Universidad Nacional De San Agustin: Facultad De Ingenieria De Produccion Y Servicios

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE INGENIERIA DE PRODUCCION Y SERVICIOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA

SISTEMAS DE TELECOMUNICACIONES CAPITULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER -

Bustamante Benito, Yasmit Shayla

20160373

-

Cruz Condori, Josheling

20150537

-

Gutierrez Espinoza, Renzo M.

20160396

-

Hurtado Silva, Miguel Angel

20161846

-

Quispe Cary, Helberth Hector

20160400

-

Vasquez Rivera, Anthony Abraham

20153298

-

Venero Muñoz, Juan José E.

20140534

-

Vilca Condori, Juan Marcos

20142262

AREQUIPA – PERÚ 2020

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I.

INTRODUCCION En el siguiente informe se detallarán conceptos, definiciones sobre la

transformada de Fourier, sus aplicaciones, así como también sobre la modulación y la utilización de técnicas que se usan para transportar información sobre una onda portadora, típicamente sinusoidal (Proceso de Modulación), la cual puede combinarse con otras señales de transmisión a lo largo de un canal, y luego recuperarla de tal manera que la información transmitida pueda extraerse (Proceso de Demodulación). Dichos procesos son el caso inverso, uno de otro, y en gran parte de los procesos de comunicación existirá una pareja moduladordemodulador, uno en cada extremo, formando un módem. Este informe también se basa en el teorema de muestreo de Nyquist del cual un único canal puede llevar más de una señal con lo que se tiene acceso a las telecomunicaciones digitales, para ello hace un enfoque en cuanto a lo referente a la temática de procesamiento de señales discretas en tiempo continuo en relación a lo que es teorema de muestreo. Para ello relaciona un ejemplo de una señal que es capturada y se desea saber lo que contiene dicha señal, además resalta y presenta el software de MATLAB, como una herramienta muy útil para simular estos sistemas y lograr excelentes resultados.

3

II.

RESUMEN Bajo ciertas condiciones, una señal continua puede representarse y

reconstruirse por completo partiendo del conocimiento de los valores, o de muestras, en puntos igualmente espaciados en el tiempo. Esta propiedad un tanto sorprendente se deriva de un resultado básico que se le conoce como el teorema de muestreo. Este teorema es un extremo importante y útil. Gran parte de la importancia del teorema de muestreo reside en su papel de puente entre las señales continuas y las discretas. Bajo ciertas condiciones, una señal continua se puede recuperar por completo a partir de una secuencia de sus muestras, proporciona un mecanismo para representar una señal continua mediante una señal discreta. En muchos contextos, el procesamiento de señales discretas es más flexible y a menudo se prefiere al procesamiento de señales continuas. Esto se debe en gran parte al impresionante desarrollo de la tecnología digital en las últimas décadas, la cual da como resultado la disponibilidad de sistemas discretos de bajo costo, ligeros, programables y de fácil reproducción. Un sistema de comunicación transmite señales con información a través de un canal de comunicaciones que separa el transmisor del receptor. El termino banda base se utiliza para denominar la banda de frecuencias que representa la señal original que lleva la información. La utilización eficiente del canal de comunicación requiere desplazar las frecuencias banda base a otro rango de frecuencias más adecuado para la transmisión.

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III.

ÍNDICE

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1. MARCO TEORICO 1.1.

