Guia Ciencias 1ro.pdf

I.E.P. “MARIANISTA”

GUÍA DE TRABAJO “CIENCIAS” PRIMERO DE SECUNDARIA

AREQUIPA - PERÚ

RAZONAMIENTO MATEMATICO…………..…..Pág. 09 ARITMETICA…………………………………….…Pág. 29 ALGEBRA…………………………………………..Pág. 51 GEOMETRIA…………………………….…………Pág. 69 QUIMICA……………………………………..……..Pág. 93 FISICA……………………………………………….Pág. 117 BIOLOGIA…………………………………………..Pág. 149

PRESENTACIÓN Los miembros del Equipo Directivo de la I.E.P. “Marianista” te dan la bienvenida, y te desean una feliz y beneficiosa estancia entre nosotros. Las personas de la I.E.P. “Marianista” formamos una comunidad que, por su rango universitario, debe distinguirse por unas relaciones humanas altamente cualificadas. Para que nuestra vida interna, por tanto, se parezca lo más posible a una gran familia, te pedimos, ya de entrada, tu entusiasta colaboración para lograr una agradable y enriquecedora convivencia entre todos los componentes de la comunidad colegial. Quisiéramos que la práctica de la amistad, como “fraternización” de las relaciones humanas, que crea “comunión en la diferencia”, fuese el motor y la norma de las relaciones personales en esta comunidad colegial. Y por ello, para ayudarte a cumplir bien, ya desde el comienzo las obligaciones que, libremente, has asumido consigo mismo y con este Centro Universitario, nos adelantamos a recordarte aquí la normativa mínima a que te has comprometido por el hecho de ser admitido a formar parte de la comunidad de la I.E.P. “Marianista” : a) Tu deber de aprovechar bien el tiempo de estudio desde el primer día de clase, lo que conlleva la obligación de no trasnochar más de lo permitido por el Reglamento. b) Tu compromiso a participar activamente en las actividades culturales del Colegio lo que se opone radicalmente a mantener una conducta individualista e insolidaria hacia la comunidad colegial, como lo pondría de manifiesto su inhibición en estas tareas comunes, que enriquecen su formación integral, crean comunidad y son beneficiosas para todos. c) Tu obligación de ser educado, tolerante y respetuoso con todas las personas con las que convive, y de cuidar y mantener el orden y la limpieza en su habitación y, sobre todo, en las instalaciones comunes. Para recordarte la normativa básica que regula la vida de la I.E.P. “Marianista” , junto a esta cartapresentación se le adjunta los documentos Reglamento Interno, que te aconsejamos leas con atención. La evaluación más positiva y, de seguro, la de mayor satisfacción para Ud., sería que, al finalizar el curso que ahora comienza, pudieras decir que todos tus compañeros, el personal de servicio y el equipo directivo, se sienten orgullosos de haber compartido, durante el año escolar que ahora comienza, la vida y amistad con Ud. Nunca olvides que el Personal Docente y Administrativo está dispuesto a ofrecerle cuanta ayuda Ud. precise y solicite, y él pueda prestarle, para el logro de sus objetivos de formación y autorrealización personal. Esperamos que tu presencia en la I.E.P. “Marianista” sea enriquecedora para tí y para todos nosotros. Con esta esperanza el Equipo de la I.E.P. “Marianista” te da la bienvenida con el más cordial saludo. Arequipa, Hunter 2015

REGLAMENTO INTERNO I.E.P. “MARIANISTA” REGLAMENTO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE LOS ALUMNOS Sus derechos: 1. Ser tratados con respeto, igualdad y en forma justa por parte de los docentes. 2. Gozar de las mismas oportunidades de desarrollo, sin limitaciones o preferencias personales. 3. Ser respetados en su integridad física, psicológica y moral. 4. Ser escuchados y orientados en función de sus necesidades académicas y personales. 5. Disfrutar de sus tiempos libres establecidos por el Instituto. 6. Conocer oportunamente las disposiciones escolares, tales como calendario escolar, calendario de exámenes, horarios de actividades académicas, servicios que la institución ofrece, normas para el uso de sus instalaciones, talleres, sanitarios y otras áreas de uso común. 7. Conocer por parte de cada docente al inicio del ciclo escolar la información necesaria acerca de los programas de estudio, dosificación, materiales didácticos y criterios de evaluación. 8. Recibir de los docentes: Una adecuada presentación personal, puntualidad y asistencia; preparación de clases, orden y metodología sugerida en planes y programas de estudio; el respeto por el derecho a participar y una seriedad y justicia en la evaluación del aprendizaje. 9. Presentar los exámenes ordinarios sujetándose a las fechas y condiciones que establezcan las disposiciones normativas aplicables. 10. Ser informado oportunamente sobre su desempeño académico y recibir atención, de manera especial, cuando sus resultados no sean favorables, debido a problemas personales, familiares, de carácter físico, psicológico y/o emocional, a través del personal capacitado para ello. 11. Recibir reconocimientos por su dedicación académica, comportamiento, constancia y disciplina mostrada en las actividades escolares. 12. Formular peticiones respetuosas ante docentes y la dirección, en forma verbal o escrita, relacionadas con su situación escolar o personal. 13. Ser informados de las medidas que puedan afectar sus intereses académicos, a través de las autoridades educativas o de sus representantes. 14. Participar en las actividades de extraclase que promueva el Instituto. 15. Que la información relativa a su situación académica se maneje en los términos de la legislación aplicable. 16. Los demás que sean inherentes a la naturaleza de su desarrollo como alumno. Sus deberes: 1. Acatar y cumplir las disposiciones normativas, así como los acuerdos de la Dirección que contribuyan a su formación integral. 2. Observar buena conducta dentro y fuera de la institución. 3. Cumplir con las indicaciones del docente y de la Dirección que le obligan en su calidad de alumno. 4. Asistir con puntualidad a sus clases y a las actividades escolares que de acuerdo a los planes y programas de estudio sean obligatorias. 5. Observar un trato respetuoso entre sus compañeros y el personal que labora en la institución.

6. Permanecer en el Instituto durante todas las horas de trabajo que le correspondan, salvo circunstancias especiales que sean determinadas por la dirección. 7. Participar activa y constantemente en las actividades académicas para lograr el desarrollo de sus capacidades y habilidades como agentes de su propia formación y con un sentido de responsabilidad y compromiso. 8. En el caso que deba ausentarse de la institución, deberá informarlo con anticipación a la Coordinación y Dirección, así como realizar el trámite previsto por el Instituto para la debida justificación. 9. Para abandonar las instalaciones de la institución en horas de trabajo y días hábiles, se requiere la justificación previa y autorización de la coordinación o dirección. 10. Hacer un buen uso de los bienes, instalaciones y servicios de que disponga la institución. 11. Justificar sus inasistencias, lo que podrá ser mediante: a).- Dictamen o constancia médica; b).- Solicitud del padre de familia o tutor, misma que deberá ser validada por la dirección. Se tendrá como máximo un plazo de dos días hábiles para justificar estas inasistencias, a partir de que el alumno se presente a clases, caso contrario, no podrá ingresar a la institución. 12. Abstenerse de: a) Efectuar actos que denigren al Instituto y de fomentar, por cualquier medio, la indisciplina escolar, tanto dentro, como fuera de clases. b) Traer objetos punzocortantes o cualquier otro que pueda resultar peligroso. 13. Los alumnos podrán mantener puntos de vista u opiniones distintos de los sustentados por el docente, pero la expresión de opiniones deberá hacerse razonadamente; siempre dentro del más completo orden y guardando la consideración y respeto que merece el docente y los demás alumnos. 14. Manifestar su formación y corresponsabilidad respetando y cuidando los bienes tanto propios como ajenos. 15. Los alumnos están obligados a cumplir cada una de las tareas indicadas por el docente cada curso, caso contrario, será motivo para revisar su matrícula y su estadía en la institución.

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Director de la Institución

Coordinador Área Académica

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Auxiliar de educación secundaria

Padre de Familia o Tutor

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Lógica Recreativa I (Cerillas - Relación de Tiempo)

Objetivos Objetivos  Despertar y ejercitar el ingenio y destreza visual.

1ra

Sesión

Ejemplo 1: Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

 Po t e n c i a r l a h a b i l i d a d intelectual.  Afianzar el desarrollo de la imaginación, la creatividad y el ingenio.

Resolución: Cambio

Quedaría

Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en los cuales tendrás queaplicartuhabilidadydestrezavisual, usando conocimientos elementales de la geometría y la aritmética, aunque en algunos tu ingenio e imaginación. Encontrarás ejercicios de diferente nivel, desde los básicos hasta los complicados. Emplearás tu creatividad hasta desarrollar tu habilidad analítica y esto te ayudará a desarrollar tu pensamiento creativo medianteelempleodenuevosenfoques ingeniosos.

Ejemplo 2: Retirando once cerillas, deja seis.

Resolución:

Cerillas Hallaremos ejercicios de interés que para resolverlos aplicarás tu destreza visual y habilidad mental; cambiando de posición, colocando o quitando cerillas según la conveniencia del ejercicio.

I BIMESTRE

Quito once cerillas

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 11

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejemplo 3:

El culpable del reto

Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.

Resolución: Cambio

Quedaría 1 2

3

5

1

3

4

2 4

5

Ejemplo 4: Como se ve, las ocho cerillas forman en este caso catorce cuadrados. Retira dos cerillas y deja solo tres cuadrados.

Resolución: Quito 2 cerillas

Relación de Tiempo Para el desarrollo de este tipo de ejercicios se sugiere utilizar la recta numérica comparando los números con los días; así: 1. RECTA NUMÉRICA

–3

Anteayer

Ayer

–2

–1

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 12

Pasado Hoy Mañana Mañana 0

1

2

3

Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601 en Beaumont, un pueblo al suroeste de Francia. Su padre era un rico comerciante de pieles, lo que le permitió realizar sus estudios de leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca destacó en Matemáticas. No publicó en su vida ningún libro sobre matemáticas. De hecho llegó a escribir a Pascal: “No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública”. Pero Fermat tenía la pasión por los números. Y ello en parte gracias al libro de un matemático que vivió 1300 años antes que él. Este libro era la edición de la Aritmética de Diofanto. La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos. Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años. En él, Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos. Algunos tienen que ver con las ternas pitagóricas, es decir, las ternas de números enteros que verifican X2 + Y2 = Z2 Fermat intuye que el exponente 2 es una frontera matemática para este tipo de ecuaciones con números enteros y postula, en una de las anotaciones a la Aritmética, su famoso reto. Desde este momento las mejores mentes matemáticas de 3 siglos no van a poder sustraerse a la tentación de intentar encontrar esa maravillosa demostración de la que habla Fermat.  Euler lo demostró para n = 3 y n = 4.  Dirichlet y Legendre para n=5  Lamé para n = 7.  Kummer para todos los primos menores que 100 salvo para n = 37, 59 y 67.  Sophie Germain....

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte Ejemplo 7:

Ejemplo 5: Sí, Farid, pues yo estudié en Trilce y en un momento te daré la respuesta.

Aarom, puedes decirme, ¿qué día será el ayer de pasado mañana si el ayer de mañana es jueves?

Sabiendo que el mañana del anteayer del ayer de mañana era martes, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? Dato : +1 – 2 – 1 + 1 <> martes – 1 <> martes Piden : –2 + 1 + 2 = +1 Martes Miércoles Jueves

–2

Después de aquella conversación, Aarom hizo lo siguiente: Resolución: Considerando la siguiente analogía: Anteayer

Ayer

Hoy

–2

–1

0

Ahora el dato:

ayer de mañana <> jueves



–1



¿Cuáles son los números que faltan?

0 <> jueves

3 4 5 6 7 8 9 10

El ayer de pasado mañana –1





+2



2 1 (Piden)

Curiosidades

+1

Luego piden :

2

0

Rpta.: Jueves

Pasado Mañana Mañana 1

–1 (Dato)

52 63 94 46

+1 (Dato) (Piden) jueves viernes

–2

–1

0

1

2

Después de resolver, Aarom le responde a Farid que ese día será el viernes. Rpta.: Viernes Ejemplo 5: Si hoy es domingo, ¿qué día será el ayer de pasado mañana de hace dos días? Resolución: Dato :

Desafío La figura representa una copa con una cereza adentro. Se trata de obtener, moviendo sólo dos fósforos, una copa igual a la original pero con la cereza afuera.

0 <> domingo

Piden :

–1 + 2 – 2 = – 1 sábado domingo –2

I BIMESTRE

–1 (Piden)

0 (Dato)

1

2 Rpta.: Sábado RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 13

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

EJERCICIOS DE APLICACION Nivel I 1) Retirando cinco palitos de fósforo deja uno.

Las siguientes igualdades formadas con palitos de fósforo son incorrectas. ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para que expresen igualdades correctas? 4)

2) Quita tres palitos de fósforo, de tal manera que queden sólo tres cuadrados.



a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5)

3) Quita cuatro palitos de fósforo de la figura, de tal manera que queden sólo cinco cuadrados del mismo tamaño.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Dado el siguiente gráfico obtenido con 12 palitos de fósforo, se pide:

8) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

9) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

10) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes mover para que en total se formen 5 cuadrados? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

6) Quita dos palitos para obtener tres cuadrados del mismo tamaño.

7) Quita dos palitos para obtener tres cuadrados del mismo tamaño.

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 14

11) El ayer de ayer fue jueves. ¿Qué día será el mañana de mañana? a) domingo b) lunes c) sábado d) martes e) miércoles

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

12) Si hoy es lunes, ¿qué día será el mañana de hace dos días? a) domingo b) lunes c) jueves

d) sábado e) viernes

13) Si el anteayer de ayer de mañana de pasado mañana es sábado, ¿qué día fue anteayer de ayer? a) miércoles b) martes c) sábado

d) jueves e) viernes

14) Si el pasado mañana de ayer es jueves, ¿qué día será el mañana de anteayer? a) martes b) miércoles c) jueves

d) viernes e) lunes

19) Si hoy es miércoles, ¿ qué día será el pasado mañana de dentro de tres días? a) martes b) domingo c) lunes

23) En la siguiente figura, cambia de posición a dos palitos para obtener cinco cuadrados iguales.

d) miércoles e) jueves

20) Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿ qué día fue ayer? a) miércoles b) lunes c) sábado

d) jueves e) martes

21) Se tiene doce cerillas dispuestas en cuatro cuadrados pequeños como se observa:

24) Debes quitar el mínimo de palitos de fósforo para que queden solamente cuatro cuadrados iguales.

15) Si el mañana de mañana es lunes, ¿qué día fue ayer? a) miércoles b) jueves c) domingo

d) sábado e) viernes

Nivel II 16) Si hoy es martes, ¿qué día será el mañana de ayer del pasado mañana de mañana? a) jueves b) viernes c) sábado

d) domingo e) lunes

17) Si el ayer de mañana es jueves, ¿qué día es hoy? a) lunes b) martes c) miércoles

d) jueves e) viernes

18) Siendomarteselayerdeanteayer, ¿qué día será pasado mañana de ayer? a) sábado b) martes c) viernes I BIMESTRE

a) Quita dos cerillas, dejando dos cuadrados. b) Quita cuatro cerillas, dejando dos cuadrados iguales. c) Mueve tres cerillas, para hacer tres cuadrados del mismo tamaño. d) Mueve dos cerillas para hacer siete cuadrados de tamaños diferentes. e) Mueve cuatro cerillas para hacer diez cuadrados, no todos del mismo tamaño.

22) Aumenta 3 palitos de fósforo, en la figura, para que se formen 5 triángulos.

25) Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

26) En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillas que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

d) jueves e) miércoles

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 15

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

2da

Lógica Recreativa II

Sesión

(Parentesco - Situaciones Diversas) Objetivos Objetivos

Resolución: Hagamos un gráfico. Hermanos

 Desarrollar tu imaginación e ingenio.  Potenciar la habilidad mental e intelectual.

de padre a hija

Única hermana de mi padre (tía)

de madre a hijo

 Comprender las relaciones de los componentes de la familia.

En este tema se presentan ejercicios Hijo de Tía Yo referentes a las situaciones de relaciones (Gisela) familiares o parentesco, en los cuales los Deldifícil cuadro, se deduce que mi padre es el tío del hijo de su hermana. enunciados son de comprensión, para lo cual nosotros haremos uso de ∴ Rpta.: Es mi padre. nuestra habilidad mental para llevar a cabo el proceso lógico–deductivo Ejemplo 2: que nos lleve a la solución de los ¿Qué parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina del sobrino de mi única ejercicios. Alumno Trilce, te sugerimos hermana? resolver los ejercicios realizando Resolución: enfoques diferentes al pensamiento Hagamos un gráfico. convencional. Esposos

Parentesco Aquíobservaremosenunciadosdedifícil comprensión, pues los resolveremos graficando los personajes de manera coherente.

Yo

Ejemplo 1: Mi nombre es Gisela. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre? RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 16

Mi hijo

Relación de madrina a ahijado

Del cuadro se deduce que la persona buscada es mi esposa. I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

¿Existe otra forma para resolver este tipo de problemas? Pues si escribimos el texto para analizarlo, y empezamos del final del texto hacia el inicio del mismo. «La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana» Mi hijo

Otros regalos de Fermat

Mi comadre

Los viejos números primos

Mi esposa

∴ Rpta.: Esa persona es mi esposa.

Cantidad de integrantes de la familia Usualmente para este tipo de problemas se pide la cantidad mínima de personas que integran un grupo familiar, y para resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posible de características a las personas para que su número sea mínimo.

Ejemplo 3: En un restaurante estaban cenando dos padres y dos hijos, ¿cuál es el menor número de personas que había en el restaurante? Resolución: Es decir que había dos padres. Hagamos lo posible para que a la vez sean dos hijos, así: (Abuelo)

Padres (Padre)

Hijos

∴ Rpta.: La respuesta sería 3.

I BIMESTRE

¿Sabias Qué? Hay dos grandes familias de números primos: Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41... Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43... Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados. Pero en cambio, ninguno de los de la segunda familia se puede descomponer en la suma de dos cuadrados. El pequeño teorema de Fermat: Si "a" es un número natural cualquiera, por ejemplo 9 y p un número primo que no es divisor de "a", por ejemplo 5; siempre se cumple que "p", en este caso 5, es divisor exacto de ap–1 –1, en nuestro caso 95 – 1 – 1. En efecto 94 – 1 = 6561 – 1 = 6560 que es divisible por: 5 6560 : 5 = 1312. Esta brillante joya numérica se conoce como el “pequeño teorema de Fermat”. Y, cómo no, fue demostrado por Euler cuando tenía 29 años. Su gran fallo. Los primos de Fermat. Fermat afirmó que todos los n números de la forma 22 + 1, son números primos. Euler se encargaría de demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado. Si n=5.232 + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 no es primo. Pero aunque Fermat es el gran impulsor de los problemas relacionados con los números enteros, para encontrar el origen de estos problemas hay que retroceder en el tiempo hasta el nacimiento de la Aritmética y viajar al siglo VI antes de Cristo.

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 17

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA" Ejemplo 6:

Situaciones Diversas En este tema nos encontraremos con situaciones ingeniosas que exigen raciocinios hábiles para dar respuestas ingeniosas.

¿Cuál es el menor número de rectas que deben trazarse para dividir la figura en 6 regiones?

Ejemplo 4: Josué tiene un libro de 200 hojas, y su hermanito Ángelo le arranca las páginas 12; 15; 20; 100; 121; 138; 140. ¿Cuántas hojas le quedan? Resolución: Pues obvio, si arrancó la página 15 por ejemplo, también se habrá arrancado la página 16. Sabes ¿por qué?

Resolución: Deben trazarse dos, tal como se muestra a continuación:

Entonces se habrá arrancado en realidad las páginas: 11; 12 15 ; 16 19;20 99;100 121;122 137;138 139;140 1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

∴ Rpta.: Quedan : 200 – 7 = 193 hojas

4

5

6 3

2 1

Ejemplo 5:

de tío a sobrino Un automóvil recorre 8000 km permutando sus llantas (incluyendo la de repuesto). Para que todas tengan igual desgaste, ¿qué distancia recorre cada llanta? Resolución: Pues el automóvil lleva siempre 5 llantas (una de repuesto), de las cuales cuatro de ellas siempre están en movimiento. 8000 km

Como las 5 llantas se permutan, entonces cada llanta recorre:

4 x 8000 5

∴ Rpta.: 6400 km

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 18

= 6400 km

¿Sabias Qué? Los griegos fueron los inventores de la ciencia, sobre la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Ellos consiguieron que el pensamientohumanoobtuviera el primer grado de abstracción matemática. Los pueblos antiguos calcularon áreas de triángulos pero los griegos generalizaron esos cálculos para cualquier triángulo. Se ocuparon de definir entes geométricos con conceptos puramente abstractos y de usar exclusivamente la lógica para obtener las conclusiones.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

EJERCICIOS DE APLICACION Nivel I 1) El hijo de la hermana de mi padre es mi: a) Sobrino b) Tío c) Primo

d) Nieto e) Abuelo

2) La tía del padre de la hermana de mi madre es mi: a) Madre b) Tía c) Abuela

d) Bisabuela e) Tiabisabuela

3) ¿Quién es la suegra de la mujer de mi hermano? a) Mi tía b) Mi madre c) Mi hija

d) Mi abuela e) Mi esposa

4) El abuelo del hijo de mi hermano es mi: a) Sobrino b) Tío c) Padre

d) Hijo e) Hermano

5) ¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a) Abuelo b) Hermano c) Tío

d) Madre e) Hija

6) ¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a)Mi hermana d) Mi cuñada b)Mi tía e) Mi sobrina c)Mi suegra I BIMESTRE

7) ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) Hermano b) Tío c) Esposo

d) Padre e) Primo

8) La única hija del abuelo de mi padre es mi: a) Prima b) Abuela c) Tía

d) Madre e) Tía abuela

9) ¿Quién es el hombre que es el padre de la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Mi hermano d) Mi abuelo b) Mi tío e) Yo c) Mi padre 10) ¿Qué representa para Miguel el único nieto del abuelo del padre de Miguel? a) Él mismo b) El nieto c) Su hijo

d) Su papá e) Su abuelo

11) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: a) Hija b) Madre c) Nieta

d) Sobrina e) Primo

12) El hermano de la hija del tío de mi padre es mi: a) Padre b) Abuelo c) Tío

d) Tío abuelo e) Bisabuelo

13) ¿Qué parentesco tiene conmigo María si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre? a) Es mi tía b) Es mi hija c) Es mi hijastra d) Es mi sobrina e) Es mi esposa 14) ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Hermana b) Prima c) Sobrina

d) Hija e) Nieta

15) Juan es el abuelo del hijo de mi hijo. ¿Quién es el hijo de Juan? a) Yo d) Mi hijo b) Mi nieto e) Mi sobrino c) Mi hermano

Nivel II 16) ¿Qué parentesco me une a Pedro si mi papá es cuñado de su papá? a) Es mi sobrino b) Soy su tío c) Somos hermanos d) Somos primos e) No somos parientes

17) ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi hija? a) Hija b) Nieta c) Sobrina

d) Nuera e) Bisnieta

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 19

De Corazón hasta la muerte

18) ¿Qué parentesco tiene Juan con la hija de la esposa del único vástago de su madre? a) Tío b) Sobrino c) Esposo

d) Hijo e) Cuñado

19) ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) Soy su hijo b) Soy su hermano c) Soy su esposo d) Soy su sobrino e) Soy su nieto 20) ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Mi hijo b) Mi hermano c) Yo mismo d) Mi padre e) Puede ser b o c 21) Si el hijo de Hugo es el padre de mi hijo, ¿qué parentesco tengo yo con Hugo? a) Soy su hermano b) Soy su padre c) Soy su hijo d) Soy su nieto e) Soy su compadre 22) ¿Qué parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Padre b) Hermano c) Tío

d) Hijo e) Primo

23) Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no es su tía, su papá le responde: «Tienes razón». ¿Quién es entonces la hermana de su tío que no es su tía? a) Su tía d) Su amiga b) Su madre e) Su prima c) Su hermana RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 20

I.E. "MARIANISTA"

24) ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Madre b) Hija c) Suegra

d) Sobrina e) Nieta

25) ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a)Mi sobrina d) Mi hija b)Mi hermana e) Mi nieta c)Mi tía 26) Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuñado de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena? a) Cuñados d) Esposos b) Hermanos e) Primos c) Concuñados 27) Yotengounhermanoúnicamente. ¿Quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre que, a pesar de todo, no es mi hermano? a)Mi hermana d) Mi sobrino b)Mi hijo e) Soy yo c)Mi padre 28) En una fábrica trabajan 3 padres y 3 hijos. ¿De cuántas personas como mínimo estamos hablando? a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

29) En una reunión se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuántaspersonascomomínimo hay en la reunión? a) 3 b) 2 c) 4

d) 5 e) 6

30) Se escucha el siguiente diálogo entre dos personas que miraban un retrato. Natalia: Mamá, ¿quién es ese hombre? Mamá: La madre de ese hombre, que no es mi tío, era la suegra de mi madre. ¿Qué parentesco había entre Natalia y el retratado? a)Su hermano d) Su abuelo b)Su padre e) Su esposo c) Su tío 31) ¿Cuál es el menor número de patas que debe tener una mesa para tener estabilidad? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

32) A un cerezo subí, donde cerezas habían; cerezas no comí ni cerezas dejé. ¿Cuántas cerezas no dejé? a) 1 b) 0 c) 2

d) 3 e) 4

33) Un libro tiene 320 hojas. Si se arrancan las páginas de numeración impar, ¿cuántas páginas quedan en el libro? a) 0 b) 160 c) 161

d) 80 e) 320

34) En un circo romano salieron a luchar a muerte 12 parejas de gladiadores. Al final de la lucha, el emperador ordenó matar a tantos gladiadores como gladiadores muertos en la lucha. ¿Cuántos gladiadores murieron en total? a) 4 b) 6 c) 12

d) 24 e) 11

I BIMESTRE

La INTELIGENCIA I.E. "MARIANISTA" como primera opción

"MARIANISTA" De CorazónI.E.hasta la muerte

Planteo de Ecuaciones Objetivos Objetivos Al finalizar el presente capítulo, el estudiante estará en capacidad de: 1. Desarrollar la capacidad de comprensión de textos (enunciados de problemas) de diversa índole, para su posterior representación simbólica. 2. Desarrollar la capacidad de abstracción cuantitativa, es decir, capacidad para representar simbólicamente las cantidades y las relaciones existentes entre ellas. 3. E n f r e n t a r d e m a n e r a adecuada las diferentes formas de plantear y resolver una ecuación. 4. Relacionar los diversos problemas con situaciones de la vida cotidiana.

Aspectos Elementales 1. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Es una igualdad conformada por números e incógnitas en la que nuestra finalidad será hallar el valor de la variable.

La comunicación es una actividad muy importante para la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar). Estos animalitos emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. Existen otros lenguajes, quizás, más  “sencillos” de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá“saludándote” moviendo la colita. Ésta es un señal de afecto. O también cuando en algún momento al acercanos nos gruñe; ésta es una señal de incomodidad. El ser humano, lógicamente, no escapa a esta característica; sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc.

Observa los siguientes gráficos:

2. ¿ PA R A Q U É E S T U D I A M O S ESTE TEMA? Para desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocablo, para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria con sus situaciones problemáticas.

IRAZ. BIMESTRE MATEMÁTICO / 1ER. AÑO 21

Indica peligro

Indica proceso correcto

3ra

Sesión

Indica primeros auxilios

Indica servicios higiénicos masculinos

Estos corresponden al lenguaje simbólico. Cuando caminas por la calle y el semáforo está en rojo, para ti indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromático.

Indica que algo está correcto

Indica silencio

Indica que algo está incorrecto Enellenguajematemáticohacemos uso de los “números” (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x; etc.) Observa los ejemplos: 8 + 2 x 34

;

6-

49 8

2

RAZ. MATEMATICO I/ BIMESTRE 1ER. AÑO 21

De "MARIANISTA" Corazón hasta la muerte I.E. En el lenguaje textual hacemos uso de las “letras” (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente. Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y el textual, interpretándolos de manera adecuada para la solución de problemas.

Parte Teórica En este tema no hay una teoría nueva. Todas las herramientas que necesitas para solucionar problemas, tú ya las conoces. Quizás lo más dificultoso que puede haber es interpretar adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemático. No hay una regla específica para esta “traducción”, sin embargo, aquí tienes unos ejemplos que de seguro te ayudarán.

I.E.primera "MARIANISTA" La INTELIGENCIA como opción

1. Lee cuidadosamente el problema y estudialo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea. 2. Identifica las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas. 3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una letra, “x” por ejemplo y se efectúa con ella y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

 Resolución de la ecuación Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron. * Observación: Para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta “la coma”, veamos. Ejemplo:

Lenguaje Textual

• La suma de

Lenguaje Matemático

• La suma de

los cuadrados de dos números.

• El cuadrado

de la suma de dos números.

• La suma de

dos números consecutivos.

• El cuádruple de lo que tengo, aumentado en 20.

• El cuádruple, de lo que tengo aumentado en 20.

3x + 8

1. Halla un número, tal que al agregarle 432 obtendremos su triple disminuido en 8. Resolución: El número es: n  n + 432 = 3n - 8 440 = 2n n = 220 * Si la expresión hubiera sido: “El triple de la diferencia del número con 8”, se simbolizaría así: 3(n - 8)

El número es 220.

2. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su perímetro mide 24 m. Halla las dimensiones del rectángulo. Resolución: Sea el rectángulo de ancho "x"

El triple, de un número aumentado en 8

a2 + b2

(a + b)2

x + (x + 1)

4x + 20; tengo “x”

4(x + 20); tengo “x”

IRAZ. BIMESTRE MATEMATICO / 1ER. AÑO 22

El triple de un número, aumentado en 8

x+y

dos números.

Ejercicios Resueltos

1. MÉ TODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

3(x + 8)

¿Sabias Qué? El asterico, para representar la multiplicación proviene de Johann Rahn (1622 - 1676), quien en 1659 lo usó en su libro Teutsche Álgebra.

*

x 3x Dato del problema: 3x + 3x + x + x = perímetro 8x = 24 x=3 Luego, las dimensiones son: largo = 9 ancho = 3 3. En una reunión hay 64 personas, siendo el número de niños el triple de los adultos. ¿Cuántos son niños y adultos? Resolución: Si “x” es el número de adultos, el de niños será 3x.

RAZ. MATEMÁTICO I/ BIMESTRE 1ER. AÑO 22

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Según el enunciado: x + 3x = 64 4x = 64 x = 16

EJERCICIOS DE APLICACION

Luego; los reunidos son: adultos = 16 niños = 3x16 = 48

4. H a l l a t re s n ú m e ro s p a re s consecutivos que sumados den 216. Resolución: Si llamamos “x” al primero, entonces “x + 2” y “x + 4” serán los otros dos. Según el enunciado: x + (x + 2) + (x + 4) = 216 x + x + x + 6 = 216 3x + 6 = 216 3x = 210 x = 70 ∴ Los números son 70; 72 ; 74 5. Halla dos números que sumados den 300 y restados 200. Resolución: Llamemos“x”al mayor de ambos, el menor valdrá 300 - x, la diferencia de ambos números es 200 que se formulará por la ecuación: x - (300 - x) = 200 Eliminando el paréntesis: x - 300 + x = 200 2x = 500 x = 250 ∴ El mayor: 250 El menor: 50



a) 52 d) 56

b) 108 e) 60

c) 54

Nivel I 8) La suma de dos números impares consecutivos es 112. Halla el mayor de los números.

1) ¿ Cu á l e s e l n ú m e ro q u e aumentado en 3 es 8?

a) 8 d) 5

b) 3 e) 6



c) 4



a) 100 d) 271

b) 99 e) 70

c) 122



3) La mitad de un número es 29, ¿cuál es el número?

a) 56 d) 38

b) 58 e) 68

c) 60

4) La cuarta parte de un número es 20. El triple de dicho número es:

a) 120 d) 480

b) 240 e) 520

c) 360

5) La suma de un número con su doble, su triple y su cuádruplo es 110. ¿Cuál es el número?

a) 15 d) 10

b) 8 e) 11

a) 53 d) 59

b) 55 e) 61

c) 57

9) La diferencia de dos números es 36. Si al mayor se le disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Halla el producto de los números dados.

2) ¿Cuáleselnúmeroquedisminuido en 72 resulta 199?

a) 352 d) 224

b) 328 e) 330

c) 334

10) El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?



a) 7 d) 6

b) 9 e) 5

c) 8

11) El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número.



a) 72 d) 56

b) 80 e) 76

c) 64

c) 9

6) La suma de dos números consecutivos es 91. Halla el número mayor.

I BIMESTRE

7) La suma de dos números pares consecutivos es 110. Halla el menor de los números.

a) 46 d) 91

b) 71 e) 45

c) 81

RAZ. MATEMATICO / 1ER. AÑO 23

De "MARIANISTA" Corazón hasta la muerte I.E.

12) Si al doble de un número natural, aumentado en 3 se eleva al cuadrado, resulta mayor en 10 que 111. El cuádruple del número es:

a) 4 d) 36

b) 16 e) 32

I.E.primera "MARIANISTA" La INTELIGENCIA como opción

18) David y Sonia tienen juntos S/. 480 pero Sonia tiene S/. 60 más que David. ¿Cuánto tiene David?

24) Entre A, B y C tienen 140 soles. Si C tiene la mitad de A y A tiene 10 soles más que B, ¿cuánto tiene A?





c) 42

13) El perímetro de un rectángulo es de 84 m. Si el largo excede en 8 m al ancho, ¿cuál es el área del rectángulo?

19) La suma de cinco números consecutivos es 475. Halla el número intermedio.

a) 400 m2 b) 420 m2 c)240 m2 d) 360 m2 e) 425 m2



14) El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay?

a) 7 d) 15

b) 10 e) 35

a) 5 d) 13

b) 7 e) 15



b) 260 e) 250

a) 13 d) 16

b) 12 e) 17

c) 11

c) 256

b) 60 e) 55

c) 65



a) 45 d) 5

b) 15 e) 60

c) 30

22) Halla dos números consecutivos, tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23.

a) 17 y 18 b) 18 y 19 c)19 y 20

d) 20 y 21 e) 21 y 22

23) ¿Cuántos buzos tiene Diego si sabemos que al octuplicarlos y restarle ocho, obtenemos siete veces dicha cantidad aumentada en tres?



a) 15 d) 14

b) 11 e) 16

c) 13

c) S/. 50

a) 5 cm d) 8 cm

b) 6 cm e) 12 cm

c) 7 cm

26) En una fiesta el número de hombres es cinco veces más que el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántos hombres hay?

a) 36 d)7

b) 35 e) 5

c) 6

27) Una casaca cuesta igual que cierto reloj, pero el costo de una camisa es la tercera parte del costo de dicho reloj. Si la casaca y la camisa juntas cuesta 80 soles, ¿cuánto cuesta la camisa?

a) S/. 60 b) S/. 50 d)S/. 30 e) S/. 20

c) S/. 40

28) El perímetro de un rectángulo mide 126 cm. Si su base es el doble de su altura, ¿cuáles son sus dimensiones? a) 20 y 40 cm d) 23 y 46 cm b) 21 y 42 cm e) 18 y 36 cm c) 22 y 44 cm

c) 14

IRAZ. BIMESTRE MATEMATICO / 1ER. AÑO 24

a) 50 d) 45

21) El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45. ¿Cuánto tengo?

17) ¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en 24 es tanto como su quíntuplo más 60?

c) 97

c) 5

16) Halla un número, tal que al agregarle 504 obtenemos su triple disminuido en 8. a) 262 d) 200

b) 95 e) 100

20) El triple del exceso de un número equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Halla el mencionado número.

Nivel II



a) 93 d) 99

a) S/. 60 b) S/. 30 d) S/. 40 e) S/. 45

25) La cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mide el triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm de largo, ¿qué longitud tiene la cabeza?

15) Si los tres lados de un triángulo miden 2x + 3, 3x - 1 y 4x + 3 centímetros y el perímetro de la figura es de 23 cm, indica el mayor de estos lados.

a) S/. 270 b) S/. 240 c)S/. 210 d) S/. 180 e) S/. 220

RAZ. MATEMÁTICO I/ BIMESTRE 1ER. AÑO 24

I.E. "MARIANISTA"

De corazon hasta la muerte

4Ta

Edades Objetivos 1. Ejercitar la capacidad de resolver los diferentes tipos de ejercicios sobre edades. 2. Utilizar de manera adecuada, las tablas de doble entrada paralaresolucióndeejercicios sobre edades que involucren a dos o más sujetos. 3. Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera rápida y sencilla. 4. Consolidar lo aprendido en el tema “Planteo de Ecuaciones”, mediante la resolución de ejercicios que constituyenunacontinuación de dicho tema ya estudiado. 1. INTRODUCCIÓN Debidoaqueestosproblemassobre edades tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron este tipo de problemas en el capítulo anterior sobre planteo de ecuaciones? Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prácticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es por ello queameritansertratadosenuncapítulo aparte en el cual se propondrán otras técnicas de planteo y resolución de problemas. La importancia del tema aquí desarrollado, queda en evidencia por cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones, y consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior. I BIMESTRE

Sesión

2. OBSERVACIÓN

Tiempos

En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: sujetos, tiempos y edades. Sobre ellos trataremos a continuación. 3. NOCIONES PREVIAS

Futuro En un problema pueden darse uno o más futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Expresiones Dentro de... Tendré... Tendremos, Tuviésemos, Tendrás, ... La suma de nuestras edades será..., etc.

3.1. Sujetos Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Ejemplo: Gisela es cinco años menor que Jorge pero tres años mayor que Janeth. 3.2. Tiempos Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problemaocurrenentiemposdiferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretación. Es decir: Tiempos

Expresiones

Presente En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Tengo... Tenemos... Tienes... Hoy la edad... La suma de nuestras edades es..., etc.

Pasado En un problema pueden darse uno o más pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Hace... Teníamos... tuvimos ... Tenía, tuve, ... Tenías, tuviste, ... La suma de nuestras edades fue..., etc.

3.3. Edad La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes. Ejemplo: Hoy tengo 26 años, pero dentro de cuatro años tendré el doble de la edad que tenía hace 11 años. Tiempo

Edad

Hace 11 años Hoy

15

Dentro de 4 años

30

26

Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos.

RAZ. MATEMÁTICO / 1ER. AÑO 25

De corazon hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

* Con un solo sujeto

Por condición del problema:

Cuando interviene la edad de un solo sujeto. Ejemplo:

3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36 x = 9 (Edad de Ángel)

Resolución:

Respuesta: 9 años

Dentro de 20 años tendré tres veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace tres años? Resolución: Asumiendo la edad actual “x” años: hace 10 años x - 10 pasado

dentro de 20 años

x presente

1. Hoy tengo 20 años, ¿podrías decir qué edad tenía hace seis años y cuántos años cumpliré dentro de ocho años? Resolución: hoy tengo hace 6 años

Por condición del problema:

* Con varios sujetos Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.

Ejemplo:

La edad de Sara es el triple de Ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad Ángel tiene:

dentro de 8 años

20 años

x + 20 = 3(x - 10) x + 20 = 3x - 30 20 + 30 = 3x - x 50 = 2x x = 25 ⇒ Edad actual es 25 años. ∴ Hace tres años tuve 22 años.

hoy tengo

Ejercicios Resueltos

x+20 futuro

Tiempo Presente

2. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace cinco años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuánto me falta para cumplir 60 años? Resolución: hace 5 años x-5 pasado

dentro de 10 años

x presente

x+10 futuro

Resolución:

Por condición del problema:

Desarrollemos el cuadro:

4(x + 10) - 3(x - 5) = 2x x + 55 = 2x x = 55 (edad actual)

Presente Pasado

Sara Ángel

dentro de 5

3x

3x+5

dentro de 5

x

x+5

RAZ. MATEMÁTICO / 1ER. AÑO 26

3. S i a c t u a l m e n t e t e n g o 1 6 años, ¿podrás completar el siguiente esquema que se da a continuación?

∴ Para cumplir 60 años me faltan: 60 - 55 = 5 años

hace 12 años

dentro de 14 años dentro de 8 años

hace 5 años

Presente

¿Sabias Qué? En todo análisis de datos, es muy importante que distingamos los valores absolutos (frecuencias a b s o l u t a s ) d e l o s v a l o re s porcentuales (frecuencia relativa). Veamos un ejemplo. Compararemos el número de enfermos de SIDA entre el País X (10 000 casos) y el País Y (20 000 casos). ¿Es más la influencia epidemiológica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la enfermedad más desarrollada. Pero este dato puede ser engañoso, porque si sabemos que: El país X tiene 100 000 habitantes, y el país Y tiene 2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que la enfermedad es más preocupante? Ciertamente en el país X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la población está enferma. En cambio en el país Y sólo el 1% de la población está enferma. Ahora sí podemos comparar los datos.

% I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De corazon hasta la muerte

EJERCICIOS DE APLICACION 7) Yo tengo 9 años y mi mamá, cuatro veces mi edad. ¿Cuántos años tiene mi mamá?

Nivel I 1) Dentro de 34 años Lizet tendrá 63 años. ¿Qué edad tiene actualmente?

a) 23 años b) 26 años c) 27 años d) 29 años e) 30 años

2) Si Margarita tiene 13 años, ¿cuánto le falta para tener 67 años?

a) 36 años b) 47años d) 67 años e) 74 años

c) 54 años

3) ¿Cuántos años transcurrieron desde 1943 hasta el año 2004?

a) 51 d) 71

b) 54 e) 82

c) 61

4) Dentro de 26 años Abel tendrá 71 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

a) 42 d) 52

b) 45 e) 60

c) 48



a) 24 d) 48

b) 32 e) 38

c) 36

8) Sally tiene 8 años y María 15 años. ¿Cuál será la suma de sus edades dentro de tres años?

a) 26 años b) 27 años c) 29 años d) 32 años e) 30 años

9) Una madre tenía 22 años cuando nació su hija. ¿Cuál será la edad de la madre cuando su hija cumpla 17 años?



a) 1985 d) 1988

b) 1989 e) 2006

c) 1986

14) Julia nació en 1986. ¿En qué año cumplirá 32 años?

a) 2018 d) 2015

b) 2019 e) 2020

c) 2017

15) Hace 10 años tenía 5 años. ¿Qué edad tendré dentro de 6 años?

a) 35 años b) 37 años c) 39 años d) 41 años e) 40 años

10) Si a la edad actual de Sergio se le suma 19, tendría la misma edad de Carla, que tiene 57 años. ¿Cuál es la edad actual de Sergio?

13) Patricio este año cumple 19 años. ¿En qué año nació Patricio?

a) 20 años b) 21 años c) 16 años d) 22 años e) 23 años Nivel II

16) Dentro de dos años tendré el doble de la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál es mi edad actual? a) 16 años b) 24 años c) 15 años

a) 36 años b) 38 años c) 40 años d) 42 años e) 43 años

d) 22 años e) 18 años

5) Un niño tiene 8 años y 6 meses. ¿A cuántos meses equivale su edad?

11) Si a la edad actual de Pedro le aumentas 16 y le disminuyes 9 te da 24. ¿Cuántos años tiene Pedro?

17) Si tengo 32 años, ¿dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 12 años?







a) 98 d) 104

b) 100 e) 110

c) 102

a) 17 d) 20

b) 18 e) 22

c) 19

6) Juana es 15 años mayor que su hermano Pepe quien tiene 9 años. ¿Cuál es la suma de las edades de los dos?

12) Betty tiene la mitad de la edad de Melanie, Melanie el triple de la edad de Lizet. Si Lizet tiene 8 años, ¿cuál es la suma de las 3 edades?





a) 18 años b) 33 años c) 22 años d) 16 años e) 24 años

I BIMESTRE

a) 10 d) 4

b) 12 e) 8

c) 6

a) 32 años b) 44 años c) 36 años d) 40 años e) 30 años RAZ. MATEMÁTICO / 1ER. AÑO 27

De corazon hasta la muerte

18) Si tengo 28 años, ¿dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 18 años?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

19) Si tengo 24 años, ¿hace cuántos años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 16 años?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20) Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuántos años tengo?

a) 29 d) 31

b) 32 e) 33

c) 30

21) ¿Qué edad tengo si la edad que tenía hace 10 años es a la edad que tendré dentro de 50 años como 1 es a 4? a) 20 años b) 40 años c) 50 años

d) Sólo III e) Ninguna

23) Laura dice: “Dentro de tres años tendré el doble de lo que tenía hace siete años”. Halla la raíz cuadrada de la edad de Laura aumentada en 8.

a) 17 d) 9

b) 25 e) 5

c) 14

RAZ. MATEMÁTICO / 1ER. AÑO 28

24) Dentro de 13 años el joven Miguel, tendrá ocho veces la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál será su edad dentro de 24 años? a) 35 años d) 50 años b) 40 años e) 55 años c) 45 años

25) Hace ocho años la edad de A era el triple que la de B y dentro de cuatro años la edad de B será los 5/9 de la de A. Halla la edad actual de A. a) 16 años d) 18 años b) 32 años e) 36 años c) 24 años

29) En el siguiente esquema, halla x. Pasado Presente Futuro Lolo 12 18 y Coco x 20 30



a) 14 d) 10

b) 16 e) 15

c) 12

30) En el esquema anterior, halla y. a) 26 b) 32 c) 24 d) 28 e) 25

26) Dado el siguiente esquema, halla 2x.

Lili Malú

d) 60 años e) 30 años

22) Kiko tiene 14 años menos que Adrián y ambas edades suman 56 años. Se deduce que: I. Kiko tiene 21 años. II. Kiko tiene 35 años. III. Adrián tiene 18 años. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

I.E. "MARIANISTA"



a) 8 d) 16

Pasado Presente 3x 38 26 5x b) 12 e) 20

c) 18

27) En el siguiente esquema, halla x Alfredo Luis



a) 31 d) 30

Pasado Presente 30 36 24 x b) 34 e) 28

c) 32

28) En el siguiente esquema, halla x

Carmen Diana

a) 50 d) 60

Pasado Presente 40 x x 80 b) 52 e) 66

c) 55

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

La INTELIGENCIA como primera opción

Cálculos Básicos I

Resolución de ecuaciones de primer grado.

Objetivos CIENCIA

Adiestrar en el cálculo y en el razonamiento matemático, y resolver ecuaciones de primer grado.

1. OPERACIONES COMBINADAS Ejemplo:

Ejemplo:

• 8 + (-7) + 15 ÷ (-3) 1

+

(- 5)



• 9 x (-5) + 28 ÷ (-7)

=-4

- 45

Ejemplo:

16

+

-4

= - 49

Ejemplo:

• (128 ÷ 8)x(24 ÷ 8 )+(18 x 15)-3 3 = x

23 + 9 - 1 + 32

+ 270 - 27 =291

48

Se considera que la aritmética es casi contemporánea del hombre a quien la necesidad obligó a contar, primero con los dedos de las manos, base sin duda del sistema decimal que hoy prevalece, luego con ábacos y posteriormente usando símbolos, cuyo origen se remonta unos 3 mil años a.C., en la aritmética comercial sumeria y en la geometría caldea utilizada en mediciones agrarias. En la medida que las relaciones de producción evolucionaban, se plantearon nuevos problemas queimplicabannuevosmétodos de solución. Así se pudo prever las crecidas del río Nilo y por tanto establecer los periodos favorables del año para la siembra y la recolección. Por otro lado, el problema de medir tierras cultivables hizo que los egipcios fueran los primeros matemáticos.

• 27 ÷ 24 + 32 - 30 + 16 x 2

+ 270 - 27

3

Sesión Historia:

CÁLCULOS CIENCIABÁSICOS

Operaciones combinadas con números racionales.

1ra

17

+ 31 = 48

Ejemplo: • (16 x 5) ÷ (30 ÷ 3 ) + (25 x 3) ÷ (75 ÷ 5 ) - 22 80

÷ 8

I BIMESTRE

10

75 ÷

+ +

5

15

-4 -4 =9 ARITMÉTICA / 1ER. AÑO 31

La INTELIGENCIA como primera opción 5.

Entérate: La Aritmética, que etimológicamente proviene de la voz griega aritmós, que significa número, es parte de la matemática que estudia los conceptos y correspondientes métodos de cálculo. Los griegos distinguían en realidad, entre la Aritmética, que era más o menos la Teoría de Números, y la Logística, que era algo así como una aritmética aplicada o técnicas de cálculo.

n

a = a x a x a x .... x a n factores a ≠ 0; n ∈ Z

+

a xa =a

1.

m+n

Ejemplo: • 32 x 33 = 32+3 = 35 = 243 am = am-n an

2.

