Td Mécanique Des Structures: 1 Calcul De Dégrée D’hyperstaticité

TD mécanique des structures 𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟏 ∶

𝑆𝐵

𝑋1 𝑆𝑅 ∆1𝑃 𝛿11

𝑆𝑈 𝑋1 = 1

1 Calcul de dégrée d’hyperstaticité : 𝑑𝐻 = ℎ𝑖 − 3 = 4 − 3 = 1 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

2 Equations de compatibilité : 𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 𝑙 𝑚1 𝑚1

𝛿11 = ∫0

𝐸𝐼

𝑙 𝑀𝑃 𝑚1

𝑑𝑥 ; Δ1𝑃 = ∫0

𝐸𝐼

𝑑𝑥

3 Diagramme des moments : Système réel : −𝑞 𝑙 2 2 𝑚1 (𝑙) = 0

𝑞 𝑥2 𝑚1 (𝑥) = − 2

(0) = {𝑚1

Système unitaire : 𝑚1 (𝑥) = 𝑥

{

𝑚1 (0) = 𝑙 𝑚1 (𝑙) = 0

4 Calcul de coefficient de flexibilités : 𝑙

𝛿11 = ∫ 0

𝑚1 𝑚1 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Page 1

𝛿11 =

1 𝑙×𝑙×𝑙 3 𝐸𝐼

𝛿11 =

𝑙3 3 𝐸𝐼 𝑙

Δ1𝑃 = ∫ 0

Δ1𝑃 =

𝑞 𝑙2 2 𝑀𝑃

𝑀𝑃 𝑚1 𝑑𝑥 𝐸𝐼

1 1 −𝑞 𝑙 2 𝑀𝑃 × 𝑙 × 𝑚1 = × ×𝑙×𝑙 4 𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 2

Δ1𝑃 = −

𝑚1 𝑙

𝑞 𝑙4 8 𝐸𝐼

5 Détermination de X1 : 𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 ⟹

𝑙3 𝑞 𝑙4 𝑋1 − =0 3 𝐸𝐼 8 𝐸𝐼

3 𝑋1 = 𝑞𝑙 8

6 Système initial : 5 ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 𝑞𝑙 ⟹ 𝑉𝐴 = 𝑞𝑙 8 𝑞𝑙 2 3 2 𝑞𝑙 2 ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ −𝑀𝐴 + − 𝑞𝑙 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 = 2 8 8 Les sections : 𝑞𝑥 2 𝑞𝑥 2 5 𝑞𝑙 2 𝑀(𝑥) = 𝑉𝐴 𝑥 − − 𝑀𝐴 = − + 𝑞𝑙 𝑥 − 2 2 8 8 5 𝑇(𝑥) = 𝑞𝑙 − 𝑞𝑥 8 3𝑞𝑙 8

5𝑞𝑙 8

𝑇

𝑞 𝑙2 8

𝑀

Page 2

𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟐 ∶

𝑃

𝑃

𝑋1 𝑋2

𝑆𝐵

𝛿11

𝛿12

𝛿21

𝑃 𝛿22

∆2𝑃

𝑋2 = 1

𝑋1 = 1

∆1𝑃

𝑆𝑈

𝑆𝑈

𝑆𝑅

1 Calcul de dégrée d’hyperstaticité : 𝑑𝐻 = ℎ𝑖 − 3 = 5 − 3 = 2 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

2 Equations de compatibilité : {

𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0

𝛿 ( 11 𝛿21

𝛿12 𝑋1 Δ 0 ) ( ) + ( 1𝑃 ) = { } Δ2𝑃 𝛿22 𝑋2 0 𝑙

𝛿11

𝑚1 𝑚1 =∫ 𝑑𝑥 ; 𝐸𝐼 0

𝑙

𝛿12 = 𝛿21

𝑙

𝑙

𝑚1 𝑚2 𝑀𝑃 𝑚1 𝑀𝑃 𝑚2 =∫ 𝑑𝑥 ; Δ1𝑃 = ∫ 𝑑𝑥 ; Δ2𝑃 = ∫ 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 0

0

0

Page 3

3 Diagramme des moments : Système unitaire 𝑋1 = 1 : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 1 ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 = ℎ Les sections : Barre AB : 𝑚1 (𝑥) = −𝑥 + 𝑎

{

𝑚1 (0) = 𝑎 𝑚1 (𝑎) = 0

Barre BC : 𝑚1 (𝑥) = 0 Système unitaire 𝑋2 = 1: ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 1 ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 − 𝑎 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 = 𝑎 Les sections : Barre AB : 𝑚2 (𝑥) = −𝐻𝐴 𝑥 ↗0 + 𝑀𝐴 = 𝑎 ⟹ 𝑀𝐴 = 𝑎 Barre BC : 𝑚2 (𝑥) = 𝑥 {

𝑚2 (0) = 0 𝑚2 (𝑎) = 𝑎

Système réel : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 𝑃 ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 =

𝑃𝑎 2

Les sections : Barre AB : 𝑚𝑃 (𝑥) = −𝐻𝐴 = −

𝑃𝑎 2

Barre BC 𝒂

𝟎 < 𝒙 < 𝟐 : 𝑚𝑃 (𝑥) = 0 𝑎

𝒂 𝟐

𝑎

< 𝒙 < 𝒂 : 𝑚𝑃 (𝑥) = 𝑃 (𝑥 − 2)

{

𝑚𝑃 ( 2 ) = 0 𝑚𝑃 (𝑎) = −

𝑃𝑎 2

Page 4

4 Calcul de coefficient de flexibilités : ℎ=𝑎

𝛿11

𝑙=𝑎

𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 1 𝑎3 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ⟹ 𝛿11 = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 3 𝐸𝐼 3 𝐸𝐼 0

