Hydraulique Maritime-ehtp-modèle De La Houle Linéaire

Partie 1 Hydraulique maritime Théorie de la houle : Modèle au premier ordre Sommaire : Hypothèses générales- équations – solution (modes propagatifs -modes évanescents)- types de houle- Cinématique- champ de vitesse - champ de pression- énergie- réfraction – déferlementdiffraction réflexion Annexes

1. Hypothèses générales

•

r r r Ecoulement bidirectionnel : VM = u ( x , z, t ) x + w ( x , z, t )z

•

r r Extension du domaine infinie dans les 2 directions x et - x

•

Hauteur d’eau h, entre le fond et la surface libre au repos, constante

•

Fluide incompressible (eau)

•

Fluide parfait : viscosité négligeable ⇒ pas d’adhérence aux parois ⇒ pas de couches limites au fond ou à la surface

2. Equations 2.1. Equation fondamentale

1

Pas de couches limites ⇒ pas de production de rotationnel aux interfaces et s’il n’y a pas de r r tourbillons convectés alors l’écoulement est irrotationnel : rot V = 0 ∀M et t 1. ⇒ il existe une fonction scalaire φ(x,z,t) dite potentiel des vitesses telle que : ∆φ( x , z, t ) = 0 ∀x, z, t 2 (1)

∂φ ∂x . avec ∂φ w= ∂z L’équation fondamentale à résoudre est l’équation (1) (équation de Laplace).En coordonnées cartésiennes elle s’écrit : ∂ 2φ ∂ 2φ + = 0 ∀x , z, t . ∂x 2 ∂z 2 Cette équation a une infinité de solutions parmi lesquelles il faut retenir celles qui vérifient les conditions aux limites particulières associées à la propagation de la houle. u=

2.2 Conditions aux limites 2.2.1 Conditions cinématiques •

au fond, soit en z = -h, le champ de vitesse doit vérifier : r r VM // x soit w(x,z = -h,t) = 0 ∀x,t, soit :

 ∂φ  =0    ∂z  z = − h

(2)

•

à la surface libre, c’est plus compliqué car celle ci n’est pas connue a priori, elle sera déduite de la solution du problème. Cette particularité conduit à un problème non linéaire. Notons η(x,t) l’équation de la surface libre. Cette surface est aussi une surface fluide. La condition cinématique à la surface libre consiste à dire qu’en x donné la vitesse verticale de déplacement de la surface libre est égale à la vitesse de la particule fluide située sur la surface libre, d’où : dη = (w ) z=η dt dη ∂η ∂η or = + u z =η (dérivée particulaire 3). dt ∂t ∂x

r r r r r ∂w ∂v r ∂u ∂w r ∂v ∂u r En cartésien si V = ux + vy + wz , rotV = ( − )x + ( − ) y + ( − )z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r ∂u ∂v ∂w 2 fluide incompressible ⇒ divV = + + = 0 (divergence du champ de vitesse nulle), si ∂x ∂y ∂z r r r rot V = 0 ∃ φ : V = gradφ (gradient de φ) alors 1

r divV = div(gradφ) = 0 or div(gradφ) = ∆φ (laplacien de φ)

3

dérivée totale par rapport à t d’une fonction composée f[x(t),y(t),z(t),t].

2

Hypothèse supplémentaire (fondamentale pour le modèle de Stokes) : faible cambrure soit a << 1 où a est l’amplitude de la houle et λ sa longueur d’onde. λ ∂η ∂η ∂η ⇒ pente de surface libre très faible ⇒ = tan α très petit ⇒ u << car U a une ∂t ∂x ∂x valeur finie. D’où la condition cinématique à la surface libre : ∂η  ∂φ  w ( x , z = η, t ) =   =  ∂z z = η ∂t L’approximation précédente (houle de faible amplitude) revient à dire : en z = η

(3)

2.2.2 Condition dynamique Hypothèses supplémentaires : • tension superficielle négligée (longueur d’onde de la houle >> 1 cm) • pression uniforme (Pa) partout au dessus de la surface libre. La surface libre est une surface isobare ⇒ P(x,z = η,t) = Pa = cte On applique le théorème de Bernoulli généralisé à tous le domaine fluide (écoulement irrotationnel et incompressible) ⇒ à chaque t : 2 ∂φ ρ + 12 ρ gradφ + P + ρgz = cte / espace ∂t 2

avec, en cartésien, gradφ = u 2 + w 2 . A la surface libre la relation de Bernoulli devient : 2  ∂φ  ρ  + 12 ρ gradφ  + Pa + ρgη = cte / espace   z=η  ∂t  z = η or le potentiel est défini à une constante près et en adaptant les conditions initiales on peut écrire : 2  ∂φ  ρ  + 12 ρ gradφ  + ρgη = 0 (4)   z=η  ∂t  z = η Bilan : le problème consiste à trouver des solutions de l’équation (1) satisfaisant les conditions (2), (3) et (4).