Transformada de Fourier

La ingeniería emplea métodos para la reducción de las complejidades matemáticas existentes denominándola transformada siendo un proceso univoco de cambio del dominio da la variable. La transformada de Fourier es usada para obtener la información frecuencias de una determinada función, así como también la descomposición de la luz solar en diferentes colores. Una herramienta matemática capaz de extraer la información de la frecuencia de una forma de onda una vez conocido su comportamiento temporal y viceversa. Camilo José Carrillo González,2003. La transformada de fourier empezó en 1748 con un estudio de movimientos vibracionales de una cuerda donde Euler afirmo que si la configuración de la cuerda en un instante determinado se podía poner como combinación lineal de los modos normales, esto seguiría siendo válido en los instantes siguientes de tiempo, luego Jean-Baptiste-Joseph Fourier en 1807 presento en la academia francesa de ciencias un estudio de transmision de calor en donde el daba a conocer este método de resolución la transformada de fourier. La transformada de fourier fue extendiendo su uso haciendo necesaria herramientas numéricas que permiten su implantación en computadoras, facilitando el análisis de formas de ondas complicadas. “El teorema de Fourier no es solamente uno de los resultados más hermosos del análisis moderno, sino que puede decirse además que proporciona un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones de la física moderna, por recónditas que sean”, Lord Kelvin,1867.

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1.1.1. Series de Fourier La serie de fourier es utilizada para el estudio de señales periódicas por lo que se desarrollara teorias sobre esta Sea x(t) una señal aperiódica definida en todo el intervalo real y denotemos por XT(t) (T > 0) la señal 2T-periodica que se obtiene a partir de x(t) haciendo X T (t) = x(t) para t ∈ (−T, T] y extendiendo periodicamente con periodo 2T. T

∞

1 x ( t )=xT ( t ) = 2T

∑ [ ∫ x ( s) e−(πi /T )ks ds ]∗e (πi/T )kt , para t ∈ ¿

k=−∞ −T

si T → ∞. Tomando ∆f = 1/(2T) y fk = k∆f, T

∞

x ( t )=

∑

∆f

k=−∞

[∫

−2 πi f k s

x ( s) e

−T

]

ds ∗e

−2 πi f k t

, para t ∈¿

1

|f k+1 −f k|=∆ f = 2 T (k ∈ Z) Se interpreta que fk son nodos equiespaciados de una particion de Riemann para la integral limite,bajo ciertas restricciones aperiodicas x(t), se obtendrá la identidad de teorema integral de fourier ∞

x ( t )= ∫

(

∞

)

∫ x ( s ) e−2 πifs ds ∗e−2 πift df

−∞ −∞

Si: ξ = 2πf remplazando en la anterior ecuacion ∞

1 x ( t )= ∫ 2 π −∞

∞

(∫

)

x ( s ) e−iξs ds ∗e iξs d ξ

−∞

f : R → C, se define formalmente su transformada de Fourier como la función de variable real f : R → C, definida como ∞

1 f ( ε )= ∫ e−iξs f ( x ) d x , donde ε ϵ R 2 π −∞ Y la transformada inversa de señal aperiódica ∞

f −1 ( t )=

1 ∫ e−iξs y (ε ) d ε 2 π −∞

Deduciendo: f [f ¿¿−1 ( t ) ]= y (ε ) ¿

7

1.1.2. Propiedades elementales 1.1.2.1.

Linealidad:

La transformada de Fourier es un operador lineal. Mas precisamente, si x1, x2 ∈ L (R), y a, b ∈ R, entonces: ax 1+ bx 2(ξ)=ax 1(ξ)+ bx 2(ξ ) 1.1.2.2.

Traslacion en el tiempo:

Dado a ∈ R, se tiene que F [x (t−a)](ξ)=e−iaξ F [ x(t )](ξ) y F [e iaξ x (t )](ξ)=F[ x (t)](ξ−a) 1.1.2.3.

Cambios de escala:

Si δ > 0 y xδ(t) = δ −1x(t/δ), entonces F [x δ ](ξ)=F [ x ](δξ ) y F [x ( δt)]( δξ )=F(x ) δ( ξ) 1.1.2.4.

