Modèle De Markowitz

Y


  


Plan I. II. III.

Introduction Hypothèses du modèle Présentation du modèle 1. 2.

IV.

La diversification 1. 2. 3.

V.

Rentabilité et risque Approche espérance-variance Portefeuille à deux titres Portefeuille à n titre Portefeuille à variance minimale

La frontière efficiente



Par une après-midi ensoleillée de printemps, dans la librairie de la Graduate Business School de l¶Université de Chicago, un grand jeune homme lit le manuel d¶analyse financière le plus réputé à l¶époque : The Theory of Investment Value de John Burr Williams. Quand il a fini sa lecture, il pense : « c¶est étrange, l¶auteur raisonne comme si tous les flux futurs d¶une entreprise, ses dépenses et ses recettes à venir, sont certains. Or, c¶est faux : il est évident qu¶ils sont incertains. Et c¶est justement cette incertitude qui fait que les actions sont risquées » Harry Markowitz venait de mettre le doigt sur le problème central de la finance ± le risque ± et il allait consacrer sa thèse à la manière dont « le risque boursier » peut être traité de manière rigoureuse.

¶¶

Georges Gallais-Hamonno

I. Introduction ë

La théorie moderne de portefeuille à été développée à partir de 1952 par Harry Markowitz,

ë

Elle expose comment les investisseurs rationnels utilisent

la

diversification

afin

d¶optimiser

leur

portefeuille ë

À partir de critères d¶espérance et variance on obtient des portefeuilles optimaux.

II. Hypothèses du modèle ë

H1: Les investisseurs sont rationnels et se comportent de manière à maximiser leur utilité avec un niveau donné de rendement.

ë

H2: Les investisseurs ont le libre accès à des informations exactes sur le rendement et le risque .

ë

H3: Les marchés sont efficients et assimilent l¶information rapidement et parfaitement .

ë

H 4: les investisseurs sont averses au risque et essayent de minimiser le risque et maximiser les rendements .

ë

H5: Les investisseurs font leur choix en se basant uniquement sur les deux paramètres: moyenne et variance.

ë

H6: Les investisseurs préfèrent un rendement supérieur qu¶un rendement faible pour un niveau de risque donné.

III. Présentation du modèle ë

ë

La rentabilité espérée du portefeuille est mesurée par la moyenne des rentabilités Le risque correspondant à l¶incertitude d¶obtenir cette rentabilité est mesuré par la variance

1 ± Rentabilité et risque 1.1 La rentabilité : Ò Pour un investisseur la rentabilité désigne non seulement le dividende rapporté par le titre mais aussi la plus value éventuelle qu¶il peut retirer lors de la revente de ce titre. —


—


— *
— *1
— *1

1.2 Le Risque Ò

Ò

Ò

L¶investissement en valeurs mobilières constitue le sacrifice d¶un avantage certain et immédiat contre un avantage futur et incertain. C¶est une possibilité de perte monétaire due à une incertitude que l¶on peut quantifier. Le risque n¶est toujours un élément purement négatif , un actif risqué présente des chance de fluctuer grandement à la hausse comme à la baisse.

2 ± Approche espérance espérance--variance 2.1 L¶espérance 



Dans un univers incertain l¶investisseur ne peut pas calculer d¶avance la rentabilité car la valeur du titre (portefeuille) en fin de période est aléatoire . Donc dans ce modèle la rentabilité est mesurée par l¶espérance mathématique .

ë

Le rendement d'un portefeuille est une combinaison linéaire de celui des actifs qui le composent, pondérés par leur poids dans le portefeuille , c¶est-à-dire une moyenne des rentabilités possibles pondérée par leur possibilité de réalisation .

E (  p )
 (  E (  )  Où : E ( p )

( E (  )

: la rentabilité du portefeuille : le poids de l¶actif i dans le portefeuille : la rentabilité de l¶actif i

2.2 La variance 

La variance est considérée comme un outil statistique de mesure du risque.



Le risque peut être définit comme étant l¶incertitude qui existe quant à la réalisation de la rentabilité espérée.