en z = η

∆φ( x , z, t ) = 0 ∀x, z, t

3

 ∂φ  =0    ∂z  z = − h dη = (w ) z=η dt 2  ∂φ  ρ  + 12 ρ gradφ  + ρgη = 0   z=η  ∂t  z = η L’équation (1) est linéaire, de même la relation (2). Les conditions (3) et (4) ne sont pas linéaires puisqu’on ne connaît pas la forme de la surface 2

libre η = η(x,t). De plus (4) n’est pas linéaire à cause du terme grad φ . On cherche maintenant à linéariser le problème.

2.3 Linéarisation du problème Hypothèses : η << h et η <<λ. Pour linéariser les conditions aux limites on va approximer la surface libre par une surface plane confondue avec la surface libre au repos. Les conditions de vitesse et de pression à la surface libre réelle (en z = η) seront estimées égales à celles régnant à la côte z = 0. D’où : ∂η  ∂φ  • l’équation (3) devient : w ( x, z = η, t ) = w ( x, z = 0, t ) =   = soit la condition à  ∂z  z =0 ∂t vérifier par le potentiel : ∂η  ∂φ  (5)   =  ∂z  z = 0 ∂t 2 2  ∂φ   ∂φ  l’équation (4) on écrit :   =   et  gradφ  =  gradφ    z =η   z =0  ∂t  z = η  ∂t  z =0 On néglige les termes non linéaires d’accélération convective (hypothèse de vitesse assez 2 faible) ⇒ 12 ρ gradφ  ≈ 0 d’où la nouvelle condition dynamique que doit vérifier le   z=η potentiel :  ∂φ  (6)   + gη = 0  ∂t  z = 0 Bilan : on a à résoudre le problème : ∆φ( x , z, t ) = 0 (1)

•

avec

 ∂φ  =0    ∂z z = − h ∂η  ∂φ    =  ∂z  z = 0 ∂t  ∂φ    + gη = 0  ∂t z = 0

( 2) (5) ( 6)

4

3. Solution L’observation conduit à chercher une solution périodique de pulsation ω (ω en rd/s ; 2π = 2 πf où T est la période et f la fréquence). On suppose par ailleurs que les variables ω= T sont séparables (si cette hypothèse sera confirmée si on trouve effectivement une solution pour φ vérifiant les conditions aux limites). ( Voir annexe 1)

Bilan : Loin d’une singularité géométrique la solution du problème au premier ordre est : η( x , t ) = a sin(ωt − kx ) g cosh[k (z + h )] φ( x , z, t ) = a cos(ωt − kx ) ω cosh[kh ]

(24) (25)

au voisinage d’une singularité géométrique, la solution est une combinaison linéaire de toutes les solutions particulières, soit : ∞

η( x , t ) = a sin(ωt − kx ) + ∑ a n e − mx e iωt n =1

φ( x , z, t ) = a

∞ g cosh[k (z + h )] g cos[m n (z + h )] − m n x cos(ωt − kx ) − ∑ a n e sin ωt ω cosh[kh ] ω cos[m n h ] n =1

avec les équations de dispersion : ω2 = gk tanh[kh ] ω2 = −gm n tan[m n h ] avec n = 1, 2, ......

4. Types de houle

en fonction de kh

4.1 Houle en grande profondeur ou onde courte 2π h est assez grand alors tanh[kh ] ≈ 1 , l’équation de dispersion devient : λ ω 2 = gk tanh[kh ] = gk

Si kh =

La célérité devient : C =

ω = k

g et ne dépend plus de la profondeur h.. k

h = 0,5 , tanh[kh] = 0,996, donc à 4 10-3 près, tanh[kh] = 1. λ h On admet souvent que si > 0,5 , donc λ < 2h, on a propagation en profondeur infinie. λ

Exemple : si

5

L a houle est dispersive dans le sens où la célérité C =

ω = k

g dépend de la longueur d’onde k

g ω g = = T ; la célérité est proportionnelle à la période T. k ω 2π Ces conditions sont réalisées au large des côtes dans les mers et océans de profondeur supérieure à environ 100m pour des houles dues au vent.

ou encore C =

4.2 Houle en faible profondeur ou onde longue 2π h est petit devant 1 le développement limité de tanh[kh] donne : λ (kh ) 3 tanh[kh ] = kh − + O (kh ) 5 , donc au premier ordre tanh[kh ] = kh 3 h Exemple : si = 0,05 , kh ≈ 0,31 et tanh[kh] ≈ 0,30 λ Si kh =

(

)

ω = gh . k La célérité ne dépend pas de la longueur d’onde de la houle, ni de sa période ; tous les modes, 2π h assez petit devant 1, se propagent à la même vitesse. tels que kh = λ Ces conditions sont réalisées dans les zones littorales de faible profondeur.