Derivacion.:

Si x es continua y derivable a trozos, con x 0 (t) ∈ L 1 (R), entonces F (x 0)(ξ )=iξF (x)( ξ) Ademas, si x(t) es integrable entonces F ( tx ( t ) ) ( ξ ) =iF ( x ) ´ (ξ)

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1.1.3. Teoremas  Teorema 1 Si x(t) = exp(−t2 ), entonces x (ξ)=√ π exp(−ξ 2 /4).  Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Si x ∈ L 1 (R) entonces lim F(x )(ξ )=0.

ξ →± ∞

 Teorema 3 Supongamos que x : R → C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente ∞

integrable

∫ x (t)∨dt < ∞Entonces x(ξ) es continua en todo ξ ∈ R. −∞

 Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue) Supongamos que tenemos una familia de funciones xh : R → C (h ∈ R), continuas a trozos tales que existe una cierta función g verificando que xh(t )∨≤∨g( t)∨ para todo t ,h ∈ R ∞

y

∫ g( x )∨dx < ∞Si ademas sabemos que existe el limite puntual −∞

x (t)=lim fh(t ); t ∈ R , h →0

 Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de x(ξ)) Sean L 1 (R) y C0(R) dotados de sus normas ∞

¿|x ( t )|∨¿ L1(R )= ∫ ¿ x (t)∨dt y∨|x ( t )|∨Co( R)=supt ∈ R∨x (t)∨. ¿ −∞

Entonces F : L 1 (R) → C0(R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con el operador transformada de Fourier inversa, F

−1

: L 1 (R) → C0(R)

 Teorema 6 Supongamos que las funciones x(t)e

s1t

y x(t)e

s2t

son continuas a trozos y

absolutamente integrables en toda la recta real, y s1 < s2.

9 ∞

F (z)= ∫ x (t)e−izt dt −∞

existe y es holomorfa en la banda D={z ∈ C : Imz ∈(s 1, s 2)} 1.2.

TEORIA DE MODULACION

Básicamente, la modulación consiste en hacer que un parámetro de la onda portadora cambie de valor de acuerdo con las variaciones de la señal moduladora, que es la información que queremos transmitir. Esta técnica permite un mejor aprovechamiento del canal de comunicación lo que posibilita transmitir más información en forma simultánea además de mejorar la resistencia contra posibles ruidos e interferencias. Una señal portadora es una onda eléctrica modificada en alguno de sus parámetros por la señal de información (sonido, imagen o datos) y que se transporta por el canal de comunicaciones Tenemos las siguientes señales: 1.

Señal portadora: Es una señal de alta frecuencia, de tipo sinusoidal

frecuentemente, que da soporte para trasladar de frecuencia la señal moduladora. 2.

Señal en banda base o señal moduladora: Es la señal que

procedente del transductor, es decir, es la señal que queremos transmitir. 3.

Señal modulada: Es la combinación de las señales portadora +

moduladora, es la señal a emitir.

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Figura 1: Onda de alta frecuencia (portadora, las dos de abajo) puede modularse en amplitud (AM, varía la amplitud) o en frecuencia (FM, varía la frecuencia).

Figura 2: Proceso de modulación y demodulación Existen tres tipos básico de modulación (para datos analógicos y señales analógicas) que son: 1. Modulación en Amplitud (Amplitude Modulation - AM)

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2. Modulación en Frecuencia (Frecuency Modulation FM) 3. Modulación en Fase (Phase Modulation - PM) La modulación se realiza en el transmisor. La señal modulada resultante es enviada al receptor. En el receptor se realiza el proceso de demodulación, el cual consiste en remover la frecuencia portadora de la señal modulada, recuperando la señal original (los datos). 1.

MODULACION EN AMPLITUD (AM): La frecuencia portadora varía

su AMPLITUD, de acuerdo a las variaciones en amplitud de la señal moduladora. Lo anterior da como resultado (en la salida del modulador) una señal modulada en amplitud.

Figura 3: Modulación en amplitud 2.

MODULACIÓN EN FRECUENCIA (FM): La frecuencia portadora

cambia de acuerdo al signo y a la amplitud de la señal moduladora. La amplitud de la portadora no es afectada (mantiene la misma amplitud de la señal moduladora).

