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La obra Matemáticas 1 fue elaborada por la Gerencia Editorial Textos de Ediciones Larousse, S.A. de C.V. Dirección Editorial: Gerencia Editorial Textos: Edición: Corrección de estilo: Diseño de interiores: Diagramación y formación: Diseño de portada: Foto: dados Ilustración: Fotografía:

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Matemáticas 1 D.R. © 2008, por Ediciones Larousse, S.A. de C.V. Londres 247, Col. Juárez, Delegación Cuauhtémoc C.P. 06600, México, D.F. [email protected] Primera edición Esta obra no puede ser reproducida, total o parcialmente, sin autorización escrita del editor. ISBN: 970-22-1620-6 Larousse y el logotipo Larousse son marcas registradas de Larousse, S.A. Impreso en México Printed in Mexico



Presentación

Maestra, maestro: La propuesta didáctica de Matemáticas 1 que tiene en sus manos es fruto del esfuerzo editorial de muchas personas y de la larga experiencia de sus autores frente a grupo y en la educación matemática de vanguardia. Aquí encontrará múltiples actividades de estudio que relacionan a las matemáticas con la vida cotidiana de los estudiantes: deportes, juegos, medios de comunicación, uso de las tecnologías de la información y las comunicaciones que demanda el mundo moderno, cuidadosamente diseñadas para que despierten el interés de sus alumnos y los inviten a reflexionar, a trabajar en equipo, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas, a formular argumentos que validen los resultados, a comunicar verbalmente, a investigar y presentar por escrito sus hallazgos, en un ambiente de confianza y de respeto por las ideas de los demás. Las actividades de Matemáticas 1 están agrupadas en cinco bloques. Cada uno de ellos inicia con entradas a doble página que muestran los propósitos que se esperan logren desarrollar los estudiantes y los relacionen con su vida cotidiana o con otras disciplinas. El desarrollo de cada uno de los 38 subtemas está organizado en lecciones que corresponden a tres momentos metodológicos fundamentales que se relacionan entre sí y se reciclan continuamente. • ¿Qué sabemos de... Plantea situaciones problemáticas iniciales vinculadas con algún contexto que motive el interés de los estudiantes para ser trabajadas en equipo. • Para saber más de... Este momento se destina para que los y las alumnas construyan y amplíen los conocimientos y habilidades a partir de sus conocimientos previos; esto se logra a través de secuencias problemáticas e información matemática básica. Al final de esta sección se recomienda hacer una pausa en el estudio de los temas para que los estudiantes revisen los problemas que no hayan podido resolver en lecciones anteriores y, en su caso, los corrijan o resuelvan. 

• Por tu cuenta... En este momento se plantean preguntas y problemas matemáticos que sintetizan los conocimientos y habilidades adquiridas en las actividades previas, además de que propicia que los estudiantes los apliquen en diversos contextos. También se plantean pequeñas investigaciones de aplicación de las matemáticas para que los estudiantes consulten información en la biblioteca escolar, en su comunidad, en internet o en otros medios. Al finalizar cada subtema se presenta la sección Historietas matemáticas en las que varios personajes ficticios, estudiantes de secundaria, ejemplifican el uso y la aplicación de las matemáticas en diversas situaciones; aquí mismo se invita a los alumnos a que reflexionen y, en algunos casos, evalúen las soluciones expuestas en cada historieta. Al finalizar cada bloque encontrará sugerencias prácticas para implementar la Feria de las matemáticas que bajo su coordinación los alumnos irán preparando con materiales, actividades, juegos, etcétera, que puede servir para exponer al final del curso. Esperamos que con esta propuesta pedagógica se cumpla el propósito de que sus estudiantes efectivamente construyan sus propios conocimientos, que les permita enfrentar y dar respuesta a problemas de la vida real y prepararlos mejor para el futuro. ¡Ojalá cumpla su cometido! Los autores



Índice  de contenido Presentación  3 Presentación al alumno  9 Bloque  1 

1.1 Números naturales. El sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración   12 Lección 1 ¿Qué sabemos del sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración?   12 Lección 2 Para saber más del sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración   13 Lección 3 Sistemas de numeración egipcio, babilónico y romano   15 Lección 4 Uno de los sistemas de numeración mayas y sistema de numeración azteca   20 Lección 5 Actividades de trabajo individual   23 Historieta matemática del subtema 1.1   24

1.2 Números fraccionarios y decimales. Números fraccionarios y decimales en la recta numérica   25 Lección 6 ¿Qué sabemos de los números fraccionarios y decimales en la recta numérica?    25 Lección 7 Para saber más de números fraccionarios y decimales en la recta numérica   26 Lección 8 Números decimales en la recta numérica   30 Lección 9 Actividades de trabajo individual   33 Historieta matemática del subtema 1.2   34 1.3 Patrones y fórmulas. Sucesiones y expresiones generales   35 Lección 10 ¿Qué sabemos de sucesiones y expresiones generales?   35 Lección 11 Para saber más de sucesiones y expresiones generales   36 Lección 12 Actividades de trabajo individual   39 Historieta matemática del subtema 1.3   40 1.4 Patrones y fórmulas. Fórmulas geométricas   41 Lección 13 ¿Qué sabemos de fórmulas geométricas?   41 Lección 14 Para saber más de fórmulas geométricas   43 Historieta matemática del subtema 1.4   45

1.5 Movimientos en el plano. Figuras simétricas   46 Lección 15 ¿Qué sabemos de figuras simétricas?   46 Lección 16 Para saber más de figuras simétricas   48 Lección 17 Actividades de trabajo en equipo   51 Lección 18 Actividades de trabajo individual   54 Historieta matemática del subtema 1.5   56

1.6 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad directa   57 Lección 19 ¿Qué sabemos de proporcionalidad directa?   57 Lección 20 Para saber más de proporcionalidad directa   58 Lección 21 Actividades de trabajo individual   61 Historieta matemática del subtema 1.6   63 1.7 Relaciones de proporcionalidad. Reparto proporcional   64 Lección 22 ¿Qué sabemos de reparto proporcional?   64 Lección 23 Para saber más de reparto proporcional   65 Lección 24 Actividades de trabajo individual   67 Historieta matemática del subtema 1.7   68

1.8 Diagramas y tablas. Problemas de conteo   69 Lección 25 ¿Qué sabemos de problemas de conteo?   69 Lección 26 Para saber más de problemas de conteo   70 Lección 27 Actividades de trabajo individual   72 Historieta matemática del subtema 1.8   73 Feria de las matemáticas. Juguemos con el sistema binario

de numeración   74



Bloque  2 

2.1 Problemas aditivos. Problemas de suma o resta con números fraccionarios y decimales   78 Lección 1 ¿Qué sabemos de problemas de suma o resta con números fraccionarios y decimales?   78 Lección 2 Actividades de trabajo en equipo   81 Lección 3 Para saber más de problemas de suma o resta con números fraccionarios y decimales   81 Lección 4 Actividades de trabajo en equipo   85 Historieta matemática del subtema 2.1   87

2.2 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplicación y división con números fraccionarios   88 Lección 5 ¿Qué sabemos de problemas de multiplicación con números fraccionarios?   88 Lección 6 Para saber más de problemas de multiplicación con números fraccionarios   90 Lección 7 Actividades de trabajo en equipo   91 Lección 8 Para saber más de problemas de división con números fraccionarios   93 Lección 9 Actividades de trabajo individual   96 Historieta matemática del subtema 2.2   97 2.3 Problemas multiplicativos. Problemas de multiplicación de números decimales   98 Lección 10 ¿Qué sabemos de problemas de multiplicación de números decimales?   98 Lección 11 Para saber más de problemas de multiplicación de números decimales   99 Lección 12 Actividades de trabajo individual   101 Historieta matemática del subtema 2.3   102

2.4 Rectas y ángulos. Mediatriz y bisectriz   103 Lección 13 ¿Qué sabemos de mediatriz y bisectriz?   103 Lección 14 Para saber más de mediatriz y bisectriz   106 Lección 15 Actividades de trabajo individual   108 Historieta matemática del subtema 2.4   109

2.5 Figuras planas. Construcción de polígonos regulares   110 Lección 16 ¿Qué sabemos de construcción de polígonos regulares?   110



Lección 17 Construcción de polígonos regulares con compás, regla y transportador   113 Lección 18 Para saber más de construcción de polígonos regulares   115 Lección 19 Actividades de trabajo individual   116 Historieta matemática del subtema 2.5   118



2.6 Justificación de fórmulas. Perímetro y área de polígonos   119 Lección 20 ¿Qué sabemos de perímetro y área de polígonos?   119 Lección 21 Para saber más de perímetro y área de polígonos   120 Lección 22 Fórmulas del área de cuadrados, rectángulos y romboides   123 Lección 23 Fórmulas del área de rombos y triángulos   126 Lección 24 Fórmula del área de polígonos regulares   127 Historieta matemática del subtema 2.6   129 2.7 Relaciones de proporcionalidad.

Proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales   130



Lección 25 ¿Qué sabemos de proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales?   130 Lección 26 Para saber más de proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales   131 Lección 27 Actividades de trabajo individual   133 Historieta matemática del subtema 2.7   134



2.8 Relaciones de proporcionalidad. Aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad   135 Lección 28 ¿Qué sabemos de la aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad?   135 Lección 29 Para saber más de la aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad   137 Lección 30 Actividades de trabajo individual   140 Historieta matemática del subtema 2.8   141 Feria de las matemáticas. El maravilloso mundo de los rompecabezas   142

Bloque  3 

3.1 Problemas multiplicativos. División de números decimales   146 Lección 1 ¿Qué sabemos de división de números decimales?   146





Lección 2 Para saber más de división de números decimales   147



Lección 3 Actividades de trabajo individual   151 Historieta matemática del subtema 3.1   152



3.2 Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado   153 Lección 4 ¿Qué sabemos de ecuaciones de primer grado?   153 Lección 5 Para saber más de ecuaciones de primer grado   154 Lección 6 Actividades de trabajo en equipo   155 Lección 7 Actividades de trabajo individual   158 Historieta matemática del subtema 3.2   159

3.6 Porcentajes. Cálculo de porcentajes   190 Lección 19 ¿Qué sabemos de cálculo de porcentajes?   190 Lección 20 Para saber más de cálculo de porcentajes   192 Lección 21 Actividades de trabajo individual   194 Historieta matemática del subtema 3.6   196



3.7 Diagramas y tablas. Interpretar información   197 Lección 22 ¿Qué sabemos de interpretar información?   197 Lección 23 Para saber más de interpretar información   199 Lección 24 Actividades de trabajo individual   201 Historieta matemática del subtema 3.7   204

3.3 Figuras planas. Construcción de triángulos y cuadriláteros   160 Lección 8 ¿Qué sabemos de construcción de triángulos y cuadriláteros?   160 Lección 9 Para saber más de construcción de triángulos y cuadriláteros   163 Lección 10 Actividades de trabajo en equipo   166 Lección 11 Actividades de trabajo individual   168 Historieta matemática del subtema 3.3   170

3.4 Estimar, medir y calcular. Áreas de triángulos y cuadriláteros   171 Lección 12 ¿Qué sabemos de áreas de triángulos y cuadriláteros?   171 Lección 13 Para saber más de áreas de triángulos y cuadriláteros   173 Lección 14 Actividades de trabajo en equipo   175 Lección 15 Actividades de trabajo individual   178 Historieta matemática del subtema 3.4   180

3.5 Relaciones de proporcionalidad. Procedimientos expertos   181 Lección 16 ¿Qué sabemos de procedimientos expertos?   181 Lección 17 Para saber más de procedimientos expertos   183 Lección 18 Actividades de trabajo individual   187 Historieta matemática del subtema 3.5   189





3.8 Gráficas. Interpretar información en gráficas de barras y circulares   205 Lección 25 ¿Qué sabemos de interpretar información en gráficas de barras y circulares?   205 Lección 26 Para saber más de interpretar información en gráficas de barras y circulares   207 Lección 27 Actividades de trabajo individual   210 Historieta matemática del subtema 3.8   211 3.9 Nociones de probabilidad. Escala de probabilidad entre 0 y 1   212 Lección 28 ¿Qué sabemos de escala de probabilidad entre 0 y 1?   212 Lección 29 Para saber más de escala de probabilidad entre 0 y 1   213 Lección 30 Actividades de trabajo en equipo   215 Lección 31 Actividades de trabajo individual   217 Historieta matemática del subtema 3.9   219 Feria de las matemáticas. Los crucigramas   220

Bloque  4 

4.1 Números con signo. Utilización de números con signo   224 Lección 1 ¿Qué sabemos de utilización de números con signo?   224 Lección 2 Para saber más de utilización de números con signo   226 Lección 3 Actividades de trabajo individual   229 Historieta matemática del subtema 4.1   232

4.2 Potenciación y radicación. Raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales   233 Lección 4 ¿Qué sabemos de raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales?   233



Lección 5 Para saber más de raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales   236 Lección 6 Actividades de trabajo individual   240 Historieta matemática del subtema 4.2   243

4.3 Relación funcional. Relación de proporcionalidad y = kx   244 Lección 7 ¿Qué sabemos de la relación de proporcionalidad y = kx?   244 Lección 8 Para saber más de la relación de proporcionalidad y = kx   246 Lección 9 Actividades de trabajo individual   249 Historieta matemática del subtema 4.3   251



4.4 Figuras planas. Construcción de círculos   252 Lección 10 ¿Qué sabemos de construcción de círculos?   252 Lección 11 Para saber más de construcción de círculos   253 Lección 12 Actividades de trabajo individual   257 Historieta matemática del subtema 4.4   258 4.5 Justificación de fórmulas. Perímetro y área del círculo   259 Lección 13 ¿Qué sabemos de perímetro y área del círculo?   259 Lección 14 Para saber más de perímetro y área del círculo   260 Lección 15 Actividades de trabajo individual   263 Historieta matemática del subtema 4.5   264



Lección 16 ¿Qué sabemos de cálculo del área y el perímetro del círculo?   265 Lección 17 Para saber más de cálculo del área y el perímetro del círculo   266 Lección 18 Actividades de trabajo individual   268 Historieta matemática del subtema 4.6   269

4.7 Gráficas. Proporcionalidad y plano cartesiano   270 Lección 19 ¿Qué sabemos de proporcionalidad y plano cartesiano?   270 Lección 20 Para saber más de proporcionalidad y plano cartesiano   271 Lección 21 Actividades de trabajo individual   276 Historieta matemática del subtema 4.7   277 Feria de las matemáticas. Construyamos cuadrados

mágicos   278

4.6 Estimar, medir y calcular. Cálculo del área y el perímetro del círculo   265 Bloque  5 

5.1 Problemas aditivos. Adición y sustracción de números con signo   282 Lección 1 ¿Qué sabemos de adición y sustracción de números con signo?   282 Lección 2 Para saber más de adición y sustracción de números con signo   286 Lección 3 Actividades de trabajo individual   288 Historieta matemática del subtema 5.1   289

5.2 Relación funcional. Representación de proporcionalidad directa   290 Lección 4 ¿Qué sabemos de representaciones de proporcionalidad directa?   290 Lección 5 Para saber más de representaciones de proporcionalidad directa   293 Lección 6 Actividades de trabajo individual   295 Historieta matemática del subtema 5.2   299 5.3 Estimar, medir y calcular. Cálculo de áreas de figuras planas   300 Lección 7 ¿Qué sabemos de cálculo de áreas de figuras planas?   300 Lección 8 Para saber más de cálculo de áreas de figuras planas    301 Lección 9 Actividades de trabajo individual   303 Historieta matemática del subtema 5.3   304 5.4 Nociones de probabilidad. Resultados equiprobables y no equiprobables   305 Bibliografía 326





Lección 10 ¿Qué sabemos de resultados equiprobables y no equiprobables?   305 Lección 11 Para saber más de resultados equiprobables y no equiprobables   306 Lección 12 Actividades de trabajo individual   308 Historieta matemática del subtema 5.4   309

5.5 Relaciones de proporcionalidad. Variación proporcional inversa   310 Lección 13 ¿Qué sabemos de variación proporcional inversa?   310 Lección 14 Para saber más de variación proporcional inversa   312 Lección 15 Actividades de trabajo individual   315 Historieta matemática del subtema 5.5   317 5.6 Medidas de tendencia central y de dispersión. Medidas de tendencia central   318 Lección 16 ¿Qué sabemos de medidas de tendencia central?   318 Lección 17 Para saber más de medidas de tendencia central   320 Lección 18 Actividades de trabajo individual   322 Historieta matemática del subtema 5.6   323 Feria de las matemáticas. Obra de teatro “Pepito preguntón”   324

Presentación al alumno

Hola amigos y amigas, somos Mary, Lupe, Juan y Pepe, y como todos ustedes, también trataremos de aprender matemáticas en este nuestro primer año de secundaria. ¡Qué emoción! Los acompañaremos en todo el curso y compartiremos la emoción de aprender matemáticas. Seguramente se identificarán con nosotros. Les platicaremos sobre algunas situaciones cotidianas y demás cosas que probablemente a ustedes también les pasaron al estudiar las Mates, ya sea en el salón de clases, en el recreo, en su casa o en la calle. ¡Nos divertiremos! Aquí encontrarán para qué sirven las matemáticas, en dónde se aplican, cómo podemos divertirnos jugando con ellas, a realizar experimentos matemáticos y hacer diseños geométricos; aprenderemos muchas cosas más... Estamos seguros, porque ustedes podrán comparar lo que han aprendido con lo que hemos aprendido nosotros a través de nuestras Historietas matemáticas. Además al final de cada bloque encontrarán algunas pistas para que vayan preparando, con el apoyo de su maestro o maestra, los materiales, juegos y actividades para la Feria de las matemáticas en donde podrán mostrar plenamente sus habilidades y capacidades matemáticas que desarrollaron en todo el año. Bueno, pues ¡a trabajar!



10

Bloque 1

Aprendizajes esperados En este bloque: i Conocerás las características del sistema de numeración decimal (base, valor

i

i

i i

posicional, número de símbolos) y establecerás analogías o diferencias con otros sistemas posicionales y no posicionales. Compararás y ordenarás números expresados como fracciones y en forma decimal, mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados, así como otros recursos. Representarás sucesiones —numéricamente o con figuras— a partir de una regla dada y viceversa, esto es, establecerás la regla de formación de una sucesión a partir de una representación de ésta. Construirás figuras simétricas respecto a un eje e identificarás qué propiedades de la figura original se conservan en su simétrica. Resolverás problemas de conteo apoyándote en representaciones gráficas.

11

1.1 Números naturales El sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración Conocimientos y habilidades Identificarás las propiedades del sistema de numeración decimal y las contrastarás con las de otros sistemas de numeración posicionales y no posicionales.

¿Qué sabemos de… el sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración? Lección 1

Trabaja en equipo

1

Si el número 1 lo representan con el cubito pequeño, el número 10 con una tira de 10 cubitos, el número 100 con una placa de 10 tiras y el número 1000 con 10 placas, determinen el número que se representa con el total de las siguientes figuras y anótenlo en la línea.

2

Escriban el nombre del número representado con los modelos geométricos anteriores.

3

De acuerdo con el número que determinaron, completen lo siguiente y comparen sus respuestas con las de los demás equipos. El dígito ______ representa los millares y su valor posicional es ______  1 000  ______ El dígito ______ está en el lugar de las centenas y su valor posicional es ______  100  ______

12

Matemáticas 1

BLOQUE 1

El dígito ______ representa las decenas y su valor posicional es ______ 3 10 5 ______ El dígito ______ representa las unidades y su valor posicional es ______ 3 1 5 ______ Utilizando los modelos geométricos anteriores (cubo grande, placa, tira y cubito), representen en su cuaderno los siguientes números.

4

1011         1101         1110 Si desagrupan las placas de cubitos siguientes en tiras de cubitos, ¿cuántas tiras obtienen?

5

5 placas 5 _______ tiras

7 placas 5 _______ tiras

13 placas 5 _______ tiras

Si agrupan las tiras de cubitos siguientes en cubos más grandes o placas de cubos, ¿cuántas obtienen?

6

437 tiras 5 _______ cubos, _______ placas, _______ tiras 503 tiras 5 _______ cubos, _______ placas, _______ tiras 3008 tiras 5 _______ cubos, _______ placas, _______ tiras Anoten los siguientes números usando nuestros símbolos dígitos.

7

Quince mil trescientos veintiuno ______________________________ Noventa y cinco mil setecientos ochenta y tres ______________________________ Quinientos treinta y siete mil seiscientos cuarenta y dos ______________________________ Treinta y dos millones dos mil quinientos dieciséis ______________________________ Mil setecientos sesenta y siete billones dos mil seis ______________________________ Escriban en español los nombres de los siguientes números.

8

916 ____________________________________________________________________________ 13 214 __________________________________________________________________________ 318 599 _________________________________________________________________________ 100 151 001 ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 11 123 615 900 070 502 ____________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________





Para saber más de… e l sistema de numeración decimal y otros sistemas de numeración

Lección 2

Trabaja en equipo

Los números naturales, la recta numérica y el sistema de numeración decimal A los números que utilizamos para contar objetos o ideas de determinada colección, cero, uno, dos, tres, …, cien, …, se les conoce como números cardinales. Los números ordinales describen un orden o posición, por ejemplo primero, segundo, tercero, cuarto… Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

13

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, … se denominan números naturales. Observen que en este conjunto numérico no existe el cero (0), aunque cabe aclarar que algunos matemáticos sí lo aceptan como número natural. Esta manera de escribirlos, con los puntos suspensivos, se usa para indicar que continúan indefinidamente; es decir, hay una infinidad de números naturales. Se pueden representar geométricamente en una recta numérica.

0

1

2

3

4

5

6

7

Para representar números naturales disponemos de diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Observen que en este sistema decimal el cero (0) sí existe; no como elemento de los naturales, sino como símbolo, por lo cual se recurre a él para representar, por ejemplo, el número diez (10). El sistema de numeración decimal es posicional, lo que significa que de acuerdo con la posición que ocupe el dígito tiene un significado diferente. 1

Usen una unidad adecuada para representar en la recta numérica los números 10, 100 y 1 000. ¿Cómo lo hicieron? Coméntenlo.

2

Los puntos A, B, C y D representan cuatro números naturales. ¿Qué números podrían ser? Comparen sus respuestas con las de sus compañeras y compañeros.

0

3

A

B

C

D

70

¿Qué números naturales podrían estar representados entre los puntos A y B? _________________ ¿Y entre C y D? ________________________________________________________________ Coméntenlo con sus compañeras y compañeros de otros equipos.

Numeraciones visuales o figuradas La manera elemental más comúnmente utilizada por grupos humanos para contar consistió en hacer trazos o marcas sobre objetos duros, tantos como objetos individuales tuviese la colección que se necesitara contar. Se trataba de representaciones visuales o figuradas. La representación de los números ha evolucionado hasta nuestra actual forma escrita y nuestra expresión oral. Otra idea básica que facilita el conteo de objetos es la de agrupar en bloques los trazos que representan la cantidad total, con igual número de elementos cada bloque, constituyendo este número la base del sistema de numeración que se emplee. 4

14

¿Cuáles creen que sean las agrupaciones de marcas que se muestran en la figura de la derecha?

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Base 2 5 8 10 12 16 20 60

Diversos grupos sociales, a lo largo de la historia, han elegido como base de numeración una acorde a sus necesidades. Además del sistema de numeración de base 10, se han utilizado otros. En realidad cualquier número natural mayor que 1 puede servir de base de un sistema de numeración posicional. En la tabla de la izquierda pueden ver los nombres de algunos de estos sistemas.

Nombre binario quinario octal decimal duodecimal hexadecimal vigesimal sexagesimal

5

Den un ejemplo de utilización de contar en agrupaciones de 60 en 60 en la actualidad. Expliquen su ejemplo por escrito.

6

Formen grupos de cinco rayas y luego formen grupos de cinco grupos.

7

Ahora imaginen que sólo disponen de los siguientes símbolos para representar el número de rayas que hay en la figura anterior: /1

#5

%  25

&  125

¿Cómo escribirían la cantidad de trazos usando los símbolos /, # y % anteriores? ________________________________________________________________________________ ¿Qué características tiene este sistema de numeración? Explíquenlo en su cuaderno.

Lección 3

Trabaja en equipo

Un sistema de numeración egipcio La civilización egipcia antigua duró alrededor de cuatro mil años. Hacia el año 3500 a. n. e. (antes de nuestra era), los egipcios poseían un sistema de numeración completamente desarrollado para contar cantidades grandes. El sistema de numeración egipcio, era aditivo —todos sus cálculos se basaban en sumas solamente— y decimal —su base era diez. Representaban el uno y las primeras seis potencias de diez mediante siete signos jeroglíficos. No tenían una conceptualización del cero ni una representación para este número. Caracteres o símbolos egipcios

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

1

10

10 2

10 3

10 4

1

10

100

1 000

10 000

10 5

10 6

100 000 1 000 000

10 7 10 000 000

Matemáticas 1

15

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Un número se describía utilizando cada carácter hasta nueve veces y por lo general se anotaban de derecha a izquierda, de mayor a menor valor numérico. A veces los escribían de izquierda a derecha, volteando los símbolos para indicar dónde iniciaba la lectura del número. 1

En la figura siguiente aparece representado el número 276. ¿Pueden explicar por qué?

2

A la derecha se muestra otro ejemplo de la notación del sistema de numeración egipcio. ¿Qué número representa en el sistema decimal?

3

Escriban el año actual y la cantidad de alumnos que hay en su grupo empleando símbolos egipcios. año actual: __________________________________________ número de alumnos: __________________________________________ Comparen sus anotaciones con las de sus compañeras y compañeros.

4

Escriban con notación del sistema de numeración egipcio los siguientes números. 74 ____________ 139 ____________ 1 075 ____________ 307 876 ____________

5

¿Cuál de los siguientes números es el mayor? Enciérrenlo.

o

6

Intenten hacer en su cuaderno la multiplicación 27  87 con símbolos egipcios y comenten las ventajas o desventajas al realizarla.

7

¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración egipcio al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo basándose en ejemplos.

Sistema de numeración babilónico Fue la civilización sumeria la que inventó y utilizó un sistema de numeración sexagesimal, el ejemplo más antiguo que se conoce de una numeración en la que se utiliza el valor posicional.

16

8

¿Qué entienden por valor posicional? Coméntenlo con sus compañeros de equipo.

9

Lean con cuidado el texto de la página siguiente y discútanlo en equipo.

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Para su sistema de numeración posicional los babilonios utilizaban dos símbolos, una cuña y un gancho. A este tipo de escritura se le denomina cuneiforme. La cuña ( ) representaba unidades y el gancho ( ) múltiplos de diez, como se muestra a continuación.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

30

50

60

80

130

Nota: observa que el 1 y el 60 se escribían igual. Hacía falta la invención del cero para denotar un grupo de 60 y 0 unidades; más tarde se haría, en el periodo seléucida.

Numerales en la escritura cuneiforme de los acadios.

Este sistema posicional consistía en que los valores de los símbolos cuneiformes se multiplicaban por potencias de 60, de derecha a izquierda, empezando por las unidades e incrementando el exponente de la potencia de base 60. Durante el periodo de los babilonios conocido como seléucida, que va del siglo III a. n. e. hasta el inicio de nuestra era, se introdujo un símbolo para denotar que en un lugar no había un determinado valor de posición. Así, por ejemplo, los números 3609 y 86 425 se representaban como se muestra en la figura siguiente. Grupos de 3 600

Grupos de 60

Unidades sueltas

(1  602)  (0  60)  9

Grupos de 3 600

Grupos de 60

Unidades sueltas

(24  602)  (0  60)  25

Entonces, la notación del sistema de numeración babilónico era posicional, de base sexagesimal, y en el periodo seléucida se utilizaba un símbolo para indicar la ausencia de número en medio de los demás símbolos y nunca como último. En esta primera oportunidad el cero no tiene la entidad de número, sino simplemente de un signo arbitrario para indicar la ausencia de cantidad de un orden determinado.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

17

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

10

11

Escriban con notación del sistema de numeración babilónico los siguientes números: 147 __________________________

1 500 __________________________

269 __________________________

3 601 __________________________

¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración babilónico al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo en su cuaderno basándose en ejemplos.

Sistema de numeración romano Lo que conocemos como numerales romanos, en realidad fueron inventados por otras culturas siglos antes de que la civilización romana existiera. Según se muestra a continuación, pareciera que los numerales romanos se modelaron con base en letras del abecedario latino. No se tiene reportado que hayan conceptualizado el número cero ni una representación para este número. I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1 000

Las inscripciones conocidas más antiguas en las que aparecen estos numerales datan del siglo i a. n. e.

Los numerales romanos se escriben de izquierda a derecha uno junto al otro, primero los de mayor valor y luego los de menor valor. Los símbolos I, X, C y M se pueden escribir a lo más tres veces consecutivamente, y no está permitido repetir los símbolos V, L y D. 12

El número 278 se representa así CCLXXVIII. ¿Por qué?

¿Qué número representa MMDCLXXXVI?__________ Como habrán observado, los numerales romanos siguen una notación aditiva. Además, los romanos ampliaron este sistema bajo la regla de que si un símbolo se anota a la izquierda de otro símbolo de mayor valor numérico, el valor del primero se tiene que restar del valor del segundo. Esto es, su notación también es sustractiva. 13

Completen las equivalencias. IV  5  1  4 IX  10  1  9 XL  50  10  XC  100  10  CD  CM 

18

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Ante la necesidad de tener que representar cantidades grandes, se introdujo en el sistema de numeración romano una barra horizontal sobre los símbolos para representar 1 000 veces el valor del número (esta barra horizontal, igual que los demás símbolos, se puede repetir en un mismo numeral hasta tres veces). Esto es, su notación también es multiplicativa. 14

El numeral romano V es igual a 5 000. ¿Por qué?

15

¿Qué número representa IX?

16

Escriban en el sistema decimal los siguientes numerales romanos. CCLXII ___________________________________________________________________________ MXXIV ____________________________________________________________________________ MCMXC __________________________________________________________________________ CDCLIX __________________________________________________________________________ DVIIICMLXVI _____________________________________________________________________

17

Representen con numerales romanos los siguientes números. 59 _______________________________________________________________________________ 379 ______________________________________________________________________________ 1 998 _____________________________________________________________________________ 345 273 ____________________________________________________________________________ 7 985 799 __________________________________________________________________________

18

Intenten hacer la siguiente suma con numerales romanos y comenten las ventajas o dificultades para realizarla. CCXXXII 

CDXIII

 MCCXXXI  19

 MDCCCLII _____________

¿Qué ventajas y desventajas identifican en el sistema de numeración romano al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Pueden explicarlo basándose en ejemplos.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

19

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Lección 4 1

Trabaja en equipo

Lean con cuidado el siguiente texto y discútanlo en equipo. Luego resuelvan las actividades que vienen a continuación.

Uno de los dos sistemas de numeración mayas En su sistema de numeración, los mayas agrupaban de cinco en cinco hasta veinte, de veinte en veinte hasta cien, de cien en cien hasta cuatrocientos, de cuatrocientos en cuatrocientos hasta ocho mil. Así, sus cuentas conceptualmente se podían extender indefinidamente: continuaban luego contando veinte veces ocho mil, nuevamente veinte veces ciento sesenta mil, etc. Basaban sus cuentas en el número de dedos de las manos y de los pies; es decir, su sistema era vigesimal; además, era posicional. El valor posicional de sus numerales era vertical, “como crecen las plantas”. A continuación se muestra el valor posicional vertical y los nombres posicionales del sistema común de contar de los mayas.

Algunos autores mencionan que el sistema numérico de los mayas es irregular. En el tercer nivel el número es 360 y no 400 porque el año maya tenía 360 días.

1 280 000 000  207: hablat 64 000 000  206: alau 3 200 000  205: kinchil 160 000  204: calab 8 000  203: pic 400  202: bak 20 : kal 1 : hun

Los números mayas se construyen a partir de veinte numerales, los cuales a su vez se forman con únicamente tres símbolos básicos: un punto, una barra horizontal y una concha o caracol.

1

20

Matemáticas 1

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

0

BLOQUE 1

El 1 se representaba con un punto; dos, tres y cuatro puntos servían respectivamente para representar el 2, el 3 y el 4; el 5 era una 1  20  20 raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 o 9; para el 10 se usaban dos rayas y para el 15 5 tres rayas. El número 25, por ejemplo, se escribe como se muestra a la derecha: En el sistema de numeración vigesimal de los mayas sobresale la creación social del concepto de cero y de un símbolo para representarlo. Es posible que haya sido la primera civilización en el mundo entero en utilizar el concepto de cero en su notación posicional.

Para algunos autores este número representa a 360 y no 400.

20

2

21

41

61

122

400

401

8 000

Representen en el sistema maya los siguientes números. Consideren dos casos: uno cuando el sistema es de base 20 en todas sus posiciones y el otro caso cuando la tercera posición es 360 y no 400.

27 

306 

2 006 

48 003 

169 

6 927 

2 420 

1 000 000 

Comenten sobre las consecuencias que puede tener un sistema de numeración con una irregularidad, como en este segundo caso. 3

Intenten hacer la siguiente operación en el sistema maya y comenten las ventajas o dificultades para realizarla.



4



¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración maya al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Expliquen en su cuaderno.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

21

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

5

¿Saben cómo era el sistema de numeración azteca y que aún se usa en su forma hablada en algunos lugares? Lean con atención el siguiente texto y discútanlo en equipo.

El sistema de numeración azteca El sistema de numeración azteca es sencillo. El número cinco (macuilli) se representa con el signo jeroglífico que es la mano del hombre. Es aditivo; por ejemplo, el seis (chicuace) es cinco (chicua es “mano” o “cinco dedos”) más uno (ce). Diez en náhuatl, el idioma de los aztecas, se dice matlactli; quince, caxtolli, y veinte, cempohualli. Por ejemplo, catorce es matlactli (diez) on (y) nahui (cuatro), esto es, matlactlionnahui. Pohualli es “cuenta”, por lo que cempohualli es una cuenta de los dedos de las manos y los pies: 20. Así que el sistema de numeración náhuatl es vigesimal, o sea, su base es 20 aunque con irregularidades como es el hecho de que 80 tiene un símbolo propio. Un rasgo característico de este sistema de numeración es que es partitivo, lo cual consiste en que la mitad de un símbolo numérico representa la mitad de su valor, y la cuarta parte del símbolo, la cuarta parte de su valor numérico. En la figura siguiente se muestran los símbolos que usaban los aztecas para representar números.

1

5

10

15

20

80

400

8 000

Principio aditivo en la notación numérica de los aztecas

Principio partitivo en la notación numérica de los aztecas

6

22

Escriban en nuestro sistema decimal actual los siguientes números expresados en notación azteca.

Matemáticas 1

BLOQUE 1

7

Escriban en notación azteca los siguientes números. 87 _____________________________________________________________ 436 ____________________________________________________________ 1999 ___________________________________________________________ 12507 __________________________________________________________

8

Intenten hacer en su cuaderno la resta 375 – 87 con símbolos de la notación numérica azteca y comenten las ventajas o dificultades al realizarla.

9

¿Qué ventajas o desventajas identifican en el sistema de numeración azteca al compararlo con nuestro sistema decimal de numeración? Explíquenlo en su cuaderno basándose en ejemplos.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 5

Trabaja individualmente

1

Localiza en un mapa de la República Mexicana las regiones donde se desarrollaron las culturas maya y azteca.

2

¿Conoces alguna otra cultura que se haya desarrollado en nuestro país con su propio sistema de numeración? _____ ¿Cuál? _____________________________________________________________________________________ ¿En qué región se desarrolló? ___________________________________________________________________

3

Consigue un mapa, pégalo en tu cuaderno y dibuja la ubicación de esa cultura. Anota cómo era su sistema de numeración.

4

Comenta nuevamente con tus compañeras y compañeros de clases tus hallazgos sobre cómo cuentan algunos grupos culturales de nuestro país y elabora una monografía sobre uno de esos grupos.

5

Elabora una monografía sobre el sistema de numeración romano y el babilónico. Resalta sus características y los usos que de ellos permanecen en la actualidad.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

23

Y tú, ¿qué opinas sobre los aportes de distintos grupos culturales para construir el actual sistema de numeración decimal? ¿Cómo ha influido en el mundo actual? 24

Matemáticas 1

1.2 Números fraccionarios y decimales Números fraccionarios y decimales en la recta numérica Conocimientos y habilidades Representarás números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

¿Qué sabemos de… números fraccionarios y decimales en la recta numérica? Lección 6 1

2

Trabaja en equipo

Los puntos rojos representan la distancia recorrida por 4 personas en un tramo de 1 km. Anoten la fracción de 1 km que corresponde a los puntos señalados. 1 km

0

1 km

km

0

1 km

km

0

1 km

km

Determinen cinco fracciones que estén entre las fracciones correspondientes a los puntos marcados. 0

1

0

3

km

0

2 2

3

1 2

7 12

¿Qué fracción se encuentra en el punto medio entre — y — ? _________________ ¿Cómo la encontraron? Comparen su respuesta con las de sus compañeros.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

25

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

3 4

7 10

4

¿Entre qué enteros consecutivos están las fracciones — y — ? ________________ ¿Cómo los encontraron?

5

En los siguientes ejemplos, ubiquen en una recta numérica cada par de cantidades expresadas en forma decimal. Trabajen en su cuaderno. a) Ayer, la temperatura máxima en Cuernavaca fue de 23.6° C y la de Cuautla de 23.5° C. b) En un maratón, un atleta logró recorrer 22.25 km y otro 22.20 km. c) El promedio de las calificaciones en la asignatura de matemáticas en un grupo es de 6.9 y en otro de 7.0.

6

En cada uno de los tres ejemplos anteriores, determinen en la recta numérica un tercer número decimal que se encuentre entre cada par dado de números decimales. Luego, expliquen a los compañeros de su grupo cómo lo lograron.

Para saber más de… números fraccionarios y decimales en la recta numérica

Lección 7

Trabaja en equipo

Las fracciones como punto en la recta numérica 1

Consigan un dominó de puntos. Si consideran que las fichas representan una fracción de la a forma — , con b diferente de cero y a menor o igual que b, b ¿cuál o cuáles fichas no representan una fracción? ________________________________________ ¿Por qué? __________________________________________________________________________ ¿Cuáles fichas representan una misma fracción? __________________________________________ ________________________________________________________________________________ Coloquen, de forma ordenada, las fichas en un segmento unidad. Por ejemplo las fichas y

,

las ubicarían en el punto medio del segmento unidad.

¿Por qué? _________________________________________________________________________

26

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Las fracciones numéricas también se pueden representar con puntos en una recta numérica. Para ello, se requiere primero asignar el 0 a un punto de la recta y determinar una unidad. Por ejemplo, U 0 0 5

1 5 5

6 5

2

6 1  1  ; por lo que es mayor que 1, lo cual se escribe así: 5 5 6 >1 5 6 10 Además, es menor que  2, lo cual se escribe así: 5 5 6 6 <2 o 2> 5 5 6 6 Luego, el hecho de que la fracción sea mayor que 1 y menor que 2, esto es, que esté entre los 5 5 números enteros 1 y 2, se puede escribir así: 1<

2

6 6 <2 o 2> >1 5 5

Recorten una tira de papel y considérenla como una unidad. ¿Cómo hacen para representar 13 usando esta tira de papel varias veces? 4 ¿Entre qué números enteros consecutivos se encuentra la fracción 13 ? 4 Expliquen a sus compañeros cómo lo hicieron.

3

4

En la siguiente recta numérica representen la fracción 13 y escriban con símbolos matemáticos entre qué números enteros consecutivos se encuentra. 4

Escriban las fracciones correspondientes (en tercios o cuartos) a los puntos marcados en la figura siguiente.

0 0 2 0 3 0 4 EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

1 1 2 1 3 1 4 Matemáticas 1

27

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

5

1 1 Determinen cinco fracciones que estén entre – y – y que dividan este segmento en secciones iguales. 3 4 Luego expliquen cómo las determinaron.

Comparación de fracciones Dadas dos fracciones, se puede determinar si son equivalentes o si una es mayor que la otra. Si dos fracciones dadas tienen igual denominador, es muy fácil determinar cuál es la mayor. 6 7

¿Cómo hacerlo? Expliquen en su equipo. 2 3 María caminó km y Julia km. ¿Quién caminó más? _______________ ¿Cómo lo supieron? Arturo 3 4 menciona que si las dos fracciones dadas tienen distinto denominador, para compararlas conviene determinar fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. ¿Es correcto o incorrecto el procedimiento de Arturo? _________________ Tenemos que 2 24 8 3 33 9  y    3 3  4 12 4 4  3 12

2 Localicen estas dos fracciones en la recta numérica del ejercicio 4. Compárenlas. ¿ es mayor o es 3 3 menor que ? _______________ 4 8

El papel cuadriculado es muy útil para representar números en una recta numérica, pues permite elegir una unidad adecuada y ubicar partes de la unidad sin necesidad de plegar el papel o usar una 3 7 regla graduada. ¿Cómo convendría dividir la unidad para representar y en una recta numérica? 4 10 Expliquen.

0 1 1 20 10

9

1 4

1

7 3 10 4 14 15 20 20

Sin utilizar la recta numérica, ¿podrían establecer qué relación hay entre las siguientes fracciones? 3 — 5

4 — 7

17 — 10

7 — 4

5 — 6

7 — 9

¿Qué procedimiento siguieron? 10

Lean con cuidado el siguiente texto y discútanlo en equipo. Luego contesten la pregunta 11.

Un procedimiento para establecer la relación entre dos fracciones dadas, según vimos antes, consiste en convertirlas a fracciones equivalentes con un mismo denominador. Otro procedimiento consiste en obtener el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

28

Matemáticas 1

BLOQUE 1

7

8

— y — , como Por ejemplo, dadas 11 12 8 — 12

7 — 11 7

7  12  84 y 11  8  88

8

— es menor que — ya que 84 es menor que 88. Esto es, a partir de que Se tiene que 11 12 7

8

—<— 7  12  84 < 11  8  88 se concluye que 11 12 Otro procedimiento consiste en expresar las fracciones dadas en notación decimal. Por ejemplo, 3 75 7 3  25 —  ———  ——  0.75 y —  0.7 4 100 10 4  25 3 4

7 10

Como 0.75 > 0.70, se tiene que — > — . Como habrás observado en este ejemplo, una fracción cuyo denominador es una potencia de 7 10

10 se puede representar usando el punto decimal. Así, — , siete décimos, se representa anotando 75 100

el 7 después del punto decimal, 0.7; y ——, setenta y cinco centésimos, se representa como 0.75. Después del punto decimal, el primer lugar corresponde a los décimos; el segundo, a los centésimos; el tercero, a los milésimos; luego los diezmilésimos, cienmilésimos, millonésimos, etcétera. 7 8 11 12

Si utilizamos este mismo procedimiento para comparar las fracciones — y — , tenemos que 7 —  0.6363636363… 11 7

y

8 —  0.6666666666… . 12

8

— < —. Así que 11 12

Cuando al expresar un número en notación decimal después del punto decimal aparece un periodo de cifras que se repiten, en lugar de los puntos suspensivos, se acostumbra denotarlas con una barra horizontal sobre las cifras que se repiten indefinidamente. Así, 7 —  0.— 63 11

11

y

8 —  0.– 6 12

¿Cómo comparan ustedes dos fracciones? ¿Cuál de estas distintas formas de comparar fracciones les parece la mejor? ¿Por qué? Coméntenlo en equipo.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

29

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Para saber más de… números fraccionarios y decimales en la recta numérica

Lección 8

Trabaja en equipo

Números decimales en la recta numérica 1

Ubiquen los números 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,…; 0.9 en la recta numérica auxiliándose del papel milimétrico.

0 0.01 0.02

0.1

0.2

1

Ubiquen los números 0.01, 0.02, ..., 0.09 en la recta numérica de arriba. 2

Ubiquen los números 0.001, 0.002, 0.003, …, 0.009 en la recta numérica de arriba. ¿Cómo lo hicieron?

3

Representen el número 2.7 en la siguiente recta numérica. ¿Entre qué enteros consecutivos se encuentra?

4

Anoten los números que corresponden a los puntos marcados en la recta numérica siguiente y localicen el número 3.21 en ella.

3

4

¿Cómo harían para representar el número 3.211? Coméntenlo en equipo. 5

Representen el número 3.75 en la siguiente recta numérica. ¿Entre qué enteros consecutivos se encuentra?______________________

3.7

30

Matemáticas 1

3.8

BLOQUE 1

6

Anoten los números que corresponden a los puntos marcados en la recta numérica siguiente y localicen el número 1.25 en ella.

1

7

2

En la primera vuelta de una carrera de Fórmula 1, las posiciones de seis automóviles son las que se muestran en la siguiente tabla. Representen los números decimales correspondientes en las rectas numéricas. Núm. de auto

Posición

1

3 — vuelta 4

2

2 — vuelta 3

3

3 — vuelta 5

4

2 — vuelta 5

5

4 — vuelta 6

6

1 — vuelta 3

Auto 1 Auto 2 Auto 3 Auto 4 Auto 5 Auto 6

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

¿Quiénes ocupaban los tres primeros lugares? _______________________________________ 8

Lean con atención el siguiente texto y discutan en equipo cuándo un decimal es periódico. Luego resuelvan el problema 9.

Al hacer la división del numerador de una fracción entre su denominador, se obtiene la expresión de la fracción en notación decimal o, simplemente dicho, un número decimal, el cual consta de dos partes separadas por un punto decimal. La parte a la izquierda del punto decimal es la parte entera del número y la de la derecha es su parte o fracción decimal propia. Por ejemplo, 2 4   0.4, 5 10

tiene 0 unidades enteras y 4 décimos;

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

31

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

33 165   1.65, 20 100

tiene 1 entero y 65 centésimos (6 décimos y 5 centésimos). Es posible que al hacer la división del numerador entre el denominador de una fracción se obtenga un cociente exacto (siendo el residuo igual a cero), o bien puede ocurrir que se obtenga como cociente de la división un número en el que se repita indefinidamente un grupo o periodo de cifras. Los números de este segundo tipo se llaman decimales periódicos. 3 Como ejemplo del primer caso, tenemos, para , que 5

0.6 5 3.0

3 5

Así,  0.6 2 3

Como ejemplo del segundo caso, tenemos, para , que 0.6666... 3 2.0 20 20 20

0.6 3 2.0

– 2 Así,  0.6 3

Por otra parte, dado un número decimal que no sea periódico, para expresarlo como fracción (con numerador y denominador) sólo se escribe como numerador el mismo número dado pero sin el punto decimal y como denominador el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga después del punto decimal el número dado. Por ejemplo, 7.5 

9

75 10

y 0.87  87

100

1 2 y y ubíquenlos en la siguiente Escriban tres números decimales que se encuentren entre 3 3 recta numérica.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. 32

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Por tu cuenta Lección 9 1

Trabaja individualmente

Completa la siguiente tabla y describe el procedimiento que seguiste. Número menor

Números entre ambos

Número mayor

3 5

32 5  53 8

2 3

3 5

35 8  5  8 13

5 8

3 5

8 13

Procedimiento: _____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2

Ubica las fracciones anteriores en la siguiente recta numérica.