Ejemplo: • 3.

23 = 23-1 = 22 = 4 21

1 a = n a -n

Ejemplo: • 3-1 = 4.

1 3

(am)n = am.n Ejemplo: • (23)2 = 23.2 = 26 = 64

ARITMÉTICA / 1ER. AÑO 32

Ejemplo: 2

Ejemplo: 2

3

• (2 x 3) = 2 x 3 = 36 6.

Si

n

n  a = a  b bn

x 5

= 4 , calcula ‘‘x’’. 10

Resolución En aspa:

10x = 20 x=2

Ejemplo: •

3

 3  = 33 = 27  4 43 64

Ejemplo: Si

x+5 = 3 , calcula ‘‘x’’. x-3

Resolución x +5 = 3(x - 3) x +5 = 3x - 9 14 = 2x 7 = x

En aspa:

Ejemplo: Si n(n+1) = 90, calcula n si n ∈ Z+. Resolución

Propiedades n

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

(ab)n = an x bn

3. FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS

2. POTENCIACIÓN

m

I.E. "MARIANISTA"

90 45 15 5 1

2 3 3 5

9 10

Ejemplo: Será: 9 x 10 Luego: n = 9

Resolución

Ejemplo: Si 210 es el producto de 3 números consecutivos, calcula el menor.

2 3 5 7

6

Edad :x Triple de la edad : 3x Le restas mi edad : 3x - x Tendrías 60 : 3x - x = 60 Luego: 2x = 60 x = 30

Resolución 210 105 35 7 1

Si al triple de la edad que tengo le restas mi edad, tendrías 60. ¿Qué edad tuve hace 7 años?

Será: 5 x 6 x 7 El menor será 5

∴ Hace 7 años tuve: 30-7=23 años Ejemplo: Tres números enteros positivos consecutivos suman 90. Calcula el mayor. Resolución Sean los números x - 1 ; x ; x + 1 cuya suma es: x - 1 + x + x + 1 = 90 3x = 90 x = 30 ∴ El mayor es: 30 + 1 = 31 I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

La INTELIGENCIA como primera opción

Ejemplo:

6) Calcula:

¿A qué es igual?



16 ÷ 2) - (35 ÷33) +1

E=(

16 ÷ 2) - (35 ÷33) +1

E=(

1)

(2 ÷ 2) - (35-3) +1 1

- (32) + 1

1

- 9 +1

-7 Ejemplo: 3 ? 1+1/8  

¿A qué es igual 8 ÷ 

2)

Resolución 3 1 9 8

  = 8 ÷   = 8 ÷  249      3 9 8

Luego: 8 ÷  24  =  9 

8 24 9

   

8 1 = 24 9

Si: A = -15 +((18 - 16)+ 19) - 3 (15 - 4) B = - 91 - (16 - 17 - 17) -2 (-18), halla A + B. a) 69 b) - 27 c) - 64

- 8 +1

8 ÷

a) - 7 b) 9 c) - 8

Nivel I

Resolución

3)

  = 72   24 = 3

M = -35 -5 (8 - 16) +(16 - 19) + 26 N = 45 - 35 (17 - 23) - (15 + 16), halla M - N. d) 198 e) 196

Si: A = - 25 - 17 - 5(6 - 7) - 3 (-5) B = - 15 +19 - 6(8 - 7) - 2 (-3), halla A x B. a) 88 b) - 88 c) 22

4)

d) - 69 e) - 8

Si:

a) -194 b) - 196 c) - 198

d) - 26 e) - 22

d) - 9 e) 7

7) Calcula: 5 - 7 (- 2) - (3 - 4) ÷ (- 1 ) - (-5) a) 23 b) - 23 c) 22

d) - 26 e) - 22

8) Efectúa: (- 7) (17) - (15 - 14) - 2 (13 - 5) a) 136 b) - 22 c) - 136

d) - 88 e) 88

9) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso: I. 5x + 3 = 6x - 9 II. 2x - 17 = 3 (x + 5) III. 5(x - 7) - 4(x - 3)= 6 a) b) c) d) e)

I. -9 ; II. 22 ; III. 39 I. 6 ; II. 32 ; III. 19 I. 12 ; II. - 32 ; III. 29 I. 9 ; II. 22 ; III. 19 I. 12 ; II. 32 ; III. - 29

Si: M = 4 - 15 + 19 - 2 (16 - 23) N = - 19 - 35 - 3 (5 - 7) - (- 8), halla M x N. a) 880 b) - 22 c) - 880

d) - 88 e) 88

5) Calcula: -(-2 ) - (-3) (-5) - (-30) ÷ (-2) a) 28 b) - 27 c) - 64 I BIMESTRE

- 2 (3 - 5) - (-2) (- 7 + 9) - (-1)

d) - 28 e) 39

10) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso: I. 8x - 11 = 7x + 19 II. 3x - 16 = 4(x - 16) III. 2(x - 13) - 3(x - 5) = 11 a) I. 8 ; II. 32 ; III. 44 b) I. 30 ; II. 48 ; III. - 22 c) I. 30 ; II. 48 ; III. 22 d) I. 8 ; II. 32 ; III. - 44 e) I. - 8 ; II. 64 ; III. 33

ARITMÉTICA / 1ER. AÑO 33

La INTELIGENCIA como primera opción

11) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso y relaciona correctamente.

I. 4x 20 = 5 25 II. 2x 48 = 5 20 III. x 5 = 6 2 a) IC ; IIB ; IIIA b) IB ; IIC ; IIIA c) IB ; IIA; IIIC d) IC ; IIA ; IIIB e) IA ; IIC ; IIIB



A) 6

x 84 I. = 6 56 x 60 II. = 3 15 3x 15 III. = 13 65



a) b) c) d) e)

14)

Relaciona correctamente. I. 600 II. 960 III. 504 a) b) c) d) e)

B) 15 C) 1

A. 21(21 + 3) B. 4 x 5 x 6 x 8 C. 24 x 25

IA ; IIB ; IIIC IB ; IIA ; IIIC IC ; IIA ; IIIB IC ; IIB ; IIIA IB ; IIC ; IIIA

15) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

12) Halla el valor de ‘‘x’’ en cada caso y relaciona correctamente:

I.E. "MARIANISTA"



I. 24 = 16



II. (-3)2 = 9



III. 23 x 25 = 28



5 IV. 3 = 33 32

a) FFFV b) FFVV c) FVVV

A) 12

Nivel II

B) 6 C) 9

IC ; IIA ; IIIB IC; IIB ; IIIA IB; IIA ; IIIC IA ; IIC ; IIIB IA ; IIB ; IIIC

d) VVVF e) VVVV

16) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

I.

3

64 = 16

(

)

II. 212 = 212/6

(

)



III. 16 = 2 (

)



IV.

6 4

81 =

4

81

(

)

13)

I. 736 A. 28(28+7) II. 756 B. 21 x 36 III. 980 C. 23 x 32 a) IA ; IIB ; IIIC b) IC; IIA ; IIIB c) IC; IIB ; IIIA d) IB ; IIA ; IIIC e) IB ; IIC ; IIIA

ARITMÉTICA / 1ER. AÑO 34

a) VVFF d) FFVV b) VFFF e) VVVV c) FVVV

Relaciona correctamente.

17)



Si: 3 M = 8 x (- 6)2 - (-5)3 (3) y N = (-2)3 x (-2)2 - (-3)3 (3)2 - 4, halla M - N. a) - 684 b) 524 c) - 240

d) 694 e) 240

18)

Si: 3 A= 125 - 64 (-2)3 - (-5)3 y B = - 144 - 121 x(-3)3 - (-3)2 (-2)2, halla A + B. a) 441 d) 444 b) 442 e) 445 c) 443

19) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. I. 960 = 2 (320) + 1 (320) II. 480 = 20(20 + 4) III. 14400 = 122 x 102 a) FFF d) VVV b) FVF e) VFF c) VFV 20) Coloca verdadero (V) o (F), según corresponda. I. 560 = 2 0 x (20 + 7) ( II. 22500 = 52 x 102 III. 250 = 4(50) + 1 (50) a) FVF d) VVV b) FFV e) FVV c) VVF

falso

) ( ) ( )

21) Relaciona correctamente. I. 2 A. (-50)2 - (-2) II. -1 B. (-1)0 - 1 (-1) III. 3 C. -( -1)0 a) IA ; IIB ; IIIC b) IC ; IIA ; IIIB c) IC ; IIB ; IIIA d) IB ; IIA ; IIIC e) IB ; IIC ; IIIA 22)

Relaciona correctamente. I. 1 A. 5(-1) - (-6) II. 2 B. -(-5)0 - (- 4) III. 3 C. ( -1)0 - (- 1) a) b) c) d) e)

IA ; IIB ; IIIC IB ; IIA ; IIIC IC ;IIA ; IIIB IC ; IIB ; IIIA IA ; IIC ; IIIB I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Cálculos Básicos II Ejemplo: Operaciones combinadas CIENCIA

¿A qué es igual (-1)(-3)+(-3)3(-2)-[(-3)(-5) ÷ (15)]?

Factorización de ecuaciones Resolución Resolución de ecuaciones

(-1)(-3) + (-3)3 (-2) - (-3)(-5) ÷ (15) (+3) + (-27)(-2) - (+15) ÷ (15) (3) + (54) (1)

OBJETIVO Adquirir habilidad operativa simplificando operaciones aritméticas y sobre todo en resolución de ecuaciones de primer grado.

OPERACIONES COMBINADAS 1. LEY DE SIGNOS Multiplicación ( + ) ( + ) ( - ) ( - )

( + ) ( - ) ( + ) ( - )

= + = = = +

División (+) =+ (+)

( - ) = (+)

(+) = ( - )

( - ) =+ ( - )

 En operaciones de adición y sustracción el signo depende del número mayor. I BIMESTRE

57

-

1 56

Ejemplo: Calcula A: A =(-3)2÷(3)-

81x(-2)2+18÷(3- (.3))

Resolución (9) ÷ (3) - 3 x (4) + 18 ÷ (6) (3)

-9

12

+

+



3

2da

Sesión La invención de los números data de los albores de la humanidad, de allí que el profesor Puig Adam de la Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales dijera que‘‘la Matemática es tan vieja como el instinto de propiedad, es decir, tan antigua como el hombre’’. Y agregara: ‘‘Éste se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo lo llevó a contar sus rebaños y a medir sus tierras’’. Pero, ¿cómo contaban sus ovejas, sus bueyes o sus caballos? Pues por medio de guijarros (piedras), que iban colocando en un recipiente de barro, uno por cada animal que hacían entrar en el redil . He aquí como se manifestaba su instinto de propiedad. También, y con el mismo fin, solían hacer marcas en los árboles.

3 -6

FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS  Factoriza 316. 316 2 158 2 79 79 1 ∴ 316 = 2 x 2 x 79 ARITMETICA / 1ER. AÑO 35

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

 Factoriza 325.

Resolución

325 5 65 5 13 13 1

441 3 147 3 49 7 7 7 1

∴ 325 = 5 x 5 x 13 Ejemplo:

Resolución En (1) : MCM : 2 x 3 x 5 = 30

9

15x + 10x + 6x = 62 30 31x = 62 30

2

7

Luego : 72 x (7 + 2) ∴ K=7

ECUACIONES

Si n(n + 2) = 143, n ∈ Z+, calcula “n”.

Ejemplo: Resolución Cinco números consecutivos suman 175. Calcula el mayor.

Factorizamos 143 143 11 13 13 1

∴ 143 = 11 x 13

Ejemplo: El producto de 2 enteros positivos que se diferencian en 3 es 208. Calcular el mayor.

Resolución

Dos números suman 304 y su diferencia es 26. Calcula el mayor.

n(n + 3) = 208

Resolución

Factorizando : 208 2 104 2 52 2 26 2 13 13 1

16

Luego : 13 x 16. ∴ el mayor es 16 Ejemplo: Si K2(K + 2) = 441, calcula K.

ARITMETICA / 1ER. AÑO 36

1 11

EJERCICIOS DE APLICACION Nivel I

∴ el mayor es : 35 + 2 = 37 Ejemplo:

Resolución

En (2) : (en aspa) 13(y + 1) = 2(y + 7) 13y + 13 = 2y + 14 11y = 1 1 y= 11 1 ∴ x + y = 60 + 11 x + y = 60

Sean los números: n - 2; n - 1, n, n + 1, n + 2 sumando n-2+n-1+n+n+1+n+2 = 175 5n = 175 n = 35

Luego : n = 11

x = 60

Los números son n y n + 26. Luego : n + n + 26 = 304 2n = 278 n = 139 ∴ el mayor es : 139 + 26 = 162 Ejemplo: Calcula x + y si: 1)

x x + + 2 3

x = 62 5

2) y + 1= y + 7 2 13

1) Halla A + B si: A = 8 + (-7) + 15 ÷ (-3) B = (24 ÷ 8) x (160 ÷ 10) + (18 x 15) - 33 a) 304 b) 287 c) 300 d) 432 e) 329 2) Halla P + Q si: P = 9 x -5 + 28 ÷ -7 Q = (800 ÷ 10) ÷ (30 ÷ 3) + 75 ÷ 15 - 22 a) 40 b) -40 c) -49 d) 49 e) 9 3) Efectúa: 6 15 6 3 x x ÷ 25 21 5 21 a) 1/5 d) 2/3

b) 2/5 e) 6/5

c) 3/2

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

4) ¿A qué es igual? 12 15 5 6 x x x 6 6 20 7



a) 15/14 b) 7/14 d) 5/7 e) 16/15

c) 2/7

5) Calcula los 4/5 de los 10/27 de 810. a) 80 d) 180

b) 100 e) 240

c) 120

6) Calcula los 9/11 de los 4 8/9 de los 25/16 de 64. a) 100 d) 400

b) 200 e) 500

c) 300

c) 8b

8) Reduce: -2(3x-4)-3(4x - 5) + 4(5x - 6) a) 2x - 1 b) 2x + 1 c) -2x - 1 d) -2x + 1 e) 2x 9) Reduce:

a) -1 d) 2

32 - 5m 5m - 20 = 3 3 b) 0 e) 3

c) 1

13) Resuelve: x 1 x 1 x 1 1 x - + = + 3 3 4 4 5 5 6 6 a) 0 d) 5

b) 1 e) 4

c) 2

14) Calcula el valor de “a” en :

a) -1 d) -2

b) 0 e) 2

c) 1

15) Calcula x si: 5 3 2 x+ x = 70 x 9 5 5 a) 45 b) 90 c) 135 d) 180 e) 225 Nivel II

b) 3 e) 9

c) 5



2 x x+ = 26 3 5 d) x = 30 e) x = 60

10) Reduce:

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

17) Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 25. a) 6 d) 12

b) 8 e) 5

c) 10

11) Calcula x si: 2x . 19 - 2x = 2x - 11 2 2 a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 6

I BIMESTRE

18) ¿Cuál es el número cuyo cuadrado aumentado en 30 es igual a 430? a) 10 d) 15

b) 10 e) 7

c) 8

20) L a s u m a d e 3 n ú m e r o s consecutivos es igual a 18. Halla el número mayor. a) 5 d) 8

b) 7 e) 9

c) 4

21) La suma de 3 números pares consecutivos es igual a 78. Halla el número mayor. a) 22 d) 28

b) 24 e) 30

c) 26

22) Si la suma de 3 números impares consecutivos es igual a 69, halla el número mayor. a) 25 d) 21

b) 27 e) 23

c) 29

23) Si la suma de 2 números es 38 y su diferencia 12, halla el número menor.

a) x = 18 b) x = 20 c) x = 24

4(x + 16) + 9(x + 4) - 13x

19) Si se sabe que la suma de 3 números enteros consecutivos es igual a 30, halla el número mayor. a) 9 d) 11

16) Resuelve:

2(x+2)+3(x+3)+6(x+6)- 11x a) 1 d) 7

4m .

2a 3 5a 2 3a 6a 6 5 = + + + 7 4 9 7 4 13 13 9

7) Efectúa: 2(a - b) + 4(a + b) - 6(a - b) - 8(a + b) a) -4a b) -8b d) 4a e) -8a

12) Calcula m si:

b) 20 e) 30

c) 5

a) 7 d) 13

b) 18 e) 15

c) 17

24) Si la diferencia de 2 números es 26 y la suma de ellos es 42, halla el menor. a) 8 d) 7

b) 6 e) 9

c) 10

25) Halla “P + Q” si : P = 4 + (.7) + 15 ÷ 5 x 2 Q = (32 ÷ 2) x (150 ÷ 15) + (12 + 32) a) 181 d) 177

b) 3 e) 160

c) 184

ARITMETICA / 1ER. AÑO 37

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Numeración I

Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar números.

Número – Numeral – Cifra Base

Sistemas de Numeración

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de unidades que formará una unidad del orden inmediato superior.

Sistema Decimal

Lectura y Escritura

Valor Absoluto Valor Relativo

OBJETIVO Formar, representar y expresar los números del sistema decimal.

Numeración es la parte de la aritmética que estudia la formación, representación y expresión de los números.

Sesión Sistema de Numeración

NUMERACIÓN I

Definición

3ra

Lectura y escritura de números enteros positivos del sistema decimal SISTEMA DECIMAL

NUMERAL Es la representación de un número mediante el uso de símbolos.

Es aquel sistema que emplea base 10, y se le llama también sistema décuplo. Según la historia, el 10 se debe a los dedos de las manos. Este sistema emplea, al representar sus números, las cifras del 0 al 9. Del 1 al 9 se les llama «cifras significativas», mientras al 0 (cero) se le llama «cifra auxiliar».

Ejemplo:

Conceptos Previos

Se puede representar por: 4 ; IV; III, etcétera.

NÚMERO

CIFRA

Ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

Símbolos que convencionalmente se utilizarán en la representación de los numerales. 0; 1; 2; 3; ...

ARITMETICA / 1ER. AÑO 38

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1. Al escribir un número, la posición de cada cifra se llama «orden» y éstas, de derecha a izquierda, se denominan unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, etc. Ejemplo: 4 3 5 7 2 9 0 1.er orden : unidades (u) 2.° orden : decenas (d) 3.er orden : centenas (c) 4.° orden : millares (m) 5.° orden : decenas de millar (dm) 6.° orden : centenas de millar (cm) 7.° orden : millones (M) 2. El numeral del sistema decimal de cada grupo de 3 cifras de derecha a izquierda se llama clase y de cada grupo de 6 cifras se llama periodo. El periodo comprende 2 clases que se llaman clase de unidades y clase de millares. 3. Lectura : a. Menos o igual a 6 cifras : Se lee: 23 veintitrés unidades. Ejemplo 1: Ejemplo 2:

7234

siete mil doscientas treinta y cuatro unidades.

Ejemplo 3:

625300

seiscientos veinticinco mil trescientas unidades.

b. Más de 6 cifras : Se les agrupa de 6 en 6, cada grupo se lee como lo anteriormente indicado seguido del nombre del periodo correspondiente. PERIODO TRILLONES

PERIODO BILLONES

PERIODO MILLONES

PERIODO UNIDADES

clase clase clase clase clase clase unidades millares unidades millares unidades millares c d u c d u c d u c d u c d u c d u 2 5 3 2 5 4 2 5 7 6 8 3 9 6 7 8 0 3 2 0 3 2 5 6 4 3 7 6 7 5 6 9 2 0 3 5 9 3 6 0 0 2 4 0 2 6 5 2 3 4 5 2 3 8 4 3 2 5 7 0 0 0 0 0 7 2 0 3 0 0 0 3 4 5 4 3 2 5 6

I BIMESTRE

¿Sabias Qué? Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los corrrespondientes a las potencias de 10.

Ejemplo 4: Se lee: 25 veinticinco unidades 325 trescientas veinticinco unidades 4257 4 mil 257 unidades 68396 68 mil 396 unidades 780320 780 mil 320 unidades 3256437 3 millones 256 mil 437 unidades 67569203 67 millones 569 mil 203 unidades 593600240 593 millones 600 mil 240 unidades 2652345238 2 mil 652 millones 345 mil 238 unidades 43257000007 43 mil 257 millones 7 unidades 20300034543256 20 billones 300 mil 34 millones 543 mil 256 unidades

ARITMETICA / 1ER. AÑO 39

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejemplo 5: ¿Cómo se denomina el orden del 5 de los numerales indicados en el esquema? TRILLONES

BILLONES

MILLONES

UNIDADES

clase clase clase clase clase clase clase clase millares unidades millares unidades millares unidades millares unidades c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u 5 3 2 5 0 2 4 3 4 3 5 0 0 0 0 2 1 5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0 4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 Se lee : 5 3 2 → centena 5 0 2 4 3 → decena de millar 4 3 5 0 0 0 0 2 1 → millón 5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0 → centena de millar de millón 4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4 → decena de billón 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 → centena de millar de trillón

Es el valor que tiene la cifra por la posición que ocupa.

Ejemplo 7: Periodos Escribe

unidades

5 6 2 7 4 VA=2

VR=200

2 1 3 4 6 7 VA=1

VR=10000

4 0 7 5 6 9 6 3 VA=7 VR=700000

}

VR=30

ARITMETICA / 1ER. AÑO

Luego : 180000 000003 000050 un espacio libre }

.

4 3 2 VA=3

40

millones

1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0

Indica el VA y VR de las cifras que se indican por un

180 mil billones 3 millones 50 unidades billones

Ejemplo 6:

}

VA L O R R E L AT I V O D E U N A CIFRA (VR)

}

Es el valor que representa la cifra.

}



4. Escritura: Se efectúa rápidamente un esquema con los periodos mencionados, dentro del cual se anotan las cifras en grupos de a 6, completando con ceros a la izquierda si faltan. Cada 6 cifras se deja un espacio en blanco.

}

VA LO R A B S O LU TO D E U N A CIFRA (VA)

Ejemplo 8: Escribe

4372 trillones 120 mil millones 174 unidades.

trillones

billones

millones

unidades

4 3 7 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 7 4 Luego : 4372 000000 120000 000174 I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

EJERCICIOS DE APLICACION Nivel I 1)

7)

La cifra de mayor orden del numeral 54310034979 es:



a) 4 b) 3 c) 1

Completa, ¿cuántas cifras significativas tienen los numerales siguientes?

d) 9 e) 5



347 ....... cifras significativas 450 ....... cifras significativas 258008 ....... cifras significativas

8)

La cifra de mayor orden del numeral 145349678.

2)

La suma de las cifras significativas impares de 620431005 es:



a) 8 b) 5 c) 4



a) 8 b) 9 c) 10

9)

Indica la suma de cifras de mayor y menor orden en 3614754310.

3)

¿Cuántas cifras significativas tienen los siguientes numerales?



854 ...... cifras significativas 18010 ....... cifras significativas 2180001....... cifras significativas

4)

La suma de las cifras significativas pares de 857418 es:

d) 11 e) 12



a) 20 b) 15 c) 12

5)

La cifra de mayor orden del numeral 725409068.



a) 9 b) 8 c) 7

6)

La cifra de mayor orden del numeral 12340028965.



a) 5 b) 8 c) 9

I BIMESTRE

d) 10 e) 9



d) 8 e) 10





a) 5 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

11) Indica la suma de las 2 cifras de mayor orden de 773254.

a) 9 b) 12 c) 13





a) 10 b) 9 c) 8

d) 3 e) 4

a) 9 b) 18 c) 81

d) 0 e) 10

Nivel II 16) El producto entre la cifra de mayor orden y la mayor cifra del numeral 502805 es:

a) 10 b) 90 c) 16

d) 25 e) 40

17) ¿Encuántoexcedelacifrademayor orden a la cifra de menor orden en el numeral 5436416131?

d) 14 e) 7

12) Indica la suma de las 2 cifras de menor orden de 3720570.

a) 5 b) 6 c) 7

15) El producto de las 2 cifras de mayor orden del mayor numeral de 4 cifras es:

10) Indica la suma de las 2 cifras de menor orden de 54310371.

d) 6 e) 5

d) 1 e) 0

a) 3 b) 4 c) 6

d) 3 e) 1

14) ¿En cuánto excede la cifra de mayor orden a la cifra de menor orden en el numeral 70250?

a) 5 b) 4 c) 3

d) 6 e) 8

18) ¿En cuánto excede la cifra de mayor orden a la cifra de menor orden en el numeral 84361034?

d) 7 e) 6

a) 8 b) 6 c) 5

d) 4 e) 1

13) ¿En cuánto excede la cifra de menor orden a la cifra de mayor orden, en el numeral 236025?

19) El producto de las 2 cifras de mayor orden del mayor numeral de 3 cifras diferentes es:





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

a) 81 b) 72 c) 64

d) 50 e) 90

ARITMETICA / 1ER. AÑO 41

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

20) El producto que se obtiene de la cifra de mayor orden y la mayor cifra del numeral 5436701 es:

27) Indica la suma de las cifras del mayor numeral de 5 cifras distintas.

33) Escribe el mayor numeral de 4 cifras cuyo producto de cifras es cero. La suma de cifras es:







a) 20 d) 18 b) 25 e) 35 c) 30

a) 36 d) 30 b) 34 e) 45 c) 35

21) Indica la suma de las cifras del mayor numeral de 4 cifras distintas.

28) Indica la suma de las cifras del menor numeral de 4 cifras significativas distintas.





a) 26 d) 29 b) 27 e) 30 c) 28

22) Indica la suma de las cifras del menor numeral de 4 cifras distintas.

a) 1 d)4 b) 2 e) 6 c) 3

23) Escribe el menor numeral impar de 4 cifras diferentes e indica la suma de ellas.

a) 2 d) 8 b) 3 e) 6 c) 4

24) Escribe el menor número de 5 cifras diferentes significativas. Da como respuesta la cifra de orden de centenas.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 8 c) 3

25) Escribe el mayor número de 5 cifras. Da como respuesta la cifra de decenas.

a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7

26) Escribe el mayor numeral de 5 cifras diferentes. Da como respuesta la cifra de centenas.

a) 9 d) 6 b) 8 e) 5 c) 7

ARITMETICA / 1ER. AÑO 42

a) 30 d) 8 b) 20 e) 6 c) 10

29) Escribe el mayor numeral de 5 cifras cuyo producto de cifras es cero. La suma de sus cifras es:

a) 0 d) 36 b) 45 e) 28 c) 24

30) Escribe el mayor numeral de 5 cifras cuyo producto de cifras es 7. La suma de sus cifras de mayor orden es:

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

Nivel III

a) 25 d) 30 b) 27 e) 35 c) 17

34) Escribe el mayor numeral de 4 cifras cuyo producto de cifras es 5. La suma de cifras es:

a) 8 d) 4 b) 6 e) 3 c) 5

35) Escribe el mayor numeral de 5 cifras cuyo producto de cifras es 1. La suma de cifras es:

a) 3 d) 8 b) 4 e) 9 c) 5

36) Escribe la lectura de los siguientes numerales indicados:

23472562

________________________ 120120120 ________________________ 30000030003

31) Escribe el menor numeral impar de 7 cifras cuyo producto de cifras es 6. Su cifra de segundo orden es:

a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3

________________________

37) Escribe la lectura de los siguientes numerales indicados:

125602070569

________________________ 32) Escribe el menor numeral cuya suma de cifras sea 53. El producto de sus cifras termina en:

210000200000005



70000007000000

a) 0 d) 6 b) 2 e) 8 c) 4

________________________

________________________

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Numeración II

4ta

Sesión

NUMERACIÓN II Sistema de Numeración Representación de un número en una base Descomposición Polinómica

OBJETIVO Representar correctamente los números y efectuar la descomposición polinómica de los mismos.

Escenas de la vida cotidiana plasmadas en una obra Posiblemente la maza del rey Narmer sea el primer testimonio numérico en la historia egipcia. En su parte inferior aparecen algunos animales con símbolos numéricos bajo ellos. Así, al toro le acompañan las figuras de cuatro renacuajos, mientras que bajo una cabra se muestran cuatro figuras como las anteriores junto a los dedos flexionados, un hombre ex tendiendo los brazos y dos flores de loto. En otras palabras y tras el examen anterior de los símbolos numéricos, 400 000 toros y 1 422 000 cabras. De igual modo, en una estatua del rey Jasejem encontrada en Hierakómpolis han de describirse I BIMESTRE

El Taj Mahal fue construido en 1631 por el emperador de Mughal El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes hacia el siglo III a.C. En aquella época, los guarismos 1, 4 y 6 se escribían de forma casi igual a los que hoy se usan. La numeración hindú pasó al mundo árabe alrededor del siglo VII u VIII d.C. La primera referencia escrita del uso de este tipo de numeración en Europa data del año 976. Cuadro de Numeración Romana 1

I

5

V

10

X

50

L

100

C

500

D

1000

M

ARITMETICA / 1ER. AÑO 43

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

1. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN BASE

CIFRAS QUE SE USAN 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, .......................,10 0, 1, 2, 3, .........................,11

CIFRAS

El primer sistema de numeración es el binario y emplea base 2. En base 2 se usan 2 cifras: 0 y 1 En base 3 se usan 3 cifras: 0; 1y2 En base 4 se usan 4 cifras: 0; 1; 2 y 3. En base 2 la máxima cifra es 1. En base 3 la máxima cifra es 2. En base 4 la máxima cifra es 3.

...

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Septenario Octonario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

2. REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO EN UNA BASE

En base 11 se conviene el cambio: (10) = α En base 12 se conviene el cambio: (11) = β para que se les observe que tienen 1 sola cifra.

(BASE)

Ejemplo:

¿Sabias Qué?

• 4325 (7) CONSIDERACIÓN 1. Para enteros, la primera cifra de la izquierda no puede ser cero. 2. Cada cifra siempre será MENOR que la base como se observará: el 4, el 3, el 2 y el 5 son menores que el 7. 3. Cuando la base es 10, no se indica. Es decir: 324 ó 324(10) es lo mismo 4. La lectura se hace uno a uno mencionando la base finalmente, excepto cuando la base no es 10. 235(8)  se lee 2; 3; 5 en base ocho 12(12)  se lee 1; 2 en base doce

3. REPRESENTACIÓN LITERAL DE NÚMEROS EN UNA BASE Numeral de

Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasías de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A’h-mose) copió, en 1650 a. C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico.

Representación

1 cifra

a

2 cifras

ab (n)

3 cifras

abc

4 cifras

abcd

ARITMETICA / 1ER. AÑO 44

Observación

...

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

NOMBRE DEL SISTEMA

(x)

mnp(r) abcd(n)

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA" CONSIDERACIONES 1. La primera letra no puede tomar valor cero. 2. Cada letra representa a una cifra. 3. Letras iguales son las mismas cifras. 4. Cada paréntesis es una cifra. Ejemplo: • ¿Que números puede tomar a ? Puede ser: 1; 2; ....... 9 • ¿Que números puede tomar a(5)? Puede ser: 1; 2; ....... 4

De Corazón hasta la muerte • ¿Qué condición debe cumplirse para que a2(5)sea un numeral correctamente escrito? La única condición es que: a<5 y a≠0 • En el numeral: 2(n-2)3n(9) ¿puede n ser 1?

Descompón polinómicamente los numerales indicados. Ejemplo 1: 3 4 5 6 103 102 10 1

= 3(10)3 + 4(10)2 + 5(10) + 6(1)

Resolución: Si n=1, entonces el numeral sería 2(-1)31(9), lo cual es incorrecto. Las cifras deben ser positivas. Luego "n" no puede ser 1; "n" puede ser del número 2 al 8.

Ejemplo 2: 3

0 2

(7)

= 3(7)2 + 0(7) + 2(1)

72 7 1

¡Por qué "a" es cifra significativa! • ¿Cuántos números hay de la forma ab(3)? Pueden ser: 10 (3) ; 11 (3) ; 12 (3) ; 20(3); 21(3); 22(3) . Son en total 6 números. • En la escritura, 2a4(7)¿cuántas cifras tiene y qué valores puede tomar "a"? * Tiene 3 cifras. * "a" puede ser: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 • ¿Cuántas cifras tiene n(n+1)(n+2)? Tiene 3 cifras. • ¿Cuántas cifras tiene? 5(n-1)6(n+2)(12) Tiene 4 cifras. • En el numeral a(a+3)2(7) , ¿cuántos valores puede tomar a? Resolución: a (a+3) 2(7) 1 4 2  2 5 2  3 6 2  4 7 2 No Luego "a" toma 3 valores: 1; 2 ó 3

I BIMESTRE

• ¿Cuántos números hay de la forma a(a - 4)3(12)? Resolución: a (a-4) 3(12) 4 0 3 5 1 3 6 2 3 7 3 3 8 4 3 9 5 3 α 6 3 β 7 3 ∴ Son 8 números.

Ejemplo 3: 6 2 1 1 4(9) = 6(9)4 + 2(9)3 + 1(9)2 + 1(9) + 4(1) 4 3 2 9 9 9 9 1 Ejemplo 4: 2 a 3 b 53 52 5 1

(5)

= 2(5)3 + a(5)2 + 3(5) + b(1)

Ejemplo 5: a n3

a b (n) = a(n)3 + b(n)2 + a(n) + b(1) n2 n 1 b

4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Es la suma indicada del valor relativo de cada cifra.

a b c d

(n)

n3 n2 n 1

valor posicional

= a(n)3+b(n)2+c(n)+d(1) D.P.

ARITMETICA / 1ER. AÑO 45

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

EJERCICIOS DE APLICACION Nivel I

4)

1)

De los enunciados, indica el o los numerales mal escritos.





I. 28(3)





II. 126(5)





III. 1111(9)



IV. 961(11)



a) IV

d) III y II



b) I y II

e) III



c) II y IV



2)

II. 12α(12)





III. 41(41)



a) II y I b) I c) III

De los enunciados, indica los números mal escritos.

10) De los enunciados, indica los numerales mal escritos.



I. c34(6) (c > 6)



II. 483(9)



I. 89(10)



III. 12345(4)



II. 5(12)



III. 33(33)

d) I y II



b) II y III

e) III y IV



c) IV



a) II b) I c) II y III

6)

Indica cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos.

¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos?





ARITMETICA / 1ER. AÑO 46





d) II y III e) I y III





a) IV y I

c) 8 y 3

De los enunciados, indica los numerales que están escritos correctamente.







9)

d) 3 y 5 e) 5 y 5

III. aba(b+1) , b>a>0



d) 8 y 5 e) 3 y 4

a) 4 y 5 b) 4 y 6 c) 3 y 6

I. 777(6)



a) 3 y 3 b) 3 y 5





6)



d) 3 y 4 e) 3 y 6

II. 806(9)

IV. 1088(9)



II. 34567(8)



Silosnúmerosestánbienescritos, indica cuántas cifras tienen:



III. 456(7)

II. (10)(11)7(20)

8)

I. 104(3)







Indica qué números están mal escritos.

II. 999(9)

I. ab2(8)

I. 68(b-1)4(9)

5)







a) 4 y 6 b) 4 y 8 c) 6 y 8

I. 104(3)



I. 4(12)8(13)





3)



II. 7(16)(13)6(20)



Indica el o los numerales mal escritos de los siguientes enunciados:

¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos?



I. ab2(8)



II. (10)(11)84(13)





a) 4 y 8 b) 3 y 8 c) 3 y 4

d) I y II e) I y III

d) 3 y 3 e) 4 y 4







a) I y II b) II y III c) III

d) I y III e) II

(13)

(17)

a) I y II b) III c) II

d) I e) Ninguno

11) ¿Cuántascifrastienenlossiguientes numerales correctamente escritos?

I. 1212(12)



II. (n+1)8α(15)





a) 4 y 6 b) 4 y 3 c) 3 y 3

d) 4 y 5 e) 3 y 5

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

12) Indica el número de crifras de los siguientes números bien escritos.

I. 2p(2p)



II. 12(12)(14)(18)





a) 3 y 3 b) 4 y 4 c) 3 y 4

d) 4 y 5 e) 5 y 3

13) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos?

I. ab34(8)



II. 7xy(9)



III. 12(ab)ab(11)





a) 4, 3 y 3 b) 4, 3 y 4 c) 4, 3 y 5



d) 4, 4 y 4 e) 4, 4 y 5

14) Indica qué números están mal escritos.

I. 348(12)



II. 776(7)



III. abc(1)





a) I y II b) II c) III

d) I y II e) II y III

15) Indica si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F). I. El pr imer sistema de numeración se llama unario. II. En base 7 se usan 7 cifras. III. Elsistemavigesimaltienebase 20.

a) VVV b) VFF c) FVV

d) FVF e) FFF

Nivel II 16) Halla la suma de todos los posibles valores de "x" en el numeral. 2xx(6)

a) 11 b) 12 c) 13 I BIMESTRE

d) 14 e) 15

17) Halla la suma de todos los posibles valores de "n" en el numeral. 24(n) ; nn(9)

23) Ordena de mayor a menor los siguientes números. I) 44(6) II) 41(5) III) 43(7)





a) 23 b) 24 c) 25

d) 26 e) 27

a) I, II y III b) I, III y II c) II, I y III

d) III, I y II e) III, II y I

18) ¿Cuántosumantodoslosposibles valores de "m"? 72m13(8)

24) Ordena de mayor a menor los siguientes números. I) 13(13) II) 61(7) III) 11(20)





a) 21 b) 25 c) 23

d) 28 e) 26

19) Halla la suma de todos los posibles valores de "d". 45d6(7)

a) 28 b) 20 c) 21

d) 25 e) 23

20) ¿Cuántosumantodoslosposibles valores de "a"? a234(5)

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

21) ¿Cuántosumantodoslosposibles valores de "c"? 345c(6)

a) 11 b) 13 c) 15

d) 17 e) 19

22) Ordena de mayor a menor los siguientes números. I) 34(8) II) 45(6) III) 1101(2)

a) II, I y III d) II, III y I b) I, II y III e) III, I y II c) I, III y II

a) II, III y I d) II, I y III b) I, II y III e) III, II y I c) I, III y II

25) Ordenar de mayor a menor los siguientes números. I) 23(7) II) 20(9) III) 18(15)

a) I, II y III d) III, II y I b) I, III y II e) II, I y III c) III, I y II

26) Indica si son verdaderos (V) o falsos (F) los siguientes enunciados.

I. 22(7) < 31(6)



II. 14(9) > 11(15)



III. 27(8) < 11(24)





a) VVF b) FVF c) FFV

d) VVV e) VFF

27) Indica si son verdaderas (V) o falsas (F), las siguientes afirmaciones.

I. 24(5) < 23(6)



II. 30(9) > 27



III. 23(7) > 21(9)





a) VVF b) FFV c) VFF

d) FVV e) FFF

ARITMETICA / 1ER. AÑO 47

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Numeración III CAMBIO DE BASE CIENCIA

5ta

Sesión SISTEMA HINDÚ ÁRABE

De (n) a (10)

De (10) a n

De (n) a (m)

Objetivo

Representar un mismo número en distintos sistemas de numeración

Cambio de Base

Ejemplo 2:

1. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10

Convierte a base 10 45(6)

Se efectúa por“Descomposición Polínómica”. Ejemplo 1: Convierte al sistema decimal 123(4). 2

123(4) = 1 x 4 + 2 x 4 + 3 = 16 + 8 + 3 = 27 Entonces : 123(4) = 27 ARITMETICA / 1ER. AÑO 48

45(6) = 4 x 6 + 5 = 24 + 5 = 29 Entonces : 45(6) = 29 Ejemplo 3: Convierte a base 10 102(3) 102(3) = 1 x 32 + 0 x 3 + 2 = 9 + 0 + 2 = 11 Entonces : 102(3) = 11

En el año 773 llegó a Bagdad una caravana procedente de la India. Entre los regalos suntuosos que había para el califa Al-Mansur estaba el manuscrito llamado Siddhanta, en el que se escondía un fabuloso tesoro: era un tratado de astronomía con sus tablas y las diez cifras con las que actualmente contamos, incluida la cifra del cero: eka, dva, traya, chatur, pañcha, shat, sapta, ashat, nava y shunya que quiere decir “vacío” y se notaba por un pequeño redondel. Los árabes lo tradujeron por sifr que los latinos tradujeron por zephirum y de ahí el cero. SFR sirvió para llamar a todos los números: CIFRA.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

También podemos usar el método de RUFFINI. Convierte al sistema decimal. Ejemplo 4: Esquema: 3

2 12 14

4 3

1 56 57

3 228 231

∴ 231

425 3 3 141 12 12 12 21 005 21 3 0 2

Ejemplo 10: 3 47 3 3 15 3 17 15 5 3 15 0 3 1 2 2

425 = 120202(3) 3. DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 Ejemplo 8:

Ejemplo 5:

Expresa 210(5) en base 4.

Esquema:

210(5) = 2 x 52 + 1 x 51 + 0 = 2 x 25 + 5 = 55

1 13 1

2 10 13 195 15 205

55 4 4 13 4 15 12 3 12 1 3

∴ 205 2. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 Este método es denominado “Divisiones Sucesivas”. Ejemplo 6: Convierte 327 a base 4.

210(5) = 55 = 313(4) Ejemplo 9: Expresa 213(6) en base 5. 213(6) = 2 x 62 + 1 x 61 + 3 = 2 x 36 + 6 + 3 = 81 81 5 5 16 5 31 15 3 30 1 1

327 4 32 81 4 007 8 20 4 4 1 20 5 4 3 0 4 1 1

327 = 11013(4) Ejemplo 7: Convierte 425 a base 3.

I BIMESTRE

213(6) = 81 = 311(5)

Observación 1. Si ⇒ 2. Si ∧

ab(n) = xy(n) a=x;b=y ab(n) = pq(m) ab > pq ⇒ n < m

Si ab(7) = 24(7), calcula a + b. a=2 y b=4 ∴ a+b=6

Ejemplo 11: Si 2p3q (6) = 2435 (6) , calcula p 2 + q 2. p = 4, q = 5 ⇒ p2 + q2 = 42 + 52 ∴ p2 + q2 = 41

Ejemplo 12: Si 12 (x) = 43 (y) , ¿cómo es x respecto de a y? Como 12 < 43 ⇒ x > y

Ejemplo 13: Si 301(n) = 15(m), ¿cómo es n respecto de m? Como 301 > 15 ⇒ n < m

EJERCICIOS DE APLICACION Nivel I 1) Relaciona ambas columnas adecuadamente. I. 23(5) II. 15(7) III. 33(4)

( ) 15 ( ) 13 ( ) 12

a) III, I y II b) I, II y III c) I, III y II

d) II, III y I e) III, II y I

ARITMETICA / 1ER. AÑO 49

De Corazón hasta la muerte

2) Relaciona ambas columnas adecuadamente. I. 32(4) II. 43(5) III. 23(4)

( ) 23 ( ) 14 ( ) 11

a) II, III y I b) I, II y III c) II, I y III

d) I, III y II e) III, II y I

3) Convierte a base 10.

I. 123(6)

II. 234(5)

a) 50 y 70 b) 51 y 70 c) 51 y 69

d) 69 y 51 e) 70 y 50

4) Convierte a base 10.

I. 234(6)

II. 342(5)

a) 94 y 97 b) 97 y 94 c) 93 y 98

d) 94 y 98 e) 93 y 96

I. 239

II. 347

a) 1221(5) y 2322(5) b) 1321(5) y 2112(5) c) 1424(5) y 2342(5) d) 1321(5) y 2342(5) e) 1424(5) y 1342(5) 6) Convierte a base 4 los números:

I. 304

II. 207

a) 3033(4) y 1030(4) b) 10300(4) y 3033(4) c) 1030(4) y 303(4) d) 10310(4) y 3131(4) e) 3031(4) y 10311(4) ARITMETICA / 1ER. AÑO 50

7) Convierte a base 10. 123(5) a) 42 d) 35

b) 40 e) 39

Nivel II c) 38



I. 213(5)

II. 321(5)

a) 56 y 80 b) 78 y 86 c) 58 y 79

d) 58 y 86 e) 95 y 74

b) 16 e) 19

b) 192 e) 195

c) 193

c) 119

12) Convierte al sistema decimal 12α(12). a) 158 d) 188

b) 168 e) 198

b) 32 e) 35

c) 33

c) 134

a) 1010 b) 101 d) α1 e) αα

c) 1α

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

20) Convierte 9 a base 9. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

21) Convierte: 123(4) a base 7 a) 34 d) 40

b) 35 e) 41

c) 36

a) 225 d) 255

b) 235 e) 253

c) 245

23) Convierte: 14α(12) a base 13

a) 1223 b) 1213 c) 1023 d) 1003 e) 1113

a) 124 d) 127

b) 125 e) 128

c) 126

24) Convierte: 523(7) a base 9

15) Convierte a base 10: 345(6) b) 137 e) 140

b) 124 e) 154

22) Convierte: 203(7) a base 6

14) Convierte a base 10: α12(11)

a) 136 d) 139

a) 104 d) 144

c) 178

13) Convierte a base 10. 11111(2) a) 31 d) 34

17) Convierte 100 a base 8.

19) Convierte 7 a base 7.

11) Convierte al sistema decimal 11111(3). b) 120 e) 117

c) 18

c) 17

10) Convierte al sistema decimal 235(9). a) 191 d) 194

b) 21 e) 22

18) Convierte 120 a base 11.

9) Convierte al sistema decimal 10010(2). a) 15 d) 18

16) Convierte 18 a base 9. a) 20 d) 81

8) Convierte a base 10.

a) 121 d) 118

5) Convierte a base 5.

I.E. "MARIANISTA"

c) 138

a) 301 d) 331

b) 311 e) 341

c) 321

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Operaciones Básicas Saberes Previos 1. R E G L A P R Á C T I C A P A R A SUMAR O RESTAR NÚMEROS ENTEROS Si se tiene dos o más números enteros con el mismo signo, el resultado será la suma precedido del signo en común.

• -8 + 6 = • +9 - 5 = • +10 - 15 = • -20 + 8 = 2. S I G N O S D E C O L E C C I Ó N : ( ); [ ]; { }

Ejemplos: * - 4 - 5 - 7 = *

- (4 + 5 + 7) = -16

+ 3 + 4 + 8 = + (3 + 4 + 8) = +15

Ejemplos:

Efectúa:

* 10 + (-4 + 2 - 5) = 10 - 4 + 2 - 5

• -4 - 6 - 5 =

* 8 + (12 - 4) = 8 + 12 - 4

• +2 + 5 + 8 = • -8 - 7 - 10 = • +8 + 12 + 13 = • -12 - 11 - 20 = Si se tiene dos números con signos diferentes, el resultado será la diferencia precedida del signo del mayor en cantidad. Ejemplos: * - 7 + 12 =

Todo signo de colección precedido por un signo “+” puede ser suprimido, escribiendo luego los números contenidos en su interior, cada uno con su propio signo.

+ (12 - 7) = +5

Todo signo de colección precedido por un signo “-” puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los números contenidos en su interior, con su signo cambiado. Ejemplos: * -12 - (4 + 3 - 1) = -12 - 4 - 3 + 1 * -8 - (7 - 3 + 2) = -8 - 7 + 3 - 2

Operaciones Combinadas

Efectúa:

Son aquellas donde intervienen las operaciones elementales (adición, sustracción, multiplicación y división), así como también los signos de colección.

• -4 + 5 =

La jerarquía u orden en

* - 10 + 8 = - (10 - 8) = -2

I BIMESTRE

1ra

Sesión las operaciones combinadas es el siguiente: * Se efectúan las operaciones dentro de los signos de colección: ( ), [ ], { }. * A continuación operamos las multiplicaciones y divisiones: x, ÷. * Finalmente efectuamos las sumas y restas: +, -.