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Figura 4: Modulación en frecuencia Existen cuatro técnicas de modulación (llamada también Modulación Digital) para transformar datos digitales en señales analógicas: 1. Modulación por Desplazamiento de Amplitud (Amplitude Shift Keying – ASK) 2. Modulación por Desplazamiento de Frecuencia (Frecuency Shift Keying – FSK) 3. Modulación por Desplazamiento de Fase (Phase Shift Keying – PSK) 4. Modulación de Amplitud en Cuadratura (Quadrature Amplitude ModulationQAM). 3. MODULACION DE FASE: Es una modulación que se caracteriza porque la fase de la onda portadora varía en forma directamente proporcional de acuerdo con la señal moduladora. La modulación de fase no suele ser muy utilizada porque se requieren equipos de recepción más complejos que los de frecuencia modulada, además puede presentar problemas de ambigüedad para determinar si una señal tiene una fase de 0° o 180°.

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La forma de las señales de modulación de frecuencia y modulación de fase son muy parecidas. De hecho, es imposible diferenciarlas sin tener un conocimiento previo de la función de modulación.

1.3. RELACION CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER Existe una propiedad de la transformada de Fourier denominada traslación en frecuencia, la cual se puede detallar de la siguiente manera: Dada una:

Aplicando la definición de la transformada de Fourier:

Se llega a que

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Siendo w0 la traslación en frecuencia. Esta propiedad define la modulación en frecuencia. Si g (t)

fuese real, o sea,

Aplicando la definición de la transformada de Fourier se llegaría a que

La cual define la modulación en amplitud. De la misma manera, y aplicando la definición de la anti transformada de Fourier

Se puede obtener la inversa de mi transformación, lo que sería igual a aplicar demodulación, ya sea en frecuencia o en amplitud. 1.4.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Esta propiedad de la transformada de Fourier es el llamado teorema de la modulación: Si es G (w) la transformada de Fourier de f (t), la transformada de Fourier de f (t) cos (wot) es:

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DEMOSTRACION:

1.5.

TEOREMA DEL MUESTREO

1.5.1. MUESTREO El muestreo, también denominado “Discretización de señal”, es el primer paso en el proceso de conversión de una señal analógica (tiempo y amplitud continuos) en una señal digital (tiempo y amplitud discretos). La conversión de la señal Análoga en Digital se realiza, entre otras razones porque las señales digitales presentan grandes ventajas a la hora de ser transmitidas y/o procesadas: mayor inmunidad al ruido, mayor facilidad de procesamiento y facilidad de multiplexaje. En las aplicaciones tecnológicas “las muestras” se toman a intervalos de tiempo “iguales”, proceso denominado “Muestreo periódico de la señal”, lo que facilita procesos como el de la “Reconstrucción de la señal”. 1.5.2. Teorema del Muestreo (Demostración) El muestreo es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal en tiempo continuo en instantes de tiempo discreto.

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Sea g(t ) una función cualquiera definida para toda t, que representa una señal analógica, y δ (t ) una función tal que: δ ( t )= 1 si t=0 0 si t ≠ 0

{

}

El producto de ambas resulta: g ( t )∗δ ( t )=g ( 0 ) Que representa una muestra de la señal analógica en el instante cero. Si ahora δ ( t ) se recorre una constante de tiempo δ ( t−T ) y se realiza de nuevo el producto con la señal analógica se obtiene: g ( t )∗δ ( t−T S )=g(T ¿¿ S )¿ Se verifica que g(T ) que representa una muestra de la señal analógica en el instante t=T . Por lo tanto el conjunto de muestras en diferentes instantes de tiempo que se obtienen de una señal analógica es:

g(t )δ (t)+ g(t ) δ(t−T S )+ g(t)δ (t−2T S )+...+ g(t) δ (t−n T S ) Pudiendo representar la señal muestreada gT ( t ), mediante una suma de productor de la señal analógica con los impulsos unitarios desplazados en el tiempo: ∞

gT ( t )=

∑

n=−∞

g(t) δ (t−n T S)

