U1 Líneas De Espera

Y el fenómeno de la espera no es una experiencia que se limite sólo a los humanos: los trabajos esperan a ser procesados en una máquina, los aviones vuelan en círculo hasta que la torre de control les da permiso de aterrizar y los automóviles se detienen ante la luz roja de los semáforos.

El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar el fenómeno de esperar formando

colas, mediante

medidas representativas

de

eficiencia, como la longitud promedio de la cola, el

tiempo promedio de espera en ella, y la utilización promedio de las instalaciones.

El ejemplo que sigue demuestra cómo se usan esas medidas para diseñar una instalación de servicio.

•

La figura anterior representa un modelo característico de costo (en $ por

unidad de tiempo), en el que el costo del servicio aumenta al incrementar el nivel del servicio. Al mismo tiempo, el costo de esperar disminuye al

incrementar el nivel del servicio.

•

El obstáculo principal para implementar los modelos de costo es que se puede dificultar la obtención de un estimado fiable del costo unitario de

espera, en especial cuando el comportamiento humano influye sobre el funcionamiento del caso.

Los actores principales en una línea de espera o cola son el cliente y el servidor.

Los clientes se generan en una fuente. Al llegar a la instalación pueden recibir servicio de inmediato, o esperar en una cola o línea de espera, si la instalación está ocupada.

Cuando en una instalación termina un servicio, en forma automática se “atrae” a un cliente que espera, si lo hay, de lacola.

Sila cola está vacía, la instalación sevuelve inactiva hasta que llega un cliente

 Cola: línea de espera.

 Llegada de clientes: una persona, máquina, pieza, etc. que llega y demanda un servicio.  Disciplina de cola: reglas para determinar el orden en el cual las llegadas (clientes) reciben el servicio.  Canal: número de líneas de espera o unidades de servicio.  Fase: número de pasos a seguir en el servicio.

• Los clientes llegan de forma aleatoria • Distribución discreta • X es el número de llegadas durante una unidad de tiempo determinada (una hora, un minuto, etc.) • E(x)= número promedio de llegadas por unidad de tiempo

El tamaño de la cola desempeña un papel en el análisis de las colas, y puede ser finito, como en el área de reserva entre dos máquinas consecutivas, o puede ser infinito, como en las instalaciones de pedidos por

correo.

La disciplina de la cola, que representa el orden en el que se seleccionan los clientes de una cola, es un factor importante en el análisis de los modelos de colas.

La disciplina más común es la de primero en llegar, primero en

servirse (PLPS;también FCFS,del inglés first come, first served).

Entre otras disciplinas están último en llegar, primero en servirse

(ULPS; también LCFS de last come, first served), y de dar servicio en orden aleatorio (SEOA;también SIRO,de service in randomorder).

También, los clientes se pueden seleccionar en la cola con base en cierto orden de prioridad.

Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales.

El comportamiento de los clientes en espera juega un papel en el análisis de las líneas deespera. Los clientes “humanos” se pueden saltar de una cola a otra, tratando de reducir la espera. También pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado.

El diseño de la instalación de servicio puede comprender servidores en

paralelo (por ejemplo, el funcionamiento de la oficina de correos). También, los servidores pueden ordenarse en serie (por ejemplo, cuando los trabajos se procesan en máquinas sucesivas) o bien pueden formar una red (por ejemplo, los enrutadores en una red de computadoras).

La fuente donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fuente finita limita a los clientes que llegan al servicio (por ejemplo, las

máquinas que piden el servicio de mantenimiento).

También, una fuente infinita es abundante por siempre (por ejemplo, las

llamadas que llegan a una central telefónica).

Las variaciones de los elementos de un caso de colas dan lugar a diversos modelos de colas.

1. Tiempo en que llegan los clientes

2. Tiempos de atención para brindar el servicio solicitado

Cada una de estas 2 fuentes suelen describirse mediante una distribución de probabilidad.

¿Cuándo llega un cliente?

La variabilidad en los intervalos de los clientes a menudo se describe por medio de una curva de distribución Poisson.

Especifica la probabilidad de que 𝒏 clientes lleguen en 𝑻

periodos de tiempo

𝑃

𝑛

=

(λ𝑇)𝑛 𝑛!