Ejercicios Resueltos 1. Calcula: 7 + 5 - 2 - 4 + 8 - 6 los sumandos pueden cambiarse de orden y agruparse. Resolución: (7 + 5 + 8) - (2 + 4 + 6) 20 12 8 signos diferentes se restan 2. Calcula: 27 ÷ 3 + 8 - 16 ÷ 4 - 4 x 2 si no hay paréntesis, las multiplicaciones y las divisiones deben realizarse en primer lugar. Resolución 9+8-4-8 17 - 12 5 3. Reduce: 18 ÷ (5 + 4) + 6 x (4 - 2) - 10 los paréntesis condicionan el orden de las operaciones. ALGEBRA / 1ER. AÑO 53

De Corazón hasta la muerte

Resolución: 18 ÷ 9 + 6 x 2 - 10 2 + 12 - 10 14 - 10 4 4. Reduce: 20 - 4 x [15 - (7 - 4 ÷ 2) - 3] efectuando operaciones dentro del paréntesis. Resolución: 20 - 4 x [15 - (7 - 2) - 3] 20 - 4 x [15 - 5 - 3] Efectuando el corchete: 20 - 4[7] 20 - 28 -8 5. Efectúa: 3{2[41 - (20 ÷ 4)] ÷ 9} - [(62 - 29) ÷ 11 + 2(45 - 27) ÷ 3] efectuando operaciones dentro del paréntesis. Resolución: 3{2[41 - 5] ÷ 9} - [33 ÷ 11 + 2(18) ÷ 3] 3{2[36] ÷ 9} - [3 + 36 ÷ 3] 3{72 ÷ 9} - [3 + 12] 3{8} - 15 24 - 15 9

EJERCICIOS DE APLICACION

1) Calcula: -8 + 7 + 12 - 15 + 20 a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

2) Calcula: -10 + 8 - 7 + 10 - 25 a) 20 d) -22

b) -20 c) -24 e) 22

ALGEBRA / 1ER. AÑO 54

3) Calcula: +20 - 15 + 18 - 7 + 32 - 8

a) 30 d) 45

b) 40 e) 35

c) 50

4) Calcula: -25 + 32 - 40 + 28 - 35 a) -20 b) -40 c) -30 d) 35 e) -35 5) Calcula: -30 - 15 + 22 - 10 + 14 - 12

a) 30 d) 32

b) -31 e) -32

c) 31

6) Calcula: 8 + 12 x 3 - 24 ÷ 3

a) 30 d) 38

b) 40 e) 32



a) 23 d) 24

b) 25 e) 27

c) 21

8) Calcula: (9 x 6 + 6 - 15) ÷ (4 x 5 ÷ 4)

a) 10 d) 7

b) 8 e) 6

c) 9

9) Calcula: 64 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 + 36 ÷ 9 x 5 a) 28 d) 26

b) 30 e) 34

c) 32

10) Calcula: 6 x 9 ÷ 2 - 5 x 16 ÷ 4 a) 8 d) 12

b) 6 e) 7

c) 10

11) Calcula: {(4 + 2) - 7 x 2 + (5 x 2 + 1) - 1} a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

12) Calcula: 8 + {9 - [6 - (5 - 4)]} + 14 - 11 - {7 - 1} a) 1 d) 12

b) 3 e) 15

c) 9

13) Calcula: (12 - 15)(-6) + (18 - 13)(-8) - [(12 - 16)] a) 62 d) 65

b) 63 e) 66

c) 64

14) Calcula: 6 x 8 + 40 ÷ 4 + 32 ÷ {(224 ÷ 7) - 1} a) 45 d) 64

b) 58 e) 71

c) 60

c) 36

7) Calcula: 20 - 8 x 2 - 1 + 5 x 4



Nivel I



I.E. "MARIANISTA"

c) 3

15) Calcula: 88 ÷ [5 x 3 - 2 + 5(3 - 2) + 4] +2 a) 4 d) 8

b) 6 e) 10

c) 7

Nivel II 16) Calcula: 50 - {(6 - 1)8 ÷ 4 x 3 + 16 ÷ (10 - 2)} - 5 a) 8 d) 16

b) 13 e) 2

c) 10

17) Calcula: (8 - 1) - (16 - 9) + 4 - 1 + 9 - 6 + (11 - 6) - 5 a) 8 d) 10

b) 4 e) 12

c) 6

18) Calcula: (15 - 2)4 + 3(6 ÷ 3) - 18 ÷ (10 - 1) a) 55 d) 59

b) 56 e) 60

c) 58

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

19) Calcula: 68 - 6 x 7 + (39 + 5 - 2) ÷ 7 -7x2+8 a) 68 d) 48

b) 26 e) 54

*

b) 7 e) 10

28)

22) 3 x

c) 6

x 2 + 15 ÷ 5 - 2 = 25

a) 4 d) 7

b) 6 e) 10

23) 24 x 6 ÷ a) 4 d) 8

c) 5

x 9 - 7 x 3 = 141 b) 6 e) 10

b) 2 e) 5

3

1

a) +; -; ÷; x b) x; x; -; x c) ÷; -; x; 26) 21

(8

6)

a) +; x; -; x; + b) +; x; -; ÷;+ c) x; -; ÷; -; x d) ÷; +; -; x; e) +; -; x; ÷;+ I BIMESTRE

29)

4

3 = 12

a) b) c) d) e)

+

+

-

)-

-

- 240 ÷ 6 ÷ c) 3

2

8 = 11

d) x; -; x; + e) +; -; +; -

3

2

a) b) c) d) e)

-

÷

a) -10 b) -16 c) -20 d) -24 e) 30

a) -2 b) -1 d) 1 e) 2 x

= 26

c) 0

36) Calcula: 3 + 4 [8 . {4 - (9 + 3) ÷ 6}] a) 61 d) 67

b) 63 e) 69

c) 65

37) Calcula: -3 - 4 - [8 . (-3 - 1) ÷ (-2) + (-7)] )÷

=3

a) -12 b) -14 c) -16 d) -18 e) -20 38) Calcula: -20 - [-3 - {20 - (6 ÷ (-3) - 7)} - 2] a) 10 d) 16

Nivel III 31) Efectúa: -6 + 8 ÷ (-2) . (-3) c) 4

5=4 32) Calcula: -5 + 7 - (-8) . 2 ÷ (-4) a) -2 b) -1 d) 1 e) 2

34) Calcula: 7 - [5 . 4 - 20 ÷ (-5) + 7 - 40 ÷ (-8) - 9]

35) Calcula: 40 ÷ (-8) . (-6) ÷ (-6 - 4) - 50 ÷ (-5)(-2) ÷ (-5)

8; 2; 2; 5; 1 3; 4; 5; 2; 3 7; 3; 6; 2; 6 7; 4; 5; 2; 1 6; 3; 5; 7; 2

a) -6 b) -4 d) 6 e) 12

c) 2

= 29

2; 12; 15; 3; 9 15; 3; 22; 18; 3 7; 7; 13; 3; 12 5; 4; 27; 8; 5 6; 9; 11; 22; 2

x

33) Calcula: 18 ÷ [-5 + (-3 . 2 + 5)] a) -3 b) -2 d) 3 e) 1

10; 6; 6; 4; 30 8; 3; 12; 5; 9 20; 10; 6; 4; 8 25; 3; 16; 11; 4 19; 14; 17; 6; 5

x

30) (

¿Qué símbolos completan los casilleros vacíos?

25) 9

2

c) 5

24) 24 x 6 ÷ 8 x 2 x 10 ÷ 25 = 10 a) 1 d) 4

+( a) b) c) d) e)

= 10

b) 4 e) 10

10

La lista de números que al ocupar los lugares vacíos completen correctamente la operación es:

Completa el recuadro:

a) 2 d) 8

*

*

c) 8

21) 64 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 +

5

a) +; x; -; x; - b) ÷; -; +; x; + c) ÷; -; ÷; +; x d) x; -; ÷; +; e) ÷; +; -; x; -

c) 40

20) Calcula: [(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 x 6 ÷ 18 + 2 a) 6 d) 9

27) 25

c) 0

b) 12 e) 18

c) 14

39) Calcula: 5 . 4 ÷ (-2) ÷ (-5) . 3 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

40) Calcula: 9 - {8 - [7 - 20 . (-2) ÷ (-8) (-12 + 7) . 3]} a) 18 d) 12

b) 16 e) 10

c) 14

ALGEBRA / 1ER. AÑO 55

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

1ra

Potenciación I Es aquella operación matemática en la cual dados dos números “a” (base) y otro entero positivo “n” (exponente), se define“p”como la potencia enésima de “a”. Exponente an = P

Base

Potencia

Sesión POTENCIA DE UN PRODUCTO

Ejemplos: (5)0 = 1

(1/2)0 = 1

(-8)0 = 1

( 3)0 = 1

(ab)m = am . bm

Demostración:

Teoremas M U LT I P L I C A C I Ó N POTENCIAS DE IGUAL BASE

DE

Ejemplos: 34 = 81 * Base : 3 * Exponente : 4 * Potencia : 81

* Base : 5 * Exponente : 3 * Potencia : 125

Exponente Natural a . a . a . ... . a . a = an “n” factores Ejemplos: (5)(5)(5) ... (5) = 20 factores

(5)20

(m)(m)(m) ... (m) =

(m)15

Así también, tenemos:

a33 =

= (4)(4)(4) ... (4) 10 factores (a)(a)(a) ... (a) 33 factores

Exponente Cero a0 = 1 ⇔ a ≠ 0 ALGEBRA / 1ER. AÑO 56

Demostración: Se tiene: am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a) “m” factores “n” factores

Asociando los factores iguales: (ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b) “m” factores “m” factores Representando como potencia: (ab)m = am . bm Ejemplos:

Contando el total de factores: am . an = (a . a . a . ... . a . a) “m + n” factores

(5a)4 = 54 . a4

Expresando como potencia: am . an = am+n

Pero también:



(3 . 8)a = 3a . 8a

35 . p5 = (3p)5

Ejemplos:

15 factores

410

am . an = am+n

53 = 125

Se tiene: (ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab) “m” factores

* 35 . 33 = 35+3

73 . 53 = (7 . 5)3

* m12 . m5 = m12+5

POTENCIA DE POTENCIA

a

4

a+4

* 6 . 6 = 6

Pero también: mm+2 mm . m2 2a+7 = 22 . 27

(am)n = amn

Demostración: Se tiene: (am)n = am . am . am . ... am “n” factores Por la multiplicación de potencias de igual base: “n” factores m n (a ) = am+m+m+...+m I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA" de donde:

(am)n = amn

Ejemplos: (a3)4 = a3(4) = a12 5 n

De Corazón hasta la muerte Ejemplo: (-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64

Principales Potencias

5n

(m ) = m

POTENCIAS DE DOS

Pero también:

m4p = (m4)p

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32

LEY DE SIGNOS

POTENCIAS DE TRES

a6 = a3(2) = (a3)2

(Exponente par) 1.

(+)par = + Base positiva

26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024

31 = 3 32 = 9 33 = 27

34 = 81 35 = 243 36 = 729

POTENCIAS DE CINCO 51 = 5 52 = 25

Ejemplo: (+5)4 = (+5)(+5)(+5)(+5) = +625

2.

(-)par = +

(Exponente impar) 3.

(+)

impar

=+

Base positiva Ejemplo: (+6)3 = (+6)(+6)(+6) = +216 (Exponente impar) 4.

impar

(-)

7 = 7 72 = 49

7 = 343

3

2 2

1. Calcula: 5 + 2 + (2 )

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +81

=-

Base negativa I BIMESTRE

Expresamos como potencia: 34 - 26 81 - 64 17 4. Calcula: (-23)2 + (-22)3

Exponente par 3 2

3 2

* (-2 ) = +(2 )

Exponente impar

3

0

Ejemplo:

Resolución:

POTENCIAS DE SIETE

Ejercicios Resueltos

Base negativa

3. Reduce: (3)(3)(3)(3) - (2)(2)(2)(2)(2)(2) 4 factores 6 factores

Resolución:

53 = 125 54 = 625

1

(Exponente par)

reemplazando: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2 6 factores ↓ ↓ 6 2 - 26 64 - 64 0 (cero)

Resolución: * 50 = 1 → exponente cero * 23 = 8 → exponente natural * (22)2 = 24 → potencia de potencia reemplazando: 50 + 23 + 24 ↓ ↓ ↓ 1 + 8 + 16 25 2. Reduce: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2 6 factores Resolución: * (2)(2) ... (2) = 26 → exponente natural 6 factores * (23)2 = 26 → potencia de potencia

2 3

2 3

* (-2 ) = -(2 )

reemplazando: +(23)2 - (22)3 por potencia de potencia: 26 - 26 64 - 64 0 (cero) 5. Un cubo mágico tiene tres capas con tres líneas de tres cubos cada una. ¿Cuántos cubos tiene en total? Resolución: 3 capas 3 líneas 3 cubos De la figura: * Cadafilatiene3cubos,entoncesen tres filas habrá 3(3) = 9 cubos. * Cada capa tiene 9 cubos, entonces en tres capas habrá 3(9) = 27 cubos. De donde se tiene: (3)(3)(3) = 33 = 27 cubos ALGEBRA / 1ER. AÑO 57

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

EJERCICIOS DE APLICACION 8) Calcula: (-3)4 + (-4)3 + (4)(3)

Nivel I 1) Calcula: 25 + 24 + 23

a) 50 d) 56

b) 52 e) 58

a) 4 d) 10 c) 54

2) Calcula: 26 + 62 + 2(-6)

a) 86 d) 92

b) 88 e) 94

c) 0

4) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-3)5 8 factores

a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

a) 23 d) 29

b) 25 e) 31

c) 27

a) 13 d) 7

b) 11 e) 5

c) 9

7) Calcula: 30 + 31 + 32 + 33

a) 36 d) 42

b) 38 e) 44

ALGEBRA / 1ER. AÑO 58

a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

c) 15

10) Calcula: (-5)3 - (-11)2 + 33 a) 31 d) 25

b) 29 e) 23

c) 27

11) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-5)3 7 factores a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

12) Calcula: 35 - 44 + 23 a) -3 b) -5 c) -7 d) -9 e) -11

c) 40

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 26 e) 32

c) 0

Nivel II 16) Calcula: (-4)2 + (-3)3 + (-2)4 a) 5 d) 11

b) 7 e) 13

c) 9

17) Calcula: (-8)2 + (-2)5 + (-3)3 a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

18) Calcula: (-1)6 + 24 - 32 - 40 a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

20) Calcula: 30 - 43 + 26 c) 3

14) Calcula: -25 + 43 - 61 a) 24 d) 30

a) -2 b) -1 d) 1 e) 2

19) Calcula: 72 - 62 + 52 - 42

13) Calcula: 42 - 33 + 24

6) Calcula: (-2)8 + (-3)5

9) Calcula: (-2)6 + (-6)2 - 34

c) 15

5) Calcula: 34 + (-3)(-4) + (-4)3

c) 8

c) 90

3) Calcula: (2)(2) ... (2) - 43 6 factores a) -4 b) -2 d) 2 e) 4

b) 6 e) 12

15) Calcula: 26 - 34 + 42

c) 28

a) -2 b) -1 d) 1 e) 2

c) 0

21) Calcula: (-6)2 + (-5)2 + (-4)3 a) -1 b) -3 c) -5 d) -7 e) -9 I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

22) Calcula: {25 + (-3)3 + 41}2 a) 3 d) 81

b) 9 e) 243

c) 27

23) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-6)3 8 factores a) 36 d) 48

b) 40 e) 52

c) 44

a) -9 b) -7 c) -5 d) -3 e) -1 25) Calcula: 26 - 34 + 62 - 70 b) 16 e) 10

c) 14

26) Calcula: (-2)7 - (-5)3

27) Calcula: 25 - 44 + 63 b) 4 e) 10

c) 6

c) 0

29) Calcula: (33 - 25)2 + (52 - 33)2 a) 25 d) 31

I BIMESTRE

b) 27 e) 33

c) 9

c) 29

38) Calcula: (-2) 2 + (-3) 2 + (-4) 2 + (-5) 2 - 72 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Nivel III 31) Calcula: (-5)3 + (-4)2 + (-3)1 + (-2)0

32) Calcula: {(-4)2 + (-2)4 + (-3)3 + 50}2 a) 4 d) 36

b) 16 e) 49

c) 25

33) Calcula: -(-3)2 + (-4)3 - (-2)4 a) -87 b) -88 c) -89 d) -90 e) -91

2

a) 2 d) 25

3

b) 2 e) 26

c) 2

a) -2 b) -1 d) 1 e) 2

4

c) 0

36) Calcula: 22 + 23 + 24 + (-3)3 a) -1 d) 2

b) 0 e) 3

c) 1

37) Calcula: 53 - (32 + 33 + 34) a) 22 d) 25

b) 24 e) 20

39) Calcula: 13 + 23 + 33 + 43 - 102 a) -2 b) -1 d) 1 e) 2

c) 0

40) Calcula: 25 + (-5)2 + 23 + (-3)2 a) 70 d) 76

b) 72 e) 78

c) 74

41) Calcula: 27 + (-7)2 - 132 a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

42) Calcula: 44 + 33 + 22 - 172

35) Calcula: 23 + 34 - 52 - 43

28) Calcula: 34 + (-2)5 - 72 a) -2 b) -1 d) 2 e) 1

b) 4 e) 25

34) Calcula: (-3)4 + (-4)3 - (-5)0

a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

a) 2 d) 8

a) 2 d) 16

a) -111 b) -112 c) -113 d) -114 e) -115

24) Calcula: (-11)2 - (-9)2 - (-7)2

a) 18 d) 12

30) Calcula: {(-7)2 - (34 - 62)}2

c) 23

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

43) Calcula: 62 + 26 + 32 + 23 - 112 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 44) Calcula: (3 + 2)2(1) + (4 + 1)(4-1) + (3 - 1)(3+1) a) 156 d) 168

b) 160 e) 170

c) 166

45) Calcula: (52 + 42 - 23)2 (23 + 32 - 42)10 a) 16 d) 128

b) 32 e) 256

c) 64

ALGEBRA / 1ER. AÑO 59

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

3ra

Potenciación II Exponente Negativo

Ejemplos:

(14)

5 factores

n

( ) ( )

1 1 a = = a an siendo: a ≠ 0 -n

Sesión

3.3.3.3.3 35 = = 32 3 3.3.3 3 3 factores

Ejemplos:

3

=

Notita Nota

7 factores

3-2 =

()

5-1 =

1 1 = 51 5

2.2.2.2.2.2.2 2 = = 23 2.2.2.2 24 4 factores

1 1 = 3 9

D I V I S I Ó N D E P OT E N C I A S D E IGUAL BASE am m-n =a an

m

() a b

( ) 1 m

-5

Asociando convenientemente: “m” factores

() a b

a . a . a . ... a . a a = an a . a . a . ... a . a “n” factores Reduciendo factores comunes: (m > n) “m” factores a . a . a . ... a . a . a . ... a . a am = a . a . a . ... a . a an

m

=

m

=

am bm

Notita Nota

m

l.q.q.d

m

(1a)

1 = am

210 39 + 27 36

Resolución: 210 * 27 = 210-7 = 23 (propiedad) 39 * 36= 39-6 = 33 (propiedad)

“m” factores Expresando como potencia:

“n” factores Expresando los factores que quedan: am = a . a . a . ... a . a an “m - n” factores

1. Calcula:

a . a . a . ... . a . a . a b . b . b . ... . b . b . b

(ba)

= m5

Ejercicios Resueltos

“m” factores

“m” factores

l.q.q.d

Reemplazando: 210 39 + 27 36 ↓ ↓ 3 2 + 33 8 + 27 35

Ejemplos: 5 32 25 2 = 5= 3 243 3

()

= an

= 52 = 25

m

m

I BIMESTRE

-2

(ba) = (ba)(ba) (ba) ... (ba)

Se tiene:

a m-n =a an

(15)

am = m b

Demostración:

Demostración:

-n

Ejemplo:

POTENCIA DE UN COCIENTE

Teoremas

a potencia:

() 1 a

7

2

1 1 = 43 64

2. Calcula:

(13)

-2

+ 50 +

↓

25 23

ALGEBRA / 1ER. AÑO 60

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA" 6

-2

*

(13) = 3

2

Ap l i c a n d o p o te n c i a d e u n cociente:

→ exponente negativo

26 . 36 36 26

* 50 = 1 → exponente cero *

25 2 = 2 → propiedad 23

Asociando: 26 . 36 0 0 = 2 . 3 = (1)(1) = 1 26 36

Reemplazando: -2

() 1 3 ↓

25 23 ↓ ↓ 2 3 + 1 + 22 9 + 1 + 4 14 + 50 +

-2

EJERCICIOS DE APLICACION

-1

(14) + (13) + (12)

3. Calcula:

0

Resolución: Aplicando exponente negativo:

(14) ↓ 42 16

-2

(13)

+

-1

+

↓

+ +

4. Calcula:

1

3 3 20

(12)

1 1



212-8 + 310-8 + 48-8

4

2

4

Reemplazando:

ALGEBRA / 1ER. AÑO 61

2+4

=

c) 32

a) 35 d) 38

b) 36 e) 39

-3

c) 37



a) 5 d) 11

1 2

b) 7 e) 13

-4

c) 9

4) Efectúa: 216 314 412 + + 214 312 410

(23)

6



a) 27 d) 33

b) 29 e) 35

c) 512

-4

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

-3

c) 6

7) Calcula: 4-1 + 2-1 + 1-1 + 4-1 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

8) Efectúa: -4 1 1 + 2 4

() ()



6

b) 256 e) 16

( ) ( ) + (16)



-

a) 128 d) 64

6) Efectúa: -5 1 1 2 4

() () ()

Resolución:

(23) (23) = (23)



3) Reduce: -2 1 1 4 3

↓ ↓ ↓ 4 2 0 2 + 3 + 4 16 + 9 + 1 26 2

a) 8 d) 64

16 factores b) 16 e) 128

2) Efectúa: 315 213 + +1 312 210

212 310 48 + 8 + 8 28 3 4

(23) (23) (32)



(2)(2)(2) ... (2)(2) (2)(2)(2) ... (2)(2)

Aplicando división de potencias de igual base:

5. Reduce:

1) Reduce: 20 factores

↓

+ +

5) Reduce: (23)4 - (26)2 + (21)9

Nivel I

0

Resolución:



6

(23) (32)

Resolución:

a) 16 d) 128

c) 3

-2

b) 32 e) 256

+ 10 c) 64

9) Reduce: 60 + 4-1 + 2-1 + 2-2 c) 31



a) 1 d) 8

b) 2 e) 16

c) 4

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

10) Calcula:

De Corazón hasta la muerte

8

2 82

a) 2 d) 16

b) 4 e) 32

c) 8

a) -2 b) -1 d) 1 e) 2

c) 0

12) Reduce: 24 . 36 55 . 66 + 22 . 34 54 . 65 b) 66 e) 2

c) 76

13) Efectúa: 316 914 + 120 312 912 a) -2 b) -1 d) 1 e) 2 14) Calcula: 1 8

-2

c) 0

() ()

a) 3 d) 9

1 2

-5

- 33

b) 5 e) 11

15) Reduce: 0 1 1 3 4

() ()

c) 7

-3

+ (23)2

a) -2 b) -1 d) 1 e) 2

c) 0

Nivel II 16) Calcula: ((-1)3)2 + (22)2 - 32 - 50 a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

I BIMESTRE

b) 4 e) 32

15 factores

b) 2 e) 5

c) 3

a) 1 d) 8

b) 2 e) 64

c) 4

20) Efectúa: (32)3 + (24)2 - (33)2 a) 16 d) 128 21) Calcula: 72 -

b) 32 e) 256

() 1 2

a) 3 d) 24

-8

+

c) 64

() 1 6

b) 9 e) 36

-3

c) 18

22) Efectúa: 20 factores (-5)(-5) ... (-5) (-5)(-5) ... (-5)

23) Reduce: 1 3

a) -1 d) 2

b) 25 e) 250

b) 0 e) 5

c) 1

a) -2 b) -1 d) 1 e) 2 27) Reduce: -2 1 1 + 6 5

c) 125

c) 0

-2

() ()

+ (-22)3

a) -1 b) -3 c) -5 d) -7 e) -9 28) Efectúa: (63)4 (26)4 + 8 3 + 23 2 6 (6 ) (2 ) a) 6 d) 12 29) Calcula: 515 + 512

18 factores a) -25 d) -125

25) Efectúa: (22)(22) ... (22) - (25)2 + 50 5 factores

26) Calcula: (22)3 - (23)2 + (22)3 3 2 (2 )

19) Calcula: ((32 - 23)2)4

a) 2 d) 8

b) 8 e) 14

-2

() 1 5

b) 4 e) 10

c) 10

- (42)(32) c) 6

30) Efectúa: (32)2 - (23)2 - (41)2 -3

6

( ) (19) + (27)

0

b) -1 e) 3

a) 1 d) 2 24) Calcula: 1 2

17) Efectúa: 218 - 416 814 + 214 413 812 a) 2 d) 16

12 factores a) 1 d) 4

11) Calcula: 49 - 218 46 212

a) 56 d) 7

18) Reduce: 17 factores 18 factores (2)(2) ... (2) (3)(3)(3) ... (3) (2)(2) ... (2) (3)(3)(3) ... (3)

-3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

c) 0

-2

( ) + (- 13)

c) 8

a) 1 d) 9

b) 17 e) 11

c) 13

ALGEBRA / 1ER. AÑO 62

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

4ta

Ecuaciones Exponenciales Son aquellas ecuaciones en donde la incógnita aparece formando parte del exponente.



Ejemplos: 5x = 125

;

Aplicando la propiedad “potencia de potencia”, tenemos: 3x = 34(5) ⇒ 3x = 320

812x+1 = 9x-1

• Observa que en ambos casos la incógnita aparace en el exponente de ambas igualdades.

Aplicando el teorema, tenemos: 3x = 320 ⇒ x = 20 Bases iguales

Teoremas “Si se tiene la igualdad de dos potencias de la misma base, entonces necesariamente sus exponentes tienen que ser iguales”.

x

3 = 3

3



Debemos expresar 25 y 625 como potencias de base (5). 5x = (52)6 (54)3 potencias de igual base Aplicando la propiedad “potencia de potencia”, tenemos: 5x = 512 . 512

⇒ x=2

5x-1 = 56 ⇒ x = 7

por la propiedad“multiplicación de bases iguales”, se tiene: 5x = 524 ⇒ x = 24 Bases iguales

Ejercicios Resueltos 1. Resuelve: 2x = 256 Resolución:

Debemos expresar 256 como una potencia de base (2). 2x = 256 ⇒ 2x = 28 Aplicando el teorema, tenemos: 2x = 28 ⇒ x = 8 Bases iguales

2. Resuelve: 3x = (81)5

I BIMESTRE

5. En el distrito de San Miguel se detecta una bacteria que tiene la propiedad de dividirse en dos cada día que pasa. Si se ha detectado la presencia de 8192 bacterias, ¿cuántos días han transcurrido desde que apareció? Resolución: 1.er día →

→ 1 bact.

2º día →

→ 2 bact.

3.er día →

→ 4 bact.



Resolución:

Ejemplos: 2

6

3. Resuelve: 5 = (25) (625)

ax = ay ⇒ x = y siendo: a ∈ R+ - {1}

x

Debemos expresar 81 como una potencia de base (3). 3x = (81)5 ⇒ 3x = (34)5

Sesión

4. Resuelve: 9x-1 = 3x+1

xº día →

→ 8192 bact.

De la figura:

1.er día → 1 bact. = 20 2º día → 2 bact. = 21 3.er día → 4 bact. = 22 : : xº día → 8192 bact. = 2x-1 De donde: 2x-1 = 8192 ⇒ 2x-1 = 213 x - 1 = 13 ⇒ x = 14

\ han transcurrido 14 días.

Resolución:

Debemos expresar 9 como una potencia de (3). 9x-1 = 3x+1 ⇒ (32)x-1 = 3x+1 Aplicando la propiedad “potencia de potencia”: 32x-2 = 3x+1 ⇒ 2x - 2 = x + 1 Bases iguales x=3

Sugerencia Para resolver los ejercicios de este capítulo se recomienda lograr en ambos miembros bases iguales.

ALGEBRA / 1ER. AÑO 63

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

EJERCICIOS DE APLICACION Nivel II

Nivel I *

Resuelvecadaunadelassiguientes ecuaciones exponenciales.

11) 3x = (3)(9)(27)

1) 2x = 128

x = _____



x = _____

3) 4x = 256 x = _____

4) 5x = 625 x = _____

5) 6x = 216

x = _____

x = _____



x = _____



x = _____

24) 42x+1 = 8x+2 x = _____



x = _____

25) 2x . 2x+3 = 128 x = _____



x = _____

x = _____ 16) 6x = (6)5 (36)3

6) 2x = (8)5





26) 32x . 3x+2 = 243 x = _____



x = _____

x = _____ 17) 2x-3 = 64 x

27) 2x . 4x = 64

3

7) 3 = (81)



x = _____



x = _____

x = _____ x

18) 3x+1 = 243

5

8) 4 = (64)





ALGEBRA / 1ER. AÑO

x = _____

19) 4x-2 = (64)3 x = _____



x = _____





x = _____

29) 9x+5 = 3x . (81) x = _____

20) 22x = (16)5

10) 6x = (36)6

28) 2x+3 . 2x+2 = 128

x = _____

9) 5x = (625)4

64

x = _____

23) 27x+3 = 34

15) 2x = (4)3 (8)2

22) 92x+1 = 39

14) 5x = (25)3 (125)2



x = _____

13) 4x = (16)3 (4)



21) 4x-1 = 2x+1

12) 2x = (4)(8)(64)

2) 3x = 343

Nivel III



x = _____

30) 4x+3 . 2x+1 = 1024 x = _____



x = _____ I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

31) Claudia divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Si este procedimiento lo realiza varias veces, ¿cuántas veces realizó esta operación sabiendo que en el último corte obtuvo 256 pedazos de papel?

32) Se descubrió que si se deja caer desde una determinada altura una esfera de volumen V, se divide en dos esferas de volumen mitad, y luego éstas al caer al siguiente escalón se vuelven a dividir cada una en dos y así sucesivamente. Si en el último escalón se observó que habían 1024 esferas, ¿de cuántos escalones consta la escalera de donde se dejó caer la esfera?

33) Determina el valor de “x” si ambas figuras tienen la misma área. 22x+1

A

4x

A

512

1024

34) Se tiene una caja de volumen 4096 cm 3 y de dimensiones que se muestran en la figura. Determina la altura de la caja. 2xcm

m

4c x

8xcm

37) Resuelve: 82x-1 = 32x+1 a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 4

38) Resuelve: 252x-3 = 125x+2 a) 8 d) 14

b) 10 e) 16

c) 12

39) Resuelve: 2x . 2x+1 . 2x+3 = 16x+9 a) -30 b) -31 c) -32 d) -33 e) -34 40) Resuelve: 3x . 3x+1 . 3x+2 . 3x+3 = 243x+2 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 41) Resuelve: 273x+2 = 812x+3 a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 2 e) 5

c) 3

48) Resuelve: 23x+1 . 4x+1 . 2x+3 = 128x-1 a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

49) Resuelve: 2x+8 = 8x+2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

50) Resuelve: 4x-3 = 8x-5 a) 1 d) 16

b) 4 e) 25

c) 9

c) 3

45) Resuelve: 22x+3 . 4x+2 = 8x+1

I BIMESTRE

a) 1 d) 4

43) Resuelve: 4x . 4x+1 = 2x+3 . 2x+5

36) Resuelve: 92x+1 = 33x+10 c) 6

47) Resuelve: 32x+3 . 94x+1 = 276x-1

c) 6

44) Resuelve: 2x+1 . 4x = 2x+3 . 8x+5

b) 4 e) 10

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5

42) Resuelve: 128x+1 = 82x+5

35) Sabiendo que en el planeta “X” existe la siguiente equivalencia numérica 2 10 ~ 10 3 , ¿a qué potencia de 10 equivale 260?

a) 2 d) 8

46) Resuelve: 24x+1 . 42x+1 = 83x+2

a) -20 b) -19 c) -18 d) -17 e) -16

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 ALGEBRA / 1ER. AÑO 65

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Expresiones Algebraicas Términos Algebraicos I. CONSTANTE

Todo aquello que no cambia. Ejemplos:

   

El número de días en una semana. El número de departamentos del Perú. Las dimensiones de esta hoja. El número de dedos en tu mano.

Generalmente las constantes se representan con números. Así, los días de la semana son 7 y las dimensiones de esta hoja son 210 x 297 mm. II. VARIABLE

Todo aquello que cambia o varía. Ejemplos:

   

El número de personas en el Perú. La cantidad de estrellas en el universo. El tiempo. La temperatura.



Generalmente las variables se representan con letras.

Así, el número de personas en el Perú se puede representar mediante la letra “x”, indicando de esta manera que es una cantidad que cambia con el transcurso del tiempo.

Importante Importante

En la naturaleza existen muchos ejemplos de variable. La presión atmosférica y el tiempo medidos por el barómetro y el reloj de arena, mostrados en la figura, son algunos de éstos.

I BIMESTRE

6ra

Sesión ¿Sabias Qué? E x i s t e n constantes que suelen representarse con letras, una de éstas es el número π (pi delalfabetogriego). Aparece espontáneamente y en los lugares más inesperados. Por ejemplo, la probabilidad de que dosenterospositivoscualesquiera sean primos entre sí es 6/π2. El valor aproximado de π es 3,14; pero, en realidad, la expansión decimal es infinita y no sigue ninguna pauta conocida. En 1949 John von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC para calcular las primeras 2037 cifras decimales de π. En 1986 David M. Bailey extrajo 29 360 000 cifras en un Cray–2 de la Nasa. En 1989 el matemático Gregory Chudnovsky utilizó dos supercomputadorasparacalcular más de mil millones de dígitos. Con 39 cifras basta para calcular la longitud de una circunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno. ¿Por qué entonces calcular pi con tantas cifras? La respuesta es sencilla: una computadora, como toda máquina, debe ser probada en su potencia y contra posibles defectos antes de comenzar a funcionar.

ALGEBRA / 1ER. AÑO 66

De Corazón hasta la muerte

¿Sabias Qué? Albert Einstein, físico y matemático, publicó en 1916 la Teoría general de la relatividad. En ella demostró que la velocidad de la luz (300000 km/s en el vacío) es la única constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.

I.E. "MARIANISTA"

Observa  Una constante también se considera término algebraico. Ejemplo: -1 7 ; ; 2 son términos 2 algebraico  Generalmente las variables tienen números escritos en la parte superior derecha, éstos reciben el nombre de exponentes.

Ejemplo:



7

4x

Exponente

 Los exponentes de las variables deben ser siempre números racionales.

III. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación. Ejemplos:  Multipliquemos la constante 7 con la variable x, así: 7x Esta expresión matemática se llama Término Algebraico. Partes de un Término Algebraico Un término posee generalmente 2 partes:  Parte Constante.  Parte Variable.

Ejemplo:

2x 3

Número Racional

5x –2

Número Racional

3

Número Racional

-3

Número Racional



7x 4



3x 4



6x



3

Número Irracional

Luego, la última expresión no es un término algebraico.

 Un término algebraico puede tener más de una variable.

Ejemplo: 7x3y4

Nivel I 1) R e l a c i o n a l a s s i g u i e n t e s proposiciones con su respectiva constante. a) La cantidad de meses de un año. b) Los colores del semáforo. c) Días de la semana. d) Las vocales. ( ( ( (

) ) ) )

7 5 12 3

2) Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones: a) La edad de una persona. _______ b) El doble del número de personas en el mundo. _______ c) El triple del número de pasajeros que suben a un autobús. _______ d) Menos el doble de la altura de un árbol. _______ 3) Completa el siguiente cuadro: Término Parte Algebraico Constante

Parte Variable

3x x 5x3

Ejemplos:

5

x7y4

Parte Parte Constante Variable ALGEBRA / 1ER. AÑO 67

EJERCICIOS DE APLICACION

-2x2y x3yz2

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

4) ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. L o s n ú m e r o s s o n constantes. II. Las variables se representan con números. III. 5 es una variable. a) I y III b) Sólo II c) Sólo I

d) Sólo III e) Ninguna

5) Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones: a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. __________ b) Cinco veces el dinero que gasté. __________

9) Encierra en un círculo los términos algebraicos. ¿Cuántos son? 2x2 3x1/2 7x 2 4x0,3 3x9 2x-2 2x-1/2 -2x3 -12x7 3x 3 a) 3 d) 8

b) 4 e) 7

a) 4x3 d) 12y8

c) 5

10) Indica en los siguientes casos, ¿cuálessontérminossemejantes? Coloca sí o no.  x2; 2x2 ; _ _ _ _ _ _ _ _ _ s o n términos semejantes.  3x 3 ; –2x 3 ; _______ son términos semejantes.  7x 5; 5x 7 ; _________ son términos semejantes.  –3y5x2; 2x2y5; ______ son términos semejantes.

c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. __________

 3xy; 7xy ; ________ son términos semejantes.

d) Menos ocho veces el área de un cuadrado. __________

 5x 2y; –2xy 2; _______ son términos semejantes.

6) Encierra con un círculo las constantes y con un triángulo las variables en 2 ; 4 ; α ; 7 ; y ; 1.

7) ¿Cuántas constantes enteras existen desde el 4 hasta el 10 inclusive? a) 5 d) 7

b) 3 e) 6

c) 4

a) 10 d) 6 I BIMESTRE

b) 7 e) 4

11) ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s expresiones no es un término algebraico? ¿Por qué? a) 7x-2 d) 5 + x5 b) -zywabpq e) -x-1 2 5 c) 24799x y

c) 5

b) 8w5 e) 14m7

c) 10z4

14) ¿Cuántos términos algebraicos con parte variable x2w5 existen, tal que su parte constante sea un número par de una cifra? Da por respuesta aquel término donde la suma de su parte constante con los exponentes de la parte variable sea máxima. a) 15 d) 14

b) 17 e) 18

c) 16

15) R e l a c i o n a l a s s i g u i e nte s relaciones con su respectiva constante. a) El número de días del mes de agosto. b) El número de estaciones del año. c) La cantidad de campanadas de un reloj al mediodía. d) La cantidad de sentidos en el ser humano. ( ( ( (

) ) ) )

12 5 4 31

Nivel II 12) Completa la siguiente tabla: Término Parte Parte Algebraico Constante Variable

8) Según el abecedario, ¿cuántas variables existen desde la “E” hasta la “K” inclusive?

13) Se busca un término algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes, ¿cuál cumple con la condición?

5x-9y2 4x-1wz3 -25x3y8w-4 -14xwz

4 5 3

Exp.

16) Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) 2; 3 y 7 son constantes. ( ) b) J; W y T son variables. ( ) c) En el término algebraico: 2x3, la parte constante es 2 y la parte variable es x3. ( ) d) 4x 5 y 7x 5 son términos semejantes. ( )

ALGEBRA / 1ER. AÑO 68

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Nociones Generales de Geometría Clásica Euclidiana En nuestro alrededor, tanto en la naturaleza como en las más diversas construcciones humanas, se despliega un maravilloso universo de formas y estructuras regidas por el orden y la lógica. Muy pocas cosas surgen o se desarrollan sin orden. Al contrario, bien en su esencia interna o bien en su apariencia exterior, todo en nuestro entorno respira armonía y sentido. La naturaleza puede ser caprichosa, pero en ningún modo es ilógica o inconsistente. Ahora bien, si todo lo que nos rodea tiene una determinada forma, y si toda forma tiene un orden lógico en su estructura, ¿no resulta razonable desear aprender sobre todo esto? ¿Verdad que te darías el trabajo de cavar un inmenso hoyo siempre y cuando supieras que al final del mismo encontrarás un valiosísimo tesoro?

Pues bien, la ciencia que se encarga del estudio de las relaciones, proporciones, medidas y propiedades de las formas que estructuran nuestro entorno es la Geometría. Etimológicamente hablando, Geometría proviene de dos palabras griegas: Geo : Tierra Metría : Medida I BIMESTRE

Por consiguiente, “la medida de la tierra” fue el humilde origen de la Geometría. Sí, de acuerdo con la mayoría de versiones, la Geometría tuvo sus inicios en Egipto, debido a la constante necesidad del hombre de medir sus tierras regularmente, ya que el río Nilo, al desbordarse, barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada persona. Sin embargo, el hombre, desde tiempos remotos, no sólo se preocupó por medir las tierras. Su afán de erigir edificaciones descomunales también contribuyó al rápido desarrollo de la Geometría, pues tuvo que diseñar figuras adecuadas para que su trabajo no fuese en vano. Si bien es cierto que el origen empírico de la Geometría ocurrió en Egipto, debe considerarse a Grecia como su verdadera patria pues aquí se erige la Geometría como ciencia. Es en Grecia donde se reemplaza la observación y la experiencia cotidianas por las deducciones racionales a partir de axiomas y postulados que se concibieron por un agudo proceso lógico. Veamos a continuación una breve reseñahistóricadeunodelosprincipales sabios griegos de la antigüedad quien, con su valioso aporte, contribuyó a elevar a la Geometría al grado de ciencia.

1ra

Sesión ¿Sabias Qué? Pitágoras f u e e l discípulo m á s sobresaliente de la Escuela Jónica, quien luego fundó la Escuela Pi t a g ó r i c a , cuyo lema era: “Los números rigen al mundo”. Esta escuela se caracterizó por dividir el saber científico en cuatro ramas: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. En cuanto a Pitágoras debemos decir que su figura ha llegado a nosotros llena de mitos y leyendas. Sin embargo, nadie cuestiona que su más grande aporte a la ciencia geométrica es

Teorema de Pitágoras

c

a

b En todo triángulo rectángulo, se cumple: a2 + b2 = c2

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 71

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

División Fundamental de la Geometría

Importante La Geometría que estudiaremos en secundaria es la Geometría Euclidiana y, sólo si la analizamos a cabalidad, veremos claramente el armonioso desarrollo lógico que presenta. Más importante aún, habremos puesto bases sólidas para el estudio de otras geometrías mucho más complejas, pero a la vez, mucho más importantes que, entre otras cosas, buscan ansiosamente una respuesta matemática, es decir, una respuesta perfecta a las cuestiones relacionadas con la forma y origen del universo.

Para un mejor estudio, tal como lo hizo Euclides en la antigüedad, dividiremos a la Geometría en: Geometría Plana Geometría del Espacio 1. GEOMETRÍA PLANA Llamada también Planimetría. Se encarga del estudio de todas las figuras planas, como por ejemplo: el triángulo, el rectángulo, la circunferencia, etc.

R

2. GEOMETRÍA DEL ESPACIO Llamada también Estereometría. Se encarga del estudio de los sólidos geométricos, como por ejemplo: la pirámide, el cubo, la esfera, etc.

R

OTRAS GEOMETRÍAS MÁS COMPLEJAS

Ningúnedificiograndepodría sostenerse sin un fundamento, ¿verdad? De manera similar, no podemos pretender alcanzar grandesconocimientosmatemáticos sin haber estudiado la Geometría Euclidiana.

Geometría Analítica

Geometría Fractal

Geometría Algorítmica

Geometría Elíptica

Geometría Diferencial

Geometría Hiperbólica

Geometría Descriptiva

Geometría Riemanniana

APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA Tan importante es el conocimiento geométrico que hoy su estudio se hace necesario para las diversas profesiones y disciplinas existentes, como por ejemplo: Arquitectura, Ingeniería, Física, Química, Bellas Artes, Diseño Gráfico, Diseño Industrial, Astronomía, Telecomunicaciones, etc. Por consiguiente, la Geometría es una pieza básica para comprender la realidad. De allí que algunos consideran que la Geometría es el lazarillo de todas las demás ciencias.

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 72

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

EJERCICIOS DE APLICACION

1) Calcula (a+5).

L1

b) 3 e) 5

c) 4



a) 8 d) 10

b) 4 e) 5

x

3

4 3 a) 8 d) 9

b) 10 e) 5 2

c) 7



a) 8 d) 15

a

5 3

a) 5 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5 2

a

3 5 a) 10 d) 6

I BIMESTRE

L1

b) 3 e) 4

15 b) 9 e) 8

2

L2

12

L3 c) 12



a) 1 d) 2

b) 5 e) 3

b) 9 e) 12

4

L2 L3 c) 5



a) 3 d) 5

L2

9 b) 4 e) 8

L3 c) 6

12) Halla x + y si L1 // L2 // L3.

L1

x

L2

3

L3 c) 4

L1

a

a

L3 c) 5

4

3y

a) 6 d) 8

L2

2x+2

a) 1 d) 2

10

L1

11) Halla “a” si L1 // L2 // L3.

8) Calcula “y” si L1 // L2 // L3.

4) Halla “a”.







L1

2

12

L3 c) 2

6

n–1

c) 12

3) Halla “a”. 8

L2

L3

b) 9 e) 18

4

b) 5 e) 6

3

L2

2n

30

10) Calcula n + 3 si L1 // L2 // L3.

7) Halla “x” si L1 // L2 // L3. 6

a) 4 d) 3

L1

9

8

5



c) 3

L1

3

5a

16

6) Si L1 // L2 // L3, halla “n”.

2) Halla “x”.



1

10

8

L3

a

2 a) 1 d) 6

b

L2

5



9) Calcula a + 2 si L1 // L2 // L3.

5) Calcula “b” si L1 // L2 // L3.

Nivel I



a) 10 d) 20

8 6

b) 12 e) 24

16 y

L1 L2

L3

c) 16

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 73

De Corazón hasta la muerte

13) Halla (a + 3) si L1 // L2 // L3. a



a) 4 d) 12

18) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.

L1

8

9

I.E. "MARIANISTA"

2a b) 6 e) 9

7

L2 L3

2



L1

3

2

4

n

6

m

a) 20 d) 12

8

x



b) 18 e) 24

L2 L3

a) 2 d) 5

a) 6 d) 4

b) 3 e) 5

c) 2

n2 = n

Observación:

10

3x

c) 8

14) Halla n + m si L1 // L2 // L3.

23) Calcula “x”.

b) 3 e) 6

c) 4

24) Halla “a”. 5a

19) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.

6

8

7

c) 21 x



a) 6 d) 4

b) 10 e) 2

c) 3

23 15) Halla a + b si a - b = 16 m. 3

b

5



a

a) 32 m b) 42 m d) 72 m e) 64 m

L1 L2 L3



a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

c) 5

25) Halla “a”.

20) Halla x.

c) 48 m

10

x+2

3



16) Aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de x.



a) 3 d) 6

b) 2 e) 8

1

2

15 b) 10 e) 14

c) 6



a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

22) Halla “n”. 5



4

a) 3 d) 5

b) 3 e) 2

c) 5

15

20

2n+1

c) 40

GEOMETRIA / 1ER. AÑO



27) Halla “a2”.

17) Calcula el perímetro del triángulo del problema anterior. b) 32 e) 30

x

2a

5

74

c) 4

26) Halla “x”.

21) Halla “a”. 3

x

a) 20 d) 23

b) 2 e) 6

c) 5

17

a) 12 d) 8

a) 1 d) 8

4

Nivel II



6

2a+4

a) 2 d) 1

b) 3 e) 6

a c) 4



a) 35 d) 24

b) 32 e) 40

c) 30

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

2ra

Líneas

Sesión

1. LÍNEA RECTA

5. RAYO

7. SEGMENTO DE RECTA

Es aquel conjunto de puntos que se extiende en un sólo sentido de forma ilimitada.

Es aquella porción de línea recta que tiene un punto de origen y que se extiende en un solo sentido de forma ilimitada.

Es aquella porción de línea recta que tiene punto de origen y punto final.

L

O

2. LÍNEA CURVA Es aquella que no tiene segmento recto alguno, por pequeño que se suponga. M

A

origen

Línea recta L.



Segmento AB.

Rayo: OA

6. SEMIRRECTA Es aquella porción de línea recta que no tiene punto de origen pero se extiende en un sólo sentido de forma ilimitada.

A

A B

B

A



B

Semirrecta: AB

3. LÍNEA QUEBRADA Línea quebrada o poligonal es la que se compone de dos o más segmentos rectilíneos.

EJERCICIOS DE APLICACION 2) Halla el perímetro de la figura mostrada.

Nivel I 4. LÍNEA MIXTA Se conforma de manera intercalada de segmentos curvilíneos y rectilíneos.

1) Del gráfico, calcula x si la línea tiene una longitud igual a (40 + 2π) cm.

6m 8m

2p

x

6m 8m

x



a) (2p + 10) m b) (4p + 20) m c) 12p m

d) 24p m e) 32p m

a) 10 cm b) 2 cm c) 2p cm d) 5 cm e) 20 cm I BIMESTRE

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 75

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

3) E s c r i b a e l n o m b r e q u e corresponde a las siguientes líneas.

a) ................



b) ................



c) ................



d) ................

a) b) c) d) e)

2

3

C 1

D 1

3

G

A b) 11 e) 13

a) b) c) d) e)

I.

