Disciplina: Elementos Orgânicos De Máquinas – Eng 0035

INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS NATAL CENTRAL DIRETORIA ACADÊMICA DE INDÚSTRIA COORDENAÇÃO DO CURSO SUPERIOR DE ENGENAHRIA DE ENERGIA

Disciplina: Elementos Orgânicos de Máquinas – ENG 0035 Curso: Engenharia de Energia Unidade II: Projeto de máquinas: eixos, engrenagens e outros elementos

Professor: Jorge Magner Lourenço

Conteúdos programático 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

Sistemas mecânicos usados na Engenharia de Energia e seus principais elementos de máquinas Casos históricos de acidentes catastróficos envolvendo elementos mecânicos Cargas variáveis, conceito de fadiga e dimensionamentos 3.1. Critérios de projeto por fadiga 3.2. Curva SxN, curva ƐxN 3.3. Crescimento de trinca por fadiga Conceito de Mecânica da fratura e seus principais parâmetros de análise 4.1. Caracterização da Mecânica de Fratura – Interdisciplinaridade da Mecânica de Fratura–Comparação com a tradicional Resistência dos Materiais 4.2. Ensaio Charpy 4.3. Tenacidade a fratura por KIC e CTOD Efeito dos concentradores de tensões, causas, efeitos e dimensionamentos nos principais elementos de máquinas Flambagem: definição, conceitos complementares, carga crítica e dimensionamentos Dimensionamento de uniões por parafusos 7.1. Representação dos principais padrões de roscas 7.2. Cálculo de parafusos simples 7.3. Roscas submetidas a tensões de cisalhamento Dimensionamento de uniões soldadas 8.1. Definições básicas da soldagem 8.2. Tipos de juntas e posições na soldagem 8.3. Influência da temperatura durante a soldagem 8.4. Dimensionamento de juntas soldadas Projeto de Eixos e árvores submetidos a carregamentos diversos Transmissões por polias e correias 10.1. Correias planas e trapezoidais 10.2. Dimensões da polia 10.3. Potência transmitida Chavetas, estrias e outras uniões com o cubo Engrenagens cilíndrica e cônicas, de dentes helicoidais e retos; 12.1. Definições e relações de velocidades 12.2. Dimensionamento em função da pressão e da resistência 12.3. Engrenagens intermediárias e transmissão de movimentos 12.4. Como se constrói engrenagens Parafuso sem fim e coroa Mancais de rolamentos 14.1. Tipos e seleção 14.2. Esforços atuantes (estática e dinâmica) 14.3. Limite de rotação Noções de lubrificação industrial

O QUE SÃO MÁQUINAS?

O QUE É UMA MÁQUINA  um aparato que consiste em unidades interrelacionadas (elementos de máquinas);  um dispositivo que modifica a força ou movimento;  é um dispositivo que utiliza energia e trabalho para atingir um objetivo predeterminado;  é todo e qualquer dispositivo que muda o sentido ou a intensidade de uma força com a utilização do trabalho.

ALGUNS ELEMENTOS DE MÁQUINAS

AS MÁQUINAS NOS TEMPOS ATUAIS

AS MÁQUINAS NOS TEMPOS ANTIGOS

E O FUTURO?

HISTÓRIA DAS MÁQUINAS SIMPLES  A idéia de uma máquina simples foi criada pelo filósofo grego Arquimedes no século III A.C, que estudou as máquinas "Arquimedianas": alavanca, polia, e parafuso;  Arquimedes também descobriu o princípio da alavancagem. Mais tarde outros filósofos gregos definiram as cinco máquinas clássicas (excluindo o plano inclinado) e foram capazes de calcular sua alavancagem;  Heron de Alexandria (10–75 AD), em seu trabalho sobre Mecânica lista estes cinco mecanismos que podem colocar uma carga em movimento: alavanca, molinete, polia, cunha e parafuso, e descreve sua fabricação e usos. Ele também teve a idéia da primeira máquina vapor, chamada de “aeolipile”. Posta em prática cerca de 1000 anos depois, em 1698 pelos ingleses;  Porém o conhecimento grego se limitava a máquinas simples, que operavam através do balanço de forças, sem incluir a dinâmica, comparações entre força e distância, ou o conceito de trabalho;  Comumente, o termo "máquina simples" refere-se às seis máquinas simples clássicas, conforme definidas pelos cientistas renascentistas: alavanca, rosca, plano inclinado (cunha), polia (polia fixa e polia móvel), roda e eixo (engrenagem).

MÁQUINAS SIMPLES  As máquinas simples são dispositivos que, apesar de sua absoluta simplicidade, trouxeram grandes avanços para a humanidade e se tornaram base para todas as demais máquinas (menos ou mais complexas) criadas ao longo da história;  As máquinas simples são dispositivos capazes de alterar forças, ou simplesmente de mudá-las de direção e sentido.

MÁQUINA SIMPLES: Alavanca, rosca, plano inclinado (cunha), polia, roda e eixo (engrenagem).

MÁQUINA SIMPLES: Alavanca, rosca, plano inclinado (cunha), polia, roda e eixo (engrenagem).

MÁQUINA SIMPLES (rodas e eixos)

 A esfera de Arquimedes de Siracusa  As engrengens do Issus coleoptratus

HISTÓRIA DAS ENGRENAGENS ANTIGAS

Carruagem Chinesa (ano 255 AC)

Os cadernos de Leonardo da Vinci contem esboços de engrenagens cilíndricas de dentes retos, cônicas, parafuso sem-fim e coroa.

 As primeiras descrições escritas sobre engrenagens foram feitas por Aristóteles, no século 4 AC. Ele mencionou parafuso sem-fim e coroa;  Tesibius de Alexandria, seguidor de Arquimedes, usou no século 3 a.c. engrenagens cilíndricas de dentes retos e cônicas;  Marcus Vitrúvius Pollio usou um par de engrenagens de ângulo reto para transmitir potência do eixo de uma roda horizontal para uma roda de eixo vertical em um moinho de pedra.

HISTÓRIA DAS ENGRENAGENS MODERNAS  Engenheiro mecânico suíço Max Maag: (1883 a 1960) desenvolveu um sistema de correções para deslocar o perfil das engrenagens geradas através curva evolvente.  Em 1930 surgiram as primeiras geradoras/cortadoras de dentes na Europa. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS E CÔNICAS, DE DENTES RETOS, E DE DENTES HELICOIDAIS

PARTICULARIDADES DAS ENGRENAGENS Engrenagens são rodas dentadas, cilíndricas, usadas para transmitir movimento e potência de um eixo rotativo para outro. Os dentes de uma engrenagem acionadora se encaixam com precisão nos espaços entre os dentes da engrenagem acionada, como mostra a figura abaixo. os dentes acionadores pressionam os acionados, exercendo uma força perpendicular ao raio da engrenagem. Assim, um torque é transmitido, e, uma vez que a engrenagem está girando, certa potência também é transmitida.

PARTICULARIDADES DAS ENGRENAGENS  Entre as diversas formas de transmissão de potência mecânica (como engrenagens, polias, correias e correntes) as engrenagens geralmente são as mais robustas e duráveis;  Sua eficiência na transmissão de potência chega ser da ordem de 98%;  São mais caras do que as correias ou polias;  O custo de fabricação das engrenagens aumentam significativamente com o aumento da precisão (conforme a exigência das altas velocidades, altas cargas e baixos níveis de ruído);

APLICAÇÕES Você vê engrenagens em quase tudo que tem partes giratórias

Vídeo Cassete

Transmissão de carro

Diferencial

Limpador do para-brisa

Volante Relógios Corrêa dentada motor

MAIS APLICAÇÕES

RAZÃO DE REDUÇÃO DE VELOCIDADE Engrenagens são utilizadas para produzir uma mudança na velocidade de rotação da engrenagem acionada em ralação à acionadora. Se a engrenagem menor, chamada de pinhão, estiver acionando a engrenagem maior, chamada simplesmente de engrenagem, a maior girará mais devagar. O grau de redução de velocidade depende da razão entre o número de dentes do pinhão e o da engrenagem, como segue:

i = np/nG = NG/Np

TIPOS DE ENGRENAGENS  Engrenagens cilíndricas de dentes retos Os dentes são dispostos paralelamente entre si em relação ao eixo. É o tipo mais comum de engrenagem e o de mais baixo custo. É usada em transmissão que requer mudança de posição das engrenagem em serviço, pois é fácil de engatar. É mais empregada na transmissão de baixa rotação do que em alta rotação, por causa do ruído que produz.

TIPOS DE ENGRENAGENS  Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais  Os dentes são dispostos transversalmente de modo a formar um ângulo em relação à direção axial do eixo. O ângulo, chamado ângulo de hélice, pode ser praticamente qualquer um. Variam de 10° a 30°, mas ângulos de 45° são utilizados. Dentes helicoidais operam com mais suavidade do que os de engrenagens de dentes retos, e as tensões são inferiores.  Algumas vezes as engrenagens helicoidais são empregadas para transmitir movimento entre eixos não paralelos..  Os dentes das engrenagens helicoidais, que são inclinados, criam forças axiais e momentos fletores.  Podem ser utilizadas nas mesmas aplicações das engrenagens de dentes retos, porém sem ser tão barulhentas.  Acoplamento pontual crescendo progressivamente ao longo da face..