𝛿12 = 𝛿12

𝛿22

Δ1𝑃

Δ2𝑃

0

ℎ=𝑎

𝑙=𝑎

0

0

𝑚1 𝑚2 𝑚2 𝑚1 1 𝑎3 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 ⟹ 𝛿12 = 𝛿21 = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2 𝐸𝐼 2 𝐸𝐼

ℎ=𝑎

𝑙=𝑎

0

0

ℎ=𝑎

𝑙=𝑎

0

0

ℎ=𝑎

𝑙=𝑎/2

𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚 2 𝑎3 𝑎3 4 𝑎3 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = + ⟹ 𝛿22 = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 3 𝐸𝐼 3 𝐸𝐼 𝑀𝑃 𝑚1 𝑀𝑃 𝑚1 1 𝑃𝑎 𝑃 𝑎3 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎 × 𝑎(− ) ⟹ Δ1𝑃 = − 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2 𝐸𝐼 2 4 𝐸𝐼 𝑙=𝑎

𝑀𝑃 𝑚2 𝑀𝑃 𝑚2 𝑀𝑃 𝑚2 −𝑃𝑎3 1 −𝑃𝑎 𝑎 𝑎 4𝑎 0 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 ↗ = + ( ) ( + )+0 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 2 𝐸𝐼 6 2 2 2 2 0

Δ2𝑃 =

0

𝑎/2

𝑝𝑎3 5𝑃𝑎3 29 𝑃𝑎3 − ⟹ Δ2𝑃 = − 2𝐸𝐼 48𝐸𝐼 48 𝐸𝐼

5 Résolution du système l’équation : {

𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0

𝑎3 𝑎3 𝑃 𝑎3 𝑋1 + 𝑋2 − = 0 … … … … . (1) 3 𝐸𝐼 2 𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 𝑎3 4 𝑎3 29 𝑃𝑎3 (2) {2 𝐸𝐼 𝑋1 + 3 𝐸𝐼 𝑋2 − 48 𝐸𝐼 = 0 … … … . 1 1 𝑃 1 1 𝑃 𝑋1 + 𝑋2 − = 0 … … … … . (1) 𝑋1 + 𝑋2 − = 0 … … … . . (1) 3 2 4 6 4 8 { ⟹{ 1 4 29 1 4 29 𝑋1 + 𝑋2 − 𝑃 = 0 … … … . (2) 𝑋1 + 𝑋2 − 𝑃 = 0 … … … . (2) 2 3 48 6 9 144 (1) − (2) ∶ 1 4 𝑃 29 9 − 16 18 − 29 11 ( − ) 𝑋2 − + 𝑃=0⟹( ) 𝑋2 = 𝑃 ( ) ⟹ 𝑋2 = 𝑃 4 9 8 144 36 144 28 1 1 11 𝑃 1 3 9 ⟹ 𝑋1 + × 𝑃 − = 0 ⟹ 𝑋1 = 𝑃 ⟹ 𝑋1 = 𝑃 6 4 28 8 6 112 56

6 Système initial : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 𝑋1 =

9 𝑃 56

22 34 𝑞𝑙 ⟹ 𝑉𝐴 = 𝑃 56 56 𝑃𝑎 3 ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ −𝑀𝐴 + − 𝑋1 𝑎 − 𝑋2 𝑎 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 = 𝑃 2 56 ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑋2 = 𝑃 ⟹ 𝑉𝐴 = 𝑃 −

Page 5

Les sections : Barre AB : 0 < 𝑥 < 𝑎 : 𝑀(𝑥) = 𝑀𝐴 − 𝐻𝐴 𝑥 =

3 𝑃𝑎 9 𝑃 − 𝑥 56 56

3 𝑃𝑎 56 { 6 𝑀(𝑎) = − 𝑃𝑎 56 𝑀(0) =

9 𝑃 56 34 𝑁(𝑥) = − 𝑃 56 𝑇(𝑥) = −

𝑎

Barre BC : 0 < 𝑥 < 2 : 𝑀(0) = 0 22 𝑎 11 𝑀(𝑥) = 𝑃𝑥 { 56 𝑀( ) = 𝑃𝑎 2 56 22 𝑇(𝑥) = − 𝑃 56 9 𝑁(𝑥) = − 𝑃 56 𝑎

Barre BC : 2 < 𝑥 < 𝑎 : 𝑎 11 22 𝑎 34 28 𝑃𝑎 𝑀 (2) = 56 𝑃𝑎 𝑀(𝑥) = 𝑃 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) = − 𝑃𝑥 + { 6 56 2 56 56 𝑀(𝑎) = − 𝑃𝑎 56 34 𝑇(𝑥) = 𝑃 56 9 𝑁(𝑥) = − 𝑃 56

Page 6

𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟑 ∶

1 Calcul de dégrée d’hyperstaticité : 𝑑𝐻 = ℎ𝑖 − 3 = 5 − 3 = 2 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

2 Equations de compatibilité : {

𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0

𝛿 ( 11 𝛿21

𝛿12 𝑋1 Δ 0 ) ( ) + ( 1𝑃 ) = { } Δ2𝑃 𝛿22 𝑋2 0 𝑙

𝛿11

𝑙

𝑚1 𝑚1 =∫ 𝑑𝑥 ; 𝐸𝐼

𝛿12 = 𝛿21

0

𝑙

𝑙

𝑚1 𝑚2 𝑀𝑃 𝑚1 𝑀𝑃 𝑚2 =∫ 𝑑𝑥 ; Δ1𝑃 = ∫ 𝑑𝑥 ; Δ2𝑃 = ∫ 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 0

