrevia como 265

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑑𝑈𝑠 = 𝑑𝑈ℎ + 𝑑𝑈𝑚 ⇝ [5 − 86b] Dividiendo entre 𝑑𝑡 se obtiene 𝑉𝐼 = 𝑅𝐼 2 +

𝑑𝑈𝑚 ⇝ (5 − 102) 𝑑𝑡

que significa la potencia instantánea que entrega V: la suma de la perdida instantánea de calor mas 𝑑𝑈𝑚 ⁄𝑑𝑡, la potencia entregada al campo magnético (rapidez de almacenaje o liberación de energía magnetica) Dividido entre I se produce una relación de voltaje. 𝑉 = 𝑅𝐼 +

1 𝑑𝑈𝑚 ⇝ (5 − 103) 𝐼 𝑑𝑡

en que 𝑈𝑚 , la energía instantánea magnética almacenada, está especificada por cualquiera de las expresiones enlistadas en la tabla 5-1, dependiendo de que el sistema sea magnéticamente lineal. Para un circuito lineal, (5-78) atribuye una autoinductancia L a la energía del circuito 𝑈𝑚 =

1 2 𝐿𝐼 ⇝ (5 − 104) 2

Con L constante, el último término de (5-103) queda como 1 𝑑𝑈𝑚 1 𝑑 1 2 𝑑(𝐿𝐼) ( 𝐿𝐼 ) = = ⇝ (5 − 105) 𝐼 𝑑𝑡 𝐼 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 lo que hace de (5-103) una relación de voltaje comparable a la expresión de Kirchhoff (5-61); es decir 𝑉 = 𝑅𝐼 +

𝑑(𝐿𝐼) ⇝ (5 − 106) 𝑑𝑡

La ecuación (5-106) expresa que el voltaje aplicado 𝑉(𝑡) mantiene dos efectos: (a) una caída de voltaje 𝑅𝐼 asociada con la resistencia 𝑅 del circuito y (b) un voltaje atrasado 𝑑(𝐿𝐼)/𝑑𝑡 ó 𝐿 𝑑𝐼/𝑑𝑡 producido por el flujo magnético variable en el tiempo que enlaza el circuito, flujo producido por 𝐼. Debido a la separación de estos efectos en dos términos, se engloba

266

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

apropiadamente el voltaje resistivo y el voltaje autoinducido para dar el modelo de circuito en serie de la figura 5-30.

Figura 5-30. Desarrollo de modelos de circuito para el circuito de la figura 5-24. (a) Circuito físico forzado por 𝑉(𝑡). (b) Modelo de circuito que muestra los términos de (5-106). (c) Modelo de circuito que utiliza elementos agrupados.

En la tabla 5-1 se proporciona un resumen de las expresiones para la energía magnética descritas en el estudio anterior, junto con las expresiones para la inductancia del circuito cuando el sistema es lineal. 5.12.

Circuitos acoplados e inductancia mutua

Además del circuito simple de la figura 5-24, también son de interés físico un par de esos circuitos acoplados electromagnéticamente por los campos variables en el tiempo generados por su corriente. Los ejemplos son los transformadores con núcleo de fierro y de aire de la figura 5-31 (a), que tiene fuentes activas en uno o ambos devanados. En (b) se ilustra una generalización. El análisis de circuitos acoplados desde el punto de vista de la energía magnética corre bastante paralelo al del circuito simple. Considere el par de circuito de la figura 5-31(b) con una fuente motriz 𝑉(𝑡) en el circuito 1, que produce la corriente 𝐼1 (𝑡) en el primario. Esta genera un campo 𝐁1 , cuyo flujo no sólo enlaza al circuito 1 sino alguna fracción del mismo (gobernada por la geometría y la presencia de cuerpos ferromagnéticos) también enlaza al circuito 2 para generar una fem alrededor de cada circuito de acuerdo con la ley de Faraday, (3-78). La siguiente corriente 𝐼2 produce un campo 𝐁2 que reacciona en forma semejante en el 267

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

circuito 2 mientras que también enlaza parcialmente al circuito 1, con lo que establece una fem adicional atrás en cada uno para modificar a 𝐼2 e 𝐼1 en forma acorde. Usando las ecuaciones de voltaje de Kirchhoff desarrolladas más adelante en esta sección, se trata en forma conveniente la influencia de estos efectos de acoplamiento mutuo sobre el flujo de la corriente. El acoplamiento magnético mutuo entre los circuitos lleva a sus parámetros de inductancia mutua, desarrollados en los siguientes párrafos.

Figura 5-31. Circuitos acoplados magnéticamente. (a) Circuitos acoplados típicos. (b) Circuitos acoplados generalizados.

Una extensión de la integral de potencia (5-66) al par de circuitos de la figura 5-31(b) da 𝜕𝐀 𝜕𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 107) 𝑉1 𝜕𝑡 𝑉2 𝜕𝑡

− ∮ (Φ𝐉) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝐄 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ 𝐄 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ 𝑆1

𝑉1

𝑉2

en que 𝑉1 , 𝑉2 denotan los volúmenes dentro de los dos conductores, tomando a 𝑆1 como la superficie que encierra a 𝑉𝐼1 exclusiva de la fuente motriz 𝑉(𝑡). El lado izquierdo de (5-107) denota la potencia instantánea 𝑉𝐼1 entregada, en tanto que las dos integrales de volumen de 𝐄 ⋅ 𝐉 son las pérdidas óhmicas 𝑅1 𝐼12 y 𝑅2 𝐼22 dentro de los conductores. Multiplicando (5-107) por 𝑑𝑡 se tiene 𝑉𝐼1 𝑑𝑡 = 𝑅1 𝐼12 𝑑𝑡 + 𝑅2 𝐼22 𝑑𝑡 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀 𝑑𝑣 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 108a) 𝑉1

𝑉2

268

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

que se abrevia como 𝑑𝑈𝑠 = 𝑑𝑈ℎ1 + 𝑑𝑈ℎ2 + 𝑑𝑈𝑚1 + 𝑑𝑈𝑚2 ⇝ (5 − 108b) Integrando (5-108b) se obtiene 𝑡

𝑡

𝐴

𝐴

𝑈𝑠 = ∫ 𝑅1 𝐼12 𝑑𝑡 + ∫ 𝑅2 𝐼22 𝑑𝑡 + ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 + ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 109) 0

0

𝑉1

0

𝑉2

0

que denota el trabajo hecho por 𝑉(𝑡) para llevar el sistema hasta los niveles 𝐼1 e 𝐼2 en el instante 𝑡. Las integrales de volumen de (5-109) representan la energía que gasta V para establecer los campos magnéticos de los circuitos acoplados, es decir, la energía almacenada en los campos magnéticos por la cantidad 𝐴

𝐴

𝑈𝑚 = ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 + ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝑑𝐀] 𝑑𝑣 [J] en general ⇝ (5 − 110) 𝑉1

0

𝑉2

0

Las integraciones sólo se requieren dentro de los conductores, ya que no existen densidades 𝐉 fuera de ellos. La ecuación (5-110) es correcta independientemente de que el sistema sea lineal o no. Si el sistema de la figura 5-31(b) es lineal, las contribuciones de A total en cualquier punto en la región son proporcionales a las densidades de corriente 𝐉 en los circuitos. Entonces que se obtuvo análogamente de (5-110) como (5-70) llevó a (5-71). 1 1 𝑈𝑚 = ∫ 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ 𝐀 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 [J] Sistema lineal ⇝ (5 − 111) 2 𝑉1 2 𝑉2 Es ventajoso volver a expresar (5-111) en función de las contribuciones del potencial vectorial de cada corriente. Se escribirá el potencial vectorial total en cualquier punto P de campo en cualquiera de los conductores como 𝐀 = 𝐀1 + 𝐀 2 ⇝ (5 − 112) en que 𝐀1 y 𝐀 2 denotan los potenciales P debidos a las corrientes en los circuitos 1 y 2 respectivamente. Entonces (5-111) se divide en las cuatro contribuciones 269

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑈𝑚 =

1 1 1 1 ∫ 𝐀1 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ 𝐀 2 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ 𝐀1 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 + ∫ 𝐀 2 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 113a) 2 𝑉1 2 𝑉2 2 𝑉2 2 𝑉1

que se abrevian como sigue 𝑈𝑚 = 𝑈𝑚1 + 𝑈𝑚2 + 𝑈𝑚12 + 𝑈𝑚21 ⇝ (5 − 113𝑏) Note que 𝑈𝑚1 , por ejemplo, denota la autoenergía magnética del circuito 1 tomado solo (con el circuito 2 abierto) en que (5-71) revela que 𝑈𝑚1 es la energía asociada con la autoinductanda del circuito 1 denominada 𝐿1 . 𝑈𝑚2 Se le aplica una observación semejante que lleva a la autoinductancia 𝐿2 del circuito 2. Con 𝐉 en el conductor 1 al igual que 𝐀1 ambos proporcionales a 𝐼1 , 𝑈𝑚1 se hace proporcional a 𝐼1 2 . De manera semejante, 𝑈𝑚21 y 𝑈𝑚2 , 𝑈𝑚12 , son proporcionales a 𝐼2 2 , 𝐼1 𝐼2 e 𝐼1 𝐼2 respectivamente, para dar (5-113a) 1 1 𝑈𝑚1 = ∫ 𝐀1 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = 𝐿1 𝐼12 ⇝ (5 − 114a) 2 𝑉1 2 𝑈𝑚2 =

𝑈𝑚12 =

𝑈𝑚21 =

1 1 ∫ 𝐀 2 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = 𝐿2 𝐼22 ⇝ (5 − 114b) 2 𝑉2 2

1 1 ∫ 𝐀1 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = 𝑀12 𝐼1 𝐼2 ⇝ (5 − 114c) 2 𝑉2 2

1 1 ∫ 𝐀 2 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = 𝑀21 𝐼1 𝐼2 [J] ⇝ (5 − 114d) 2 𝑉1 2

Las constantes 𝑀12 y 𝑀21 que aparecen en (5-114c) y (5-114d) se conocen como las inductancias mutuas del par de circuitos, relacionadas con las energías magnéticas mutuas adicionales asociadas con el acoplamiento, magnético de los circuitos. Ahora se demuestra que las inductancias mutuas 𝑀12 y 𝑀21 son idénticas para sistemas lineales, es decir en que se escoge el símbolo 𝑀 para denotar cualquiera de los parámetros. 𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀 ⇝ (5 − 115) Que (5-115) es verdadera para un sistema lineal queda demostrado volviendo a expresar (5113a) en función de la integral de volumen de 𝐁 ⋅ 𝐇 usando (5-77) 270

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑈𝑚 =

1 ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 ⇝ [5 − 77] 2 𝑉

Este resultado que se deduce para el circuito simple de la figura 5-24, es igualmente válido para los circuitos acoplados de la figura 5-31. Suponga que B y H del sistema acoplado se expresan como la suma 𝐁 = 𝐁1 + 𝐁2 ⇝ (5 − 116) 𝐇 = 𝐇1 + 𝐇2 en que 𝐁1 = ∇ × 𝐀1 = 𝜇𝐇1 , 𝐁2 = ∇ × 𝐀 2 = 𝜇𝐇2 , tanto que se considera que 𝐁1 , 𝐇1 se deben a 𝐼1 en el circuito 1, y 𝐁2 , 𝐇2 son proporcionales a 𝐼2 en el circuito 2. Entonces (5-77) se desarrolla a los cuatro términos 1 1 1 1 𝑈𝑚 = ∫ 𝐁1 ⋅ 𝐇1 𝑑𝑣 + ∫ 𝐁2 ⋅ 𝐇2 𝑑𝑣 + ∫ 𝐁1 ⋅ 𝐇2 𝑑𝑣 + ∫ 𝐁2 ⋅ 𝐇1 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 117) 2 𝑉 2 𝑉 2 𝑉 2 𝑉 en que se toman las integrales a través de todo el espacio donde existen los campos B y H. Una comparación de las cuatro integrales (5-117) contra las de (5-113a) revela una correspondencia biunívoca de energía, lo que implica que también se escribe las inductancias propia y mutua definidas en (5-114) como 𝐿1 =

2𝑈𝑚1 1 1 2 = 2 ∫ 𝐀1 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = 2 ∫ 𝐁1 ⋅ 𝐇1 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 118a) 𝐼1 𝐼1 𝑉1 𝐼1 𝑉

𝐿2 =

2𝑈𝑚2 1 1 2 = 2 ∫ 𝐀 2 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = 2 ∫ 𝐁2 ⋅ 𝐇2 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 118b) 𝐼2 𝐼2 𝑉2 𝐼2 𝑉

𝑀12 =

𝑀21 =

2𝑈𝑚12 1 1 ∫ 𝐀1 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 ⇝ (5 − 118𝑐) = 𝐼1 𝐼2 𝐼1 𝐼2 𝑉2 𝐼1 𝐼2 𝑉 1 2