TIPOS DE ENGRENAGENS  Engrenagens Cônicas  Empregada quando as árvores se cruzam; o ângulo de interseção é geralmente 90°, podendo ser menor ou maior. Os dentes das rodas cônicas tem um formato também cônico, o que dificulta a sua fabricação, diminui a precisão e requer uma montagem precisa para o funcionamento adequado. A engrenagem cônica é usada para mudar a rotação e a direção da força, em baixas velocidades.

TIPOS DE ENGRENAGENS  Engrenagens Cônicas  Engrenagens cônicas espiraladas (tbm chamadas de helicoidais): são cortadas de forma que o dente deixa de ser reto, formando um arco circular.  Engrenagens hiperbolóides ou hipóides: são muito semelhantes às engrenagens cônicas espiraladas, exceto pelo fato se serem os eixos deslocados e não interceptantes.

TIPOS DE ENGRENAGENS  Engrenagem cremalheira Uma engrenagem reta que se move linearmente ao invés de girar. Quando uma engrenagem circular é conjugada com uma cremalheira, essa combinação é chamada cremalheira e pinhão. Talvez você já tenha ouvido esse termo aplicado ao mecanismo de direção do carro ou a determinada parte de outras máquinas.

 Engrenagem de parafuso sem fim São usadas quando grandes reduções de transmissão são necessárias. Esse tipo de engrenagem costuma ter reduções de 20:1, chegando até a números maiores do que 300:1. O eixo gira a engrenagem facilmente, mas a engrenagem não consegue girar o eixo. Isso se deve ao fato de que o ângulo do eixo é tão pequeno que quando a engrenagem tenta girá-lo, o atrito entre a engrenagem e o eixo não deixa que ele saia do lugar.

TIPOS DE ENGRENAGENS  Engrenagem de parafuso sem fim  O cruzamento dos eixos da coroa com o do sem fim é de 90°;  A direção de rotação da cora sem-fim, também chamada de roda sem-fim, depende da direção do parafuso e de serem seus dentes cortados à direita ou à esquerda;  O rendimento diminui à medida que a relação de transmissão aumenta;  Por ser de fabricação mais fácil em relação às engrenagens cilíndricas e cônicas tornam-se mais econômicas;  Nas altas rotações a rosca possui um único filete, o que torna o mecanismo irreversível, isto é, sempre a rosca será a motora;  Os redutores de parafuso sem fim são constantemente utilizados em guindastes, máquinas têxteis, furadeiras radiais, plaina limadora, mesa de fresadoras, pontes rolantes, elevadores, entre outros.

OUTROS MECANISMOS POR ENGRENAGENS

Engrenagens harmônicas

Planetárias

EXERCÍCIO TEÓRICO/PRÁTICO Onde você já viu engrenagens? Pense nas vezes em que você viu engrenagens em algum equipamento. Descreva o funcionamento desse equipamento, especificamente seu sistema de transmissão de potência. É claro que, às vezes, as engrenagens e os eixos estão alojados em uma carcaça, dificultando sua observação. 1.

Qual era a fonte de alimentação? Um motor elétrico, um motor a gasolina, uma turbina a vapor, um motor hidráulico? Ou as engrenagens eram operadas manualmente?

2.

Como as engrenagens foram dispostas e como estavam ligadas à fonte acionadora e à máquina acionada?

3.

Havia mudança de velocidade? Você consegue determinar o grau de mudança?

4.

Havia mais de duas engrenagens no sistema de transmissão? Quais tipos de engrenagens foram usadas? De quais materiais as engrenagens eram feitas? Como elas estavam presas aos eixos?

5.

O sistema de transmissão por engrenagens estava alojado em uma carcaça? Em caso afirmativo, descreva-o e diga o porquê.

GEOMETRIA DA ENGRENAGEM DE DENTES RETOS - Detalhamentos -

NOMENCLATURA PARA ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS

NOMENCLATURA: pelos sistemas de passo diametral e de módulo métrico.  NÚMERO DE DENTES (N): é essencial que haja um número inteiro de dentes em toda engrenagem. Outro símbolo comumente usado é z, com subscritos, z1, z2, z3.  CÍRCULO PRIMITIVO (ou de PASSO): é um círculo teórico sobre o qual todos os cálculos são geralmente baseados. Seu diâmetro é o DIÂMETRO PRIMITIVO. Os círculos primitivos de um par de engrenagens engrenados são tangentes entre si. O pinhão é o menor das duas engrenagens e o maior é, frequentemente, denominado como COROA ou ENGRENAGEM;  PASSO CIRCULAR (p): é a distância, medida no círculo primitivo, de um ponto de um dente ao correspondente ponto no dente adjacente. Assim, o passo circular é igual à soma da espessura do dente e da largura do espaçamento.

=

 MÓDULO (m): é a razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes. A unidade habitual de comprimento é o MILÍMETRO. O módulo é o índice do tamanho do dente no sistema SI.

=

=

NOMENCLATURA  PASSO DIAMETRAL (P): é a razão entre o número de dentes da engrenagem e o diâmetro primitivo. É o recíproco do módulo. É usado apenas com unidades americanas (POL-1 ou DENTES/POLEGADAS).

P=

=

 RELAÇÃO ENTRE MÓDULO E PASSO DIAMETRAL: P=  ADENDO (a): é a distância radial primitivo;

; m=

entre o topo do dente e o círculo

 DEDENDO (b): é a distância radial do fundo do dente ao círculo primitivo;  ALTURA COMPLETA: É a soma do adendo e do dedendo;  O CÍRCULO DE FOLGA: é um círculo tangente ao círculo de adendo da engrenagem par;  FOLGA: É o quanto o dedendo, em uma dada engrenagem, excede ao adendo de sua engrenagem par;

NOMENCLATURA  RECUO: É quanto a largura dos espaços entre os dentes excede à espessura dos dentes conjugados, medidos sobre os círculos primitivos;  LARGURA DE FACE, F: é a largura da engrenagem paralela ao eixo de montagem. É uma decisão do projeto feito pelo projetista.

F≈

(mas um

limite maior é permitido);  DISTÂNCIA DE CENTRO, C: é a distância linear entre a linha de centro do pinhão e a da engrenagem. É considerada uma distância crítica na montagem de qualquer variador de velocidades.

= =

(

)

(

)

= =

(

(

)

)

=

(

=

(

)

) em função do módulo

em função do passo diametral

NOMENCLATURA As figuras abaixo mostram vários tamanhos de dentes no sistema passo diametral e no sistema de módulo métrico.

Tamanho do dente em função do passo diametral Tamanho do dente em função do módulo métrico

MÓDULO E PASSO DIAMETRAL PADRONIZADOS

Obs.: mais detalhes sobre projeto e nomenclatura de engrenagens consultar a norma AGMA 2001-D04 fundamental rating factors and calculation methods for involute spur and helical gear teeth.

A LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO A lei fundamental do engrenamento afirma que a razão de velocidade angular das engrenagens de um par de engrenagens deve manter-se constante durante a ação conjugada. Isso é válido para dentes perfeitamente gerados, suaves e absolutamente rígidos. Quando duas engrenagens estão conjugadas, seus círculos primitivos rolam um sobre o outro sem deslizamento.

V=

mv=

=

=

A razão da velocidade angular mv é igual à razão entre o raio de referência (primitivo) da engrenagem de entrada (pinhão) e a engrenagem de saída (coroa). Para transmitir movimento a uma razão de velocidade angular constante, o ponto primitivo deve permanecer fixo, isto é, todas as linhas de ação, para cada ponto instantâneo de contato, devem passar pelo mesmo ponto P.

A FORMA INVOLUTA OU EVOLVENTE DO DENTE (perfil evolvental dos dentes) Há um número infinito de pares conjugados possíveis que poderiam ser usados mas somente umas poucas curvas têm visto aplicações práticas com dentes de engrenagens. A maioria das engrenagens usa a curva INVOLUTA ou EVOLVENTE de um círculo para rolamento de seus dentes.

OBS.: INVOLUTA ou EVOLVENTE vem do latim involutus, é o local geométrico dos centros de curvatura de uma curva plana ou inversa, curva cujas tangentes são normais umas as outras. curva que se faz sobre a superfície tangente de uma outra curva que intercepta, ortogonalmente, as retas geradoras

AÇÃO DO ENGRENAMENTO Involutas conjugadas

 O ponto “g” descreve as evolventes ”cd” na engrenagem 1 e “ef” na engrenagem 2;  O ponto g representa o ponto de contato;  “ab” é a linha geradora (linha sob a qual o ponto “g” se desloca);  “g” não muda de posição – movimento uniforme

PERFIL DOS DENTES DE UMA ENGRENAGEM

PERFIL CICLOIDAL

PERFIL EVOLVENTAL

PERFIS DOS DENTES DE UMA ENGRENAGEM PERFIL CICLOIDAL:  gerada por dois círculos. O maior é denominado CÍRCULO BASE e o menor, EPICICLO.  a geração da ciclóide ocorre mediante o deslizamento do epiciclo sobre o círculo de base a partir do ponto A. PERFIL EVOLVENTAL:  é gerada por uma reta tangente ao círculo de base e denominada GERATRIZ, que desliza sobre o círculo de base a partir do ponto C. CARACTERÍSITICAS:  as pressões específicas atuantes no dente são menores nos perfis cicloidais, acarretando desgaste menor.  Os perfis evolventais apresentam a vantagem no que tange aos esforços gerados no engrenamento, que são constantes como consequência da não variação do ângulo de pressão durante o engrenamento.  O perfil evolvental são mais facilmente gerados com ferramentas do tipo módulo, o que torna o processo de fabricação mais econômico.