0.61

0.62

0.63

0.64

0.6

0.65 0.666

¿Hacia cuál punto se concentran?

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

33

De acuerdo con la historie ta, ¿es cierto que sie te décimos de me tro se 3 3 encuentran entre y de me tro? ¿Qué otras fracciones cumplen esta 5 4 condición? ¿Cómo crees que Mar y pudo resolverlo? 34

Matemáticas 1

1.3 Patrones y fórmulas Sucesiones y expresiones generales Conocimientos y habilidades Construirás sucesiones de números a partir de una regla dada y determinarás expresiones generales que definan reglas para formar sucesiones numéricas y figurativas.

¿Qué sabemos de… sucesiones y expresiones generales? Lección 10

Trabaja en equipo

En esta figura se muestran nueve gimnastas colocados formando un cuadrado. En el piso se tienen marcas semejantes a las letras L. En la región entre la segunda y la tercera L hay cinco gimnastas, y la cantidad de gimnastas hasta la tercera letra L es de nueve.

1

En el siguiente dibujo aparece un cuadro formado con más gimnastas. Consideren la disposición de los gim- 6a nastas y contesten las siguientes preguntas.

3a

2a

1a

1359 5a

4a

3a

2a

1a

¿Cuántos gimnastas hay entre la tercera y la cuarta L? __________________________________ ¿Y entre la cuarta y la quinta? ________ ¿Y entre la quinta y la sexta? ________ ¿Observan alguna particularidad en los números que han encontrado? ¿Cuál? __________________________________ __________________________________ Si han determinado alguna particularidad, ¿se cumple ésta para los gimnastas comprendidos por dos letras L? __________________________________ EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

35

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

2

¿Cuántos gimnastas hay en total hasta la cuarta letra L? ________ ¿Y hasta la quinta L? ________

¿Y hasta la sexta? ________

¿Observan alguna particularidad en los números que han encontrado? ¿Cuál? Si han determinado alguna particularidad, ¿se cumple ésta para el total de gimnastas encerrados por las otras letras L? ________ 3

¿Podrían determinar sin necesidad de hacer algún dibujo o diagrama cuántos gimnastas hay entre la letra L número 24 y la 25? ________ ¿Cuántos gimnastas hay en total hasta la letra L número 25? ________

4

Describan cómo se puede calcular cuántos gimnastas hay hasta una letra L sea cual fuere el número de ésta.

Para saber más de… sucesiones y expresiones generales Lección 11 1

Trabaja en equipo

Observen cómo están colocados los siguientes grupos de puntos y contesten.

Primer término

Segundo término

Tercer término

Cuarto término

¿Qué patrón numérico identifican en estos dibujos? ¿Por qué piensan que es así? Agreguen un término más a esta sucesión. ¿Cuántos puntos tendrá? ¿Cómo describirían el procedimiento utilizado? Anótenlo en su cuaderno.

36

Matemáticas 1

BLOQUE 1

¿Existe un único procedimiento o hay varios? Descríbanlo(s).

¿Cuál es la regla que sigue este patrón? Descríbanla. Si tuvieron dificultades para contestar las preguntas anteriores, seguramente las siguientes actividades les ayudarán a responderlas. 2

Representen en una tabla los valores numéricos que corresponden a los términos de la sucesión (para ello, conviene construir una tabla de dos filas). En la primera fila de la tabla anoten el número correspondiente al orden del término en la sucesión, y en la segunda el valor de ese término. Así, se tiene la siguiente tabla. Complétenla.

Orden del término

1

2

3

4

Número de puntos

3

7

11

15

5

6

7

8

9

10

¿Cuántos puntos le corresponden al término 20? ¿Cómo lo calcularon? ¿Cuántos puntos le corresponden al término 50? ¿Cómo lo calcularon? ¿Qué operaciones deben hacer para calcular el número de puntos que corresponden al término 100?

Si a un término le corresponde el número n, ¿cómo expresarían el número de puntos que le corresponde? 3

A partir de la tabla anterior, ¿cuál de las siguientes reglas genera la secuencia anterior al sustituir los números 1, 2, 3, 4, 5,… en la expresión que escogieron? 3n

4n – 1

4n + 3

Expliquen cómo pueden obtener la secuencia 3, 7, 11, 15,… a partir de la expresión que escogieron. Comparen, en equipo, los distintos procedimientos que siguieron los otros equipos. Como habrán notado, hay varias relaciones que pueden describir determinado patrón. 4

Una manera de expresar una secuencia es con ayuda de la letra n. Así por ejemplo para expresar la secuencia de números pares: 2, 4, 6, 8,… es 2n, donde n representa los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,… ¿Cómo expresan la secuencia de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9,…? ____________________ La determinación de una ley general para resolver este tipo de problemas permite proponer un procedimiento alterno más sencillo. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado y no apresurarse: por

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

37

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

ejemplo, sabiendo que 3 es un número primo, 5 es un número primo, 7 es un número primo, se podría afirmar que 9 es un número primo. Sin embargo, 9  3  3 y por lo tanto 9 no es primo. 5

¿Pueden dar otro ejemplo en donde se haga una aseveración general de manera incorrecta?

6

En la siguiente figura se muestran arreglos de puntos en forma triangular. Al contar la cantidad de puntos en el perímetro de cada triángulo, vemos que sucesivamente hay 3, 6, 9, etcétera, puntos en el perímetro de cada uno; es decir, sin contar los puntos interiores. ¿Cuántos puntos tendrá el perímetro del vigésimo triángulo?_________________________ ¿Cuántos tendrá el quincuagésimo triángulo?_________ ________________

7

8

9

Traten de plantear una fórmula que sirva para calcular el valor de cualquier arreglo triangular como los anteriores. Es decir, dado el número ordinal que corresponda a un arreglo triangular, el primero, el segundo, …, el décimo, …, el centésimo, …, y, en general, el n-ésimo, calculen mediante la fórmula que planteen cuál es el valor de ese arreglo triangular. Esto es, el primero es 3, el segundo es 6, …,

el décimo es 30,

…,

el n-ésimo es

…,

Arreglo triangular

1

2

3

10

100

Puntos en el perímetro (sin considerar los puntos interiores)

3

6

9

30

300

1000

n

Escriban la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones. a) 3, 8, 13, 18, 23, 28

Regla: ________________________________________________

b) 7, 11, 15, 19, 23, 27

Regla: ________________________________________________

c) 8, 11, 14, 17, 20, 23

Regla: ________________________________________________

A continuación se describen reglas generales para generar sucesiones. Complétenlas. REGLAS 4n3:

7, 11,

3n2:

1, 4,

5n2: 7n1:

38

el centésimo es 300

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Por tu cuenta Lección 12 1

Trabaja individualmente

Observa el siguiente barandal hecho de varillas de fierro.

... ¿Cuántas varillas de fierro se necesitan para construir cuatro triángulos? __________ ¿Y cinco? __________ ¿Y diez? __________ 2

3

¿Qué se te ocurre hacer para determinar cuántas varillas de fierro se necesitan para construir 100 triángulos? (Trata de plantear una fórmula para hacer este cálculo fácilmente.) Número de triángulos

1

2

3

4

5

Número de varillas

3

5

7

9

11

6

7

8

9

10

Explica el procedimiento matemático que seguiste.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

39

¿Estás de acuerdo con la respuesta de Juan? ¿Cómo expresarías la regla general para esta sucesión de tape tes? ¿Te gustaría inventar otra sucesión de tape tes con cuadritos? 40

Matemáticas 1

1.4 Patrones y fórmulas Fórmulas geométricas Conocimientos y habilidades Explicarás en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

¿Qué sabemos de… fórmulas geométricas? Lección 13

Trabaja en equipo

Situación 1

8 cm

a) Si el lado de un cuadrado mide 8 cm, ¿cuánto miden su área y su perímetro? A = ____________ P = ____________ b) Si el lado de un cuadrado mide el doble que el del inciso a), ¿cuánto miden su área y su perímetro? A = ____________ P = ____________ c) Si el lado de un cuadrado mide la mitad de lo que mide el lado del cuadrado del inciso a), ¿cuánto miden su área y su perímetro? A = ____________ P = ____________ Situación 2

Un terreno rectangular que tiene 10 metros de ancho y 25 metros de largo, se cercará con tres vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercarlo? _____________ a) En caso de que se quisiera cercar el mismo terreno con cuatro vueltas de alambre, ¿cuántos metros de alambre se necesitarían? _____________ EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

41

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

b) Un agricultor desea comprar un terreno rectangular para sembrar hortalizas, y quiere cercarlo con dos vueltas de alambre. ¿Cuántos metros de alambre necesitaría para cada uno de los siguientes terrenos? Un terreno rectangular de 28 m de largo y 20 m de ancho _____________ Un terreno rectangular de 35 m de largo y 24 m de ancho _____________ Un terreno rectangular de 40 m de largo y 15 m de ancho _____________ c) Planteen una fórmula que permita calcular la cantidad de alambre en metros necesaria para cercar cualquiera de los terrenos según quiere hacerlo el agricultor del que se habla en el inciso b). d) Verifiquen la fórmula que plantearon en el inciso c) utilizando los datos de cada uno de los terrenos del inciso b). Situación 3

Observen la siguiente secuencia de figuras.

1

Para completar la siguiente tabla, consideren que el lado de cada triángulo equilátero tiene medida b. Polígono interior Triángulo equilátero

Perímetro del polígono interior

Perímetro de la figura

3b

6b

Cuadrado Pentágono regular Hexágono regular

42

2

De acuerdo con la tabla, determinen la relación que existe entre el perímetro del polígono interior (triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono, respectivamente) y el perímetro de la figura.

3

Planteen una expresión para calcular el perímetro de una figura como las del inciso 1, si el polígono interior es un octágono regular _______________________________

4

Planteen una expresión para calcular el perímetro de una figura como las del ejercicio 1, si el polígono interior es un decágono regular _______________________________

5

Si la expresión que representa el perímetro de la figura es 24b, ¿cuántos lados tiene el polígono interior? _______________________________

Matemáticas 1

BLOQUE 1

6

Completen la siguiente tabla si la medida del lado del triángulo equilátero es de 4 cm. Polígono interior

Perímetro del polígono interior

Perímetro de la figura

12 cm

24 cm

Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono regular Hexágono regular Octágono regular Decágono regular

Para saber más de… fórmulas geométricas Lección 14 1

Trabaja en pareja

Calculen el perímetro de cada una de las siguientes figuras.

y a

d

c

a

d

c

x

y x

x

b

P

y

y x

P

P

A un segmento de línea recta que va de un vértice a otro no consecutivo de un polígono se le denomina diagonal. Así, al trazar una diagonal de un rectángulo, éste queda dividido en dos triángulos. A este tipo de triángulos se les llama triángulos rectángulos, pues se obtienen a partir de un rectángulo. Luego, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.

c

b a

f

e d

h

i g

El perímetro (P ) de un triángulo es la suma de las medidas de sus tres lados. 2

Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un triángulo culquiera cuyos lados son a, b, c: P  __________________________________

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

43

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

3

¿Cómo se puede calcular el perímetro de un triángulo que tenga todos sus lados iguales a x? Escriban una fórmula para calcular el perímetro de este triángulo.

4

Un octágono regular es un polígono de ocho lados iguales y ocho ángulos iguales. Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un octágono regular.

l P  __________________________________ 5

Establezcan una fórmula para calcular el perímetro de un hexágono regular. P  ______________________________________________________________________________

Perímetros y áreas El perímetro (P ) de una figura cerrada en un plano es la medida de la longitud de su contorno, y su área (A) es la extensión de la superficie que limita en el plano en que se encuentra. 6

El perímetro de una cierta figura se calcula sumando las medidas de sus cuatro lados. Si cada lado de la figura mide a, su perímetro es P  a  a  a  a, o bien P  4  a, o simplemente P  4a. ¿De qué figura se trata? ____________________________________________________________ ¿Las tres expresiones anteriores producen el mismo resultado?____________________________

7

El área de una cierta figura se calcula multiplicando la medida de un lado por sí misma. Si el lado mide a, su área es A  a  a, o bien A  a2. ¿De cuál figura se trata? ____________________________________________________________

8

Carlos afirma que el perímetro de una figura es P  2a  2b y Rosa afirma que es P  2(a  b). ¿De qué figura se trata? _______________________________ ¿Las dos expresiones anteriores producen el mismo resultado? ____________________________

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 44

Matemáticas 1

Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías tú, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular el períme tro y el áre a de una sección triangular? ¿Cuál sería la expresión general que las representa?

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

45

1.1 1.5 Movimientos en el plano Figuras simétricas Conocimientos y habilidades Construirás figuras simétricas respecto a un eje, analizarás y harás explícitas las propiedades que se conservan bajo simetría en figuras tales como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

¿Qué sabemos de… figuras simétricas? Lección 15

Trabaja en equipo

1

Tracen el eje o los ejes de simetría de las siguientes figuras.

2

Completen cada una de las siguientes figuras usando su eje de simetría. Eje de simetría

3

46

Las siguientes letras tienen ejes de simetría. Dibujen en su cuaderno otras figuras que tengan uno o varios ejes de simetría.

Matemáticas 1

BLOQUE 1

4

Construyan el  A’B’C’ simétrico del triángulo isósceles ABC con respecto al eje r y contesten las siguientes preguntas. C

B

A

r

¿Cómo son entre sí las longitudes de los siguientes pares de segmentos?

5

AB y A’B’ ___________________

BC y B ’C ’ ___________________

CA y C ’A’ ___________________

AC y A’C ’ ___________________

En los triángulos ABC y A’B’C’, midan con un transportador las amplitudes de los pares de ángulos A y A’, B y B’, C y C ’. ¿Cómo son?

6

De acuerdo con lo que realizaron en las actividades 4 y 5 enlisten en su cuaderno las propiedades que hayan descubierto.

7

Tracen la simétrica de cada una de las figuras siguientes. Observen la ubicación de los ejes de simetría correspondientes. Después midan las longitudes de los lados y de los ángulos de las figuras que hayan trazado. Finalmente completen la tabla de la siguiente página. A

r D

B

m

C B A

C

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

47

TEMA: TRANSFORMACIONES

p

B C

B

D

A

n

C

A D

Figura

Figura simétrica

Triángulo isósceles ABC

A’B’C’

Rombo ABCD

A’B’C’D’

Cuadrado ABCD

A’B’C’D’

Rectángulo ABCD

A’B’C’D’

¿Hay la misma distancia de dos puntos simétricos al eje de simetría?

¿Tienen la misma longitud los lados de la figura simétrica que los de la original?

¿Tienen la misma amplitud los ángulos de la figura simétrica que los de la original?

Para saber más de… figuras simétricas Lección 16 1

Trabaja en pareja

Realicen las siguientes actividades: a) Doblen una hoja de papel tamaño carta a la mitad por su largo; en el doblez anoten EJE DE SIMETRÍA. b) En una mitad de la hoja tracen un triángulo escaleno y denoten sus vértices como A, B y C respectivamente. Coloreen el interior del triángulo.

Eje de simetría

48

Matemáticas 1

BLOQUE 1

c) Doblen nuevamente la hoja por el EJE DE SIMETRÍA y con la punta de un lápiz perforen los vértices de modo que se marquen en la otra mitad de la hoja. A los puntos marcados en esta mitad de la hoja denótenles respectivamente como A, B y C, de modo que A corresponda al vértice A, B a B, y C a C.

d) Desdoblen la hoja y tracen el triángulo de vértices A, B y C.

e) Ahora con una regla tracen los segmentos rectilíneos, de preferencia con color rojo, que van del punto A al punto A, de B a B, y de C a C (cada uno de estos segmentos rectilíneos se denota como AA, BB y CC).

A las parejas de puntos A y A, B y B y C y C se les llama puntos simétricos respecto al EJE DE SIMETRÍA marcado por el doblez de la hoja, y se dice que los triángulos ABC y ABC son simétricos. (Se acostumbra usar el signo  para denotar el término “triángulo”. Así, el  ABC y el  ABC son simétricos.) EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

49

TEMA: TRANSFORMACIONES

2

Consideren esta ilustración para constestar las siguientes preguntas. eje A’

A

B

B’

C

C’

eje

¿Qué ángulos forman los segmentos rectilíneos AA, BB y CC con el eje de simetría? Denoten los puntos de intersección de AA, BB y CC con el eje de simetría como D, E y F respectivamente. Midan la distancia entre A y D y entre A y D. ¿Qué notan? Midan la distancia entre B y E y entre B y E. ¿Qué notan? Midan la distancia entre C y F y entre C y F. ¿Qué notan? Hagan una lista de las propiedades que se conservan al reflejar una figura con respecto a un eje de simetría.

3

Fíjense en las figuras y contesten en su cuaderno las preguntas que siguen. ¿Son simétricas F y F respecto a r? ¿Cómo pueden verificarlo? ¿Son simétricas G y G respecto a p? ¿Cómo pueden verificarlo? a)

b) r

G

F

P

G´ F´

50

Matemáticas 1

BLOQUE 1

4

¿Cuáles de las siguientes figuras son simétricas con respecto a la recta roja? ______________________ ¿Por qué? ________________________________________________________________________

a)

b)

Lección 17 1

c)

Trabaja en equipo

Realicen las siguientes actividades. Actividad 1 Ahora tracen la figura simétrica en el siguiente dibujo respecto al eje de simetría dado.

eje de simetría A

B

C

D G H E

F

¿Cuál es el punto de la figura ABCDEF más alejado del eje de simetría? _____________________ ¿Cuál es el punto de la figura A’B’C’D’E’F’ más alejado del eje de simetría? __________________ ¿Cuál es el punto de la figura ABCDEF más cercano al eje de simetría? ______________________ EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

51

TEMA: TRANSFORMACIONES

¿Cuál es el punto de la figura A’B’C’D’E’F’ más cercano al eje de simetría? ____________ ¿Es el lado AB paralelo al eje de simetría? ________________________________________ ¿Es el lado A’B’ paralelo al eje de simetría? ______________________________________ Se denomina perpendiculares a dos rectas que forman ángulo recto entre sí. ¿Qué lados de la figura ABCDEF son perpendiculares al eje de simetría? ¿Qué lados de la figura A’B’C’D’E’F’ son perpendiculares al eje de simetría?

Al reflejar la figura con respecto a un eje de simetría se conservan: Las medidas de sus lados y de sus ángulos. El paralelismo y perpendicularidad de sus lados. Actividad 2 En la siguiente figura está trazada la recta l y marcado un punto P exterior a ella. Sigan estos pasos para determinar el simétrico del punto P respecto a la recta dada l usando escuadra y compás.

l

P

a) Por el punto P, tracen una perpendicular m a la recta dada l.

m

l

P

A

52

Matemáticas 1

BLOQUE 1

b) Denoten con A al punto donde m y l se intersectan (este punto A se denomina pie de la perpendicular m). Luego prolonguen la recta m hacia el otro lado de l.

m

l

P

A

c) Con el compás, tracen una circunferencia con centro en A y radio AP. Denoten con P’ el otro punto de intersección de esta circunferencia con la recta trazada m. m

l

90

°

P

A P’

El punto P’ es el que se requería encontrar.

m

l

90

°

P

A P’

d) ¿Cómo sabemos que PA  AP’ en la figura anterior? Coméntenlo en su equipo.

La palabra “eje” proviene de la palabra latina axis; por eso, cuando se hace referencia a la simetría con respecto a un eje, simplemente se dice simetría axial. La actividad anterior nos ayudará a definir lo que es una simetría axial.

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

53

TEMA: TRANSFORMACIONES

Un punto P’ es el simétrico de P respecto a la recta l —o viceversa, P es el simétrico de P’ respecto a la recta l— si se cumplen las siguientes dos condiciones: el segmento rectilíneo PP’ es perpendicular a la recta l, y la longitud de PA es igual a la de AP’. Esto es, dos puntos P y P’ son simétricos con respecto a un eje l si el segmento rectilíneo PP’ es perpendicular a la recta l y su punto de intersección es el punto medio del segmento PP’. e) ¿Cuál es el simétrico de un punto L que esté en el eje de simetría l? __________________ Actividad 3 En la figura siguiente pueden darse cuenta de que la recta m no es eje de simetría de PQRS. ¿Por qué? P‘ m

m Q

P

Q

P

S‘

Q‘

S

R

R

S

R‘

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 18 1

Trabaja individualmente

Completa la simétrica de la siguiente figura, sabiendo que A’ es el simétrico de A. (Primero determina el eje de simetría.) A‘

A

54

Matemáticas 1

BLOQUE 1

4

I

Número de ejes de simetría que van de un lado a otro del polígono

II

Número de ejes de simetría que van de un vértice a un lado del polígono

III

Número de ejes de simetría que van de un vértice a otro del polígono

IV

Número total de ejes de simetría del polígono

6

7

8

9

10 Decágono

5 Pentágono

Cuadrado

LÍNEA

4 equilátero

Nombre del polígono regular

3 Triángulo

Número de lados del polígono regular

Nonágono

Traza los ejes de simetría de los siguientes polígonos regulares y luego completa la tabla de abajo.

Octágono

3

Heptágono

Describe el procedimiento que seguiste para trazar la figura simétrica, dada la figura y un punto simétrico de ésta.

Hexágono

2

¿Qué patrón de comportamiento has observado en cuanto al número de ejes de simetría de los polígonos regulares? Describe por escrito tus observaciones. Hazlo en tu cuaderno.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

55

¿A qué propiedades se refiere Lupe? ¿Qué propiedades se conser van bajo sime tría en figuras como triángulos isósceles, equiláteros y rombos, por ejemplo? 56

Matemáticas 1

1.6 Relaciones de proporcionalidad Proporcionalidad directa Conocimientos y habilidades Identificarás y resolverás situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

¿Qué sabemos de… proporcionalidad directa? Lección 19 1

2

Trabaja en equipo

Completen la siguiente tabla sabiendo que en un supermercado se venden paquetes de 12 huevos cada uno. Cantidad de paquetes

1

Cantidad de huevos

12

2

7 36

20

100

300

500

48

En un mercado se venden bolsas de 3 kg (kilogramos) de naranjas cada una. El dueño de un restaurante necesita 15 kg diarios para los desayunos que ofrece en su negocio. ¿Cuántas bolsas de naranjas tendrá que comprar en una semana? ______________ ¿Y en un mes? ______________ Completen la siguiente tabla. Cantidad de días

1

2

3

4

5

6

7

30

Cantidad de bolsas de naranjas

3

Para hacer crema de chocolate para 6 personas se necesitan 108 g (gramos) de chocolate, 6 cucharadas de azúcar, 4 yemas de huevo y 10 almendras, entre otros ingredientes. ¿Qué cantidad de cada ingrediente se necesita para preparar crema de chocolate para 9 personas? Chocolate: __________ Azúcar: __________ Huevo: __________ Almendra: __________

4

Si 6 L (litros) de leche cuestan $54.00, ¿cuánto cuestan 11 L de leche? ______________ ¿Cuánto cuesta 1 L de leche? ______________

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

57

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

¿Cuánto cuestan 3 L de leche? ¿Y 4 L? 5

La familia Macías va en un autobús rumbo a Acapulco a una velocidad constante de 90 km por hora. ¿Cuántos kilómetros recorre el autobús en 3 horas? ¿Y en media hora? ¿Y en 15 minutos?

6

Si un automóvil tarda 3 horas en recorrer 315 km, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas si continúa ¿Y en una hora? desplazándose a la misma velocidad?

Para saber más de… proporcionalidad directa Lección 20 1

Trabaja en equipo

María trata de explicar a su mamá cómo gastó el dinero en el supermercado. Si bien pagó $171.70 (redondeando $171.71), no sabe cómo se obtuvieron los tres primeros valores de esa suma, cantidades que están encerradas en el comprobante de pago. ¿Podrían ayudarle a María a dar su explicación?

El Porvenir

MUCHAS GRACIAS POR SU COMPRA

2 kg jamón de pavo

1 kg/48.00

96.00

0.500 kg queso panela

1 kg/36.00

18.00

0.250 kg queso amarillo

1 kg/80.00

20.00

medialuna po.

11.20

bollito de queso

10.90

SUBTTL

156.10

TOTAL

171.71

EFCTVO

200.00

CAMBIO

29.29

Completen lo siguiente. Si 1 kg de jamón de pavo cuesta $48.00, 2 kg cuestan: _____________________________________

58

Matemáticas 1

BLOQUE 1

1 Si 1 kg de queso panela cuesta $36.00, ¿cuánto cuestan 0.500 kg ( kg)? 2



1 Si 1 kg de queso amarillo cuesta $80.00, ¿cuánto cuestan 0.250 kg ( kg)? 4



En cuanto al jamón de pavo, se ha elaborado la siguiente tabla. Verifiquen las cantidades utilizando una calculadora.

3 48

Cantidad de jamón en kg

1

2

5

6

Precio en pesos ($)

48

96

240

288

0.500 0.250 0.125 24

12

4 48

6

Observen que hay un número que, si se multiplica por el número correspondiente a la cantidad de jamón, se obtiene como resultado la cantidad total de dinero que se tiene que pagar. Al duplicar, triplicar, reducir a la mitad, etc., la cantidad de jamón, se duplica, triplica, se reduce a la mitad, etc., el costo correspondiente. Diremos que la cantidad de jamón comprado y el precio pagado son directamente proporcionales. El número por el que se multiplica la cantidad de jamón recibe el nombre de factor constante de proporcionalidad. 2

Completen la siguiente tabla para calcular el costo de cierta cantidad de queso panela. Cantidad de queso panela en kg

0.125

0.250

0.500

1

2

3

4

5

Precio en pesos ($) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________ 3

Completen la siguiente tabla para calcular el costo de determinada cantidad de queso amarillo. Cantidad de queso amarillo en kg

1

¾

½

1/4

Precio en pesos ($) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________ Cualquiera que sea la cantidad de mercancía, el costo total puede obtenerse multiplicando dicha cantidad por el precio de una unidad, al cual llamaremos precio unitario. Cualquiera sea el costo de la mercancía, la cantidad de mercancía puede determinarse dividiendo dicho costo entre el precio unitario correspondiente. Por ejemplo, para encontrar la cantidad de queso amarillo comprado sabiendo que se pagaron $60 y que el precio unitario de 1 kg es $80 hacemos la división: 60 6 3 5 5 80 8 4 3 La cantidad de queso amarillo comprado fue de kg. 4 En nuestros ejemplos, el precio unitario respectivo es constante. Se le denomina constante de proporcionalidad. Para el caso del jamón de pavo, observen lo siguiente: Eje: Manejo de la información

Matemáticas 1

59

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

48 96 144 192 240 6     …  48. 1 2 3 4 5 0.125 Así, en este caso la constante de proporcionalidad es igual a 48. Éste es un procedimiento útil para decidir si una tabla corresponde o no a una proporcionalidad. 4

¿En cuáles de las siguientes tablas se tiene una proporcionalidad directa? Escriban SÍ o NO en la casilla correspondiente. Justifiquen la respuesta en su cuaderno. TABLA A

TABLA B

TABLA C

TABLA D

TABLA E

¿Se tiene una proporcionalidad directa? TABLA A Número de entradas

3

10

15

Precio en pesos ($)

37

125

187

28

TABLA B

TABLA C

Temperatura en grados Celsius

Edad en años

Altura en m

Hora del día

7

1.10

9:00

21

8

1.15

12:00

28

9

1.22

15:00

32

10

1.28

18:00

27

11

21:00

22

24:00

18

TABLA E

TABLA D Tiempo transcurrido en h

Distancia recorrida en km

Distancia real en km

1

120

40

1 13

2

240

180

6

3

360

450

15

3½

420

540

18

5

600

5¼

630 1020

60

Matemáticas 1

Distancia en el mapa en cm

21

BLOQUE 1

¿Cuál es la constante de proporcionalidad en las tablas anteriores que identificaron como proporcionales?

Veamos la siguiente tabla.

5

Cantidad de paletas

1

2

3

4

5

6

9

Precio en pesos ($)

8.50

17.00

25.50

34.00

42.50

51.00

76.50

Si de la primera línea suman el 2 y el 4, se obtiene que 2 1 4 5 6. En la segunda línea, al 2 corresponde 17.00 y al 4 corresponde 34.00. Al sumar los valores correspondientes, se tiene que 17.00 1 34.00 5 51.00. La cantidad 51.00 en la segunda línea corresponde al 6 en la primera, que fue el resultado de 2 1 4. Si restan 17.00 a 42.50, ¿qué obtienen? ____________ En la primera línea, a 17.00 corresponde 2 y a 42.50 corresponde 5. Al restar los valores correspondientes, se obtiene ____________. ¿Qué pueden concluir de la suma o resta? ____________ 6

Determinen cuánto se pagaría por 11 paletas utilizando el anterior procedimiento.

7

Determinen cuánto se pagaría por 17 paletas.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.





Por tu cuenta

Lección 21 1

Trabaja individualmente

De las siguientes parejas de magnitudes, ¿cuáles son directamente proporcionales? Utiliza tabulación para dar tu respuesta y subraya la correcta. a)  Lado (l) del cuadrado y su superficie (A). b)  Lado del cuadrado (l) y su perímetro (P). c)  Edad (años) y altura de las personas (cm). b)

a)

c)

l

l

Años

A

P

cm

Eje: Manejo de la información

Matemáticas 1

61

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

2

¿Cuáles de las siguientes tablas contienen datos que estén en proporción directa? Coloréalas. TABLA A

TABLA B

TABLA C

¿Se tiene una proporcionalidad directa? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

TABLA A A

1

2

3

4

5

B

7

14

21

28

35

L

4

8

12

16

20

S

36

72

108

144

176

T

1

2

3

4

5

E

100

200

300

400

500

TABLA B

TABLA C

3

Completa esta tabla sabiendo que los datos de una línea están en proporción directa con los de la otra línea. Distancia que recorre un autobús en km Tiempo que tarda en recorrer la distancia en h

4

45 km

450

495

½

1½

3

Describe dos ejemplos de cómo se utiliza la proporcionalidad directa en algunos ámbitos de tu comunidad. a) ____________________________________________________________________________________

b) ____________________________________________________________________________________

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 62

Matemáticas 1

¿Estás de acuerdo con la re spue sta de María? ¿Cuántos kilogramos de carne podrías comprar si el kilogramo costara 55?

$

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

63

1.7 Relaciones de proporcionalidad Reparto proporcional Conocimientos y habilidades Elaborarás y utilizarás procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

¿Qué sabemos de… reparto proporcional? Lección 22

Trabaja en equipo

Discutan en equipo cómo entienden los siguientes problemas. Diseñen un plan para resolverlos. Decidan cuál podría ser la mejor estrategia para resolverlos. Por último, comparen sus procedimientos y resultados con los de los demás equipos. 1

Tres amigos obtuvieron un premio de $1 200.00 en una rifa de su comunidad. Alberto colaboró con $2.00, Mónica aportó $3.00 y Javier cooperó con $5.00. ¿Cómo deben repartir el premio según lo que aportó cada uno? Alberto __________________ Mónica __________________ Javier ___________________

2

3

64

El señor Jiménez, dueño de una empresa, quiere repartir $8 700.00 en partes proporcionales entre cuatro de sus trabajadoras, de acuerdo con el tiempo que llevan laborando. Leticia lleva 8 años trabajando en la empresa; Olga, 12 años; Perla 9, y María 16. ¿Cuánto le corresponde a cada trabajadora? Leticia _______________

Perla _________________

Olga _________________

María _________________

Se van a repartir $19 500.00 entre tres personas de acuerdo con las siguientes condiciones: Juan debe recibir el doble de lo que reciba Judith y ella debe recibir el triple de lo que reciba Carlos. ¿Cuánto recibirá cada uno? Juan __________________ Judith _________________ Carlos ________________

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Nota:

Consideren que si la cantidad a repartir fuera igual para todos, para que el reparto fuera justo bastaría dividir entre el número de personas. Como no es la misma cantidad, una manera de lograr que el reparto sea justo es que las cantidades que se dan sean proporcionales a lo que aportó cada uno; es decir, si una persona aportó el doble, el triple o n veces más que otro, entonces es justo que reciba una cantidad que sea ese número de veces mayor que la cantidad del otro.

Para saber más de… reparto proporcional Lección 23 1

Trabaja en pareja

Pepe planteó a Juan el siguiente problema. “Tres telefonistas van a recibir $60 000.00 en partes directamente proporcionales al tiempo que llevan trabajando en una empresa. ¿Cuánto recibirá cada uno de ellos si el de más antigüedad lleva 21 años, el segundo 20 y el tercero 19?” Juan lo resolvió de la siguiente manera:

Sumó el número de años que llevan trabajando los tres trabajadores. 21 años  20 años  19 años  60 años Por tanto, los $60 000.00 deben repartirse con base en un total de 60 años. Y luego dividió los $60 000.00 entre el número total de años. 60 000  1000 60 Y concluyó que a cada telefonista le corresponden $1 000.00 por cada año trabajado. Por lo que multiplicando el número de años que cada telefonista lleva laborando en la empresa por la cantidad de dinero correspondiente a un año, obtuvo que: 21  1 000  21 000 20  1 000  20 000 19  1 000  19 000

¿Qué opinan del procedimiento que utilizó Juan? ¿Habría algún otro procedimiento?

¿Cuál?

¿Ha resuelto el problema correctamente o lo ha hecho incorrectamente?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

65

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Resuelvan los siguientes problemas: 2

Tres hermanos quieren comprar un terreno de 6 000 m2 para sembrar árboles frutales. El terreno les cuesta $400 000.00. Uno de los hermanos se quiere quedar con 1 500 m2, el segundo con 2 000 m2 y el tercero con 2 500 m2. ¿Cuánto debe aportar proporcionalmente cada hermano? Hermano 1: _______________________________ Hermano 2: _______________________________ Hermano 3: _______________________________

3

Supongan ahora que el primer hermano quiere quedarse con una quinta parte del terreno y los otros dos hermanos se reparten el resto en partes iguales. ¿Qué cantidad debe aportar cada uno para comprar el terreno? Hermano 1: _______________________________ Hermano 2: _______________________________ Hermano 3: _______________________________

66

Matemáticas 1

BLOQUE 1

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 24 1

Trabaja individualmente

Investiga cómo han resuelto el problema de reparto proporcional en tu comunidad o bien plantea un problema en el que hayas resuelto un problema de reparto proporcional y descríbelo aquí.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

67

¿Estás de acuerdo con la solución que dimos? ¿Cómo resolverías tú este problema?

68

Matemáticas 1

1. 8 Diagramas y tablas Problemas de conteo Conocimientos y habilidades Resolverás problemas de conteo utilizando diversos recursos, como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

¿Qué sabemos de… problemas de conteo? Lección 25

Trabaja en equipo

1

¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse cuatro personas en cuatro sillas?

2

¿Cuántos saludos ocurren entre seis amigos si todos se saludan entre sí? Si intervienen siete amigos en lugar de seis, ¿cuántos saludos habrá en total? ¿Y si son ocho? Expliquen brevemente cómo resolvieron estos problemas:

3

Cuatro amigos van al cine y todos quieren sentarse en una misma fila. ¿De cuántas formas pueden hacerlo si dos de ellos no quieren sentarse juntos?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

69

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

4

De nueve candidatos se quiere elegir al presidente y al secretario de la sociedad de alumnos. Cada uno puede ser presidente o secretario, pero no ocupar ambos cargos a la vez. ¿Cuántas parejas diferentes podríamos formar?

Para saber más de… problemas de conteo Lección 26

Trabaja individualmente

Imagina que para vestirte cuentas con 4 pantalones y 3 camisas, ¿de cuántas maneras distintas podrías vestirte? 1

Para resolverlo, Pepe se apoyó en el siguiente diagrama:

PANTALÓN 1 Camisa 1

Camisa 2

PANTALÓN 3 Camisa 3

Camisa 1

PANTALÓN 2 Camisa 1

Camisa 2

Camisa 2

Camisa 3

PANTALÓN 4 Camisa 3

Camisa 1

Camisa 2

Camisa 3

a) Entonces, ¿cuántas combinaciones puedes realizar?__________ b) ¿Cómo lo hubieras resuelto tú? Coméntalo con tus compañeros. 2

70

Imagina que ahora cuentas con 7 pantalones y 9 camisas. ¿Podrías hacer un diagrama como el que hizo Pepe o emplearías otro procedimiento? Coméntalo con tus compañeros.

Matemáticas 1

BLOQUE 1

3

4

Determina cuántos números de dos cifras, sin repetición de cifras, pueden escribirse con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. Luego determina cuántos de esos números cumplen las siguientes condiciones: Empiezan con 1

Son pares

Terminan en 5

Son múltiplos de 5

Empiezan con 1 y terminan en 5

Son mayores que 30

Determina cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra AMOR, sin repetición de letras, aunque éstas no tengan significado en español. Luego determina cuántas de esas palabras cumplen las siguientes condiciones. Terminan en A

Empiezan con vocal

Empiezan con M

Tienen vocal y consonante alternadas

Empiezan con R y terminan en A Si te sirve de algo, apóyate en el siguiente diagrama:

M A

O

R

O R

5

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7? ___________

6

Cinco jueces de clavados disponen de una cartulina que tiene un 1 en un lado y un 0 en el otro. ¿Cuántas combinaciones de ceros y unos pueden hacer los cinco jueces? ____________________

El método de tabulación también puede ayudarlos a identificar alguna regularidad en los procedimientos de resolución del tipo de problemas de combinaciones de dos en dos, y así lograr plantear generalizaciones. Por ejemplo, si se quiere contar el total de saludos de tres amigos que se saludan entre sí en una reunión, hagamos lo siguiente. Llamemos A, B y C a cada uno de los amigos que se saludan entre sí, y formemos una tabla en la que aparezcan todas las parejas posibles de las letras A, B y C, aunque se repitan.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

A

B

C

A

AA

AB

AC

B

BA

BB

BC

C

CA

CB

CC

Matemáticas 1

71

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Nota lo siguiente: Las parejas AA, BB y CC no cuentan como saludo (no se considera que alguien se salude a sí mismo). Cada pareja de dos letras, como AB, sí representan un saludo, aunque como saludo es la misma que BA. Así que los pares de las mismas letras en distinto orden cuentan como un solo saludo. Luego, los saludos posibles son AB, AC y BC. Esto es, hay tres saludos entre tres personas.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 27

Trabaja individualmente

1

Determina cuántos saludos ocurren entre el siguiente número de personas si todas se saludan una a la otra: 5, 6, 7 y 8. Generaliza tus resultados para cualquier número n de personas.

2

Investiga cómo se organiza un torneo de baloncesto, voleibol o futbol en tu localidad y elabora un informe en tu cuaderno. Puedes mostrar el número de juegos con tablas o diagramas.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

72

Matemáticas 1

¿Estás de acuerdo con la respuesta de María? ¿Cuántas combinaciones se podrían hacer si Lupe tiene 3 pares de calce tas además de las prendas anteriores?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

73

Juguemos con el Sistema Binario de Numeración ¡Ahora es tiempo de divertirse con un truco muy sencillo! Sólo sigue las instrucciones. 1. Pide a uno de tus compañeros o compañeras que piense en un número del 1 al 15. 2. Después, muéstrale las siguientes cuatro columnas y pídele que señale aquellas columnas en las que

aparece el número que pensó.





1–9

2 - 10

4 - 12

8 - 12

3 – 11

3 - 11

5 - 13

9 - 13

5 – 13

6 - 14

6 - 14

10 - 14

7 – 15

7 - 15

7 - 15

11 - 15

Para adivinar el número sólo tendrás que sumar los números marcados en rojo de las columnas que señalan. 1–9

2 - 10

4 - 12

8 - 12

3 – 11

3 - 11

5 - 13

9 - 13

5 – 13

6 - 14

6 - 14

10 - 14

7 – 15

7 - 15

7 - 15

11 - 15

Ejemplo: si ha pensado en el número 7, deberá señalar las tres primeras columnas. Por tanto, si

sumas los tres números rojos correspondientes a esas columnas, tendrás 1 + 2 + 4 = 7.

¿Te gustaría elaborar tus propias tablas y adivinar números más grandes y explicar por qué funciona este truco? ¡Adelante con tu proyecto!

Construcción de los tableros Investiga en la biblioteca escolar, con tu profesor o en internet cómo construir 7 tableros para que puedas adivinar números entre 1 al 127. Nota: considera que el primer número de cada tablero es el resultado de elevar la base 2 a una potencia,

es decir: 20 = 1   21 = 2   22 = 4   23 = 8   24 = 16   25 = 32   26 = 64 . . . y así sucesivamente. Por ejemplo, el número 69 es la suma de 64, 4 y 1. Ello quiere decir que este número lo debes colocar en cualquier casilla de los tableros 1, 3 y 7. Un ejemplo más con el número 35. Este número es la suma de 32 + 2 + 1, lo que significa que debes colocar el 35 en los tableros 1, 2 y 6.

74

Continúa con este procedimiento hasta completar los siguientes siete tableros. TABLERO 1

TABLERO 2

1

2

TABLERO 3 4

69

69

35

35

TABLERO 4 8

TABLERO 5 16

TABLERO 6 32

35

Investiga cómo este juego se relaciona con el sistema de numeración binaria, semejante al sistema de numeración decimal, pero sólo utiliza dos símbolos (por ejemplo, 0 y 1) y presenta tus hallazgos en la Feria de las matemáticas. Por ejemplo, el número 35 en sistema binario se escribe 100011 y se le escribe un subíndice dos (2) para indicar que pertenece al sistema binario: 1000112 = 32 + 2 + 1.

TABLERO 7 64

69

75

76

Bloque 2

Aprendizajes esperados En este bloque: i Resolverás problemas que impliquen efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o i i i

divisiones con fracciones. Resolverás problemas que impliquen efectuar multiplicaciones con números decimales. Justificarás el significado de fórmulas geométricas que se utilizan para calcular perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Resolverás problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario, y problemas de reparto proporcional.

77

2.1 Problemas aditivos Problemas de suma o resta con números fraccionarios y decimales Conocimientos y habilidades Resolverás problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.

¿Qué sabemos de… p roblemas de suma o resta con





números fraccionarios y decimales?

Lección 1

Trabaja en equipo

Un tangrama es un rompecabezas chino que consta de siete piezas con diferentes formas geométricas. Cada pieza recibe el nombre de tan, y por ello se llaman tangramas las figuras que se forman con las piezas. 1

Sigan los pasos que se muestran a continuación para hacer un tangrama. Utilicen hojas de colores diferentes. Primer paso

dobla

extiende

dobla

corta

78

Matemáticas 1

extiende

BLOQUE 21

Segundo paso Doblen el cuadrado para obtener dos triángulos, a y b.

corta

a b

Tercer paso Doblen a la mitad el triángulo a y córtenlo para obtener los triángulos 1 y 2. a

2

corta

dobla

1

Cuarto paso Doblen el triángulo b como se indica y córtenlo para obtener el triángulo 3.

dobla

dobla

b

extiende

corta 3

Quinto paso Doblen el trapecio como se indica para obtener el triángulo pequeño 4 y el cuadrado 5. dobla

dobla

4 5

corta

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

79

Tema: Significado y uso de las operaciones

Sexto paso Doblen el trapezoide que queda como se indica para obtener el triángulo pequeño 6 y el paralelogramo 7. 6

corta

dobla

7

Intercambien piezas iguales de diferente color. 2

Con las siete piezas, formen un cuadrado como el que se muestra a continuación.

B A

C D

F G

E

Suponiendo que este cuadrado representa una unidad, 1, ¿qué fracción de 1 representa cada pieza del tangrama?

3

4

Triángulo A: ______

Triángulo E: ______

Triángulo D: ______

Paralelogramo C: ______

Triángulo B: ______

Triángulo G: ______

Cuadrado F: ______

Si es necesario utilicen las piezas del tangrama y anoten los números que faltan en las siguientes igualdades: 1 —5— 2 4

1 —5— 2 8

1 —5— 2 16

1 —5— 8 4

1 1 —1—5— 2 16

1 1 — 1 — 5 — 8 2

2 1 — 1 — 5 — 8 2

1 1 —1—5— 4 2

1 1 —2—5— 2 8

3 1 —2—5— 4 8

1 1 —2—5— 2 16

12 — 5 —

1 8

Bajo la consideración de que el cuadrado original representa 1, ¿qué fracción de la unidad representan las siguientes figuras?

E

D

E

G

____________ 5

80

D

A

B

F G

____________

G

F

D

____________

D

G

F

____________

Con los dos triángulos pequeños G y D y el paralelogramo C, construye un triángulo, un rectángulo y un romboide.

Matemáticas 1

BLOQUE 21

6

Escriban la fracción de la unidad que representa cada figura que formaron. Triángulo: ____________

7

Rectángulo: ____________

Romboide: ____________

Representen en su cuaderno las siguientes fracciones con piezas del tangrama. 3 3 1 5 — — — — 8 16 2 16

Lección 2

Trabaja en equipo

1

Utilicen tres de los cinco triángulos del tangrama para formar en su cuaderno el polígono con el mayor número de lados. ¿Qué fracción de la unidad representa el polígono que formaron? _____________________________

2

Contesten cada una de las siguientes preguntas y justifiquen sus respuestas. ¿Por qué la fracción que representan las figuras C, D, E, F es menor

B

1 2

que — ? _______________________________________________________

A

¿La fracción que representan las figuras B, C, D, E es menor o mayor

D F

1 que — ? _______________________________________________________ 2

3

C E

G 3 4

Seleccionen una colección de piezas que representen juntas una fracción mayor que — . De las siete piezas del tangrama, ¿cuál quitarían de modo que las seis restantes representen la mayor fracción próxima a 1? __________________________________________________________

4

Transformen a su expresión decimal la fracción que representa cada pieza y luego construyan en sus cuadernos los siguientes dos cuadrados. Un cuadrado que represente 0.125

5

G

¿Qué número decimal representa la siguiente figura hecha con piezas del tangrama? ___________

D

B

F

C

Un cuadrado que represente 0.25

Para saber más de… p roblemas de suma o resta con





números fraccionarios y decimales

Lección 3 1

Trabaja en equipo

Escriban las fracciones correspondientes a los puntos marcados en la recta.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

81

Tema: Significado y uso de las operaciones

0

1

0 2 0 5

2

3

2 2

1 2 1 5

0 10

1 10

0 100

10 100

Utilicen las fracciones equivalentes que escribieron en la figura anterior para obtener las siguientes sumas y restas.

3 1 — 1 — 5 10 2

1 2 —2—5 10 5

4 2 —1—5 10 5

1 9 —2—5 2 10

Analicen en equipo el siguiente ejemplo.

1 2

3 4

1 8

Dadas las fracciones — , — y — , transformen cada una a otra fracción equivalente de modo que las tres tengan un común denominador. Se puede obtener un común denominador para estas fracciones mediante el producto de los denominadores: 2 3 4 3 8 5 64 Así, 1 32 [1 3 (4 3 8)] — 5 —————— 5 — 2 64 [2 3 (4 3 8)]

3 48 [3 3 (2 3 8)] — 5 —————— 5 — 4 64 [(4 3 (2 3 8)]

1 8 [1 3 (2 3 4)] — 5 —————— 5 — 8 64 [8 3 (2 3 4)]

Observen que cualquiera de los números 32, 24, 16 y 8 también puede tomarse como común denominador, pues son múltiplos de 2, 4 y 8 a la vez. De los números 32, 24, 16 y 8, conviene tomar como común denominador de las tres fracciones dadas el menor, que es 8. Así, al multiplicar por 4 el numerador y el denominador de la primera fracción dada, se tiene que 1 4 (1 3 4) — 5 ————5 — 2 8 (2 3 4)

82

Matemáticas 1

BLOQUE 21

luego, al multiplicar por 2 el numerador y el denominador de la segunda fracción dada, 3 6 (3 3 2) — 5 ———— 5 — 4 8 (4 3 2) 1 8

La tercera fracción dada, — , se deja igual, pues ya tiene a 8 como denominador (o lo que es lo mismo, se multiplican su numerador y denominador por 1).