2𝑈𝑚21 1 1 ∫ 𝐀 2 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝐇 𝑑𝑣 [H] ⇝ (5 − 118𝑑) = 𝐼1 𝐼2 𝐼1 𝐼2 𝑉1 𝐼1 𝐼2 𝑉 2 1

pero en estas últimas, el producto 𝐁1 ⋅ 𝐇2 es igual a 𝐁2 ⋅ 𝐇1 debido a que 𝐁1 ⋅ 𝐇2 = 𝜇𝐇1 ⋅ 𝐇2 = 𝐇1 ⋅ 𝐁2 ⇝ (5 − 119) 271

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

En consecuencia, (5-118c) y (5-118d) son idénticas, lo que demuestra (5-115), que 𝑀12 = 𝑀21 . Combinando (5-114) y (5-115) en (5-113b) se escribe la energía magnética total como 1 1 𝑈𝑚 = 𝐿1 𝐼12 + 𝐿2 𝐼22 + 𝑀𝐼1 𝐼2 [J] ⇝ (5 − 120) 2 2 Consecuentemente, al conocer los parámetros de la inductancia y de las corrientes instantáneas se determina el estado de energía magnética de los circuitos acoplados en cualquier instante. Ya que se ha considerado en detalle las expresiones de autoinductancia (5118a, b), las expresiones (5-118c, d) referentes a la inductancia mutua M ocuparán la atención del resto de esta sección. Para circuitos acoplados en el espacio vacío, se expresa M mediante una integral de volumen en función de las fuentes de corriente, lo que da un resultado semejante a (5-75) para la autoinductancia. En consecuencia, sustituyendo (5-28a) por A en (5-118c) o (5-118d) se obtiene 𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀 =

1 𝜇0 𝐉´ ⋅ 𝐉 ∫ ∫ 𝑑𝑣´ 𝑑𝑣 [H] Espacio vacío ⇝ (5 − 121) 𝐼1 𝐼2 𝑉1 𝑉2 4𝜋𝑅

usando nuevamente las primas para distinguir el elemento de corriente del punto de la fuente J´ 𝑑𝑣´ respecto del elemento del punto del campo sin primas como en (5-75). En la figura 532(a) se muestra la geometría relativa a las integraciones. De (5-114c) y (5-114d) se hallan expresiones más generales para M a partir de las interpretaciones de flujo magnético y enlace de corriente para incluir los efectos de los materiales magnéticos. Se subdivide el circuito 2 en filamentos de corriente cerrados ℓ´2 que transmiten la corriente diferencial 𝑑𝑖 como en la figura 5-32(b), cada uno de los cuales enlaza una porción 𝜓12 (ℓ´2 ) del flujo del circuito 1. Entonces, la ecuación (5-114) para la energía mutua 𝑈𝑚12 queda como 𝑈𝑚12 =

1 1 1 ∫ 𝐀 𝟏 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = ∫ ∮ 𝐀1 ⋅ 𝑑ℓ ´ 𝐽 𝑑𝑠 = ∫ 𝜓12 ( ℓ´2 ) 𝑑𝑖 ⇝ (5 − 122a) 2 𝑉2 2 𝑆2 ℓ´𝑠 2 𝑆2

272

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

un resultado que sigue después de observar 𝐀 𝟏 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = 𝐀 𝟏 ⋅ (𝐚ℓ 𝐽) 𝑑ℓ´ 𝑑𝑠 = 𝐀 𝟏 ⋅ 𝑑ℓ´ 𝑑𝑖, de observar de (5-47) que ∮ 𝐀 𝟏 ⋅ 𝑑ℓ´ denota 𝜓12 ( ℓ´2 ), la porción del flujo de 𝐼1 que enlaza a ℓ´2 . Por tanto, integrando 𝑈𝑚12 sobre la sección transversal 𝑆2 del alambre 2 se encuentra 𝜓12 ( ℓ´2 ) 𝑑𝑖 como se muestra en la figura 5-32(b). De manera semejante, (5-114d) queda como 𝑈𝑚21 =

1 1 ∫ 𝐀 2 ⋅ 𝐉 𝑑𝑣 = ∫ 𝜓21 ( ℓ´1 ) 𝑑𝑖 ⇝ (5 − 122b) 2 𝑉1 2 𝑆1

Figura 5-32. Configuraciones de circuitos acoplados generalizados que pertenecen a cálculos de energía e inductancias mutuas. (a) Circuitos acoplados lineales en el espacio vacío. (b) Circuitos acoplados lineales en general (con fierro presente o no presente) que muestran la porción 𝜓12 ( ℓ´2 ) del flujo de 𝐼1 que enlaza el filamento ℓ´2 de corriente. (c) Caso especial de (b): Circuitos delgados. Se muestran las porciones 𝜓12 (izquierda) y 𝜓21 (derecha) de los flujos 𝐼1 𝑒 𝐼2 .

273

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

El uso de las expresiones de enlace de flujo (5-122a,b) se facilita suponiendo que 𝐼1 e 𝐼2 están concentradas a lo largo de los ejes del alambre. Entonces 𝜓12 ( ℓ´2 ) y 𝜓21 ( ℓ´1 ) en (5122a) y (5-122b) se hacen constantes, para dar los resultados más simples 𝑈𝑚12 ≅

1 1 𝜓12 ∫ 𝑑𝑖 = 𝜓12 𝐼2 ⇝ (5 − 122c) 2 2 𝑆2

𝑈𝑚21 ≅

1 𝜓 𝐼 [J] ⇝ (5 − 22d) 2 21 1

𝜓12 = la porción del flujo de 𝐼1 enlazado por el circuito 2 𝜓21 = la porción del flujo de 𝐼2 enlazado por el circuito 1

Las simplificaciones (5-122c) y (5-122d) son excelentes aproximaciones si los circuitos son delgados, como se muestra en la figura 5-32(c). La inductancia mutua M se obtiene finalmente sustituyendo las energías (5-122) en las definiciones (5-118c) y (5-118d) utilizando 𝑀12 = 𝑀21 = 𝑀 de (5-115); por tanto, 𝑀=

2𝑈𝑚12 2𝑈𝑚21 1 1 ∫ 𝜓12 ( ℓ´2 ) 𝑑𝑖 = ∫ 𝜓 ( ℓ´ ) 𝑑𝑖 Exacta ⇝ (5 − 123a) = = 𝐼1 𝐼2 𝐼1 𝐼2 𝐼1 𝐼2 𝑆2 𝐼1 𝐼2 𝑆1 21 1 𝑀=

2𝑈𝑚12 2𝑈𝑚21 𝜓12 𝜓21 = ≅ = Para circuitos delgados ⇝ (5 − 123b) 𝐼1 𝐼2 𝐼1 𝐼2 𝐼1 𝐼2

Por lo general, las aproximaciones (5-123b) son aceptables en cálculos prácticos de inductancia mutua. Ejemplo 5-19. Encontrar M para el transformador toroidal con núcleo de hierro ilustrado, en que los devanados tienen 𝑛1 y 𝑛2 vueltas y suponiendo que no hay flujo de escape. Comparar 𝑀2 con el producto 𝐿1 𝐿2 . M para bobinas delgadas se encuentra de manera conveniente utilizando (5-123b). Para 𝐼1 en ℓ1 flujo de núcleo que se obtuvo en el ejemplo 5-2 es 𝜓𝑚, 𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝜇𝑛1 𝐼1 𝑑 𝑏 ℓ𝑛 ⇝ (1) 2𝜋 𝑎

pero 𝜓12 enlazado por ℓ2 (es decir, que pasa a través de 𝑆𝑒𝑥,2 limitada por ℓ2 ) es 𝑛2 multiplicado por 𝜓𝑚 núcleo, que dé (5-123b) da

274

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

𝑀=

𝜓12 𝑛2 𝜓𝑚,𝑛𝑢𝑐𝑙é𝑜 𝜇𝑛1 𝑛2 𝑑 𝑏 = = ℓ𝑛 ⇝ (2) 𝐼1 𝐼1 2𝜋 𝑎

Utilizando 𝑀 = 𝜓12 /𝐼2 . Se obtiene la misma respuesta. Del ejemplo 5-17, las autoinductancias de las bobinas son 𝜇𝑛12 𝑑 𝑏 𝜇𝑛22 𝑑 𝑏 𝐿1 = ℓ ; 𝐿2 = ℓ ; ⇝ (3) 2𝜋 𝑛 𝑎 2𝜋 𝑛 𝑎 Por tanto, el producto 𝐿1 𝐿2 es igual al cuadrado de M dado por (2), lo que se espera para todos los circuitos acoplados siempre que todo el flujo magnético enlace cada espira de los devanados.

Ejemplo 5-19

En la práctica jamás se logra totalmente la idealización de que todo el flujo magnético producido por un circuito enlaza completamente al otro, como en el ejemplo 5-19, incluso cuando se utilizan núcleos de alta permeabilidad para minimizar el escape de flujo. Como se muestra en la figura 5-33(a), invariablemente hay algo de escape, lo que hace que 𝑀2 sea menor que 𝐿1 𝐿2 . Estas circunstancias quedan expresadas por el llamado coeficiente de acoplamiento entre circuitos, simbolizado mediante 𝑘 y definido como 𝑘=

𝑀 √𝐿1 𝐿2

⇝ (5 − 124)

Este último permite expresar a M en función de la autoinductancia de cada circuito siempre que se conozca 𝑘; es decir, 𝑀 = 𝑘 √𝐿1 𝐿2 [H] ⇝ (5 − 125) 275

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

El máximo valor que alcanza 𝑘 es la unidad, en tanto que, para circuitos totalmente desacoplados, 𝑘 = 0. Si se acoplan bobinas utilizando núcleos de alta permeabilidad, 𝑘 tiene un valor de hasta 0.99 o más, aunque usando aire como el medio de acoplamiento como en la figura 5-33(b) es usual una 𝑘 mucho más pequeña, a la vista de que un circuito enlaza una fracción correspondientemente más pequeña del flujo propio total del otro. El modelo del circuito para circuitos acoplados se deduce de la misma manera que para circuitos simples. Ya que está involucro un par de circuitos, se desean dos relaciones de voltaje de Kirchhoff. Para obtener las ecuaciones de voltaje de Kirchhoff se emplea tres métodos interrelacionados: (a) uno basado en los potenciales escalar y vectorial Φ y A de los campos electromagnéticos descrito en la sección 5-10; (b) una técnica basada en consideraciones de energía, que se trató en la sección 5-11-6; y (c) un enfoque utilizando la ley de Faraday, (378).

Figura 5-33. Acoplamiento magnético entre circuitos que dan coeficientes de alto y bajo acoplamiento. (a) Transformador con núcleo de hierro con pequeño escape (𝑘 → 1). (b) Circuitos acoplados en el aire, para aplicaciones de alta frecuencia.

Las ecuaciones de voltaje de Kirchhoff de los circuitos acoplados se deducen de ∮ 𝐄1 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ1

𝑑𝜓1 ⇝ (1) 𝑑𝑡

El flujo mutuo 𝜓12 = ∫𝑆 𝐁1 ⋅ 𝑑𝑠 enlaza a ℓ2 , para inducir 2

∮ 𝐄12 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ2

𝑑𝜓12 ⇝ (2) 𝑑𝑡

Flujo de ℓ2 solamente. El flujo propio 𝜓2 enlaza ℓ2 , para inducir

276

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

∮ 𝐄2 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ2

𝑑𝜓2 ⇝ (3) 𝑑𝑡

El flujo mutuo 𝜓21 = ∫𝑆 𝐁2 ⋅ 𝑑𝑠 enlaza ℓ1 , para inducir 1

∮ 𝐄21 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ1

𝑑𝜓21 ⇝ (4) 𝑑𝑡

la aplicación de la ley de Faraday, (3-78) ∮ 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ = − ℓ

𝑑𝜓𝑚 ⇝ [3 − 78] 𝑑𝑡

de las trayectorias cerradas ℓ1 y ℓ2 que definen los circuitos. En (3-78), E denota el campo total que existe en los elementos 𝑑ℓ de las trayectorias ℓ1 y ℓ2 , con 𝜓𝑚 el flujo total que intercepta cada circuito, flujo generado por 𝐼1 e 𝐼2 . Para ayudar a visualizar este proceso, en la figura 5-34 se muestran los flujos separados de𝐼1 e 𝐼2 . Sólo se utiliza una fuente 𝑉(𝑡) independiente de voltaje. Los sentidos de 𝐼1 e 𝐼2 son arbitrarios, supuestos como se muestra. La figura 5-34 muestra que el E total generado a lo largo, consiste en dos contribuciones: la inducida por −𝑑𝜓1 /𝑑𝑡, en que 𝜓1 es el flujo propio que enlaza a ℓ1 y debido 𝐼1 ; y el inducido por −𝑑𝜓21 /𝑑𝑡, en que 𝜓21 es el flujo mutuo que enlaza a ℓ1 y es producido por 𝐼2 más un 𝐄𝑔 generado sólo dentro de la fuente 𝑉(𝑡). Por tanto, 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ en cualquier parte a lo largo del conductor ℓ1 es 𝐄 ⋅ 𝑑ℓ =

𝐉 ⋅ 𝑑ℓ = (𝐄1 + 𝐄21 + 𝐄𝑔 ) ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (5 − 126) 𝜎

en que se sustituye 𝐉/𝜎 = 𝐄 a la vista de la continuidad (3-79) del campo tangencial E en la superficie del conductor. Integrando (5-126) alrededor de ℓ1 se tiene 𝐉 ⋅ 𝑑ℓ = ∮ 𝐄𝑔 ⋅ 𝑑ℓ + ∮ 𝐄1 ⋅ 𝑑ℓ + ∮ 𝐄21 ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (5 − 127) ℓ1 𝜎 ℓ1 ℓ1 ℓ1

∮

con la selección arbitraria del sentido de integración alrededor de ℓ1 indicada en la figura 534. A bajas frecuencias, la integral de la izquierda queda como 𝑅1 𝐼1 en que 𝑅1 es la resistencia de ℓ1 por los argumentos de la sección 4-11-2. El segundo término se reduce a 𝑉(𝑡) debido a

277

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

que 𝐄𝑔 es cero en todas partes excepto en el generador, en tanto que las dos últimas integrales denotan las razones negativas del flujo (1) y (4) dadas en la figura 5-34. Por tanto, (5-127) da 𝑅1 𝐼1 = 𝑉(𝑡) −

𝑑𝜓1 𝑑𝜓21 [V] − 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Los flujos 𝜓1 = ∫𝑆 𝐁1 ⋅ 𝑑𝑠 y 𝜓21 = ∫𝑆 𝐁2 ⋅ 𝑑𝑠 enlazados por ℓ1 son las cantidades 1

1

positivas 𝜓1 = 𝐿1 𝐼1 y 𝜓21 = 𝑀𝐼2 , ya que esos flujos emergen del lado positivo de 𝑆1 limitado por ℓ1 en la figura 5-34. Con estas sustituciones, se obtiene 𝑉 (𝑡) = 𝑅1 𝐼1 + 𝐿1

𝑑𝐼1 𝑑𝐼2 +𝑀 ⇝ (5 − 128a) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

la relación deseada de voltaje de Kirchhoff para el circuito ℓ1 .