Mathématiquement le risque d¶un portefeuille (titre) est alors mesuré par la variance de sa rentabilité , c¶est-à-dire par la somme des carrés des écarts entre la rentabilité et l¶espérance mathématique des rentabilités pondérées par leur possibilités de réalisation .

La variance du portefeuille est la somme des produits des poids de chaque couple d'actifs par leur covariance





 ( )
p

 (   (  ) 2   ( .(1 * ( ). cov(  ,  ) 2




1









IV. La diversification 

La diversification du portefeuille c¶est l¶investissement dans différentes classes d¶actifs ou différents secteurs .



Elle ne signifie pas seulement détenir beaucoup d¶actifs .



Inclure plusieurs titres dans un portefeuille réduit le risque de celui-ci par rapport au risque des titres individuels qui le compose.

1.

Portefeuille à deux titres



On suppose qu¶un investisseur possède deux titres A et B .



Cet investisseur investit en plaçant Į titre A et 1-Į titre B le portefeuille est donc : P = Į.A + (1- Į).B

La rentabilité du portefeuille sera donc la moyenne pondérée des rentabilités des deux titres qui le composent



E (  p )
( .E ( A ) (1 * ( ).E ( B ) Le risque du portefeuille est inférieur aux risques respectifs de A et de B prient séparément .





 ( )
p

 (   (  ) 2   ( .(1 * ( ). cov(  ,  ) 2




1









( 
 Soit un portefeuille composé comme suit : P = 20 % A + 80 % B. ë Avec : E(Ra) = 14% ; E(Rb) = 10% ı(Ra) = 30% ; ı(Rb) = 25%. ë

ë

Le coefficient de corrélation ȡ = - 0,5.

ë

Déterminons la rentabilité et le risque de portefeuille.

w ë

ë

ë

E(Rp) =0.108 soit 10,8% . L¶espérance de rentabilité du portefeuille est comprise entre l¶espérance de rentabilité des 2 types d¶actions qui le compose. Pour une espérance plus importante l'investisseur doit maximiser dans son portefeuille le nombre d¶actions qui détiennent l¶espérance la plus importante.

2

2

 (  p )
( . ( a ) (1 * ( ) . ( b ) 2( .(1 * ( ). cov( a b ) V(Rp)= 3,16% . ë ı(Rp) = 17,77% . ë

ë

ë

Le risque du portefeuille est inférieur aux risques respectifs de A et de B et cela donc grâce à la diversificationi
En reprenant les mêmes hypothèses, on remarque que plus le coefficient de corrélation est petit (s¶approche de -1) plus la variance du portefeuille diminue

@  




( 

 Soit un portefeuille composé comme suit: P = 20% A + 30% B + 50% C. ë Avec : E(Ra) = 5% E(Rb) = 8% E(Rc) = 10% V(Ra) = 1% V(Rb) = 5% V(Rc) = 10%.

ë

ë

Le coefficient de corrélation ȡ = - 0,5.

w Soit: ë X le vecteur de pondération tq: ë

(1
  (2   
Ü    (  ë

K le vecteur des rentabilités espérées tq:

E ( 1 )
  E ( 2 )  
Ü     E (  ) 

ë

V la matrice des variances covariances tq:

W 11 W 1
  
 Ü Ü  W
W     1 ë ë ë ë

ë

(

  : Soit un portefeuille composé comme suit: P = 20% A + 30% B + 50% C. Avec : E(Ra) = 5% E(Rb) = 8% E(Rc) = 10% V(Ra) = 1% V(Rb) = 5% V(Rc) = 10% . Le coefficient de corrélation ȡ = - 0,5.

w E (Rp) = X¶ . K = 8,4 % . ë V(Rp) = X¶ . V . X = 0.04. ë

@  



 ë

ë

Le portefeuille à variance minimale est un portefeuille comportant le moins de risque parmi l¶ensemble des solutions réalisables. Pour le calculer il faut chercher les proportions Į qui minimisent la variance du portefeuille.