L’équation de dispersion devient : ω 2 = gk tanh[kh ] = gk 2 h et la célérité : C =

4.3 Houle en profondeur intermédiaire relation de dispersion 35

h = 10 m h = 15 m h = 30 m

30

h = 50 m h = 75 m h = 100 m

25

h = 125 m

célérité C (m/s)

h = 150 m h = 200 m

20

C = g/2pi T

15

10

5 période T (s) 0 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

6

180

longueur d'onde L (m)

160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

profondeur relative h/λ λ

5. Cinématique 5.1 Champ de vitesse Les composantes du champ de vitesse sont déduites de l’expression du potentiel des vitesses g cosh[k (z + h )] φ( x , z, t ) = a cos(ωt − kx ) . ω cosh[kh ]

(26) 2π (z + h )] 2π 2π λ sin( t − x) 2πh T λ cosh[ ] λ ou 2π sinh[ (z + h )] g 2π 2π λ w=a k cos( t − x) 2πh ω T λ cosh[ ] λ u et w décroissent exponentiellement avec la profondeur. T u = ag λ

cosh[

pour la composante horizontale :

7

Ondes courtes e kh + e − kh e kh ≈ →∞ 2 2 cosh[k (z + h )] 1 en z = -h = →0 cosh[kh ] cosh[kh ] ⇒ u z=−h → 0 pas d’influence de la houle sur le fond. kh → ∞

cosh[kh ] =

Ondes longues kh petit cosh[kh] →1 cosh[k (z + h )] en z = 0 =1 cosh[kh ] cosh[k (z + h )] en z = -h →1 cosh[kh ] agk ⇒ u≈ sin(ωt − kx ) ⇒ u n’est pas fonction de z (distribution de vitesse uniforme sur ω la verticale). 5.2 Lignes de courant Pour un écoulement 2D les lignes de courant (courbes tangentes aux vecteurs vitesse) sont les équifonctions de courant ψ = cte. ∂ψ u= ∂z . La fonction de courant est définie par : ∂ψ w=− ∂x En intégrant ces 2 expressions on trouve : g sinh[k (z + h )] ψ=a sin(ωt − kx ) + cte ω cosh[kh ] Chaque équi fonction de courant est obtenue en cherchant les coordonnées (x,z) telles que ψ garde une même valeur.

8

5.3 Trajectoires Soit à t = 0 les coordonnées (x0,z0) d’une particule fluide. Soit, à t, les coordonnées (lagrangiennes) X et Z de cette particule que l’observateur suit dans son mouvement au cours du temps. Les composantes de vitesse à t sont : dX U[ x ( t ), z( t ), t ] = dt dZ W[ x ( t ), z( t ), t ] = dt Les trajectoires seront déduites de l’intégration des composantes de vitesse précédentes. Le problème est qu’on connaît le champ de vitesse eulérien 4(expression (26) où (x,z) sont les coordonnées fixes de l’observateur). En toute rigueur on ne peut pas intégrer le système (26) pour trouver les trajectoires car x et y dans ce système ne sont pas les coordonnées de la particule suivie dans son mouvement, c'est-à-dire que x et z ne sont pas fonction du temps. Le problème est non linéaire. On peut le résoudre numériquement par itération ou analytiquement en choisissant une approximation qui permet de linéariser le problème. Hypothèse :les déplacements des particules sont très petits devant la longueur d’onde X( t ) ≈ x 0 ⇒ Z( t ) ≈ z 0 ⇒

dX g cosh[k (z 0 + h )] ≈ U( x 0 , z 0 ) = a k sin(ωt − kx 0 ) ω dt cosh[kh ] dZ g sinh[k (z 0 + h )] ≈ W(x 0 , z 0 ) = a k cos(ωt − kx 0 ) ω dt cosh[kh ]

g cosh[k (z 0 + h )] k cos(ωt − kx 0 ) + cte 2 cosh[kh ] ω ⇒ g sinh[k (z 0 + h )] Z( t ) = a 2 k sin(ωt − kx 0 ) + cte cosh[kh ] ω Les trajectoires sont des ellipses de : cosh[k (z 0 + h )] g cosh[k (z 0 + h )] 2a 2 k = 2a • grand axe : ω cosh[kh ] sinh[kh ] sinh[k (z 0 + h )] g sinh[ k (z 0 + h )] • petit axe : 2a 2 k = 2a ω cosh[kh ] sinh[kh ] X ( t ) = −a

Onde courte : l’ellipse se rapproche d’un cercle.