0

0

3 Diagramme des moments : Système unitaire 𝑋1 = 1 : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐶 = 0 ;∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 0 ⟹ 1

1

𝑉𝐴 = 5 ;∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑉𝐶 = − 5 Les sections : 1

Barre AB : 𝑚1 (𝑥) = 5 𝑥 − 1 {

𝑚1 (0) = − 1 𝑚1 (5) = 0

Barre BC : 𝑚1 (𝑥) = 0 Page 7

Système unitaire 𝑋2 = 1: 3

3

∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐶 = 1 ;∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = − ;∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑉𝐶 = 5 5 Les sections : 3

Barre AB : 𝑚2 (𝑥) = − 5 𝑥 { Barre BC : 𝑚2 (𝑥) = −𝑥 {

𝑚2 (0) = 0 𝑚2 (5) = −3

𝑚2 (0) = 0 𝑚2 (3) = −3

Système réel : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐶 = 800 ;∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 1500 ⟹ 𝑉𝐴 = 590 ;∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑉𝐶 = 910 Les sections : Barre AB : 𝑀𝑃 (𝑥) = −1500 𝑥 2 + 590 𝑥 {

𝑀𝑝 (0) = 0 𝑀(5) = −800

Barre BC : 𝟎 < 𝒙 < 𝟏 : 𝑀𝑃 (𝑥) = −800 𝑥 {

𝑀𝑝 (0) = 0 𝑀𝑝 (3) = −3

𝟏 < 𝒙 < 𝟑 : 𝑀𝑃 (𝑥) = −800(𝑥 − 1) + 800 𝑥 = 800

4 Calcul de coefficient de flexibilités : 5

𝛿11

3

𝑚1 𝑚1 𝑚1 𝑚1 1 5 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 1 × 5 × 1 ⟹ 𝛿11 = 2𝐸𝐼 𝐸𝐼 3 (2𝐸𝐼) 6 𝐸𝐼 0

0

5

𝛿12 = 𝛿12

3

𝑚1 𝑚2 𝑚2 𝑚1 1 5 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 1 × 5 × 3 ⟹ 𝛿12 = 𝛿21 = 2𝐸𝐼 𝐸𝐼 6(2𝐸𝐼) 4𝐸𝐼 0

0

5

𝛿22

3

𝑚2 𝑚2 𝑚2 𝑚2 1 1 33 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 3×5×3+ 3 × 3 × 3 ⟹ 𝛿22 = 2𝐸𝐼 𝐸𝐼 3(2𝐸𝐼) 3𝐸𝐼 2𝐸𝐼 0

0

5 1 (−150 𝑥 2 + 590 𝑥) ( 𝑥 − 1) 1 5 =∫ 𝑑𝑥 = ∫(−30 𝑥 3 + 268 𝑥 2 − 590 𝑥) 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 5

Δ1𝑃

0

Δ1𝑃

0

1 30 4 268 3 580 2 5 5375 = [− 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 ] ⟹ Δ1𝑃 = 2𝐸𝐼 4 3 2 12𝐸𝐼 0 5

Δ2𝑃 = ∫

(−150 𝑥 2 + 590 𝑥) (− 2𝐸𝐼

0

3 𝑥) 1 1 5 𝑑𝑥 + 800 × 1(1 + 3) + 800 × 1 × 1 2𝐸𝐼 3𝐸𝐼

5

Δ2𝑃

3 3200 800 3 150 4 590 3 5 10400 3 2] =− ∫[−150𝑥 + 590𝑥 𝑑𝑥 + + =− [− 𝑥 + 𝑥 ] + 10𝐸𝐼 𝐸𝐼 3𝐸𝐼 10𝐸𝐼 4 3 𝐸𝐼 0 0

Δ2𝑃 = −

37475 12 𝐸𝐼 Page 8

5 Résolution du système l’équation : {

𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0

5 5 5375 𝑋1 + 𝑋2 − = 0 … … … … . (1) 6 𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 12 𝐸𝐼 { 15 33 37475 𝑋1 + 𝑋2 − = 0 … … … . (2) 12 𝐸𝐼 2 𝐸𝐼 12 𝐸𝐼 𝑋2 = −259.47 ;

𝑋1 = 926.7

Page 9

𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟒 ∶

𝑋1

𝑋1

1 Calcul de dégrée d’hyperstaticité : 𝑑𝐻 = ℎ𝑖 − 3 = 4 − 3 = 1 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

2 Equations de compatibilité : 𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 𝑙 𝑚1 𝑚1

𝛿11 = ∫0

𝐸𝐼

𝑙 𝑀𝑃 𝑚1

𝑑𝑥 ; Δ1𝑃 = ∫0

𝐸𝐼

𝑑𝑥

3 Diagramme des moments : Système unitaire : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 ;∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 0 ;∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 = −𝑙 Les sections : Barre CB : 𝑚1 (𝑥) = 0 Barre BC : 𝑚1 (𝑥) = 𝑥 {

𝑚1 (0) = 0 𝑚1 (𝑙) = 𝑙

P a g e 10

Système réel : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 𝑞𝑙 ;∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 0 ;∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑀𝐴 =