ë

On a: 2

2

 (  p )
( . ( a ) (1 * ( ) . ( b ) 2( .(1 * ( ). cov( a b ) Les conditions de minimisation sont : ë Condition du 1er ordre : V¶ ( RP ) = 0 ë Condition du 2ème ordre : V¶¶ ( RP ) > 0 Il faut trouver Į qui annule V¶(RP).

ë

Après développement on obtient :

(


 ( b ) * cov( a ,  B )  ( a )

ë

 ( b ) * 2 cov( a , b )

Limites de la diversification:

+ L¶éxistence d¶un risque non diversifiable ou encore, risque du marché lié aux structures du marché. Il résulte des périls qui peuvent affecter l¶ensemble de l¶économie tels que les variations du PIB, l¶inflation, les taux d¶intérêt. + C¶est un risque structurel qui ne peut pas être éliminé par la diversification .

V. La frontière efficiente ë

ë

MARKOWITZ a développé, en 1959, une méthode de solution générale du problème de la structure des portefeuilles qui incorpore le traitement quantifié du risque . Cette méthode propose à l¶investisseur un ensemble de portefeuilles « efficients » c¶est-àdire qui, pour une rentabilité globale possible, présentent le risque le plus faible, et vice-versa.

Cette méthode utilise uniquement les concepts de moyenne pour la rentabilité espérée et de variance pour l¶incertitude associée à cette rentabilité, d¶où le nom de critère « moyenne-variance » associé à l¶analyse de MARKOWITZ. ë Graphiquement : ë



Le portefeuille optimal est celui qui a la probabilité la plus faible de descendre en dessous d¶un rendement fixé.



Il faut choisir un portefeuille qui maximise la valeur plancher du rendement, sous la contrainte que la probabilité de descendre en dessous soit inférieure à une valeur fixée.



Choisir un portefeuille dont l¶espérance de rendement est maximum, sous la contrainte que la probabilité de descendre d¶une valeur planché soit inférieur à une valeur fixée



Illustration :

Soit deux actions A et B, dont les caractéristiques sont les suivantes : 

!

(
"

#$#%

#$&'

U
"

#$&'

#$&'

Avec un coefficient de corrélation : ȡ = -1



On peut constituer six portefeuilles dont les caractéristiques sont E (rp) et ı (rp). Portefeuille

´

´


(rp)

((rp)


1

0

1

0,18

0,14


2
3

0,2

0,8

0,116

0,128

0,4

0,6

0,052

0,116


4

0,6

0,4

0,012

0,104


5
6

0,8

0,2

0,076

0,092

1

0

0,14

0,08

IV. Limites du modèle 

Le modèle reste cependant très théorique, car il prend l'hypothèse que l'on connaît le couple espérance de gain et risque de chaque titre .



Il est peu utilisé en pratique, pour le professionnel, et plus encore pour le particulier qui ne dispose pas d'un outil informatique sophistiqué nécessaire pour des applications pratiques car il y a un grand nombre de calculs nécessaire à faire

Les proportions des actifs optimales sont très sensibles aux valeurs des rendements moyens .  les rentabilités moyennes sont très difficiles à estimer statistiquement. 

À retenir Un titre financier se caractérise par:  Un rendement mesuré par l¶espérance mathématique.  Un risque mesuré par la variance. Pour construire un portefeuille optimal on utilise la règle suivante:  Pour un niveau de rentabilité espérée donnée on retient les titres présentant le risque le plus faible.  Pour un niveau de risque donné on retient les titres ayant la rentabilité espérée la plus élevée. Bénéficiant de l¶effet de diversification du risque, ces portefeuilles dominent les titres individuels.

ß

Bibliographie ó ALBOUY M. « Les grands auteurs en finance » Editions EMS 2003. ó JACQUILLAT B., SOLNIK B. « Marchés financiers : Gestion de portefeuille et des risques » 4e édition DUNOD 2002.

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Webographie : la théorie moderne du portefeuille r((i ) i*( )( r

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