Análisis Vectorial I

I BIM – FÍSICA – 1ER. AÑO

ANÁLISIS ANÁLISISVECTORIAL VECTORIALII Si preguntáramos por la masa de un cuerpo, nos bastaría responder simplemente con un valor numérico y su respectiva unidad. Así por ejemplo: Unidad Valor Numérico

5 Kg.

Pero si preguntamos a alguien donde esta la oficina de correos y nos responde que está a 10 cuadras de distancia, probablemente seguiremos

¡Qué Interesante! Históricamente, los vectores fueron considerados antes del comienzo del siglo XVIII; su teoría fue desarrollada y aplicada, entre otros, por Maxwell en su tratado sobre la electricidad y el magnetismo (1873). El espaldarazo definitivo a la Teoría de los vectores se debe a la Escuela Italiana (G-

preguntando para que nos aclaren, la dirección a seguir. (¿Hacia dónde?) Por lo tanto distinguiremos 2 tipos de Magnitudes:

A)

Magnitudes Escalares:__________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________

Ejemplos:

B)

Magnitudes Vectoriales:_________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________

Ejemplos:

- 224 -

Guiseppe Peano (Cuneo 1858 - 1932) Lógico y Matemático Italiano. Fue uno de los impulsores de la Lógica Matemática. En su obra “Formulario Matemático” está recogida su exposición sobre aritmética, geometría, Teoría de Conjuntos, Cálculo Infinitesimal y “Cálculo Vectorial”.

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Vector _______________________________________________________ _______________________________________________________

¡Qué Interesante! Vector, del latín Que conduce.

“vector”:

_______________________________________________________



Representación Gráfica Línea de Acción

y (Ordenadas) B Módulo

Sentido

señala

Elementos de un Vector Todo vector consta de 3 elementos importantes: Módulo:

______________________________________ ______________________________________ ______________________________________



Dirección: ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________



Sentido:

______________________________________ ______________________________________ ______________________________________



Representación Matemática Vector

:

V

Módulo

:

| V |  | AB |  V

para

no

es

describir

un

avance

en

la

investigación científica”.

Dirección x (Abcisas)



suficiente

número

darse cuenta de este hecho

A



solo

algunos conceptos físicos; el

V



“Un

 V  AB

- 225 -

(Einstein - Infield)

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

Tipos de Vectores 1. Colineales.- Si se encuentran sobre la misma línea de acción.

A

La LaFuerza: Fuerza:Un UnVector Vector son

B

colineales.

C

Línea de Acción 2. Concurrentes.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto. A

son concurrentes

B

Punto de Concurrencia

En Enlalafigura figuraelelalumno alumno“Trilcito” “Trilcito” empuja empuja elel carrito. carrito. La La fuerza fuerza

que que aplica aplica “Trilcito” “Trilcito” lolo representamos representamos mediante mediante elel vector vector su susentido sentidoes eshacia hacia“la “la derecha” derecha” en en dirección dirección “este” “este” (Horizontal, (Horizontal,==0º). 0º).

C

3. Paralelos.- Cuando las líneas de acción son paralelas.

A

B C son paralelas.

La Velocidad: Un Vector V

4. V. Opuesto.- Son iguales en tamaño (Módulo) pero sentidos opuestos. Obs.: A

son paralelos.

–A

5. V. Iguales.- Si sus 3 elementos son iguales (módulo, dirección y sentido).

dirección

horizontal.

|A|  |B| 



 

mediante el vector V .



B



en

Representamos su velocidad Si: A  B

A

En la figura el auto se mueve

 

 Sentido de  Sentido de  A B 

- 226 -

I BIM – FÍSICA – 1ER. AÑO Obs.

De lo dicho anteriormente podemos concluir:

Vector Nulo

Todo vector puede trasladarse sobre un plano en forma paralela, sin

Es

alterar ninguno de sus elementos.

módulo al cero. Si

aquel A

que es

tiene

nulo,

como

entonces

|A|  0.

A

A



A

Multiplicación de un Vector por un Número (Escalar)



Si el número es positivo Ejemplo:

La suma o resta de 2 ó mas

2A 1 A 2

x2

A 



| A |  8



vectores da como resultado



|

| 2A | 

1 A|  2

d x (-2)  | B |  4

–  | 2B | 



|–

AB  S AB  D

Si el número es negativo

B

otro vector.

1 B 2

1 B|  2

Para números positivos: a)

Mayores que 1: Crece y se mantiene el sentido.

b)

Menores que 1: Decrece y se mantiene el sentido.

Para números negativos: Cambia de sentido.

SUMA DE VECTORES O VECTOR RESULTANTE Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado _________________________________________ .