Figura 5-34. Autoinductancia e inductancia mutua producida por 𝐼1 𝑒 𝐼2 en circuitos acoplados y fem inducida. (a) Flujo de 𝐼1 solamente. El flujo propio 𝜓1 enlaza ℓ1 para inducir.

Aplicando una línea semejante de razonamiento al otro circuito, se obtiene la relación deseada del voltaje de Kirchhoff para ℓ2 0 = (𝑅2 + 𝑅𝐿 )𝐼2 + 𝐿2

𝑑𝐼2 𝑑𝐼1 +𝑀 ⇝ (5 − 128b) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

278

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Figura 5-35. Circuitos acoplados magnéticamente y modelos de circuitos. (a) Los circuitos físicos acoplados con direcciones supuestas de corriente. (b) Modelo de circuito que muestra los elementos correspondientes a los términos de (5-128). (c) Modelo de circuito que utiliza la convención simbólica para denotar las autoinductancias de circuito.

Estas ecuaciones diferenciales acopladas corresponden al modelo de circuito de la figura 535. El uso de este modelo hace evidente, sin tener que recurrir a la teoría de campos, que al eliminar 𝑅𝐿 , por ejemplo, el voltaje a circuito abierto que se obtiene a través de las terminales del espacio en CD es precisamente 𝑀

𝑑𝐼1 𝑑𝑡

. Otras características de los circuitos acoplados desde

el punto de vista de este modelo se estudian en textos clásicos sobre teoría de los circuitos. 5.13.

Fuerzas y torsiones magnéticas

En tanto que a menudo se obtiene la fuerza que actúa en un circuito que lleva una corriente en presencia de un campo magnético externo utilizando la ley de la fuerza de Ampére (5-45a), a menudo es más rápido obtenerla a partir de la energía del campo magnético almacenado. Se demuestra la forma como se deduce la fuerza por torsión que actúa en un circuito que lleva una corriente o una región material magnética próxima a partir de una aplicación del principio de la conservación de la energía a un desplazamiento o rotación virtual del cuerpo deseado. Este proceso es análogo a la determinación de fuerzas o torsiones ejercidas sobre conductores cargados o dieléctricos en presencia de un campo electrostático, lo que se estudió en la sección 4-12. Suponga que el circuito magnético de la figura 5-36(a), que tiene un espacio de aire de ancho variable 𝑥, obtiene su energía de la fuente V que proporciona una corriente directa al devanado. Si se desplaza a la armadura una distancia 𝑑ℓ en el espacio debido a la fuerza F de campo magnético que actúa en ella, el trabajo mecánico realizado sería 𝑑𝑈 = 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 [J] ⇝ (5 − 129) 279

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Figura 5-36. Circuitos simples que utilizan núcleos magnéticos sujetos a traslación o rotación relativa. (a) La armadura se traslada. (b) La armadura rota.

Este trabajo lo realiza V a costa de la energía en el campo magnético tal que se conserva el siguiente balance de energía: ⏟ 𝑑𝑈𝑚 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎

+

⏟ 𝑑𝑈 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜

= ⏟ 𝑑𝑈𝑠

⇝ (5 − 30)

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ℎ𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑉

El cambio en la energía magnética, al cambiar el espacio de aire en la figura 5-36(a), produce un cambio correspondiente en la inductancia. De (5-72), la energía magnetostática 𝑈𝑚 es 1/2𝐿𝐼 2 de manera que el cambio de energía que ocurre con 𝐼 constante queda como 𝑑𝑈𝑚 =

1 2 𝐼 𝑑𝐿 ⇝ (5 − 131) 2

Omitiendo las pérdidas por calor de 𝐼 2 𝑅 asociadas con la resistencia de la bobina en el circuito equivalente de este sistema mostrado en la figura 5-30(c), el trabajo 𝑑𝑈𝑠 ejercido por V para mantener (5-130) se realiza contra el voltaje inducido por el cambio de flujo 𝑑𝜓𝑚 en el tiempo 𝑑𝑡 tal que 𝑉 = −𝑑𝜓𝑚 /𝑑𝑡. Con 𝜓𝑚 = 𝐿𝐼 de (5-88a) y manteniendo 𝐼 a un valor constante, el voltaje inducido queda como 𝑉 = −𝑑𝜓𝑚 /𝑑𝑡 = −𝐼 𝑑𝐿/𝑑𝑡. El trabajo 𝑑𝑈𝑠 realizado por la fuente en el tiempo 𝑑𝑡 para superar este voltaje es entonces 𝑑𝑈𝑠 = −𝑉𝐼 𝑑𝑡 = 𝐼 2 𝑑𝐿 ⇝ (5 − 132)

280

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

que es justo el doble de (5-131), el cambio en la energía almacenada. Combinando (5-129), (5131) y (5-132) en el balance de energía, (5-130) da entonces (1/2)𝐼 2 𝑑𝐿 + 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = 𝐼 2 𝑑𝐿, lo que se reduce a 𝐅 ⋅ 𝑑ℓ = (1/2)𝐼 2 𝑑𝐿, o sea 𝑑𝑈 = 𝑑𝑈𝑚 ⇝ (5 − 133) Esta última muestra que el trabajo mecánico es igual exactamente al cambio en la energía del campo magnetostático. Por tanto, de la energía eléctrica que proporciona V, la mitad aumenta la energía magnética del sistema en tanto que la otra mitad se utiliza como trabajo mecánico hecho por la fuerza magnética. El cambio diferencial en la energía magnetostática 𝑑𝑈𝑚 se escribe en función de las variaciones de las coordenadas de 𝑈𝑚 a medida que la armadura se mueve a través de la distancia 𝑑ℓ = 𝐚𝑥 𝑑𝑥 + 𝐚𝑦 𝑑𝑦 + 𝐚𝑧 𝑑𝑧 si se desea; es decir, 𝑑𝑈𝑚 =

𝜕𝑈𝑚 𝜕𝑈𝑚 𝜕𝑈𝑚 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 = (∇𝑈𝑚 ) ⋅ 𝑑ℓ ⇝ (5 − 134) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

una forma de gradiente permisible a la vista de (2-11). Comparando (5-134) contra (5-129), utilizando (5-133), se llega a las componentes cartesianas de F 𝐹𝑥 =

𝜕𝑈𝑚 𝜕𝑥

𝐹𝑦 =

𝜕𝑈𝑚 𝜕𝑦

𝐹𝑧 =

𝜕𝑈𝑚 [N] ⇝ (5 − 135a) 𝜕𝑧

Ya que 𝑈𝑚 = (1/2)𝐿𝐼 2 de (5-72), las componentes de fuerza con I constante también se escribe en función de las deducciones de autoinductancia como sigue:

𝐹𝑥 =

𝐼 2 𝜕𝐿 2 𝜕𝑥

𝐹𝑦 =

𝐼 2 𝜕𝐿 2 𝜕𝑦

𝐹𝑧 =

𝐼 2 𝜕𝐿 [N] ⇝ (5 − 135b) 2 𝜕𝑧

Para evaluar F, la energía 𝑈𝑚 magnetostática (o la autoinductancia 𝐿) se debe de dar en función de las coordenadas del elemento desplazado del sistema. Por ejemplo, en la figura 536(a), se debe de expresar 𝑈𝑚 en función de la coordenada sola 𝑥 que denota el ancho del espacio de aire.

281

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

Suponga que en vez de transladarse se limita a una porción del núcleo de aire a una rotación alrededor de un eje como en la figura 5-36(b). Entonces el trabajo diferencial (con 𝑑𝑈 = 𝑑𝑈𝑚 ) realizado por la fuerza magnética en el desplazamiento angular 𝑑𝜃 = 𝐚1 𝑑𝜃1 + 𝐚2 𝑑𝜃2 + 𝐚3 𝑑𝜃3 queda como 𝑑𝑈𝑚 = 𝐓 ⋅ 𝑑𝜃 = 𝑇1𝑑𝜃1 + 𝑇2 𝑑𝜃2 + 𝑇3 𝑑𝜃3 ⇝ (5 − 136) en donde 𝐓 = 𝐚1 𝑇1 + 𝐚2 𝑇2 + 𝐚3 𝑇3 denota la torsión vectorial debida a la fuerza magnética. Entonces se obtienen resultados análogos con (5-135a, b), en función de las variaciones de la energía magnética con respecto a cambios angulares, como sigue T1 =

𝜕𝑈𝑚 𝜕𝜃1

T2 =

𝜕𝑈𝑚 𝜕𝜃2

T3 =

𝜕𝑈𝑚 [N ⋅ m] ⇝ (5 − 137a) 𝜕𝜃3

y en función de las variaciones en la autoinductancia del circuito con respecto a los movimientos angulares se obtiene

T1 =

𝐼 2 𝜕𝐿 2 𝜕𝜃1

T2 =

𝐼 2 𝜕𝐿 2 𝜕𝜃2

T3 =

𝐼 2 𝜕𝐿 [N ⋅ m] ⇝ (5 − 137b) 2 𝜕𝜃3

Ejemplo 5-20. Un relevador magnético tiene una armadura móvil con dos espacios de aire de ancho 𝑥 como se muestra en la figura adjunta. La bobina de 𝑛 vueltas lleva una corriente 𝐼 obtenida de la fuente V. El núcleo y la armadura, ambos de permeabilidad 𝜇, tienen las longitudes medias y áreas transversales ℓ1 , 𝐴1 ; ℓ2 , 𝐴2 , respectivamente. (a) Encontrar la expresión para el flujo magnético, la energía magnética almacenada y la autoinductancia del sistema expresados como funciones del ancho del espacio 𝑥. (b) Determinar la fuerza F que actúa en la armadura.

Ejemplo 5-20

282

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

(a) El flujo del núcleo se obtiene utilizando métodos de circuitos magnéticos de la sección 5-3. Las reluctancias son ℛ1 = ℓ1 /𝜇 𝐴1 , ℛ2 = ℓ2 /𝜇𝐴2 , y la de los dos espacios de aire son 2𝑥/𝜇0 𝐴1 ; entonces 𝜓𝑚, 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 =

𝑛𝐼 2𝑥 ℛ1 + ℛ 2 + 𝜇0 𝐴1

⇝ (1)

𝐿 está bien aproximada por la autoinductancia externa (5-88a). El flujo del núcleo pasa 𝑛 veces a través de la superficie 𝑆𝑒𝑥 limitada por la bobina, de manera que 𝐿=

𝑛𝜓𝑚,𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑛2 = ⇝ (2) 2𝑥 𝐼 ℛ1 + ℛ 2 + 𝜇0 𝐴1

la energía magnética del sistema es entonces 1 1 (𝐼𝑛)2 𝑈𝑚 = 𝐿𝐼 2 = ⇝ (3) 2 2 ℛ + ℛ + 2𝑥 1 2 𝜇0 𝐴1 Es evidente que aumentar el espacio de aire produce una disminución en el flujo del núcleo, la autoinductancia y la energía almacenada. (b) La fuerza en la armadura se obtiene de (5-135a) o (5-135b); F sólo tiene una componente 𝑥, como se espera del diseño físico; en consecuencia 𝐹𝑥 =

𝜕𝑈𝑚 𝐼 2 𝜕𝐿 = = 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥

−(𝑛𝐼)2 2𝑥 2 𝜇0 𝐴 [ℛ1 + ℛ2 + ] 𝜇0 𝐴1

⇝ (4)

El signo negativo significa que 𝐹𝑥 está en la dirección de ancho decreciente 𝑥 del espacio, lo que corresponde a un aumento en la energía magnética.