4

Utilizando las fracciones equivalentes, realicen las siguientes operaciones.

5

1 3 1 c) — 1 — 1 — 5 8 4 2

1 1 b) — 2 — 5 8 2

3 1 a) — 1 — 5 4 2

Se van a cercar dos terrenos con las medidas que se indican abajo. ¿Cuál terreno requiere más cerca? ¿Cuánto más?

3 9— m 4 1 4— m 2

Terreno A

1 7— m 5 1 4— m 2

1 7— m 5

Terreno B

1 7— m 5

3 9— m 4 1 7— m 5

2 7 cuántos metros es su recorrido diario? ____________________ ¿Cómo resolvieron este problema? ¿Cuántos metros ha caminado? _________________

6

Un deportista ha caminado — partes de su recorrido diario y le faltan 350 m para lograrlo. ¿De

7

Marco tiene ahorrados $7 500. ¿Cuánto dinero le queda después de gastarse — de sus ahorros y prestarle a su amigo Javier la mitad de lo que le sobró?

2 3

Estimación de resultados de suma y resta Para resolver algunos problemas, a veces es conveniente hacer una estimación del resultado (en ocasiones tal estimación es suficiente para considerar que se ha resuelto el problema). Analicemos dos situaciones.

Situación 1 A continuación se anotan los precios de la compra de varios artículos: $57.75, $17.75, $27.75, $27.75, $27.75, $17.55, $13.90, $14.90, $16.25, $15.57, $13.50, $139.50, $154.50 y $146.81.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

83

Tema: Significado y uso de las operaciones

En la primera columna de la siguiente tabla se han anotado estas cantidades para que sea más fácil hacer estimaciones de cada una. En la segunda y en la tercera columnas se han calculado dos aproximaciones de la cuenta.

8



1a aproximación

2a aproximación

$57.75

$58.00

$60.00

$17.75

$18.00

$20.00

$27.75

$28.00

$30.00

$27.75

$28.00

$30.00

$27.75

$28.00

$30.00

$17.55

$18.00

$20.00

$13.90

$14.00

$15.00

$14.90

$15.00

$15.00

$16.25

$16.00

$20.00

$15.57

$16.00

$20.00

$13.50

$14.00

$15.00

$139.50

$140.00

$140.00

$154.50

$155.00

$155.00

$146.81

$147.00

$150.00

ESTIMACIÓN DEL TOTAL

________

________

Si ustedes hicieran estas compras y tuvieran $800.00 para pagar la cuenta, ¿serían suficientes? Verifíquenlo con una calculadora. Situación 2 Un profesor de matemáticas está a 390 km de la ciudad de Chihuahua, hacia donde se dirige en su automóvil a un congreso académico en el que impartirá una conferencia. Sabe que sólo tiene $250.00 en efectivo y necesita cargar de gasolina el tanque de su automóvil. Mientras va manejando, hace cuentas mentalmente: “Yo sé que mi automóvil consume 8.8 litros de gasolina por cada 100 km, y que el litro de gasolina cuesta $6.7275, incluyendo el IVA. Así que, 9 litros de gasolina por $7.00 son $63.00, que alcanzaría para aproximadamente recorrer 100 km. Como son 390 km, multiplico $63.00 por 4 y obtengo $252.00. ¡Sí me alcanza!”

9

Con una calculadora, verifica si estaba en lo correcto este profesor de matemáticas que iba a la ciudad de Chihuahua.

¿Estaba en lo correcto? _____________________________________

84

Matemáticas 1

BLOQUE 21

Lección 4 1



Trabaja en equipo

4 3 Una persona gana $5 000.00 mensuales y gasta — de su sueldo en vivienda, — en comida, la 10 10 quinta parte en otros gastos y el resto lo ahorra. ¿Cuánto ahorra al mes?

2

¿Qué fracción de la siguiente figura abarcan las regiones I, II, III, IV y V juntas? _______________

3

Ahora, calculen la fracción de la figura completa que representa la suma de las regiones indicadas en cada caso.

V

I y II: ____________________ I, III y IV: ____________________ II, III y V: ____________________ 4

¿Qué fracción de la figura completa representa la región que no tiene número? ______________________

5

Rodrigo tiene que ir de compras al supermercado y llevará consigo $100.00 para adquirir los siguientes productos de la tabla de abajo.

III

II I

IV

¿Serán suficientes los $100 para estas compras? _________________________________________ ¿Cuánto le faltará o le sobrará aproximadamente? _______________________________________ Con una calculadora determina la cantidad exacta de dinero que necesitará Rodrigo y compárala con la estimación que acabas de hacer.

6

Producto

Precio

Gelatina

$7.20

Papas fritas

$20.35

Leche

$9.95

Cacahuates

$11.85

Yogur

$4.80

Pastel

$35.75

Juan compró una preciosa artesanía en Vasco de Quiroga, Michoacán, en $475.50. A causa de que tuvo un problema económico, se la tuvo que vender a su amiga María en $500.00. Algunos meses después Juan tuvo oportunidad de volver a Michoacán y compró otra artesanía idéntica en $450.75. A mediados del mes de diciembre del año pasado, vendió esta segunda artesanía a su vecino Hugo en $550.00. ¿Cuánto ganó Juan en la compraventa de las artesanías? ______________________________

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

85

Tema: Significado y uso de las operaciones

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.



1

Por tu cuenta

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Una llave de agua llena un tinaco aproximadamente en dos horas y otra llave en tres horas aproximadamente. ¿En cuánto tiempo aproximadamente llenan el tinaco las dos llaves juntas?



2

7 Una costurera utiliza — de metro de encaje (casi un metro) para confeccionar una falda. Si el rollo de encaje tiene 8 10 m y ella va a confeccionar 3 faldas, ¿cuántos metros de encaje va a necesitar? ________________________

¿Cuántos metros de encaje le quedarán del rollo? ____________________. 3

Describe otra situación en la que un resultado estimado no te funcione sino que tienes que saber el resultado exacto: ___________________________________________________________________________________



Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

86

Matemáticas 1

¿Es creíble esta historieta en la vida real? ¿Por qué? ¿Estás de acuerdo en la afirmación de Juan en que sería más de un pastel? ¿Cómo lo calcularías tú para saberlo?

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

87

2.2 Problemas multiplicativos Problemas de multiplicación y división con números fraccionarios Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen la multiplicación y la división con números fraccionarios en distintos contextos.

¿Qué sabemos de… p roblemas de multiplicación con números fraccionarios?





Lección 5 1

Trabaja en equipo

Bernabé es un magnífico cocinero y quiere preparar una salsa de yogur como se indica en la receta siguiente, pero quiere hacerla con el triple de cada cantidad. Salsa de yogur Yah 1 – 2

taza de requesón.

1 – 2

1 – 3

de una taza de yogur.

1 cucharada de perejil picado.

1 – 4

de una taza de nueces picadas.

1 – 2

cucharadita de jugo de limón.

diente de ajo picado.

Mézclense los ingredientes y déjese enfriar la mezcla durante dos horas. ¿Cuánto necesitará Bernabé de cada ingrediente? requesón: ____________________

jugo de limón: ____________________

yogur: ____________________

perejil picado: ____________________

nueces picadas: ____________________

ajo picado: ____________________

Comenten con sus compañeros cómo determinaron la cantidad de cada ingrediente.

88

Matemáticas 1

BLOQUE 21

2

Ahora Bernabé quiere hacer la salsa con la tercera parte de lo indicado en otra receta, que se muestra a continuación. Salsa de yogur Yen 3 tazas de requesón.

1 cucharadita de jugo de limón.

4 tazas de yogur.

2 cucharadas de perejil picado.

2 tazas de nueces picadas

3 dientes de ajo picado.

Mézclense los ingredientes y déjese enfriar la mezcla durante dos horas. ¿Cuánto se necesitará de cada ingrediente? requesón: ____________________

jugo de limón: ____________________

yogur: ____________________

perejil picado: ____________________

nueces picadas: ____________________

ajo picado: ____________________

Comenten con sus compañeros cómo determinaron la cantidad de cada ingrediente. 3

Bernabé tiene varios sobrinos y sobrinas, para quienes ha preparado deliciosos pasteles de diferente sabor, pero del mismo tamaño. Raúl, Irma e Hilda llegaron a casa de su tío Bernabé. 3 4

Raúl escogió el pastel de zanahoria, del cual había — en la mesa; se comió la mitad y guardó la

otra mitad para su hermana Silvia. ¿Qué parte del pastel completo le toca a Silvia? 1 4

Hilda escogió el pastel de chocolate, del cual había la mitad en la mesa; se comió — de esa parte que

había de pastel, y el resto lo guardó para sus papás. ¿Qué parte del pastel completo le tocó a Hilda? 1 3

1 3

Irma escogió el pastel de vainilla, del cual había — en la mesa; se comió — de esa parte que había

d e pastel, y el resto lo guardó para su hermana Gisela. ¿Qué parte del pastel completo se comió Irma?

Comenten con sus compañeros cómo determinaron la solución de cada uno de los planteamientos anteriores. 4

En una fiesta de cumpleaños, Hilda repartió 5 pasteles iguales a los asistentes: 3 pasteles los dividió en sextas partes y 2 los dividió en octavas partes. ¿A cuántas personas les pudo dar un pedazo de estos pasteles?

5



3 4

1 20

Alicia compró — kg de jamón para hacer emparedados. Para cada emparedado se necesitan 50 g ( — kg) de jamón. ¿Cuántos emparedados se pueden preparar con el jamón que compró Alicia? ____________________

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

89

Tema: Significado y uso de las operaciones

Para saber más de… p roblemas de multiplicación





con números fraccionarios

Lección 6 1

Trabaja en equipo

Lean con atención y luego contesten las preguntas.

3 Mariana y Miguel están siguiendo una receta para preparar una pasta. Ellos tienen 2 — de tazas 4 de azúcar y quieren hacer los ajustes de los otros ingredientes. Requieren saber cuántas tazas de harina necesitan. RECETA

4 tazas de harina

4 litros de agua caliente



1 taza de azúcar

1 litro de agua fría

3 Mariana: “Pienso que debemos multiplicar 4 tazas de harina por 2 — de la siguiente manera: 4 3 Primero, 4 veces por la parte entera de la fracción mixta 2 — ; esto es 4 3 2 5 8. 4 3 3 Segundo, 4 veces la parte fraccionaria de 2 — ; esto es 4 3 — 5 3. 4 4 Tercero, sumamos ambos resultados: 8 1 3 5 11. Entonces, necesitamos 11 tazas de harina”. Miguel: “Yo multiplico los factores como fracciones: 11 44 4 3 4 3 2 — 5 — 3 — 5 — 5 11 4 4 1 4 Así que necesitamos 11 tazas de harina”. ¿Qué opinan del procedimiento de Mariana? ___________________________________________ ¿Cuál método les parece más fácil para determinar el resultado mentalmente? Expliquen por qué.

2

4 7

Para calcular — de 175 usando una calculadora, hagan lo siguiente: Presionen 175 4 7 3 4 5 Presionen 4 3 175 4 7 5 ¿Qué notan? ______________________________________________________________________

3

Resuelvan en su cuaderno las siguientes multiplicaciones: 5 — 3 216 5 8

90

Matemáticas 1

4 — 3 294 5 7

5 — 3 4 218 5 6

8 — 3 225 5 5

BLOQUE 21

4

5 6

Para obtener el producto de — por 30, un alumno oprimió en su calculadora las teclas 5

÷

6

3

30

y el resultado fue 24.9999. Prueben en una calculadora. ¿Ocurre lo mismo? Para hacer la misma multiplicación en la calculadora, otro alumno oprimió las teclas 5

3

30

÷

6

y el resultado fue 25. Expliquen en su cuaderno por qué son diferentes los resultados. 5

El tanque del automóvil de Raúl tiene una capacidad de 84 litros. ¿Cuántos litros hay en el tanque 1 si la aguja indica — ?________________________ 3

6

7

Un automóvil de determinado tipo tiene un tanque de 200 litros de capacidad. ¿Cuánta gasolina 1 se necesita para llenar el tanque si la aguja indica — ?________________________ 8 Completen la tabla siguiente de las calorías en el jugo de naranja. Vaso

1 — 4

1 — 2

1 1— 2

1

Gramos

32

Calorías

120

Lección 7 1

3 — 4

2

Trabaja en equipo

Contesten lo siguiente: ¿A cuánto equivale la cuarta parte de 5 pasteles? ________________________________________ 1 Esto es, ¿cuánto es — 3 5? ___________________________________________________________ 4 1 ¿Es lo mismo que 5 3 — ? ____________________________________________________________ 4 ¿Por qué? ________________________________________________________________________

5 ¿A cuánto equivalen — de 7 litros de gasolina? _________________________________________ 8 5 Esto es, ¿cuánto es — 3 7? _________________________________________________________ 8 5 ¿Es lo mismo que 7 3 — ? __________________________________________________________ 8 ¿Por qué? ________________________________________________________________________

2 ¿A cuánto equivalen — de 6 kg de frijol? ______________________________________________ 3 2 Esto es, ¿cuánto es — 3 6? __________________ 3 2 ¿Es lo mismo que 6 3 — ? ___________________ 3 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

91

Tema: Significado y uso de las operaciones

¿Por qué? _______________________________________________________________________

2

Obtengan el resultado de las siguientes multiplicaciones. Simplifiquen el producto y cuando éste sea una fracción impropia, escríbanlo como fracción mixta. 1 6 3 332 — 325 5 — 5 1— 5 5 5 5 3 — 335 5 3 — 345 5

3 4 5

3 — 355 5 3 —— 3 2 5 120 6 —— 3 4 5 120

12 —— 3 6 5 120 24 —— 3 8 5 120 48 —— 3 10 5 120

Con base en lo que han hecho en las actividades 1 y 2 anteriores, expliquen en su cuaderno cómo se obtiene

el producto de dos factores siendo el primero una fracción propia y el segundo un número entero. 2 María tiene la mitad de una tableta de chocolate y su hermano Carlos se come — de dicha mitad. 3 ¿Qué parte de la tableta de chocolate se comió Carlos?

Analicen la siguiente información y contesten la pregunta. 1 2 María tiene 2 — tabletas de chocolate y su amiga Tere se come — de esa cantidad. ¿Qué parte 2 3 de las tabletas de chocolate se ha comido Tere? 2 1 —32— 3 2 Esta multiplicación de una fracción propia por una fracción mixta puede interpretarse como “dos tercios de dos y medio”. Gráficamente se interpreta como se muestra a continuación. Sigan los pasos. Representamos las tabletas de chocolate en 3 cuadrados de papel iguales y los doblamos para obtener mitades. 1 Sombreen 2— partes de amarillo 2 para mostrar la cantidad de chocolate que tiene María. Ahora plegamos cada cuadro de pa2 pel en tercios y sombreamos — de 3 azul. Observamos que hay una fracción doblemente sombreada que 10 2 corresponde a — o 1 — de área. 6 3

92

Matemáticas 1

BLOQUE 21

¿Por qué? ________________________________________________________________ ____________________________________________________________ La intersección de filas y columnas proporciona una partición del rectángulo en sextos. Las 2 1 10 partes comunes a — y 2 — son — . Ésta es una forma de representar el producto. 3 2 6 2 1 2 5 10 2 Así que — 3 2 — 5 — 3 — 5 — 5 1 — 3 2 3 2 6 3 Luego observa que para multiplicar dos fracciones se obtiene el producto de los numeradores y éste se escribe como numerador sobre el producto de los denominadores como denominador del resultado. a) ¿Ustedes cómo habrían resuelto el problema? 6

Resuelvan el siguiente problema y expliquen a sus compañeros el procedimiento que sigan. 1 “El señor Arturo García compró 4 — litros de pinturas pero usó sólo la mitad. ¿Cuánta pintura le 2 sobró?”

7

Anoten el resultado de las siguientes multiplicaciones y simplifíquenlas si es posible. 3 5 —3— 4 6 3 1 3 — 32 — 5 4 2

1 5 — 3 — 5 3 3 2 3 — 3 — 5 9 8 1 3 1 — 32 — 5 5 8

Para saber más de… p roblemas de división





con números fraccionarios

Lección 8 1

Trabaja en equipo

Resuelvan en su cuaderno los siguientes problemas y luego expliquen los procedimientos que sigan. 2 a) Una pista de carreras tiene una longitud de — de kilómetro. ¿Cuántas vueltas se tienen 5 2 que correr en la pista para completar — de kilómetro? 15 18 b) ¿Cuántas vueltas se tienen que correr en la pista para completar — de kilómetro? 5 6 c) Calculen la longitud del lado de un rectángulo cuya área es de — m2 y uno de sus lados es 12 2 de — m. 3 2 —m 3

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

6 A 5 — m2 12

Matemáticas 1

93

Tema: Significado y uso de las operaciones

2

Analicen la siguiente información y contesten la pregunta que ahí se plantea y las que siguen.

División de números fraccionarios La operación aritmética de división puede pensarse como partir determinada cantidad en partes de un mismo tamaño indicado. Por ejemplo, 12 4 3 se puede modelar utilizando 12 objetos separados en grupos de 3 del mismo tamaño. El resultado de esta división será el número de grupos que se formen.

Se puede pensar en una división de un entero entre una fracción de manera análoga. Por ejemplo, 2 2 6 4 — es lo mismo que decir que 6 enteros se reparten en grupos de tamaño — . 3 3 ¿Cuántos grupos se forman? ____________ Observa que, para encontrar la respuesta, primero debe determinarse la cantidad total de tercios, lo cual se logra multiplicando el número de enteros, 6, por el denominador 3 de la fracción dada. Luego se divide el número de tercios entre el numerador 2 de la fracción dada 2 — . Esto es, 3

2 6 4 — 5 (6 3 3) 4 2 5 9 3 2 Como te habrás dado cuenta, obtener el cociente de 6 4 — es lo mismo que obtener el producto 3 2 de 6 3 — . Esto es, 3 2 3 6 3 (6 3 3) 18 6 4 — 5 6 3 — 5 — 3 — 5 ——— 5 — 5 9 3 2 1 2 2 (1 3 2) 2 3 A pares de números tales como — y — , que tienen intercambiados sus numeradores y deno3 2 2 3 3 minadores, se les llama números recíprocos. Así, se dice que — es el recíproco de — y que — es 3 2 2 2 el recíproco de — . 3

94

Matemáticas 1

BLOQUE 21

Observa que el producto de dos números recíprocos es igual a 1, pues el producto de sus numeradores es igual al producto de sus denominadores: 2 3 6 (2 3 3) — — 3 — 5 ——— 5 51 3 2 6 (3 3 2) Así que para obtener el cociente de una fracción entre otra se puede multiplicar la primera por el recíproco de la segunda.

3

Obtengan el cociente de la siguiente división. Expliquen a sus compañeros el procedimiento que siguieron. 1 54 —5 4

4

Para dividir un entero entre una fracción, obtuvieron el resultado multiplicando el factor entero por el recíproco del otro factor, que es la fracción dada. ¿Este procedimiento también funciona para dividir una fracción entre otra? Coméntenlo con sus compañeros de equipo. 5 6 6 3 (6 3 5) 30 10 — 4 — 5 — 3 — 5 ——— 5 — 5 — 7 3 7 7 5 (7 3 3) 21

5 6

7

3 ¿Cuántas botellas de — de litro se necesitan para repartir 18 litros de jugo de naranja? 4 1 En una perfumería se tienen frascos de perfume con una capacidad de — de litro. ¿Cuántos frascos 20 3 de perfume se pueden llenar con el contenido de una lata de 1 — litros de perfume? 4 Realicen las siguientes operaciones y simplifiquen el resultado. 2 10 4 7 — 5 3

8

5 4 4 3 — 5 8

1 141 —5 2

2 2 ¿Es 4 4 — lo mismo que — 4 4? ________ 5 5 ¿Por qué? ________________________________________________________________________

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

95

Tema: Significado y uso de las operaciones





Por tu cuenta

Lección 9

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Resuelve los siguientes problemas:

1

2

3

4

5

6

7

2 Carlos vierte — de litro de pintura roja en una cubeta. Quiere añadir la mitad de esa cantidad de pintura azul. ¿Cuánta 3 pintura azul necesita? ________________________ 2 2 Marcela tiene 6 — m de tela para hacer manteles de 1 — de metro. ¿Cuántos manteles puede hacer de ese 3 3 tamaño? ________________________ 1 A un frasco con una capacidad de 2 — litros le falta una quinta parte para llenarse completamente de una sustancia 2 química. ¿Qué cantidad de sustancia contiene? _________________ 1 6 Un tornillo mide 2 — pulgadas de largo. La parte enroscada del tornillo equivale a — del largo total. ¿Cuánto mide 4 8 en pulgadas el largo de la parte enroscada? _________________ 2 La distancia entre la casa de Alejandra y su escuela es de — de kilómetro. Si ya ha avanzado la mitad del camino, 3 ¿cuántos metros le faltan para llegar a su escuela? _________________ 8 9 Observa que 3 — l son casi 4 litros y que 1 — l son casi 2 litros, entonces podemos estimar el cociente de 9 10 8 9 3 — 4 1 — como 4 4 2 5 2. El resultado son casi 2 litros. 9 10 5 7 Estima el cociente de 3 — entre 1 — . Compara tu estimación con el cociente exacto. 6 8

Investiga en dónde se aplica la multiplicación y la división de fracciones en situaciones de tu comunidad.



Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

96

Matemáticas 1

¿Estás de acuerdo en la respuesta de los niños acerca de la velocidad de 334 km/hora? ¿Cómo resolverías tú esta situación? ¿Y con la segunda respuesta acerca de la pizza? Coméntalo.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

97

2.3 Problemas multiplicativos Problemas de multiplicación de números decimales Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

¿Qué sabemos de… p roblemas de multiplicación de números decimales?





Lección 10 1

Trabaja en equipo

Observen lo que cuesta el kilogramo de las frutas, verduras y pescados. Con estos datos contesten las siguientes preguntas.

¿Cuánto costarán 5 kg de sandía? ____________________ ¿Y 0.5 kg? ____________________ ¿Cuánto costarán 2 kg de pavo natural? ____________________ ¿Y 0.2 kg? ____________________ ¿Cuánto costarán 8 kg de robalo? ________________ ¿Y cuánto costarán 0.8 kg? ________________ 2

Completen la tabla de precios del bacalao de acuerdo con la cantidad de kilogramos. Bacalao (kg) Precio ($)

98

Matemáticas 1

1 86.90

2

4

6

8

0.2

0.4

0.6

0.8

BLOQUE 21

3

En un depósito de basura se lleva el siguiente registro: Tipo

Toneladas por día (media aritmética)

Papel

1.6

Vidrio

  0.85

Aluminio

  0.25

Otros materiales 1.2

Suponiendo que el número de toneladas por día fuera el mismo, ¿cuántas toneladas de papel se espera recibir aproximadamente en 10 días? ____________________ ¿Cuántas en 100 días? ____________________ ¿Cuántas en 1 000 días? ____________________ ¿Y en medio día? ____________________ ¿Cuántas toneladas de aluminio se recibirán en 10 días? ____________________ ¿Y cuántas en 100 días? ____________________ ¿Cuántas en 1 000 días? ____________________ ¿Y en medio día (0.5 día)? ____________________ 4

Calculen el área de los siguientes rectángulos. a) 1 cm

a

b) 0.5 cm

c) 0.25 cm

b 2 cm

c

2 cm

2 cm A 5 ___________



A 5 ___________

A 5 ___________

¿Por qué los resultados de las áreas de los rectángulos b y c son menores que el área del rectángulo a?

Para saber más de… p roblemas de multiplicación





de números decimales

Lección 11 1

Trabaja en equipo

Una pieza de cobre tiene una masa de 127.5 g y se sabe que una pieza idéntica a la anterior, pero de hierro, tiene una masa 0.88 veces menor que la de cobre. ¿Cuál será la masa de la pieza de hierro? ______________________ ¿Fue su resultado mayor o menor que 127.5 g? ______________________ Expliquen por qué: _____________________________________________________________

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

99

Tema: Significado y uso de las operaciones

2

El automóvil de Rosita tiene un rendimiento promedio de 17.5 km por litro de gasolina. Si el tanque de gasolina tiene una capacidad de 35 litros y el marcador indica ¾ de tanque, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer, aproximadamente, con esta cantidad de gasolina? _______________

3

Calculen el área de las siguientes figuras: 28.8 cm

20.4 cm

27.5 cm

53.7 cm

A 5 ___________ 4

A 5 ___________

El diámetro de la Tierra en el ecuador es de 12 756 km y se sabe que el diámetro del Sol es de 109.125 veces el de la Tierra. ¿Cuál es el diámetro aproximado del Sol? ___________________

5

Analicen la siguiente información. Luego respondan las preguntas que ahí se plantean.

Multiplicar un número entero por un número decimal es lo mismo que sumar el número decimal tantas veces como lo indique el número entero. Por ejemplo, 2.5 3 3 se puede representar de la siguiente manera.

0

1

2

3

a)  Luego, el producto de 2.5 por 3 es

4

5

6

7

8

9

.

También se puede utilizar un modelo con unidades cuadradas divididas en décimos o centésimos.

b)  2.5 3 3 5

100

Matemáticas 1

BLOQUE 21

5

Cuando multiplican el número 1 por un decimal menor que 1, ¿cómo es el producto: menor o mayor

6

Analicen la siguiente información y respondan.

que 1? ____________________________________

Para multiplicar un número decimal por otro número decimal, por ejemplo 0.7 3 0.6, se puede recurrir a la representación con unidades cuadradas como se muestra a continuación. Se sombrea de amarillo el primer factor (0.7) verticalmente. Se sombrea de azul el segundo factor (0.6) horizontalmente. El producto es la sección en donde se traslapan las representaciones de los dos factores (en este caso la fracción doblemente sombreada). a) Se observa, en este modelo, que 0.7 3 0.6 5

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.





Por tu cuenta Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Lección 12 1

Utiliza la cuadrícula para realizar las siguientes multiplicaciones. 0.8 3 0.4 5

2



0.4 3 0.7 5



0.9 3 0.5 5

Cuando multiplicas dos números decimales menores que 1, ¿cómo es el producto, menor o mayor que 1?

¿Por qué? ___________________________________________________________________________________



Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

101

¿Estás de acuerdo con la respuesta de Juan? ¿Cómo resolverías esta situación? ¿Y con la respuesta de Lupe? ¿Cómo lo resolverías tú?

102

Matemáticas 1

2.4 Rectas y ángulos Mediatriz y bisectriz Conocimientos y habilidades Utilizarás las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.





¿Qué sabemos de… mediatriz y bisectriz?

Lección 13 1

Trabaja en equipo

Doblen una hoja tamaño carta a la mitad, vuelvan a doblarla y finalmente háganle otro doblez para obtener ocho rectángulos iguales. Recórtenlos. Con estos rectángulos van a realizar construcciones geométricas doblando el papel.

Recta que pasa por dos puntos 2

Marquen dos puntos sobre el rectángulo y hagan un doblez­ que pase por los dos puntos. Marquen el doblez de rojo. Es­cri­ban­ aquí su idea de recta. ________________________________________________

3

Segmentos

B A

de recta

Hagan lo mismo que en el punto anterior, pero ahora sólo marquen el doblez entre los puntos A y B en otro rectángulo de papel.

B

¿Cuál es su idea de segmento?_______________________________

A

¿Cuál es la diferencia entre recta y segmento? _______________________________________________ Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Matemáticas 1

103

Tema: formas geométricas

4

Recta

perpendicular a una recta dada

Doblen el papel rectangular por una recta dada y hagan un nuevo doblez sobre la misma recta. Observen que la superposición de cuatro ángulos iguales conforma un ángulo de 360º, lo cual confirma el hecho de la perpendicularidad. ¿Qué tipo de ángulos son estos cuatro ángulos? ___________________________________

b)

a)

c)

d)

¿Cuál es su idea de dos rectas perpendiculares? _______________________________________________

Recta paralela a otra recta dada 5

Para construir una recta paralela a otra recta dada, pueden apoyarse en la construcción que hicieron en el punto anterior y hagan un nuevo doblez sobre un lado del ángulo recto como se ve en la figura.

¿Cuál es su idea de rectas paralelas?_________________________________________________________

Mediatriz y punto medio de un segmento 6

Tomen el rectángulo de papel que hicieron en el ejercicio 3 y dóblenlo de manera que el punto A coincida con el punto B. Marquen el doblez y denominen como recta m a este doblez. Escriban la letra M en la intersección del segmento AB con la recta m. m M

B A

B

A

El punto M es punto medio del segmento AB. Expliquen por qué: ___________________________________ 7

La recta m que es perpendicular al segmento AB y pasa por el punto medio M se llama mediatriz. La mediatriz m del segmento AB es un eje de simetría sólo para este segmento. Expliquen por qué: ____________________

104

Matemáticas 1

BLOQUE 21

Construyan con regla y compás la mediatriz de un segmento AB como se muestra en seguida. ¿Pueden explicar paso a paso el procedimiento? Anótenlo en su cuaderno.

8

b) a) A

B

A

c)

B

d) P

A

B

A

B Q

A B

Bisectriz de un ángulo

C

A B Busquen una hoja de papel que se transparente (papel albanene) y dóblenla de manera que los dos lados del B como recta m este doblez. ángulo ABC coincidan. Marquen el doblez y denominen

9

A

C A

A

B

B A

C

C

Ahora abran la hoja y observen la bisectriz m del ángulo ABC. A B Traten de describir las características de la bisectriz y luego comparen estas características con las que hayan m descrito sus compañeros: _________________________________________________________________ B

10

A



C

Construyan con regla y compás la bisectriz de un ángulo como se muestra en seguida. ¿Pueden explicar paso A en su cuaderno. a paso el procedimiento? Anótenlo

11

m

B

a)

b)

P

B A

Eje: forma, espacio y medida

c)

C P

B

Q O

A

d) P

B

Q O

m

B

P

B

R

Q O

A

Q O

A

Matemáticas 1

105

Tema: formas geométricas

La bisectriz de un ángulo es un eje de simetría para este ángulo. Expliquen por qué: ___________________





Para saber más de… mediatriz y bisectriz

Lección 14

Trabaja en equipo

Veamos qué sucede con los puntos de la mediatriz m de un segmento AB. 1

Unan el punto P con A y con B. Hagan un doblez por la mediatriz m. ¿Coincide el segmento AP con el segmento BP? ________

P

A

2

m

B

¿Podrían repetir lo mismo para cualquier otro punto que tomen sobre m? _______ ¿Sucede lo mismo? Expliquen: _______________________________________________________________

Estarán de acuerdo con que lo comprobado para P vale para cualquier punto de m, entonces, todo punto de la mediatriz de un segmento se encuentra a la misma distancia de los extremos del mismo. Veamos esto ahora al revés. 3

Dibujen un segmento AB y con el compás busquen varios puntos que se encuentren a la misma distancia de A y de B. Todos los puntos que cumplen esta condición, ¿en dónde se encuentran ubicados? __________________________________________

P

Resuelvan los siguientes problemas en su cuaderno. Utilicen regla y compás. 4

106

P3

A

Matemáticas 1

P1

m

Dibujen un segmento AB y su mediatriz. Construyan tres trián-

gulos con dos de sus vértices en los extremos del segmento y el tercer vértice sobre la mediatriz. ¿Qué tipo de triángulos son? ___________________________________________________

P2

P6

P5

P4 B

BLOQUE 21

5

Dibujen un segmento AB y su mediatriz. Expliquen cómo dibujar un rombo. Ahora veamos lo que sucede con la bisectriz b de un ángulo.

6

Tracen la distancia de P a cada uno de los lados del ángulo; es decir, tracen un segmento perpendi-

7

Hagan un doblez por la bisectriz b, ¿coincide el segmento

cular a cada lado que pase por P. En la intersección se encuentran los puntos A y C. AP con el segmento PC? ____________

m

A

¿Podrían repetir lo mismo en cualquier otro punto que elijan sobre la bisectriz? ________________________ ¿Sucede lo mismo? Expliquen: ______________________

b

B

P



C

n

Estarán de acuerdo en que todo punto de la bisectriz de un ángulo se encuentra a la misma distancia de los dos lados del ángulo. Veamos esto ahora al revés. 8

Dibujen un ángulo y tracen los puntos del plano que están... a) a 0.3 cm de cada lado. b) a 1 cm de cada lado. c) a 1.5 cm de cada lado. De las rectas sólo interesan las que se intersecan en A, B y C, ya que estos puntos se encuentran a la misma distancia de los dos lados del ángulo. ¿Dónde se encuentran ubicados todos estos puntos? ___________________________________

M

A

H1

B

H1

C

0. 1 c 3 cm m 0.3 1.5 cm cm 1c m 1.5 cm

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

107

Tema: formas geométricas

Propiedad de la bisectriz de un ángulo: los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo. Propiedad de la mediatriz de un segmento: los puntos de la mediatriz son equidistantes a los puntos extremos del segmento.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.





Por tu cuenta

Lección 15 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Una vía férrea (una recta) está situada entre dos pueblos A, B (dos puntos). La vía pasa más cerca del pueblo A que del pueblo B (como se muestra abajo). ¿En qué lugar hay que colocar la estación (un punto) para que esté a la misma distancia del pueblo A que del pueblo B?

A

B 2

Para hacer una estructura cuadrada rígida se le colocan dos diagonales como se muestra en la ilustración. Observa que en el caso del cuadrado, las bisectrices y las diagonales coinciden. ¿Cuáles otros cuadriláteros tienen esta propiedad? Dibújalos a continuación.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 108

Matemáticas 1

¿Cuál podría haber sido el procedimiento para trazar la circunferencia del plato que siguieron los niños? ¿Tú cómo hubieras resuelto esta situación?

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

109

2.5 Figuras planas Construcción de polígonos regulares Conocimientos y habilidades Construirás polígonos regulares a partir de distintas informaciones.





¿Qué sabemos de… construcción de polígonos regulares?

Lección 16

Trabaja en equipo

Construcción de polígonos regulares con papel 1

La construcción del pentágono regular utilizando una tira de papel es muy sencilla y seguramente la hicieron en la primaria; observen el procedimiento. Construyan el pentágono y luego contesten las preguntas.

Hagan un nudo

Ajusten el nudo Ángulos interiores de un polígono

Recorten los bordes

¿Cuántos lados tiene el pentágono regular? ¿Cuántos ángulos interiores? ¿Cuál es la medida del ángulo interior? ¿Cuántas diagonales tiene? ¿Cuántos ejes de simetría?

110

Matemáticas 1

BLOQUE 21

2

Para hacer un triángulo equilátero de papel se sigue el procedimiento: Doblen una hoja rectangular y tracen una paralela al lado más largo, en medio, como se muestra.

Con una línea de doblez que pase por B lleven A sobre la paralela de en medio y determinen A9 a este punto.

A

A

E

D A’

B

B

C Sin desdoblar la figura anterior, con un nuevo doblez, prolonguen el lado más corto del triángulo. E

E A’ A’

B

C

¿Cuántos lados tiene el triángulo aquilátero? ________

B

C

F

¿Cuántos ángulos interiores tiene? ________

¿Cuál es la medida de un ángulo interior? ________ ¿Cuántas diagonales tiene? ________ ¿Cuántos ejes de simetría? ________ 3

Para hacer un hexágono regular de papel se sigue el procedimiento: a) D  oblen un rectángulo de papel a la mitad y luego vuelvan a doblar a la mitad para construir tres paralelas a lo largo del rectángulo.

b) A  continuación hacemos los dobleces que se indican.

c) P rolongamos los dobleces como se muestra en líneas rojas.

d) A  poyándonos en una línea roja continuamos doblando.

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

111

Tema: formas geométricas

e) Prolongamos los dobleces.

f) D  esdoblamos para obtener el patrón del hexágono regular, remarcado en color rojo.

¿Cúantos lados tiene el hexágono regular? ________ ¿Cuántos ángulos interiores tiene? ________ ¿Cuál es la medida de cada ángulo interior? ________ ¿Cuántas diagonales tiene? ________ ¿Cuántos ejes de simetría? ________ 4

Para hacer un octágono regular de papel, sólo necesitamos doblar un cuadrado de papel. a) Doblen así.

b) Recorten y desdoblen.

c) Doblen y tracen los ejes de simetría del cuadrado.

d) Doblen el cuadrado haciendo coincidir dos ejes consecutivos.

e) Sin desdoblar la figura, doblamos las cuatro puntas no solapadas y desdoblamos para obtener el octágono regular remarcado en color rojo.

¿Cuántos lados tiene el octágono regular? ________ ¿Cuántos ángulos interiores tiene? ________ ¿Cuál es la medida de cada ángulo interior? ________ ¿Cuántas diagonales tiene? ________ ¿Cuántos ejes de simetría? ________

112

Matemáticas 1

BLOQUE 21

5

¿Cómo pueden hacer un hexágono regular a partir del triángulo equilátero? Expliquen y muestren su trabajo a sus compañeras y compañeros. La siguiente figura les puede servir de ayuda.



¿Cuántos lados tiene el hexágono regular? ________



¿Cuántos ángulos interiores tiene? ________



¿Cuál es la medida de cada ángulo interior? ________



¿Cuántas diagonales tiene? ________



¿Cuántos ejes de simetría? ________

Lección 17

Trabaja en equipo

Construcción de polígonos regulares con compás, regla y transportador Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados iguales y también son iguales o congruentes sus ángulos interiores. Uno de los más sencillos de construir es el hexágono regular por coincidir la longitud de sus lados con la del radio de la circunferencia circunscrita igual a dicho polígono, es decir, la circunferencia que pasa por sus seis vértices. Por tanto, a partir del lado que queramos, trazamos una circunferencia de radio igual a dicho lado y con esa medida de compás lo llevamos seis veces sobre la circunferencia obteniendo los seis vértices del hexágono. 1

¿Qué instrumentos de geometría necesitan para hacer un hexágono regular? ______________________________ Construyan un hexágono regular en este espacio.

Tracen tres diagonales del hexágono regular, de manera que éste aparezca dividido en seis triángulos congruentes que tengan un vértice común. ¿Qué tipo de triángulos se forman al subdividir el hexágono regular? Justifiquen su respuesta.

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

113

Tema: formas geométricas

2

Observen cómo se construye un pentágono regular utilizando compás, regla y transportador. a)

72° A

B

b)

72° A

B

c)

A

114

B

3

Utilicen su transportador, su compás y sus escuadras para reproducir en su cuaderno la figura siguiente. Ilumínenla. Describan en su cuaderno el procedimiento que siguieron.

4

Construyan en su cuaderno un decágono regular (10 lados) utilizando un procedimiento similar al anterior y formen una estrella de 10 puntos.

5

¿Pueden construir un triángulo equilátero utilizando solamente regla y compás? ¿Y un polígono regular de 12 lados? Construyan esas figuras en su cuaderno.

Matemáticas 1

BLOQUE 21





Para saber más de… construcción de polígonos regulares

Lección 18 1

Trabaja en equipo

Construyan un polígono regular de siete lados utilizando el transportador. ¿Cuánto debe medir el ángulo interior? ____________________

a) Tracen el polígono regular de siete lados en el siguiente espacio y describan el procedimiento que siguieron.

2

Observen el procedimiento que siguió Pepe para calcular la medida del ángulo central a de un polígono regular.

Pepe calcula la medida del ángulo central a de un polígono regular (como el hexágono regular), dividiendo la suma de todos ellos (360º) entre el número de lados. Así para el hexágono regular:

a 5 360º 5 60º



Para un octágono regular lo desarrolla así:



a 5 360º 5 45º

6

8

y en general, para un polígono regular de n lados, el ángulo central correspondiente al lado del polígono regular es: a 5 360º n

¿Conocen algún otro procedimiento para calcular el ángulo central? ¿Cuál? Explíquenlo a sus compañeros. 3

Pepe sabe que conociendo los valores del ángulo central puede construir cualquier polígono regular con ayuda del transportador, así:

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

115

Tema: formas geométricas



“Para construir polígonos regulares de n lados utilizo la regla graduada y el transportador, y a partir de la medida de un ángulo interior b empleo la siguiente fórmula: b 5 180º (n-2) n



Existe un procedimiento general que aplico a la construcción del polígono regular. Este procedimiento es una construcción para polígonos aproximadamente regulares.

Trazo una circunferencia y luego un diámetro AB del círculo. Este diámetro lo divido en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que se quiere construir (en este caso es cinco). A continuación con la punta del compás en los extremos del diámetro, y con una amplitud igual al diámetro, trazo un arco hasta que se corten en un punto M.”

A Nota: Este procedimiento da resultados aproximados y cuando exista otro procedi­ miento es mejor no usar éste.

4 3 2

M

1 B Trazo una recta desde M pasando por la segunda subdivisión de manera que el segmento resultante sobre la circunferencia será el lado buscado del polígono a construir.” 4

Utilizando este procedimiento, ¿pueden hacer en su cuaderno un polígono regular de siete lados?

5

Construyan en su cuaderno un pentágono regular cuyo lado mide 3 cm.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.





Por tu cuenta

Lección 19

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

A continuación se muestran otros procedimientos para construir polígonos regulares. Describe los pasos a seguir y haz un reporte para cada polígono. 1

116

Estos polígonos se inscriben en unas circunferencias. AB corresponde al lado del polígono. Basta con trasladarlo y rotarlo sobre el círculo para obtener los distintos vértices de las figuras.

Matemáticas 1

BLOQUE 21

Construyan paso a paso siguiendo la numeración. Pentágono (construcción aproximada)

Hexágono (construcción exacta)

B

B

2 A

A 1

Heptágono (construcción aproximada)

Octágono (construcción exacta)

B

B

A

Eneágono (construcción aproximada)

A

Decágono (construcción exacta)

A

B

1

A

B 2

Endecágono (construcción aproximada)

Dodecágono (construcción exacta)

B

B A A 3

2

1 Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

117

¿Cómo construirías tú una estrella de 6 picos? Describe el procedimiento en tu cuaderno. 118

Matemáticas 1

2.6 Justificación de fórmulas Perímetro y área de polígonos Conocimientos y habilidades Justificarás las fórmulas de perímetro y área de los triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.



¿Qué sabemos de… perímetro y área de polígonos?

Lección 20 1

Trabaja en equipo

Dibujen en el punteado cuadrangular dos figuras diferentes que tengan la misma área. ¿Cuánto mide el perímetro de cada figura? 1u 1u2

Luego dibujen dos figuras diferentes que tengan el mismo perímetro. ¿Cuál es el área de cada figura? 2

Coloreen y midan la superficie de estas otras figuras en u2. Comenten sus estrategias de solución.

1u2

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

119

Tema: medida





Para saber más de… perímetro y área de polígonos

Lección 21

Trabaja en equipo

Fórmulas de perímetros de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares 1

Observen el siguiente patrón de triángulos equiláteros construidos en un punteado triangular. 1u

1u 2u 1u

2u 3u

3u

2u

4u

4u

3u 4u

¿Cómo pueden saber el perímetro del triángulo equilátero cuando el lado mide 1u? Descríbanlo.

¿Cómo pueden saber el perímetro del triángulo equilátero cuando el lado mide 2u? ¿Y cuando mide 3u? ¿Y cuando tiene 4u? Descríbanlo en sus cuadernos. En general, ¿cómo le harían para determinar el perímetro de cualquier triángulo equilátero de lado l? ___________________________________________________________________________



l

l

l 2

Observen el siguiente patrón del cuadrado construido en un punteado cuadriculado.

1u

3u

2u

1u 2u

3u

4u 4u

a) ¿Cómo pueden saber el perímetro del cuadrado cuando el lado mide 1u? Descríbanlo.



120

Matemáticas 1

BLOQUE 21

¿Cómo puede saberse el perímetro del cuadrado cuando el lado mide 2u? ¿Y cuando mide 3u? ¿Y cuando mide 4u? Descríbanlo.

En general, ¿cómo le harían para determinar el perímetro P de cualquier cuadrado de lado l?



l l

l l 3

En una población se deben cercar varios terrenos con las medidas que se indican.

9m 20 m 14 m

22 m 10 m

25 m

5m 16 m

30 m

8m

¿Cómo pueden saber el perímetro de cada terreno? No es necesario que hagan el cálculo, sino sólo describan el procedimiento:

En general, ¿cómo le harían para determinar el perímetro de cualquier rectángulo de lados a y b?



b a Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

121

Tema: medida

4

¿Cómo le harán para determinar el perímetro de cualquier polígono regular?



Pentágono regular

Hexágono regular

m

l

l

a

m l

Octágono regular

a

m

a

a

l

m

m

l

a a

m

a a



P 5

P 5

P5



__________________

__________________

__________________

Recuerden que el perímetro de una figura geométrica es la medida de su contorno. Por ejemplo, el perímetro (P) de cualquier cuadrilátero de lados a, b, c y d es P5a1b1c1d lo cual es una fórmula para encontrar el perímetro del cuadrilátero.

c

d

b a

5

Raúl encontró una fórmula para el perímetro P de un decágono regular de lado x.

x

x

x x

x

P5x1x1x1x1x1x1x1x1x1x 10 veces x

x

x x

x

P 5 10 3 x

x

¿Te parece adecuada esta fórmula? Coméntenlo con sus compañeros.

La fórmula para encontrar el perímetro P de una figura de 12 lados iguales n es P5n1n1n1n1n1n1n1n1n1n1n1n 12 veces P 5 12 3 n

122

Matemáticas 1

BLOQUE 21

Otras formas para describir la fórmula sería: P 5 12 n o P 5 12 (n) o simplemente P 5 12 n •

n n n

n

n

n

n

n n

n

n

n

La letra n recibe el nombre de variable. Una variable es una cantidad simbolizada por una letra que puede tomar diferentes valores. En este caso n puede ser cualquier número natural o decimal. Las variables normalmente se representan con letras. Si hubiésemos usado el signo “por” (3) para indicar la multiplicación, se podría confundir con la letra x. Por ello, en su lugar se indica con un punto, con un paréntesis o juntos, número y letra. La descripción con variables tiene ventajas evidentes sobre la descripción verbal del patrón. 6

Escriban una fórmula para el perímetro P de cada figura. c 2p

q

7

a

b

2p P 5 _____________________ _____________________

b

a

q

c

P 5 _____________________ _____________________

a

b

a

b

P 5 _____________________ _____________________

Escriban una fórmula para P en términos de x, y y z para la figura de abajo. P 5 ________________________________

x

x

y

y z

Encuentren P cuando x 5 3.5 cm, y 5 2.5 cm y z 5 8.2 cm P 5 ________________________________

Lección 22

Trabaja en equipo

Fórmula del área de cuadrados 1

Calculen el área de estos cuadrados y completen la tabla.