FUNDAMENTOS DO ENGRENAMENTO: círculos de arranjo de engrenagens

Ângulo de pressão

FUNDAMENTOS DO ENGRENAMENTO: relação entre os círculos de base e primitivo

 Os círculos de base de cada engrenagem são sempre tangentes à linha de pressão. O ângulo de pressão (14,5°, 20° e 25°) determina seus tamanhos.

=

( )

FUNDAMENTOS DO ENGRENAMENTO: interação entre dentes

 O pinhão com centro em O1 é a engrenagem motora e roda no sentido anti-horário.  O contato inicial acontecerá quando o flanco da engrenagem motora entrar em contato com a ponta do dente da engrenagem movida (ponto a) – o círculo do adendo da engrenagem acionada cruza a linha de pressão.  Se confecciona perfis de dentes através desse ponto e traça-se linha radiais desde a intersecção desses perfis com os círculos primitivos até os centros das engrenagens, obtém-se o ÂNGULO DE APROXIMAÇÃO de cada engrenagem.  A medida que os dentes engrenam, o ponto de contato irá deslizar sobre o lado do dente motor, de modo que a ponta desse dente estará em contato justamente antes que o contato termine.  Por conseguinte, o ponto final de contato estará onde o círculo do adendo da engrenagem motora cruzar a linha de pressão. Esse ponto é o ponto b.  A partir do ponto b, obtém-se o ÂNGULO DE AFASTAMENTO de cada engrenagem, de maneira análoga para encontrar o ângulo de aproximação.  A soma do ângulo de aproximação e de afastamento para cada engrenagem é denominada ÂNGULO DE AÇÃO.  A linha de ab é denominada de LINHA DE AÇÃO.

DESENVOLVIMENTO DE UM VARIADOR DE VELOCIDADES Instituto Federal do Rio Grande do Norte Campus Natal Central Diretoria Acadêmica de Indústria Disciplina de Elementos Orgânicos de Máquinas Docente: Prof. Jorge Magner Lourenço Período: 2019.1

1.

CAPA (devem constar): a. Título do projeto b. Nomes dos componentes do grupo c. Disciplina d. Nome do professor responsável.

2.

INTRODUÇÃO: descrever o que está sendo proposto no trabalho. Apresentar as características gerais do sistema escolhido - motor/variador/máquina. Características funcionais, operacionais, e outras informações que auxiliem a caracterizar o sistema escolhido.

3.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: devem ser apresentados os conceitos relevantes ao que está sendo estudado e que serão apresentados no projeto (conceitos fundamentais de engrenagens; conceitos de redutores; conceitos referentes ao sistema que será projetado, tipo, máquina, motor, funcionamento do sistema entre outros).

4.

CARACTERIZAÇÃO DO PROJETO (devem constar): a. Desenho esquemático e representativo do sistema idealizado ( a ser projetado); b. As condições/decisões iniciais ( que servirão de base para o dimensionamento); c. As hipóteses adotadas ( que serão confirmadas pelos resultados obtidos); d. As características adicionais (outras características que possam complementar as informações apresentadas nos itens acima (b, c) tais como, temperatura de serviço, tratamento superficial ou térmico a ser realizado entre outras.

DESENVOLVIMENTO DE UM VARIADOR DE VELOCIDADES Instituto Federal do Rio Grande do Norte Campus Natal Central Diretoria Acadêmica de Indústria Disciplina de Elementos Orgânicos de Máquinas Docente: Prof. Jorge Magner Lourenço Período: 2019.1

5. DIMENSIONAMENTO: a.

Os cálculos com os respectivos equacionamentos e resultados;

b.

Planilhas obtidas e os desenhos.

6. CONCLUSÕES: são referentes aos resultados obtidos quanto ao dimensionamento relacionado as condições anteriormente estabelecidas para o sistema projetado. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 8. ANEXOS Obs.: A apresentação da proposta deve ser feita nos dias 22 e 24 de Maio de 2019. Já as apresentações finais serão realizadas nos dias 19, 24, 26 e 28 de Junho de 2019.

CREMALHEIRA  Cremalheira é uma engrenagem cilíndrica de dentes retos que possui um diâmetro primitivo infinitamente grande.  Elas possuem um número infinito de dentes e um círculo de base que está a uma distância infinita do ponto primitivo.  Os lados dos dentes da evolvente de uma cremalheira são linhas retas formando um ângulo com a  O passo de base é uma distância constante e linha de centros igual ao ângulo fundamental ao longo da linha normal comum. de pressão.  O passo de base relaciona-se com o passo  Os lados correspondentes dos circular pela equação: dentes da involuta são curvas paralelas. pb = pc cos

ENGRENAGEM ANELAR OU INTERNA

 Ambas as engrenagens têm centros de rotação do mesmo lado que o pontoprimitivo.  As posições dos círculos de adendo e dedendo, em relação ao círculo primitivo, são invertidas.  O círculo de adendo da engrenagem de dentes internos se situa-se dentro do círculo primitivo.

RAZÃO DE CONTATO  Quando duas engrenagens se conjugam, é essencial para uma operação suave que o segundo dente comece a fazer contato antes que o dente anterior tenha desengatado.  O termo razão de contato é usado para indicar o número médio de dentes em contato durante a transmissão de potência.  Uma razão de contato mínima recomendada é 1,2 mas combinações típicas de engrenagens de dentes retos apresentam valores iguais ou superiores a 1,5.  A linha de ação é o traçado reto de um dente desde o ponto em que ele encontra o diâmetro externo da engrenagem conjugada (b) até o ponto em que desengata (a).

RAZÃO DE CONTATO Uma fórmula adequada para a razão de contato, mf, é:

mf = Onde, = ângulo de pressão

Fórmulas para uso na aplicação do cálculo de razão de contato

= raio externo do pinhão = raio do círculo de base do pinhão = raio externo da engrenagem ou coroa = raio do círculo de base da engrenagem = distância de centro = passo circular

Exemplo considere um par de engrenagens com os seguintes dados: Np=18, Nc=64, P=8, esta situação.

=20°. Calcule a razão de contato para

RAZÃO DE CONTATO

 Para razão de contato entre 1 e 2, que são comuns para engrenagens de dentes retos haverá momentos durante o engrenamento em que um par estará recebendo toda a carga. Contudo, ocorrerá em direção ao centro da região de engrenamento onde a carga é aplicada em uma posição mais baixa do dente, em vez de ser na ponta do dele.  Esse ponto é chamado de o PONTO MAIS ALTO DE CONTATO DE UM SÓ DENTE ou HPSTC (Highest point of single-tooth contact).

INTERFERÊNCIA

INTERFERÊNCIA  Para certas combinações de números de dentes em um par de engrenagens, há INTERFERÊNCIA entre a ponta dos dentes do pinhão e raio de filete dos dentes da engrenagem.  As engrenagens não conseguirão entrar em malha.  A probabilidade de interferência é maior quando um pinhão pequeno aciona uma engrenagem grande, sendo pior ainda quando o pinhão aciona uma cremalheira.  É responsabilidade do projetista garantir que não haja interferência em determinada aplicação.  Se faz isso limitando o número mínimo de dentes do pinhão aos valores mostrados nas tabelas abaixo.

COMO SUPERAR A INTERFERÊNCIA: adelgaçamento  Se um projeto proposto sofrer interferência, há maneiras de fazê-lo funcionar.  Deve-se tomar cuidado pois a forma do dente ou o alinhamento das engrenagens conjugadas são alteradas.  Adelgaçamento é o processo de cortar o material no filete, ou na raiz, dos dentes da engrenagem, aliviando a interferência.  O processo de adelgçamento enfraquece o dente.

COM INTERFERÊNCIA

SEM INTERFERÊNCIA

RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO: razão entre as velocidades da engrenagem motora e movida

=

Onde, rotação da engrenagem motora, rpm rotação da engrenagem motora, rpm

RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO

ENGRENAGEM INTERMEDIÁRIA  Não altera a relação de transmissão.  Inverte o sentido de rotação da engrenagem movida: a.

se a quantidade for par, sentido inverso.

b.

se ímpar, mesmo sentido .

ESTÁGIOS DE REDUÇÃO  Grandes reduções → aumento do número de estágios.  Estágios: sistema em paralelo → mais de uma engrenagem acoplada ao mesmo eixo.  Para um único estágio → limitação de 5:1 (helicoidais e dentes retos) – não necessariamente obrigatória;

ESTÁGIOS DE REDUÇÃO  Limitar a velocidade relativa de deslizamento entre flancos;  Aumentar a eficiência do engrenamento;  Haver maior equilíbrio de capacidade entre as engrenagens motora e movida;  Minimizar o tamanho da coroa.