𝑞𝑙2 2

Les sections : Barre CB : 𝑀𝑃 (𝑥) = − Barre BA : 𝑀𝑃 (𝑥) = −

𝑞𝑥 2 2

{

𝑀𝑝 (0) = 0 𝑀(𝑙) = −

𝑞𝑙2 2

𝑞𝑙2 2

4 Calcul de coefficient de flexibilités : 𝑙 𝑚1 𝑚1

𝛿11 = ∫0

𝐸𝐼

𝑙 𝑀𝑃 𝑚1

Δ1𝑃 = ∫0

𝐸𝐼

𝑙3

1

𝑑𝑥 ⟹ 𝛿11 = 3 𝐸𝐼 𝑙 × 𝑙 × 𝑙 ⟹ 𝛿11 = 3 𝐸𝐼 1

𝑑𝑥 ⟹ Δ1𝑃 = 2 𝐸𝐼 (−

𝑞𝑙2 2

𝑞 𝑙4

) × 𝑙 × 𝑙 ⟹ Δ1𝑃 = − 4 𝐸𝐼

5 Détermination de X1 : 𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 ⟹

𝑙3 𝑞 𝑙4 3 𝑞𝑙 𝑋1 − = 0 ⟹ 𝑋1 = 3 𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 4

6 Système initial :

P a g e 11

𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟓 ∶

𝑋1 𝑋2

𝑆𝐵

𝛿12

𝛿11 𝛿21

∆1𝑃 𝛿22

𝑋1

∆2𝑃

𝑋2 𝑆𝑅

𝑆𝑈

𝑆𝑈

1 Calcul de dégrée d’hyperstaticité : 𝑑𝐻 = ℎ𝑖 − 3 = 5 − 3 = 2 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

2 Equations de compatibilité : {

𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0 𝑙

𝛿11

𝑚1 𝑚1 =∫ 𝑑𝑥 ; 𝐸𝐼

𝑙

𝛿12 = 𝛿21

0

𝑙

𝑙

𝑚1 𝑚2 𝑀𝑃 𝑚1 𝑀𝑃 𝑚2 =∫ 𝑑𝑥 ; Δ1𝑃 = ∫ 𝑑𝑥 ; Δ2𝑃 = ∫ 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 0

0

0

3 Diagramme des moments : Système unitaire 𝑋1 = 1 : Les sections : Barre DB : 𝑚1 (𝑥) = 0 Barre BA : 𝑚1 (𝑥) = 𝑥 {

𝑚1 (0) = 0 𝑚1 (4) = 4

P a g e 12

Système unitaire 𝑋2 = 1: Les sections : Barre CB : 𝑚2 (𝑥) = 𝑥 {

𝑚2 (0) = 0 𝑚2 (4) = 4

Barre DB : 𝑚2 (𝑥) = 0 Barre BA : 𝑚2 (𝑥) = 4 Système réel : Les sections : Barre CB : 𝑀𝑃 (𝑥) = 0 Barre DA :𝑀𝑃 (𝑥) = 20 𝑥 {

𝑀𝑝 (0) = 0 𝑀𝑝 (6) = 120

4 Calcul de coefficient de flexibilités : 4

𝛿11 = ∫ 0

𝑚1 𝑚1 1 64 𝑑𝑥 = 4 × 4 × 4 ⟹ 𝛿11 = 𝐸𝐼 3𝐸𝐼 3 𝐸𝐼 4

𝛿12 = 𝛿12 = ∫ 0 4

𝛿22 = 2 ∫ 0 4

Δ1𝑃 = ∫ 0 4

Δ2𝑃 = ∫ 0

𝑚2 𝑚1 1 32 𝑑𝑥 = 4 × 4 × 4 ⟹ 𝛿12 = 𝛿21 = 𝐸𝐼 2𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑚2 𝑚2 1 1 256 𝑑𝑥 = 4 × 4 × 4 + 4 × 4 × 4 ⟹ 𝛿22 = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 3𝐸𝐼 3𝐸𝐼

𝑀𝑃 𝑚1 1 2240 𝑑𝑥 = 4 × 4(40 + 240) ⟹ Δ1𝑃 = 𝐸𝐼 6𝐸𝐼 3𝐸𝐼 𝑀𝑃 𝑚2 1 1280 𝑑𝑥 = 4 × 4(40 + 120) ⟹ Δ2𝑃 = 𝐸𝐼 2𝐸𝐼 𝐸𝐼

5 Résolution du système l’équation : {

𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0

64 2240 𝑋1 + 32 𝑋2 + = 0 … … … … . (1) 3 {3 256 32 𝑋1 + 𝑋2 + 1280 = 0 … … … . (2) 3 𝑋1 = −28.56 𝑡 ; 𝑋2 = −4.28 𝑡

P a g e 13

6 Système initial :

P a g e 14

𝑨𝑷𝑷𝑳𝑰𝑪𝑨𝑻𝑰𝑶𝑵𝑺 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑴𝑬𝑻𝑯𝑶𝑫𝑬 𝑫𝑬𝑺 𝑭𝑶𝑹𝑪𝑬𝑺 𝑨𝑼𝑿 𝑷𝑶𝑼𝑻𝑹𝑬𝑺 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑰𝑵𝑼𝑺 ∶ 𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟏 ∶

𝑞

𝑃

𝑃

1 Calcul des degrés des hyperstaticité : 𝑑𝐻 = 𝑟 − 2 = 4 − 2 = 2 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

2 Applique la règle des 3 moments : 𝑀1 = 1

𝑀1 = 1 𝑆𝑈 𝑀1 = 1 𝑀2 = 1

𝑀2 = 1 𝑆𝑈 𝑀2 = 1 𝑃

𝑃

𝑆𝑅

0−1−2∶ 𝑀0 𝐿1 + 2𝑀1 (𝐿1 + 𝐿2 ) + 𝑀2 𝐿2 + 6 𝐸𝐼 ∆1𝑃 = 0 𝑀0 = 0; 𝐿1 = 𝐿2 = 𝐿 | 4 𝑀1 𝐿 + 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆1𝑃 = 0 … … … . (1) 1−2−3∶ 𝑀1 𝐿2 + 2𝑀2 (𝐿2 + 𝐿3 ) + 𝑀3 𝐿3 + 6 𝐸𝐼 ∆2𝑃 = 0 𝑀3 = 0; 𝐿2 = 𝐿3 = 𝐿 𝑀1 𝐿 + 4 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆2𝑃 = 0 … … … . (2)

|

Les solutions des systèmes d’équations : 4 𝑀1 𝐿 + 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆1𝑃 = 0 | 𝑀1 𝐿 + 4 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆2𝑃 = 0

… … … . (1) … … … . (2) (𝑚1 )

1

(𝑚2 ) 1

(𝑀𝑃 ) 𝑞𝐿2 2

𝑃𝐿 4

𝑃𝐿 4

P a g e 15

𝑙

𝑀𝑃 𝑚1 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼

Δ1𝑃 =

0 (𝑡𝑟𝑎1)

Δ1𝑃

𝑀𝑃 𝑚1 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼

0 (𝑡𝑟𝑎2)

𝑙

∫ 0 (𝑡𝑟𝑎3)

𝑀𝑃 𝑚1 𝑑𝑥 ↗0 𝐸𝐼

1 𝑞𝐿2 1 𝑃𝐿 𝐿 1 1 𝑃𝐿 𝐿 1 𝑞𝐿3 3𝑃𝐿2 = ( ) 𝐿(1) + ( ) (2 × + 1) + ( ) ( ) ⟹ Δ1𝑃 = + 3𝐸𝐼 8 6𝐸𝐼 4 2 2 3𝐸𝐼 4 2 2 24𝐸𝐼 48𝐸𝐼 𝑙

Δ2𝑃 =

𝑀𝑃 𝑚2 ∫ 𝑑𝑥 ↗0 + 𝐸𝐼

0 (𝑡𝑟𝑎1)

Δ2𝑃

𝑙

𝑙

𝑀𝑃 𝑚2 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼

0 (𝑡𝑟𝑎2)

𝑙

∫ 0 (𝑡𝑟𝑎3)

𝑀𝑃 𝑚2 𝑑𝑥 𝐸𝐼

1 𝑃𝐿 𝐿 1 1 𝑃𝐿 𝐿 1 𝑃𝐿2 =[ ( ) ( )+ ( ) (2 × + 1)] × 2 ⟹ Δ2𝑃 = 3𝐸𝐼 4 2 2 6𝐸𝐼 4 2 2 8 𝐸𝐼

𝑞𝐿3 3𝑃𝐿2 4 𝑀1 𝐿 + 𝑀2 𝐿 + 6 ( + )=0 24 48 | | 𝑃𝐿2 𝑀1 𝐿 + 4 𝑀2 𝐿 + 6 ( ) =0 8

… … … . (1) … … … . (2)

(2) − (1) × 4 ∶ ( 𝑀2 𝐿 − 16𝑀2 𝐿) + 6 ( ⟹ 𝑀2 =

𝑞𝐿3 3𝑃𝐿2 6𝑃𝐿2 15 𝑞𝐿3 21 𝑃𝐿2 + )− = 0 ⟹ −15 𝑀2 𝐿 + − =0 24 48 2 60 48

𝑞𝐿2 10.5 𝑃𝐿 − 60 60

𝑞𝐿2 10.5 𝑃𝐿 𝑃𝐿2 4 𝑞𝐿2 3 𝑃𝐿 𝑀1 𝐿 + 4 ( − )𝐿 + 6 = 0 ⟹ 𝑀1 = − − 60 60 8 60 60

3 Système initial :

P a g e 16

𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟐 ∶ 𝑞

1 Calcul des degrés des hyperstaticité : 𝑑𝐻 = 𝑟 − 2 = 4 − 2 = 2 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

2 Applique la règle des 3 moments : 𝑀1 = 1

𝑀1 = 1 𝑆𝑈 𝑀1 = 1 𝑀2 = 1

𝑀2 = 1 𝑆𝑈 𝑀2 = 1 𝑞 𝑆𝑅

0−1−2∶ 𝑀0 𝐿1 + 2𝑀1 (𝐿1 + 𝐿2 ) + 𝑀2 𝐿2 + 6 𝐸𝐼 ∆1𝑃 = 0 𝑀0 = 0; 𝐿1 = 𝐿2 = 𝐿 | 4 𝑀1 𝐿 + 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆1𝑃 = 0 … … … . (1) 1−2−3∶ 𝑀1 𝐿2 + 2𝑀2 (𝐿2 + 𝐿3 ) + 𝑀3 𝐿3 + 6 𝐸𝐼 ∆2𝑃 = 0 𝑀3 = 0; 𝐿2 = 𝐿3 = 𝐿 | 𝑀1 𝐿 + 4 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆2𝑃 = 0 … … … . (2) Les solutions des systèmes d’équations : 4 𝑀1 𝐿 + 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆1𝑃 = 0 | 𝑀1 𝐿 + 4 𝑀2 𝐿 + 6 𝐸𝐼 ∆2𝑃 = 0

… … … . (1) … … … . (2) (𝑚1 )

1

(𝑚2 ) 1

(𝑀𝑃 ) 𝑞𝐿2 2

𝑞𝐿2 2

𝑞𝐿2 2

P a g e 17

𝑙

Δ1𝑃 =

𝑀𝑃 𝑚1 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼

0 (𝑡𝑟𝑎1)