PROBLEMAS RESUELTOS 5.1. La corriente 𝐼 = 𝐼0 sin 𝜔𝑡 fluye en el toroide de n vueltas en el espacio vacío, con la sección transversal rectangular mostrada. Se supone que el flujo magnético es cuasiestático.

283

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

(a) Utilizar la ley de Ampére para encontrar 𝐁(𝜌, 𝑡). Evaluar el flujo del núcleo en cualquier instante. Dibujar el flujo (en vista lateral), mostrar su dirección con relación a un sentido supuesto de la corriente. (b) Si 𝑎 = 5 cm, 𝑏 = 8 cm, 𝑑 = 3 cm, 𝑛1 = 200, 𝑓 = 100 Hz, 𝜇 = 5000𝜇0 , calcular el flujo del núcleo y 𝑉2 (𝑡) para 𝐼0 = 0.1𝐴. Solucion: (a) 𝐼 = 𝐼0 sin 𝜔𝑡

; b

∮ 𝐇 ⋅ 𝑑ℓ = 𝑛𝐼 d

𝑏

𝜓 = ∫ 𝐁 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ ∫ 𝐁 𝑑𝜌 𝑑𝑧 = d ∫ 𝐁 𝑑𝜌 𝑆

a 𝑏

𝜓 = d∫ 𝑎

0

𝑎

𝑏 𝜇𝑛𝐼 𝜇𝑛𝐼0 1 𝑑𝜌 = d sin 𝜔𝑡 ∫ 𝑑𝜌 2𝜋𝜌 2𝜋 𝑎 𝜌

𝜓=d

𝜇𝑛 b ln ( ) 𝐼0 sin 𝜔𝑡 2𝜋 a

(b) 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 ; 𝜇 = 5000 ∗ 4𝜋 × 10−7 = 6.28 × 10−3 0.03 ∗ 200 ∗ 6.28 × 10−3 0.08 𝜓= ln ( ) ∗ 0.1 sin 200𝜋𝑡 2𝜋 0.05 𝜓 = 1.77 × 10−3 sin 200𝜋𝑡 [Wb] 𝑉 =𝜓∗𝑅 𝑅=

2𝜋 ∗ 0.065 = 722.22 4𝜋 × 10−7 ∗ 5000 ∗ 0.09

𝑉 = 722.22 ∗ 1.77 × 10−3 sin 𝜔𝑡 = 1.27 sin 𝜔𝑡 ; 𝑛 = 1 𝑛 = 10 ; 𝑉 = 10 ∗ 1.27 sin 𝜔𝑡 = 12.7 sin 𝜔𝑡

PROBLEMAS PLANTEADOS 5.1. Demostrar que las fuerzas en dos alambres largos y paralelos separados a una distancia d y que llevan las corrientes estables 𝐼1 e 𝐼2 son fuerzas atractivas para las corrientes en la misma dirección, repulsivas si están en direcciones opuestas. Utilizar la ley de fuerzas de Lorentz para demostrar que, para alambres delgados, la fuerza que actúa en cada longitud ℓ de un alambre en presencia del campo B del otro tiene la magnitud, 𝐹 = 𝜇0 𝐼1 𝐼2 ℓ/2𝜋𝑑. 5.2.

284

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE V

CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS Y CUASIESTÁTICOS

(a) Utilizar (5-71) para obtener la energía del circuito mostrado 1 𝑈𝑚 = ∫ 𝜓𝑚 (ℓ´)𝑑𝐼 ⇝ (1) 2 𝑆 en que 𝑑𝐼 es la corriente en un filamento típico ℓ´ Adentro del conductor, S es la sección transversal del conductor y 𝜓𝑚 (ℓ´) es el flujo magnético acoplado por el filamento. Demostrar que la auto-inductancia es 𝐿=

1 ∫ 𝜓 (ℓ´) 𝑑𝐼 ⇝ (2) 𝐼2 𝑆 𝑚

si I es la corriente del circuito. [Sugestión: con el circuito dividido en filamentos ℓ´ que llevan las corrientes 𝑑𝐼 = 𝐽 𝑑𝑠, el integrando, de (5-71) se escribe como 𝐉 ⋅ 𝐀 𝑑ℓ´ 𝑑𝑠 = 𝐽 𝑑𝑠(𝐀 𝑑ℓ´ ), en que la integración se toma sobre todos esos filamentos.] (b) Comparar la expresión de la energía (1) con (5-85). En especial. notar la forma como difieren las superficies S de integración y explicar por qué uno de estos resultados lleva a una descomposición en inductancias interna y externa en tanto que el otro no. (c) Mostrar en el límite de alta frecuencia, que la expresión (2) de autoinductancia se reduce a 𝐿 = 𝜓𝑚 /𝐼. Compararla contra (5-88a). 5.3. Se devana una segunda bobina con 200 vueltas en el núcleo de fierro en el ejemplo 5-3. Utilizar métodos de enlace de flujo para determinar la auto-inductancia de cada devanado, y suponiendo escape cero, encontrar 𝑀. [Nota: Se encuentra 𝑀 mediante técnicas de enlace de flujo o de la suposición de coeficiente de acoplamiento unitario entre los devanados.]

285

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

6. TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA Es posible transportar energía a través del espacio vacío y dentro de o a lo largo de dispositivos conductores o dieléctricos de transmisión de ondas mediante las ondas electromagnéticas. La validez se justifica desde el punto de vista del teorema 𝐉. 𝐇. Poynting. Se consideran las aplicaciones al flujo de potencia asociado con un alambre que lleva una corriente directa y con ondas planas en regiones sin pérdidas o conductoras. Las cuestiones relativas de la densidad de flujo de potencia instantánea y promediada en el tiempo y del flujo de potencia total a través de superficies se estudian utilizando la forma de tiempo real de los campos. Entonces se demuestra que del empleo de formas complejas armónicas en el tiempo para los campos se originan expresiones más simples para la densidad del flujo de potencia promedio en función del tiempo. 6.1. Teorema de Poynting Se demuestra que el flujo de la potencia electromagnética a través de una superficie cerrada se obtiene de una integral de superficie de la cantidad instantánea 𝒫 ≡ 𝐄 × 𝐇 [VA/m2 ], or [W/m2 ] ⇝ (6 − 1) que se conoce como el vector de Poynting. Las unidades de (6-1) sugieren una interpretación de densidad de flujo de potencia de 𝒫. Tomando la divergencia de 𝒫 se obtiene el desarrollo en dos términos ∇ ⋅ 𝒫 ≡ ∇ ⋅ (𝐄 × 𝐇) = 𝐇 ⋅ ∇ × 𝐄 − 𝐄 ⋅ ∇ × 𝐇 ⇝ (6 − 2) mediante la identidad ∇ ⋅ (𝐅 × 𝐆) = 𝐆 ⋅ (∇ × 𝐅) − 𝐅 ⋅ (∇ × 𝐆). La aparición de ∇ × 𝐄 y ∇ × 𝐇 en (6-2) sugiere sustituir las ecuaciones de Maxwell (3-59) y (3-77), ∇ × 𝐄 = − ∂𝐁/𝜕𝑡 y ∇ × 𝐇 = 𝐉 + ∂𝐃/𝜕𝑡, para obtener ∇ ⋅ 𝒫 = −𝐇 ⋅

∂𝐁 ∂𝐃 −𝐄⋅ − 𝐉 ⋅ 𝐄 ⇝ (6 − 3) 𝜕𝑡 𝜕𝑡

Utilizando las reglas de diferenciación (2-4) y (2-5) y con 𝐁 = 𝜇𝐇, se escribe 286

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

∂ 𝐇⋅𝐁 1 ∂𝐁 ∂𝐇 1 ∂(𝜇𝐇) ∂𝐇 ∂𝐁 ( ) = [𝐇 ⋅ ] = [𝐇 ⋅ ]=𝐇⋅ +𝐁⋅ + 𝜇𝐇 ⋅ ⇝ (6 − 4) 𝜕𝑡 2 2 𝜕𝑡 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 suponiendo que 𝜇 no es una función del tiempo. En forma semejante, con 𝐃 = 𝜖𝐄, y 𝜖 independiente del tiempo, ∂ 𝐄⋅𝐃 ∂𝐃 ( )=𝐄⋅ ⇝ (6 − 5) 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 Sustituyendo (6-4) y (6-5) en (6-3) se tiene ∇⋅𝒫 = −

∂ 𝐇⋅𝐁 𝐄⋅𝐃 [ ] − 𝐉 ⋅ 𝐄 ⇝ (6 − 6) + 𝜕𝑡 2 2

Este resultado demuestra que el vector 𝒫 de densidad de flujo de potencia tiene divergencia en una región si al menos un término del lado derecho de (6-6) no es cero. Integrando (6-6) en toda una región V de volumen arbitraria se obtiene ∫ ∇ ⋅ 𝒫 𝑑𝑣 = − 𝑉

∂ 𝐇⋅𝐁 𝐄⋅𝐃 ∫[ ] 𝑑𝑣 − ∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 ⇝ (6 − 7) + 𝜕𝑡 𝑉 2 2 𝑉

Suponiendo que 𝒫 en (6-7) satisface las condiciones del teorema de la divergencia que se estudió en la sección 2-4-1, se volve a expresar como − ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑆

∂ 𝐇⋅𝐁 𝐄⋅𝐃 ∫[ ] 𝑑𝑣 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 [W] ⇝ (6 − 8) + 𝜕𝑡 𝑉 2 2 𝑉

Esta es la forma integral del teorema de Poynting, que se interpreta físicamente con relación a la Figura 6-1 como sigue: 1. El lado izquierdo de (6-8) denota el flujo de potencia hacia adentro sobre S, suponiendo que ds está dirigido hacia afuera. En estudios posteriores se escoge el símbolo 𝑃(𝑡) de manera que denote el flujo de potencia de entrada neto instantáneo como sigue: 𝑃(𝑡) ≡ − ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 [W] ⇝ flujo de potencia hacia adentro (6 − 9) 𝑆

2. En todo instante, el primer término del lado derecho de (6-8) denota la rapidez de aumento de energía electromagnética total dentro del volumen V encerrado por S, a la

287

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

vista de (4-57a) y (5-77) para energías de campos eléctrico y magnético definidas bajo condiciones estáticas 𝐄⋅𝐃 𝐇⋅𝐁 𝑑𝑣 ; 𝑈𝑚 ≡ ∫ 𝑑𝑣 [J] ⇝ (6 − 10) 𝑉 2 𝑉 2

𝑈𝑒 ≡ ∫

3. El último término de (6-8) representa la potencia total disipada o generada dentro de V en todo instante. Si la proyección del vector de densidad de corriente 𝐉 a lo largo de 𝐄 está en la dirección de 𝐄, la potencia se disipa en la región. Un ejemplo ocurre en una región conductora en la cual se aplica (3-7); sustituyendo 𝐉 = σ𝐄 en (6-8) identifica entonces el último término como un término de pérdida de potencia òhmica. En el caso de una proyección de 𝐉 en dirección de las 𝐄 negativas a lo largo de 𝐄 en la región, la potencia que se obtiene del último término de (6-8) se interpreta como la potencia generada, mediante la inversión de signo del resultado integrado.

Figura 6-1. Un volumen típico en una región, que ilustra las cantidades asociadas con el teorema de Poynting.