EXERCÍCIO 01: Uma engrenagem tem 44 dentes involutos, de profundidade total, com ângulo de pressão de 20°, e passo diametral de 12. Calcule: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

diâmetro primitivo passo circular módulo equivalente módulo padronizado mais próximo adendo dedendo folga profundidade total profundidade útil espessura do dente diâmetro externo

EXERCÍCIO 02: Um pinhão com passo de 8, 18 dentes, Calcule: a) b) c) d) e) f) g)

distância entre centros razão de velocidade velocidade da engrenagem velocidade da linha primitiva adendo passo circular e passo de base razão de contato

=20°, girando a 2450 rpm, se conjuga com uma engrenagem de 64 dentes.

EXERCÍCIO 03: Para os trens de engrenagens esboçados nas figuras abaixo, calcule velocidade de saída e o sentido de rotação do eixo de saída, considerando que o eixo de entrada gira a 1750 rpm no sentido horário. a) b) c) d)

use a figura 1. use a figura 2. use a figura 3. use a figura 4.

Figura 4

Figura 2 Figura 1

Figura 3

Para os problemas 04 a 07, todas as engrenagens são feitas no padrão involuto, de profundidade total e com ângulo de pressão de 20°. Encontre o que está errado nas seguintes afirmações: EXERCÍCIO 04. Um pinhão de passo 8 e 24 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 10 e 88 dentes. O pinhão gira a 1750 rpm, e a engrenagem, a aproximadamente a 477 rpm. A distância de centro é 5,9 pol. EXERCÍCIO 05. Um pinhão de passo 6 e 18 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 6 e 82 dentes. O pinhão gira a 1750 rpm, e a engrenagem, a aproximadamente a 384 rpm. A distância de centro é 8,3 pol. EXERCÍCIO 06. Um pinhão de passo 20 e 12 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 20 e 62 dentes. O pinhão gira a 825 rpm, e a engrenagem, a aproximadamente a 160 rpm. A distância de centro é 1,85 pol. EXERCÍCIO 07. Um pinhão de passo 16 e 24 dentes conjuga com uma engrenagem de passo 16 e 45 dentes. O diâmetro externo do pinhão é de 1,625 pol. O diâmetro externo da engrenagem é de 2,938 pol. A distância de centro é 2,281 pol. EXERCÍCIO 08. O eixo de entrada para o trem de engrenagens mostrado na figura 5 gira a 3450 rpm no sentido horário. Calcule a velocidade angular e a direção do eixo de saída.

Figura 5

ESFORÇOS ATUANDO SOBRE OS DENTES DAS ENGRENAGENS - Detalhamentos -

EXERCÍCIO 09. A figura mostra um redutor de velocidade com dois estágios de engrenagens. Pares idênticos de engrenagens são utilizados (esta condição faz com que o eixo a, de entrada, e c, de saída, sejam colineares, o que facilita a fabricação da caixa de engrenagem). O eixo b, intermediário, gira livremente apoiado nos mancais A e B, e fica sujeito apenas à ação das forças impostas pelos dentes das engrenagens. a)

Determine a rotação dos eixos b e c, em rpm, os diâmetros de passo (primitivo) do pinhão e da coroa, e o passo circular.

b)

Determine o torque suportados por cada um dos eixos a, b, e c, admitindo: i.

100% de eficiência do engrenamento para cada par de engrenagem.

ii.

95% de eficiência do engrenamento para cada par de engrenagem.

c)

Determine a força tangencial atuando sobre os dentes de cada engrenagem.

d)

Determine a força radial atuando sobre os dentes de cada engrenagem.

e)

Determine a força resultante atuando sobre os dentes de cada engrenagem. Dados: motor de 1 kW a 1200 rpm, N2=N4=21 dentes, N3=N5=62 dentes, P=5 e

=25°.

Hipóteses:  As engrenagens se conjugam ao longo do círculo primitivo;  Os eixos são todos paralelos;  As perdas por atrito nos rolamentos podem ser desprezadas;  Todas as cargas, radial e tangencial, são transmitidas no ponto primitivo;  As defexões por cargas de flexões nos eixos são desprezadas;  As engrenagens estão rigidamente ligadas aos seus eixos.

SOLUÇÃO a) Razão de velocidade:

mv=

=

=

=

Eixo a:

=

=

Eixo b:

=

x

=

Eixo c:

=

x

x

çã

x 1200 rpm = 406,47 rpm =

x

x 1200 rpm = 137,67 rpm

Diâmetro de passo (primitivo), D:

=

=

= 4,2 pol

=

=

= 12,4 pol

Passo circular, p:

p=

=

=

=

= 0,628pol

b) Potência e torque:

Potência (Watts, J/s) =

ç

( )

Potência (Watts, J/s) =

.

(

Torque no eixo a:

=

.

=

(

. .

.

)

x

x

/

x

.

x

.

i) 100% de eficiência Torque no eixo b:

=

= ,

.

=

,

.

Torque no eixo c:

=

= ,

.

=

,

.

= ,

.

)

ii) 95% de eficiência Torque no eixo b:

′ = ,

=

,

.

Torque no eixo c:

′ = ,

(

′ )= ,

(

,

) = 62,57 .

c), d), e) Determine as forças tangencial, radial e resultante atuando sobre os dentes de cada engrenagem

c a

5

2 P

FT32

FR32 F23 FT

F32 FR23

P FR45

F45 FR54

P

23

FT45

P 3 b

F54 FT54

4 b

Diagrama de corpo livre das engrenagens 2-3 e 4-5

Força tangencial FT23

Força tangencial FT45 =

= onde,

onde,

= 7,958 N.m 2 =

então:

=

2,1 pol = 53,34 mm

= 23,485 N.m 4 =

2,1 pol = 53,34 mm

então:

7,958 = = 149,19 N 0,05334

=

=

23,485 = 440,29 N 0,05334

Então a radial será:

Então a radial será:

= = 149,19 = 69,57 N Já a resultante será:

= = 440,29 = 205,31 N

25°

Já a resultante será:

=

=

=

=

69,57 25 = 164,61

205,31 = 25 = 485,80

=

25°

DIMENSIONAMENTO DE EIXOS

- Detalhamentos -

EXERCÍCIO 10. O problema a seguir foi retirado de uma situação real, sendo o eixo de um variador de velocidades com duas engrenagens. Nele são mostradas as dimensões axiais desse eixo intermediário com as duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, como mostrado na figura abaixo. As engrenagens e mancais estão apoiados por ressaltos e mantidos no lugar por anéis de retenção. As engrenagens transmitem torque por chavetas, onde suas forças tangenciais e radiais transmitidas ao eixo são: Ft23=2400 N;

Ft54=-10800 N;

Fr23=-870 N;

Fr54=-3900 N

Os sobrescritos t e r representam as direções tangencial e radial, respectivamente; e os subscritos 23 e 54 representam as forças exercidas pelas engrenagens 2 e 5 (não mostradas) nas engrenagens 3 e 4, respectivamente

Selecione um material apropriado para esse eixo, calculando os diâmetros de cada secção a fim de se ter suficiente capacidade em fadiga e de tensão estática para vida infinita do eixo, utilizando fatores mínimos de segurança de 1,5.

366,22 N.m

450,03 N.m 0

0

25,68 N.m

Diagrama do torque 0

2905,51 N 505,51 N 0

Diagrama de esforço cortante no plano XZ

Diagrama de momento fletor no plano XZ

0

0

182,09 N.m 79,79 N.m 0

-7894,49 N

Diagrama de momento fletor no plano XY

1570,51 N 700,51 N

415,63 N.m

0

0

485,47 N.m Sulco do anel

83,92 N.m

Diagrama de esforço cortante no plano XY

0

de retenção 323,65 N.m 233,54 N.m

3199,49 N

0

Diagrama de momento fletor resultante

0

 O ponto I é o ponto mais crítico do eixo. Nele o momento fletor é alto, existe um ressalto (com concentração de tensão), além do torque transmitido ao eixo pela presença das duas engrenagens. Tem-se em I, Ma = 415,63 N.m, Tm = 366,22 N.m, Mm = Ta = 0  Estimar Kt = 1,7 (flexão) e Kts = 1,5 (torção) da tabela abaixo para a primeira interação.  Assuma Kt = Kf = 1,7 e Kfs = Kts = 1,5  Aço especificado para o eixo: 1020 laminado a frio, Sut = 469 MPa

Estimativas da primeira interação para Kt e Kts

Por que tudo isso? Por causa dos fatores modificadores de Marin

Onde: Se é o limite de fadiga no local crítico de um elemento de máquina para determinada geometria e condição de uso.

Fator de superfície, ka O fator de modificação de superfície depende da qualidade do acabamento da superfície da peça verdadeira e da resistência à tração do material da peça.

= = ,

,

= ,

Valores capturados dos gráficos de limite de fadiga versus limite de resistência

Fator de tamanho, kb

Supondo nosso eixo com d=20mm, encontra-se kb=0,9

Obs.: verificar depois com o verdadeiro d for encontrado.

Fazendo, kc = kd = ke = kf = 1 (por quê? Veja nos slides seguintes a explicação de cada um deles)

Fator de carregamento, kc

Ensaios por flexão rotativa, por cargas uniaxial e torcional têm limites de fadiga que diferem quando se compara com o limite de resistência.