4

la vitesse eulérienne est la vitesse observée par un observateur ou un capteur gardant une position fixe dans l’espace.

9

6. Champ de pression L’équation de Bernoulli généralisée (écoulement à potentiel de vitesse pour un fluide incompressible en négligeant les termes de vitesse) est : ∂φ ρ + p + ρgz = cte ∀M (27) ∂t  ∂φ  A la surface libre p = pa ⇒ ρ  + p a + ρgη = cte ∀M ∈ surface libre (28)  ∂t  zz ==η0 en linéarisant

 ∂φ   ∂φ  (27)-(28)⇒ ρ  − ρ  + p − p a + ρgz − ρgη = 0 ∀M  ∂t   ∂t  z =0 la constante dans (28) vaut pa l’expression du potentiel (25) dans (27) ⇒ cosh[k (z + h )] p = p a − ρgz + ρga sin(ωt − kx ) cosh[kh ]

(29)

Application : mesure des caractéristiques de la houle en plaçant des capteurs de pression au fond.

10

7. Energie 7.1 Energie cinétique On cherche l’énergie cinétique5, à un instant t, « contenue » dans un domaine fluide limité par la surface libre et deux plans verticaux distants d’une longueur d’onde.

Remarques : • ∀t l’énergie cinétique contenue dans le domaine de longueur égale à la longueur d’onde est la même, on peut choisir t = 0 • avec l’hypothèse de houle de faible amplitude la quasi-totalité de l’énergie cinétique est contenue entre la surface libre linéarisée (z = 0) et le fond z = -h. λ 0 1 ⇒ par unité de largeur : E c = ∫ ∫ ρ(u 2 + w 2 )dz dx 2 x =0 z = − h L’expression du champ de vitesse (26) donne : 1 1 E c = ρga 2 λ = ρgH 2 λ avec H = 2a 4 16 7.2 Energie potentielle associée à la pesanteur6 L’énergie potentielle associée à la houle n’est due qu’à la déformation de la surface libre (l’état de référence est donc la surface libre au repos, voir autre démonstration en remarque en fin de paragraphe).

Pour une longueur d’onde à t = 0 par exemple :

Ep =

λ

η

∫ ∫ ρgz dz dx

x =0 z =0

5 6

énergie associée à la vitesse des particules fluides énergie associée à l’altitude des particules fluides par rapport à une référence

11

Ep =

soit :

1 1 ρga 2 λ = ρgH 2 λ 4 16

= Ec

1 1 E = E c + E p = ρga 2λ = ρgH 2λ 2 8 On peut définir une énergie mécanique par unité de longueur (dans la direction x) et par unité de largeur par : 1 E = ρga 2 2 qui est une densité surfacique d’énergie appelée énergie spécifique. Remarque : si on considère tout le domaine fluide sur une longueur d’onde L’énergie mécanique (totale) est donc :

Ep =

λ

η

1

1

∫ ∫ ρgzdzdx = 4 ρga λ − 2 ρgh λ 2

2

x =0 z=−h

énergie potentielle du fluide au repos :

qu’il faut retrancher si l’état de référence est le fluide au repos.

7.3 Flux d’énergie à travers un plan vertical

r A une date t le flux d’énergie mécanique au travers la surface verticale de normale x est : r r F( t ) = ∫ e(z, t ) V • x ds (S)

où e(z,t) est l’énergie mécanique par unité de volume. 1 or e(z, t ) = ρ(u 2 + v 2 ) + p + ρgz 2

et l’équation de Bernoulli généralisée (sans négliger les termes de vitesse) précise :