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

123

Tema: medida

1u D

B

E

C A

Cuadrado

A

B

C

D

E

Longitud del lado

F

G

H

13 m

6.5 m

8.2 m

Área

a) Describan en su cuaderno un procedimiento general para calcular la superficie de cualquier cuadrado. b) Escriban la fórmula para encontrar el área A de cualquier cuadrado de lado l.

A 5 ______________________________________________________________________

2

Un señor compró un terreno cuadrado de 12 metros de lado para construir una vivienda en el centro del pueblo. Si pagó a $150 el metro cuadrado, ¿cuánto dinero pagó en total por el terreno?

3

La superficie de un cuadrado es de 4 489 m2. Intenten calcular la longitud de sus lados. Comprueben su respuesta. (Pueden utilizar la calculadora.)

Fórmula del área de rectángulos 4

Calculen el área de los rectángulos en u2. Completen la tabla.

A

B E

D C

2

1u Rectángulo

F

G

Longitud de la base

75 cm

1.90 m

Longitud del ancho

8.5 cm

10.5 m

Área

124

Matemáticas 1

A

B

C

D

E

BLOQUE 21

Escriban el procedimiento para calcular el área A de cualquier rectángulo de lados a y b. Área del rectángulo: A 5 ___________________________________________________________ 5

Un agricultor tiene un terreno en forma rectangular en el que ha sembrado sandía. Sus dimensiones son 100 m de largo y 60 m de ancho. El agricultor dice que el metro cuadrado de su terreno producirá tres sandías. ¿Cuántas sandías recogerá aproximadamente en su cosecha?

6

Completen la tabla. Pueden usar calculadora. Rectángulo

Lado a

Lado b

Perímetro

I

14.3 m

82.5 m

J

8.5 m

25 m 2

K

3.6 m

23.5 m

L

Área

45 cm2

1 440 cm2

Fórmula del área de romboides 7

Calculen el área del romboide de u2. Completen la tabla. S

T

R 1u2

altura

Z

V

Romboide

R

S

T

V

Z

X

Longitud de la base

30

Longitud de altura

20

Área



a) Escriban un procedimiento para calcular el área A de cualquier romboide de base b y altura a.

Área del romboide: A 5

b) ¿Cómo pueden demostrar que el rectángulo de lados a y b y el romboide de lado a y altura b tienen la misma superficie?

b

Eje: forma, espacio y medida

b

a

a Matemáticas 1

125

Tema: medida

8

Dibujen con rojo la altura de los romboides. Midan con regla las longitudes de la base y de la altura y calculen sus áreas.

A�

A�

Lección 23

Trabaja en equipo

Fórmula del área de rombos 1

Dibujen y recorten en cartulina dos rombos iguales. Corten uno de ellos por sus diagonales D y d. Aparecen cuatro triángulos rectángulos. Colóquenlos en el otro rombo como se indica. ¿Qué figura conocida obtienen? ¿Qué medidas tiene de largo y ancho?

D

D

d

D

d

d

Tomando como base la fórmula del área del rectángulo, escribe una fórmula que permita calcular el área A de un rombo cualquiera cuya diagonal mayor es D y la diagonal menor d. A 5 ____________________________________________________________________________ ¿De qué otras formas puedes reacomodar los cuatro triángulos que recortaron para formar un rectángulo o un romboide? ___________________________________________________________

2

Dibujen en el punteado de abajo otro rombo de diferente tamaño. Calculen el área de cada uno y completen la siguiente tabla: Rombo

Diagonal D

Diagonal d

Área en u2

A B C Rombo A

Rombo B

Rombo C

1u d D

126

Matemáticas 1

D d

2

1u

BLOQUE 21

Fórmula del área de triángulos 3

Dividan un rectángulo cualquiera en dos triángulos iguales y expliquen por qué son iguales. Tomando como base la fórmula del área del rectángulo, escriban una fórmula que permita calcular el área de un triángulo rectángulo cualquiera.

4

Tracen dos triángulos iguales de cualquier medida. Después recórtenlos para que con ellos formen un romboide. Tomando como base la fórmula del área del romboide, escriban una fórmula que permita calcular el área de un triángulo cualquiera.

Fórmula del área de trapecios 5

Tracen dos trapecios iguales de las medidas que quieran. Después recórtenlos y péguenlos convenientemente para formar con ellos un romboide. Tomando como base la fórmula del área de un romboide, escriban una fórmula que permita calcular el área de un trapecio cualquiera. b h

h B

Lección 24

+

b

Trabaja en equipo

Fórmula del área de polígonos regulares 1

En equipo tracen en su cuaderno un hexágono regular, un pentágono regular y un octágono regular inscritos cada uno en una circunferencia. Triangulen los polígonos regulares que trazaron.

En la figura de la derecha se muestra un heptágono regular de lado igual a 4 cm. Observen que se puede dividir en siete triángulos isósceles iguales. ¿Por qué son iguales?

Eje: forma, espacio y medida

a

m

2

4c

Tomen como base la fórmula del área del triángulo, escriban una fórmula para calcular el área de cada polígono regular que trazaron. Comenten la estrategia que siguieron.

l = 4 cm Matemáticas 1

127

Tema: medida

La altura de todos ellos es la apotema del heptágono. a) ¿Cuál es el área T de cada uno de los siete triángulos donde el apotema mide “a”?

T5

b) ¿Cuál será el área A del heptágono?

A5

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.



Por tu cuenta

Trabaja individualmente

1

Prueba a encontrar el área de un polígono regular cualquiera siguiendo el procedimiento anterior.

2

Un polígono regular tiene un perímetro P 5 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 5 9l, donde l representa la medida de un lado y su apotema es “a”. a) ¿Qué clase de polígono regular es? b) ¿Cuál es la expresión general o fórmula que permite calcular el área A de este polígono? A5 c) Prueba tu fórmula para cuando l 5 10 cm y la apotema mide 13.73 cm. A5

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 128

Matemáticas 1

¿Estás de acuerdo con la solución que dimos? ¿Cómo resolverías tú esta situación?

Eje: forma, espacio y medida

Matemáticas 1

129

2.7 Relaciones de proporcionalidad Proporcionalidad directa utilizando operadores fraccionarios y decimales Conocimientos y habilidades Identificarás y resolverás situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos utilizando operadores fraccionarios y decimales.





¿Qué sabemos de… p roporcionalidad directa utilizando

operadores fraccionarios y decimales?

Lección 25

Trabaja en equipo

Primer rompecabezas 1

Abajo se muestran las cinco piezas de un rompecabezas. Los números corresponden a las medidas de los lados de los polígonos expresados en centímetros. 7

6

5

A

9

6

C

B

7

9

D

E 2

4

2

5

Copien en su cuaderno estas piezas con las medidas indicadas; luego recórtenlas y formen con ellas un cuadrado. Segundo rompecabezas

2

130

Ahora construyan las piezas del rompecabezas anterior pero a escala donde se conocen algunas de las nuevas medidas y se trata de encontrar las medidas de los demás lados. Trabajen en equipo para que todos hagan figuras diferentes. Una vez que hayan terminado sus piezas traten de formar con ellas el cuadrado. Completen la tabla.

Matemáticas 1

Medida de los lados de las piezas originales (cm) A B C D E

4 5 9

Medidas de los lados de las piezas a escala (cm) 8 10 18

BLOQUE 21



Tercer rompecabezas 3

Ahora se trata de hacer un nuevo rompecabezas semejante al primero, pero a una escala menor, de tal manera que en la pieza de color naranja, el lado de 4 cm tenga una longitud de 2.5 cm. ¿Cuánto deben medir los lados de las otras piezas? Hagan la tabla correspondiente en su cuaderno.

4

Resuelvan los siguientes problemas de proporcionalidad con el procedimiento que ustedes elijan. a) Si 5 revistas cuestan $117.50, ¿cuánto costarán 11 revistas? _________________ b) Si por 3 horas de trabajo me pagan $557.25, ¿cuánto recibiré por 7 horas de trabajo?

De las siguientes ofertas, encierren la mejor.

5

¿Cuánto se paga por 2 kilogramos de azúcar en cada oferta

OFERTA A: ______________

OFERTA B: ______________

Las dos ruedas dentadas (engranes) están a escala. La razón entre el número de dientes de cada una forma una proporción con la razón entre las medidas de los diámetros respectivos.

6

Calcula el diámetro de la rueda menor. 3.2





x

Para saber más de… p roporcionalidad directa utilizando

operadores fraccionarios y decimales

Lección 26 Los mapas están hechos a escala, es decir, una razón que compara la distancia en el dibujo con la distancia verdadera. El mapa de la derecha está hecho a escala donde 3 cm equivalen a 12 km, pero como se debe expresar con la misma unidad de medida, entonces se obtiene:

Trabaja en equipo A B

ruta 1

5

ta

ru

28

ruta 20

3 cm: 1 200 000 cm o simplemente 3:1 200 000 1

¿A cuántos kilómetros equivalen 7 cm en el mapa? ¿Y 11cm? ¿Y 2 cm?

ruta 25

C 3:1 200 000

¿Y 1 cm? Eje: manejo de la información

Matemáticas 1

131

Tema: Significado y uso de las operaciones

Pepe recurrió a una tabla de proporcionalidad.

distancia en el dibujo

3 cm

7 cm

12 km

n

34

34

distancia real

a) Para pasar de 3 a 12 en la primera columna, ¿por cuál número se multiplicó? ___________ b) Y para pasar de 7 a n en la segunda columna, ¿también se debe multiplicar por 4? _______ Lupe lo resolvió de la siguiente manera: encontró el factor por el cual multiplicar 3 y 12 para obtener 7 el valor 7 y el valor de n. En este caso el factor es . 3

Nota: observen que no es lo mismo el factor de proporcionalidad 4 que el factor fraccio7 nario . 3

7 3

distancia en el dibujo

3 cm

7

distancia real

12 km

n

7 21 5 57 3 3 7 o simplemente:  3 3 5 7 3 7 84 5 28 12 3 5 3 3 7 o simplemente:  12 3 5 28 3

7 3

33

2

Encuentren el factor fraccionario para las siguientes tablas con el fin de encontrar el valor desconocido.

n5

132

Matemáticas 1

distancia en el dibujo

3 cm

11

distancia real

12 km

n

BLOQUE 21

distancia en el dibujo

3 cm

2 cm

distancia en el dibujo

3 cm

1 cm

distancia real

12 km

t

distancia real

12 km

m

t5

m5

¿Se dieron cuenta de cómo encontrar el factor fraccionario? Descríbanlo en su cuaderno.

3

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.





Por tu cuenta

Lección 27 1

Trabaja individualmente

En un plano a escala donde 1 cm dibujado equivale a 100 cm reales y se denota así: 1 : 100, ¿qué área del plano ocupa un terreno rectangular que mide 50 m de largo y 20 m de ancho?

Escala 1 : 100

2

Toma las dimensiones de la cancha de basquetbol o de tu salón y haz en tu cuaderno un dibujo a escala donde 1 cm equivalga a 3 m (300 cm).

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

Eje: manejo de la información

Matemáticas 1

133

¿Estás de acuerdo con la respuesta de Juan? ¿Cuál pudo haber sido el procedimiento que siguió? ¿Tú cómo resolverías esta situación? Describe tu procedimiento. 134

Matemáticas 1

2.8 Relaciones de proporcionalidad Aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad Conocimientos y habilidades Interpretarás el efecto de la aplicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.





¿Qué sabemos de… a plicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad?

Lección 28 1

Trabaja en equipo

El plano de un mapa de la República Mexicana se muestra en una hoja rectangular cuyos lados se reducen a la mitad y en seguida se reducen nuevamente a una cuarta parte. ¿Cuál es la reducción total que sufren los lados del plano original?

Eje: manejo de la información

Matemáticas 1

135

Tema: Análisis de la información

2

Observen los siguientes triángulos.

(1) Una unidad

2 Triángulo original

1

3

a) ¿Cuántas veces ampliaron las medidas de los lados del primer triángulo para obtener las del segundo? b) L a longitud de los lados que forman el ángulo recto del triángulo original es de dos unidades. ¿Cuánto miden los lados que forman el ángulo recto del segundo triángulo? ___________________________ ¿Cómo la calcularón? ____________________________ c) ¿ Cuántas veces tienen que reducir las medidas de los lados que forman el ángulo recto del segundo triángulo para obtener las medidas de los lados que forman el ángulo recto del tercero? ________ d) ¿ Cuál es el efecto final de los lados que forman el ángulo recto del tercer triángulo en relación con el triángulo original? _______________________________ Explíquenselo a sus compañeros. 3

Observen los siguientes cuadrados.

1 2 3 Cuadrado original

a) ¿Cuántas veces tienen que reducir las medidas de los lados del primer cuadrado para obtener las del segundo? b) ¿Cuántas veces tienen que reducir las medidas de los lados del segundo cuadrado para obtener las del tercero? c) ¿Cuál es la reducción total que sufren las medidas de los lados del cuadrado original? d) Si el área del primer cuadrado es 64 cm2, ¿qué área tienen el segundo y el tercer cuadrados? e) ¿El área aumenta o disminuye en la misma proporción que los lados? ¿Sí? ¿No? Expliquen a sus compañeros cómo hicieron para encontrar las áreas y la relación existente entre las áreas y las escalas de reducción.

136

Matemáticas 1

BLOQUE 21

Con el rectángulo que se muestra en la figura realicen las siguientes indicaciones:

4

a) Amplíenlo tres veces las longitudes de los lados. b) A partir del rectángulo obtenido (rectángulo dos), reduzcan cuatro veces las longitudes de los lados.

Rectángulo original

Rectángulo dos

Rectángulo final

c) ¿ Qué factor de proporcionalidad fraccionario tienen que aplicar directamente al rectángulo original para obtener el rectángulo final? _____________________________________________________ d) ¿Obtendrán el mismo rectángulo final si reducen cuatro veces las longitudes de los lados del rectángulo original y luego los amplían tres veces? Comenten con sus compañeros la respuesta. e) ¿El área aumenta o disminuye en la misma proporción que los lados? ¿Sí? ¿No? _________________





Para saber más de… a plicación sucesiva de los factores constantes de proporcionalidad

Lección 29

Trabaja en equipo

En el bloque 1, subtema 1.6, estudiaron el factor de proporcionalidad constante. Allí desarrollaron problemas que incluían factores enteros. Luego, en la lección anterior, estudiaron los factores fraccionarios para encontrar valores desconocidos. El factor de proporcionalidad constante corresponde al factor (número) por el cual se puede multiplicar cualquier elemento del primer conjunto (x) para obtener el correspondiente del segundo conjunto (y). 1

Pepe y Lupe partieron de un mismo triángulo y le hicieron las siguientes modificaciones: a) Pepe tomó el triángulo original y amplió tres veces el tamaño de sus lados. Luego, redujo cuatro veces el tamaño de los lados del segundo triángulo.

Triángulo original Eje: manejo de la información

Segundo triángulo

Triángulo final Matemáticas 1

137

Tema: Análisis de la información

b) Lupe redujo cuatro veces el tamaño de los lados del triángulo y luego amplió tres veces el tamaño de los lados del segundo triángulo.

Triángulo original

Segundo triángulo

Triángulo final

i. ¿Qué sucedió en ambos casos? ii. ¿Cuál fue el factor fraccionario que se aplicó?

3 iii. ¿Se puede interpretar como “por 3 entre 4” el factor fraccionario – ? ¿Por qué? 4 3 iv. ¿Se puede interpretar “entre 4 por 3” el factor fraccionario – ? ¿Por qué? 4 a v. ¿Qué pueden concluir de los incisos iii) y iv) si tienen un factor fraccionario – con b b diferente de cero? c) ¿Cómo interpretarían si al triángulo original le aplican el factor de proporcionalidad 2 fraccionario – ? 3 d) ¿Cómo interpretarían si al triángulo original le aplican el factor de proporcionalidad frac3 2 cionario – y seguidamente le aplican el factor – ? Dibujen en la siguiente cuadrícula cada 4 3 uno de los triángulos que se obtienen.

a El factor constante fraccionario – (siendo b diferente de cero) se puede interpretar como la comb posición de dos operadores enteros así: “por a entre b” o bien “entre b por a”.

138

Matemáticas 1

BLOQUE 21

2

José quiere bajar de peso, por lo que acudió a una nutrióloga que le recomendó el siguiente programa de comida por una semana.

Receta para José Opciones de desayuno a) Una porción de 100 gr de pollo o pavo acompañados con una taza de ejotes al vapor con mantequilla. b) Cuatro salchichas de pavo preparadas a la mexicana con una taza de chayotes aderezados con mantequilla. c) 60 gr de cereal combinado con cuatro raciones de fruta. Opciones de comida a) 150 gr de salmón asado o pescado con cebollinas, ensalada verde preparada con acelgas, espinacas y pepinos. b) Un bistec (120 gr) con ensalada verde. c) Cuatro piezas de albóndigas preparadas con carne molida de pollo, bañadas en salsa de jitomate y acompañadas con una taza de calabacitas y queso rayado. Opciones de cena Dos salchichas a la mexicana y dos rebanadas de pan integral. Una taza de frutas (melón, kiwi y uvas) con cuatro cucharadas de queso cottage y cuatro galletas Marías. 3 A la segunda semana, la nutrióloga le ordenó reducir su dieta a las – partes y para la tercera semana 4 solamente debía consumir la mitad de lo que consumió la segunda semana. a) ¿En cuánto redujo en total el plan alimenticio de la tercera semana con respecto al plan alimenticio dado en la primera semana?

b) Especifiquen las porciones que deberá consumir en la segunda y tercera semanas. Segunda semana

Eje: manejo de la información

Tercera semana

Matemáticas 1

139

Tema: Análisis de la información

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.





Por tu cuenta

Lección 30 1

Trabaja individualmente

Investiga cuáles son las medidas de un anuncio espectacular de forma rectangular y contesta: 2 3 Si le aplicas una escala de reducción en los lados de y en seguida lo reduces nuevamente con una escala de , 3 4 ¿cuál es la reduc­ción total que sufren los lados del anuncio? ¿Cuáles son las medidas de los lados finales?

¿En cuánto se reduce su área original? ____________________________________________________________ 2

Dibuja un cuadrilátero. Redúcelo 0.4 veces el tamaño de sus lados y en seguida amplíalo 1.5 veces el tamaño de los lados del segundo cuadrilátero. ¿Cuál es el efecto final en relación con el cuadrilátero original? __________________ ___________________________________________________________________________________________

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

140

Matemáticas 1

¿Cómo hubieras tú solucionado el problema planteado en esta historieta? ¿En qué otra situación puedes aplicar el tema que acabas de aprender?

Eje: manejo de la información

Matemáticas 1

141

EL MARAVILLOSO MUNDO DE LOS ROMPECABEZAS ¿Te gustaría hacer figuras como las que se muestran a la derecha utilizando solamente nueve piezas? Primero debes saber cómo obtener las nueve piezas, para que después puedas recortarlas, colorearlas, pegarlas en un material resistente y ¡jugar con ellas!

A continuación se muestra el procedimiento para obtener las nueve piezas a partir de una simple figura de huevo.

El huevo mágico Trazar los dos diámetros perpendiculares, un círculo con centro en O, dos cuerdas EM y EL, dos arcos KL y JM con cen­ tro en M y L, un arco KJ con centro en E, los puntos H (HI = EJ), F y G.

K J

E

L

F G

O

M

H

I

Los tangramas Seguramente ya conoces qué es un tangrama; sin embargo, ¿sabías que hay una gran variedad de ellos? A continuación se muestran sólo algunos, pero tú puedes ampliar esta colección. ¿Te gustaría hacer tus propios tangramas? Sólo tienes que investigar cómo se construyen y proponer las figuras que pueden armarse con sus piezas.

Tangrama de cuatro piezas I, J, K, L puntos medios de los lados del cuadrado

A

I

B H

L

Tangrama de 4 piezas

142

D

J

K

C

Algunas figuras

Tangrama circular

Se compone de siete piezas recortadas en los dos círculos.

Tangrama circular R

R

El círculo problemático

R

Círculo problemático

R

Con el propósito de que expliques a tus compañeros y com­pañeras las bases geométricas para hacer los rom­ pecabezas, elabora en una cartulina los trazos de cada uno de los rom­pecabezas presentados o de otros que tú conozcas. El propósito es que puedas exponer tus trabajos en una Feria de las matemáticas al finalizar el curso. Además puedes elaborar las piezas con un material durable y vistoso para que todo el público pue­da trabajar. Observa los ejemplos de cómo puedes di­vertirte con el mágico y entretenido mundo de los rompecabezas.

Todo corazón

M N

M N

Tangrama corazón

143

144

Bloque 3

Aprendizajes esperados En este bloque: i Resolverás problemas que impliquen efectuar divisiones con números decimales. i Resolverás problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: i

i

i i

x  a  b; ax  b  c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. Resolverás problemas que impliquen el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje  cantidad base  tasa Resolverás problemas que impliquen el cálculo de cualquiera de los términos de las fórmulas para calcular el área de triángulos, romboides y trapecios; asimismo, explicarás las relaciones entre el perímetro y el área de estas figuras. Interpretarás y construirás gráficas de barras y circulares con frecuencias absolutas y relativas. Compararás la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para tomar decisiones. 145

3.1 Problemas multiplicativos División de números decimales Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

¿Qué sabemos de… división de números decimales? Lección 1 1

Trabaja en equipo

En la ciudad de Guadalajara se realizó una competencia de atletismo en la modalidad de carreras. La distancia que tenían que correr los competidores fue de 4.2 km. El atleta que ocupó el primer lugar corrió a una velocidad promedio de 10.5 kilómetros por hora y quien ocupó el segundo lugar corrió a una velocidad promedio de 8.4 kilómetros por hora.

¿Qué tiempo tardó el atleta ganador en recorrer los 4.2 kilómetros? ____________________ ¿Qué tiempo tardó el atleta que ocupó el segundo lugar? ____________________ Especifiquen las horas y los minutos que tardaron los dos atletas en recorrer los 4.2 kilómetros. Tiempo en horas y minutos del atleta que obtuvo el primer lugar: ____________________ Tiempo en horas y minutos del atleta que obtuvo el segundo lugar: ___________________

146

2

Rosita y algunos de sus compañeros tomaron el autobús para ir de la escuela al cine. Rosita se encargó de pagarle al chofer. Si pagó $37.50 y el costo del pasaje por persona es de $2.50, ¿cuántos fueron al cine? ____________________

3

Supongan que Rosa ahorró diariamente $1.50 y que en total ha reunido $145.50. ¿Durante cuántos días estuvo ahorrando? ____________________

4

Completen las tablas siguientes:

Matemáticas 1

BLOQUE 3

5

Calculen la longitud del lado que se indica como l en cada una de las siguientes figuras geométricas. 0.125

Cantidad de queso panela en kg

0.25

0.5 36.60

Precio en pesos ($)

0.125

Cantidad de queso amarillo en kg

0.25

0.5 35.80

Precio en pesos ($)

2.4 cm

l

A  8.16 cm2 l  __________ l

A  3.52 cm2

l  __________

3.2 cm

Para saber más de… división de números decimales Lección 2

Trabaja en equipo

Juguemos con el dominó Vamos a utilizar un juego de dominó para representar números decimales como se muestra a continuación. El número decimal 1.5 se puede representar con la ficha el número decimal 5.1 si se coloca así:

, o bien esta ficha puede representar

De acuerdo con el juego que vamos a explicarles, ustedes decidirán qué número decimal les conviene representar. El juego consiste en lo siguiente: a) Las fichas deben colocarse boca abajo en una superficie para que no se vean los puntos marcados; cada jugador debe tomar dos fichas. b) Los jugadores deben proponer la condición ganadora de cada partida. Por ejemplo: “Gana aquel que obtenga el mayor cociente de la división entre los dos números decimales que representan las fichas”.

Recuerden que en la división de dos números, el que divide se llama divisor y el otro dividendo; el resultado de la división se denomina cociente y lo que sobra recibe el nombre de residuo, como se indica en el siguiente ejemplo. Divisor

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

3

11.58 34.75 4 17 25 1

Cociente Dividendo

Residuo Matemáticas 1

147

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

c) De acuerdo con las fichas que les toque a cada jugador, éste debe representar los números decimales que le convengan y elegir cuál tomará como dividendo y cuál como divisor. Por ejemplo, supongan que tienen las fichas siguientes:

1

¿Cuál de las siguientes divisiones les convendría elegir para que el cociente sea el mayor posible? 4.1 ÷ 5.3

5.3 ÷ 4.1

1.4 ÷ 5.3

5.3 ÷ 1.4

3.5 ÷ 4.1

4.1 ÷ 3.5

1.4 ÷ 3.5

3.5 ÷ 1.4

o bien o bien o bien En lugar de hacer cada una de las divisiones —porque se demorarían demasiado y sus compañeros se impacientarían—, fíjense en las características que deben tener tanto el dividendo como el divisor para que se cumpla la regla especificada en el juego (podrían hacer una estimación). División

Estimación de la parte entera del cociente que se obtendría

4.1  5.3 5.3  4.1

1

1.4  5.3 5.3  1.4

3

3.5  4.1 4.1  3.5 1.4  3.5 3.5  1.4 a) ¿Cuál de los ocho casos eligieron? ____________________ Con el caso o los casos que hayan elegido, realicen la división para que den el resultado a sus compañeros y así puedan determinar quién gana. b) De los ocho casos listados en el cuadro anterior, ¿cuál elegirían si la condición para ganar fuese obtener el menor cociente posible? ____________________ Una manera de hacer la división de dos números decimales es convertir cada número expresado en notación decimal a fracción decimal y realizar la división de fracciones. Finalmente, expresen en notación decimal la fracción decimal obtenida como cociente.

148

Matemáticas 1

BLOQUE 3

2

Analicen el siguiente texto, discútanlo en equipo y respondan las siguientes preguntas:

Dividir 2.68 entre 0.4. ¿Qué se hace para convertir los números 2.68 y 0.4 en fracciones decimales? Veamos qué sucede si multiplican 2.68 por 100 y a la vez dividen entre 100: 100 100

268 100

10 10

4 10

2.68  ——  —— y análogamente 0.4  —  —

El número que obtienen es el mismo número dado (como si éste lo multiplicaran por 1, el neutro multiplicativo). ¿Recuerdan cómo dividir fracciones? Una manera de hacerlo consiste en usar el inverso 4 10

10 4

4 10

10 4

multiplicativo (el inverso multiplicativo de —— es ——, porque —  —  1): 268 4 268 10 2 680 268 67 ——  —  ——  —  ———  ——  —  6.7 100 10 100 4 400 40 10

Pueden simplificar este procedimiento de la siguiente manera: multiplican el dividendo y el divisor por una misma potencia de base 10 y luego realizan la división: 2.68 2.68 100 268 ———  ———  ——  ——  6.7 0.4 0.4 100 40

En este ejemplo, la división es de dos números expresados en su forma decimal. Ahora veamos dos ejemplos en los que intervienen un número entero y un número decimal. Dividir 5 entre 0.6. En este caso solamente tenemos que convertir a fracción decimal el número 0.6: 10 10

6 10

0.6  —  — Ahora realicemos la división:

6 5 10 50 – 5  —  –  —  —  8.333…  8.3 10

1

6

6

Simplificando el procedimiento: 5 5 10 50 – ——  ——  —  —  8.3 0.6 0.6 10 6

Dividir 0.35 entre 4. En este caso solamente tenemos que convertir a fracción decimal el número 0.35: 100 100

35 100

0.35  ——  ——

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

149

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

Ahora realicemos la división: 35 35 1 35 7 ——  4  ——  –  ——  —  0.0875 100 100 400 80 4

Simplificando el procedimiento: 0.35 0.35 100 35 ———  ———  ——  —— 0.0875 4 4 100 400 a) Si observan la parte donde se simplifica el procedimiento, podrán percatarse de que en un caso se multiplicó por 10 y se dividió entre 10, y en el otro se multiplicó por 100 y se dividió entre 100. ¿Cómo determinan por cuál potencia de 10 deben multiplicar el dividendo y el divisor?

b) Observen y conjeturen: ¿qué sucede con el resultado de la división, con el cociente, cuando el divisor es un número que en la parte entera de su expresión decimal es cero? Pueden utilizar la calculadora para resolver otros ejercicios parecidos y así corroborar su respuesta a esta pregunta. Usen como referencia el procedimiento ejemplificado antes para elaborar su explicación:

c) En cada uno de los ejemplos anteriores, indiquen cuál fue el residuo. Comparen los cocientes y describan en qué difieren:

3

Si tienen en un contenedor 13.125 L de alcohol y quieren envasarlo en botellas cuya capacidad es de 0.75 L, ¿cuántas botellas necesitarán? ________________________________________ Si queda alguna botella incompleta, ¿cuánto alcohol hace falta para llenarla?

4

La estatura del papá de Juan es de 1.78 m y ésta es 2.5 veces mayor que la de Juan. ¿Cuánto mide Juan? _________________________

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. 150

Matemáticas 1

BLOQUE 3

Por tu cuenta Lección 3

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Resuelve los problemas siguientes y comenta con tus compañeros los procedimientos que sigas: 1

Una lancha recorre 38.5 km en 1.75 h a una velocidad constante. ¿Qué distancia puede recorrer en 1 h? __________ ¿A cuántas horas y minutos equivale 1.75 h? _______________

2

El precio del dólar estadounidense a la venta es de 10.65 pesos mexicanos. Si el cajero entregó a Pedro $1 299.30, ¿cuántos dólares vendió Pedro?

3

Se quiere colocar losetas cuadradas de 20 cm de lado al piso de una habitación que mide 3.5 m de ancho y 4.5 m de largo. ¿Cuántas losetas se emplearán? _________ ¿Cuántas losetas se tendrán que partir? _________

4

Investiga en la biblioteca escolar, con un profesor de ciencias o en internet el concepto de velocidad de un móvil. Luego resuelve el siguiente problema: Un automóvil recorrió 250.75 km en 2.5 h. Suponiendo que la velocidad fue constante durante ese trayecto, ¿a qué velocidad se desplazó el automóvil? _________________________________

Discutan la historie ta de la siguiente página y contesten las preguntas que ahí se plante an.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

151

¿Te parece eficiente la forma como encontraron el precio del kilo de jamón? ¿O es innecesario? ¿De qué otra manera se hubiera podido resolver? 152

Matemáticas 1

3.2 Ecuaciones Ecuaciones de primer grado Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x  a  b, ax  b

y

ax  b  c,

utilizando propiedades de la igualdad, siendo a, b y c números naturales o decimales.

¿Qué sabemos de… ecuaciones de primer grado? Lección 4 1

Trabaja en equipo

Carlos compró una computadora portátil en $12 524.50. El precio original de ésta era de $14 567.00. Denoten con d el descuento que se hace en la compra de la computadora y rescriban el siguiente enunciado usando números y la literal d. El precio original de la computadora portátil es igual a la suma de lo que se paga en caja más el descuento que se otorga al cliente por pagar en efectivo:

¿Cuál es el valor de d? ______________________ 2

Por la compra de dos teléfonos celulares iguales se pagan $850.00. Denoten con m el precio de un teléfono celular y planteen con números y literales el enunciado anterior:

¿Cuál es el precio de cada teléfono celular? ______________________ 3

Observen la siguiente figura. x

A  8.75 cm2

3.5 cm EJE: SENTIDO FORMA, ESPACIO NUMÉRICO Y MEDIDA Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

153

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo? ______________________________ Remplacen en la fórmula que utilizaron para calcular el área de un rectángulo los valores que se muestran en la figura. ¿Cuánto mide la longitud denotada como x de uno de los lados del rectángulo? _________________ 4

La renta fija bimestral del servicio de gas natural es de $49.00 y el costo por metro cúbico es de $1.60. Entonces, para calcular el pago del consumo bimestral de gas de una vivienda, se debe multiplicar el consumo en metros cúbicos por el costo del metro cúbico y sumar a este producto el costo de la renta fija. Planteen una fórmula que permita calcular el pago bimestral del servicio de gas:

Si el recibo del consumo de gas del bimestre pasado fue de $171.00, ¿cuántos metros cúbicos se consumieron en ese bimestre? ________________________________________________________________________

Para saber más de… ecuaciones de primer grado Lección 5

Trabaja en equipo

Analicen en grupo, con su profesor o profesora, el planteamiento y resolución de ecuaciones correspondientes a los siguientes problemas: 1

Pablo quiere que sus compañeros adivinen cuánto dinero tiene en su bolsillo. Para ello les informa lo siguiente: “Si la cantidad de dinero que tengo en mi bolsillo la multiplico por 5 y a este producto le resto $128.00, obtendré $62.00”. Intenten plantear una ecuación que represente esta situación con ayuda de su profesor. Intenten resolver la ecuación y comprueben la solución.

2

El perímetro del triángulo que se muestra en la figura es de 12.17 cm. Planteen una ecuación mediante la cual puedan encontrar el valor de la incógnita x.

4.24 cm

x

2.83 cm

154

Matemáticas 1

BLOQUE 3

3

Una empresa de teléfonos cobra por el servicio una renta fija de $220.00 al mes. Esa renta fija otorga el derecho a realizar 100 llamadas locales, sin costo adicional. Pedro realizó 128 llamadas el mes pasado y el recibo de cobro fue de $262.00. Planteen una ecuación que represente esta situación y determinen cuánto cobra esta compañía telefónica por cada llamada adicional a las 100.

4

Carlos realizó una llamada de su teléfono celular, la cual duró 25 minutos. Luego consultó su saldo y éste era de $352.50. Planteen una ecuación mediante la cual puedan determinar cuál era su saldo inicial, si cada minuto de una llamada por teléfono celular cuesta $4.00.

Cada uno de los problemas anteriores está planteado en nuestro lenguaje común; se pidió plantearlo mediante expresiones matemáticas con números y literales. En cada uno de esos problemas que replantearon, las literales se utilizaron para representar algún valor desconocido. En realidad, se les pidió que replantearan cada problema mediante una ecuación. Una ecuación es una igualdad de dos expresiones matemáticas en las que intervienen uno o varios valores desconocidos, los cuales reciben el nombre de incógnitas. Por ejemplo, 3s  2  14

es una ecuación en la que la incógnita es s, que en este caso tiene un valor de 4. El valor que toma la incógnita de modo que se cumpla la igualdad se llama solución de la ecuación.

5

Expliquen si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o no. En caso de que se trate de una ecuación, resuélvanla (es decir, determinen el valor de la incógnita): p  8  11

24  36  60

Lección 6 1

15.5 t  121  167.5

0.75  1.28  2.03

Trabaja en equipo

Se tiene una balanza con cajas que pesan lo mismo. ¿Cuánto pesará una caja? Observen que podemos ir transformando el contenido de los platillos de la balanza sin desequilibrarla.

 g

2

15.43r  16.5

 g

Analicen el siguiente texto y discútanlo en equipo. Después respondan las siguientes preguntas: En una igualdad, la expresión que aparece a la izquierda del signo  se llama primer miembro de la igualdad; la que aparece a la derecha, segundo miembro de la igualdad.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

155

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

Propiedades de una igualdad ‹ Si a los dos miembros de una igualdad se les suma la misma cantidad, se seguirá cumpliendo la igualdad. Esto es, si a  b, entonces a  c  b  c. ‹ Si a los dos miembros de una igualdad se les resta la misma cantidad, se seguirá cumpliendo la igualdad. Esto es, si a  b, entonces a – c  b – c ‹ Si los dos miembros de una igualdad se dividen entre una misma cantidad distinta de 0, se seguirá cumpliendo la igualdad. Esto es, a c

b c

si a  b y c es distinto de 0, entonces —  —

Para resolver una ecuación de la forma x  a  b, Pepe hizo uso de las propiedades de la igualdad así: si x  a  b, entonces x  a – a  b – a esto es, xb–a

3

Planteen una ecuación que represente la siguiente situación y encuentren el valor de la incógnita: “Del cajero electrónico retiré $3 450.00 y el saldo que se mostró en la pantalla fue de $8 756.50. ¿Cuál era el saldo antes de hacer el retiro?”

Para resolver una ecuación de la forma ax  b, Pepe hizo uso nuevamente de las propiedades de las igualdades así: ax b si ax  b, entonces —  – a a esto es, b x – a

156

Matemáticas 1

BLOQUE 3

4

Planteen una ecuación que represente la siguiente situación y determinen el valor de la incógnita: “Con $84 tres personas pagaron su entrada al cine y el importe de una bolsa grande de palomitas que costó $12. ¿Cuánto costó un boleto?” Pista: denoten como x lo que cuesta un boleto. Se puede resolver una ecuación de la forma ax  b  c haciendo uso de las propiedades de la igualdad a, b y c vistas antes.

Dada la ecuación ax  b  c, se tiene que ax  b – b  c – b.

(Por la segunda propiedad)

Así, ax  c  b Luego, c–b ax —  —— . a a

(Por la tercera propiedad)

Esto es, c–b x  —— a

5

Planteen una ecuación que represente la siguiente situación y determinen el valor de la incógnita. • Por cinco cuadernos y un lapicero pagué en total $85.00. El lapicero costó $22.50.

6

Planteen tres problemas que se puedan resolver mediante ecuaciones de la forma x  a  b, ax  b y ax  b  c Discútanlos con sus compañeros de equipo. Después de resolver una ecuación, se puede comprobar si la solución hallada es correcta. Sólo se tiene que remplazar el valor encontrado de la incógnita y ver si la igualdad se cumple.

7

Verifiquen si x  2 es solución de la ecuación 10x  10.2  30.

8

Verifiquen si x  3 es solución de la ecuación 12x  10  46.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

157

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

Por tu cuenta Lección 7 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Resuelve en tu cuaderno cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba la solución en cada caso: x  22  37.5 3 x  12.4

2

3x  54  120 3x  175  212.5

32.5 x  162.5 21x  48.5  101

Completa la siguiente tabla. Observa el ejemplo de la primera fila. Enunciado verbal

La octava parte de un número más 12 da como resultado 14

Planteamiento de la ecuación

Como 1 –  0.125, 8 se tiene que 0.125x  12  14

Resolución

0.125x  12 – 12  14 – 12 0.125x  2 0.125x ——— 0.125

2

—— — 0.125

Comprobación

0.125x  12  14 0.125 (16)  12  14 2  12  14 14  14

x  16 El doble de un número menos 20.5 da como resultado 30 5x  22

x  25 – 25  120 – 25

Al multiplicar un número por 10 y sumar 20 al producto, da como resultado 22.5

Discutan en todo el grupo la historie ta de la siguiente página y contesten la pregunta. 158

Matemáticas 1

¿Y a ti para qué te sir ve el tema que acabas de aprender?

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

159

3.3 Figuras planas Construcción de triángulos y cuadriláteros Conocimientos y habilidades Construirás triángulos y cuadriláteros y analizarás las condiciones de posibilidad y unicidad en estas construcciones.

¿Qué sabemos de… construcción de triángulos y cuadriláteros? Lección 8 1

Trabaja en equipo

Juana y Carlos se reunieron en casa de Lupe para hacer la tarea que la maestra Yolanda les asignó. Cada uno de ellos tenía que construir un triángulo utilizando tiras de hilo. Juana, Carlos y Lupe cortaron trozos de hilo con las siguientes medidas: Intentos de Juana

Intentos de Carlos 3 cm

8 cm

5 cm 3 cm

8 cm 8 cm

4 cm

5 cm

3 cm 4 cm 8 cm

Intentos de Lupe

4 cm

160

Matemáticas 1

5 cm 5 cm

2 cm

4 cm

2 cm

3 cm

BLOQUE 3

¿Creen que hayan logrado construir un triángulo con las medidas que eligieron? ¿Por qué? 2

Juana, Carlos y Lupe se pusieron de acuerdo para que los tres utilizaran trozos de hilo con las longitudes que se muestran a continuación: 3 cm 4 cm 6 cm

Luego cada quien construyó un triángulo como se muestra a continuación: Triángulo de Lupe

Triángulo de Juana

Triángulo de Carlos 4 cm

4 cm

6 cm 3 cm

6 cm

3 cm

3 cm

6 cm

4 cm

¿Son diferentes los tres triángulos que construyeron? Expliquen a sus compañeros las razones de sus respuestas. 3

Finalmente se pusieron de acuerdo en que los tres utilizaran dos trozos de hilo con las longitudes que se muestran a continuación; la longitud del tercer trozo de hilo para formar el triángulo la elegirá cada quien independientemente. 6 cm 9 cm

¿Qué les sugerirían para que elijan la medida del tercer trozo de hilo de modo que se pueda formar un triángulo junto con los otros dos trozos? _________________________________________________________________ ¿Serán diferentes los triángulos que construyan? ¿Por qué? ____________________________________________ En esta situación, ¿cuántos triángulos distintos se pueden construir? ________________________ 4

Tracen los siguientes triángulos en una hoja de cartulina y recórtenlos: a) Un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5 cm, respectivamente. b) Un triángulo cuyos dos de sus lados midan 3 y 4 cm y el ángulo que formen entre sí sea de 90o. c) Un triángulo cuyos dos de sus ángulos midan 90 y 36.87o y el lado común a ambos ángulos sea de 4 cm. Coloquen los tres triángulos uno encima de otro. ¿Son del mismo tamaño los tres triángulos? ¿Por qué?

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

161

TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS

5

Observen las siguientes figuras y hagan lo que se indica: a) Marquen con color rojo el contorno de los cuadriláteros que puedan identificar en ellas. b) Especifiquen de qué tipo de cuadrilátero se trata en cada caso.

ALTO

CEDA EL PASO

6

Laura y Juan trazaron un cuadrado y un rectángulo usando tiras de hilo. Cada uno cortó cuatro tiras de hilo de 5 cm para el cuadrado y dos de 7 cm y otras dos de 10 cm para el rectángulo. a) ¿Es el cuadrado que construyó Laura igual al que construyó Juan? _______________________________ b) ¿Es el rectángulo que construyó Laura igual al que construyó Juan? ______________________________ c) ¿Qué condiciones deben cumplir dos cuadrados para que sean iguales? __________________________ d) ¿Qué condiciones deben cumplir dos rectángulos para que sean iguales? _________________________

7

Laura y Juan utilizaron después las tiras de hilo de 5 cm para construir un rombo. Laura construyó el rombo rojo y Juan el rombo azul. a) ¿Son iguales estos dos rombos? ___________ b) ¿Cuántos rombos diferentes se podrían construir con las cuatro tiras de hilo de 5 cm? ______ ___________________

5 cm

m

5c

c) ¿Qué condiciones deben cumplir dos rombos para que sean iguales? ____________________________

8

162

La maestra de Laura le indicó las siguientes medidas para construir un romboide: el segmento de la base de la figura debe medir 8 cm y su altura 5 cm.

Matemáticas 1

BLOQUE 3

a) ¿Se puede construir un romboide con estos datos? ____________________ b) ¿Cuántos romboides distintos se pueden construir con estas medidas? ________________________ c) ¿Qué condiciones deben cumplir dos romboides para que sean iguales? ________________________

Para saber más de… construcción de triángulos y cuadriláteros Lección 9

Trabaja en equipo

Triángulo Es posible construir un triángulo si se conocen: • Las longitudes de sus tres lados, • Las longitudes de dos de sus lados y el ángulo que forman, o • Las amplitudes de dos de sus ángulos y la longitud del lado común a ellos. Enseguida van a construir un triángulo de cada caso. Trabajen en su cuaderno. Indicaciones para construir un triángulo cuando se conocen las longitudes de sus tres lados. 1

Construyamos un triángulo cuyos lados miden respectivamente 5, 7 y 9 cm. a) Tracen un segmento AB cuya longitud sea igual a alguna de las que se dan (de preferencia, tomen el segmento de longitud mayor). Así, tracen un segmento de longitud igual a 9 cm. A 9 cm

b) Luego tracen una circunferencia con centro en A y radio igual a alguna de las otras dos longitudes dadas. Así, tomen este radio igual a 5 cm.

B

c) Tracen una segunda circunferencia con centro en B y radio igual a la longitud restante dada (en este caso, de radio igual a 7 cm). 7 cm

A

B 5 cm A

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

B

Matemáticas 1

163

TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS

d) Finalmente, denotando con C y D los puntos de intersección de las dos circunferencias, tracen el segmento rectilíneo a partir de uno de ellos, digamos C, al punto A, así como el segmento CB. De esta manera han construido el triángulo ABC, que cumple las condiciones especificadas. C

B

A

D

2

De acuerdo con las indicaciones anteriores, construyan un triángulo cuyos lados midan, respectivamente, 4, 3 y 2 cm en el espacio siguiente.

Indicaciones para construir un triángulo cuando se conoce la longitud de dos de sus lados y el ángulo que se forma entre ellos. 3

Construyamos un triángulo cuyos dos de sus lados midan 5 y 7 cm, y el ángulo que forman éstos sea de 60°. a) Tracen un segmento rectilíneo AB de longitud igual a la de cualquiera de los dos lados (de preferencia tomen el segmento de mayor longitud). Así, tracen un segmento de longitud igual a 7 cm.

A

7 cm

b) Tracen el ángulo con vértice en A de modo que AB sea uno de sus lados. En este caso el ángulo es de 60°.

B A

164

Matemáticas 1

60°

7 cm

B

BLOQUE 3

c) Tracen una circunferencia con centro en A y radio igual a la otra longitud dada (en este caso, de radio igual a 5 cm).

d) Sea C el punto de intersección de la circunferencia y el otro LADO del ángulo. Tracen el segmento CB. De esta manera han construido el triángulo ABC, que cumple las condiciones especificadas.

5c

5c

m

m

C

A

4

60°

60°

B

7 cm

A

B

7 cm

Construyan en sus cuadernos un triángulo cuyos dos de sus lados midan 4 y 6 cm, los cuales forman un ángulo de 45° en el siguiente espacio. Indicaciones para construir un triángulo cuando se conocen dos de sus ángulos y la longitud del lado común entre ellos.

5

Construyamos un triángulo, uno de cuyos ángulos sea de 60° y otro de 50°, y el lado común mida 5 cm. a) Tracen un segmento rectilíneo AB de longitud igual a 5 cm.

5 cm

A

b) Tracen uno de sus ángulos con vértice en A de modo que AB sea uno de sus lados (en este caso de 60°).

c) Tracen el otro ángulo con vértice en B de modo que BA sea uno de sus lados.

B

C 60° A

5 cm

B

d) Sea C el punto de intersección de los lados no comunes de los dos ángulos que se acaban de trazar. De esta manera han construido un triángulo ABC, que cumple las condiciones especificadas. Construyan en sus cuadernos un triángulo cuyos dos de sus ángulos midan 30 y 50°, con un lado común entre ellos de 10 cm.

7

Juana, Carlos y Lupe decidieron construir cada uno un triángulo de modo que la longitud de dos de sus lados sea de 6 y 9 cm y uno de sus ángulos mida 75°.

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

A

50° 5 cm

B

75° 6 cm

6

60°

9 cm Matemáticas 1

165

TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS

Éste es el triángulo que construyó Juana.