Para resumir las observaciones (1) a (3) que se acaban de dar, (6-8) expresa que el flujo de potencia neto hacia adentro 𝑃 (𝑡) = − ∮𝑆 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠, suministrado por el campo sobre una superficie cerrada S debe de ser igual a la suma de la rapidez del aumento de la energía electromagnética dentro de 𝑉, más las pérdidas óhmicas totales en 𝑉 suponiendo que 𝑉 no contiene generadores. Si 𝑉 contiene generadores de potencia, la integral adicional de volumen de 𝐉𝑔 ⋅ 𝐄 sobre las fuentes de corriente 𝐉𝑔 activas designadas en la región permite escribir (68) − ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑆

∂ 𝐇⋅𝐁 𝐄⋅𝐃 ∫[ ] 𝑑𝑣 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 + ∫ 𝐉𝑔 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 + 𝜕𝑡 𝑉 2 2 𝑉 𝑉

Si se reordena esta última con el término de la potencia generada a la izquierda para que indique − ∫ 𝐉𝑔 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 = 𝑉

∂ 𝐇⋅𝐁 𝐄⋅𝐃 ∫[ ] 𝑑𝑣 + ∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 + ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (6 − 11) + 𝜕𝑡 𝑉 2 2 𝑉 𝑆 288

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

el resultado se interpreta físicamente como. La potencia total instantánea generada en 𝑉, dada por el lado izquierdo de (6-11), es igual a la suma de la rapidez del incremento en la energía electromagnética en 𝑉, las pérdidas óhmicas en 𝑉 y el flujo de potencia de salida que pasa por la superficie que encierra a 𝑉. Esta forma tiene ciertas ventajas de interpretación cuando por ejemplo se aplica a una antena, en cuyo caso el último término, la integral de 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 en cualquier superficie que encierre a la antena denota el flujo de potencia radiada a regiones remotas del espacio. En un sistema electromagnético estático que sólo transmite corrientes directas, el operador ∂/𝜕𝑡 es cero, lo que reduce el teorema de Poynting (6-8) ó (6-11) a − ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣[W] ⇝ Estatico en el tiempo (6 − 12) 𝑆

𝑉

suponiendo que 𝑉 no contenga generadores. Por tanto, en un sistema de CD, el flujo de potencia neta que entra a una superficie cerrada S construida alrededor de los conductores que llevan corriente es una medida de las pérdidas óhmicas en esos conductores. Ejemplo 6-1. Con la ecuación (6-12), evaluar el flujo total de potencia que entra a la superficie S cerrada abarcando una longitud ℓ de un alambre largo y redondo que transporta una corriente I como en (a) de la figura anexa. Comparar el resultado contra la integral de volumen de (6-12). En (b) se nota la superficie cerrada S. El vector 𝒫 Poynting en la superficie periférica 𝜌 = 𝑎 se obtiene de los campos conocidos 𝐄 y 𝐇, donde 𝐇 está dado por (5-11) del ejemplo 5-1, en tanto que 𝐄 se obtiene de la densidad de corriente 𝑱𝑧 = 𝐼/𝐴 combinada con (3-7) 𝐄 = 𝐚𝑧 𝐸𝑧 = 𝐚𝑧 𝐽𝑧 /𝜎 = 𝐚𝑧 𝐼/𝜎𝐴 ; 𝐇 = 𝐚𝜙 𝐻𝜙 = 𝐚𝜙 𝐼/2𝜋𝑎 El vector de Poynting en 𝜌 = 𝑎 sobre S se obtiene de (6-1) 𝐚𝜙 𝐼 𝐚𝑧 𝐼 𝐼2 𝒫 =𝐄×𝐇 =( )×( ) = −𝐚𝜌 𝜎𝐴 2𝜋𝑎 2𝜋𝑎𝐴𝜎 Como se ve en (b), 𝒫 en las tapas de los extremos no contribuye nada al flujo de potencia hacia adentro, lo que hace que el flujo de potencia total hacia adentro (6-9) en S sea ℓ

𝑃 ≡ − ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ 𝑆

2𝜋

∫

𝑧=0 𝜙=0

(−𝐚𝜌

𝐼2 ) ⋅ 𝐚𝜌 𝑎𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋𝑎𝐴𝜎

𝐼 2 2𝜋𝑎ℓ ℓ = = 𝐼2 = 𝐼 2 𝑅[W] 2𝜋𝑎𝐴𝜎 𝜎𝐴

289

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

un resultado expresado en función de la resistencia (4-134) del alambre. De (6-12) el resultado 𝐼2 𝑅 también se obtiene de la integral de volumen 𝐉 ⋅ 𝐄 tomada en todo el interior de S. Por tanto, ℓ

∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 = ∫ (𝜎𝐄) ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 = 𝑉

𝑉

∫ 𝜎𝑬2𝑧 𝑉

𝑑𝑣 = ∫

2𝜋

∫

𝑎

∫

𝑧=0 𝜙=0 𝜌=0

𝜎(

𝐼 𝜎𝐴

2

) 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧

integrándose a 𝐼2 𝑅 como se espera. El signo positivo toma en cuenta el sentido real hacia adentro del flujo de potencia P en S, como se indica en (c).

Ejemplo 6-1. (a) Un alambre largo redondo que transporta una corriente estática 𝐼. (b) Los campos 𝑬 y 𝑯 en la superficie S. (c) Flujo de potencia hacia adentro asociado con el flujo de corriente directa en un alambre.

De la teoría de ondas planas desarrollada en las secciones 2-9 y 3-6 se hacen ilustraciones del teorema de Poynting en el dominio del tiempo. Por ejemplo, el vector 𝒫 de densidad de flujo de potencia asociado con una onda plana en una región se obtiene utilizando (6-1) aplicada a los campos. En el espacio vacío, suponga que una onda plana viajera en dirección de las z positivas tiene campos eléctrico y magnético inferidos de (2-96a) y (2-105a) + 𝐄 = 𝐚𝑥 𝐸𝑥+(𝑧, 𝑡) = 𝐚𝑥 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) ⇝ (6 − 13)

290

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

𝐇=

𝐚𝑦 𝐻𝑦+(𝑧, 𝑡)

+ 𝐸𝑚 = 𝐚𝑦 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) ⇝ (6 − 14) 𝜂0

Aplicando las expresiones anteriores a (6-1), se obtiene el vector de Poynting instantáneo en cualquier posición de 𝑧 + 𝒫(𝑧, 𝑡) = 𝐄 × 𝐇 = [𝐚𝑥 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)] × [𝐚𝑦

+ 𝐸𝑚 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)] 𝜂0

+ 2 (𝐸𝑚 ) = 𝐚𝑧 cos 2 (𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) ⇝ (6 − 15a) 𝜂0

Figura 6-2. El vector de Poynting asociado con una onda plana en el espacio vacío. (a) El vector 𝒫 = 𝒂𝑧 𝒫𝑧 contra 𝑧 en 𝑡 = 0. (b) El escalar 𝒫𝑧 (𝑧, 𝑡) en 𝑡 = 0.

291

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

La ilustración de (6-15a) en la figura 6-2(a) muestra que 𝒫 en todas partes está dirigido en dirección de las 𝑧 positivas. Denotando 𝒫(𝑧, 𝑡) mediante 𝐚𝑧 𝒫𝑧+(𝑧, 𝑡), la línea sólida de la figura 6-2(b) muestra otra gráfica del escalar 𝒫𝑧+. De estos diagramas, es obvia una variación de doble frecuencia de 𝒫 con 𝑡 y 𝑧 producida por la función coseno al Cuadrado. Utilizando la identidad cos 2 𝜃 = 1/2 + (1/2) cos 2𝜃 se escribe 𝒫 = 𝐚𝑧 𝒫𝑧+ = 𝐚𝑧

+ 2 (𝐸𝑚 ) [1 + cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)] ⇝ (6 − 15b) 2𝜂0

un resultado útil al considerar la potencia promedio en la siguiente sección. La integral de Poynting (6-8) aplicada a una región sin pérdidas óhmicas y sin generadores presentes se reduce a

𝑃(𝑡) ≡ − ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑆

∂ 𝜇0 𝐻 2 𝜖0 𝐸 2 ∫[ ] 𝑑𝑣 [W] ⇝ (6 − 16) + 𝜕𝑡 𝑉 2 2

que significa que el flujo de 𝒫 hacia adentro de una superficie cerrada S en la región sin pérdidas es instantáneamente una medida de rapidez del aumento de la energía electromagnética almacenada dentro de S. En el ejemplo siguiente se examina la validez de (616) con relación a una onda plana en el espacio vacío. Ejemplo 6-2. Dada la onda plana definida por (6-13) y (6-14), determinar el flujo de potencia neta 𝑃(𝑡) que entra a una superficie S cerrada, en forma de capa, con las dimensiones indicadas en la figura anexa. Demostrar que la rapidez del aumento de la energía electromagnética dentro del volumen de la caja proporciona la misma respuesta. 𝒫 está dirigido en sentido de las 𝑧 en todas partes, las únicas contribuciones al flujo de potencia que entra a la caja son en los extremos 𝑆1 y 𝑆2 mostrados, de manera que (6-16) da 𝑏

𝑃1 (𝑡) ≡ − ∫ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ 𝑆1

𝑎

∫

[𝐚𝑧

𝑦=0 𝑥=0

=

+ )2 (𝐸𝑚 𝑎𝑏 cos 2 𝜔𝑡 ⇝ (6 − 17a) 𝜂0

𝑃2 (𝑡) ≡ − ∫ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = − 𝑆2

+ 2 (𝐸𝑚 ) cos 2 (𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)] ⋅ (−𝐚𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦) 𝜂0 𝑧=0

+ )2 (𝐸𝑚 𝑎𝑏 cos 2 (𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑑) ⇝ (6 − 17b) 𝜂0

En consecuencia, el flujo neto de potencia que entra a S es

292

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

− ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 ≡ 𝑃(𝑡) = 𝑃1 (𝑡) + 𝑃2 (𝑡) = 𝑆

+ )2 (𝐸𝑚 𝑎𝑏[cos 2 𝜔𝑡 − cos 2 (𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑑)] 𝜂0

+ )2 (𝐸𝑚 𝑎𝑏[cos 2𝜔𝑡 − cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑑)][W] ⇝ (7 − 18) 2𝜂0

=

esta última se obtiene utilizando cos 2 𝜃 = 1/2 + (1/2) cos 2𝜃. En forma equivalente, si se integra el lado derecho de (6-16) en todo el volumen de la caja, nuevamente deberá de obtenerse (6-18). Sustituyendo (6-13) y (6-14) se obtiene ∂ 𝜇0 𝐻 2 𝜖0 𝐸 2 ∫[ + ] 𝑑𝑣 𝜕𝑡 𝑉 2 2 =

+ )2 𝑑 𝑏 𝑎 ∂ 𝜇0 (𝐸𝑚 { ∫ ∫ ∫ [1 + cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)]𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑡 4𝜂02 0 0 0 + )2 𝑑 𝑏 𝑎 𝜖0 (𝐸𝑚 + ∫ ∫ ∫ [1 + cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)]𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧} 4 0 0 0

=

+ )2 𝑑 𝑏 𝑎 ∂ 𝜖0 (𝐸𝑚 { ∫ ∫ ∫ [1 + cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧)]𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧} 𝜕𝑡 2 0 0 0 + )2 𝑎𝑏 𝜔𝜖0 (𝐸𝑚 [− cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑑)]𝑑0 = 2𝛽0

=

+ )2 𝑎𝑏 (𝐸𝑚 [cos 2𝜔𝑡 − cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑑)] ⇝ (6 − 19) 2𝜂0

que concuerda con (6-18), como se esperaba.

Ejemplo 6-2

Note que en el proceso para obtener (6-19), al sustituir (𝜇0 /𝜂02 ) = 𝜖0 , en el primer paso las dos integrales se igualaron para de esta manera combinarse en una sola. La diferencial del tiempo se incluye dentro de la integral para eliminar el término unitario constante mientras que en el último paso se usa la identidad 𝜔𝜖0 /𝛽0 = 𝜂0−1

293

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

Para una onda plana que viaja en una región conductora (óhmica) se espera que los efectos de la atenuación de 𝐄 y 𝐇 y el corrimiento de fase entre ellos influya en el flujo neto de potencia 𝑃(𝑡) que entra a una superficie cerrada S. Para este caso, los campos están dados por expresiones en tiempo real que se infieren de (3-94) y (3-98c) + −𝛼𝑧 𝐄 = 𝐚𝑥 𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑡) = 𝐚𝑥 𝐸𝑚 𝑒 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) ⇝ (6 − 20)

𝐇 = 𝐚𝑦 𝐻𝑦+(𝑧, 𝑡) = 𝐚𝑦

+ 𝐸𝑚 𝑒 −𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 − 𝜃) ⇝ (6 − 21) 𝜂

en que 𝜃 es el ángulo de la impedancia de la onda (3-99). En consecuencia, el vector de Poynting (6-1) queda como

𝒫(𝑧, 𝑡) = 𝐄 × 𝐇 = 𝐚𝑧

+ 2 (𝐸𝑚 ) −2𝛼𝑧 𝑒 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 − 𝜃) ⇝ (6 − 22a) 𝜂

y usando cos 𝐴 cos 𝐵 = (1/2)[cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)] produce 𝒫 = 𝐚𝑧 𝒫𝑧+(𝑧, 𝑡) = 𝐚𝑧

+ 2 (𝐸𝑚 ) −2𝛼𝑧 W [cos 𝜃 + cos(2𝜔𝑡 − 2𝛽𝑧 − 𝜃 )] [ 2 ] ⇝ (6 − 22b) 𝑒 2𝜂 m

Figura 6-3. El vector instantáneo de Poynting 𝒫𝑧+ (𝑧, 𝑡) asociado con una onda plana viajera en dirección de las 𝑧 positivas en una región conductora.

En la figura 6-3 se muestra una gráfica de 𝒫𝑧+(𝑧, 𝑡) contra z en 𝑡 = 0. La atenuación de 𝐸𝑥+ y 𝐻𝑦+ no solamente explica una densidad doblemente atenuada del flujo de potencia 𝒫𝑧+, sino que el efecto de cos 𝜃 en (6-22b) que remplaza el término unidad en (6-15b) para el caso sin 294

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

pérdidas es hacer que 𝒫𝑧+ se haga negativo en una porción de cada ciclo, que es un efecto asociado con el corrimiento de fase 𝜃 entre los campos eléctrico y magnético y que disminuye la potencia promedio transmitida en la dirección de las 𝑧. Ejemplo 6-3. Si en una región conductora existe una onda plana, evaluar el flujo de potencia neta instantánea que entra a la superficie cerrada en forma de caja que tiene las dimensiones mostradas.