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Figura 1: Señal muestreada a partir de la muestreada a partir de la multiplicación de una señal analógica senoidal y un tren de impulsos. O bien una como un producto de la señal analógica g (t) y un tren de impulsos unitarios, figura 1: ∞

gT =g(t)

∑

n=−∞

δ( t−n T S )

Por la propiedad de que cualquier producto se convierte en una convolucion en el dominio de la transformada de Fourier es posible determinar la transformada de Fourier es posible determinar la transformada de Fourier de la señal muestreada F {g T (t) }, mediante la convolucion de la transformada de tren de impulsos y la transformada de la señal analógica, figura 2.

F

{

∞

∞

∑ δ ( t−n T S ) = Tn ∑

n=−∞

}

S n=−∞

(

δ f−

1 TS

)

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F {g T ( t ) }=GT ( f )=G

( f )∗n ∞ ∑ δ f − T1 T S n=−∞ S

(

)

Suponiendo que el espectro en frecuencia de la señal analógica es como la figura 3, la señal se compone por frecuencias desde −f G hasta f G, el espectro en frecuencia del tren de impulsos tiene frecuencias de −f a f . Si se analiza el espectro en frecuencia de la señal muestreada se puede observar que G T (f ) respresenta un espectro continuo periódico con periodo

1 el cuál es el periodo de T

muestreo, el espectro continuo de la señal.

Figura 2: Convolucion de dos espectro en frecuencia, un espectro de una señal senoidal con frecuencia de 25Hz y un espectro de un tren de impulsos, que genera el espectro de la señal muestreada.

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Figura 3: Convolucion de dos espectros en frecuencia, un espectro de una señal cualesquiera y espectro de un tren de impulsos, que genera el espectro de la señal muuestreada.

Muestreada surge por la operación de convolucion que se efectuó en la ecuación 8. Se puede apreciar que el espectro de la señal analógica se distribuyó sobre todo el intervalo del espectro del tren de impulsos. Es aquí donde surge el teorema de muestreo de Nyquist, obsérvese de nuevo la figura 3, como se había mencionado anteriormente los espectros se convolucionan resultando una espectro final que no es más que el espectro de la señal analógica distribuido periódicamente, del cual eliminando todos los ciclos del espectro de la señal analógica excepto el ciclo centrado en f =0, se puede aplicar la inversa de la tranformada de Fourier y obtener la señal analógica original, sin embargo si el periodo

1 es menor que 2 f m entonces los ciclos en el espectro de TS

la señal muestreada se traslapan y es imposible aislar el ciclo centrado en cero ya que ahora tendría frecuencias traslapadas, por tal motivo: 1 ≥2f m TS

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Y ya que T S es el periodo de muestreo o el tiempo entre cada impulso en el tren de impulsos, se puede representar por medio de la frecuencia de muestreo: 1 =f ≥ 2 f m TS S Lo que implica que la frecuencia de muestreo debe ser mayor o igual a la frecuencia máxima de la señal analógica que se desea muestrear.

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2. MARCO OPERATIVO TEOREMA DE MUESTREO 2.1.

OBJETIVO

La finalidad de esta práctica es poder muestrear una señal, y poder comprobar la veracidad del teorema de muestreo que nos enuncia que: es necesario que la frecuencia a muestrear sea 2 veces mayor que la frecuencia de la señal de información. 2.2.

Teorema del Muestreo

Si una señal contínua, S(t), tiene una banda de frecuencia tal que fm sea la mayor frecuencia comprendida dentro de dicha banda, dicha señal podrá recontruirse sin distorsión a partir de muestras de la señal tomadas a una frecuencia fs siendo fs > 2 fm. En la figura se muestra un esquema simplificado del proceso de muestreo.

