Ejercicio 04: Sea: X:”demanda Diaria De Un Producto”

Ejercicio 04 La demanda diaria de un producto puede ser 0, 1, 2, 3, 4 con probabilidades respectivas 0.3, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1. a) Describa la distribución de probabilidades aproximada de las demanda promedio de 36 días. b) Calcular la probabilidad de que la media de la demanda de 36 días esté entre 1 y 2 inclusive. Solución

x p(x)

0 1 2 3 4 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1

Sea: x:”demanda diaria de un producto”

a) n=36 días E ( x )=∑ x . p ( x ) E ( x )=1.4 2

σ 2=E ( x 2) −( E ( x ) ) σ 2=3.6−1.4 2σ 2=1.64 X N (1.4 ; 1.64 /36)

b) P [ 1≤ X´ ≤2 ] P ( X´ ≤2 ) −P ( X´ ≤1 )

∅

2−1.4 1−1.4 −∅ 1.64 1.64 ∅ ( 2.81 )−∅ (−1.87 ) 36 36

(√ ) ( √ )

∅ ( 2.81 )−1+∅ ( 1.87 )0.9975−1+ 0.9693 0.9668

Rpta: a) X N (1.4 ; 1.64 /36) b) 0.9668

Ejercicio 10 La utilidad (en miles de soles) por la venta de cierto artículo, es una variable aleatoria con distribución normal. Se estima que en el 5% de las ventas la utilidad sería menos de 6.71, mientras que el 1% de las ventas serían mayores que 14.66, si se realizan 16 operaciones de venta, ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de la utilidad por cada operación esté entre $ 10,000 y$ 11,000?

SOLUCION

Sea: x:”utilidad en miles de dólares” X N ( μ ; σ ) n=16

6.71−μ =0.05 P ( X´ <6.71 ) =0.05∅ σ 6.71−μ 6.71−μ =1.645σ = σ 1.645 Igualamos las varianzas poblacionales

(

P [ 10≤ X´ ≤ 11 ]

∅

)

14.66−μ =0.01 P ( X´ >14.66 ) =0.01 ∅ σ 14.66−μ 14.66−μ =2.33σ = σ 2.33

(

μ=10

)

σ =2

11−10 10−10 −∅ 2 2 ∅ ( 2 )−∅ ( 0 )0.9772−0.50.4772 √ 16 √ 16

( )( )

Rpta: 0.4772

Ejercicio 11 La vida útil de cierta marca de llantas radiales es una variable aleatoria X cuya distribución es normal con (m = 38,000 Km. y s = 3,000 Km). a) Si la utilidad Y (en $) que produce cada llanta está dada por la relación: Y = 0.2X +100, ¿cuál es la probabilidad de que la utilidad sea mayor que 8,900$? b) Determinar el número de tales llantas que debe adquirir una empresa de transporte para conseguir una utilidad promedio de al menos $7541 con probabilidad 0.996.

SOLUCIÓN

Sea: x:”vida útil en Km” X N ( 38000 ; 30002 ) Y =utilidad

A)

B)

Y =0.2 X+ 100E ( Y )=0.2 E ( X ) +100 E ( Y )=0.2 ( 38 000 ) +100E ( Y )=7 700

(

P ( Y´ >7541 )=0.996 1−P ( Y´ ≤7541 ) =0.996 7541−7700 1−∅ =0.996 600 √n 7541−7700 ∅ =0.004 600 √n 7541−7700 =−2.65 600 n=100 √n

(

2

Var ( Y )=( 0.2 ) Var ( X ) Var ( Y )=( 0.2 )2 ( 3 000 )2σ 2Y ¿ 360 000 σ Y¿ 600 8900−7700 P ( Y >8900 )1−∅ 600 1−∅ ( 2 )1−0.97720.0228

n=?

)

(

)

)

Rpta: a) 0.0228 b) 100

Ejercicio 12 Un proceso automática llena bolsas de café cuyo peso neto tiene una media de 250 gramos y una desviación estándar de 3 gramos. Para controlar el proceso, cada hora se pesan 36 bolsas escogidas al azar, si el peso neto medio está entre 249 y 251 gramos se continúa con el proceso aceptando que el peso neto medio es 250 gramos y en caso contrario, se detiene el proceso para reajustar la máquina. a) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso cuando el peso neto medio realmente es 250? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que el peso neto promedio es 250 cuando realmente es de 248 gramos?