- 227 -

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

Métodos para Hallar el Vector Resultante



Obs.:

Para vectores paralelos y/o colineales En este caso se consideran como si fueran simples números

B

A

reales. Ejemplo:

R

Hallar el vector resultante en los siguientes casos:

R  AB

A

B

R

<>



No se cumple: Si: | A |  2

| B |  5

d

|R| 

 R  5 (Falso)

Sólo A

|B|  3 

B



C |C|  5 

se

cumple

mismo sentido.  

E |E|  2 

R |R|  

Para Vectores que forman un ángulo entre sí

A) Método del Polígono.- Consiste en colocar un vector a continuación del otro.

B C

A B

C

A

A

B

si

son

colineales o paralelos y con el

D |D|  1

|A|  1

| B | 3

R  AB C

Cierra el polígono

B A

R  AB

Cierra el polígono

- 228 -

I BIM – FÍSICA – 1ER. AÑO ¿Podrás cerrar el polígono?

B

A

R0 A

C B C

C A

R 

B

D

R 

D E

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN



En los siguientes casos hallar el vector

a) 2c

resultante.

b) 2b

1.

c) Cero a) 2d

d) b

b) a

d

c) 2a

e) 2d

a

d) 2b

c 5.

b

e) c

a) 2b

2.

d) Cero

b

b) 2c

d

e) 2a

a

c) 3c

c

d) 2a

6.

e) 3a

e

marcar v o f: La masa es una magnitud vectorial (

3.

b

a) 2a

)

La suma de vectores da un vector

)

a

b) VVV

d) VFV

c

)

Los vectores colineales son paralelos (

a) FVF

b) 3c d) 3f

c

c) 3e

a) b

c) 3d

b

a

b) 3c

(

c) FFF

e) FVV

e

d f

e) 2b

7.

4.

a) c

b

a

- 229 c d

a

c d

b

I BIM – FÍSICA – 1ER. AÑO

b) 0

b) 3 cm

c) c  d

c) 6 cm

d) 2c  d

d) 4 cm

e) 2(c  d) 8.

e) 10 cm

En los siguientes casos hallar el módulo del V. Resultante:

13. a) 2 cm

a)  a  = 6 cm b)  b  = 3 cm c)  c  = 5 cm d)  d  = 2 cm

a

b 



b) 5 cm

c

5 cm

c) 7 cm



d) 8 cm



e) 10 cm

e) 6 cm

d 14.

9. a) 3

a) 2 cm

b) 2

b) 4 cm

2

c) 4 d) 5

d) 10 cm

e) 6

2

10.

e) 12 cm

b

a) 2

| a |  2 | b |  1

b) Cero c) 5

4 cm

c) 8 cm

c

a

d) 3

a) 9 cm

| c |  4

b) 16 cm

| d |  6

c) 10 cm

d

e) 4

15.

d) 7 cm e) 14 cm

6 cm

3 cm

7 cm

11. a) 2 cm b) 3 cm c) 5 cm

5 cm

3 cm

d) 4 cm e) 8 cm

12.

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

a) 2 cm 4 cm

- 230 6 cm

I BIM – FÍSICA – 1ER. AÑO e) 2d 

En los siguientes casos hallar el vector resultante.

1.

6. a) 2A

c

a) a

2b

d)

2c

e)

2a

G

c)  3C

a

D

d) 3F

b

e) 3G

2.

b b) d c) – d

a

d) a

e) f

c

f

d) b d

i

d

c)  a

f

b

e

b) a

e

e) – a

a

a) Cero

c

B C

7.

a) Cero

A

E

b) 3C

b) c c)

F

g

h

3. a) a b) c

g

d

a

c) e

 8.

b

d) 2e e) 2f

En los siguientes casos hallar el módulo del vector resultante:

AB  BC  2

a) 6 e

c

f

C

b) 10 c) 11

B

d) 14 4.

a

a) c b)

2c

c)

3c

d)

4c

e)

5c

e) 12

b

A

c d

9.

e

a) 2 cm b) 3

g

f

c) 5 d) 10 e) 14

5 cm

10. a) 6 cm 5.

b) 8 a) 2f

c) 10

a

b

b) 3a

d) 12

f

c) 3c d) 3f

e) 3

c d

e - 231 -

6 cm

6 cm

I BIM – FÍSICA – 1ER. AÑO

11. a) 2 cm

14.

b) 4

4 cm

c) Cero

a) 11 cm

8 cm

b) 3

d) 12

c) 7

e) 16

d) 22 e) 4

4 cm 2 cm

3 cm

5 cm

2 cm 2 cm

12. a) 2 15.

b) 3 c) 4

1

1

1 1

1

1

1 1

. a) 3()

d) 5

b) 3()

e) 6

c) 6() d) 5() e) 5()

13. a) 15 b) 14 c) 13

6 cm 4 cm

d) 12 e) 10

- 232 -

5 6 2 1

4 1