𝑒 −λ𝑇

para 𝑛 = 0,1,2 …

Donde: 𝑷

𝒏

= probabilidad de 𝑛 llegadas en 𝑇 periodos de tiempo

λ= número promedio de llegadas de clientes por periodo

𝒆 = 2.71863

1. Los clientes se presentan en la sección de atención de quejas de

productos defectuosos en una casa de electrodomésticos a razón de dos clientes por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que se presenten cuatro clientes durante la próxima hora?

Datos 𝜆 = 2 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐/ℎ𝑟 𝑇 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛 = 4 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Fórmula 𝑃

𝑛

=

(λ𝑇)𝑛 𝑛!

Sustitución 𝑒 −λ𝑇

(2∗1)4 −(2∗1) 𝑒 4 4! 16 −2 𝑃4 = 𝑒 24

𝑃

𝑃

=

4

= 0.090

2. Los trabajos de reparación llegan a un taller en forma totalmente aleatoria, con una tasa o frecuencia de 10 diarios. a) ¿Cuál es la cantidad promedio de trabajos que se reciben diariamente en el taller? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen trabajos durante cualquier hora, suponiendo que el taller abre 8 horas diarias?

Datos 𝜆 = 10 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠 𝑐/𝑑í𝑎

Fórmula 𝜆ℎ𝑜𝑟𝑎 =

𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝑒𝑛 ℎ𝑟𝑠

𝜆ℎ𝑜𝑟𝑎 = 1.25 𝑡𝑟𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟

𝑇 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛 = 0 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠

𝑃

𝑛

=

(λ𝑇)𝑛 𝑛!

𝑒 −λ𝑇

Sustitución 𝜆ℎ𝑜𝑟𝑎 =

10 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

(1.25∗1)0 −(1.25∗1) 𝑒 0 0! 1 𝑃 0 = 𝑒 −1.25 1

𝑃

𝑃

=

0

= 0.2865

¿Cuánto se van a tardar en atenderme?

La distribución exponencial describe la probabilidad de que el tiempo de servicio del cliente en una instalación determinada no sea mayor que T

periodos de tiempo.

𝑃(𝑡≤𝑇) = 1 − 𝑒 −𝜇𝑇 Donde: µ= número medio de clientes que completan el servicio en cada periodo t= tiempo de servicio del cliente T= tiempo de servicio propuesto como objetivo

Características: • No siempre se adaptan a una situación real

• Se basa en la suposición de que cada tiempo de servicio es independiente de los tiempos que lo precedieron. Sin embargo, en la vida real la productividad puede mejorar a medida que los servidores humanos aprenden a hacer mejor su trabajo.

1.

El empleado de la sección de atención de quejas por productos defectuosos puede atender en promedio a tres clientes por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente requiera menos de 10 minutos de ese servicio? Datos 𝜇 = 3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐/ℎ𝑟 𝑇 = 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑇 = 0.167 ℎ𝑟𝑠

Fórmula 𝑃(𝑡≤𝑇) = 1 − 𝑒 −𝜇𝑇

Sustitución 𝑃(𝑡≤0.167) = 1 − 𝑒 −(3∗0.167)

𝑃(𝑡≤0.167) = 1 − 0.61 𝑃(𝑡≤0.167) = 0.39

Los gerentes de operaciones suelen utilizar

modelos de filas de espera para establecer el equilibrio entre las ventajas que podrían obtener

incrementando

la

eficiencia

del

sistema de servicio y los costos que esto implica.

1. Longitud de la fila Número de clientes que forman una fila de espera

Corta • Buen servicio al cliente • Capacidad excesiva

Larga

• Baja eficiencia del servidor • Necesidad de aumentar la capacidad

2. Número de clientes Personas, animales, objetos que van a recibir un servicio

Pocos • Buen servicio al cliente • Capacidad excesiva

Muchos

• Cuellos de botella • Insatisfacción del cliente • Hay que aumentar la capacidad del servicio

3. Tiempo de espera en fila Lo que tiene que esperar el cliente para ser atendido

Cortos • Las filas largas pueden ser atendidas eficientemente

Largos

• Calidad en el servicio deficiente • Diseñar un sistema para que los largos tiempos de espera parezcan más cortos

4. Tiempo total en el sistema Tiempo transcurrido desde la entrada al sistema hasta la salida del mismo Cortos • Buen servicio al cliente • Capacidad excesiva

Largos

• Cambiar la disciplina (prioridades) • Incrementar productividad • Ajustar la capacidad