Éste es el triángulo que construyó Lupe. 75°

m

6c

6 cm

75° 75° 9 cm

9 cm

a) ¿Son iguales los tres triángulos? Justifiquen sus respuestas: __________________________

Lección 10

Trabaja en equipo

Cuadrilátero Un cuadrilátero es una figura plana limitada por cuatro líneas rectas. Los cuadriláteros se clasifican en cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, trapecios y trapezoides. Un rectángulo se puede construir si se conocen solamente las longitudes de sus lados, pues, como sabemos, debe tener rectos sus cuatro ángulos. Para el cuadrado sólo necesitamos conocer la longitud de su lado. Con sólo saber que el lado de un cuadrado debe ser igual a 6 cm, podemos construirlo. Constrúyanlo en su cuaderno y comparen su figura con la que construyeron los otros equipos. ¿Son iguales? 6 cm De manera que cualesquiera otros cuadrados que se construyan en donde la longitud de sus lados sea igual a 6 cm serán iguales entre sí. 1

Construyan en su cuaderno un rectángulo cuyos dos de sus lados tengan una longitud de 7 y 12 cm respectivamente. Comparen su figura con la que construyeron los otros equipos. ¿Son iguales? Un rombo es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos iguales. Las diagonales de un cuadrilátero son los segmentos de recta que unen vértices opuestos. Un rombo se puede construir si se conocen: La longitud de su lado y uno de sus ángulos, o Las longitudes de sus dos diagonales. Veamos un ejemplo del primer caso.

166

Matemáticas 1

BLOQUE 3

2

Construyamos un rombo cuyo lado mida 5 cm y uno de sus ángulos sea de 70°. a) Tracen un segmento rectilíneo AB de 5 cm. A

5 cm

b) Tracen un ángulo de 70° con vértice en A de modo que AB sea uno de sus lados.

B

c) Tracen una circunferencia con centro en A y radio igual al segmento AB. Sea C este punto de intersección de la circunferencia con el otro lado del ángulo de 70°.

C

70° A

5 cm

70° B

5 cm

A

B

C

d) Por el punto C tracen una recta paralela al segmento AB y por el punto B tracen una recta paralela al segmento AC. Sea D el punto de intersección de estas dos rectas que se acaban de trazar. De este modo han construido el rombo ABCD, que cumple las condiciones especificadas.

70° A

5 cm

B

Analicemos la construcción de un rombo conociendo las longitudes de sus dos diagonales. Daniela y Jorge construyeron, por separado, un rombo con una diagonal de 10 cm y otra de 12 cm.

12 cm

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

10 cm

Éste es el rombo que trazó Daniela:

Éste es el rombo que trazó Jorge:

10 cm

12 cm

3

Matemáticas 1

167

TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS

a) ¿Son iguales los dos rombos? ¿Por qué? _________________________________________ b) ¿Cuánto miden los ángulos que forman entre sí las diagonales de un rombo? ¿Por qué? Un romboide es un cuadrilátero con lados opuestos iguales y cuyos ángulos opuestos también son iguales. 4

Daniela, Jorge y Tania discuten sobre las condiciones para construir un romboide. Daniela dice que para construir un romboide se necesita conocer la longitud de uno de sus lados, la altura sobre este lado y uno de los ángulos. Jorge piensa que Daniela está equivocada y afirma que para construir un romboide se necesita conocer las longitudes de sus lados y la amplitud de uno de sus ángulos. Y Tania, por su parte, opina que para construir un romboide sólo se necesita conocer las longitudes de sus diagonales. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? _______________________________________________________

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 11

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

1

¿En qué son diferentes un trapecio y un trapezoide? __________________________________________________

2

Dibuja en tu cuaderno un trapecio que cumpla con las siguientes condiciones: uno de los lados paralelos mide 5 cm y los ángulos adyacentes a éste miden 65 y 75º. ¿Cuántos trapecios diferentes se pueden construir con estas condiciones? ________________________________ ¿Haría falta alguna condición para que el trapecio construido sea único? ¿Cuál? _____________________________

3

168

En un grupo de 35 alumnos, cada uno define tres segmentos para construir un triángulo.

Matemáticas 1

BLOQUE 3

¿Cómo deben ser entre sí las longitudes de los segmentos para que se pueda construir un triángulo? __________ ¿Cuántos triángulos distintos se trazarán a lo más en el grupo? ________________ 4

Juana, Carlos y Lupe construyeron, cada uno, un triángulo con dos de sus ángulos de 60 y 70º y la longitud de uno de sus lados de 5.5 cm. ¿Serán iguales los tres triángulos que construyeron? ¿Por qué? _________________________________________ ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con estas condiciones? ________________ ¿Qué condición deben añadir para que los tres triángulos resulten iguales?

5

Después construyeron, cada uno, un triángulo con ángulos de 60, 70 y 50°. ¿Serán iguales los tres triángulos que construyeron? ¿Por qué? _________________________________________ ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir con estas condiciones? ________________ ¿Qué condición deben añadir para que los tres triángulos resulten iguales?

6

Juana quiere construir un triángulo que tenga un ángulo de 65° y otro de 115° y con uno de sus lados igual a 8 cm. ¿Es posible construir un triángulo con estas características? ¿Por qué?

7

Dada la base y la altura de un romboide, ¿es posible construirlo? ¿Se pueden construir distintos romboides con esta información? ________________________________

8

Construye un tangrama con triángulos y cuadriláteros e indica las diferentes figuras que puedes formar con él. ______________________

Discutan en todo el grupo la historie ta de la página siguiente y contesten las preguntas que ahí se plante an.

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

169

¿Y tú qué aprendiste en este subtema? ¿Qué fue lo que más te gustó?

170

Matemáticas 1

3.4 Estimar, medir y calcular Áreas de triángulos y cuadriláteros Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios y realizarás conversiones de medidas de superficie.

¿Qué sabemos de… áreas de triángulos y cuadriláteros? Lección 12 1

Trabaja en equipo

Lupita quiere hacer carteles que tengan diferentes formas geométricas para adornar su salón de clase y quiere que se ocupe la misma cantidad de cartulina para cada cartel. Determinen las longitudes que pueden tener los lados, en centímetros exactos, de carteles en forma de triángulos, rectángulos, trapecios y romboides de modo que tengan un área de un decímetro cuadrado. Anótenlo en su cuaderno.

2

Una cancha de basquetbol tiene un área de 375 m2 y su longitud de 250 dm. ¿Cuántos metros tiene de ancho? _______________

3

Observen el siguiente rectángulo. Cada cuadrado tiene un centímetro de lado.

¿Cuántos de estos cuadrados forman el rectángulo? ____________ ¿Cuál es la longitud del lado más largo del rectángulo? ____________ ¿Cuál es la longitud del lado más corto del rectángulo? ____________ Multipliquen la longitud del lado más largo por la longitud del lado más corto. ¿Qué medida obtienen? ____________ Como recordarán, el área de un rectángulo se obtiene al multiplicar la longitud de su largo (l) por la de su ancho (a). Simbólicamente: A  l  a o bien A  l a EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

171

TEMA: MEDIDA

También se acostumbra escribir la fórmula para calcular el área de un rectángulo como el producto de la longitud de la base (b) por la de la altura (a). Simbólicamente: A  b  a o bien A  ba

Por ejemplo, si se sabe que el área de una cancha de tenis es de 252.72 m2 y que la longitud de uno de sus lados es de 2.34 dam (decámetros), ¿cuál es la longitud, en metros, de su otro lado? ___________ ___________________

Juan lo resuelve así: Primero convertimos los 2.34 decámetros a metros. Como 1 dam es igual a 10 m, multiplicamos 2.34 por 10, con lo cual obtenemos 23.4 m. Como una cancha de tenis es rectangular, sabemos que su área se calcula mediante la fórmula A  b  a. Tenemos que 252.72 m2  23.4 m  a si consideramos que la base b  23.4 m. Luego, a debe ser tal que al multiplicarlo por 23.4 dé 252.72. 4

Terminen de resolver este problema en su cuaderno.

5

Con el fin de unificar los sistemas de medidas, se estableció por primera vez en 1790 el sistema métrico decimal. a) Consulten en la biblioteca escolar sobre este tema (historia, cómo se definió, etc.). b) Completen la siguiente tabla. Guíense por el ejemplo. Unidad de medida

Kilómetro Múltiplos

Símbolo

Km

Equivalencia

1 km = 1 000 m

Hectómetro Decámetro Decímetro

Submúltiplos

Centímetro Milímetro

c) Consulten qué otros múltiplos y submúltiplos hay de esta medida de longitud (metro). 6

172

Legua, pie, vara y pulgada son algunas de las medidas de longitud. Consulten qué otras medidas de longitud hay (aunque no sean muy usuales) y su equivalencia en el sistema métrico decimal.

Matemáticas 1

BLOQUE 3

7

La hectárea es una unidad de medida de superficie. Consulten a cuántos metros cuadrados equivale una hectárea. m2

1 hectárea  8

Consulten qué otras medidas de superficie hay y su respectiva equivalencia.

9

La siguiente figura corresponde al plano del departamento de Marta. 350 cm

4m

Recámara

320 cm

1.7 m

Baño

0.23 dam

Cocina y patio de ropa

0.35 dam

Sala comedor

¿Cuántos metros cuadrados mide la sala comedor? ___________________ ¿Cuántos metros cuadrados tiene la cocina? ___________________ ¿Cuántos metros cuadrados tiene el baño? ___________________ ¿Cuál es el área total del departamento? ___________________ 10

El rancho de Pedro tiene forma rectangular y una superficie de 3 hectáreas. Si su frente mide 150 metros, ¿cuántos metros tiene de fondo?

11

Una ceremonia oficial de bienvenida se realizó en una hacienda que tiene una superficie de 2.75 hectáreas. Proporcionen esta medida también en metros cuadrados.

Para saber más de… áreas de triángulos y cuadriláteros Lección 13 1

Trabaja en equipo

Observen la siguiente figura:

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

173

TEMA: MEDIDA

Si cada cuadrado pequeño tiene un centímetro de lado, ¿cuántos centímetros cuadrados contiene el cuadrado grande? _________________________________________________ ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado grande?______________________________ Como recordarán, un cuadrado es un rectángulo que tiene iguales sus cuatro lados. Así, en la fórmula para calcular el área de un rectángulo, A  b  a, en el caso de un cuadrado se tiene que b  a, por lo que su área se puede calcular mediante la fórmula Aaa 2

o

A  a2

Investiguen cuáles deben ser las dimensiones oficiales de un cuadrilátero de boxeo y anótenlo: ¿Cuál es su área? ___________________ Si cortan una figura en varias partes y luego usan todas las partes para formar una nueva figura, ¿cambia el área de la nueva figura con respecto a la de la original? __________________________

4

Observen el corte que se hace al siguiente romboide para formar una nueva figura geométrica.

✁

3

¿Es el área del romboide la misma que la del rectángulo que se formó con dos partes del romboide? _____________________________________________________________________ 5

Observen los siguientes romboides:

4.12 cm

4 cm

5 cm

4 cm

5 cm

5 cm ¿Cuál es el área del romboide rojo? ____________________ ¿Cuál es el área del romboide azul? ____________________

¿Cómo son las áreas de estos dos romboides una con respecto a la otra? ¿Por qué?

El área de un romboide se obtiene al multiplicar la longitud de un lado, llamado base, por la altura correspondiente a ese lado. Simbólicamente, Aba

174

Matemáticas 1

o bien

A  ba

BLOQUE 3

6

Por ejemplo, determinemos las medidas en centímetros exactos de la base y de la altura de todos los romboides cuya área sea de 24 cm2. Por la fórmula para calcular el área de un romboide, A  b  a, tenemos que 24 cm2 b  a Luego, tenemos que encontrar parejas de números cuyo producto sea 24. Para ello, conviene utilizar la siguiente tabla:

7

Base (cm)

Altura (cm)

Área (cm2)

1

24

24

2

12

24

3

8

24

a) ¿Cuántos romboides se pueden construir en las condiciones de este problema? _______

Un campo de juego de béisbol se denomina diamante. ¿A qué figura geométrica corresponde el diamante de béisbol? _________________________

8

Investiguen cuáles deben ser las dimensiones oficiales de un campo de béisbol; en particular, ¿cuánto mide su área? _______ ______________________________________________________

9

Determinen los valores desconocidos en cada figura.

x5

P  28 cm x  _____ A  _____

x3

h 6 cm

Lección 14 1

A  18 cm2

h  _____

P  18.32 cm

x  _____

Trabaja en equipo

Observen la siguiente figura:

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

175

TEMA: MEDIDA

¿Cuántos triángulos distinguen que se han trazado dentro del rectángulo? ______________________________________ 2

8 cm

Determinen el área del rectángulo y la del triángulo azul trazado con línea más gruesa. Luego comparen ambas áreas. ¿Cómo es el área de una con respecto a la otra?

3

11 cm

En la siguiente figura, la recta CD es paralela al segmento AB. ¿Cuánto mide el área del triángulo ABC?

D C

¿Cuánto mide el área del triángulo ABD? Escojan cualquier punto E en la recta CD y determinen el área del triángulo ABE.

4.74

cm

4.74

cm

A

¿Cómo son las áreas de los triángulos que se pueden formar con los puntos A y B fijos y cualquier otro punto que esté en la recta CD? ¿Por qué?

6.32

cm B

Como han de recordar, el área de un triángulo se obtiene al multiplicar la longitud de un lado (base, b) por la altura (a) correspondiente a ese lado y este producto se divide entre 2. Simbólicaba ba o bien A  ——— mente, A  ——— 2 2 4

Analicen la forma en que Pepe resolvió el siguiente problema: “Si el área de un triángulo es de 48 cm2 siendo su altura de 8 cm, ¿cuánto mide el lado sobre el que se tomó esta altura?” _____________ ba Como la fórmula para calcular el área de un triángulo es A  ———, en este caso se tiene 2 b8 que 48  ———. 2 Al simplificar esta expresión se tiene: 48  b  4 Luego pienso: ¿Qué número b multiplicado por 4 da 48? Como 12  4  48, se tiene que el lado que se tomó como base mide b  12 cm. ¿Cómo lo resolvieron ustedes? ¿Coincide con la forma en que lo resolvió Pepe o es diferente?__________________________________________________________________________

5

Analicen la forma en que Angélica resolvió el siguiente problema: “Si cada uno de los dos lados iguales de un triángulo isósceles es 5 cm más largo que el tercer lado y se sabe que el perímetro de este triángulo es de 31 cm, ¿cuánto mide cada uno de los lados del triángulo?” ______________________________________________________________________

176

Matemáticas 1

BLOQUE 3

Primero hago un bosquejo del triángulo de este problema, e identifico en él cada uno de los lados:

x5

x5

x

Como el perímetro de cualquier figura rectilínea se obtiene al sumar las longitudes de los segmentos de recta que la forman, en este caso se tiene que el perímetro del triángulo sería x  (x 5)  (x  5), lo cual debe ser igual a 31. Luego, x  (x 5)  (x  5)  x  x  x  5 5  3x  10  31. Esto es, 3x  10  31 3x  10 – 10  31 – 10

()

3x  21

()

1 1 –  3x  –  21 3 3 21 x — 3 x7

Tenemos entonces que uno de los lados de este triángulo isósceles es x  7 cm y que cada uno de sus dos lados iguales, x  5, mide 7 5  12 cm. Podemos verificar la solución encontrada: 7 cm  12 cm  12 cm  31 cm que es el perímetro dado del triángulo. ¿Cómo resolvieron ustedes el problema? ¿Coincide con la forma en que lo resolvió Angélica o es diferente? ________________________________________________________________________________

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

177

TEMA: MEDIDA

Por tu cuenta Lección 15 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Observa en la siguiente figura cómo con dos trapecios iguales se puede formar un romboide. b

b

B h

h

B

h

B

b

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un romboide? __________________________ A partir de la fórmula para el área de un romboide, ¿cómo puedes establecer una fórmula para calcular el área de un trapecio? ___________________________________________ De acuerdo con la figura, ¿cuánto mide la base de un romboide que se forma a partir de dos trapecios? ________ ____________________ 2

Observa los siguientes trapecios: 2 cm

2 cm 3.61 cm 3 cm

3.16 cm

14.24 cm 3 cm

5 cm

5 cm

¿Cuánto mide el área del trapecio? _____________________________

¿Cuánto mide el área del trapecio? _____________________________

¿Cómo son las áreas de estos dos trapecios una con respecto a la otra? ¿Por qué?

178

Matemáticas 1

BLOQUE 3

3

Observa la siguiente figura y contesta las preguntas:

a) ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado que corresponde a la cara del muñeco, si su área es de 5.76 m2? __________________________ b) Si cada oreja del muñeco tiene un área de 0.54 m2, su base mayor mide 12 cm y su base menor 0.6 dm, ¿cuál es la altura? ____________________________ c) Si cada ojo del muñeco tiene un perímetro de 12 cm, ¿cuál es la longitud del lado? ¿Cuál es el área que ocupa cada ojo? ___________________________________________________ d) La nariz del muñeco tiene forma de un triángulo isósceles, cada uno de cuyos lados iguales es 3.5 cm más largo que el tercer lado. Si su perímetro es de 0.1 m, ¿cuáles son las longitudes de sus lados? __________________________ e) El sombrero del muñeco ocupa un área de 36 cm2. Si la longitud de uno de sus lados es de 0.3 dm, ¿cuál es la longitud del otro lado? __________________________ f) Si se quiere adornar el lado superior y los lados laterales del sombrero con una cinta de color rojo, ¿cuántos metros de cinta se tienen que comprar? __________________________ g) El área de la boca dibujada del muñeco es de 35.64 cm2 y tiene una altura de 0.054 m. ¿Cuánto mide la base? __________________________

Discutan en todo el grupo la historie ta de la siguiente página y contesten la pregunta.

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

179

Y tú, ¿en qué situación puedes aplicar lo que aprendiste en este subtema?

180

Matemáticas 1

3.5 Relaciones de proporcionalidad Procedimientos expertos Conocimientos y habilidades Resolverás problemas del tipo “valor faltante” utilizando procedimientos expertos.

¿Qué sabemos de… procedimientos expertos? Lección 16 1

Trabaja en equipo

Juanita vende gelatinas en la cooperativa de su escuela, y para agilizar el cobro a los estudiantes, su mamá le hizo la siguiente tabla: Núm. de gelatinas

Total a cobrar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 3.50 $ 7.00 $10.50 $14.00 $17.50 $21.00 $24.50 $28.00 $31.50 $35.00

a) ¿Cómo hizo la mamá de Juanita para completar la columna de la derecha? b) Expliquen el procedimiento que debe realizar Juanita para saber cuánto cobrar por 15 gelatinas. c) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad? 2

Victoria tiene una lavandería y cada quince días se encarga de lavar la ropa de Lupita. En la primera quincena del mes de enero, Lupita

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

181

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

le pagó $122.50 por tres docenas y media de ropa, y en la segunda quincena le pagó $175 por cinco docenas de ropa. a) ¿Cuánto cobra Victoria por lavar una docena de ropa? _______________________ b) ¿Cuánto cobra por lavar una sola prenda? _______________________ 3

Completen las siguientes tablas: Número de docenas de ropa

Total a pagar

Número de prendas

$122.50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8

$175

Total a pagar

$8.75

$26.25

a) En este caso, ¿cuál es el valor de la constante de proporcionalidad por docena y por prenda? _______________________ b) Si Victoria quiere ganar $131.25, ¿cuántas prendas deberá lavar? _______________________ 4

Jorge invitó a sus amigos a comer y pagó $208 por 13 hamburguesas. Luego invitó a un grupo de familiares y pagó $288 por 18 hamburguesas. a) ¿Cuánto cuesta una hamburguesa? _______________________ b) Expliquen el procedimiento que usaron para hallar ese valor:

c) Si Jorge quiere llevar siete hamburguesas, ¿cuánto deberá pagar?

d) Expliquen el procedimiento: ________________________________________________________

182

Matemáticas 1

BLOQUE 3

e) ¿Es verdadera la igualdad

f) En la igualdad

208 288  ? Expliquen su respuesta. ____________________________ 13 18

80 288  , ¿qué representa el valor de b? ________________________________ b 18

¿Cuál es su valor? __________________________ 5

Observen la siguiente tabla; después, basándose sólo en los datos que se muestran, respondan las preguntas. Litros de gasolina

Costo en pesos

2

13.40

4

26.80

6

40.20

a) Si el costo en pesos es de 53.60, ¿cuántos litros de gasolina se suministraron? ________________ b) ¿Qué fila de la tabla utilizaron para encontrar la respuesta? ___________________ c) ¿Cuántos litros de gasolina se suministraron si el costo en pesos fue de 120.60? ______________ d) ¿Qué fila de la tabla utilizaron para encontrar la respuesta? ___________________ e) ¿Cuál es el costo en pesos de 10 litros de gasolina? ___________________ f) ¿Qué fila de la tabla utilizaron para encontrar la respuesta? ___________________ g) ¿Cuál es el costo en pesos de medio litro de gasolina? ___________________ h) ¿Qué fila de la tabla utilizaron para encontrar la respuesta? ___________________

6

i)

¿Cuánto cuesta un litro de gasolina? ___________________

j)

¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ___________________

Observen la tabla siguiente: A

1

2

B

20

32

3

4 34

a) Si es posible, encuentren el valor que hace falta. Justifiquen su respuesta. b) ¿Son proporcionales las magnitudes A y B? Expliquen su respuesta:

Para saber más de… procedimientos expertos Lección 17 1

Trabaja en equipo

Con una tarjeta de celular de $100 se pueden hablar 80 minutos a un celular de la misma empresa o a cualquier número fijo. En caso de hablar a celulares de otras empresas sólo se dispone de 25 minutos.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

183

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

a) ¿Cuánto cuesta el minuto si llaman a un teléfono fijo? _______________________________ b) ¿Cuánto cuesta el minuto si llaman a un celular de otra empresa? _____________________ c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que deben utilizar para conocer el valor de una llamada que tiene una duración de 15 minutos a un celular de la misma empresa y qué cálculos deben realizar? Coméntenlo con sus compañeros y compañeras. 2

Carlos compró una tarjeta para realizar llamadas internacionales desde el teléfono de su casa porque resulta más barato que utilizar el servicio directamente. Con esta tarjeta el costo de la llamada a su amiga Lupita, que está en Colombia, fue de $20.90. Si la llamada duró 19 minutos, ¿cuál será el costo de una segunda llamada con una duración de 43 minutos? a) Analicen el siguiente procedimiento que siguió Julia para resolver este problema.

Primero encuentro el costo de la llamada si habla un solo minuto. Duración de la llamada en minutos

Costo de la llamada en pesos

19

20.90

1

?

Para encontrar el costo de la llamada cuando Carlos habla un solo minuto, se debe realizar la división entre el costo de la llamada en pesos y la duración de la llamada en minutos. Esta división nos proporciona el precio unitario, el cual vamos a denominar constante de proporcionalidad k. La constante de proporcionalidad es: k

Costo de la llamada 20.90   1.1 Duración de la llamada 19

Entonces, la constante de proporcionalidad en este caso es 1.1 y representa el costo de la llamada durante 1 minuto. Se cumple que

1.1 20.90  1 19

¿Cómo resolvieron ustedes el problema? ¿Coincide con el procedimiento que siguió Julia o es diferente?

b) Expliquen el procedimiento que tienen que realizar para encontrar el costo de la segunda llamada, la cual duró 43 minutos.

184

Matemáticas 1

BLOQUE 3

3

Carlos le habló por tercera vez a Lupita y el costo de la llamada fue de 41.80. ¿Cuántos minutos duraron hablando? Para saber cuántos minutos duraron hablando, Lupe aplicó la regla de tres. Duración de la llamada en minutos

Costo de la llamada en pesos

19

20.90

x

41.80

x

794.2 41.80  19  38  20.90 20.90

Por tanto, en la tercera llamada Carlos habló 38 minutos. Lo anterior lo relacionó Lupe de la siguiente manera: 41.80 20.90  x 19

que es equivalente a 20.90x  (41.80)(19)

donde la igualdad se cumple al remplazar el valor de la incógnita por 38. 20.90 ? 19 19 ? b) ¿Qué relación representa la razón 20.90 c) Comenten con sus compañeros si en los dos incisos anteriores se están refiriendo a la misma relación y qué se obtiene cuando se escribe de una u otra forma la razón. a) ¿Qué relación representa la razón

d) ¿Cuánto costaría una llamada de 76 minutos? e) ¿Cuántos minutos llamó si pagó 71.5?

4

Investiguen en el periódico, en internet o en un banco el precio a la venta del euro y del dólar estadounidense; después completen la siguiente tabla: Euro

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Peso mexicano

Dólar

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

Peso mexicano

Matemáticas 1

185

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

De acuerdo con los datos que completaron en la tabla, respondan las siguientes preguntas: a) ¿A cuántos pesos mexicanos equivalen 8 euros? ___________________________________ b) ¿Qué fila de la tabla utilizaron para encontrar la respuesta? _________________________ c) ¿A cuántos pesos mexicanos equivalen 6 dólares? _________________________________ d) ¿Qué fila de la tabla utilizaron para encontrar la respuesta? _________________________ e) ¿A cuántos pesos mexicanos equivalen 30 euros? ___________________________________ f) ¿Qué fila de la tabla utilizaron? ________________________________________________ g) ¿A cuántos pesos mexicanos equivalen 45 dólares? ________________________________ h) ¿Qué fila de la tabla utilizaron? ________________________________________________

i) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en cada caso y qué representa dentro de cada situación? _________________________________________________________________

5

Busquen en internet o en un libro de Física una tabla en la que se manifiesta una relación de proporcionalidad. Después hagan lo que se indica. a) Construyan en su cuaderno una tabla con algunos valores que no estén contemplados en el ejemplo que encontraron. b) Expliquen qué representa la constante de proporcionalidad dentro de esa situación:

6

186

Observen la siguiente tabla y contesten las preguntas.

Matemáticas 1

Número de viajes

Costo del pasaje en metrobús

3

10.50

7

24.50

11

38.50

BLOQUE 3

a) ¿Cuál es el valor de la incógnita en la igualdad

52.5 38.50  ? x 11

x  ________________________________________________________________________ b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 18 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Carlos mandó hacer una reducción de la fotografía de su mascota, la cual se muestra a la derecha. De acuerdo con el tamaño de cada fotografía, la iguall 8 dad  ¿está bien planteada? Justifica tu res1.25 5 puesta:

l

8 cm

1.25 cm

Encuentra el valor de l y explica cómo lo hiciste:

5 cm

¿Cuál fue el factor de reducción que se aplicó a la fotografía? _________________________

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

187

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

2

A continuación se da la lista de ingredientes para preparar arroz poblano para seis personas. Completa la tabla de tal modo que especifiques los ingredientes que se necesitan para preparar el arroz poblano para cuatro personas. Ingredientes (seis personas)

Ingredientes (cuatro personas)

120 g de queso panela cortado en tiras delgadas 1 ½ taza de arroz lavado y escurrido (270 g) 3 chiles poblanos asados, desvenados y pelados (330 g) 13 ramas de cilantro (45 g) ½ taza de grano de elote (120 g) 1 taza de media crema (240 g) 1 diente de ajo (2 g) 3 cucharadas de aceite (30 ml) 1 trozo de cebolla (60 g) 3 tazas de caldo de pollo (750 ml) Sal, comino y pimienta al gusto

Comenten en todo el grupo la historie ta de la siguiente página y contesten las preguntas. 188

Matemáticas 1

¿Cómo hubieras solucionado el problema que tienen nuestros amigos? ¿En qué otra situación de tu vida escolar o de tu vida diaria puedes aplicar lo que aprendiste?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

189

3.6 Porcentajes Cálculo de porcentajes Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen el cálculo de porcentajes, utilizando expresiones fraccionarias o decimales.

¿Qué sabemos de… cálculo de porcentajes? Lección 19 1

En un periódico apareció el siguiente anuncio de rebajas en equipos electrónicos e instrumentos musicales: Artículo Equipo de sonido Pantalla de plasma

Precio de lista

Precio de remate

$32 234 $55 690

$21 090 $39 800

Sistema de teatro en casa Acordeón

$3 990 $14 700

$1 990 $12 000

Guitarra eléctrica Bajo eléctrico

$3 300 $2 500

$2 300 $2 000

De acuerdo con la información anterior, completen la siguiente tabla:

2

Trabaja en equipo

Artículo

Equipo de sonido Pantalla de plasma

Precio de lista

Precio de remate

Descuento

$32 234 $55 690

$21 090 $39 800

34.57%

En una institución educativa aceptaron a 1 000 estudiantes de nuevo ingreso. De estos estudiantes, 60% ingresó a la carrera de administración, 25% a ingeniería y los demás a economía. ¿Cuántos estudiantes ingresaron a cada carrera? _______________ ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que ingresó a la carrera de economía? _______________

190

Matemáticas 1

BLOQUE 3

3

Comenten con sus compañeros los procedimientos que hayan utilizado para determinar las respuestas correctas a estas preguntas.

4

La familia Barrera está planeando salir de vacaciones, por lo que revisó los anuncios del periódico y encontró la siguiente información: ESTE AGOSTO DISFRUTE DOMINICANA Precios en dólares americanos por persona con base en habitación: HOTEL Triple Doble Sencilla Niños 2do. menor gratis Coral Canoa Agosto 8 1025 1055 1235 1 menor 50% descuento Iberostar Punta Cana y Dominicana Agosto 8 1159 1250 1432 1 menor 50% descuento Casa de Campo habitación estándar 1550 1659 1995 2 menores gratis

Los esposos Barrera tienen un hijo de 5 años y otro de 7. Han optado por una habitación triple en el primer hotel de la lista que aparece en el anuncio. ¿Cuánto tienen que pagar por el hijo menor? __________________ ¿Cuánto tienen que pagar en total? __________________ Si el total que tienen que pagar incluye 15% de IVA (impuesto sobre el valor agregado), ¿cuál es el precio de la habitación del hotel sin incluir el IVA? __________________ 5

En una tienda de zapatos hay una barata de verano con descuentos hasta de 50%, además de un descuento adicional de 20% sobre lo ya rebajado. El precio rebajado con 50% de un par de tenis es de $750. ¿Cuánto se pagará por estos tenis, con 20% de descuento adicional? __________________ ¿Cuál fue el porcentaje total de descuento? __________________

6

En una encuesta telefónica realizada en uno de los estados de la República Mexicana a 400 jóvenes, sobre la aceptación de la nueva imagen de tres cantantes famosos, se obtuvieron los siguientes datos:

Cantan te u Ca n

no

sin opinión 29%

malo/ muy malo 19%

nte ta

tr e s

sin opinión 30%

muy bueno/bueno 52%

te dos ntan Ca

muy bueno/bueno 33%

malo/muy malo 37%

Matemáticas 1

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

sin opinión 29%

muy bueno/bueno 34%

191

Ca

o

sin opinión 29%

sin opinión 30%

muy bueno/bueno 52%

malo/

muy bueno/bueno 33%

muyANÁLISIS malo DE LA INFORMACIÓN TEMA: 19%

malo/muy malo 37%

De acuerdo con los porcentajes mostrados en los diagramas circulares anteriores, completen la siguiente tabla:

te dos ntan Ca sin opinión 29%

muy bueno/bueno 34%

malo/muy malo 37%

Muy bueno/bueno

Malo/muy malo

Sin opinión

Cantante uno Cantante dos

148 jóvenes

Cantante tres

7

Cuando encuentran un anuncio o escuchan que algún artículo tiene una rebaja de 50%, saben que solamente deben pagar la mitad de lo que cuesta. ¿Podrían explicar a sus compañeros el por qué de ello?

Para saber más de… cálculo de porcentajes Lección 20 1

Trabaja en equipo

Doña Julia compra dulces de sabores en $0.80 y los vende en $2.20 cada uno, ¿en qué porcentaje se incrementa el precio?:

Cuando se habla de determinado porcentaje, por ejemplo, de un descuento de 50% del precio 50 — — de ese precio. O lo que es lo mismo, en este de un artículo, lo que estamos haciendo es tomar 100 50 1 — — obtenemos la fracción equivalente – , es decir, la mitad. Por caso, al simplificar la fracción 100 2 ello, cuando se habla de 50%, inmediatamente nos damos cuenta de que se hace referencia a la mitad de determinada cantidad. 50 — — , también puede representarse con la Como la expresión 50% corresponde a la fracción 100 expresión decimal 0.50 o, lo que es lo mismo, 0.5: 50 5 1 50% corresponde a la fracción ——  ——  — 100

2

192

10

2

Representen como una fracción y en expresión decimal cada uno de los siguientes porcentajes: 25%

________________

______________________________________

2.5%

________________

______________________________________

0.25% ________________

______________________________________

Matemáticas 1

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

3

BLOQUE 3

30%

________________

______________________________________

3%

________________

______________________________________

0.3%

________________

______________________________________

33.5% ________________

______________________________________

5%

________________

______________________________________

0.5%

________________

______________________________________

En la compra de algunos artículos se debe pagar un impuesto. Anoten en su cuaderno los nombres de cinco artículos por los que se debe pagar impuesto y cinco que estén exentos de impuesto. ¿Saben qué porcentaje se debe pagar de impuesto? Para calcular el porcentaje de una cantidad, lo que tienen que hacer es multiplicar la cantidad ya sea por la fracción o por el número decimal que represente el porcentaje que quieren calcular. Por ejemplo, para calcular 30% de 550, se hace lo siguiente: 30 30% de 550  ——  550  165, o bien, 100 30% de 550  0.30  550  165

4

Si el total de robos en el Distrito Federal durante el año 2004 fue de 44 657, de los cuales 35.9% corresponde a robos de automóviles, ¿cuántos automóviles fueron robados durante este año?

Se les pueden presentar situaciones en las que quieran conocer qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra. Por ejemplo, respecto a la cantidad de robos en el Distrito Federal, se tiene la información de que durante los meses de enero a junio de 2005 ocurrieron 40 911 robos, de los cuales 14 088 fueron de automóviles. ¿Qué porcentaje corresponde a robos de automóviles? Para determinar el porcentaje al que equivalen los 14 088 de 40 911 robos, aplicamos la regla de tres simple. Como los 40 911 robos corresponden al 100%, entonces ¿a qué porcentaje (x) de los robos equivalen los 14 088 robos de automóviles? En una columna colocamos los datos que corresponden a los robos y en la otra los porcentajes así: Robos 40 911 14 088

Porcentaje 100% x 14 088  100% 40 911

x  ————————  34.4%

5

Uno de los clientes de un fondo de inversión invirtió $30 000.00 y obtuvo un rendimiento mensual de $2 289.00. ¿Qué porcentaje recibió de rendimiento? _______________

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

193

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 21 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

El precio de los boletos de avión tiende a incrementarse según la temporada del año en que se viaje. Un boleto de viaje redondo en avión de la Ciudad de México a Miami cuesta 365 dólares en temporada baja; en temporada alta, 511 dólares. ¿En qué porcentaje se incrementa el precio del boleto para este viaje? _________________

2

En un fraccionamiento al sur del Distrito Federal construyeron 120 residencias de lujo. Cada residencia tiene 252 m2 construidos en 370 m2 de terreno. El valor de venta de cada residencia es de $2 035 000.00. Si se aparta la compra de una residencia con sólo 5% de su precio, ¿cuánto dinero se tiene que pagar para apartarla? _________________ Si se tiene que pagar 30% del costo de la residencia para que la entreguen al comprador, ¿a cuánto dinero equivale ese 30%? _________________ Si 45% del total de las residencias construidas ya está vendido, ¿cuántas quedan disponibles? _________________ ¿Ocupaste todos los datos? ¿Cuáles no los necesitaste? _________________

3

En un crédito hipotecario de $850 000.00 se cobran $99 875.00 de interés anual. ¿Qué porcentaje es la tasa de interés anual? _________________

4

En el tianguis de la semana pasada estaban vendiendo el kilogramo de mango a $4.00. Esta semana vendieron el kilogramo de mango a $8.50. ¿En qué porcentaje se incrementó el precio de esta fruta? ____________ _______________________

194

Matemáticas 1

BLOQUE 3

5

Al comprar un paquete para viajar en verano a Cancún (el cual incluye viaje redondo desde el lugar de origen, hotel de calidad turística en la playa, traslados del aeropuerto al hotel y del hotel al aeropuerto e impuestos), regalan una tarjeta de ahorro que otorga 15% de descuento en los mejores restaurantes de Cancún. Si en los restaurantes se tiene que pagar 15% de IVA sobre el precio de lo que se consuma, ¿se obtiene alguna ventaja con esta tarjeta? Explica tu respuesta: ___________________________________________________

6

¿Cuántos estudiantes hay en tu grupo? _________________ ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres? _________________ ¿Qué porcentaje hay de hombres y qué porcentaje hay de mujeres en tu grupo? _________________

7

El precio de un televisor con 30% de descuento es de $1750.00. Sobre este precio hacen un descuento de 10%. ¿Cuánto se debe pagar por el televisor? ______________________________ ¿Cuál es el porcentaje de descuento sobre el precio original del televisor? _____________

8

Un teléfono celular cuesta $599.00 más IVA. El teléfono incluye $300.00 de tiempo aire. ¿Qué porcentaje se paga por el aparato si al precio se le descuentan los $300.00 de tiempo aire? _____________ Incluido el IVA, ¿cuánto se debe pagar por el teléfono? _________________

9

En un juego de futbol de México contra Corea, ésta tiene sólo 30% de posibilidades de vencer a México. Expresa ese porcentaje en forma de fracción y de decimal. Fracción: _______________ Decimal: _______________

10

De lo que se recolecte en la taquilla, 35% se destinará para dotar de materiales educativos a algunas escuelas de educación indígena. Si un estadio tiene una capacidad aproximada de 100 000 personas y el boleto cuesta $50, estima la cantidad de dinero que se podría donar a esas escuelas.

Discutan en todo el grupo la historie ta de la siguiente página y contesten la pregunta.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

195

¿Qué fue lo que más te gustó de este subtema y para qué crees que te sir va?

196

Matemáticas 1

3.7 Diagramas y tablas Interpretar información Conocimientos y habilidades Interpretarás y comunicarás información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

¿Qué sabemos de… interpretar información? Lección 22 1

Trabaja en equipo

Observen la siguiente tabla y contesten las preguntas: Mundial de Atletismo Semifinal de 400 metros planos

Posición – atleta

País

Tiempo en segundos

1. T. Williams

Bahamas

49.69

2. A. Guevara

México

50.33

3. O. Zykina

Rusia

50.73

4. M. Henderson

Estados Unidos

50.73

5. I. Usovich

Bielorrusia

50.96

6. L. McConnell

Inglaterra

51.15

7. L.Teodoro

Brasil

51.98

8. K. Shinkins

Irlanda

52.17

¿Qué lugar ocupó la atleta mexicana? ___________________ ¿Qué atleta corrió los 400 metros en 50.73 segundos? ______________________________________ ¿Qué lugar ocupó? ___________________ ¿Cuáles son las atletas que ocuparon el primero y el último lugares? _____________________________ ¿Por qué piensan que es conveniente mostrar en una tabla este tipo de información?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

197

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

2

Investiguen en un atlas de la biblioteca escolar o de su biblioteca de aula las distancias entre las ciudades que se mencionan en seguida. Después elaboren una tabla en su cuaderno para organizar la información de las distancias aproximadas entre las principales ciudades de la República Mexicana. ¿Qué distancia hay (en kilómetros) aproximadamente entre Durango y Tampico? ________________ ¿Qué distancia hay (en km) entre Puebla y Zacatecas, aproximadamente? ______________________ ¿De qué otra manera podrían organizar la información que investigaron? Expliquen:

3

Fíjense en los siguientes resultados de partidos de futbol del torneo escolar: Olimpia

1

2

Montreal

Roma

2

1

Atlantes

Gigantes

3

1

Colosos

Italia

0

0

Zorros

Leones

1

1

Venados

Jaguares

2

1

Pumas

Con base en esta información, completen lo siguiente: ¿Cuántos equipos jugaron? _______________ ¿Cuántos goles anotó la mayoría de los equipos? _______________ ¿Cuántos equipos anotaron tres goles? _______________ ¿Cuántos equipos no anotaron? _______________ 4

El Comité Olímpico Internacional es el que se encarga de elegir la ciudad sede de los Juegos Olímpicos. Esta elección se determina mediante una votación. La siguiente tabla muestra los resultados de las votaciones para elegir la ciudad sede de los Juegos Olímpicos del año 2012. Londres

París

Madrid

Nueva York Moscú

Primera ronda

22

21

20

19

Segunda ronda

27

25

32

16

Tercera ronda

39

33

31

Cuarta ronda

54

50

15

¿Cuál ciudad obtuvo la mayoría de votos en la primera ronda? _______________ La ciudad que obtuvo mayoría de votos en la tercera ronda fue Londres. ¿Podrían afirmar que obtuvo una votación de 39%? ___________________________ Expliquen su respuesta a sus compañeros.

198

Matemáticas 1

BLOQUE 3

¿En qué afecta que el número de votantes en cada una de las rondas no sea el mismo?

5

Reúnanse con sus compañeros de equipo y elijan un tema sobre el cual puedan realizar una encuesta. Procuren que el tema sea interesante para todos. Lleven a cabo la encuesta y organicen la información en una tabla. Luego formulen tres preguntas que puedan responder con la información que han obtenido, anótenlas en su cuaderno y respóndanlas.

Para saber más de… interpretar información Lección 23 1

Trabaja en equipo

En una encuesta hecha a 250 estudiantes de una escuela secundaria para elegir las películas que se van a proyectar en el cineclub, se obtuvieron los siguientes resultados: El número de veces que aparece determinado dato o característica se denomina frecuencia absoluta. Así, en este ejemplo, la frecuencia absoluta de alumnos que prefieren las películas de cienciaficción es de 12. a) Lean con atención el siguiente texto y discútanlo en equipo:

Tipo de película

Número de alumnos

Comedia

145

Acción

76

Ciencia-ficción

12

Drama

8

Suspenso

5

Documental

0

Terror

4

La construcción de una tabla con las frecuencias absolutas permite comunicar aspectos generales. A partir de los datos del ejemplo podemos saber cuáles son los dos tipos de películas que menos les gustan a los estudiantes o cuáles son los tres primeros tipos de películas que prefieren. Sin embargo, esto es insuficiente cuando se quiere saber si la cantidad de alumnos que prefieren determinado tipo de película es poca o mucha con respecto al total de alumnos o a los tipos de películas; para saber esto, es necesario comparar los datos. Por ejemplo, decir que 145 estudiantes prefieren el tipo de comedia no es información suficiente para determinar si es poca o mucha la preferencia por las películas de tipo comedia; en cambio, decir que 145 de 250 estudiantes prefieren el tipo comedia da una idea de que este tipo de película seguramente es uno de los seleccionados por los alumnos. Mejor aún, se puede afirmar que 58% de los alumnos prefieren las películas de comedia. Al dividir la frecuencia absoluta entre el número total de datos, se obtiene un número llamado frecuencia relativa, que permite analizar la clasificación de los datos con respecto al total de éstos.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

199

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

b) En la siguiente tabla se incluyen las frecuencias relativas, así como su equivalente en porcentajes. ¿Cuánto suman las frecuencias absolutas? _________________ ¿Qué representa esta suma?_____________________________ ¿Cuánto suman las frecuencias relativas? __________________ ¿Qué representa esta suma?_____________________________ ¿Cuánto suman los porcentajes?_______________________ ¿Qué representa esta suma?_____________________________ Tipo de película

Número de alumnos (frecuencia absoluta)

Frecuencia relativa

Porcentaje

145

145 —— 250

58%

76

76 —— 250

30.4%

12

12 —— 250

4.8%

Drama

8

8 —— 250

3.2%

Suspenso

5

5 —— 250

2%

Documental

0

0

0%

4

4 —— 250

Comedia Acción Ciencia-ficción

Terror

1.6%

Discutan con sus compañeros qué relación hay entre las tres sumas anteriores. 2

Se llevó a cabo una encuesta telefónica entrevistando a 400 jóvenes para conocer qué marca comercial de celular prefieren. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Marca 4 20% Marca 3 13%

Marca 1 40%

Marca 2 27% a) De acuerdo con los datos de la gráfica, completen la siguiente tabla: Marca 1 Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje

200

Matemáticas 1

Marca 2

Marca 3

Marca 4

BLOQUE 3

b) ¿Cuál es la marca de celular que prefieren los jóvenes? c) ¿Cuánto suman las frecuencias absolutas? d) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas? e) ¿Cuánto suman los porcentajes?

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 24 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Completa la siguiente tabla y así te enterarás del número de viajes que realizaron los legisladores de la Cámara de Diputados de uno de los estados de la República Mexicana durante los primeros seis meses del año 2005. a) En la columna de frecuencia absoluta aproxima a números enteros. b) Trunca los decimales de las columnas de frecuencia relativa y de porcentaje después de la segunda cifra decimal (es decir, considera sólo los décimos y centésimos). Frecuencia absoluta

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Total

Frecuencia relativa

Porcentaje

29 0.16 8.13% 0.08 28.26% 0.23 221

¿En qué mes viajaron más los legisladores? ________________________________________________________ ¿Cuál fue el mes en que menos viajes realizaron los legisladores? _____________________________________ EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

201

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

2

Observa la tabla, contesta las preguntas y haz lo que se indica. Posición - país

Oro

Plata

Bronce

Total

1. EUA

3

1

0

4

2. Etiopía

2

2

1

5

3. Suecia

2

0

1

3

4. Bielorrusia

1

2

0

3

5. Jamaica

1

2

0

3

6. Rusia

1

1

1

3

7. Ecuador

1

0

0

1

8. Lituania

1

0

0

1

9. Uganda

1

0

0

1

10. Francia

0

1

1

2

a) Con los datos de la tabla elabora en tu cuaderno una tabla de frecuencias absoluta y relativa correspondiente a las medallas de oro. b) ¿Cuántas medallas de oro se habían otorgado? _________________________ c) ¿Cuántos países habían obtenido hasta el momento de la publicación de esta información por lo menos una medalla de oro? _________________________ 3

Observa en el mapa de la página siguiente las diferentes temperaturas que se registraron en un día de verano en las principales ciudades de la República Mexicana. Después elabora en tu cuaderno una tabla de frecuencias absoluta y relativa con las temperaturas mínimas y contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la temperatura mínima que se registró en ese día? _________________________ b) ¿En cuántas ciudades se dio esta temperatura mínima? _______________________________ c) ¿Fueron pocas o muchas ciudades las que presentaron esta temperatura mínima? __________________

202

Matemáticas 1

Por ejemplo, en el puerto de Acapulco se tuvo una temperatura mínima de 24 °C y una máxima de 33 °C

BLOQUE 3

Discutan en todo el grupo la historie ta de la página siguiente y contesten las preguntas.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

203

¿Y tú qué aprendiste en este subtema? ¿Qué fue lo que más te gustó?

204

Matemáticas 1

3.8 Gráficas Interpretar información en gráficas de barras y circulares Conocimientos y habilidades Interpretarás información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencias absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicarás información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

¿Qué sabemos de… interpretar información en gráficas de barras y circulares? Lección 25 Hay muchas maneras de representar datos. El tipo de representación que se elija dependerá del tipo de datos que se hayan obtenido y del tipo de análisis o de la idea que se quiera comunicar. Por ejemplo, una gráfica de barras se usa para comparar cantidades. Normalmente, como lo habrán estudiado en la escuela primaria, se acostumbra dibujar las barras verticalmente. Sin embargo, en algunos casos, como cuando los textos de los conceptos que se representan son muy largos y no caben debajo del eje horizontal, se representan horizontalmente. Una gráfica así es la que se presenta a la derecha.

