Métodos Energéticos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE VERACRUZ

Métodos Energéticos

Mecánica de Materiales Aquiles Vizcarra Balbuena

-Energía de deformación en elementos simples sujetos a carga axial, transversal, flexión y torsión-trabajo y energía -teorema de Castigliano -aplicaciones

METODOS ENERGETICOS La relación entre una carga aplicada a una estructura en las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecánica de materiales. Un concepto de fundamental importancia en la solución de estos problemas se basa en el principio de la conservación de la energía. Energía se define como la capacidad de realizar un trabajo W = Fd El trabajo se evalúa como el producto de una fuerza de la distancia recorrida en dirección de la fuerza. La energía de deformación se define como la energía absorbida por la estructura durante un proceso de carga en muchos casos es llamada como trabajo interno Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas alpandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar laenergía de deformación W int con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo W ext durante la deformación, W int =W ext . Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados.

ENERGIA DE DEFORMACION La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación. Energía de deformación reversible e irreversible Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicosirreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición: Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido. En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales: De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

Y la conexión entre tensiores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

Energía potencial elástica La energía de deformación Edef o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:

Donde: , son las componentes del tensor tensión. , son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal. Descomposición de la energía elástica La energía de deformación se puede descomponer además en una energía de deformación volumétrica o trabajo invertido en comprimir o expandir una determinada porción del sólido y energía de distorsión o trabajo invertido en cambiar la forma del cuerpo (sin alterar el volumen): Donde cada uno de los sumandos viene dado por:

Donde hemos hecho intervernir el módulo de compresibilidad K, que es la constante elástica que da cuenta de los cambios del volumen de

un cuerpo bajo presión uniforme. Y hemos reexpresado la energía de distorsión en términos de las tres tensiones principales. Función densidad de energía de deformación En un material o modelo hiperelástico la relación entre tensiones y deformaciones es derivable a partir de una función potencial que es una función de las componentes del tensor de deformación. Es más dicha función refleja directamente el tipo de simetría u anisotropía que presenta un material, así el grupo de simetría del material coincide con el conjunto de transformaciones de simetría que dejan invariantes la función densidad de energía de deformación. La relación básica entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones vía la función densidad energía de deformación es:

Energía de deformación elástica en vigas y pilares Cuando un prisma mecánico como una viga o un pilar se encuentra sometido a un esfuerzo normal, de torsión, de flexión se producen tensiones y deformaciones relacionadas por la ley de Hooke. Existen métodos de cálculo de estructuras, en que al ocurrir una deformación, se efectúa un trabajo (similar a un resorte), por lo que es posible realizar el cálculo de deformaciones, con base al trabajo realizado por la deformación. A este método se le conoce como método energético. Si se usa un sistema de coordenadas en que el eje baricéntrico de la barra coincide con el eje X y los ejes Y y Z con las direcciones principales de inercia de la sección, la energía de deformación por unidad de volumen de una barra recta (viga o pilar) sometida a extensión, torsion, flexión y cortante, viene dada por: Donde son las energías debidas únicamente a la extensión, la flexión impura y la torsión tomadas aisladamente. El término aparece sólo en piezas asimétricas donde el centro de cortante no coincide con el centro de gravedad. Las expresiones de estos términos de la energía de deformación cuando existen simultáneamente flexión y torsión son:

Donde: es el vector de desplazamientos de los puntos del eje de la pieza. son los giros de los puntos de eje de la pieza, alrededor de los tres ejes y el giro de alabeo. son las características geométricas de la sección: el área transversal, el momento de inercia en Y, el momento de inercia en Z, el momento de torsión y elmomento de alabeo, además es un parámetro adimensional relacionado co n los anteriores (ver prisma mecánico). , son las coordenadas del centro de cortante. Como puede verse para piezas con dos planos de simetría el término de acoplamiento flexión-torsión se anula y la energía de deformación es simplemente la suma de las energías de deformación asociadas a la extensión, flexión y torsión. A continuación desarrollamos los casos particulares de esta fórmula substituyendo las derivadas de los desplazamientos en función de los esfuerzos internos. Energía de deformación bajo esfuerzo axial Si una barra o prisma mecánico de longitud L, área transversal A y compuesto de un material con módulo de Young E, se encuentra sujeto a una carga axial siendo el esfuerzo normal o axial N y se tienen en cuenta las relaciones entre tensión normal σ = N/A se obtiene: Si el elemento tiene un área transversal y una carga axial constantes:

Energía de deformación bajo esfuerzo cortante De forma semejante se obtiene la energía de deformación por esfuerzo cortante: Energía de deformación bajo flexión pura Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo normal viene dado por: Tomando el elemento diferencial de volumen como teniendo en cuenta

que

y

, entonces la energía viene dada por la expresión:

Para evaluarla primeramente es necesario calcular el momento flector a lo largo del eje de la pieza. Cuando actúan dos momentos en lugar de uno en direcciones perpendiculares, situación que se llama flexión esvida se tiene análogamente:

TRABAJO Y ENERGIA Trabajo externo Trabajo: El trabajo hecho por una fuerza es el producto de la fuerza por la distancia que se mueve al aplicar la misma. Bajo cargas aplicadas, la estructura se deforma y sus fibras desarrollarán esfuerzos y deflexiones. El producto de las fuerzas internas por los desplazamientos es el trabajo interno del sistema. Trabajo externo: Si una estructura es de un material elástico y tiene una carga Fi en un punto i y una deformación infinitesimal dvi es inducida en el punto i , por otra carga, entonces si Fipermanece constante el trabajo de Pidebido al desplazamiento dvi es dW = Fi * dvi . El trabajo es el área bajo la curva esfuerzo-deformación es:

 Si la deformación es inducida por la carga misma, para un material elástico, el desplazamiento es proporcional a la carga, y tiene un valor vi = Fi / K , donde K es una constante de proporcionalidad. El trabajo de Fi para una deflexión dvi es el área bajo la curva fuerza-deformación o sea,

 Para un material no linear, se puede calcular el trabajo elástico como la integral del área bajo la curva de fuerza-deformación . El área por encima del diagrama es llamado trabajo complementario y es definido como:

 Para materiales linealmente elásticos el trabajo complementario es igual al trabajo elástico, pero para materiales elásticos no lineales el trabajo complementario y el trabajo elástico son diferentes. Trabajo interno Fuerzas internas: son desarrolladas en la estructura elástica en respuesta a las cargas aplicadas y sus deformaciones tienen la capacidad de desarrollar trabajo y restaurar la estructura a su configuración original una vez las cargas han sido removidas. Para un Elemento infinitesimal de la estructura bajo cargas causando un esfuerzo normal s , la fuerza normal en esta sección es s dy dz , y el cambio de longitud es el producto de la deformación unitaria con el largo del elemento. Puesto que las cargas se incrementan desde cero hasta sus valores actuales, así mismo lo hacen los esfuerzos y las deformaciones. Entonces, el trabajo interno de un elemento infinitesimal cuando la carga se ha aplicado en su totalidad y esta causando una deformación unitaria e es:

Trabajo interno total: El trabajo interno de un sistema bajo cargas normales o esfuerzo axial es la integral de la energía de un elemento infinitesimal sobre el volumen del sistema.

Para deformaciones debidas directamente a cortante, la energía elástica puede ser encontrada de manera similar sustituyendo esfuerzos normales y deformación por esfuerzos y deformaciones de cortante.

El factor es llamado el factor de forma y puede ser calculado determinando determinado el valor de la constante la cual depende

de la configuración de la sección. Para secciones rectangulares es 1.2 y para circulares es 1.1. Para secciones en forma de I se puede considerar igual a 1.0. Trabajo real Por conservación de energía si una estructura se deforma no hay cambio en la energía total del sistema. Por tanto, el trabajo externo debido a las cargas externas que actúan sobre la estructura debe ser igual al trabajo interno desarrollado por las fuerzas internas a través de las respectivas deformaciones. We = Wi We = Usistema Para una viga en voladizo con luz L y carga F en extremo libre, la deformación es:

Utilizando energía de deformación debido a cortante, se obtiene:

Trabajo virtual Si una estructura es sometida a desplazamientos virtuales adicionales o fuerzas virtuales, resultan igualmente desplazamientos adicionales o fuerzas adicionales. El trabajo de las fuerzas reales sobre los desplazamientos virtuales, o el de los desplazamientos reales sobre las fuerzas virtuales, es el TRABAJO VIRTUAL DEL SISTEMA. Podemos inducir TRABAJO VIRTUAL imponiendo desplazamientos virtuales o fuerzas virtuales . Para una barra axial, la cual es en equilibrio bajo las fuerzas extremas F1 y F2 , requiere que F1= F 2 = F, donde F es la fuerza axial en un punto x . El trabajo virtual de un elemento infinitesimal es F*d( u) / dx , y para toda la barra el trabajo virtual es:

El trabajo virtual de las fuerzas externas es:

En términos del principio de trabajo virtual el trabajo externo es igual al interno y puesto que se incluye todo el elemento, los desplazamientos virtuales deben ser compatibles con las condiciones de borde, o lo que es lo mismo, los desplazamientos virtuales en soportes sin movimiento deben se cero. El trabajo virtual puede ser descrito e n términos de esfuerzos y deformaciones unitarias en lugar de utilizar fuerzas y desplazamientos. Para una viga con carga axial , en términos de trabajo virtual, podemos sustituir F = * A, e = d( u) / dx y adicionalmente d(vol)=A*dx, el trabajo virtual interno será: We = W1

W = e Usistema

En la anterior expresión de se refiere a los desplazamientos virtuales unitarios. En esta expresión se observa que debe la energía interna de una barra con fuerzas axiales, términos de trabajo virtual, es igual es a la variación de la energía elástica del sistema. Por tanto,

W1 =

*

* d(vol)

Es decir, la variación de la energía elástica del sistema es igual al trabajo externo. Para un sistema real con varias cargas F i , induciendo esfuerzos y deformaciones reales vi , si la estructura está sometida a esfuerzos o desplazamientos virtuales, la anterior ecuación se puede plantear como:

Teoremas de Castigliano Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes. Primer teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a la energía potencial elástica o potencial interno donde es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por: Segundo teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan un conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a la energía potencial elástica o potencial interno. Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- δi del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada por:

Este teorema puede particularizarse a numerosos casos prácticos de forma algo más concreta, por ejemplo en la teoría de vigas Euler-Bernoulli se emplea la forma:

donde: representan los esfuerzos de sección (axial y flectores) a lo largo del eje baricéntrico de la viga. representan el área y los segundos momentos de área de la sección transversal de la viga. es el módulo de Young del material de la viga

APLICACIONES Para los fines de las aplicaciones en la ingeniería, se considera que los cuerpos o sistemas mecánicos están formados por materia que consiste en partículas denominadas puntos materiales y cuyo conjunto constituye la configuración del sistema. Se dice que el sistema experimenta una deformación cuando cambia su configuración, o sea cuando se desplazan sus puntos materiales cambiando las distancias relativas entre los puntos. Si se supone un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, este se deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra el sistema de fuerzas externas. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo. Este trabajo o energía de deformación es utilizado por el cuerpo para recuperar su forma cuando cesa la acción del sistema de fuerzas externas. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice que es un cuerpo perfectamente elástico, e indica que el trabajo de las fuerzas externas durante la deformación del cuerpo se transformó totalmente en energía de deformación, despreciándose las pérdidas pequeñas por cambio de temperatura. En cualquier caso, se cumple siempre la ley de la Termodinámica: el trabajo efectuado por las fuerzas externas más el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energía cinética más el incremento de energía interna. Por otra parte, el incremento de energía cinética es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas externas y de las fuerzas internas. En los sistemas elásticos se desprecian las perdidas por calor y la energía interna del sistema (energía potencial de las fuerzas internas) es la energía o trabajo de deformación de dicho sistema. Las estructuras por lo general se hacen de madera, concreto y acero. Cada una de ellas tiene diferentes propiedades materiales que deben ser consideradas para el análisis y el diseño. Debe conocerse el módulo de elasticidad E de cada material para cualquier cálculo de desplazamiento.