5. Utilización de las instalaciones de servicio

Porcentaje de tiempo que permanece ocupado un servidor

• Mantener altos niveles de utilización y rentabilidad sin afectar las otras características de la operación

El mejor método para analizar un problema de filas de espera consiste en relacionar las 5 características de operación y sus respectivas alternativas con su valor monetario. Sin embargo, es difícil asignar un valor económico na ciertas características como: 1. Tiempo de espera 2. Tiempo total en el sistema 3. Etc. En éstos casos, es necesario que un analista compare el costo necesario para aplicar la alternativa en cuestión, frente a una evaluación subjetiva del costo que implicaría el hecho de no hacer dicho cambio.

• Es el modelo de espera más sencillo • Corresponde a un solo servidor y una sola fila

A partir de las características anteriores se pueden aplicar las siguientes fórmulas: 𝜆 𝒑 = utilización promedio del sistema = 𝜇

𝑷(𝒏) = probabilidad de que n clientes estén en el sistema = (1 − 𝑝)𝑝𝑛 𝑳 = número promedio de clientes en el sistema de servicio =

𝜆 𝜇−𝜆

𝑳𝒒 = número promedio de clientes en la fila de espera = 𝑝𝐿 1 𝑾 = tiempo promedio transcurrido en el sistema, incluido el servicio = 𝜇−𝜆 𝑾𝒒 = tiempo promedio de espera en la fila = 𝑝𝑊

La gerente de un supermercado está interesada en brindar un buen servicio a las personas de mayor edad que compran en su local.

Actualmente, el supermercado cuenta con una caja de salida reservada para los jubilados.

Estas personas llegan a la caja a un ritmo promedio de 30 por hora, de acuerdo con una distribución Poisson, y son atendidos a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponenciales. Calcule lo siguiente: a) Utilización del empleado de la caja de salida

b) Número de clientes que entran al sistema c) Número de clientes formados en la fila

d) Tiempo transcurrido dentro del sistema e) Tiempo de espera en la fila

a) Utilización del empleado de la caja de salida Datos 𝜆 = 30 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟 𝜇 = 35 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟

Fórmula 𝜆 𝒑= 𝜇

Sustitución

𝒑=

30 35

𝒑 = 0.857 𝒑 = 85.7%

Llegadas clientes Servicio

b) El número promedio de clientes que entran al sistema Datos 𝜆 = 30 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟 𝜇 = 35 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟

Fórmula 𝑳=

𝜆 𝜇−𝜆

Sustitución

𝑳=

30 35 − 30

𝑳=

30 5

𝑳 = 6 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

c) El número promedio de clientes formados en la fila Datos 𝒑 = 0.857 𝑳=6

Fórmula 𝑳𝒒 = 𝑝𝐿

Sustitución 𝑳𝒒 = (0.857)(6) 𝑳𝒒 = 5.14 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

d) El tiempo promedio transcurrido dentro del sistema Datos 𝜆 = 30 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟 𝜇 = 35 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟

Fórmula

Sustitución

1 𝑾= 𝜇−𝜆

1 𝑾= 35 − 30 1 𝑾= 5

𝑾 = 0.2 ℎ𝑟𝑠 𝑾 = 12 𝑚𝑖𝑛

e) El tiempo promedio transcurrido en la fila Datos

Fórmula

𝒑 = 0.857 𝑊 = 0.2 ℎ𝑟𝑠

𝑾𝒒 = 𝑝𝑊

Sustitución

𝑾𝒒 = (0.857)(0.2) 𝑾𝒒 = 0.17 ℎ𝑟𝑠 𝑾𝒒 = 10.28 𝑚𝑖𝑛

a) El 85.7% del tiempo el cajero se encuentra dando servicio b) Entran 6 clientes al sistema c) Por lo general 5 clientes se encuentran formados

en la fila d) En promedio el cliente está en el sistema 12 minutos e) De los cuales 10 minutos los pasa en la fila para

que le cobren

Para brindar un mejor servicio, la gerente necesita respuestas a las siguientes preguntas: a)

¿Qué tasa de servicio se requerirá para lograr que los

clientes pasen en promedio sólo 8 minutos en el sistema? b) Con esa tasa de servicio, ¿Cuál sería la probabilidad de

tener más de cuatro clientes en el sistema? c)

¿Qué tasa de servicio se requerirá para que fuera de sólo 10% la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el

sistema?

a) ¿Qué tasa de servicio se requerirá para lograr que los clientes pasen en promedio sólo 8 minutos en el sistema? Datos 𝜆 = 30 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟 𝑊 = 8 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑊 = 0.133 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝜇 =?

Fórmula 1 𝑾= 𝜇−𝜆 1 𝜇 = +𝜆 𝑊

Sustitución 1 𝜇= + 30 0.133 𝜇 = 7.518 + 30

𝜇 = 37.518 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/ℎ𝑟

b) Con esa tasa de servicio, ¿Cuál sería la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? Datos

𝑷(𝒏) = (1 − 𝑝)𝑝𝑛

Fórmula

Sustitución

4

𝜆 = 30 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟 𝜇 = 37.518 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐/ℎ𝑟

𝑊 = 8 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑛=4

𝑝 = 1 − ෍ 𝑃(𝑛) 𝑛=0 4

𝑝 = 1 − ෍ 1 − 𝑝 𝑝𝑛

30 𝒑= 37.518 𝒑 = 0.799

𝑛=0

𝜆 𝒑= 𝜇

𝑝 𝑥 > 4 = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 4)

b) Con esa tasa de servicio, ¿Cuál sería la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? Fórmula

Sustitución 4

𝑝 = 1 − ෍ 𝑃(𝑛)

𝒑(𝒏) = 𝑝𝑛 𝒑(𝟎) = (0.799)0 = 1

𝑛=0 4

𝑝 = 1 − ෍ 1 − 𝑝 𝑝𝑛 𝑛=0

𝒑(𝟏) = (0.799)1 = 0.799 𝒑(𝟐) = (0.799)2 = 0.638

La sumatoria de cada probabilidad desde 0 hasta 4

𝑝(3) = (0.799)3 = 0.510 𝒑(𝟒) = (0.799)4 = 0.407

b) Con esa tasa de servicio, ¿Cuál sería la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? Datos

𝒑 = 0.799 𝒑(𝟎) = 1 𝒑(𝟏) = 0.799 𝒑(𝟐) = 0.638

𝑝(3) = 0.510 𝒑(𝟒) = 0.407

Fórmula y sustitución 4

𝑝 = 1 − ෍ 1 − 𝑝 𝑝𝑛 𝑛=0

𝑝 = 1 − ( 1 − 𝑝 𝑝 0 + 𝑝1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 ) 𝑝 = 1 − ( 1 − 0.799 1 + 0.799 + 0.638 + 0.510 + 0.407 ) 𝑝 = 1 − ((0.201) 3.354 ) 𝑝 = 1 − 0.674

𝑝 = 0.326

b) Con esa tasa de servicio, ¿Cuál sería la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? Resultado

Por lo tanto existe la probabilidad de 32.6% de que más de 4 clientes se encuentren en el sistema

c) ¿Qué tasa de servicio se requerirá para que fuera de sólo 10% la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? 𝑝 𝑥 > 4 = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 4)

c) ¿Qué tasa de servicio se requerirá para que fuera de sólo 10% la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? 𝑝 𝑥 > 4 = 1 − 𝑝(𝑥 ≤ 4) 𝑝 = 1 − ( 1 − 𝑝 𝑝 0 + 𝑝1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 ) 𝑝 = 1 − (1 𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + 𝑝4 − 𝑝 𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + 𝑝4 )

𝑝 = 1 − 𝑝 0 + 𝑝1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 + 𝑝 𝑝 0 + 𝑝1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 𝑝 = 1 − 𝑝 0 − 𝑝1 − 𝑝 2 − 𝑝 3 − 𝑝 4 + 𝑝1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 + 𝑝 5 𝑝 = 1 − 1 − 𝑝1 − 𝑝 2 − 𝑝 3 − 𝑝 4 + 𝑝 1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 + 𝑝 5

𝑝 = 𝑝5

c) ¿Qué tasa de servicio se requerirá para que fuera de sólo 10% la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? 𝑝 = 𝑝5 O bien, 𝒑

𝟏 𝟓

Si p = 𝟎. 𝟏𝟎

𝑝=

1 0.105

𝑝 = 0.63

c) ¿Qué tasa de servicio se requerirá para que fuera de sólo 10% la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema? En consecuencia, para una tasa de utilización de 63%, la probabilidad de que más de cuatro clientes se encuentren en el sistema es de 10%. Para 𝜆 = 30, la tasa de servicio medio deberá ser 𝜇 Datos

𝑐 𝜆 = 30 𝑗𝑢𝑏𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑟 𝑝 = 0.63 𝜇 =?