12

2 2 ∂φ 1  ∂φ   ∂φ  ρ + ρ gradφ + p + ρgz = cte / espace = p a avec gradφ =   +   = u 2 + w 2 ∂t 2  ∂x   ∂z  ∂φ d’où : e(z, t ) = p a − ρ ∂t En linéarisant la surface libre (η << h) le flux d’énergie à travers (S), par unité de largeur devient : 0 ∂φ ∂φ F( t ) = ∫ (p a − ρ ) dz ∂t ∂x z=−h 7 qui avec l’expression du potentiel (25) donne : g g2 1 1  1  2 F( t ) = a p a tanh[kh ] sin(ωt − kx ) + ρ a 2 k  sinh[2kh ] + h  sin (ωt − kx ) 2 ω 2 ω cosh [kh ]  2k  2

2

En moyennant sur une période, on obtient le flux, par seconde, d’énergie traversant le plan vertical : T 1 F( t ) = ∫ F( t ) dt T t =O avec la relation de dispersion (13) on obtient : 1 1 ω 2kh  F = ρga 2 1+ (30)  2 2 k  sinh[ 2kh ] 

Globalement la houle peut être considérée comme la propagation d’une énergie E à une vitesse Cg dans le sens de propagation. ATTENTION : cette vitesse est différente et plus faible que la vitesse de propagation ω λ C = = de la déformation de la surface libre. k T ondes courtes : kh >> 1 ondes longues : kh << 1

1 C 2 Cg ≈ C

Cg =

Remarque : équation de dispersion (13) : ω2 = gk tanh[kh ] ⇒

7

cosh 2 [ x ] =

∂ω 1 ω  2kh  = 1+ = Cg  ∂k 2 k  sinh[2kh ] 

1 + cosh[2x ] 2

13

8. Réfraction La réfraction correspond à la modification des caractéristiques de longueur d’onde, d’amplitude et de direction de propagation de la houle due à une variation de la bathymétrie.

8.1 Fond cylindrique avec houle frontale (shoaling) Dans ce cas la direction de propagation n’est pas modifiée, c’est un problème de réfraction 1D.

Hypothèses : • réflexion négligée (acceptable si pente < 10%) • hors zone de déferlement • houle au premier ordre • dissipation d’énergie négligée • les observations montrent que la période se conserve : T = cte ∀x • l’équation de dispersion est toujours acceptable (si pente faible) 2 ω = gk tanh[kh ] ⇒ si h(x)
, ω = cte ⇒ k ⇒ λ
2a H a la houle devient plus cambrée (cambrure : γ = ou = ). λ λ λ Comment varie l’amplitude a ? dissipation d’énergie négligée ⇒ le flux d’énergie au travers un plan vertical se conserve : 1 1 ω 2kh  (30) ⇒ F = ECg = cte ou F = ρga 2 1+ = cte .  2 2 k  sinh[2kh ]  Problème : • on connaît (au « large ») : a0, h0, ω0 ⇒ k0, E 0 , Cg0 • on connaît la bathymétrie h = h(x) • on cherche a(x) et k(x) (ou λ(x)) • 2 équations : ω 2 = gk ( x ) tanh[k ( x )h ( x )] 1 1 1 ω  2k ( x )h ( x )  = E 0 C g 0 = ρ ga 02 2 E C g = ρga ( x ) 1+ 2 2 2 k ( x )  sinh[ 2k ( x )h ( x )] 

1 ω 2 k0

 2k 0 h 0  1 +   sinh[2k 0 h 0 ] 

⇒

14

Réfraction données au large : T = 10 s et h0 = 100 m

1.4 1.3

a/a0

1.2 1.1 1 0.9 0.8 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

profondeur h (m)

2

 a (x )  k (x ) 1  = Si grande profondeur au large (ondes courtes) :  k0  2k ( x )h ( x )   a0  1 + sinh[2k ( x )h ( x )]    Quand la profondeur décroît l’amplitude décroît un peu puis en zone de faible profondeur (plage) elle croît très vite. La longueur d’onde, elle, décroît continûment quand la profondeur décroît : 180

longueur d'onde λ (m)

160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

profondeur h (m)

8.2 Déferlement Quand la profondeur décroît, la cambrure γ ( x ) =

a (x ) croît très vite ⇒ déferlement λ(x )

Du point de vue théorique le déferlement est une singularité correspondant, suivant les modèles utilisés, à soit :

15

• • • •

la condition de pression p = pa à la surface libre n’est pas vérifiée la vitesse des particules à la crête (sommet) de la vague dépasse la célérité C l’accélération sur la crête est plus grande que l’accélération de pesanteur la surface libre devient verticale.