SOLUCION

Sea: x:”peso de bolsas llenas” ´ ≤ 251 ] … se continua ,en caso contrario de detiene μ=250 gr σ =3 gr n=36[ 249 ≤ X

P [ 249≤ X´ ≤ 251 ]

∅

(

251−250 249−250 −∅ 3 3 6 6

)(

B) P [ 249≤ X´ ≤ 251/μ=248 ] 251−248 249−248 ∅ −∅ 3 3 ∅ ( 6 )−∅ ( 2 ) 6 6 1−0.97720.0228

) (

∅ ( 2 )−∅ (−2 )∅ ( 2.81 )−1+∅ ( 2 )0.9772−1+ 0.9772 0.9544 … Se continua entonces … 0.0456 … se deteiene

)(

)

Rpta: a) 0.0456 b) 0.0228

Ejercicio 14 Una empresa vende bloques de mármol cuyo peso se distribuye normalmente con una media de 200 kilogramos. a) calcular la varianza del peso de los bloques, si la probabilidad de que el peso esté entre 165 Kg. Y 235 Kg. Es 0.9876. b) ¿Qué tan grande debe ser la muestra para que haya una probabilidad de 0.9938 de que el peso medio de muestra será inferior a 205 Kg? SOLUCION Sea: x:”PESO EN Kg” X N ( 200 ; σ 2 )

A)

P [ 165≤ X´ ≤ 235 ] =0.9876 235−200 165−200 ∅ −∅ =0.9876 σ σ 35 −35 ∅ −∅ =0.9876 σ σ

(

B) P [ X´ ≤205 ] =0.9876 205−200 205−200 ∅ =0.9876 =2.24 14 / √ n 14/ √ n n=39

) ( ) ( ( ) ( ) 35 35 35 ∅ ( ) −1+ ∅ ( )=0.9876∅ ( ) =0.9938 σ σ σ 35 =2.5 σ =14 σ 2=196 σ Rpta: a) 196 b) 39

)

Ejercicio 16 Un proceso para llenar cerveza en botellas de 620 ml. sufre una pérdida en el contenido que tiene una media de 5 ml. y una desviación estándar dc 1.2 ml. Se escogen al azar 36 de tales botellas. Si la media de la muestra está entre 4.5 y 5.5 ml. se acepta que m=5 ml., en caso contrario; se rechaza que m=5. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que m=5 cuando realmente es m=4.8 ml? SOLUCION Sea: x:”PESO EN Kg” X N ( 5 ; ( 1.2 )2) n=36 5.5−4.8 4.5−4.8 −∅ ∅ ( 3.5 )−∅ (−1.5 )0.9998−0.0668 P [ 4.5 ≤ X ≤ X´ ≤ 5.5 , μ=4.8 ]∅ 1.2/6 1.2/6 0.9330

(

Rpta: 0.9330

Ejercicio 17

) (

)

Una empresa comercializa fardos de algodón cuyo peso X se distribuye normalmente con una media de 250 Kg. y una desviación estándar de 4 Kg. El costo por fardo es dado por Y = aX + 52. Hallar el valor de a si se quiere que la media de los costos de 4 fardos sea mayor que $3,100 con probabilidad 0.0228. SOLUCION Sea: x:”PESO DE FARDOS EN Kg” X N ( 250 ; 4 2 ) Y =aX +52E ( Y )=aE ( X ) +52 E ( Y )=a (250 )+ 52E ( Y )=250 a+ 52

w= ´

Y 1+ Y 2 +Y 3 +Y 4 E ( w´ )=E ( Y )Var ( w ´ ) =4 a2σ w´ =2 a 4

2

Var ( Y )=( a ) Var ( X ) Var ( Y )=( a )2 ( 4 )2 σ 2Y¿ 16 a2 σ Y¿ 4 a2

NOS PIDE: P ( w>3100 ´ )=0.0228∅

a−52 3048−250 a =0.9772 =2a=12 ( 3100−250 ) 2a 2a

Rpta: 12

Ejercicio 18 Definimos la variable aleatoria "error muestral", por: |X -m|. De todas las muestras de tamaño 36 escogidas al azar de la población N(m,324). a) ¿Qué porcentaje tendrán un error muestral mayor de 4.5?. b) ¿Para qué valor de k el 95% tienen error muestral no mayor que k?

SOLUCION X N ( μ ; 324 ) n=36 a) P[|´x −μ|> 4.5]1−P [|´x −μ|≤ 4.5 ] 1−P (−4.5≤ ´x −μ ≤ 4.5 ) −4.5 4.5 1−P ≤ z≤ 18/6 18 /6 1−P (−1.5 ≤ z ≤1.5 ) 1− [ ∅ ( 1.5 )−∅ (−1.5 ) ] 1− [ 2 ∅ ( 1.5 )−1 ]2−2 ∅ ( 1.5 )0.1336

(

)

b) P [|´x −μ|≤ k ] =0.95 P (−k ≤ ´x −μ ≤5 ) =0.95 −k k k P ≤ z ≤ =0.952 ∅ =1.95 3 3 3