6m 18 m 9m 15 m 7m

6m

a) 6 m b) 30 m c) 15 m d) 25 m e) 60 m II. 6m

6m a) 6 m b) 12 m c) 18 m d) 24 m e) 30 m GEOMETRIA / 1ER. AÑO

x

a)

( ) Línea recta

b)

( ) Segmento

c)

( ) Rayo

d)

( ) Semirrecta

11) Relacione correctamente ambas columnas. a)

I. O

P ( ) Recta

II. R

S ( ) Rayo

III. A

B ( ) Semirrecta

IV.

( ) Línea quebrada

V. M

10) Relacione correctamente ambas columnas.

C

c) 12

5) Calcule la longitud de las siguientes líneas, quebrada y mixta.

76

B

A

8) Relacione correctamente ambas columnas.

E 1 F

a) 3 d) 14

10 km 12 km 11 km 15 km 13 km

7) D e l g r á f i c o , c a l c u l a x s i el perímetro del triángulo equilátero es 18 m.

4) Calcule la longitud total de la línea quebrada A B C D E F G. B

6) La distancia de A a B es 5 km y de B a C es 8 km. Calcula la distancia de A a C.

N ( ) Segmento

9) Relacione correctamente ambas columnas. a)

( ) Línea mixta

b)

( ) Línea quebrada

c)

( ) Línea recta

d)

( ) Línea curva

( ) Triángulo curvilíneo

b) ( ) Triángulo esférico c)

( ) Triángulo rectilíneo

d)

( ) Triángulo mixtilíneo

12) Mencione la longitud de una línea quebrada si con ésta podemos formar un cuadrado de lado igual a 2 m. a) 2 m2 b) 2 cm c) 2 m d) 2 km e) 8 m 13) Con una cuerda de 60 cm se puede construir un hexágono de lados iguales. ¿Cuánto mide un lado? a) 10 cm b) 60 cm c) 15 cm d) 18 cm e) 20 cm 14) Con una cuerda de 12 m se puede construir un triángulo de ................ de perímetro. a) 12 cm b) 24 cm c) 7 cm d) 26 cm e) 18 cm I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

15) Si la línea horizontal PQ mide 64 cm, calcula el lado del cuadrado formado con dicha línea. a) 64 cm b) 32 cm c) 16 cm d) 8 cm e) 4 cm

Nivel II 16) Si la línea horizontal PQ mide 36 cm, calcule el lado del triángulo equilátero que se puede formar. a) 3 cm b) 6 cm c) 36 cm d) 12 cm e) 18 cm

17) Si Carlitos y Danielito parten al mismo tiempo de su casa y llegan al mismo tiempo al colegio siguiendo caminos diferentes, entonces podemos decir: I. Carlitos es más veloz que Danielito. II. Danielito escogió el camino más corto. III. Carlitos y Danielito tienen la misma velocidad. IV. El camino de Carlitos es una línea recta y el de Danielito es una línea mixta. Carlitos

19) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona:  Una línea recta es aquella en la que todos sus ................... siguen una misma ...............  Una línea ................... es el conjunto de dos o más lineas rectas (segmentos) consecutivos de diferentes direcciones.

 A la combinación de alguna línea curva y una línea recta se le conoce como ................... 20) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El rayo tiene origen. (

)

a) 6 m b) 12 c) 24 m d) 12 m e) 12 km I BIMESTRE

b) 6 cm c) 12 cm e) 25 cm

23) Calcula el perímetro de la figura sombreada. 1cm 1cm

a) 26 cm b) 28 cm c) 30 cm d) 32 cm e) 34 cm

24) Calcula el perímetro de la figura sombreada: 1cm 1cm

II. E l rayo t i e n e u n s o l o extremo. ( ) III. La línea curva es ilimitada. ( )

a) 28 cm b) 32 cm c) 30 cm d) 36 cm e) 24 cm

IV. La línea mixta se puede medir. ( ) a) VFVV b) FFFF d) VVVF e) VVVV

c) VFVV

colegio

18) Mencione la longitud de una línea mixta, si está formada a partir de una circunferencia de 12 m de longitud.

a) 3 cm d) 5 m

 Una línea cur va es la ................... de infinitos puntos en cualquier dirección.

21) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Danielito

22) Menciona la longitud de una línea quebrada si con ésta se puede formar un pentágono regular de lados iguales a 3 cm.

I. Una línea puede ser mixta. ( ) II. Un segmento de línea curva se puede medir. () III. La línea quebrada es la unión de varias porciones de líneas rectas. ( ) a) VVF d) FFV

b) VVV e) FFF

c) FVV

25) Para enrollar un hilo en un tubo cilíndrico se dieron 450 vueltas. Calcula la longitud del hilo si el tubo tiene 4 cm de perímetro en su sección recta. a) 10 m b) 12 m c) 16 m d) 18 m e) 20 m

26) Una soga se enrolla en un prisma cuadrangular de base cuadrada de lado 2 cm. Halla la longitud de la soga si da 1200 vueltas alrededor del prisma. a) 100 m b) 120 m c) 60 m d) 96 m e) 84 m GEOMETRIA / 1ER. AÑO 77

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Posiciones Relativas entre dos rectas •

Veamos la siguiente narración sobre el comportamiento de dos rectas en el plano.



Danielito y Carlitos deciden caminar exactamente por dos veredas opuestas de una gran avenida recta y del mismo ancho. ¿Llegarán a encontrarse en algún momento si los niños continúan caminando tal como lo decidieron?

Son aquellas rectas que no tienen punto en común y son coplanares.

Vemos pues que ambos se encuentran en algún momento, ello quiere decir que las líneas rectas se cortan o intersecan. A estas líneas rectas se les llama rectas secantes.

I BIMESTRE

Q

L4

L2

Propiedades 1. REFLEXIVA L1 // L2 ⇒ L1 ∩ L2 = ∅

B. RECTAS SECANTES Son aquellas rectas que sólo tienen un punto en común y son coplanares.

Si una recta L1 es paralela a otra recta L2, entonces la recta L2 es paralela a la recta L1. Si

L1 // L2

⇒

L1 // L2

L3 A

¿Sabias Qué?

L4 Notación



Línea Oblicua hacia la derecha

L1

Av. La Marina

os rlit a C Da nie A lito

L3

A. RECTAS PARALELAS

Carlitos

• E v i d e n t e m e n t e q u e n o , comprobando que ambos niños han caminado sobre rectas paralelas, éstas son rectas que no se encuentran o nunca se intersecan. En cambio, ¿qué sucedería si los niños caminan sobre líneas tal como indica la figura?

Sesión

Matemáticamente tenemos lo siguiente:

Notación

Danielito

3ra

Euclides

⇒ L3 ∩ L4 = A Las rectas secantes pueden ser perpendiculares o no. L2

L1

LíneaRecta Vertical

M

LíneaRecta Horizontal

Uno de lospostulados más famosos d e l a Geometría Euclidiana es: “Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la primera”.

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 78

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

2. TRANSITIVA

EJERCICIOS DE APLICACION

Si un recta L1 es paralela a una recta L2 y ésta a su vez es paralela a otra recta L3, entonces la primera recta L1 será paralela a la última L3. Si

L1 // L2

y

L2 // L3

⇒

L1 // L3

L1

Nivel I 1) Co m p l e t a l o s s i g u i e n t e s enunciados:

b) Dos rectas que no se cortan se llaman rectas ................ .

L3

3. Si dos rectas son paralelas, entonces los ángulos que forman con una secante serán iguales en medida. L1

L2

α

β

c) Según el postulado de Euclides, por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una ............ ..................... .

2) D e f i n a c a d a u n o d e l o s enunciados: a) Línea Recta L3

______________________ ______________________ b) Rectas Perpendiculares

Si L1 // L2 ⇒ a = b

______________________ ______________________

L3 L1

c) Rectas Paralelas

L2

______________________ ______________________ d) Rectas Secantes

79

B

C

A

D

a) Dos rectas que se intersecan se llaman .......................... .

L2

Si

L1 ⊥ L3

______________________ ______________________

y

L2 ⊥ L3

e) Rectas Coplanares

⇒

L1 // L2

______________________ ______________________

GEOMETRIA / 1ER. AÑO

3) En el rectángulo ABCD, señale verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

I. BC es paralelo a AD. II. AB es paralelo a CD. III. AB es secante a BC. IV. CD es paralelo a BC.

( ( ( (

) ) ) )

4) Del gráfico mostrado, indique cuántas rectas secantes hay. a) 5 b) 6 c) 10 d) 15 e) 9 5) Del ejercicio anterior, ¿cuántos puntos de intersección existen? a) 5 d) 15

b) 6 e) 9

c) 10

6) Calcula cuántas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada. a) 1 b) 2 d) Infinitos

c) 3 e) Ninguno

7) S e g ú n l a G e o m e t r í a n o Euclidiana, ¿cuántas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada? a) 1 b) 2 d) Infinitos

c) 3 e) Ninguno I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

8) De acuerdo a la pregunta 3, indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Existe sólo un par de segmentos paralelos. ( ) II. E x i s t e n d o s p a re s d e segmentos paralelos. ( )

11 Relaciona correctamente los 11) datos de ambas columnas. a)

(

b) P

(

III. AB y BC tienen un solo punto en común. ( ) IV. “C”es el punto de ntersección de BC y CD. ( ) 9) ¿Cuántas líneas rectas son necesarias para formar un triángulo?

c)

P

) Rectas perpendiculares

) “P” es el pie de las perpendiculares

( ) Rectas paralelas

A

d) ( ) Rectas secantes 12) Las huellas dejadas por las ruedas de un auto que viaja en línea recta, nos dan la idea de:

a) 1 d) 4

b) 2 c) 3 e) Infinitas

10) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente las afirmaciones de ambas columnas. B

N

C

a) b) c) d) e)

Rectas oblicuas Rectas cruzadas Rectas paralelas Rectas secantes Rectas coplanares

15) Escribe el significado de las siguientes representaciones: a) L3 ⊥ L4 ______________________ b) L1 ∩ L2 = ∅ ______________________ c) L2 // L3 ______________________ d) L1 ∩ L2 = A ______________________ Nivel II 16) De la figura: L1 // L2 ; L2 // L3 ∧ L3 // L4 ¿Cuántos pares de rectas paralelas y cuántos pares de rectas secantes hay? L1 L2 L3 L4

13) De las siguientes notaciones, indique las correctas. I. AB : segmento AB

A I. AB y CD ( II. BC y CD ( III. AB ∩ CD ( IV. BC ∩ AN (

D ) Rectas secantes ) Rectas paralelas )N )∅

II. OA : rayo OA III. L1 // L2 : L1 es paralelo a L2

b) 6 y 3 e) 3 y 2

c) 6 y 2

IV. L1 ⊥ L2 : L1 es perpendicular a L2 V. Si L1 // L2 y L2 // L3 a) b) c)

⇒ L1 // L3 I y II I y III I, II y III

d) Todas e) Ninguna

14) Representa con símbolos lo que se menciona a continuación. a) La recta L1 es perpendicular a la recta L2. b) La recta L3 es paralela a la recta L4. c) El punto“B”es la intersección de las rectas L5 y L6. I BIMESTRE

a) 6 y 4 d) 3 y 3

17) En la figura, α ≠ β. Indique verdadero ( V ) o falso (F) sobre lo que a continuación se menciona. L1

L2

L3

α

α

b

L4

 L1 y L2 son paralelas.  L1, L2 y L3 son paralelas.  L2 y L3 son paralelas.  L2 y L3 son no paralelas. a) VVVV b) VFFV c) VFFF d) FVVF e) FFFF GEOMETRIA / 1ER. AÑO 80

De Corazón hasta la muerte

18) Del problema anterior, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. α = 45º II. α ≠ 45º ⇔ L2 ⊥ L3 III. L1 // L2 // L3 a) VVV d) FFV

b) VFF e) FVV

I.E. "MARIANISTA"

22) Indica la relación correcta. L1

α

L2

b

c) FFF a) Si α = β ⇒ L1 ⊥ L2 b) Si α ≠ β ⇒ L1 // L2

19) Del problema anterior, indique lo correcto. I. Hay dos pares de rectas paralelas. II. β ≤ 90º III. L1 // L2 a) I y II b) I y III c) Sólo II d) Sólo I e) Sólo III 20) En un plano, si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces estas dos rectas son: a) Iguales b) Perpendiculares c) Secantes d) Paralelas e) No se sabe 21) Indique dos ejemplos de rectas paralelas y rectas secantes que puedas hallar en tu aula de clases (grafícalas).

c) Si L1 // L2 ⇒ α ≠ β d) Si L1 // L2 ⇒ α > β e) Si α = β ⇒ L1 // L2 23) Del problema anterior si

L1 // L2, entonces: a) b) c) d) e)

α<β α = 2β β<α α=β b = 2a

24) Según el croquis de algunas calles principales del distrito de San Miguel y Magdalena, indica verdadero (V) o falso (F) según coresponda.

II. La Av. Faucett y la Av. Universitaria son paralelas. ( ) III. La Av. Dintilhac es paralela a la Av. Silva Ochoa. ( ) IV. La Av. Brasil y la Av. Escobedo son no paralelas. () V. La Av. Pershing y la Av. Brasil son perpendiculares. ( ) a) VFFVF b) FVFVF c) VFFFF

d) VVVFV e) VFVFV

25) Del gráfico del problema anterior, es correcto que: I. Las avenidas Faucett, Rafael Escardó, Silva Ochoa, Jorge Dintilhac y Universitaria son paralelas. ( ) II. Las avenidas Venezuela y Universitaria son secantes. ( ) III. L a s a ve n i d a s B r a s i l y Universitaria son paralelas. ( ) a) VVF d) FFF

b) VVV e) VFV

c) FVF

I. La Av. Venezuela es paralela a una porción de la Av. La Marina. ( )

 Rectas paralelas

 Rectas secantes

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 81

I BIMESTRE

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Puntos de corte entre rectas En un día de paseo al campo, los alumnos del primer año del colegio “TRILCE” observaron una gran cantidad de fibras rectas y delgadas de hilo de una telaraña, uno de ellos exclamó: “¡Averigüemos la cantidad de fibras!” y todos con gran entusiasmo y cuidado empezaron a contarlos, uno, dos, tres, .... 499, 500 (quinientas) fibras. Luego de un breve silencio, Jaime, el más inquieto del grupo, hace la siguiente pregunta: “Si la araña cruza todas las fibras, ¿cuántos puntos de cruce como mínimo y cuántos como máximo se obtendrá?” ... Al instante respondieron todos, como mínimo se obtendrá un punto de cruce y como máximo, la respuesta fue variada, unos decían 500, otros 800, otros 1000 y hubo más números diferentes como respuesta. Al no ponerse de acuerdo, acudieron al profesor de geometría y le plantearon el problema. El profesor pidió silencio para resolver el dilema y dijo lo siguiente: “Si cada fibra nos representa una recta, entonces tendremos 500 rectas secantes. Resolvamos el problema de manera gradual”.



2 rectas 1

se cortan en 1 punto ⇒ Podemos escribirlo como 2x1 =1 2

1 3 rectas

4ra

Sesión ¿Sabias Qué?



2

se cortan en 3 puntos ⇒ Podemos escribirlo como 3 3x2 =3 2

1 2 3 4 rectas se cortan en 6 puntos ⇒ Podemos escribirlo como 4 5 4x3 6 =6 2

500 x 499 500 rectas = 124 750 2 ¡Qué cantidad tan grande! Exclamaron contentos los alumnos por la acertada respuesta de su profesor, y siguieron indagando más cosas. Veamos uno de ellos.

Ptolomeo I Rey de Egipto, mandó llamar a Euclides y le exigió un camino más sencillo y corto para aprender y entender la Geometría. Euclides le contestó: “Mi estimado rey de Egipto, no existecaminoprivilegiadoalguno para los reyes, para todos es el mismo” (igual de complicado). ¡Así que, mi estimado Rey, póngase a estudiar los postulados y axiomas!

Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas, ¿cuántos puntos de corte como máximo se obtendrán? Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen: * 1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos, esto quiere decir que: * 3 rectas secantes cortarán a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos. Las 3 rectas secantes se cortarán entre sí en:

3x2 = 3 puntos 2

∴ El número de puntos de corte será: 12 + 3 = 15

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 82

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Ejercicios de Aplicación

Nivel I 1) Halla el número máximo de puntos de corte de seis rectas secantes.

a) 12 d) 17

b) 13 e) 6

a) 19 d) 25

b) 21 e) 17

a) 4 d) 27

b) 28 e) 64

c) 82

4) Indica el número de puntos de corte. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 11



a) 10 d) 13

I BIMESTRE

b) 11 e) 9

c) 12

a) 6 d) 9

a) 10 d) 15

b) 12 e) 18

c) 14

9) En la figura, indica el número de puntos de corte. a) 10 b) 11 c) 20 d) 13 e) 15

5) Indica el número de puntos de corte.

c) 5

b) 7 e) 10

c) 8

13) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas.

8) ¿En cuántos puntos de corte cortarán cuatro rectas paralelas a tres rectas secantes? a) 10 d) 16

b) 7 e) 9

12) Halla el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 2 rectas paralelas.

a) 8 b) 6 c) 4 d) 3 e) 10



11) Calcula el número máximo de puntos de corte entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes. a) 6 d) 4

7) ¿En cuántos puntos de corte cortarán dos rectas secantes a las cuatro paralelas mostradas?

c) 23

3) Halla el máximo número de puntos de corte de 8 rectas secantes.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1

c) 15

2) Halla el número máximo de puntos de corte de siete rectas secantes.

6) ¿En cuántos puntos de corte cortará una recta secante a las cuatro paralelas mostradas?

b) 12 e) 18

c) 9

14) ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez rectas paralelas? a) 8 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

15) Halla el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. a) 6 d) 2

b) 5 e) 1

c) 3

Nivel II 10) ¿Cuántos puntos de corte hay? a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

16) Halla el número máximo de puntos de corte de 3 rectas secantes. a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

c) 5

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 83

De Corazón hasta la muerte

17) Halla el número máximo de puntos de corte de 4 rectas secantes. a) 2 d) 8

b) 4 e) 3

c) 6

I.E. "MARIANISTA"

24) Halla el máximo número de puntos de corte entre 5 rectas secantes y 5 paralelas. a) 35 d) 39

b) 37 e) 31

c) 33

Nivel III 31) Calcula el máximo número de puntos de corte de “x” rectas secantes. a) x2

18) Halla el número máximo de puntos de corte de 5 rectas secantes. a) 4 d) 10

b) 6 e) 12

c) 8

19) Halla el máximo número de puntos de corte de 20 rectas secantes. a) 170 d) 17

b) 19 e) 180

c) 190

20) Halla el máximo número de puntos de corte de “n” rectas secantes. a) n 2 2 n d) 2 2

b) n(n+1) c) n(n-1) 2 2 n-1 e) 2

21) ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a 3 paralelas? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

25) ¿En cuántos puntos cortará una recta secante a ‘‘p’’ rectas paralelas? a) p d) p/2

b) p - 1 e) p + 2

c) p + 1

b) x(x-1) c) (x-1) 2 2

d) x(x - 1)

32) Calcula el máximo número de puntos de corte entre “N” rectas secantes. a) N(N - 1)

26) ¿Cuántos puntos de corte existen entre 3 rectas paralelas? a) 1 d) 3

b) 2 e) 9

c) 0

27) ¿Cuántos puntos de corte existen entre 50 rectas paralelas? a) 10 d) 0

b) 5 e) 50

c) 25

28) ¿Cuántos puntos de corte existen entre 9 rectas secantes? a) 36 d) 40

b) 32 e) 48

c) 30

e) (x + 1)

b) N(N + 1) c) N(N-1) 2

d) n2 e) N-1 2

33) Calcula el máximo número de puntos de corte entre A rectas secantes y B rectas paralelas. a) A(A-1) d) 2AB 2 b) AB + A e) AB A(A-1) c) + AB 2

34) Calcula el máximo número de puntos de corte de K rectas secantes y P rectas paralelas. a) 2PK

22) ¿En cuántos puntos cortarán dos rectas secantes a 3 paralelas? a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

23) Halla el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos paralelas. a) 19 d) 25

b) 21 e) 27

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 84

c) 23

29) ¿Cuántos puntos de corte existen entre 4 rectas paralelas y 5 rectas secantes? a) 20 d) 36

b) 32 e) 30

c) 24

30) ¿Cuántos puntos de corte existen entre 10 rectas secantes? a) 45 d) 100

b) 40 e) 20

c) 50

b) P(K - 1) K(K-1) c) 2 d) K(K+1) 2 K(K-1) e) PK + 2

35) Halla el máximo número de puntos de corte entre 6 rectas secantes y 4 rectas paralelas. a) 32 d) 39

b) 36 e) 40

c) 38

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Segmento de Recta En el capítulo III estudiamos a las líneas rectas y vimos que el segmento es una de estas líneas. Recordemos que el segmento es una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. P

L

Q

En la figura anterior, tomamos “P” y “Q” de la recta L. A esta porción de recta limitada por los puntos en mención se le llama segmento PQ o segmento QP.

Notación de un Segmento

B 3m I. mAB = 3 m

Debemos recalcar que todas las mediciones lineales que se dan en nuestra vida cotidiana no son más que una operación de medir segmentos. Así por ejemplo, si queremos medir el borde de una pizarra rectangular, la altura de una casa o el ancho de una puerta, como se muestra: 4m

C

M

N

1,8m

MN : segmento MN o NM : segmento NM

Longitud de un Segmento La longitud de un segmento es un número positivo que representa a su medida y suele representarse de dos maneras. Para esto pongamos el siguiente ejemplo: Si el segmento AB tiene una longitud de 3 m, entonces:

I BIMESTRE

B

D

N P

1m

Sesión ¿Sabias Qué? Arquímedes

II. AB = 3 m

A

Atodosegmentosuelerepresentarse escribiendo los dos puntos asignados a sus extremos con una pequeña rayita sobre ellos, así: M

A

5ra

Q

decimos entonces:  mAB = mDC = 4m o AB = DC = 4m  mMN = 1,8m o MN = 8m  PQ = 1m o mPQ = 1m

(287 - 212 a.C.) S i n discusión, f u e e l matemático griego más genial que vivió en Siracusa. Su padre fue el astrónomo Fidias. Se atribuyen a Arquímedes numerosos inventos, entre ellos el “tornillo sin fin” destinado a traer agua del subsuelo en Egipto. Participó en la defensa de Siracusa. LaoriginalidaddeArquímedes lo convirtió, junto a Platón, en la flor innata del genio griego. Descubrió las propiedades del número π y las enunció en el libro Medida del círculo. 310 < p < 310 71 70 S e a nt i c i p ó a N e w to n 2000 años, pues descubrió los conceptos y principios básicos del Cálculo Integral. Murió asesinado por un soldado romano en la cárcel mientras resolvía un problema.

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 85

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Punto Medio de un Segmento Es el punto que divide al segmento en dos segmentos parciales de igual longitud o medida. Veamos la figura: A

M

B

3) Se construye el segmento PQ, siendo el punto de intersección de éste con EF el punto medio buscado.

Notita

“M” es el punto medio del segmento AB si:

Se dice también que el punto “M” biseca al segmento AB.

Ubicación del Punto Medio de un segmento mediante la Regla no Graduada y el Compás Si queremos ubicar el punto medio de un segmento mediante este método, sigamos los siguientes pasos: 1) Con una regla no graduada se dibujaunsegmentodeunalongitud cualquiera, tal como muestra la figura. E

Ejemplo: Ubica el punto medio del segmento AB. I)

B

A

II)

P A

B Q

III)

P

F

2) Haciendo centro con un compás en el punto“E”y con cualquier longitud (*) dibujamos una pequeña curva sobre y debajo del segmento. Luego se sigue el mismo procedimiento tomando como centro el punto F. P

E

F

(*) La longitud a tomar debe ser algo mayor que la mitad del segmento EF. GEOMETRIA / 1ER. AÑO

M A

(Fontenay–le–Comte, 1540–París, 1603). Matemático francés. Fue miembro del Parlamento de Bretaña (1573 - 1582) y después consejero privado de las cortes de Enrique III y de Enrique IV. Conocedor de Diofanto y Cardano, estableció las reglas para la extracción de raíces y dio a la trigonometría su forma definitiva en Canon mathematicus (1570). Se dedicó asimismo al estudio de los fundamentos del Álgebra, con la publicación, en 1591, de In artem analyticam isagoge, en el cual introdujo un sistema de notación que hacía uso de letras en las fórmulas algebraicas. Se ocupó finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la trigonometría plana y esférica.

B

Q Haciendousodeunareglagraduada o el compás, comprueba que el punto M es el punto medio del segmento AB.

Q

86

Francois Viete

Se traslada longitudes de segmentos midiendo con el compás el segmento dado, y luego dibujando en el lugar deseado.

mAM = mMB o AM = MB

Recuerda

Notita El segmento PQ es perpendicular al segmento AB. Además, a toda recta que pase por PQ se le llama mediatriz del segmento AB.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Nivel I 1) Completa de manera adecuada las siguientes oraciones: a) El segmento es una ______ ____ de recta limitada por ________ puntos llamados ____________. b) La longitud de un _________ es un __________ positivo. c) El ________ medio divide al segmento en ________ iguales 2) Relaciona correctamente los datos de ambas columnas. a) b) c) d)



( (

Segmento AB Medida del segmento AB Recta AB Semirrecta AB

) AB ( ) AB (

) AB ) AB

3) Indica el número de segmentos que hay en la figura. a) 1 b) 2 A c) 3 d) 4 D e) 5

B C

4) De acuerdo a la figura anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se enuncia. a) mAB = mCD ( ) b) BC es la notación del segmento BC. ( ) c) BC indica la medida del segmento BC. ( ) d) La longitud de un segmento es un número mayor que cero. ( ) 5) M e n c i o n a e l n ú m e ro d e segmentosquesepuedenformar con los puntos A, B y C. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

B

A

B

C

a) 1 d) 5

b) 2 e) 6

C

7y1 7y7 14 y 7 A 7 y -14 -7 y -14

d) PA = 2PB e) PB = 2PA

a) QA < QB b) QB < PB c) QA = 2QB d) QA = QB e) 2QA = QB 11) Indica el número máximo de segmentosquesepuedenformar con los tres puntos de la figura.

c) 3

7 M

B

8) Mediante el método de la regla y el compás ubica el punto medio de un segmento y comprueba la certeza haciendo uso del compás como instrumento de comparación. I BIMESTRE

a) PA < PB b) PA > PB c) PA = PB

D

7) Si “M” es el punto medio del segmento AB, entonces las medidas de AB y AM, respectivamente son: a) b) c) d) e)

C

A

10) Del problema anterior, ubica al azar otro punto Q de la mediatriz e indica la relación correcta.

6) ¿Cuántos segmentos se pueden formar con los puntos A, B, C y D? A

9) Por el método de la regla y el compás, construye la mediatriz del segmento AB y ubica al azar un punto “P” de ella. Haciendo uso del compás, ¿qué puedes decir de las medidas de los segmentos PA y PB? B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4

B

A

C

12) Indica el número máximo de segmentos que se obtiene al unir los cuatro puntos mostrados. a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7

A

B

C

D

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 87

De Corazón hasta la muerte

13) Por el método de la regla y el compás, construye un triángulo y trace las mediatrices de sus lados. Indica en cuántos puntos se cortan. a) b) c) d) e)

En uno En tres En cuatro En dos En ningún punto

14) ¿Cuántos segmentos se pueden obtener con tres puntos no colineales? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

15) Por el método de la regla y el compás, trace la mediatriz de la cuerda AB. ¿Qué observa de esta recta? A B O

a) b) c) d) e)

No pasa por el centro. Pasa por el centro. A veces pasa. Sin precisar. Todas se cumplen.

I.E. "MARIANISTA"

18) Relaciona correc tamente las informaciones de ambas columnas. a) PQ

(

) Pie de la oblicua

b) mPQ

(

) Vector PQ

c)

(

) Medida del segmento PQ

d)

(

) Pie de la perpendicular

17) Completa de manera adecuada lo que a continuación se menciona. a) Si“M”es un punto que biseca al segmento, entonces lo _______ en partes iguales. b) Con tres puntos colineales se puede obtener _________ segmentos.

19) Indica el número de segmentos que hay en la figura. a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 13

c) Dos puntos cualesquiera determinan una ________. GEOMETRIA / 1ER. AÑO 88

N 18

P

a) 12 y 24 b) 12 y 12 c) 24 y 24 d) 6 y 12 e) F. D. 24) Mediante el método de la regla y el compás, ubica “M” y “N” sabiendo que son los puntos medios de AB y BC, respectivamente. B

C

A

20) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:  PQ es la notación del segmento PQ. ( )  mPQ indica la medida del segmento PQ. ( )  El segmento tiene un número limitado de puntos. ( )

21) Indica el número de segmentos en la figura. D

B A

E

C

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

25) D e acuerdo al problema anterior, usando solamente el compás como instrumento de comparación, ¿qué puedes decir de las medidas de MN y AC? a) MN = AC 1 AC 3 1 c) MN = AC 2 b) MN =

d) MN = 2AC e) MN = 3AC 26) Utilizando compás y regla, determina el punto medio del segmento AB. A

B

c) 3

22) ¿Cuántos segmentos se pueden formar con los puntos A, B, C y D? a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12 M

Nivel II 16) Utilizando el criterio anterior, dibuja una circunferencia y ubica su centro.

23) Halla las medidas de MN y NP, de acuerdo a la figura.

27) Utilizando compás y regla determina el punto medio del segmento PQ. Q

D A

B

C

P I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Operaciones con Segmentos Queridos amigos, operar con segmentos es fácil y sencillo, de manera que no tendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema. Dos son las operaciones básicas que trataremos: la suma de segmentos y la resta de segmentos. Éstas se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunión y que se menciona de la manera siguiente: “El total es igual a la suma de las partes”. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo: Carlitos se dirige a la casa de Fabiola distante 5 km, para luego recorrer 3 km más hacia la casa de Danielito, tal como indica la figura.

C

F

¿Sabias Qué?

D

Carlitos recorrió entonces : 5 km + 3 km = 8 km

Pero notemos que:

Sesión

3 km

5 km

6ra

5 km es la longitud de CF 3 km es la longitud de FD 8 km es la longitud de CD

Entonces: CF + FD = CD

Notamos pues que la suma de las partes (CF y FD) es igual al total (CD).

De manera similar e intuitiva notamos que si a CD le quitamos o restamos FD, nos quedamos con CF; esto es:

Euclides En tiempo de Ptolomeo I, el gran matemático griego Euclides fundó y creó en Alejandría (siglo IV a.C.) la geometría que lleva su nombre, cuyos principios han servido de base durante dos mil años a la Geometría.

CD - FD = CF

Practiquemos un poco, tomando en cuenta la siguiente figura: 3 km A

B AB + BC =

7 km

2 km C

D

AC

=

AC + CD =

....................

=

..................

BC + CD =

....................

=

..................

AC – BC =

AB

=

AD – CD =

.................... =

..................

BD – CD =

.................... =

..................

I BIMESTRE

5 km

3 km

Interesante Einstein dijo: Restringir n u e s t r o s conocimientos a un pequeño grupo de personas debilita el espíritu filosófico de un pueblo y lo conduce a una pobreza espiritual.

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 89

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejercicios de Aplicación

Nivel I 1) De acuerdo a la figura, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. A B a) AB ∪ BC = AC b) AB ∩ BC = AC c) AB ∩ BC = B d) AB + BC = AC

( ( ( (

C ) ) ) )

2) De acuerdo a la figura, calcula BC si AD = 10, AC = 8 y BD = 6. A

B

a) 2 d) 8

C

b) 4 e) 10

D

B

a) 2 d) 7

b) 3 e) 8

D c) 5

A a) 5 d) 8

B

C b) 4 e) 17

R

b) 20 e) 6

c) 10

C b) 2 e) 5

D c) 3

 El postulado de la reunión, indica que el ............ es igual a la suma de las ................ .  Dos segmentos son ................. si tienen la misma longitud.  Si AB > PQ, entonces la expresión AB ÷ PQ es mayor que ............... . GEOMETRIA / 1ER. AÑO

ω

M

a) 2 d) 8

B

b) 4 e) 10

A a) 12 d) 3

x+4 B

x+5 C

b) 2 e) 4

b) 10 e) F. D.

c) 15

13) R e l a c i o n a d e m a n e r a adecuada:



( ( (

) MB - MA = 5 ) AM = MB ) AM > MB

x50+10 A

x50 B

a) 5 d) 0

b) 10 e) F. D.

C 50

c) x

15) Del problema anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que se menciona.

c) 6

10) Hallaelvalordelmenorsegmento determinado si AD = 21. x+3

R

14) De acuerdo a la figura, halla el valor de BC – AB.

9) Calcula el valor de ‘‘ω’’ en la siguiente figura si AB = 12.

A

Q

M B a+1 a b) A M B a+5 a c) A M B

x+10 Q

x+10

x P

a) A

D

8) Halla el valor de ‘‘x’’ si PR = 30.

a) 8 d) 15

12) De la figura, encuentra el valor de QR – PQ.

a) 5 d) 20

c) 6

ω

5) Relaciona de manera adecuada lo que a continuación se menciona.

90

c) 3

7) Halla el valor de BC si AD = 12, AC = 10 y BD = 9.

P

C

B

b) 2 e) 1,5

x

4) Halla el valor de mBC si AB = 14, BD = 18 y C es punto medio de AD. A a) 1 d) 4

a) 1 d) 0,5

c) 6

3) H a l l a m B C , s i A B = 1 0 , BD = 24 y C es punto medio de AD. A

6) Si A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos, halla el valor de BC cuando AC = BD = 3 y AD = 5.

* * * *

CB < BA ( ) CB > BA ( ) CB – BA = 10 CB = BA ( )

(

)

D c) 6

11) Del problema anterior, halla el valor de CD – BC. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Nivel II 16) De acuerdo a la figura, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona. P

Q

R

 PQ + QR = PR  PR – QR = PQ  PQ ∪ QR = PR  PR ∩ PQ = PQ

( ( ( (

) ) ) )

17) De la figura, indica el valor de BC. 12 A

B

C

D

10 b) 5 e) 4

c) 7

x+3

A

B

a) 2 d) 3,5

C

b) 2,5 e) 4

A

x B

a) 9 d) 6

x+1 C

b) 8 e) 5

D c) 7

A

2+x B

a) 5 d) 8

5–2x C

D

b) 10 c) 7 e) Imposible

21) Calcula la mínima distancia entre los puntos ‘‘A’’ y ‘‘D’’. A a) 10 d) 20 I BIMESTRE

7–2x

x+5

x+3 B

b) 15 e) 12

(

)

A

C

b) 5 e) F. D.

c) 7

x+5

A

9–x

B

M

a) x b) AB – BM c) AB d) BM ∪ MC

( ( ( (

) ) ) )

C

D c) 5

B

a) 1 d) 4

A

12 5 2 BC

C

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

P

Q

R

AQ = PR AP = QR AP + PQ =AQ AQ – PQ = QR AP = 2PQ

30) De acuerdo a la figura, calcula AB si AC = 18m y BC = 10m. A

B

a) 6 m d) 5 m

C

b) 8 m e) 9 m

c) 3 m

A

B

C

a) 10 m b) 12 m c) 15 m d) 9 m e) 13 m 32) Según la figura, AP = 18m y AB = CP = 5m. Halla BC.

c) 3

C

A a) 6 m d) 5 m

B C b) 8 m e) 9 m

P c) 7 m

D 33) Según la figura, calcula PQ si AD = 24m y AP = QD = 10m. A

P

a) 3 m d) 6 m

27) ¿Cuántos segmentos existen en la figura? Q b) 2 e) 5

c) 5

31) De acuerdo a la figura, halla AB si AC = 30m y BC = 18m.

AB = BC BC = CD AC = BD AB + BC = BD BC + CD = BD

P a) 1 d) 4

b) 4 e) 7

D

D

b) 2 e) 5

B

P

C

25) Calcula BC si AB = 10, BD = 16 y C es punto medio de AD. A

Q

A

B

a) 0 d) 2

R

29) De acuerdo a la figura, indica lo verdadero:

x

x+7

28) ¿Cuántos segmentos existen en la figura? a) 3 d) 6

26) Según la figura, indica lo correcto.

20) Calcula la mínima distancia entre los puntos ‘‘A’’ y ‘‘D’’. 3+x

)

c) 3

19) Halla el valor de la longitud del menor segmento si AD = 27. x–1

(

23) Encuentra el valor de AB – BC.

x+10

18) De la figura, halla la longitud del menor segmento si AC = 10. x

 AB = BC ( )  BC – AB = 2  AD = 15 ( )  AD ∩ BC = BC

24) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente los datos de ambas columnas.

15 a) 3 d) 9

22) Del problema anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuación se menciona.

R c) 3

Q

b) 2 m e) 4 m

D c) 8 m

34) Si AC = 18m y M es punto medio de AC, calcula AM. A M a) 9 m b) 8 m d) 11 m e) 12 m

C c) 10 m

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 91

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

35) Si AC = 30m y PC = 12m, halla MP si M es punto medio de AC. P a) A 15 m M b) 18 m C c) 30 m d) 25 m e) 27 m 36) Si AC = 40m y CQ = 12m, halla MQ sabiendo que M es punto medio de AC. A

M

C

Q

a) 28 m b) 30 m c) 32 m d) 36 m e) 34 m 37) Halla AM si M es punto medio de BC y AB = 14m, BC = 18m. A

B

M

C

a) 18 m b) 20 m c) 23 m d) 25 m e) 28 m 38) Calcula PM si M es punto medio de QR, PQ = 8m y QR = 24m. P

Q

M

R

a) 18 m b) 12 m c) 16 m d) 20 m e) 24 m 39) Halla AM si AM = BM, = 15m y AC = 27m

BC

40) En la figura, calcula MN si M es punto medio de AB y N es punto medio de BC. Además AB = 10m y BC = 18 m. M

B

N

C

a) 13 m b) 14 m c) 12 m d) 15 m e) 16 m 41) Según la figura, calcula PQ siendo P y Q puntos medios de AB y BC, respectivamente. Además AB = 16m y BC = 20m. A B C a) 14 m b) 16 m c) 19 m d) 18 m e) 20 m

GEOMETRIA / 1ER. AÑO 92

A a) 1 m d) 5 m

B M b) 3 m e) 2 m

C c) 4 m

43) Determina PM siendo M punto medio de AQ, AQ = 32m y AP = 12 m. A a) 3 m d) 6 m

P M b) 2 m e) 5 m

Q c) 4 m

A

B

Q

C

M B C b) 2 m c) 3 m e) 6 m

P

M

D

b) 6 m e) 7 m

Q c) 8 m

AC

A B C a) 10 m b) 12 m c) 20 m d) 18 m e) 24 m

47) Calcula PQ si PQ = 3QR y = 40 m. P

Q

PR R

a) 20 m b) 24 m c) 32 m d) 36 m e) 30 m

48) Halla AB si AB = BC = 2CD y además AD = 50m. A

P

AC

45) Halla MD si M es punto medio de PQ, PQ = 36m y DQ = 11 m. a) 4 m d) 5 m

50) H a l l a P Q s i e n d o P y Q puntos medios de AB y BC, respectivamente, y además AC = 32m. a) 16 m b) 18 m c) 12 m d) 14 m e) 10 m

44) Calcula BM si AM = MC, = 28m y BC = 10m. A a) 4 m d) 5 m

49) Calcula MN si M y N son puntos medios de AB y BC, respectivamente, y además AC = 24 m. A M B N C a) 10 m b) 12 m c) 16 m d) 18 m e) 13 m

46) Halla AB si AB = 2BC y = 30 m.

A M B C a) 8 m b) 12 m c) 6 m d) 10 m e) 4 m

A

42) Determina BM si AM = MC, AC = 30m y AB = 10m.

B

C

D

a) 10 m b) 15 m c) 25 m d) 20 m e) 12 m

Si hay un parásito que sin duda pone los pelos de punta tan sólo con la idea de poder albergarlo en el interior es la tenia. La tenia o solitaria es un parásito intestinal que llega a alcanzar los 10 metros de longitud y vive solo en el interior del intestino delgado y grueso del individuo. Imagínate un gusano así adherido a las paredes de tu intestino. La Teniasis se suele contraer al ingerir carne cruda o poco cocinada con una larva enquistada. Se han reportado casos en los que la tenia ha salido del cuerpo total o parcialmente por el ano. Este parásito, extraído y estirado constituiría un segmento pues tiene dos

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

1ra

División de la Química Introducción A la química se la considera una ciencia joven, pues no llega aún a los 400 años de vida en calidad de ciencia. CONSTITUCIÓN DE LA QUÍMICA MODERNA

HIPÓTESIS ATÓMICA DE DALTON



Química Inorgánica Estudia todas las sustancias inanimadas o del reino mineral.

La hipótesis atómica de John Dalton (1766 -1844) fue formulada a principios del siglo XIX y marcó el comienzo del cálculo sistemático de pesos atómicos para todos los elementos.



Química Orgánica Estudia todas las sustancias que contienen carbono (con excepción de CO, CO2, carbonatos, etc.) ya sean éstos naturales (provenientes del reino animal y vegetal) o artificiales (plásticos, fibras textiles, etcétera.).

TEORÍA DEL FLOGISTO Algunos historiadores afirman que la teoría del flogisto puede considerarse como la primera gran teoría de la química moderna. A principios del siglo XVIII, el médico Georg Ernst Stahl (1660 -1734), siguiendo las ideas de su maestro J.J. Becher (1635-1682), propuso una explicación conjunta de la calcinación de los metales, la combustión de los cuerpos combustibles y la respiración de los animales, basada en la existencia de un ‘‘principio de la combustibilidad’’ que denominó ‘‘flogisto’’. De acuerdo con sus ideas, los metales estaban formados por flogisto y la cal corrrespondiente, de modo que, cuando se calcinaban, el flogisto se desprendía y dejaba libre la cal correspondiente. Del mismo modo, para obtener el metal a partir de la cal, era necesario añadirle flogisto, el cual podía obtenerse a partir de una sustancia rica en este principio, como el carbón, por ejemplo. Un buen ejemplo de los libros que emplearon esta teoría es la popular obra de Joseph Macquer, Elémens de chymiethéorique,que fue traducida al castellano, publicada en 1788 en Valencia, donde fue utilizada para la enseñanza de la Química que se impartió en la universidad. El desarrollo de los estudios sobre los gases fue una de las causas que llevaron al abandono de la teoría del flogisto, aunque estas investigaciones se desarrollaron dentro de este marco teórico. I BIMESTRE

Sesión

Antoine Lavoisier

John Dalton

El Traité élémentaire de chimie de Antoine Lavoisier (1743 – 1794), se publicó en París en 1789 y representa la culminación de la química del siglo XVIII, que llevó al abandono de la teoría del flogisto y al uso de nuevas concepcionessobreloselementosy la composición de los cuerpos.

DIVISIÓN DE LA QUÍMICA QUÍMICA GENERAL Estudialosfundamentosoprincipios básicos comunes a todas las ramas de la ciencia química. QUÍMICA DESCRIPTIVA Estudialaspropiedadesylaobtención de cada sustancia químicamente pura en forma particular. Podemos subdividirla en:

Una de las consecuencias de la Revolución francesa fue que el rey Luis XVI murió guillotinado, y Antoine Lavoisier por ser colaborador del rey corrió la misma suerte.

QUIMICA / 1ER. AÑO 95

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA" QUÍMICA APLICADA Por su relación con otras ciencias y su aplicación práctica, podemos subdividirla en:

La gasolina es probablemente el compuesto más conocido del petróleo y que contiene sobre todo alcanos y cicloalcanos. Las gasolinas se clasifican de acuerdo a su índice de octano, que es una medición de su tendencia a producir detonaciones.

BIOQUÍMICA Estudia la composición, estructura y funciones de las moléculas complejas que forman sistemas biológicos e intervienen en procesos químicos vitales, como la fotosíntesis, digestión, respiración, reproducción, circulación, etcétera. PETROQUÍMICA Estudia la aplicación de procesos y principios químicos para obtener los productos industriales a partir de los derivados del petróleo, carbono y gas natural.

QUÍMICA ANALÍTICA Estudia las técnicas para identificar, separar y cuantificar las sustancias orgánicas e inorgánicas presentes en una muestra material, o los elementos presentes en un compuesto químico. Cualitativa Estudia las técnicas para identificar las sustancias químicas (simples y compuestas) en una muestra material o los elementos químicos presentes en un compuesto. Así por ejemplo, se ha determinado que en el agua pura sólo hay dos elementos: hidrógeno y oxígeno. Cuantitativa Estudia las técnicas para cuantificar las sustancias químicas puras en una muestra material o el porcentaje en pesoquerepresentacada elemento en un compuesto, para luego establecer su fórmula química.

QUIMICA / 1ER. AÑO 96

FARMOQUÍMICA Estudialaspropiedadesdelassustancias químicas y su acción nociva o benéfica sobre los seres vivos. Por ejemplo, la acción de la penicilina, las drogas y los antibióticos en seres humanos. FISICOQUÍMICA Estudia todos los procesos en los que se relacionan los principios y leyes físicas y químicas, como por ejemplo: la estructura atómica y molecular, propiedades de los gases, líquidos y sólidos, etc.

en sus minerales y rocas, intentando determinar las leyes o principios que rigen tal distribución y migración. QUÍMICA INDUSTRIAL Estudia la aplicación de procesos químicosylosinsumosparalaobtención de productos químicos sintéticos a gran escala, como por ejemplo: plásticos, caucho sintético, combustibles, fibras textiles, fertilizantes, jabones, detergentes, etc. ASTROQUÍMICA Estudia la composición química de los astros. Así por ejemplo, se ha determinado que la atmósfera del planeta Marte contiene nitrógeno (N2), anhídrido carbónico (CO2), helio (He) e hidrógeno (H2).

Demostración

¿Por qué la gasolina es un aporte del petróleo? Cuando el petróleo es llevado a la refinería, por ejemplo aquí en Lima tenemos la refinería de La Pampilla, es tratado con un proceso llamado destilación fraccionada en el cual los componentes del petróleo se separan, siendo uno de ellos la gasolina.

GEOQUÍMICA Estudia la composición química de la tierra. Los objetivos principales de la geoquímica son: (1) La determinación de la abundancia absoluta y relativa de los elementos químicos en la tierra. (2) Estudio de la distribución y migración de dichos elementos en las diversas partes de la Tierra (atmósfera, hidrósfera y litósfera) y

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte Resolución Geoquímica

Ejemplo 1

Ejemplo 4

El ketoconazol es un aporte de: Resolución El ketoconazol es una pastilla que se usa para matar hongos y por lo tanto se desarrolla en la industria farmoquímica. Ejemplo 2

La purificación de metales y producción de metales le corresponde a la química. Resolución El que se encarga de extraer metales de los minerales, la refinación, producción es la química metalúrgica. Ejemplo 5

El GLP es un aporte de: Resolución

La Química Analítica se divide en:

El GLP llamado también gas licuado de petróleo se usa como combustible de cocinas y es un aporte de la petroquímica.

Resolución a) Química Analítica Cuantitativa b) Química Analítica Cualitativa

II. Completa: 5)

Menciona 4 ejemplos de sólidos. ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ 6)

Menciona 4 ejemplos de líquidos. ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ 7) Menciona 4 ejemplos de gases. ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ 8)

Ejercicios de

Ejemplo 3 Para encontrar yacimientos de petróleo se hace estudios en lo que es la cartografía y también estudios específicos de suelos este último le corresponde a la química.

Aplicación

Nivel I I.

La Química Analítica estudia las técnicas para _____________ y _______________ las sustancias orgánicas e inorgánicas.

9) Química Analítica

La Química estudia a las sustancias que se clasifican en:

se divide en

1) Un gran aporte de la farmoquímica es la síntesis del SALBUTAMOL que evita la broncoconstricción por acción directa del músculo liso bronquial, sólo por 6 horas.

2)

3)

III. Relaciona: 10) Petroquímica 11) Farmoquímica

CH2

CH

CH2 NH

C(CH3)3

4)

12) Bioquímica

OH HO

I BIMESTRE

13) Geoquímica

QUIMICA / 1ER. AÑO 97

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

1( ) Estudia la composición química de la tierra. 1( ) Estudiaalasmoléculascomplejas que forman sistemas biológicos. 1( ) Se obtiene productos derivados del petróleo. 1( ) Estudia la acción nociva o los beneficios de sustancias químicas sobre los seres vivos.

17)

IV.

18)

Completa con 2 ejemplos los siguientes subtítulos.

III.

