Ejercicios De Integración Y Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios de Integración y Ecuaciones Diferenciales 1.

√𝑥 + 𝑦 𝑑𝐴,

Calcular ∬

𝐷

si D es la región acotada por las respectivas rectas 𝑦 = 𝑥; 𝑦 =

−𝑥, 𝑦 𝑥 = 1 2.

√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐴, si D es el dominio limitado por el triángulo de vértices A(0,0),

Calcular ∬

𝐷

B(1,-1) C(1,1) 3.

Calcular ∬

4.

Calcular ∬

𝑅 (4−𝑥 2 −𝑦 2 )1⁄2

𝑒𝑥

𝑅

y 𝑥2 + 𝑦2 = 9 5.

𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 +𝑦 2

, donde R es la región dada por 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 ≤ 0

𝑑𝑥𝑑𝑦, donde R es la región acotada por las circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

𝑎 √𝑎2 −𝑥 2 √𝑥 2 ∫ 0 0

+ 𝑦 2 𝑑𝑦𝑑𝑥

Calcular ∫

6. Un sólido está limitado ´por las superficie 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑦 2 , el plano xy, y los planos x=1 y x=3. Calcule el volumen por doble integración. 7.

Calcule la integral ∭

𝑉

(2𝑧𝑥 2 + 2𝑧𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, siendo V el volumen exterior a la hoja

superior del cono 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 e interior al cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, con 𝑧 ≥ 0. 8.

3 2 1 ∫𝑦 𝑦𝑒 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 0

Calcular ∫

2

9. Una pirámide está limitada por los tres planos coordenados y el plano x+2y+3z=6. Representar el sólido y calcular su volumen por integración múltiple. 10.

(1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧)−3 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧,

Calcular ∭

𝑠

donde s es el tetraedro limitado por los tres

planos coordenados y el plano de ecuación x+y+z=1 Resolver las siguientes E.D por el método de separación de variables y métodos de E.D. Homogéneas

11.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

12. 𝑒 13.

𝑥

=

1+2𝑦 2

𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑒 −𝑦 + 𝑒 −2𝑥−𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 𝑦+1

𝑦𝑙𝑛𝑥

𝑑𝑥

=(

𝑥

)

14. −𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 + √𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 15. (𝑦 2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 Demostrar y determinar si la siguientes ecuaciones diferenciales son exactas

16. (𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑦 = 0 17. (2𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑦 + 3𝑒 2𝑦 𝑠𝑒𝑛3𝑥)𝑑𝑥 + (3𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 2𝑒 2𝑦 𝑐𝑜𝑠3𝑥)𝑑𝑦 = 0 18. 3𝑦 2 + 2𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = (𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 6𝑥𝑦 −

4 1+𝑦 2

) 𝑦 ´ , 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 1

19. 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑦 + 1 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑦 + 2𝑦 − 3)𝑦 ´ = 0 20. (𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑒 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3)𝑑𝑦 = 0 𝑥

𝑦

21. (𝑦𝑒 𝑦 + 2 2) 𝑦 ´ = 2 2 − 𝑥𝑒 𝑥 𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