Ejemplo 6-3

Integrando (6-22b) en los extremos 𝑆1 en 𝑧 = 0 y 𝑆2 en 𝑧 = 𝑑 se obtienen los flujos instantáneos de potencia 𝑏

𝑃1 (𝑡) ≡ − ∫ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ 𝑆1

𝑦=0 𝑥=0

=

𝑃2 (𝑡) = −

𝑎

∫

{𝐚𝑧

+ )2 (𝐸𝑚 [cos 𝜃 + cos(2𝜔𝑡 − 𝜃)]} ⋅ (−𝐚𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧) 2𝜂

+ )2 (𝐸𝑚 𝑎𝑏[cos 𝜃 + cos(2𝜔𝑡 − 𝜃)] ⇝ (6 − 23a) 2𝜂

+ )2 (𝐸𝑚 𝑒−2𝛼𝑑 𝑎𝑏[cos 𝜃 + cos(2𝜔𝑡 − 2𝛽𝑑 − 𝜃)] ⇝ (6 − 23b) 2𝜂

de manera que el flujo neto de potencia que entra a la caja es su suma 𝑃(𝑡) =

+ )2 (𝐸𝑚 𝑎𝑏[(1 − 𝑒−2𝛼𝑑 ) cos 𝜃 + cos(2𝜔𝑡 − 𝜃) − 𝑒−2𝛼𝑑 cos(2𝜔𝑡 − 2𝛽𝑑 − 𝜃)] 2𝜂 ⇝ (6 − 24)

Del teorema de Poynting (6-8), es evidente que (6-24) es una medida de la rapidez del aumento de la energía electromagnética almacenada dentro del volumen más la pérdida óhmica instantánea que ocurre allí. El (6-24) se reduce a (6-18) si se supone una región sin pérdidas (𝜎 = 0).

295

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

6.2. Vector y potencia de Poynting promedio en el tiempo Al considerar la potencia electromagnética que los campos sinusoidales variables en el tiempo entregan a una región o sistema, desde el punto de vista de las mediciones prácticas se tiene interés en el promedio en el tiempo del flujo de potencia, más que en su valor instantáneo considerado en la sección anterior. La potencia promedio en el tiempo de los campos electromagnéticos es importante por las mismas razones que en la teoría de los circuitos. La potencia promedio en el tiempo que entra a las terminales de una red pasiva, y que se encuentra utilizando un wattímetro de tipo de electrodinamómetro o del conocimiento de la amplitud y fase del voltaje y corriente de entrada es una medida de la potencia promedio disipada como calor en todos los elementos resistivos de la red. Desde el punto de vista electromagnético, el flujo de potencia promedio en el tiempo que entra a una superficie cerrada que no contiene generadores es un criterio de lo mismo: las pérdidas óhmicas productoras de calor en la región. En las mediciones de laboratorio se acostumbra tomar el promedio en el tiempo de una función armónica en el tiempo en un intervalo que abarque muchos ciclos o periodos. Ya que todos los periodos son iguales para funciones sinusoidales de estado estable, un promedio en un periodo dará el mismo resultado que el que se tome en muchos de esos periodos. El promedio del vector 𝒫(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡), de Poynting, denotado mediante 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 se define como el área bajo la función en un ciclo, dividida entre la duración T (periodo) del ciclo, es decir, 𝒫av (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) =

=

area bajo 𝒫 en un ciclo Base(T seg) (Periodo de una oscilacion)

1 𝑇 ∫ 𝒫(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) 𝑑𝑡 ⇝ (6 − 25a) 𝑇 0

si se escoge a 𝑡 como la variable de integración. De otra manera, se escoge a 𝜔𝑡 como la variable de integración angular; entonces (6-25a) se escribe con 2𝜋 como el divisor de base 𝒫av (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) =

1 2𝜋 ∫ 𝒫 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑡) 𝑑(𝜔𝑡) [W/m2 ] ⇝ (6 − 25b) 2𝜋 0

296

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

Es evidente que el vector de Poynting promedio es una función únicamente de la posición en el espacio, en que se ha integrado la variable en el tiempo sobre límites definidos (en 𝑡 o en 𝜔𝑡) en el proceso del promediado. De los ejemplos de la sección anterior se ilustra el vector de Poynting promedio en el tiempo. La ecuación (6-15a) denota un vector de Poynting 𝒫(𝑧, 𝑡) = 𝐚𝑧 𝒫𝑧+(𝑧, 𝑡) instantáneo en el tiempo, atribuido a la onda de (6-13) y (6-14). Aplicando (6-25b) se obtiene su promedio en el tiempo 𝒫av (𝑧) =

+ 2 2𝜋 + 2 2𝜋 𝐚𝑧 (𝐸𝑚 ) 𝐚𝑧 (𝐸𝑚 ) ∫ 𝑑(𝜔𝑡) + ∫ cos 2(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) 𝑑 (𝜔𝑡) 2𝜋 2𝜂0 0 2𝜋 2𝜂0 0

= 𝐚𝑧

+ 2 (𝐸𝑚 ) ⇝ (6 − 26) 2𝜂0

Por tanto, el resultado (6-26) promedio se atribuye totalmente al primer término, constante, de la expresión (6-15b) instantáneo en el tiempo. El término de la doble frecuencia no contribuye nada al promedio en el tiempo debido a que posee áreas positivas y negativas que se cancelan en un ciclo, lo que es evidente del diagrama de 𝒫𝑧 (𝑧, 𝑡) de la figura 6-4(a), lo que es precisamente una extensión de la figura 6-2(b) a instantes sucesivos en 𝑡. El inserto de la figura 6-4(a), que muestra la onda en la ubicación fija 𝑧 = 0 produce un vector de Poynting promedio (área dividida entre la base) que es de un medio de la densidad pico de potencia + 2 (𝐸𝑚 ) /𝜂0 , o sea (6-26).

Si la región tiene pérdidas 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 se constituye en una función de 𝑧 debido a la atenuación de la onda producida por las pérdidas. En la figura 6-4(b), que constituye una extensión a la figura 6-3, se muestra el vector de Poynting instantáneo, que en este caso está expresado por (6-22b). En los insertos se muestran variaciones de 𝒫𝑧 (𝑧, 𝑡) con 𝑡 en dos ubicaciones fijas de 𝑧(𝑧 = 0 𝑦 𝜆). Usando (6-25b) se llega al vector de Poynting promedio en el tiempo. 𝒫av (𝑧) =

+ 2 1 2𝜋 (𝐸𝑚 ) −2𝛼𝑧 ∫ 𝐚𝑧 𝑒 [cos 𝜃 + cos(2𝜔𝑡 − 2𝛽𝑧 − 𝜃 )]𝑑(𝜔𝑡) 2𝜋 0 2𝜂

= 𝐚𝑧

+ 2 (𝐸𝑚 ) −2𝛼𝑧 𝑒 cos 𝜃 [𝑊/𝑚2 ] ⇝ (6 − 27) 2𝜂

297

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

Figura 6-4. Vector de Poynting 𝒫𝑧 (𝑧, 𝑡) de ondas planas viajeras en dirección de las 𝑧 en regiones sin pérdidas y con pérdidas. (a) Onda plana en una región sin pérdidas. En el inserto inferior se muestran las variaciones en el tiempo en 𝑧 = 0. (b) Onda plana en una región con pérdidas. Abajo se muestran las variaciones en el tiempo en 𝑧 = 0 y 𝑧 = 𝜆.

El resultado está doblemente atenuado en 𝑧; también retiene el factor cos 𝜃 producido porque los campos eléctrico y magnético están desfasados en el ángulo 𝜃, que es un factor análogo al factor de potencia de una impedancia de dos terminales en la teoría de los circuitos. Si el flujo de potencia total promedio en el tiempo que emerge de una superficie S es el deseado, se debe de integrar 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 para obtener 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 [W] ⇝ (6 − 28a) 𝑆

Otra manera de evaluar 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 es promediando el flujo de potencia total instantáneo en el tiempo 𝑃(𝑡) a través de S. Por tanto, sustituyendo (6-25b) en (6-28a) da

298

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚

1 2𝜋 1 2𝜋 ∫ [∫ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠] 𝑑 (𝜔𝑡) = ∫ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ [ ∫ 𝒫 𝑑 (𝜔𝑡)] ⋅ 𝑑𝑠 = 2𝜋 0 𝑆 𝑆 2𝜋 0 𝑆

de donde

𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚

1 2𝜋 ∫ 𝑃(𝑡)𝑑 (𝜔𝑡) [W] ⇝ (6 − 28b) = 2𝜋 0

La preferencia por (6-28a) o por (6-28b) para evaluar 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 depende de la conveniencia comparativa del proceso de integración. Ejemplo 6-4. Evaluar el flujo neto de potencia promedio en el tiempo que entra a la superficie cerrada del ejemplo 6-2 en una región del espacio vacío que contiene a la onda dada. Usando (6-28a) o (6-28b) se encuentra el flujo de potencia promedio que entra a la caja. Denotando con 𝑑𝑠 como elemento positivo de superficie hacia afuera, (6-28a) se escribe con un signo negativo si se desea el flujo neto hacia adentro 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = − ∮ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (6 − 29) Con 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 dado por (6-26), el flujo de potencia promedio que entra a 𝑆1 es 𝑏 𝑎 + )2 + )2 (𝐸𝑚 (𝐸𝑚 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚,1 = − ∫ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ ∫ a𝑧 [ ] ⋅ (−a𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦) = 𝑎𝑏 2𝜂0 2𝜂0 𝑆1 0 0

positivo debido a que la verdadera dirección del flujo es hacia adentro de la caja. Una integración semejante sobre 𝑆2 da el negativo de ese resultado, debido a que el flujo sale de la caja. Por tanto, el flujo neto de potencia promedio en el tiempo que entra a la caja es cero, es decir, 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚,1 + 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚,2 = 0, que es un resultado que se espera en forma general para superficies cerradas que abarcan una región sin pérdidas y que no contienen fuentes.

Para un campo electromagnético sinusoidal variable en el tiempo en una región que posee pérdidas, pero no posee fuentes, el flujo 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 promedio de potencia que entra a una superficie cerrada es una medida de la pérdida de potencia óhmica promedio en el tiempo dentro del volumen interior, lo que se demuestra partiendo de la forma integral (6-8) instantánea en el tiempo del teorema de Poynting 𝑃 (𝑡) = − ∮ 𝒫 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑆

𝜕 (𝑈 + 𝑈𝑚 ) + ∫ 𝐉 ⋅ 𝐄𝑑𝑣 [W] ⇝ (6 − 8) 𝜕𝑡 𝑒 𝑉

299

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

Suponiendo campos sinusoidales, el promedio en el tiempo del lado izquierdo de (6-8), dado por (6-29), es igual al promedio en el tiempo del lado derecho, para dar

− ∮ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑆

+

1 2𝜋 𝜕𝑈𝑒 1 2𝜋 𝜕𝑈𝑚 ∫ ∫ 𝑑 (𝜔𝑡) + 𝑑(𝜔𝑡) 2𝜋 0 𝜕𝑡 2𝜋 0 𝜕𝑡

1 2𝜋 ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝐄𝑑𝑣] 𝑑 (𝜔𝑡) ⇝ (6 − 30) 2𝜋 0 𝑉

De (6-10), las cantidades 𝑈𝑒 y 𝑈𝑚 de la energía almacenada se obtienen de las integrales de volumen de 𝐸2 y 𝐻 2 respectivamente, lo que implica dobles variaciones de frecuencia en el tiempo. Esas variaciones en el tiempo de 𝑈𝑒 en una región de volumen se muestran en la figura 6-5 junto con su derivada en el tiempo 𝜕𝑈𝑒 /𝜕𝑡. Por tanto, su promedio en el tiempo, dado por la primera integral del lado derecho de (6-30), es cero. Hay argumentos semejantes que llevan a un promedio cero en el tiempo de 𝜕𝑈𝑚 /𝜕𝑡, lo que reduce a (6-30) a 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚

1 2𝜋 ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝐄𝑑𝑣 ] 𝑑 (𝜔𝑡) [W] ⇝ (6 − 31) ≡ − ∮ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 = 2𝜋 0 𝑆 𝑉

Se llega a la conclusión de que el flujo de potencia promedio que entra a una superficie cerrada S es igual a la potencia promedio disipada como calor dentro de V limitado por S, condicionado a que no haya fuentes en V.

Figura 6-5. Energía total de campo eléctrico y condiciones de la variación de la energía en función del tiempo para una región de volumen, suponiendo campos sinusoidales.

Ejemplo 6-5. Comparar el flujo neto de potencia promedio que entra a la superficie en forma de caja del ejemplo 6-3 con las pérdidas óhmicas dentro, promediadas en el tiempo, suponiendo la misma onda atenuada en la región.