Trabaja en equipo EVOLUCIÓN DE LA POBLACIÓN NACIONAL, 1880-2050 AÑO 1880 1893 1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995 2000 2010 2020 2030 2050

POBLACIÓN (MILLONES) 9.0 11.99 13.6 15.16 14.33 16.55 19.65 25.79 34.92 48.22 66.84 81.24 91.15 97.4 111.68 121.76 130.29 131.57

Fuente: INEGI, 2000, 1999a y 1999b, y Conapo, 1998.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

205

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

1

De acuerdo con los datos de la gráfica de barras, contesten las preguntas: a) ¿De qué trata esta gráfica de barras? ____________________________________ b) ¿Cuál es la fuente original de esta información? ____________________________________

2

Una de las características de la población mexicana ha sido su rápido crecimiento en los últimos 30 años. a) ¿Cuántos millones de habitantes había en México en 1900? __________________ b) ¿Cuántos millones había en 2000? __________________ c) ¿Cuántas veces se multiplicó la población entre 1900 y 2000? __________________ d) ¿Cuántas veces creció la población mexicana de 1970 a 2000? __________________ e) ¿En qué año se calcula que habrá casi 112 millones de mexicanos? __________________ f) ¿Cuántas veces crecerá la población mexicana de 2010 a 2050 de acuerdo con la gráfica de barras anterior? __________________

Una gráfica circular o de sectores se usa para comparar partes de una totalidad que se interpreta como 1. Puede utilizarse un círculo para representar esa totalidad. Luego, cada sector de la gráfica circular representará una parte de la totalidad, es decir, una parte de 1.

3

De acuerdo con la información de la tabla y la gráfica circular, contesten las preguntas que aparecen en la página siguiente: MÉXICO EN CIFRAS (GEOGRAFÍA) DATOS GENERALES CONCEPTO

AÑO 2000

Superficie (km )

1 964 375

2

Altitud máxima: Pico de Orizaba (msnm) Longitud de los litorales (km)

5 610 11 122

Longitud con la frontera de Estados Unidos (km)

3 152

Zonas patrimonio de la Humanidad

21

Áreas naturales protegidas

117

CLIMA POR ÁREA (%)

Caliente y húmedo

23%

Caliente y seco

23.1%

Templado

Caliente y húmedo

Caliente y seco

Templado

Seco

Muy seco

28.3%

Seco

4.8

23

23.1

28.3

20.8

20.8%

Muy seco

Fuente: El almanaque mexicano, 2000.

206

4.8%

Matemáticas 1

BLOQUE 3

a) ¿Cuál es la altitud máxima que hay en México (en metros sobre el nivel del mar)? ____________ b) ¿Qué tipo de clima hay en la mayor parte del territorio mexicano? __________________ c) ¿Qué porcentaje del territorio mexicano es muy seco? __________________ d) ¿Y templado? __________________ e) En tu región, ¿qué tipo de clima hay? ____________________________________ f) ¿Cuánto suman todos los porcentajes que componen la gráfica circular? __________________ 4

Analicen la siguiente información y después contesten las preguntas: MÉXICO EN CIFRAS (EDUCACIÓN) DATOS GENERALES AÑO 2000

CONCEPTO Gasto con respecto al PIB (%)

5.54

Población analfabeta (%)

10.0

Promedio de escolaridad (grados)

7.7

Alumnos en primaria (millones)

14.7

Alumnos en secundaria (millones)

5.3

Libros de texto gratuitos (millones)

157.7

Alumnos en educación superior (millones)

1.9

REZAGO EDUCATIVO EN PLOBLACIÓN MAYOR DE 15 AÑOS, 1998 (%) Estudios básicos completos

Sin primaria completa

Sin secundaria completa

Analfabeta

41

20

28.5

10.5

41%

Estudios básicos completos

20%

Sin primaria completa

28.5%

Sin secundaria completa

10.5%

Analfabeta

Fuente: El almanaque mexicano, 2000.

a) ¿De qué trata la información de la gráfica circular? ____________________________________ b) En el año 2000, ¿cuántos alumnos había en secundaria? ________________________________ c) ¿Cuánto suman todos los porcentajes que componen la gráfica circular? ____________________

Para saber más de… interpretar información en gráficas de barras y circulares

Lección 26

Trabaja en equipo

Las gráficas circulares constituyen una representación visual muy útil de información dada en porcentajes. Por ejemplo, en la tabla que sigue se muestran los resultados de una encuesta a 1 000 EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

207

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

aficionados al futbol, en un programa de televisión, a quienes se les preguntó cuál era su equipo favorito: América, Guadalajara, Cruz Azul o UNAM.

Equipo

1

Número de votos a favor

Porcentaje

América

280

28%

Guadalajara

320

32%

Cruz Azul

250

25%

UNAM

150

15%

TOTAL

1 000

100%

¿Cómo pueden usar estos datos para hacer una gráfica circular? Veamos dos maneras de hacerlo, para lo cual realicen lo que se indica a continuación:

I % a) Recorten una tira de papel (puede ser milimétrico) de 1 cm de 15 cio spa ante ancho y 11 cm de largo; dejarán un borde adicional en uno E % r 25 sob de sus extremos. Péguenla en cartulina para que adquiera rigidez y vuélvanla a cortar. % 32 b) Marquen en la tira los porcentajes dados en la tabla, como se muestra en la % 28 siguiente ilustración; para ello, utilicen sólo los 10 cm del papel. Dado que 10 cm  100 mm, cada mm representa 1%. c) Usen la tira de papel para formar un círculo de porcentajes: Con 32% 28% cuidado, formen una especie de 32% 25% tubo de papel con ella, uniendo los extremos con pegamento o cin28% 15% ta adhesiva, de modo que las marcas queden por fuera. Luego, coloquen la base que tiene las marcas sobre una hoja de papel y tracen el borde circular, marquen los porcentajes y pongan un título a esta gráfica circular.

d) Midan los ángulos centrales de la gráfica, correspondientes a cada sector circular con el transportador y anoten sus medidas: Ángulo central correspondiente al equipo América: _______________________

208

Matemáticas 1

BLOQUE 3

Ángulo central correspondiente al equipo Guadalajara: _______________________ Ángulo central correspondiente al equipo Cruz Azul: _______________________ Ángulo central correspondiente al equipo UNAM: _______________________

II

También pueden hacer la gráfica circular, utilizando la combinación de varias destrezas matemáticas que han desarrollado en su estudio de lecciones anteriores, tales como: Determinación de porcentajes. Determinación de los grados sexagesimales de un arco de circunferencia. Utilización del transportador para trazar determinado ángulo. Una circunferencia completa equivale a 360º, por lo que, por ejemplo, si determinada cantidad de aficionados equivale a 40% del total, su representación en una gráfica circular corresponderá a un sector circular, cuyo ángulo central medirá: 40 100

 360º  0.4  360º  144º.

e) ¿Pueden explicar por qué esto es así?

2

Calculen la amplitud del ángulo central correspondiente a cada uno de los porcentajes dados en la tabla de la página anterior de la lección 26. ¿Coinciden las medidas de estos ángulos centrales con los que obtuvieron siguiendo el procedimiento I?

Así que en las gráficas circulares, las amplitudes de los sectores circulares deben ser proporcionales a los porcentajes correspondientes. Este tipo de gráficas permite dar una interpretación a los datos como razones o como porcentajes. Recuerden que el porcentaje representa una razón y que se puede expresar mediante una fracción con denominador 100. Por ejemplo, 25% corresponde a 1

25 100

que es equivalente a la fracción . 4

De esta manera, por ejemplo, se puede decir que una de cada cuatro personas encuestadas prefieren al Cruz Azul, o bien que 25% de los aficionados que fueron entrevistados para la encuesta prefieren al Cruz Azul, o simplemente en la gráfica circular observarás que un cuarto del círculo corresponde al Cruz Azul.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

209

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

a) ¿Pueden explicar por qué esto es así? _____________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 27 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Responde las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos alumnos hay en tu escuela? __________ b) ¿Qué porcentaje de estudiantes en tu escuela son mujeres? __________ c) ¿Qué porcentaje de estudiantes en tu escuela son hombres? __________ d) ¿Cuántos alumnos usan lentes en tu grupo? __________ e) ¿Qué porcentaje de estudiantes en tu grupo usan lentes? __________ f)

¿Qué porcentaje de alumnos que usan lentes en tu grupo son hombres? __________

2

Elabora en tu cuaderno la tabla y la gráfica circular correspondiente con la información que proporcionaste.

3

En un grupo de 40 alumnos, 55% son mujeres y el resto hombres. De estos últimos, 15% usan lentes. ¿Cuántos alumnos hombres del grupo usan lentes? Haz en tu cuaderno una gráfica circular que muestre estos datos.

Discutan en todo el grupo la historie ta de la siguiente página y contesten las preguntas. 210

Matemáticas 1

¿Estás de acuerdo con las soluciones de Pepe y Lupita en la situación del mercado? ¿Cómo le harías tú?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

211

3.9 Nociones de probabilidad Escala de probabilidad entre 0 y 1 Conocimientos y habilidades Enumerarás los posibles resultados de una experiencia aleatoria, utilizarás la escala de la probabilidad entre 0 y 1, vincularás diferentes formas de expresarla, establecerás cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificarás por qué.

¿Qué sabemos de… escala de probabilidad entre 0 y 1? Lección 28 1

Trabaja en equipo

A continuación les presentamos dos juegos en los que deben participar dos jugadores. Analicen cada juego y decidan si ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar, es decir, den razones para creer que así ocurrirá.

Juego 1 Un jugador piensa un número, lo multiplica por 5, luego a este resultado le suma 5, finalmente divide este nuevo resultado entre 5 y comunica al segundo jugador el resultado final. El segundo jugador debe adivinar el número que pensó el primero. Si acierta, gana el juego; en caso contrario, gana el primer jugador.

Juego 2 Se tira un dado; si cae un número impar, gana el primer jugador y avanza un lugar en la tabla que se muestra a continuación. Primer jugador

1

2

3

4

5

Segundo jugador

1

2

3

4

5

Si sale un número par, gana el segundo jugador y avanza un lugar en la tabla. Así competirán hasta completar cinco rondas. Ganará el que haya avanzado más casillas. En caso de empate, se vuelve a jugar.

212

Matemáticas 1

BLOQUE 3

2

¿Cuáles de las siguientes experiencias se pueden predecir con certeza? Subráyalas. Lloverá el 28 de junio del próximo año. Al lanzar una moneda al aire, caerá con la cara que tiene el águila hacia arriba. Al caminar a 2 km/h, se habrá recorrido 1 km en media hora. Al lanzar un dado, caerá con una cara hacia arriba que tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos. Al lanzar un dado, caerá con una cara hacia arriba que tiene un número par de puntos.

3

Comenten con sus compañeros de equipo y luego en todo el grupo acerca de las características de un experimento o situación azarosa. ¿Qué conclusiones obtuvieron?

Para saber más de… escala de probabilidad entre 0 y 1 Lección 29

Trabaja en equipo

1

Seguramente ya saben que la rama de las matemáticas en la que se aborda el estudio de las posibilidades se llama probabilidad. Supongamos que en una cajita de cartón hay ocho monedas de $1.00. Cada una tiene un año diferente de acuñación: 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004 y 2005. ¿Cuáles son las posibilidades de que al sacar una moneda de la caja sea de un año anterior al 2000?

2

Lean con atención el siguiente texto y discútanlo en equipo. Luego contesten las preguntas:

En muchas situaciones de la vida no se puede predecir con absoluta certeza lo que vaya a ocurrir; se dice entonces que está presente el azar. Los experimentos aleatorios son aquellos en los que no podemos predecir con certeza lo que va a ocurrir. En este tipo de experimentos existen diferencias de una muestra a otra; pese a que sean de una misma población, son diferentes. Los experimentos deterministas son aquellos en los que podemos predecir con certeza el resultado. Si las condiciones iniciales no cambian, el resultado siempre será el mismo. Desde luego que en ocasiones no sabemos si va a ocurrir un fenómeno simplemente porque desconocemos las leyes que lo rigen. Por ejemplo, para algunas personas que desconocen la astronomía, les resultará difícil predecir si se producirá o no un eclipse de luna este año, y no por ello se ha de pensar que se trata de un fenómeno aleatorio, pues es algo que se puede determinar con precisión. Cuando realizamos una experiencia aleatoria, se conocen los resultados posibles; lo que no se puede determinar por completo

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

213

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

es cuál de ellos ocurrirá. Se llama evento elemental de un experimento aleatorio al evento que consiste en un único resultado individual de dicho experimento. El conjunto de eventos elementales de una experiencia aleatoria se llama espacio muestral. Por ejemplo, en el experimento propuesto al inicio de esta lección, el espacio muestral puede representarse así: {1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005}, y el número de cada año indica el evento elemental de sacar la moneda de $1.00 contenida en la caja que haya sido acuñada ese año. a) Olga y Alejandra jugaron a lanzar una moneda de $10.00 al aire. Describan en qué consistiría este juego como experimento aleatorio. ________________ b) ¿Cuáles son todos los posibles resultados al lanzar esta moneda? ____________________ c) Si lanzan simultáneamente una moneda de $1.00 y una moneda de $ 10.00, ¿cuáles son todos los posibles resultados? ___________________________________________________ d) ¿Cuál sería el espacio muestral al lanzar dos monedas? _____________________________ e) ¿Qué eventos elementales constituirían este espacio muestral? ______________________ 3

Supongamos ahora que en una cajita de cartón hay diez monedas de $1.00: dos del año 1998, una de 1999, una de 2000, tres de 2001 y tres de 2005. Al sacar una moneda de la caja, ¿cuántos posibles resultados hay? ____________________________ ¿Cuáles son los eventos elementales? __________________________________________________ ¿Cuál es el espacio muestral? La división del número de resultado favorable en que puede ocurrir un resultado entre el número de posibles resultados es una forma de calcular la probabilidad de un evento. Esto es, número de resultado favorable en que puede ocurrir un resultado

Probabilidad  de un evento número de posibles resultados

4

Este cociente se conoce como probabilidad clásica o teórica de un evento. Calculen la probabilidad de cada uno de los eventos del experimento aleatorio descrito en el inciso 3 anterior: a) Probabilidad de que la moneda sea de 1998. b) Probabilidad de que la moneda sea de 1999. c) Probabilidad de que la moneda sea de 2000. d) Probabilidad de que la moneda sea de 2001. e) Probabilidad de que la moneda sea de 2005. f) Sumen las probabilidades que calcularon. ¿Qué número obtuvieron en esta suma? ¿Por qué? g) ¿Qué es más probable: que se obtenga una moneda de 2001 o una moneda de 1998? h) ¿Cuáles eventos anteriores son igualmente probables?

214

Matemáticas 1

BLOQUE 3

Lección 30

Trabaja en equipo

Para analizar el comportamiento de algunos fenómenos aleatorios es conveniente repetir varias veces la experiencia en las mismas condiciones y observar los resultados obtenidos. Cuantas más veces se repita, más confiables serán las conclusiones. 1

Lancen un dado 24 veces y anoten los resultados en la siguiente tabla: Sumen las frecuencias relativas que calcularon. ¿Qué número obtuvieron en esta suma? ¿Por qué? ____________________________

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1 2 3 4 5 6

2

En su equipo, discutan acerca de las características de los experimentos aleatorios que han hecho en las actividades de la lección anterior y ésta. Observen que en la actividad anterior, cada frecuencia relativa se obtuvo al dividir el número de veces que ocurrió el evento entre el número de veces que se realizó el experimento. número de veces que Frecuencia ocurrió un evento relativa de  número de veces que se un evento realizó el experimento Esta frecuencia relativa para un número muy grande de veces que se realice determinado experimento se conoce como probabilidad frecuencial o empírica de un evento.

3

En la siguiente tabla anoten los resultados que obtuvieron en todo el grupo al lanzar cada equipo 24 veces un dado (actividad 1).

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1 2 3 4 5 6

4

Comparen los resultados anotados en la tabla de la actividad 3 con los de la tabla de la actividad 1 que contiene los resultados obtenidos por cada equipo. Discutan en el grupo sus observaciones.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

215

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

5

Lean con atención el siguiente texto y discútanlo en equipo:

En el juego del inciso 1 se habrán dado cuenta de que el azar no muestra una tendencia cuando un experimento se repite pocas veces. Sin embargo, si se repite muchas veces adquiere regularidad (inciso 3). Conforme aumenta el número de veces que se repite una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de cada uno de los eventos se aproxima cada vez más a un determinado valor. En este concepto de probabilidad frecuencial o empírica se basan muchas aplicaciones del estudio del azar en fenómenos de la vida cotidiana, por ejemplo: para prever el número de accidentes automovilísticos en función de las estadísticas de años anteriores. En la siguiente tabla se muestran los resultados de haber lanzado una moneda de $10.00 al aire determinado número de veces. Número de lanzamientos

Número de veces que cayó águila

10

6

50

28

1 000

523

A partir de cada uno de los renglones de esta tabla, se tiene que la probabilidad de que caiga águila, que denotaremos como P(A), es 6

Primer renglón: P(A)  —  0.6 10

28

Segundo renglón: P(A)  —  0.56 50

523

Tercer renglón: P(A)  ——  0.523 1 000

El número de veces que ocurre un evento nunca será mayor que el número total de veces que se realice el experimento. Por consiguiente, la fracción número de veces que ocurrió un evento —————————————————— número de veces que se realizó el experimento será menor o igual a 1.

a) ¿Qué quiere decir que un evento tenga probabilidad 0? __________________________ ¿Por qué? _________________________________________________________________ b) ¿Qué quiere decir que un evento tenga probabilidad 1? __________________________ ¿Por qué?__________________________________________________________________

216

Matemáticas 1

BLOQUE 3

c) Den dos ejemplos de eventos que tengan probabilidad 0 y dos que tengan probabilidad 1: Un evento será más probable de ocurrir cuanto más se aproxime a 1 su probabilidad. Una probabilidad muy cercana a 0 de algún evento indica, de acuerdo con la probabilidad teórica, que es poco probable; o bien, para la probabilidad frecuencial, que ocurrió muy pocas veces al realizar el experimento. Evento imposible 0

Evento seguro 1

.______________________________________.

¨ Menor probabilidad

Mayor Æ probabilidad

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 31

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Investiga cuál ha sido la temperatura mínima y la máxima en un año en el puerto de Veracruz. 1

Califica cada uno de los siguientes eventos como imposible, poco probable, muy probable o seguro. En el mes de julio (el mes más caluroso del año) nevará en el puerto de Veracruz.: En el mes de julio la temperatura superará los 20° C en el puerto de Veracruz: En el mes de julio la temperatura superará los 100° C en el puerto de Veracruz: En el mes de julio la temperatura bajará a menos de 10° C en el puerto de Veracruz:

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

217

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

2

¿Cuál es la probabilidad de que al sumar dos de los números de la siguiente colección el resultado sea 7? Cuenta los casos en que los dos sumandos sean iguales y como casos distintos aquellos en que cambie el orden (por ejemplo, aunque 3  2 es lo mismo que 2  3, considéralos dos casos distintos): {1, 2, 3, 4, 5, 6} ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de dos de esos números sea 3? ________________________ ¿Hay alguna otra suma de dos de esos números que tenga la misma probabilidad que la que da como resultado 3? ¿Cuál? _____________________________________________________________________________________

3

Lanza dos dados de seis caras cada uno 36 veces. Anota los valores que obtengas cada vez y súmalos. Luego contesta lo siguiente: ¿Cuántas veces la suma fue 7? _______________ ¿Cuál es la frecuencia relativa de esta suma? _______________ ¿Cuántas veces la suma fue 3? _______________ ¿Cuál es la frecuencia relativa de esta suma? _______________

4

Compara las respuestas que diste en el inciso 2 con las que diste en el inciso 3, desde el punto de vista de la probabilidad clásica y de la probabilidad frecuencial, y discute tus observaciones con tus compañeros.

Discutan en todo el grupo la historie ta de la siguiente página y contesten las preguntas. 218

Matemáticas 1

¿Qué opinas de la última afirmación que hace Pepe*? ¿Es correcta? ¿Por qué sí o por qué no? Coméntalo y, de ser necesario, presenta ejemplos o contraejemplos.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

219

Los crucigramas Los crucigramas son un entretenimiento que puede convertirse en un pasatiempo apasionante y en una agradable diversión. Además, ¿sabías que son educativos? En esta ocasión te divertirás con algunos crucigramas que te harán disfrutar verdaderamente las matemáticas. Te invitamos a resolver el siguiente crucigrama. Recuerda que en matemáticas los crucigramas pueden responderse con números o con palabras. En este caso las respuestas son sólo palabras.

1

2

3

4

5

6

8

9

10

11

12

13 14

220

7

horizontales

CONSTRUCCIÓN DE LOS CRUCIGRAMAS

1. Figura plana limitada por cuatro líneas rectas. 8. Segmentos de recta que unen vértices opuestos de un cuadrilátero. 11. Resultado de la operación de potenciación. 12. Procedimiento inverso de la potenciación. 13. Nombre que recibe la expresión a en la expresión an = b 14. Resultado que se obtiene al sumar la fila de las fre­ cuencias relativas (recuerda que se escribe la palabra).

Construye dos crucigramas, uno en el que las respues­tas sean sólo números y otro en el que sólo sean pa­labras. Para ello, sigue los siguientes pasos:

verticales 2. Cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos iguales. 3. Nombre que reciben las ecuaciones cuyo exponente de la incógnita es 1. 4. En la división de dos números, nombre que recibe el que divide. 5. Número que expresa la probabilidad de que un evento no ocurra. 6. Experimentos en los que no podemos predecir lo que va a pasar. 7. Nombre que se da al valor que toma la incógnita y que hace que se cumpla la igualdad en la ecuación. 9. Igualdad de dos expresiones matemáticas en las que intervienen uno o varios valores desconocidos, los cuales reciben el nombre de incógnitas. 10. Nombre que recibe el símbolo de raíz.

1. Revisa el contenido de los tres primeros bloques. 2. Plantea 20 preguntas en las que las respuestas sean una sola palabra (para el crucigrama en el que las res­ puestas sean sólo palabras). 3. Plantea 20 preguntas para el crucigrama de tipo numé­ rico. Considera que para hallar estas respuestas, deben realizarse operaciones de suma, resta, multi­plicación, división, potenciación y radicación con números en­te­ ros y decimales. No olvides incluir preguntas de geo­ metría, porcentajes y ecuaciones. 4. Acomoda las respuestas en las casillas, de tal manera que luego te permita mostrar el esquema final a tus com­pañeros. 5. Clasifica las preguntas en las cuales su respuesta va en forma vertical y las que van en forma horizontal.

Nota

Si encuentras algunos conceptos que no entiendas por ahora, puedes regresar a este crucigrama más tarde. Recuerda que éste es una propuesta de proyecto a largo plazo; para la Feria de las matemáticas a finales del curso.

Feria de las matemáticas: reta a tus compañeros y compañeras a que completen los crucigramas que acabas de construir. Si los expones en la Feria de las matemáticas, haz los esquemas en cartulina o en papel fieltro, de tal manera que todo el público pueda apreciarlos. No olvides incluir las preguntas. Adivina la respuesta: muestra los crucigramas a tus compañeros y compañeras y pídeles que los resuelvan en un tiempo determinado.

221

222

Bloque 4

Aprendizajes esperados En este bloque: i Identificarás, interpretarás y expresarás algebraicamente o mediante tablas y gráficas relaciones de proporcionalidad directa. i Resolverás problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números decimales. i Construirás círculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas. i Justificarás y usarás las fórmulas para calcular el perímetro o el área del círculo.

223

4.1 Números con signo Utilización de números con signo Conocimientos y habilidades Plantearás y resolverás problemas que impliquen la utilización de números con signo.

¿Qué sabemos de… utilización de números con signo? Lección 1 1

Trabaja en equipo

Seguramente mediante el periódico o la televisión se han enterado de que en invierno, en distintas ciudades del país, sobre todo en el norte, la temperatura se encuentra bajo cero. a) ¿Cómo representarían numéricamente una temperatura bajo cero? ____________________ b) ¿Cómo se representa numéricamente la temperatura “cuatro grados Celsius bajo cero”? c) ¿En qué otras situaciones de la vida real utilizamos cantidades con signo? ________________

2

En la siguiente figura se muestra el pronóstico del tiempo para los días jueves, viernes y sábado. a) ¿Qué indica el signo menos cuando se hace referencia a tempe-

raturas? ______________________________________________

b) ¿Qué día se tendrá la temperatura más baja? _________________ c) ¿Qué día se tendrá la temperatura más alta? _________________ d) Indiquen la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima de

cada día. Jueves ____________________ Viernes ___________________ Sábado ___________________

224

Matemáticas 1

BLOQUE 4

e) En la siguiente recta se ubicó la temperatura mínima del día jueves. Coloquen los números en la recta numérica que indican la temperatura máxima del día jueves y las temperaturas máxima y mínima de los días viernes y sábado. -3

3

0

¿Sabían que de los 15 países proveedores del mercado textil en Estados Unidos de Norteamérica, México ocupa el cuarto lugar en cuanto a los precios de venta promedio más altos? En el mercado de Estados Unidos de Norteamérica, cada metro cuadrado de textiles mexicanos se paga en promedio a 3.45 dólares. Durante el año 2004, México aumentó 2.1 por ciento el precio de textiles de exportación.

Precio de venta en dólares por m2

País

Variación de los precios en 2004

Precio de venta en dólares por m2

País

Variación de los precios en 2004

5.55

Hong Kong

17.3%

3.06

Taiwán

11.3%

3.48

Corea del Sur

9.1%

2.69

China

–13.5%

3.46

Filipinas

2.4%

2.55

República Dominicana

–3.8%

3.45

México

2.1%

2.53

Camboya

4.1%

3.34

Tailandia

3.4%

2.13

Honduras

–5.8%

3.30

Vietnam

–1.5%

2.03

Bangladesh

2.5%

3.27

Indonesia

0.6%

2.02

Pakistán

–1.5%

1.84

El Salvador

– 6.6%

3.99

Otros

6.7%

a) Dentro del contexto de esta información, ¿qué indica el signo menos que tienen algunas cantidades en la columna de variación? ____________________________________________________ b) ¿Qué país tuvo el mayor aumento del precio de textiles de exportación durante el año 2004? ¿De cuánto fue? _________________________________________________________________ EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

225

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

c) ¿Qué países no tuvieron aumento en el precio de textiles de exportación durante el año 2004? d) ¿Cómo lo identificaron? _______________________________________________________ e) ¿Cuál fue el país que tuvo mayor pérdida en el precio de textiles de exportación durante el año 2004? ¿De cuánto fue? _________________________________________________________________ 4

Ordenen los países de mayor a menor aumento en el precio de textiles de exportación. Háganlo en sus cuadernos en una tabla como la siguiente: País

5

Variación

7

1

En la siguiente recta se ubicaron cinco puntos (m, n, 2, 2 y  2 ).Tomando como referencia el punto donde está el cero, ubiquen el punto simétrico de cada uno de ellos. m

2



1 0 2

n 7 2

Para saber más de… utilización de números con signo Lección 2

Trabaja en equipo

Números con signo y su representación en la recta numérica 1

Realicen la lectura y respondan las siguientes preguntas.

En la actualidad, usamos de manera simple los números negativos para representar ciertas situaciones como por ejemplo, para representar temperaturas bajo cero, o pérdidas, así como para resolver problemas cuya solución no es un número natural, como es el caso de la sustracción 3  5. Pero esto no siempre ha sido así. En la historia de las matemáticas podemos evidenciar cierta resistencia al uso de cantidades negativas.

226

Matemáticas 1

BLOQUE 4

a) Consulten en internet, o en libros, cómo fue el desarrollo histórico de los números naturales y de los números con signo y realicen un resumen de una cuartilla para presentarlo al grupo de clase. b) ¿Cómo representarían numéricamente los siguientes enunciados? Guíense por el ejemplo:

Juan debe $550.50

–550.50

Un avión vuela a 3500 pies de altura Un submarino está a 2500 m de profundidad La temperatura mínima de hoy en la Ciudad de México fue de 6 grados Celsius bajo cero El precio del dólar canadiense bajó 0.60

2

Los números negativos se representan en la recta numérica situándolos a la izquierda del punto que corresponde al cero, como se muestra en la siguiente figura; a la derecha del cero, en la recta numérica se representan los números positivos. 5

4

3

2

0

1

1

2

3

5

4

a) Observen dónde ubicó Pepe los números – 3 , 5 y – 4.8 en la siguiente recta numérica: 2



4.8 4

5

3

3 2

2

5 0

1

1

2

3

4

b) Es correcta la ubicación de los números que realizó Pepe? ______ ¿Por qué? __________ 3

7 3 Ubiquen en la recta numérica los siguientes números y ordénenlos de mayor a menor: –2.8, – , , 5 5 0.8 y –6. 5

4

4

2

0

1

1

2

3

5

4

Escriban los números que están representando las letras a, b, c, d y e en la recta numérica y ordénenlos de menor a mayor.

e

5

3

b

c

0

a

1

d

Pepe afirma que 1.01 es menor que 1.001 porque si los representan en la recta numérica, 1.01 se encuentra a la izquierda de 1.001. Pablo afirma lo contrario. ¿Quién tiene la razón y por qué? __________________________________________________________________________

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

227

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Números simétricos 6

En el tema 1.5 se habló de puntos simétricos. ¿Cuál era la característica que tenían que cumplir los puntos para que fueran simétricos?____________________________________________________

7

En las rectas siguientes, observen la distancia que hay del punto que representa al número cero a los dos puntos marcados en cada caso. ¿Son iguales o diferentes esas distancias?__________________

3.5

3.5 0

6

6 0

Cuando la distancia del punto que representa a un número a en la recta numérica al que representa al cero es igual a la distancia que hay entre –a y el cero, decimos que los dos números a y –a son simétricos uno del otro: 3.5 es el simétrico de –3.5 y –3.5 es el simétrico de 3.5. 8

Marquen con color rojo el número simétrico de cada uno de los números que se muestran en la siguiente recta numérica. Luego ordénenlos en su cuaderno de mayor a menor: b

0.5

5.5

0

9

¿Cuál es el simétrico de 0? ___________________

10

Completen los siguientes enunciados:

a) ________ es el simétrico de 5.2 porque la distancia de ________ a 0 es la misma distancia que hay entre 5.2 y ________. b) 7 no es el simétrico de 7.1 porque la distancia que hay entre ________ y ________ no es la misma que hay entre ________ y ________.

Valor absoluto de un número El valor absoluto de un número es la distancia que hay en la recta numérica del punto que representa ese número al cero. Como una distancia siempre es positiva, el valor absoluto de cualquier número siempre es un número positivo. Por ejemplo: el valor absoluto de –5.4 es 5.4 porque hay 5.4 unidades entre –5.4 y el cero. Ello lo escribimos así:

|–5.4|  5.4 11

228

¿Cuál es el valor absoluto de 0? _______________

Matemáticas 1

BLOQUE 4

12

Encuentren los siguientes resultados:

|3.5| 

||

2 –  3

|4|  |–1| 

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 3 1

Trabaja en equipo

Consulten en el periódico, en internet o en un banco los datos que se piden en la siguiente tabla:

Precio del dólar estadounidense el día de ayer Precio del dólar estadounidense el día de hoy Precio del euro el día de ayer Precio del euro el día de hoy

a) ¿De cuánto fue la variación del dólar estadounidense de ayer al día de hoy? ________ ¿Qué signo le anotarían a esta variación:  o ? ________ ¿Por qué? __________________________________________________________________________ b) ¿De cuánto fue la variación del euro de ayer el día de hoy? ________ ¿Qué signo le anotarían a esta variación:  o ? ________ ¿Por qué? __________________________________________________________________________

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

229

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

2

Busquen en un periódico alguna nota informativa en la que se muestre una tabla que incluya números positivos y negativos: Comenten brevemente de qué trata la noticia. Dentro del contexto de la noticia, expliquen qué interpretación tienen las cantidades positivas y negativas. Ordenen la información numérica de manera ascendente, de menor a mayor.

3

Investiguen cinco sucesos importantes que hayan ocurrido antes del nacimiento de Cristo y cinco sucesos también importantes que hayan ocurrido después del nacimiento de Cristo. Dibujen en un pliego de cartulina una recta numérica y anoten en ella las fechas y lo más relevante del suceso. Hagan una exposición de cinco minutos a sus compañeros acerca de lo que investigaron.

4

Busquen en internet la temperatura registrada el día de ayer a las 8 de la noche (hora local) en las siguientes ciudades del mundo. Registren los datos en la tabla.

Ciudad

Temperatura ° C

Ciudad de México Montreal Madrid Bogotá Buenos Aires Caracas París Washington Roma Moscú

a) ¿Cuál fue la temperatura mínima y en qué ciudad se registró ésta? b) ¿Cuál fue la temperatura máxima y en qué ciudad se registró ésta? c) Indiquen la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima:

d) Ordenen en su cuaderno las ciudades de acuerdo con su temperatura, de mayor a menor.

230

Matemáticas 1

BLOQUE 4

5

5 En la recta numérica que se muestra en la siguiente figura están ubicados los números –2 y – . 4 0

2

5 – 4

3 1 Ubiquen en esta recta numérica los números 2, – y – – . 2 8

Ahora ubiquen en esta recta el simétrico de cada número. Ordenen los números anteriores de menor a mayor:

6

Completen la siguiente tabla con los números que ubicaron en la recta numérica: Número

Valor absoluto

–2

|–2|  2

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

231

¿Qué aprendiste de nuevo en este subtema? ¿En qué situaciones lo puedes aplicar?

232

Matemáticas 1

4.2 Potenciación y radicación Raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y de potencias de números naturales y decimales.

¿Qué sabemos de… raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales? Lección 4 1

Trabaja en equipo

Construyan cuadrados de diferentes tamaños usando un geoplano de 5  5 pivotes. Después calculen el área de cada cuadrado que hayan construido, como se ejemplifica a continuación. Medida del lado

3 unidades

Área del cuadrado

Área  3  3  32  9

3 3

Matemáticas 1

233

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

2

Si un cuadrado mide 36 cm2, ¿cuánto mide su lado?

3

Si un cuadrado mide 50 cm2, ¿cuánto mide su lado?

4

En el cuadrado de 36 cm2 la longitud de su lado es exacta, mientras que en el cuadrado de 50 cm2 la longitud de su lado no es exacta. ¿Cómo podrían explicar esto?

5

Observen en la siguiente representación de un geoplano el cuadrado cuya área es de 2 cm2. ¿Cuánto mide el lado de este cuadrado? _____________________

6

Pepe afirma que 9 es el cuadrado de 3 y Lupe afirma que 3 es la raíz cuadrada de 9. a) ¿Cuál de las afirmaciones es correcta? _____________________

7

Calculen el cuadrado de 4.5: _____________________

El símbolo de la raíz cuadrada, llamado radical, es se representa así: 9 3 8

234

Completen la tabla de la derecha de la siguiente página.

Matemáticas 1

. Luego, que la raíz cuadrada de 9 es 3

BLOQUE 4

9

Primero completen la tabla y luego, con base en los datos, respondan las preguntas siguientes: ¿Cuál es la raíz cuadrada de 169? ___________________________________________ ¿Cuál es la raíz cuadrada de 144? ___________________________________________ La raíz cuadrada de 180 no es un número natural, es decir, no hay un número natural cuyo cuadrado sea 180, pues observen en la tabla que 132  169 y 142  196, siendo 169  180  196, y no habiendo algún número natural entre 13 y 14 (14 es el sucesor de 13). En este caso, se dice que el número 180 no es un cuadrado perfecto.

10

Escriban dos números que no sean cuadrados perfectos y otros dos que sí lo sean: _____________

_____________

_____________

_____________

Observen que la raíz cuadrada de 180 debe ser un número que no sea natural entre 13 y 14.

Número

Cuadrado del número

1

1

2

4

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

11

¿Cómo podrían obtener una mejor aproximación de la raíz cuadrada de 180? Expliquen en su cuaderno si les ayudaría en algo construir una tabla con pasos de 0.1.

12

Completen la tabla que está a la derecha y después contesten.

Número

13

169

13

Con base en esta tabla, ¿cuál es una mejor aproximación de la raíz cuadrada de 180? _____________________

13.1

171.61

13.2

174.24

14

¿Cómo procederían para hallar el segundo decimal de la raíz cuadrada de 180? ________________________

Cuadrado del número

13.3 13.4 13.5

15

16

Determinen el segundo y el tercer decimal de la raíz cuadrada de 180, es decir, calculen la raíz cuadrada de 180 hasta milésimos. ¿Cuántos decimales más podrían obtener con el procedimiento que han utilizado para calcular la raíz cuadrada de 180 hasta milésimos? ________________________

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

13.6 13.7 13.8 13.9 14 Matemáticas 1

235

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

17

Indiquen entre qué números naturales está la raíz cuadrada de los siguientes números: 2 _____________________________________

11 _____________________________________

20 _____________________________________

80 _____________________________________

Como se dieron cuenta, cuando un número no es un cuadrado perfecto, se puede calcular una aproximación de su raíz cuadrada. Para hallar la raíz cuadrada de un número podemos utilizar una calculadora, la cual tiene una tecla con el signo del radical [ ]. Por ejemplo, para encontrar la raíz cuadrada de 12.25 opriman: 1

2

.

2

5

=

Dependiendo de la calculadora que utilicen, podría ser de la manera siguiente: 1

18

2

.

2

5



Comparen el resultado que obtuvieron de 180 con la calculadora con el que obtuvieron mediante las tablas. ¿Qué pueden concluir de esta comparación?

Para saber más de… raíz cuadrada y potencias Lección 5 1

En la actualidad existen negocios o empresas multiniveles. La formación de estas empresas se basa en que cada socio está obligado a vincular a determinado número de personas; por ejemplo, en una de estas empresas el requisito es que cada socio debe vincular tres socios más. Si en el primer nivel se tienen tres socios y en el segundo nueve socios, ¿cuántos socios habrá en el quinto nivel? Comenten con sus compañeros cómo podrían esquematizar esta situación. Con base en este problema, completen la tabla siguiente:

236

Trabaja en equipo Nivel

Número de socios

1

3

3

31

2

9

33

32

3

27

333

33

4

81

5 6 7 8 9 10

2

Si en vez de vincular tres socios se vinculan dos socios, ¿cuántos socios habrá en el cuarto nivel?

3

Si en vez de vincular tres socios se vinculan cinco socios, ¿cuál es el nivel que tienen 78 125 socios?

4

Realicen la siguiente lectura; después respondan la pregunta y completen la tabla que viene a continuación.

Matemáticas 1

BLOQUE 4

En los problemas anteriores aparecen multiplicaciones en las que todos los factores son iguales, por ejemplo: 333

y

2222

Estas multiplicaciones, como vimos, se pueden escribir como potencias: 3  3  3  33 y

2  2  2  2  24

Así, este tipo de multiplicaciones dan origen a una operación que se llama potenciación. Siendo a, b y c números naturales tales que ab  a  a  a  a…  a  c b factores

el número a se denomina base, b se llama exponente y c se llama potencia. Se dice que ab es una potencia de base a y exponente b. a) Si tenemos como base el número 11 y un resultado de 14 641, ¿cuál tiene que ser el exponente? _____________________________________________ b) Completen la siguiente tabla como se muestra en el ejemplo. 63

666

216

54 82 (1.5)3 110

5

En un experimento de laboratorio se encontró que una especie de bacterias se duplica cada día. Esto es, si inicialmente hay una bacteria, al siguiente día habrá dos. Estas bacterias se duplican, y dos días después habrá cuatro, y así sucesivamente. a) ¿Podrían precisar cuántas bacterias habrá después de diez días? ________________________ b) ¿Cómo podrían generalizar sus resultados para saber cuántas bacterias habrá después de n días? _______________________________

6

Anuncio extraño: A un profesor de matemáticas se le ocurrió colocar el siguiente anuncio para vender su casa: “Vendo bonita mansión. A partir de la calle tiene 3 escalones para llegar a la entrada principal. También cuenta con una bella escalera de roble de 10 escalones para llegar al primer piso. Precio a discutir”. El señor Murillo quiere comprar la mansión a lo cual el profesor le plantea una curiosa propuesta: Por el primer escalón de la escalera de roble que tiene la casa me pagas 4 pesos. Por el segundo escalón me pagas 16 pesos. Por el cuarto escalón me pagas 256 pesos. a) ¿Cuánto cuesta la casa del profesor? _______________________________ b) El señor Murillo le propone pagarle 3.5 pesos por cada escalón. ¿Cuánto tendría que pagar el señor Murillo con esta propuesta? _______________________________

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

237

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

7

La figura siguiente está compuesta por dos cuadrados y tres rectángulos

A  49 cm2

A  25 cm2

a) Determinen el área del rectángulo azul. _______________________________ b) Determinen el área de los rectángulos verde y rojo. _______________________________ 8

Un granjero tiene un terreno cuadrado de área de 156.25 m2 dedicado exclusivamente a sembrar flores. Él ha sembrado diferentes clases de flores como se muestra en la siguiente figura.

tulipanes

jazmines terreno cuadrado

1.5 m

rosas

238

Matemáticas 1

49 m2 girasoles

BLOQUE 4

a) ¿Cuántos metros tiene de largo el terreno? _________________________ b) ¿Qué área se ha dedicado para plantar jazmines? _________________________ c) ¿Qué área se ha dejado sin plantar? _________________________ 9

La operación de multiplicar un número por sí mismo determinado número de veces se llama potenciación. La operación de extraer la raíz de un número (raíz cuadrada, raíz cúbica, ...) se llama radicación.

Potencia

a) Completen la tabla de la derecha.

Raíz

35  243

5

(2.3)4  27.9841

4

243  3 27.984  2.3

57 

b) ¿Qué pueden decir acerca de la operación de radicación con respecto a la de potenciación, basándose en la tabla que acaban de completar?

8

3

1679616  6 9.261  2.1 10.24 

ab  c

Estarán de acuerdo en que la radicación es el procedimiento inverso de la potenciación. Esto significa que si se obtiene determinada potencia n de un número a (se eleva a a la n) y a ésta se le extrae la raíz n (enésima), el resultado final será el número original a: an  b y

n

b  a.

n

En la expresión b  a, b recibe el nombre de radicando, n se llama radical y a se conoce como raíz (enésima de b).

10

¿Qué teclas deben oprimir en la calculadora para obtener la raíz de un número? Por ejemplo, para 4 calcular 81. El orden en que deben oprimir las teclas depende del modelo de calculadora que usen. Podría ser como se indica a continuación: 8

1

Shift

1/y

X

4

=

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

239

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Por tu cuenta Lección 6 1

Trabaja individualmente

Completa la tabla siguiente:

a2

a 0.1 0.01 0.4 0.04 0.8 1.2 4 8

¿Cómo es a2 con respecto al número a cuando éste se halla entre 0 y 1? _____________________ ¿Cómo es a2 cuando el número a es mayor que 1? ____________________________________ 2

¿Cuál es la raíz cuadrada de los siguientes números? 0.0016 _______________

0.16 _______________

16 _______________ Comenta con tus compañeros tus observaciones acerca de los resultados. 3

Sin hacer operaciones, compara los siguientes pares de números mediante los símbolos  (mayor que),  (menor que) o  (igual a): (0.1)2 _____________ (0.01)2 (0.1)2 _____________ (0.03)2

240

Matemáticas 1

0.25 _____________ 0.09 0.49 _____________ 0.0049

BLOQUE 4

4

El lado del cuadrado que se muestra en el geoplano siguiente mide 10 cm. ¿Cuánto mide su área? __________________________________

5

Completa la tabla.

Número

Cubo del número dado

1

1

2

8

3

27

4 5 6 7 8 9 10

6

Con base en esta tabla, responde las preguntas siguientes: ¿Cuál es la raíz cúbica de 343? __________________________________________________ ¿Cuál es la raíz cúbica de 729? __________________________________________________

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

241

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

7

La raíz cúbica de 230 no es un número natural. De acuerdo con la tabla que completaste en la actividad 5 anterior, ¿entre qué números está la raíz cúbica de 230? _____________________

8

¿Qué se te ocurre hacer para obtener una mejor aproximación de la raíz cúbica de 230? Explica en tu cuaderno en qué te ayudaría construir una tabla con pasos de 0.1.

9

Indica entre qué números naturales debe estar la raíz cúbica de los siguientes números: 2 ______________

20 ______________

11 ______________

80 ______________

10

Si el volumen de un cubo es ( 1 )3 cm3, ¿cuánto mide la arista de este cubo? ______________

11

La arista de un cubo mide 8 cm. ¿Cuál es su volumen? ______________

12

Sin utilizar la calculadora, determina las raíces siguientes: 100 _______________

1 _______________ 4

13

81 _______________

3

125 _______________

Usa tu calculadora para hallar las raíces siguientes: 7

5

35831808 _______________ 51.53632 _______________

3

551.368 _______________ 182.25 _______________

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 242

Matemáticas 1

¿Qué aprendiste de nuevo en este subtema? ¿En qué otra situación puedes aplicar lo que aprendiste?

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

243

4.3 Relación funcional Relación de proporcionalidad y  kx Conocimientos y habilidades Analizarás en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representarás esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular, la expresión de la relación de proporcionalidad y  kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

¿Qué sabemos de… la relación de proporcionalidad y  kx? Lección 7 1

Trabaja en equipo

Adriana consiguió trabajo en una boutique y tuvo dos opciones para seleccionar su sueldo mensual. La primera opción consistía en recibir un salario base de $700 más 10% de comisión sobre las ventas. La segunda opción consistía en recibir solamente 20% de comisión sobre las ventas. Completen las siguientes tablas. Segunda opción

Primera opción

Monto mensual de ventas ($)

Monto mensual de ventas ($)

0

0

1 000

1 000

2 500

2 500

4 550

4 550

5 000

244

Sueldo mensual ($)

1 200

5 000

6 500

6 500

7 000

7 000

7 500

7 500

8 000

8 000

10 000

10 000

Matemáticas 1

Sueldo mensual ($)

1 000

BLOQUE 4

Con base en las tablas que acaban de completar, comenten con sus compañeros y compañeras lo que sucede con el salario mensual si las ventas aumentan o disminuyen. ¿Cuál es la diferencia entre las dos opciones, en el caso de que Adriana no realice ninguna venta durante el mes? ¿Cuáles son las variables que están relacionadas? Variable es una magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto. ¿Depende el monto mensual de ventas del sueldo mensual que recibe Adriana? Expliquen: Llamemos m al monto mensual de ventas y n al sueldo mensual. De las siguientes expresiones algebraicas elijan cuál corresponde a cada una de las opciones: i) n  0.2 m  700

ii) n  0.1 m  700

Primera opción:

iii) n  0.1 m

iv) n  0.2 m

Segunda opción:

Si Adriana realiza una venta mensual de $6 850, ¿cuánto recibe de sueldo si eligió la primera opción? Si Adriana realiza una venta mensual de $6 850, ¿cuánto recibe de sueldo si eligió la segunda opción? Comparen la columna del sueldo mensual y especifiquen en qué casos le conviene aceptar cada una de las opciones: Si Adriana realiza una venta mensual de $4 000, ¿cuánto recibe de sueldo en cada una de las opciones? Primera opción:

Segunda opción:

Si la venta mensual se duplica a $8 000, ¿se duplica el sueldo en cada una de las opciones? Expliquen su respuesta: 2

Se quiere impermeabilizar el depósito de agua del edificio en el que vive Pedro. El depósito se encuentra lleno y tiene una capacidad de 1 000 litros. Al abrir la llave, se vacían 8.2 litros por minuto. ¿Qué sucede con la cantidad de agua que hay en el depósito a medida que pasan los minutos después de haber abierto la llave?