Fórmula 𝜆 𝒑= 𝜇 𝜇=

𝜆 𝑝

Sustitución 𝜇=

30 0.63

𝜇 = 47.62 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/ℎ𝑟

La gerente tiene que encontrar ahora la forma de incrementar la tasa de servicio de 36 por

hora a 48 por hora

aproximadamente. Dicha tasa de servicio puede incrementar

en varias formas, que abarcan desde emplear a un trabajador que ayude a empacar la mercancía, hasta instalar equipo

electrónico más moderno y veloz en la caja para que lea en menos tiempo los precios de la información impresa en código de barras sobre cada artículo.

• En éste modelo los clientes forman una sola fila y escogen entre s servidores,

aquel que esté disponible. • El sistema de servicio tiene una sola fase.

A partir de las características anteriores se pueden aplicar las siguientes fórmulas: 𝒑 = utilización promedio del sistema =

𝜆 𝑠𝜇

𝜆ൗ (𝜆ൗ𝜇 )𝑛 𝜇 = probabilidad de que cero clientes estén en el sistema = ෍ + 𝑛! 𝑠! 𝑠−1

𝑷(𝟎)

−1

𝑠

(

𝑛=0

(𝜆ൗ𝜇 )𝑛

𝑷(𝒏) = probabilidad de que 𝑛 clientes esten el sistema =

𝑛! (𝜆ൗ𝜇)𝑛

𝑠! 𝑠 𝑛−𝑠

1 ) 1−𝑝

𝑃0 ; 0 < 𝑛 < 𝑠

𝑃0; 0 < 𝑛 < 𝑠

𝑳𝒒 = número promedio de clientes en la fila de espera =

𝑃0 (𝜆ൗ𝜇)𝑠 𝑝 𝑠! (1 − 𝑝)2

𝑳 = número promedio de clientes en el sistema de servicio = 𝜆𝑊

𝑾𝒒 = tiempo promedio de espera en la fila =

𝐿𝑞 𝜆

1 𝑾 = tiempo promedio transcurrido en el sistema, incluido el servicio = 𝑊𝑞 + 𝜇

La gerencia del correo internacional DHL en la central del bario de Mataderos, Buenos Aires, está preocupada por la cantidad de tiempo

que los camiones de la compañía permanecen ociosos, en espera de ser descargados. Esta terminal de

carga funciona con cuatro

plataformas de descarga. Cada una de éstas requiere una cuadrilla de dos empleados, y cada cuadrilla cuesta $30.00 por hora. El costo estimado de un camión ocioso es de $50.00 por hora. Los camiones llegan a un ritmo promedio de tres por hora, siguiendo una distribución de Poisson. En promedio, una cuadrilla es capaz de

descargar un semirremolque en una hora, y los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Cuál es el costo total por hora de la operación de

este sistema?

Para encontrar el costo total de mano de obra y de los camiones ociosos, se debe de calcular el tiempo promedio de espera en el

sistema y el número promedio de camiones en el mismos.

Sin embargo, primero se tiene que calcular el número promedio de camiones en la fila y el tiempo de espera en la fila

a) Utilización promedio de las cuatro plataformas Datos

Fórmula

𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

𝜆 𝒑= 𝑠𝜇

Sustitución

𝒑=

3 4∗1

3 𝒑= 4

𝒑 = 0.75 𝒑 = 75%

Llegadas clientes

Servicio

b) Probabilidad de que no haya ningún camión en el sistema Datos 𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑛 = 0 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝 = 0.75

Fórmula 𝜆ൗ (𝜆ൗ𝜇)𝑛 𝜇 = ෍ + 𝑛! 𝑠! 𝑠−1

𝑷(𝟎)

−1

𝑠

(

𝑛=0

4−1

𝑷(𝟎)

3ൗ (3ൗ1)𝑛 1 = ෍ + 𝑛! 4! 𝑛=0

1 ) 1−𝑝 −1

4

(

1 ) 1 − 0.75

b) Probabilidad de que no haya ningún camión en el sistema 4−1

𝑷(𝟎)

3ൗ (3ൗ1)𝑛 1 = ෍ + 𝑛! 4!