300

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

En cualquier parte de la región, 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 está dado por (6-27) 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 (𝑧) = 𝐚𝑧

+ )2 (𝐸𝑚 𝑒 −2𝛼𝑧 cos 𝜃 ⇝ (6 − 32) 2𝜂

Sustituyendo (6-32) en (6-31) se obtienen las contribuciones a 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 sólo sobre las tapas de la caja en 𝑧 = 0 y 𝑧 = 𝑑 como sigue: 𝑎

𝑏

𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 ≡ − ∮ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ 𝑆

∫

(𝐚𝑧

𝑥=0 𝑦=0 𝑎

−∫

𝑏

∫

(𝐚𝑧

𝑥=0 𝑦=0

=

(𝐸+ ) 𝑚 2𝜂

2

𝑒−2𝛼𝑧 cos 𝜃) ⋅ (−𝐚𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦)] 𝑧=0

+ )2 (𝐸𝑚 𝑒 −2𝛼𝑧 cos 𝜃) ⋅ (𝐚𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦)] 2𝜂 𝑧=𝑑

+ )2 (𝐸𝑚 𝑎𝑏[1 − 𝑒 −2𝛼𝑧 ] cos 𝜃 ⇝ (6 − 33) 2𝜂

También se obtiene (6-33) utilizando el lado derecho de (6-31) a través de las pérdidas óhmicas promedio en el tiempo en V. La integración se simplifica si se hace 1 2𝜋 1 2𝜋 ∫ [∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑𝑣 ] 𝑑(𝜔𝑡) = ∫ [ ∫ 𝐉 ⋅ 𝐄 𝑑(𝜔𝑡)] 𝑑𝑣 ⇝ (6 − 34) 2𝜋 0 𝑉 𝑉 2𝜋 0 que expresa que el promedio de la integral de volumen de 𝐉 ⋅ 𝐄. es igual a la integral de volumen del promedio de 𝐉 ⋅ 𝐄. Sustituyendo E en (6-20) y utilizando 𝐉 = 𝜎𝐄 se obtiene

∫[ 𝑉

1

2𝜋

2𝜋

∫ 𝐉 ⋅ 𝐄𝑑(𝜔𝑡)] 𝑑𝑣 = ∫ [ 0

𝑉

=

1

2𝜋

2𝜋

2

∫ σ(𝐸+𝑚 ) 𝑒−2𝛼𝑧 cos2 (𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) 𝑑(𝜔𝑡)] 𝑑𝑣 0

+ )2 σ(𝐸𝑚 𝑎𝑏[1 − 𝑒 −2𝛼𝑧 ] ⇝ (6 − 35) 4α

que es igual a (6-33) condicionado a que cos 𝜃 σ = ⇝ (6 − 36) 𝜂 2α Queda al lector demostrar esto último, utilizando las definiciones apropiadas de α, 𝜂 y 𝜃 de la sección 3-6.

6.3. Vector de Poynting promedio y campos armónicos en el tiempo En el estudio de los campos de ondas planas de las secciones 2-9 y 3-6 se vio cómo al emplear las formas complejas se elimina 𝑡 utilizando el factor 𝑒 𝑗𝜔𝑡 . Debido a que en el curso de la solución de problemas a menudo se obtienen soluciones de campo en forma compleja, es 301

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

útil poder encontrar el vector 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 de Poynting promedio en el tiempo directamente de las soluciones complejas. Estos resultados se obtienen en esta sección, junto con una versión del teorema de Poynting (6-8) que emplea formas complejas. ̂ Los campos en tiempo real E y H están relacionados con sus formas complejas 𝐄̂ y 𝐇 mediante (2-56), es decir, 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) = Re[𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] ⇝ (6 − 37) ̂ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] ⇝ (6 − 38) 𝐇(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) = Re[𝐇 ̂ se expresan en formas compleja polar y rectangular como sigue: 𝐄̂ y 𝐇 𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) ≡ 𝐚𝑒 𝐸̂ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = 𝐚𝑒 𝐸𝑒 𝑗𝜃𝑒 = 𝐚𝑒 [𝐸𝑟 + 𝑗𝐸𝑖 ] ⇝ (6 − 39) ̂ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) ≡ 𝐚ℎ 𝐻 ̂ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = 𝐚ℎ 𝐻𝑒 𝑗𝜃ℎ = 𝐚ℎ [𝐻𝑟 + 𝑗𝐻𝑖 ] ⇝ (6 − 40) 𝐇 y se ilustran gráficamente en la figura 6-6(a), donde los vectores unitarios 𝐚𝑒 y 𝐚ℎ designan las direcciones vectoriales de los campos. La forma polar en (6-39) sustituida en (6-37) obtiene las relaciones entre las formas compleja y en tiempo real 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) = Re[𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = 𝐚𝑒 Re[𝐸̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] ⇝ (6 − 41) 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) = 𝐚𝑒 Re[𝐸𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜃𝑒 ) ] = 𝐚𝑒 𝐸 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑒 ) ⇝ (6 − 42) En forma semejante, para el campo magnético ̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = 𝐚ℎ 𝐻 cos(𝜔𝑡 + 𝜃ℎ ) ⇝ (6 − 43) 𝐇(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) = 𝐚ℎ Re[𝐻 El campo 𝐄 (6-41) también se escribe como 𝐄(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , t) = Re[𝐄̂(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = 𝐚𝑒 Re[𝐸̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] ∗ 𝐸̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + (𝐸̂𝑒 𝑗𝜔𝑡 ) 𝐸̂𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐸̂ ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 = 𝐚𝑒 = 𝐚𝑒 ⇝ (6 − 44) 2 2

esta última se obtiene de la relación de la parte real 𝐹𝑟 de cualquier función compleja a 𝐹̂ y en la figura 6-6(b) se ilustra su conjugada 𝐹̂ ∗

302

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

𝐹𝑟 = 𝑅𝑒[𝐹̂ ] =

𝐹̂ + 𝐹̂ ∗ ⇝ (6 − 45) 2

Figura 6-6. Características de los campos representados en el plano complejo. (a) Fasores de ̂ campo eléctrico y magnético que muestran la forma polar y rectangular. (b) Función compleja 𝐹 ∗ ̂ ̂ y su conjugada 𝐹 , que muestra la relación con la parte real 𝐹𝑟 .

Por tanto, los términos 𝐸̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 y 𝐸̂ ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 en (6-44) aparecen como dos fasores que rotan en sentidos contrarios con velocidades angulares 𝜔 y −𝜔, siempre en posiciones conjugadas tal que un medio de su suma produce la proyección requerida en el eje de los reales en todo instante. Sustituyendo (6-44) y con una expresión semejante para 𝐇 en (6-1) se obtiene el vector de Poynting en tiempo real 1 ̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐻 ̂ ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ) 𝒫 ≡ 𝐄 × 𝐇 = 𝐚𝑒 × 𝐚ℎ (𝐸̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐸̂∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 )(𝐻 4 1 ̂ 𝑒 𝑗2𝜔𝑡 + 𝐸̂ ∗ 𝐻 ̂ ∗ 𝑒 −𝑗2𝜔𝑡 + 𝐸̂∗ 𝐻 ̂ + 𝐸̂ 𝐻 ̂ ∗ ) ⇝ (6 − 46) = 𝐚𝑒 × 𝐚ℎ (𝐸̂ 𝐻 4 Usando las formas rectangulares complejas (6-39) y (6-40), los dos primeros términos dan los resultados de doble frecuencia ̂ 𝑒 𝑗2𝜔𝑡 + 𝐸̂ ∗ 𝐻 ̂ ∗ 𝑒 −𝑗2𝜔𝑡 = 2[(𝐸𝑟 𝐻𝑟 − 𝐸𝑖 𝐻𝑖 ) cos 2𝜔𝑡 𝐸̂ 𝐻 −(𝐸𝑖 𝐻𝑟 + 𝐸𝑟 𝐻𝑖 ) sin 2𝜔𝑡] ⇝ (6 − 47) los dos últimos términos de (6-46), independientes del tiempo, se transforman en ̂ = (𝐸𝑟 − 𝑗𝐸𝑖 )(𝐻𝑟 + 𝑗𝐻𝑖 ) = 𝐸𝑟 𝐻𝑟 + 𝐸𝑖 𝐻𝑖 + 𝑗(𝐸𝑟 𝐻𝑖 − 𝐸𝑖 𝐻𝑟 ) ⇝ (6 − 48a) 𝐸̂ ∗ 𝐻 ̂ ∗ = (𝐸𝑟 + 𝑗𝐸𝑖 )(𝐻𝑟 − 𝑗𝐻𝑖 ) = 𝐸𝑟 𝐻𝑟 + 𝐸𝑖 𝐻𝑖 − 𝑗(𝐸𝑟 𝐻𝑖 − 𝐸𝑖 𝐻𝑟 ) ⇝ (6 − 48b) 𝐸̂ 𝐻 para dar 303

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

̂ + 𝐸̂𝐻 ̂ ∗ = 2(𝐸𝑟 𝐻𝑟 + 𝐸𝑖 𝐻𝑖 ) ⇝ (6 − 49) 𝐸̂ ∗ 𝐻 Es evidente que estas contribuciones a (6-46), sólo la constante (6-49) contribuye al promedio en el tiempo definido por (6-25b)

𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚

1 2𝜋 1 ∫ (𝐄 × 𝐇)𝑑 (𝜔𝑡) = 𝐚𝑒 × 𝐚ℎ (𝐸𝑟 𝐻𝑟 + 𝐸𝑖 𝐻𝑖 ) ⇝ (6 − 50) = 2𝜋 0 2

Esta última se simplifica al notar que el factor dentro de paréntesis es precisamente la parte real de (6-48a) o de (6-48b), lo que da 1 1 ̂ ) = Re(𝐸̂ ∗ × 𝐻 ̂ ) [W/m2 ] ⇝ (6 − 51a) 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝐚𝑒 × 𝐚ℎ Re(𝐸̂ ∗ 𝐻 2 2 o también 1 1 ̂ ∗ ) = Re(𝐸̂ × 𝐻 ̂ ∗ ) [W/m2 ] ⇝ (6 − 51b) 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝐚𝑒 × 𝐚ℎ Re(𝐸̂ 𝐻 2 2 los resultados deseados. La ecuación (6-51b) expresa que un medio de la parte real del producto vectorial del campo eléctrico complejo por la conjugada compleja del campo magnético da el vector de Poynting promedio en el tiempo para cualquier posición. (6-51) es otra forma de lo mismo. Estas expresiones obvian la integración promedio en el tiempo de (625) haciendo uso directo de las formas complejas de los campos eléctrico y magnético, por lo que son de lo más conveniente. Si se desea el flujo neto de potencia promedio en el tiempo que entra a una superficie cerrada S, se sustituye (6-51b) en (6-29) produce 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = − ∮ 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∮ 𝑆

𝑆

1 ̂ ∗ ) ⋅ 𝑑𝑠 [W] ⇝ (6 − 52) Re(𝐸̂ × 𝐻 2

Ejemplo 6-6. Utilizar la forma compleja de los campos de ondas planas atenuadas (6-20) y (6-21) para obtener el vector de Poynting promedio en el tiempo en cualquier posición de la región. Las formas complejas de (6-20) y (6-21) son + 𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 ⇝ (6 − 53) 𝐸̂ (𝑧) = 𝐚𝑥 𝐸𝑚

304

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

̂ (𝑧) = 𝐚𝑦 𝐻

+ 𝐸𝑚 𝑒 −𝛼𝑧 𝑒 −𝑗𝜃 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 ⇝ (6 − 54) 𝜂

y sustituyendo éstas en (6-51b) 𝒫𝑝𝑟𝑜𝑚

+ )2 (𝐸𝑚 1 1 ∗ ̂ ̂ = Re(𝐸 × 𝐻 ) = Re (𝐚𝑥 × 𝐚𝑦 𝑒 −2𝛼𝑧 𝑒 𝑗𝜃 ) 2 2 𝜂

= 𝐚𝑧

+ )2 (𝐸𝑚 𝑒 −2𝛼𝑧 cos 𝜃 [W/m2 ] ⇝ (6 − 55) 2𝜂

que concuerda con (6-27).