Fator de temperatura, kd Não existe limite de fadiga (limite de endurança) para materiais que operam em altas temperaturas. Neste caso o processo de falha tempo apenas do tempo.

= kd

Fator de confiabilidade, ke e Limite de fadiga rotativa para o aço do eixo, S’e O fator de confiabilidade leva em conta o espalhamento de dados mostrados no gráfico abaixo, em que o limite de fadiga é mostrado como S’e/Sut = 0,5 ou como apresentado pela equação,

Fator de efeito diversos, kf O fator kf leva em conta a redução do limite de fadiga em razão de todos os outros efeitos não descritos anteriormente. É um fator modificador a mais, tendo em vista que valores reais de kf não estão sempre disponíveis.

 TENSÕES RESIDUAIS, podem ou não melhorar o limite de fadiga;  BANDEAMENTO DA ESTRUTURA CRISTALINA;  ENDURECIMENTO SUPERFICIAL; Por exemplo:

 CORROSÃO;  REVESTIMENTO ELETROLÍTICO;  FREQUÊNCIA CÍCLICA, ruim com temperatura;  PULVERIZAÇÃO METÁLICA;

Daí, tem-se que

Logo,

Se =

,

,

( )( )( ,

) = 186,35 MPa

Cálculo do diâmetro (D5) no ponto I, no ressalto. Primeira estimativa utilizando o critério de falha por fadiga DE-Goodman Modificado. Assumindo: Mm = Ta = 0; Ma = 415,63 N.m, Tm = 366,22 N.m; Kf = 1,7, Kfs = 1,5; n=1,5; Sut = 469 MPa e Se = 186,35 Mpa.

0 0

Obs.:

Cuidado com as unidades: Se e Sut devem ser convertidas para N/m2. Ex.: 469 MPa = 469 x 106 N/m2

d = D5 = 0,4188 m = 41,88 mm

CURVAS DE FALHAS POR FADIGA – critérios de escoamento  Os cinco critérios de falhas mais utilizados em projeto: Soderberg, Goodman modificado, Gerber, ASME-elíptico e Langer escoamento.

REVISANDO CRITÉRIOS DE FALHAS Materiais frágeis: 1) teoria da máxima tensão normal – critério de Rankine, 2) teoria de Coulomb-Mohr, e 3) Teoria modificada de Mohr 

teoria da máxima tensão cisalhante – critério de Tresca;



teoria da máxima energia de distorção critério de Von Mises

Materiais dúcteis

á

=

− 2

’ e chamada de tensão efetiva de Von Mises, em homenagem a esse estudioso da mecânica dos sólidos

’ ≥ LE, nessa condição ocorreria escoamento Para tensão plana:

Com todas tensões do tensor bidimensional:

Utilizando todas as tensões do tensor tridimensional: 94

TENSÕES EM EIXOS As tensões flutuantes devido à flexão e torção em um eixo são dadas por:

Substituindo os momentos de inércia e os momentos polar de inércia nas equações, assumindo secção transversal circular para esses eixos sólidos, tem-se:

Onde, Mn e Ma são os momentos fletores médio e alternante, Tm e Ta são os torques médio e alternante e Kf e Kfs são os concentradores de tensão de fadiga para flexão e torção. Usando a teoria da máxima energia de distorção se tem as tensões de Von Mises para eixos rotativos, circulares sólidos, desprezando as cargas axiais.

95

CURVAS DE FALHAS POR FADIGA Por exemplo, o critério de falha por fadiga para a linha de Goodman Modificado, como expresso previamente, é:

Substituindo ’a e ’m das equações anteriores, resulta em:

Agora em função do diâmetro do eixo, tem-se:

 Selecione um diâmetro de tamanho redondo, cheio, no caso D5 = 42 mm.  Uma proporção razoável para este ressalto seria D4/D5 = 1,2, assim D4 = 1,2 x 42 mm = 50,4 mm. Use D4 = 50 mm e verifique a razoabilidade desta estimativa. D4/D5 = 50/42 = 1,19  Assuma o raio do filete r = D5/10 ~ 4mm r/D5 = 0,1

Kt = 1,6 (fig. A-13-9) do Shigley q = 0,82 (fig. 6.20) do Shigley p/ Sut = 469 Mpa ou 0,469 Gpa)

Como,

Kf = 1 + 0,82 (1,6 – 1) = 1,49

Kf = 1,49 Aços e ligas de Al submetidos à flexão reversa ou cargas axiais

 Selecione um diâmetro de tamanho redondo, cheio, no caso D5 = 42 mm.  Uma proporção razoável para este ressalto seria D4/D5 = 1,2, assim D4 = 1,2 x 42 mm = 50,4 mm. Use D4 = 50 mm e verifique a razoabilidade desta estimativa. D4/D5 = 50/42 = 1,19  Assuma o raio do filete r = D5/10 ~ 4mm r/D5 = 0,1

Kts = 1,35 (fig. A-13-8) do Shigley qs = 0,95 (fig. 6.21) do Shigley Como,

Kfs = 1 + 0,95 (1,35 – 1) = 1,33

Kfs = 1,33

Sensitividade ao entalhe para materiais em torção reversa

 Continuando como os outros fatores modificadores de Marin, tem-se:

ka = 0,883 (continua o mesmo) =(

,

)

,

= ,

kc = kd = ke = kf = 1 (Veja nos slides anteriores a explicação de cada um deles)

Como,

Se =

,

,

( )( )( ,

) = 171,86 MPa

 Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises, tem-se:

0 =

0 =

 Substituindo na curva de Goodman Modificado, tem-se:

1

=

85,14 57,99 = + = 0,62 171,86 469

+

= 1,61  Teste o escoamento do eixo por: Da tabela A-20, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa.

=

(

+

)

=

390 = 2,72 (85,14 + 57,99)

,

,

=

, ,

, ,

,

=

,

 O rasgo de chaveta é outro ponto crítico, por isso o ponto J, no meio da chaveta, será verificado. O momento fletor total no ponto J é de M = 485,47 N.m.  Assuma que o raio no fundo da ranhura da chaveta Seja padronizado r/d=0,02. Tabela ao lado.

r = 0,02d = 0,02 x 42 mm = 0,84 mm Kt = 2,14 (tabela ao lado) e q = 0,65 (figura abaixo, direita). Como, Kf = 1 + 0,65 (2,14 – 1) = 1,74

Estimativas para Kt e Kts em rasgos de chavetas – Tabela 7-1, Shigley.

Kts = 3,0 (tabela ao lado) e qs= 0,9 (figura abaixo)

Kfs = 1 + 0,9 (3 – 1) = 2,8

Aços e ligas de Al submetidos à flexão reversa ou cargas axiais

 Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises para o fundo da chaveta, tem-se:

0 ,

=

,

=

= ,

=

+

=

,

0

1

,

, ,

=

,

,

116,14 122,09 = + = 0,9361 171,86 469

•

Reprovado no critério do fator de segurança mínimo de n=1,5;

•

Aumenta-se o diâmetro desse eixo e refaz os cálculos;

•

Muda-se para um material mais resistente. Nesse caso, recalcule o n da chaveta (passo anterior) para o novo material, mantendo o mesmo diâmetro

 Teste o escoamento do eixo por: Da tabela A-18, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa.

=

(

)

=

(

,

,

)

=1,64

 Sulco para o anel de retenção é outro ponto crítico, por isso o ponto K será verificado. O momento fletor total no ponto K é de M = 323,65 N.m, já o torque é zero, T=0.  Medidas para sulcos de anel de retenção em diâmetro de 42 mm: largura, a = 1,73 mm, profundidade, t = 1,22 mm, e raio de canto no fundo do sulco, r = 0,25 mm.  a/t = 1,73/1,22 = 1,42 r/t = 0,25/1,22 = 0,205 Kt = 4,3 (figura ao lado) e q = 0,5 (figura abaixo, direita). Como, Kf = 1 + 0,5 (4,3 – 1) = 2,65

Não temos Kfs porque o torque é zero. Os gráficos estão aí embaixo. Figura A.15.16, do Shigley

Figura A.15.17, do Shigley

Aços e ligas de Al submetidos à flexão reversa ou cargas axiais

 Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises para o sulco do anel de retenção, tem-se:

0 =

+

=

, ,

+

= 0,686

(aceitaremos este valor pelo fato do critério Goodman Modificado ser muito conservador).

 Teste o escoamento do eixo por: Da tabela A-18, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa.

(

+

,

=

= ,

=

,

0

0

=

,

390 = = 3,30 ) (117,91 + 0)

=

,

 Ressalto do mancal de rolamento é outro ponto crítico. Somente flexão está presente, e o momento é muito pequeno, no entanto, o diâmetro por ser baixo e a concentração de tensão muito alta para um filete pontudo requerido para um mancal de rolamento.  Do diagrama, no ressalto do mancal de rolamento, Ma = 233,54 N.m e Mm = Tm = Ta = 0.  Estime Kt = 2,7 e r/d=0,02 (tabela ao lado), d = 25 mm (já vi no catálogo de rolamentos), portanto:

r = 0,02d = 0,02 x 25 mm = 0,5 mm

Estimativas para Kt e Kts em rasgos de chavetas – Tabela 7-1, Shigley.

q = 0,6 (figura abaixo, direita).