Δ1𝑃

𝑙

𝑀𝑃 𝑚1 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼

0 (𝑡𝑟𝑎2)

∫ 0 (𝑡𝑟𝑎3)

𝑀𝑃 𝑚1 𝑑𝑥 ↗0 𝐸𝐼

1 𝑞𝐿2 𝑞𝐿3 =[ ( ) 𝐿(1)] 2 ⟹ Δ1𝑃 = 3𝐸𝐼 8 12 𝐸𝐼 𝑙

Δ2𝑃 =

𝑀𝑃 𝑚2 ∫ 𝑑𝑥 ↗0 + 𝐸𝐼

0 (𝑡𝑟𝑎1)

Δ2𝑃

𝑙

𝑙

𝑀𝑃 𝑚2 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼

0 (𝑡𝑟𝑎2)

𝑙

∫ 0 (𝑡𝑟𝑎3)

𝑀𝑃 𝑚2 𝑑𝑥 𝐸𝐼

1 𝑞𝐿2 𝑞𝐿3 =[ ( ) 𝐿(1)] 2 ⟹ Δ2𝑃 = 3𝐸𝐼 8 12 𝐸𝐼

𝑞𝐿3 )=0 12 | | 𝑞𝐿3 𝑀1 𝐿 + 4 𝑀2 𝐿 + 6 ( ) = 0 12 4 𝑀1 𝐿 + 𝑀2 𝐿 + 6 (

… … … . (1) … … … . (2)

(2) × 4 − (1): (16 𝑀2 𝐿 − 𝑀2 𝐿) +

24 𝑞𝐿2 𝑞𝐿2 𝑞𝐿3 𝑞𝐿2 − 6 ( ) = 0 ⟹ 15 𝑀2 𝐿 + 3 = 0 ⟹ 𝑀2 = − 12 12 2 10

𝑞𝐿2 𝑞𝐿3 𝑞𝐿2 𝑀1 𝐿 + 4 ( ) 𝐿 + 6 = 0 ⟹ 𝑀1 = − 10 12 10

3 Système initial :

P a g e 18

𝑨𝑷𝑷𝑳𝑰𝑪𝑨𝑻𝑰𝑶𝑵𝑺 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑴𝑬𝑻𝑯𝑶𝑫𝑬 𝑫𝑬𝑺 𝑭𝑶𝑹𝑪𝑬𝑺 𝑨𝑼𝑿 𝑻𝑹𝑬𝑰𝑳𝑳𝑬𝑺 𝑯𝒀𝑷𝑬𝑹𝑺𝑻𝑨𝑻𝑰𝑸𝑼𝑬𝑺 ∶ 𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟏 ∶

𝑃

𝑃

𝑎

𝑆𝐼

𝑎

𝑎 𝑃

𝑃

𝑆𝐵

𝑃

𝑆𝑈: 𝑋1 = 1

𝑆𝑈: 𝑋2 = 1

𝑃

𝑆𝑅

1 Calcul de degrés des hyperstaticité : 𝑑𝐻 = 𝑏 + 𝑟 − 2𝑛 = 11 + 3 − 2 = 2 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝐼𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

2 Equations de compatibilité : {

𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0

𝛿11

𝑏

𝑏

𝑏

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

𝑛𝑘1 𝑛𝑘1 𝑛𝑘1 𝑛𝑘2 𝑛𝑘2 𝑛𝑘2 =∑ 𝑙𝑘 ; 𝛿12 = 𝛿21 = ∑ 𝑙𝑘 ; 𝛿22 = ∑ 𝑙 (𝐸𝐴)𝑘 (𝐸𝐴)𝑘 (𝐸𝐴)𝑘 𝑘 𝑏

𝑏

𝑘=1

𝑘=1

𝑁𝑘𝑃 𝑛𝑘1 𝑁𝑘𝑃 𝑛𝑘2 ∆1𝑃 = ∑ 𝑙𝑘 ; ∆2𝑃 = ∑ 𝑙 (𝐸𝐴)𝑘 (𝐸𝐴)𝑘 𝑘 P a g e 19

3 Calcul les réactions : 𝑺. 𝑹 : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 ; ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ −𝑉𝐸 2𝑎 − ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐸 −

2√2 2

𝑃√2 2

𝑎+

𝑃√2 2

2𝑎 +

𝑃 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐸 = √2 𝑃 ⟹ 𝑉𝐴 =

𝑃√2 2

𝑎+

𝑃√2 2

𝑎 = 0 ⟹ 𝑉𝐸 =

3√2 4

𝑃;

√2 𝑃 4

𝑺. 𝑼 : 𝑿𝟏 = 𝟏 ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 ; ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 2𝑎 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 0 ;

∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐸 = 0 ⟹ 𝑉𝐸 = 0

𝑺. 𝑼 : 𝑿𝟐 = 𝟏 ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 ; ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 2𝑎 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 0 ; 𝑵° 𝑩𝒂𝒓𝒓𝒆