On a l’habitude de classer le déferlement suivant trois types en fonction du profil du fond :

D’après R. Bonnefille, -Cours d’hydraulique maritime- Ed. Masson Le déferlement a pour effets : • de dissiper l’énergie de la houle • de mettre en suspension les sédiments • de provoquer un courant vers le rivage (cross shore flow) si le déferlement est parallèle à la côte et un courant littoral (long shore flow) si le déferlement est oblique. Pour prédire l’apparition du déferlement on utilise le plus couramment le critère de Miche8. Ce critère est assez bien adapté car dans les zones de déferlement le rotationnel est particulièrement intense dans la couche fluide à proximité de la surface libre. Ce critère précise que le déferlement apparaît lorsque la cambrure atteint la valeur limite :

H  2a  γ lim . =   =   = 0,14 tanh[kh ]  λ  lim .  λ  lim . grande profondeur (ondes courtes) : kh >>1 ⇒ γlim. = 0,14 H 2a = ≈ 0,88 h h c’est cette dernière valeur qu’on retient en général dans les zones littorales.

faible profondeur (ondes longues) : kh << 1 ⇒ tanh[kh] ≈ kh ⇒

8.4 Méthode analytique – Equation de Berkoff

8

Le modèle de houle dit de Miche suppose que le rotationnel des vitesses n’est pas nul dans le domaine fluide.

16

Reprenons le système d’équations linéarisées (1), (2), (5) et (6) du paragraphe 2.3. Les modifications à apporter proviennent du fait que les grandeurs physiques sont, en plus de x, z et de t, aussi fonction de la variable y. La condition d’imperméabilité au fond est différente à cause de la variation de la bathymétrie en fonction de x et y. Les équations à résoudre sont : ∆φ( x , y, z, t ) = 0 ∀ x , y, z , t ∂φ ∂η = en z = 0 ∂z ∂t ∂φ et conditions aux limites : + gη = 0 en z = 0 ∂t ∂φ ∂h ∂h = −u −v en z = − h ( x , y) ∂z ∂x ∂y ∂φ ∂φ ∂h ∂φ ∂h =− − La dernière condition au fond s’écrit aussi : ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y La solution est :

[

]

en z = − h ( x , y)

div C C g grad F + k 2 C C g F = 0

(36)

c’est l’équation dites de Berkoff ou « mild slope equation ». Rappelons que cette équation est valable pour une houle linéaire (faible cambrure) et des fonds lentement variables. En écrivant la fonction F, complexe, sous la forme : F = A( x , y)e iϕ( x , y ) où A(x,y) est l’amplitude et ϕ(x,y) la phase et en séparant les parties réelle et imaginaire on obtient :

[

]

[

]

div C C g grad (A cos ϕ) + k 2 C C g A cos ϕ = 0 div C C g grad (A sin ϕ) + k 2 C C g A sin ϕ = 0 r r r sachant que div(αV) = αdivV + V ⋅ grad α et en multipliant la première relation par cosϕ et la deuxième par sinϕ, on obtient : 2 div C C g grad A grad ϕ = k 2 + . (37) A C Cg

(

)

[

]

Pour une profondeur constante, k, C et Cg gardent une valeur constante d’où : 2 ∆A grad ϕ = k 2 + . Donc une variation d’amplitude (par exemple entre une zone abritée et A une zone non abritée) va engendrer une variation de direction de la houle ; c’est le phénomène de diffraction (voir paragraphe 9 suivant).

(

)

L’équation (36) est dite de type elliptique, sa résolution numérique nécessite de résoudre le problème sur tout le domaine « simultanément », c'est-à-dire que le calcul fait en

17

un point nécessite de connaître la solution dans tout le reste du domaine d’où des procédures itératives sur un maillage plus ou moins dense en fonction des variations bathymétriques et des frontières. L’avantage est qu’on peut traiter un problème combinant les phénomènes de réfraction, de diffraction et de réflexion. Une simplification consiste à « parabolisiser » l’équation de Berkoff en négligeant la réflexion r et en considérant que la direction de la houle dévie peu par rapport à une direction générale x . La résolution de l’équation parabolique obtenue consiste, à partir des conditions « au large », à progresser dans la direction de propagation pas à pas de façon tout à fait analogue à celle de la méthode des rayons exposée précédemment. Les méthodes pour paraboliser l’équation de Berkoff consistent à développer au deuxième ou troisième ordre le cosinus de l’angle entre la r direction de propagation de la houle et la direction générale privilégiée x ; ce sont les méthodes de Radder ou de Kirby. Ces modèles gardent une précision suffisante tant que cet angle ne dépasse pas 30 à 45°. Remarque On trouve sur internet des logiciels libres de calcul de diffraction-réfraction ; par exemple : REFDIF 1 de Kirby et Dalrymple – University of Delaware – USA http://chinacat.coastal.udel.edu/~kirby/programs/refdif.html