Como, Kf = 1 + 0,6 (2,7 – 1) = 2,02

Aços e ligas de Al submetidos à flexão reversa ou cargas axiais

 Atualizando as NOVAS tensões de Von Mises para o ressalto do mancal de rolamento, tem-se:

0 =

=

, ,

=

,

0

0

1

,

=

307,53 0 = + = 1,79 171,86 469

+ = ,

(MAIS UM PONTO REPROVADO)

 Teste o escoamento do eixo por: Da tabela A-18, do Shigley: aço 1020 laminado a frio, LE=390 MPa.

=

(

+

)

=

390 = 1,27 (MAIS UM PONTO REPROVADO) (307,53 + 0)

CONCLUSÃO DESSE PROJETO  O Aço especificado para o eixo, AISI 1020 laminado a frio, com Sut = 469 MPa FOI APROVADO para este projeto.

 Possíveis soluções:

? ? D1 = D7 = 25 mm

 Diâmetros especificados:

D2 = D6 = 35 mm D3 = D5 = 42 mm D4 = 50 mm

NÃO VALIDADO PARA O AÇO AISI 1020

DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS

- Detalhamentos -

CHAVETAS  Chavetas são elementos mecânicos que permitem a transmissão do movimento de um eixo para cubos como os de engrenagens e polias. São geralmente feitas de aço com formas que variam de acordo com as características de trabalho e tipos de esforços.  Ela é instalada em um sulco axial usinado no eixo, chamado de assento.  A fabricação do rasgo de chavetas é feita com a utilização de máquinas de fresa que retiram material do eixo.

TIPOS DE CHAVETAS

de disco, Woodruff ou corredor de trenó

Tamanho da chaveta em função do diâmetro do eixo

MATERIAIS USADOS EM CHAVETAS

39,5

272

54

372

ANÁLISE DE TENSÃO PARA DETERMINAR O COMPRIMENTO DE CHAVETA Há dois modos básicos de falha em chavetas que transmitem potência: (1) por cisalhamento na interface eixo/cubo, e (2) por compressão causada pelas reações na face de contato entra a chaveta e o eixo ou cubo. Comprimento mínimo de chaveta exigido para cisalhamento

 A magnitude da força de cisalhamento é dada por: =

/

 A tensão de cisalhamento é, =

=

( / )(

)

=

 Em projetos, a tensão de cisalhamento pode ser igual à tensão máxima predita pela teoria de falha por cisalhamento: = ,

/

Então, o comprimento exigido para a chaveta é =

(

)

ANÁLISE DE TENSÃO PARA DETERMINAR O COMPRIMENTO DE CHAVETA Comprimento mínimo de chaveta exigido para compressão  A área em compressão é igual para qualquer uma dessas zonas, Lx(H/2). Assim, a falha ocorre na superfície com a menor tensão de escoamento à compressão.  Seja definida uma tensão de projeto para compressão como =

/

 Logo, a tensão de compressão é =

=

= ( )( )( )

Então, o comprimento exigido para a chaveta é =

(

)

DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS

- Detalhamentos -

TENSÕES EM ENGRENAGEM CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS  Há dois modos de falha que afetam os dentes de engrenagem: fratura por fadiga devido às tensões variadas de flexão na raiz do dente e fadiga superficial (crateração) das superfícies do dente. Ambos os modos de falha devem ser verificados quando se projetam engrenagens.  A crateração é modo mais comum de falha, embora possa ocorrer desgaste por abrasão ou adesivo (marcas), especialmente se as engrenagens não forem lubrificadas em serviço adequadamente

Estudo fotoelástico de dentes de engrenagem sob carregamento

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM A equação de tensões de flexão de Lewis (AGMA) com definida no padrão 2001-B88 da AGMA é válida somente para certas hipóteses a respeito do dente e da geometria de engrenamento:

 A razão de contato está entre 1 e 2.  Não interferência entre as pontas e os filetes de raiz dos dentes acoplados e não há adelgaçamento dos dentes abaixo do início teórico do perfil ativo.  Nenhum dente é pontudo.  A folga de engrenamento não é nula.  Os filetes de raiz são padronizados, supõe-se que sejam suaves, e são produzidos por um processo de geração.  As forças de atrito são desprezadas.

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM

=

.

=

Onde, I é o momento de inércia da secção; e c é a distância à linha neutra

M=

.

.

=

c=

substituindo, tem-se

=

considerando que a tensão máxima ocorre no ponto a, podese dizer por similaridade de triângulos que,

/

=

/

.. .

=

=

.. .

.

=

. . .

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM Reescrevendo a equação, tem-se

=

. . .

=

=

agora substituindo o valor de x oriundo da similaridade de triângulo anterior, tem-se

= multiplicando-se o numerador e denominador pelo passo circular, p, encontra-se

= escrevendo

=

=

= começa-se a entender a original eq. de Lewis

=

. .

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM =

Onde o fator y da

é conhecido como o fator de forma de Lewis

. .

multiplicando-se o numerador e denominador por , tem-se

=

. .

como,

P.p=

logo,

=

.

onde, P é o passo diametral e p é o passo circular

Y, fator de forma EQUAÇÃO DE LEWIS

=

. .

.

em função do passo diametral

ou

=

.

. .

em função do módulo

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM EQUAÇÃO DE LEWIS

=

. .

.

=

ou

Y= .

tem-se que

Y=

P.p=

. .

em função do módulo

em função do passo diametral

como,

.

e

=

apenas relembrando que

=

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM EQUAÇÃO DE LEWIS

=

. .

.

ou

=

.

. .

 Wilfred Lewis desenvolveu em 1892 a primeira equação útil para as tensões de flexão em um dente de engrenagem;  A componente radial é ignorada porque ela põe o dente em compressão;  A equação de Lewis não é mais utilizada em sua forma original, mas ela serve como base para uma nova versão mais moderna proposta pela AGMA;  A equação foi aumentada com fatores adicionais para levar em conta mecanismos de falha que só foram entendidos mais tarde;

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM EQUAÇÃO DE LEWIS

=

. .

.

.

ou

=

.

. .

.

 Embora a base teórica para a análise de tensão dos dentes da engrenagem seja apresentada, a equação de Lewis deve ser modificada para a prática de projeto e análise;  O valor do fator de concentração de tensão depende da forma do dente, do formato e do tamanho do filete na raiz do dente e do ponto de aplicação da força sobre o dente;  Observe que o valor do fator de forma de Lewis, Y, depende da geometria do dente;  Portanto, os dois fatores se tornam um único termo, o fator geométrico J, onde J=Y/Kt. O valor de J também muda de acordo com a localização do ponto de aplicação de força sobre o dente, pois Y e Kt variam;  Seu fator de forma Y foi suplantado por um novo fator geométrico J, que inclui os efeitos da concentração de tensão na raiz do filete.

TENSÃO DE FLEXÃO NOS DENTES DA ENGRENAGEM EQUAÇÃO DE LEWIS MODIFICADA

=

. .

.

ou

=

.

. .

 A equação acima pode ser chamada de equação de Lewis modificada.  Outras alterações na equação são recomendadas pela AGMA na norma 2001-D04 a fim de que o projeto prático leve em conta a variedade de condições que podem ser encontradas no funcionamento.  A abordagem da AGMA é aplicar uma série de fatores modificadores adicionais à tensão de flexão da equação de Lewis modificada para calcular um valor de chamado número de tensão de flexão, st.  Esses fatores representam o grau em que a superfície real do carregamento difere da base teórica da equação de Lewis.

FATOR GEOMÉTRICO, J

FATOR GEOMÉTRICO, J

NÚMERO DE TENSÃO DE FLEXÃO, st  O método de análise de projeto adotado aqui tem por base, a norma AGMA 2001D04. Alguns fatores que não estão na norma foram extraídos de outras fontes.  Esses fatores modificadores ilustram os tipos de condição que afetam o projeto final.  O projetista, basicamente, tem a responsabilidade de tomar as decisões para o seu projeto

st =

. .

.

ko. ks. km. kb. kv st =

.

. .

ko. ks. km. kb. kv

ko, fator de sobrecarga para resistência à flexão ks, fator de forma para resistência à flexão km, fator de distribuição de carga para resistência à flexão kb, fator de espessura de borda kv, fator dinâmico para resistência à flexão

Fator de sobrecarga, ko  Os fatores de sobrecarga consideram a probabilidade de que variações de carga, vibrações, impactos, mudanças de velocidade e outras condições específicas à aplicação resultem em carga de pico superiores a Ft sendo aplicadas nos dentes da engrenagem durante a operação.

Fator de forma, ks  A AGMA indica que o fator de forma pode ser considerado 1,00 para a maioria da engrenagens. No entanto, para engrenagens com dentes grandes ou larguras de face amplas, um valor superior a 1,00 é recomendado. Daí, a sugestão na tabela ao lado.

Fator de distribuição de carga, km  Se a intensidade do carregamento em todas as partes dos dentes em contato, em qualquer momento, for uniforme, o valor de km será 1,00. Qualquer um dos seguintes fatores pode causar um desalinhamento dos dentes do pinhão em relação aos da engrenagem:

O projetista pode minimizar o fator de distribuição de carga especificando o seguinte:

1.

Dentes imprecisos na engrenagem.

1.

Dentes precisos.

2.

Desalinhamento dos eixos que sustentam as engrenagens.