El interruptor no es del tipo mecánico, puesto que por lo general fs es de bastante

valor.

Suelen

emplearse

transistores

de

efecto

campo

como

interruptores, para cumplir los requerimientos que se le exigen entre los que se encuentran:  Una

elevada

resistencia

de

aislamiento

cuando

los

interruptores

(transistores) están desconectados.  Una baja resistencia si los interruptores están conectados o cerrados.  Una elevada velocidad de conmutación entre los dos estados de los interruptores.

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En la siguiente figura se ofrece las formas de las tres señales principales: S(t)

Señal a muestrear

Señal muestreadora Sd(t)

Señal muestreada

Desde el punto de vista de la cuantificación de la señal muestreada, lo ideal sería que el tiempo en que el interruptor está cerrado, fuese prácticamente cero, ya que de otro modo, la señal muestreada puede variar en dicho tiempo y hacer imprecisa su cuantificación. Debe tenerse en cuenta que para la reconstrucción de la señal original, a partir de la muestreada, se emplea un filtro de paso bajo, el cual deberá tener una función de transferencia como se indica en la figura siguiente:

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Obsérvese que la respuesta del filtro, debe ser plana hasta una frecuencia, como mínimo, igual a fm, para caer posteriormente de forma brusca a cero, antes de que la frecuencia alcance el valor de fs-fm. Mediante la aplicación del Teorema del Muestreo, se pueden transmitir varias señales, por un mismo canal de comunicación. Para ello se muestrea sucesivamente varias señales S1, S2, S3,.... y las señales muestreadas se mandan por el canal de comunicación. A este sistema se le denomina "multiplexado en el tiempo" Al otro extremo del canal habrá que separar las distintas señales muestreadas para hacerlas pasar después por el filtro paso bajo que las reconstruya.

En la figura anterior el multiplexor y el demultiplexor se han representado mediante conmutadores rotativos sincronizados, los cuales, evidentemente no son adecuados, dada la gran frecuencia de giro fs, necesaria en este sistema. Para ello se emplean multiplexores y demultiplexores electrónicos. En este sistema de transmisión de señales es imprescindible, el perfecto sincronismo entre los dos extremos del canal. En la figura se ilustra una señal analógica x(t), así como su versión muestreada, que designaremos x[mT], donde las muestras ocurren en los instantes en que el tiempo t toma los valores T, 2T, 3T..., etc. Estos instantes se llaman tiempos de muestreo, y al tiempo entre muestras consecutivas se le llama intervalo de muestreo.

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Finalmente, cuando una señal discreta en el tiempo sólo puede tomar valores de amplitud discretos, entonces se trata de una señal discreta tanto en el tiempo como en amplitud. Este tipo de señales ha cobrado una gran importancia en las comunicaciones digitales, ya que los sistemas modernos de telecomunicaciones son eficientes y efectivos precisamente debido a este tipo de señales. A las señales que son discretas en el tiempo y en amplitud se les denomina señales digitales, y cuando la amplitud de la señal solamente puede tomar uno de dos valores entonces se trata de una señal digital binaria. Una señal limitada en Banda, que no contiene componentes espectrales mayores que la frecuencia Fm (HZ), esta determinada en forma única por sus valores en intervalos uniformes menores que:( Fm → No contiene frecuencias mas arriba de ωm )

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Es importante que se tenga en cuenta el teorema de muestreo ya que entre mayor sea la frecuencia de muestreo el diseño de filtro se hace más sencillo. Ya que si no se puede llegar a presentar la seudo interferencia.

DESARROLLO Implementar un circuito de muestreo donde la frecuencia a muestrear sea mayor o igual a dos veces la frecuencia máxima de la señal de informacion (1KHz) e introducirla a un filtro paso bajas con una frecuencia de corte de 900 Hz, para recuperar la señal de información.