Química Analítica

________________________ ________________________ Química General

Ejemplo 1

_________________________ _________________________

Ejemplo 2

_________________________ _________________________

15) Química inorgánica Ejemplo 1 _________________________ _________________________ Ejemplo 2 _________________________ _________________________

Nivel II I.

Co m p l e t a l o s s i g u i e nte s cuadros.

16)

Química Descriptiva

QUIMICA / 1ER. AÑO 98

24) En la farmacia. ________________________ ________________________ 25) En la ciudad con un tránsito congestionado.

14) Química orgánica

Escribe los productos químicos que encontraría en las siguientes situaciones.

26) En un centro de belleza que presenta todo tipo de insumos para el cuidado general de la persona. ________________________ ________________________

II.

Menciona 2 ejemplos de la importancia de la química.

19) En medicina. ________________________ ________________________

20) En agricultura. ________________________ ________________________

27) En un establecimiento donde haya todo tipo de alimentos envasados. ________________________ ________________________ IV.

En una muestra de té filtrante se hizo los análisis químicos y se demostró que había 0,03 mg de cafeína.

21) En textilería. ________________________ ________________________

28) ¿Cuál sería la función de la química cualitativa? ________________________ ________________________

22) En medio ambiente. ________________________ ________________________

29) ¿Cuál sería la función de la química cuantitativa? ________________________ ________________________

23) En nutrición. ________________________ ________________________

30) Haz un comentario de la importancia de la química con todo lo que se ha estudiado. ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Materia Definición Es todo objeto o material que ocupa un determinado lugar en el espacio.

2da

Sesión PROPIEDADES PROPIEDADES GENERALES Se refiere a las propiedades extensivas, es decir, aquellas que dependen de la masa del cuerpo. Entre ellas tenemos: Extensión Es la propiedad de los cuerpos que le permite ocupar un determinado volumen en el espacio. Impenetrabilidad Esta propiedad nos indica que dos o más cuerpos no pueden ocupar simultáneamente un mismo lugar en el espacio.

Masa Es una propiedad que nos permite medir la cantidad de materia. Gracias a la masa, la materia puede ser identificada y diferenciada de otras.

Inercia Es la tendencia que tiene un cuerpo para permanecer en reposo o en movimiento uniforme. Para vencer la inercia se requiere de la aplicación de una fuerza que pone al cuerpo en movimiento o modifica el que ya tiene. Peso Es una fuerza con la cual un cuerpo es atraído por otro por efecto de la acción de la GRAVEDAD. No debemos confundir masa con peso; la masa es una cantidad de materia que se mide en una

W = mg W : peso del cuerpo. m : masa del cuerpo. g : aceleración de la gravedad.

I BIMESTRE

QUIMICA / 1ER. AÑO 99

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

PROPIEDADES ESPECÍFICAS

ESTADO SÓLIDO

ESTADO PLASMÁTICO

Se refiere a las propiedades intensivas, es decir, aquellas que no dependen de la masa del cuerpo. Tenemos por ejemplo: dureza, tenacidad, maleabilidad, ductilidad, y otras como:

Son cuerpos compactos debido a que la fuerza de cohesión de las moléculas son mayores que la fuerza de repulsión de las mismas. Se caracterizan por tener forma y

Es un estado de alto contenido energético; a temperaturas elevadas las moléculas gaseosas se ionizan a expensas de los choques de los átomos o las moléculas que se mueven rápidamente. El plasma es un gas ionizado parcial o totalmente, de tal manera que las densidades de carga positiva y negativa son prácticamente iguales, entonces decimos que es un sistema eléctricamente neutro.

Elasticidad Es la propiedad que tiene un cuerpo sólido para restaurar su forma original una vez que desaparece la fuerza que inicialmente lo estaba deformando. Expansibilidad Es la propiedad que tienen los gases para ocupar todo el volumen que se les presenta. Compresibilidad Es la propiedad de los gases que les permite reducir su volumen; es un proceso inverso a la propiedad anterior. Viscosidad Es la resistencia que encuentran las moléculas de un fluido para dispersarse. ESTADOS DE LA MATERIA Es aquel punto donde se definen sus propiedades físicas y químicas. Para indicar el número de estados de la materia podemos considerar lo siguiente:  De acuerdo a la Termodinámica se conoce como estado a aquel punto del cuerpo donde se definen sus propiedades de presión temperatura, volumen y entropía. Por consiguiente, existen infinitos estados termodinámicos que se agrupan en tres fases que son: fase sólida, fase líquida y fase

QUIMICA / 1ER. AÑO 100

Aplicaciones del Plasma

ESTADO LÍQUIDO Es un estado intermedio entre el sólido y el gaseoso, se caracteriza por tener volumen definido y forma indefinida. En su estado natural, donde eliminamos especialmente la acción de la gravedad y otros, el líquido adquiere forma esférica. ESTADO GASEOSO Es un estado donde las moléculas tienen un movimiento caótico debido a que la fuerza de cohesión de las moléculas es mucho menor que la fuerza de repulsión de las mismas. Se caracterizan por tener forma y volumen definidos debido al recipiente que los contiene.

Ø El plasma es producido en los descargadores de gases como los de luminiscente, de arco, etc.; este gas se denomina descarga gaseosa. Ø El plasma se emplea en los láseres de gas o generadores cuánticos de luz. Ø Los motores de plasma de pequeña potencia tienen grandes aplicaciones en las naves cósmicas. Ø El plasmatrón nos permite obtener chorros potentes de plasma denso que nos permiten CAMBIOS DE ESTADO Los cuerpos pueden pasar de un estado a otro, variando especialmente su presión y/o temperatura. Un ejemplo práctico que sufren los cambios de estado, es el agua; pero debemos tener en cuenta las siguientes observaciones. GASIFICACIÓN

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS MOLÉCULAS DE UN GAS

Ta m b i é n s e l e d e n o m i n a evaporización o ebullición, pero con un mecanismo distinto. La evaporación ocurre en la superficie del líquido a temperaturas indefinidas. La ebullición ocurre en cualquier par te del líquido pero a una temperatura definida. La volatilización es una vaporización que se realiza violentamente; por ejemplo: el éter, I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte CAMBIO DE ESTADO

Sólido → Líquido Inversa

Sólido → Gas

EJEMPLOS

NOMBRE

Fusión

Fusión de la nieve o el hielo

Sublimación

Sublimación de nieve carbónica

Líquido → Sólido Congelación, solidificación Líquido → Gas

Congelación del agua o solidificación de un metal fundido

Vaporización, Evaporización evaporación de agua

Gas → Líquido Condensación, Formación de rocío o licuación condensación, licuefacción de dióxido de carbono Gas → Sólido

LICUACIÓN Ta m b i é n p o d e m o s u s a r e l término condensación, pero sólo es conveniente cuando se trata de pasar de vapor a líquido. SUBLIMACIÓN Es un proceso directo de sólido a gas sin conocer el estado líquido, por ejemplo tenemos al hielo seco ( CO2 en forma sólida).

Sublimación

Demostración

¿Por qué el aire no se expande por todo el universo? Sabemosquelosgasesseexpanden debido a la alta energía cinética que tienen sus moléculas, pero no llegan a expandirse por todo el universo porque existe la fuerza de la GRAVEDAD y las moléculas del aire no pueden vencer la fuerza de la gravedad.

Formación de escarcha y nieve inversa Ejemplo 2

El cambio de estado de líquido a sólido se llama ________________ .

Resolución El cambio de estado se llama solidificación. Ejemplo 3 Escriba 2 ejemplos de sublimación directa. Resolución

El cielo es azul porque la luz del Sol, que es blanca, al llegar a la atmósfera se dispersa, siendo la luz azul dispersada con mayor facilidad por las moléculas de aire.

Ejemplo 1 ¿El agua siempre hierve a 100˚C?

Ejemplo1: El hielo seco sólo puede pasar de sólido a gas sin que pase por el estado líquido. Ejemplo 2: La naftalina, que son bolitas blancas se usan para repelar las polillas de las ropas.

Resolución No, porque depende de la presión a la que se encuentre el agua.

I BIMESTRE

QUIMICA / 1ER. AÑO 101

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejercicios de Aplicación

El mar es azul porque refleja el color del cielo o a veces el mar se presenta verdoso debido a diminutas algas que componen fitoplancton, los cuales son verdes como todas las plantas que realizan la fotosíntesis.

Nivel I I.

Llene los siguientes cuadros:

Materia

se define como

presenta 2 tipos de propiedades

2)

éstas se

4) éstas se clasifican en:

3) clasifican en:

7)

5) Ejemplo 4 El gas se concentra en las nubes y luego comienza la lluvia, este fenómeno es un cambio físico llamado ...

permiten ocupar un determinado

es atraído por la

6)

dos o más cuerpos no pueden ocupar

Resolución

1)

8) para vencerlo se requiere de la aplicación de una

El cambio de gas a líquido se llama condensación. II.

De la siguiente gráfica, indica el cambio de estado.

Ejemplo 5 Gas Es un estado de agregación de la materia en la cual la fuerza de atracción es la más fuerte.

11)

9)

Líquido

Resolución El estado sólido.

El paso de líquido a gas

12)

10) Sólido

QUIMICA / 1ER. AÑO 102

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA" III.

De Corazón hasta la muerte

Relaciona mediante flechas.

13) Sólido

Mayor fuerza de repulsión.

14) Líquido

Menor fuerza de repulsión. Equilibrio entre las fuerzas de atracción y repulsión.

15) Gas

22) Es un estado intermedio entre el sólido y el gaseoso.

29) ¿Por qué no es un cambio químico?

_______________________

________________________ ________________________

23) Las moléculas se encuentran ionizadas. _______________________

III.

Nivel II I. Relaciona:

Nivel III Gas

Sólido

Se llama ____________________ 25)

17) Dos o más cuerpos no pueden ocupar simultáneamente un mismo lugar.

Líquido

Sólido

Se llama ____________________ 18) Son propiedades que no dependen de la masa del cuerpo.

26) Gas

19) Aquellas propiedades que depeden de la masa del cuerpo. 20) Es la propiedad de los gases que les permite reducir su volumen. ( ( ( ( (

) Compresibilidad ) Impenetrabilidad ) Propiedades generales ) Propiedades específicas ) Peso

II. Completa: 21) La fuerza de cohesión de las moléculas son mayores que la fuerza de repulsión. _______________________

I BIMESTRE

Líquido

Se llama ____________________ 27) Sólido

Líquido

Se llama ____________________ IV.

________________________

Completa los cambios físicos.

24)

16) Es la fuerza por la cual un cuerpo es atraído por efecto de la gravedad.

30) Al derretirse los cubitos, ¿cómo será ahora la fuerza de atracción con respecto a la fuerza de repulsión?

En un día soleado, usted saca de la regrigeradora cubitos de hielo y los deja 5 minutos en el ambiente, luego éstos se derriten.

28) ¿Qué cambios se produjeron? ________________________ ________________________

I.

Relaciona qué tipo de propiedad específica presentan los siguientes ejemplos:

31) El aceite es más espeso que el agua. ________________________ 32) L a p l a s t i l i n a s e p u e d e maniobrar más que la madera. ________________________

33) Se puede reducir el volumen de un globo inflado con aire. ________________________ 34) E x p l o t ó u n a b o m b a lacrimógena a 100 metros de nosotros pero luego de 2 minutos lo sentimos. ________________________ 35) Se puede convertir en hilos a los metales. ________________________ 36) Se puede convertir en láminas a los metales. ( ) Compresibilidad ( ) Ductilidad ( ) Maleabilidad ( ) Viscosidad ( ) Elasticidad ( ) Expansibilidad QUIMICA / 1ER. AÑO 103

De Corazón hasta la muerte II.

I.E. "MARIANISTA"

Completa los cuadros. 38)

37) Inercia

44) Al descomponerse la manzana por efecto de la temperatura, ¿ocurre un cambio físico o químico? Explique por qué.

conocida también como

es una propiedad

que es una 39) propiedad de la

Impenetrabilidad

40)

es una propiedad de la

________________________ ________________________ ________________________ ________________________

42) 41) conocida también como

que es una propiedad de la

________________________ 45) La formación del acero es produc to de una mezcla de _______________ y

III.

Completa el cambio físico. Gas

43)

_____________________, Líquido

Sólido

lo cual es un cambio ________________________.

La gasolina no es igual en invierno y en verano Resulta que fabricar gasolina no es tan simple como mucha gente cree. No basta con destilar petróleo en las refinerías y enviarlo a las gasolineras. La gasolina es una mezcla de diferentes componentes que deben mezclarse en proporciones adecuadas para conseguir las propiedades deseadas, y una de las más importantes es la volatilidad. ¿Por qué la volatilidad? En los cilindros del motor de los automóviles se quema una mezcla de aire y vapor de gasolina que se ha preparado previamente en el carburador. Sin embargo, cuando el tiempo es muy frío resulta difícil vaporizar la gasolina y cuesta mucho arrancar el motor. Por eso, las compañías petrolíferas, en invierno, preparan gasolinas con una mayor proporción de componentes volátiles lo que permite que se vaporice más fácilmente. Por otra parte, cuando el tiempo es caluroso, no es deseable que la gasolina sea muy volátil porque se vaporizaría con demasiada facilidad. Parte de la gasolina del depósito se perdería por evaporación, lo que además de caro resulta peligroso para el medio ambiente. Además, pueden formarse bolsas de vapor en los conductos del combustible, con lo que la bomba de gasolina no podría funcionar correctamente y no llegaría suficiente combustible al motor. En resumen, todo un problema. Pero, como las gasolinas son mezclas de hidrocarburos con diferente volatilidad, se resuelve fácilmente cambiando la proporción de la mezcla. Cuanto más frío sea el clima mayor proporción de componentes volátiles debe contener la mezcla. De hecho, las compañías petrolíferas cambian la proporción de la mezcla cuatro veces al año, y no nos damos cuenta, pero lo notaríamos si no lo hicieran. Menos mal que no la cambian todos los meses porque sino los

QUIMICA / 1ER. AÑO 104

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Estructura Atómica Definición de Átomo Es la partícula más pequeña de un elemento químico que conserva las propiedades de dicho elemento. Es un sistema dinámico y energético en equilibrio constituido por el núcleo y la zona extranuclear.

3ra

Sesión NEUTRÓN Partícula subatómica desprovista de carga. Los neutrones se encuentran en el núcleo (centro) de los átomos junto con partículas de carga positiva, denominadas protones. Neutrones y protones tienen una masa igual a una unidad. ELECTRÓN Partícula fundamental con carga eléctrica negativa. Los electrones se mueven alrededor del núcleo (centro) atómico en regiones denominadas orbitales. Cada orbital puede admitir un número limitado de electrones.

NÚCLEO Parte central de un átomo. El núcleo contiene casi toda la masa de un átomo, en un espacio muy pequeño en comparación con el tamaño total del mismo. Allí se encuentran los protones y neutrones. ZONA EXTRANUCLEAR

Un átomo tiene un diámetro aproximado. de una diez mil millonésima de metro. Sin embargo, la mayor parte de su masa se concentra en su zona central, llamada núcleo. El núcleo es tan pequeño que si tuviera el tamaño de una ciruela, el átomo completo sería tan grande como una pirámide egipcia.

Es un espacio muy grande (constituye el 99.99% del volumen atómico), donde se encuentran los electrones ocupando ciertos estados de energía (orbitales, subniveles y niveles). PROTÓN Partícula subatómica con carga eléctrica positiva. Los protones se hallan en el núcleo (centro) del átomo. Su número es igual al de los electrones (partículas de carga negativa). El número de protones del átomo de un elemento determina el número atómico del mismo. I BIMESTRE

QUIMICA / 1ER. AÑO 105

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA" CARGA DEL ÁTOMO (CARGA RELATIVA)

Definiciones Básicas NÚMERO ATÓMICO (Z) Fue determinado por MOSELEY al realizar experimentos donde producía rayos X por intermedio de diversos materiales electródicos . En conclusión, el número atómico nos determina el número de protones de un átomo y a su vez permite identificar al elemento químico. Niels Bohr premio Nobel de Física en 1922 le contestó a su profesor Rutherford la siguiente pregunta: ¿Cómo determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro?, y éste respondió de diversas maneras usando las leyes de la Física, pero la más clara fue: “Voy al conserje del edificio y le digo que me responda la altura y le regalo un barómetro”.

La carga de un átomo se determina de acuerdo al número de protones y electrones que éste posee. es neutro si es ion si

En general para todo átomo neutro o ionizado se cumple que: CARGA DEL ÁTOMO = #p - #e

Z=#p (para todo átomo neutro o ionizado)

Ejemplos:

{ #p#e == 02 → CARGA = +2

4

He+2

Ejemplo:

2

Z = 1 → Hidrógeno → H Z = 2 → Helio → He Z = 6 → Carbono → C Z = 8 → Oxígeno → O Z= 15 → Fósforo → P

{ #p#e == 1013 → CARGA = +3

27

Al+3

13

{ #p#e == 1817 → CARGA = −1

35

Cl-1

17

NÚMERO DE MASA (A) REPRESENTACIÓN Todo elemento químico se representa mediante el llamado símbolo químico, donde se acostumbra señalar determinados parámetros para identificar el átomo de cada elemento o elementos diferentes.

A = #p + #n = Z + #n (para todo átomo neutro o ionizado)

A Z

x

carga

O

8

#p = 8 #e =8 → CARGA=0 (neutra)

ISÓTOPOS (HÍLIDOS) Se trata de átomos que pertenecen a un mismo elemento, pero poseen diferente número de neutrones. Es decir, que tienen igual número atómico, pero diferente número de Ejemplos:

Ejemplos: #p+#n

23

Na

11

A : número de masa Z : número atómico #n : número de neutrones

{

16

También se denomina número másico o índice de masa, nos indica el total de nucleones que tiene el átomo, es decir, protones y neutrones.

: #p = #e : #p ≠ #e

31

P

15 40

Ca

20

→ A = 23 = 11 + 12 → A = 31 = 15 + 16

→ A = 40 = 20 + 20

1

H

1

2

H

1

3

H

1

tritio

→ #n = 2

deuterio → #n = 1 protio → #n = 0

234

U

92

QUIMICA / 1ER. AÑO 106

→ A = 234 = 92 + 142

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Carbono 12

13

14

6

6

6

C

C

Demostración

C #n = 8 #n = 7 #n = 6

ISÓBAROS Se trata de átomos que poseen diferente número de protones, pero con igual número de masa, es decir , diferente número atómico pero igual número de masa.

¿Por qué el núcleo va cargado positivamente? Sabemos que en el núcleo del átomo encontramos a los protones y que fue demostrado por el científico RUTHERFORD (dichos protones son cargados positivamente). Más adelante el científico CHADWICK encontró los famosos neutrones pero éstos no presentaban carga. Por lo tanto, en el núcleo las únicas cargas presentes son las de los protones y éstas son positivas. 2.a Capa

Ejemplos: 40

3.a Capa

40

K - 20Ca

19

14

14

C - 7N

6

1.a Capa

ISÓTONOS

Esta imagen fue obtenida con un microscopio de barrido, pueden verse los átomos individuales de la superficie de un cristal de germanio, dispuestos en forma uniforme. Si se colocarán uno junto al otro, 100 millones de estos átomos apenas cubrirían 1 centímetro. Como son cientos de veces menores que la longitud de onda de la luz visible, no pueden verse con ningún microscopio óptico.

Son átomos de diferentes elementos que poseen el mismo número de neutrones. 12

11

C - 5B

6

#n = 6

31

32

P - 16S

15

#n = 16

ENUNCIADO

Ejemplo 1 Para el átomo cleones.

27

,Al halla los nu13

Resolución

En la actualidad se conocen oficialmente 109 elementos químicos, sin embargo, existen más de 2500 núcleos distintos, es decir, isótopos.

A los nucleones se les llama también el número de masa y vemos que el número de masa para el elemento alumnio es 27.

X ;

2a

16

Y

8

Ejemplo 2 Halla las partículas fundamentales de “Y”. Resolución 16

Y

8 +

-

p =e

I BIMESTRE

4a

Tenemos:

n° = 16 - 8 = 8 Partículas fundamentales: p+ + e- + n° 8 + 8 + 8 = 24 QUIMICA / 1ER. AÑO 107

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejercicios de

Ejemplo 3 Si X e Y son isótonos, halla el número atómico de x.

Aplicación

Resolución

Nivel I

nX = 4a - 2a = 2a ; nY = 16 - 8 = 8

I.

Completa los siguientes cuadros:

entonces como son isótonos 2a = 8 ⇒ a = 4 4a

X

Átomo 1)

número atómico =2 x (4) = 8

2a

constituido por

Ejemplo 4 2)

Halla los nucleones de X.

constituido por partículas como

3)

constituido por partículas

Resolución Los nucleones = número de masa = 4a = 4(4) = 16

4)

con carga

5)

con carga

6)

con carga

Ejemplo 5 Si X e Y presentan el mismo número de protones, entonces se denominan: Resolución Cuando presentan el mismo número de protones se les llama isótopos.

II. 7)

23 Na 11

Rpta. _____________________

8)

40 Ca 20

Rpta. _____________________

9)

31 1X 15

Rpta. _____________________

III.

QUIMICA / 1ER. AÑO 108

Halla las cargas nucleares de:

Relaciona con flechas.

10) Isótopo

Igual número de masa.

11) Isótono

Igual número atómico

12) Isóbaro

Igual número de partículas neutras I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA" 13) Si

a

De Corazón hasta la muerte

40

X e cYson isóbaros, halla

b

partícula más ligera.

a + b + c, si además “ X” presenta 20 neutrones e “Y” 21 neutrones.

________________________

a) 40 d) 79

19) Escribe el nombre de la

b) 20 e) 80

c) 19

14) En un elemento sus neutrones son 3 unidades más que sus protones y su número de masa es 23. Halla el número de neutrones. a) 10 d) 15

b) 13 e) 14

c) 16

15) Se tiene dos isótopos. Se sabe que la suma de sus neutrones es 60 y la suma de sus números de masa es 120. Halla el número atómico. a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

________________________

25) S i A , B y C s o n á to m o s consecutivos y el de mayor cantidad de protones tiene 22 como número atómico, halla el número de protones de A. a) 10 d) 22

________________________ ________________________ 20) ¿Cuál de las partes del átomo determina el tamaño del átomo? ________________________ ________________________

21) En



b) _____________________

17) Escribe cuáles son las partículas fundamentales.

a) _____________________



b) _____________________

I BIMESTRE

c) 0

27) Si los siguientes átomos son isótopos, halla el promedio de sus números de neutrones. 4k

X

a) 20 d) 24

60

4k+2

Y

2k+1

b) 22 e) 16

c) 21

X, halla p+ + n°.

28

a) 60 d) 88

b) 28 e) 24

c) 32

28) Indica el número atómico de un elemento que posee 2 isótopos, sabiendo que la suma de los neutrones de éstos es 15 y la suma de las masas atómicas es 29. a) 9 d) 44

_________________________

a) _____________________

b) -1 e) -22

a) +1 d) +22

II. Completa:

22) Dos elementos que presentan la misma cantidad de neutrones y diferente número atómico se denominan:



c) 21

26) De un elemento que tiene 11 protones y 11 electrones, ¿cuál es la carga total del átomo?

k+9

Para el siguiente gráfico:

16) Escribe las partes del átomo:

b) 20 e) 23

partícula neutra.

c) 30

Nivel II I.

18) Escribe el nombre de la

b) 7 e) 22

c) 11

23) Es una subpartícula que se encuentra en el núcleo y presenta carga relativa cero.

29) En las siguientes notaciones:

_________________________



III.

32

34

30

15

17

15

R

24) Un elemento “Y” presenta como número de masa 40 y además se sabe que sus neutrones son el triple de sus protones. Halla el número de partículas neutras. b) 20

X

T

M

¿cuántos isótonos existen? a) 1 d) 4

Resuelve:

a) 10

35 18

b) 2 e) 5

c) 3

30) Un átomo posee 40 neutrones y su número de masa es el triple de sus protones. Halla su número atómico. a) 16 d) 28

b) 20 e) 32

c) 24

c) 30

QUIMICA / 1ER. AÑO 109

De Corazón hasta la muerte Nivel III I.

Para el siguiente gráfico:

I.E. "MARIANISTA" 36) ¿A qué se le denomina carga nuclear? ________________________ ________________________ II.

42)

A1

E

69



A2

E

69

Halla A1 + A2 , sabiendo que la suma de sus neutrones es 39.

Resuelve los siguientes ejercicios y escribe la respuesta.

37) Si los siguientes átomos son isótopos, halla el promedio de sus números atómicos. k+8

31) Señala sus partes y escríbelo. ________________________ ________________________

32) ¿Cuáles son las partículas más pesadas y entre ellas la más pesada? ________________________ ________________________

33) ¿Qué parte del átomo indica el volumen del átomo?

J

2k+2

Y

________________________ 38) L a s e m i d i fe re n c i a e n t re partículas positivas de un átomo es 5. Si el número de masa es 80, ¿cuál es el número de neutrones?

39) Un átomo posee en total 186 partículas fundamentales (p+, n° y e-). ¿Cuántos neutrones posee, sabiendo que los tres tipos se encuentran distribuidos igual-mente?

44) La relación entre los números másicos de dos isótonos es 9/7. Si éstos difieren en 20 protones, determina la suma de los nucleones fundamentales. ________________________ III.

Indica verdadero (V) o falso (F) y explique el porqué.

________________________

45) E l áto m o e s u n s i s te m a energético en equilibrio dinámico. ( )

40) El núclido

________________________

________________________ ________________________

43) Un átomo posee 80 neutrones y su número de masa es el triple de su número atómico. Halla Z.

2x + 3

E

x-1

34) ¿Cuál de las partes del átomo indica el 99.99% del peso del átomo?



________________________

________________________

posee 20 protones, halla el número de nucleones.

________________________

35) ¿ A q u é s e l e d e n o m i n a nucleones? ________________________ ________________________

QUIMICA / 1ER. AÑO 110

41) En el núcleo de un átomo los neutrones y protones están en la relación de 6 a 4. Si su número de masa es 90, halla el valor de Z. ________________________

46) Todos los átomos de un mismo elemento son idénticos. ( ) ________________________ ________________________

47) S ó l o e x i s te n 3 t i p o s d e partículas subatómicas en el átomo. ( ) ________________________

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

4ta

Números Cuánticos

Sesión

Orbital Atómico

Número Cuántico Principal (n) : Nivel

No es posible saber la posición y la velocidad exactas de un electrón en un momento determinado, sin embargo, es posible describir dónde se encuentra. La zona que puede ocupar un electrón dentro de un átomo se llama orbital atómico. Existen varios orbitales distintos en cada átomo, cada uno de los cuales tiene un tamaño, forma y nivel de energía específico. Pueden contener hasta dos electrones que, a su vez, tienen números cuánticos o de espines cuánticos o de espines

Este número determina el nivel electrónico, asume cualquier valor entero positivo no incluyendo el cero. El número cuántico principal también nos permite conocer la energía del átomo de hidrógeno o de cualquier otro átomo de un solo electrón (ión). Designación cuántica

1 2 3 4 5 6 7 ... etc.

Designación espectroscópica

K

# máximo de electrones

2 8 18 32 50 72 98 ...etc.

L

M

N

O

 32

P

Q ... etc.

  18 8

El número máximo de electrones que existe en cada nivel ‘‘n’’ se determina por la fórmula:

ORBITALES

#max(e-) = 2n2 También se denomina número cuántico de momento angular azimutal, este nombre se debe a que el número determina el momento angular del electrón y la energía cinética del movimiento angular. Del mismo modo nos indica la forma de la nube electrónica donde se mueve el electrón. Los valores que adquiere este número dependen del número cuántico principal. Designación cuántica

desde:

Designación espectroscópica

0

1

2

3 ....hasta (n - 1)

s

p

d

f ....etc.

# máximo de electrones 2 6 10 14 ...etc.

Ejemplo:

Los orbitales atómicos muestran un tamaño, orientación y características. I BIMESTRE

Nivel (n)

Subnivel ()

1 2 3 4

0 0 1 0 1 2 0 1 2 3

Observación En el nivel 1 existe 1 subnivel En el nivel 2 existen 2 subniveles En el nivel 3 existen 3 subniveles En el nivel 4 existen 4 subniveles

QUIMICA / 1ER. AÑO 111

De Corazón hasta la muerte

El Dato A pesar de que el átomo de helio tiene sólo dos electrones, en mecánica cuántica se considera un átomo polielectrónico.

I.E. "MARIANISTA"

NÚMERO CUÁNTICO SPIN (S) A parte del efecto magnético producido por el movimiento angular del electrón, éste tiene una propiedad magnética intrínseca. Es decir, el electrón al girar alrededor de su propio eje se comporta como si fuera un imán, vale decir, tiene Spin. Los únicos valores probables que puede tomar este número son +1/2 y -1/2, teniendo en cuenta que el signo (+) y (-) es para diferenciar el sentido de giro de dos electrones de un orbital.

NÚMERO CUÁNTICO MAGNÉTICO (m0 m1) Como sabemos, el electrón posee carga eléctrica y se encuentra en movimiento, por consiguiente al desplazarse genera un campo magnético. Este número determina la orientación en el espacio de cada orbital. Los valores númericos que adquiere dependen del número

S = +1/2

S = -1/2

m = desde (-) hasta (+) sólo # enteros incluyendo el cero. Ejemplos: =0 =1 =2 =3

m=0

Para indicar la orientación de los electrones en cada orbital se utiliza la siguiente notación: (VERDADERO)

El Dato (VERDADERO)

m = -1, 0, +1 m = -2, -1, 0, +1, +2 m = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3

De acuerdo a los ejemplos, el número de valores que toma ‘‘m’’ se obtiene de acuerdo a la siguiente fórmula: # valores de m = 2 + 1

(FALSO)

En general, la Física anterior al advenimiento de la teoría cuántica se denomina Física Clásica.

(FALSO)

PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI (1925)

Ejemplos:  = 0  m = 2(0) + 1 = 1, toma 1 valor  = 2  m = 2(2) + 1 = 5, toma 5 valores  = 3  m = 2(3) + 1 = 7, toma 7 valores QUIMICA / 1ER. AÑO 112

WOLFGANG PAULI estableció un principio donde indica que un mismo átomo de dos o más electrones no puede tener sus cuatro números cuánticos iguales.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte Ejemplo 4

Demostración

¿Por qué el órbital 2s es más estable que el 3d?

El número cuántico spin para el último electrón en 3d10 es:

d=

-2

-1

0

+1

+2

3s 3p 3d

Vemos que el orbital 2s está más cerca al núcleo que 3d y por lo tanto es más estable.

ms =

El número máximo de electrones para el subnivel “f” es: Resolución

Resolución

MAYOR ESTABILIDAD

2s 2s 2p n=1 n=2 n=3

Ejemplo 5

+1/2

; ms =

-1/2

En este caso el spin es ms = -1/2.

# máx. de electrones = 2(2 +1) Además:  = 0 = s  = 1 = p  = 2 = d  = 3 = f entonces: 2(2(3) + 1) = 14

El Dato Premio Nobel en Física 2004 Ejemplo 1 Indica el nivel para 4d5. Resolución 4d5



Rpta.: 4

nivel Ejemplo 2 El número máximo de electrones para el nivel 3 es: Resolución # máx. de electrones = 2n2 = 2(3)2 Ejemplo 3 El número cuántico magnético para el último electrón en 4p3 es: Resolución P=

-1

0

+1 Rpta: m = +1

I BIMESTRE

Un descubrimiento «colorista» en el mundo de los quarks ¿Cuáles son los bloques de construcción más pequeños de la naturaleza? ¿Cómo construyen estas partículas todo aquello que vemos a nuestro alrededor? ¿Qué fuerzas actúan en la naturaleza y cómo funcionan éstas en realidad? El Premio Nobel en Física del año 2004 tiene que ver con estas cuestiones fundamentales, problemas que han mantenido ocupados a los físicos a lo largo del siglo XX y que aún suponen un desafío tanto para los teóricos como para los experimentalistas que trabajan en los grandes aceleradores de partículas. David Gross, David Politzer y Frank Wilczek han realizado un importante descubrimiento teórico relativo a la fuerza fuerte, o la «fuerza de color», como también ha sido llamada. La fuerza fuerte es la que domina en los núcleos atómicos, actuando entre los quarks en el interior del protón y del neutrón. Lo que descubrieron los laureados de ese año era algo que, a primera vista, parecía completamente contradictorio. La interpretación de sus resultados matemáticos implicaba que cuanto más cerca estuvieran los quarks entre sí, más débil era la ‘carga de color’. Cuando los quarks están realmente próximos los unos a los otros, la fuerza es tan débil que comienzan a comportarse casi como partículas libres. Este fenómeno es conocido como «libertad asintótica». Su recíproco se cumple cuando los quarks se alejan: la fuerza se hace más fuerte a medida que la distancia se incrementa. Podemos comparar esta propiedad con una goma elástica. Cuanto más la estiramos, más fuer te se vuelve la fuerza. Este descubrimiento fue expresado en 1973 mediante un elegante marco de trabajo matemático que

QUIMICA / 1ER. AÑO 113

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Nivel I I.

Completa el cuadro.

NUBE ELECTRÓNICA

1) 2)

donde se encuentran distribuidas las partículas negativas llamadas

y se encuentran en una zona donde existe la máxima probabilidad llamada:

8) 3)

5)

y se encuentran dentro de los

4)

7)

llamado también número cuántico

se distribuyen en

y estos se encuentran distribuidos en los

formado por

orbital

formado por

orbitales

formado por

orbitales

formado por

orbitales

6) llamado también número cuántico

QUIMICA / 1ER. AÑO 114

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

II. Resuelve: 9)

Nivel II

¿Cuántos electrones como máximo presenta el nivel 3?

I.

Completa el cuadro del siguiente gráfico: N

________________________

K

L

M

________________________ 10) ¿Cuántos electrones como máximo presenta el subnivel 2? ________________________

16) Indica dónde se encuentran los subniveles y coloca sus respectivas letras.

________________________ 11) Distribuye 5 electrones en el subnivel “p”. -1

0

+1

12) Distribuye los electrones para d8.

17) Indica dónde se encuentran los niveles y coloca sus respectivas numeraciones. 18) ¿En cuántos orbitales se divide el subnivel p? 19) ¿En cuántos subniveles se divide el nivel 4? 20) ¿Cuántos electrones como máximo presenta el nivel 2? 21) ¿Cuántos electrones como máximo presenta la capa M? 22) ¿Qué indica el número cuántico principal?

13) Distribuye los electrones para f13.

23) ¿Qué indica el número cuántico secundario? 24) El subnivel sharp presenta como máximo 1 orbital. ¿Cuál es su forma geométrica? II. Resuelve:

14) Después de llenar p5, halla el número cuántico magnético del último electrón.

25) Halla el número cuántico magnético para el último electrón en 4p3. 26) Halla el número cuántico spin para el último electrón en 3d. 27) Halla el máximo número de electrones para  = 3.

15) Después de llenar d7, halla el número cuántico magnético del último electrón.

28) Halla el máximo número de electrones para un orbital “f”. 29) Para  = 2, ¿qué valor de número cuántico magnético no puede existir? 30) Para n = 4, ¿qué valor de número cuántico secundario no puede existir?

I BIMESTRE

QUIMICA / 1ER. AÑO 115

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA" 45) ¿Qué alternativa no puede darse en cuanto a los números cuánticos?

Nivel III I.

Rellena el cuadro siguiente:



NÚMERO CUÁNTICO 31)

se divide en

a) 4, 0, 0, -1/2 b) 4, 0, 0 , +1/2 c) 3, 1, -1, +1/2 d) 3, 2, 0, -1/2 e) 4, 0, +1, -1/2

46) ¿Qué alternativa no puede darse respecto a los números cuánticos? 32)

33)

indica el

indica el

34)

indica el

35)

indica el

36) La cantidad de electrones que como máximo presenta el subnivel fundamental es: 37 ) Los electrones que como máximo presenta el nivel 3 son:



a) 3, 1, 0, -1/2 b) 4, 1, -1 , +1/2 c) 3, 0, 0 , -1/2 d) 5, 6, +3, -1/2 e) 3, 0, 0, -1/2

47) En cuanto al número cuántico spin, el valor +1/2 tiene un giro: _________________________

38) Los electrones que como máximo presenta la capa M son: 48) En cuanto al número cuántico spin, el valor -1/2 tiene un giro:

39) Halla el número cuántico magnético para el último electrón en 4p3.

_________________________ 13

40) Halla el número cuántico magnético para el penúltimo electrón en 4f .

41) Para  = 3, ¿qué valor de número cuántico magnético no puede existir?

a) +2

b) -1

c) +3

d) +4

42) Halla los 4 números cuánticos para el último electrón en 4p3.

43) Halla los 4 números cuánticos para el último electrón en 3d5.

e) -3

49) U n á t o m o p r e s e n t a l o s siguientes números cuánticos para su último electrón: 4, 0, 0, +1/2. Indica a qué alternativa pertenece. a) 4p1 d) 4s1

b) 4s2 e) 3p2

c) 3s1

50) De la pregunta anterior, si los números cuánticos fueran 3, 1, 0, +1/2, indica a qué alternativa pertenece.

44) Halla los 4 números cuánticos para el penúltimo electrón. a) 3p1 d) 3p4

QUIMICA / 1ER. AÑO 116

b) 3p2 e) 3p5

c) 3p3

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Fenómenos Físicos y Químicos Introducción La Física es una de las ciencias más antiguas de la naturaleza; proviene de la palabra griega physis que quiere decir naturaleza. La física se esfuerza siempre en presentar una imagen clara del mundo que nos rodea. Es la ciencia que estudia la materia y sus transformaciones. La física está presente de algún modo en todos los fenómenos que podemos ver o imaginar. Esta ciencia ocupa un lugar preferencial en la vida, pues busca conclusiones sobre los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Una de las creaciones más importantes de nuestra mente humana es la física; nos representa todo el esfuerzo del hombre por resolver problemas, comprender, interpretar, responder, predecir y aprovechar el comportamiento de la naturaleza. Nuestro pensamiento nos lleva hacia nuevos conocimientos para conocer lo desconocido y comprender el orden del Universo. Los conceptos de la física se utilizan para comprender y conocer mejor el mundo circundante. ‘‘El hombre sabio querrá estar siempre con quien sea mejor que él’’ Platón Son ejemplos de fenómenos físicos: 1. Cuando un clavo de acero (Fe+C) se dobla, sigue siendo acero; luego podemos enderezarlo recobrando su forma original. 2. Si calentamos una bola de hierro ésta se dilata (aumenta su volumen), si la enfriamos hasta su temperatura inicial recupera su volumen original. 3. Un trozo de hielo (H2O) se derrite cuando elevamos su temperatura, obteniéndose agua líquida; si la enfriamos ahora hasta su temperatura inicial (0°C), obtenemos nuevamente el hielo original.

1ra

Sesión * Entonces, ¿qué es un fenómeno físico? ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ Son ejemplos de fenómenos químicos: 1. Si calentamos hierro (sólido gris) al aire libre, en la superficie se forma un polvo rojizo pardusco (óxido de hierro, Fe2O3). Si enfriamos, es imposible obtener nuevamente el hierro. 2. Cuando quemamos (combustión) papel, se desprende humo (CO 2 + CO + H 2 O ) y q u e d a s u ceniza (K 2 CO 3 , Na 2 CO 3 ,...). Si juntamos el humo con la ceniza y los enfriamos, es imposible obtener nuevamente el papel. * Entonces, ¿qué es un fenómeno químico? ____________________________ ____________________________

La energía luminosa (candela) se origina porcombustióndegas propano (fenómeno químico), y el fierro se dilata (fenómeno físico).

I BIMESTRE

____________________________ ____________________________

FISICA / 1ER. AÑO 119

De Corazón hasta la muerte

DIFERENCIAS ENTRE FENÓMENO FÍSICO Y FENÓMENO QUÍMICO

1. Fenómeno Físico

I.E. "MARIANISTA"

8. Física Nuclear ___________________________ ___________________________

____________________________________________________________

___________________________

____________________________________________________________

___________________________

____________________________________________________________

2. Fenómeno Químico ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

9. Física Moderna ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________

RAMAS DE LA FÍSICA Para un mejor estudio de los fenómenos físicos, la física se divide en ramas:

Personaje del Tema

1. Mecánica ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

2. Acústica ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

3. Óptica ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

4. Termodinámica ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

5. Electricidad ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

Marie Curie Fue la primera mujer que ganó el premio Nobel y la primera persona que lo ganó dos veces. Su brillante trabajo en radiactividad le costó la vida por una exposición excesiva a la radiación. Curie acuñó el término “radiactividad” para describir las emisiones del uranio que observó en sus experimentos. Junto con su marido, descubrió los elementos polonio y radio.

6. Magnetismo ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

7. Electromagnetismo

“Nunca digamos: es imposible. Digamos: no lo hemos hecho todavía’’ Proverbio Japonés

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ FISICA / 1ER. AÑO 120

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA" LA EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA FÍSICA

De Corazón hasta la muerte Aristóteles (384 - 322 a.C.)

Principales físicos de la humanidad La evolución histórica de la física se refiere a muchísimos años atrás (6000 a.C.). Culturas tan antiguas como la Egipcia desarrollaron soluciones prácticas para poder atender necesidades, tanto de orden vital como de servicios a sus concepciones religiosas. Desde épocas remotas los hombres han tratado de explicarse los, fenómenos ocurridos y su mutua relación, como referencia puede citarse el eclipse de Sol. En los hombres de la antigüedad este fenómeno producía pánico, pero en la actualidad ya no ocurre lo mismo, puesto que las causas que lo generan han sido reveladas y el miedo se ha convertido en admiración ante dichos fenómenos. La física estudia los fenómenos ocurridos en la naturaleza y todos aquellos de la mitología y los libros sagrados de la antigüedad. Los sacerdotes y los religiosos fueron quizás los físicos más antiguos de las sociedades nacientes, así como también sus regentores no se esforzaron mucho en observar los hechos, ni en interpretarlos científicamente. Casi toda su ciencia la sacaron de la imaginación, atribuyendo a cada fenómeno entidades que los producían. Así fue como el hombre creó innumerables dioses del paganismo, espíritus de fuego, de la luz y las tinieblas, del Sol, de la Luna, del rayo, del viento, de los mares, etc. En las culturas griegas, la mayoría de los pensadores no experimentaron, sin embargo, podemos encontrar varios ejemplos de experimentación en el período siguiente a 400 a.C., tal como Estratón de Elampssaco, quien realizó muchas observaciones, que más tarde fueron recogidas por Herón de Alejandría, sobre la presencia del aire en los recipientes cerrados con un orificio de salida.

La Física estuvo dominada por el pensamiento de Aristóteles Sostenía que la materia es continua y compacta y que la naturaleza no acepta ningún vacío. Ésta es una de las corrientes de la época llamada Filosofía Idealista. Los principales representantes son Aristóteles, Sócrates, Platón, etc. No obstante, existía otra teoría iniciada por Demócrito (460 - 370 a.C.) que consideraba a la materia como la base del Universo. Esta corriente era el materialismo, los principales representantes eran Demócrito, Epicuro, Leucipo, etc. Esta teoría fue reflotada por algunos investigadores en el siglo XVII, al tratar de aplicar ciertas transformaciones químicas. Tales de Mileto (624 - 543 a.C.) Fue un filósofo griego, fundador de la escuela jónica, considerado como uno de los siete sabios de Grecia. Desde el punto de vista de la electricidad, fue el primero en descubrir que si se frota un trozo de ámbar, éste atrae objetos más livianos, y aunque no llegó a definir que era debido a la distribución de cargas, sí creía que la electricidad residía en el objeto frotado. De aquí se ha derivado el término electricidad, proveniente de la palabra elektron, que en griego significa ámbar, y que la empezó a emplear, hacia el año 1600 d.C., el físico y médico inglés William Gilbert, cuando encontró esta propiedad en otros muchos cuerpos. I BIMESTRE

Nació el año 384 a.C. en Estagira - Grecia. Discípulo de Platón. Fue profesor y luego protegido de Alejandro Magno.Sumayoraportealpensamiento humano son sus Tratados sobre Lógica, Psicología, Política y Biología. En el campo dela física se le atribuye la invención del nombre de esta ciencia, derivado de la palabra griega: fgf que significa naturaleza. A él se debe la filosofía aristotélica, que fue un modo (no muy matemático) de ver y explicar las cosas, y que prevaleció durante dos mil años.

Interesante Más tarde, alrededor del 150 a.C. Hiparco y Tolomeo codificaron observaciones astronómicas para formular la teoría que correlacionó la mayoría de los datos, para la elaboración de un calendario, con las que hicieron posible afortunadas predicciones de sucesos astronómicos. Después de Hiparco y Tolomeo transcurrieron 13 siglos antes de que un astrónomo proporcionara una visión nueva acerca de las relaciones entre los astros. Nicolás Copérnico (1473 - 1543) estudió astronomía, llegando en su empeño, en su obra De Revolutionibus (De las Revoluciones), a crear una nueva teoría del movimiento planetario, el conocido sistema heliocéntrico.

FISICA / 1ER. AÑO 121

De Corazón hasta la muerte Leonardo da Vinci (1452 - 1519) Célebre artista de la escuela florentina. Nació en Vinci, cerca de Florencia. Es conocido especialmente como pintor; autor de La Gioconda, La Última Cena, La Virgen en las Rocas, etc. Fue rival de Miguel Ángel y Rafael. Fue también escultor, arquitecto, físico, ingeniero, escritor y músico. Como físico, relacionó los momentos estáticos con el equilibrio de los cuerpos, es decir, estableció las condiciones para el equilibrio de rotación de los cuerpos rígidos. Se anticipó a Galileo en la descripción del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Estudió las fuerzas de rozamiento y comprendió muchas de sus propiedades. Estos trabajos recién fueron publicados en 1797 por Venturini. Murió en el castillo de Cloux, cerca Johannes Kepler (1571 - 1630) Este gran matemático y astrónomo alemán nació en Württemberg. Fue director del observatorio astronómico de Praga, sucediéndole en el cargo a su maestro Tycho Brahe (1546 - 1601), de quien heredó sus trabajos de mediciones astronómicas, las que luego de un minucioso y prolongado estudio le permitieron descubrir las leyes que describen el movimiento de los planetas y que llevan su nombre, las mismas que, luego le permitieron a Newton descubrir la ley de la Gravitación Universal. Sus conclusiones se publicaron con los títulos de Mysterium cosmographicum (1596); Astronomía nova (1609) y De Harmonice mundi (1619).

I.E. "MARIANISTA"

Más tarde, en estrecha colaboración con Fermat estableció los fundamentos de la teoría moderna de las probabilidades. Al enterarse de la experiencia de Torricelli envió a su cuñado Florin Perier a la cúspide de la montaña Puy de Dome (1000 m), observando un descenso de 800mm en la columna de mercurio, hizo lo mismo en la Iglesia de Saint Jacques de la Boucheire (50 m), comprobando que por cada 10,5 m la altura de mercurio desciente 1 mm. Durante la primera mitad del siglo XIX se registraron avances simultáneos y espectaculares en la comprensión del carácter cinético de los gases, en la Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

Evangelista Torricelli (1608 - 1647) Científico italiano, fue discípulo del gran Galileo, por quien llegó a saber que el aire tenía peso. Tuvo serios cuestionamientos a la popular creencia de la filosofía Aristotélica de que: “La naturaleza le tiene horror al vacío”. Por aquella época se sabía que una bomba de vacío no podía “elevar” agua por encima de los 10 m y para él esto ocurría simplemente porque el aire o atmósfera es el que por su peso puede equilibrar una columna de agua de hasta 10 m y si ésta fuera de mercurio, de hastas 76 cm por ser de mayor densidad. Luego, los líquidos suben por los sorbetes cuando succionamos aire, porque disminuimos la presión en esa zona, y no porque el líquido pretendía llenar la parte vacía, Torricelli concluyó que la altura de la atmósfera es aproximadamente de 500 km y su peso es de 10 N por cada cm2 al nivel del mar, en donde la presión es máxima. Blaise Pascal (1623 - 1662) Este científico francés fue un niño prodigio que vivió solo 39 años, y sus últimos 16 años los paso en una profunda contemplación religiosa. Fue filósofo, físico y geómetra. En 1648 publicó en el libro Traité de L´équilibre des liquers, el principio que hoy lleva su nombre. Antes de cumplir los 18 años escribió un libro de Geometría, e inventó la primera máquina calculadora. FISICA / 1ER. AÑO 122

Este afamado y honorable científico nació en Suiza y provino de una familia dedicada a las ciencias. Fue matemático y físico, e impartió sus enseñanzas en la Academia de Ciencias en Rusia. Entre sus principales contribuciones a la Física está la ley que lleva su nombre: “El principio de Bernoulli”, para explicar el movimiento de los fluidos. Publicó un tratado acerca de las mareas, y en particular sentó las bases de la Teoría Cinética de los Gases, introduciendo en la Física y en forma definitiva los conceptos de átomos y moléculas.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA" James Prescott Joule (1818 - 1889) Nació en Inglaterra. Estudió en la Universidad de Manchester, en donde fue discípulo de John Dalton. Durante más de quince años, el excéntrico fabricante de cerveza y científico aficionado a la física luchó gran parte del tiempo contra el consenso de la época: La existencia del Católico. A finales de 1850 el cuidado y rigor de sus investigaciones le permitió establecer la equivalencia del trabajo y el calor. Sin duda, estos trabajos sirvieron de base para el establecimiento del Principio de Conservación de la Energía.