2.

Larguras de face estreitas

3.

Engrenagens centralizadas entre os rolamentos (montagem aberta).

4.

Vãos de eixos curtos entre os rolamentos.

5.

Diâmetros grandes de eixos (alta rigidez).

6.

Carcaças rígidas e duras.

7.

Alta precisão e pequenas folgas em todos os componentes da transmissão.

3. 4.

Deformações elásticas de engrenagens, eixos, rolamentos, carcaça e estruturas de apoio. Folgas entre os eixos e as engrenagens, entre os eixos e os rolamentos ou entre os rolamentos e a carcaça.

5.

Distorções térmicas durante a operação.

6.

Abaulamento ou chanfro da ponta dos dentes da engrenagem.

 A seguinte equação será utilizada para calcular o valor do fator de distribuição de carga:

= , +

+

Cpf, fator de proporção do pinhão Cma, fator de correção de alinhamento de malha

 Qualquer desalinhamento axial ou desvio na forma do dente fará com que a carga transmitida, Ft, seja distribuída desigualmente sobre a largura da face dos dentes da engrenagem.

Engrenamento aberto:

= ,

+ ,

Unidades de engrenagens fechadas de qualidade industrial: Unidades de engrenagens fechadas de precisão: Unidades de engrenagens fechadas de alta precisão:

− , = ,

+ ,

− ,

= ,

+ ,

− ,

= ,

+ ,

− ,

Fator de espessura de borda, kb  Um dente de engrenagem se comporta como uma viga em balanço engastado numa estrutura de apoio perfeitamente rígida. Isso somente é verdade se o disco for completamente sólido. Existem engrenagens raiadas com objetivo de diminuir peso, no entanto, para esse tipo de engrenagem kb=1. Preocupação maior fica apenas com os PINHÕES CHAVETADOS.

Fator dinâmico, kv  O fator dinâmico considera que a carga é admitida por um dente com algum grau de impacto e que a carga real submetida ao dente é maior do que somente transmitida. Essas cargas de vibração são piores em engrenagens de baixa precisão.

Fator dinâmico, kv

EXERCÍCIO 11. Calcule os números da tensão de flexão para o pinhão e a engrenagem (par conjugado qualquer). O pinhão gira a 1750 rpm, acionado diretamente por um motor elétrico. A máquina acionada é uma serra industrial que exige 25 HP. A unidade da engrenagem é fechada e feita conforme os padrões comerciais. As engrenagens têm montagem aberta entre os rolamentos. Os seguintes dados se aplicam: Np=20, NC=70, P=6, b=2,25 pol, Av=10 Os dentes da engrenagem são involutos de profundidade total e com ângulo de pressão de 20°, e os discos são sólidos. SOLUÇÃO:

st =

.

. .

ko. ks. km. kb. kv

Dp = Np/P = 20/6 = 3,333 pol

Ft =

=

25

745,7 1

7,75

Vt = 1 1 .

1 . 1

p

. (Dp/2) =1750

= 2405,48

,

,

= 7,75

J = 0,33 (Fator geométrico do pinhão)

k = 1,5 (Fator de sobrecarga) – motor elétrico, suave, que aciona uma serra industrial, moderada. k = 1,00. (Fator de forma) – dentes com P=6, considerados pequenos, segundo a tabela de ks. = 1,0 + =

+

=

, ,

(Fator de distribuição de carga)

= 0,68

= 0,058 (usando a equação para 1,0 ≤ F(b) < 15) = 0,162 (usando a equação de unidades de engrenagens fechadas industriais) = 1,0 + 0,058 + 0,162 = 1,22

/

k = 1,0 (Fator de borda) – porque as engrenagens são construídas de discos sólidos k = 1,41 (Fator dinâmico) – pelo gráfico, utilizando Vt=7,75m/s e Av=10.

A tensão pode, agora, ser calculada pelo número de tensão de flexão st. Avaliaremos primeiro a tensão no pinhão:

stp =

. .

stp =

. .

.

.

ko. ks. km. kb. kv = . ko. ks. km. kb. kv =

, ,

, ,

,

,

.

( )

,

x1,5 x 1,0 x 1,22 x 1,0 x 1,41= 77,74 MPa

x1,5 x 1,0 x 1,22 x 1,0 x 1,41= 11275,55 lbf/pol2 (psi)

Observe que todos os fatores na equação da tensão são os mesmos para a engrenagem, exceto o valor do fator geométrico. J = 0,415 (Fator geométrico da engrenagem)

=

=

,

, ,

=

,

=

=

,

, ,

=

Estas tensões serão usadas para determinar as propriedades de resistência e dureza do material com o qual as engrenagens serão fabricadas.

,

TENSÃO DE CONTATO NOS DENTES DA ENGRENAGEM  Além de serem resistentes à flexão, os dentes da engrenagem também devem ser capazes de operar durante o tempo desejado sem que haja corrosão por pite em sua forma.  Corrosão por pite é o fenômeno em que pequenas partículas são removidas da superfície das faces do dente por causa de altas tensões de contato, resultando em fadiga.

Estudo fotoelástico de dentes de engrenagem sob carregamento

 Uma operação prolongada após o início da corrosão por pite faz os dentes ficarem ásperos, e a forma acaba se deteriorando. Em pouco tempo ocorre a falha.  Por conta da elasticidade do material, o formato do dente se deforma levemente fazendo a força transmitida atuar sobre uma pequena área retangular.  A tensão resultante é chamada de Tensão de Contato ou Tensão Hertz. De contato dinâmico em combinação com rolamento e deslizamento.

TENSÃO DE CONTATO NOS DENTES DA ENGRENAGEM  As tensões de superfícies nos dentes de engrenagem foram investigadas pela primeira vez por Buckinghan.  Seu trabalho levou ao desenvolvimento de uma equação para tensões de superfícies em dentes de engrenagem que é agora conhecida como a equação de Buckinghan.  Ela serve como base para a fórmula de resistência à crateração de AGMA – TENSÃO DE CONTATO - que é:

c

=

= .

.

[

−

+

−

Onde: Cp = coeficiente elástico (que leva em conta as diferenças nas constantes dos materiais do pinhão e engrenagem).

Ft = força tangencial no dente b = largura de face Dp = diâmetro primitivo do pinhão (diâmetro de referência da menor das duas engrenagens no engrenamento).

I = fator geométrico de superfície para resistência à crateração

Fator geométrico do pinhão de dentes retos externos, I

Fator geométrico do pinhão de dentes retos externos, I

Coeficiente eástico, Cp (extraídos da AGMA 2001-D04, para =0,30 e unidades de Cp são (lbf/pol2)0,5 ou (MPa)0,5.

NÚMERO DE TENSÃO DE CONTATO, sc  Tal como acontece com a equação para tensão de flexão nos dentes da engrenagem, vários fatores são adicionados à equação para tensão de contato, como mostrado a seguir.  A quantidade resultante é chamada de número de tensão de contato, sc:

sc =

.

. . . . .

 Os valores para os fatores modificadores acima podem ser considerados os mesmos em relação àqueles correspondentes para a análise de tensão de flexão.  A equação acima é utilizada para calcular a tensão de contato tanto do pinhão quanto da engrenagem. As tensões são as mesmas.  Não é correto usar o diâmetro da engrenagem, Dc.

EXERCÍCIO 12. Calcule o número de tensão de contato para o par de engrenagens descrito no exercício 11. Os dados no exercício estão resumidos a seguir: Np=20

b=2,25 pol (0,05715 m)

ko=1,5

kv=1,41

NG=70

Ft=2405,48 N (540,77 lbf)

ks=1,0

P=6

Dp=3,333 pol (0,08469 m)

km=1,22

Os dentes da engrenagem são involutos, de profundidade total e com ângulo de pressão de 20°. SOLUÇÃO: Precisamos do fator geométrico, I, para resistência à corrosão por pite:

=

I = 0,108

=

70 = 3,5 20

e

Np=20

Suponha que na análise de projeto para resistência à flexão foram usadas duas engrenagens de aço. Da tabela de Cp:

= 2300 Portanto, o número de tensão de contato é, sc = 191 sc =

,

( )

,

,

,

, , ,

(

)

, ,

,

, ,

( ) , (

, )

, ,

= 191 =

, ,

(

)

Este valor é utilizado tanto para o pinhão quanto para a engrenagem

= 191

,

=

,

DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS  Podemos usar as seguintes relações para nos orientar no processo de especificação de materiais adequados para engrenagens.

<

<

e

 Os ajustes são feitos em cima de dados publicados para sat e sac que serão discutidos nos slides a seguir.  As condições para esses dados são as seguintes:  Temperatura operacionais acima de 0°C e abaixo de 121°C;  Materiais expostos a 107 ciclos de carregamento;  Confiabilidade esperada de 99%, ou seja, menos de uma falha em 100;  Fator de segurança, SF, de 1,00;

 Os ajustes para sat e sac considerados aqui assumem a forma

<

=

Onde:

(

)(

)

e

SF = fator de segurança KR = fator de confiabilidade YN = fator de para tensão de resistência à flexão

<

=

(

)(

)

ZN = fator de para tensão de resistência à corrosão por pite

DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS Calculando sat e sac, tem-se:

á

>

á

>

(

)(

)

(

)(

)

e

É preciso observar aqui que, para transmissões por engrenagem com vida útil relativamente longa, o projeto será regido, na maioria da vezes, pela resistência à corrosão por pite.

DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS  Fator de segurança: o valor de SF é geralmente considerado 1,0 porque a maioria das incertezas envolvidas no cálculo da tensão de flexão e de contato estão inclusas nas equações para sat e sac pelos fatores ko, ks, km, kb e kv.  Fator de confiabilidade: a tabela ao lado mostra valores típicos para KR, e a escolha de qual deles aplicar é uma decisão de projeto

Fator de confiabilidade, KR

 Vida útil desejada para a transmissão: a tabela indica um conjunto de valores recomendados de vida útil em horas de operação. A faixa de 20000 a 30000 horas para máquinas industriais em geral é uma escolha razoável. Obs.: vida útil em (horas)/(ano x turno)

Vida útil de projeto recomendada

DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS É necessário ter o número de ciclo de carga, que pode ser calculado pela seguinte equação: =

( )( )

Onde, Nc = número esperado de ciclos de carga L = vida útil do projeto em horas por ano por turno n = velocidade angular da engrenagem em rpm q = número de aplicações de carga por revolução Exemplo do pinhão do exercício 11 =

=

/

/

= ,

DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS  Fator de ciclo de tensão: as duas figuras a seguir mostram os valores recomendados de YN para tensão de flexão e ZN para tensão de contato em engrenagens de aço (apenas). Existem outros gráficos semelhantes para engrenagens dos NÃO ferrosos e de plásticos. Fator de ciclo para tensão de resistência à corrosão por pite, ZN.

DIRETRIZES PARA ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS Fator de ciclo para tensão de resistência à flexão, YN.

EXERCÍCIO 13. Especifique materiais adequados para o pinhão e a engrenagem da transmissão dos exercícios 11 e 12. Use os resultados deles para tensão de flexão e a tensão de contato calculadas. Projete de modo a obter confiabilidade de 0,999, ou seja, menos de uma falha em 1000. A aplicação do projeto é uma transmissão para serra industrial de operação normal, com único turno e frequência de cinco dias por semana. Resultados: np=1750 rpm

stp=11.275,55 psi (77,74 MPa)

nc=500 rpm

stc=8.966,10 psi (61,82 MPa) sc=95.508,92 psi (658,04 MPa)

SOLUÇÃO Passo 1. Decisão de projeto: escolha SF=1 com fator de segurança; Passo 2. Decisão de projeto: pela tabela encontre KR=1,25 para confiabilidade de 0,999; Passo 3. Decisão de projeto: cálculo do número de ciclos de trabalho com base na vida útil

=

=

=

=

/

/

/

/

Passo 4. Calculando pelas equações do gráfico: YNp= 0,90; YNc= 0,92 (para tensão de flexão) ZNp= 0,85; ZNc= 0,88 (para tensão de contato)

= , = ,

Passo 5. Partindo do princípio de que a tensão de contato no pinhão orientará o projeto, adote a equação a seguir da tensão de contato do pinhão

á

>

á

>

(

)(

)

(

)(

)

=

( , )( , ) = ( , )

,

=

,

( , )( , ) = ( , )

,

,

Consulte o gráfico para “número de tensão de contato admissível, sac, para engrenagens de aço com têmpera completa” para avaliar a aceitabilidade desse nível de tensão de contato. Para aços da classe 1, tem-se que a dureza superficial exigida para um dente com têmpera completa é de HB 340, um resultado satisfatório. Ou, pode-se usar a equação:

á

− ,

=

,

=

,

−

,

,

=

Passo 6. O cálculo para a tensão de contato exigida para a engrenagem é:

á á

> >

(

)(

)

(

)(

)

= =

, ,

( , )( , ) = ( , ) ( , )( , ) = ( , )

, ,

É comum que a tensão de contato na engrenagem seja menor do que a do pinhão, mas muito próxima em termos de valor

Passo 7. Calculemos agora as tensões de flexão admissível exigidas para o pinhão e engrenagem:

á

>

á

>

(

)(

)

(

)(

)

=

( , )( , ) = ( , )

,

=

,

( , )( , ) = ( , )

,

,

A comparação desses valores com a dureza necessária do aço para a flexão mostra que uma dureza baixa é exigida, bem abaixo de HB 180 ~ 37 – o limite para a classe 1. Isso comprova que a tensão de contato direciona o projeto.

á

=

− ,

,

=

,

− ,

,

=

,

Passo 8. O passo final é especificar o material e seu tratamento térmico, nesse caso, com base na tensão de contato no pinhão, para a qual HB 345 é exigida. A tabela ao abaixo recomenda ligas SAE 1045, 4140 e 4340, todos na faixa de 0,40% de C.

Qualquer uma das três ligas e seus tratamentos térmicos seria satisfatório, mas fatores como disponibilidade, custo, fornecimento e usinabilidade poderiam afetar a decisão. Eu escolheria o SAE 1045. Por quê?

Número de tensão de contato admissível, sac, para engrenagens de aço com têmpera completa.

Classe 1: é considerado o padrão básico de aços, são os aços ao carbono. Muito mais econômicos do que os da classe 2. Classe 2: exige um grau mais elevado de controle da microestrutura, composição química, maior pureza, tratamento térmico, valores de dureza no núcleo e outros fatores

Número de tensão de flexão admissível, sat, para engrenagens de aço com têmpera completa.

Diretrizes para ajustes nas iterações do projeto  A diminuição do passo diametral resulta em dentes maiores e, em geral, tensões menores. Um passo menor significa largura de face maior, diminuindo a tensão e aumentando a durabilidade superficial;  O aumento do pinhão diminui a carga transmitida, costuma reduzir a tensão e melhora a durabilidade;  O aumento da largura de face diminui a tensão e melhora a durabilidade, mas, em geral, em menor grau do que as alterações no diâmetro de passo;  Engrenagens com dentes menores e em maior número tendem a funcionar com mais suavidade e menor ruído;  O emprego de aços de alta liga e dureza superficial elevada produz o sistema mais compacto, mas com maior custo;  A utilização de engrenagens muito precisas resulta em um índice de qualidade mais elevado, cargas dinâmicas menores e, por conseguinte, tensões menores e durabilidade superficial melhorada, mas com custo maior;  O número de dentes do pinhão deve ser, em geral, o menor possível para que o sistema seja compacto. Contudo, a possibilidade de interferência é maior com poucos dentes.

ESPECIFICAÇÃO DE MANCAIS DE ROLAMENTOS

- Detalhamentos -

MANCAL DE ELEMENTOS ROLANTES  Os rolos são conhecidos desde tempos ancestrais como meio de mover objetos pesados, e há evidências do uso de mancais de esferas no século I a.C. No entanto, foi no século 20 que materiais melhores e tecnologia de manufatura permitiram que fossem feitos mancais precisos de elementos rolantes.  A necessidade de mancais para velocidades mais altas, com resistência a temperaturas mais elevadas e baixo atrito foi engendrada pelo desenvolvimento de turbinas a gás para aviões.  Esforços consideráveis de pesquisa desde a segunda guerra mundial resultaram em mancais de elementos rolantes de alta qualidade e alta precisão disponíveis a preços bastante razoáveis.  É interessante observar que, desde os primeiro projetos de mancais ao redor de 1900, mancais de esferas e rolos foram padronizados mundialmente em tamanhos métricos.  É possível remover um mancal de rolamentos de uma roda de um automóvel antigo feito em qualquer país nos anos 1920, por exemplo, e encontrar um substituto que caiba buscando nos catálogos atuais dos fabricantes de mancais. O novo mancal será muito melhor que o original em termos de projeto, qualidade e confiabilidade, mas ele terá as mesmas dimensões externas.  Materiais: a maioria dos mancais modernos de esferas é feita de aço AISI 5210 e endurecida a um alto grau, inteiramente ou somente na superfície. Essa liga é endurecível completamente a HRC 61-65. Mancais de rolos são frequentemente feitos de ligas de aços endurecíveis AISI 3310, 4620 e 8620.

MANCAL DE ROLAMENTO DEFINIÇÃO: Mancais são elementos que servem de apoio para eixos girantes, deslizantes ou oscilantes e que suportam os esforços por eles transmitidos. Podem ser subdivididos em: mancais de deslizamento, de rolamentos. MANCAIS DE ROLAMENTOS: Em geral, consistem de elementos rolantes como esferas, agulhas ou cilindros confinados entre dois anéis concêntricos. São mancais de atrito menor devido à redução do escorregamento.

TIPOS DE ELEMENTOS ROLANTES

TIPOS DE ESFORÇOS

REPRESENTAÇÃO

CATÁLOGOS – Ex.: NSK

TIPOS E CARACTERÍSTICAS DOS ROLAMENTOS

SELEÇÃO DO ROLAMENTO

=

1570,51 + 505,51 = ,

= 3199,49 + 7894,49 = 8518,20 N D1 = D7 = 25 mm D2 = D6 = 35 mm D3 = D5 = 42 mm Capacidade de carga básica estática, Cor Capacidade de carga básica dinâmica, Cr

D4 = 50 mm

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA NA SEGUNDA UNIDADE

FIM DA SEGUNDA UNIDADE

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