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10. Réflexion 10.1 Réflexion totale frontale (clapotis total) Imaginons un ouvrage (digue imperméable par exemple) réfléchissant totalement la houle incidente dont la direction de propagation est orthogonale à l’ouvrage.

houle incidente : ηi = a i sin(ωt − kx ) houle réfléchie : ηr = a r sin(ωt + kx + ϕ) Le nombre d’onde k est le même pour les houles incidente et réfléchie car les conditions de dispersion sont les mêmes (même profondeur h et pulsation ω). les directions de propagation sont opposés d’où les signes – et + devant le terme kx. Hypothèses : •

on se situe assez loin de l’obstacle ⇒ pas de modes évanescents

•

les amplitudes sont faibles ⇒ le problème est linéaire ⇒ superposition des modes incident et réfléchi sans couplage (pas d’harmoniques de pulsation ω, 2ω, …) ⇒ on écrit que la déformation résultante de la surface libre est : η = ηi + ηr

réflexion totale ⇒ les amplitudes incidente et réfléchie sont les mêmes (même intensité du flux d’énergie) ⇒ η = a[sin(ωt − kx ) + sin(ωt + kx + ϕ)] Problème : détermination de ϕ en fonction des conditions aux limites en x = 0.

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Hypothèse : l’ouvrage se comporte comme un miroir parfait : à un instant t :

⇒ les ondes incidente et réfléchie ont la même phase en x = 0, seul le sens de propagation est opposé ⇒ ϕ = 0 en x = 0 ⇒ η = a[sin(ωt − kx ) + sin(ωt + kx )] = a[sin ωt cos kx − cos ωt sin kx + sin ωt cos kx + cos ωt sin kx ]

η = 2a cos kx sin ωt

⇒

Globalement le système d’ondes est équivalent à une onde stationnaire (c'est-à-dire sans propagation). La surface libre oscille entre 2courbes sinusoïdales (2acoskx) avec une pulsation ω. On peut écrire η = A ( x ) sin ωt .

π + nπ ou 2

nœuds d’oscillation : A( x ) = 0 ⇒ kx =

•

ventres d’oscillation : A(x) atteint des valeurs maximales pour coskx = 1 soit kx = 0 + nπ ou x = n

λ 2

x=

λ λ +n 4 2

•

avec n = 0, 1,....

avec n = 0, 1,...

Aux ventres l’amplitude des oscillations est 2a. Enveloppes de la surface libre :

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Champ de vitesse : Le principe de superposition (linéarité) ⇒ φ = φi + φ r g cosh[k (z + h )] g cosh[k (z + h )] [cos(ωt − kx ) + cos(ωt + kx )] = 2a cos kx cos ωt soit : φ = a ω cosh[kh ] ω cosh[kh ] ∂φ u= ∂x dont on peut déduire le champ de vitesse : ∂φ w= ∂z Les lignes de courant sont stationnaires :

⇒ il apparaît des zones d’érosion et des zones d’accumulation si le fond marin est constitué de sédiments, d’où l’apparition possible de dunes dont la longueur d’onde est la moitié de celle de la houle.

Pression : De l’expression de la pression (29) on déduit : cosh[k (z + h )] p = p a − ρgz + 2ρga cos kx sin ωt cosh[kh ]

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10.2 Réflexion partielle (clapotis partiel) Un ouvrage, une côte, une barre sous marine, etc…peuvent réfléchir une partie de l’énergie incidente, transmettre une autre part vers l’aval et dissiper. Loin de l’obstacle en amont si l’amplitude des oscillations de la surface libre est faible on aura superposition linéaire de l’onde incidente et de l’onde réfléchie qui auront des amplitudes différentes :

η = η i + η r avec a r < a i soit :

η = a i sin( ω t − kx ) + a r sin( ω t + kx )

(remarque : on peut toujours choisir l’origine des x telle que le déphasage entre les 2 modes soit nul à cet origine).