De Corazón hasta la muerte matemáticas simples. Los métodos con los que él aplica esta técnica al análisis del movimiento abrieron el camino a la Matemática Moderna y a la Física Experimental. Isaac Newton usó una de lasformulacionesmatemáticasdeGalileo, la Ley de Inercia, para fundamentar su Primera Ley del Movimiento. Galileo murió en 1642, el año de nacimiento de Newton. Arquímedes de Siracusa

James Watt (1736 - 1819) Ingeniero, natural de Escocia. Fue hijo de fabricantes de instrumentos y máquinas, de gran talento e inventiva. En 1706 diseñó una máquina de vapor mejorada, pero no la había hecho funcionar hasta que fue presentado ante Matthew Boulton, el más grande industrial inglés de finales del siglo XVIII. Watt se sintió encantado de poder emplear los artesanos e instrumentos de la factoría deBoulton. No tardó mucho, la máquina de Watt, en subir el agua que inundaba las profundas minas. Boulton y Watt se convirtieron en los primeros fabricantes de máquias de vapor eficientes alardeando: “Vendemos lo que todo el

Galileo Galilei Galileo Galilei nació en Pisa (Italia), el 15 de febrero de 1564. Galileo fue el pionero del método científico experimental y el primero en utilizar un telescopio refrector, con el que hizo importantes descubrimientos astronómicos. En 1604, Galileo supo de la invención del telescopio en Holanda, y propuso una mejora del modelo, con el que realizó una serie de descubrimientos tales como las lunas del planeta Júpiter y las fases de Venus, similares a las observadas en la Luna. Como profesor de Astronomía de la Universidad de Pisa, Galileo impartió la teoría aceptada hasta entonces, en la que el Sol y todos los planetas giraban alrededor de la Tierra. Más tarde, desde la Universidad de Padua, expuso una nueva teoría propuesta por Nicolás Copérnico, en la que la Tierra y todos los planetas giraban alrededor del Sol. Las observaciones realizadas por Galileo con su nuevo telescopio lo convencieron de la certeza de la teoría heliocéntrica de Copérnico. El apoyo de la teoría heliocéntrica por parte de Galileo le supuso un verdadero problema con la Iglesia Católica Romana. En 1633, la Inquisición lo acusó de hereje y lo obligó a retractarse públicamente de su apoyo a Copérnico. Fue condenado a cadena perpetua, pero dada su avanzada edad vivió sus últimos días bajo arresto domiciliario en su villa de las afueras de Florencia. La originalidad de Galileo como científico reside en su método de análisis. Primero, reduce el problema a un simple conjunto de relaciones basadas en experiencias de cada día, lógica y sentido común. Luego los analiza y resuelve con formulaciones I BIMESTRE

Nació el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia (ahora Italia). Murió el 212 a.C. en Siracusa. Es el mayor matemático de la antigüedad. Aunque es más famoso por sus descubrimientos de física, fue un matemático comparable a Newton y Gauss. De la vida de Arquímedes se conoce muy poco. Se cree que nació en Siracusa en la isla de Sicilia. En aquella época, Siracusa era un asentamiento griego. Se cree también que era hijo de Pidáis, un astrónomo. Pertenecía a una clase social elevada, se cree que era amigo o familiar del rey Hierón II, lo que le permitió estudiar en Alejandría. En Física, es famoso su teorema de Arquímedes sobre hidrostática, y por las leyes de las palancas. Arquímedes inventó la catapulta, la polea compuesta, los espejos cóncavos y el tornillo de Arquímedes. E n matemáticas, hizo una buena aproximación del número pi (π), inscribiendoycircunscribiendopolígonos regulares a una circunferencia. Demostró que el volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito. Descubrió teoremas sobre el centro de gravedad de figuras planas y sólidos. Arquímedes utilizaba el método de exhausción, que es una forma primitiva de la integración. Lo mataron en la Segunda Guerra Púnica (guerra entre Cartago y Roma. Cartago

FISICA / 1ER. AÑO 123

De Corazón hasta la muerte dominaba el comercio en el Mediterráneo, y Roma que empezaba a ser lo que después llegó a ser, quería controlar el Mediterráneo) cuando los romanos invadieron Siracusa. Dicen que Arquímedes estaba resolviendo un problema, haciendo un dibujo en el suelo del patio de su casa. Cuando entraron unos soldados romanos, uno de ellos le ordenó que le acompañara y Arquímedes se negó, entonces el soldado lo mató. La tumba de Arquímedes fue descubierta por Cicerón (en el año 75 a.C.) en una visita a la isla de Sicilia. Reconoció la tumba porque tenía una inscripción de una esfera inscrita en un cilindro. La Corona de Oro El rey Hierón II entregó oro a un artesano para que le hiciese una corona. Hierón sospechó que el artesano le había engañado, sustituyendo parte del oro por plata, y encargó a Arquímedes que lo comprobase. La historia dice que Arquímedes, que llevaba tiempo pensando en el problema, lo resolvió al observar que al introducirse en la bañera el agua subía de nivel. La alegría fue tan grande que salió desnudo a la calle gritando: ¡Eureka! (que en griego significa : lo descubrí). Arquímedes midió el volumen de agua que rebosaba al sumergir en un recipiente lleno de agua lo siguiente: a) La corona. b) Un trozo de oro de igual peso que la corona. c) Un trozo de plata de igual peso que la corona. Al comprobar que el volumen de la corona era intermedio entre los otros dos, pudo asegurar que la corona tenía mezcla de plata.

I.E. "MARIANISTA" la componen pequeños cuerpos de tamaño diferente, cuya combinación causa los colores visibles al ojo humano. Detecta la propagación en línea recta de la luz y el fenómeno de la reflexión, observaciones que hoy dan lugar a la teoría cuántica. Sus descubrimientos los recoge en Óptica (1704). Sus formulaciones matemáticas las recoge en Aritmética Universal (1704) y Tratado sobre la cuadratura de las curvas. Su mayor aporte lo hace en astronomía, es decir, en el conocimiento de la mecánica celeste, como los principios de inercia, la teoría de la atracción universal, el principio de acción y reacción, etc. Sus teorías aparecen recogidas en su libro Principios MatemáticosdeFilosofíaNatural (1787). Albert Einstein

El incendio de los Barcos Es muy conocida la historia de la destrucción de los barcos romanos que asediaban Siracusa mediante espejos que concentraban los rayos del Sol en los barcos y los incendiaban. Durante mucho tiempo se aceptó este relato como hecho cierto, pero hoy se duda mucho de su veracidad. Ya Descartes en 1630 lo puso en duda (recuérdese que Descartes publicó un libro sobre óptica). En la actualidad, D. L. Simas, un especialista en combustión, niega la posibilidad de que sea cierta la historia, basándose en : a) Las fuentes históricas en que se basa la historia no tienen valor. Los historiadores que relatan la batalla de Siracusa no citan en ningún momento este hecho. b) Arquímedes no tenía los medios técnicos necesarios para fabricar tales espejos. c) En las condiciones concretas del asedio a Siracusa, hubiera sido muy difícil realizarlo. Isaac Newton Nacido en Woolsthorpe (Inglaterra) en 1642, se formó en Cambridge, donde ejercerá su magisterio. Desde 1696 reside en Londres, donde dos años más tarde es director de la Casa de la Moneda; en 1703 se le elige presidente de la Royal Society, siendo desde 1694 parlamentario. En pago a sus méritos, la reina Ana le concede un título nobiliario. Newton realizó importantes experimentos en el campo de la óptica, formulando la teoría según la cual la luz FISICA / 1ER. AÑO 124

N a c e e n U l m , A l e m a n i a , y posteriormente nacionalizado norteamericano, el 14 de marzo 1879. Muere en Princeton, New York en 1955. * Autor de numerosos estudios de Física Teórica. * Formuló la famosa Teoría de la Relatividad. * Explicó el efecto fotoeléctrico. * Dijo que la materia y la energía eran la misma cosa, es decir, la materia es otra forma de energía, a través de la siguiente fórmula : E = mc2 m : masa E : energía c : velocidad de la luz * Ganó el Premio Nobel de la Paz.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Ejercicios de Aplicación

6) Relaciona.

Nivel I 1) La palabra física proviene del vocablo ____ Phycis que significa _________.

a) latín - naturaleza b) árabe - piscis c) latín - esperanza d) griego - ciencia e) griego - naturaleza 2) Es un cambio que sufren los cuerpos de la naturaleza.



a) Oxidación de un metal. b) Erosión de una roca.



( (

__________________________



a) Combustión de la madera. b) Congelamiento del agua.



( (





__________________________

__________________________ __________________________ __________________________ 5) Es un cambio que sufre un cuerpo sin alterar sus propiedades.

a) Fenómeno b) F. físico c) F. químico

I BIMESTRE

a) Einstein d) Arquímedes b) Galileo e) Newton c) Tu profesor 9) Una de sus anécdotas es “La Corona de Oro”.

__________________________

4) Con la ayuda de tu profesor indica 2 fenómenos químicos.

) Fenómeno físico. ) Fenómeno químico.

8) Utilizando un telescopio hizo importantes descubrimientos astronómicos.

__________________________ __________________________

) Fenómeno físico. ) Fenómeno químico.

7) Relaciona.

a) Naturaleza d) Fenómeno b) Física e) N.A. c) Ciencia 3) Con la ayuda de tu profesor indica 2 fenómenos físicos.







a) Galileo b) Einstein c) Newton

d) Tu profesor e) Arquímedes

10) Explicó el efecto fotoeléctrico.

a) Einstein d) Copérnico b) Newton e) Galileo c) Arquímedes

11) Físico alemán nacionalizado norteamericano que ganó el premio Nobel de la Paz.

a) Newton b) Galileo c) Einstein

d) Copérnico e) Arquímedes

12) Descompuso la luz a través de un prisma.

a) Newton b) Galileo c) Einstein

d) Arquímedes e) Copérnico

13) Formuló por primera vez la Teoría Heliocéntrica.

a) Newton b) Einstein c) Galileo

d) Copérnico e) Arquímedes

14) Fo r m u l ó l a s l e y e s d e l a mecánica.

a) Einstein b) Galileo c) Copérnico

d) Newton e) Arquímedes

15) En la actualidad a la física le interesa especialmente los fenómenos _____________. Nivel II 16) Descubrió el péndulo:

a) Einstein b) Galileo c) Newton

d) Arquímedes e) Copérnico

17) Menciona 2 ejemplos fenómenos físicos.

de

__________________________

__________________________ 18) Menciona 2 ejemplos fenómenos químicos.

de

__________________________

__________________________

FISICA / 1ER. AÑO 125

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

19) La física está relacionado con los hechos que ocurren en:

26) Si una piedra cae al piso, se trata de un fenómeno ____________



27) Detecta la propagación en línea recta de la luz.

a) El átomo d) La Tierra b) La naturaleza e) N.A. c) El aire

20) Relaciona.

a) Romper una tiza. b) Combustión del gas del carro.



( (

) Fenómeno químico ) Fenómeno físico

21) Fo r m u l ó l a t e o r í a d e l a relatividad:

a) Newton b) Einstein c) Galileo

d) Copérnico e) Arquímedes

22) Su tumba tenía una esfera inscrita en un cilindro.

a) Einstein d) Copérnico b) Galileo e) Newton c) Arquímedes

23) Formuló la teoría de la atracción universal.

a) Galileo b) Einstein c) Newton

d) Arquímedes e) Copérnico

24) Vivió sus últimos días bajo arresto domiciliario.

a) Newton d) James Watt b) Arquímedes e) Blaise Pascal c) Galileo

25) Se le considera padre de la física experimental.

a) Newton d) Copérnico b) Arquímedes e) Blaise Pascal c) Galileo

FISICA / 1ER. AÑO 126



a) Newton b) Einstein c) Galileo

d) Cópernico e) Arquímedes

28) Desarrolló la hidrostática.

a) Newton d) Torricelli b) Arquímedes e) Kepler c) Galileo

29) “La materia es otra forma de energía”, frase dicha por.

a) Newton d) Galileo b) Arquímedes e) Joule c) Einstein

33) Fue el científico que hizo importantes descubrimientos astronómicos con la ayuda del telescopio.

a) Roosevelt d) Newton b) Arquímedes e) Galileo c) Einstein

34) Galileo Galilei expuso como nueva la Teoría Heliocéntrica (en la que los planetas giran alrededor del Sol).Fuepropuestoporprimeravez:

a) Copérnico b) Newton c) Einstein

d) Hanh e) Arquímedes

35) Formuló los principios de la inercia, la atracción universal y el principio de acción y reacción.

30) Fórmula el principio de acción y reacción.





36) Explicó el efecto fotoeléctrico.

a) Galileo b) Newton c) Einstein

d) Arquímedes e) Kepler

Nivel III 31) Inventó la catapulta, las poleas y los espejos cóncavos.

a) Arquímedes d) Galileo b) Newton e) Torricelli c) Einstein

32) Es el cambio que un cuerpo sufre con alteración de su estructura molecular.

a) Física d) Fenómeno b) Naturaleza e) F. físico c) F. químico



a) Galileo b) Newton c) Copérnico

d) Arquímedes e) Tu profesor

a) Newton d) Einstein b) Arquímedes e) Strasmann c) Galileo

37) Hizo estudios en óptica, llegando a descomponer la luz a través de un prisma.

a) Newton d) Einstein b) Arquímedes e) Strasmann c) Galileo

38) ¿ Q u é t i p o d e f e n ó m e n o corresponde a la evaporación del agua?

a) Físicoquímico b) Eléctrico c) Acuático d) Físico d) Químico

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

39) ¿ Q u é t i p o d e f e n ó m e n o corresponde con la oxidación de un metal?

a) Físico b) Eléctrico c) Acuático

d) Magnético e) Químico

40) Físico judío que propuso la Teoría de la Relatividad.

a) Einstein b) Hanh c) Galileo

d) Copérnico e) Coulomb

41) Fueunodelosfísicosqueconsiguió la fisión nuclear del Uranio.

a) Strasmann d) Joule b) Einstein e) Faraday c) Roosevelt 42) Relaciona.



a) Oxidación del acero. b) Erosión del acero. c) Physis.



( ( (

) Naturaleza ) Fenómeno químico ) Fenómeno físico

43) Por proclamar la teoría helio céntrica fue condenado por la Iglesia a cadena perpetua.

a) Newton b) Galileo c) Joule

d) Euclides e) Dalton

44) Es famoso por su aportación a las leyes de la hidrostática.

a) Newton d) Euclides b) Arquímedes e) Dalton c) Joule

45) Es famoso por enunciar la ecuación:

E = mc2 a) Joule b) Pitágoras c) Einstein I BIMESTRE

46) Fue el año que murió Galileo, el mismo en que nació Newton.

a) 1600 b) 1492 c) 1642

d) 1808 e) 1792

¿Sabias Qué?

47) En la actualidad a la física le interesa específicamente los fenómenos:

a) Químicos b) Astronómicos c) Físicos d) Físicoquímicos e) Clínicos

48) Es un mineral que presenta una propiedad magnética.

a) agua b) aire c) piedra d) magnetita e) acero

49) Se nacionalizó estadounidense, con lo cual sus conocimientos no fueronaprovechadosenteramente por los nazis antes y durante la Segunda Guerra Mundial.

a) Joule b) Einstein c) Fermi d) Dalton e) Galileo

50) Fuefamosoporlafraseeureka,que en griego significa “lo descubrí”.

a) Newton b) Dalton c) Galileo d) Meitner e) Arquímedes

Las auroras aparecen en dos óvalos centrados encima de los polos magnéticos de la Tierra, que no coinciden con los polos geográficos. La posición actual aproximada del Polo Norte magnético es 82,7° N 114,4° O. Ocurren cuando partículas cargadas (protones y electrones) procedentes del Sol, guiadas por el campo magnético de la Tierra, inciden en la atmósfera cerca de los polos. Estas partículas chocan con los átomos y moléculas de oxígeno y nitrógeno (los componentes más abundantes del aire), la energía de la colisión excita esos átomos a niveles de energía tales que cuando se desexcitan devuelven esa energía en forma de luz visible. Esa luz es la que vemos desde el suelo y denominamos “aurora”. El Sol, situado a 150 millones de kilómetros de la Tierra, está emitiendo continuamente partículas cargadas: protones, con carga positiva, y electrones, con carga negativa. Ese flujo de partículas constituye el denominado viento solar. Las partículas del viento solar viajan a velocidades desde 300 a 1000 kilómetros por segundo, de modo que recorren la distancia Sol-Tierra en aproximadamente dos días.

d) Newton e) Halley

FISICA / 1ER. AÑO 127

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Magnitudes y Unidades

2ra

Sesión

La Medida

Magnitud

Todo fenómeno físico es examinado por nuestros sentidos que nos dan la primera información; a veces no correcta.

______________________________

Por ejemplo: El considerar que muchas veces personas distintas perciben sensaciones diferentes al tocar a un cuerpo que está a temperatura fija. Por eso es preciso disponer del termómetro para conocer, de una manera real y objetiva, la temperatura de aquel cuerpo.

______________________________

¿QUÉ ES MEDIR? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

______________________________ ______________________________ ______________________________ CLASES

I. Por su Naturaleza 1. Magnitudes Escalares

“Cuando se puede medir aquello de lo que se habla y se puedeexpresarennúmeros,se conoce algo acerca de ello”.

___________________________

Lord Kelvin

___________________________

___________________________ ___________________________

EN LA EDAD DE PIEDRA

2. Magnitudes Vectoriales

* Los primeros hombres de ciencia: Los brujos. * La primera clasificación de la naturaleza.

___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________

Lo Grande

Lo que vuela FISICA / 1ER. AÑO 128

Lo que se arrastra

Lo pequeño

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Ejercicio: Determina si las siguientes magnitudes son escalares o vectoriales. a) Área

: _______________________________________________ .

b) Fuerza

: _______________________________________________ .

c) Velocidad : _______________________________________________ . d) Masa

: _______________________________________________ .

* Las primeras mediciones

Observación Dos de las unidades bases (ampere y kelvin) tienen el nombre de dos científicos, por cosiguiente el símbolo de estas unidades se escribe con letra mayúscula.

Magnitudes Derivadas

* Las partes del cuerpo.

______________________________ ______________________________ ______________________________ ______________________________ El ojo

La mano

El pie

______________________________ ______________________________

Cantidad de Medida Es el valor determinado de una magnitud. 1 pulgada

Así se miden las magnitudes de : Masa : 20 kg (kilogramos) Tiempo : 30 s (segundos) Longitud : 5 m (metros)

II. Por su Origen Magnitudes Fundamentales ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ Magnitud Longitud Masa Tiempo

Unidad de base

Símbolo

Para ejecutar una medida es preciso disponer de una unidad.

Unidad Patrón Toda unidad patrón ha de poseer una condición fundamental: la de ser invariable. Por ejemplo: 5 m, significa tomando como unidad el metro se establece que 1 m está contenidos 5 veces en ella.

Intensidad de Corriente Eléctrica Temperatura Intensidad de la Luz Cantidad de sustancia

I BIMESTRE

FISICA / 1ER. AÑO 129

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Personaje del tema

Masa Toda la materia, desde los más pequeños componentes de los átomos hasta los mayores cuerpos celestes, poseen una propiedad que llamamos masa. La masa de un cuerpo se determina pesándolo, es decir, comparando su masa con la de otro cuerpo de masa conocida, por ejemplo 1 kg. La masa también se considera como una resistencia que se opone al cambio en el estado de reposo o movimiento de un cuerpo : la inercia. Mediante la inercia se puede calcular la masa del átomo y la del Sol. ¿CUÁNTO PESA 1 kg? La unidad de masas, el kilogramo, se adoptó durante la Revolución Francesa. Se admitió por convenio que 1 kg era la masa de agua contenida en un recipiente de 1 dm3 (1 litro) a una temperatura de 4°C. Sin embargo, al no ser una definición totalmente exacta, se construyó 1 kg patrón con una masa muy parecida a la de 1 litro de agua, que actualmente es la unidad fundamental de masa. CUERPOS DE MASA PEQUEÑA Y GRANDE Abajo se comparan las masa de diferentes objetos. A la izquierda se representa la masa de un electrón y a la derecha la masa del Sol. Comparando las distintas masas de estos cuerpos, podemos hacernos una idea de las enormes diferencias que existen entre el microcosmos y el macrocosmos.

Kilogramo patrón El kilogramo patrón se guarda en una vitrina de doble cristal para evitar que el polvo y la humedad afecten su masa. Se encuentra en la Oficina de Pesas y Medidas de Paris.

9x10-31 kg

2x10-26 kg

10-13 kg

10-9 kg

un electrón

un átomo de carbono = 20000 electrones

Un glóbulo rojo = 5 billones de átomos de carbono

Una raya de lápiz=10000 glóbulos rojos

FISICA / 1ER. AÑO 130

20 mg

Un sello = 20000 cruces de lápiz

Arquímedes Matemático griego. Hijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría, dondetuvocomomaestroaConón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico. De la biografía de Arquímedes, gran matemático e ingeniero, a quien Plutarco atribuyó una «inteligencia sobrehumana», sólo seconocenunaseriedeanécdotas. Son célebres los ingenios bélicos cuya paternidad le atribuye la tradición y que, según se dice, permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo; también se cuenta que, contraviniendo órdenes expresas del general romano, un soldado mató a Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un problema matemático en el que estaba inmerso.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

1 kg

80 kg

107 kg

1 litro de agua=50000 sellos

Un hombre= 80 litros de agua

7x1027 kg

2x1030 mg

La luna=7000 Un transatlántico= billones de 125 000 hombres transatlántico

El sol=30 millones de lunas.

Ejercicios de Aplicación

5) Enumera 3 unidades con que se mide la longitud.

Nivel I 1) La unidad fundamental de la longitud es el:

a) Segundo b) Pulgada c) Metro

d) Litro e) Centímetro

2) La unidad fundamental del tiempo es:

a) Hora d) Segundo b) Kilogramo e) Gramo c) Metro 3) Según el sistema internacional, las magnitudes fundamentales son:



a) 2 b) 4

a) _______________________



b) _______________________



c) _______________________

a) Magnífico. b) Lo que se puede oler. c) Lo que se puede ver. d) Lo que se puede medir. e) Lo grande.



a) Comparar 2 o más cantidades, teniendo a uno de ellos como base patrón. b) Usar instrumentos. c) Hallar la altura.



6) Enumera 2 unidades con que se mide el volumen.

a) _______________________



b) _______________________ 7) Indica en qué conjunto van: fuerza,área,aceleración,volumen, masa, tiempo.

d) 5 e) 7

4) Magnitud es:



8) Medir es:

Magnitudes Escalares

Magnitudes Vectoriales

9) En 30 kg, ¿cuántas unidades de kilogramos hay?

d) 25 e) 45

10) Indica la magnitud de medida.

3 m ______________________



25kg _____________________



3 s _______________________

Coloca su respectiva unidad de medida en los siguientes casos: 11) Longitud:

5 ________________________

12) Masa:

I BIMESTRE

a) 15 b) 20 c) 30

25 _______________________

FISICA / 1ER. AÑO 131

De Corazón hasta la muerte

13) Tiempo:

36 _______________________

14) Aproximadamente, ¿a cuántos millones de Lunas equivales la masa del Sol?

a) 20 b) 30 c) 2

d) 15 e) 29

15) 1 átomo de carbono, ¿Cuántos electrones equivale su masa aproximadamente?

a) 10000 b) 5 c) 5000

d) 20000 e) 2000

Nivel II 16) La unidad fundamental de la temperatura es:

a) Celsius b) Farenheit c) Kelvin

d) Metro e) Kilogramo

17) La unidad fundamental de la cantidad de sustancia es el:

a) Mol b) Kelvin c) Metro

d) Kilogramo e) Segundo

18) En las unidades base, ¿cuántos reciben el nombre de científicos?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

19) ¿Cuál de las unidades bases siguientes es nombre de un científico?

a) Metro b) Kelvin c) Segundo

FISICA / 1ER. AÑO 132

d) Mol e) Candela

I.E. "MARIANISTA"

20) Aproximadamente, ¿cuántos litros de agua equivalen a un hombre?

26) Del ejercicio anterior, según su origen son:





a) 20 b) 30 c) 50

d) 70 e) 80

21) Aproximadamente, ¿cuántos h o m b re s e q u i v a l e n a u n transatlántico?

a) 100 b) 125000 c) 200

22) ¿Qué magnitud física no es fundamental en el Sistema Internacional?

a) Longitud b) Peso c) Temperatura d) Intensidad de corriente eléctrica e) Intensidad luminosa

23) El _____ es una unidad básica de la masa y en el Sistema Internacional se le representa por __________.

d) I y IV e) II y I

27) La unidad base de la intensidad luminosa es:

d) 3000 e) 30000

a) Sólo I b) Sólo II c) II y III

a) Metro b) Candela c) Mol

d) Segundo e) Kilogramo

28) Una magnitud derivada:

a) Longitud b) Velocidad c) Tiempo

d) Masa e) Temperatura

Coloca la unidad correspondiente: 29) Temperatura =35 __________________________ 30) Tiempo =5 __________________________

a) segundo; s d) kilogramo; kg b) metro; k e) kilogramo; g c) kelvin; k

Nivel III

24) ¿Qué relación es correcta en el Sistema Internacional?

31) ¿Qué es una magnitud?

I. Segundo II. Mol mol III. Ampere A





a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

esg

d) I y II e) II y III

25) Lasmagnitudessegúnsunaturaleza son:

I. Fundamentales II. Escalares III. Vectoriales IV. Derivadas



a) Sólo I b) Sólo I y IV c) Sólo II y IV

a) Lo que se puede ver. b) Lo que se pude palpar. c) Lo que se puede medir. d) Algo magnífico. e) Lo más pequeño.

32) ¿Cuál es la unidad patrón para la masa?

a) Segundo b) Gramo c) Kilo

d) Metro e) Kilogramo

d) I y II e) II y III

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

33) El siguiente concepto: “Es comparardoscantidadesteniendo a uno de ellos como base o patrón”, se aplica a:

a) Magnitud b) Unidad c) Tiempo

d) Medir e) Masa

34) Delassiguientesunidades,¿cuántas se aplican a la longitud?

* Centímetros * Kilogramo * Pulgada * Kilómetro * Metro cuadrado



a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

35) De las siguientes unidades, cuántas se aplican a la masa:

* Kilómetro * Gramo * Tonelada

* Pie * Litro * Hora



a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

36) De las siguientes unidades, indica ¿cuántas pueden aplicarse al tiempo?

* Segundo * Amperio * Siglo

* Año * Metro * Kelvin



a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

37) Es aquella magnitud que depende sólo de su valor numérico y su unidad de medida. ¿A qué magnitud corresponde la anterior afirmación?

a) Masa d) Vectorial b) Fundamental e) Escalar c) Derivada

I BIMESTRE

38) Es una magnitud física vectorial:

a) Masa d) Tiempo b) Velocidad e) Longitud c) Temperatura 39) En 25 s, ¿cuántas unidades de segundos existen?



a) 10 b) 20 c) 30

d) 25 e) 15

40) Indica una magnitud física fundamental.

a) Aceleración d) Temperatura b) Volumen e) Área c) Energía

41) ¿Cuál es la unidad patrón de la temperatura?

a) Grados celsius b) Grados centígrados c) Grados kelvin d) Kelvin e) Grados

42) ¿ Q u é s í m b o l o s e u t i l i z a oficialmente para el metro?

a) mts b) mt c) m

d) M e) ms

43) ¿Cuál no es una unidad del Sistema Internacioal (S.I.) para las magnitudes fundamentales?

a) Mililitro b) Candela c) Mol

d) Metro e) Amperio

44) El sistema métrico decimal fue adoptadoypropuestoporprimera vez por:

a) Alemania b) Perú c) Francia

d) EE.UU. e) España

45) Es una unidad del Sistema Internacional de Unidades (S.I.) para una magnitud fundamental.

a) Litro b) Pulgada c) Amperio

d) Yarda e) Pie

46) En 50 m, ¿cuántas unidades de metros se tiene?

a) 5 b) 10 c) 20

d) 40 e) 50

47) En un hombre de 75 kg, ¿qué cantidaddeaguaequivalesumasa?

a) 70 L b) 75 L c) 95 L

d) 80 L e) 85 L

48) Son magnitudes físicas que se clasifican según su origen: I. Metro IV. Escalar II. Fundamentales V. Vectorial III. Derivadas

a) I b) III y V c) IV

d) II y III e) III

49) Se admitió que era la masa de agua contenida en un envase cuyo volumen era 1 dm3.

a) Gramo b) Litro c) Libra

d) Tonelada e) Kilogramo

50) 2 átomos de carbono, ¿a qué cantidad de electrones equivale su masa aproximadamente?

a) 10000 b) 30000 c) 50000

d) 20000 e) 40000

FISICA / 1ER. AÑO 133

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Magnitudes Físicas: Dimensiones Magnitud Física Es todo aquello que podemos medir, es decir podemos expresar con un valor numérico (cantidad) acompañado por la unidad respectiva. Además una magnitud física es susceptible de aumentar o disminuir.

3ra

Sesión

¿Sabias Qué? 1 yarda

La velocidad 1 pie

Intensidad de la corriente eléctrica. 1 pulgada CLASIFICACIÓN DE LA MAGNITUD

1. Magnitudes fundamentales Son reconocidas siete magnitudes según el Sistema Internacional deUnidades (S.I.), las cuales son: Magnitud

Representación dimensional

Símbolo

Longitud

L

Metro (m)

Masa

M

Kilogramo (kg)

Tiempo

T

Segundo (s)

Temperatura

q

Kelvin (K)

Intensidad de Corriente Eléctrica

I

Amperio (A)

Intensidad de luminosa

J

Candela (cd)

Cantidad de sustancia

N

Mol (mol)

FISICA / 1ER. AÑO 134

La medida es necesaria en muchasciencias,yespecialmente en la física. Lord Kelvin (1824 - 1907), físico inglés, lo puso de manifiesto con las siguientes palabras: “Suelo decir que cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo acerca de ello”. Estafraseresumelanecesidadde lamedidaenlasmagnitudesque intervienen en física para llegar a un verdadero conocimiento científico de los fenómenos que se estudian.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

2. Magnitudes derivadas



Son aquellas que se forman al combinar las magnitudes fundamentales. Magnitud

Representación dimensional

Símbolo

Área

L2

m2

Volumen

L3

m3

Densidad

ML-3

kg/m3

Velocidad lineal

-1

LT

m/s

Aceleración lineal

LT-2

m/s2

Velocidad angular

T-1

rad/s

Aceleración angular

T-2

rad/s2

Fuerza

MLT-2

newton (N)

Presión

ML-1T-2

pascal (Pa)

Trabajo

2 -2

ML T

joules (J)

Energía

ML2T-2

joules (J)

Potencia

ML2T-3

watts (W)



Resolución:

El volumen mide las tres dimensiones:



V= Largo x Ancho x Altura

[V] = LT T [t] -2 [a]= LT

Luego: [a]=

-1



Se tiene: V= d t

3. Halla la ecuación dimensional de “F”, siendo F = ma.



Donde: [d] = L

L [d] = T [t] [V]= LT-1

Luego: [V]=

2. ¿Cuál es la ecuación dimensional de la aceleración? Resolución:

Tenemos: a = v t Donde: [V] = LT-1



I BIMESTRE

[t] = T

Resolución:

[V]= L x L x L



[V]= L-3



a) Longitud b) Masa c) Temperatura d) Tiempo



( ( ( (

Tenemos: [m]= M

[F]= MLT-2



Resolución: Tenemos: [m]= M [V]= LT-1

) Kelvin ) Segundo ) Kilogramo ) Metro

a) masa b) tiempo c) longitud

d) velocidad e) intensidad

3) De las siguientes alternativas, ¿cuál no es una magnitud derivada?

4. Determina la ecuación dimensional de “P” si P=mV.



Longitud

2) De las siguientes alternativas, ¿cuál es una magnitud derivada?

[a]= LT-2

Luego: [F]=[m].[a]



Longitud

1) Relaciona.



[t] = T

Longitud



Nivel I

Resolución:



[P]= MLT-1

5. Determina la ecuación dimensional del volumen.

Ejercicios Resueltos 1. ¿Cuál es la ecuación dimensional de la velocidad?

Luego: [P]=[m].[V]



a) fuerza b) aceleración c) intensidad de corriente d) energía e) volumen

FISICA / 1ER. AÑO 135

De Corazón hasta la muerte

4) Indica verdadero (V) o falso (F) según los siguientes enunciados.

I. La ecuación dimensional de la aceleración es LT-1 II. La ecuación dimensional de la fuerza es MLT-2 III. La ecuación dimensional de la velocidad angular es LT-1 IV. La ecuación dimensional de la energía es ML2T-2



a) VVVF b) VFFV c) VFVF

I. La unidad de la masa es el kilogramo (kg). II. La unidad del tiempo son las horas (h). III. La unidad de la longitud es el kilómetro (km).



a) VVV b) VFF c) VFV

d) FVF e) FVV

6) Relaciona.



a) Intensidad de corriente. b) Cantidad de sustancia. c) Temperatura termodinámica. d) Longitud.



( ( ( (



a) L2M-1T b) LM-1T-1 c) L2M-1T-1



136

velocidad . longitud masa



( ( ( (

FISICA / 1ER. AÑO

d) LMT-1 e) L-1MT-1

k=



a) Aceleración lineal : LT-2 b) Potencia : ML2T-3 c) Trabajo : ML2T-2 d) Aceleración angular : T-2 e) Energía : ML2T2

longitud . masa tiempo

a) LMT b) MT-1 c) LT-1







E=

10) Encuentralaecuacióndimensional de la siguiente expresión:

a) Velocidad lineal b) Fuerza c) Presión d) Velocidad angular

7) D e t e r m i n a l a a l t e r n a t i v a incorrecta.

) metro (m) ) kelvin (k) ) ampere (A) ) mol (mol)

9) Encuentralaecuacióndimensional de la siguiente expresión ([E]):



) MLT-2 ) T-1 ) LT-1 ) ML-1T-2

13) Encuentra: [S]

8) Relaciona.

d) FVFV e) FVVF

5) Según el sistema internacional (S.I.), indica verdadero (V) o falso (F).

I.E. "MARIANISTA"

d) LMT e) L-2MT-1

11) Encuentra: [E] E=

aceleración . área longitud . tiempo

a) L2T-3 b) LT3 c) L2T-2

d) LT-3 e) L2T3

12) Encuentra: [k]

presión . energía velocidad



S=



a) M2T-3 b) M2T3 c) M-2T

d) M-2T3 e) MT3

14) Encuentra: [R] volumen . trabajo velocidad . tiempo



R=



a) L2MT-4 b) L4M2T-1 c) L4MT-2

d) L3M2T-2 e) L4MT2

15) Encuentra: [X]

X=

fuerza . energía presión . aceleración

a) LM2 b) L2M3 c) L2M

d) LMT-2 e) L3M-1T2

Nivel II 16) Al hallar [k] se obtiene la ecuación dimensional de: potencia . tiempo k= longitud a) Presión d) Fuerza b) Energía e) Velocidad c) Trabajo 17) Al hallar [E] se obtiene la ecuación dimensional de: presión . área . tiempo E= masa a) Velocidad d) Energía b) Aceleración e) Volumen c) Fuerza

k = fuerza . velocidad tiempo . volumen a) LMT-3 b) L-1MT-2 c) L-1MT-3

d) L-1MT-4 e) L-1M-1T-4

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

18) Determina: [X] X= F.V E F : fuerza; V : velocidad; E : energía

a) LT-2 b) LT c) T-1

d) MT-1 e) MT

19) Halla: [K] K = presión . energía potencia a) LMT d) L-1MT-1 -1 b) L MT e) LM c) L-1M-1T-1 20) La siguiente expresión plasmó la ley de la gravitación universal: F = G . m1.m2 d2 donde: F=fuerza; m1 y m2=masas; d=distancia. Halla: [G] a) L3M-1T-2 d) L3M-1T2 -3 -2 b) L MT e) L3MT-2 2 -1 -2 c) L M T 21) C o m p l e t a l a s s i g u i e n t e s proposiciones:

* La ................... es una operación que consiste en comparar una cantidad con otra cantidad fija de la misma magnitud llamada ......................... de medida.



* La ................. es todo aquello que se puede medir.





* Toda unidad patrón posee una condición fundamental: ser .................................. * El .................., la unidad de la longitud, es la que más ha evolucionado con el tiempo.

I BIMESTRE

22) Relaciona correctamente, según el Sistema Internacional (S.I.).

a) Es la unidad de la temperatura. b) Es la unidad de la intensidad de corriente eléctrica. c) Es la unidad del tiempo. d) Es la unidad de la cantidad de sustancia. ( ( ( (

28) Del problema anterior, la ecuación dimensional pertenece a:

) segundo ) mol ) ampere ) kelvin



23) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:



* En la obtención del kilogramo patrón se utilizó un litro de agua. ( ) * En la actualidad, el metro se mide con la velocidad de la luz y su distancia recorrida en un intervalo de tiempo. ( ) * La candela es la unidad de medida del fuego. ( )

24) El metro es la unidad de la:

a) Masa b) Fuerza c) Tiempo

d) Longitud e) Temperatura

25) No es una magnitud fundamental:

27) Halla la ecuación dimensional de: K = longitud tiempo a) LT-2 d) L-1T b) LT-1 e) L-1T-1 c) LT

a) Intensidad luminosa b) Fuerza c) Tiempo d) Temperatura e) Masa

26) Marca lo correcto: E = velocidad tiempo a) Potencia d) Trabajo b) Energía e) Fuerza c) Aceleración

a) Velocidad d) Trabajo b) Área e) Energía c) Aceleración

29) Halla la ecuación dimensional de: P = Velocidad tiempo a) LT d) LT-3 b) LT-1 e) L-1T-2 c) LT-2 30) Del problema anterior, la ecuación dimensional pertenece a:

a) Velocidad d) Trabajo b) Fuerza e) Energía c) Aceleración Nivel III

31) Calcula la ecuación dimensional: E = masa . aceleración a) MLT d) MLT-2 -2 b) ML e) M-2LT -1 c) MLT

32) Del problema anterior, la ecuación dimensional pertenece a:

a) Velocidad d) Trabajo b) Fuerza e) Potencia c) Aceleración

FISICA / 1ER. AÑO 137

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

33) Calcula la ecuación dimensional de “P”. P = Fuerza masa a) MLT d) LT-2 -2 b) MLT e) LT-1 c) LT

39) Calcula la ecuación dimensional de la presión si se sabe que: Presión = Fuerza Área a) MLT d) ML-2T-2 -1 b) MLT e) M2L-1T-2 -1 -2 c) ML T

34) Del problema anterior, la ecuación dimensional pertenece a:

40) Calcula la ecuación dimensional del trabajo mecánico si se sabe que: Trabajo mecánico = Fuerza . distancia a) MLT-2 d) ML-1T-1 2 -2 b) ML T e) ML2T-3 -2 -2 c) ML T



a) Presión b) Velocidad c) Área

d) Aceleración e) Trabajo

35) Calcula la ecuación dimensional de [X]. X = masa . velocidad tiempo a) MLT d) MLT-3 b) MLT-2 e) ML-2T c) MLT-1 36) Del problema anterior, la ecuación dimensional pertenece a:

a) Velocidad d) Fuerza b) Aceleración e) Trabajo c) Presión

37) Calcula la ecuación dimensional de [K]. K = aceleración velocidad a) LT d) L b) T e) L-1 -1 c) T 38) Calcula la ecuación dimensional de [B]. B = Fuerza . Tiempo masa a) MLT d) LT-2 -1 b) MLT e) LT c) LT-1

FISICA / 1ER. AÑO 138

41) Calcula la ecuación dimensional de la energía si se sabe que: aceleración Energía = Masa . gravedad . altura a) MLT-2 d) ML-1T-1 2 -2 b) ML T e) ML2T-3 -2 -2 c) ML T 42) ¿Cómo son las ecuaciones dimensionales del trabajo mecánico y la energía mecánica? __________________________ __________________________ 43) Calcula la ecuación dimesional de la densidad. densidad = masa volumen a) ML d) ML3 -2 b) ML e) ML-3 3 3 c) M L 44) Calcula la ecuación dimesional de [F]. F = Aceleración lineal Aceleración angular a) T4 d) LT-1 b) L4 e) LT-3 c) LT-4

45) Calcula [G]. 2 G = fuerza . distancia 2 masa a) L-1MT3 d) L3M-1T-2 b) L e) L-2MT-1 3 c) LMT 46) Calcula [Q]. Q = volumen . presión área . densidad a) L2T2 d) LT b) L3T-3 e) L c) L3T-2 47) Calcula [K]. K = 10 velocidad . tiempo a) LT d) T b) LT-2 e) 10L c) L 48) Calcula [A]. A = fuerza . distancia velocidad a) MLT d) MLT-4 -2 b) MLT e) M-1LT-2 -1 c) MLT 49) Calcula [K]. F = K.X Donde: F=Fuerza X=Deformación (distancia)

a) M b) L2 c) T-1

d) LT e) MT-2

50) Calcula [E].

E= 1mv2 2

Donde: m=masa v=velocidad

a) ML2T-2 b) MLT c) MLT-1

d) ML2T2 e) MLT-3

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Cinemática

4ra

Sesión

Paradoja de Zenón

Definición

Alrededor del año 500 a.C. vivió un griego muy inteligente llamado Zenón de Elea. Platón y Aristóteles conocieron sus famosas paradojas lógicas y ambos escribieron sobre ellas. Aristóteles llamó Sofismas a los argumentos de Zenón, pero fue incapaz de refutarlos, Platón señaló que una misma cosa parecia igual y desigual, única y múltiple, en reposo y en movimiento.

Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpo rígidos, sin informar qué los produce. La palabra “cinemática”provienedelapalabragriega Kinema que significa movimiento. Describir el movimiento, a pesar de que parece un hecho simple, preocupó al hombre durante siglos. Fue en la época de Galileo cuando se inició la descripción adecuada del movimiento de un cuerpo.

Una de las paradojas más famosas de Zenón fue la de Aquiles y la tortuga. Aquiles guerrero griego accedió a competir contra una tortuga, porque sabía que podía correr más rápido que ella, dándole una ventaja inicial. Según Zenón Aquiles nunca podría atrapar a la tortuga, porque al llegar al punto de partida del animal, éste ya se había movido en ese mismo tiempo hacia otro lugar. Aquiles iría entonces a alcanzarlo en ese sitio, pero la tortuga habría avanzado otra vez, hacia adelante, como este proceso se repetiría un número infinito de veces, de acuerdo con Zenón, Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga. Las paradojas de Zenón permanecieron casi 2000 años sin resolverse, lo que difilcutó seriamente el estudio del movimiento. 1. Zenón confundió a los filósofos al afirmar que Aquiles no podría rebasar a una tortuga, si ésta recibía una ventaja inicial.

“En la naturaleza nada hay más antiguo queelmovimientoysonmuchosyextensos loslibrosquelosfilósofoslehandedicado; sinembargo,yohe descubiertoquehay muchascosasinteresantesacercadeél,que hasta ahora han pasado inadvertidas”. Galileo Galilei CONCEPTO DE MOVIMIENTO Galileo fue quien abrió las puertas para la comprensión de este fenómeno.

2. ¿Cuándo nos movemos más rápido, de mediodía o de medianoche? ¿Por qué se produce tal fenómeno?

Sol

I BIMESTRE

Tierra

Galileoysuscontemporáneosheredaron el pensamiento de los griegos respecto al mundo físico. Así, antes de empezar cualquier investigación científica, debieron despejarse de conceptos como de que“los cuerpos tienen deseos internos”. tuvieron que considerar el movimiento desde un nuevo punto de vista. Esto no fue fácil. Los científicos y los filósofos de aquella época tuvieron que enfrentarse no sólo a las concepciones aristotélicas, sino también a un serie de preguntas tan confusas, como las paradojas de Zenón. FISICA / 1ER. AÑO 139

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

* Movimiento es el cambio de posición de un cuerpo con respecto de otro.

ELEMENTOS DE UN MOVIMIENTO rapidez V

El movimiento de un auto

El movimiento de un ave

móvil

El movimiento de la Tierra

trayectoria

SISTEMA DE REFERENCIA Suponiendo que el avión al volar horizontalmente deja caer una bomba. Si usted observa la caída de la bomba estando dentro de la nave, observará que cae según una línea vertical; por otra parte, si se observa desde tierra (en B), se observa que al caer describe una trayectoria curva como se muestra en la figura.

Observador sistema de referencia Móvil: Es el cuerpo que realiza el movimiento.

A

A

A

Trayectoria: Es la línea que describe al movimiento realizado por el móvil. Posición: Es el lugar que ocupa en el espacio con respecto a un punto fijo llamado sistema de referencia u observador. Rapidez (velocidad): Es el cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro en un determinado tiempo.

B

Desplazamiento: Es el camibo efectivo de posición. El movimiento de un cuerpo depende del punto de referencia que se tome. A este punto u objeto se le llama sistema de referencia.

B

Distancia: Es la longitud de la trayectoria. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS

Según su trayectoria 1. Movimiento rectilíneo E s a q u e l m ov i m i e nto c u ya trayectoria es una línea recta.

A

FISICA / 1ER. AÑO 140

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

DEFINICIÓN DE UNA VELOCIDAD CONSTANTE (V) Una velocidad es constante si su módulo y dirección no cambian a través del tiempo. Este tipo de velocidad sólo aparece en el MRU.

trayectorias rectilíneas

t v

2. Movimiento circular Es aquel movimiento cuya trayectoria es una circunferencia.

d velocidad=

trayectorias circulares

v=

3. Movimiento parabólico

distancia tiempo d t

Las unidades de la velocidad son: m/s; km/h; cm/s; pies/s; etc.

Es aquel movimiento cuya trayectoria es una parábola.

Ecuación del movimiento d=v.t en consecuencia: Al patear un balón

Al cruzar un río

v=

trayectorias parabólicas

Es aquel movimiento cuya trayectoria es una elipse.

Según la rapidez 1. Movimiento Uniforme Es cuando el móvil tiene una rapidez constante. 2. Movimiento Variado Es cuando el móvil cambia su rapidez.

t

I BIMESTRE

d v

t v

m

km

cm

t

s

h

s

v

m/s

km/h cm/s

v d

1 km = 1000 m 1h = 60 min 1 m = 100 cm 1 min = 60 s 1 cm = 10 mm 1h = 3600 s Conversión de velocidades: a. De km a m h s

t v

d

d

Equivalencias:

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) El MRU es el tipo de movimieto mecánico más elemental del universo, se caracteriza porque la trayectoria que describe el móvil es una línea recta, de modo que recorre distancias iguales en intervalos de tiempo también iguales.

d

t=

Unidades:

4. Movimiento Elíptico

v

d t

18 km/h x 5 = 5 m/s 18 36 km/h x 5 = 10 m/s 18 FISICA / 1ER. AÑO 141

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

b. De m a km h s

5. Si un móvil recorre 80 m en 16 s, ¿cuál será su velocidad?

20 m/s x 18 = 72 km/h 5 18 30 m/s x = 108 km/h 5

Resolución: d v= t v = 80 m 16 s v = 5 m/s

Ejercicios Resueltos

Aplicación

Resolución: 72 x 5 = 20 m/s 18 km 72 = 20 m/s h



Nivel I





d t 200 m v= 5s v = 40 m/s

Se tiene: v =



3. Se dispara una bala con una velocidad de 250 m/s. ¿Qué distancia recorre en 10 segundos? Resolución:



4. Un móvil se mueve a razón de 7 m/s. ¿Qué distancia recorrió en 1 minuto?



Sabemos que:



Donde: v = 7 m/s



t = 1 min = 60 s

Luego:

d=v.t



d = 7 x 60

→

FISICA / 1ER. AÑO 142

a) 50 m b) 40 m c) 70 m

d) 60 m e) 80 m

a) 420 m b) 360 m c) 340 m

d) 520 m e) 400 m

4) Un avión supersónico tiene una velocidad de 420 m/s. Si logra desplazarse durante 5 s, ¿qué distancia logra recorrer?

d=v.t



d) 40 m e) 45 m



a) 1200 m b) 2400 m c) 2200 m

d) 2100 m e) 1900 m

d) 1200 km e) 1800 km

a) 50 m b) 60 m c) 70 m

d) 48 m e) 64 m

7) Un niño en bicicleta se puede mover a 3,5 m/s durante 6s. ¿Qué distancia logra recorrer?

a) 19 m b) 24 m c) 21 m

d) 26 m e) 32 m

8) Se dispara una bala con una velocidad de 250 m/s. ¿Qué distancia recorrerá en 12 s?