( ) () k k ∅ ( )=0.975 =1.96k =5.88 3 3

Rpta: a) 0.1336 b) 5.88

Ejercicio 19 El costo de producción en dólares de un objeto es 100 veces el valor numérico de su longitud. Suponga que la longitud en metros del objeto es una variable aleatoria con distribución normal N (0.012, 1.44x10−4). a) ¿Cuál es la distribución del costo medio por objeto si se toman al azar n (n > 2) objetos? b) Si el precio de venta dc cada objeto es $2.00, calcular la probabilidad de que la utilidad promedio por objeto de 36 objetos tomados al azar, sea a lo más $0.5. SOLUCION

Sea: x:”LONGITUD” Sea Y:”COSTO PROMEDIO” X N ( 0.012 ;1.44∗10−4 ) Y =100 x E ( Y )=100 ( 0.012 ) E ( Y )=1.2 Var ( Y )=1002 ( 1.44∗10−4 ) 1.44 2 σ Y2 =1.44σ Y´ = n 1.44 X N 1.2 ; n

a)

(

)

b)

P .V =2 U =P . V −Y E ( U )=2−E ( Y ) E ( U )=0.8 Var ( U )=Var ( Y )σ U2 =1.44 1.44 σ ´ =0.2 σ U2´ = 36 U

P ( U ≤ 0.5 ) ∅

∅ (−1.5 ) ( 0.5−0.8 0.2 )

1−∅ ( 1.5 )1−0.93320.0668 Rpta: a) X N (1.2 ;

1.44 ) n

b) 0.0668

Ejercicio 22 La calificación en una prueba de aptitud es una variable aleatoria X que tiene distribución normal con media igual a 100. a) Si se supone que la desviación estándar de todas las calificaciones es s = 15, ¿cuántas calificaciones se deben escoger para que la media muestral esté en el intervalo de 90.2 a 109.8 con probabilidad 0.95? b) Si se escogen al azar 16 calificaciones y se encuentra que la desviación estándar ^s = 12, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 92.194 y 104.023? SOLUCION X N ( 100 ; σ 2 ) a) σ =15 P [ 90.2≤ ´x ≤ 109.8 ] =0.95 109.8−100 90.2−100 ∅ −∅ =0.95 15 / √ n 15 / √n

(

) (

)

b) n=16^s=12 P [ 90.194 ≤ x´ ≤104.023 ]

( 9.815√ n )−1+ ∅ ( 9.815√n )=0.95 9.8 √ n 9.8 √ n 2∅( =1.95∅ ( =0.975 ) 15 15 ) ∅

104.023−100 90.194−100 −P t 15 ≤ 12/ 4 12/4 P ( t 15 ≤1.341 ) −P ( t 15 ≤−2.602 )0.90−1+ 0.990.89

(

) (

P t 15 ≤

)

9.8 √ n =1.96n=9 15

Rpta: a) 9 b) 0.89

Ejercicio 25 Una empresa que hace estudios de mercado quiere obtener una muestra aleatoria suficientemente grande de manera que la probabilidad de que la proporción obtenida a favor de un cierto producto resulte inferior al 35% sea igual a 0.0062. a) Calcular el tamaño de la muestra a tomar si se supone que la verdadera proporción a favor del producto es p = 0.4. b) Con el tamaño de muestra calculado en a) y si se supone verdadero el valor del parámetro p= 0.2, determinar el intervalo [a, b] centrado en p tal que ´p[a, b] con probabilidad 0.95. SOLUCION a) P ( ^p ≤ 0.35 )=0 .0062 0.35−0.4 ∅ =0.0062 ( 0.4 ) ( 0.6 ) n −0.05 =−2.5 √ 0.24/ √ n

(√

n=600

)

b) n=600 P=0.2

[ a ≤ ^p ≤ b ] ,∝=0 . 05e=Z 0 pq e=1.96

√

√

n

( 0.2 )( 0.8 ) e=0.032 600

¿^p=0.232 ¿^p=0.168

Entonces….[0.168 ≤ ^p ≤ 0.232]

Rpta: a) 600 b) [0 . 168≤ ^p ≤0 . 232 ¿

Ejercicio 29 Un nuevo producto va a salir al mercado si por lo menos el ´p0(100%) de n personas encuestadas, aceptan el producto. Calcular los valores de n y ´p0 de manera que haya una probabilidad de 0.1112 de que el producto no saldrá al mercado cuando realmente el 58% lo aceptan y una probabilidad de 0.0228 de que el producto saldrá al mercado cuando realmente el 50% lo aceptan. SOLUCION P≤ ^ p0 … . se rechazaP> ^ p0 … . se acepta P [P ≤ ^ p0 ] =0.1112 ; p=0.58 ∅

(√

^ p0−0.58

)

=0.1112

( 0.58 )( 0.42 ) n ^ ( p 0 ¿−0.58) √ n =−1.22¿ √ 0.2436 0.60214 ^ p0=0.58− √n

Igualamos las dos ecuaciones… nos da como resultado…. p0=0.55 n=104 ^

P [P ≤ ^ p0 ] =0.9772 ; p=0.5 ∅

(√

^ p0−0.5

)