On définit le coefficient de réflexion :

R=

ar . ai

Cherchons η sous la forme : η = A( x ) sin(ωt + ϕ) ⇒ η = A ( x ) sin ωt cos ϕ + A ( x ) cos ωt sin ϕ = a i sin(ωt − kx ) + a r sin(ωt + kx ) = a i sin ωt cos kx − a i cos ωt sin kx + a r sin ωt cos kx + a r cos ωt sin kx = (a i + a r ) sin ωt cos kx − (a i − a r ) cos ωt sin kx Par identification on obtient :

A( x ) cos ϕ = (a i + a r ) cos kx A( x ) sin ϕ = −(a i − a r ) sin kx

A 2 ( x ) = (a i + a r ) 2 cos 2 kx + (a i − a r ) 2 sin 2 kx = a i2 + a 2r + 2a i a r cos 2kx ∂A optima de A(x) : 2A( x ) = −4ka i a r sin 2kx = 0 ⇒ 2kx = 0 + nπ ∂x • pour 2kx = 0 (x = 0) ⇒ A 2 ( x ) = a i2 + a 2r + 2a i a r = (a i + a r ) 2 maximum ⇒ ventre λ • pour 2kx = π ( x = ) ⇒ A 2 ( x ) = a i2 + a 2r − 2a i a r = (a i − a r ) 2 minimum ⇒ noeud 4 λ • pour 2kx = 2π ( x = ) ⇒ A 2 ( x ) = a i2 + a 2r + 2a i a r = (a i + a r ) 2 maximum ⇒ ventre 2 • etc….

⇒

⇒ aux ventres Amax = ai + ar ⇒ aux nœuds Amin = ai - ar

(32)

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23

Mesure du coefficient de réflexion : Dans un canal à houle on peut mesurer les amplitudes à un ventre et à un noeud (32) ⇒ Amax+Amin = 2ai ⇒ a i =

A max + A min 2

⇒ Amax-Amin = 2ar ⇒ a r =

A max − A min 2

R=

d’où :

A max − A min A max + A min

c’est la méthode des ventres et des nœuds.

Remarques :

•

bons résultats si la houle est monochromatique (une seule fréquence et harmoniques négligeables)

•

difficultés de trouver avec précision les nœuds et les ventres (tangentes des enveloppes horizontales).

Autres méthodes de mesure : • avec deux sondes fixes → méthode de Goda : Goda Y., Suzuki Y.. 1976. Estimation on incident and reflected waves in random wave experiments. 15th Coastal Engineering Conference, Hawaï, pp. 828-845. • avec une ou deux sondes mobiles (effet Doppler) → Brossard J., Hémon A., Rivoalen E.. 2000. Improved analysis of regular gravity waves and coefficient of reflexion using one or two moving probes. Coastal Engineering, 39, pp. 193-212.

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10.3 Conservation de l’énergie Imaginons un obstacle partiellement réfléchissant comme une digue submergée par exemple.

Une partie de l’énergie incidente va être réfléchie et une autre transmise. Si on néglige les modes évanescents et la dissipation et en considérant une même profondeur de part et d’autre de l’ouvrage, l’équation de conservation d’énergie va se traduire par : Fi = Fr + Ft où les indices i, r et t sont relatifs à l’onde incidente, réfléchie et transmise respectivement. 1 1 ω 2kh  F = ρga 2 1+ (30) De (30)  2 2 k  sinh[ 2kh ] 

on déduit : la relation R2 + T2 = 1 où R et T sont les coefficients de réflexion et de transmission. 10.4 Réflexion sur un talus

Miche

a

établi le seuil de déferlement 2 2a 2α sin α γ lim = = ≈ 0,254 α sin 2 α λ π π si γ0 (cambrure au large) < γlim il y a réflexion partielle.

pour

une

cambrure

D’après R. Bonnefille, -Cours d’hydraulique maritimeEd. Masson

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Dissipation par une digue : On note L : La longueur d’onde. E=

ρgai2 λ 8

E dissipée =

=

ρga R2 λ 8

+

ρgaT2 λ 8

+ E dissipée ⇒ E dissipée =

ρgai2 λ 8

−

ρga R2 λ 8

−

ρgaT2 λ 8

⇒

ρgai2 λ 

H R2 H T2  1 − 2 − 2  Hi   Hi

8

Par définition les coefficients de réflexion et de transmission sont respectivement

E dissipée =

ρgai2 λ  8

H R2 H T2  ρgai2 λ − − 1 ⇒ E = 1− R2 −T 2  dissipée 2 2  8 Hi   Hi

On définit le coefficient d’absorption par A =

[

[1 − R

2

−T 2

]

]

où

E=

ρgai2 λ 8

tel que E dissipée = E A 2

Remarques : - A2 + R 2 + T 2 = 1 - Une réduction d’énergie correspond à une réduction d’amplitude : 50% d’énergie correspond à 71% d’amplitude. - Les coefficients de Réflexion et de transmission peuvent être mesurée expérimentalement, on peut donc calculer la dissipation.

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