3) Un auto tiene una velocidad de 24 m/s y se desplaza durante 15s. ¿Qué distancia logra recorrer?

Resolución:



2) Un móvil tiene una velocidad de 12 m/s y se desplaza durante 5 s. ¿Qué distancia logra recorrer?

Se tiene: d = v . t d = 250 mx 10s s d = 2500 m

a) 27 m b) 32 m c) 36 m

a) 1000 km b) 1600 km c) 1400 km

6) Un móvil se mueve a la velocidad de 24 m/s durante 2,5 s. ¿Qué distancia logra recorrer en ese tiempo?

1) Un móvil tiene una velocidad de 9 m/s y se desplaza durante 4 s. ¿Qué distancia logró recorrer?

2. Un móvil recorre 200m es 5 segundos. Halla su velocidad. Resolución:



Ejercicios de

1. Convierte 72 km a m. h s

5) Un tren bala logra viajar a la velocidad de 300 km/h. Si logra viajar durante 4h, ¿qué distancia logra recorrer?

a) 2000 m b) 3000 m c) 1500 m

d) 2500 m e) 4000 m

9) Una paloma se mueve a la velocidad de 3,5 m/s. ¿Qué distancia recorrerá en 8 s?

a) 26 m b) 29 m c) 20 m

d) 28 m e) 32 m

10) Un auto deportivo se mueve a razón de 220 km/h. ¿Qué distancia logra recorrer en 2,5 h?

a) 440 km b) 340 km c) 540 km

d) 640 km e) 550 km

d = 420 m I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

11) Una tortuga se mueve con una velocidad de 0,2 cm/s. ¿Qué distancia recorre en 15 s?

a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm

d) 3 cm e) 5 cm

12) Un correcaminos. Se mueve a velocidad de 18 m/s. ¿Qué distancia logra recorrer en 2,5 s?

a) 42 m b) 36 m c) 45 m

d) 38 m e) 46 m

13) Un niño corre a razón de 4 m/s durante 5 minutos. Calcula la distancia que logra recorrer en ese tiempo.

a) 1000 m b) 1100 m c) 1300 m

d) 1400 m e) 1200 m

14) Un tren moderno se mueve a razón de 15 m/s. ¿Qué distancia logra recorrer en 2 minutos?

a) 1600 m b) 1800 m c) 1400 m

d) 2000 m e) 2400 m

15) Un móvil se mueve a razón de 9m/s. ¿Qué distancia logra recorrer en 1 minuto?

a) 480 m b) 520 m c) 540 m

d) 500 m e) 600 m

16) Unapiedraselanzaconunarapidez de 5 m/s en forma horizontal. Si el movimiento es rectilíneo y uniforme, ¿qué distancia recorrerá en 1 minuto? a) 200 m b) 400 m c) 300 m

I BIMESTRE

22) Si un móvil recorre 24 m en 8 s, ¿cuál sería su velocidad?



Móvil A: Móvil B: Móvil C:





¿Cuál de los móviles es el que recorrió mayor distancia?

23) Si un móvil recorre 80 m en 5 s, ¿cuál sería su velocidad?



a) A b) B c) C



d) 500 m e) 600 m

v=16m/s t=5s v=15 m/s t=6s v=24m/s t=3s

d) No se puede e) A y C

18) Un guepardo puede obtener una rapidez de 30 m/s. Si al perseguir a su presa la alcanza luego de 2 minutos, ¿qué distancia recorrió en esta cacería?

a) 1800 m b) 2400 m c) 3000 m

d) 3600 m e) 4800 m

19) Tom posee una velocidad de 6 m/s. Si luego de perseguir a jerry durante 2 minutos logra alcanzarlo, determina la distancia que recorre Tom.

a) 680 m b) 540 m c) 700 m

d) 840 m e) 720 m

20) En una noche, Manuel persigue a Javier a razón de 5 m/s. Determina la distancia recorrida por Manuel si alcanzó a Javier a los 3 minutos de iniciada su persecución desesperada.

Nivel II



17) Se tienen 3 móviles con los siguientes datos:

a) 900 m b) 800 m c) 700 m

d) 600 m e) 500 m

21) Si móvil recorre 36 m en 4 s, ¿cuál sería su velocidad?

a) 8 m/s b) 7 m/s c) 6 m/s

a) 2 m/s b) 4 m/s c) 3 m/s

a) 12 m/s b) 14 m/s c) 15 m/s

d) 5 m/s e) 6 m/s

d) 16 m/s e) 18 m/s

24) Un auto recorre 200 m en 25 s. Determina la rapidez del auto.

a) 8 m/s b) 10 m/s c) 12 m/s

d) 6 m/s e) 9 m/s

25) Un auto deportivo se mueve en línea recta recorriendo 2400 m en 40 s. Calcula su velocidad en m/s.

a) 50 m/s b) 40 m/s c) 30 m/s

d) 60 m/s e) 70 m/s

26) Un guepardo logra recorrer 420 m en 7 s. ¿Cuál será la rapidez de este felino?

a) 40 m/s b) 50 m/s c) 60 m/s

d) 80 m/s e) 90 m/s

27) Un correcaminos, recorrió 1800 m en 45 s. ¿Qué velocidad posee dicha ave?

a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s

d) 40 m/s e) 50 m/s

d) 9 m/s e) 5 m/s

FISICA / 1ER. AÑO 143

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

28) Un atleta logra recorrer 480 m en 2 minutos. ¿Qué velocidad posee el atleta?

35) Un niño en una máquina“x-treme” logra recorrer 9 km en 2,5 minutos. Calcula su rapidez en m/s.

42) Un niño en bicicleta se mueve a razón de 18 m/s. ¿En qué tiempo logrará recorrer 126 m?







a) 6 m/s b) 4 m/s c) 2 m/s

d) 5 m/s e) 3 m/s

29) Un auto recorre 1800 m en 5 minutos. ¿Cuál es su rapidez?

a) 8 m/s b) 10 m/s c) 12 m/s

d) 6 m/s e) 4 m/s

30) Un auto recorre 2,4 km en 60 s. Calcula su rapidez en m/s.

a) 24 m/s b) 30 m/s c) 42 m/s

d) 40m/s e) 28 m/s

Nivel III

a) 80 m/s b) 60 m/s c) 40 m/s

d) 20 m/s e) 50 m/s

36) Si un móvil logra recorrer 350 m a razón de 50 m/s, ¿en qué tiempo logró recorrer dicha distancia?

a) 4 s b) 6 s c) 8 s

d) 7 s e) 5 s

a) 16 km/s b) 12 km/s c) 8 km/s

d) 6 km/s e) 24 km/s

a) 180 s b) 160 s c) 140 s

d) 150 s e) 120 s



a) 10 s b) 30 s c) 50 s

d) 70 s e) 40 s











32) Una nave espacial recorre 1,2 km en 0,1s. Calcula su rapidez en km/s.

43) Una nave se mueve a una rapidez de 16 m/s. ¿En qué tiempo logrará recorrer 2,4 km?

44) La sonda espacial “Voyager” logra alcanzar la rapidez de 12 km/s. ¿En qué tiempo logrará recorrer 7,2x104m?

31) Un avión recorrió 3,6 km en 40 s. Calcula su rapidez en m/s. d) 90 m/s e) 120 m/s

d) 5 s e) 7 s

37) Un auto recorre 480 m , a razón de 16 m/s. ¿En qué tiempo logró recorrer dicha distancia?

38) Un avión se mueve a razón de 48 m/s. Si logra recorrer 960m, determina en cuánto tiempo logró dicha distancia.

a) 60 m/s b) 70 m/s c) 80 m/s

a) 9 s b) 8 s c) 6 s

a) 16 s b) 24 s c) 18 s

d) 20 s e) 26 s

a) 6 s b) 60 s c) 600 s

d) 0,6 s e) 0,06 s

45) Una tortuga se mueve a razón de 0,02 m/s. ¿En qué tiempo logrará recorrer 12 m?

a) 60 s b) 600 s c) 6 s

d) 0,06 s e) 0,6 s

39) Si la velocidad de un guepardo es de 36 m/s, ¿en qué tiempo logrará recorrer 180 m?

46) Se lanza un satélite artificial al espacio logrando obtener un velocidad de 8x103m/s. ¿ En qué tiempo logrará recorrer 5,6 km?





a) 7 s b) 4 s c) 6 s

d) 5 s e) 3 s

a) 7 s b) 0,7 s c) 0,07 s

d) 700 s e) 14 s

33) Un auto deportivo recorre 4,8 km en 2 minutos. Calcula su rapidez en m/s.

40) Se dispara una bala a razón de 400 m/s. ¿En qué tiempo llegará al blanco situado a 100 m de distancia del punto de disparo?

47) En una carrera de caballos, el caballo favorito“Pegasus”logra alcanzar una rapidez de 16 m/s. ¿En quétiempo logrará recorrer 8x104cm?







a) 30 m/s b) 20 m/s c) 40 m/s

d) 60 m/s e) 50 m/s

a) 0,5 s b) 1,5 s c) 2,5 s

d) 0,25 s e) 0,15 s

a) 50 s b) 40 s c) 30 s

d) 20 s e) 10 s

34) Un motociclista recorrió una distancia de 5,4 km durante 6 minutos. Calcula su rapidez en m/s.

41) Se lanza un“boomerang”logrando recorrer 360 m a razón de 30 m/s. ¿En qué tiempo logra dicho recorrido?

48) Un transeúnte se mueve a razón de 1,5 m/s. ¿En qué tiempo logrará recorrer 900 m?







a) 12 m/s b) 14 m/s c) 15 m/s FISICA / 1ER. AÑO 144

d) 17 m/s e) 25 m/s

a) 14 s b) 12 s c) 10 s

d) 16 s e) 18 s

a) 50 s b) 60 s c) 600 s

d) 500 s e) 30 s

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

5Ta

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.) Recordando: 1. _________________________________________________________ 2. _________________________________________________________

Sesión

¿Sabias Qué?

3. _________________________________________________________ t

V d El Maglev es uno de los trenes más rápidos del mundo, pues llega a alcanzar 517 km/h.

Unidades:

d

m

km

cm

t

s

h

s

v

m/s

d=v.t

d t

v=

t=

d v

km/h cm/s

Frases

Para convertir velocidades: a. De: km/h a m/s

b. De: m/s a km/h

36 km/h x

90 m/s x

=

Tiempo de encuentro (te) VA

=

Tiempo de alcance (ta) VB

VA

VB

d te=

I BIMESTRE

d VA+VB

‘‘En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filósofos le han dedicado; sin embargo, yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él que hasta ahora han pasado inadvertidas’’.



d ta=

d VA - VB

Galileo Galilei

FISICA / 1ER. AÑO 145

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejercicios Resueltos

4 . Del gráfico, halla en qué tiempo los móviles se encuentran. VA=3m/s

1. Un coche viaja 36 km/h durante 12s. Halla la distancia que recorrió.



Sabemos: d = v . t



Donde: v = 36 kmx h t = 12 s





5= 10 18

m s

d = (10 m)(12s) s d = 120 m

te = 500 m → te = (3+7) m/s te = 50 s



v = 90 km/h

Luego: t = d v t = 90 km 90 km/h t=1h



VA=10m/s

VB=3m/s

28 m

ta = ta =



v = 340 m/s (velocidad del sonido)



t=3s



Luego: d = v . t



d = (340 m) (3s) s d = 1020 m

FISICA / 1ER. AÑO 146

d) 1000 m e) 2100 m

a) 1000 m b) 1100 m c) 1400 m

d) 1200 m e) 1600 m

5) Si un auto viaja durante 15 minutos a una velocidad de 20 km/h, determina la distancia que recorrió este auto.

d VA - VB 28 m → t = (10 - 3) m/s a

28 m 7 m/s

ta = 4 s



a) 4 km b) 5 km c) 6 km

d) 2 km e) 1 km

6) Si un tren se mueve a razón de 8 km/h durante 30 minutos, determina la distancia que este tren recorrió.

Resolución: Tenemos que: d = v . t

a) 800 m b) 900 m c) 1200 m

Resolución:

3. Una persona emite un grito y otra lo escucha en 3s. Halla la distancia que los separa.



d) 80 m e) 70 m

4) Un móvil se desplaza a razón de 18 km/h durante 4 minutos. ¿Qué distancia logró recorrer este móvil?

5 . Del gráfico, halla el tiempo en que el móvil A alcanza al móvil B.

Resolución: Tenemos que: t = d v Donde: d = 9000 m = 90 km

500 m 10 m/s

a) 120 m b) 90 m c) 100 m

3) Un avión supersónico tiene una velocidad de 420 m/s. Si logra desplazarse durante 5 s, ¿qué distancia logró recorrer?

d V1+V2

te =

2. Si un tren viaja a razón de 90 km/h, ¿en cuánto tiempo logrará recorrer 9000 m?





Resolución:

Luego: d = v . t



VB=7m/s 500 m

Resolución:

2) Un coche viaja a razón de 54km/h durante 6 s. Halla la distancia que recorrió.



Nivel I 1) Un coche viaja a la velocidad de 36 km/h durante 15 s. Halla la distancia que recorrió.

a) 120 m b) 140 m c) 150 m

d) 160 m e) 180 m

a) 3 km b) 4 km c) 5 km

d) 6 km e) 8 km

7) Si un auto se mueve a razón de 25 m/s durante 4 minutos, calcula la distancia que este móvil recorrió.

a) 10 km b) 4 km c) 6 km

d) 5 km e) 8 km

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

8) Un auto logra recorrer 1800 m en 3 minutos. Calcula su velocidad en km/h.

a) 72 km/h b) 36 km/h c) 54 km/h

d) 18 km/h e) 20 km/h

9) Un auto logra recorrer 3,6 km en 2 minutos. Calcula su velocidad en km/h.

a) 112 km/h b) 118 km/h c) 108 km/h

d) 128 km/h e) 102 km/h

14) Un atleta recorre 15 m en 4 s. Si decide viajar durante 12 s más, ¿qué distancia recorrerá ahora?

a) 30 m b) 25 m c) 15 m

d) 45 m e) 60 m

15) Un auto recorre 18 km en “t” segundos. En “3t” segundos, ¿qué distancia recorrerá?

a) 36 km b) 18 km c) 24 km

d) 48 km e) 54 km

Nivel II 10) Si un móvil se mueve a razón de 36 km/h, determina en cuánto tiempo logrará recorrer 40 m.

a) 2 s b) 4 s c) 6 s

d) 8 s e) 10 s

16) En el siguiente gráfico, determina la distancia recorrida “x” si se sabe que su velocidad es constante.

t

2t

V

V

4m 11) Si un tren se mueve a razón de 90 km/h, ¿en cuánto tiempo logrará recorrer 200 m?

a) 12 s b) 10 s c) 8 s

d) 6 s e) 4 s

12) Si un avión comercial viaja a razón de 270 km/h, ¿en cuánto tiempo logrará recorrer 4,5 km?

a) 10 s b) 20 s c) 60 s

d) 30 s e) 35 s

13) Un móvil recorre cierto tramo de 6 m en “t” segundos. ¿Cuál será la distancia recorrida en “2t” segundos si el móvil se mueve a velocidad constante.

a) 6 m b) 3m c) 9 m

I BIMESTRE

d) 12 m e) 18 m



3t V

x

a) 16 m b) 12 m c) 20 m

d) 24 m e) 30 m

17) En el siguiente gráfico, determina la distancia recorrida“x”si se sabe que su velocidad es constante. 2t 3t V V 10m

x

a) 15 m b) 20 m c) 5 m

d) 25 m e) 30 m

18) En el gráfico, determina la distancia recorrida “x” si se sabe que su velocidad es constante. 3t 5t V x

a) 12 m b) 9 m c) 6 m

24 m d) 18 m e) 24 m

19) Un móvil recorre cierta distancia a una rapidez constante“V”durante 8 s. ¿Qué tiempo utilizará si la rapidez se duplica para recorrer la misma distancia?

a) 3 s b) 2 s c) 1 s

d) 4 s e) 16 s

20) Un atleta recorre una pista de largo “L” en 9 s. Si se decide hacerlo al triple de la velocidad que utilizó, determina el tiempo que demoró en lograrlo.

a) 6 s b) 4 s c) 9 s

d) 3 s e) 1 s

21) Un nadador recorre una piscina de largo “L” en 6 s, pero si la distancia seduplicaraylarapidezdelnadador se triplicara, determina el tiempo utilizado en este caso.

a) 6 s b) 8 s c) 2 s

d) 4 s e) 12 s

22) Un atleta recorre una pista de largo “L” en 2s. Si el atleta duplicara su rapidez pero recorriendo otra pista de largo “3L”, determina en qué tiemposepuederealizarelsegundo recorrido.

a) 4 s b) 3 s c) 6 s

d) 12 s e) 9 s

23) Un niño corre de su casa a su colegio Trilce con cierta velocidad, pero cierto día duplica su velocidad llegando 15 minutos antes. Determina el tiempo que utiliza normalmente.

a) 20 min b) 25 min c) 15 min

d) 30 min e) 45 min

FISICA / 1ER. AÑO 147

De Corazón hasta la muerte

24) Una persona se dirige de su casa al trabajo todos los días llegando puntual. Cierto día se le ocurre duplicar su rapidez llegando 20 minutos antes. ¿Qué tiempo demora normalmente?

a) 10 min b) 15 min c) 20 min

d) 30 min e) 40 min

25) Un auto recorre cierta distancia a una velocidad constante demorando cierto tiempo “t”. Si al regresar lo hace triplicando la rapidez ahorrándose 30 min de lo normal, determina el tiempo que utiliza normalmente.

a) 10 min b) 40 min c) 60 min

d) 30 min e) 45 min

26) Unautopartedesdeunciertopunto con una rapidez “V”, recorriendo 24m en un tiempo “t”. Si otro auto con el doble de rapidez que el primerosemueveduranteelmismo tiempo “t”, determina la distancia que recorre este segundo auto.

a) 12 m b) 24 m c) 36 m

28) En el siguiente gráfico, determina la distancia “x” si el móvil se mueve como se muestra. t t 3V V

10m

x

a) 5 m b) 15 m c) 20 m

d) 30 m e) 40 m



148

x

a) 10 m b) 15 m c) 20 m

d) 25 m e) 30 m

6m

x

a) 12 m b) 24 m c) 36 m

d) 42 m e) 48 m

30) En el siguiente gráfico, determina la distancia “x” si el móvil se mueve como se muestra. t



3t 2V

V

8m a) 36 m b) 12 m c) 24 m

x d) 48 m e) 56 m

32) Un niño envía un grito de ayuda a otro. Si este segundo niño lo escucha luego de 3 s, ¿a qué distancia se encuentran ambos niños?

a) 1120 m b) 680 m c) 340 m

d) 1020 m e) 1360 m

33) Sucede una explosión y un hombre cerca a ésta logra escuchar la detonación al cabo de 0,5 s. Determina a qué distancia de la explosión estaba el hombre.

a) 340 m b) 510 m c) 85 m

d) 170 m e) 680 m

34) Un auto estacionado toca el claxon logrando ser escuchado por un hombre a los 4 s. Determina a qué distancia se encuentra el hombre del auto.

a) 680 m b) 1020 m c) 340 m

d) 170 m e) 1360 m

35) El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340 m/s. ¿Qué tiempo tardará en escucharse el estampido de un cañón situado a 17 km?

a) 10 s b) 30 s c) 20 s

d) 40 s e) 50 s

36) ¿Enquétiempoelsonidoproducido por una explosión podría viajar 8,5 km? 31) Una persona emite un grito desde cierto lugar y otra persona lo escucha a los 2 s de emitido el grito. Determina la distancia que separa a las dos personas. (Vsonido=340m/s)

FISICA / 1ER. AÑO

5m

29) En el siguiente gráfico, determina la distancia “x” si el móvil se mueve como se muestra. t 2t 3V V

d) 48 m e) 72 m

27) En el siguiente gráfico, determina la distancia “x” si el móvil se mueve como se muestra. t t 2V V

I.E. "MARIANISTA"

a) 340 m b) 170 m c) 510 m



a) 10 s b) 25 s c) 15 s

d) 35 s e) 50 s

d) 680 m e) 85 m

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

La Historia de la Biología MAPA DE SITIO CONTENIDO Desarrollo histórico de la Biología:

1) En la Antigüedad. 2) En la Edad Media y el Renacimiento. 3) En el siglo XVI. 4) En el siglo XVII. 5) En el siglo XVIII. 6) En el siglo XIX. 7) En el siglo XX.

OBJETIVOS

1ra

Sesión

Desarrollo Histórico de la Biología EN LA ANTIGÜEDAD Estudia los fundamentos o principios básicos comunes a todas las ramas de la ciencia química. Los griegos estudiaron los seres vivos, especialmente por razones prácticas, realizando algunas especulaciones sobre la naturaleza. Destacan los aportes de:  Hipócrates (460–357 a.C.), considerado el padre de la Medicina por sus aportes en las diversas ramas de la ciencia médica.  Aristóteles (384–322 a.C.), autor de la primera clasificación de los seres vivos. Considerado el padre de la Zoología por sus importantes aportes en dicha ciencia.  Teofrasto (327–287 a.C.), discípulo de Aristóteles, realizó importantes trabajos en torno a los vegetales, por lo que se le consideró el padre de la Botánica.  Claudio Galeno (131–201 a.C.), creador de la filosofía médica. Expuso de modo magistral las bases racionales y naturalistas de la medicina. EN LA EDAD MEDIA Y EL RENACIMIENTO

 Conocer el desarrollo de la Biología a través del tiempo.  Conocer y explicar los aportes más importantes en el desarrollo de la Biología.

Los conocimientos biológicos aumentaron muy poco debido al escolasticismo de la época, donde el estudio de los escritos griegos no permitió el desarrollo experimental y real de esta ciencia. Destaca sin embargo, la figura de Paracelso, médico y químico suizo (1490-1541), quien aplicó sus conocimientos químicos a la medicina. EN EL SIGLO XVI Al disminuir la influencia de la Iglesia en el pensamiento humano, muchas ciencias empezaron a surgir o progresar, entre ellas la Biología. Sobresalen los aportes de:  Miguel Servet (1511–1553), médico español, descubrió la circulación de la sangre.  Andrés Vesalio (1514–1564), médico belga, considerado el padre de la Anatomía Moderna. Realizó importantes estudios sobre el cuerpo humano, plasmado en «De Humani Corporis Fabrica»

Miguel Servet

 Los hermanos Hans y Zacharías Janssen inventaron el primer microscopio,

I BIMESTRE

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 151

De Corazón hasta la muerte EN EL SIGLO XVII Destacan los aportes de:  Regnier de Graf, investigador holandés, quien en 1657 descubre los folículos ováricos de los mamíferos que llevan su nombre.  Francesco Redi (1626–1694), científico italiano que realizó numerosos experimentos en torno al origen de los seres vivos.  Roberto Hooke (1635–1703), microscopista inglés. Publicó en 1665 su Micrografía, donde menciona por primera vez el término «célula» al describir el tejido vegetal del corcho.  Antón Van Leewenhoek (1632– 1703), microscopista holandés, per feccionó el microscopio numerosasveces,pudiendoobservar por primera vez microorganismos vivos. Describe diversas células humanas y animales, pero sin poder comprender verdaderamente su significado. EN EL SIGLO XVIII Sobresalen los aportes de:  Carl von Linneo (1707–1778), naturalista sueco. Considerado el padre de la Taxonomía por la creación de la nomenclatura binomial para clasificar los seres vivos.  Edward Jenner (1749–1823), médico inglés, descubridor de la vacuna contra la viruela. EN EL SIGLO XIX Durante este siglo se estructuró la biología tal como la conocemos hoy en día, surgieron nuevas disciplinas, como la embriología, evolución, genética, etc. Destacan los aportes de:  Jean Baptiste Caballero de Lamarck, utiliza en 1801, por primera vez, el término Biología para tratar el estudio de los seres vivos. Sobresalen sus trabajos en torno a la evolución de los seres vivos. BIOLOGIA / 1ER. AÑO 152

I.E. "MARIANISTA"  Robert Brown (1773–1858), botánico inglés, estudiando las orquídeas descubre el núcleo celular.  Mathias Schleiden, botánico alemán, y Theodor Schwann, zoólogo de la misma nacionalidad, luego de numerosos estudios proponen la Teoría Celular de la Materia Viva.  Charles Darwin (1809–1882), naturalista inglés, publicó su famosa obra «El origen de las Especies por medio de la Selección Natural», que marca el nacimiento de las teorías sobre la evolución de las especies.

Louis Pasteur

 Johann Gregor Mendel (1822– 1884), sacerdote y naturalista austriaco, realizó importantes trabajos experimentales sobre la herencia en guisantes.  Louis Pasteur (1822–1895), pionero de la microbiología, derrotó a los partidarios de la generación espontánea con sus brillantes experimentos. Charles Darwin Descubrió también la vacuna contra la rabia, y estableció las normas de higiene para combatir la transmisión de enfermedades infecciosas.  Roberto Koch (1843–1910), médico alemán, descubre el bacilo de la tuberculosis, que lleva su nombre. En 1905 le otorgaron el Premio Nobel

Importante EINSTEIN: “A todo investigador profundo de la naturaleza no puede menos de sobrecogerle una especie de sentimiento religioso, porque le es imposible concebir que haya sido él el primero en haber visto las relaciones delicadísimas que contempla. A través del universo incomprensible se manifiesta una inteligencia superior infinita”.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

EN EL SIGLO XX Destacan:  Hugo de Vries estableció el concepto de mutación (1901), revalorizando los trabajos de Mendel en torno a la Genética.  Alexander Fleming (1881-1955), médico y bacteriólogo inglés, en 1928 descubrió accidentalmente la penicilina, el primer antibiótico producido por el hongo Penicillium notatun.  Knoll y Ruska inventaron el primer microscopio electrónico en 1932.  James Watson y Francis Crick proponen en 1953 un modelo helicoidal para explicar la estructura del ADN, y también el mecanismo que regula su autoduplicación.  Whittaker propone en 1969 el esquema de clasificación de los seres vivos en cinco reinos: Monera, Protista, Fungi, Plantae y Animalia.  En el curso de la década de los noventa, se han iniciado y desarrollado varios proyectos en el campo de la genética y la biotecnología, siendo el Proyecto del Genoma Humano el más publicitado.

Mendel presentó su teoría sobre la herencia de caracteres en 1865, ante la Sociedad de Ciencias Naturales de Brünn…se dice que l o s p u s o a d o r m i r. Posteriormente publicó sus experimentos en 1866 en un pequeño periódico de provincia y nadie le tomó la debida impor tancia. Al querer aplicar sus conocimientos teóricos para mejorar el rendimiento de las colmenas, produjo abejas híbridas que daban miel excelente, pero que resultaron tan feroces y asesinas que tuvo que destruirlas. Poco antes de su muerte, ocurrida en 1884, dijo: «Ya llegará mi momento». Éste llegó casi veinte años después, cuando algunos científicos, entre ellos el holandés Hugo de Vries, revalorizan su obra e inician el desarrollo de la Genética como ciencia, a inicios del siglo XX.

I BIMESTRE

Hugo de Vries

Zacharias Janssen

Carl von Linneo

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 153

De Corazón hasta la muerte

Vocabulario 1. ANIMÁCULOS: Nombre que usó Leeuwenhoek para nombrar los seres que observó con su microscopio. 2. CÉLULA: Unidad anatómica, estructural, funcional y genética de los seres vivos. 3. CIENCIA: Conocimiento cierto de las cosas por sus principios y causas. Rama particular del saber humano. 4. ECLESIÁSTICO: Perteneciente o relativo a la Iglesia.

I.E. "MARIANISTA" Ch. DARWIN: “Jamás he negado la existencia de Dios. Pienso que la teoría de la evolución es totalmente compatible con la fe en Dios. El argumento máximo de la existencia de Dios, me parece, la imposibilidad de demostrar y comprender que el universo inmenso, sublime sobre toda medida, y el hombre, hayan sido frutos del azar”.

5. EVOLUCIÓN: Desarrollo de los organismos y de las cosas mediante el cual pasan de un estado a otro. 6. EXPERIMENTO: Acción de provocar un fenómeno para su análisis científico. 7. MICROSCOPIO: Instrumento que permite la observación de pequeños objetos o seres, de las que proporciona una imagen muy aumentada. 8. MUTACIÓN: Alteración espontánea o provocada que sufre el material genético (ADN) de un individuo. 9. NOMENCLATURA: Conjunto de las voces técnicas o propias de un arte o ciencia. 10. TEORÍA: Serie de leyes que sirve para explicar un conjunto de fenómenos.

Personaje de la semana

Charles Darwin Naturalista inglés, nacido en 1809. Realizó un largo viaje de 5 años alrededor del mundo (1831-1836) a bordo del barco Beagle. Sus apuntes y observaciones le permitieron establecer la idea de evolución, el cual plasmó en su famoso libro El Origen de las Especies, publicado en 1859. La primera edición de dicho libro fue tan exitosa que los 1250 ejemplares que la conformaban se vendieron en sólo un día. Desde el instante de la publicación, Darwin se encontraba en el centro de la controversia social, eclesiástica, política y científica. Si bien muchos científicos lo apoyaron, la mayoría lo combatieron hasta su muerte, en 1882.

Schleiden y Schwann BIOLOGIA / 1ER. AÑO 154

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I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Ejercicios de Aplicación

1) Aristóteles es el padre de la Zoología.

(_____ V)

(_____ F)

2) Mendel realizó experimentos de Genética.

(_____ V)

(_____ F)

3) Brown descubrió la célula examinando el corcho.

(_____ V)

(_____ F)

10) Darwin escribió la obra ... ________________________ 11) Fleming descubrió el primer antibiótico llamado ...



(_____ V)

(_____ F)

5) Linneo creó los cinco reinos biológicos.

(_____ V)

(_____ F)

6) Teofrasto es el padre de la: ________________________ ________________________

________________________ ________________________

________________________

________________________

12) M e n c i o n a d o s e v e n t o s importantes relacionados con la biología del siglo XVI.

17) Relaciona correctamente: a) Darwin ( ) Microscopio b) Hugo de ( ) Origen de Vries las especies c) Mendel ( ) Genética d) Cansen ( ) Mutación

________________________ ________________________

4) Fleming descubrió la penicilina.

16) M e n c i o n a d o s e v e n t o s importantes relacionados con la Genética.

________________________ 13) M e n c i o n a d o s e v e n t o s importantes relacionados con la biología del siglo XVII. ________________________ ________________________ ________________________ 14) M e n c i o n a d o s e v e n t o s importantes relacionados con la biología del siglo XIX.

18) Relaciona correctamente: a) Schleiden ( ) Nomenclatura binomial b) Brown ( ) Núcleo celular c) Leewenhoek( ) Teoría Celular d) Linneo ( ) Observó células vivas 19) Gregorio Mendel fue un:

7) Janssen inventó el primer:

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

8) Formularon la teoría celular ... ________________________

15) M e n c i o n a d o s e v e n t o s importantes relacionados con la biología del siglo XX.

20) El físico y microscopista inglés Roberto Hooke ...



________________________



y _______________________

________________________ 9) Hugo de Vries creó el término... ________________________ _______________________ I BIMESTRE

________________________ ________________________





a) Biólogo holandés b) Monje austriaco c) Pastor francés d) Microscopista checo e) Guerrero francés

a) Creó la palabra corcho. b) Usóelmicroscopioporprimera vez. c) Observa una célula viva por primera vez. d) Describe una célula por primera vez. e) Examinó animales con su microscopio. BIOLOGIA / 1ER. AÑO 155

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

La Biología como Ciencia MAPA DE SITIO CONTENIDO  Definición de la Biología.  Divisiones de la Biología. 1) Según los aspectos en que pueden estudiarse los seres vivos. 2) Según el organismo.  Ciencias auxiliares.

OBJETIVOS  Definir la Biología y explicar sus aplicaciones en la sociedad humana.  Explicar y describir los objetos de estudio de las diferentes ramas de la Biología.

2da

Sesión

Definición de la Biología La Biología es la ciencia que estudia todo lo concerniente a los seres vivos, y tiene como fin supremo describir las leyes generales a las que obedecen los fenómenos biológicos, siendo un fenómeno biológico toda manifestación material y energética de los seres vivos. Etimológicamente se sabe que la palabra biología deriva de los vocablos griegos: bio que significa vida y logos que significa tratado o estudio acerca de algo.

División de la Biología La Biología es una ciencia muy amplia. Por dicha razón, se divide según los siguientes criterios: I. DE ACUERDO A LOS ASPECTOS EN QUE PUEDE ESTUDIARSE LOS SERES VIVOS 1. Ciencias Biostáticas: Se ocupan de la forma y estructura sin tener en cuenta la existencia. a) Morfología: Describe la forma externa de los seres vivos. b) Anatomía: Describe la forma interna de los seres vivos, teniendo como principal herramienta la disección. c) Sistémica: Estudia los sistemas y aparatos que conforman a los seres vivos. d) Organología: Describe los órganos que conforman a los seres vivos. e) Histología: Estudia los diversos tejidos que conforman los órganos usando el microscopio. f ) Citología: Estudia la estructura y el funcionamiento de las células. 2. Ciencias Biodinámicas: Estudia a los seres vivos de acuerdo a la actividad que estos realizan: a) Fisiología: Estudia las funciones vitales del ser vivo en conjunto y la interrelación existente entre las distintas partes. b) Biofísica: Se encarga de estudiar los diferentes fenómenos físicos que ocurren en todos los seres vivos (respiración, hemodinámica, excreción,etc).

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 156

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA" 3. Ciencias Bioquímicas Llamada simplemente bioquímica. Estudia y analiza las diferentes sustancias químicas que se encuentran en la estructura del ser vivo, así como las diversas reacciones que entre éstas se producen. 4. Ciencias Biogénicas Estudian el origen y la evolución de los seres vivos. a) Ontogenia: Estudia el origen y evolución del ser vivo, desde su concepción hasta su completo desarrollo. b) Embriología: Comprende una parte de la ontogenia. Estudia el desarrollo embrionario de los seres vivos, es decir, desde su concepción hasta su nacimiento. c) Filogenia: Estudia el origen y evolución de las distintas especies de seres vivos. d) Genética: Estudia la transmisión de caracteres hereditarios, así como las anomalías que en este proceso pueden ocurrir. 5. Ciencias Biotáxicas Se encargan de ordenar y clasificar a los seres vivos según diversos criterios. a) Taxonomía: Ordena y clasifica los seres vivos según sus semejanzas o diferencias estructurales. b) Biogeografía: Se ocupa de la distribución de los seres vivos sobre la Tierra. c) Paleontología: Estudia los seres orgánicos cuyos restos o vestigios se encuentran fósiles. 6. Ciencias Ecológicas Comprende la ecología. Una de las divisiones más recientes, se encarga de estudiar las diferentes interrelaciones entre los seres vivos y su medio ambiente.

De Corazón hasta la muerte

Personaje de la semana

Aristóteles Célebre filósofo griego, nacido en Estagira (Macedonia) en el año 384 a.C. Considerado el padre de la Biología y la Zoología. Siendo su padre un médico oficial de la corte macedonica, estuvo desde su infancia ligado a la vida palaciega. En el año 367 se trasladó a Atenas para estudiar en la Academia de Platón, donde se convirtió en uno de sus alumnos más brillantes. Paralelamente fundó una escuela de carácter científico, y algunos años más tarde acepta, a pedido del rey Filipo de Macedonia, el cargo de preceptor de su hijo y sucesor, Alejandro. A la muerte de Filipo, Alejandro sube al trono, y Aristóteles regresa a Atenas donde funda el Liceo o Peripatos, lugar donde ejerció sus propias enseñanzas por trece años. A la muerte de Alejandro Magno (323 a.C.), se alejó de Atenas, debido al odio que tenían los griegos hacia los macedonios, hacia la isla de Eubea, donde fallece un año más tarde.

II. DE ACUERDO AL ORGANISMO 1. Botánica Se encarga de estudiar a los seres autótrofos fotosintéticos, integrantes del reino plantae. Se suele dividir en: a) Botánica Criptogámica: Estudia las plantas que carecen de flores. b) Botánica Fanerogámica: Estudia las plantas que presentan flores visibles. 2. Zoología Se encarga de estudiar a los animales, seres heterótrofos de estructura compleja. Comprende: a) Helmintología: Estudia a los gusanos. b) Entomología: Estudia a los insectos. c) Ornitología: Estudia a las aves. d) Ictiología: Estudia a los peces. e) Herpetología: Estudia a los reptiles y anfibios. f ) Malacología: Estudia a los moluscos. g) Mastozoología: Estudia a los mamíferos. h) Carcinología: Estudia a los crustáceos. i) Batracología: Estudia a los batracios. j) Antropología: Estudia a los seres humanos. I BIMESTRE

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 157

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

5. Parasitología Estudia aquellos seres vivos que producen enfermedades a otros seres vivos, en especial al hombre. Existe una rama de la Biología que se dedica a la investigación de seres cuya existencia se pone en duda, por ejemplo, el monstruo del Lago Ness. Ésta se denomina criptozoología, y ha permitido el descubrimiento de numerosas especies curiosas que se creían extintas o un producto de la imaginación. Los ejemplares más fascinantes se han encontrado en las profundidades marinas, como esta variedad de pejesapo, en la que se observa a la hembra, y el macho, muy pequeño, está adherido a su cabeza, siendo utilizado como carnada para atraer a otros peces que le servirán de alimento.

CIENCIAS AUXILIARES Se trata de aquellas ciencias que sin estar directamente relacionadas con la Biología son de gran ayuda a ésta, debido a que le sirven para complementar las explicaciones y definiciones de que se vale esta disciplina. Las más importantes son:

1. Química 2. Física 3. Geografía 4. Matemática 5. Geología

Vocabulario 1. FENÓMENO: Toda apariencia o manifestación, tanto del orden material como espiritual. 2. FÓSIL: Restos o huellas que representan la existencia de un ser perteneciente a otra era geológica. 3. HIPÓTESIS: Suposición de una cosa, para sacar de ella una consecuencia. 4. LEY: Regla y norma constante de las cosas, nacida de sus propias cualidades.

3. Micología Estudia a todos los integrantes del reino fungi (hongos). 4. Microbiología Estudia a los seres microscópicos. Incluye: a) Bacteriología: Estudia las bacterias (seres unicelulares procariotas). b)Protozoología: Estudia los protozoarios (seres unicelulares eucariotas). c) Virología: Estudia los virus, que aunque no son seres vivos verdaderos, son de gran importancia en la salud de los seres vivos.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 158

5. PATÓGENO: Que origina una enfermedad. Se usa particularmente para bacterias o virus. 6. PROCARIOTA: Célula sin núcleo diferenciado. 7. PROTOZOARIO: Organismo unicelular, eucariota y heterótrofo que constituye el grupo precursor del reino animal. 8. TEJIDO: Agrupación de células que presentan estructura, función y origen similares. 9. TRATADO: Obra que comprende todo lo concerniente a un tema concreto. 10. VOCABLO: Palabra, sonido o sonidos articulados que expresan una idea.

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Ejercicios de Aplicación

1) Relaciona correctamente.

a) Entomología ( ) peces b) Herpetología ( ) reptiles c) Ictiología ( ) insectos 2) Relaciona correctamente.



a) Mastozoología ( ) n ao g su b) Helmintología ( ) evas c) Ornitología ( ) mamíferos 3) Relaciona correctamente.



a) Histología ( ) células b) Citología ( ) órganos c) Organología ( ) tejidos 4) La anatomía estudia la estructura del cuerpo humano.

( V ) ( F ) 5) La palabra griega bio significa vida. ( V ) ( F ) 6) La carcinología estudia los crustáceos. ( V ) ( F ) 7) La helmintología estudia los gusanos. ( V ) ( F ) 8) La morfología estudia los órganos del cuerpo. ( V ) ( F ) 9) La ecología es una ciencia biotáxica. ( V ) ( F ) 10) L a f i s i o l o g í a e s t u d i a e l funcionamiento de los seres vivos.

( V ) ( F )

11) Menciona tres ciencias auxiliares de la Biología. _________________________ _________________________ I BIMESTRE

12) Menciona tres ramas de la Biología relacionadas con la Zoología. _________________________ _________________________ _________________________

19) No es una ciencia biotáxica.

13) Menciona tres ramas de la Biología relacionadas con la biotaxia. _________________________ _________________________ _________________________

20) El término Biología fue empleado por primera vez por:

14) Menciona tres ramas de la Biología relacionadas con las ciencias biostáticas. _________________________ _________________________ _________________________ 15) Explica el significado etimológico de la palabra Biología. _________________________ _________________________ _________________________ 16) Estudia las interrelaciones entre los seres vivos y su medio ambiente.

a) Taxonomía d) Ecología b) Filogenia e) Biogenia c) Genética

17) Rama de la Biología que estudia los restos fósiles.

a) Batracología b) Entomología c) Biotaxia d) Ontología e) Paleontología

18) Rama de la Biología que estudia los gusanos.

a) Entomología b) Ornitología c) Helmintología d) Batracología e) Mastozoología



a) Paleontología b) Taxonomía c) Filogenia d) Biogeografía e) A y C

a) Darwin d) Mendel b) Lamarck e) De Vries c) Purkinje

Importante

Día del Biólogo La Biología se define como la ciencia básica que estudia la vida. El conocimiento de los seres vivos, logrado por el hombre a través de los siglos de forma gradual y acumulativa, ha sido bastante extenso e insuficiente para una sola ciencia, que poco a poco ha logrado descentralizarse y abrirse en ramas que permitieron un estudio más a fondo, eficiente y conciso. El biólogo, en su desempeño profesional, diseña e implementa proyectos de rescate, conservación y explotación racional, además de llevar a cabo programas de investigación científica y tecnológica en áreas como biomedicina, nutrición, ecología y contaminación, biotecnología, biología molecular, educación ambiental y biodiversidad, entre otras. En nuestro país, el Día del Biólogo se conmemora el 27 de noviembre de cada año. La fecha fue establecida en honor al destacado botánico alemán AugustoWeberbauer, quien realizó una importante obra científica en nuestro país. Esta fecha quedó oficializada mediante el Decreto Ley N.° 19364, que fue publicado en el Diario Oficial El Peruano el 18 de abril de 1972, día en que fue fundado también el Colegio de Biólogos del Perú.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 159

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Origen del Universo y Origen de la Tierra MAPA DE SITIO CONTENIDO  Origen del Universo. 1) Teoría del Big Bang. 1.1 Pruebas de expansión. 2) Teoría del Big Crunch. 3) Te o r í a d e l U n i v e r s o Estacionario.  Origen de la Tierra 1) Teoría de la Acreción. OBJETIVOS  Conocer y explicar las diferentes teorías acerca del origen del universo.  Explicar la teoría del Big Bang y las pruebas que demuestran su existencia.  Conocer y explicar la teoría de la acreción sobre el origen de la Tierra.

El diámetro del Universo se expande y aumenta a razón de 300 km/s. Según cálculos, hace 1300 millones de años la dimensión del universo era la mitad de la actual.

3ra

Sesión

Origen del Universo El universo es el conjunto y energía interrelacionados en el tiempo y espacio. En el universo se encuentra galaxias, agujeros negros, estrellas, cometas, planetas, etcétera. Pero, ¿cómo se formaron los cuerpos estelares? Existen 3 teorías sobre el origen del universo, estas son: I. TEORÍA DEL BIG BANG Denominada también del “Gran Estallido”, de la “Gran Explosión” o del “Caos de la materia”. El padre de la teoría del Big Bang fue el sacerdote y brillante teórico físico belga Georges Edward Lemaitre, que en 1927 propuso que un “átomo primigenio” denso y muy caliente estalló para formar el Teoría del Big Bang actual universo. Sin embargo, la versión moderna del Big Bang, se debe al ruso nacionalizado norteamericano George Gamow (1904-1968) y sus alumnos Ralph Alpher y Robert Herman. Entonces, en 1946, George Gamow envía un artículo a la Physical Review en la que fundamenta la moderna cosmología del “Big Bang”. La teoría del Big Bang propone que el universo no ha existido siempre, que cuando este se creó también se creó el espacio y el tiempo. Según esta teoría el universo se formó de un punto infinitamente pequeño denominado YLEM, de densidad y temperatura elevadísimas. Entonces el YLEM estalló produciéndose una gran explosión o Big Bang, emitiendo una gran cantidad de energía que se ha enfriado poco a poco, mientras que la materia emitida por la explosión se habría condensado formando nubes, polvos y galaxias, las que hasta ahora continúan alejándose unas de otras. 1. Pruebas de Expansión (Big Bang) a) Alejamiento de las galaxias. Descubierto por el astrónomo norteamericano Edwin Hubble en los años veinte. b) Radiación cósmica del fondo. Formada por cantidades de fotones. Descubierta por Arno Penzias y Robert Wilson en 1965. c) La abundancia relativa de los elementos más ligeros como deuterio, helio, litio, etc.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 160

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

II. TEORÍA DEL UNIVERSO OSCILANTE Sostenida por el físico Alexander Friedman, que muestra al universo en sucesivas expansiones y contracciones. En los actuales momentos nos encontramos en una fase de expansión que ha seguido a una fase de contracción, en la cual la fuerza de gravedad de las galaxias habría de juntarse de nuevo (Big Crunch) hasta formarse de nuevo el YLEM primitivo. III. TEORÍA DEL UNIVERSO ESTACIONARIO Concebida en 1948 por los astrónomos británicos Hermann Bondi y Thomas Gold, y al mismo tiempo e independientemente por Freddy Hoyle. Establece que a medida que las galaxias se separaban se creaban nuevas galaxias entre ellas, pero esto no podrá detectarse. Así el universo será siempre el mismo en cualquier parte y cualquier época.

Origen de la Tierra

El Dato En 1965, intentando ajustar una antena en los laboratorios Bell, dos trabajadores norteamericanos, Arno Penzías y Robert Wilson, descubrieron un ruido de fondo que molestaba permanentemente y que parecía provenir de todas partes. Ese ruido molesto, no era otra cosa que la esperada y hasta entonces elusiva RADIACIÓN DE FONDO, una de las pruebas más firmes de que el universo se originó a partir de una fuerte explosión, el BIG BANG.

Al igual que el origen del universo, hay numerosas teorías acerca de la formación de la Tierra, de las cuales la más aceptada es la TEORIA DE ACRECIÓN. I. TEORÍA DE LA ACRECIÓN Desarrollada por el alemán Weizecker. Afirma que la Tierra se desarrolló junto al Sistema Solar, a partir de una nebulosa que se forma de la explosión de una supernova. La Tierra se habría formado por partículas que pasaron por un proceso de agregación de pequeños cuerpos aislados, que se fueron reagrupando hasta formar un gran cuerpo: la Tierra. En el choque de partículas de gran materia de la Tierra debía haber alcanzado temperatura de fusión. Entonces la gravedad provocó que los materiales más pesados como hierro, níquel, etc., se hundieran para formar el núcleo, y los más livianos como silicio y aluminio emergieran para formar la corteza terrestre. Todo lo anterior debió ocurrir acompañado de un desprendimiento de gases, lo que llevó a formar la hidrósfera y la atmósfera (la que entonces no tenía oxígeno). Después la Tierra se enfrió poco a poco hasta que la temperatura se estabilizó en 15° C, que es ideal para el desarrollo de la vida actual.