=0.9772 ( 0.5 )( 0.5 ) n ^ 1 ( p0 ¿−0.5) √ n p0=0.5− =2 ¿ ^ √n √ 0.25

p0=0 .55 Rpta: n=104 ^

Ejercicio 30 Por experiencia el departamento de créditos de una tienda comercial sabe que sus ventas se pagan con: dinero en efectivo, con cheque o al crédito, con probabilidades respectivas; 0.3, 0.3, y 0.4. La probabilidad de que una venta sea por más de $50 es igual a 0.2 si ésta es en efectivo, es igual a 0.9 si ésta es con cheque y es igual a 0.6 si ésta es al crédito. Si se escoge una muestra aleatoria de 256 personas que ingresan a la tienda, ¿cuál es la probabilidad de que el porcentaje de personas que hayan comprado por más de $50 sea al menos 50%? SOLUCION X:”venta mayor a $50” E=efectivo C=cheque D=crédito X x´ Tota l

n=258 P(X/E)=0.20 P(X/C)=0.90 P(X/D)=0.60

P(E)=0.3 P(C)=0.3 P(D)=0.4

E C D Total 0.06 0.27 0.24 0.57 0.24 0.03 0.16 0.43 0.3 0.3 0.4 1

P ( ´p > 0.5 )

1−∅

Rpta: 0.9481

(√

0.50−0.57

)

( 0.57 ) ( 0.43 ) 1−∅ (−2.26 )∅ ( 2.26 )0.9481 258

Ejercicio 32 Una empresa encuestadora debe seleccionar una muestra aleatoria de una población que consiste de 3000 electores para una encuesta de opinión. La empresa estima en 30% del total, el porcentaje a favor de cierto candidato. ¿De qué tamaño debe escoger la muestra si se quiere tener una probabilidad del 95% de que la diferencia de la proporción a favor del candidato en la muestra y en la población no exceda el valor 0.0492? SOLUCION N=3000 P=0.3 P (|^p− p|≤ 0.0492 )=0.95P (−0.0492≤ ^p− p ≤ 0.0492 )=0.95 2∅

( 0.0492 )=1.95∅ ( 0.0492 )=0.975σ = 0.975 σ σ 1.96 ^p

σ ^p=

^p

^p

( 0.3 ) ( 0.7 ) 3000−1 0.975 n=300.04n=300 = 1.96 n 2999

Rpta: 300

√

(

)

−0.0492 0.0492 ≤Z ≤ =0.95 σ ^p σ ^p

Ejercicio 37 Dos muestras aleatorias independientes de tamaños 21 y 9 respectivamente se toman de una misma población que está normalmente distribuida, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza de la primera muestra sea al menos el cuádruple de la varianza de la segunda? SOLUCION n1 =21n 2=9 P ( ^s21 >4 s^ 22 )1−P ( s^ 21 ≤ 4 ^s22 )1−P ( F 1−α , 20,8 ≤ 4 )1−0.9750.025

Rpta: 0.025

Ejercicio 38 Sean. X1~x2(9), X2~x2(20) y X =(X1 /9)/(X2 /20) hallar los valores a y b tales que: P [a ≤ X ≤ b] =0.925 y P[X ≤ a] =0.05.

SOLUCION X 1 X 29 X 2 X 220 X=

X 1 /9 X 2 /20

∝ =0.5∝=0.1 2

b=F 0.975;9 ;20=2.84a=F 0.05; 9; 20=

1 F 0.05 ;20 ;9

=

1 a=0.34b=2.84 2.94

Rpta: a=0.34 b=2.84

Ejercicio 44 Para comparar los salarios que se pagan a los empleados en dos grandes empresas E1 y E2 se escogen dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 =16 y n2= 13 respectivamente de E1 y E2 resultando las desviaciones estándares respectivas ^s 1= $120 y ^s 2= $55. Si la diferencia entre las medias muéstrales no es mayor que $, se acepta que m1=m2. En caso contrario, se acepta que m1≠m2. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que m1≠m2 cuando realmente m1=m2? Se asume que los salarios en ambas empresas tienen una distribución normal con varianzas diferentes. SOLUCION

n1=21 s1=12 0 ^

N2=13 s2=5 5 ^

P ( x´ 1− x´ 2>57.786 ; μ1=μ 2 )

2

1202 552 + 16 13 r =21.927 r= 1202 /16 552 /13 + 15 12

(

)

P ( x´ 1− x´ 2>57.786 ; μ1=μ 2 ) Rpta: 0.05

57.786−0

( √

1−P t 22 ≤

)

1202 552 1−P ( t 22 ≤ 1.717 )1−0.950.05 + 16 13