Trabajo 5ta Unidad: álgebra Lineal2 A Ingeniería Civil

ÁLGEBRA LINEAL2 A INGENIERÍA CIVIL CATEDRATICO: ALMANZA PEREZ JORGE HERMENEGILDO

TRABAJO 5ta UNIDAD TRANSFORMACIONES LINEALES

ALUMNO: AMARO ALARCON JOSUE DAVID

GRADO Y GRUPO: 2 A FECHA DE ENTREGA: 04/06/2018

1.1 INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LIENEALES. Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre Kespacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales. Las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Se usara el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos será sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad.

5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales. Teorema 1: Sea T: V -> W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, . ... , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an: i) T (0)= 0 ii) T (u-v) = Tu - Tv iii) T (a1v1 + a2v2 + . . . + anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 + . . . + anTvn Demostración: i) T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0). Así, 0 = T (0) – T (0) = T (0) + T (0) - T (0) = T (0) ii) T (u - v) = T [u + (-1) v] = Tu + T [(-1)v] = Tu + (-1)T v = Tu - T v. iii) Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice A). Para n = 2 se tiene T (a1v1 + a2v2) = T (a1v1) + T (a2v2) = a1Tv1 + a2Tv2. Así, la ecuación (7.2.1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n = k + 1: T (a1v1 + a2v2 + . . . + akvk + ak + 1vk + 1) = T(a1v1 + a2v2 + . . . + akvk) + T(ak + 1vk + 1), y usando la ecuación en la parte iii) para n = k, esto es igual a (a1Tv1 + a2Tv2 + . . . + akT vk) + ak + 1Tvk + 1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba. Teorema 2: Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,v2,….vn}. Sean 1,w2,….wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…,n. Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2. Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn. Tales que v = α1v1 + α2v2 + …+ αn vn. Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1(α1 v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn. De manera similar T2v = T2(α1v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn = α1w1 + α2w2 +…+ αnvn Por lo tanto, T1v =T2v. El teorema 2 indica que si T:v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1, v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1,Tv2,….Tvn EJEMPLO 1 Determine el núcleo de T : R3→R3

Sabemos que Ker (T) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >0 de R3 tal que T(v) = 0 (en R3):

Para resolver el sistema

El sistema tiene solución única y es 0. Por tanto,

EJEMPLO 2: Determine el núcleo de la transformación de R3 en R2 definida como

Un vector v = (a, b, c) 0 pertenece al núcleo de T si T (v) = 0, es decir si:

Por lo tanto, par a pertenecer al núcleo debe cumplirse

Reduciendo tenemos:

Es decir, que el núcleo de T en este caso es un espacio generado:

Además, la dimensión de Ker(T) es 2, lo cual corresponde al número de columnas sin pivote de la reducida de la matriz que define a T. Geométricamente, en R3 este generado corresponde a un plano que pasa por el origen y con vector normal n = u1 × u2 = (1, 1, 1)0 que es:

EJEMPLO 3: Determine el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como

Un vector v = (a, b, c) 0 pertenece al núcleo

Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse

Observe que el núcleo de T en este caso es un espacio generado:

Además, la dimensión de Ker(T) es 1, lo cual coincide con el número de columnas sin pivote en la reducida de A (La matriz que define a la transformación T). Geométricamente en R3 este generado corresponde a la línea que pasa por el origen y con vector de dirección (3/2, −7/2, 1)0 que es:

5.3 MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. Teorema 1: Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, AT tal que

Demostración: Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. si

Entonces:

De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas porque coinciden en los vectores básicos. Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado. Sea T : V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V y B 0 = {v1 0 , . . . , vn 0 } una base de W. La matriz A m × n cuyas columnas son: [T(v1)]B 0 , . . . , [T(vn)]B 0 es la ´única matriz que satisface [T(~v)]B0 = A[v]B para todo v ∈ V .

EJEMPLO 1: Encuentre la representación matricial de la transformación Lineal T de R4 en R3 definida por

Aplicamos T a los vectores base de R4:

,

,

,

Entonces la matriz AT es

. EJEMPLO 2: En el ejemplo 1 se utilizó la base canónica para construir la matriz de representación de la transformación lineal

Ahora se utilizará la base

.

,

,

Entonces la nueva matriz de transformación queda:

,

EJEMPLO 3: Encuentre la representación matricial AT de la transformación lineal T definida por

Aplicamos T a los vectores base de R3 :

Entonces la matriz de transformación es 5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANFORMACIONES LINEAL Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y gráfi ca de la multiplicación matrizvector. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual. EJEMPLO 1: Reflexión en el eje y:

EJEMPLO 2: Reflexión en el eje x:

EJEMPLO 3: Reflexión en el eje y=x:

Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6). EJEMPLO 1: Consideremos la transformación lineal T: R2 -> R2 cuya representación matricial sea

, entonces Veamos qué le hace esta transformación lineal al cuadrado unitario formado por los puntos (0, 0), (0, 1), (1, 0) y (1, 1).

EJEMPLO 2: muestre gráficamente una expansión en x (con c = 2)

EJEMPLO 3: muestre gráficamente una expansion en y( con c=0.5)

Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8). EJEMPLO 1: Sea V (4,3) aplicar una contracción cuando: C=1/3 enelejedelas X C= ½ enelejedelas Y

EJEMPLO 2: Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. Sea V= (2 4) encontrar la contracción

horizontal cuando k=1/2

EJEMPLO 3: Sea V= ( 2 4 ) encontrar la expansión vertical

cuando k=2

Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. EJEMPLO 1: Sea R(θ) la matriz de rotación sobre el origen, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor del origen en 2D se puede expresar como el producto matricial p = p ⋅ R , es decir:

el efecto de rotación de una figura con θ = 45°.

EJEMPLO 2: Sea R3(θ) la matriz de rotación alrededor del eje X3, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor de dicho eje, se puede expresar como el producto matricial (p) = p ⋅ R3 θ , es decir:

el efecto de rotación sobre el eje X3 de una figura con θ = 20°.

EJEMPLO 3: Sea R1(θ) la matriz de rotación alrededor del eje X1, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor de dicho eje, se puede expresar como el producto matricial p = p ⋅ R1 θ , es decir:

Aplicando nuevamente las substituciones cíclicas en la Ecuación 3.13, se obtienen las fórmulas para la rotación alrededor del eje X2 dado un ángulo θ.

BIBLIOGRAFIA: 1. Kaufmann, Jerome E. y Schwitters, Karen L. Algebra, Octava Edición. Cuidad de México; Cengage Learning, 2010, 607-487-149. 2. Stanley I. Grossman y José Job Flores Godoy. Algebra Lineal, Septima Edicion. Cuidad de México, Mc Graw Hill. 2012, 668-678. 3. Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. (28 de junio de 2011). Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal. 03 junio 2018, Sitio web: http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-17.pdf