I BIMESTRE

Importante J. KEPLER: “Si Dios es grande, grande es su poder, grande su sabiduría. Alabadle, cielos y tierra. ¡Mi Señor y mi Creador! La magnificencia de tus obras quisiera yo anunciarla a los hombres en la medida en que mi limitada inteligencia puede comprenderla”.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 161

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Interesante

Los Primeros Telescopios Se dice que el telescopio fue inventado por Hans Lippershey en Holanda, durante los primeros años del siglo XVII; parece ser que un par de niños, tal vez sus hijos, jugaban con las lentes de su taller cuando notaron que, con cierta combinación de ellas, los objetos lejanos se amplificaban. Lippershey observó ese fenómeno y ofreció el invento en secreto a la corona de su país, dado su indiscutible valor estratégico. Sin embargo, en las demostraciones que siguieron, se hallaba un amigo de Galileo Galilei quien, a su regreso a Italia, le comunicó con gran entusiasmo lo que había visto en ellas; esto sucedió en noviembre de 1609 y Galileo, sin perder un momento y habiendo imaginado cómo se podría lograr tal efecto, comenzó a experimentar con las lentes de un amigo suyo, fabricante de anteojos. Así logró, en pocos días, reproducir el fenómeno de la amplificación de objetos lejanos, pensando de inmediato en su aplicación al estudio del firmamento. Paramontarlaslentesdesuprimerinstrumento,Galileoempleóunviejotubodeórgano,ylanochedel6deenerode1610estrenósu telescopio al apuntarlo a la Luna, las estrellas y el planeta Júpiter, que podía verse al anochecer. Nacía así la astronomía moderna. Además de ser el primer hombre en ver los cráteres de la Luna, y cientos de estrellas de escasa magnitud jamás vistas antes, su descubrimiento más importante fue el de los satélites de Júpiter, cuya observación durante varios días ratificó la teoría heliocéntrica de Copérnico y le hizo escribir su famoso opúsculo Sidereos Nuncius, que de inmediato circuló por toda Europa. Galileo construyó varias docenas de telescopios similares, fabricados con una lente objetivo convexa, de unos tres centímetros de diámetro, y otra lente cóncava y más pequeña, llamada ocular por estar cerca del ojo del observador. Posteriormente, Johannes Kepler mejoró el instrumento de Galileo utilizando como ocular una lente convexa, lo que aumentaba considerablemente el campo del telescopio, aunque invertía la imagen aumentada. Debe aclararse que la mejora introducida por Kepler era relativa, ya que aunque proporcionaba un campo mayor, provocaba en la imagen resultante una mayor aberración esférica respecto al diseño de Galileo, que en cierta forma compensaba esa aberración.

Vocabulario 1. ACRECIÓN: Crecimiento por yuxtaposición de materias sólidas. 2. EFECTO DOPPLER: Fenómeno acústico causado por el efecto de la velocidad sobre las ondas sonoras. 3. FOTONES: Partícula elemental de energía luminosa. 4. GRAVEDAD: Fuerza de atracción entre un cuerpo celeste y otros próximos a él. 5. HIDRÓSFERA: Totalidad de las aguas del globo terráqueo. 6. NEBULOSA: Masa de materia cósmica, difusa y luminosa que presenta forma de nube. 7. OSCILANTE: Que efectúa movimientos de vaivén a manera de un péndulo. 8. PRIMIGENIO: Primitivo, originario. 9. RADIACIÓN: Emisión de ondas electromagnéticas o partículas. 10. SUPERNOVA: Estrella que ha sufrido una explosión y, al liberar bruscamente su energía, aumenta su luminosidad hasta 100 millones de veces, iniciando después una lenta y progresiva disminución.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 162

Personaje de la semana

George Gamow Físico teórico ruso–ucraniano, nacionalizado estadounidense, nacido en Odesa, Ucrania. Estudió en las universidades de Odesa y Leningrado. Fue profesor de física en Leningrado en 1931, pero abandonó la Unión Soviética en 1933. Al año siguiente se trasladó a los Estados Unidos, donde se nacionalizó ciudadano estadounidense en 1940. Fue profesor de física en las universidades George Washington (1934–1956) y Colorado (1956– 1968). Gamow hizo importantes contribuciones en una amplia variedad de campos, desde la radiactividad y la cosmogonía, hasta la astrofísica y la física nuclear. Fue uno de los principales exponentes de la Teoría del Universo en Expansión. Escribió muchos libros de divulgación científica, entre los que destacan I BIMESTRE

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De Corazón hasta la muerte

Ejercicios de Aplicación

16) Relaciona correctamente:

1) Completa el gráfico: TEORÍAS SOBRE EL ORIGEN DEL UNIVERSO

Universo oscilante

Fred Hoyle

George Lemaitre

2) Gamow es el padre de la teoría del Big Bang. ( V ) ( F ) 3) El universo oscilante también se denomina Big Bang. ( V ) ( F ) 4) Lemaitre planteó la existencia de un átomo primigenio. ( V ) ( F ) 5) Según Friedman, la galaxia se encuentra en movimiento constante. ( V ) ( F ) 6) Lasradiacionescósmicasdefondo fueron descubiertas por Hubble.

( V ) ( F ) 7) El alejamiento de las galaxias fue descubierto por Penzías y Wilson.

( V ) ( F ) 8) Las radiaciones cósmicas de fondo fueron descubiertas por ______________________ y ________________________ 9) Big Bang significa ... ________________________ I BIMESTRE

10) Big Crunch significa ...

_________________________

_________________________ 11) Gamow denominó al átomo primigenio:

_________________________

_________________________ 12) Menciona las pruebas que demuestran la expansión del universo.

_________________________

_________________________ 13) Explica la teoría del Caos de la materia. _________________________

14) Explica brevemente en que consiste el Big Crunch. _________________________ 15) Explica brevemente la Teoría del Universo Estacionario. _________________________ _________________________ _________________________

a) Big Bang ( ) El universo sólo se expande b) Big Crunch ( ) El universo no cambia de forma c) Universo ( ) El Ylem estacionario estallayse contrae continuamente 17) Relaciona correctamente: a) Gamow ( ) Gran estallido b) Friedman ( ) Universo oscilante c) Gold ( ) Universo estacionario 18) Ordena cronológicamente: a) Hubble demuestra que las galaxias se están alejando. b) Penzías y Wilson descubren la radiación cósmica de fondo. c) Gold y Brondi plantean la teoría del universo estacionario. d) Lemaitre propone la teoría del Big Bang. 19) Propone que el universo se formó por una gran explosión, y por eso las estrellas se alejan continuamente.

a) Big Crunch b) Big Bang c) Universo oscilante d) Universo estacionario e) B y C

20) La corteza terrestre está formada por metales livianos como:

a) Niquel b) Hierro c) Silice d) Aluminio e) C y D

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 163

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Teorías sobre el Origen de la Vida I MAPA DE SITIO CONTENIDO  Teorías sobre el origen de la vida: 1) El Creacionismo. 2) La generación espontá– nea. 3) Los mecanicistas: teorías de la biogénesis. 4) La teoría cosmozoica.

OBJETIVOS  Explicar como el pensamiento del hombre ha ido cambiando en torno al origen de la vida.  Conocer y explicar las diversas teorías que hasta el siglo XIX intentaban explicar el origen de los seres vivos.  Conocer y explicar los diversos experimentos que se hicieron para refutar la teoría de la generación espontánea.  Comprender como se llegó a plantear la teoría de la Biogénesis.  Conocer y explicar la Panspermia así como los argumentos que la refutan.

4ta

Sesión

Teorías sobre el origen de la vida El planeta Tierra es muy antiguo. Estudios y estimados relativamente recientes indican que la edad de la Tierra sería de aproximadamente cuatro mil quinientos millones de años. Esta escala de tiempo es difícil de imaginar sobre la base de nuestros referentes temporales de días, meses, años o aun siglos. No obstante, existe abundante evidencia geológica que apunta a tal edad de la Tierra. Se dice que los primeros seres vivos debieron aparecer sobre la Tierra hace unos 3500 millones de años, pero aún no queda muy claro las causas que hicieron posible dicho evento. Existen varias teorías que intentan explicar el origen de lo que conocemos como “lo vivo”. I. EL CREACIONISMO Ésta, que es la primera explicación acerca del origen de la vida, es tan antigua como el hombre mismo, y explica la creación de la vida mediante la intervención de un ser supremo, y omnipotente, Dios. En la mayoría de los textos religiosos de las diversas culturas, al igual que en la Biblia, se consigna una narración a este respecto. Todas estas narraciones se basan en la Fe del que la lee, por eso la denominación de creyentes. La Fe implica creer en algo, basándose en la autoridad o jerarquía superior del que lo afirma. Estas narraciones que fueron formuladas mucho antes de que la ciencia diera sus primeros pasos, y por consiguiente en momentos en que no se conocían los principios físicos, químicos y biológicos que son la base de “lo vivo”, no entran en el dominio de la ciencia, pues sus afirmaciones no son contrastables mediante la experimentación y, en consecuencia, no son repetibles. II. LA TEORÍA DE LA GENERACIÓN ESPONTÁNEA Esta teoría fue planteada por filósofos griegos comoTales de Mileto y Aristóteles. El primero planteaba que la vida podía aparecer de la materia inanimada por sí sola (Materialismo), mientras que el segundo manifestaba que era necesaria la existencia de una fuerza vital (que él denominó Entelequia), teoría a la que se denominó Vitalismo y en la que muchos científicos encontraron la respuesta a la interrogante del origen de la vida hasta dos mil años después. Entre otros científicos podemos mencionar a Newton, Descartes y van Helmont. Para sustentar esta hipótesis, se decía, por ejemplo, que un trozo de carne dejado al aire, luego de un tiempo, generaba larvas y posteriormente moscas. III.LOS MECANISMOS: TEORÍA DE LA BIOGÉNESIS Los mecanicistas se desarrollaron de manera paralela a los vitalistas. Ellos estaban convencidos que algo tan complejo como la vida no podía surgir de la materia inerte. Para demostrar su teoría, realizaron numerosos experimentos, sobresaliendo los de Redi, Spallanzani y Pasteur. La teoría de la biogénesis puede resumirse de la siguiente manera: “la vida sólo surge de una forma de vida anterior”.

I BIMESTRE

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IV. LA TEORÍA COSMOZOICA Propuesta por el químico sueco Svante Arrhenius, plantea que alguna forma viva habría ingresado a nuestro planeta, o sistema solar, proveniente del cosmos, bajo la forma de esporas bacterianas. A este proceso lo denominó Panspermia. Esta teoría presenta el inconveniente de tener que explicar de qué manera este invasor extraterrestre vivo, habría solucionado el problema que significa atravesar la barrera de nuestra atmósfera, la que debe ser franqueada a gran velocidad debido a la atracción de la fuerza de gravedad. Aun si ello hubiese sido posible, esta teoría no proporciona una explicación universal acerca del origen de la vida, puesto que no indica cómo y cuándo se habría originado ésta, en su lugar de origen. Sólo pospone una explicación a una situación V. LA LITOPANSPERMIA Hacia los años 60 del siglo XX surgió el término litopanspermia, que afirmaba la posibilidad de que los seres vivos podían viajar por el espacio protegidos en el interior de meteoritos. Sus principales defensores fueron el físico Fred Hoyle y Claude Wickrama Single.

En 1667, Johann B. van Helmont, médico holandés, propuso una receta que permitía la generación espontánea de ratones:“las criaturas tales como los piojos, garrapatas, pulgas, y gusanos, son nuestros huéspedes y vecinos, pero nacen de nuestras entrañas y excrementos. Porque si colocamos ropa interior llena de sudor junto con trigo en un recipiente de boca ancha, al cabo de 21 días el olor cambia y penetra a través de las cáscaras del trigo, cambiando el trigo en ratones. Pero lo más notable es que estos ratones son de ambos sexos y se pueden cruzar con ratones que hayan surgido de manera normal...” Van Helmont’s «experiment» on spontaneous generation

Interesante 21 days

Experimento de Redi (1668) Redi colocó carne en descomposición en un grupo de recipientes de boca ancha, algunos con tapa, algunos cubiertos con tela delgada y otros abiertos, y demostró que las cresas (larvas) aparecían sólo donde las moscas podían depositar sus huevos. Así, Redi planteó la hipótesis de la Biogénesis: “la vida se origina sólo de una vida preeexistente”.

Wheat

Sweaty underwear

Open mouth ed jar

Importante Las moscas ponen huevos

Las moscas no ponen huevos

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 164

Spallanzani versus Needham (1776) El investigador italiano Lázaro Spallanzani tuvo una célebre disputa con el jesuita inglés John Needham, defensor del vitalismo, en torno al origen de los microorganismos en caldos de cultivo. Luego de hervir el contenido de varios frascos conteniendo caldo de cultivo, algunos sellados y otros no, demostró que los microorganismos no aparecían en aquellos frascos que estaban sellados.

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Personaje de la semana

Svante Arrhenius Físico y químico sueco, nacido en Wijk, cerca de Upsala (1859). Estudió en las universidades de Upsala y Estocolmo. En 1884 presenta una tesis doctoral en la que trataba la conducción eléctrica de las sustancias disueltas, base de su “Teoría de la disolución electrolítica”, según la cual las moléculas podían disociarse formando iones positivos y negativos. También realizó estudios en torno a la velocidad de las reacciones químicas, y en el campo de la biología propuso por primera vez la teoría de la Panspermia, en la que afirma que la vida en la Tierra proviene de esporas bacterianas que viajan por el espacio. En mérito a sus investigaciones fue galardonado con el premio Nobel de

Vocabulario 1. ATMÓSFERA: Capa gaseosa que envuelve cualquier cuerpo celeste. 2. CRESA: Larva de ciertos insectos dípteros (moscas) que se alimenta principalmente de materias orgánicas en descomposición. 3. DESCOMPOSICIÓN: Separación o destrucción de la materia orgánica. Putrefacción.

De Corazón hasta la muerte

El Dato

La Exobiología Exobiología es la rama de las ciencias biológicas que se ocupa del estudio de la existencia pasada o presente de seres vivientes en el universo, además de la Tierra. Como fenómeno que tuvo lugar en forma universal, al igual que la Gran Explosión, en todas partes y en una fracción muy pequeña de tiempo, podemos discretamente darnos licencia de conjeturar que la Tierra no fue el único lugar del Universo en donde la vida pudo ser experimentada por ciertos sistemas termodinámicos que, si no iguales, serían muy semejantes a los biosistemas terrestres. Sin embargo, aún no tenemos evidencia irrefutable sobre su existencia y todo lo que podamos pensar al respecto no dejará de ser una simple idea. La pregunta es si esos procesos circunstanciales que ocurrieron durante la gestación de nuestro Sistema Solar podrían ser episodios frecuentes para todo el Universo.

4. ESPORA: Células reproductoras que forman un nuevo individuo sin necesidad de fecundación, en plantas que no producen flores, y algunas bacterias y protozoos. 5. ION: Átomo o agrupación de átomos que ha ganado o perdido uno o más electrones. 6. MATERIALISMO: Doctrina filosófica que considera la materia como única realidad y a la conciencia como su reflejo. 7. MECANICISMO: Teoría materialista que explica todos los fenómenos naturales a través de las leyes mecánicas del movimiento. 8. METEORITO: Cuerpo sólido de tamaño variable que llega a la Tierra proveniente del espacio exterior. 9. PANSPERMIA: Teoría que admite que la vida que existe en la Tierra es de origen extraterrestre. 10. VITALISMO: Doctrina filosófica que otorga valores propios a los fenómenos vitales, que se distinguen de los simples procesos físicoquímicos y mecánicos.

I BIMESTRE

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 165

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejercicios de Aplicación

1) Explica el experimento de Pasteur. ________________________

8) Completa el esquema.

GENERACIÓN ESPONTÁNEA

________________________ 2) Explica el experimento de Redi.

Materialista

________________________ ________________________ Aristóteles, Newton 3) Explica los experimentos de Spallanzani y Needham. ________________________

9) Pasteur realizó experimentos con virus en la carne.

17) Redi trabajó con cresas en su experimento.

________________________

( V ) ( F )

( V ) ( F )

10) S p a l l a n z a n i r i v a l i z ó c o n Needham.

18) La teoría de la generación espontánea es reciente.

( V ) ( F )

( V ) ( F )

________________________

11) Aristóteles era un materialista.

19) Relaciona.

________________________

( V ) ( F )

5) Menciona un ejemplo de la generación espontánea vitalista.

12) Redi comprobó la teoría de la biogénesis.

a) Redi ( ) Comprobó la biogénesis b) Pasteur ( ) Experimentó con gusanos de la carne c) Arrhenius ( ) Origen extraterrestre

________________________ 4) E x p l i c a l a t e o r í a d e l a Panspermia. ________________________

________________________ ________________________ 6) Menciona un ejemplo de la generación espontánea materialista. ________________________

( V ) ( F ) 13) Arrhenius recibió el premio Nobel de Química. ( V ) ( F )

________________________

14) Descartes utilizó el término Panspermia.

________________________

( V ) ( F )

7) Explica etimológicamente el término Panspermia. ________________________ ________________________ ________________________

20) Relaciona. a) Materialista ( ) Redi b) Vitalista ( ) Tales de Mileto c) Mecanicista ( ) Aristóteles

15) Pasteur era un científico holandés. ( V ) ( F ) 16) Ar r henius era natural de Suecia. ( V ) ( F )

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 166

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Teorías sobre el Origen de la Vida II MAPA DE SITIO CONTENIDO  Te o r í a d e l a e v o l u c i ó n química.  Experimento de M iller y Urey. OBJETIVOS  Conocer y explicar la teoría de la evolución química sobre el origen de la vida.  E x p l i c a r l o s p r i n c i p a l e s experimentos que se realizaron en el siglo XX en torno a dicha teoría.

5ta

Sesión

Teorías de la Evolución Química La teoría quimiosintética o evolución química fue propuesta por A. Oparin con ayuda del inglés John Haldane en 1936. Sostiene que “...si bien es cierto que en la actualidad no se puede aceptar la teoría de la generación espontánea de la vida a partir de materia no viviente, durante el primer millón de años de la historia de la Tierra, y bajo las condiciones atmosféricas imperantes, sí pudo iniciarse la síntesis de moléculas orgánicas complejas, las que, a través de procesos complejos, pudieron generar “formas vivas”...”. Estos autores propusieron que: A. Debido a la ausencia absoluta de oxígeno en la atmósfera primitiva de la Tierra, en ella existían sólo compuestos reducidos, como hidrógeno molecular (H2), metano (CH4 ), amoníaco (NH 3) y H2O.

B. Debido a la altísima radiación s o l a r, a l c a l o r re i n a n t e y a las descargas eléc tricas que sacudían al planeta, se habrían generado compuestos orgánicos más complejos que se habrían acumulado en los cuerpos de agua. No habría existido oxidación o descomposición aeróbica. Este proceso mencionado p o r O p a r i n f u e d e m o s t ra d o experimentalmente en 1953 por los científicos Miller y Urey, haciendo reaccionar los gases que formaban la atmósfera primitiva con descargas C. Gracias a millones de años de acumulación de estas moléculas, se habrían creado condiciones d e c o n c e n t r a c i ó n ( “s o p a primitiva”) que permitieron la interacción de estas moléculas entre sí y la creación de otras más complejas, como proteínas y ácidos nucleicos. Más tarde, estas moléculas orgánicas más complejas se habrían organizado en “colecciones de moléculas” a las que denominaron coacervados , que adquirieron la capacidad de realizar algunas reacciones precursoras de lo que llamamos

I BIMESTRE

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 167

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

D. A q u e l l a s c o l e c c i o n e s d e moléculas exitosas en la competencia por el espacio y las materias primas del entorno, habrían sobrevivido, desarrollando, eventualmente, la capacidad de realizar reacciones del tipo metabolismo anaeróbico y, posteriormente, quimiosíntesis. Después, se habrían ido agotando las moléculas orgánicas que constituían las fuentes de energía a base de las cuales sobrevivían estos agregados moleculares, lo que impulsa la aparición de la fotosíntesis, que permite que la vida persista y la atmósfera incorpore E. El agotamiento de las moléculas orgánicas y la acumulación de oxígeno en la atmósfera como producto de la fotosíntesis, posibilitaron la aparición de las reacciones degradativas aeróbicas, y cambiaron tan dramáticamente las características de la atmósfera, que la generación espontánea de la vida, ya no fue posible.

Importante

Experimento de Miller y Urey (1953) Stanley Miller, que en 1953 era alumno de la Escuela de Graduados de la Universidad de Chicago, EE.UU., demostró, con ayuda de su profesor Harold Urey, que cualquier fuente de energía (rayos, radiación ultravioleta, ceniza volcánica caliente) habría conver tido las moléculas presentes en la atmósfera terrestre en una variedad de compuestos orgánicos complejos. Miller en su experimento mezcló metano, agua, amoniaco, hidrógeno y CO2, en un frasco cerrado a 80 °C y lo sometió a descargas eléctricas por una semana. Este condensado presentaba aminoácidos y varios ácidos orgánicos.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 168

Vocabulario 1. Á C I D O : Compuesto químico que en solución acuosa se disocia dando iones hidrógeno. 2. Á C I D O N U C L E I C O : Molécula orgánica formada por una larga cadena de nucleótidos. Los principales tipos son el ADN y el ARN. 3. AMINOÁCIDO: Molécula orgánica que representa la unidad estructural de las proteínas. 4. AMONIACO: Gas irritante, incoloro, que representa el compuesto más importante formado por las moléculas de nitrógeno e hidrógeno. 5. C O A C E R V A D O : Conglomerado de moléculas, que según Oparin, fueron los precursores de los primeros seres vivos. 6. FOTOSÍNTESIS: Proceso bioquímico mediante el cual algunos seres como las plantas, elaboran su propio alimento utilizando la energía solar y algunas moléculas inorgánicas. 7. ME TANO: Gas incoloro, inodoro, muy inflamable, formadoporladescomposición de moléculas orgánicas. 8. QUIMIOSÍNTESIS: Proceso bioquímico mediante el cual algunas bacterias elaboran su alimento utilizando ciertas reacciones químicas como fuente de energía. 9. R A D I A C I Ó N U L T R A – V I O L E TA : R a d i a c i ó n electromagnética correspondiente al intervalo que abarca desde la luz visible hasta los rayos X (entre 40000 y 100 A). 10. SÍNTESIS: Proceso químico queconsisteenlacombinación de varias moléculas para formar otras más complejas.

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I.E. "MARIANISTA"

El Dato

Curiosidades de los Premios Nobel de Medicina y Fisiología durante el siglo XX Entre el 1901 y el 2000 se otorgaron en total 91 premios Nobel a 172 personas, que han constituido un amplio inventario de descubrimientos de gran trascendencia en Medicina y Fisiología. Los científicos a los cuales se les confirió el galardón con más edad fueron el estadounidense Francis Peyton Rous, en 1966; y el alemán Karl Ritter von Frisch, en 1973, ambos con 87 años. Los premiados más jóvenes fueron el canadiense Frederick Grant Banting, quien recibió el alto honor en 1923 con apenas 32 años; y Joshua Lederberg, de los Estados Francis Peyton Rous Unidos, quien lo obtuvo en 1958 recién cumplidos los 33. Según una exposición abierta al público en Estocolmo, en el total de 531 premios otorgados durante la pasada centuria en las modalidades de Literatura, Ciencias Económicas, Física, Química, Medicina y Fisiología, hay 30 logrados por 29 mujeres (la francesa Marie S. Curie consiguió el de Física en 1903 y el de Química en 1911). Las científicas agraciadas en Medicina y Fisiología fueron las representantes de los Estados Unidos Gerty Theresa Radnitz Cori, en 1947; Rosalyn S. Yalow, en 1977; Barbara McClintock, en 1983; Rita Levi-Montalcini, en 1986; Gertrude Belle Elion, en 1988; y la alemana Christiane Nüsslein-Vollhard, en 1995. Otra curiosidad digna de mencionarse es relativa a premiados con familiares cercanos, que también merecieron la recompensa. En este caso se encuentran el matrimonio integrado por los estadounidenses de origen checo Gerty Theresa Radnitz Cori, citada en el párrafo anterior, y Carl Ferdinand Cori, ganadores del lauro en 1947; así como el sueco Ulf Svante von Euler, galardonado en 1970, cuyo padre Hans Karl August Simon von Euler-Chelpin había logrado el premio de Química en 1929. En cuanto a Latinoamérica, tuvo que esperar 47 años para ver figurar el nombre de un representante en la lista de Marie S. Curie galardonados desde la instauración de ese estímulo, pues no fue hasta 1947 que logró obtenerlo el argentino Bernardo Alberto Houssay, conjuntamente con el matrimonio Cori. Este científico, además del primero, ha sido el único latinoamericano que hasta ahora se ha alzado con el título. Vale señalar que, aunque no llegó a conseguirlo, fue el sabio cubano Carlos J. Finlay Barrés el primer nominado de la región. Este genial camagüeyano fue propuesto para el lauro en siete ocasiones (1905, 1906, 1907, 1912, 1913, 1914 y 1915), mientras otro hijo de la provincia de Camagüey, el doctor Arístides Agramonte Simoni, fue sugerido cuatro veces como aspirante al lauro, en unión de su comprovinciano (1912, 1913, 1914 y 1915). Otros dos cubanos considerados como candidatos en 1959 fueron los habaneros Agustín W. Castellanos González y Raúl A. Pereira

I BIMESTRE

De Corazón hasta la muerte

Personaje de la semana

Alexander Oparin Bioquímico ruso, pionero en el desarrollo de teorías bioquímicas acerca del origen de la vida en la Tierra. Se graduó en la Universidad de Moscú en 1917, donde fue nombradocatedráticodebioquímica en 1927, y desde 1946 hasta su muerte fue director del Instituto de Bioquímica A. N. Bakh de Moscú. Muy influido por la teoría evolutiva de Charles Darwin, planteó la hipótesisdequelavidahabíasurgido, a todos los efectos, por azar, a través de una progresión de compuestos orgánicos simples a compuestos complejos autorreplicantes. Su propuesta se enfrentó inicialmente a una fuerte oposición, pero con el paso del tiempo ha recibido respaldo experimental y ha sido aceptada como hipótesis legítima por la comunidad científica. La principal obra de Oparin es El origen de la vida sobre la Tierra (1924).

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 169

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejercicios de Aplicación

1) Miller era maestro de Harold Urey. ( V ) ( F ) 2) En la atmósfera primitiva existía abundante neón. ( V ) ( F ) 3) La Tierra se formó hace unos 4 millones de años. ( V ) ( F ) 4) Oparin plantea la teoría de la Evolución Química. ( V ) ( F ) 5) Arrhenius emplea el término coacervado en su teoría. ( V ) ( F ) 6) El origen de la vida fue escrito por Miller. ( V ) ( F )

9) Relaciona correctamente. a) Coacervados( ) Metano, amoníaco e hidrógeno. b) Atmósfera ( ) Moléculas primitivas como azúcares y grasas, que flotan en el mar. c) Caldo ( ) Conglomerado Orgánico de moléculas orgánicas - químicas.



10) Ordena correctamente.



a) P r i m e r o s s e r e s v i v o s heterótrofos. b) Atmósfera primitiva. c) Caldo orgánico. d) P r i m e r o s s e r e s v i v o s autótrofos. e) Coacervados.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 170





12) Grafica cómo debió haber sido la Tierra durante la etapa del caldo orgánico.



a) Espora. b) Cúmulo de grasa. c) Conglomerado de moléculas orgánicas. d) Solución acuosa. e) Ser vivo pluricelular.

18) Para Oparin, la formación de moléculas orgánicas se produjo a partir de:



13) Explica cómo aparecieron los coacervados en la Tierra. ________________________ ________________________ ________________________ 14) Menciona los principlaes datos biográficos en torno a la vida de Oparin. ________________________ ________________________ ________________________

a) Oparin publica el «Origen de la vida». b) Darwin publica «El origen de las especies». c) Miller realiza sus experimentos con Urey. d) Pasteur comprueba la teoría de la biogénesis.

17) El término coacervado se traduce como:



( V ) ( F )

a) Oparin ( ) Origen de las especies b) Darwin ( ) Origen de la vida c) Miller ( ) experimentos sobre la evolución química

16) Ordena cronológicamente los siguientes eventos:

11) Explica el experimento realizado por Miller y Urey. ________________________ ________________________

7) Haldane ayudó a Miller en su experimento científico.

8) Relaciona correctamente.

15) Explica cómo eran los primeros seres vivos en la Tierra según Oparin. ________________________ ________________________

a) Los gases de la atmósfera primitiva. b) Las lluvias ácidas. c) Las tormentas y radiación cósmica. d) La formación de la Luna. e) El enfriamiento de la Tierra.

19) Las moléculas orgánicas que presentan mayor importancia para la formación de los seres vivos son: a) Las proteínas b) Los ácidos nucleicos c) Las grasas d) Las vitaminas e) Los azúcares 20) Según la teoría de Oparin, la vida se originó hace: a) 1000 millones de años. b) 2000 millones de años. c) 3500 millones de años. d) 5000 millones de años. e) 7500 millones de años. I BIMESTRE

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Características de los Seres Vivos

6ta

Sesión

Características de los Seres Vivos MAPA DE SITIO CONTENIDO

Los seres vivos son porciones limitadas de materia, que presentan una organización compleja. Son sistemas abiertos que realizan un consta

 Características de los seres vivos. 1) Crecimiento 1.1 Hiperplasia 1.2 Hipertrofia 2) Metabolismo 2.1 Anabolismo 2.2 Catabolismo 3) Irritabilidad 4) Reproducción 4.1 Reproducción sexual 4.2 Reproducción asexual

5) Homeostasis

6) Adaptación

OBJETIVOS  C o n o c e r y e x p l i c a r l a s características de los seres vivos.

I. CRECIMIENTO Una característica principal de los seres vivos es que éstos crecen. Los seres vivos requieren de nutrientes (alimentos) para poder realizar sus procesos metabólicos que los mantienen vivos, al aumentar el volumen de materia viva, el organismo, logra su crecimiento. Existen dos formas de crecimiento: ⇒ Hiperplasia: Aumento en el número de células de un tejido. ⇒ Hipertrofia: Aumento del volumen celular. II. METABOLISMO El fenómeno del metabolismo permite a los seres vivos procesar sus alimentos, utilizando una cantidad de estos nutrientes y almacenando el resto para usarlo cuando efectúan sus funciones. En el metabolismo se efectúan dos procesos fundamentales: anabolismo y catabolismo. ⇒ Anabolismo: Es cuando se transforman las sustancias sencillas de los nutrientes en sustancias complejas. Ejemplo: la fotosíntesis, o la formación de proteínas. ⇒ Catabolismo: Cuando se desdoblan las sustancias complejas de los nutrientes con ayuda de enzimas en materiales simples liberando energía. Durante el metabolismo se realizan reacciones químicas y energéticas. Ejemplo: La digestión celular, la respiración celular.

 Explicar las diferencias entre el anabolismo y el catabolismo.  Explicarlasdiferenciasexistentes entre la reproducción sexual y asexual.  Determinar la importancia de la adaptación en la supervivencia de los seres vivos.

I BIMESTRE

Los animales, al alimentarse, destruyen los alimentos que ingieren en un proceso denominado digestión. Éste es un ejemplo de catabolismo.

Las plantas, al realizar la fotosíntesis, unen las moléculas de dióxido de carbono y agua para formar azúcares como la glucosa. Éste sería un ejemplo de anabolismo.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 171

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

III. IRRITABILIDAD La capacidad biológica de responder a ciertos estímulos (sonidos, olores, etc.) del medio ambiente constituye la función de la irritabilidad. Por lo general los seres vivos no son estáticos, son irritables, responden a cambios físicos o químicos, tanto en el medio externo como en el interno. Los estímulos que pueden causar una respuesta en plantas y animales son: cambios en la intensidad de luz, ruidos, sonidos, aromas, cambios de temperatura, variación en la presión, etc.

El Dato Las bacterias también responden a estímulos, básicamente ante sustancias químicas, como ácidos o azúcares, así como a estímulos luminosos, ante los cuales algunas se acercan y otras se alejan. IV. REPRODUCCIÓN Los seres vivos son capaces de multiplicarse (reproducirse). Mediante la reproducción se producen nuevos individuos semejantes a sus padres y se perpetúa la especie. En los seres vivos se observan 2 tipos de reproducción: la asexual y la sexual. ⇒ Asexual (sin sexo): En este tipo de reproducción un solo individuo se divide o se fragmenta en dos células iguales que poseen características hereditarias similares a las de su progenitor y recibe el nombre de célula hija. Ejm.: bacterias, esponjas, hongos, plantas, etc. ⇒ Sexual: En esta forma de reproducción se necesita la participación de 2 progenitores; cada uno aporta una célula especializada llamada gameto (óvulo o espermatozoide), que se fusionan para formar un huevo o cigoto. Esta forma de reproducción permite la combinación de diversas características hereditarias. Ejm.: Animales, plantas, etc.

Reproducción sexual: Apareamiento de dos leones.

Reproducción asexual: regeneración de una bacteria.

V. HOMEOSTASIA Es la capacidad de los seres vivos para regular su equilibrio interno (cantidad de agua, temperatura, pH, concentración de sales). Cabe recordar que el ser humano presenta agua en aproximadamente un 65% de su peso corporal.

Las plantas carnívoras también realizan fotosíntesis como las demás plantas. Estos seres crecen en terrenosquesonpobresennitrógeno, elemento necesario para elaborar sus proteínas. Por este motivo se han visto obligadas a modificar sus hojas para formar trampas con las cuales atrapan a pequeños insectos para desintegrarlos con secreciones ácidas y así obtener el nitrógeno que no pueden obtener del suelo.

Personaje de la semana

Anton van Leeuwenhoek M icroscopista y naturalista holandés, nacido en 1632. Fabricó los mejores microscopios de la época, con los cuales describe por primera vez microorganismos vivos, a los cuales denominó animáculos. También observa por primera vez espermatozoides de diversos animales, aunque no supo en realidad la importancia de dicho hallazgo. Falleció en 1723.

VI. ADAPTACIÓN Las condiciones ambientales en que viven los organismos vivos cambian ya sea lenta o rápidamente, estos cambios pueden ser ocasionados por un incendio, una tormenta, que baje o suba la temperatura o una sequía. Los seres vivos deben adaptarse a estos cambios que ocurren en el medio que los rodea para poder sobrevivir. Al proceso por el que una especie se condiciona lenta o rápidamente para lograr sobrevivir ante los cambios ocurridos en su medio, se le llama adaptación. Cuando se habla de este fenómeno no se habla de ningún cambio en la forma del organismo, si cambiaran su forma sería debido a una mutación y no a un cambio en el ambiente. BIOLOGIA / 1ER. AÑO 172

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

Importante Las bacterias y protozoarios presentan aproximadamente el 80% de su cuerpo como agua, mientras que las medusas, animales marinos con tentáculos venenosos, pueden alcanzar hasta un 95% de su peso corporal en forma de agua.

Lasavesyotrosanimalesinsectívoros evitan a la mariposa monarca (1) que, por alimentarse de euforbios, es amarga. Aunque la mariposa ninfa (2) carece del gusto amargo de la monarca, los depredadores, confundidos por su semejanza externa, también la evitan. (1)

De Corazón hasta la muerte

Interesante

El Desarrollo de la Microbiología El conocimiento del agente causal de las enfermedades infecciosas, se inicia con el descubrimiento del mundo microbiano por Antonio van Leewenhoek, entre los siglos XVI y XVII. En cierto modo este acontecimiento fue un hecho casual. Se podría decir que fue el resultado de un obsesivo propósito de construir lentes de aumento cada vez más potentes que, luego de muchos años de pruebas experimentales, hizo posible la fabricación del microscopio más moderno de entonces. Sin embargo, el ignoto mundo microbiano, no despertó otro sentimiento que el de curiosidad y asombro entre las figuras científicas, intelectuales y artísticas de la época. Sólo van Leewenhoek seguía infatigable en sus observaciones. Su curiosidad se acrecentaba cada vez más. Ya no escudriñaba las gotas de agua únicamente. Examinó muestras de sangre y descubrió los glóbulos rojos. Asimismo, vio por primera vez la circulación capilar, la estructura de los tejidos vegetales, etc. Empero, no alcanzó a establecer la relación que existe entre algunos de los microorganismos descubiertos por él y ciertas enfermedades que afectaban al hombre y animales inferiores, asolando pueblos en las más distintas latitudes, desde la más remota antigüedad, dando lugar a lo que hoy se conoce con el nombre de epidemias, epizootías, etc. Tenía que pasar muchos años para que un genio como Pasteur estableciera la relación que existe entre los microorganismos y las enfermedades conocidas después como infecciosas y su nexo con el sistema inmune, descubierto por el doctor Edward Jenner, lo cual demostró con trabajos inobjetables. Por ese tiempo se inició la era de los grandes descubrimientos bacteriológicos. Se despejó para siempre la incógnita acerca del origen de algunas enfermedades infecciosas, al mismo tiempo que con

Vocabulario

(2)

I BIMESTRE

1. A N A B O L I S M O : Fa s e d e l metabolismo en el cual las sustancias simples se transforman en otras más complejas. 2. C A T A B O L I S M O : Fase desintegradora del metabolismo. 3. EUFORBIOS: Planta de las euforbiáceas de cuyo tallo se extrae una sustancia purgante. 4. HIPERPLASIA: Multiplicación del número de células de un tejido u órgano. 5. H I P E R T R O F I A : Au m e nto excesivo del volumen de un órgano.

6. IRRITABILIDAD: Capacidad para responder a estímulos. 7. METABOLISMO: Conjunto de reacciones químicas de los seres vivos que permiten la transformación continua de materia y energía. 8. NASTIA: Movimiento de un órgano vegetal inducido por un estímulo externo. 9. TACTISMO: Respuesta motriz de un organismo o célula a un estímulo. 10. T R O P I S M O : Crecimiento de las plantas orientado hacia determinados estímulos.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 173

De Corazón hasta la muerte

Ejercicios de

I.E. "MARIANISTA"

Aplicación

1) Los hongos poseen una etapa sexual y otra asexual.

10) Completa.

( V ) ( F ) 2) La digestión es un proceso anabólico.

Anabolismo

( V ) ( F ) Moléculas complejas simples

3) El tropismo es una forma de irritabilidad propia de las plantas. ( V ) ( F ) 4) La fotosíntesis es un proceso catabólico. ( V ) ( F ) 5) El crecimiento es la base de la evolución. ( V ) ( F ) 6) La reproducción permite la perpetuación de las especies. ( V ) ( F ) 7) Menciona un ejemplo de reproducción asexual. ________________________ ________________________ 8) Menciona un ejemplo de re p ro d u cc i ó n s e x u a l co n fecundación externa. ________________________ ________________________ 9) Menciona un ejemplo de re p ro d u cc i ó n s e x u a l co n fecundación interna.

11) Explica qué significa tropismo. Menciona ejemplos. ________________________ ________________________ ________________________ 12) Señala las diferencias entre tropismo y nastia. ________________________ ________________________ ________________________ 13) Señala la diferencia entre hipertrofia e hiperplasia usando ejemplos.

________________________

________________________ ________________________ 14) En el cuerpo humano, el agua representa _________________ del peso corporal. 15) La ________________ es la base para la evolución.

16) El metabolismo comprende _______________________ y

________________________

________________________

________________________

________________________

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 174

17) El término _________________ representa el equilibrio interno de un ser vivo. 18) Relaciona correctamente: a) Anabolismo( ) Conjunto de reacciones químicas b) Catabolismo( ) Libera energía c) Metabolismo( ) Convierte moléculas simples en complejas 19) Relaciona correctamente: a) Fecundación( ) Hidras Interna b) Fecundación( ) Ranas Externa c) Gemación ( ) Estrella demar d) Regeneración( ) Insectos 20) Relaciona correctamente: a) Tropismo ( ) Mov. de sueño en plantas b) Nastia ( ) Crecimiento de una planta hacia un estímulo c) Taxia ( ) Desplaz. hacia un estímulo I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

De Corazón hasta la muerte

Niveles de Organización de la Materia MAPA DE SITIO CONTENIDO  Niveles de organización de la materia prima: 1)

Nivel Químico 1.1 Partícula subatómica 1.2 Átomo 1.3 Molécula 1.4 Macromolécula 1.5 Supramolécula

2)

Nivel Biológico 2.1 Célula 2.2 Tejido 2.3 Órgano 2.4 Sistema 2.5 Individuo multicelular

3)

Nivel Ecológico 3.1 Especie 3.2 Población 3.3 Comunidad 3.4 Ecosistema 3.5 Ecósfera

OBJETIVOS  Conocer y describir cada uno de los niveles de organización de la materia viva.  Clasificar y jerarquizar los niveles químico, biológico y ecológico de la materia viva.

I BIMESTRE

7ma

Sesión

Niveles de Organización de la Materia Viva I. NIVEL QUÍMICO Partícula Subatómica Partículas que constituyen un átomo. Ejemplo: Neutrón, electrón y protón, etc. Átomo Partícula más pequeña de un elemento que conserva las propiedades de ese elemento. Ejemplo: Hidrógeno, carbono, nitrógeno, etc. Molécula Una combinación de átomos. Ejemplo: Agua, glucosa, aminoácido, etc. Macromolécula Agrupación de moléculas similares. Ejemplo: Proteínas, azúcares, grasas, ADN, etc. Supramolécula Agrupacióndemacromoléculasusadas por la célula con un fin específico. Incluye los organelos celulares. Ejemplo: Mitocondria,cromosomas,cloroplasto, etc. II. NIVEL BIOLÓGICO Célula Unidad más pequeña de vida. Ejemplo: Neurona, glóbulo blanco, bacteria, protozoarios, etc.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 175

De Corazón hasta la muerte

Tejido Agrupación de células que presentan estructuras y funciones similares. Ejemplo: Tejido muscular, nervioso, sanguíneo. Órgano Estructura formada por varios tejidos que cumplen una determinada función. Ejemplo: Cerebro, corazón, estómago, pulmones, etc. Sistema Conjunto de órganos que actúan juntos para realizar una función corporal específica. Ejemplo: Sistema nervioso, sistema circulatorio, sistema urinario, etc. Individuo Multicelular Ser vivo individual formado por numerosas células. Ejemplo: Perro, ciervo, helecho, oso de anteojos, etc. III. ECOLÓGICO Especie Organismos muy similares que, en potencia, pueden generar descendencia. Ejemplo: Perros, gatos, ciervos, ranas, etc.

I.E. "MARIANISTA"

Los virus se encuentran en el límite de la vida. Dentro de una célula específica replican constantemente su ADN, formando nuevos virus, usando para ello las estructuras internas de la célula que lo aloja. Pero, fuera de las células carece de actividad, asemejándose a una partículadepolvoultramicroscópica, insensible a los agentes externos, sin necesidad de intercambiar materia o energía con su medio ambiente; simplemente esperan adherirse a una célula para activarse. Aun así, son responsables de numerosas enfermedades en el ser humano y en, prácticamente, todos los seres vivos. Se han detectado virus capaces de parasitar bacterias, inoculando su ADN a través de la gruesa pared celular bacteriana mediante una compleja envoltura proteica que se asemeja mucho a un módulo usado para viajes espaciales.

Población Conjunto de individuos de una misma especie que comparten un lugar y tiempo determinado. Ejemplo: Población de perros de Lima el año 2004. Población de anchovetas en el mar peruano durante el año 2004. Comunidad Dos o más poblaciones de distintas especies que viven e interactúan en la misma área. Ejemplo: Comunidad de animales de un bosque. Ecosistema Es la unidad de la ecología. Representa la unión de una comunidad con el medio ambiente que lo rodea. Ejemplo: Un bosque, un desierto, un valle, etc. Ecósfera Es el conjunto de ecosistemas del planeta Tierra. Representa el ecosistema más grande. BIOLOGIA / 1ER. AÑO 176

I BIMESTRE

I.E. "MARIANISTA"

Personaje de la semana

De Corazón hasta la muerte

Interesante

Louis Pasteur

Descubren virus contra el cáncer

Químico y biólogo francés, considerado el padre de la microbiología. Nació en Dole en 1822. En 1847 obtuvo un doctorado en Físisca y Química por la Escuela Normal de París. Hizo importantes contribuciones en el campo de la química orgánica y la biología, a mediados del siglo XIX, desarrolló varias vacunas, incluida la de la rabia, y desautorizó la teoría de la generación espontánea. Desarrolló la teoría de los gérmenes para determinar la causa de muchas enfermedades. Cuando murió, en St. Cloud el 28 de septiembre de 1895, Pasteur era ya considerado un héroe nacional y había recibido todo tipo de honores. Se celebró un funeral propio de un jefe de estado en la catedral de Notre Dame y su cuerpo fue inhumado en una cripta en el instituto que lleva su nombre.

WASHINGTON. Científicos estadounidenses anunciaron el descubrimiento de un virus común e inofensivo para la salud que ayuda en la destrucción de células cancerígenas y podría ser clave en el desarrollo de una terapia contra el cáncer. En una reunión de la Sociedad de Virología de Estados Unidos, los científicos de la Escuela de Medicina de la Universidad Estatal de Pensilvania, señalaron que se trata de un adenovirus tipo 2 (AAV-2) que infecta a un 80 por ciento de la población. El AAV-2 no puede multiplicarse por sí mismo y necesita la ayuda de otro virus para matar las células cancerígenas, indicaron los científicos. Según Craig Meyers, profesor de microbiología e inmunología del Colegio de Medicina, los resultados sugieren que el virus“mata a diversos tipos de células cancerígenas sin tener efecto en las células saludables”.

Vocabulario 1. COMUNIDAD: En ecología, agrupación de poblaciones de diversas especies en un lugar y tiempo determinado. 2. ECÓSFERA: Interacciones entre todos los seres vivos del planeta y los lugares que habitan (hidrósfera, litósfera y atmósfera). 3. E C O S I S T E M A : U n i d a d d e la ecología, formada por la interacción entre los seres vivos y el lugar que habitan. 4. E L E C T R Ó N : Par tícula subatómica que presenta carga negativa. 5. ESPECIE: Categoría taxonó– mica que agrupa los seres con característicassimilaresycapacidad de producir descendencia fértil entre sí.

I BIMESTRE

6. I N D I V I D U O : C a d a s e r organizado, respecto a la especie a que pertenece. 7. MULTICELULAR: Formado por numerosas células. 8. N E U T R Ó N : P a r t í c u l a subatómica carente de carga eléctrica. 9. P R O T Ó N : Par tícula subatómica con carga igual al electrón, pero de signo negativo. 10. S I S T E M A : Conjunto de elementos o par tes relacionados o coordinados entre sí.

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 177

De Corazón hasta la muerte

I.E. "MARIANISTA"

Ejercicios de Aplicación

1) Define lo que es biosfera. _________________________

9) Una bandada de palomas forma una comunidad. ( V ) ( F )

2) Define lo que es ecosistema. _________________________ 3) Define lo que es el nivel tisular. _________________________ 4) Define lo que es el nivel supramolecular.

10) Los corales no tienen nivel sistémico. ( V ) ( F )

11) Las esponjas no poseen nivel celular. ( V ) ( F )

12) Los protones forman parte del nivel atómico. ( V ) ( F )

_________________________ 6) Relaciona correctamente.

a) Ecosistema ( ) Faunadela pradera b) Población ( ) Bandada de palomas c) Comunidad ( ) Selva Amazónica 7) Relaciona correctamente. a) Nivel ( ) Glóbulo Individual blanco b) Nivel ( ) Tejido Celular muscular c) Nivel ( ) Managua Tisular 8) Relaciona correctamente: a) Nivel ( ) Electrón Supramolecular b) Nivel ( ) Tejido Subatómico Cromatina c) Nivel ( ) Proteína Macromolecular

BIOLOGIA / 1ER. AÑO 178



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18) Los virus forman parte del nivel:

_________________________ 5) Define lo que es el nivel subatómico.

17) Los sistemas representan un conjunto de:

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19) Una manada representa el nivel:

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13) Los virus forman parte del nivel celular.

20) El agua y la glucosa forman parte del nivel:





( V ) ( F )

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________________________ 14) El tejido nervioso forma parte del nivel sistémico.

( V ) ( F )

15) Un sistema es un conjunto de órganos.

( V ) ( F )

16) Los órganos que elaboran sustancias químicas se llaman:

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I BIMESTRE