−1

4

(

𝑛=0

1 ) 1 − 0.75

1 3 9 27 + + + 1 1 2 6 3 3 3 3 ( )0 ( )1 ( )2 ( )3 1 + 1 + 1 + 1 0! 1! 2! 3! (3)0

0!

+

(3)1

1!

+

(3)2

2!

+

(3)3

3!

9 2

1+3 + + 4−1

෍ 𝑛=0

(3ൗ1)𝑛

𝑛!

27 6

= 13

b) Probabilidad de que no haya ningún camión en el sistema

𝑷(𝟎)

3 4 1 = 13 + ( ) 24 0.25

𝑷(𝟎) = 13 +

81 (4) 24

−1

324 = 13 + 24

−1

𝑷(𝟎) = 13 + 13.5

−1

𝑷(𝟎)

−1

𝑷(𝟎) = 26.5

𝑷(𝟎) =

−1

1 26.5

𝑷(𝟎) = 0.0377

𝑷(𝟎) = 3.77%

c) Número promedio de camiones en la fila Datos 𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑛 = 0 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝 = 0.75 𝑷(𝟎) = 0.0377

Fórmula

𝑳𝒒 =

𝑃0 (𝜆ൗ𝜇)𝑠 𝑝

𝑠! (1 − 𝑝)2

Sustitución 4 3 (0.0377) ൗ1 (0.75) 𝑳𝒒 = 4! (1 − 0.75)2

(0.0377) 3 4 (0.75) 𝑳𝒒 = 4! (0.25)2 𝑳𝒒 =

(0.0377)(81) (0.75) (24)(0.0625)

2.290 𝑳𝒒 = 1.5

𝑳𝒒 = 1.52

d) Tiempo promedio de espera en la fila Datos 𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑛 = 0 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝 = 0.75 𝑷(𝟎) = 0.0377 𝑳𝒒 = 1.52

Fórmula

𝐿𝑞 𝑾𝒒 = 𝜆

Sustitución 1.52 𝑾𝒒 = 3

𝑾𝒒 = 0.506

e) Tiempo promedio transcurrido en el sistema Datos

Fórmula

Sustitución

𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑛 = 0 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝 = 0.75 𝑷(𝟎) = 0.0377 𝑳𝒒 = 1.52 𝑾𝒒 = 0.506

1 𝑾 = 𝑊𝑞 + 𝜇

1 𝑾 = 0.506 + 1

𝑾 = 0.506 + 1 𝑾 = 1.506

f) El número promedio de camiones en el sistema Datos

Fórmula

Sustitución

𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑛 = 0 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝 = 0.75 𝑷(𝟎) = 0.0377 𝑳𝒒 = 1.52 𝑾𝒒 = 0.506 𝑾 = 1.506

𝑳 = 𝜆𝑊

𝑳 = (3)(1.506)

𝑳 = 4.518

Ahora se pueden calcular los costos por hora correspondientes a mano de obra y camiones ociosos. Costo de camiones ociosos

Costo mano de obra

Costo de cuadrilla por hora = $30.00 Servidores (s) = 4

Costo de un camión ocioso por hora = $50.00 Camiones en el sistema (L) = 4.518 $𝟓𝟎. 𝟎𝟎 𝟒. 𝟓𝟏𝟖 = $𝟐𝟐𝟓. 𝟗𝟎

$𝟑𝟎. 𝟎𝟎 𝟒 = $𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎

$345.90

Se considerará ahora una situación en la que

todas las suposiciones del modelo con un solo servidor son apropiadas, excepto una. En este caso, la población de clientes es finita, por que

sólo existen N clientes potenciales. Si N es mayor que 30 clientes, resulta adecuado el modelo con

un solo servidor, sobre la suposición de que la población de clientes sea infinita. En los demás casos, el modelo con fuente finita es el que más

conviene utilizar.