𝑳𝒌

𝟏

𝑎 𝐸𝐴

−

𝑃√2 4

−

𝟐

𝑎 𝐸𝐴

−

𝑃√2 4 0

𝟑

𝑎 𝐸𝐴

𝟒

𝑎√2 𝐸𝐴

𝟓

𝑎√2 𝐸𝐴

𝟔

𝑎 𝐸𝐴

−

𝑃√2 4

−

𝑃√2 4

0

𝟕

𝑎 𝐸𝐴

−

𝑃√2 4

0

𝟖

𝑎 𝐸𝐴

𝟗

𝑎√2 𝐸𝐴

𝑃 2

𝟏𝟎

𝑎√2 𝐸𝐴

𝟏𝟏

𝑎 𝐸𝐴

𝑵𝟎𝒌𝑷

𝒏𝟎𝒌𝟐

𝑳𝒌 𝒏𝟎𝒌𝟏 𝒏𝟎𝒌𝟏

𝑳𝒌 𝒏𝟎𝒌𝟏 𝒏𝟎𝒌𝟐

𝑳𝒌 𝒏𝟎𝒌𝟐 𝒏𝟎𝒌𝟐

𝑳𝒌 𝑵𝟎𝒌𝑷 𝒏𝟎𝒌𝟏

𝑳𝒌 𝑵𝟎𝒌𝑷 𝒏𝟎𝒌𝟐

√2 2

0

𝑎 2𝐸𝐴

0

0

𝑃𝑎 4𝐸𝐴

0

−

√2 2

0

𝑎 2𝐸𝐴

0

0

𝑃𝑎 4𝐸𝐴

0

−

√2 2

0

𝑎 2𝐸𝐴

0

0

0

0

𝑃 2

1

0

𝑎√2 𝐸𝐴

0

0

𝑃𝑎√2 2𝐸𝐴

0

0

1

0

𝑎√2 𝐸𝐴

0

0

0

0

𝑎 2𝐸𝐴

𝑎 2𝐸𝐴

𝑎 2𝐸𝐴

𝑃𝑎 4𝐸𝐴

𝑃𝑎 4𝐸𝐴 𝑃𝑎 4𝐸𝐴

−

√2 2

−

√2 2

0

0

𝑎 2𝐸𝐴

0

−

√2 2

0

0

𝑎 2𝐸𝐴

0

0

1

0

0

𝑎√2 𝐸𝐴

0

0

0

1

0

0

𝑎√2 𝐸𝐴

0

0

𝑃√2 2

0

√2 2

0

0

𝑎 2𝐸𝐴

0

𝑃𝑎 2𝐸𝐴

−

−

𝒏𝟎𝒌𝟏

∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 + 𝑉𝐸 = 0 ⟹ 𝑉𝐸 = 0

−

√2 2

−

2(1 + √2) ∑.

𝑎 𝐸𝐴

𝑎 2𝐸𝐴

2(1 + √2)

𝑎 𝐸𝐴

3 𝑃𝑎 ( + √2) 2 2𝐸𝐴

−

−

𝑃𝑎 4𝐸𝐴

𝑃𝑎√2 2𝐸𝐴

(3 − 2√2)

𝑃𝑎 4𝐸𝐴

P a g e 20

𝑎

𝑎

3

𝑃𝑎

2( 1 + √ 2) 𝑋1 + 𝑋2 + ( + √2) =0 𝛿 𝑋 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝑃 = 0 𝐸𝐴 2𝐸𝐴 2 2𝐸𝐴 { 11 1 ⟹{ 𝑎 𝑎 𝑃𝑎 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝑃 = 0 𝑋1 + 2(1 + √2) 𝑋2 + (3 − 2√2) =0 2𝐸𝐴

2(1 + √2)𝑎 𝑋1 +

⟹ {𝑎 2

𝑎 2

𝐸𝐴

3

𝑃𝑎

2

2 𝑃𝑎

𝑋2 + ( + √2)

𝑋1 + 2(1 + √2)𝑎 𝑋2 + (3 − 2√2)

𝑵° 𝑩𝒂𝒓𝒓𝒆

4

=0 =0

4𝐸𝐴

𝑋 = −0.299 𝑃 ⟹{ 1 𝑋2 = −0.030 𝑃

𝑵𝒌 = 𝑵𝒌𝑷 + 𝑿𝟏 𝒏𝒌𝟏 + 𝑿𝟐 𝒏𝒌𝟐 −0.142 𝑃

𝟏

−0.142 𝑃

𝟐

−0.211 𝑃

𝟑

−0.201 𝑃

𝟒

−0.299 𝑃

𝟓

−0.121 𝑃

𝟔

0.686 𝑃

𝟕

0.375 𝑃

𝟖

−0.530 𝑃

𝟗

−0.030 𝑃

𝟏𝟎

−0.686 𝑃

𝟏𝟏

𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟐 ∶ 𝑃

𝑃

𝑃

𝑃

𝑎

𝑎

𝑎

𝑋1

𝑃

𝑃

𝑆𝑅

𝑋1 = 1 𝑆𝑈 P a g e 21

1 Calcul de degrés des hyperstaticité : 𝑑𝐻 = 𝑏 + 𝑟 − 2𝑛 = 7 + 4 − 10 = 1 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝐼𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑 = 𝑛 − 3 = 4 − 3 = 1 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝

2 Equations de compatibilité : 𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 𝛿11

𝑏

𝑏

𝑘=1

𝑘=1

𝑛𝑘1 𝑛𝑘1 𝑁𝑘𝑃 𝑛𝑘1 =∑ 𝑙𝑘 ; ∆1𝑃 = ∑ 𝑙 (𝐸𝐴)𝑘 (𝐸𝐴)𝑘 𝑘

3 Calcul les réactions : 𝑺. 𝑹 : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐷 = 0 ; ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 𝑃 ⟹ 𝑉𝐷 = 𝑃 𝑺. 𝑼 : 𝑿𝟏 = 𝟏 1

1

∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 ; ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = ⟹ 𝑉𝐷 = ; 2 2 𝑵° 𝑩𝒂𝒓𝒓𝒆