El siguiente paso que realizamos fue calcular el filtro Paso Bajo con una frecuencia de corte de 900 Hz, esto para que después de que muestreemos la señal la podamos recuperar, los cálculos que realizamos son: CÁLCULOS DE DISEÑO SIMULACIONES

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El circuito implementado para el muestreo de la señal fue mediante un JFET canal P y un timer con señal de salida a una frecuencia de 10 KHz, para recuperar la señal de 1 KHz fue necesario implementar un filtro paso bajas (fc=900 Hz). Dicho circuito es el que se muestra en la figura, en donde se ve cual es el filtro que finalmente se implemento, y el circuito de muestreo.

Ahora hacer un breve análisis de cada una de las salidas que se tiene en cada uno de los bloque; En cuanto al Timer se implementó con un 555, en el cual por el teorema de muestreo y por recomendación del Maestro, muestreamos a una frecuencia de 10 KHz, y la señal que debemos obtener es una muy parecida a la de la simulación que se muestra en la figura.

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Señal de Salida del Timer La siguiente etapa que se ve en la figura 4 es la señal muestreada, es decir que una vez que pasa por el JFET, se tiene una señal muestreada a una frecuencia de 10 KHz.

Señal Muestreada Finalmente la última señal que observaremos de Multisim 8 es la señal que recuperamos, es decir, es la señal que se tiene a la salida del Filtro Paso Bajo de segundo orden, e idealmente como se ve en la figura 5 la señal que recuperamos es la senoidal de 1 KHz, que es la señal de información.

3. CONCLUSIONES

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 La técnica de la modulacion permite un mejor aprovechamiento del canal de comunicación lo que posibilita transmitir más información en forma simultánea además de mejorar la resistencia contra posibles ruidos e interferencias.  Se puede concluir que la transformada de Fourier es de gran utilidad para las tecnologías, como es el caso de las telecomunicaciones. Siendo de gran ayuda gracias a sus propiedades, facilitando la transmisión de las ondas en las comunicaciones. Cabe destacar que tiene múltiples usos, todos de gran ayuda para la tecnología de la actualidad.  Se pudo comprobar mediante el marco operativo la veracidad del teorema del muestreo, el cual nos enunciaba que es necesario que la frecuencia a muestrear sea 2 veces mayor a la frecuencia de la señal de la información.  Con la teoría de muestreo de Nyquist, a medida que el ancho de banda de la señal aumenta, también lo hace la frecuencia de muestreo, de forma que para ciertos tipos de señales la tarea de muestreo se hace casi imposible.  El teorema de muestreo para funciones de tipo pasa bajos es vital en la ingeniera de telecomunicaciones, vinculando la señales continuas con las discretas.

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4. RECOMENDACIONES

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5. BIBLIOGAFIA [1] G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002 [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Modulación_(telecomunicación) [3] https://es.wikipedia.org/wiki/Desmodulación [4] https://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_modulada [5] http://lmi.bwh.harvard.edu/papers/pdfs/2002/martinfernandezCOURSE02.pdf [6] http://grupo_ene.webs.uvigo.es/publicaciones/Apuntes_Fourier.pdf [7]https://es.slideshare.net/anamariaugartemendia/transformada-de-fourierpresentacin [8].http://www.dicis.ugto.mx/profesores/ljavier/documentos/Lec01%20%20Te orema%20de%20Muestreo.pdf [9]. Oppenheim, Willsky y Nawab, Señales y Sistemas, 2da edición ed., Prentice Hall. [10]. C. E. Shannon, "Comunicación en presencia de ruido", Proc. Institute of Radio Engineers, volumen 37 [11].https://www.dsi.uclm.es/personal/miguelfgraciani/mikicurri/docencia/bioinf ormatica/web_bio/Teoria/Teoria%20de%20la%20informacion/Teorema%20del %20muestreo.htm