−1

𝑁

𝑷(𝟎) = probabilidad de que cero clientes estén en el sistema = ෍ 𝑛=0

𝑁! 𝜆 ( )𝑛 𝑁−𝑛 ! 𝜇

𝒑 = utilización promedio del sistema = 1 − 𝑃0 𝑳𝒒 = número promedio de clientes en la fila de espera = 𝑁 −

𝜆+𝜇 (1 − 𝑃0 ) 𝜆

𝜇 𝑳 = número promedio de clientes en el sistema = 𝑁 − (1 − 𝑃0 ) 𝜆 𝑾𝒒 = tiempo promedio de espera en la fila = 𝐿𝑞 (𝑁 − 𝐿)𝜆

−1

𝑾 = tiempo promedio transcurrido en el sistema, incluido el servicio = 𝐿 (𝑁 − 𝐿)𝜆

−1

Hace casi tres años, Gear Tandil S.A. instaló un conjunto de 10

robots

que

incrementó

considerablemente

la

productividad de su mano de obra, pero en el último tiempo la atención se ha enfocado en el mantenimiento.

La empresa no aplica el mantenimiento preventivo a los robots, en virtud de la gran variabilidad que se observa en la distribución de las averías. Cada máquina tiene una distribución exponencial de averías (o distribución entre llegadas), con un tiempo

promedio de 200 horas entre una y otra falla.

Cada hora-máquina perdida como tiempo ocioso cuesta $30.00, lo cual significa que la empresa tiene que reaccionar con rapidez

en cuanto falla una máquina. La empresa contrata sólo a una persona de mantenimiento real

están distribuidos exponencialmente. La tasa de salarios es de $10.00 por hora para el encargado de mantenimiento, el cual puede dedicarse productivamente a otras actividades cuando no hay robots que reparar. Calcule el costo diario por concepto de tiempo ocioso de la

mano de obra y los robots.

• Cada máquina tiene una distribución exponencial de averías (o distribución entre llegadas), con un tiempo promedio de 200 horas entre una y otra

falla. 𝜆=

1 = 0.005 𝑎𝑣𝑒𝑟í𝑎𝑠/ℎ𝑟 200

𝜇=

1 = 0.1 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡𝑠/ℎ𝑟 10

a) Utilización promedio de las cuatro plataformas Datos

Fórmula

𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠

𝜆 𝒑= 𝑠𝜇

Sustitución

𝒑=

3 4∗1

𝒑=

3 4

𝒑 = 0.75 𝒑 = 75%

b) Probabilidad de que cero clientes se encuentren en el sistema Datos 𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑁 = 10 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡𝑠

Fórmula 𝑁

𝑷(𝟎)

𝑁! 𝜆 = ෍ ( )𝑛 𝑁−𝑛 ! 𝜇 𝑛=0

Sustitución −1

10

𝑷(𝟎) = ෍ 𝑛=0

−1

10! 3 ( )𝑛 10 − 𝑛 ! 1

b) Probabilidad de que cero clientes se encuentren en el sistema 𝑷(𝟎) =

10! 3 ( )0 10 − 0 ! 1

𝑷(𝟒) =

10! 3 ( )4 10 − 4 ! 1

𝑷(𝟖 =

𝑷(𝟏) =

10! 3 ( )1 10 − 1 ! 1

𝑷(𝟓) =

10! 3 ( )5 10 − 5 ! 1

𝑷(𝟗) =

𝑷(𝟐) =

𝑷(𝟑) =

10! 3 ( )2 10 − 2 ! 1 10! 3 ( )3 10 − 3 ! 1

𝑷(𝟔) =

𝑷(𝟕) =

10! 3 ( )6 10 − 6 ! 1 10! 3 ( )7 10 − 7 ! 1

10! 3 ( )8 10 − 8 ! 1

𝑷(𝟏𝟎) =

10! 3 ( )9 10 − 9 ! 1 10! 3 ( )10 10 − 10 ! 1

b) Probabilidad de que cero clientes se encuentren en el sistema Datos 𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑁 = 10 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡𝑠

Fórmula 𝑁

𝑷(𝟎)

𝑁! 𝜆 = ෍ ( )𝑛 𝑁−𝑛 ! 𝜇 𝑛=0

Sustitución −1

10

𝑷(𝟎) = ෍ 𝑛=0

−1

10! 3 ( )𝑛 10 − 𝑛 ! 1

𝑷(𝟎) = 0.538 𝑷(𝟎) = 53.8%

b) El número promedio de robots en espera de ser reparados Datos 𝜆 = 3 camiones c/hr 𝑐 𝜇 = 1 𝑐𝑎𝑚𝑖ó𝑛 ℎ𝑟 𝑠 = 4 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑝 = 0.75

Fórmula 𝜆+𝜇 𝑳𝒒 = 𝑁 − (1 − 𝑃0 ) 𝜆

Sustitución