𝑳𝒌

𝑵𝟎𝒌𝑷

𝒏𝟎𝒌𝟏

𝑳𝒌 𝒏𝟎𝒌𝟏 𝒏𝟎𝒌𝟏

𝟏

𝑎√2 2𝐸𝐴

−𝑃√2

√2 2

𝑎√2 4𝐸𝐴

−

𝟐

𝑎 𝐸𝐴

𝑃

1 2

𝑎 4𝐸𝐴

−

𝟑

𝑎√2 2𝐸𝐴

0

√2 2

𝑎√2 4𝐸𝐴

𝟒

𝑎 𝐸𝐴

−𝑃

1

𝑎 𝐸𝐴

𝟓

𝑎√2 2𝐸𝐴

0

√2 2

𝑎√2 4𝐸𝐴

𝟔

𝑎√2 2𝐸𝐴

−𝑃√2

𝟕

𝑎 𝐸𝐴

𝑃

−

−

−

𝑃𝑎 2𝐸𝐴

0.414 𝑃

0

−

𝐸𝐴

−0.828 𝑃

𝑃𝑎 2𝐸𝐴

0.414 𝑃

−

𝑃𝑎(√2 + 2)

0.172 𝑃

−0.586 𝑃

𝑎 4𝐸𝐴

−

−0.828 𝑃

𝑃𝑎√2 2𝐸𝐴

1 2

𝑋1 −

𝑃𝑎 𝐸𝐴 0

−

𝑎(2√2 + 3) 2𝐸𝐴

−0.586 𝑃

𝑎√2 4𝐸𝐴

−

𝑵𝒌 = 𝑵𝒌𝑷 + 𝑿𝟏 𝒏𝒌𝟏

𝑃𝑎√2 2𝐸𝐴

√2 2

𝑎(2√2 + 3) 2𝐸𝐴

𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 ⟹

𝑳𝒌 𝑵𝟎𝒌𝑷 𝒏𝟎𝒌𝟏

𝑃𝑎(√2 + 2) 𝐸𝐴

= 0 ⟹ 𝑋1 = 0.828 𝑃

P a g e 22

𝑿𝟏

𝑎

𝑿𝟏

𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝑵𝟎 𝟎𝟑 ∶

𝑎 𝑃

∆𝟏𝑷

𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟏 𝑿𝟏

𝑃

𝑆𝑈: 𝑋1 = 1

𝑆𝑅

𝑃

1 Calcul de degrés des hyperstaticité : 𝑑𝐻 = 𝑏 + 𝑟 − 2𝑛 = 6 + 3 − 8 = 1 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝐼𝑛𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑 = 𝑛 − 3 = 3 − 3 = 0 𝑓𝑜𝑖𝑠 ℎ𝑦𝑝

2 Equations de compatibilité : 𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 𝛿11

𝑏

𝑏

𝑘=1

𝑘=1

𝑛𝑘1 𝑛𝑘1 𝑁𝑘𝑃 𝑛𝑘1 =∑ 𝑙𝑘 ; ∆1𝑃 = ∑ 𝑙 (𝐸𝐴)𝑘 (𝐸𝐴)𝑘 𝑘

3 Calcul les réactions : 𝑺. 𝑹 : ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 + 𝐻𝐵 = 0 ; ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐵 = 𝑃;

∑ 𝑀𝐴 = 0 ⟹ 𝐻𝐵 = −𝑃 ⟹ 𝐻𝐴 = 𝑃

𝑺. 𝑼 : 𝑿𝟏 = 𝟏 ∑ 𝐹𝐻 = 0 ⟹ 𝐻𝐴 = 0 𝑒𝑡 𝐻𝐵 = 0 ; ∑ 𝐹𝑉 = 0 ⟹ 𝑉𝐴 = 0

P a g e 23

𝑵° 𝑩𝒂𝒓𝒓𝒆

𝑳𝒌

𝑵𝟎𝒌𝑷

𝒏𝟎𝒌𝟏

𝑳𝒌 𝒏𝟎𝒌𝟏 𝒏𝟎𝒌𝟏

𝑳𝒌 𝑵𝟎𝒌𝑷 𝒏𝟎𝒌𝟏

𝑵𝒌 = 𝑵𝒌𝑷 + 𝑿𝟏 𝒏𝒌𝟏

𝟏

𝑎 𝐸𝐴

0

1

𝑎 𝐸𝐴

0

0.396 𝑃

𝟐

𝑎 𝐸𝐴

0

1

𝑎 𝐸𝐴

0

0.396 𝑃

𝟑

𝑎 𝐸𝐴

0

1

𝑎 𝐸𝐴

0

0.396 𝑃

𝟒

𝑎 𝐸𝐴

−𝑃

1

𝑎 𝐸𝐴

𝟓

𝑎√2 𝐸𝐴

√2 𝑃

−√2

2√2 𝑎 𝐸𝐴

𝟔

𝑎√2 𝐸𝐴

0

−√2

2√2 𝑎 𝐸𝐴 𝑎(4√2 + 4) 𝐸𝐴

∑.

𝛿11 𝑋1 + Δ1𝑃 = 0 ⟹

𝑎(4√2 + 4) 𝐸𝐴

𝑋1 −

𝑃𝑎(2√2 + 1) 𝐸𝐴

𝑃𝑎 𝐸𝐴

−0.604 𝑃

2√2 𝑃𝑎 𝐸𝐴

0.854 𝑃

−

−

0

−

−0.560 𝑃

𝑃𝑎(2√2 + 1) 𝐸𝐴

⟹ 𝑋1 =

0.396 𝑃

P a g e 24