¿Cuáles son las variables que están relacionadas?

Construyan en su cuaderno una tabla que represente la relación entre estas variables. ¿Qué expresión algebraica representa esta situación?

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

245

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

¿Cuántos litros de agua hay en el depósito después de media hora de haber abierto la llave? _________________ ¿Al cabo de cuántos minutos se habrá vaciado el depósito de agua? __________________________ 3

De acuerdo con la figura, completen la tabla de la derecha.

Observen la cuadrícula que está a la izquierda. El lado del cuadrado del centro tiene 1 cm de longitud y 4 cm de perímetro. Noten cómo aumenta su perímetro conforme se incrementa la longitud de sus lados. Longitud de los lados del cuadrado (cm)

Perímetro del cuadrado (cm)

1 3 5 7 9 l

4

¿Qué expresión algebraica representa esta situación? _____________________________________ ¿Cuál es el perímetro del cuadrado si su longitud es de 1.5 cm? ______________________________

Para saber más de… la relación de proporcionalidad y  kx Lección 8 1

Trabaja en equipo

Realicen con su equipo la siguiente lectura y respondan lo que se les solicita:

En cada una de las situaciones presentadas en los ejercicios anteriores, identificaron una relación entre dos cantidades que varían. Podemos seguir mencionando situaciones en las que se identifican cantidades que van variando y que están relacionadas, por ejemplo: el número de artículos que compras de un determinado producto y el precio que pagas por ello, el tiempo que tarda un automóvil en recorrer diferentes distancias (suponiendo una velocidad constante), el consumo mensual de luz y el importe a pagar en el recibo de luz.

a) Den dos ejemplos más de situaciones en las que relacionen dos cantidades que varían: Situación 1 Situación 2

246

Matemáticas 1

BLOQUE 4

En cada uno de los casos mencionados se puede expresar algebraicamente una relación entre las dos cantidades que varían. Para ayudarnos a encontrar dicha expresión, nos podemos apoyar en la representación tabular, la cual puede auxiliarnos para descubrir las regularidades que se manifiestan entre las cantidades relacionadas.

2

Pepe realizó una tabla en la que muestra la cantidad de dinero (pesos mexicanos) que va a recibir de acuerdo con la cantidad de dólares que va a cambiar.

Cantidad de dólares

Cantidad de pesos

1

10.70

1.5

16.05

2

21.40

3

32.10

5

53.50

Pepe escribió la relación entre las dos cantidades de la primera fila de la siguiente manera: 10.70  1  10.70. En la segunda fila, la relación la escribió así: 16.05  1.5  10.70 Escriban la relación de la tercera fila: ____________ Escriban la relación de la cuarta fila: ____________

Si asignan la letra x a la cantidad de dólares y a la cantidad de pesos le asignan la letra y, en términos generales, ¿cómo podrán escribir la expresión algebraica que enuncia la relación entre estas dos variables? _______________ En este caso podemos decir que la cantidad de pesos depende de la cantidad de dólares que se vayan a cambiar. Por tanto, a la cantidad de dólares (la cual representamos con la letra x) le llamamos variable independiente y a la cantidad de pesos (la cual representamos con la letra y) le llamamos variable dependiente. 3

Escriban en la siguiente tabla las expresiones algebraicas que se obtuvieron en el ejercicio de la lección anterior, en el problema 1 (segunda opción para el sueldo mensual) y en el problema 3. Expresión algebraica

Lección 7

{

Ejercicio 2 Problema 1 (segunda opción) Problema 3

Utilicen las letras x y y para representar las cantidades que varían y k para expresar la constante de proporcionalidad y escriban en términos generales la expresión algebraica que identifica los tres casos. Especifiquen cuál literal tomó como variable dependiente y cuál literal como variable independiente. _____________________________________________________________ __________________________________________________________________________ EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

247

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Observen nuevamente la tabla de valores de cada una de estas situaciones y respondan las preguntas: En cada situación, ¿qué valor toma la variable dependiente cuando la variable independiente vale cero? _________________________________________________________________ En cada situación, ¿qué sucede con la variable dependiente cuando la variable independiente se duplica? ________________________________________________________________ En cada situación, ¿qué sucede con la variable dependiente cuando la variable independiente se triplica? _________________________________________________________________ En cada situación, ¿qué sucede con la variable dependiente cuando la variable independiente se reduce a la mitad? _________________________________________________________ ¿A qué conclusión general pueden llegar en las tres últimas preguntas? _______________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 4

Escriban en la siguiente tabla las expresiones algebraicas que se obtuvieron en el problema 1 (primera opción para el sueldo mensual) y en el problema 2 de la lección anterior.

Lección 7

{

Expresión algebraica

Problema 1 (primera opción)

Problema 2

Utilicen las letras x y y para representar las cantidades que varían y a y b para las otras cantidades; escriban en términos generales la expresión algebraica que identifica los dos casos. Especifiquen cuál literal se tomó como variable dependiente y cuál literal como variable independiente. _____________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Observen nuevamente la tabla de valores de cada una de estas situaciones y respondan las preguntas: En cada situación, ¿qué valor toma la variable dependiente cuando la variable independiente vale cero? _________________________________________________________________ En cada situación, ¿qué sucede con la variable dependiente cuando la variable independiente se duplica? ________________________________________________________________ En cada situación, ¿qué sucede con la variable dependiente cuando la variable independiente se triplica? ______________________________ En cada situación, ¿qué sucede con la variable dependiente cuando la variable independiente se reduce a la mitad? ______________________ ¿A qué conclusión general pueden llegar en las tres últimas preguntas? _______________

248

Matemáticas 1

BLOQUE 4

5

Contrasten las expresiones algebraicas de la forma general que plantearon en los problemas 3 y 4 de esta sección y expresen las diferencias entre estas dos situaciones:

El primer grupo de situaciones se representa mediante la expresión algebraica y  kx y el segundo grupo mediante la expresión algebraica de la forma y  ax  b. En el primer grupo de situaciones, la variación entre las dos cantidades es proporcional. En la expresión y  kx, cuando la variable independiente vale cero, la variable dependiente también vale cero. En la expresión de la forma y  ax  b, cuando la variable independiente toma el valor de cero, la variable dependiente en este caso toma el valor de b.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 9 1

Trabaja individualmente

Lupita tiene siete años y su hermano Luis tiene cuatro más que ella. Elabora en tu cuaderno una tabla en la que relaciones ambas cantidades a partir del nacimiento de Lupita. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? ______________________

2

Dada la expresión algebraica m  2.5n  2 Elabora una tabla de valores. ¿Cuáles son las variables que están relacionadas? ____________________________________________

Expresa verbalmente una situación que se ajuste a la expresión algebraica dada: ____________________

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

249

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

3

P  10 cm

Observa los siguientes rectángulos: P  7 cm 3 cm

P  6 cm P  5 cm

1.5 cm

1 cm

0.5 cm 2 cm A  1 cm2

2 cm

2 cm

A  2 cm2

2 cm

A  3 cm2

A  6 cm2

Completa la siguiente tabla: Altura (cm)

Base (cm)

Perímetro (cm)

Área (cm2)

0.5

2

5

1

1 1.5 3

¿Cuáles son las variables que están relacionadas? _____________________________________ ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona la altura y el perímetro? ____________________ ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona la altura y el área? ________________________ 4

Cada una de las siguientes tablas representa una relación entre dos cantidades que van variando. Tabla 1

Tabla 2

1

8.70

2

Tabla 3

0.5

0.25

0.5

54.25

17.40

1

1

1

58.5

3

26.10

1.5

2.25

2

67

4

34.80

2

4

2.5

71.25

5

43.50

3

9

3

75.5

Para cada una de las tablas, escribe en tu cuaderno una situación que se ajuste a los valores que se muestren en ella. En cada una de las situaciones, identifica las variables que están relacionadas. Anótalas en tu cuaderno. Finalmente, escribe las expresiones algebraicas que representan cada una de las situaciones mostradas en la tabla: ____________________

____________________

____________________

¿Cuál de las tablas representa una relación de proporcionalidad? ________________________________

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 250

Matemáticas 1

¿Cómo hubieras tú solucionado el problema plante ado por Lupe? ¿Qué aprendiste en este subtema?

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

251

4.4 Figuras planas Construcción de círculos Conocimientos y habilidades Construirás círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.

¿Qué sabemos de… construcción de círculos? Lección 10 1

Trabaja en equipo

Relacionen cada figura con el nombre correspondiente: Radio

2

Cuerda

Círculo

Diámetro

Circunferencia

Construyan en su cuaderno una circunferencia de radio de 5 cm: ¿Qué instrumentos utilizaron para construir la circunferencia? _____________________________________ Enuncien los pasos que siguieron para construir la circunferencia.

3

252

Juanita y Lupita se reunieron para hacer la tarea que les dejó la maestra Yolanda. Ella les solicitó que con el segmento que se muestra en la siguiente figura, el cual corresponde a una cuerda de una circunferencia, construyeran una circunferencia a la que pertenece esta cuerda.

Matemáticas 1

3 cm

BLOQUE 4

La circunferencia que construyó Juanita fue como ésta:

y la de Lupita como esta otra:

¿Cuál de las dos circunferencias fue la que solicitó la maestra Yolanda? Expliquen su respuesta: Con esta condición, ¿cuántas circunferencias diferentes podrán construirse? ________________________ Juanita y Lupita quieren construir una circunferencia cuya longitud de la máxima cuerda que se pueda trazar en ella sea de 5 cm.

4

¿Cómo se llama la máxima cuerda que se puede trazar en una circunferencia? _______________________ ¿La circunferencia que construirá Juanita será igual a la que construirá Lupita? Expliquen su respuesta:

Para saber más de… construcción de círculos Lección 11 1

Trabaja en equipo

Para reconstruir un plato de porcelana muy antiguo, un procedimiento consiste en dibujar el círculo del plato sobre un papel y luego armarlo sobre él como si fuera un rompecabezas. Pero ¿cómo dibujarlo si sólo se conoce un arco de su circunferencia?

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

253

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Circunferencia. Es el conjunto de puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Radio. Distancia que hay del centro de la circunferencia a cualquier punto de la circunferencia. Círculo. Conjunto de puntos en el plano que están a una distancia menor o igual que el radio.

2

Para las siguientes actividades necesitarán regla y compás. Dados tres puntos no alineados, tracen la circunferencia que los contiene y determinen el valor de su radio. Para ello, apéguense a las siguientes indicaciones: I.

Marquen en el siguiente espacio tres puntos no alineados y llámenlos A, B y C, respectivamente.

II.

Unan con un segmento el punto A y el punto B. Asimismo, unan con un segmento el punto B y el punto C. B D A

III.

Ubiquen el punto medio del segmento AB y llámenlo D. Hagan lo mismo para el segmento BC y llámenlo F.

F

B

C

D A

IV.

F G

C

254

Matemáticas 1

Tracen una recta perpendicular al segmento AB que pase por D. Igualmente, tracen una recta perpendicular al segmento BC que pase por F. El punto de intersección de las dos rectas llámenlo G.

BLOQUE 4

V.

Tracen la circunferencia que tiene como centro el punto G y como radio la longitud de cualquiera de los segmentos iniciales (AG, BG o CG).

B D A F G

C

3

Si en el paso II, en vez de unir con un segmento los puntos BC se unen AC, ¿se obtendrá la misma circunferencia? Expliquen su respuesta:

4

¿Cuántas circunferencias diferentes se podrán trazar con tres puntos no alineados? Expliquen su respuesta:

5

Si los puntos A, B y C se encuentran alineados, ¿se podrá trazar una circunferencia que los contenga? Se llama cuerda el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

6

Dada una cuerda, construyan la circunferencia a la que ésta pertenece. Apéguense a las siguientes instrucciones: I.

Ubiquen el punto medio del segmento AB y llámenlo C: C

A II.

B

Tracen una recta perpendicular al segmento AB que pase por C y ubiquen un punto D sobre esta recta perpendicular:

D

A

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

C

B

Matemáticas 1

255

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

III.

Tracen una circunferencia con centro en D y radio AD o BD.

D

A

C

B

Observen qué sucede si ubican otro punto E sobre la recta perpendicular al segmento AB que pasa por C y tracen una circunferencia con centro en E y radio EA o EB. 7

¿Pertenece la cuerda AB a la circunferencia con centro en E y radio AE? Expliquen su respuesta: E

D

8

¿Cuántas circunferencias es posible construir con la cuerda AB? Expliquen su respuesta: A

C

B

La cuerda más larga pasa por el centro de la circunferencia y se llama diámetro. La medida de todo diámetro es dos veces la medida del radio, es decir, 2r.

256

9

Especifiquen en su cuaderno los pasos a seguir para construir una circunferencia cuando se da el diámetro:

10

¿Cuántas circunferencias pueden construirse si se trata de la máxima cuerda? Expliquen su respuesta:

Matemáticas 1

BLOQUE 4

11

Si tienen acceso a una computadora y a internet, utilicen un software de geometría dinámica para que realicen cada una de las construcciones que acaban de ver en esta lección. Por ejemplo, podrían consultar el siguiente: http://www.cabri.com/es/descargar-cabri-2-plus.html

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 12 1

Trabaja individualmente

Determina si la proposición es verdadera o falsa. Si es falsa, explica por qué o da un ejemplo que refute la proposición. Proposición

V F

Justificación

Existen cuerdas que miden dos veces el radio. En toda circunferencia, la medida del diámetro es la mitad de la medida del radio. Una circunferencia puede tener dos centros. Dados tres puntos no alineados se puede construir una única circunferencia que los contenga. Dada una cuerda máxima se puede construir una única circunferencia que contenga a esta cuerda. Dados dos puntos se puede construir una única circunferencia que los contenga.

2

En una hoja tamaño carta, marca tres puntos no alineados cuya distancia de separación entre ellos sea de 10 cm.Traza la circunferencia que los contiene.

3

Realiza la construcción anterior utilizando, si es posible, un software de geometría dinámica.

4

¿Sabías que el círculo se identificaba en la simbología cristiana con la eternidad? Busca información con respecto a este tema. Conforma un equipo de trabajo para que compartan la información y para que preparen un póster. Preséntenlo a sus compañeros de clase.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

257

¿En qué otra situación podrías aplicar estos conocimientos? ¿Qué fue lo que más te gustó de este subtema? ¿Para qué te sir ve lo que aprendiste? 258

Matemáticas 1

4.5 Justificación de fórmulas Perímetro y área del círculo Conocimientos y habilidades Determinarás el número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificarás la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

¿Qué sabemos de… perímetro y área del círculo? Lección 13

Trabaja en equipo

1

Ideen un procedimiento para medir la longitud de un objeto circular que tengan a la mano, por ejemplo: una moneda, un CD, una tapa circular, etc. Luego discutan con sus compañeros sobre el mejor procedimiento para medir la longitud de una circunferencia.

2

Busquen cuatro objetos de forma circular, por ejemplo: una moneda, un plato, un CD y una botella. Midan la longitud del contorno de cada objeto. Luego hagan en su cuaderno una tabla como la siguiente y complétenlos.

Objeto

Longitud del contorno L

Diámetro d

L d

Cociente –

Moneda CD

Comparen los resultados que registraron en la cuarta columna. ¿Siempre resulta 3 y una parte decimal?

Matemáticas 1

259

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

3

Ahora, sin hacer mediciones, ¿cuánto creen que mida la longitud del contorno exterior de cada una de las siguientes rondanas? Consideren las medidas del diámetro. Rondana A Rondana B Rondana C

20 cm

10 cm

5 cm

De acuerdo con sus cálculos, comparen las longitudes de los contornos de las rondanas y contesten. ¿Cuánto aumentó la longitud de la Rondana A con respecto a la Rondana B? Observen que el diámetro aumentó el doble. ¿Y cuánto aumentó la longitud de la Rondana A con respecto a la Rondana C? Observen que el diámetro aumentó cuatro veces. ¿Qué conclusiones obtienen de este hecho? Anótenlo en su cuaderno.

Para saber más de… perímetro y área del círculo Lección 14 1

Trabaja en equipo

Realicen con su equipo la siguiente lectura y respondan:

Después de haber medido las longitudes de las diferentes circunferencias y de calcular el cociente entre esa longitud y el diámetro, seguramente han comprobado que siempre obtienen una cantidad constante entre 3 y 4. Así comprenden por qué hoy se sabe que la relación de una circunferencia a su diámetro es la misma, cualquiera que sea la circunferencia. Ese número constante se denomina pi y se representa por la letra griega π. Si realizan con mayor precisión el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro, obtendrán el número 3.14159... En los cálculos de la vida diaria se utilizan normalmente los valores 3.14 o 3.1416. Si llamamos C a una circunferencia y d a su diámetro, podemos afirmar que: C — π d

y como el dividendo C es igual al divisor por el cociente, obtenemos la siguiente expresión: Cπd Pero puede ser que en lugar de la medida del diámetro tengan la medida del radio r. Entonces, como recordarán que el diámetro es el doble del radio, esto es d  2r, la fórmula anterior queda: C  2πr

260

Matemáticas 1

BLOQUE 4

Una fuente circular de un jardín tiene 6 m de radio. ¿Cuál es su circunferencia, tomando a 3.14; π  3.1416; π  3.14159? Calculen también la diferencia entre las longitudes que obtengan y discutan sobre cuál medida es la más razonable para los fines prácticos de este problema. Un aro de juguete mide aproximadamente 1.5 metros de contorno. ¿Cuál es su radio? 2

En equipo realicen la siguiente actividad: a) Tracen en cartulina cuatro circunferencias cuyos radios midan 2, 3, 4 y 5 centímetros. b) Construyan polígonos regulares de 10, 11, 12 y 16 lados que sean inscritos a estas circunferencias. c) Unan con un segmento los vértices de cada polígono con el centro de la circunferencia a la que están inscritos. d) Recorten las piezas como se indica abajo, con ellas formen una figura que se parezca a un paralelogramo y péguenla en su cuaderno.

r

1 –C 2 Octágono regular inscrito en una circunferencia

Piezas del octágono regular colocadas así para integrar una figura en forma de paralelogramo

e) Con cada uno de los paralelogramos formados, comparen la longitud de la mitad de la circunferencia con la base del paralelogramo. ¿Qué observan? __________________________ f) Con cada uno de los paralelogramos formados, comparen la longitud del radio de la circunferencia con la altura del paralelogramo. ¿Qué observan? ______________________________ g) Con ayuda de este arreglo busquen una manera de calcular el área de cada círculo. Comenten en su equipo cómo lo hicieron.

Una mejor aproximación del área del círculo aumentando el número de lados del polígono regular inscrito Supongamos ahora que dibujamos un círculo, así como un polígono regular de 30 lados y que lo dividimos en 30 partes iguales y que estas partes las recortamos y las colocamos para hacer un arreglo en forma de paralelogramo.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

261

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

r

1 – 2

C

Observen que a medida que las piezas se hacen más pequeñas y las recortamos para hacer un arreglo con estas piezas, la figura se parece más a un paralelogramo. Por lo tanto, podemos afirmar que: El área de un círculo es aproximadamente igual al área de un paralelogramo (el área de un paralelogramo se calcula multiplicando la base por la altura). La base del paralelogramo es aproximadamente igual a la mitad del perímetro del círculo (C) y la altura del paralelogramo es aproximadamente igual al radio (r) del círculo. Por consiguiente: 1 2

Área del círculo ≈ ( – C) (r) Sustituyendo C por 2 π r tenemos: 2π r2 2

1 2

Área del círculo ≈ ( – ) (2 π r) (r) ≈ –—–– ≈ π r2

Calculen el área de cada región coloreada.

cm

3

3

4

3 Área  ___________________

Área  ___________________

Comenten cómo lo resolvieron y anótenlo a continuación:

262

Matemáticas 1

cm

1 cm

cm

4

cm

5 cm

Área  ___________________

BLOQUE 4

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 15 1

Trabaja individualmente

Rosita y Catalina son las encargadas de decorar pistas de baile para XV años. Ellas quieren colocar luces alrededor de una pista circular de 5 metros de diámetro. Si las ubican sobre la circunferencia a una distancia de 20 centímetros, ¿cuántas luces serán necesarias para la decoración? _______________________ Si la pista tuviera el doble del diámetro que la anterior, ¿cuál sería la longitud de su circunferencia? _________________________________ Y si tuviera 20 m de diámetro, ¿cuál sería la longitud de su circunferencia? ________________________ Y si tuviera la mitad del diámetro de la primera, ¿cuál sería la longitud de su circunferencia?

2

Completa la siguiente tabla: Diámetro (metros)

5

10

15

20

2.5

1

Circunferencia (metros)

3

¿Qué conclusiones obtienes? Coméntalo con tus compañeros y compañeras.

4

Las circunferencias de dos pistas circulares miden 15 y 45 metros, respectivamente; ¿cuál será la relación entre las longitudes de sus diámetros?

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

263

¿Estás de acuerdo con el razonamiento de Juan para calcular el diáme tro de la pista circular? ¿Cuál es el áre a de esta pista?

264

Matemáticas 1

4.6 Estimar, medir y calcular Cálculo del área y el perímetro del círculo Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

¿Qué sabemos de… cálculo del área y el perímetro del círculo? Lección 16 1

Trabaja en equipo

María utiliza los discos compactos (CD) que ya no sirven para hacer adornos para su casa. En el contorno de cada CD coloca una cinta, la cual compra por metros. ¿Cuánto mide el radio de un CD normal? _________________ ¿Cuántos metros de cinta utiliza para adornar un CD normal? ___________________ ¿Cuánto mide el radio de un CD pequeño? _________________ ¿Cuántos metros de cinta utiliza para adornar un CD pequeño? ___________________

2

Un reloj de pared de forma circular tiene un perímetro de 30 π cm. ¿Cuál es la longitud de su diámetro? ___________________

3

¿Cuánto miden los radios de los sectores circulares que están dentro de la cancha de baloncesto? _______ ____________ ¿Cuánto mide la longitud de la circunferencia de cada uno de ellos? ___________________ ¿Qué área tienen para moverse los jugadores de baloncesto cuando están dentro de cada uno de los sectores circulares de la cancha? ___________________

4

El espejo de la habitación de Rita es circular y tiene un área de π m2. ¿De cuánto es el diámetro del espejo? __________________

5

La longitud de la circunferencia de una pista circular de carreras es de 400 m. ¿De cuánto es el área que ocupa la pista de carreras? __________________

6

El área de una pista de baile de forma circular es de aproximadamente 12.57 m2. ¿Cuánto mide su radio? __________________ Matemáticas 1

265

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

7

La longitud de la circunferencia de un botón es aproximadamente 2.5 cm. ¿Cuánto tiene de diámetro? __________________

Para resolver los problemas anteriores tengan en cuenta que en el subtema anterior estudiaron que la longitud de la circunferencia está dada por C  2 πr. El área de un círculo es igual al producto de la constante π por el cuadrado del radio. Simbólicamente: A  π r2. π es un número cuyo valor aproximado es de 3.1416.

Para saber más de… cálculo del área y el perímetro del círculo Lección 17 1

Trabaja en equipo

Hallen el perímetro y el área de la siguiente figura. Anoten el procedimiento. 2 cm

41

1.

1 cm

2 cm cm

Determinen el área de la parte sombreada en cada figura:

4 cm

2

4 cm

A  __________________

266

Matemáticas 1

A  __________________

BLOQUE 4

4 cm

8 cm

4 cm

A  __________________

A  __________________

3

Completen la siguiente tabla:

Longitud del radio (cm)

Longitud del diámetro (cm)

Área (cm2)

Longitud de la circunferencia (perímetro) (cm)

1

2

π

2π

2 3 4 5 6 7 8 Ahora respondan las siguientes preguntas. Pueden ayudarse con los datos que completaron en la tabla:

a) Si la longitud del radio se duplica, ¿su área también se duplica? b) Si la longitud del diámetro se duplica, ¿se duplica el perímetro también? c) ¿Es la relación entre la longitud del diámetro y el perímetro una relación directamente proporcional? Comenten la respuesta con sus compañeros. d) ¿Es la relación entre la longitud del radio y el área una relación directamente proporcional? Comenten la respuesta con sus compañeros. Como habrán podido darse cuenta: La relación entre la longitud del diámetro y la longitud de la circunferencia es una relación de proporcionalidad directa. No obstante, esto no sucede con la relación entre la longitud del radio y el área del círculo. EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

267

TEMA: MEDIDA

4

Si el perímetro de una circunferencia es de 100 π cm y se quiere reducir a la cuarta parte, ¿en cuánto tendrá que reducirse el diámetro?

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 18

Trabaja individualmente

1

Consulta cuál es el símbolo del yin-yang y encuentra el área que corresponde a la parte de color blanco, si el círculo tiene un diámetro de 12 cm.

2

En un cuadrado cuyo perímetro es 48 cm se halla inscrito un círculo; encuentra el área comprendida entre el círculo y el cuadrado.

3

Si en el problema anterior el cuadrado está circunscrito a un círculo, encuentra el área comprendida entre el cuadrado y el círculo. ¿Qué puedes decir con respecto a estas áreas?

4

Si el perímetro de la siguiente circunferencia es de 0.8 π m, ¿cuál es el área de la región sombreada?

5

En el contorno de un jardín de forma circular se quieren sembrar 12 árboles. Si el radio del jardín es de 0.2 decámetros, ¿qué distancia se tendrá que dejar entre cada árbol? ___________________________ ¿qué área ocupa el jardín? ___________________ El perímetro del jardín tiene que reducirse a la tercera parte. ¿Cuánto debe medir su radio? _________ ________________________________________

A  ________________________

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 268

Matemáticas 1

BLOQUE 4

¿Estás de acuerdo con el razonamiento de estos niños? ¿En qué otra situación puedes aplicar lo que aprendiste? Coméntalo con tus compañeros y compañeras.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO

Matemáticas 1

269

4.7 Gráficas Proporcionalidad y plano cartesiano Conocimientos y habilidades Explicarás las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

¿Qué sabemos de… proporcionalidad y plano cartesiano? Lección 19 1

Trabaja en equipo

A Rosy le encanta proponer juegos matemáticos. En esta ocasión los invita a que sigan sus instrucciones y dibujen sobre un plano cartesiano lo que ella les indique. Hagan su plano en el cuaderno. Después de seguir las instrucciones obtendrán una bonita figura. a) Inicien en el punto (0,0), que es el origen del plano cartesiano. b) Ubiquen los puntos (6,0), (–6,0), (0,–6), (0,6), (2,2), (–2,2), (–2,–2), (2,–2), (5,3), (3,5), (–3,5), (–5,3), (–5,–3), (–3,–5), (3,–5), (5,–3), (3,0), (0,3), (–3,0), (0,–3). c) Unan los puntos (6,0) con el (5,3) y éste con (3,5) y éste con (0,6) y éste con (–3,5) y éste con (–5,3) y éste con (–6,0) y éste con (–5,–3) y éste con (–3,–5) y éste con (0,–6) y éste con (3,–5) y éste con (5,–3) y éste con (6,0). d) Ahora unan los puntos (3,0) con (2,2) y éste con (0,3) y éste con (–2,2) y éste con (–3,0) y éste con (–2,–2) y éste con (0,–3) y éste con (2,–2) y éste con (3,0). e) Enseguida unan el punto (2,2) con los puntos (5,3) y (3,5). Luego unan el punto (–2, 2) con los puntos (–3,5) y (–5,3). Después unan el punto (–2,–2) con los puntos (–3,–5) y (–5,–3) y finalmente unan el punto (2,–2) con los puntos (5,–3) y (3,–5).

¿Qué obtuvieron? ________________________________________________________________ Un mosquito está ubicado en el punto (–1,1). ¿Está atrapado en la red? __________________ Otro mosquito está ubicado en el punto (2,–4). ¿Está atrapado en la red? ________________ Un tercer mosquito está ubicado en el punto (5,–4). ¿Está atrapado en la red? ____________

270

Matemáticas 1

BLOQUE 4

2

Cierta marca de chocolates suele vender paquetes de 6, 10, 12 y 30 chocolates. En la tabla siguiente aparece la cantidad de chocolates que tenemos según el número de paquetes de 6 chocolates. Núm. de paquetes de 6 chocolates

x

1

2

3

4

5

Núm. de chocolates

y

6

12

18

24

30

¿Muestra la tabla una relación de proporcionalidad directa? ______________________________________ Si es así, ¿cuál es el factor constante de proporcionalidad? _______________________________________ ¿Cómo sería la expresión algebraica que relaciona estas dos variables? _____________________________ ¿Podrían hacer la gráfica utilizando los valores de la tabla? ¿En qué cuadrante se encuentran ubicados los puntos de la tabla en la gráfica? __________________________________________________________________ 3

Si el kilogramo de manzanas cuesta $25 en el mercado de San Cosme, completen la tabla, escribiendo el número de kilogramos x y el precio correspondiente y; después encuentren la expresión algebraica que relacione estas dos variables y hagan en su cuaderno la gráfica de los valores de la tabla. Si unen los puntos de la tabla, ¿qué figura obtendrán? _______________ ¿Por dónde pasa? _______________ Kilogramos de manzanas

x

0

1

Precio en pesos

y

0

25

2

3

4

5

6

7

¿Están o no alineados? _______________ ¿Qué sentido tiene? _______________ ¿Les serviría para encontrar el precio de cantidades no enteras, como medio kilogramo de manzanas o 3 kilogramos y un cuarto? _______________ Coméntenlo con sus compañeros y compañeras.

Para saber más de… proporcionalidad y plano cartesiano Lección 20 1

Trabaja en equipo

Realicen en equipo la siguiente lectura y respondan:

El plano cartesiano Para determinar todos los puntos del plano necesitamos dos rectas graduadas y perpendiculares que se corten en el 0. Este punto recibe el nombre de origen de las coordenadas.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

271

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

y

Eje de las ordenadas

Segundo cuadrante

Primer cuadrante 5 4 3 2 1 Eje de las abscisas

-5

-4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

x

5

-1 -2 -3 -4 Tercer cuadrante

-5

Cuarto cuadrante

Las rectas se denominan ejes cartesianos y dividen el plano en cuatro partes denominadas cuadrantes. El eje horizontal se llama eje x o eje de las abscisas, y el eje vertical eje y o eje de las ordenadas. Es conveniente hacer la observación que las divisiones de un eje no necesariamente tienen que ser iguales a las del otro, pero sí deben de ser iguales en el mismo eje. En este plano, a cada punto le corresponde una pareja ordenada de puntos (a, b); esta pareja de puntos se denomina coordenadas cartesianas del punto. Por ejemplo, en el plano cartesiano de abajo puedes apreciar que las coordenadas de P son (3, 4). En el primer número, en este caso el número 3, es la abscisa. El segundo número, el 4, se denomina ordenada.

272

Matemáticas 1

BLOQUE 4

Las coordenadas de Q son (3, 4), la abscisa es ______________ y la ordenada es ______________

Q

3

Las coordenadas de R son ________ ______. La abscisa es ____________ y la ordenada ______________ Las coordenadas de S son _________ _____. La abscisa es _____________ y la ordenada ______________

P

4

2 1 -4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

-1

Localicen el punto T cuyas coordenadas son (0, 3).

-2 -3 -4

R

S

Gráfica de puntos. Si disponemos de dos informaciones numéricas, relacionadas entre sí, podremos representar cada una en un eje de coordenadas. Los puntos del plano nos muestran la relación que existe entre ambas. Esta representación recibe el nombre de gráfica. 2

Dada la representación numérica (tabla) y la representación gráfica de la relación y  3x, respondan: y  3x

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5

¿Es una relación de proporcionalidad? Si trazan la recta, ¿pasará por el origen, es decir, por el punto (0, 0)? ¿Está el punto (1, 3) sobre la recta?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

273

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Hagan una tabla de valores de la regla de correspondencia y  3x  2 y luego ubiquen los pares de valores (x, y) que generaron con esa regla de correspondencia en el plano cartesiano y contesten: ¿se puede trazar una recta que pase por todos los puntos que ubicaron? ¿Pasa por el punto (0, 0) la recta trazada? ________________________________________ ¿En qué se parecen las relaciones y  3x y y  3x  2? ¿Cuál es la principal diferencia?

La gráfica cartesiana de una relación de proporcionalidad es un conjunto de puntos que se ubican sobre una recta. La recta pasa por el origen del plano cartesiano. 3

Núm. de bolígrafos

Precio $

0

0

1

15

2

30

3

45

4

60

5

75

6

90

7

105

El precio de un bolígrafo en la papelería “El Cadete” es de $15.00. En la tabla siguiente se muestra el precio de los bolígrafos que se indican y también su representación gráfica. ¿Es una relación de proporcionalidad? ¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica? Es decir, ¿tiene sentido hablar de 1.5 bolígrafos? 5 75 ¿Pertenece a la gráfica el par ( — , — )? 2 2

Precio ($) 105 90 75 60

En algunas gráficas, aunque sólo conozcamos algunos cuantos puntos, tiene sentido unirlos por líneas, pues así le corresponde al fenómeno que están representando, por ejemplo: cuando se hace la gráfica de cómo varía la temperatura de un cuerpo en función del tiempo.

45 30 15

1 2 3 4 5 6 7 x 0 Cuando la variable independiente no puede Núm. de bolígrafos tomar todos los valores numéricos posibles, como en el caso de la gráfica anterior (¿qué sentido tendría decir 10.8 bolígrafos?), no tiene ningún sentido unir los puntos. 4

Comenten con sus compañeros si la gráfica de los valores de la tabla de kilogramos de manzana y su precio (problema 3 de la lección 19) se puede unir con una línea. Anoten sus conclusiones:

¿Tiene sentido hablar de 1.2 kg de manzanas? ¿O de 3.750 kg? ______________________

274

Matemáticas 1

BLOQUE 4

5

La familia de Rosita irá de vacaciones al puerto de Acapulco en su automóvil. Deben recorrer un total de 400 km a una velocidad constante de 80 km/h. La expresión algebraica que corresponde a la distancia y recorrida en km, en el tiempo x en horas yendo a esta velocidad es y  80x. En la figura siguiente representamos la gráfica de esta relación. En el eje de las x (variable independiente) marcamos el tiempo de viaje y en el eje de las y (variable dependiente) la distancia recorrida. ¿Pertenece a la gráfica la pareja ordenada 3 ( — , 120)? ________________________ 2 ¿Es una relación de proporcionalidad? _________________________________ ¿Por qué tiene sentido unir los puntos de la gráfica? ________________________ ____________________________________

Distancia (km) 480

y  80 x

400 320 240 160 80 0

1

2

3

4

5 Tiempo (h)

6

En la siguiente gráfica se muestra la distancia recorrida y en km, en el tiempo x en horas si la familia va a velocidad constante de 100 km/h. ¿Cuál recta está más inclinada? ______________________ Si la familia decide viajar a una velocidad constante de 60 km/h, la recta estaría más inclinada que las anteriores? Expliquen.

Distancia (km)

_________________________________

480

_________________________________

400

y  100 x y  80 x

320 240 160 80 0

1

2

3

4

5 Tiempo (h)

La constante k en las expresiones algebraicas de la forma y  kx expresa la inclinación de la línea recta. Hay otro tipo de situaciones en que la gráfica también será una línea recta pero que no pasa por el origen. En este caso, la relación que se representa no es exactamente de proporcionalidad.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

275

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 21 1

Trabaja individualmente

Un automóvil tiene un rendimiento de 10 km por litro de gasolina, es decir, recorre 10 km y gasta 1 litro de gasolina.

m

1

2

3

4

n

10

20

30

40

Si m expresa el número de litros de gasolina y n el número de km recorridos, ¿cuál es la expresión general que modela esta situación? Explica por qué podemos decir que estas dos magnitudes son directamente proporcionales:

¿Cuál es la constante de proporcionalidad k? Realiza la gráfica:

¿Tiene sentido unir los puntos en la gráfica? ¿Por qué? Si otro automóvil tiene un rendimiento de 18 kilómetros por litro de gasolina, ¿cuál es la expresión general que modela esta situación y cómo sería la gráfica? ¿Cuál de las dos gráficas está menos inclinada?

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

276

Matemáticas 1

¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona el número de lápices con el número de niños en un año, suponiendo que cada niño usa sie te lápices en un año? ¿Se trata de una relación de proporcionalidad? Haz su gráfica en el plano cartesiano. ¿Qué características tiene esta gráfica? EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

277

Construyamos cuadrados mágicos ¿Has escuchado alguna vez acerca de los cuadrados mágicos? Seguramente sí, pero para mayor información te diremos que un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números en un cuadrado, de modo que la suma de los números por columnas, filas o diagonalmente sea la misma.

Melancolía El siguiente cuadrado mágico fue ideado por el pintor alemán Alberto Durero, quien lo incorporó en su famoso grabado “Melancolía”. Si lo observas con detenimiento, te darás cuenta de que la disposición de sus números permite que la suma de manera vertical, horizontal y en diagonal dé 34.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

La Sagrada Familia Otro cuadrado mágico de orden 4 se muestra en la fachada de la Pasión de la iglesia de la Sagrada Familia, en Barcelona, y fue diseñado por el escultor Joseph Subirachs. La “constante mágica” de este cuadro es 33, que representa la edad de Jesucristo en la Pasión. 1.

Completa el cuadrado mágico de la Sagrada Familia:

14 6 10 3 Se dice que en la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C.

278 278

2. Investiga en internet acerca de la historia de los cuadrados mágicos y las leyendas que hay alrededor de ellos. Por

ejemplo, completa el siguiente cuadrado mágico y busca qué leyenda existe a su alrededor. Una página en la que podrías consultar lo anterior es: http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico. Además, hay mucha información en línea en donde podrías tomar lo que se te solicita. En el buscador de google puedes escribir la frase “cuadrados mágicos” y te proporcionará gran cantidad de páginas que puedes consultar. Sólo ten cuidado con la veracidad de la información que obtienes.

4

9

2

1 Construcción de los cuadrados mágicos Investiga cuál es el procedimiento para elaborar cuadrados mágicos de orden 3 y 4, con números enteros positivos y negativos. Elabora uno de cada uno.

Feria de las Matemáticas: reta a tus compañeros y compañeras a completar los cuadrados mágicos que acabas de construir. Si quieres, puedes hacerlos en papel cartulina, fieltro o en madera: tú eliges; el único requisito es que sean visibles para todo el público. También sería conveniente que incluyeras la historia de los cuadrados mágicos y una cartelera con el o los procedimientos que se siguen para construirlos. Adivina la respuesta: muestra a tus compañeros y compañeras los cuadrados mágicos que hiciste y pídeles que los completen en un tiempo determinado.

279 279

280

Bloque 5

Aprendizajes esperados En este bloque: i Resolverás problemas aditivos que impliquen usar números con signo. i Explicarás las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o

no equiprobables. i Resolverás problemas que impliquen una relación inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades. i Resolverás problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central.

281

5.1 Problemas aditivos Adición y sustracción de números con signo Conocimientos y habilidades Utilizarás procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones

¿Qué sabemos de… adición y sustracción de números con signo? Lección 1

Trabaja en equipo

Juego 1 Modelar la adición de números positivos y negativos 1

Para este juego necesitarán 20 fichas azules y 20 fichas rojas. Las fichas azules representan a los números con signo positivo. Las fichas rojas representan los números con signo negativo. Ejemplo 1. Encontrar la suma de dos números enteros positivos. Elijan tres fichas azules para representar 3 y dos fichas azules para representar 2 y colóquenlas en una hoja tamaño carta. Cuenten el número total de fichas azules.

3

2

( 3)  ( 2)   5 4

1

Ejemplo 2. Encontrar la suma de dos números negativos. Elijan cuatro fichas rojas para representar –4 y una ficha roja para representar –1 y colóquenlas en una hoja tamaño carta. Cuenten el número total de fichas rojas. (4)  (–1)  –5

7

Ejemplo 3. Encontrar la suma de números positivos y negativos. Elijan siete fichas rojas para representar – 7 y cuatro azules para representar 4 y colóquenlas en una hoja tamaño carta. Agrupen parejas de fichas: una roja y una azul. 282

Matemáticas 1

4

BLOQUE 5

Cada pareja suma cero [esto es (1)  (–1)  0]. Las fichas que quedan representan la suma. ( –7)  ( 4)  –3 2

3

Usen las fichas azules y rojas para encontrar la suma: (3)  (– 4)  ____

(–1)  (–3)  ____

(–2)  (–5)  ____

(– 4)  (4)  ____

(–5)  (8)  ____

(–7)  (2)  ____

(6)  (– 3)  ____

(8)  (– 8)  ____

Escriban en su cuaderno un procedimiento general para la adición de dos números positivos y un procedimiento para la adición de dos números negativos. Después contesten las siguientes preguntas: ¿El resultado de la suma de un número positivo y un negativo puede ser positivo? ____________________ ¿En qué casos? _______________________________________________ ¿Puede ser negativo? _________________ ¿En qué casos? _______________________________________________ ¿Cuándo la suma de dos números con signo es cero? __________________________ ¿Pueden predecir cuándo la suma será positiva o negativa? Escriban en su cuaderno el procedimiento general.

4

Observen la siguiente secuencia y traten de hallar la regularidad para encontrar las sumas de números negativos. Luego pueden comprobar la suma en la “regla numérica” que se muestra abajo (la suma de dos números se encuentra al unir los dos números que quieren sumar con una regla y el resultado se halla en la línea de en medio). a) (3)  (3)  6

(3)  (–1)  2

(3)  (–5)  ____

(3)  (2)  5

(3)  (–2)  1

(3)  (–6)  ____

(3)  (1)  4

(3)  (–3)  ____

(3)  (–7)  ____

(3)  0  ____

(3)  (– 4)  ____

(3)  (–8)  ____

(–3)  (3)  0

(–3)  (–1)  ____

(–3)  (6)  3

(–3)  (2)  ____

(–3)  (–2)  ____

(–3)  (5)  ____

(–3)  (1)  ____

(–3)  (–3)  ____

(–3)  (4)  ____

(–3)  0  –3

(–3)  (– 4)  ____

b) (–3)  (7)  4

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

14

12

10

8

6

4

2

0

2

4

6

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

4

5

6

7

Ejemplo (7)  (4)  3

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

283

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

5

(3)  ( –2)  1 puede ser escrito también como 3  (–2)  1. ¿Cuál es el signo de operación que se debe escribir para obtener 1? Anótenlo. (3)  ( –2 )  3

21

Juego 2 Modelar la sustracción de números positivos y negativos 6

Ejemplo 1. Encontrar la diferencia de dos números enteros positivos. Primer caso: la diferencia (5) – (2) puede modelarse así: Elijan tres fichas azules para representar 3, dos fichas azules para representar 2 y colóquenlas en una hoja tamaño carta. Quiten dos fichas azules y cuenten el total de fichas azules que quedaron: (5) – (2)  3

Segundo caso: la diferencia (2) – (5) puede modelarse así: Elijan dos fichas azules para representar 2 y colóquenlas en una hoja tamaño carta. Como debemos quitar 5 fichas azules colocamos 3 parejas de fichas (azul y roja), es decir, 3 parejas cero. Ahora sí pueden quitar 5 fichas azules. Cuenten el total de fichas que quedaron. El resultado es –3, porque (2) – (5)  –3

Ejemplo 2. Encontrar la diferencia de dos números negativos. La diferencia (–5) – (–3) puede modelarse así: Elijan cinco fichas rojas para representar –5 y colóquenlas en una hoja tamaño carta. Quiten 3 fichas rojas y cuenten el número total de fichas rojas que quedaron. (–5) – (–3)  –2 Ejemplo 3. Encontrar la diferencia de un número positivo y uno negativo. La diferencia (1) – ( – 4) puede modelarse así: Elijan una ficha azul para representar 1 y colóquenla en una hoja tamaño carta. Como debemos quitar 4 fichas rojas colocamos 4 parejas de fichas (azul y roja), es decir, 4 parejas cero. Ahora sí pueden quitar 4 fichas rojas. Cuenten el total de fichas que quedaron. El resultado es 5: ( 1) – ( – 4)  5 284

Matemáticas 1

BLOQUE 5

7

Usen las fichas azules y rojas para encontrar las diferencias: (6) – (4)  __________

(–2) – ( – 4)  __________

(3) – ( 2)  __________

(–1) – ( –2)  __________

(4) – (6)  __________

(1) – (– 5)  __________

(5) – (8)  __________

(–6) – (2)  __________

¿Puede ser positiva la diferencia de un número positivo y un número negativo?__________ ¿Puede ser negativa?__________ ¿En qué casos?________________________________________ Comenten las respuestas con sus compañeros y compañeras. 8

Observen las siguientes secuencias y traten de hallar la regularidad para encontrar la diferencia de números positivos y negativos. Después comprueben los resultados en una calculadora: a) (5) – (3)  2

b) (–5) – (3)  –8

(5) – (2)  3

(–5) – (2)  __________

(5) – (1)  __________

(–5) – (1)  __________

(5) – 0  __________

(–5) – 0  __________

(5) – (–1)  __________

(–5) – (–1)  __________

(5) – (–2)  7

(–5) – (–2)  __________

(5) – (–3)  __________

(–5) – (–3)  __________

Observen que en su calculadora hay dos signos que representan “menos”: uno sirve para realizar la operación de sustracción y el otro deben usarlo para escribir un número negativo en la calculadora. Ejemplo: para encontrar la resta de (–5) – (3) opriman las teclas: Tecla para realizar la sustracción

5

/

3







Tecla para cambiar de signo

9

(3) – ( 2) 1 puede escribirse también como 3 – (2)  1 ¿Cuál es el signo de operación que deben escribir para obtener 1? 3 – ( 2 )  3

10

21

Escriban el signo de operación que falta:

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

(3) – ( –2 )  3

25

(4) – ( 2 )  4

22 Matemáticas 1

285

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

Para saber más de… adición y sustracción de números con signo Lección 2 1

Trabaja en equipo

Pepe representó la suma de (2.5)  (4.5) en la recta numérica de la siguiente manera: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

El resultado es un número positivo, porque al hacer dos desplazamientos hacia la derecha, se obtiene un desplazamiento [desde el punto inicial (0)] hacia la _______________. El resultado es _______________ 2

Lupe representó la suma de (3.5)  (2.5) en la recta numérica de la siguiente manera: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

El resultado es un número negativo, porque al hacer dos desplazamientos hacia la izquierda, se obtiene un desplazamiento [desde el punto inicial (0)] hacia la _______________. El resultado es _______________ 3

Mary representó la suma de (3.5)  (8.5) en la recta numérica de la siguiente manera: 8.5 3.5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

El resultado es _______________ 4

Realicen las siguientes adiciones aplicando el procedimiento para sumar números con signo en la recta numérica. Pueden verificar los resultados con cualquier otro procedimiento. (–4.2)  (–2.3)  __________ (5.7)  ( –7.5)  __________ (–6.2)  (– 2.8)  __________ (1.2)  (–1.1)  __________

5

Con base en los juegos de la lección 1, ¿que pueden concluir con respecto al resultado de sumar números con signo en los siguientes casos?: a) Cuando se suman dos números con signo positivo __________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ b) Cuando se suman dos números con signo negativo _________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

286

Matemáticas 1

BLOQUE 5

c) Cuando se suman dos números con signos diferentes, es decir, uno con signo positivo y uno con signo negativo. _________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ d) Utilicen las reglas que acaban de enunciar para sumar números con signo y encuentren el resultado de: (3.6)  (6.4)  _____________ (5.8)  (7.6)  _____________ (8.3)  (3.8)  _____________ (9.7)  (9.7)  _____________ 6

Pepe representó la sustracción (4.5)  (2.5) en la recta numérica de la siguiente manera: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

A partir del punto inicial (0), ¿hacia dónde fue el desplazamiento? ____________________ El resultado es _______________ Pepe escribió esta sustracción como una adición de la siguiente manera: (2.5) 

?  4.5

y afirma que es equivalente a

?  (4.5)  2.5 ¿Son correctas las afirmaciones de Pepe? _______________ ¿Qué número sumado con el número negativo 4.5 da 2.5 positivo? _______________ Pepe convirtió la sustracción (4.5)  (2.5) en una adición de la siguiente manera: (4.5)  (2.5) y manifiesta que utilizó el simétrico de (2.5). ¿Podrían explicar qué fue exactamente lo que hizo Pepe? ___________________________ Según lo que afirma Pepe, (4.5)  (2.5)  ______________________ se convierte en (4.5)  (2.5)  ___________________ ¿Són los resultados los mismos en ambos casos? La sustracción es la operación inversa de la adición, puesto que a  b  a  (b), es decir, restar b es sumar  b. 7

Observen la siguiente operación y expliquen por qué se puede realizar la transformación de la sustracción a la adición: ¿Es correcto el resultado siguiente? (3.5)  (2.5)  (3.5)  (2.5)  1

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

287

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

8

Resuelvan las sustracciones siguientes: (7.3)  (3.7)  __________

(4.7)  (5.8)  __________

(9.7)  (8.9)  __________

(5  7)  (7.2)  __________

(1.1)  (1.1)  __________

(2.3)  (5.4)  __________

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 3

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

El problema de las restas “imposibles” como 2.5  7.5 preocupó durante mucho tiempo a los matemáticos al tratar de resolver ecuaciones de la forma x  7.5  2.5. “¿Qué número sumado a 7.5 da 2.5?” Hace ya algunos años que los matemáticos resolvieron este tipo de problemas al inventar los “números negativos”: x  7.5  2.5 x  7.5  7.5  2.5  7.5 x  2.5  7.5 x  5 Para comprobar este resultado sustituimos el valor x  5 en la ecuación original: x  7.5  2.5 (5)  7.5  2.5 2.5  2.5 Como puedes comprobar, el resultado ¡es correcto! 1

Encuentra los números que faltan en las siguientes ecuaciones.Verifica tus respuestas con la calculadora. 5  8  n  12 p  17.5  8.5 2.6  b  6.4  1.4 5.3  m  6.3  7.4 8.6  x  5.2  7.9

Discutan la historie ta de la siguiente página y contesten las preguntas que ahí se plante an. 288

Matemáticas 1

¿Cómo re pre se n t a rías c o n núme ro s c o n s igno e s t a s i t uac ión? C omén t a lo c o n t us c omp añe ro s .