En lo anterior se demostró la forma de obtener el flujo de potencia electromagnética promedio en el tiempo que entra a úna superficie cerrada utilizando los campos complejos 𝐄̂ y ̂ . Del teorema de Poynting en el tiempo (6-31) se vio que esto tiene una interpretación 𝐇 importante de representar la pérdida de potencia óhmica promedio en el tiempo en el volumen limitado, suponiendo que no hay fuentes encerradas. De las ecuaciones complejas de Maxwell se obtiene directamente otra versión (6-31). Por tanto, comenzando con (3-83) y (3-84), ̂ y ∇×𝐇 ̂ = 𝐉̂ + 𝑗𝜔ϵ𝐄̂, 𝒫 y formando el producto escalar de (3-83) con la ∇ × 𝐄̂ = −𝑗𝜔𝜇𝐇 ̂ , y el producto escalar de la conjugada de (3-84) con 𝐄̂, se obtiene conjugada de 𝐇 ̂ ∗ = −𝑗𝜔𝜇𝐇 ̂ ⋅𝐇 ̂ ∗ ⇝ (6 − 56) (∇ × 𝐄̂) ⋅ 𝐇 ̂ ∗ ) ⋅ 𝐄̂ = 𝐉̂∗ ⋅ 𝐄̂ + (𝑗𝜔𝜖𝐄̂)∗ ⋅ 𝐄̂ = 𝐉̂ ∗ ⋅ 𝐄̂ − 𝑗𝜔𝜖𝐄̂ ∗ ⋅ 𝐄̂ ⇝ (6 − 57) (∇ × 𝐇 Restando (6-57) de (6-56) se obtiene ̂ ∗ ⋅ (∇ × 𝐄̂) − 𝐄̂ ⋅ (∇ × 𝐇 ̂ ∗ ) = − 𝑗𝜔𝜇𝐇 ̂ ⋅𝐇 ̂ ∗ − 𝐉̂∗ ⋅ 𝐄̂ 𝐇 cuyo lado izquierdo se reduce, utilizando ∇ ⋅ (𝐅 × 𝐆) = 𝐆 ⋅ (∇ × 𝐅) − 𝐅 ⋅ (∇ × 𝐆), para dar ̂ ∗ ) = − 𝑗𝜔𝜇𝐇 ̂⋅𝐇 ̂ ∗ + 𝑗𝜔𝜖𝐄̂ ⋅ 𝐄̂ ∗ − 𝐉̂ ∗ ⋅ 𝐄̂ ⇝ (6 − 58) ∇ ⋅ (𝐄̂ × 𝐇 Aplicando el teorema de la divergencia (2-21) al lado izquierdo, integrando (6-58) en todo un volumen V cualquiera, se obtiene la siguiente versión compleja del teorema de Poynting'. ̂ ∗ ) ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑗𝜔 ∫ [𝜇𝐇 ̂ ⋅𝐇 ̂ ∗ − 𝜖𝐄̂ ⋅ 𝐄̂ ∗ ]𝑑𝑣 + ∫ 𝐉̂∗ ⋅ 𝐄̂ 𝑑𝑣 ⇝ (6 − 59a) − ∮ (𝐄̂ × 𝐇 𝑆

𝑉

𝑉

305

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

Si las densidades de corriente 𝐉̂ en V consisten parcialmente en fuentes generadoras 𝐉̂𝒈 (corrientes generadas), la integral de volumen adicional de 𝐉̂𝒈∗ ⋅ 𝐄̂ sobre esas fuentes convierte (6-59a) aun resultado que al reordenarse con el término de la potencia generada del lado izquierdo, indica ̂⋅𝐇 ̂ ∗ − 𝜖𝐄̂ ⋅ 𝐄̂ ∗ ] ⋅ 𝑑𝑣 − ∫ 𝐉̂𝒈∗ ⋅ 𝐄̂ 𝑑𝑣 = 𝑗𝜔 ∫ [𝜇𝐇 𝑉

𝑉

̂ ∗ ) ⋅ 𝑑𝑠 ⇝ (6 − 59b) + ∫ 𝐉̂ ∗ ⋅ 𝐄̂ 𝑑𝑣 + ∮ (𝐄̂ × 𝐇 𝑉

𝑆

Por tanto, la selección entre (6-59a) o (6-59b) depende de que haya generadores de corriente 𝐉̂𝒈 o no en el volumen considerado. Sus partes correspondientes en tiempo real son (6-8) y (611), desarrolladas en la sección 6-1. Sin embargo, como se ve de lo que sigue, sus interpretaciones físicas son sensiblemente distintas. Las interpretaciones físicas de las expresiones complejas de Poynting se hacen evidentes al igualar las partes real e imaginaria de (6-59a) o (6-59b). Suponga una región de volumen disipativo libre de fuentes con 𝜇. y 𝜖 reales puros y 𝐉 = 𝜎𝐄. Igualando un medio de las partes reales de (6-59a) se obtiene la siguiente expresión integral de Poynting 1 𝜎𝐸2 ∗ ̂ ̂ 𝑃av ≡ − ∮ Re(𝐄 × 𝐇 ) ⋅ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑑𝑣 [W] ⇝ (6 − 60) 𝑆 2 𝑉 2 notando que Re (𝐉̂∗ ⋅ 𝐄̂) = Re(𝜎𝐄̂ ∗ ⋅ 𝐄̂) = 𝜎𝐸2 , en que E denota la magnitud de 𝐄̂ de acuerdo con (6-42), en tanto que de (6-52), la integral de la izquierda de (6-60) es precisamente 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 el flujo de potencia promedio en el tiempo que entra a S. Por tanto, (6-60) y (6-31) son expresiones completamente equivalentes. La igualdad de un medio de las partes imaginarias de (6-59a) obtiene el resultado menos importante ̂⋅𝐇 ̂ ∗ 𝜖𝐄̂ ⋅ 𝐄̂ ∗ 1 𝜇𝐇 ∗ ̂ ̂ ] 𝑑𝑣 ⇝ (6 − 61) − ∮ Im(𝐄 × 𝐇 ) ⋅ 𝑑𝑠 = 2𝜔 ∫ [ − 4 4 𝑆 2 𝑉

306

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

̂ ⋅𝐇 ̂ ∗ y (1/4)𝜖𝐄̂ ⋅ 𝐄̂ ∗, independientes del tiempo, denotan los Los términos (1/4)𝜇𝐇 promedios en el tiempo de las densidades de energía almacenada de los campos eléctrico y magnético en V, un factor que se aprecia al volver a examinar la figura 6-5 que muestra la energía de campo instantánea total de un campo eléctrico sinusoidal junto con su promedio en el tiempo en una región típica de volumen. Por tanto, en una región de volumen que no contiene fuentes, (6-61) expresa que la parte imaginaria del flujo complejo de potencia que entra a la superficie cerrada que limita a V es una medida de 2𝜔 multiplicado por la diferencia de las energías promedio en el tiempo almacenadas en los campos magnético y eléctrico. (A veces se simboliza mediante Q esta cantidad cuando se aplica a elementos de almacenaje de energía L y C de los circuitos, cuyos detalles se estudian más ampliamente en el apéndice). Mediante una consideración análoga de (6-59b), se extienden las interpretaciones anteriores de las partes real e imaginaria del teorema complejo (6-59a) de Poynting a una región que contiene generadores de corriente de densidad 𝐉̂𝒈 . Entonces, un medio de las partes reales da 1 𝜎𝐸2 1 ̂ ∗ ) ⋅ 𝑑𝑠 [W] ⇝ (6 − 62) Re(𝐉̂𝒈∗ ⋅ 𝐄̂)𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 + ∮ Re(𝐄̂ × 𝐇 2 2 2 𝑉 𝑉 𝑆

−∫

El lado izquierdo denota la potencia generada promedio en el tiempo en V, que contribuyen las componentes de 𝐄̂ en fase con las fuentes de densidad de corriente 𝐉̂𝒈 . Consecuentemente, la potencia generada promedio en el tiempo es igual a la suma de las pérdidas óhmicas promedio en el tiempo en V, más el promedio en el tiempo del flujo de potencia total que sale de la superficie cerrada S que limita a V. Esta fórmula del teorema de Poynting es útil cuando se aplica, por ejemplo, a generadores de potencia radiada como son las antenas. Por tanto, en el espacio vacío (que no contiene pérdidas), (6-62) expresa que el flujo de potencia que emerge (radiado) de cualquier superficie S que encierra a la antena es igual a la potencia que opera a las terminales de la antena, o sencillamente una reafirmación de la conservación de la energía. PROBLEMAS RESUELTOS 6.1. una onda plana uniforme polarizada en sentido de las 𝑥,𝑦 viajera en sentido de las 𝑧 negativas en el espacio vacio se espesifican en el tiempo real mediante: − cos(𝜔𝑡 + 𝛽 𝑧) 𝐄 = 𝐚𝑥 𝐸𝑥− (𝑧, 𝑡) = 𝐚𝑥 𝐸𝑚 0

307

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

𝐇 = 𝐚𝑦 𝐻𝑦− (𝑧, 𝑡) = −𝐚𝑦

− 𝐸𝑚 𝑒 𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧 − 𝜃) 𝜂0

a) Dada una superficie cerrada en forma de caja como en la figura, encontrar el flujo de potencia instantánea que entra a esa superficie. Que significado físico tiene tiene este resultado con relación a la energía electromacnetica dentro de la superficie. b) Obtener el vector poyting promedio en el tiempo ¿Qué flujo de potencia promedio en el tiempo pasa a través de cada extremo de la superficie en forma de caja en ese problema?

Solución: (a) 𝑏

𝑎

(E𝑚 (E𝑚 ̅ )2 ̅ )2 2 (𝜔𝑡 (𝑎 𝑃1 = − ∫ 𝑃 ⋅ 𝑑𝑠 = ± ∫ ∫ [𝑎𝑧 cos + 𝛽0 𝑧)] 𝑎𝑏 cos 𝜔𝑡 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦) = 𝜂0 𝜂0 𝑆 𝑦=0 𝑥=0 𝑧=0 𝑏

𝑎

(E𝑚 ̅ )2 𝑃2 = − ∫ 𝑃 ⋅ 𝑑𝑠 = − ∫ ∫ [−𝑎𝑧 cos 2 (𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧)] ⋅ (−𝑎𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦) 𝜂0 𝑆 𝑦=0 𝑥=0 𝑧=0 (E𝑚 ̅)2 2 = 𝑎𝑏 cos (𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧). El flujo neto sera la suma 𝜂0 − ∫ 𝑃 ⋅ 𝑑𝑠 = 𝑃1 (𝑡) + 𝑃2 (𝑡) = 𝑆

=

(E𝑚 ̅ )2 𝑎𝑏[cos 2 𝜔𝑡 − cos 2 (𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑡)] 𝜂0

(E𝑚 ̅ )2 𝑎𝑏[cos 2𝜔𝑡 − cos2(𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧)][w] 2𝜂0

(b) E𝑚 ̅ cos(𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧)] 𝜂0 (E𝑚 (E𝑚 ̅)2 ̅)2 [1 + cos2(𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧)] = −𝑎𝑧 cos 2 (𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧) = −𝑎𝑧 𝜂0 2𝜂0

𝑃(𝑧, 𝑡) = 𝐄 × 𝐇 = [𝑎𝑥 (E𝑚 ̅)2 cos(𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧)] × [−𝑎𝑦

308

ELECTROMAGNETISMO UNIDAD DE APRENDIZAJE VI

TEOREMA DE POYNTING Y POTENCIA ELECTROMAGNÉTICA

𝑃∆∨ = −

(E𝑚 𝑎𝑧 (E𝑚 ̅)2 2𝜋 𝑎𝑧 (E𝑚 ̅)2 2𝜋 ̅)2 ∫ 𝜔𝑡 + ∫ cos2(𝜔𝑡 + 𝛽0 𝑧) = −𝑎𝑧 2𝜋 2𝜂0 0 2𝜋 2𝜂0 0 2𝜂0

PROBLEMAS PLANTEADOS 6.1. Dada la onda plana del ejemplo 2-8 en el espacio vacío como sigue: 𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑡) = 1000 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) [V/m] 𝐻𝑦+ (𝑧, 𝑡) = 2.65 cos(𝜔𝑡 − 𝛽0 𝑧) [A/m] en que 𝑓 = 20[MHz] 𝛽0 = 𝜔√𝜇0 𝜖0 = 0.420[rad/m] , evaluar lo que sigue: a) Encontrar el vector de Poynting instantáneo en el tiempo en la región. (Expresarlo como la suma de un término constante y un término de doble frecuencia.) b) Encontrar el vector de Poynting promedio en el tiempo en cualquier posición 𝑧. Obtener la respuesta de dos maneras: utilizando la definición(6-25b), y de (6-51), en función de las formas complejas de los campos. c) Determinar el flujo de potencia promedio en el tiempo que entra a cualquier superficie cerrada en forma de caja como la del ejemplo 6-2, utilizando (6-31). 6.2. Dada la onda plana atenuada del ejemplo 3-8, 𝐸𝑥+ (𝑧, 𝑡) = 1000𝑒 −1.9𝑧 cos(𝜔𝑡 − 4.58𝑧) [V/m] 𝜋 𝐻𝑦+ (𝑧, 𝑡) = 6.29𝑒 −1.9𝑧 cos (𝜔𝑡 − 4.58𝑧 − ) [A/m] 8 en que se supuso la frecuencia 𝑓 = 108 [Hz] evaluar lo que sigue: a) Encontrar el vector de Poynting instantáneo en la región. Expresarlo como la suma de un término de frecuencia doble más otro que sea función de la diferencia de fase. b) Obtener el vector de Poynting promedio en el tiempo para esta onda. Encontrar la respuesta de dos maneras: de la definición (6-25b) y utilizando (6-51) en función de las formas complejas de los campos. c) Determinar el flujo de potencia promedio en el tiempo que entra a una superficie de forma de caja como la del ejemplo 6-3, suponiendo 𝑎 = 𝑏 = 𝑑 = 1[m]. Interpretar esta respuesta físicamente a la vista de la forma promedio en el tiempo (6-31) o (660) del teorema de Poynting.

309