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

289

5.2 Relación funcional Representaciones de proporcionalidad directa Conocimientos y habilidades Analizarás los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación e identificarás las que son de proporcionalidad directa.

¿Qué sabemos de… representaciones de proporcionalidad directa? Lección 4

Trabaja en equipo

A un resorte de longitud igual a 20 cm se le han suspendido varias masas y se ha medido la longitud del resorte, lo que dio como resultado la siguiente tabla:

1

Masa (en kg)

0

0.5

2

3

5.1

Longitud del resorte (en cm)

20

20.75

23

24.4

27.65

Si en el eje de las abcisas se representan los valores de las diferentes masas que se le cuelgan al resorte y en el eje de las ordenadas la longitud del resorte, ¿cuál de las siguientes gráficas representa esta situación? Expliquen su respuesta. y

y

y

36

36

10

34

34

9

32

32

8

30

30

7

28

28

6

26

26

5

24

24

4

22

22

3

20

20

2

�

1

� x 1

2

3

4

5

6

7

8

Gráfica 1

9

10

x

x 1

2

3

4

5

6

Gráfica 2

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Gráfica 3

¿Pertenece el par ordenado (5, 26) a la gráfica que seleccionaron? Expliquen su respuesta: ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona la situación planteada con la gráfica que seleccionaron? 290

Matemáticas 1

10

BLOQUE 5

Si la longitud del resorte es de 29 cm, ¿cuántos kilogramos se le suspendieron? _______________________ ¿Cuál será la longitud del resorte si se le suspende una masa de 7.5 kg?__________ ¿Corresponde a una relación de proporcionalidad directa la relación entre la masa que se cuelga al resorte y la longitud del resorte? Expliquen su respuesta: ______________________________________________ Vinculen cada una de las siguientes situaciones con su respectiva gráfica.

SITUACIÓN

2

a) Un automóvil se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora. Las variables que están relacionadas son tiempo y distancia.Tomen la distancia como función del tiempo.

b) La longitud del lado de un cuadrado y su área están relacionadas. Tomen el área como función de la longitud del lado del cuadrado.

c) Lupita compró un celular y le dieron 350 pesos en tiempo aire. Después de hablar 20 minutos con su amigo Juan le queda un saldo de 300 pesos. Nota: supongan que el valor de la llamada a celular o a un fijo cuesta igual. Tomen el saldo como función del tiempo total que ha llamado.

d) La empresa de teléfonos cobra $2.5 por minuto a celular. Tomen el costo de la llamada en función del tiempo en minutos que dure la llamada.

y y 500 500 450 450 400 400

y y 36 36 32 32 28 28 24 24 20 20 16 16

350 350 300 300 250 250 200 200 150 150 100 100

12 12 8 8 4 4 1 1

2 2

3 3

4 5 6 4 5 6 Gráfica A Gráfica A

7 7

8 8

9 9

10 10

x x

50 50

y y 25 25 22.5 22.5 20 20 17.5 17.5 15 15 12.5 12.5 10 10

y y 400 400

7.5 7.5 5 5

120 120 80 80

20 20

40 40

60 60

1 1

2 2

3 3

80 100 120 140 160 180 200 80 100 120 140 160 180 200 Gráfica B Gráfica B

x x

360 360 320 320 280 280 240 240 200 200 160 160

2.5 2.5 1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

Gráfica C Gráfica C Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

x x

40 40 4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Gráfica D Gráfica D

Matemáticas 1

9 9

10 10

291

x x

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

Elaboren a continuación una tabla numérica para cada una de las situaciones anteriores y encuentren la expresión algebraica correspondiente.

3

Observen las gráficas de esta página y expliquen cuál gráfica representa magnitudes directamente proporcionales:

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Gráfica A

–6

–5

–4

–3

–2

–1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

5

6

–6

–5

–4

–3

–2

–2

–2

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

5

–6

6

–5

–4

–3

–2

–1

0

–1 –2

–2 6

Gráfica C

5 4 3 2 1 –3

–2

–1

0

1

2

3

4

–1 –2

Matemáticas 1

0

–1

–1

292

–1

–1

Gráfica E

1

2

3

4

5

6

Gráfica B

1

2

3

4

5

6

Gráfica D

BLOQUE 5

Para saber más de… representaciones de

proporcionalidad directa

Lección 5 1

Trabaja en equipo

En la gráfica, las coordenadas de uno de los puntos de una relación de proporcionalidad directa son (2, 24). ¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1? ____________ _______________________________________

y 48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4

x 1

2

3

4

y

2

3

Basándose en la representación gráfica dada en el ejercicio 1, encuentren los valores que se solicitan en la siguiente tabla.

x

1

y

12 44 24

48

2

3

13 48

22 204

40 36

¿Qué características pueden encontrar en la gráfica 32 del ejercicio 1? 28 24 Observen que una de las características de la gráfica del ejercicio 1 es que representa una relación 20 en la cual la variable independiente toma sólo valores discretos, es decir, toma sólo valores enteros. 16 unidos con una línea recta. Esto se evidencia porque los puntos de la gráfica no están 12

4

Encuentren el valor de la constante de proporcionalidad8 del ejercicio 1 y expliquen en su cuaderno el procedimiento que siguieron. 4 x Utilizando el valor de la constante de proporcionalidad que acaban de encontrar podemos escribir 2 como3y  12x. 4 Recuerden la expresión algebraica que representa la situación mostrada en la1 gráfica que en este caso la variable x toma valores discretos. y

5

¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con la gráfica del ejercicio 1? Subráyenla. 48

a) Luis pagó 24 pesos por dos kilos de azúcar. ¿Cuánto 44 tendrá que pagar si compra un kilo y medio de azúcar? 40

b) Luis tiene 24 años de edad y su hija Diana 2. ¿Qué36edad tenía Luis cuando su hija tenía un año? 32 28 EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

24 20 16 12

Matemáticas 1

293

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

c) Luis compró dos bolígrafos y el precio total que pagó fue de 24 pesos. ¿Cuánto tendrá que pagar si compra 5 bolígrafos? 6

Las siguientes expresiones algebraicas corresponden a las tres gráficas que se muestran ilustradas a continuación. Indiquen cuál expresión algebraica corresponde a cada gráfica y escríbanla sobre la raya. y  5x

yx

y  3x

Gráfica 1 Expresión algebraica

–4

–3

–2 –1

12

12

11

11

10

10

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

–4

–3

–2 –1

–1

Gráfica 2 Expresión algebraica

1

0

2

3

4

5

6

7

8

–1

12 11 10 9 8 7 6 5 4

Gráfica 3 Expresión algebraica

3 2 1 –4

–3

–2 –1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

–1

Observen que las tres expresiones algebraicas corresponden a la forma y  kx. La constante de proporcionalidad expresa la inclinación de la recta: cuanto mayor sea el valor de k, la recta tendrá mayor inclinación con respecto al eje x. ¿Qué valores toma la variable independiente de la gráfica número 2? _________________

294

Matemáticas 1

BLOQUE 5

7

Relacionen las siguientes situaciones con cada una de las expresiones algebraicas y con su respectiva gráfica del ejercicio anterior. Especifiquen en cada caso cuál tiene que tomar como variable independiente y cuál como variable dependiente.

Situación

Variables

Gráfica número

i. Lupita pagó 10 pesos por dos kilos de naranja

Variable independiente: ________________

Expresión algebraica

Variable dependiente: ________________ ii. Juan pagó 9 pesos por tres canicas

Variable independiente: ________________ Variable dependiente: ________________

iii. María compró en el tianguis 5 kilos de limones y pagó 5 pesos en total

Variable independiente: ________________ Variable dependiente: ________________

Una relación entre dos variables puede representarse de diferentes maneras: mediante un enunciado verbal (lenguaje natural), una representación algebraica (expresión algebraica), una representación numérica (tabla) o con una representación gráfica.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 6 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Observa las gráficas de la página siguiente y, si es posible, relaciona cada una con la expresión algebraica que le corresponda.

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

295

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

Gráfica A

Representación algebraica a)

8

y  4x  2

7

Gráfica: _______________

6 5 4

b)

3

y  6x

2

Gráfica: _______________

1 –4

–3

–2 –1

1

0

2

3

4

–1

c)

y  4x Gráfica: _______________

Gráfica B 6 5

–4

–3

–2 –1

3

20

2

19

1

18 17

1

0

2

3

4

–1

19

13

18 17

9

9

8

8 7

4 3 2 1

y 10

6

x 3

4

5

6

7

8

14

18

13

16 14

10

10

20

9

8

18

8 7

6

16 14

y

12

6 5 1 2 4

9 10

20

15

5

2 1

7

16

12 11

3

8

y

6 4

9

5 1 2 4

4 2

x 3

4

5

6

7

8

12 10 1 2 8

9 10

3

3

6

2

2 1

4 2

1

x 1

296

14

10

5

y 20

10

6

Gráfica D

15

12 11

y

y  6x  1 Gráfica: _______________

16

Gráfica C

7

d)

y

4

Matemáticas 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

3

1

4

2

BLOQUE 5

Gráfica E

y 20 18 16 14 12 10 8 6

x 3

4

5

6

7

8

9 10

4 2

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Encuentra la expresión algebraica de la gráfica que faltó por relacionar. Después explica el procedimiento que desarrollaste. Gráfica:

Expresión algebraica:

Procedimiento:

Inventa una situación para cada una de las representaciones anteriores y anótalas en tu cuaderno. De las situaciones anteriores, ¿cuáles corresponden a una relación de proporcionalidad directa? Justifica tu respuesta en tu cuaderno. 2

La siguiente gráfica muestra la relación entre el precio unitario de tres tipos de jabón y el total a pagar. ¿Cuál jabón es el más económico?

Total a pagar

24 22 20 18

¿y el más caro? Explica tus respuestas en tu cuaderno.

16 14 12

Jabón de miel Jabón de avena Jabón con fragancia

10 8 6 4 2

Jabones comprados 0

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

1

2

3

4

5

6

7

8

Matemáticas 1

297

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS LITERALES

Encuentra la expresión algebraica que te permite calcular el total a pagar de cada tipo de jabón y anótalo en la tabla. Después explica en tu cuaderno cómo obtuviste esa expresión. Tipo de jabón

Expresión algebraica

Jabón de miel Jabón de avena Jabón con fragancia

3

Las coordenadas de uno de los puntos de la gráfica de una relación de proporcionalidad directa son (30, 45). ¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 10? ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica? Realiza la gráfica de tal manera que la variable independiente tome sólo valores discretos.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 298

Matemáticas 1

¿Qué opi n as de l a plát ic a e n t re Pe pe y Juan? ¿En qué s i t uac io ne s p a re c idas sí se aplic a l a prop orc io n a lidad di re c t a? C omén t a lo e n cl ase .

EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Matemáticas 1

299

5.3 Estimar, medir y calcular Cálculo de áreas de figuras planas Conocimientos y habilidades Resolverás problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecerás relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras.

¿Qué sabemos de… cálculo de áreas de figuras planas? Lección 7 1

Trabaja en equipo

En el fútbol, el arquero sólo puede usar sus manos dentro de un área específica. ¿Qué forma tiene esta área? _________________________ ¿Cuánto mide esta área? _____________________ ¿En qué otro deporte hay este tipo de limitaciones para algún jugador? ________________________ ___________________________ ¿Qué forma tiene esa área? _______________ _________________________________

0.5 cm

0.5 cm

1 cm

0.5 cm

1 cm

2 cm

3 cm 1 cm

1 cm 6 cm

¿Cuánto mide? ___________________

1 cm

2 cm

2

¿Cuánto mide el área sombreada en la siguiente figura? __________

3 cm 1 cm 1 cm

1 cm 1 cm 4 cm

1 cm

3 cm

8 cm

300

Matemáticas 1

BLOQUE 5

3

En un rectángulo de 12 cm de largo por 0.8 dm de ancho se inscribe un triángulo de 8 cm de base y 1.2 dm de altura. ¿Cuánto mide el área que está entre el triángulo y el rectángulo? ¿Es único el valor del área que encontraron? Expliquen su respuesta

4

Observen la siguiente figura y contesten las preguntas: ¿Cuánto mide en cm2 el área del gorro? ¿Cuánto mide en cm2 el área de toda la figura?

4 cm

Para saber más de… cálculo de áreas de figuras planas Lección 8 1

Trabaja en equipo

La siguiente figura está sobre una hoja cuadriculada de 10  11 unidades. Tomen como referencia la cuadrícula para obtener las medidas y responder las siguientes preguntas.

¿Cuánto mide aproximadamente el área de la figura? Exprésenlo en unidades cuadradas (u2). Si recortan la figura, ¿qué área sobra aproximadamente? Exprésenlo en unidades cuadradas (u2).

1 u2

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

301

TEMA: MEDIDA

2

Calculen el área en cm2 de la parte sombreada en la siguiente figura.

2.2

4c

m

1 cm

8.64 cm

3 cm

2 cm 2 cm

2 cm

10 cm

16 cm

3

Calculen el área sombreada de la siguiente figura en la cual P es el centro del cuadrado. 4 cm

Calculen el área en cm2 de la parte sombreada de las siguientes figuras.

74

3.6

m

2c

3.16

3.16 cm

6.3

1c

m

2.

m

6c

3.1

cm

4

P

cm

3 cm

3 5.8

cm

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos. 302

Matemáticas 1

BLOQUE 5

Por tu cuenta Lección 9 1

Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e En las siguientes figuras, si R es el punto medio del lado del cuadrado, ¿cuál es el área en cm2 de la parte sombreada? R

R

6 cm

A  __________________________

2

A  __________________________

Si en la siguiente figura el radio del círculo mayor mide 0.04 metros, ¿cuál es el área de la parte sombreada?

Describe el procedimiento que seguiste:

A  _____________________________________

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente.

EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Matemáticas 1

303

C ome n t a c o n t us c omp añe ro s y c omp añe ras cómo c a lc ul a rías e l áre a de l as f igu ras que se me nc io n an e n l a his t or ie t a .

304

Matemáticas 1

5.4 Nociones de probabilidad Resultados equiprobables y no equiprobables Conocimientos y habilidades Reconocerás las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

¿Qué sabemos de… resultados equiprobables y no equiprobables?

Lección 10 1

Trabaja en equipo

Un juego es justo cuando todos los jugadores tienen la misma posibilidad de ganar. En el subtema 3.5 (Relaciones de proporcionalidad) ya tuvieron la oportunidad de analizar algunos juegos. Ahora les proponemos tres juegos: después de que hayan jugado unas cuantas veces, analicen si existe alguna estrategia para ganar y si hay algún jugador que tenga más ventajas en estos juegos.

Juego 1 ¡Carrera al 30! Se juega por parejas y mediante un volado se designa al jugador que inicia el juego.

Jugador A

Jugador B

2

5

La persona que inicia elige un número, que necesariamente debe ser 1, 2 o 3, y lo anota en una tabla como la que se muestra a continuación:

6

Por ejemplo, si el jugador A elige el número 2, deberá escribirlo en la columna que le corresponde. Después el segundo jugador deberá elegir un número (1, 2 o 3), lo sumará al número de su contrincante y anotará el resultado en la columna que le corresponde. (Supongamos que el jugador B eligió el número 3; entonces sumará 3 al número 2 y escribirá 5 en la tabla.) El jugador A elegirá nuevamente el número 1, 2 o 3, lo sumará al de su contrincante y anotará el número que resulte en la columna correspondiente. Así continuarán hasta que uno de los jugadores llegue al número 30 (exactamente). EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

305

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Juego 2 ¡Carrera al 10! Este juego también se juega por parejas. Se necesitan dos monedas de 1 peso (una para cada jugador), dos fichas (pueden ser bolitas de papel) y un tablero como el siguiente:

Jugador A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Jugador B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Los dos jugadores lanzan su moneda al mismo tiempo. Si caen dos “águilas”, el jugador A avanzará una casilla; si sale solamente un “águila”, el jugador B avanzará una casilla. Si salen dos “soles”, no avanzará ningún jugador. Gana el que llegue primero al número 10.

Juego 3 ¡Carrera al 8! Se juega por parejas y se necesita un dado y un tablero como el del juego anterior. Se tira el dado y se observa el resultado. Si sale número par, el jugador A avanzará una casilla; si sale número non, avanzará el jugador B. Gana quien llegue primero al número 8.

Para saber más de… resultados equiprobables y no equiprobables

Lección 11 1

Trabaja en equipo

Realicen en equipo la siguiente lectura y respondan lo siguiente:

Hay experimentos aleatorios cuyos resultados son igualmente posibles, es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir. Se dice entonces que son equiprobables. Por ejemplo, es igual de probable obtener un cuatro o un cinco al lanzar un dado, pues el dado es un cubo simétrico. Su correcto reparto de la masa (suponiendo que no esté “cargado”) hace suponer que todos los resultados son igualmente posibles, es decir, al lanzarlo puede caer 1, 2, 3, 4, 5 o 6, todos con 1 6

igual probabilidad de –  0.166.

¿Es igual de probable obtener “águila” o “sol” al lanzar una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de obtener “águila”?

306

Matemáticas 1

BLOQUE 5

Hay sucesos aleatorios cuyos resultados no son equiprobables. Por ejemplo, si lanzamos un dado cuyas caras son 1, 2, 3, 4, 5, 2, la probabilidad de que caiga 1 o 2 no será igual, sencillamente porque hay dos caras con un 2 y una cara con el 1. En estos casos se dice que el suceso es no equiprobable, es decir, los resultados no tienen la misma probabilidad. Mencionen un suceso en el que el resultado sea no equiprobable:

2

Mario y Judith juegan con las 28 fichas del dominó. El juego consiste en revolver las fichas sin ver los puntos y luego elegir una. Cuentan los puntos y la regresan con las demás y vuelven a revolverlas.

Si la suma de los puntos es par (0, 2, 4, 6, 8, 10 o 12), ganará un punto Mario; si la suma de los puntos es impar, ganará un punto Judith. Gana el primero que llegue a 10 puntos. ¿Creen que este juego es justo? ¿Tienen los jugadores la misma probabilidad de ganar? ¿Es equiprobable o no equiprobable este juego? Coméntenlo con sus compañeros y sus compañeras y anoten sus conclusiones:

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

307

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Por tu cuenta Lección 12

Trabaja individualmente

Ahora te proponemos que juegues al dominó con algún amigo o amiga. Para este juego necesitarás las 28 fichas del dominó y 20 fichas de colores. Sigue las instrucciones: Primero deberán acordar quién será el jugador A y quién será el jugador B. Se revuelven las fichas del dominó sin ver los puntos y se elige una ficha al azar. Se calcula la diferencia de puntos de la ficha (por ejemplo: si sale la ficha 3, 4 la diferencia es 1, pues 4  3  1). Si la diferencia es 0, 1 o 2, el jugador A ganará una de las 20 fichas de colores. Si la diferencia es 3, 4 o 5, el jugador B es quien ganará la ficha de color. Si la diferencia es 6, ninguno de los jugadores obtendrá una ficha de color. El juego acaba cuando se terminan las fichas de colores y gana el jugador que tenga más. ¿Qué jugador preferirías ser? Justifica tu respuesta: ¿Es justo el juego, es decir, los dos tienen la misma probabilidad de ganar? Si el juego no es equiprobable, ¿cómo deberían hacerle para que el juego fuera equitativo? Trata de aplicar lo que has aprendido de probabilidad en este juego para que puedas apreciar si es o no equiprobable.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 308

Matemáticas 1

¿Qué opinas de la afirmación de Juan*? ¿Es correcta? ¿Por qué sí o por qué no? Coméntalo y, de ser necesario, presenta ejemplos o contraejemplos.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

309

5.5 Relaciones de proporcionalidad Variación proporcional inversa Conocimientos y habilidades Identificarás y resolverás situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

¿Qué sabemos de… variación proporcional inversa? Lección 13 1

Trabaja en equipo

Un automóvil que viaja a una velocidad promedio de 80 km/h recorre 300 kilómetros en 3 horas y 45 minutos. a) Si realiza el mismo recorrido a una velocidad promedio mayor que 80 km/h, ¿qué sucede con el tiempo que tarda en recorrer esa distancia? b) Si realiza el mismo recorrido a una velocidad promedio menor que 80 km/h, ¿qué sucede con el tiempo que tarda en recorrer esa distancia? c) En esta situación, ¿cómo están relacionadas las variables velocidad y tiempo? d) La siguiente tabla relaciona la velocidad promedio del automóvil y el tiempo que tarda en realizar el recorrido de 300 km. Anoten los datos que faltan.

Velocidad (km/h) Tiempo (h)

50

80 3.75

100

140 2.5

2

e) Compartan con sus compañeros y compañeras el procedimiento que siguieron para completar la tabla y anótenlo en su cuaderno: 310

Matemáticas 1

BLOQUE 5

f) ¿Qué característica especial existe entre cada par ordenado que relaciona la variable velocidad y tiempo? Anótenlo en su cuaderno. 2

La siguiente gráfica muestra el número de garrafones de diferentes capacidades que se necesitan para envasar 30 litros de agua.

y 30 27 24

a) Si se toman envases de mayor capacidad, ¿qué sucede con el número de garrafones que se necesitan para envasar 30 litros de agua?

21 18 15 12 9 6 3 x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

b) Completen la siguiente tabla: Capacidad de cada garrafón (litros)

Número de garrafones

1

2

5 10

3

2

c) ¿Qué característica especial existe entre cada par ordenado que relaciona la variable capacidad de cada garrafón y número de garrafones? d) ¿Qué sucede con el número de garrafones si la capacidad de cada garrafón se aumenta al doble? e) ¿Qué sucede con el número de garrafones si la capacidad de cada garrafón se aumenta al triple?

3

Analicen las situaciones que se plantean en la siguiente página con sus respectivas gráficas y después respondan las preguntas: a) En la situación A, si el número de hamburguesas a comprar se duplica, ¿qué sucede con el precio correspondiente? b) En la situación B, si el precio de las hamburguesas se duplica, ¿qué sucede con el número de hamburguesas que se pueden comprar con los 120 pesos? c) En la situación A, ¿el cociente entre cada par de datos que se muestra en la gráfica es constante? d) En la situación A, ¿el producto entre cada par de datos que se muestra en la gráfica es constante? e) En la situación B, ¿el cociente entre cada par de datos que se muestra en la gráfica es constante?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

311

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Situación A

Número de hamburguesas de pollo que se compran y el precio correspondiente. Precio

Situación B

Número de hamburguesas de diferentes clases que se pueden comprar con 120 pesos. La sencilla de carne cuesta $10, la extragrande de carne $20, la de pollo $12 y la mixta $15.

50

Número de hamburguesas 45

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

40

35

30

0

25

10

15

20

Precio de las hamburguesas

20

15

10

5

0

5

10

Número de hamburguesas

f) En la situación B, ¿el producto entre cada par de datos que se muestra en la gráfica es constante? g) Comparen el comportamiento de las variables en las dos situaciones y expliquen en su cuaderno qué característica se mantiene en cada situación.

Para saber más de… variación proporcional inversa Lección 14 1

Trabaja en equipo

Realicen con su equipo la siguiente lectura y luego respondan las preguntas que siguen:

En las situaciones presentadas en los ejercicios anteriores hay una correspondencia entre las variables, de tal manera que al variar una de ellas varía la otra. Con excepción de la situación A del ejercicio 3, la relación dada entre estas variables es de tipo inversa; es decir, al aumentar una de ellas, la otra disminuye. 312

Matemáticas 1

BLOQUE 5

En estas situaciones podemos observar que si una de las variables se duplica, la otra se reduce a la mitad, o si una de las variables se quintuplica, la otra se reduce a la quinta parte. Esto significa que las magnitudes son inversamente proporcionales. Dicho de otra manera: Decimos que dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de cada par de valores de las magnitudes que se relacionan es constante. El producto constante se llama constante proporcional inversa y puede representarse por k. Una relación inversamente proporcional se representa o se modela mediante la expresión k x

algebraica y  – . k

En la expresión algebraica y  x– , el valor de la variable dependiente (y) se obtiene al dividir

el factor de proporcionalidad inversa (k) entre la variable independiente (x).

Un grupo de 20 estudiantes decide hacer una excursión y compra comida suficiente para 8 días. Si sólo viajan 16 estudiantes, ¿para cuántos días les alcanzará la comida? _______________ ¿Están relacionadas de manera inversa las magnitudes número de estudiantes y número de días para las cuales les alcanza la comida? ________________________ ________________________

Número de estudiantes

Número de días

Producto

x

y

k

20

8

16 32

¿Cuál es la constante proporcional inversa? ___________ ________________________ ________________________

8 40

Completen la siguiente tabla: ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas modela esta situación? i) y  160  x 160 ii) y  —— x x iii) y  —— 160 16 iv) y  —— x En la figura de la derecha puede observarse la representación gráfica de esta situación. EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Número de días 40 35 30 25 20 15 10 5

0

5

10

15

20

30

35

40

45

Matemáticas 1

Número de estudiantes

313

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica? 2

En la siguiente tabla se comparan las características de magnitudes directamente proporcionales con las características de magnitudes inversamente proporcionales. Anoten los datos que faltan. Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales

a) Al aumentar una variable, la otra también aumenta en la misma proporción; es decir, si aumenta al doble una variable, la otra también aumenta al doble.

Al aumentar una variable, la otra disminuye en la misma proporción, es decir, si aumenta al doble una variable, la otra disminuye a la mitad.

b) El cociente entre cada par de datos es y constante: –x– c)

3

La gráfica de la derecha presenta la variación proporcional entre la presión de un gas con temperatura constante y el volumen.

Las parejas ordenadas se encuentran sobre una línea curva que decrece. Presión

80 70 60 50 40

a) Observen que en la gráfica los puntos están unidos con una línea curva. Expliquen en su cuaderno por qué en esta situación tiene sentido unir los puntos. b) Completen la siguiente tabla:

30 20 10 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Volumen

Volumen

Presión

Producto

10

80

800

20 20 10 c) El volumen y la presión son inversamente proporcionales. Justifiquen esta afirmación y anótenlo en su cuaderno. 800 d) La expresión algebraica que modela esta situación es y  —— . x ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad inversa? ____________________________

314

Matemáticas 1

BLOQUE 5

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

Por tu cuenta Lección 15 1

Trabaja individualmente

Completa la tabla suponiendo que la relación entre las magnitudes es inversamente proporcional.

m

1

n

12

2

6 4

1

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa? _______________________________________ b) En tu cuaderno, elabora la gráfica y plantea una situación que la describa. Después anota, ahí mismo, la expresión algebraica que modela la situación. 2

Especifica cuál de las siguientes gráficas representa una variación directamente proporcional, cuál representa una variación inversamente proporcional y cuáles no representan ninguna de las dos. Justifica tus respuestas en tu cuaderno. 30

25

6 5

20

4 15 3 10 2 5

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

15

15

10

10

5

5

0

5

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

10

0

5

10

5

15

10

20

25

15

Matemáticas 1

30

20

315

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

a) En cada gráfica que represente una variación directa o inversamente proporcional, identifica cuál es la constante de proporcionalidad. b) En cada gráfica que represente una variación directa o inversamente proporcional, encuentra la expresión algebraica y anótala debajo de la gráfica correspondiente. 3

Especifica cuál de las siguientes magnitudes es directa o inversamente proporcional. Anota también la expresión algebraica para cada situación y en tu cuaderno elabora las gráficas correspondientes. Situación

Tipo de variación

Expresión algebraica

Botellas de refresco y su precio. Kilómetros recorridos por un automóvil y el tiempo que tarda en recorrerlos a una velocidad promedio de 85 km/h. El tiempo que tarda un automóvil en recorrer 650 kilómetros a diferentes velocidades. La capacidad de una botella y el número de botellas necesarias para envasar 200 litros de agua de jamaica. El tiempo empleado para construir un edificio y el número de obreros. El número de chocolates y el precio a pagar.

4

Determina cuál de las siguientes tablas representa una variación directamente proporcional, cuál representa una variación inversamente proporcional y cuáles no representan ninguna de las dos. Justifica tus respuestas en tu cuaderno. x

2

5

10

12

m

2

4

5

8

y

250

625

1 250

1 500

n

175

87.5

70

43.75

p

2

5

7

9

r

2

5

7

9

q

150

150

150

150

s

260

635

885

1 135

a) En cada tabla que represente una variación directa o inversamente proporcional, identifica cuál es la constante de proporcionalidad. b) En cada tabla que represente una variación directa o inversamente proporcional, encuentra la expresión algebraica. 5

Busca en internet o en un libro de Física o de Química dos expresiones en las que la variación de sus magnitudes sea inversamente proporcional y anótalas a continuación:

a) Explica en tu cuaderno lo que representa cada una de las variables y lo que representa el factor de proporcionalidad inversa. Después elabora sus gráficas respectivas.

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 316

Matemáticas 1

Comenta con tus compañeros la diferencia entre proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa. ¿En qué otras situaciones puede aplicarse?

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

317

5.6 Medidas de tendencia central y de dispersión Medidas de tendencia central Conocimientos y habilidades Compararás el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

¿Qué sabemos de… medidas de tendencia central? Lección 16

Trabaja en equipo

El juego de las fichas 1

El siguiente juego se juega por parejas y de acuerdo con las siguientes reglas: Regla 1. Un jugador propone grupos con cantidades iguales o diferentes de fichas. Por ejemplo, Miguel propuso a Alejandra que repartiera fichas en cinco grupos con las cantidades siguientes: Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Grupo 5

Regla 2. Se trata de compensar los grupos de manera que donde haya más fichas se saquen algunas y se pasen a los grupos donde haya menos, hasta que todos queden iguales (en cantidades enteras, pues no se vale partir las fichas). Regla 3. Gana el juego quien logre hacer grupos con igual cantidad de fichas con el menor número de movimientos. Por ejemplo, en el caso anterior Alejandra quitó cuatro fichas del grupo 5 y repartió una en cada uno de los grupos 1, 2, 3 y 4. Esto cuenta como “un movimiento”. Grupo 1

318

Matemáticas 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Grupo 5

BLOQUE 5

Luego quitó cuatro fichas del grupo 4 y repartió dos en los grupos 1 y 2. Lleva “dos movimientos”. Grupo 1

Grupo 3

Grupo 2

Grupo 4

Grupo 5

Finalmente quitó dos fichas del grupo 3 y repartió una en los grupos 1 y 2. Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Grupo 5

En total hizo tres movimientos para lograr grupos iguales. En este caso, con las cantidades 1, 1, 6, 8 y 9 obtuvo el número 5. ¿Siempre se puede hacer el reparto en grupos con cantidades enteras iguales? ______________________ ¿En qué casos se puede hacer? ¿Cuándo no se puede hacer? _____________________________________ Por ejemplo, ¿se puede hacer el reparto con cantidades enteras con las siguientes fichas? Grupo 1

Grupo 3

Grupo 2

Grupo 4

Comenten con sus compañeros en qué se parece este juego con algún concepto de estadística que vieron en la escuela primaria. Por ejemplo, si suman las cinco cantidades y el resultado lo dividen entre 5, ¿qué obtienen? 2

¿Podrían hacer el juego sin las fichas si los grupos tienen las siguientes cantidades? ____________________ a) 3, 3, 5, 7, 8, 10

b) 7, 8, 8, 10, 15, 20, 30

c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Comenten con sus compañeros cómo lo hicieron.

El juego de las letras 3

Formen equipos de cinco personas y escriban los nombres de los integrantes del equipo en hojas de papel cuadriculado como se muestra a continuación: R

O

S

A

M

A

R

Í

A

F

I

L

O

M

E

N

O

B

E

T

Y

E

R

N

E

S

T

I

N

A

¿Cuál fue el número de letras que más veces se repitió en su equipo? __________________

¿Cuál fue el número promedio de letras que tienen los nombres de su equipo? __________________

¿Y en todo el grupo? __________________

¿Y en todo el grupo? __________________

¿Cómo lo encontraron? __________________

¿Cómo lo encontraron? __________________

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

319

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

4

La siguiente tabla muestra el número de jugadores que se requieren por equipo para jugar el deporte que se indica. Con estos datos contesten las preguntas.

Deporte

Núm. de jugadores por equipo

Fútbol soccer

11

Fútbol americano

11

Basquetbol

5

Voleibol

6

Béisbol

9

Jockey sobre pasto

11

¿Cuál es la moda de jugadores por equipo?

¿Cuál es el promedio de jugadores por equipo?

_________________________________________

_________________________________________

¿Cuál es la mediana de jugadores por equipo?

Comenten con sus compañeros cómo obtuvieron estos valores.

_________________________________________

Para saber más de… medidas de tendencia central Lección 17 1

Trabaja en equipo

Realicen en equipo la siguiente lectura y respondan las preguntas que siguen:

Las palabras promedio, moda y mediana las utilizamos cotidianamente. Por ejemplo, cuando dicen “ese artista está de moda”, seguramente quieren decir que ese artista aparece con mucha frecuencia, ya sea en radio o en televisión. En matemáticas, cuando queremos elegir un valor para resumir una colección de datos que represente a todos, tenemos tres opciones denominadas valores de tendencia central: la moda, la media y la mediana. La moda es el valor que más veces se repite: el valor más frecuente. En ocasiones puede haber más de una moda.

Observen las tablas y determinen cuál es la moda con respecto al número de goles anotados: _____________________________________________________________________

320

Matemáticas 1

BLOQUE 5

GOLEO INDIVIDUAL DEL TORNEO DE FUTBOL APERTURA 2005

GOLEO INDIVIDUAL DEL TORNEO DE FUTBOL APERTURA 2005 (continuación)

Los mejores goleadores

Equipo

Goles

1

Patricio Galaz Sepúlveda

Atlante

6

2

César Delgado

Cruz Azul

3

José Francisco Fonseca Guzmán

4

Los mejores goleadores

Equipo

Goles

13

Ariel Maximiliano López

Necaxa

5

6

14

Vicente José Matías Vuoso

Santos

5

Cruz Azul

6

15

Gustavo Bizcayzacú

Veracruz

5

Sebastián Abreu Gallo

Dorados

6

16

Cuauhtémoc Blanco Bravo

América

4

5

Nelson Cuevas

Pachuca

6

17

Reinaldo Navia Amador

América

4

6

Daniel Ludueña

Tecos

6

18

Richard Núñez Pereida

Cruz Azul

4

7

Walter Nicolás Gaitán Sayavedra

Tigres

6

19

Guillermo Luis Franco

Monterrey

4

8

Kléber Boas

América

5

20

Jesús Arellano

Monterrey

4

9

Sebastián González Valdez

Atlante

5

21

Alfredo David Moreno

Necaxa

4

10

Gabriel Ernesto Pereyra

Cruz Azul

5

22

Juan Carlos Cacho

Pachuca

4

11

Luis Ernesto Pérez Gómez

Monterrey

5

23

Alfredo González Tahuilán

San Luis

4

12

Luis Gabriel Rey Villamizar

Morelia

5

24

Rodrigo Ruiz de Barbieri

Santos

4

La media o promedio es el número obtenido al sumar determinadas cantidades y luego dividirlas entre el número de ellas que intervino en la suma. Determinen el promedio de goles de los 24 jugadores de la tabla anterior. Sigan los pasos que se indican: Paso 1 Sumar los goles: _______________ Paso 2 Dividir el total de goles anotados entre el número total de jugadores que aparecen en la tabla. Paso 3 El número de goles promedio de los 24 jugadores es _______________ La mediana. En matemáticas, la mediana es el número que se encuentra exactamente en el centro de un conjunto de números ordenados de menor a mayor valor. Cuando hay una cantidad de datos par, hay dos cifras al centro; por lo tanto, la media será el pro45 medio de esos dos. Por ejemplo, la media de 3, 4, 4, 5, 7, 7 es –––––  4.5. 2 Determinen la mediana de los datos mostrados en las tablas anteriores ________________ 2

Recaben información en su grupo acerca del número de hermanos que tiene cada uno y luego determinen la media, la mediana y la moda de este conjunto de datos.

Ahora que sabes más, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrígelos o resuélvelos.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

321

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

Por tu cuenta Lección 18

Trabaja individualmente

Muchas veces se nos ofrece la información en gráficas y nosotros tenemos que interpretarlas. Por ejemplo, en la siguiente gráfica puedes ver el comportamiento de los equipos del grupo 2 del torneo de apertura 2004. Conocerás el lugar que ocupaban en la tabla general (L1 a L18) mientras avanzaban las 17 jornadas del torneo ( J1, J2,… J17). 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 J1

J2

J3

J4

TOLUCA

J5

J6

J7

J8

J9

CRUZ AZUL

J10 J11 J12 J13 J14 J15 J16 J17

ATLAS

CHIVAS

Analiza la gráfica y contesta las preguntas: 1. ¿Qué lugar de la tabla ocupaban estos equipos en la primera jornada del torneo apertura 2004? Atlas: ____________ Cruz Azul: ____________ Chivas: ____________ Toluca: ____________ 2. ¿Qué lugar promedio ocupó el Cruz Azul en este torneo de apertura 2004? 3. ¿Cuál de estos equipos fue de “media tabla” en el torneo apertura 2004? _________________ 4. ¿Cuál es la media de los lugares que ocupó el equipo Chivas en el torneo apertura 2004? ________

Discutan en el grupo la historie ta de la página siguiente. 322

Matemáticas 1

¿Qué es lo que más te gustó de este curso? ¿Qué piensas ahora acerca de las matemáticas? Coméntalo en clase.

EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Matemáticas 1

323

Obra de teatro “Pepito preguntón” La historia de esta obra de teatro gira en torno a la gran aventura de Pepito, un niño, hijo de un inventor, que “nun­ca de los nunca” se quedaba con la duda. Por ello, Pepito se dio a la tarea de investigar qué son los números y cómo surgieron. Para dar respuesta a sus inquietudes, Pepito se pro­puso viajar a diferentes épocas de nuestra historia en la máquina del tiempo que inventó su papá. Al regresar en el tiempo, Pepito encontró que, antes de que surgieran los números, el ser humano se las inge­nia­ba para contar, utilizando para ello los más diversos ob­jetos, como piedras, palitos, nudos de cuerda, huesos o, sim­plemente, los dedos. Al avanzar en la máquina del tiempo, Pepito pudo darse cuenta de que más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar; por ejemplo, marcas en una vara, un hueso o trazos específicos sobre la arena. Pepito también pudo averiguar que fue en Meso­ po­tamia, alrededor del año 4000 a. de N.E., donde aparecieron los primeros vestigios de los números, los cuales consistían en grabados de señales en forma de cuña y que se tra­zaban sobre pequeños tableros de arcilla, empleando para ello un palito agudizado...

324 324

Organicen un equipo de trabajo y hagan lo que se indi­ ca a continuación:



1. Continúen desarrollando la historia de Pepito en su

2. Una vez que tengan la información recopilada, elabo­

via­je a través del tiempo; para ello, deberán ponerse de acuerdo en investigar aspectos históricos, defini­ ciones y aspectos relevantes acerca de los siguientes temas:

ren un guión para representar la obra de teatro “Pepi­ to preguntón”. 3. Entre todos, designen quién podría ser el director de la obra, quién podría representar a Pepito y quiénes lo acompañarán en su travesía. Igualmente, decidan qué épocas y lugares visitarán para dar a conocer la historia de los números. Si es posible, presenten su obra en la Feria de las ma­ temáticas. No olviden elaborar folletos y carteles para darla a conocer.



• • • • • • •

Número Números naturales Número primo Número compuesto Números perfectos Números enteros Números pares

• •

Números impares Números racionales

3 25 325

Bibliografía para el maestro Batanero, Ma. C. et al. Razonamiento combinatorio, Síntesis, Madrid, 1996. Cabañas, M. G. Los problemas… ¿Cómo enseño a resolverlos?, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 2000. Clark, D. Evaluación constructiva en matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 2002. Chamorro, María del Carmen, Didáctica de las matemáticas, Prentice Hall, México, 2005. Chevallard, I. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, SEP (Biblioteca para la actualización del maestro), México, 1997. Díaz, J. et al. Azar y probabilidad, Síntesis, Madrid, 1987. García, M. A. Introducción a la resolución de problemas, Esfinge, México, 1998. García, M. A. La resolución de problemas con materiales didácticos, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 2000. Gardner, Howard. La mente no escolarizada. Cómo piensan los niños y cómo deberían enseñar en las escuelas, Fondo Mixto/Paidós/SEP (Biblioteca para la actualización del maestro), México, 1997. Grupo Azarquiel. Ideas y actividades para enseñar álgebra, Síntesis, Madrid, 1993. Grupo Beta. Proporcionalidad geométrica y semejanza, Síntesis, Madrid, 1990. Hitt, F. Funciones en contexto, Prentice Hall, México, 2002. Mancera, E. Saber matemáticas es saber resolver problemas, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 2000. Ortiz, R. Matemática: estrategias de enseñanza y aprendizaje, Editorial Pax, México, 2001. Perero, M. Historia e historias de matemáticas, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994. Segovia, I. Estimación en cálculo y medida, Síntesis, Madrid, 1989. SEP. Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas, Educación secundaria, México, 2000. -------. Libro para el maestro. Matemáticas, Educación secundaria, México, 2000. Stacey, K., Groves, S. Resolver problemas: estrategia, Editorial Nancea, España, 1999. Páginas Web http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/index.htm http://www.equipoweb.com.ar/eduteca/cotenidos/curricular/matematica_2html http://nlvm.usu.edu/es/nov/vlibrary.html http://www.sectormatematicas.cl/edumedia.htm Videos ILSE.El mundo de las matemáticas, video SEP, 5 vol, México.

326

Bibliografía para el alumno Abad, M. El país de las mates para novatos, Nivola, España, 2005. Andradas, C. H. Póngame un kilo de matemáticas, SM, España, 2004. Ball, J. Piensa un número, SM, España, 2005. Burns, M. ¡Odio las matemáticas!, Trillas, México, 1994. García, M. y Delgado, A. Invitación a las matemáticas 1, Pearson Educación, México, 2005. García, M. A. Estrategias 1, cuaderno de actividades complementarias, Esfinge, México, 2005. Gómez, R. El mundo secreto de los números, SM, España, 2001. Herrera M. R. ¡Cuánta geometría hay en tu vida!, SM, España, 2001. Langdon, N. y Snape, Ch. El fascinante mundo de las matemáticas, Limusa, México, 1989. Martínez, María del Pilar y Struck, Francisco. Matemática 2, Santillana, México, 2000. Molina, M. I. El señor del cero, Alfaguara, México, 2002. Muñoz, N. Matemágicas, Grupo Editorial Norma, México, 2001. Peterson, N. Matelocuras, Limusa, México, 2002. Ramos, M. Teatromático, Nivola, España, 2002. Ross, N. La matemática a través de los espejos, Ediciones Novedades Educativas, Argentina, 1998. Snape, Ch. y Scout, H. ¡Sal si puedes!, Limusa, México, 2005.

327

Bibliografía consultada Alarcón, Jesús; Bonilla, Elisa; Nava, Rocío; Rojano, Teresa y Quintero, Ricardo. Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. SEP, México, 2001. Alarcón, Jesús y Barrón, Higinio. La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Guía de estudio y lecturas. SEP, México, 2001. Chevallard, Yves; Bosch, Mariana y Gascón Josep. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. SEP, México, 2000. Espinosa, Hugo; García, Silvia y García, Marco. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Secundaria. SEP, México, 2000. Ifrah, Georges. Historia universal de las cifras. Tomos 1 y 2. SEP, México, 2000. Mochón, Simón; Rojano, Teresa y Ursini Sonia. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. Enseñanza de las matemáticas con tecnología. SEP, México, 2000. SEP. RES, Modelación, matemáticas del cambio. Enseñanza de las matemáticas con tecnología, México, 2000. SEP. RES, Geometría dinámica, Enseñanza de las matemáticas con tecnología, México, 2000. Ursini, Sonia; Escareño, Fortino; Montes, Delia y Trigueros, María. Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta alternativa. Editorial Trillas, México, 2005.

328